វិធីសាស្រ្ត Gaussian (ការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់) ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយសម្រាប់អត់ចេះសោះ

ចូរយើងតំណាងឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ (1.1) ក្នុងទម្រង់

មានគ្រោងការណ៍វិធីសាស្រ្តលុបបំបាត់មួយចំនួនធំដែលត្រូវបានកែសម្រួលសម្រាប់ការគណនាដោយដៃ ឬម៉ាស៊ីននៃម៉ាទ្រីសនៃប្រភេទទូទៅ ឬពិសេស។

វិធីសាស្ត្រ Gaussian អាច​ត្រូវ​បាន​បកស្រាយ​ថា​ជា​វិធីសាស្ត្រ​មួយ​ដែល​ម៉ាទ្រីស​ត្រូវ​បាន​កាត់​ដំបូង​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ត្រីកោណ​ខាងលើ (ការ​ផ្លាស់ទី​ទៅ​មុខ) ហើយ​បន្ទាប់​មក​ជា​ទម្រង់​ឯកតា (ការ​ផ្លាស់ទី​បញ្ច្រាស)។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើម៉ាទ្រីសគឺជាអត្តសញ្ញាណបន្ទាប់មក x t = b r

ដូច្នេះសូមឱ្យម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ (1.3) មានរាងត្រីកោណខាងលើ មួយ tj= 0 នៅ i>j,នោះគឺធាតុទាំងអស់នៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺសូន្យ។ បន្ទាប់មកពីសមីការចុងក្រោយយើងកំណត់ភ្លាមៗ x ទំ។ការជំនួស x ននៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ យើងរកឃើញ x a_ x ។ល។ រូបមន្តទូទៅមានទម្រង់

នៅ k > ខ្ញុំហាងឆេង មួយ s = 0.

ចូរយើងកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ (1.3) ទៅរាងត្រីកោណខាងលើ។ ចូរយើងដកពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (1.3) ទីមួយ គុណនឹងចំនួនដែលមេគុណនៅ x xនឹងទៅសូន្យ។ ចូរធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ជាលទ្ធផល មេគុណទាំងអស់នៃជួរឈរទីមួយដែលស្ថិតនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេនឹងទៅសូន្យ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទីពីរ យើងបង្វែរមេគុណដែលត្រូវគ្នានៃជួរឈរទីពីរទៅជាសូន្យ។ ដោយបន្តដំណើរការនេះ យើងកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណខាងលើ។

ចូរយើងសរសេររូបមន្តទូទៅនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ អនុញ្ញាតឱ្យមេគុណត្រូវបានដកចេញពីជួរ (A - 1)th ។ បន្ទាប់មកនឹងមានសមីការដែលមានធាតុមិនសូន្យនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេ៖

ចូរគុណ kthបន្ទាត់ទៅលេខ ជាមួយ tk = t > kនិងដក

ពីបន្ទាត់ mth ។ ធាតុដែលមិនមែនជាសូន្យដំបូងនៃបន្ទាត់នេះនឹងក្លាយជាសូន្យ ហើយធាតុដែលនៅសល់នឹងផ្លាស់ប្តូរទៅតាមរូបមន្ត

ដោយបានអនុវត្តការគណនាដោយប្រើរូបមន្តទាំងនេះសម្រាប់សន្ទស្សន៍ដែលបានចង្អុលបង្ហាញទាំងអស់ យើងបង្វែរធាតុទៅជាសូន្យ k-roជួរឈរខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេ។ នីតិវិធីស្រដៀងគ្នានេះនាំម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណខាងលើ ហើយដំណើរការកាត់បន្ថយទាំងមូលត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រហ្គាស។ ការគណនាមិនស្គាល់ដោយប្រើរូបមន្ត (1.4) ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ REVERSE ។

ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានធ្វើឡើងខុសគ្នាប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងលើអង្កត់ទ្រូងមេត្រូវបានប្រែទៅជាសូន្យ។ ឧទាហរណ៍ធាតុ ននៃជួរឈរទី ក្លាយជាសូន្យប្រសិនបើ ej^| គុណនឹង (-a^V ax t = b | 2l) ដែល b^n)- មេគុណនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ i-th បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

នៅជំហានទៅមុខមួយចំនួន វាអាចបង្ហាញថាមេគុណ aj*" * 0 ប៉ុន្តែមានទំហំតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងធាតុផ្សេងទៀតនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ ហើយជាពិសេសគឺតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងធាតុនៃជួរទីមួយ។ ការបែងចែកមេគុណប្រព័ន្ធដោយ តម្លៃតូចមួយអាចនាំឱ្យមានកំហុសក្នុងការបង្គត់យ៉ាងសំខាន់។

ដើម្បីកាត់បន្ថយកំហុសក្នុងការបង្គត់ សូមបន្តដូចខាងក្រោម។ ក្នុងចំណោមធាតុនៃជួរទីមួយ ក^ នៃម៉ាទ្រីសកម្រិតមធ្យមនីមួយៗ ជ្រើសរើសធាតុម៉ូឌុលធំបំផុត (មេ) ហើយដោយការរៀបចំជួរ i-th ឡើងវិញជាមួយនឹងជួរដេកដែលមានធាតុសំខាន់ ត្រូវប្រាកដថាធាតុសំខាន់ក្លាយជាធាតុនាំមុខ។ ការកែប្រែនៃវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់ Gaussian នេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Gaussian ជាមួយនឹងការជ្រើសរើសធាតុសំខាន់។ ករណីនៃរូបរាងនៃធាតុសូន្យត្រូវបានជៀសវាងដោយខ្លួនឯង។

ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តវាត្រូវចំណាយពេលប្រហែល នប្រតិបត្តិការ 3/3 ដូចជា គុណ និង នប្រតិបត្តិការ 3/3 ដូចជាការបន្ថែម។ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំថាការប៉ាន់ប្រមាណនៃចំនួនប្រតិបត្តិការត្រូវបានកំណត់ជាចម្បងដោយប្រតិបត្តិការដែលបានចំណាយក្នុងការអនុវត្តការបញ្ជូនបន្តនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ទាមទារប្រមាណ n ២ប្រតិបត្តិការ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាច្រើននៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ ពូថៅ = ខជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដូចគ្នា និងផ្នែកខាងស្តាំផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកចំនួនប្រតិបត្តិការសរុបនៅពេលដោះស្រាយ សប្រព័ន្ធនឹងត្រូវបានវាយតម្លៃ ទំហំ(2/3) ទំ ៣ + Sn ២ ។ក្នុងករណីនេះ គួរតែអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ក្នុងទម្រង់នៃទម្រង់រងពីរ៖ ទម្រង់ការរងដំបូងគួរតែអនុវត្តការវិវត្តទៅមុខនៃក្បួនដោះស្រាយ និងទទួលបានម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើជាលទ្ធផល ហើយទម្រង់រងទីពីរគួរតែ ដោយប្រើម៉ាទ្រីសលទ្ធផល។ គណនាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសម្រាប់ផ្នែកខាងស្តាំដែលបំពាន។

(SLAE) ដែលមានសមីការដែលមិនស្គាល់៖

វាត្រូវបានសន្មត់ថាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធនោះគឺ។

អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាអំពីហេតុផលសម្រាប់កំហុសដែលកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss វិធីដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណ និងលុបបំបាត់ (កាត់បន្ថយ) កំហុសនេះ។

ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្ត

ដំណើរការនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

យោងតាមវិធីសាស្ត្រ Gauss មាន 2 ដំណាក់កាល:

1. យើងសន្មត់ថា . បន្ទាប់មកយើងបែងចែកសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយមេគុណ ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការ។

• Reverse stroke ការកំណត់ដោយផ្ទាល់នៃមិនស្គាល់

1. ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធយើងកំណត់ 2. ពីសមីការដែលយើងកំណត់។ល។

ការវិភាគវិធីសាស្រ្ត

វិធីសាស្រ្តនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់នៃវិធីសាស្រ្តផ្ទាល់សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ដែលមានន័យថាក្នុងចំនួនកំណត់នៃជំហានអ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ បានផ្តល់ថាទិន្នន័យបញ្ចូល (ម៉ាទ្រីស និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ - ) ត្រូវបានបញ្ជាក់។ យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយការគណនាត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានការបង្គត់។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ គុណ និងការបែងចែកត្រូវបានទាមទារ នោះគឺជាលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការ។

លក្ខខណ្ឌដែលវិធីសាស្ត្របង្កើតដំណោះស្រាយពិតប្រាកដគឺមិនអាចធ្វើទៅបានក្នុងការអនុវត្តទេ ទាំងកំហុសទិន្នន័យបញ្ចូល និងកំហុសបង្គត់គឺជៀសមិនរួច។ បន្ទាប់មកសំណួរកើតឡើង៖ តើដំណោះស្រាយអាចទទួលបានភាពត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss តើវិធីសាស្ត្រត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណា? អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ស្ថេរភាពនៃដំណោះស្រាយដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្របញ្ចូល។ រួមជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដើម សូមពិចារណាប្រព័ន្ធដែលរំខាន៖

សូមឱ្យបទដ្ឋានមួយចំនួនត្រូវបានណែនាំ។ - ត្រូវបានគេហៅថាលេខលក្ខខណ្ឌនៃម៉ាទ្រីស។

មាន ៣ ករណីដែលអាចកើតមាន៖

ចំនួនលក្ខខណ្ឌនៃម៉ាទ្រីសគឺតែងតែ។ ប្រសិនបើវាមានទំហំធំ () នោះម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេនិយាយថាមិនមានលក្ខខណ្ឌ។ ក្នុងករណីនេះ ការរំខានតិចតួចនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ ដែលបណ្តាលមកពីភាពមិនត្រឹមត្រូវក្នុងការបញ្ជាក់ទិន្នន័យដំបូង ឬបណ្តាលមកពីកំហុសក្នុងការគណនា ប៉ះពាល់យ៉ាងខ្លាំងដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ និយាយ​ឲ្យ​ចំ​បើ​មាន​កំហុស​ខាង​ស្តាំ​ដៃ នោះ​កំហុស​នៃ​ដំណោះ​ស្រាយ​នឹង​មាន។

ចូរយើងបង្ហាញពីលទ្ធផលដែលទទួលបានជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាលេខខាងក្រោម៖ ផ្តល់ប្រព័ន្ធមួយ។

នាងមានដំណោះស្រាយ។

ឥឡូវពិចារណាប្រព័ន្ធរំខាន៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធបែបនេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ។

ជាមួយនឹងការរំខានតិចតួចនៃផ្នែកខាងស្តាំ យើងបានទទួលការរំខានដ៏ធំមិនសមាមាត្រនៃដំណោះស្រាយ។ "ភាពមិនគួរឱ្យទុកចិត្ត" នៃដំណោះស្រាយនេះអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាម៉ាទ្រីសគឺស្ទើរតែឯកវចនៈ: បន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទាំងពីរស្ទើរតែស្របគ្នាដូចដែលអាចមើលឃើញនៅក្នុងក្រាហ្វ:

លទ្ធផលនេះអាចត្រូវបានព្យាករណ៍ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌមិនល្អនៃម៉ាទ្រីស៖

ការគណនាគឺស្មុគ្រស្មាញណាស់ ប្រៀបធៀបទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទាំងមូល ដូច្នេះហើយ វិធីសាស្ត្រដែលងាយនឹងអនុវត្ត ប៉ុន្តែត្រូវប្រើដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុស។

វិធីសាស្រ្តវាយតម្លៃកំហុស

1) មូលប្បទានប័ត្រ៖ ជាធម្មតាត្រូវបានប្រើដើម្បីការពារកំហុសចៃដន្យនៅក្នុងដំណើរការគណនាដោយគ្មានជំនួយពីកុំព្យូទ័រ។

យើងបង្កើតជួរឈរវត្ថុបញ្ជាដែលមានធាតុត្រួតពិនិត្យនៃប្រព័ន្ធ៖

នៅពេលបំប្លែងសមីការ ប្រតិបត្តិការដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្តលើធាតុវត្ថុបញ្ជា ដូចជានៅលើលក្ខខណ្ឌសេរីនៃសមីការ។ ជាលទ្ធផល ធាតុគ្រប់គ្រងនៃសមីការថ្មីនីមួយៗត្រូវតែស្មើនឹងផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការនេះ។ ភាពខុសគ្នាដ៏ធំរវាងពួកវាបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា ឬអស្ថិរភាពនៃក្បួនដោះស្រាយការគណនាទាក់ទងនឹងកំហុសក្នុងការគណនា។

2) កំហុសទាក់ទងនៃដំណោះស្រាយដែលគេស្គាល់ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានការវិនិច្ឆ័យអំពីកំហុសនៃការសម្រេចចិត្តដោយមិនមានការចំណាយបន្ថែមសំខាន់ៗ។

វ៉ិចទ័រជាក់លាក់មួយត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងសមាសធាតុដែលមាន បើអាចធ្វើបាន លំដាប់ដូចគ្នា និងសញ្ញាជាធាតុផ្សំនៃដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនា ហើយប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។

អនុញ្ញាតឱ្យ និងក្លាយជាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធទាំងនេះ។ ការវិនិច្ឆ័យអំពីកំហុសនៃដំណោះស្រាយដែលចង់បានអាចទទួលបានដោយផ្អែកលើសម្មតិកម្ម៖ កំហុសដែលទាក់ទងនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលមានម៉ាទ្រីសដូចគ្នា និងផ្នែកខាងស្តាំផ្សេងគ្នា ដែលជាបរិមាណ និងដោយវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់មិនខុសគ្នាដោយ ចំនួនដងច្រើនណាស់។

3) ការផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាន - បច្ចេកទេសប្រើដើម្បីទទួលបានគំនិតនៃទំហំពិតប្រាកដនៃកំហុសដែលកើតឡើងដោយសារតែការបង្គត់ក្នុងការគណនា។

រួមជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដើម ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីដូចគ្នា។

ដែលជាកន្លែងដែលនិងជាលេខ

ប្រសិនបើមិនមានកំហុសបង្គត់ទេ នោះសមភាពនឹងមានសម្រាប់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដើម និងមាត្រដ្ឋាន៖ . ដូច្នេះហើយ សម្រាប់ និង ដែលមិនមែនជាអំណាចពីរ ការប្រៀបធៀបវ៉ិចទ័រផ្តល់នូវគំនិតអំពីទំហំនៃកំហុសគណនា

ការកែលម្អវិធីសាស្រ្តលុបបំបាត់ Gaussian

ការកែប្រែនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលបានពិភាក្សាខាងក្រោមអាចកាត់បន្ថយកំហុសនៃលទ្ធផល។

ការជ្រើសរើសធាតុសំខាន់

ការកើនឡើងចម្បងនៃកំហុសនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តកើតឡើងកំឡុងពេលឆ្ពោះទៅមុខ នៅពេលដែលជួរនាំមុខ -th ត្រូវបានគុណដោយមេគុណ ប្រសិនបើមេគុណគឺ 1%20" alt=">1"> នោះកំហុសដែលទទួលបានក្នុងជំហានមុន។ កកកុញ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការទទួលបានដោយការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់:

, .

ចូរយើងស្វែងរកអ្វីមួយដែលយើងផ្លាស់ប្តូរកម្រិត -e និង -e ។

ក្នុងករណីជាច្រើន ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះកាត់បន្ថយភាពប្រែប្រួលនៃដំណោះស្រាយចំពោះកំហុសក្នុងការបង្គត់ក្នុងការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ការកែលម្អឡើងវិញនៃលទ្ធផល

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យថាដំណោះស្រាយលទ្ធផលត្រូវបានបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយយ៉ាងខ្លាំងនោះអ្នកអាចកែលម្អលទ្ធផលដូចខាងក្រោម។ បរិមាណត្រូវបានគេហៅថាសំណល់។ កំហុសបំពេញប្រព័ន្ធសមីការ

.

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបានប្រហាក់ប្រហែល និងសន្មត់

.

ប្រសិនបើភាពត្រឹមត្រូវនៃការប៉ាន់ស្មាននេះគឺមិនពេញចិត្ត នោះយើងធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀត។

ដំណើរការអាចត្រូវបានបន្តរហូតដល់សមាសធាតុទាំងអស់តូចល្មម។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកមិនអាចបញ្ឈប់ការគណនាបានទេ ដោយសារសមាសធាតុទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រសំណល់បានក្លាយទៅជាតូចគ្រប់គ្រាន់៖ នេះអាចជាលទ្ធផលនៃដំណើរការមិនល្អនៃម៉ាទ្រីសមេគុណ។

ឧទាហរណ៍លេខ

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស Vandermonde 7x7 និង 2 ផ្នែកខាងស្តាំផ្សេងគ្នា៖

ប្រព័ន្ធទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ប្រភេទទិន្នន័យ - អណ្តែត។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖

វិធីសាស្រ្តទៀងទាត់
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	២.៣៣e-០០៨
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	១.១២e-០០៦
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	៣.២៧e-០០៦
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	៨.៨៣៦២e-០០៦
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	២.២០៩e-០០៦
0,040152	៤.៣៤៤e-០០៥	0,083938	2.8654e-006

ជាមួយនឹងការជ្រើសរើសធាតុនាំមុខដោយបន្ទាត់
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	៧.១៦e-០០៦
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

យើងបន្តពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ មេរៀននេះគឺជាមេរៀនទីបីលើប្រធានបទ។ ប្រសិនបើអ្នកមានគំនិតមិនច្បាស់លាស់អំពីអ្វីដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាទូទៅ ប្រសិនបើអ្នកមានអារម្មណ៍ថាដូចជា ចានដែកមួយ នោះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៅលើទំព័របន្ទាប់ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សាមេរៀន។

វិធីសាស្ត្រ Gaussian ងាយស្រួល!ហេតុអ្វី? គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញ Johann Carl Friedrich Gauss ក្នុងអំឡុងពេលពេញមួយជីវិតរបស់គាត់ បានទទួលការទទួលស្គាល់ថាជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលវេលា ទេពកោសល្យ និងសូម្បីតែឈ្មោះហៅក្រៅថា "ស្តេចគណិតវិទ្យា" ។ ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលប៉ិនប្រសប់ដូចដែលអ្នកដឹងគឺសាមញ្ញ!និយាយអញ្ចឹង មិនត្រឹមតែអ្នកបៀមលុយប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានទេពកោសល្យទៀតផង - រូបរបស់ Gauss ស្ថិតនៅលើក្រដាសប្រាក់ 10 Deutschmark (មុនពេលដាក់ប្រាក់អឺរ៉ូ) ហើយ Gauss នៅតែញញឹមយ៉ាងអាថ៌កំបាំងចំពោះជនជាតិអាឡឺម៉ង់ពីតែមប្រៃសណីយ៍ធម្មតា។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺសាមញ្ញដែលចំណេះដឹងរបស់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា។ អ្នកត្រូវតែចេះបន្ថែម និងគុណ!វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលគ្រូបង្រៀនតែងតែពិចារណាអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការបដិសេធជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់នៅក្នុងការជ្រើសរើសគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ វា​ជា​រឿង​ចម្លែក ប៉ុន្តែ​សិស្ស​យល់​ថា​វិធីសាស្ត្រ Gaussian ពិបាក​បំផុត​។ គ្មានអ្វីគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេ - វាទាំងអស់អំពីវិធីសាស្រ្តហើយខ្ញុំនឹងព្យាយាមនិយាយអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តក្នុងទម្រង់ដែលអាចចូលដំណើរការបាន។

ជាដំបូង ចូរយើងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹងបន្តិចបន្តួចអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរអាច៖

1) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ 2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។ ៣) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនមែនសន្លាក់).

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត និងជាសកលសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយ ណាមួយ។ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ដូចដែលយើងចងចាំ, ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសមិនស័ក្តិសមក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ និងវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយ! នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិចារណាម្តងទៀតអំពីវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ករណីលេខ 1 (ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ) អត្ថបទមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ស្ថានភាពនៃចំណុចលេខ 2-3 ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តខ្លួនវាដំណើរការដូចគ្នានៅក្នុងករណីទាំងបី។

ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធសាមញ្ញបំផុតពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ?ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។

ជំហានដំបូងគឺត្រូវសរសេរ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធពង្រីក:. ខ្ញុំគិតថាអ្នកគ្រប់គ្នាអាចមើលឃើញដោយគោលការណ៍អ្វីដែលមេគុណត្រូវបានសរសេរ។ បន្ទាត់បញ្ឈរនៅខាងក្នុងម៉ាទ្រីសមិនមានអត្ថន័យគណិតវិទ្យាទេ - វាគ្រាន់តែជាការឆ្លងកាត់សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការរចនា។

ឯកសារយោង : ខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យចងចាំ លក្ខខណ្ឌ ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​មាន​តែ​មេគុណ​សម្រាប់​ការ​មិន​ស្គាល់ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ ម៉ាទ្រីស​របស់​ប្រព័ន្ធ៖ . ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធបន្ថែម - នេះគឺជាម៉ាទ្រីសដូចគ្នានៃប្រព័ន្ធ បូកនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ ក្នុងករណីនេះ៖ . សម្រាប់ភាពសង្ខេប ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញ ម៉ាទ្រីស។

បន្ទាប់ពីម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធបន្ថែមត្រូវបានសរសេរ វាចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយវា ដែលត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរបឋម.

ការបំប្លែងបឋមខាងក្រោមមាន៖

1) ខ្សែអក្សរម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញនៅកន្លែងខ្លះ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងម៉ាទ្រីសដែលកំពុងពិចារណា អ្នកអាចរៀបចំជួរទីមួយ និងទីពីរឡើងវិញដោយគ្មានការឈឺចាប់៖

2) ប្រសិនបើមាន (ឬបានបង្ហាញខ្លួន) សមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរដេកនៅក្នុងម៉ាទ្រីស នោះអ្នកគួរតែ លុបពី ម៉ាទ្រីស ជួរ ទាំង នេះ លើក លែង តែ មួយ ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស . នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ ជួរទាំងបីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទុកតែមួយក្នុងចំណោមពួកគេ៖ .

3) ប្រសិនបើជួរសូន្យមួយលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាក៏គួរតែជា លុប. ខ្ញុំនឹងមិនគូរទេ បន្ទាត់សូន្យគឺជាបន្ទាត់ដែលនៅក្នុងនោះ។ សូន្យទាំងអស់។.

4) ជួរម៉ាទ្រីសអាចជា គុណ (ចែក)ទៅលេខណាមួយ។ មិនមែនសូន្យ. ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស។ នៅទីនេះ គួរតែចែកជួរទីមួយដោយ –3 ហើយគុណជួរទីពីរដោយ 2៖ . សកម្មភាពនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ព្រោះវាជួយសម្រួលដល់ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសបន្ថែមទៀត។

5) ការផ្លាស់ប្តូរនេះបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកបំផុត ប៉ុន្តែការពិតមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនោះទេ។ ទៅជួរនៃម៉ាទ្រីសអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។ សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីសរបស់យើងពីឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖ . ដំបូង ខ្ញុំ​នឹង​រៀបរាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​យ៉ាង​លម្អិត។ គុណជួរទីមួយដោយ −2៖ , និង ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2: . ឥឡូវនេះជួរទីមួយអាចបែងចែក "ថយក្រោយ" ដោយ -2: ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបន្ទាត់ដែលត្រូវបានបន្ថែម លី – មិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ។. ជានិច្ចបន្ទាត់ដែលត្រូវបន្ថែមការផ្លាស់ប្តូរ យូធី.

ជា​ការ​ពិត ពួកគេ​មិន​សរសេរ​វា​លម្អិត​ទេ ប៉ុន្តែ​សរសេរ​ដោយ​សង្ខេប៖ ជាថ្មីម្តងទៀត: ទៅជួរទីពីរ បានបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2. ជាធម្មតាបន្ទាត់មួយត្រូវបានគុណដោយផ្ទាល់មាត់ ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង ដោយដំណើរការគណនាផ្លូវចិត្តដំណើរការដូចនេះ៖

“ខ្ញុំ​សរសេរ​ម៉ាទ្រីស​ឡើង​វិញ ហើយ​សរសេរ​ជួរ​ទីមួយ​ឡើង​វិញ៖ »

"ជួរទីមួយ។ នៅខាងក្រោមខ្ញុំត្រូវទទួលបានសូន្យ។ ដូច្នេះ​ហើយ ខ្ញុំ​គុណ​លេខ​មួយ​នៅ​ខាង​លើ​ដោយ −2: ហើយ​បន្ថែម​លេខ​មួយ​ទៅ​ជួរ​ទីពីរ៖ 2 + (–2) = 0។ ខ្ញុំ​សរសេរ​លទ្ធផល​ក្នុង​ជួរ​ទីពីរ៖ »

“ឥឡូវនេះ ជួរទីពីរ។ នៅផ្នែកខាងលើខ្ញុំគុណ -1 ដោយ -2: ។ ខ្ញុំបន្ថែមទីមួយទៅជួរទីពីរ៖ 1 + 2 = 3 ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលក្នុងជួរទីពីរ៖ »

“ និងជួរទីបី។ នៅផ្នែកខាងលើខ្ញុំគុណ -5 ដោយ -2: ។ ខ្ញុំបន្ថែមលេខទីមួយទៅជួរទីពីរ៖ –7 + 10 = 3។ ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលក្នុងជួរទីពីរ៖ »

សូមយល់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវឧទាហរណ៍នេះ ហើយយល់អំពីក្បួនដោះស្រាយការគណនាតាមលំដាប់លំដោយ ប្រសិនបើអ្នកយល់អំពីវា នោះវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺស្ថិតនៅក្នុងហោប៉ៅរបស់អ្នក។ ប៉ុន្តែជាការពិត យើងនឹងនៅតែធ្វើការលើការផ្លាស់ប្តូរនេះ។

ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។

! ការយកចិត្តទុកដាក់៖ ចាត់ទុកថាជាឧបាយកល មិនអាចប្រើបានទេ។ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដែលម៉ាទ្រីសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ "ដោយខ្លួនឯង" ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយ "បុរាណ" ប្រតិបត្តិការជាមួយម៉ាទ្រីសមិនស្ថិតក្រោមកាលៈទេសៈណាដែលអ្នកគួររៀបចំឡើងវិញនូវអ្វីនៅក្នុងម៉ាទ្រីស! ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធរបស់យើង។ វាត្រូវបានអនុវត្តជាបំណែក ៗ ។

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម កាត់បន្ថយវាទៅ ទិដ្ឋភាពជំហាន:

(1) បន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទីពីរគុណនឹង -2 ។ ហើយម្តងទៀត៖ ហេតុអ្វីបានជាយើងគុណជួរទីមួយដោយ −2? ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅខាងក្រោម ដែលមានន័យថាកម្ចាត់អថេរមួយនៅក្នុងជួរទីពីរ។

(2) ចែកជួរទីពីរដោយ 3 ។

គោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម – កាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ជាជំហានៗ៖ . នៅក្នុងការរចនានៃភារកិច្ចពួកគេគ្រាន់តែគូស "ជណ្តើរ" ដោយខ្មៅដៃសាមញ្ញហើយក៏គូសរង្វង់លេខដែលមានទីតាំងនៅលើ "ជំហាន" ។ ពាក្យថា "ទិដ្ឋភាពជំហាន" ខ្លួនវាមិនមែនជាទ្រឹស្តីទាំងស្រុងនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្រ្ត និងអប់រំ វាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ ទិដ្ឋភាព trapezoidalឬ ទិដ្ឋភាពត្រីកោណ.

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋមយើងទទួលបាន សមមូលប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ៖

ឥឡូវនេះប្រព័ន្ធត្រូវតែ "មិនត្រជាក់" ក្នុងទិសដៅផ្ទុយ - ពីបាតទៅកំពូលដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian.

នៅក្នុងសមីការខាងក្រោម យើងមានលទ្ធផលរួចរាល់ហើយ៖ .

ចូរយើងពិចារណាសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់រួចហើយនៃ “y” ទៅក្នុងវា៖

ចូរយើងពិចារណាអំពីស្ថានភាពទូទៅបំផុត នៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រ Gaussian តម្រូវឱ្យដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

តោះសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងគូរភ្លាមៗនូវលទ្ធផលដែលយើងនឹងមកក្នុងពេលដំណោះស្រាយ៖ ហើយខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត គោលដៅរបស់យើងគឺនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ កន្លែងដែលត្រូវចាប់ផ្តើម?

ដំបូងមើលលេខខាងឆ្វេងខាងលើ៖ គួរតែនៅទីនេះស្ទើរតែជានិច្ច ឯកតា. និយាយជាទូទៅ -1 (និងពេលខ្លះលេខផ្សេងទៀត) នឹងធ្វើ ប៉ុន្តែតាមបែបប្រពៃណីវាបានកើតឡើងដែលជាធម្មតាត្រូវបានដាក់នៅទីនោះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរៀបចំអង្គភាព? យើងក្រឡេកមើលជួរទីមួយ - យើងមានឯកតាដែលបានបញ្ចប់! ការផ្លាស់ប្តូរទីមួយ៖ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីបី៖

ឥឡូវនេះខ្សែទីមួយនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូររហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ. វាងាយស្រួលជាងហើយ។

អង្គភាពនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើត្រូវបានរៀបចំ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវយកលេខសូន្យនៅកន្លែងទាំងនេះ៖

យើងទទួលបានសូន្យដោយប្រើការបំប្លែង "ពិបាក" ។ ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយបន្ទាត់ទីពីរ (2, –1, 3, 13) ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីតាំងដំបូង? ត្រូវការ ទៅជួរទីពីរបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2. ដោយផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង ចូរគុណជួរទីមួយដោយ –2: (–2, –4, 2, –18)។ ហើយយើងអនុវត្តដោយខ្ជាប់ខ្ជួន (ម្តងទៀតផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង) បន្ថែម។ ទៅ​ជួរ​ទី​ពីរ យើង​បន្ថែម​ជួរ​ទី​មួយ រួច​គុណ​នឹង -2:

យើងសរសេរលទ្ធផលនៅក្នុងជួរទីពីរ៖

យើងដោះស្រាយជាមួយបន្ទាត់ទីបីតាមរបៀបដូចគ្នា (3, 2, -5, -1) ។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីតាំងដំបូងអ្នកត្រូវការ ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3. ដោយផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង ចូរគុណជួរទីមួយដោយ –3: (–3, –6, 3, –27)។ និង ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3:

យើងសរសេរលទ្ធផលនៅក្នុងជួរទីបី៖

នៅក្នុងការអនុវត្ត សកម្មភាពទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់មាត់ និងសរសេរចុះក្នុងជំហានមួយ៖

មិនចាំបាច់រាប់អ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងពេលតែមួយនិងក្នុងពេលតែមួយទេ។. លំដាប់នៃការគណនានិង "សរសេរក្នុង" លទ្ធផល ស្របហើយជាធម្មតាវាដូចនេះ៖ ដំបូងយើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយ ហើយយើងជូតខ្លួនយើងបន្តិចម្តងៗ - ជាប់លាប់ និង ដោយយកចិត្តទុកដាក់:
ហើយខ្ញុំបានពិភាក្សារួចហើយអំពីដំណើរការផ្លូវចិត្តនៃការគណនាដោយខ្លួនឯងខាងលើ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាងាយស្រួលធ្វើ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ -5 (ចាប់តាំងពីលេខទាំងអស់អាចបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងបែងចែកជួរទីបីដោយ –2 ពីព្រោះលេខតូចជាង ដំណោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល៖

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម អ្នកត្រូវទទួលបានសូន្យមួយទៀតនៅទីនេះ៖

សម្រាប់រឿងនេះ ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -2:
ព្យាយាម​គិត​ពី​សកម្មភាព​នេះ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង - គិត​គុណ​នឹង​ជួរ​ទីពីរ​ដោយ –2 ហើយ​អនុវត្ត​ការ​បន្ថែម។

សកម្មភាពចុងក្រោយដែលត្រូវបានអនុវត្តគឺស្ទីលម៉ូដសក់នៃលទ្ធផល, បែងចែកជួរទីបីដោយ 3 ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ប្រព័ន្ធសមមូលនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល៖ ត្រជាក់។

ឥឡូវនេះការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ចូលមកលេង។ សមីការ "បន្ធូរបន្ថយ" ពីបាតឡើងលើ។

នៅក្នុងសមីការទីបី យើងមានលទ្ធផលរួចរាល់ហើយ៖

តោះមើលសមីការទីពីរ៖ . អត្ថន័យនៃ "zet" ត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយដូច្នេះ:

ហើយចុងក្រោយ សមីការទីមួយ៖ . "Igrek" និង "zet" ត្រូវបានគេស្គាល់ វាគ្រាន់តែជារឿងតូចតាចប៉ុណ្ណោះ៖

ចម្លើយ:

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ជាច្រើនដងរួចមកហើយ សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការណាមួយ វាអាចទៅរួច និងចាំបាច់ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ សំណាងល្អ វាងាយស្រួល និងរហ័ស។

ឧទាហរណ៍ ២

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ជាគំរូនៃការរចនាចុងក្រោយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

គួរកត់សម្គាល់ថារបស់អ្នក។ វឌ្ឍនភាពនៃការសម្រេចចិត្តប្រហែលជាមិនស្របនឹងដំណើរការសម្រេចចិត្តរបស់ខ្ញុំទេ ហើយនេះគឺជាលក្ខណៈពិសេសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss. ប៉ុន្តែចម្លើយត្រូវតែដូចគ្នា!

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

យើងមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ យើងគួរតែមានមួយនៅទីនោះ។ បញ្ហាគឺថាមិនមានឯកតានៅក្នុងជួរឈរទីមួយទាល់តែសោះដូច្នេះការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនឹងមិនដោះស្រាយអ្វីទាំងអស់។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ ខ្ញុំបានធ្វើវា៖ (១) ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1. នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយបន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ឥឡូវនេះនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើមាន "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងណាស់។ នរណាម្នាក់ដែលចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើចលនាបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ –1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។

(2) ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

(3) ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃខ្សែទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដែរ ហើយវាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅកន្លែងទីពីរ ដូច្នេះនៅលើ "ជំហាន" ទីពីរ យើងមានឯកតាដែលត្រូវការ។

(4) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង 2 ។

(5) ជួរទី 3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។

សញ្ញាអាក្រក់ដែលបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា (កម្រជាងនេះទៅទៀត ការវាយអក្សរខុស) គឺជាបន្ទាត់ខាងក្រោម "អាក្រក់" ។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចជា ខាងក្រោម ហើយតាមនោះ បន្ទាប់មក ជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងអាចនិយាយបានថា កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងកំឡុងពេលបំប្លែងបឋម។

យើងគិតប្រាក់បញ្ច្រាស ក្នុងការរចនាឧទាហរណ៍ ពួកវាជារឿយៗមិនសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែសមីការត្រូវបាន "យកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ" ។ ការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នក ដំណើរការពីបាតទៅកំពូល។ បាទ នេះគឺជាអំណោយមួយ៖

ចម្លើយ: .

ឧទាហរណ៍ 4

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​អ្នក​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង វា​មាន​ភាព​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។ វាមិនអីទេប្រសិនបើនរណាម្នាក់យល់ច្រឡំ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងការរចនាគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ។

នៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយយើងនឹងពិនិត្យមើលលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ។ លក្ខណៈពិសេសទីមួយគឺថា ពេលខ្លះអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់ពីសមីការប្រព័ន្ធ ឧទាហរណ៍៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធពង្រីកបានត្រឹមត្រូវ? ខ្ញុំបាននិយាយអំពីចំណុចនេះនៅក្នុងថ្នាក់រួចហើយ។ ក្បួនរបស់ Cramer ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស. នៅក្នុងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ យើងដាក់លេខសូន្យជំនួសអថេរដែលបាត់៖ និយាយអីញ្ចឹង នេះជាឧទាហរណ៍ដ៏ងាយស្រួលមួយ ដោយសារជួរឈរទីមួយមានសូន្យមួយរួចហើយ ហើយមានការបំប្លែងបឋមតិចជាងមុនដើម្បីអនុវត្ត។

លក្ខណៈពិសេសទីពីរគឺនេះ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ដែលបានពិចារណា យើងបានដាក់ -1 ឬ +1 នៅលើ "ជំហាន" ។ តើអាចមានលេខផ្សេងទៀតនៅទីនោះទេ? ក្នុងករណីខ្លះពួកគេអាចធ្វើបាន។ ពិចារណាប្រព័ន្ធ៖ .

នៅទីនេះនៅខាងឆ្វេងខាងលើ "ជំហាន" យើងមានពីរ។ ប៉ុន្តែយើងកត់សំគាល់ការពិតដែលថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដោយគ្មាននៅសល់ - ហើយមួយទៀតគឺពីរនិងប្រាំមួយ។ ហើយពីរនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើនឹងសមនឹងយើង! នៅក្នុងជំហានដំបូង អ្នកត្រូវធ្វើការបំប្លែងដូចខាងក្រោមៈ បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង -1 ទៅជួរទីពីរ។ ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3 ។ វិធីនេះយើងនឹងទទួលបានលេខសូន្យដែលត្រូវការនៅក្នុងជួរទីមួយ។

ឬឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយទៀត៖ . នៅទីនេះទាំងបីនៅលើ "ជំហាន" ទីពីរក៏សមនឹងយើងផងដែរចាប់តាំងពី 12 (កន្លែងដែលយើងត្រូវទទួលបានសូន្យ) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដោយគ្មានសល់។ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែងដូចខាងក្រោមៈ បន្ថែមជួរទីពីរទៅជួរទីបី គុណនឹង -4 ជាលទ្ធផលដែលសូន្យដែលយើងត្រូវការនឹងត្រូវបានទទួល។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Gauss គឺមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈពិសេសមួយ។ អ្នកអាចរៀនដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយទំនុកចិត្តដោយប្រើវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត (វិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស) ជាលើកដំបូង - ពួកគេមានក្បួនដោះស្រាយដ៏តឹងរ៉ឹង។ ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យមានអារម្មណ៍ជឿជាក់លើវិធីសាស្ត្រ Gaussian អ្នកគួរតែ "យកធ្មេញរបស់អ្នកចូល" ហើយដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ 5-10 ប្រព័ន្ធដប់។ ដូច្នេះដំបូងអាចមានការភ័ន្តច្រឡំ និងកំហុសក្នុងការគណនា ហើយគ្មានអ្វីចម្លែក ឬសោកនាដកម្មអំពីរឿងនេះទេ។

រដូវភ្លៀងធ្លាក់នៅខាងក្រៅបង្អួច.... អាស្រ័យហេតុនេះ សម្រាប់អ្នកទាំងអស់គ្នាដែលចង់បានឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 5

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 4 ជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួន 4 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

កិច្ចការ​បែប​នេះ​មិន​កម្រ​ប៉ុន្មាន​ទេ​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត។ ខ្ញុំ​គិត​ថា សូម្បី​តែ​អ្នក​ដែល​បាន​សិក្សា​ទំព័រ​នេះ​យ៉ាង​ហ្មត់ចត់​នឹង​យល់​អំពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​បែប​នេះ​ដោយ​វិចារណញាណ។ ជាមូលដ្ឋានអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា - មានសកម្មភាពច្រើនទៀត។

ករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា) ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់ត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀន ប្រព័ន្ធ និងប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរួម. នៅទីនោះអ្នកអាចជួសជុលក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិចារណានៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។

ខ្ញុំសូមជូនពរឱ្យអ្នកទទួលបានជោគជ័យ!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖ ដំណោះស្រាយ : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។
ការផ្លាស់ប្តូរបឋមត្រូវបានអនុវត្ត៖ (1) បន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទីពីរគុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។ យកចិត្តទុកដាក់! នៅទីនេះអ្នកអាចនឹងត្រូវបានល្បួងឱ្យដកលេខទីមួយចេញពីជួរទីបី ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងមិនឱ្យដកវា - ហានិភ័យនៃកំហុសកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។ គ្រាន់តែបត់វា! (2) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) ។ ខ្សែទីពីរនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ សូមចំណាំ ថានៅលើ "ជំហាន" យើងពេញចិត្តមិនត្រឹមតែមួយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងជាមួយ -1 ដែលកាន់តែងាយស្រួល។ (3) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង 5 ។ (4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) ។ ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 14 ។

បញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ : .

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ ដំណោះស្រាយ : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖ (1) ខ្សែទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយ។ ដូច្នេះឯកតាដែលចង់បានត្រូវបានរៀបចំនៅខាងឆ្វេងខាងលើ "ជំហាន" ។ (2) ជួរទីមួយគុណនឹង 7 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 6 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

ជាមួយនឹង "ជំហាន" ទីពីរអ្វីគ្រប់យ៉ាងកាន់តែអាក្រក់ទៅ ៗ "បេក្ខជន" សម្រាប់វាគឺលេខ 17 និង 23 ហើយយើងត្រូវការមួយឬ -1 ។ ការផ្លាស់ប្តូរ (3) និង (4) នឹងមានគោលបំណងដើម្បីទទួលបានឯកតាដែលចង់បាន (3) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។ (4) បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង -3 ។ ធាតុដែលត្រូវការនៅលើជំហានទីពីរត្រូវបានទទួល។ . (5) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង 6 ។ (6) ជួរទីពីរត្រូវបានគុណនឹង -1 បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ -83 ។

បញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ :

ឧទាហរណ៍ 5៖ ដំណោះស្រាយ : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖ (1) ខ្សែទីមួយនិងទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ (2) បន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបួនគុណនឹង -3 ។ (3) បន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទីបីគុណនឹង 4 ។ បន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 4 គុណនឹង -1 ។ (4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ជួរទីបួនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយដាក់ជំនួសបន្ទាត់ទីបី។ (5) បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 4 គុណនឹង -5 ។

បញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ :

នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

កំណែសាមញ្ញបំផុតនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian បណ្តាលឱ្យមានកំហុសធំ។ ហេតុផលគឺរូបរាងនៃមេគុណធំ ៗ ការបង្គត់ដែលបណ្តាលឱ្យមានកំហុសដាច់ខាតដ៏ធំ D ~ 0.5 ។ នៅក្នុងវេនមេគុណធំត្រូវបានទទួលបន្ទាប់ពីបែងចែកដោយមេគុណនាំមុខតូចមួយ .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ដើម្បីកាត់បន្ថយផលប៉ះពាល់នៃកំហុសក្នុងការបង្គត់ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសធាតុឈានមុខគេដែលមិនត្រឹមតែខុសពីលេខ 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទំហំធំល្មមផងដែរ។

ការកែប្រែដំបូងនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Gauss- ស្វែងរកតាមខ្សែអក្សរ។ នៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយ ធាតុនាំមុខត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសពីលក្ខខណ្ឌ។

កង្វះការកែប្រែ។ ឧបមាថា x i ត្រូវបានរកឃើញដោយមានកំហុស D. បន្ទាប់មកនៅពេលស្វែងរក x s ណាមួយ វាចាំបាច់យោងទៅតាមរូបមន្តបញ្ច្រាសដើម្បីគុណ។ ក្នុងករណីនេះ កំហុស D ក៏នឹងត្រូវបានគុណដោយ . ប្រសិនបើតម្លៃមានទំហំធំ កំហុសនឹងកើនឡើង។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖វាចាំបាច់ដើម្បីធានាថាធាតុឈានមុខគេមិនត្រឹមតែមានទំហំធំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាម៉ូឌុលធំបំផុតនៅក្នុងជួររបស់វា។ បន្ទាប់មក នៅពេលធ្វើឱ្យបន្ទាត់នាំមុខធម្មតា មេគុណផ្សេងទៀតទាំងអស់យោងតាមរូបមន្ត (5) នឹងតិចជាង 1 ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ហើយកំហុសនឹងត្រូវបាន ថយចុះ.

ការកែប្រែទីពីរនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss- ស្វែងរកតាមជួរឈរ។ តម្រូវការនេះអាចបំពេញបាន ប្រសិនបើមិនស្គាល់ x i ត្រូវបានដកចេញតាមលំដាប់ចៃដន្យ ហើយបន្ទាត់នាំមុខត្រូវបានស្វែងរក ចែកចាយ។ នេះនឹងជាធាតុនាំមុខបន្ទាប់។ បន្ទាប់ពីកំណត់ធាតុនាំមុខ ប្តូរ k-th និង r-th ជួរឈរ.

ការយកចិត្តទុកដាក់។ជាមួយនឹងការជំនួសបែបនេះ លេខនៃមិនស្គាល់ x i ផ្លាស់ប្តូរ។ ដើម្បីធានាបាននូវការជំនួសបែបនេះ ចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលអារេ p 1 ,…p n ជាមួយនឹងចំនួនពិតនៃចំនួនមិនស្គាល់ក្នុងអំឡុងពេលសរសេរកម្មវិធី។ នៅដើមដំបូងនៃការវាយប្រហារទៅមុខ ទាំងអស់ p i = i គឺជាលេខរៀងធម្មតា។ បន្ទាប់ពីរកឃើញធាតុនាំមុខ ប្តូរ p k និង p r ។ ក្នុងអំឡុងពេលដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលបញ្ច្រាស លេខប្តូរ x i ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (7) ។ បន្ទាប់ពីការគណនាមិនស្គាល់ទាំងអស់យើងត្រូវដាក់ y]:=x[i]និងអារេមួយ។ y[i]នឹងជាដំណោះស្រាយចុងក្រោយចំពោះបញ្ហា។

ការកែប្រែទីបីនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss- ការស្វែងរកពេញលេញ។ ធាតុបញ្ជូនត្រូវបានជ្រើសរើសជាអ្នកដឹកនាំ។ ក្នុងករណីនេះ ជួរ k-th និង r-th, p k និង p r ក៏ដូចជាជួរ m-th និង k-th ត្រូវបានប្តូរ។ ការកែប្រែនេះផ្តល់នូវភាពត្រឹមត្រូវអតិបរមា ប៉ុន្តែក៏ជាភាពស្មុគស្មាញបំផុតផងដែរ។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត Gauss ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិតលីនេអ៊ែរផ្សេងៗ

1. ការបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីស។អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ A. ចូរយើងសម្គាល់ X = A –1 ។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា AX = I ដែលខ្ញុំជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ ដែលក្នុងនោះ 1s មានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូង ហើយធាតុដែលនៅសល់គឺ 0 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ជួរឈរ i-th នៃម៉ាទ្រីស I គឺស្មើនឹង

(១ ឋិតនៅទី ១) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ x (i) ជាជួរឈរ i-th នៃម៉ាទ្រីស X. បន្ទាប់មក ដោយគុណធម៌នៃច្បាប់គុណម៉ាទ្រីស (ជួរដេកត្រូវបានគុណនឹងជួរឈរ) យើងមាន A x (i) = e (i) ។ នេះមានន័យថា ដើម្បីដាក់បញ្ច្រាសម៉ាទ្រីស យើងត្រូវដោះស្រាយ នប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានម៉ាទ្រីសដូចគ្នា និងផ្នែកខាងស្តាំផ្សេងគ្នា៖

អូ = អ៊ី (1) ; អូ = អ៊ី (2) ; …; អូ = អ៊ី (ន) . (2.1)

ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងនេះ យើងឃើញថាដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ x (1), x (2), ..., x (n) គឺជាជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A –1 ។

2. ការគណនាកត្តាកំណត់។នៅក្នុងដំណើរការនៃការបំលែងម៉ាទ្រីស A ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian យើងបានអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោមជាមួយវា៖

1) ជួរដេកឬជួរឈរដែលបានរៀបចំឡើងវិញអាស្រ័យលើការកែប្រែនៃវិធីសាស្រ្ត;

2) បែងចែកបន្ទាត់នាំមុខដោយធាតុនាំមុខដែលមិនសូន្យ;

3) ជួរនាំមុខគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស។

ដូចដែលគេដឹងហើយថា កំឡុងពេលបំប្លែងបែបនេះ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសឆ្លងកាត់ការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា៖

1) ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា;

2) ត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុដូចគ្នា;

3) មិនផ្លាស់ប្តូរ។

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ទីទៅមុខ ម៉ាទ្រីស A នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណខាងលើ ជាមួយនឹងអង្កត់ទ្រូងមេ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺច្បាស់ជាស្មើនឹង 1។ ដោយគិតពីការផ្លាស់ប្តូរដែលកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A បានធ្វើឡើងកំឡុងដំណើរការបំប្លែង យើងមានរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×… × a n n ,

ដែល j j ជាធាតុនាំមុខ s គឺជាចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជួរដេក និង/ឬជួរឈរ នៅពេលស្វែងរកធាតុនាំមុខ។

សាកល្បងសំណួរ និងកិច្ចការ

1. ដោយដៃអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត Gaussian (ជាមួយការស្វែងរកក្នុងជួរដេក ជួរឈរ ទូទាំងម៉ាទ្រីសទាំងមូល - អាស្រ័យលើជម្រើសភារកិច្ច) សម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ

និងបំពេញកិច្ចការខាងក្រោម

1) ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនេះ។

2) គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះ ( វិធីសាស្រ្ត Gaussian- សូមមើលទំ 2 ).

3) បញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះ ( វិធីសាស្រ្ត Gaussian- សូមមើលទំ 1 ).

នៅពេលអនាគត សូមប្រើលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយបញ្ហានេះជាឧទាហរណ៍សាកល្បង។

2. បង្កើតកម្មវិធីសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian (ជាមួយការស្វែងរកជាជួរ ជួរឈរ ទូទាំងម៉ាទ្រីសទាំងមូល - អាស្រ័យលើកំណែនៃកិច្ចការ) និងអនុវត្តការបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសដោយប្រើកម្មវិធីនេះ។

វិធីសាមញ្ញបំផុតមួយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាបច្ចេកទេសផ្អែកលើការគណនានៃកត្តាកំណត់ ( ក្បួនរបស់ Cramer) អត្ថប្រយោជន៍របស់វាគឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកត់ត្រាភ្លាមៗនូវដំណោះស្រាយវាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងករណីដែលមេគុណនៃប្រព័ន្ធមិនមែនជាលេខប៉ុន្តែប៉ារ៉ាម៉ែត្រខ្លះ។ គុណវិបត្តិរបស់វាគឺភាពលំបាកនៃការគណនានៅក្នុងករណីនៃសមីការមួយចំនួនធំ លើសពីនេះច្បាប់របស់ Cramer មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់ចំពោះប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីបែបនេះវាត្រូវបានគេប្រើជាធម្មតា វិធីសាស្រ្ត Gaussian.

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានសំណុំដូចគ្នានៃដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. ជាក់ស្តែង សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានប្តូរ ឬប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានគុណដោយចំនួនមិនមែនសូន្យមួយចំនួន ឬប្រសិនបើសមីការមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅមួយទៀត។

វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់) គឺថា ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋម ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលនៃប្រភេទជំហានមួយ។ ដំបូងដោយប្រើសមីការទី 1 យើងលុបបំបាត់ x 1 នៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទី 2 យើងលុបបំបាត់ x 2 ពីសមីការទី 3 និងសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ដំណើរការនេះហៅថា វិធីសាស្រ្ត Gaussian ផ្ទាល់បន្ត​រហូត​ដល់​មាន​តែ​មួយ​គត់​ដែល​មិន​ស្គាល់​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​សមីការ​ចុង​ក្រោយ x ន. បន្ទាប់ពីនេះវាត្រូវបានធ្វើ បញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian- ការដោះស្រាយសមីការចុងក្រោយយើងរកឃើញ x ន; បន្ទាប់ពីនោះដោយប្រើតម្លៃនេះពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងគណនា x ន-១ ជាដើម។ យើងរកឃើញចុងក្រោយ x 1 ពីសមីការទីមួយ។

វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែង Gaussian ដោយអនុវត្តការបំប្លែងមិនមែនជាមួយនឹងសមីការខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសនៃមេគុណរបស់វា។ ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖

ហៅ ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ,ដោយសារតែបន្ថែមលើម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ វារួមបញ្ចូលជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺផ្អែកលើការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ឬទម្រង់ trapezoidal ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនការ៉េ) ដោយប្រើការបំប្លែងជួរដេកបឋម (!) នៃម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ 5.1 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើជួរទីមួយ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលនៅសល់ឡើងវិញ៖

យើងទទួលបានសូន្យនៅជួរទី 2 ទី 3 និងទី 4 នៃជួរទីមួយ៖

ឥឡូវនេះយើងត្រូវការធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីពីរខាងក្រោមជួរទី 2 ដើម្បីស្មើនឹងសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចគុណជួរទីពីរដោយ –4/7 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទី 3 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីកុំឱ្យដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ ចូរយើងបង្កើតឯកតានៅជួរទី 2 នៃជួរទីពីរ ហើយមានតែ

ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ អ្នកត្រូវកំណត់ធាតុនៃជួរទី 4 នៃជួរទី 3 ឡើងវិញ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចគុណជួរទីបីដោយ 8/54 ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីមិនដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងប្តូរជួរទី 3 និងទី 4 និងជួរទី 3 និងទី 4 ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ឡើងវិញ។ ចំណាំថានៅពេលរៀបចំជួរឈរឡើងវិញ អថេរដែលត្រូវគ្នានឹងផ្លាស់ប្តូរកន្លែង ហើយនេះត្រូវតែចងចាំ។ ការបំប្លែងបឋមផ្សេងទៀតជាមួយជួរឈរ (ការបន្ថែម និងគុណដោយលេខ) មិនអាចអនុវត្តបានទេ!

ម៉ាទ្រីសសាមញ្ញចុងក្រោយត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលស្មើនឹងដើមមួយ៖

ពីទីនេះដោយប្រើការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian យើងរកឃើញពីសមីការទីបួន x 3 = –1; ពីទីបី x 4 = -2 ពីទីពីរ x 2 = 2 និងពីសមីការទីមួយ x 1 = 1. ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ចម្លើយត្រូវបានសរសេរជា

យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់, i.e. នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយ។ តោះមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នាឬមិនច្បាស់លាស់។

ឧទាហរណ៍ 5.2 ។រុករកប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ

យើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសាមញ្ញ៖

នៅទីនេះនៅក្នុងសមីការចុងក្រោយវាប្រែថា 0 = 4, i.e. ភាពផ្ទុយគ្នា។ ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ i.e. នាង មិនឆបគ្នា។. à

ឧទាហរណ៍ 5.3 ។ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ បន្ទាត់ចុងក្រោយមានតែសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ នេះមានន័យថាចំនួនសមីការបានថយចុះមួយ៖

ដូច្នេះ បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ មានសមីការពីរនៅសល់ និងមិនស្គាល់ចំនួនបួន ពោលគឺឧ។ "បន្ថែម" មិនស្គាល់ពីរ។ ទុក​ឱ្យ​ពួក​គេ​«​លើស​ចំណុះ​» ឬ​ដូច​ជា​គេ​និយាយ​ថា អថេរឥតគិតថ្លៃ, នឹង x 3 និង x៤. បន្ទាប់មក

ជឿ x 3 = 2កនិង x 4 = ខ, យើងទទួលបាន x 2 = 1–កនិង x 1 = 2ខ–ក; ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយដែលសរសេរតាមរបៀបនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅពីព្រោះ ផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង ខតម្លៃខុសគ្នា ដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានពិពណ៌នា។ ក