ម៉ាទ្រីស​មិន​មាន​បញ្ច្រាស​ទេ​ពេល​ស្មើ។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងយល់ពីគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស លក្ខណៈសម្បត្តិ និងវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរករបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយដែលវាចាំបាច់ដើម្បីបង្កើតម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់មួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការរុករកទំព័រ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - និយមន័យ។

ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើម៉ាទ្រីសពីការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ។

ការស្វែងរកធាតុនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - និយមន័យ។

គោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េដែលកត្តាកំណត់គឺមិនសូន្យ ពោលគឺសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ។

និយមន័យ។

ម៉ាទ្រីសហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសដែលកត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ ប្រសិនបើសមភាពគឺពិត , កន្លែងណា អ៊ី- ម៉ាទ្រីសលំដាប់ឯកតា ននៅលើ ន.

ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើម៉ាទ្រីសពីការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់មួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ?

ដំបូងយើងត្រូវការគំនិត ម៉ាទ្រីស transposed, ម៉ាទ្រីសអនីតិជន និងពិជគណិតបំពេញបន្ថែមនៃធាតុម៉ាទ្រីស។

និយមន័យ។

អនីតិជនkth លំដាប់ម៉ាទ្រីស កលំដាប់ មនៅលើ នគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ kនៅលើ kដែលត្រូវបានទទួលពីធាតុម៉ាទ្រីស កដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជម្រើស kបន្ទាត់ និង kជួរឈរ។ ( kមិនលើសពីចំនួនតូចបំផុត។ មឬ ន).

អនីតិជន (n-1) ទីលំដាប់ ដែលផ្សំឡើងដោយធាតុនៃជួរទាំងអស់ លើកលែងតែ i-thនិងជួរឈរទាំងអស់លើកលែងតែ ច, ម៉ាទ្រីសការ៉េ កលំដាប់ ននៅលើ នចូរយើងសម្គាល់វាជា .

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត អនីតិជនគឺទទួលបានពីម៉ាទ្រីសការ៉េ កលំដាប់ ននៅលើ នដោយឆ្លងកាត់ធាតុ i-thបន្ទាត់ និង ចជួរឈរ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរ តូចតាច ទី 2លំដាប់ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស ការជ្រើសរើសធាតុនៃជួរទីពីរ ទីបី និងជួរទីមួយ ជួរទីបីរបស់វា។ . យើងក៏នឹងបង្ហាញអនីតិជនផងដែរ ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស ដោយឆ្លងកាត់ជួរទីពីរនិងជួរទីបី . ចូរយើងបង្ហាញពីការសាងសង់អនីតិជនទាំងនេះ៖ និង .

និយមន័យ។

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតធាតុនៃម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជន (n-1) ទីលំដាប់ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស កឆ្លងកាត់ធាតុរបស់វា។ i-thបន្ទាត់ និង ចជួរ​ឈរ​គុណ​នឹង .

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយត្រូវបានតំណាងថាជា . ដូច្នេះ .

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ម៉ាទ្រីស ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយគឺ .

ទីពីរ យើងនឹងត្រូវការលក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃកត្តាកំណត់ ដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែក ការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស:

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៃកត្តាកំណត់និយមន័យ ប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ។ហើយគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺពិត៖ ដែលជាកន្លែងដែលជាម៉ាទ្រីសបំប្លែងដែលធាតុរបស់វាគឺជាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

ម៉ាទ្រីស ជាការពិតគឺបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស កចាប់តាំងពីសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត . សូមបង្ហាញវា។

ចូរយើងតែង ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើសមភាព .

សូមក្រឡេកមើលក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស . ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស កបំបែកវាចូលទៅក្នុងធាតុនៃជួរឈរទីបី:

កត្តាកំណត់គឺមិនសូន្យ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស កអាចបញ្ច្រាស់បាន។

ចូរយើងស្វែងរកម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត៖

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ចូរបកប្រែម៉ាទ្រីសពីការបន្ថែមពិជគណិត៖

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជា :

តោះពិនិត្យមើលលទ្ធផល៖

សមភាព ពេញចិត្ត ដូច្នេះហើយ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

គោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស, សមភាព និយមន័យនៃប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស:

ការស្វែងរកធាតុនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ចូរយើងពិចារណាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ កលំដាប់ ននៅលើ ន.

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើដំណោះស្រាយ នប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។ អថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការទាំងនេះគឺជាធាតុនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

គំនិតគឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងសម្គាល់ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជា Xនោះគឺ . ចាប់តាំងពីតាមនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

សមីការធាតុដែលត្រូវគ្នាដោយជួរឈរយើងទទួលបាន នប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

យើងដោះស្រាយពួកវាតាមមធ្យោបាយណាមួយ ហើយបង្កើតម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសពីតម្លៃដែលបានរកឃើញ។

តោះមើលវិធីសាស្រ្តនេះជាមួយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស . ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងទទួលយក . សមភាពផ្តល់ឱ្យយើងនូវប្រព័ន្ធបីនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ៖

យើងនឹងមិនពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធទាំងនេះទេ បើចាំបាច់ សូមមើលផ្នែក ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ.

ពីប្រព័ន្ធទីមួយនៃសមីការយើងមាន ពីទីពីរ - ពីទីបី - . ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលត្រូវការមានទម្រង់ . យើងសូមណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលវា ដើម្បីប្រាកដថាលទ្ធផលគឺត្រឹមត្រូវ។

សង្ខេប។

យើងបានពិនិត្យមើលគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា និងវិធីសាស្រ្តបីសម្រាប់ការស្វែងរកវា។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

លំហាត់ 1 ។ដោះស្រាយ SLAE ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

ការចាប់ផ្តើមនៃទម្រង់

ចុងបញ្ចប់នៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយ. ចូរសរសេរម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់៖ វ៉ិចទ័រ B: B T = (1,2,3,4) Main determinant Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 អនីតិជនសម្រាប់ (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 អនីតិជន សម្រាប់ (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 អនីតិជន សម្រាប់ (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5(3 2-6 1)+7(3 2-3 1)=3 Determinant of minor ∆=2(-3)-3 0+5 3-4 3=-3

ម៉ាទ្រីសបំប្លែងការបន្ថែមពិជគណិត ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3(7 1-2 4)+1(7 3-6 4)=0 ∆ 1.3=3(3 1-2 3)-3(5 1-2 4)+1(5 3-3 4)= 3 ∆ 1.4 = −3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = −3 ∆ 2.1 = −3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = −2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = −6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 −7 4) = −4 ∆ 3.2 = −2(7 1-2 4)-3(5 1-2 4)+1(5 4-7 4)=1 ∆ 3.3=2(5 1-2 4)-3(3 1-2 4)+1(3 4) −5 4) = 1 ∆ 3.4 = −2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 (3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = −3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = −12 ∆ 4.2 = 2 (7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = −2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស លទ្ធផលវ៉ិចទ័រ X X = A −1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = −1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

សូម​មើល​ផង​ដែរ ដំណោះស្រាយនៃ SLAEs ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសលើបណ្តាញ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នក និងទទួលបានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។

កិច្ចការទី 2. សរសេរប្រព័ន្ធសមីការក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ពិនិត្យដំណោះស្រាយលទ្ធផល។ ដំណោះស្រាយ:xml:xls

ឧទាហរណ៍ ២. សរសេរប្រព័ន្ធសមីការក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយ:xml:xls

ឧទាហរណ៍. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទាមទារ៖ 1) ស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាដោយប្រើ រូបមន្ត Cramer; 2) សរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើម៉ាទ្រីសគណនា។ ការណែនាំ. បន្ទាប់ពីដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer សូមស្វែងរកប៊ូតុង "ដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ទិន្នន័យប្រភព"។ អ្នកនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយសមស្រប។ ដូចនេះ អ្នកនឹងមិនត្រូវបំពេញទិន្នន័យម្តងទៀតទេ។ ដំណោះស្រាយ. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញដោយ A ម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ X - ម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃមិនស្គាល់; ខ - ម៉ាទ្រីស-ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

វ៉ិចទ័រ B: B T =(4,-3,-3) ដោយគិតពីសញ្ញាណទាំងនេះ ប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះយកទម្រង់ម៉ាទ្រីសខាងក្រោម៖ A*X=B។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មិនឯកវចនៈ (កត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនមែនសូន្យ បន្ទាប់មកវាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ដោយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ A -1 យើងទទួលបាន: A -1 * A * X = A -1 * B, A -1 * A = E ។ ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃដំណោះស្រាយទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ. ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ ចាំបាច់ត្រូវគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1។ ប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A មិនសូន្យ។ ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សំខាន់។ ∆=-1(-2(-1)-1 1)-3(3(-1)-1 0)+2(3 1-(-2 0)))=14 ដូច្នេះ កត្តាកំណត់ 14 ≠ 0 ដូច្នេះយើង បន្តដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមរយៈការបន្ថែមពិជគណិត។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ A៖

យើងគណនាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(−1,1,2) x 1 = -14/14 =-1 x 2 = 14/14 =1 x 3 = 28/14 =2 ការប្រឡង. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 ឯកសារ:xml:xls ចម្លើយ៖ -1,1,2.

នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ យើងបានមើលពីរបៀបស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិត។ នៅទីនេះយើងនឹងរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖ ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរ Gaussian និង Gauss-Jordan ។ វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនេះត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។

វិធីសាស្រ្តបំប្លែងបឋម

ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ ម៉ាទ្រីសដែលបានផ្ដល់ឱ្យ $A$ និងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ ត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងម៉ាទ្រីសមួយ ពោលគឺឧ។ បង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ $(A|E)$ (ម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគេហៅថាពង្រីកផងដែរ)។ បន្ទាប់ពីនេះ ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋមដែលបានអនុវត្តជាមួយនឹងជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក វាត្រូវបានធានាថាម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ក្លាយជាអត្តសញ្ញាណ ហើយម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកយកទម្រង់ $\left(E|A^(- 1) \ ស្តាំ) $ ។ ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៅក្នុងស្ថានភាពនេះរួមមានសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

1. ការជំនួសពីរជួរ។
2. ការគុណធាតុទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរដោយចំនួនមួយចំនួនដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ។
3. ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរមួយទៀត គុណនឹងកត្តាណាមួយ។

ការបំប្លែងបឋមទាំងនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ជាធម្មតាវិធីសាស្ត្រ Gaussian ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានជ្រើសរើស។ ជាទូទៅ វិធីសាស្ត្រ Gauss និង Gauss-Jordan ត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយមិនមែនសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនោះទេ។ ឃ្លា "ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស" គួរតែត្រូវបានយល់នៅទីនេះថាជា "ការប្រើប្រាស់ប្រតិបត្តិការដែលមាននៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស" ។

លេខរៀងនៃឧទាហរណ៍បន្តពីផ្នែកទីមួយ។ ឧទាហរណ៍ពិភាក្សាអំពីការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ហើយឧទាហរណ៍ពិភាក្សាអំពីការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយធាតុទាំងអស់នៃជួរដេកឬជួរឈរជាក់លាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងនៅមុនពេលបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញទៅសូន្យនោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ។

ឧទាហរណ៍លេខ 5

ស្វែងរកម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ប្រសិនបើ $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ម៉ាទ្រីសពង្រីក ដែលជាទូទៅមានទម្រង់ $(A|E)$ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះនឹងយកទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖ $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។

គោលបំណង៖ ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំម៉ាទ្រីសបន្ថែមទៅជាទម្រង់ $\left(E|A^(-1) \right)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចគ្នាដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gaussian វាងាយស្រួលនៅពេលដែលធាតុដំបូងនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសពង្រីកគឺមួយ។ ដើម្បីសម្រេចបាននូវចំណុចនេះ យើងប្តូរជួរទីមួយ និងទីបីនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ដែលក្លាយជា៖ $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(អារេ) \right)$ ។

ឥឡូវនេះសូមចូលទៅកាន់ដំណោះស្រាយ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបែងចែកជាពីរដំណាក់កាល៖ ទៅមុខ និងថយក្រោយ (ការពិពណ៌នាលម្អិតនៃវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍នៃប្រធានបទដែលត្រូវគ្នា) ។ ជំហានទាំងពីរដូចគ្នានឹងត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងដំណើរការនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលត្រង់

ជំហាន​ដំបូង

ដោយប្រើបន្ទាត់ទីមួយ យើងកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុនៃជួរទីមួយដែលមានទីតាំងនៅក្រោមបន្ទាត់ទីមួយ៖

ខ្ញុំសូមបញ្ចេញយោបល់បន្តិចអំពីសកម្មភាពដែលបានអនុវត្ត។ សញ្ញាណ $II-2\cdot I$ មានន័យថា ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ ដែលពីមុនគុណនឹងពីរ ត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទីពីរ។ សកម្មភាពនេះអាចសរសេរដោយឡែកពីគ្នាដូចខាងក្រោម៖

សកម្មភាព $III-7\cdot I$ ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នា។ ប្រសិនបើមានការលំបាកក្នុងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងនេះ ពួកគេអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយឡែកពីគ្នា (ស្រដៀងទៅនឹងសកម្មភាព $II-2\cdot I$ ដែលបានបង្ហាញខាងលើ) ហើយលទ្ធផលអាចត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីសបន្ថែម។

ជំហានទីពីរ

ដោយប្រើបន្ទាត់ទីពីរ យើងកំណត់ធាតុនៃជួរឈរទីពីរឡើងវិញដែលមានទីតាំងនៅក្រោមបន្ទាត់ទីពីរ៖

ចែកជួរទីបីដោយ 5:

ចលនាផ្ទាល់បានបញ្ចប់។ ធាតុទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសរហូតដល់បន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញទៅសូន្យ។

ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលបញ្ច្រាស

ជំហាន​ដំបូង

ដោយប្រើបន្ទាត់ទីបី យើងកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុនៃជួរទីបីដែលមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ទីបី៖

មុន​នឹង​បន្ត​ទៅ​ជំហាន​បន្ទាប់ សូម​ចែក​ជួរ​ទីពីរ​ដោយ $7$៖

ជំហានទីពីរ

ដោយប្រើបន្ទាត់ទីពីរ យើងកំណត់ឡើងវិញនូវធាតុនៃជួរទីពីរដែលមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ទីពីរ៖

ការបំប្លែងត្រូវបានបញ្ចប់ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(អារេ) \right)$។ ការត្រួតពិនិត្យប្រសិនបើចាំបាច់អាចត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីមុនដែរ។ ប្រសិនបើអ្នករំលងការពន្យល់ទាំងអស់ ដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & ​​​​-27/5 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 6

ស្វែងរកម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ប្រសិនបើ $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & -4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។

ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងនឹងប្រើប្រតិបត្តិការដូចគ្នាដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុង ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងនឹងកំណត់ខ្លួនយើងចំពោះមតិយោបល់ខ្លីៗ។ ចូរសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖ $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 & 0 & 1&0 & 0 \\ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(អារេ) \right)$ ។ ចូរប្តូរជួរទីមួយ និងទីបួននៃម៉ាទ្រីសនេះ៖ $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 & 0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(អារេ) \right)$។

ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលត្រង់

ការបំប្លែងបន្តត្រូវបានបញ្ចប់។ ធាតុទាំងអស់ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញទៅសូន្យ។

ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលបញ្ច្រាស

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19 /8 & - 117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & - 9/4 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។ បើចាំបាច់ យើងធ្វើការត្រួតពិនិត្យតាមវិធីដូចក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 2 និងលេខ 3 ។

ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ត្រូវ)$។

ឧទាហរណ៍លេខ 7

ស្វែងរកម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ប្រសិនបើ $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។

ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស យើងអនុវត្តលក្ខណៈប្រតិបត្តិការនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ។ ភាពខុសគ្នាពីវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន និងគឺថាដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តក្នុងដំណាក់កាលមួយ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា វិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានបែងចែកជា 2 ដំណាក់កាល៖ ការផ្លាស់ទីទៅមុខ ("យើងបង្កើត" សូន្យនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសទៅបន្ទាត់) និងការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស (យើងកំណត់ធាតុខាងលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស ទៅបន្ទាត់) ។ ដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ដំណាក់កាលដំណោះស្រាយពីរមិនត្រូវបានទាមទារទេ។ ដំបូង យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖ $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & ​​-2 &0 & 0 & 1 \end(អារេ) \\right) $$

ជំហាន​ដំបូង

ចូរកំណត់ធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយឡើងវិញ លើកលែងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងជួរឈរទីមួយ ធាតុទាំងអស់គឺមិនសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចជ្រើសរើសធាតុណាមួយ។ តោះយក $(-4)$ ជាឧទាហរណ៍៖

ធាតុដែលបានជ្រើសរើស $(-4)$ ស្ថិតនៅក្នុងជួរទីបី ដូច្នេះយើងប្រើបន្ទាត់ទីបីដើម្បីកំណត់ធាតុដែលបានជ្រើសរើសឡើងវិញនៃជួរទីមួយ៖

ចូរធ្វើឱ្យធាតុទីមួយនៃជួរទីបីស្មើនឹងមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចែកធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកដោយ $(-4)$:

ឥឡូវនេះ ចូរបន្តទៅសូន្យធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ៖

ជំហាន​បន្ថែម​ទៀត វា​នឹង​លែង​អាច​ប្រើ​ខ្សែ​ទី​បី​ទៀត​ហើយ ព្រោះ​យើង​បាន​ប្រើ​វា​ក្នុង​ជំហាន​ដំបូង​ហើយ។

ជំហានទីពីរ

តោះជ្រើសរើសធាតុមិនសូន្យជាក់លាក់នៃជួរឈរទីពីរ ហើយកំណត់ធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃជួរឈរទីពីរឡើងវិញទៅសូន្យ។ យើង​អាច​ជ្រើសរើស​ធាតុ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ធាតុ​ពីរ៖ $\frac(11)(2)$ ឬ $\frac(39)(4)$ ។ ធាតុ $\left(-\frac(5)(4)\right)$ មិនអាចជ្រើសរើសបានទេ ព្រោះវាស្ថិតនៅក្នុងជួរទីបី ដែលយើងបានប្រើក្នុងជំហានមុន។ ចូរយើងជ្រើសរើសធាតុ $\frac(11)(2)$ ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ចូរប្រាកដថាជំនួសឱ្យ $\frac(11)(2)$ នៅក្នុងជួរទីមួយមានមួយ:

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរឡើងវិញ៖

បន្ទាត់ទីមួយមិនអាចប្រើក្នុងការពិភាក្សាបន្ថែមបានទេ។

ជំហានទីបី

យើងត្រូវកំណត់ធាតុទាំងអស់នៃជួរទីបីឡើងវិញ លើកលែងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ យើងត្រូវជ្រើសរើសធាតុមិនសូន្យមួយចំនួននៃជួរឈរទីបី។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមិនអាចយក $\frac(6)(11)$ ឬ $\frac(13)(11)$ បានទេ ព្រោះធាតុទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងជួរទីមួយ និងទីបីដែលយើងបានប្រើពីមុន។ ជម្រើសគឺតូច៖ នៅសល់តែធាតុ $\frac(2)(11)$ ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរទីពីរ។ ចូរបែងចែកធាតុទាំងអស់នៃជួរទីពីរដោយ $\frac(2)(11)$:

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីបីឡើងវិញ៖

ការផ្លាស់ប្តូរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានបញ្ចប់។ អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវប្រាកដថាម៉ាទ្រីសក្លាយជាឯកតារហូតដល់បន្ទាត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកនឹងត្រូវផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃបន្ទាត់។ ជាដំបូង យើងប្តូរជួរទីមួយ និងទីបី៖

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $$

ឥឡូវយើងប្តូរជួរទីពីរ និងទីបី៖

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $$

ដូច្នេះ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$ ។ តាមធម្មជាតិ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីផ្សេងគ្នា ដោយជ្រើសរើសធាតុដែលមានទីតាំងនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ។ ជាធម្មតានេះគឺជាអ្វីដែលពួកគេធ្វើព្រោះក្នុងករណីនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយវាមិនចាំបាច់ប្តូរបន្ទាត់ទេ។ ខ្ញុំបានផ្តល់ដំណោះស្រាយពីមុនសម្រាប់គោលបំណងតែមួយគត់: ដើម្បីបង្ហាញថាជម្រើសនៃបន្ទាត់នៅជំហាននីមួយៗមិនសំខាន់ទេ។ ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសធាតុអង្កត់ទ្រូងនៅជំហាននីមួយៗ ដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅដូចនេះ។

ម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ $A$ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ ពេញចិត្ត។ ដែល $E $ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ លំដាប់ដែលស្មើនឹងលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។

ម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ គឺជាម៉ាទ្រីសដែលកត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នោះហើយ ម៉ាទ្រីសឯកវចនៈ គឺជាកត្តាកំណត់ដែលស្មើនឹងសូន្យ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ មានប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $A$ មិនឯកវចនៈ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ មាន នោះវាមានតែមួយគត់។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ហើយយើងនឹងពិនិត្យមើលពីរក្នុងចំណោមពួកគេ។ ទំព័រនេះនឹងពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាស្តង់ដារនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់បំផុត។ វិធីសាស្រ្តទីពីរនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម) ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។

វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ ត្រូវការបីជំហាន៖

1. ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ហើយត្រូវប្រាកដថា $\Delta A\neq 0$, i.e. ម៉ាទ្រីស A គឺមិនមែនឯកវចនៈទេ។
2. តែង​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពិជគណិត $A_(ij)$ នៃ​ធាតុ​នីមួយៗ​នៃ​ម៉ាទ្រីស $A$ ហើយ​សរសេរ​ម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ ពី​ពិជគណិត​ដែល​បាន​រក​ឃើញ បំពេញបន្ថែម។
3. សរសេរម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយគិតគូរពីរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ ។

ម៉ាទ្រីស $(A^(*))^T$ ជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា adjoint (reciprocal, allied) ទៅម៉ាទ្រីស $A$ ។

ប្រសិនបើដំណោះស្រាយត្រូវបានធ្វើដោយដៃ នោះវិធីសាស្ត្រទីមួយគឺល្អសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសនៃការបញ្ជាទិញតិចតួចប៉ុណ្ណោះ៖ ទីពីរ (), ទីបី (), ទីបួន () ។ ដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ខ្ពស់ជាង វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍វិធីសាស្រ្ត Gaussian ដែលត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។

ឧទាហរណ៍លេខ 1

ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$ ។

ដោយសារធាតុទាំងអស់នៃជួរទីបួនស្មើនឹងសូន្យ នោះ $\Delta A=0$ (ឧ. ម៉ាទ្រីស $A$ គឺឯកវចនៈ)។ ចាប់តាំងពី $\Delta A=0$ មិនមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស $A$ ទេ។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ ។

យើងប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។ ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ $A$៖

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103។ $$

ចាប់តាំងពី $\Delta A \neq 0$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ដូច្នេះយើងនឹងបន្តដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរកការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(តម្រឹម)

យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត៖ $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$ ។

យើងបញ្ជូនម៉ាទ្រីសលទ្ធផល៖ $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the ម៉ាទ្រីស​លទ្ធផល​ច្រើន​តែ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ម៉ាទ្រីស​ជាប់​គ្នា ឬ​ម៉ាទ្រីស​សម្ព័ន្ធ​មិត្ត​ទៅ​ម៉ាទ្រីស $A$)។ ដោយប្រើរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ យើងមាន៖

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

ដូច្នេះ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array)(cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ ត្រូវ) $ ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃលទ្ធផល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃសមភាពមួយ៖ $A^(-1)\cdot A=E$ ឬ $A\cdot A^(-1)=E$ ។ តោះពិនិត្យមើលសមភាព $A^(-1)\cdot A=E$ ។ ដើម្បីធ្វើការតិចជាមួយប្រភាគ យើងនឹងជំនួសម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មិនមែនក្នុងទម្រង់ $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \ end(អារេ)\right)$, និងក្នុងទម្រង់ $-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc)8 & -7\ -9 & -5 \end(array)\right)$:

ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 3

ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \\right)$ .

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ គឺ៖

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26 ។ $$

ចាប់តាំងពី $\Delta A\neq 0$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ដូច្នេះយើងនឹងបន្តដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត ហើយបកប្រែវា៖

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\ right) $$

ដោយប្រើរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ យើងទទួលបាន៖

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

ដូច្នេះ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - ៦ /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃលទ្ធផល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃសមភាពមួយ៖ $A^(-1)\cdot A=E$ ឬ $A\cdot A^(-1)=E$ ។ តោះពិនិត្យមើលសមភាព $A\cdot A^(-1)=E$ ។ ដើម្បីធ្វើការតិចជាមួយប្រភាគ យើងនឹងជំនួសម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មិនមែនក្នុងទម្រង់ $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, និងក្នុងទម្រង់ $\frac(1)(26 )\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\right)$:

ការត្រួតពិនិត្យបានជោគជ័យ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 4

រកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបួន ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិតគឺពិបាកបន្តិច។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឧទាហរណ៍បែបនេះកើតឡើងនៅក្នុងឯកសារសាកល្បង។

ដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ មធ្យោបាយដ៏ល្អបំផុតដើម្បីធ្វើដូច្នេះក្នុងស្ថានភាពនេះគឺដោយ decomposing កំណត់នៅតាមបណ្តោយជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ។ យើងជ្រើសរើសជួរ ឬជួរឈរណាមួយ ហើយស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនីមួយៗនៃជួរ ឬជួរឈរដែលបានជ្រើសរើស។

វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស, . ពិចារណាម៉ាទ្រីសការ៉េ

ចូរយើងសម្គាល់ Δ = det A ។

ម៉ាទ្រីសការ៉េ A ត្រូវបានគេហៅថា មិនខូច,ឬ មិនពិសេសប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាគឺ nonzero និង degenerate,ឬ ពិសេស, ប្រសិនបើΔ = 0.

ម៉ាទ្រីសការ៉េ B គឺសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ A នៃលំដាប់ដូចគ្នា ប្រសិនបើផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ A B = B A = E ដែល E គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីស A និង B ។

ទ្រឹស្តីបទ . ដើម្បីឱ្យម៉ាទ្រីស A មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកត្តាកំណត់របស់វាខុសពីសូន្យ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស A តំណាងដោយ A- 1 ដូច្នេះ B = A - 1 ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

, (1)

ដែល A i j គឺជាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ a i j នៃម៉ាទ្រីស A..

ការគណនា A -1 ដោយប្រើរូបមន្ត (1) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ខ្ពស់គឺពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្មដូច្នេះក្នុងការអនុវត្តវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក A -1 ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម (ET) ។ ម៉ាទ្រីស A ដែលមិនមែនជាឯកវចនៈណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E ដោយអនុវត្តតែជួរឈរ (ឬតែជួរ) ទៅម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ ប្រសិនបើការបំប្លែងល្អឥតខ្ចោះលើម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់ដូចគ្នាទៅនឹងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E ។ លទ្ធផលនឹងជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្ត EP លើម៉ាទ្រីស A និង E ក្នុងពេលដំណាលគ្នា ដោយសរសេរម៉ាទ្រីសទាំងពីរចំហៀងគ្នាតាមរយៈបន្ទាត់មួយ។ ចូរយើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា នៅពេលស្វែងរកទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីស ដើម្បីស្វែងរកវា អ្នកអាចប្រើការបំប្លែងនៃជួរដេក និងជួរឈរ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស អ្នកគួរតែប្រើតែជួរដេក ឬជួរឈរប៉ុណ្ណោះក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការបំប្លែង។

ឧទាហរណ៍ 2.10. សម្រាប់ម៉ាទ្រីស រក A -1 ។

ដំណោះស្រាយ។ដំបូងយើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A
នេះមានន័យថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ហើយយើងអាចរកឃើញវាដោយប្រើរូបមន្ត៖ ដែល A i j (i,j=1,2,3) គឺជាការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ a i j នៃម៉ាទ្រីសដើម។

កន្លែងណា .

ឧទាហរណ៍ 2.11. ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របំប្លែងបឋម ស្វែងរក A -1 សម្រាប់ម៉ាទ្រីស៖ A = .

ដំណោះស្រាយ។យើងកំណត់ទៅម៉ាទ្រីសដើមនៅខាងស្តាំ ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នា៖ . ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនៃជួរឈរ យើងនឹងកាត់បន្ថយ "ពាក់កណ្តាល" ខាងឆ្វេងទៅឯកតាមួយ ក្នុងពេលដំណាលគ្នាធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នានៅលើម៉ាទ្រីសខាងស្តាំ។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីពីរ៖ ~ . ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមទីមួយហើយទៅទីពីរ - ទីមួយគុណនឹង -2: . ពីជួរទីមួយយើងដកទីពីរទ្វេដងហើយពីទីបី - ទីពីរគុណនឹង 6; . ចូរបន្ថែមជួរទីបីទៅជួរទីមួយ និងទីពីរ៖ . គុណជួរចុងក្រោយដោយ -1៖ . ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ដែល​ទទួល​បាន​នៅ​ខាង​ស្ដាំ​របារ​បញ្ឈរ​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​នៃ​ម៉ាទ្រីស A. ដូច្នេះ
.

ប្រធានបទនេះគឺជាប្រធានបទមួយដែលគេស្អប់បំផុតក្នុងចំណោមសិស្ស។ អាក្រក់ជាងនេះ ប្រហែលជាវគ្គជម្រុះ។

ល្បិចគឺថាគោលគំនិតនៃធាតុបញ្ច្រាស (ហើយខ្ញុំមិនមែនគ្រាន់តែនិយាយអំពីម៉ាទ្រីសទេ) សំដៅលើប្រតិបត្តិការនៃគុណ។ សូម្បីតែនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក៏ដោយ ការគុណត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រតិបត្តិការដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ហើយការគុណនៃម៉ាទ្រីសជាទូទៅគឺជាប្រធានបទដាច់ដោយឡែក ដែលខ្ញុំមានកថាខណ្ឌទាំងមូល និងមេរៀនវីដេអូឧទ្ទិស។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិតនៃការគណនាម៉ាទ្រីសទេ។ ចូរយើងចាំថា: របៀបម៉ាទ្រីសត្រូវបានកំណត់ របៀបដែលវាត្រូវបានគុណ និងអ្វីដែលកើតឡើងពីនេះ។

ពិនិត្យឡើងវិញ៖ គុណម៉ាទ្រីស

ជាដំបូង យើងយល់ស្របលើការសម្គាល់។ ម៉ាទ្រីស $A$ នៃទំហំ $\left[ m\times n \right]$ គឺគ្រាន់តែជាតារាងលេខដែលមានជួរដេក $m$ និងជួរឈរ $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ៖

\=\underbrace(\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\\ end(ម៉ាទ្រីស) \\right])_(n)\]

ដើម្បីជៀសវាងការលាយបញ្ចូលគ្នារវាងជួរដេក និងជួរឈរដោយចៃដន្យ (ជឿខ្ញុំ ក្នុងការប្រឡង អ្នកអាចច្រឡំមួយជាមួយពីរ ទុកជួរខ្លះ) សូមមើលរូបភាព៖

កំណត់សន្ទស្សន៍សម្រាប់កោសិកាម៉ាទ្រីស

តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង? ប្រសិនបើអ្នកដាក់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេស្តង់ដារ $OXY$ នៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ ហើយដឹកនាំអ័ក្សដើម្បីឱ្យពួកវាគ្របដណ្ដប់លើម៉ាទ្រីសទាំងមូល នោះក្រឡានីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសនេះអាចត្រូវបានភ្ជាប់ដោយឡែកជាមួយកូអរដោនេ $\left(x;y \right)$ - នេះនឹងជាលេខជួរដេក និងលេខជួរឈរ។

ហេតុអ្វីបានជាប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានដាក់នៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ? បាទ ព្រោះវាមកពីទីនោះដែលយើងចាប់ផ្តើមអានអត្ថបទណាមួយ។ វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។

ហេតុអ្វីបានជាអ័ក្ស $x$ ត្រូវបានដឹកនាំចុះក្រោម ហើយមិនទៅខាងស្តាំ? ជាថ្មីម្តងទៀត វាសាមញ្ញ៖ យកប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារ (អ័ក្ស $x$ ទៅខាងស្តាំ អ័ក្ស $y$ ឡើងលើ) ហើយបង្វិលវាដើម្បីឱ្យវាគ្របដណ្តប់ម៉ាទ្រីស។ នេះគឺជាការបង្វិលតាមទ្រនិចនាឡិកា 90 ដឺក្រេ - យើងឃើញលទ្ធផលនៅក្នុងរូបភាព។

ជាទូទៅ យើងបានស្វែងយល់ពីរបៀបកំណត់សន្ទស្សន៍នៃធាតុម៉ាទ្រីស។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលគុណ។

និយមន័យ។ Matrices $A=\left[ m\times n \right]$ និង $B=\left[ n\times k \right]$ នៅពេលដែលចំនួនជួរឈរក្នុងទីមួយត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរដេកក្នុងទីពីរគឺ ហៅថាស្រប។

តាមលំដាប់នោះ។ គេអាចយល់ច្រលំ ហើយនិយាយថាម៉ាទ្រីស $A$ និង $B$ បង្កើតជាគូដែលបានបញ្ជាទិញ $\left(A;B\right)$: ប្រសិនបើពួកវាស្របគ្នាក្នុងលំដាប់នេះ នោះវាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះដែល $B $ និង $A$ ទាំងនោះ។ គូ $\left(B;A\right)$ ក៏ស្របគ្នាដែរ។

មានតែម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នាប៉ុណ្ណោះដែលអាចគុណបាន។

និយមន័យ។ ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នា $A=\left[ m\times n \right]$ និង $B=\left[ n\times k \right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មី $C=\left[ m\times k \right ]$ ធាតុដែល $((c)_(ij))$ ត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្ត៖

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត៖ ដើម្បីទទួលបានធាតុ $((c)_(ij))$ នៃម៉ាទ្រីស $C=A\cdot B$ អ្នកត្រូវយក $i$-row នៃ matrix ដំបូង $j$ -th ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ទីពីរ ហើយ​បន្ទាប់​មក​គុណ​ជា​គូ​ធាតុ​ពី​ជួរ​ដេក​និង​ជួរ​ឈរ​នេះ។ បន្ថែមលទ្ធផល។

បាទ នោះ​ជា​និយមន័យ​ដ៏​អាក្រក់​បែប​នេះ។ ការពិតជាច្រើនកើតឡើងភ្លាមៗពីវា៖

1. ការគុណម៉ាទ្រីស ជាទូទៅគឺមិនមានការផ្លាស់ប្តូរទេ៖ $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គុណគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា៖ $\left(A\cdot B\right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C\right)$;
3. ហើយថែមទាំងចែកចាយ៖ $\left(A+B\right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. ហើយម្តងទៀតការចែកចាយ៖ $A\cdot \left(B+C\right)=A\cdot B+A\cdot C$ ។

ការចែកចាយនៃគុណត្រូវតែត្រូវបានពិពណ៌នាដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់កត្តាផលបូកឆ្វេង និងស្តាំយ៉ាងជាក់លាក់ ដោយសារការមិនផ្លាស់ប្តូរនៃប្រតិបត្តិការគុណ។

ប្រសិនបើវាប្រែថា $A\cdot B = B\cdot A$ ម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា commutative ។

ក្នុង​ចំណោម​ម៉ាទ្រីស​ទាំងអស់​ដែល​ត្រូវ​គុណ​នឹង​អ្វី​មួយ​នៅ​ទីនោះ មាន​លេខ​ពិសេស​ដែល​ពេល​គុណ​នឹង​ម៉ាទ្រីស $A$ ម្ដង​ទៀត​នឹង​ផ្ដល់​ឱ្យ $A$៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $E$ ត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណ ប្រសិនបើ $A\cdot E=A$ ឬ $E\cdot A=A$។ ក្នុងករណីម៉ាទ្រីសការ៉េ $A$ យើងអាចសរសេរ៖

ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺជាភ្ញៀវញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស។ ហើយជាទូទៅភ្ញៀវញឹកញាប់នៅក្នុងពិភពម៉ាទ្រីស :) ។

ហើយដោយសារតែ $E$ នេះហើយ ទើបមាននរណាម្នាក់ចេញមកនូវរឿងមិនសមហេតុសមផលទាំងអស់ ដែលនឹងត្រូវសរសេរបន្ទាប់ទៀត។

តើអ្វីទៅជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាប្រតិបត្តិការដែលពឹងផ្អែកលើកម្លាំងពលកម្មខ្លាំង (អ្នកត្រូវគុណជួរ និងជួរ) គោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក៏ប្រែថាមិនមែនជារឿងតូចតាចបំផុតនោះទេ។ ហើយទាមទារការពន្យល់ខ្លះ។

និយមន័យគន្លឹះ

ដល់ពេលដឹងការពិតហើយ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $B$ ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A$ ប្រសិនបើ

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានតាងដោយ $((A)^(-1))$ (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយដឺក្រេទេ!) ដូច្នេះនិយមន័យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោមៈ

វាហាក់ដូចជាថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញបំផុតនិងច្បាស់លាស់។ ប៉ុន្តែនៅពេលវិភាគនិយមន័យនេះ សំណួរជាច្រើនកើតឡើងភ្លាមៗ៖

1. តើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតែងតែមានទេ? ហើយ​បើ​មិន​មែន​ជា​និច្ច​ទេ តើ​ត្រូវ​ធ្វើ​ដូចម្តេច​ដើម្បី​កំណត់​ថា​តើ​វា​មាន​នៅ​ពេល​ណា និង​នៅ​ពេល​ណា​ដែល​វា​មិន​មាន?
2. ហើយអ្នកណាថាមានម៉ាទ្រីសបែបនេះ? ចុះប្រសិនបើសម្រាប់ម៉ាទ្រីសដំបូង $A$ មានហ្វូងទាំងមូលនៃការបញ្ច្រាស?
3. តើ "បញ្ច្រាស" ទាំងអស់នេះមើលទៅដូចអ្វី? ហើយតើយើងគួររាប់វាដោយរបៀបណា?

ចំពោះក្បួនដោះស្រាយការគណនា យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយបន្តិច។ ប៉ុន្តែយើងនឹងឆ្លើយសំណួរដែលនៅសល់ឥឡូវនេះ។ ចូរ​យើង​បង្កើត​វា​ជា​ទម្រង់​នៃ​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ដាច់​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា -lemmas ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរបៀបដែលម៉ាទ្រីស $A$ ជាគោលការណ៍ រកមើលនៅក្នុងលំដាប់សម្រាប់ $((A)^(-1))$ ដើម្បីមានសម្រាប់វា។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាម៉ាទ្រីសទាំងពីរនេះត្រូវតែជាការ៉េ និងមានទំហំដូចគ្នា៖ $\left[n\times n\right]$ ។

លេម៉ា ១. បានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ និងវាបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសទាំងពីរនេះគឺការ៉េ ហើយមានលំដាប់ដូចគ្នា $n$។

ភស្តុតាង។ វាសាមញ្ញ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[a\times b\right]$ ។ ដោយសារផលិតផល $A\cdot ((A)^(-1))=E$ មានតាមនិយមន័យ ម៉ាទ្រីស $A$ និង $((A)^(-1))$ គឺស្របគ្នាក្នុងលំដាប់ដែលបានបង្ហាញ៖

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( តម្រឹម)\]

នេះគឺជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃក្បួនដោះស្រាយការគុណម៉ាទ្រីស៖ មេគុណ $n$ និង $a$ គឺ "ឆ្លងកាត់" ហើយត្រូវតែស្មើគ្នា។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គុណលេខបញ្ច្រាសក៏ត្រូវបានកំណត់ផងដែរ៖ $((A)^(-1))\cdot A=E$ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស $((A)^(-1))$ និង $A$ គឺ ក៏ស្របទៅតាមលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់៖

\[\begin(align) & \left[a\times b\right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( តម្រឹម)\]

ដូច្នេះដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចសន្មត់ថា $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាមនិយមន័យនៃ $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ ដូច្នេះទំហំនៃម៉ាទ្រីសគឺស្របគ្នាយ៉ាងតឹងរ៉ឹង៖

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

ដូច្នេះវាប្រែថាម៉ាទ្រីសទាំងបី - $A$, $((A)^(-1))$ និង $E$ - គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

ជាការប្រសើរណាស់ហើយ។ យើងឃើញថាមានតែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះដែលមិនអាចបញ្ច្រាស់បាន។ ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​គឺ​តែងតែ​ដូច​គ្នា។

លេម៉ា ២. បានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ និងវាបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនេះគឺជាតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ ចូរទៅដោយភាពផ្ទុយគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ មានយ៉ាងហោចណាស់ពីរបញ្ច្រាស - $B$ និង $C$ ។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A \\ cdot C = C \\ cdot A = E ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ពី Lemma 1 យើងសន្និដ្ឋានថាម៉ាទ្រីសទាំងបួន - $A$, $B$, $C$ និង $E$ - គឺជាការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នា៖ $\left[ n\times n \right]$ ។ ដូច្នេះផលិតផលត្រូវបានកំណត់៖

ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា (ប៉ុន្តែមិនមានការផ្លាស់ប្តូរទេ!) យើងអាចសរសេរ៖

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A\right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C\right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានជម្រើសតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន: ច្បាប់ចម្លងពីរនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺស្មើគ្នា។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

អាគុយម៉ង់ខាងលើនិយាយឡើងវិញស្ទើរតែ verbatim ភស្តុតាងនៃភាពប្លែកនៃធាតុបញ្ច្រាសសម្រាប់ចំនួនពិតទាំងអស់ $b\ne 0$ ។ ការបន្ថែមដ៏សំខាន់តែមួយគត់គឺយកទៅក្នុងគណនីវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយយើងនៅតែមិនដឹងអ្វីទាំងអស់អំពីថាតើរាល់ម៉ាទ្រីសការ៉េមិនបញ្ច្រាស់ទេ។ នៅទីនេះកត្តាកំណត់មកដល់ជំនួយរបស់យើង - នេះគឺជាលក្ខណៈសំខាន់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េទាំងអស់។

លេម៉ា ៣. បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស $A$ ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសរបស់វា $((A)^(-1))$ មាន នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺមិនសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| A\right|\ne 0\]

ភស្តុតាង។ យើងដឹងរួចហើយថា $A$ និង $((A)^(-1))$ គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[ n\times n \right]$ ។ ដូច្នេះ សម្រាប់ពួកវានីមួយៗ យើងអាចគណនាកត្តាកំណត់៖ $\left| A\right|$ និង $\left| ((A)^(-1)) \right|$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់៖

\[\ ឆ្វេង| A\cdot B \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ខ \\ ស្ដាំ|\\ ព្រួញស្ដាំ \\ ឆ្វេង| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ((A)^(-1)) \right|\]

ប៉ុន្តែយោងទៅតាមនិយមន័យ $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ហើយកត្តាកំណត់នៃ $E$ តែងតែស្មើនឹង 1 ដូច្នេះ

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ ឆ្វេង| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| អ៊ី\ត្រូវ|; \\ & \ ឆ្វេង| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(តម្រឹម)\]

ផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមួយ លុះត្រាតែចំនួននីមួយៗនៃលេខទាំងនេះមិនមែនជាសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

ដូច្នេះវាប្រែថា $\left| A \right|\ne 0$។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

តាមពិតតម្រូវការនេះគឺសមហេតុផលណាស់។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - ហើយវានឹងក្លាយទៅជាច្បាស់លាស់ទាំងស្រុងថាហេតុអ្វីបានជា ដោយគ្មានកត្តាកំណត់សូន្យ គ្មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជាគោលការណ៍អាចមាន។

ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យ "ជំនួយ"៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីសឯកវចនៈគឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ដែលកត្តាកំណត់គឺសូន្យ។

ដូចនេះ យើងអាចអះអាងថា រាល់ម៉ាទ្រីសដែលដាក់បញ្ច្រាសគឺមិនមែនឯកវចនៈទេ។

របៀបស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយជាសកលសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ជាទូទៅមានក្បួនដោះស្រាយពីរដែលទទួលយកជាទូទៅ ហើយយើងក៏នឹងពិចារណាវិធីទីពីរនៅថ្ងៃនេះផងដែរ។

មួយ​ដែល​នឹង​ត្រូវ​ពិភាក្សា​នៅ​ពេល​នេះ​គឺ​មាន​ប្រសិទ្ធិ​ភាព​ខ្លាំង​ណាស់​សម្រាប់​ម៉ាទ្រីស​នៃ​ទំហំ $\left[2\times 2\right]$ និង - partially - size $\left[ 3\times 3 \right]$ ។ ប៉ុន្តែចាប់ផ្តើមពីទំហំ $\left[4\times 4\right]$ វាប្រសើរជាងកុំប្រើវា។ ហេតុអ្វី - ឥឡូវនេះអ្នកនឹងយល់គ្រប់យ៉ាងដោយខ្លួនឯង។

ការបន្ថែមពិជគណិត

ត្រៀមខ្លួន។ ឥឡូវនេះនឹងមានការឈឺចាប់។ ទេ កុំបារម្ភ៖ គិលានុបដ្ឋាយិកាដ៏ស្រស់ស្អាតនៅក្នុងសំពត់ ខោជើងវែង នឹងមិនមករកអ្នក ហើយចាក់ថ្នាំនៅគូទនោះទេ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមានភាពអស្ចារ្យជាងនេះទៅទៀត៖ ការបន្ថែមពិជគណិត និងព្រះមហាក្សត្រិយានី "Union Matrix" មករកអ្នក។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរឿងសំខាន់។ សូមឱ្យមានម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $A=\left[n\times n\right]$ ដែលធាតុរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា $((a)_(ij))$ ។ បន្ទាប់មក សម្រាប់ធាតុនីមួយៗ យើងអាចកំណត់ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត:

និយមន័យ។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$ ទៅធាតុ $((a)_(ij))$ ដែលមានទីតាំងនៅជួរ $i$th និង $j$th នៃម៉ាទ្រីស $A=\left[ n \times n \right]$ គឺជាការសាងសង់ទម្រង់

\[((A)_(ij))=((\left(-1\right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

ដែល $M_(ij)^(*)$ គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពី $A$ ដើមដោយលុបជួរ $i$th ដូចគ្នា និងជួរឈរ $j$th ។

ម្តងទៀត។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតទៅធាតុម៉ាទ្រីសដែលមានកូអរដោណេ $\left(i;j \right)$ ត្រូវបានតំណាងថា $((A)_(ij))$ ហើយត្រូវបានគណនាតាមគ្រោងការណ៍៖

1. ដំបូង យើងលុបជួរ $i$-row និង $j$-th ចេញពីម៉ាទ្រីសដើម។ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េថ្មី ហើយយើងកំណត់កត្តាកំណត់របស់វាថា $M_(ij)^(*)$ ។
2. បន្ទាប់មកយើងគុណកត្តាកំណត់នេះដោយ $((\left(-1\right))^(i+j))$ - ដំបូងកន្សោមនេះអាចមើលទៅគួរអោយចង់ចាំ ប៉ុន្តែតាមពិតយើងគ្រាន់តែស្វែងរកសញ្ញានៅពីមុខ $M_(ij)^(*) $ ។
3. យើងរាប់ និងទទួលបានលេខជាក់លាក់។ ទាំងនោះ។ ការបន្ថែមពិជគណិតគឺជាចំនួនជាក់លាក់មួយ ហើយមិនមែនជាម៉ាទ្រីសថ្មីមួយចំនួន។ល។

ម៉ាទ្រីស $M_(ij)^(*)$ ខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថាជាអនីតិជនបន្ថែមចំពោះធាតុ $((a)_(ij))$ ។ ហើយក្នុងន័យនេះ និយមន័យខាងលើនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតគឺជាករណីពិសេសនៃនិយមន័យស្មុគស្មាញជាងនេះ - អ្វីដែលយើងបានមើលនៅក្នុងមេរៀនអំពីកត្តាកំណត់។

ចំណាំសំខាន់។ តាមពិតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា "មនុស្សពេញវ័យ" ការបន្ថែមពិជគណិតត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម:

1. យើងយកជួរ $k$ និងជួរឈរ $k$ ក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ។ នៅចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទំហំ $\left[k\times k\right]$ - កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាជាអនីតិជននៃលំដាប់ $k$ ហើយត្រូវបានតំណាងថា $((M)_(k))$។
2. បន្ទាប់មកយើងកាត់ជួរ $k$ ដែល "បានជ្រើសរើស" និងជួរ $k$ ទាំងនេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀតអ្នកទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េ - កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនបន្ថែម ហើយត្រូវបានតំណាងថា $M_(k)^(*)$ ។
3. គុណ $M_(k)^(*)$ ដោយ $((\left(-1\right)))^(t))$ ដែល $t$ គឺ (យកចិត្តទុកដាក់ឥឡូវនេះ!) ផលបូកនៃចំនួននៃជួរដេកដែលបានជ្រើសរើសទាំងអស់ និងជួរឈរ។ នេះនឹងជាការបន្ថែមពិជគណិត។

សូមក្រឡេកមើលជំហានទីបី៖ ពិតជាមានផលបូកនៃ $2k$ លក្ខខណ្ឌ! រឿងមួយទៀតគឺថាសម្រាប់ $k=1$ យើងនឹងទទួលបានតែ 2 លក្ខខណ្ឌ - ទាំងនេះនឹងដូចគ្នា $i+j$ - "coordinates" នៃធាតុ $((a)_(ij))$ ដែលយើងជា កំពុងរកមើលការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

ដូច្នេះថ្ងៃនេះយើងកំពុងប្រើនិយមន័យសាមញ្ញបន្តិច។ ប៉ុន្តែដូចដែលយើងនឹងឃើញនៅពេលក្រោយវានឹងលើសពីគ្រប់គ្រាន់។ រឿងខាងក្រោមគឺសំខាន់ជាងនេះទៅទៀត៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីសសម្ព័ន្ធ $S$ ទៅម៉ាទ្រីសការ៉េ $A=\left[n\times n\right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មីនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ដែលទទួលបានពី $A$ ដោយជំនួស $((a)_(ij))$ ដោយការបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n))) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\\end(ម៉ាទ្រីស) \\right]\]

គំនិតដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលដឹងនិយមន័យនេះគឺ "តើត្រូវរាប់ប៉ុន្មាន!" សម្រាក៖ អ្នកនឹងត្រូវរាប់ប៉ុន្តែមិនច្រើនទេ។

ជាការប្រសើរណាស់, ទាំងអស់នេះល្អណាស់, ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាវាចាំបាច់? តែ​ហេតុអ្វី។

ទ្រឹស្តីបទចម្បង

តោះត្រឡប់ទៅវិញបន្តិច។ សូមចាំថា នៅក្នុង Lemma 3 វាត្រូវបានចែងថា ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A$ តែងតែមិនមែនជាឯកវចនៈ (នោះគឺ កត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនមែនសូន្យ៖ $\left| A \right|\ne 0$)។

ដូច្នេះ ភាពផ្ទុយគ្នាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $A$ មិនមែនជាឯកវចនៈទេ នោះវាតែងតែបញ្ច្រាស់។ ហើយមានសូម្បីតែគ្រោងការណ៍ស្វែងរកសម្រាប់ $((A)^(-1))$ ។ សូមពិនិត្យមើលវា៖

ទ្រឹស្តីបទម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសការ៉េ $A=\left[n\times n\right]$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ៖ $\left| A \right|\ne 0$។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ មាន ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left|A\right|)\cdot ((S)^(T))\]

ហើយឥឡូវនេះ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាប៉ុន្តែនៅក្នុងការសរសេរដោយដៃដែលអាចយល់បាន។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស អ្នកត្រូវការ៖

1. គណនាកត្តាកំណត់ $\left| A \right|$ ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនសូន្យ។
2. សាងសង់ម៉ាទ្រីសសហជីព $S$, i.e. រាប់ 100500 ការបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$ ហើយដាក់វាជំនួស $((a)_(ij))$ ។
3. ផ្ទេរម៉ាទ្រីសនេះ $S$ ហើយបន្ទាប់មកគុណវាដោយចំនួនមួយចំនួន $q=(1)/(\left|A\right|)\;$។

អស់ហើយ! ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ត្រូវបានរកឃើញ។ តោះមើលឧទាហរណ៍៖

\\[\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\\ end(ម៉ាទ្រីស) \\ right]\]

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលភាពបញ្ច្រាស។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់៖

\[\ ឆ្វេង| A\right|=\left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

កត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​ម៉ាទ្រីស​គឺ​មិន​បញ្ច្រាស់។ តោះបង្កើតម៉ាទ្រីសសហជីព៖

ចូរយើងគណនាការបន្ថែមពិជគណិត៖

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1\right))^(1+1))\cdot \left| 2 \\ ស្តាំ |= 2; \\ & ((A)_(១២))=((\left(-1\right))^(1+2))\cdot \left| 5 ស្តាំ |=-5; \\ & ((A)_(២១))=((\left(-1\right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1\right))^(2+2))\cdot \left| 3\ ត្រូវ|=3. \\ \end(តម្រឹម)\]

សូមចំណាំ៖ កត្តាកំណត់ |2|,|5|,|1| និង |3| គឺជាកត្តាកំណត់នៃទំហំ $\left[1\times 1\right]$ ហើយមិនមែនម៉ូឌុលទេ។ ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្នុងកត្តាកំណត់ នោះមិនចាំបាច់ដក "ដក" ចេញទេ។

សរុបមក ម៉ាទ្រីសសហជីពរបស់យើងមើលទៅដូចនេះ៖

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left|A\right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[\begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end(array) \right])^(T))=\left[\begin (អារេ)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ]\]

យល់ព្រម វាចប់ហើយឥឡូវនេះ។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ។ $\left[\begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\\ end(array) \\right]$

កិច្ចការ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[\begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ end(array) \\ right] \]

ដំណោះស្រាយ។ យើងគណនាកត្តាកំណត់ម្តងទៀត៖

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ end(array) \\right|=\begin(ម៉ាទ្រីស ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0\right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1\right)\cdot 0\right) \\\end(ម៉ាទ្រីស)=\ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

កត្តាកំណត់គឺមិនសូន្យ - ម៉ាទ្រីសគឺបញ្ច្រាស់។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះវានឹងពិបាកមែនទែន៖ យើងត្រូវរាប់ចំនួន 9 (ប្រាំបួន, motherfucker!) ការបន្ថែមពិជគណិត។ ហើយពួកវានីមួយៗនឹងមានកត្តាកំណត់ $\left[2\times 2\right]$ ។ ហោះហើរ៖

\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((A)_(11))=((\left(-1\right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=2; \\ ((A)_(១២))=((\left(-1\right))^(1+2))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=-1; \\ ((A)_(១៣))=((\left(-1\right))^(1+3))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1\right))^(3+3))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=2; \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

សរុបមក ម៉ាទ្រីសសហជីពនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងមានៈ

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ] = \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ \\ 2 & 1 & -2 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

នោះ​ហើយ​ជា​វា។ នេះគឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ។ $\left[\begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\\ end(array) \\ right ]$

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅចុងបញ្ចប់នៃឧទាហរណ៍នីមួយៗយើងបានធ្វើការពិនិត្យ។ ក្នុងន័យនេះ កំណត់ចំណាំសំខាន់មួយ៖

កុំខ្ជិលពិនិត្យ។ គុណម៉ាទ្រីសដើមដោយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលបានរកឃើញ - អ្នកគួរតែទទួលបាន $E$ ។

អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យនេះគឺមានភាពងាយស្រួល និងលឿនជាងការស្វែងរកកំហុសក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ អ្នកកំពុងដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស។

វិធីជំនួស

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយ ទ្រឹស្តីបទម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដំណើរការល្អសម្រាប់ទំហំ $\left[2\times 2\right]$ និង $\left[3\times 3\right]$ (ក្នុងករណីចុងក្រោយវាមិនសូវល្អទេ"" ) ប៉ុន្តែសម្រាប់ម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំធំ ភាពសោកសៅចាប់ផ្តើម។

ប៉ុន្តែកុំបារម្ភ៖ មានក្បួនដោះស្រាយជំនួសដែលអ្នកអាចស្វែងរកការបញ្ច្រាសដោយស្ងប់ស្ងាត់ សូម្បីតែម៉ាទ្រីស $\left[ 10\times 10 \right]$។ ប៉ុន្តែ​ដូច​ជា​កើត​ឡើង​ជា​ញឹក​ញាប់ ដើម្បី​ពិចារណា​អំពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​នេះ យើង​ត្រូវ​ការ​ប្រវត្តិ​ទ្រឹស្ដី​បន្តិច។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋម

ក្នុងចំណោមការបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ មានចំណុចពិសេសមួយចំនួន - ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាបឋម។ មានការកែប្រែចំនួនបីយ៉ាងពិតប្រាកដ៖

1. គុណ។ អ្នកអាចយកជួរ $i$th (column) ហើយគុណវាដោយលេខណាមួយ $k\ne 0$;
2. ការបន្ថែម។ បន្ថែមទៅជួរ $i$-th (column) ផ្សេងទៀត $j$-th row (column) គុណនឹងលេខណាមួយ $k\ne 0$ (ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចធ្វើ $k=0$ ប៉ុន្តែអ្វីដែលជា ចំណុច?
3. ការរៀបចំឡើងវិញ។ យកជួរ $i$th និង $j$th (columns) ហើយប្តូរកន្លែង។

ហេតុអ្វីបានជាការបំប្លែងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាបឋម (សម្រាប់ម៉ាទ្រីសធំពួកគេមិនមើលទៅដូចជាបឋមទេ) ហើយហេតុអ្វីបានជាមានតែបីប៉ុណ្ណោះក្នុងចំណោមពួកគេ - សំណួរទាំងនេះហួសពីវិសាលភាពនៃមេរៀនថ្ងៃនេះ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​មិន​ចូល​ទៅ​ក្នុង​សេចក្តី​លម្អិត​ទេ។

រឿងមួយទៀតគឺសំខាន់: យើងត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងទាំងអស់នេះនៅលើម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។ បាទ បាទ៖ អ្នក​បាន​ឮ​ត្រូវ​ហើយ។ ឥឡូវនេះនឹងមាននិយមន័យមួយទៀត គឺពាក្យចុងក្រោយនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។

ម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។

ប្រាកដណាស់នៅសាលាអ្នកបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ នៅទីនោះ ដកមួយទៀតពីបន្ទាត់មួយ គុណបន្ទាត់ខ្លះដោយលេខ - នោះហើយជាទាំងអស់។

ដូច្នេះ: ឥឡូវនេះអ្វីៗនឹងដូចគ្នាប៉ុន្តែតាមរបៀប "មនុស្សពេញវ័យ" ។ ត្រៀមខ្លួនហើយឬនៅ?

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A=\left[ n\times n \right]$ និងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ ដែលមានទំហំដូចគ្នា $n$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសជាប់ $\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មីនៃទំហំ $\left[n\times 2n \right]$ ដែលមើលទៅដូចនេះ៖

\[\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]=\left[\begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n))) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ បញ្ចប់(អារេ) \right]\]

សរុបមក យើងយកម៉ាទ្រីស $A$ នៅខាងស្តាំយើងកំណត់ឱ្យវានូវម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ នៃទំហំដែលត្រូវការ យើងបំបែកពួកវាដោយរបារបញ្ឈរសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត - នៅទីនេះអ្នកមានផ្នែកជាប់គ្នា។

តើចាប់បានអ្វី? នេះជាអ្វី៖

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ បញ្ច្រាស់។ ពិចារណាម៉ាទ្រីសជាប់ $\left[ A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$។ ប្រសិនបើប្រើ ការបម្លែងខ្សែអក្សរបឋមនាំវាទៅទម្រង់ $\left[E\left| ខ\ត្រូវ។ \right]$, i.e. ដោយការគុណ ដក និងតម្រៀបជួរដេកឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានពី $A$ ម៉ាទ្រីស $E$ នៅខាងស្តាំ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស $B$ ដែលទទួលបាននៅខាងឆ្វេងគឺជាតម្លៃបញ្ច្រាសនៃ $A$៖

\[\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]\to \left[E\left| ខ\ត្រូវ។ \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

វាសាមញ្ញណាស់! សរុបមក ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមើលទៅដូចនេះ៖

1. សរសេរម៉ាទ្រីសជាប់ $\left[ A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$;
2. អនុវត្តការបំប្លែងខ្សែអក្សរបឋមរហូតដល់ $E$ លេចឡើងជំនួសឱ្យ $A$;
3. ជាការពិតណាស់ អ្វីមួយក៏នឹងលេចឡើងនៅខាងឆ្វេងផងដែរ - ម៉ាទ្រីសជាក់លាក់ $B$ ។ នេះនឹងផ្ទុយពីនេះ;
4. ចំណេញ! :)

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ នេះ​គឺ​ងាយ​ស្រួល​និយាយ​ជាង​ការ​ធ្វើ។ ដូច្នេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖ សម្រាប់ទំហំ $\left[3\times 3\right]$ និង $\left[4\times 4\right]$។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[\begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\\ end(array) \\ right]\ ]

ដំណោះស្រាយ។ យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា៖

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

ដោយសារជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសដើមត្រូវបានបំពេញដោយមួយ ដកជួរទីមួយចេញពីសល់៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ ចុះក្រោម \\ -១ \\ -១ \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\]

មិនមានឯកតាទៀតទេលើកលែងតែជួរទីមួយ។ ប៉ុន្តែ​យើង​មិន​ប៉ះ​វា​ទេ បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ ឯកតា​ដែល​បាន​ដក​ចេញ​ថ្មី​នឹង​ចាប់​ផ្តើម "គុណ" នៅ​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ទី​បី។

ប៉ុន្តែយើងអាចដកជួរទីពីរពីរដងពីបន្ទាត់ចុងក្រោយ - យើងទទួលបានមួយនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ចុះព្រួញ \\ -២ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \\ ឆ្វេង [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\]

ឥឡូវនេះយើងអាចដកជួរចុងក្រោយពីជួរទីមួយ និងពីរដងពីទីពីរ - ដោយវិធីនេះយើង "សូន្យ" ជួរទីមួយ៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -១ \\ -២ \\ \uparrow \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស)\ ទៅ \\ & \\ ទៅ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

គុណជួរទីពីរដោយ −1 ហើយបន្ទាប់មកដកវា 6 ដងពីដំបូងហើយបន្ថែម 1 ដងទៅចុងក្រោយ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ]\begin(ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -៦ \\ \updownarrow \\ +1 \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវប្តូរជួរទី 1 និងទី 3៖

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

រួចរាល់ហើយ! នៅខាងស្តាំគឺជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលត្រូវការ។

ចម្លើយ។ $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\\ end(array) \\ right ]$

កិច្ចការ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ] \\]

ដំណោះស្រាយ។ យើងបង្កើតផ្នែកជាប់គ្នាម្តងទៀត៖

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ បញ្ចប់ (អារេ) \right]\]

យំបន្តិច សោកស្ដាយថា យើងត្រូវរាប់ឥឡូវនេះ... ហើយចាប់ផ្តើមរាប់។ ជាដំបូង ចូរយើង "សូន្យចេញ" ជួរទីមួយដោយដកជួរទី 1 ពីជួរទី 2 និងទី 3៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ]\begin(ម៉ាទ្រីស) \\ ចុះក្រោម \\ -1 \\ -1 \\ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

យើងឃើញ "គុណវិបត្តិ" ច្រើនពេកនៅក្នុងជួរទី 2-4 ។ គុណជួរទាំងបីដោយ −1 ហើយបន្ទាប់មកដុតជួរទី 3 ដោយដកជួរទី 3 ពីសល់៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\\end(ម៉ាទ្រីស)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -២ \\ -១ \\ \ ចុះក្រោម \\ -២ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)( rrrr|។ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះជាពេលវេលាដើម្បី "ចៀន" ជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសដើម: ដកជួរទី 4 ពីនៅសល់:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ ) \right]\begin(ម៉ាទ្រីស) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\\ end(ម៉ាទ្រីស)\ ទៅ \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

ការបោះចុងក្រោយ៖ "ដុតចេញ" ជួរទីពីរដោយដកជួរទី 2 ពីជួរទី 1 និងទី 3៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់( អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) ៦ \\ \ ឡើងចុះ \\ -៥ \\ \\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ & \ ទៅ \ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(rrrr|rrrr) ១ & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ហើយម្តងទៀត លេខសម្គាល់អត្តសញ្ញាណគឺនៅខាងឆ្វេង ដែលមានន័យថា បញ្ច្រាសគឺនៅខាងស្តាំ :)។

ចម្លើយ។ $\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ]$