ទ្រឹស្តីសង្ខេបនៃដេរីវេនៃក្បួនដោះស្រាយមុខងារស្មុគស្មាញ។ ច្បាប់សម្រាប់គណនានិស្សន្ទវត្ថុ

ឧទាហរណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។

មាតិកា

សូមមើលផងដែរ: ភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

នៅទីនេះយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ដូចខាងក្រោមៈ
; ; ; ; .

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
.
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងសរសេររូបមន្តនេះដូចខាងក្រោម៖
.
កន្លែងណា។
នៅទីនេះ subscripts ឬ ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាដេរីវេ បង្ហាញពីអថេរដែលភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។

ជាធម្មតានៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ x គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្លូវការ។ អថេរ x អាចត្រូវបានជំនួសដោយអថេរផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះនៅពេលបែងចែកមុខងារមួយពីអថេរ យើងគ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេរ Variable x ទៅ variable u ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
.

ចូរយើងសរសេរមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់សមមូល៖
.
នៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
.

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ យើងមាន៖
.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេ
.

យើងយកលេខថេរ 5 ចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ហើយពីតារាងដេរីវេយើងរកឃើញ:
.

.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេ
.

យើងដកអថេរ -1 សម្រាប់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
ពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
.

យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាង

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញកាន់តែច្រើន យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញជាច្រើនដង។ ក្នុងករណីនេះយើងគណនាដេរីវេពីចុង។ នោះគឺយើងបំបែកមុខងារទៅជាផ្នែកសមាសធាតុរបស់វា ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកសាមញ្ញបំផុតដោយប្រើ តារាងដេរីវេ. យើងក៏ប្រើដែរ។ ច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក, ផលិតផល និងប្រភាគ។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេ
.

ចូរយើងជ្រើសរើសផ្នែកសាមញ្ញបំផុតនៃរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។ .

.
នៅទីនេះយើងបានប្រើសញ្ញាណ
.

យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកបន្ទាប់នៃអនុគមន៍ដើមដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖
.

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
.

ចូរយើងជ្រើសរើសផ្នែកសាមញ្ញបំផុតនៃរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វាពីតារាងដេរីវេ។ .

យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
.
នៅទីនេះ
.

ចូរយើងបែងចែកផ្នែកបន្ទាប់ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន។
.
នៅទីនេះ
.

ចូរយើងបែងចែកផ្នែកបន្ទាប់។

.
នៅទីនេះ
.

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារដែលចង់បាន។

.
នៅទីនេះ
.

សូមមើលផងដែរ:

ការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺមិនអាចទៅរួចទេទាំងស្រុងដោយគ្មានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្ត្រសម្រាប់គណនាវា។ និស្សន្ទវត្ថុគឺជាគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ តើអ្វីជាអត្ថន័យរូបវន្ត និងធរណីមាត្ររបស់វា របៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?

ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) បានបញ្ជាក់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ (a, ខ) . ពិន្ទុ x និង x0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចពីរ។ និយមន័យនៃដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។

បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:

តើអ្វីជាចំណុចនៃការរកឃើញកម្រិតនេះ? ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលវា៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។

ពិតហើយ តាំងពីរៀននៅសាលា មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវជាក់លាក់មួយ។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖

ដើម្បីស្វែងយល់ពីល្បឿននៃការធ្វើចលនាក្នុងពេលមួយស្របពេល t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖

ច្បាប់ទីមួយ៖ កំណត់តម្លៃថេរ

ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតនេះត្រូវតែធ្វើ។ ពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកវាជាក្បួន - ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមបាន សូមប្រាកដថាធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ .

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖

វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ដំណោះស្រាយ៖

វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៅទីនេះ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម និងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយគោរពទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើយើងមកឃើញកន្សោម៖

ក្នុងករណីនេះអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ទៅថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ដំបូងយើងគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ច្បាប់ទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖

យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ននៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងជួយអ្នកក្នុងការដោះស្រាយការធ្វើតេស្តដ៏លំបាកបំផុត និងយល់ពីកិច្ចការនានា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ធ្វើការគណនាដេរីវេពីមុនមកក៏ដោយ។

មុខងារនៃប្រភេទស្មុគស្មាញមិនតែងតែសមនឹងនិយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញនោះទេ។ ប្រសិនបើមានអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = sin x − (2 − 3) · a r c t g x 5 7 x 10 − 17 x 3 + x − 11 នោះវាមិនអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ មិនដូច y = sin 2 x ។

អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញពីគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងការកំណត់អត្តសញ្ញាណរបស់វា។ ចូរយើងធ្វើការជាមួយរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន។ ការប្រើប្រាស់តារាងនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា កាត់បន្ថយពេលវេលាក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ។

និយមន័យមូលដ្ឋាន

និយមន័យ ១

មុខងារស្មុគ្រស្មាញ គឺជាមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ក៏ជាមុខងារផងដែរ។

វាត្រូវបានតំណាងតាមរបៀបនេះ: f (g (x)) ។ យើងមានថាអនុគមន៍ g (x) ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាអាគុយម៉ង់ f (g (x)) ។

និយមន័យ ២

ប្រសិនបើមានអនុគមន៍ f ហើយវាជាអនុគមន៍កូតង់សង់ នោះ g(x) = ln x គឺជាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិ។ យើងរកឃើញថាមុខងារស្មុគស្មាញ f (g (x)) នឹងត្រូវបានសរសេរជា arctg(lnx) ។ ឬអនុគមន៍ f ដែលជាអនុគមន៍ដែលលើកទៅអំណាចទី 4 ដែល g (x) = x 2 + 2 x − 3 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍សនិទានទាំងមូល យើងទទួលបាននោះ f (g (x)) = ( x 2 + ២ x − ៣) ៤.

ជាក់ស្តែង g(x) អាចស្មុគស្មាញ។ ពីឧទាហរណ៍ y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃ g មានឫសគូបនៃប្រភាគ។ កន្សោមនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា y = f (f 1 (f 2 (x))) ។ ពីកន្លែងដែលយើងមាន f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ f 1 គឺជាអនុគមន៍ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមឫសការ៉េ f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 គឺជាអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។

និយមន័យ ៣

កម្រិតនៃការដាក់សំបុកត្រូវបានកំណត់ដោយលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយត្រូវបានសរសេរជា y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) ។

និយមន័យ ៤

គោលគំនិតនៃសមាសភាពមុខងារ សំដៅលើចំនួននៃអនុគមន៍ដែលដាក់ដោយផ្អែកតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ដើម្បីដោះស្រាយ សូមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = (2 x + 1) ២.

ដំណោះស្រាយ

លក្ខខណ្ឌបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) = 2 x + 1 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។

ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ហើយសរសេរ៖

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 − 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 − 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងទម្រង់ដើមសាមញ្ញនៃមុខងារ។ យើងទទួលបាន:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

ពីទីនេះយើងមានវា។

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 − 1 + 4 · 1 · x 1 − 1 = 8 x + 4

លទ្ធផលគឺដូចគ្នា។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលមុខងារនៃទម្រង់ f និង g (x) នឹងស្ថិតនៅ។

ឧទាហរណ៍ ២

អ្នកគួរតែស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = sin 2 x និង y = sin x 2 ។

ដំណោះស្រាយ

ការសម្គាល់អនុគមន៍ទីមួយនិយាយថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 − 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

ធាតុទីពីរបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ g(x) = x 2 បង្ហាញពីអនុគមន៍ថាមពល។ វាដូចខាងក្រោមដែលយើងសរសេរផលិតផលនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយដូចជា

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 − 1 = 2 x cos (x 2)

រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) នឹងត្រូវបានសរសេរជា y " = f " ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . .. ( f n (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) · · f 2" (f 3 (... (f n (x))) )))) · . . . fn "(x)

ឧទាហរណ៍ ៣

រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ។

ដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីការលំបាកក្នុងការសរសេរ និងកំណត់ទីតាំងនៃមុខងារ។ បន្ទាប់មក y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) បង្ហាញពីកន្លែងដែល f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស មុខងារនៃការលើក ដល់ 3 ដឺក្រេ មុខងារជាមួយលោការីត និងគោល អ៊ី អនុគមន៍អាកតង់សង់ និងលីនេអ៊ែរ។

ពីរូបមន្តសម្រាប់កំណត់មុខងារស្មុគស្មាញ យើងមាននោះ។

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

យើងទទួលបានអ្វីដែលយើងត្រូវស្វែងរក

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ជាដេរីវេនៃស៊ីនុសយោងទៅតាមតារាងដេរីវេ បន្ទាប់មក f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ។
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល បន្ទាប់មក f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) ។
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ជាដេរីវេលោការីត បន្ទាប់មក f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) ។
f 3 "(f 4 (x)) ជាដេរីវេនៃ Arctangent បន្ទាប់មក f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 ។
នៅពេលរកឃើញដេរីវេទី f 4 (x) = 2 x យក 2 ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តស្មើនឹង 1 បន្ទាប់មក f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ។

យើងបញ្ចូលគ្នានូវលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម ហើយទទួលបាននោះ។

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ការវិភាគមុខងារបែបនេះគឺនឹកឃើញដល់តុក្កតាសំបុក។ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាមិនអាចតែងតែត្រូវបានអនុវត្តដោយច្បាស់លាស់ដោយប្រើតារាងដេរីវេទេ។ ជារឿយៗអ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

មានភាពខុសគ្នាខ្លះរវាងរូបរាងស្មុគស្មាញ និងមុខងារស្មុគស្មាញ។ ជាមួយនឹងសមត្ថភាពច្បាស់លាស់ក្នុងការបែងចែកនេះ ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនឹងមានភាពងាយស្រួលជាពិសេស។

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាផ្តល់ឧទាហរណ៍បែបនេះ។ ប្រសិនបើមានអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 នោះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 ។ . ជាក់ស្តែង ចាំបាច់ត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេស្មុគ្រស្មាញ៖

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 − 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 − 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

អនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ ព្រោះវាមានផលបូកនៃ t g x 2, 3 t g x និង 1 ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ t g x 2 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលនៃទម្រង់ g (x) = x 2 និង f ដែលជាអនុគមន៍តង់សង់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបែងចែកដោយបរិមាណ។ យើងទទួលបាននោះ។

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2)" + 3 cos 2 x

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

យើងទទួលបាន y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2)" + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

មុខងារនៃប្រភេទស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយមុខងារស្មុគ្រស្មាញខ្លួនឯងអាចជាធាតុផ្សំនៃមុខងារនៃប្រភេទស្មុគស្មាញមួយ។

ឧទាហរណ៍ 5

ឧទាហរណ៍ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

អនុគមន៍នេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា y = f (g (x)) ដែលតម្លៃនៃ f គឺជាមុខងារនៃលោការីតគោល 3 ហើយ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរនៃទម្រង់ h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 និង k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) ។ ជាក់ស្តែង y = f (h (x) + k (x)) ។

ពិចារណាមុខងារ h(x) ។ នេះគឺជាសមាមាត្រ l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ទៅ m (x) = e x 2 + 3 3

យើងមានថា l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ n (x) = x 2 + 7 និង p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ដែល p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)))) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលមានមេគុណលេខ 3 ហើយ p 1 គឺជាអនុគមន៍គូប។ p 2 ដោយអនុគមន៍កូស៊ីនុស p 3 (x) = 2 x + 1 ដោយអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។

យើងបានរកឃើញថា m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ q (x) = e x 2 និង r (x) = 3 3 ដែល q (x) = q 1 (q 2 (x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ q 1 ជាអនុគមន៍ដែលមានអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល q 2 (x) = x 2 ជាអនុគមន៍ថាមពល។

នេះបង្ហាញថា h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) ។ (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

នៅពេលផ្លាស់ទីទៅកន្សោមនៃទម្រង់ k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ស្មុគស្មាញ s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) ជាមួយចំនួនគត់សមហេតុផល t (x) = x 2 + 1 ដែល s 1 ជាអនុគមន៍ការេ ហើយ s 2 (x) = ln x គឺជាលោការីតជាមួយ មូលដ្ឋាន e.

វាដូចខាងក្រោមថាកន្សោមនឹងយកទម្រង់ k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) ។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ដោយផ្អែកលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃមុខងារ វាបានច្បាស់អំពីរបៀប និងរូបមន្តអ្វីខ្លះដែលត្រូវប្រើ ដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិនៅពេលបែងចែកវាឱ្យកាន់តែច្បាស់។ ដើម្បីស្គាល់ពីបញ្ហាបែបនេះ និងសម្រាប់គោលគំនិតនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ចាំបាច់ត្រូវងាកទៅរកចំណុចនៃការបែងចែកមុខងារមួយ ពោលគឺការស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ងាយស្រួលចងចាំណាស់។

អញ្ចឹងកុំទៅណាឆ្ងាយ តោះពិចារណាមុខងារបញ្ច្រាស។ តើអនុគមន៍មួយណាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបញ្ច្រាស? លោការីត៖

ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖

លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។

តើវាស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដណាស់, ។

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖

ឧទាហរណ៍:

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
តើអ្វីជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ចម្លើយ៖ លោការីតអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងធម្មជាតិគឺជាមុខងារសាមញ្ញតែមួយគត់ពីទស្សនៈដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត នឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងវិភាគនៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពីយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា

ច្បាប់អ្វី? ពាក្យថ្មីទៀតហើយ!...

ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។

អស់ហើយ។ តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកអាចហៅដំណើរការនេះក្នុងពាក្យមួយ? មិនមែនដេរីវេទេ... គណិតវិទូហៅឌីផេរ៉ង់ស្យែលថា ការកើនឡើងដូចគ្នានៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។

នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖

សរុបមាន ៥ ច្បាប់។

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ។

ប្រសិនបើ - ចំនួនថេរមួយចំនួន (ថេរ) បន្ទាប់មក។

ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។ សូមឱ្យវាក្លាយជាឬសាមញ្ញជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

នៅចំណុចមួយ;
នៅចំណុចមួយ;
នៅចំណុចមួយ;
នៅចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖

(ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ព្រោះវាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ សូមចាំ?);

ដេរីវេនៃផលិតផល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ សូមណែនាំមុខងារថ្មី និងស្វែងរកការបន្ថែមរបស់វា៖

ដេរីវេ៖

ឧទាហរណ៍:

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ និង;
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលណាមួយ ហើយមិនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)

ដូច្នេះតើលេខមួយណា។

យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមកាត់បន្ថយមុខងាររបស់យើងទៅមូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងប្រើច្បាប់សាមញ្ញមួយ: . បន្ទាប់មក៖

ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។

បានកើតឡើង?

នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖

រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្តមួយ៖ ដូចដែលវាគឺ វានៅតែដដែល មានតែកត្តាមួយបានលេចចេញមក ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។

ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ ពោលគឺមិនអាចសរសេរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះបានទេ។ ដូច្នេះហើយ យើងទុកវាក្នុងទម្រង់នេះក្នុងចំលើយ។

សូមចំណាំថា ខាងក្រោមនេះជាគុណតម្លៃនៃអនុគមន៍ពីរ ដូច្នេះយើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលត្រូវគ្នា៖

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ផលិតផលនៃមុខងារពីរ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

វាស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ អ្នកបានដឹងរួចមកហើយនូវដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកលោការីតតាមអំពើចិត្តដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖

យើងត្រូវកាត់បន្ថយលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖

មានតែពេលនេះទេដែលយើងនឹងសរសេរជំនួសវិញ៖

ភាគបែងគឺគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺទទួលបានយ៉ាងសាមញ្ញ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ស្ទើរតែមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនោះទេ ប៉ុន្តែវានឹងមិនមានភាពអស្ចារ្យក្នុងការស្គាល់ពួកវានោះទេ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាអាកតង់សង់ទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាអ្នករកឃើញលោការីតពិបាកក៏ដោយ សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្នកនឹងមិនអីទេ) ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" ទេ។

ស្រមៃមើលខ្សែក្រវាត់តូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ និងធ្វើសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយនឹងវត្ថុមួយចំនួន។ ជាឧទាហរណ៍ ទីមួយរុំរបារសូកូឡានៅក្នុងរុំ ហើយទីពីរចងវាដោយខ្សែបូ។ លទ្ធផលគឺជាវត្ថុផ្សំមួយ៖ របារសូកូឡារុំ និងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំរបារសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើជំហានបញ្ច្រាសតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។

ចូរយើងបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើការការ៉េនៃលេខលទ្ធផល។ ដូច្នេះ យើងត្រូវបានផ្តល់លេខមួយ (សូកូឡា) ខ្ញុំរកឃើញកូស៊ីនុសរបស់វា (រុំ) ហើយបន្ទាប់មកអ្នកដាក់ការ៉េដែលខ្ញុំទទួលបាន (ចងវាដោយខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ៖ នៅពេលដែលដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងអនុវត្តសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរជាមួយនឹងអ្វីដែលជាលទ្ធផលពីទីមួយ។

ក្នុងន័យផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .

ឧទាហរណ៍របស់យើង, ។

យើងអាចធ្វើជំហានដូចគ្នាយ៉ាងងាយស្រួលតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ដំបូងអ្នកដាក់វាជាការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំរកមើលកូស៊ីនុសនៃលេខលទ្ធផល៖ . វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលដែលលំដាប់នៃសកម្មភាពផ្លាស់ប្តូរ មុខងារផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .

សកម្មភាពដែលយើងធ្វើចុងក្រោយនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពបានអនុវត្តមុនគេ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។

ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណា និងខាងក្នុងមួយណា៖

ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងអនុគមន៍មួយ។

តើយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពអ្វីមុនគេ? ដំបូងយើងគណនាស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកគូប។ នេះមានន័យថាវាជាមុខងារខាងក្នុង ប៉ុន្តែជាមុខងារខាងក្រៅ។
ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ .
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារមួយ។

ជាការប្រសើរណាស់, ឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយករបារសូកូឡារបស់យើងហើយរកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ បន្ទាប់មកយើងគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង។ ទាក់ទងទៅនឹងឧទាហរណ៍ដើម វាមើលទៅដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

ដូច្នេះ ទីបំផុតយើងនឹងបង្កើតច្បាប់ជាផ្លូវការ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

វាហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?

តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖

ដំណោះស្រាយ៖

1) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

2) ផ្ទៃក្នុង: ;

(កុំព្យាយាមកាត់វាឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសទេ ចាំបានទេ?)

3) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

វាច្បាស់ភ្លាមៗថានេះគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញបីកម្រិត៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងក៏ដកឫសចេញពីវាដែរ ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (ដាក់សូកូឡាក្នុងរុំ។ និងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូបយួរដៃ) ។ ប៉ុន្តែមិនមានហេតុផលដែលត្រូវភ័យខ្លាចទេ: យើងនឹងនៅតែ "ស្រាយ" មុខងារនេះតាមលំដាប់ដូចធម្មតា: ចាប់ពីទីបញ្ចប់។

នោះគឺជាដំបូងយើងធ្វើការខុសគ្នានៃឫស បន្ទាប់មកកូស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកតែកន្សោមក្នុងតង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។

ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពក្នុងលំដាប់ណាដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖

នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា។ លំដាប់នៃសកម្មភាពគឺដូចពីមុន៖

នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរកំណត់ផ្លូវនៃសកម្មភាព។

1. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ .

2. ឫស។ .

3. ស៊ីន។ .

4. ការ៉េ។ .

5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖

ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីរឿងសំខាន់

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់សម្រាប់ការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់:

និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា៖

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃផលបូក៖

ដេរីវេនៃផលិតផល៖

ដេរីវេនៃកូតា៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។

និងទ្រឹស្តីបទស្តីពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញមួយ ការបង្កើតដែលមានដូចខាងក្រោម៖

អនុញ្ញាតឱ្យ 1) អនុគមន៍ $u=\varphi (x)$ មាននៅចំណុចខ្លះ $x_0$ ដេរីវេ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) អនុគមន៍ $y=f(u)$ មាននៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា $u_0=\varphi (x_0)$ ដេរីវេ $y_(u)"=f"(u)$ ។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y=f\left(\varphi(x)\right)$ នៅចំណុចដែលបានរៀបរាប់ក៏នឹងមានដេរីវេស្មើនឹងផលគុណនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(u)$ និង $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0)\right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ឬក្នុងន័យខ្លីជាងនេះ៖ $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$ ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ក្នុងផ្នែកនេះ មុខងារទាំងអស់មានទម្រង់ $y=f(x)$ (ឧ. យើងពិចារណាតែមុខងារនៃអថេរមួយ $x$)។ ដូច្នោះហើយ ក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ ដេរីវេ $y"$ ត្រូវបានគេយកទាក់ទងនឹងអថេរ $x$។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថា និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានយកដោយគោរពទៅអថេរ $x$, $y"_x$ ជាញឹកញាប់ត្រូវបានសរសេរជំនួសឱ្យ $y "$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 1 លេខ 2 និងលេខ 3 គូសបញ្ជាក់ដំណើរការលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍លេខ 4 គឺមានបំណងសម្រាប់ការយល់ដឹងពេញលេញបន្ថែមទៀតអំពីតារាងដេរីវេ ហើយវាសមហេតុផលក្នុងការស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយវា។

បន្ទាប់ពីសិក្សាសម្ភារៈក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 1-3 គួរតែបន្តទៅការដោះស្រាយដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍លេខ 5 លេខ 6 និងលេខ 7 ។ ឧទាហរណ៍ #5, #6 និង #7 មានដំណោះស្រាយខ្លីមួយដើម្បីឱ្យអ្នកអានអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលរបស់គាត់។

ឧទាហរណ៍លេខ 1

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=e^(\cos x)$ ។

យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y"$។ ចាប់តាំងពី $y=e^(\cos x)$ បន្ទាប់មក $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$។ ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ $\left(e^(\cos x)\right)"$ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 6 ពីតារាងដេរីវេ។ ដើម្បីប្រើរូបមន្តលេខ 6 យើងត្រូវពិចារណាថាក្នុងករណីរបស់យើង $u = \ cos x$ ។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមគឺគ្រាន់តែជំនួសកន្សោម $\cos x$ ជំនួសឱ្យ $u$ ទៅក្នុងរូបមន្តលេខ 6៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម $(\cos x)"$។ យើងបង្វែរម្តងទៀតទៅតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដោយជ្រើសរើសរូបមន្តលេខ 10 ពីវា។ ការជំនួស $u=x$ ទៅជារូបមន្តលេខ 10 យើងមាន : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ ។ ឥឡូវនេះ ចូរបន្តសមភាព (1.1) ដោយបន្ថែមវាជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលបានរកឃើញ៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

ចាប់តាំងពី $x"=1$ យើងបន្តសមភាព (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ដូច្នេះ ពីសមភាព (1.3) យើងមាន៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$។ តាមធម្មជាតិ ការពន្យល់ និងសមភាពកម្រិតមធ្យមជាធម្មតាត្រូវបានរំលង ដោយសរសេរការស្វែងរកដេរីវេក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចនៅក្នុងសមភាព (១.៣) ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានរកឃើញ នៅសល់ទាំងអស់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ។

យើងត្រូវគណនាដេរីវេ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងកត់សំគាល់ថា ថេរ (ឧ. លេខ ៩) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ឥឡូវយើងងាកទៅកន្សោម $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$។ ដើម្បីឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការជ្រើសរើសរូបមន្តដែលចង់បានពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ ខ្ញុំនឹងបង្ហាញកន្សោម នៅក្នុងសំណួរក្នុងទម្រង់នេះ៖ $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$ ។ ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាវាចាំបាច់ក្នុងការប្រើរូបមន្តលេខ 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ចូរជំនួស $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ និង $\alpha=12$ ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ៖

ការបន្ថែមសមភាព (2.1) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

ក្នុងស្ថានភាពនេះ កំហុសច្រើនតែកើតឡើងនៅពេលអ្នកដោះស្រាយនៅជំហានដំបូងជ្រើសរើសរូបមន្ត $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ជំនួសឱ្យរូបមន្ត $\left(u^\alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ចំណុចនោះគឺថាដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅត្រូវតែមកមុន។ ដើម្បីយល់ពីមុខងារណាមួយនឹងនៅខាងក្រៅកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ស្រមៃថាអ្នកកំពុងគណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ ក្នុងតម្លៃខ្លះ $x$ ។ ដំបូងអ្នកនឹងគណនាតម្លៃ $5^x$ រួចគុណលទ្ធផលនឹង 4 ដោយទទួលបាន $4\cdot 5^x$ ។ ឥឡូវនេះ យើងយក arctangent ពីលទ្ធផលនេះ ដោយទទួលបាន $\arctg(4\cdot 5^x)$ ។ បន្ទាប់មកយើងលើកលេខលទ្ធផលទៅថាមពលទីដប់ពីរ ដោយទទួលបាន $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ។ សកម្មភាពចុងក្រោយ, i.e. ការកើនឡើងដល់ថាមពល 12 នឹងជាមុខងារខាងក្រៅ។ ហើយវាគឺមកពីនេះដែលយើងត្រូវចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេដែលត្រូវបានធ្វើឡើងដោយសមភាព (2.2) ។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរក $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ ។ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 19 នៃតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=4\cdot \ln x$ ទៅក្នុងវា៖

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ចូរសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលបន្តិច ដោយគិតទៅ $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ។

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

សមភាព (2.2) ឥឡូវនេះនឹងក្លាយជា៖

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(4\cdot \ln x)"$ ។ ចូរយកថេរ (ឧ. 4) ចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖ $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $។ ដើម្បីស្វែងរក $(\ln x)"$ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 8 ដោយជំនួស $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ ជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅជារូបមន្ត (2.3) យើងទទួលបាន៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)))$ $

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចដែលបានសរសេរនៅក្នុងសមភាពចុងក្រោយ។ ដូច្នេះនៅពេលរៀបចំការគណនាស្ដង់ដារឬការងារត្រួតពិនិត្យវាមិនចាំបាច់ក្នុងការពិពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយយ៉ាងលម្អិតនោះទេ។

ចម្លើយ៖ $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 3

ស្វែងរក $y"$ នៃអនុគមន៍ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ ។

ដំបូងយើងបំប្លែងមុខងារ $y$ បន្តិច ដោយបង្ហាញរ៉ាឌីកាល់ (root) ជាថាមពល៖ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$។ ឥឡូវនេះ ចូរចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេ។ ចាប់តាំងពី $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ បន្ទាប់មក៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ចូរប្រើរូបមន្តលេខ 2 ពីតារាងដេរីវេដោយជំនួស $u=\sin(5\cdot 9^x)$ និង $\alpha=\frac(3)(7)$ ចូលទៅក្នុងវា៖

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1)(\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" $$

ចូរយើងបន្តសមភាព (3.1) ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរក $(\sin(5\cdot 9^x))"$។ សម្រាប់វា យើងប្រើរូបមន្តលេខ 9 ពីតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=5\cdot 9^x$ ទៅក្នុងវា៖

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ដោយបានបំពេញបន្ថែមសមភាព (3.2) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(5\cdot 9^x)"$ ជាដំបូង ចូរយើងយកថេរ (លេខ $5$) នៅខាងក្រៅសញ្ញាដេរីវេ ពោលគឺ $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$ ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី $(9^x)"$ សូមអនុវត្តរូបមន្តលេខ 5 នៃតារាងដេរីវេដោយជំនួស $a=9$ និង $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $(9^x )"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តសមភាព (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x ។ $$

យើងអាចត្រឡប់ពីអំណាចទៅជារ៉ាឌីកាល់ម្តងទៀត (ឧ. ឫស) សរសេរ $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ក្នុងទម្រង់ $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7))))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$ ។ បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

ចម្លើយ៖ $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$ ។

ឧទាហរណ៍លេខ 4

បង្ហាញថារូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេគឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងនេះ។

រូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $u^\alpha$ ។ ការជំនួស $\alpha=-1$ ទៅក្នុងរូបមន្តលេខ 2 យើងទទួលបាន៖

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

ចាប់តាំងពី $u^(-1)=\frac(1)(u)$ និង $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ បន្ទាប់មក សមភាព (4.1) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ $\left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$ ។ នេះគឺជារូបមន្តលេខ 3 នៃតារាងដេរីវេ។

ចូរយើងបង្វែរម្តងទៀតទៅរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេ។ ចូរជំនួស $\alpha=\frac(1)(2)$ ទៅក្នុងវា៖

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ចាប់តាំងពី $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ និង $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ បន្ទាប់មកសមភាព (4.2) អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u)) )\cdot u" $$

សមភាពលទ្ធផល $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ គឺជារូបមន្តលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ រូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេទទួលបានពីរូបមន្តលេខ 2 ដោយជំនួសតម្លៃ $\alpha$ ដែលត្រូវគ្នា។