សមីការលោការីត! ការដោះស្រាយសមីការលោការីត គឺជាមេរៀនចុងក្រោយ។

ការដោះស្រាយសមីការលោការីត។ ផ្នែកទី 1 ។

សមីការលោការីតគឺជាសមីការមួយដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានផ្ទុកនៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីត (ជាពិសេសនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃលោការីត) ។

សាមញ្ញបំផុត។ សមីការលោការីតមានទម្រង់៖

ការដោះស្រាយសមីការលោការីតណាមួយ។ពាក់ព័ន្ធនឹងការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីតទៅជាកន្សោមក្រោមសញ្ញាលោការីត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសកម្មភាពនេះពង្រីកជួរនៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃសមីការហើយអាចនាំឱ្យមានរូបរាងនៃឫស extraneous ។ ដើម្បីជៀសវាងរូបរាងនៃឫសបរទេសអ្នកអាចធ្វើវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីបីយ៉ាង៖

1. ធ្វើការផ្លាស់ប្តូរសមមូលពីសមីការដើមទៅប្រព័ន្ធរួមទាំង

អាស្រ័យលើវិសមភាព ឬសាមញ្ញជាង។

ប្រសិនបើសមីការមានមិនស្គាល់នៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃលោការីត៖

បន្ទាប់មកយើងចូលទៅកាន់ប្រព័ន្ធ៖

2. ស្វែងរកដោយឡែកពីគ្នានូវជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការបន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ ហើយពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញពេញចិត្តសមីការដែរឬទេ។

3. ដោះស្រាយសមីការ ហើយបន្ទាប់មក ពិនិត្យ៖ជំនួសដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម ហើយពិនិត្យមើលថាតើយើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ។

សមីការលោការីតនៃកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយតែងតែកាត់បន្ថយទៅជាសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត។

សមីការលោការីតទាំងអស់អាចចែកចេញជាបួនប្រភេទ៖

1 . សមីការដែលមានលោការីតតែចំពោះថាមពលដំបូងប៉ុណ្ណោះ។ ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរនិងការប្រើប្រាស់ពួកវាត្រូវបាននាំយកទៅទម្រង់

ឧទាហរណ៍. តោះដោះស្រាយសមីការ៖

ចូរយើងគណនាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត៖

តោះពិនិត្យមើលថាតើឫសនៃសមីការរបស់យើងពេញចិត្តឬអត់៖

បាទ វាពេញចិត្ត។

ចម្លើយ៖ x=5

2 . សមីការដែលមានលោការីតទៅអំណាចក្រៅពី 1 (ជាពិសេសនៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ)។ សមីការបែបនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើ ការណែនាំអំពីការផ្លាស់ប្តូរអថេរ.

ឧទាហរណ៍។តោះដោះស្រាយសមីការ៖

ចូរយើងស្វែងរកសមីការ ODZ៖

សមីការមានលោការីតការ៉េ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

សំខាន់! មុននឹងណែនាំការជំនួស អ្នកត្រូវ "ដក" លោការីតដាច់ពីគ្នា ដែលជាផ្នែកមួយនៃសមីការទៅជា "ឥដ្ឋ" ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត។

នៅពេលដែលលោការីត "ទាញដាច់ពីគ្នា" វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីតយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន៖

លើសពីនេះ វាមានចំណុចល្អិតល្អន់មួយបន្ថែមទៀតនៅទីនេះ ហើយដើម្បីជៀសវាងកំហុសទូទៅ យើងនឹងប្រើសមភាពកម្រិតមធ្យម៖ យើងនឹងសរសេរកម្រិតលោការីតក្នុងទម្រង់នេះ៖

ដូចគ្នានេះដែរ

ចូរជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការដើម។ យើងទទួលបាន៖

ឥឡូវនេះយើងឃើញថាមិនស្គាល់មាននៅក្នុងសមីការជាផ្នែកនៃ . តោះណែនាំការជំនួស:. ដោយសារ​វា​អាច​យក​តម្លៃ​ពិត​ណា​មួយ យើង​មិន​ដាក់​កម្រិត​លើ​អថេរ​ទេ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យឡើងវិញនូវទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋានអំពីលោការីត ហើយពិចារណាលើការដោះស្រាយសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត។

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យកណ្តាល - និយមន័យនៃលោការីត។ វាពាក់ព័ន្ធនឹងការដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ សមីការនេះមានឫសតែមួយ វាត្រូវបានគេហៅថាលោការីតនៃ b ដើម្បីមូលដ្ឋាន a:

និយមន័យ៖

លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជានិទស្សន្តដែលមូលដ្ឋាន a ត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបាន b ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកអ្នក។ អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន.

កន្សោម (កន្សោម ១) ជាឫសគល់នៃសមីការ (កន្សោម ២)។ ជំនួសតម្លៃ x ពីកន្សោម 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងកន្សោម 2 ហើយទទួលបានអត្តសញ្ញាណលោការីតមេ៖

ដូច្នេះយើងឃើញថាតម្លៃនីមួយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្លៃមួយ។ យើងសម្គាល់ b ដោយ x (), c ដោយ y ហើយដូច្នេះទទួលបានអនុគមន៍លោការីត៖

ឧទាហរណ៍៖

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍លោការីត។

ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ម្តងទៀត នៅទីនេះ ចាប់តាំងពីនៅក្រោមលោការីត វាអាចមានកន្សោមវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង ដែលជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។

អង្ករ។ 1. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

ក្រាហ្វនៃមុខងារនៅត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌ខ្មៅ។ អង្ករ។ 1. ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់កើនឡើងពីសូន្យទៅគ្មានដែនកំណត់ មុខងារនឹងកើនឡើងពីដកទៅបូកគ្មានដែនកំណត់។

ក្រាហ្វនៃមុខងារនៅត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌ក្រហម។ អង្ករ។ ១.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារនេះ៖

វិសាលភាព៖ ;

ជួរនៃតម្លៃ: ;

មុខងារគឺ monotonic នៅទូទាំងដែននៃនិយមន័យរបស់វា។ នៅពេលដែល monotonically (យ៉ាងតឹងរឹង) កើនឡើង តម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំជាងនៃមុខងារ។ នៅពេលដែល monotonically (យ៉ាងតឹងរឹង) ថយចុះ តម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃតូចជាងនៃអនុគមន៍។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍លោការីត គឺជាគន្លឹះក្នុងការដោះស្រាយសមីការលោការីតផ្សេងៗ។

ចូរយើងពិចារណាសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត;

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីត និងលោការីតខ្លួនឯងស្មើគ្នា មុខងារនៅក្រោមលោការីតក៏ស្មើគ្នាដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនត្រូវរំលងដែននៃនិយមន័យនោះទេ។ មានតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះដែលអាចបង្ហាញនៅក្រោមលោការីត យើងមាន៖

យើងបានរកឃើញថាមុខងារ f និង g គឺស្មើគ្នា ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជ្រើសរើសវិសមភាពណាមួយដើម្បីអនុលោមតាម ODZ ។

ដូចនេះ យើងមានប្រព័ន្ធចម្រុះដែលមានសមីការ និងវិសមភាព៖

តាមក្បួនវាមិនចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពទេ វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវិសមភាព ដូច្នេះធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។

ចូរយើងបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត៖

ធ្វើសមភាពមូលដ្ឋាននៃលោការីត;

អនុគមន៍អនុlogarithmic ស្មើគ្នា;

អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ទី 1 - ដោះស្រាយសមីការ៖

មូលដ្ឋាននៃលោការីតដំបូងគឺស្មើគ្នា យើងមានសិទ្ធិស្មើគ្នានូវកន្សោមរងលោការីត កុំភ្លេចអំពី ODZ យើងជ្រើសរើសលោការីតដំបូងដើម្បីចងក្រងវិសមភាព៖

ឧទាហរណ៍ទី ២ - ដោះស្រាយសមីការ៖

សមីការនេះខុសពីលេខមុន ដែលមូលដ្ឋាននៃលោការីតមានតិចជាងមួយ ប៉ុន្តែវាមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ៖

ចូររកឫស ហើយជំនួសវាទៅក្នុងវិសមភាព៖

យើងបានទទួលវិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ ដែលមានន័យថាឫសគល់ដែលរកឃើញមិនពេញចិត្ត ODZ ទេ។

ឧទាហរណ៍ទី ៣ - ដោះស្រាយសមីការ៖

មូលដ្ឋាននៃលោការីតដំបូងគឺស្មើគ្នា យើងមានសិទ្ធិស្មើគ្នានូវកន្សោមរងលោការីត កុំភ្លេចអំពី ODZ យើងជ្រើសរើសលោការីតទីពីរដើម្បីចងក្រងវិសមភាព៖

ចូររកឫស ហើយជំនួសវាទៅក្នុងវិសមភាព៖

ជាក់ស្តែង មានតែឫសដំបូងប៉ុណ្ណោះដែលពេញចិត្ត ODZ ។

ពិជគណិតថ្នាក់ទី១១

ប្រធានបទ៖ "វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការលោការីត"

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

អប់រំ៖ ការអភិវឌ្ឍចំណេះដឹងអំពីវិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តពួកវាក្នុងស្ថានភាពជាក់លាក់នីមួយៗ និងជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រណាមួយសម្រាប់ដោះស្រាយ។

អភិវឌ្ឍន៍៖ ការអភិវឌ្ឍជំនាញដើម្បីសង្កេត ប្រៀបធៀប អនុវត្តចំណេះដឹងក្នុងស្ថានភាពថ្មី កំណត់គំរូ ទូទៅ; ការអភិវឌ្ឍជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងគ្នាទៅវិញទៅមកនិងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង;

អប់រំ៖ ការចិញ្ចឹមបីបាច់ឱ្យមានអាកប្បកិរិយាប្រកបដោយការទទួលខុសត្រូវចំពោះការងារអប់រំ ការយល់ឃើញដោយយកចិត្តទុកដាក់លើសម្ភារៈក្នុងមេរៀន និងការកត់ត្រាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។

ប្រភេទមេរៀន ៖ មេរៀនណែនាំសម្ភារៈថ្មី។

"ការបង្កើតលោការីត ខណៈពេលដែលកាត់បន្ថយការងាររបស់តារាវិទូ បានពង្រីកជីវិតរបស់គាត់" ។
គណិតវិទូ និងតារាវិទូបារាំង P.S. ឡាផាស

វឌ្ឍនភាពមេរៀន

I. ការកំណត់គោលដៅមេរៀន

និយមន័យដែលបានសិក្សានៃលោការីត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត និងអនុគមន៍លោការីត នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការលោការីត។ សមីការលោការីតទាំងអស់ មិនថាវាស្មុគស្មាញយ៉ាងណានោះទេ ត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយឯកសណ្ឋាន។ យើងនឹងពិនិត្យមើលក្បួនដោះស្រាយទាំងនេះនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។ មិនមានពួកគេច្រើនទេ។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើជាម្ចាស់វា នោះសមីការណាមួយដែលមានលោការីតនឹងអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់អ្នកម្នាក់ៗ។

សរសេរប្រធានបទនៃមេរៀននៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក៖ "វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីត។" ខ្ញុំសូមអញ្ជើញអ្នកទាំងអស់គ្នាឱ្យសហការ។

II. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងយោង

ចូរយើងរៀបចំដើម្បីសិក្សាប្រធានបទនៃមេរៀន។ អ្នកដោះស្រាយកិច្ចការនីមួយៗ ហើយសរសេរចម្លើយ អ្នកមិនចាំបាច់សរសេរលក្ខខណ្ឌទេ។ ធ្វើការជាគូ។

1) សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃ x តើមុខងារធ្វើឱ្យយល់បាន:

ក)

ខ)

វី)

ឃ)

(ចម្លើយត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ស្លាយនីមួយៗ ហើយកំហុសត្រូវបានតម្រៀបចេញ)

2) តើក្រាហ្វនៃមុខងារស្របគ្នាទេ?

ក) y = x និង

ខ)និង

៣) សរសេរសមភាពឡើងវិញជាសមភាពលោការីត៖

៤) សរសេរលេខជាលោការីតជាមួយគោល ២៖

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) គណនា :

6) ព្យាយាមស្តារ ឬបំពេញបន្ថែមធាតុដែលបាត់នៅក្នុងសមភាពទាំងនេះ។

III. ការណែនាំអំពីសម្ភារៈថ្មី។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់៖

"សមីការគឺជាគន្លឹះមាសដែលបើកល្ងគណិតវិទ្យាទាំងអស់។"
គណិតវិទូជនជាតិប៉ូឡូញសម័យទំនើប S. Kowal

ព្យាយាមបង្កើតនិយមន័យនៃសមីការលោការីត។ (សមីការដែលមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ).

ចូរយើងពិចារណាសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖ កំណត់ហេតុ ក x = ខ (ដែល a> 0, a ≠ 1) ។ ដោយសារអនុគមន៍លោការីតកើនឡើង (ឬថយចុះ) លើសំណុំលេខវិជ្ជមាន និងយកតម្លៃពិតទាំងអស់ បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទឫស វាធ្វើតាមថាសម្រាប់ b សមីការនេះមានតែមួយទេ ដំណោះស្រាយ និងវិជ្ជមានមួយ។

ចងចាំនិយមន័យនៃលោការីត។ (លោការីតនៃចំនួន x ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជាសូចនាករនៃអំណាចដែលមូលដ្ឋាន a ត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ x ) ពីនិយមន័យនៃលោការីត វាធ្វើតាមភ្លាមៗនោះ។ក វ គឺជាដំណោះស្រាយបែបនេះ។

សរសេរចំណងជើង៖វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីត

1. តាមនិយមន័យលោការីត .

នេះជារបៀបដែលសមីការសាមញ្ញបំផុតនៃទម្រង់ត្រូវបានដោះស្រាយ.

ចូរយើងពិចារណាលេខ ៥១៤(ក) ): ដោះស្រាយសមីការ

តើអ្នកស្នើឱ្យដោះស្រាយវាដោយរបៀបណា? (តាមនិយមន័យលោការីត )

ដំណោះស្រាយ . ដូច្នេះ 2x – 4 = 4; x = ៤.

ចម្លើយ៖ ៤.

នៅក្នុងកិច្ចការនេះ 2x – 4 > 0, ចាប់តាំងពី> 0 ដូច្នេះគ្មានឫសខាងក្រៅអាចលេចឡើង និងមិនចាំបាច់ពិនិត្យទេ។ . លក្ខខណ្ឌ 2x – 4 > 0 មិនចាំបាច់សរសេរចេញក្នុងកិច្ចការនេះទេ។

2. សក្តានុពល (ការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីតនៃកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅកន្សោមនេះដោយខ្លួនឯង) ។

ចូរយើងពិចារណាលេខ 519(g)៖ កំណត់ហេតុ 5 ( x 2 +8)- កំណត់ហេតុ 5 ( x+1)=3 កំណត់ហេតុ 5 2

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់លក្ខណៈពិសេសអ្វី?(មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ហើយលោការីតនៃកន្សោមទាំងពីរគឺស្មើគ្នា) . តើអាចធ្វើអ្វីបាន?(បង្កើនថាមពល) ។

វាគួរតែត្រូវបានគេយកទៅពិចារណាថាដំណោះស្រាយណាមួយត្រូវបានផ្ទុកក្នុងចំណោម x ទាំងអស់ដែលកន្សោមលោការីតគឺវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ៖

X 2 +8>0 វិសមភាពដែលមិនចាំបាច់

កំណត់ហេតុ 5 ( x 2 +8) = កំណត់ហេតុ 5 2 3 + កំណត់ហេតុ 5 ( x+1)

កំណត់ហេតុ 5 ( x 2 +8)= កំណត់ហេតុ 5 (8 x+8)

ចូរយើងពង្រឹងសមីការដើម

x 2 +8= 8 x+8

យើងទទួលបានសមីការx 2 +8= 8 x+8

តោះដោះស្រាយវា៖x 2 -8 x=0

x=0, x=8

ចម្លើយ៖ ០; ៨

ជាទូទៅការផ្លាស់ប្តូរទៅប្រព័ន្ធសមមូល :

សមីការ

(ប្រព័ន្ធមានលក្ខខណ្ឌមិនប្រក្រតី - វិសមភាពមួយក្នុងចំណោមវិសមភាពមិនត្រូវយកមកពិចារណា)។

សំណួរសម្រាប់ថ្នាក់ ៖ តើដំណោះស្រាយទាំងបីនេះមួយណាដែលអ្នកពេញចិត្តជាងគេ? (ការពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្រ្ត) ។

អ្នកមានសិទ្ធិសម្រេចចិត្តតាមមធ្យោបាយណាមួយ។

3. សេចក្តីផ្តើមនៃអថេរថ្មីមួយ .

ចូរយើងពិចារណាលេខ 520(g) . .

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? (នេះ​គឺ​ជា​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​ទាក់ទង​នឹង log3x) តើ​អ្នក​មាន​យោបល់​អ្វី​ខ្លះ? (សូមណែនាំអថេរថ្មី)

ដំណោះស្រាយ . ODZ៖ x > 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់៖. ការរើសអើង D > 0. ឫសគល់យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖.

ចូរយើងត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ៖ឬ.

ដោយបានដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត យើងទទួលបាន៖

; .

ចម្លើយ : 27;

4. លោការីតទាំងសងខាងនៃសមីការ។

ដោះស្រាយសមីការ៖.

ដំណោះស្រាយ : ODZ: x>0 ចូរយើងយកលោការីតនៃភាគីទាំងពីរនៃសមីការក្នុងគោល 10៖

. ចូរយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃថាមពល៖

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

អនុញ្ញាតឱ្យ logx = y បន្ទាប់មក (y + 3) y = 4

, (D> 0) ឫសយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta: y1 = -4 និង y2 = 1 ។

ចូរត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ យើងទទួលបាន៖ lgx = -4,; logx = 1,. . វាមានដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើមុខងារមួយ។ y = f(x) កើនឡើង និងផ្សេងទៀត។ y = g(x) ថយចុះនៅលើចន្លោះ X បន្ទាប់មកសមីការ f(x)= g(x) មានឫសមួយច្រើនបំផុតនៅលើចន្លោះ X .

ប្រសិនបើមានឫសនោះវាអាចទាយបាន។ .

ចម្លើយ : 2

"ការអនុវត្តត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្រ្តអាចត្រូវបានរៀន
ដោយគ្រាន់តែអនុវត្តពួកវាទៅនឹងឧទាហរណ៍ផ្សេងៗ។
ប្រវត្តិវិទូជនជាតិដាណឺម៉ាក G. G. Zeiten

ខ្ញុំ V. កិច្ចការផ្ទះ

P. 39 ពិចារណាឧទាហរណ៍ទី 3 ដោះស្រាយលេខ 514(b) លេខ 529(b) លេខ 520(b) លេខ 523(b)

V. សង្ខេបមេរៀន

តើ​យើង​បាន​មើល​វិធី​ដោះស្រាយ​សមីការ​លោការីត​អ្វីខ្លះ​ក្នុង​ថ្នាក់?

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិនិត្យមើលសមីការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកគេវិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សានឹងមានប្រយោជន៍។

ស្លាយចុងក្រោយបានបង្ហាញ៖

“តើមានអ្វីលើសពីអ្វីទាំងអស់នៅលើពិភពលោក?
លំហ។
តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អ្វី​ដែល​មាន​ប្រាជ្ញា​បំផុត?
ពេលវេលា។
តើផ្នែកណាដែលល្អបំផុត?
សម្រេចបាននូវអ្វីដែលអ្នកចង់បាន។"
ថាឡេស

ខ្ញុំសូមជូនពរឱ្យមនុស្សគ្រប់គ្នាសម្រេចបាននូវអ្វីដែលពួកគេចង់បាន។ សូមអរគុណចំពោះកិច្ចសហប្រតិបត្តិការ និងការយោគយល់របស់អ្នក។

សេចក្តីផ្តើម

លោការីតត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីបង្កើនល្បឿន និងសម្រួលការគណនា។ គំនិតនៃលោការីត ពោលគឺគំនិតនៃការបញ្ចេញលេខជាអំណាចនៃមូលដ្ឋានដូចគ្នា ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Mikhail Stiefel ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងសម័យរបស់ Stiefel គណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានអភិវឌ្ឍខ្លាំងទេ ហើយគំនិតនៃលោការីតមិនត្រូវបានអភិវឌ្ឍទេ។ លោការីតក្រោយមកត្រូវបានបង្កើតក្នុងពេលដំណាលគ្នា និងដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិស្កុតឡេន លោក John Napier (1550-1617) និង Swiss Jobst Burgi (1552-1632) គឺលោក Napier ដំបូងគេដែលបានបោះពុម្ពការងារនៅឆ្នាំ 1614 ។ ក្រោមចំណងជើងថា "ការពិពណ៌នាអំពីតារាងលោការីតដ៏អស្ចារ្យ" ទ្រឹស្តីលោក Napier នៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងបរិមាណពេញលេញ វិធីសាស្រ្តនៃការគណនាលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសាមញ្ញបំផុត ដូច្នេះគុណសម្បត្តិរបស់ Napier ក្នុងការបង្កើតលោការីតគឺធំជាង Bürgi ។ . Burgi បានធ្វើការនៅលើតុក្នុងពេលតែមួយជាមួយ Napier ប៉ុន្តែបានរក្សាការសម្ងាត់អស់រយៈពេលជាយូរ ហើយបានបោះពុម្ពវាតែនៅឆ្នាំ 1620 ប៉ុណ្ណោះ។ Napier បានស្ទាត់ជំនាញគំនិតនៃលោការីតប្រហែលឆ្នាំ 1594 ។ ទោះបីជាតារាងត្រូវបានបោះពុម្ព 20 ឆ្នាំក្រោយមកក៏ដោយ។ ដំបូងឡើយគាត់បានហៅលោការីតរបស់គាត់ថា "លេខសិប្បនិម្មិត" ហើយមានតែបន្ទាប់មកបានស្នើឱ្យហៅ "លេខសិប្បនិម្មិត" ទាំងនេះនៅក្នុងពាក្យមួយ "លោការីត" ដែលបកប្រែពីភាសាក្រិចមានន័យថា "លេខជាប់ទាក់ទងគ្នា" យកមួយចេញពីដំណើរការនព្វន្ធ និងមួយទៀតមកពី វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានជ្រើសរើសជាពិសេសសម្រាប់វឌ្ឍនភាព។ តារាងដំបូងជាភាសារុស្សីត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ ១៧០៣។ ដោយមានការចូលរួមពីគ្រូដ៏អស្ចារ្យនៃសតវត្សទី 18 ។ L.F. Magnitsky ។ ស្នាដៃរបស់អ្នកសិក្សា St. Petersburg គឺលោក Leonhard Euler មានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីលោការីត។ គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលពិចារណាលោការីតថាជាការបញ្ច្រាសនៃការបង្កើនអំណាចមួយ គាត់បានណែនាំពាក្យ "មូលដ្ឋានលោការីត" និង "ម៉ាន់ទីសា" Briggs បានចងក្រងតារាងលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន 10 ។ តារាងទសភាគគឺងាយស្រួលជាងសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង ទ្រឹស្តីរបស់ពួកគេគឺ។ សាមញ្ញជាងលោការីតរបស់ Napier ។ ដូច្នេះ លោការីតទសភាគ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា លោការីត Briggs ។ ពាក្យ "លក្ខណៈ" ត្រូវបានណែនាំដោយ Briggs ។

នៅគ្រាដ៏ឆ្ងាយនោះ ពេលដែលអ្នកប្រាជ្ញចាប់ផ្តើមគិតអំពីសមភាពដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់ ប្រហែលជាគ្មានកាក់ ឬកាបូបទេ។ ប៉ុន្តែមានគំនរ ក៏ដូចជាផើង និងកន្ត្រក ដែលល្អឥតខ្ចោះសម្រាប់តួនាទីនៃឃ្លាំងផ្ទុកទិន្នន័យ ដែលអាចផ្ទុករបស់របរមិនស្គាល់ចំនួន។ នៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាបុរាណនៃ Mesopotamia ឥណ្ឌា ចិន ក្រិក បរិមាណដែលមិនស្គាល់បានបង្ហាញពីចំនួនសត្វក្ងោកនៅក្នុងសួនច្បារ ចំនួនគោនៅក្នុងហ្វូង និងចំនួនសរុបនៃវត្ថុដែលត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបែងចែកទ្រព្យសម្បត្តិ។ អាចារ្យ មន្ត្រី និងបូជាចារ្យបានផ្តួចផ្តើមគំនិតទៅជាចំណេះដឹងសម្ងាត់ បានទទួលការបណ្តុះបណ្តាលយ៉ាងល្អនៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តនៃគណនី ដោះស្រាយជាមួយនឹងកិច្ចការទាំងនោះដោយជោគជ័យ។

ប្រភពដែលបានទៅដល់យើងបង្ហាញថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របុរាណមានបច្ចេកទេសទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងបរិមាណដែលមិនស្គាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនក្រដាស់មួយដុំ ឬគ្រាប់ដីឥដ្ឋដែលមានការពិពណ៌នាអំពីបច្ចេកទេសទាំងនេះទេ។ អ្នក​និពន្ធ​បាន​ផ្តល់​ជូន​ម្តងម្កាល​នូវ​ការ​គណនា​លេខ​របស់​ពួក​គេ​ជាមួយ​នឹង​ការ​អធិប្បាយ​មិន​ច្បាស់​ដូច​ជា៖ “មើល!”, “ធ្វើ​បែប​នេះ!”, “អ្នក​បាន​រក​ឃើញ​មួយ​ត្រូវ​ហើយ”។ ក្នុងន័យនេះ ករណីលើកលែងគឺ "នព្វន្ធ" របស់គណិតវិទូជនជាតិក្រិច Diophantus of Alexandria (សតវត្សទី III) ដែលជាបណ្តុំនៃបញ្ហាសម្រាប់ការតែងសមីការជាមួយនឹងការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅណែនាំដំបូងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយគឺជាស្នាដៃរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របាកដាដនៃសតវត្សទី 9 ។ លោក Muhammad bin Musa al-Khwarizmi ។ ពាក្យ "al-jabr" ពីឈ្មោះអារ៉ាប់នៃសន្ធិសញ្ញានេះ - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("សៀវភៅនៃការស្ដារឡើងវិញនិងការប្រឆាំង") - យូរ ៗ ទៅប្រែទៅជាពាក្យ "ពិជគណិត" និងការងារដ៏ល្បីល្បាញ។ នៃ al-Khwarizmi ខ្លួនវាផ្ទាល់បានបម្រើចំណុចចាប់ផ្តើមនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍនៃវិទ្យាសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការ។

សមីការលោការីត និងវិសមភាព

1. សមីការលោការីត

សមីការដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ឬនៅមូលដ្ឋានរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការលោការីត។

សមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុតគឺជាសមីការនៃទម្រង់

កំណត់ហេតុ ក x = ខ . (1)

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1. ប្រសិនបើ ក > 0, ក≠ 1 សមីការ (1) សម្រាប់ពិតណាមួយ។ ខមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ x = ក ខ .

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) កំណត់ហេតុ ២ x= 3, ខ) កំណត់ហេតុ 3 x= -1, គ)

ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1 យើងទទួលបាន a) x= 2 3 ឬ x= ៨; ខ) x= 3 -1 ឬ x= 1/3; គ)

ឬ x = 1.

ចូរយើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។

P1. អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖

កន្លែងណា ក > 0, ក≠ 1 និង ខ > 0.

P2. លោការីតនៃផលិតផលនៃកត្តាវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃកត្តាទាំងនេះ៖

កំណត់ហេតុ ក ន 1 · ន 2 = កំណត់ហេតុ ក ន 1 + កំណត់ហេតុ ក ន 2 (ក > 0, ក ≠ 1, ន 1 > 0, ន 2 > 0).

មតិយោបល់។ ប្រសិនបើ ន 1 · ន 2> 0 បន្ទាប់មកលក្ខណសម្បត្តិ P2 យកទម្រង់

កំណត់ហេតុ ក ន 1 · ន 2 = កំណត់ហេតុ ក |ន១ | + កំណត់ហេតុ ក |ន 2 | (ក > 0, ក ≠ 1, ន 1 · ន 2 > 0).

P3. លោការីតនៃកូតានៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃភាគលាភនិងផ្នែកចែក

(ក > 0, ក ≠ 1, ន 1 > 0, ន 2 > 0).

មតិយោបល់។ ប្រសិនបើ

, (ដែលស្មើនឹង ន 1 ន 2> 0) បន្ទាប់មកលក្ខណសម្បត្តិ P3 យកទម្រង់ (ក > 0, ក ≠ 1, ន 1 ន 2 > 0).

P4. លោការីតនៃអំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្ត និងលោការីតនៃចំនួននេះ៖

កំណត់ហេតុ ក ន k = kកំណត់ហេតុ ក ន (ក > 0, ក ≠ 1, ន > 0).

មតិយោបល់។ ប្រសិនបើ k- លេខគូ ( k = 2ស), នោះ។

កំណត់ហេតុ ក ន 2ស = 2សកំណត់ហេតុ ក |ន | (ក > 0, ក ≠ 1, ន ≠ 0).

P5. រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត៖

(ក > 0, ក ≠ 1, ខ > 0, ខ ≠ 1, ន > 0),

ជាពិសេសប្រសិនបើ ន = ខ, យើងទទួលបាន

(ក > 0, ក ≠ 1, ខ > 0, ខ ≠ 1). (2)

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ P4 និង P5 វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម

(ក > 0, ក ≠ 1, ខ > 0, គ ≠ 0), (3) (ក > 0, ក ≠ 1, ខ > 0, គ ≠ 0), (4) (ក > 0, ក ≠ 1, ខ > 0, គ ≠ 0), (5)

ហើយប្រសិនបើនៅក្នុង (5) គ- លេខគូ ( គ = 2ន), កាន់

(ខ > 0, ក ≠ 0, |ក | ≠ 1). (6)

ចូរយើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃអនុគមន៍លោការីត f (x) = កំណត់ហេតុ ក x :

1. ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍លោការីត គឺជាសំណុំនៃលេខវិជ្ជមាន។

2. ជួរតម្លៃនៃអនុគមន៍លោការីត គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិត។

3. ពេលណា ក> អនុគមន៍លោការីត 1 កំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង (0< x 1 < x 2 កំណត់ហេតុ ក x 1 < logក x 2) និងនៅ 0< ក < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 កំណត់ហេតុ ក x 1> កំណត់ហេតុ ក x 2).

4. កំណត់ហេតុ ក 1 = 0 និងកំណត់ហេតុ ក ក = 1 (ក > 0, ក ≠ 1).

5. ប្រសិនបើ ក> 1 បន្ទាប់មកអនុគមន៍លោការីតគឺអវិជ្ជមាននៅពេល x(0; 1) និងវិជ្ជមាននៅ x(1;+∞) ហើយប្រសិនបើ 0< ក < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0; 1) និងអវិជ្ជមាននៅ x (1;+∞).

6. ប្រសិនបើ ក> 1 បន្ទាប់មកអនុគមន៍លោការីតគឺប៉ោងឡើងលើ ហើយប្រសិនបើ ក(0; 1) - ប៉ោងចុះក្រោម។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម (សូមមើលឧទាហរណ៍) ត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត។

ការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តចុងក្រោយក្នុងគណិតវិទ្យារួមមានផ្នែកសំខាន់មួយ - "លោការីត" ។ ភារកិច្ចពីប្រធានបទនេះគឺចាំបាច់មាននៅក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ បទពិសោធន៍ពីឆ្នាំមុនបង្ហាញថាសមីការលោការីតបានបង្កការលំបាកដល់សិស្សសាលាជាច្រើន។ ដូច្នេះហើយ សិស្សានុសិស្សដែលមានកម្រិតនៃការបណ្តុះបណ្តាលផ្សេងៗគ្នា ត្រូវយល់ពីរបៀបស្វែងរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ និងឆាប់ដោះស្រាយជាមួយពួកគេ។

ឆ្លងកាត់ការធ្វើតេស្តវិញ្ញាបនប័ត្រដោយជោគជ័យដោយប្រើវិបផតថលអប់រំ Shkolkovo!

នៅពេលរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង Unified State សិស្សបញ្ចប់វិទ្យាល័យត្រូវការប្រភពដែលអាចទុកចិត្តបានដែលផ្តល់នូវព័ត៌មានពេញលេញ និងត្រឹមត្រូវបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាតេស្តដោយជោគជ័យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនតែងតែនៅនឹងដៃនោះទេ ហើយការស្វែងរកច្បាប់ និងរូបមន្តចាំបាច់នៅលើអ៊ីនធឺណិតតែងតែត្រូវការពេលវេលា។

វិបផតថលអប់រំ Shkolkovo អនុញ្ញាតឱ្យអ្នករៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងរដ្ឋឯកភាពគ្រប់ទីកន្លែងគ្រប់ពេលវេលា។ គេហទំព័ររបស់យើងផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តដ៏ងាយស្រួលបំផុតក្នុងការនិយាយឡើងវិញ និងបញ្ចូលព័ត៌មានមួយចំនួនធំនៅលើលោការីត ក៏ដូចជាការមិនស្គាល់មួយ និងមួយចំនួនផងដែរ។ ចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការងាយស្រួល។ ប្រសិនបើអ្នកស៊ូទ្រាំនឹងពួកគេដោយគ្មានការលំបាក ចូរបន្តទៅភាពស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពជាក់លាក់ណាមួយ អ្នកអាចបញ្ចូលវាទៅក្នុងចំណូលចិត្តរបស់អ្នក ដូច្នេះអ្នកអាចត្រលប់ទៅវានៅពេលក្រោយ។

អ្នកអាចស្វែងរករូបមន្តចាំបាច់ដើម្បីបំពេញកិច្ចការ ធ្វើឡើងវិញនូវករណីពិសេស និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាឫសគល់នៃសមីការលោការីតស្តង់ដារដោយមើលផ្នែក "ជំនួយទ្រឹស្តី" ។ គ្រូបង្រៀន Shkolkovo បានប្រមូល រៀបចំជាប្រព័ន្ធ និងបង្ហាញសម្ភារៈទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការឆ្លងកាត់ដោយជោគជ័យក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុត និងអាចយល់បានបំផុត។

ដើម្បីងាយស្រួលដោះស្រាយជាមួយនឹងកិច្ចការនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ នៅលើវិបផតថលរបស់យើង អ្នកអាចស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតស្តង់ដារមួយចំនួន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចូលទៅកាន់ផ្នែក "កាតាឡុក" ។ យើងមានឧទាហរណ៍មួយចំនួនធំ រួមទាំងសមីការនៃកម្រិតទម្រង់នៃការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យា។

សិស្សមកពីសាលារៀនទូទាំងប្រទេសរុស្ស៊ីអាចប្រើវិបផតថលរបស់យើង។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមថ្នាក់ គ្រាន់តែចុះឈ្មោះក្នុងប្រព័ន្ធ ហើយចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការ។ ដើម្បីបង្រួបបង្រួមលទ្ធផល យើងណែនាំអ្នកឱ្យត្រឡប់ទៅគេហទំព័រ Shkolkovo ប្រចាំថ្ងៃ។