កំហុសដាច់ខាតនៃការ៉េតិចបំផុត។ ការប៉ាន់ស្មានទិន្នន័យពិសោធន៍

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប៉ាន់ស្មានមុខងារដោយពហុធានៃដឺក្រេ 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាមេគុណនៃប្រព័ន្ធសមីការធម្មតា៖

, ,

ចូរ​បង្កើត​ប្រព័ន្ធ​ការ៉េ​តិច​បំផុត​ធម្មតា ដែល​មាន​ទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺងាយស្រួលស្វែងរក៖, , .

ដូច្នេះពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 2 ត្រូវបានរកឃើញ: .

ព័ត៌មានទ្រឹស្តី

ត្រឡប់ទៅ ទំព័រ<Введение в вычислительную математику. Примеры>

ឧទាហរណ៍ ២. ការស្វែងរកដឺក្រេល្អបំផុតនៃពហុធា។

ត្រឡប់ទៅ ទំព័រ<Введение в вычислительную математику. Примеры>

ឧទាហរណ៍ ៣. ដេរីវេនៃប្រព័ន្ធធម្មតានៃសមីការសម្រាប់ការស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការពឹងផ្អែកជាក់ស្តែង។

ចូរយើងទាញយកប្រព័ន្ធនៃសមីការដើម្បីកំណត់មេគុណ និងមុខងារ ដែលអនុវត្តការប៉ាន់ស្មានជា root-mean-square នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពិន្ទុ។ ចូរយើងបង្កើតមុខងារមួយ។ ហើយសរសេរលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរចាំបាច់សម្រាប់វា៖

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធធម្មតានឹងមានទម្រង់៖

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់ ហើយដែលត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួល។

ព័ត៌មានទ្រឹស្តី

ត្រឡប់ទៅ ទំព័រ<Введение в вычислительную математику. Примеры>

ឧទាហរណ៍។

ទិន្នន័យពិសោធន៍លើតម្លៃនៃអថេរ Xនិង នៅត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង។

ជាលទ្ធផលនៃការតម្រឹមរបស់ពួកគេមុខងារត្រូវបានទទួល

ការប្រើប្រាស់ វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។ប៉ាន់ស្មានទិន្នន័យទាំងនេះដោយការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ y=ax+b(ស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង ខ) រកមើលថាតើបន្ទាត់ទាំងពីរមួយណាល្អជាង (ក្នុងន័យនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត) តម្រឹមទិន្នន័យពិសោធន៍។ ធ្វើគំនូរ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត (LSM) ។

ភារកិច្ចគឺស្វែងរកមេគុណអាស្រ័យលីនេអ៊ែរដែលមុខងារនៃអថេរពីរ កនិង ខយកតម្លៃតូចបំផុត។ នោះគឺផ្តល់ឱ្យ កនិង ខផលបូកនៃគម្លាតការ៉េនៃទិន្នន័យពិសោធន៍ពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានរកឃើញនឹងតូចបំផុត។ នេះគឺជាចំណុចទាំងមូលនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។

ដូច្នេះ ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ មករកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

បង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកមេគុណ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរត្រូវបានចងក្រង និងដោះស្រាយ។ ការស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ ដោយអថេរ កនិង ខយើង​ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទាំងនេះ​ទៅ​សូន្យ។

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការដោយប្រើវិធីសាស្រ្តណាមួយ (ឧទាហរណ៍ ដោយវិធីសាស្រ្តជំនួសឬវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer) និងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកមេគុណដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត (LSM)។

បានផ្តល់ឱ្យ កនិង ខមុខងារ យកតម្លៃតូចបំផុត។ ភស្តុតាងនៃការពិតនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោមនៅក្នុងអត្ថបទនៅចុងបញ្ចប់នៃទំព័រ។

នោះជាវិធីសាស្រ្តទាំងមូលនៃការ៉េតិចបំផុត។ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កមានផលបូក , , , និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ន- ចំនួនទិន្នន័យពិសោធន៍។ យើងសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យគណនាតម្លៃនៃបរិមាណទាំងនេះដោយឡែកពីគ្នា។

មេគុណ ខបានរកឃើញបន្ទាប់ពីការគណនា ក.

វាដល់ពេលដែលត្រូវចងចាំគំរូដើម។

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ n=5. យើងបំពេញតារាងសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការគណនាបរិមាណដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តនៃមេគុណដែលត្រូវការ។

តម្លៃនៅក្នុងជួរទីបួននៃតារាងត្រូវបានទទួលដោយការគុណតម្លៃនៃជួរទី 2 ដោយតម្លៃនៃជួរទី 3 សម្រាប់លេខនីមួយៗ ខ្ញុំ.

តម្លៃ​ក្នុង​ជួរ​ទី​ប្រាំ​នៃ​តារាង​ត្រូវ​បាន​ទទួល​ដោយ​ការ​បំបែក​តម្លៃ​ក្នុង​ជួរ​ដេក​ទី 2 សម្រាប់​លេខ​នីមួយៗ ខ្ញុំ.

តម្លៃ​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ចុង​ក្រោយ​នៃ​តារាង​គឺ​ជា​ផល​បូក​នៃ​តម្លៃ​នៅ​ទូទាំង​ជួរ​ដេក។

យើងប្រើរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត ដើម្បីស្វែងរកមេគុណ កនិង ខ. យើងជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នាពីជួរចុងក្រោយនៃតារាងទៅក្នុងពួកវា៖

អាស្រ័យហេតុនេះ y = 0.165x+2.184- បន្ទាត់ត្រង់ប្រហាក់ប្រហែលដែលចង់បាន។

វានៅសល់ដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើបន្ទាត់ណា y = 0.165x+2.184ឬ ប្រហាក់​ប្រហែល​ទិន្នន័យ​ដើម​ល្អ​ជាង ពោល​គឺ​ការ​ប៉ាន់​ស្មាន​ដោយ​ប្រើ​វិធី​ការ៉េ​តិច​បំផុត។

ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវគណនាផលបូកនៃគម្លាតការ៉េនៃទិន្នន័យដើមពីបន្ទាត់ទាំងនេះ និង តម្លៃតូចជាងត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ដែលប្រហាក់ប្រហែលនឹងទិន្នន័យដើមកាន់តែប្រសើរក្នុងន័យនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមកត្រង់ y = 0.165x+2.184ប្រសើរជាងទិន្នន័យដើម។

គំនូរក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត (LS) ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នៅលើក្រាហ្វ។ បន្ទាត់ក្រហមគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានរកឃើញ y = 0.165x+2.184បន្ទាត់ពណ៌ខៀវគឺ ចំណុចពណ៌ផ្កាឈូកគឺជាទិន្នន័យដើម។

ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការ ហេតុអ្វីបានជាការប៉ាន់ស្មានទាំងអស់នេះ?

ខ្ញុំផ្ទាល់ប្រើវាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការធ្វើឱ្យទិន្នន័យរលូន ការបញ្ចូល និងបញ្ហាបន្ថែម (ក្នុងឧទាហរណ៍ដើម ពួកគេអាចត្រូវបានស្នើសុំឱ្យស្វែងរកតម្លៃនៃតម្លៃដែលបានអង្កេត។ yនៅ x=3ឬពេលណា x=6ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត) ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយបន្ថែមទៀតអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគេហទំព័រ។

កំពូលនៃទំព័រ

ភស្តុតាង។

ដូច្នេះនៅពេលរកឃើញ កនិង ខអនុគមន៍យកតម្លៃតូចបំផុត វាចាំបាច់ដែលនៅចំណុចនេះ ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរសម្រាប់អនុគមន៍ មានភាពច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន។ សូមបង្ហាញវា។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមានទម្រង់៖

នោះគឺជា

ដូច្នេះម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងមានទម្រង់

ហើយតម្លៃនៃធាតុមិនអាស្រ័យលើ កនិង ខ.

ចូរយើងបង្ហាញថាម៉ាទ្រីសគឺវិជ្ជមានកំណត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនីតិជនជ្រុងត្រូវតែមានភាពវិជ្ជមាន។

បញ្ជាទិញអនីតិជន angular ដំបូង . វិសមភាពគឺតឹងរ៉ឹងព្រោះចំណុចមិនស្របគ្នា។ នៅ​ក្នុង​អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​យើង​នឹង​បញ្ជាក់​នេះ​។

អនីតិជន លំដាប់ទីពីរ

ចូរយើងបញ្ជាក់ ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រកឃើញតម្លៃ កនិង ខឆ្លើយតបទៅនឹងតម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ ដូច្នេះ គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវការសម្រាប់វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។

គ្មានពេលស្វែងយល់ទេ?
បញ្ជាឱ្យមានដំណោះស្រាយ

កំពូលនៃទំព័រ

បង្កើតការព្យាករណ៍ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយបញ្ហា

ការដកខ្លួនចេញ គឺជាវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវបែបវិទ្យាសាស្ត្រដែលផ្អែកលើការផ្សព្វផ្សាយនៃនិន្នាការអតីតកាល និងបច្ចុប្បន្នកាល លំនាំ និងការតភ្ជាប់ទៅនឹងការអភិវឌ្ឍន៍អនាគតនៃវត្ថុព្យាករណ៍។ វិធីសាស្រ្ត Extrapolation រួមមាន វិធីសាស្ត្ររំកិលមធ្យម វិធីសាស្ត្ររលោងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។

ខ្លឹមសារ វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។ មាននៅក្នុងការបង្រួមអប្បបរមាផលបូកនៃគម្លាតការ៉េរវាងតម្លៃដែលបានសង្កេត និងគណនា។ តម្លៃដែលបានគណនាត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសមីការដែលបានជ្រើសរើស - សមីការតំរែតំរង់។ ចម្ងាយតូចជាងរវាងតម្លៃជាក់ស្តែង និងតម្លៃដែលបានគណនា នោះការព្យាករណ៍កាន់តែត្រឹមត្រូវដោយផ្អែកលើសមីការតំរែតំរង់។

ការវិភាគទ្រឹស្តីនៃខ្លឹមសារនៃបាតុភូតដែលកំពុងសិក្សា ការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងដោយស៊េរីពេលវេលា បម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការជ្រើសរើសខ្សែកោង។ ជួនកាលការពិចារណាអំពីលក្ខណៈនៃការកើនឡើងនៃកម្រិតនៃស៊េរីត្រូវបានយកមកពិចារណា។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើកំណើនទិន្នផលត្រូវបានរំពឹងទុកក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ នោះការរលោងត្រូវបានអនុវត្តជាបន្ទាត់ត្រង់។ ប្រសិនបើវាបង្ហាញថាការលូតលាស់ស្ថិតនៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រ នោះការរលោងត្រូវធ្វើដោយប្រើអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

រូបមន្តធ្វើការសម្រាប់វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ : Y t + 1 = a * X + bដែលជាកន្លែងដែល t + 1 - រយៈពេលព្យាករណ៍; Уt+1 - សូចនាករព្យាករណ៍; a និង b គឺជាមេគុណ; X គឺជានិមិត្តសញ្ញានៃពេលវេលា។

ការគណនាមេគុណ a និង b ត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

ដែលជាកន្លែងដែល Uf - តម្លៃជាក់ស្តែងនៃស៊េរីឌីណាមិក; n - ចំនួននៃកម្រិតស៊េរីពេលវេលា;

ស៊េរីពេលវេលារលូនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត បម្រើដើម្បីឆ្លុះបញ្ចាំងពីគំរូនៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃបាតុភូតដែលកំពុងសិក្សា។ នៅក្នុងការបញ្ចេញមតិវិភាគនៃនិន្នាការមួយ ពេលវេលាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអថេរឯករាជ្យ ហើយកម្រិតនៃស៊េរីដើរតួជាមុខងារនៃអថេរឯករាជ្យនេះ។

ការវិវឌ្ឍន៍នៃបាតុភូតមួយមិនអាស្រ័យលើរយៈពេលប៉ុន្មានឆ្នាំបានកន្លងផុតទៅតាំងពីចំណុចចាប់ផ្តើមនោះទេ ប៉ុន្តែអាស្រ័យលើកត្តាអ្វីខ្លះដែលមានឥទ្ធិពលលើការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា ក្នុងទិសដៅអ្វី និងកម្រិតណា។ ពីទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាការវិវត្តនៃបាតុភូតមួយតាមពេលវេលាគឺជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនៃកត្តាទាំងនេះ។

ការបង្កើតប្រភេទខ្សែកោងឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ប្រភេទនៃការវិភាគអាស្រ័យលើពេលវេលា គឺជាកិច្ចការដ៏លំបាកបំផុតមួយនៃការវិភាគព្យាករណ៍ .

ការជ្រើសរើសប្រភេទនៃអនុគមន៍ដែលពិពណ៌នាអំពីនិន្នាការ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងករណីភាគច្រើនជាក់ស្តែង ដោយបង្កើតមុខងារមួយចំនួន ហើយប្រៀបធៀបពួកវាជាមួយគ្នាតាមតម្លៃនៃ កំហុសការ៉េមធ្យម គណនាដោយរូបមន្ត៖

ដែលកាំរស្មីយូវីគឺជាតម្លៃពិតនៃស៊េរីឌីណាមិក; Ur - តម្លៃគណនា (រលូន) នៃស៊េរីឌីណាមិក; n - ចំនួននៃកម្រិតស៊េរីពេលវេលា; p - ចំនួនប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានកំណត់ក្នុងរូបមន្តដែលពិពណ៌នាអំពីនិន្នាការ (និន្នាការអភិវឌ្ឍន៍) ។

គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ :

• នៅពេលព្យាយាមពណ៌នាអំពីបាតុភូតសេដ្ឋកិច្ចដែលកំពុងសិក្សាដោយប្រើសមីការគណិតវិទ្យា ការព្យាករណ៍នឹងមានភាពត្រឹមត្រូវក្នុងរយៈពេលខ្លី ហើយសមីការតំរែតំរង់គួរតែត្រូវបានគណនាឡើងវិញនៅពេលដែលមានព័ត៌មានថ្មីៗ។
• ភាពស្មុគស្មាញនៃការជ្រើសរើសសមីការតំរែតំរង់ដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើកម្មវិធីកុំព្យូទ័រស្តង់ដារ។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត ដើម្បីបង្កើតការព្យាករណ៍

កិច្ចការ . មាន​ទិន្នន័យ​ដែល​កំណត់​អត្រា​គ្មាន​ការងារ​ធ្វើ​ក្នុង​តំបន់ %

• បង្កើតការព្យាករណ៍នៃអត្រាគ្មានការងារធ្វើនៅក្នុងតំបន់សម្រាប់ខែវិច្ឆិកា ខែធ្នូ ខែមករា ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រខាងក្រោម៖ រំកិលមធ្យម រំកិលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ការ៉េតិចបំផុត។
• គណនាកំហុសក្នុងការព្យាករណ៍លទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនីមួយៗ។
• ប្រៀបធៀបលទ្ធផល និងធ្វើការសន្និដ្ឋាន។

ដំណោះស្រាយការ៉េតិចបំផុត។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងនឹងគូរតារាងដែលយើងនឹងធ្វើការគណនាចាំបាច់៖

ε = 28.63/10 = 2.86% ភាពត្រឹមត្រូវនៃការព្យាករណ៍ខ្ពស់។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ៖ ប្រៀបធៀបលទ្ធផលដែលទទួលបានពីការគណនា វិធីសាស្រ្តផ្លាស់ទីមធ្យម , វិធីសាស្ត្ររលោងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត យើងអាចនិយាយបានថា កំហុសដែលទាក់ទងជាមធ្យមនៅពេលគណនាដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររលោងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលធ្លាក់ក្នុងចន្លោះ 20-50%។ នេះមានន័យថាភាពត្រឹមត្រូវនៃការព្យាករណ៍ក្នុងករណីនេះគឺគ្រាន់តែពេញចិត្តប៉ុណ្ណោះ។

ក្នុងករណីទី 1 និងទី 3 ភាពត្រឹមត្រូវនៃការព្យាករណ៍គឺខ្ពស់ព្រោះកំហុសដែលទាក់ទងជាមធ្យមគឺតិចជាង 10% ។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រមធ្យមផ្លាស់ទីបានធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានលទ្ធផលគួរឱ្យទុកចិត្តជាងមុន (ការព្យាករណ៍សម្រាប់ខែវិច្ឆិកា - 1.52%, ការព្យាករណ៍សម្រាប់ខែធ្នូ - 1.53%, ការព្យាករណ៍សម្រាប់ខែមករា - 1.49%), ចាប់តាំងពីកំហុសទាក់ទងជាមធ្យមនៅពេលប្រើវិធីសាស្រ្តនេះគឺតូចបំផុត - 1 .១៣%។

វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។

អត្ថបទផ្សេងទៀតលើប្រធានបទនេះ៖

បញ្ជីប្រភពដែលបានប្រើ

1. អនុសាសន៍បែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិធីសាស្រ្តលើការធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យហានិភ័យសង្គម និងការព្យាករណ៍បញ្ហាប្រឈម ការគំរាមកំហែង និងផលវិបាកសង្គម។ សាកលវិទ្យាល័យសង្គមរដ្ឋរុស្ស៊ី។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ។ ឆ្នាំ ២០១០;
2. Vladimirova L.P. ការព្យាករណ៍ និងការធ្វើផែនការក្នុងលក្ខខណ្ឌទីផ្សារ៖ សៀវភៅសិក្សា។ ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។ M.: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "Dashkov and Co", ឆ្នាំ 2001;
3. Novikova N.V., Pozdeeva O.G. ការព្យាករណ៍សេដ្ឋកិច្ចជាតិ៖ សៀវភៅណែនាំអប់រំ និងវិធីសាស្រ្ត។ Ekaterinburg: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព Ural ។ រដ្ឋ សេដ្ឋកិច្ច Univ., 2007;
4. Slutskin L.N. វគ្គសិក្សា MBA ស្តីពីការព្យាករណ៍អាជីវកម្ម។ M.: Alpina Business Books, 2006 ។

កម្មវិធី MNC

បញ្ចូលព័ត៌មានលម្អិត

ទិន្នន័យ និងការប៉ាន់ស្មាន y = a + b x

ខ្ញុំ- ចំនួនចំណុចពិសោធន៍;
x ខ្ញុំ- តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រថេរនៅចំណុចមួយ។ ខ្ញុំ;
y ខ្ញុំ- តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រវាស់នៅចំណុចមួយ។ ខ្ញុំ;
ω- វាស់ទម្ងន់នៅចំណុចមួយ។ ខ្ញុំ;
y ខ្ញុំ, calc ។- ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃដែលបានគណនា និងតំរែតំរង់ yនៅចំណុច ខ្ញុំ;
S x i (x i)- ការប៉ាន់ស្មានកំហុស x ខ្ញុំនៅពេលវាស់ yនៅចំណុច ខ្ញុំ.

ទិន្នន័យ និងការប៉ាន់ស្មាន y = k x

ខ្ញុំ	x ខ្ញុំ	y ខ្ញុំ	ω	y ខ្ញុំ, calc ។	Δy ខ្ញុំ	S x i (x i)

ចុចលើតារាង

សៀវភៅណែនាំអ្នកប្រើប្រាស់សម្រាប់កម្មវិធីអនឡាញ MNC ។

នៅក្នុងវាលទិន្នន័យ សូមបញ្ចូលតម្លៃ `x` និង `y` នៅលើបន្ទាត់ដាច់ដោយឡែកនីមួយៗ នៅចំណុចពិសោធន៍មួយ។ តម្លៃត្រូវតែបំបែកដោយតួអក្សរដកឃ្លា (ដកឃ្លា ឬផ្ទាំង)។

តម្លៃទីបីអាចជាទម្ងន់នៃចំណុច `w` ។ ប្រសិនបើទម្ងន់នៃចំណុចមួយមិនត្រូវបានបញ្ជាក់នោះវាស្មើនឹងមួយ។ ក្នុងករណីភាគច្រើន ទម្ងន់នៃចំណុចពិសោធន៍គឺមិនស្គាល់ ឬមិនបានគណនា ពោលគឺឧ។ ទិន្នន័យពិសោធន៍ទាំងអស់ត្រូវបានចាត់ទុកថាសមមូល។ ជួនកាលទម្ងន់ក្នុងជួរតម្លៃដែលបានសិក្សាគឺពិតជាមិនសមមូលទេ ហើយថែមទាំងអាចគណនាតាមទ្រឹស្ដីទៀតផង។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុង spectrophotometry ទម្ងន់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តសាមញ្ញ ទោះបីជាភាគច្រើនត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងការកាត់បន្ថយថ្លៃពលកម្មក៏ដោយ។

ទិន្នន័យអាចត្រូវបានបិទភ្ជាប់តាមរយៈក្តារតម្បៀតខ្ទាស់ពីសៀវភៅបញ្ជីនៅក្នុងឈុតការិយាល័យដូចជា Excel ពី Microsoft Office ឬ Calc ពី Open Office ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ក្នុងសៀវភៅបញ្ជី ជ្រើសរើសជួរទិន្នន័យដែលត្រូវចម្លង ចម្លងទៅក្ដារតម្បៀតខ្ទាស់ ហើយបិទភ្ជាប់ទិន្នន័យទៅក្នុងវាលទិន្នន័យនៅលើទំព័រនេះ។

ដើម្បីគណនាដោយប្រើវិធីការ៉េតិចបំផុត យ៉ាងហោចណាស់ត្រូវមានចំណុចពីរដើម្បីកំណត់មេគុណពីរ `b` - តង់សង់នៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ និង `a` - តម្លៃដែលស្ទាក់ចាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់នៅលើ `y` អ័ក្ស។

ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃមេគុណតំរែតំរង់ដែលបានគណនា អ្នកត្រូវកំណត់ចំនួនពិន្ទុពិសោធន៍ឱ្យលើសពីពីរ។

វិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត (LSM) ។

ចំនួនពិន្ទុពិសោធន៍កាន់តែច្រើន ការវាយតម្លៃស្ថិតិនៃមេគុណកាន់តែត្រឹមត្រូវ (ដោយសារតែការថយចុះនៃមេគុណសិស្ស) ហើយការប៉ាន់ប្រមាណកាន់តែជិតទៅនឹងការប៉ាន់ប្រមាណនៃគំរូទូទៅ។

ការទទួលបានតម្លៃនៅចំណុចពិសោធន៍នីមួយៗ ជារឿយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្លៃពលកម្មដ៏សំខាន់ ដូច្នេះចំនួនការសម្រុះសម្រួលនៃការពិសោធន៍ត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ដែលផ្តល់នូវការប៉ាន់ប្រមាណដែលអាចគ្រប់គ្រងបាន និងមិននាំឱ្យមានថ្លៃពលកម្មលើស។ តាមក្បួនចំនួននៃចំណុចពិសោធន៍សម្រាប់ការពឹងផ្អែកការេយ៉ាងហោចណាស់លីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណពីរត្រូវបានជ្រើសរើសនៅក្នុងតំបន់នៃ 5-7 ពិន្ទុ។

ទ្រឹស្តីសង្ខេបនៃការ៉េតិចបំផុតសម្រាប់ទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ

ឧបមាថាយើងមានសំណុំទិន្នន័យពិសោធន៍ក្នុងទម្រង់ជាគូនៃតម្លៃ [`y_i`, `x_i`] ដែល `i` គឺជាចំនួននៃការវាស់វែងពិសោធន៍មួយពី 1 ដល់ `n`; `y_i` - តម្លៃនៃតម្លៃវាស់នៅចំណុច `i`; `x_i` - តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលយើងកំណត់នៅចំណុច `i` ។

ជាឧទាហរណ៍សូមពិចារណាអំពីប្រតិបត្តិការនៃច្បាប់របស់អូម។ ដោយការផ្លាស់ប្តូរវ៉ុល (ភាពខុសគ្នាសក្តានុពល) រវាងផ្នែកនៃសៀគ្វីអគ្គិសនីយើងវាស់បរិមាណចរន្តឆ្លងកាត់ផ្នែកនេះ។ រូបវិទ្យាផ្តល់ឱ្យយើងនូវការពឹងផ្អែកដែលបានរកឃើញដោយពិសោធន៍៖

`I = U/R`,
ដែលជាកន្លែងដែល 'ខ្ញុំ' គឺជាកម្លាំងបច្ចុប្បន្ន; `R` - ធន់ទ្រាំ; `U` - វ៉ុល។

ក្នុងករណីនេះ `y_i` គឺជាតម្លៃបច្ចុប្បន្នដែលបានវាស់ ហើយ `x_i` គឺជាតម្លៃវ៉ុល។

ជាឧទាហរណ៍មួយទៀត សូមពិចារណាពីការស្រូបពន្លឺដោយដំណោះស្រាយនៃសារធាតុក្នុងសូលុយស្យុង។ គីមីវិទ្យាផ្តល់ឱ្យយើងនូវរូបមន្ត:

`A = ε l C`,
ដែល `A` គឺជាដង់ស៊ីតេអុបទិកនៃដំណោះស្រាយ; `ε` - ការបញ្ជូននៃសារធាតុរំលាយ; `l` - ប្រវែងផ្លូវនៅពេលដែលពន្លឺឆ្លងកាត់ cuvette ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយ; `C` គឺជាកំហាប់នៃសារធាតុរំលាយ។

ក្នុងករណីនេះ `y_i` គឺជាតម្លៃវាស់នៃដង់ស៊ីតេអុបទិក `A` ហើយ `x_i` គឺជាតម្លៃប្រមូលផ្តុំនៃសារធាតុដែលយើងបញ្ជាក់។

យើងនឹងពិចារណាករណីនៅពេលដែលកំហុសទាក់ទងនៅក្នុងការបញ្ជាក់ `x_i` គឺតិចជាងកំហុសទាក់ទងនៅក្នុងការវាស់វែង `y_i` យ៉ាងខ្លាំង។ យើងក៏នឹងសន្មត់ថាតម្លៃដែលបានវាស់ទាំងអស់ `y_i` គឺចៃដន្យ និងចែកចាយជាធម្មតា ពោលគឺឧ។ គោរពច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។

នៅក្នុងករណីនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃ `y` នៅលើ `x` យើងអាចសរសេរការពឹងផ្អែកទ្រឹស្តី៖
`y = a + b x` ។

តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ មេគុណ `b` បង្ហាញពីតង់សង់នៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ទៅអ័ក្ស `x` ហើយមេគុណ `a` - តម្លៃនៃ `y` នៅចំណុចប្រសព្វនៃ បន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស `y` (នៅ `x = 0`) ។

ស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់តំរែតំរង់។

នៅក្នុងការពិសោធន៍ តម្លៃដែលបានវាស់នៃ `y_i` មិនអាចស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ទ្រឹស្តីបានទេ ដោយសារកំហុសនៃការវាស់វែង ដែលតែងតែមាននៅក្នុងជីវិតពិត។ ដូច្នេះសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវតែតំណាងដោយប្រព័ន្ធសមីការ៖
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
ដែល `ε_i` គឺជាកំហុសរង្វាស់ដែលមិនស្គាល់នៃ `y` នៅក្នុងការពិសោធន៍ `i`-th ។

ភាពអាស្រ័យ (1) ត្រូវបានគេហៅថាផងដែរ។ តំរែតំរង់, i.e. ការពឹងផ្អែកនៃបរិមាណពីរលើគ្នាទៅវិញទៅមកដែលមានសារៈសំខាន់ស្ថិតិ។

ភារកិច្ចនៃការស្តារភាពអាស្រ័យគឺស្វែងរកមេគុណ `a` និង `b` ពីចំណុចពិសោធន៍ [`y_i`, `x_i`] ។

ដើម្បីស្វែងរកមេគុណ `a` និង `b` វាត្រូវបានគេប្រើជាធម្មតា វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។(MNC) ។ វាជាករណីពិសេសនៃគោលការណ៍លទ្ធភាពអតិបរមា។

ចូរសរសេរឡើងវិញ (1) ក្នុងទម្រង់ `ε_i = y_i - a - b x_i` ។

បន្ទាប់មកផលបូកនៃកំហុសការ៉េនឹងមាន
`Φ = sum_(i=1)^(n) ε_i^2 = sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2` ។ (2)

គោលការណ៍នៃការ៉េតិចបំផុត (ការេតិចបំផុត) គឺដើម្បីបង្រួមអប្បបរមា (2) ទាក់ទងទៅនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ `a` និង `b`.

អប្បបរមាត្រូវបានសម្រេចនៅពេលដែលដេរីវេនៃផ្នែកនៃផលបូក (2) ទាក់ទងនឹងមេគុណ `a` និង `b` ស្មើនឹងសូន្យ៖
`frac(partial Φ)(partial a) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)( partial a) = 0`
`frac(Partial Φ)(partial b) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)( partial b) = 0`

ការពង្រីកនិស្សន្ទវត្ថុ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ៖
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i — 2y_i) = sum_(i=1)^(n) (a + bx_i — y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i — 2x_iy_i) = sum_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i — x_iy_i) = 0`

យើងបើកតង្កៀប ហើយផ្ទេរផលបូកដោយឯករាជ្យនៃមេគុណដែលត្រូវការទៅពាក់កណ្តាលទៀត យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b sum_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផល យើងរកឃើញរូបមន្តសម្រាប់មេគុណ `a` និង `b`៖

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) ) x_iy_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^ (n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

រូបមន្តទាំងនេះមានដំណោះស្រាយនៅពេល `n> 1` (បន្ទាត់អាចត្រូវបានសាងសង់ដោយប្រើយ៉ាងហោចណាស់ 2 ពិន្ទុ) និងនៅពេលដែលកត្តាកំណត់ `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (sum_(i=1) )^(n) x_i)^2 != 0`, i.e. នៅពេលដែលចំនុច `x_i` នៅក្នុងការពិសោធន៍គឺខុសគ្នា (ឧ. នៅពេលដែលបន្ទាត់មិនបញ្ឈរ)។

ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃមេគុណបន្ទាត់តំរែតំរង់

សម្រាប់ការវាយតម្លៃត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតនៃកំហុសក្នុងការគណនាមេគុណ `a` និង `b` ចំណុចពិសោធន៍មួយចំនួនធំគឺចង់បាន។ នៅពេល `n = 2` វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការប៉ាន់ស្មានកំហុសនៃមេគុណ ពីព្រោះ បន្ទាត់ប្រហាក់ប្រហែលនឹងឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

កំហុសនៃអថេរចៃដន្យ `V` ត្រូវបានកំណត់ ច្បាប់នៃការប្រមូលផ្តុំកំហុស
`S_V^2 = sum_(i=1)^p (frac(partial f)(partial z_i))^2 S_(z_i)^2`,
ដែល `p` គឺជាចំនួនប៉ារ៉ាម៉ែត្រ `z_i` ដែលមានកំហុស `S_(z_i)` ដែលប៉ះពាល់ដល់កំហុស `S_V`;
`f` គឺជាមុខងារនៃការពឹងផ្អែកនៃ `V` នៅលើ `z_i` ។

ចូរយើងសរសេរច្បាប់នៃការប្រមូលផ្តុំកំហុសសម្រាប់កំហុសនៃមេគុណ `a` និង `b`
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial a )(x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial b) )(x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 `,
ដោយសារតែ `S_(x_i)^2 = 0` (ពីមុនយើងធ្វើការកក់ទុកដែលកំហុស `x` មានសេចក្តីធ្វេសប្រហែស)។

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - error (variance, squared standard deviation) ក្នុងការវាស់វែង `y` ដោយសន្មត់ថា error គឺដូចគ្នាសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ `y`។

ការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ការគណនា `a` និង `b` ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផលដែលយើងទទួលបាន

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 — x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i — sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

នៅក្នុងការពិសោធន៍ជាក់ស្តែងភាគច្រើន តម្លៃនៃ 'Sy' មិនត្រូវបានវាស់វែងទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តការវាស់វែងស្របគ្នាជាច្រើន (ការពិសោធន៍) នៅចំណុចមួយ ឬច្រើនក្នុងផែនការ ដែលបង្កើនពេលវេលា (និងប្រហែលជាថ្លៃដើម) នៃការពិសោធន៍។ ដូច្នេះ ជាធម្មតាវាត្រូវបានសន្មត់ថា គម្លាតនៃ `y` ពីបន្ទាត់តំរែតំរង់អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាចៃដន្យ។ ការប៉ាន់ប្រមាណនៃការប្រែប្រួល `y` ក្នុងករណីនេះត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត។

`S_y^2 = S_(y, rest)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`។

ការបែងចែក `n-2` លេចឡើងដោយសារតែចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពរបស់យើងបានថយចុះដោយសារការគណនាមេគុណពីរដោយប្រើគំរូដូចគ្នានៃទិន្នន័យពិសោធន៍។

ការប៉ាន់ប្រមាណនេះត្រូវបានគេហៅថាបំរែបំរួលសំណល់ដែលទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់តំរែតំរង់ `S_(y, rest)^2`។

សារៈសំខាន់នៃមេគុណត្រូវបានវាយតម្លៃដោយប្រើតេស្ត t របស់សិស្ស

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

ប្រសិនបើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដែលបានគណនា `t_a`, `t_b` តិចជាងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដែលបានកំណត់ `t(P, n-2)` នោះវាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមេគុណដែលត្រូវគ្នាមិនខុសគ្នាខ្លាំងពីសូន្យជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលបានផ្តល់ឱ្យ `P` ទេ។

ដើម្បីវាយតម្លៃគុណភាពនៃការពិពណ៌នានៃទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ អ្នកអាចប្រៀបធៀប `S_(y, rest)^2` និង `S_(bar y)` ទាក់ទងទៅនឹងមធ្យមដោយប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Fisher ។

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i —(sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - ការប៉ាន់ស្មានគំរូនៃការប្រែប្រួល `y` ទាក់ទងទៅនឹងមធ្យម។

ដើម្បីវាយតម្លៃប្រសិទ្ធភាពនៃសមីការតំរែតំរង់ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីភាពអាស្រ័យ មេគុណ Fisher ត្រូវបានគណនា
`F = S_(bar y) / S_(y, rest)^2`,
ដែលត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយមេគុណ Fisher តារាង `F(p, n-1, n-2)` ។

ប្រសិនបើ `F> F(P, n-1, n-2)` ភាពខុសគ្នារវាងការពិពណ៌នានៃទំនាក់ទំនង `y = f(x)` ដោយប្រើសមីការតំរែតំរង់ និងការពិពណ៌នាដោយប្រើមធ្យមគឺត្រូវបានចាត់ទុកថាសំខាន់ស្ថិតិជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ `P`។ ទាំងនោះ។ តំរែតំរង់ពិពណ៌នាអំពីភាពអាស្រ័យបានល្អជាងការរីករាលដាលនៃ `y` ជុំវិញមធ្យម។

ចុចលើតារាង
ដើម្បីបន្ថែមតម្លៃទៅក្នុងតារាង

វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។ វិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុតមានន័យថាការកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនស្គាល់ a, b, c, ការពឹងផ្អែកមុខងារដែលទទួលយក

វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត សំដៅលើការកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់ ក, ខ, គ,…ទទួលយកការពឹងផ្អែកមុខងារ

y = f(x,a,b,c,…),

ដែលនឹងផ្តល់អប្បបរមានៃមធ្យមការ៉េ (បំរែបំរួល) នៃកំហុស

, (24)

ដែល x i, y i គឺជាសំណុំនៃលេខគូដែលទទួលបានពីការពិសោធន៍។

ចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ extremum នៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើនគឺជាលក្ខខណ្ឌដែលដេរីវេនៃផ្នែករបស់វាស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក, ខ, គ,…ត្រូវបានកំណត់ដោយប្រព័ន្ធសមីការ៖

; ; ; … (25)

វាត្រូវតែចងចាំថាវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុតត្រូវបានប្រើដើម្បីជ្រើសរើសប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាប់ពីប្រភេទនៃមុខងារ y = f(x)បានកំណត់

ប្រសិនបើពីការពិចារណាតាមទ្រឹស្ដី គ្មានការសន្និដ្ឋានណាមួយអាចត្រូវបានទាញអំពីអ្វីដែលរូបមន្តជាក់ស្តែងគួរតែជា នោះគេត្រូវតែត្រូវបានដឹកនាំដោយការតំណាងដែលមើលឃើញ ជាចម្បងដោយការតំណាងក្រាហ្វិកនៃទិន្នន័យដែលបានសង្កេត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ពួកវាត្រូវបានកំណត់ជាញឹកញាប់បំផុតចំពោះប្រភេទមុខងារខាងក្រោម៖

1) លីនេអ៊ែរ ;

2) ចតុកោណ ក.

វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។

វិធីសាស្ត្រ​ការ៉េ​តិច​បំផុត ( OLS, OLS, ការ៉េតិចបំផុតធម្មតា។) - វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានមួយនៃការវិភាគតំរែតំរង់សម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនស្គាល់នៃគំរូតំរែតំរង់ដោយប្រើទិន្នន័យគំរូ។ វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការបង្រួមអប្បបរមានៃផលបូកនៃការ៉េនៃសំណល់តំរែតំរង់។

គួរកត់សំគាល់ថា វិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុតអាចត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងតំបន់ណាមួយ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយគឺ ឬបំពេញតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យមួយចំនួនសម្រាប់ការបង្រួមអប្បបរមានៃផលបូកនៃការ៉េនៃមុខងារមួយចំនួននៃអថេរដែលត្រូវការ។ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុតក៏អាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការតំណាងប្រហាក់ប្រហែល (ប្រហាក់ប្រហែល) នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយអនុគមន៍ (សាមញ្ញជាង) ផ្សេងទៀត នៅពេលស្វែងរកសំណុំបរិមាណដែលបំពេញសមីការ ឬឧបសគ្គ ចំនួនដែលលើសពីចំនួនបរិមាណទាំងនេះ។ ល។

ខ្លឹមសារនៃ MNC

អនុញ្ញាតឱ្យគំរូ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) មួយចំនួននៃទំនាក់ទំនងប្រូបាប៊ីលីក (តំរែតំរង់) រវាងអថេរ (ពន្យល់) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ yនិងកត្តាជាច្រើន (អថេរពន្យល់) x

តើវ៉ិចទ័រនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រគំរូមិនស្គាល់នៅឯណា

- កំហុសគំរូចៃដន្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានការសង្កេតគំរូនៃតម្លៃនៃអថេរទាំងនេះផងដែរ។ សូមឱ្យជាលេខសង្កេត () ។ បន្ទាប់មកគឺជាតម្លៃនៃអថេរនៅក្នុងការសង្កេត th ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ b វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាតម្លៃទ្រឹស្តី (គំរូ) នៃអថេរដែលបានពន្យល់ y:

ទំហំនៃសំណល់អាស្រ័យលើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ b ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត (ធម្មតា បុរាណ) គឺស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ខ ដែលផលបូកនៃការ៉េនៃសំណល់ (eng. ផលបូកដែលនៅសល់នៃការ៉េ) នឹងមានតិចតួចបំផុត៖

ក្នុងករណីទូទៅ បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្របង្កើនប្រសិទ្ធភាពលេខ (បង្រួមអប្បបរមា)។ ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយអំពី ការ៉េតិចបំផុតដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ(NLS ឬ NLLS - ភាសាអង់គ្លេស) ការ៉េតិចបំផុតដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ) ក្នុងករណីជាច្រើនវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយវិភាគ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្រួមអប្បបរមា វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកចំណុចស្ថានីនៃមុខងារដោយបែងចែកវាទាក់ទងទៅនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់ b សមីការនិស្សន្ទវត្ថុទៅជាសូន្យ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ៖

ប្រសិនបើកំហុសចៃដន្យរបស់គំរូត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា មានការប្រែប្រួលដូចគ្នា និងមិនទាក់ទងគ្នា ការប៉ាន់ប្រមាណប៉ារ៉ាម៉ែត្រ OLS គឺដូចគ្នានឹងការប៉ាន់ស្មានលទ្ធភាពអតិបរមា (MLM)។

OLS ក្នុងករណីគំរូលីនេអ៊ែរ

សូមឱ្យការពឹងផ្អែកនៃការតំរែតំរង់មានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ yគឺជាវ៉ិចទ័រជួរឈរនៃការសង្កេតនៃអថេរដែលបានពន្យល់ ហើយជាម៉ាទ្រីសនៃការសង្កេតកត្តា (ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសគឺជាវ៉ិចទ័រនៃតម្លៃកត្តានៅក្នុងការសង្កេតដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជួរឈរគឺជាវ៉ិចទ័រនៃតម្លៃនៃកត្តាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងការសង្កេតទាំងអស់) ។ តំណាងម៉ាទ្រីសនៃគំរូលីនេអ៊ែរគឺ៖

បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រនៃការប៉ាន់ប្រមាណនៃអថេរដែលបានពន្យល់ និងវ៉ិចទ័រនៃសំណល់តំរែតំរង់នឹងស្មើគ្នា

ដូច្នោះហើយផលបូកនៃការ៉េនៃសំណល់តំរែតំរង់នឹងស្មើនឹង

ការបែងចែកមុខងារនេះដោយគោរពតាមវ៉ិចទ័រនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងសមីការនិស្សន្ទវត្ថុទៅជាសូន្យ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ (ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស)៖

.

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការនេះផ្តល់នូវរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានការេយ៉ាងហោចណាស់សម្រាប់គំរូលីនេអ៊ែរ៖

សម្រាប់គោលបំណងវិភាគ តំណាងចុងក្រោយនៃរូបមន្តនេះមានប្រយោជន៍។ ប្រសិនបើនៅក្នុងគំរូតំរែតំរង់ទិន្នន័យ កណ្តាលបន្ទាប់មកនៅក្នុងតំណាងនេះ ម៉ាទ្រីសទីមួយមានអត្ថន័យនៃគំរូនៃម៉ាទ្រីសកូវ៉ារ៉ង់នៃកត្តា ហើយទីពីរគឺជាវ៉ិចទ័រនៃភាពប្រែប្រួលនៃកត្តាជាមួយនឹងអថេរអាស្រ័យ។ ប្រសិនបើលើសពីនេះទិន្នន័យក៏មានផងដែរ។ ធម្មតាទៅ MSE (នោះគឺនៅទីបំផុត ស្តង់ដារ) បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសទីមួយមានអត្ថន័យនៃម៉ាទ្រីសទំនាក់ទំនងគំរូនៃកត្តា វ៉ិចទ័រទីពីរ - វ៉ិចទ័រនៃទំនាក់ទំនងគំរូនៃកត្តាជាមួយអថេរអាស្រ័យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃការប៉ាន់ប្រមាណ OLS សម្រាប់ម៉ូដែល ជាមួយនឹងថេរ- បន្ទាត់តំរែតំរង់ដែលបានសាងសង់ឆ្លងកាត់ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃទិន្នន័យគំរូ ពោលគឺសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត៖

ជាពិសេស ក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរ នៅពេលដែលការតំរែតំរង់តែមួយគត់គឺថេរ យើងឃើញថាការប៉ាន់ប្រមាណ OLS នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រតែមួយគត់ (ថេរដោយខ្លួនវា) គឺស្មើនឹងតម្លៃមធ្យមនៃអថេរដែលបានពន្យល់។ នោះគឺជា មធ្យមនព្វន្ធ ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិដ៏ល្អរបស់វាពីច្បាប់នៃចំនួនធំ ក៏ជាការប៉ាន់ប្រមាណការេយ៉ាងហោចណាស់ផងដែរ - វាបំពេញតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃផលបូកអប្បបរមានៃគម្លាតការេពីវា។

ឧទាហរណ៍៖ តំរែតំរង់សាមញ្ញបំផុត (ជាគូ)

នៅក្នុងករណីនៃតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរដែលបានផ្គូផ្គង រូបមន្តគណនាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ (អ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មានពិជគណិតម៉ាទ្រីស)៖

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍ប៉ាន់ស្មាន OLS

ជាដំបូង យើងកត់សំគាល់ថា សម្រាប់ម៉ូដែលលីនេអ៊ែរ ការប៉ាន់ប្រមាណ OLS គឺជាការប៉ាន់ប្រមាណលីនេអ៊ែរ ដូចខាងក្រោមពីរូបមន្តខាងលើ។ សម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណ OLS ដែលមិនលំអៀង វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌសំខាន់បំផុតនៃការវិភាគតំរែតំរង់៖ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃកំហុសចៃដន្យដែលមានលក្ខខណ្ឌលើកត្តាត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ លក្ខខណ្ឌនេះជាពិសេសគឺពេញចិត្តប្រសិនបើ

1. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃកំហុសចៃដន្យគឺសូន្យ និង
2. កត្តា និងកំហុសចៃដន្យ គឺជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ។

លក្ខខណ្ឌទីពីរ - លក្ខខណ្ឌនៃភាពខាងក្រៅនៃកត្តា - គឺជាមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើទ្រព្យសម្បត្តិនេះមិនត្រូវបានបំពេញ នោះយើងអាចសន្មត់ថាការប៉ាន់ប្រមាណស្ទើរតែទាំងអស់នឹងមិនពេញចិត្តខ្លាំងនោះទេ៖ ពួកគេនឹងមិនមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាទេ (ពោលគឺសូម្បីតែទិន្នន័យមួយចំនួនធំក៏មិនអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានការប៉ាន់ស្មានគុណភាពខ្ពស់ក្នុងករណីនេះដែរ។ ) នៅក្នុងករណីបុរាណ ការសន្មត់ខ្លាំងជាងនេះត្រូវបានធ្វើឡើងអំពីការកំណត់នៃកត្តា ផ្ទុយពីកំហុសចៃដន្យ ដែលមានន័យថា លក្ខខណ្ឌ exogeneity ត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ក្នុងករណីទូទៅ សម្រាប់ភាពស៊ីសង្វាក់នៃការប៉ាន់ប្រមាណ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌ exogeneity រួមជាមួយនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃម៉ាទ្រីសទៅជាម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈមួយចំនួន នៅពេលដែលទំហំគំរូកើនឡើងដល់ភាពគ្មានកំណត់។

ដើម្បីឱ្យ បន្ថែមពីលើភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងភាពមិនលំអៀង ការប៉ាន់ប្រមាណនៃ (ធម្មតា) ការេយ៉ាងហោចណាស់ក៏មានប្រសិទ្ធភាពផងដែរ (ល្អបំផុតនៅក្នុងថ្នាក់នៃការប៉ាន់ប្រមាណមិនលំអៀងលីនេអ៊ែរ) លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃកំហុសចៃដន្យត្រូវតែបំពេញ៖

ការសន្មត់ទាំងនេះអាចត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់ម៉ាទ្រីសដែលប្រែប្រួលនៃវ៉ិចទ័រកំហុសចៃដន្យ

គំរូលីនេអ៊ែរដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា បុរាណ. ការប៉ាន់ប្រមាណ OLS សម្រាប់ការតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរបុរាណគឺមិនលំអៀង ស៊ីសង្វាក់គ្នា និងការប៉ាន់ប្រមាណដែលមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតនៅក្នុងថ្នាក់នៃការប៉ាន់ប្រមាណដែលមិនលំអៀងលីនេអ៊ែរទាំងអស់ (នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អង់គ្លេស ពេលខ្លះអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើ ខៀវ (ការប៉ាន់ប្រមាណដែលមិនមានមូលដ្ឋានលើលីនេអ៊ែរល្អបំផុត) - ការប៉ាន់ស្មានមិនលំអៀងលីនេអ៊ែរល្អបំផុត; នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍រុស្ស៊ី ទ្រឹស្តីបទ Gauss-Markov ត្រូវបានលើកឡើងជាញឹកញាប់)។ ដូចដែលវាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញ ម៉ាទ្រីសដែលបំរែបំរួលនៃវ៉ិចទ័រនៃការប៉ាន់ប្រមាណមេគុណនឹងស្មើនឹង៖

OLS ទូទៅ

វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត អនុញ្ញាតឲ្យមានការពង្រីកទូលំទូលាយ។ ជំនួសឱ្យការបង្រួមអប្បបរមានៃផលបូកនៃការ៉េនៃសំណល់ មួយអាចបង្រួមអប្បបរមាទម្រង់ជាបួនជ្រុងវិជ្ជមាននៃវ៉ិចទ័រនៃសំណល់ ដែលជាម៉ាទ្រីសទម្ងន់កំណត់ស៊ីមេទ្រីវិជ្ជមានមួយចំនួន។ ការ៉េតិចបំផុតសាមញ្ញគឺជាករណីពិសេសនៃវិធីសាស្រ្តនេះ ដែលម៉ាទ្រីសទម្ងន់គឺសមាមាត្រទៅនឹងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីទ្រឹស្តីនៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី (ឬប្រតិបត្តិករ) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបែបនេះមានការរលួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ មុខងារដែលបានបញ្ជាក់អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម ពោលគឺមុខងារនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃការ៉េនៃ "នៅសល់" ដែលបានបំប្លែងមួយចំនួន។ ដូចនេះ យើងអាចបែងចែកប្រភេទនៃវិធីសាស្រ្តការេតិចបំផុត - វិធីសាស្រ្ត LS (ការេតិចបំផុត)។

វាត្រូវបានបញ្ជាក់ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Aitken) ថាសម្រាប់គំរូតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរទូទៅ (ដែលមិនមានការដាក់កម្រិតលើម៉ាទ្រីសនៃកំហុសចៃដន្យ) ដែលមានប្រសិទ្ធភាពបំផុត (នៅក្នុងថ្នាក់នៃការប៉ាន់ប្រមាណមិនលំអៀងលីនេអ៊ែរ) គឺជាអ្វីដែលគេហៅថាការប៉ាន់ស្មាន។ ការ​ការ៉េ​តិច​បំផុត​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ជា​ទូទៅ (GLS - Generalized Least Squares)- វិធីសាស្ត្រ LS ដែលមានម៉ាទ្រីសទម្ងន់ស្មើនឹងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃកំហុសចៃដន្យ៖ .

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថារូបមន្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណ GLS នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃគំរូលីនេអ៊ែរមានទម្រង់

ម៉ាទ្រីសនៃភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ស្មានទាំងនេះនឹងស្មើនឹង

តាមពិត ខ្លឹមសារនៃ OLS ស្ថិតនៅក្នុងការបំប្លែង (លីនេអ៊ែរ) ជាក់លាក់ (P) នៃទិន្នន័យដើម និងការអនុវត្ត OLS ធម្មតាទៅនឹងទិន្នន័យដែលបានបំប្លែង។ គោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរនេះគឺថាសម្រាប់ទិន្នន័យដែលបានផ្លាស់ប្តូរ កំហុសចៃដន្យបានបំពេញតាមការសន្មតបុរាណរួចហើយ។

ទម្ងន់ OLS

នៅក្នុងករណីនៃម៉ាទ្រីសទម្ងន់អង្កត់ទ្រូង (ហើយដូច្នេះម៉ាទ្រីសដូចគ្នានៃកំហុសចៃដន្យ) យើងមានអ្វីដែលហៅថាការេទម្ងន់តិចបំផុត (WLS) ។ ក្នុងករណីនេះ ផលបូកទម្ងន់នៃការ៉េនៃសំណល់គំរូត្រូវបានបង្រួមអប្បបរមា ពោលគឺការសង្កេតនីមួយៗទទួលបាន "ទម្ងន់" ដែលសមាមាត្រច្រាសទៅនឹងភាពខុសគ្នានៃកំហុសចៃដន្យនៅក្នុងការសង្កេតនេះ៖ . ជាការពិត ទិន្នន័យត្រូវបានបំប្លែងដោយការថ្លឹងថ្លែងការសង្កេត (បែងចែកដោយបរិមាណសមាមាត្រទៅនឹងគម្លាតស្តង់ដារប៉ាន់ស្មាននៃកំហុសចៃដន្យ) ហើយ OLS ធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តចំពោះទិន្នន័យដែលមានទម្ងន់។

ករណីពិសេសមួយចំនួននៃការប្រើប្រាស់ MNC នៅក្នុងការអនុវត្ត

ការប៉ាន់ស្មាននៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ

ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលជាលទ្ធផលនៃការសិក្សាការពឹងផ្អែកនៃបរិមាណមាត្រដ្ឋានជាក់លាក់មួយនៅលើបរិមាណមាត្រដ្ឋានជាក់លាក់មួយ (នេះអាចជាឧទាហរណ៍ការពឹងផ្អែកនៃវ៉ុលលើកម្លាំងបច្ចុប្បន្ន: ដែលជាកន្លែងដែលជាតម្លៃថេរ ភាពធន់នៃ conductor) ការវាស់វែងនៃបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានអនុវត្តជាលទ្ធផលដែលតម្លៃនិងតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ ទិន្នន័យរង្វាស់ត្រូវតែកត់ត្រាក្នុងតារាង។

តុ។ លទ្ធផលវាស់វែង។

ការវាស់វែងលេខ
1
2
3
4
5
6

សំណួរគឺ៖ តើតម្លៃនៃមេគុណអាចត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីពិពណ៌នាអំពីភាពអាស្រ័យបានល្អបំផុត? យោងតាមវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត តម្លៃនេះគួរតែជាផលបូកនៃគម្លាតការេនៃតម្លៃពីតម្លៃ។

មានតិចតួចបំផុត។

ផលបូកនៃគម្លាតការ៉េមានកម្រិតខ្លាំងមួយ - អប្បបរមា ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើរូបមន្តនេះ។ ចូរយើងស្វែងរកពីរូបមន្តនេះនូវតម្លៃនៃមេគុណ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្តូរផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាដូចខាងក្រោមៈ

រូបមន្តចុងក្រោយអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃមេគុណដែលជាអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារនៅក្នុងបញ្ហា។

រឿង

រហូតដល់ដើមសតវត្សទី 19 ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមិនមានច្បាប់ជាក់លាក់សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដែលចំនួនមិនស្គាល់គឺតិចជាងចំនួនសមីការ។ រហូតមកដល់ពេលនោះ បច្ចេកទេសឯកជនត្រូវបានប្រើប្រាស់ដែលអាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការ និងលើភាពវៃឆ្លាតនៃម៉ាស៊ីនគិតលេខ ដូច្នេះហើយម៉ាស៊ីនគិតលេខផ្សេងគ្នា ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យសង្កេតដូចគ្នា បានឈានដល់ការសន្និដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។ Gauss (1795) គឺជាអ្នកដំបូងគេដែលប្រើវិធីសាស្ត្រ ហើយ Legendre (1805) បានរកឃើញដោយឯករាជ្យ និងបោះពុម្ពវាក្រោមឈ្មោះទំនើបរបស់វា (ភាសាបារាំង។ Méthode des moindres quarrés ) Laplace ទាក់ទងនឹងវិធីសាស្រ្តទៅនឹងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ហើយគណិតវិទូជនជាតិអាមេរិក Adrain (1808) បានចាត់ទុកកម្មវិធីប្រូបាប៊ីលីតេ-ទ្រឹស្តីរបស់វា។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានរីករាលដាល និងធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងដោយការស្រាវជ្រាវបន្ថែមដោយ Encke, Bessel, Hansen និងអ្នកដទៃ។

ការប្រើប្រាស់ជំនួសនៃ OLS

គំនិតនៃវិធីសាស្រ្តការេតិចបំផុតក៏អាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងករណីផ្សេងទៀតដែលមិនទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងការវិភាគតំរែតំរង់។ ការពិតគឺថាផលបូកនៃការ៉េគឺជារង្វាស់ជិតបំផុតមួយសម្រាប់វ៉ិចទ័រ (ម៉ែត្រអឺគ្លីដក្នុងចន្លោះកំណត់វិមាត្រ)។

កម្មវិធីមួយគឺជា "ដំណោះស្រាយ" នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលចំនួនសមីការគឺធំជាងចំនួនអថេរ។

ដែលម៉ាទ្រីសមិនមែនជាការ៉េ ប៉ុន្តែជាចតុកោណនៃទំហំ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះ នៅក្នុងករណីទូទៅ មិនមានដំណោះស្រាយទេ (ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់ពិតជាធំជាងចំនួនអថេរ)។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបាន "ដោះស្រាយ" តែក្នុងន័យនៃការជ្រើសរើសវ៉ិចទ័របែបនេះដើម្បីកាត់បន្ថយ "ចម្ងាយ" រវាងវ៉ិចទ័រនិង . ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចអនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួមអប្បបរមានៃផលបូកនៃការ៉េនៃភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃសមីការប្រព័ន្ធ នោះគឺ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាការដោះស្រាយបញ្ហាបង្រួមអប្បបរមានេះនាំទៅដល់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម។

បន្ទាប់​ពី​ការ​កំណត់​កម្រិត យើង​ទទួល​បាន​មុខងារ​នៃ​ទម្រង់​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ g (x) = x + 1 3 + 1 ។

យើងអាចប៉ាន់ស្មានទិន្នន័យនេះដោយប្រើទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ y = a x + b ដោយគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវគ្នា។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​នឹង​ត្រូវ​អនុវត្ត​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​វិធី​ការ៉េ​តិច​បំផុត។ អ្នកក៏នឹងត្រូវបង្កើតគំនូរ ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើបន្ទាត់ណានឹងតម្រឹមទិន្នន័យពិសោធន៍បានល្អបំផុត។

Yandex.RTB R-A-339285-1

តើអ្វីជា OLS (វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត)

រឿងសំខាន់ដែលយើងត្រូវធ្វើគឺស្វែងរកមេគុណនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរដែលតម្លៃនៃមុខងារនៃអថេរពីរ F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 នឹងជា តូចបំផុត។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត សម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់នៃ a និង b ផលបូកនៃគម្លាតការ៉េនៃទិន្នន័យដែលបានបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់លទ្ធផលនឹងមានតម្លៃអប្បបរមា។ នេះគឺជាអត្ថន័យនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ អ្វីទាំងអស់ដែលយើងត្រូវធ្វើដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍គឺស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

របៀបទាញយករូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណ

ដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណ អ្នកត្រូវបង្កើត និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដែលមានអថេរពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាដេរីវេនៃផ្នែកនៃកន្សោម F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b)) 2 ដោយគោរពតាម a និង b ហើយស្មើនឹង 0 ។

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ − 2 ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b)) x i = 0 − 2 ∑ i = 1 n ( y i − (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ អ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តណាមួយ ឧទាហរណ៍ ការជំនួស ឬវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ។ ជាលទ្ធផល យើងគួរតែមានរូបមន្តដែលអាចប្រើសម្រាប់គណនាមេគុណដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត។

n ∑ i = 1 n x i y i − ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n − ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i n

យើងបានគណនាតម្លៃនៃអថេរដែលអនុគមន៍
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 នឹងយកតម្លៃអប្បបរមា។ នៅ​កថាខណ្ឌ​ទី​បី យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ថា​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​វា​ពិត​ជា​បែប​នេះ។

នេះ​ជា​ការ​អនុវត្ត​វិធីសាស្ត្រ​ការ៉េ​តិច​បំផុត​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត។ រូបមន្តរបស់វាដែលប្រើដើម្បីស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a រួមមាន ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2 ក៏ដូចជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
n - វាបង្ហាញពីចំនួនទិន្នន័យពិសោធន៍។ យើងណែនាំអ្នកឱ្យគណនាចំនួននីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។ តម្លៃនៃមេគុណ b ត្រូវបានគណនាភ្លាមៗបន្ទាប់ពី a ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍ដើមវិញ។

ឧទាហរណ៍ ១

នៅទីនេះយើងមាន n ស្មើនឹងប្រាំ។ ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាបរិមាណដែលត្រូវការរួមបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តមេគុណ ចូរយើងបំពេញតារាង។

	i=1	i=2	i = ៣	i=4	i=5	∑ i = 1 5
x ខ្ញុំ	0	1	2	4	5	12
y ខ្ញុំ	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x ខ្ញុំ y ខ្ញុំ	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x ខ្ញុំ ២	0	1	4	16	25	46

ដំណោះស្រាយ

ជួរទីបួនរួមបញ្ចូលទិន្នន័យដែលទទួលបានដោយការគុណតម្លៃពីជួរទីពីរដោយតម្លៃនៃទីបីសម្រាប់បុគ្គលនីមួយៗ i ។ ជួរទីប្រាំមានទិន្នន័យពីទីពីរ ការ៉េ។ ជួរចុងក្រោយបង្ហាញពីផលបូកនៃតម្លៃនៃជួរនីមួយៗ។

ចូរប្រើវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត ដើម្បីគណនាមេគុណ a និង b ដែលយើងត្រូវការ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសតម្លៃដែលត្រូវការពីជួរចុងក្រោយ ហើយគណនាចំនួន៖

n ∑ i = 1 n x i y i − ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n − ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i n 5 8 3 a , - 12 12, 9 5 46 - 12 2 ខ = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 ខ≈ 2, 184

វាប្រែថាបន្ទាត់ត្រង់ប្រហាក់ប្រហែលដែលត្រូវការនឹងមើលទៅដូចជា y = 0, 165 x + 2, 184 ។ ឥឡូវយើងត្រូវកំណត់ថាតើបន្ទាត់ណានឹងប្រហាក់ប្រហែលទិន្នន័យល្អជាង - g (x) = x + 1 3 + 1 ឬ 0, 165 x + 2, 184 ។ ចូរប៉ាន់ប្រមាណដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។

ដើម្បីគណនាកំហុស យើងត្រូវរកផលបូកនៃគម្លាតការ៉េនៃទិន្នន័យពីបន្ទាត់ត្រង់ σ 1 = ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b i)) 2 និង σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 តម្លៃអប្បបរមានឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ដែលសមរម្យជាង។

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i − (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i − g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i − (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096

ចម្លើយ៖ចាប់តាំងពី σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0.165 x + 2.184 ។

វិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុតត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងរូបភាពក្រាហ្វិក។ បន្ទាត់ក្រហមសម្គាល់បន្ទាត់ត្រង់ g (x) = x + 1 3 + 1 បន្ទាត់ពណ៌ខៀវសម្គាល់ y = 0, 165 x + 2, 184 ។ ទិន្នន័យដើមត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយចំណុចពណ៌ផ្កាឈូក។

ចូរយើងពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាត្រូវការការប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រភេទនេះយ៉ាងពិតប្រាកដ។

ពួកវាអាចប្រើក្នុងកិច្ចការដែលទាមទារឱ្យដំណើរការទិន្នន័យរលូន ក៏ដូចជាក្នុងកិច្ចការដែលទិន្នន័យត្រូវតែបញ្ចូល ឬបន្ថែម។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងបញ្ហាដែលបានពិភាក្សាខាងលើ គេអាចរកឃើញតម្លៃនៃបរិមាណសង្កេត y នៅ x = 3 ឬនៅ x = 6 ។ យើងបានលះបង់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយចំពោះឧទាហរណ៍បែបនេះ។

ភស្តុតាងនៃវិធីសាស្ត្រ OLS

ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍យកតម្លៃអប្បបរមានៅពេលដែល a និង b ត្រូវបានគណនា វាចាំបាច់ថានៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នៃទម្រង់ F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b)) 2 គឺជានិយមន័យវិជ្ជមាន។ ចូរបង្ហាញអ្នកពីរបៀបដែលវាគួរតែមើលទៅ។

ឧទាហរណ៍ ២

យើងមានឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរនៃទម្រង់ខាងក្រោម៖

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 ខ

ដំណោះស្រាយ

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ − 2 ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ − 2 ∑ i = 1 n (y i − (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ − 2 ∑ i = 1 n ( y i − (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

ម៉្យាងទៀត យើងអាចសរសេរដូចនេះ៖ d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b ។

យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ការ៉េ M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n ។

ក្នុងករណីនេះ តម្លៃនៃធាតុនីមួយៗនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើ a និង b ទេ។ តើម៉ាទ្រីសវិជ្ជមាននេះកំណត់ទេ? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ សូមពិនិត្យមើលថាតើអនីតិជនជ្រុងរបស់វាមានភាពវិជ្ជមានដែរឬទេ។

យើងគណនាអនីតិជនមុំនៃលំដាប់ទីមួយ៖ 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 ។ ដោយសារចំនុច x i មិនស្របគ្នា វិសមភាពគឺតឹងរ៉ឹង។ យើងនឹងចងចាំរឿងនេះនៅក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត។

យើងគណនាលំដាប់ទីពីរ angular minor:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 − ∑ i = 1 n x i 2

បន្ទាប់ពីនេះ យើងបន្តធ្វើការបញ្ជាក់វិសមភាព n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 ដោយប្រើ induction គណិតវិទ្យា។

1. សូមពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាពនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ arbitrary n ។ ចូរយើងយក 2 ហើយគណនា៖

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 − ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 − x 1 + x 2 2 = = x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ (ប្រសិនបើតម្លៃ x 1 និង x 2 មិនស្របគ្នា) ។

1. ចូរយើងធ្វើការសន្មត់ថាវិសមភាពនេះនឹងក្លាយជាការពិតសម្រាប់ n, i.e. n ∑ i = 1 n (x i) 2 − ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – ពិត។
2. ឥឡូវនេះយើងនឹងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពសម្រាប់ n + 1, i.e. ថា (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 − ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 ប្រសិនបើ n ∑ i = 1 n (x i) 2 − ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

យើងគណនា៖

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 − ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 − ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 − − ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 − ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 − x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 − ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 − 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 − 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + ។ . . + x n + 1 2 − 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 − ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 − x 1) 2 + (x n + 1) − x 2) 2 + . . . + (x n − 1 − x n) 2 > 0

កន្សោម​ដែល​ដាក់​ក្នុង​ដង្កៀប​កោង​នឹង​ធំ​ជាង 0 (ផ្អែកលើ​អ្វី​ដែល​យើង​បាន​សន្មត​ក្នុង​ជំហាន​ទី 2) ហើយ​ពាក្យ​ដែល​នៅ​សល់​នឹង​ធំ​ជាង 0 ព្រោះ​វា​ជា​ចំនួន​ការ៉េ​ទាំងអស់។ យើង​បាន​បង្ហាញ​ពី​វិសមភាព។

ចម្លើយ៖ដែលបានរកឃើញ a និង b នឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ដែលមានន័យថាពួកវាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវការនៃវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ (LSM) ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ប្រសិនបើបរិមាណរូបវន្តជាក់លាក់មួយអាស្រ័យលើបរិមាណផ្សេងទៀតនោះ ការពឹងផ្អែកនេះអាចសិក្សាបានដោយវាស់ y នៅតម្លៃផ្សេងគ្នានៃ x ។ ជាលទ្ធផលនៃការវាស់វែងតម្លៃមួយចំនួនត្រូវបានទទួល:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ... , y i , ... , y n .

ផ្អែកលើទិន្នន័យនៃការពិសោធន៍បែបនេះ គេអាចបង្កើតក្រាហ្វនៃការពឹងផ្អែក y = ƒ(x) ។ ខ្សែកោងលទ្ធផលធ្វើឱ្យវាអាចវិនិច្ឆ័យទម្រង់នៃអនុគមន៍ ƒ(x) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មេគុណថេរដែលចូលទៅក្នុងមុខងារនេះនៅតែមិនស្គាល់។ ពួកវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ ចំណុចពិសោធ ជាក្បួនមិនកុហកពិតប្រាកដនៅលើខ្សែកោងទេ។ វិធីសាស្ត្រ​ការេ​តិច​បំផុត​តម្រូវ​ឱ្យ​ផលបូក​នៃ​ការេ​នៃ​គម្លាត​នៃ​ចំណុច​ពិសោធន៍​ពី​ខ្សែ​កោង i.e.

2 គឺតូចបំផុត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត (និងសាមញ្ញបំផុត) ក្នុងករណីទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ ពោលគឺឧ។ ពេលណា y = kx ឬ

y = a + bx ។

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរគឺរីករាលដាលយ៉ាងខ្លាំងនៅក្នុងរូបវិទ្យា។ ហើយសូម្បីតែនៅពេលដែលទំនាក់ទំនងមិនមានលីនេអ៊ែរក៏ដោយ ជាធម្មតាពួកគេព្យាយាមបង្កើតក្រាហ្វមួយដើម្បីទទួលបានបន្ទាត់ត្រង់។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើវាត្រូវបានសន្មត់ថាសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរនៃកញ្ចក់ n ទាក់ទងទៅនឹងរលកពន្លឺ λ ដោយទំនាក់ទំនង n = a + b/λ 2 នោះការពឹងផ្អែកនៃ n លើ λ -2 ត្រូវបានគូសនៅលើក្រាហ្វ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត (និងសាមញ្ញបំផុត) ក្នុងករណីទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរ ពោលគឺឧ។ ពេលណាពិចារណាលើភាពអាស្រ័យ

(បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម) ។ ចូរយើងចងក្រងតម្លៃ φ ផលបូកនៃការ៉េនៃគម្លាតនៃចំនុចរបស់យើងពីបន្ទាត់ត្រង់

តម្លៃនៃ φ តែងតែជាវិជ្ជមាន ហើយប្រែទៅជាតូចជាង ចំនុចរបស់យើងនៅជិតបន្ទាត់ត្រង់។ វិធីសាស្ត្រ​ការេ​តិច​បំផុត​ចែង​ថា​តម្លៃ​សម្រាប់ k គួរ​ត្រូវ​បាន​ជ្រើសរើស​ដែល φ មាន​អប្បបរមា
(19)

ឬ

, (20)
ការគណនាបង្ហាញថាកំហុស root-mean-square ក្នុងការកំណត់តម្លៃនៃ k គឺស្មើនឹង

ដែល n ជាចំនួនរង្វាស់។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាករណីដែលពិបាកជាងនេះបន្តិច នៅពេលដែលចំណុចត្រូវតែបំពេញតាមរូបមន្ត y = a + bx

(បន្ទាត់ត្រង់មិនឆ្លងកាត់ប្រភពដើម) ។

ភារកិច្ចគឺដើម្បីស្វែងរកតម្លៃល្អបំផុតនៃ a និង b ពីសំណុំនៃតម្លៃដែលមាន x i, y i ។

ហើយស្វែងរកតម្លៃនៃ a និង b ដែល φ មានអប្បបរមា

;

.

.

ដំណោះស្រាយរួមនៃសមីការទាំងនេះផ្តល់ឱ្យ

(21)

ឫសមធ្យម កំហុសនៃការកំណត់ a និង b គឺស្មើគ្នា

(23)

.  (24)

នៅពេលដំណើរការលទ្ធផលរង្វាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការសង្ខេបទិន្នន័យទាំងអស់ក្នុងតារាងដែលបរិមាណទាំងអស់រួមបញ្ចូលក្នុងរូបមន្ត (19)(24) ត្រូវបានគណនាជាមុន។ ទម្រង់នៃតារាងទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ១.សមីការជាមូលដ្ឋាននៃឌីណាមិកនៃចលនាបង្វិលε = M/J (បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ) ត្រូវបានសិក្សា។ នៅតម្លៃផ្សេងគ្នានៃពេល M ការបង្កើនល្បឿនមុំεនៃរាងកាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានវាស់។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ពេលនៃនិចលភាពនៃរាងកាយនេះ។ លទ្ធផលនៃការវាស់វែងនៃពេលនៃកម្លាំង និងការបង្កើនល្បឿនមុំត្រូវបានរាយក្នុងជួរទីពីរ និងទីបី តារាង 5.

តារាងទី 5

ន	M, N m	ε, s -1	ម ២	ម ε	ε - kM	(ε - kM) ២
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

ដោយប្រើរូបមន្ត (១៩) យើងកំណត់៖

.

ដើម្បី​កំណត់​កំហុស​ការេ​មធ្យម​ឫស យើង​ប្រើ​រូបមន្ត (២០)

0.005775គីឡូក្រាម-1 · ម -2 .

យោងតាមរូបមន្ត (១៨) យើងមាន

; .

S J = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 គីឡូក្រាម m2.

ដោយបានកំណត់ភាពជឿជាក់ P = 0.95 ដោយប្រើតារាងនៃមេគុណសិស្សសម្រាប់ n = 5 យើងរកឃើញ t = 2.78 ហើយកំណត់កំហុសដាច់ខាត ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 គីឡូក្រាម m2.

តោះសរសេរលទ្ធផលក្នុងទម្រង់៖

J = (3.0 ± 0.2) គីឡូក្រាម m2;

ឧទាហរណ៍ ២.ចូរយើងគណនាមេគុណសីតុណ្ហភាពនៃធន់នឹងលោហៈដោយប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ ភាពធន់គឺអាស្រ័យទៅលើសីតុណ្ហភាព

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t° ។

ពាក្យឥតគិតថ្លៃកំណត់ភាពធន់ទ្រាំ R 0 នៅសីតុណ្ហភាព 0 ° C ហើយមេគុណជម្រាលគឺជាផលិតផលនៃមេគុណសីតុណ្ហភាព α និងភាពធន់ទ្រាំ R 0 ។

លទ្ធផលនៃការវាស់វែង និងការគណនាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង ( សូមមើលតារាង 6).

តារាង 6

ន	t °, ស	r, អូម	t-¯t	(t-¯t) ២	(t-¯t) r	r - bt - ក	(r - bt - a) ២ .១០ -៦
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑/ន	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

ដោយប្រើរូបមន្ត (21), (22) យើងកំណត់

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 អូម.

ចូរយើងស្វែងរកកំហុសនៅក្នុងនិយមន័យនៃ α ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកយោងទៅតាមរូបមន្ត (១៨) យើងមាន៖

.

ដោយប្រើរូបមន្ត (23), (24) យើងមាន

;

0.014126 អូម.

ដោយបានកំណត់ភាពជឿជាក់ទៅ P = 0.95 ដោយប្រើតារាងនៃមេគុណសិស្សសម្រាប់ n = 6 យើងរកឃើញ t = 2.57 ហើយកំណត់កំហុសដាច់ខាតΔα = 2.57 0.000132 = 0.000338 deg -1.

α = (23 ± 4) 10 −4 ព្រឹល-1 នៅ P = 0.95 ។

ឧទាហរណ៍ ៣.វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់កាំនៃកោងនៃកញ្ចក់ដោយប្រើចិញ្ចៀនរបស់ញូតុន។ កាំនៃចិញ្ចៀនរបស់ញូតុន r m ត្រូវបានវាស់ ហើយចំនួននៃចិញ្ចៀនទាំងនេះ m ត្រូវបានកំណត់។ កាំនៃចិញ្ចៀនរបស់ញូតុនគឺទាក់ទងទៅនឹងកាំនៃកោងនៃកញ្ចក់ R និងលេខចិញ្ចៀនដោយសមីការ

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

ដែល d 0 កម្រាស់នៃគម្លាតរវាងកញ្ចក់ និងបន្ទះប៉ារ៉ាឡែលយន្តហោះ (ឬការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃកញ្ចក់)

λ រលកពន្លឺនៃឧប្បត្តិហេតុ។

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = ខ;
-2d 0 R = a,

បន្ទាប់មកសមីការនឹងយកទម្រង់ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាករណីដែលពិបាកជាងនេះបន្តិច នៅពេលដែលចំណុចត្រូវតែបំពេញតាមរូបមន្ត.

.

លទ្ធផលនៃការវាស់វែងនិងការគណនាត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុង តារាង 7.

តារាង 7

ន	x = m	y = r 2, 10 −2 ម 2	m -¯ m	(m -¯m) ២	(m -¯ m)y	y - bx - a, 10 -4	(y - bx - a) 2 , 10 -6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑/ន	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–