សមីការ​ភាព​ខុស​គ្នា​មិន​ដូចគ្នា​លីនេអ៊ែរ​ជាមួយ​មេគុណ​ថេរ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរ

ស្ថាប័នអប់រំ "រដ្ឋបេឡារុស្ស

បណ្ឌិតសភាកសិកម្ម"

នាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យាជាន់ខ្ពស់

ការណែនាំ

ដើម្បីសិក្សាប្រធានបទ "សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរ" ដោយនិស្សិតនៃមហាវិទ្យាល័យគណនេយ្យនៃការអប់រំការឆ្លើយឆ្លង (NISPO)

Gorki ឆ្នាំ 2013

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

លំដាប់ទីពីរជាមួយអថេរមេគុណ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ ហៅថាសមីការនៃទម្រង់

ទាំងនោះ។ សមីការដែលមានមុខងារដែលចង់បាន និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាត្រឹមកម្រិតទីមួយ ហើយមិនមានផលិតផលរបស់វាទេ។ នៅក្នុងសមីការនេះ។ និង
- លេខមួយចំនួន និងមុខងារមួយ។
ផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។
.

ប្រសិនបើ
នៅលើចន្លោះពេល
បន្ទាប់មកសមីការ (1) នឹងយកទម្រង់

, (2)

ហើយត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរដូចគ្នា។ . បើមិនដូច្នោះទេសមីការ (1) ត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរ inhomogeneous .

ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ

, (3)

កន្លែងណា
និង
- មុខងារពិត។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ (3) គឺជាដំណោះស្រាយស្មុគស្មាញចំពោះសមីការ (2) បន្ទាប់មកផ្នែកពិត
និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ
ដំណោះស្រាយ
ដោយឡែកពីគ្នា គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយស្មុគស្មាញណាមួយចំពោះសមីការ (2) បង្កើតដំណោះស្រាយពិតប្រាកដពីរចំពោះសមីការនេះ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

ប្រសិនបើ គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) បន្ទាប់មកមុខងារ
, កន្លែងណា ជាមួយ- ថេរដែលបំពានក៏នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2);

ប្រសិនបើ និង មានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២) បន្ទាប់មកមុខងារ
ក៏នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2);

ប្រសិនបើ និង មានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) បន្ទាប់មកបន្សំលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ។
ក៏នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) ដែល និង
- អថេរបំពាន។

មុខងារ
និង
ត្រូវបានហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នៅលើចន្លោះពេល
ប្រសិនបើលេខបែបនេះមាន និង
មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ ដែលនៅចន្លោះពេលនេះសមភាព

បើ​សមភាព (៤) កើត​ឡើង​តែ​ពេល
និង
បន្ទាប់មកមុខងារ
និង
ត្រូវបានហៅ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នៅលើចន្លោះពេល
.

ឧទាហរណ៍ ១ . មុខងារ
និង
គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី
នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។
.

ឧទាហរណ៍ ២ . មុខងារ
និង
គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៅចន្លោះពេលណាមួយ ចាប់តាំងពីសមភាព
អាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណី
, និង
.

ការសាងសង់ដំណោះស្រាយទូទៅទៅជាលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។

សមីការ

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (2) អ្នកត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីររបស់វា និង . ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយទាំងនេះ
, កន្លែងណា និង
គឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន ហើយ​នឹង​ផ្តល់​ដំណោះ​ស្រាយ​ទូទៅ​ដល់​សមីការ​លីនេអ៊ែរ​ដូចគ្នា​។

យើងនឹងរកមើលដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការ (2) ក្នុងទម្រង់

, (5)

កន្លែងណា - ចំនួនជាក់លាក់។ បន្ទាប់មក
,
. ចូរជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (២)៖

ឬ
.

ដោយសារតែ
, នោះ។
. ដូច្នេះមុខងារ
នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២) ប្រសិនបើ នឹងបំពេញសមីការ

. (6)

សមីការ (៦) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការលក្ខណៈ សម្រាប់សមីការ (2) ។ សមីការនេះគឺជាសមីការបួនជ្រុងពិជគណិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ និង មានឫសគល់នៃសមីការនេះ។ ពួកវាអាចពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ឬស្មុគស្មាញ ឬពិតប្រាកដ និងស្មើគ្នា។ ចូរយើងពិចារណាករណីទាំងនេះ។

ទុកឱ្យឫស និង សមីការលក្ខណៈគឺពិត និងប្លែកពីគេ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២) នឹងជាមុខងារ
និង
. ដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីសមភាព
អាចត្រូវបានអនុវត្តតែនៅពេលដែល
, និង
. ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់

,

កន្លែងណា និង
- អថេរបំពាន។

ឧទាហរណ៍ ៣
.

ដំណោះស្រាយ . សមីការលក្ខណៈសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះនឹងមាន
. ដោយបានដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះ យើងរកឃើញឫសគល់របស់វា។
និង
. មុខងារ
និង
គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះគឺ
.

លេខស្មុគស្មាញ ហៅថាទម្រង់បែបបទ
, កន្លែងណា និង គឺជាចំនួនពិត និង
ហៅថាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកលេខ
ត្រូវបានគេហៅថាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកលេខ
ត្រូវបានកំណត់អត្តសញ្ញាណដោយចំនួនពិត .

លេខ ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច និង - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។ ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចពីរខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយសញ្ញានៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃនោះពួកវាត្រូវបានគេហៅថា conjugate:
,
.

ឧទាហរណ៍ 4 . ដោះស្រាយសមីការការ៉េ
.

ដំណោះស្រាយ . សមីការរើសអើង
. បន្ទាប់មក។ ដូចគ្នានេះដែរ
. ដូច្នេះ សមីការបួនជ្រុងនេះមានឫសស្មុគស្មាញ។

សូមឱ្យឫសនៃសមីការលក្ខណៈមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញ ឧ។
,
, កន្លែងណា
.
,
ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (2) អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
,
ឬ

,
.

.
និង
យោងតាមរូបមន្តរបស់អយល័រ

បន្ទាប់មក ,. ដូចដែលគេដឹងហើយថា ប្រសិនបើអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ នោះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺទាំងផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃអនុគមន៍នេះ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២) នឹងជាមុខងារ
និង
. ចាប់តាំងពីសមភាព

កន្លែងណា និង
- អថេរបំពាន។

អាចត្រូវបានប្រតិបត្តិតែប្រសិនបើ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់
.

ដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍ 5
. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
,
. មុខងារ
និង
គឺជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះគឺ៖

អនុញ្ញាតឱ្យឫសនៃសមីការលក្ខណៈមានលក្ខណៈពិត និងស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។
. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (២) គឺជាមុខងារ
និង
. ដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីកន្សោមអាចដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យបានតែនៅពេល
និង
. ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់
.

ឧទាហរណ៍ ៦ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់
.

ដំណោះស្រាយ . សមីការលក្ខណៈ
មានឫសស្មើគ្នា
. ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារ
និង
. ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់
.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ

និងផ្នែកខាងស្តាំពិសេស

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ (1) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅ
សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយ។
សមីការមិនដូចគ្នា៖
.

ក្នុងករណីខ្លះ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងសាមញ្ញដោយទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំ។
សមីការ (១). សូមក្រឡេកមើលករណីដែលវាអាចទៅរួច។

ទាំងនោះ។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ inhomogeneous គឺជាពហុធានៃដឺក្រេ ម. ប្រសិនបើ
មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈទេ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ជាពហុធានៃដឺក្រេ ម, i.e.

ហាងឆេង
ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ប្រសិនបើ
គឺជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់

ឧទាហរណ៍ ៧ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់
.

ដំណោះស្រាយ . សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់សមីការនេះគឺ
. សមីការលក្ខណៈរបស់វា។
មានឫស
និង
. ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាមានទម្រង់
.

ដោយសារតែ
មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈទេ បន្ទាប់មកយើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការមិនដូចគ្នាក្នុងទម្រង់ជាអនុគមន៍
. ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារនេះ។
,
ហើយជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការនេះ៖

ឬ។ ចូរយើងគណនាមេគុណសម្រាប់ និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖
ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះយើងទទួលបាន
,
. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការ inhomogeneous មានទម្រង់
ហើយដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយពិសេសនៃ inhomogeneous មួយ៖
.

សូមឱ្យសមីការមិនដូចគ្នាមានទម្រង់

ប្រសិនបើ
មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈទេ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់។ ប្រសិនបើ
គឺជាឫសគល់នៃសមីការគុណលក្ខណៈ k (k=1 ឬ k=2) បន្ទាប់មកក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការមិនដូចគ្នានឹងមានទម្រង់ .

ឧទាហរណ៍ ៨ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់
.

ដំណោះស្រាយ . សមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់
. ឫសរបស់វា។
,
. ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
.

ដោយសារលេខ 3 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់
. ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទីមួយ និងទីពីរ៖

ចូរជំនួសសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
+ +,
+,.

ចូរយើងគណនាមេគុណសម្រាប់ និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

ពីទីនេះ
,
. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការនេះមានទម្រង់
និងដំណោះស្រាយទូទៅ

.

វិធីសាស្រ្ត Lagrange នៃបំរែបំរួលនៃថេរបំពាន

វិធីសាស្រ្តនៃការបំរែបំរួលអថេរបំពានអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នាណាមួយដែលមានមេគុណថេរ ដោយមិនគិតពីប្រភេទនៃផ្នែកខាងស្តាំ។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ inhomogeneous ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដូចគ្នាត្រូវគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់។

អនុញ្ញាតឱ្យ
និង
គឺជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ (2) ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះគឺ
, កន្លែងណា និង
- អថេរបំពាន។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបំរែបំរួលអថេរបំពានគឺថាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (1) ត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់

កន្លែងណា
និង
- មុខងារមិនស្គាល់ថ្មីដែលត្រូវស្វែងរក។ ដោយសារមានមុខងារមិនស្គាល់ពីរ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា សមីការពីរដែលមានមុខងារទាំងនេះគឺចាំបាច់។ សមីការទាំងពីរនេះបង្កើតជាប្រព័ន្ធ

ដែលជាប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃសមីការទាក់ទងនឹង
និង
. ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះយើងរកឃើញ
និង
. ការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដែលទទួលបាន យើងរកឃើញ

និង
.

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជា (9) យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នា (1) ។

ឧទាហរណ៍ ៩ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (២) មានទម្រង់
.

ដំណោះស្រាយ។ សមីការលក្ខណៈសម្រាប់សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នានឹងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ
. ឫសរបស់វាមានភាពស្មុគស្មាញ
,
. ដោយសារតែ
និង
, នោះ។
,
ហើយដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous មានទម្រង់។ បន្ទាប់មកយើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ inhomogeneous នេះក្នុងទម្រង់ជាកន្លែងដែល
និង
- មុខងារមិនស្គាល់។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់ការស្វែងរកមុខងារមិនស្គាល់ទាំងនេះមានទម្រង់

ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះយើងរកឃើញ
,
. បន្ទាប់មក

,
. ចូរយើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅ៖

នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ ដែលទទួលបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។

សំណួរសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯងនៃចំណេះដឹង

តើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអ្វីទៅដែលហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ?

សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​លីនេអ៊ែរ​មួយ​ណា​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​ដូចគ្នា​និង​មួយ​ណា​ហៅ​ថា​មិន​ដូចគ្នា?

តើសមីការលីនេអ៊ែរមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះ?

សមីការ​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​លក្ខណៈ​សម្រាប់​សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​លីនេអ៊ែរ ហើយ​តើ​វា​ទទួល​បាន​ដោយ​របៀប​ណា?

តើក្នុងទម្រង់បែបណាជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណថេរដែលសរសេរក្នុងករណីឫសផ្សេងគ្នានៃសមីការលក្ខណៈ?

តើក្នុងទម្រង់បែបណាជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណថេរដែលសរសេរក្នុងករណីឫសស្មើគ្នានៃសមីការលក្ខណៈ?

តើក្នុងទម្រង់បែបណាជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណថេរដែលសរសេរក្នុងករណីឫសស្មុគ្រស្មាញនៃសមីការលក្ខណៈ?

តើដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរត្រូវបានសរសេរយ៉ាងដូចម្តេច?

ក្នុងទម្រង់បែបណា គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ ដែលស្វែងរកប្រសិនបើឫសនៃសមីការលក្ខណៈខុសគ្នា និងមិនស្មើនឹងសូន្យ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ ម?

ក្នុងទម្រង់បែបណា គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ ដែលស្វែងរកប្រសិនបើមានសូន្យមួយក្នុងចំនោមឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺជាពហុធានៃដឺក្រេ ម?

តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ Lagrange?

យើងបានឃើញថា ក្នុងករណីដែលដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេដឹង វាអាចរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការមិនដូចគ្នាដោយប្រើវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដូចគ្នានៅតែបើកចំហ។ ក្នុងករណីពិសេសនៅពេលដែលនៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ (3) មេគុណទាំងអស់។ ទំ(X)= អាយ - ថេរ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ ទោះបីជាគ្មានការរួមបញ្ចូលក៏ដោយ។

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ ពោលគឺសមីការនៃទម្រង់

y (ន) + ក 1 y (ន – 1) +... ក ន – 1 y " + a n y = 0, (14)

កន្លែងណា ហើយខ្ញុំ- អថេរ (ខ្ញុំ= 1, 2, ...,ន).

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាសម្រាប់សមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ដំណោះស្រាយគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ អ៊ី kx.យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (14) ក្នុងទម្រង់ j (X) = អ៊ី kx.

ចូរយើងជំនួសអនុគមន៍ទៅជាសមីការ (14) j (X) និងនិស្សន្ទវត្ថុនៃការបញ្ជាទិញរបស់វា។ ម (1 £ ម£ ន)j (ម) (X) = k m e kx. យើងទទួលបាន

(k n + ក 1 k n – 1 +...a ន – 1 k + a n)e kx = 0,

ប៉ុន្តែ អ៊ី k x ¹ 0 សម្រាប់ណាមួយ។ X, នោះហើយជាមូលហេតុ

k n + a 1 k n – 1 +... ក ន – 1 k + a n = 0. (15)

សមីការ (15) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​លក្ខណៈ ពហុធានៅខាងឆ្វេង- ពហុនាមលក្ខណៈ , ឫសរបស់វា។- ឫសលក្ខណៈ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (១៤).

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

មុខងារj (X) = អ៊ី kx - ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​សមីការ​លីនេអ៊ែរ​ដូចគ្នា (14) ប្រសិន​បើ​មាន​តែ​លេខ k - ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ (15) ។

ដូច្នេះដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា (14) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការពិជគណិត (15) ។

ករណីផ្សេងគ្នានៃឫសលក្ខណៈគឺអាចធ្វើទៅបាន។

1.ឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការលក្ខណៈគឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា។

ក្នុងករណីនេះ នឫសលក្ខណៈផ្សេងៗគ្នា k 1 ,k 2 ,..., k នឆ្លើយឆ្លង នដំណោះស្រាយផ្សេងគ្នានៃសមីការដូចគ្នា (14)

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះហើយបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការគឺជាមុខងារ

កន្លែងណា ជាមួយ 1 , គ 2 , ... , គ ន - អថេរបំពាន។

ឧទាហរណ៍ ៧. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា៖

ក) នៅ¢ ¢ (X) - 6នៅ¢ (X) + 8នៅ(X) = 0, ខ) នៅ¢ ¢ ¢ (X) + 2នៅ¢ ¢ (X) - 3នៅ¢ (X) = 0.

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសដេរីវេនៃលំដាប់ មមុខងារ y(xម) ក្នុងកម្រិតសមស្រប

k(នៅ (ម) (x) « k m),

ខណៈពេលដែលមុខងារខ្លួនវាផ្ទាល់ នៅ(X) ដោយសារដេរីវេនៃលំដាប់សូន្យត្រូវបានជំនួសដោយ k 0 = 1.

ក្នុងករណី (ក) សមីការលក្ខណៈមានទម្រង់ k 2 - 6k + 8 = 0. ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។ k 1 = 2,k 2 = 4. ដោយសារពួកវាគឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់ j (X)= គ 1 អ៊ី 2X + គ ២ អ៊ី 4x ។

សម្រាប់ករណី (ខ) សមីការលក្ខណៈគឺជាសមីការដឺក្រេទី 3 k 3 + 2k 2 - 3k = 0. ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការនេះ៖

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

ធ . អ៊ី . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

ឫសលក្ខណៈទាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

j 1 (X)= អ៊ី 0X = 1, j 2 (X) = អ៊ី x, j 3 (X)= អ៊ី - 3X .

ដំណោះស្រាយទូទៅយោងតាមរូបមន្ត (៩) គឺជាមុខងារ

j (X)= គ 1 + គ 2 e x + C 3 អ៊ី - 3X .

II . ឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការលក្ខណៈគឺខុសគ្នា ប៉ុន្តែខ្លះនៃសមីការមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញ។

មេគុណទាំងអស់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (14) ហើយដូច្នេះសមីការលក្ខណៈរបស់វា (15)- ចំនួនពិត ដែលមានន័យថា ប្រសិនបើ c ក្នុងចំណោមឫសលក្ខណៈ មានឫសស្មុគ្រស្មាញ k 1 = a + ib,នោះ​គឺ​ជា root conjugate របស់​វា​ k 2 = ` k 1 = ក- ib.ទៅឫសដំបូង k 1 ត្រូវនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (១៤)

j 1 (X)= អ៊ី (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(យើងបានប្រើរូបមន្តរបស់អយល័រ e i x = cosx + isinx) ដូចគ្នានេះដែរឫស k 2 = ក- ibឆ្លើយតបទៅនឹងដំណោះស្រាយ

j 2 (X)= អ៊ី (a - -ib)X = e a x e - ib x= អ៊ី ពូថៅ(cosbx - isinbx).

ដំណោះស្រាយទាំងនេះគឺស្មុគស្មាញ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដពីពួកវា យើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា (សូមមើល 13.2) ។ មុខងារ

គឺជាដំណោះស្រាយពិតនៃសមីការ (១៤)។ លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត ដំណោះ​ស្រាយ​ទាំង​នេះ​គឺ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះយើងអាចទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម។

វិធាន 1.គូនៃឫសស្មុគ្រស្មាញមួយគូ a± ib នៃសមីការលក្ខណៈនៅក្នុង FSR នៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ (14) ត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយមួយផ្នែកពិតប្រាកដពីរនិង .

ឧទាហរណ៍ ៨. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ៖

ក) នៅ¢ ¢ (X) - 2នៅ ¢ (X) + 5នៅ(X) = 0 ; ខ) នៅ¢ ¢ ¢ (X) - នៅ¢ ¢ (X) + 4នៅ ¢ (X) - 4នៅ(X) = 0.

ដំណោះស្រាយ។ ក្នុងករណីសមីការ (ក) ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ k 2 - 2k + 5 = 0 គឺជាចំនួនកុំផ្លិចផ្សំពីរ

k 1, 2 = .

អាស្រ័យហេតុនេះ យោងតាមច្បាប់ទី 1 ពួកវាត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពិតប្រាកដពីរ៖ និង និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការគឺជាមុខងារ

j (X)= គ 1 e x cos 2x + C 2 e x បាប 2x.

ក្នុងករណី (ខ) ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0 យើង​ធ្វើ​កត្តា​ខាង​ឆ្វេង​របស់​វា៖

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

ដូច្នេះ យើងមានឫសគល់បីយ៉ាង៖ k 1 = 1,k ២ , 3 = ± 2ខ្ញុំពោត k 1 ឆ្លើយតបទៅនឹងដំណោះស្រាយ និងឫសស្មុគស្មាញមួយគូ k 2, 3 = ± 2ខ្ញុំ = 0 ± 2ខ្ញុំ- ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវពីរ៖ និង។ យើងបង្កើតដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ៖

j (X)= គ 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 អំពើបាប 2x.

III . ក្នុងចំណោមឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈមានគុណ។

អនុញ្ញាតឱ្យ k 1 - ឫសពិតនៃពហុគុណ មសមីការលក្ខណៈ (១៥) ពោលគឺក្នុងចំណោមឫសមាន មឫសស្មើគ្នា។ ពួកវានីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយដូចគ្នាចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (14) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ រួមបញ្ចូល មមិនមានដំណោះស្រាយស្មើៗគ្នានៅក្នុង FSR ទេ ព្រោះវាបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធមុខងារដែលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្នុងករណីនៃឫសច្រើន។ k ១ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (១៤) បន្ថែមពីលើអនុគមន៍ គឺជាអនុគមន៍

មុខងារគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៅលើអ័ក្សលេខទាំងមូល ចាប់តាំងពី នោះគឺជាពួកវាអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង FSR ។

ក្បួនទី 2 ។ លក្ខណៈពិតនៃឫស k 1 ពហុគុណ មនៅក្នុង FSR ត្រូវគ្នា។ មដំណោះស្រាយ៖

ប្រសិនបើ k 1 - ពហុឫសស្មុគ្រស្មាញ មសមីការលក្ខណៈ (១៥) បន្ទាប់មកមានឫសផ្សំ k 1 ពហុគុណ ម. ដោយភាពស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបានច្បាប់ខាងក្រោម។

វិធាន 3. គូនៃឫសស្មុគ្រស្មាញមួយគូ a± ib ក្នុង FSR ត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ 2mreal៖

, , ..., ,

, , ..., .

ឧទាហរណ៍ ៩. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ៖

ក) នៅ¢ ¢ ¢ (X) + 3នៅ¢ ¢ (X) + 3នៅ¢ (X)+ យ ( X)= 0; ខ) នៅ IV(X) + 6នៅ¢ ¢ (X) + 9នៅ(X) = 0.

ដំណោះស្រាយ។ ក្នុងករណី (ក) សមីការលក្ខណៈមានទម្រង់

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

i.e. k =- 1 - ឫសនៃពហុគុណ 3. ដោយផ្អែកលើច្បាប់ទី 2 យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ៖

j (X)= គ 1 + គ 2 x + C 3 x 2 .

សមីការលក្ខណៈក្នុងករណី (ខ) គឺជាសមីការ

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

ឬបើមិនដូច្នេះទេ

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± ខ្ញុំ

យើងមានឫសស្មុគ្រស្មាញមួយគូ ដែលនីមួយៗមានគុណ 2។ យោងទៅតាមច្បាប់ទី 3 ដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានសរសេរជា

j (X)= គ 1 + គ 2 x + C 3 + គ 4 x.

ពីខាងលើវាដូចខាងក្រោមថាសម្រាប់សមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណថេរវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនិងបង្កើតដំណោះស្រាយទូទៅមួយ។ ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ inhomogeneous ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់មុខងារបន្តណាមួយ f(x) នៅផ្នែកខាងស្តាំអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត (សូមមើលផ្នែក 5.3) ។

ឧទាហរណ៍ 10. ដោយប្រើវិធីបំរែបំរួល ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការមិនដូចគ្នានេះ។ នៅ¢ ¢ (X) - នៅ¢ (X) - 6នៅ(X) = x អ៊ី 2x .

ដំណោះស្រាយ។ ដំបូងយើងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។ នៅ¢ ¢ (X) - នៅ¢ (X) - 6នៅ(X) = 0. ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ k 2 - k- 6 = 0 គឺ k 1 = 3,k 2 = - 2, ក ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា។ - មុខងារ ` នៅ ( X) = គ 1 អ៊ី 3X + គ 2 អ៊ី - 2X .

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ inhomogeneous ក្នុងទម្រង់

នៅ( X) = ជាមួយ 1 (X)អ៊ី 3X + គ 2 (X)អ៊ី 2X . (*)

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់ Wronski

វ[អ៊ី 3X , អ៊ី 2X ] = .

ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការ (12) សម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារមិនស្គាល់ ជាមួយ ¢ 1 (X) និង ជាមួយ¢ 2 (X):

ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer យើងទទួលបាន

ការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ ជាមួយ 1 (X) និង ជាមួយ 2 (X):

មុខងារជំនួស ជាមួយ 1 (X) និង ជាមួយ 2 (X) ចូលទៅក្នុងសមភាព (*) យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ នៅ¢ ¢ (X) - នៅ¢ (X) - 6នៅ(X) = x អ៊ី 2x :

ក្នុងករណីនៅពេលដែលផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណថេរមានទម្រង់ពិសេស ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយមិនចាំបាច់ងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលតាមអំពើចិត្ត។

ពិចារណាសមីការជាមួយមេគុណថេរ

y (ន) + មួយ 1 ឆ្នាំ។ (ន– 1) +... ក ន – 1 ឆ្នាំ " + a n y = f (x), (16)

f( x) = អ៊ីពូថៅ(Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

កន្លែងណា Pn(x) និង R m(x) - ពហុនាមដឺក្រេ ន និង មរៀងៗខ្លួន។

ដំណោះស្រាយឯកជន y*(X) នៃសមីការ (១៦) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

នៅ* (X) = xsអ៊ី ពូថៅ(លោក(x)cosbx + N r(x)sinbx), (18)

កន្លែងណា លោក(x) និង លេខ(x) - ពហុនាមដឺក្រេ r = អតិបរមា(n, m) ជាមួយនឹងមេគុណមិនច្បាស់លាស់ , ក សស្មើនឹងពហុគុណនៃឫស k 0 = a + ibសមីការពហុនាមលក្ខណៈ (១៦) ហើយយើងសន្មត់ s = 0 ប្រសិនបើ k 0 មិនមែនជា root លក្ខណៈទេ។

ដើម្បីរៀបចំដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដោយប្រើរូបមន្ត (18) អ្នកត្រូវស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំនួនបួន - a, b, rនិង ស.បីដំបូងត្រូវបានកំណត់ពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ និង r- តាមពិតនេះគឺជាកំរិតខ្ពស់បំផុត xបានរកឃើញនៅខាងស្តាំ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ សរកឃើញពីការប្រៀបធៀបលេខ k 0 = a + ibនិង សំណុំនៃការទាំងអស់ (ដោយគិតគូរពីពហុគុណ) ឫសលក្ខណៈនៃសមីការ (16) ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។

ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេសនៃទម្រង់មុខងារ (១៧)៖

1) ពេលណា ក ¹ 0, ខ= 0f(x)= e ax P n(x);

2) ពេលណា ក= 0, ខ ¹ 0f(x)= Pn(x) ជាមួយosbx + R m(x)sinbx;

3) ពេលណា ក = 0, ខ = 0f(x)= ភី(x).

ចំណាំ 1. ប្រសិនបើ P n (x) º 0 ឬ Rm(x)º 0 បន្ទាប់មកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ f(x) = e ax P n (x)с osbx ឬ f(x) = e ax R m (x)sinbx, i.e. មានមុខងារតែមួយប៉ុណ្ណោះ - កូស៊ីនុស ឬស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការកត់ត្រានៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ពួកគេទាំងពីរត្រូវតែមានវត្តមាន ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមរូបមន្ត (18) ពួកវានីមួយៗត្រូវបានគុណដោយពហុធាជាមួយនឹងមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាននៃដឺក្រេដូចគ្នា r = max(n, m) ។

ឧទាហរណ៍ 11. កំណត់ប្រភេទនៃដំណោះស្រាយដោយផ្នែកទៅនឹងសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃលំដាប់ទី 4 ជាមួយនឹងមេគុណថេរ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការត្រូវបានគេស្គាល់ f(X) = អ៊ី x(2xcos 3x+(x 2 + 1)អំពើបាប 3x) និងឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ៖

ក ) k 1 = គ 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

ខ ) k 1, 2 = 1 ± 3ខ្ញុំ,k 3, 4 = ± 1;

វ ) k 1, 2 = 1 ± 3ខ្ញុំ,k 3, 4 = 1 ± 3ខ្ញុំ

ដំណោះស្រាយ។ នៅផ្នែកខាងស្តាំយើងរកឃើញថានៅក្នុងដំណោះស្រាយពិសេស នៅ*(X) ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (១៨) ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ ក= 1, ខ= 3, r = 2. ពួកគេនៅតែដដែលសម្រាប់ករណីទាំងបី ដូច្នេះចំនួន k 0 ដែលបញ្ជាក់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចុងក្រោយ សរូបមន្ត (១៨) ស្មើនឹង k 0 = 1+ 3ខ្ញុំ. ក្នុងករណី (a) មិនមានលេខក្នុងចំណោមឫសលក្ខណៈទេ។ k 0 = 1 + 3ខ្ញុំមានន័យថា ស= 0 ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយមានទម្រង់

y*(X) = x 0 អ៊ី x(ម 2 (x)cos 3x+N 2 (x)អំពើបាប 3x) =

= អ៊ីx( (ពូថៅ 2 +Bx+C)cos 3x+(ក 1 x 2 + ខ 1 x+C 1)អំពើបាប 3x.

ក្នុងករណី (ខ) លេខ k 0 = 1 + 3ខ្ញុំកើតឡើងម្តងក្នុងចំណោមឫសលក្ខណៈដែលមានន័យថា s = 1 និង

y*(X) = x e x((ពូថៅ 2 +Bx+C)cos 3x+(ក 1 x 2 + ខ 1 x+C 1)អំពើបាប 3x.

សម្រាប់ករណី (គ) យើងមាន s = 2 និង

y*(X) = x 2 អ៊ី x((ពូថៅ 2 +Bx+C)cos 3x+(ក ១ x 2 + ខ 1 x+C 1)អំពើបាប 3x.

ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 11 ដំណោះស្រាយពិសេសមានពហុនាមពីរនៃសញ្ញាបត្រ 2 ជាមួយនឹងមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយ អ្នកត្រូវកំណត់តម្លៃលេខនៃមេគុណទាំងនេះ។ ចូរយើងបង្កើតច្បាប់ទូទៅមួយ។

ដើម្បីកំណត់មេគុណដែលមិនស្គាល់នៃពហុនាម លោក(x) និង លេខ(x) សមភាព (17) ត្រូវបានបែងចែកតាមចំនួនដងដែលត្រូវការ ហើយមុខងារត្រូវបានជំនួស y*(X) និងដេរីវេរបស់វាទៅជាសមីការ (១៦)។ ដោយការប្រៀបធៀបផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតត្រូវបានទទួលសម្រាប់ការស្វែងរកមេគុណ។

ឧទាហរណ៍ 12. ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ នៅ¢ ¢ (X) - នៅ¢ (X) - 6នៅ(X) = xe 2xដោយបានកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការមិនដូចគ្នាដោយទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំ។

ដំណោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous មានទម្រង់

នៅ( X) = ` នៅ(X)+ y*(X),

កន្លែងណា ` នៅ ( X) - ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និង y*(X) - ដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការមិនដូចគ្នា

ដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។ នៅ¢ ¢ (X) - នៅ¢ (X) - 6នៅ(X) = 0. សមីការលក្ខណៈរបស់វា។ k 2 - k- 6 = 0 មានឫសពីរ k 1 = 3,k 2 = - 2, ហេតុនេះ ` នៅ ( X) = គ 1 អ៊ី 3X + គ 2 អ៊ី - 2X .

ចូរយើងប្រើរូបមន្ត (18) ដើម្បីកំណត់ប្រភេទនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ នៅ*(X) មុខងារ f(x) = xe 2x តំណាងឱ្យករណីពិសេស (ក) នៃរូបមន្ត (១៧) ខណៈ ក = 2,b = 0 និង r = 1, i.e. k 0 = 2 + 0ខ្ញុំ = 2. ប្រៀបធៀបជាមួយឬសគល់លក្ខណៈយើងសន្និដ្ឋានថា s = 0. ការជំនួសតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងអស់ទៅជារូបមន្ត (18) យើងមាន y*(X) = (អា + ខ)អ៊ី 2X .

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃ កនិង IN, ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីមួយ និងទីពីរនៃអនុគមន៍ y*(X) = (អា + ខ)អ៊ី 2X :

y*¢ (X)= អេ 2X + 2(អា + ខ)អ៊ី 2X = (2អា + អា + 2ខ)អ៊ី 2x,

y*¢ ¢ (X) = 2អេ 2X + 2(2អា + អា + 2ខ)អ៊ី 2X = (4អា + 4ក+ 4ខ)អ៊ី 2X .

បន្ទាប់ពីការជំនួសមុខងារ y*(X) និងដេរីវេរបស់វាទៅក្នុងសមីការដែលយើងមាន

(4អា + 4ក+ 4ខ)អ៊ី 2X - (2អា + អា + 2ខ)អ៊ី 2X - 6(អា + ខ)អ៊ី 2X = xe 2x Þ Þ ក =- 1/4,ខ=- 3/16.

ដូច្នេះដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាមានទម្រង់

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)អ៊ី 2X ,

និងដំណោះស្រាយទូទៅ - នៅ ( X) = គ 1 អ៊ី 3X + គ 2 អ៊ី - 2X + (- 1/4X- 3/16)អ៊ី 2X .

ចំណាំ ២.ក្នុងករណីដែលបញ្ហា Cauchy ត្រូវបានបង្កឡើងសម្រាប់សមីការមិនដូចគ្នា ទីមួយត្រូវតែស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ។

នៅ( X) = ,

ដោយបានកំណត់តម្លៃលេខទាំងអស់នៃមេគុណនៅក្នុង នៅ*(X) បន្ទាប់មកប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង ហើយជំនួសពួកវាទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ (និងមិនចូលទៅក្នុង y*(X)) ស្វែងរកតម្លៃនៃថេរ ស៊ី.

ឧទាហរណ៍ 13. ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy៖

នៅ¢ ¢ (X) - នៅ¢ (X) - 6នៅ(X) = xe 2x , y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.

ដំណោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះគឺ

នៅ(X) = គ 1 អ៊ី 3X + គ 2 អ៊ី - 2X + (- 1/4X- 3/16)អ៊ី 2X

ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 12។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃបញ្ហា Cauchy នេះ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

ដោះស្រាយវា យើងមាន គ 1 = 1/8, គ 2 = 1/16 ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy គឺជាមុខងារ

នៅ(X) = 1/8អ៊ី 3X + 1/16អ៊ី - 2X + (- 1/4X- 3/16)អ៊ី 2X .

ចំណាំ ៣(គោលការណ៍ superposition). ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ ល[y(x)]=f(x) កន្លែងណា f(x) =f 1 (x)+f 2 (x) និង y* 1 (x) - ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ល[y(x)]=f 1 (x), ក y* 2 (x) - ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ល[y(x)]=f 2 (x), បន្ទាប់មកមុខងារ y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) គឺ ការដោះស្រាយសមីការ ល[y(x)]=f(x).

ឧទាហរណ៍ 14 ។ ចង្អុលបង្ហាញប្រភេទនៃដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ

នៅ¢ ¢ (X) + 4នៅ(X) = x + sinx ។

ដំណោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។

` នៅ(x) = គ 1 cos 2x + C 2 អំពើបាប 2x,

ចាប់តាំងពីសមីការលក្ខណៈ k 2 + 4 = 0 មានឫស k 1, 2 = ± 2ខ្ញុំ.ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការមិនត្រូវគ្នានឹងរូបមន្ត (17) ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងណែនាំសញ្ញាណ f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinxនិងប្រើគោលការណ៍នៃ superposition , បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ inhomogeneous អាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងទម្រង់ y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) កន្លែងណា y* 1 (x) - ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ នៅ¢ ¢ (X) + 4នៅ(X) = x, ក y* 2 (x) - ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ នៅ¢ ¢ (X) + 4នៅ(X) = sinx ។យោងតាមរូបមន្ត (១៨)

y* 1 (x) = ពូថៅ + ខ,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx ។

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយពិសេស

y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់

នៅ(X) = គ 1 cos 2x + C 2 អ៊ី - 2X + ក x + B + Ccosx + Dsinx ។

ឧទាហរណ៍ 15 ។ សៀគ្វីអគ្គិសនីមានប្រភពបច្ចុប្បន្នតភ្ជាប់ជាស៊េរីជាមួយ emf អ៊ី(t) = អ៊ីបាបវ t,អាំងឌុចស្យុង អិលនិងធុង ជាមួយ, និង

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នា (LNDE-2) ជាមួយនឹងមេគុណថេរ (PC)

លំដាប់ទី 2 LDDE ដែលមានមេគុណថេរ $p$ និង $q$ មានទម្រង់ $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ដែល $f\left(x \right)$ គឺជាមុខងារបន្ត។

ទាក់ទងនឹង LNDU 2 ជាមួយ PC សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរខាងក្រោមគឺពិត។

ចូរយើងសន្មត់ថាមុខងារមួយចំនួន $U$ គឺជាដំណោះស្រាយមួយផ្នែកតាមអំពើចិត្តនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នាមួយ។ ចូរយើងសន្មតថាមុខងារមួយចំនួន $Y$ គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅ (GS) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នា (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$។ បន្ទាប់មក GS នៃ LHDE-2 គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយឯកជន និងទូទៅដែលបានចង្អុលបង្ហាញ នោះគឺ $y=U+Y$។

ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃលំដាប់ទី 2 LMDE គឺជាផលបូកនៃមុខងារ នោះគឺ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+..+f_(r) \left(x\right)$ បន្ទាប់មកដំបូងយើងអាចរកឃើញ PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ដែលត្រូវគ្នា។ ទៅមុខងារនីមួយៗ $f_(1) \left(x\right),f_(2)\left(x\right),...,f_(r)\left(x\right)$, ហើយបន្ទាប់ពីនោះ សរសេរ CR LNDU-2 ក្នុងទម្រង់ $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ។

ដំណោះស្រាយនៃការបញ្ជាទិញទី 2 LPDE ជាមួយកុំព្យូទ័រ

វាច្បាស់ណាស់ថាប្រភេទនៃ PD $U$ មួយឬមួយផ្សេងទៀតនៃ LNDU-2 ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺអាស្រ័យលើទម្រង់ជាក់លាក់នៃផ្នែកខាងស្តាំរបស់វា $f\left(x\right)$។ ករណីសាមញ្ញបំផុតនៃការស្វែងរក PD LNDU-2 ត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងទម្រង់នៃច្បាប់ចំនួនបួនខាងក្រោម។

វិធានលេខ ១ ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDU-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, where $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $ នោះគឺវាត្រូវបានគេហៅថា a ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ $n$ ។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r)$, ដែល $Q_(n) \left(x\right)$ គឺមួយទៀត ពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រដូចគ្នា $P_(n) \left(x\right)$, និង $r$ គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នាដែលស្មើនឹងសូន្យ។ មេគុណនៃពហុនាម $Q_(n) \left(x\right)$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ (UK)។

ច្បាប់លេខ 2 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDU-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ដែល $P_(n) \left(x\right)$ គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ $n$។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ដែល $Q_(n ) \ left(x\right)$ គឺជាពហុនាមមួយទៀតនៃដឺក្រេដូចគ្នានឹង $P_(n) \left(x\right)$ ហើយ $r$ គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នា ស្មើនឹង $\alpha $ ។ មេគុណនៃពហុនាម $Q_(n) \left(x\right)$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ NC ។

ច្បាប់លេខ 3 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDU-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=a\cdot\cos\left(\beta\cdot x\right)+b\cdot \sin left(\beta \cdot x \right) $ ដែល $a$, $b$ និង $\beta$ គឺជាលេខដែលគេស្គាល់។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $ ដែល $A$ និង $B$ ជាមេគុណមិនស្គាល់ ហើយ $r$ គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នា ស្មើនឹង $i\cdot \ បេតា $ ។ មេគុណ $A$ និង $B$ ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមិនបំផ្លិចបំផ្លាញ។

ច្បាប់លេខ 4 ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDU-2 មានទម្រង់ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ដែល $P_(n) \left(x\right)$ គឺ ពហុនាមនៃដឺក្រេ $n$ និង $P_(m) \left(x\right)$ គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ $m$។ បន្ទាប់មក PD $U$ របស់វាត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ដែល $Q_(s) \left(x\right)$ និង $R_(s) \left(x\right)$ គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ $s$ លេខ $s$ គឺជាចំនួនអតិបរមានៃចំនួនពីរ $n$ និង $m$ ហើយ $r$ គឺជាចំនួនឫស នៃសមីការលក្ខណៈនៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នា ស្មើនឹង $\alpha +i\cdot \beta $ ។ មេគុណនៃពហុនាម $Q_(s) \left(x\right)$ និង $R_(s) \left(x\right)$ ត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ NC ។

វិធីសាស្រ្ត NK រួមមានការអនុវត្តច្បាប់ខាងក្រោម។ ដើម្បីស្វែងរកមេគុណដែលមិនស្គាល់នៃពហុនាមដែលជាផ្នែកមួយនៃដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នា LNDU-2 វាចាំបាច់៖

• ជំនួស PD $U$ ដែលសរសេរជាទម្រង់ទូទៅ ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ LNDU-2;
• នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ LNDU-2 អនុវត្តភាពសាមញ្ញ និងលក្ខខណ្ឌក្រុមដែលមានថាមពលដូចគ្នា $x$;
• នៅក្នុងអត្តសញ្ញាណលទ្ធផល ស្មើមេគុណនៃពាក្យដែលមានអំណាចដូចគ្នា $x$ នៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។
• ដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរសម្រាប់មេគុណមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍ ១

កិច្ចការ៖ ស្វែងរក OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $។ ស្វែងរកផងដែរ PD បំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង $y=6$ សម្រាប់ $x=0$ និង $y"=1$ សម្រាប់ $x=0$។

យើងសរសេរ LOD-2 ដែលត្រូវគ្នា៖ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$ ។

សមីការលក្ខណៈ៖ $k^(2) -3\cdot k-18=0$ ។ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈគឺ៖ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$ ។ ឫសទាំងនេះត្រឹមត្រូវ និងច្បាស់លាស់។ ដូច្នេះ OR នៃ LODE-2 ដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់៖ $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $ ។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃ LNDU-2 នេះមានទម្រង់ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x)$ ។ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាមេគុណនៃនិទស្សន្ត $\alpha =3$ ។ មេគុណនេះមិនស្របគ្នានឹងឫសគល់ណាមួយនៃសមីការលក្ខណៈទេ។ ដូច្នេះ PD នៃ LNDU-2 នេះមានទម្រង់ $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $។

យើងនឹងស្វែងរកមេគុណ $A$, $B$ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ NC ។

យើងរកឃើញដេរីវេដំបូងនៃសាធារណរដ្ឋឆេក៖

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(("))\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot ឆ្វេង( e^(3\cdot x) \right)^((")) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

យើងរកឃើញដេរីវេទីពីរនៃសាធារណរដ្ឋឆេក៖

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x)\right)^((")) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

យើងជំនួសមុខងារ $U""$, $U"$ និង $U$ ជំនួសឱ្យ $y""$, $y"$ និង $y$ ទៅក្នុង NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ លើសពីនេះទៅទៀត ចាប់តាំងពីនិទស្សន្ត $e^(3\cdot x) $ ត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាកត្តា នៅក្នុងសមាសធាតុទាំងអស់ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានលុបចោល យើងទទួលបាន៖

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x +9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

យើងអនុវត្តសកម្មភាពនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពលទ្ធផល៖

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

យើងប្រើវិធីសាស្ត្រ NDT ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ៖

$-18 \cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះគឺ៖ $A=-2$, $B=-1$។

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x)$ សម្រាប់បញ្ហារបស់យើងមើលទៅដូចនេះ: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $ ។

OR $y=Y+U$ សម្រាប់បញ្ហារបស់យើងមើលទៅដូចនេះ៖ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \\ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ។

ដើម្បីស្វែងរក PD ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញដេរីវេ $y"$ នៃ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

យើងជំនួស $y$ និង $y"$ លក្ខខណ្ឌដំបូង $y=6$ សម្រាប់ $x=0$ និង $y"=1$ សម្រាប់ $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

ចូរយើងដោះស្រាយវា។ យើងរកឃើញ $C_(1) $ ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ហើយ $C_(2) $ យើងកំណត់ពីសមីការទីមួយ៖

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc)(7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc)(1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ដូច្នេះ PD នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះមានទម្រង់៖ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \\ ស្តាំ ) \\ cdot e ^ (3 \\ cdot x) $ ។

អត្ថបទនេះនិយាយអំពីបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ទ្រឹស្តីនឹងត្រូវបានពិភាក្សារួមជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីបកស្រាយពាក្យដែលមិនអាចយល់បាន ចាំបាច់ត្រូវយោងទៅលើប្រធានបទនៃនិយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ចូរយើងពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ (LDE) នៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃទម្រង់ y "" + p · y " + q · y = f (x) ដែល p និង q ជាលេខបំពាន ហើយមុខងារដែលមានស្រាប់ f (x) គឺបន្តនៅលើចន្លោះពេលរួមបញ្ចូល x ។

ចូរយើងបន្តទៅការបង្កើតទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LNDE ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ទ្រឹស្តីបទដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ LDNU

ទ្រឹស្តីបទ ១

ដំណោះស្រាយទូទៅដែលមានទីតាំងនៅចន្លោះ x នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃទម្រង់ y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ។ . . + f 0 (x) · y = f (x) ជាមួយនឹងមេគុណនៃការរួមបញ្ចូលជាបន្តបន្ទាប់នៅលើចន្លោះ x f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n − 1 (x) និងអនុគមន៍បន្ត f (x) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅ y 0 ដែលត្រូវនឹង LOD និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួន y ~ ដែលសមីការមិនដូចគ្នាដើមគឺ y = y 0 + y ~ ។

នេះបង្ហាញថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលំដាប់ទីពីរបែបនេះមានទម្រង់ y = y 0 + y ~ ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក y 0 ត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទស្តីពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ បន្ទាប់ពីនោះយើងគួរតែបន្តទៅនិយមន័យនៃ y ~ ។

ជម្រើសនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះ LPDE អាស្រ័យលើប្រភេទនៃមុខងារដែលមាន f (x) ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីគ្នានូវដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

នៅពេលដែល f (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ nth f (x) = P n (x) វាដូចខាងក្រោមថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃ LPDE ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តនៃទម្រង់ y ~ = Q n (x ) x γ ដែល Q n ( x) ជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n r គឺជាចំនួនឫសសូន្យនៃសមីការលក្ខណៈ។ តម្លៃ y ~ គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) បន្ទាប់មកមេគុណដែលមានដែលត្រូវបានកំណត់ដោយពហុនាម
Q n (x) យើងរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ពីសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ។

ដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការផ្លាស់ទីទៅដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ y "" - 2 y " = x 2 + 1 ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ y (0) = 2, y "(0) = 1 4 .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ គឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅ ដែលត្រូវគ្នានឹងសមីការ y 0 ឬដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ inhomogeneous y ~ នោះគឺ y = y 0 + y ~ ។

ជាដំបូង សូមស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ LNDU ហើយបន្ទាប់មកជាក់លាក់មួយ។

ចូរបន្តទៅការស្វែងរក y 0 ។ ការសរសេរសមីការលក្ខណៈនឹងជួយអ្នករកឃើញឫសគល់។ យើងទទួលបាននោះ។

k 2 − 2 k = 0 k (k − 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

យើងបានរកឃើញថាឫសគឺខុសគ្នានិងពិតប្រាកដ។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេរចុះ

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x ។

ចូរយើងស្វែងរក y ~ ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរបន្ទាប់មកឫសមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ពីនេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ y ​​~ នឹងត្រូវបាន

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x ដែលតម្លៃនៃ A, B, C យកមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។

ចូររកពួកវាពីសមភាពនៃទម្រង់ y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា៖

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " − 6 A x 2 − 4 B x − 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B − 6 A x 2 − 4 B x − 2 C = x 2 + 1 − 6 A x 2 + x (6 A − 4 B) + 2 B − 2 C = x 2 + 1

សមីការមេគុណដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នានៃ x យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃកន្សោមលីនេអ៊ែរ - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 ។ នៅពេលដោះស្រាយដោយវិធីណាមួយ យើងនឹងរកឃើញមេគុណ ហើយសរសេរ៖ A = − 1 6, B = − 1 4, C = − 3 4 និង y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = − 1 6 x 3 − 1 4 x 2 − 3 4 x .

ធាតុនេះត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរដើមជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ y (0) = 2, y "(0) = 1 4 វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់តម្លៃ គ ១និង គ ២ដោយផ្អែកលើសមភាពនៃទម្រង់ y = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ។

យើងទទួលបានវា៖

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x − 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 − 3 4

យើងធ្វើការជាមួយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការនៃទម្រង់ C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ដែល C 1 = 3 2 C 2 = 1 2 ។

ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy យើងមាននោះ។

y = C 1 + C 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

ចម្លើយ៖ 3 2 + 1 2 អ៊ី 2 x − 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

នៅពេលដែលអនុគមន៍ f (x) ត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃពហុនាមដែលមានដឺក្រេ n និងនិទស្សន្ត f (x) = P n (x) · e a x នោះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះ LPDE លំដាប់ទីពីរនឹងជា សមីការនៃទម្រង់ y ~ = e a x · Q n ( x ) x γ ដែល Q n ( x ) ជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ n ហើយ r គឺជាចំនួនឫសនៃសមីការលក្ខណៈស្មើនឹង α ។

មេគុណដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Q n (x) ត្រូវបានរកឃើញដោយសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

ដំណោះស្រាយ

សមីការទូទៅគឺ y = y 0 + y ~ ។ សមីការ​ដែល​បាន​បង្ហាញ​ត្រូវ​នឹង LOD y "" - 2 y " = 0 ។ ពី​ឧទាហរណ៍​មុន​គេ​អាច​មើល​ឃើញ​ថា​ឫស​របស់​វា​ស្មើ k 1 = 0និង k 2 = 2 និង y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ដោយសមីការលក្ខណៈ។

គេអាចមើលឃើញថាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺ x 2 + 1 · e x ។ ពីទីនេះ LPDE ត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈ y ~ = e a x · Q n (x) · x γ ដែល Q n (x) គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ ដែល α = 1 និង r = 0 ពីព្រោះសមីការលក្ខណៈមិនមាន មានឫសស្មើនឹង 1 ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានវា។

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C ។

A, B, C គឺជាមេគុណដែលមិនស្គាល់ដែលអាចរកឃើញដោយសមភាព y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ។

យល់

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - − 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

យើងធ្វើសមកាលកម្មសូចនាករជាមួយនឹងមេគុណដូចគ្នា និងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ពីទីនេះយើងរកឃើញ A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = − 1 B = 0 C = − 3

ចម្លើយ៖វាច្បាស់ណាស់ថា y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · − x 2 + 0 · x − 3 = − e x · x 2 + 3 គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយរបស់ LNDDE ហើយ y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ជាដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់សមីការ dif inhomogeneous លំដាប់ទីពីរ។

នៅពេលដែលអនុគមន៍ត្រូវបានសរសេរជា f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x និង ក ១និង ខ ១គឺជាលេខ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃ LPDE ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមីការនៃទម្រង់ y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ ដែល A និង B ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន ហើយ r គឺជាចំនួននៃ ឫស conjugate ស្មុគ្រស្មាញទាក់ទងនឹងសមីការលក្ខណៈ ស្មើនឹង ± i β ។ ក្នុងករណីនេះការស្វែងរកមេគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ។

ដំណោះស្រាយ

មុននឹងសរសេរសមីការលក្ខណៈ យើងរកឃើញ y 0 ។ បន្ទាប់មក

k 2 + 4 = 0 k 2 = − 4 k 1 = 2 i , k 2 = − 2 i

យើងមានឫសផ្សំស្មុគ្រស្មាញមួយគូ។ តោះផ្លាស់ប្តូរ និងទទួលបាន៖

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈត្រូវបានចាត់ទុកថាជាគូផ្សំ ± 2 i បន្ទាប់មក f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ។ នេះបង្ហាញថាការស្វែងរក y ~ នឹងត្រូវបានធ្វើឡើងពី y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x ។ យើងនឹងរកមើលមេគុណ A និង B ពីសមភាពនៃទម្រង់ y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ។

តោះបំលែង៖

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x))" = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x − 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (− 4 A cos (2 x) − 4 B sin (2 x)) x − 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

បន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់។

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (− 4 A cos (2 x) − 4 B sin (2 x)) x − 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ − 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើមេគុណនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃទម្រង់៖

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = − 3 4 B = 1 4

េដរកាម y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = − 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x ។

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LDDE លំដាប់ទីពីរដើមដែលមានមេគុណថេរត្រូវបានពិចារណា

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + − 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

ពេល f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) បន្ទាប់មក y ~ = e a x · (L m (x) sin ( β x) + N m (x) cos (β x) x γ យើងមានថា r គឺជាចំនួននៃគូស្មុគ្រស្មាញនៃឫសដែលទាក់ទងទៅនឹងសមីការលក្ខណៈ ស្មើនឹង α ± i β ដែល P n (x), Q k (x), ។ L m (x) និង Nm(x)គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n, k, m, m, កន្លែងណា m = m a x (n, k). ការស្វែងរកមេគុណ Lm(x)និង Nm(x)ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយផ្អែកលើសមភាព y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ y "" + 3 y " + 2 y = − e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x − 5) cos (5 x)) ។

ដំណោះស្រាយ

យោងតាមលក្ខខណ្ឌវាច្បាស់ណាស់។

α = 3, β = 5, P n (x) = − 38 x − 45, Q k (x) = − 8 x + 5, n = 1, k = 1

បន្ទាប់មក m = m a x (n, k) = 1 ។ យើងរកឃើញ y 0 ដោយដំបូងសរសេរសមីការលក្ខណៈនៃទម្រង់៖

k 2 − 3 k + 2 = 0 D = 3 2 − 4 1 2 = 1 k 1 = 3 − 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

យើងបានរកឃើញថាឫសគឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា។ ដូេចនះ y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x ។ បន្ទាប់មក ចាំបាច់ត្រូវរកមើលដំណោះស្រាយទូទៅដោយផ្អែកលើសមីការ inhomogeneous y ~ នៃទម្រង់

y ~ = e α x ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) x γ = = e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

វាត្រូវបានគេដឹងថា A, B, C គឺជាមេគុណ, r = 0, ដោយសារតែមិនមានគូនៃឫស conjugate ទាក់ទងទៅនឹងសមីការលក្ខណៈជាមួយ α ± i β = 3 ± 5 · i ។ យើងរកឃើញមេគុណទាំងនេះពីសមភាពលទ្ធផល៖

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = − e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x − 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" − 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + ឃ) sin (5 x))) = − e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x − 5) cos (5 x))

ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ និងពាក្យស្រដៀងគ្នាផ្តល់ឱ្យ

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (− 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = − e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

បន្ទាប់ពីធ្វើមេគុណស្មើគ្នា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃទម្រង់

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

ពីអ្វីគ្រប់យ៉ាងវាធ្វើតាមនោះ។

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

ចម្លើយ៖ឥឡូវនេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ LDNU

និយមន័យ ១

ប្រភេទផ្សេងទៀតនៃមុខងារ f (x) សម្រាប់ដំណោះស្រាយទាមទារឱ្យមានការអនុលោមតាមក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ៖

• ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នាដែល y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 ដែលជាកន្លែងដែល y ១និង y ២គឺជាដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃ LODE, គ ១និង គ ២ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអថេរបំពាន;
• ការអនុម័តជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• ការកំណត់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍តាមរយៈប្រព័ន្ធនៃទម្រង់ C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) y 2 (x) = 0 C 1" (x) + y 1" (x ) + C 2 "(x) · y 2" (x) = f (x) និងការស្វែងរកមុខងារ C 1 (x)និង C 2 (x) តាមរយៈការរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ y ​​"" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ។

ដំណោះស្រាយ

យើងបន្តទៅការសរសេរសមីការលក្ខណៈ ដោយបានសរសេរពីមុន y 0, y "" + 36 y = 0 ។ តោះសរសេរនិងដោះស្រាយ៖

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = − 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

យើងមានថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងត្រូវបានសរសេរជា y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបន្តទៅនិយមន័យនៃអនុគមន៍ដេរីវេ C 1 (x)និង C2(x)យោងតាមប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ៖

C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2 "(x) · sin (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 "(x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

ការសម្រេចចិត្តត្រូវតែធ្វើឡើងទាក់ទងនឹង C 1" (x)និង C 2" (x)ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តណាមួយ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរ៖

C 1" (x) = − 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) − 6 e 6 x sin (6 x) C 2” (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

សមីការនីមួយៗត្រូវតែរួមបញ្ចូល។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការលទ្ធផល៖

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) − 2 x − 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) − 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = − 1 6 sin (6 x) cos (6 x) − x − 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 អ៊ី 6 x sin (6 x) + C ៤

វាដូចខាងក្រោមថាដំណោះស្រាយទូទៅនឹងមានទម្រង់:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) − 2 x − 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) − 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + − 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x − 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = − 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

ចម្លើយ៖ y = y 0 + y ~ = − 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter