វិធីដោះស្រាយអថេរ។ ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត

ក្នុងវគ្គគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៧ យើងជួបគ្នាជាលើកដំបូង សមីការដែលមានអថេរពីរប៉ុន្តែពួកគេត្រូវបានសិក្សាតែនៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានពីរមិនស្គាល់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលស៊េរីទាំងមូលនៃបញ្ហាដែលលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានណែនាំនៅលើមេគុណនៃសមីការដែលកំណត់ពួកវាមិនអាចមើលឃើញ។ លើសពីនេះ វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដូចជា "ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ ឬចំនួនគត់" ក៏ត្រូវបានគេមិនអើពើ ទោះបីជាបញ្ហាប្រភេទនេះត្រូវបានរកឃើញកាន់តែច្រើនឡើងៗនៅក្នុងឯកសារប្រឡងរដ្ឋ និងនៅក្នុងការប្រឡងចូលក៏ដោយ។

តើសមីការមួយណានឹងត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានអថេរពីរ?

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សមីការ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ឬ xy = 12 គឺជាសមីការក្នុងអថេរពីរ។

ពិចារណាសមីការ 2x – y = 1 ។ វាក្លាយជាការពិតនៅពេលដែល x = 2 និង y = 3 ដូច្នេះគូនៃតម្លៃអថេរនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៅក្នុងសំណួរ។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការណាមួយដែលមានអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃគូលំដាប់ (x; y) តម្លៃនៃអថេរដែលបង្វែរសមីការនេះទៅជាសមភាពលេខពិត។

សមីការដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរអាច៖

ក) មានដំណោះស្រាយមួយ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + 5y 2 = 0 មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (0; 0);

ខ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ឧទាហរណ៍ (5 -|x|) 2 + (|y|–2) 2 = 0 មាន 4 ដំណោះស្រាយ៖ (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - ២);

វី) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + y 2 + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយ;

ឆ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។ឧទាហរណ៍ x + y = 3. ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះនឹងជាលេខដែលផលបូកស្មើនឹង 3 ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះអាចសរសេរជាទម្រង់ (k; 3 – k) ដែល k គឺពិតប្រាកដ។ ចំនួន។

វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរពីរគឺវិធីសាស្ត្រផ្អែកលើកន្សោមកត្តា ញែកការេពេញលេញ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការការ៉េ កន្សោមមានកំណត់ និងវិធីសាស្ត្រប៉ាន់ស្មាន។ សមីការជាធម្មតាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់មួយដែលប្រព័ន្ធសម្រាប់ស្វែងរកអ្វីដែលមិនស្គាល់អាចទទួលបាន។

ការបំបែកឯកតា

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ៖ xy − 2 = 2x – y ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌសម្រាប់គោលបំណងនៃកត្តាកត្តា៖

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ពីតង្កៀបនីមួយៗ យើងដកកត្តាទូទៅមួយ៖

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y − 2) = 0. យើងមាន៖

y = 2, x – ចំនួនពិតណាមួយ ឬ x = -1, y – ចំនួនពិតណាមួយ។

ដូច្នេះ ចម្លើយគឺជាគូទាំងអស់នៃទម្រង់ (x; 2), x € R និង (-1; y), y € R ។

សមភាពនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានដល់សូន្យ

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយសមីការ៖ 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y) ។

ដំណោះស្រាយ។

ការដាក់ជាក្រុម៖

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. ឥឡូវតង្កៀបនីមួយៗអាចបត់បានដោយប្រើរូបមន្តភាពខុសគ្នាការ៉េ។

(3x − 2) 2 + (2y − 3) 2 = 0 ។

ផលបូកនៃកន្សោមមិនអវិជ្ជមានពីរគឺសូន្យលុះត្រាតែ 3x – 2 = 0 និង 2y – 3 = 0 ។

នេះមានន័យថា x = 2/3 និង y = 3/2 ។

ចម្លើយ៖ (២/៣; ៣/២) ។

វិធីសាស្រ្តប៉ាន់ស្មាន

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ យើងរំលេចការ៉េពេញលេញ៖

((x + 1) 2 + 1)((y − 2) 2 + 2) = 2. ចូរយើងប៉ាន់ស្មាន អត្ថន័យនៃកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក។

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 និង (y − 2) 2 + 2 ≥ 2 បន្ទាប់មកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺតែងតែយ៉ាងហោចណាស់ 2 ។ សមភាពអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើ៖

(x + 1) 2 + 1 = 1 និង (y − 2) 2 + 2 = 2 ដែលមានន័យថា x = −1, y = 2 ។

ចម្លើយ៖ (-១; ២) ។

ចូរយើងស្គាល់វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរពីរនៃដឺក្រេទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តនេះមានការព្យាបាលសមីការ ការ៉េដោយគោរពតាមអថេរមួយចំនួន.

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ x 2 − 6x + y − 4√y + 13 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរដោះស្រាយសមីការជាសមីការការ៉េសម្រាប់ x ។ តោះស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) ២. សមីការនឹងមានដំណោះស្រាយតែនៅពេល D = 0 នោះគឺប្រសិនបើ y = 4 ។ យើងជំនួសតម្លៃ y ទៅក្នុងសមីការដើម ហើយរកឃើញថា x = 3 ។

ចម្លើយ៖ (៣; ៤)។

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងសមីការជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ពីរដែលពួកគេចង្អុលបង្ហាញ ការរឹតបន្តឹងលើអថេរ.

ឧទាហរណ៍ 5 ។

ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនទាំងមូល៖ x 2 + 5y 2 = 20x + 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ x 2 = −5y 2 + 20x + 2 ។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការលទ្ធផលនៅពេលចែកនឹង 5 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 2 ។ ដូច្នេះ x 2 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ។ ប៉ុន្តែការេនៃ a លេខដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 1 ឬ 4 ។ ដូច្នេះសមភាពគឺមិនអាចទៅរួចទេហើយមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ ៦.

ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរគូសបញ្ជាក់ការេពេញលេញនៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ៖

((|x|– 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការតែងតែធំជាង ឬស្មើ 3 ។ សមភាពគឺអាចធ្វើទៅបាន |x| – 2 = 0 និង y + 3 = 0. ដូច្នេះ x = ± 2, y = −3 ។

ចម្លើយ៖ (២; -៣) និង (-២; -៣) ។

ឧទាហរណ៍ ៧.

សម្រាប់រាល់គូនៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាន (x;y) បំពេញសមីការ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33 គណនាផលបូក (x + y) ។ សូមបញ្ជាក់ចំនួនតិចបំផុតនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ៖

(x 2 − 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. ដោយសារ x និង y ជាចំនួនគត់ នោះការេរបស់ពួកគេក៏ជាចំនួនគត់ផងដែរ។ យើងទទួលបានផលបូកនៃការេនៃចំនួនគត់ពីរស្មើនឹង 37 ប្រសិនបើយើងបូក 1 + 36។ ដូច្នេះ៖

(x − y) 2 = 36 និង (y + 2) 2 = 1

(x − y) 2 = 1 និង (y + 2) 2 = 36 ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងនេះ ហើយពិចារណាថា x និង y ជាអវិជ្ជមាន យើងរកឃើញដំណោះស្រាយ៖ (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8) ។

ចម្លើយ៖ -១៧.

កុំអស់សង្ឃឹម ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយមិនស្គាល់ពីរ។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តតិចតួច អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការណាមួយ។

នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការក្នុងអថេរពីរ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូបង្រៀន សូមចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ប្រធានបទ៖មុខងារលីនេអ៊ែរ

មេរៀន៖សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ និងក្រាហ្វរបស់វា។

យើងបានស្គាល់គោលគំនិតនៃអ័ក្សកូអរដោណេ និងយន្តហោះកូអរដោនេ។ យើងដឹងថាចំនុចនីមួយៗនៅលើយន្តហោះកំណត់លេខគូ (x; y) ដោយលេខទីមួយជា abscissa នៃចំនុច ហើយទីពីរគឺកំណត់។

ជាញឹកញាប់យើងនឹងជួបប្រទះសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងអថេរពីរ ដែលជាដំណោះស្រាយនៃលេខមួយគូដែលអាចតំណាងនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។

សមីការនៃទម្រង់៖

ដែល a, b, c ជាលេខ និង

វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ x និង y ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះនឹងជាគូនៃលេខ x និង y ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការនោះ យើងនឹងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

លេខមួយគូនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើប្លង់កូអរដោនេជាចំណុច។

សម្រាប់សមីការបែបនេះ យើងនឹងឃើញដំណោះស្រាយជាច្រើន ពោលគឺលេខជាច្រើនគូ ហើយចំណុចដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់នឹងស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសគូដែលត្រូវគ្នានៃលេខ x និង y៖

អញ្ចឹងសមីការដើមប្រែទៅជាសមីការដែលមិនស្គាល់មួយ៖

នោះគឺជាគូដំបូងនៃលេខដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ (0; 3) ។ យើងទទួលបានពិន្ទុ A(0; 3)

អនុញ្ញាតឱ្យ។ យើងទទួលបានសមីការដើមជាមួយនឹងអថេរមួយ៖ ពីទីនេះយើងទទួលបានចំណុច B(3; 0)

ចូរយើងដាក់លេខគូក្នុងតារាង៖

ចូរគូសចំនុចនៅលើក្រាហ្វ ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

ចំណាំថាចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តោះពិនិត្យ - យកចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ ហើយប្រើក្រាហ្វដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេទីពីររបស់វា។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅចំណុចនេះ។ ចូរជំនួសលេខគូនេះទៅក្នុងសមីការ។ យើងទទួលបាន 0=0 - សមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដែលមានន័យថា ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ពេលនេះ យើងមិនអាចបញ្ជាក់បានទេថាចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានសាងសង់គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ដូច្នេះយើងទទួលយកវាជាការពិត ហើយនឹងបញ្ជាក់នៅពេលក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ទី ២ - ក្រាហ្វសមីការ៖

ចូរបង្កើតតារាងមួយ យើងត្រូវការតែពីរចំណុចប៉ុណ្ណោះដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់មួយ ប៉ុន្តែយើងនឹងយកចំណុចទីបីសម្រាប់ការគ្រប់គ្រង៖

នៅក្នុងជួរឈរដំបូងដែលយើងបានយកមួយដែលងាយស្រួលយើងនឹងរកឃើញវាពី:

, ,

នៅជួរឈរទីពីរដែលយើងបានយកមួយដែលងាយស្រួលយើងរកឃើញ x:

, , ,

តោះពិនិត្យ និងស្វែងរក៖

, ,

តោះបង្កើតក្រាហ្វ៖

ចូរគុណសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពីរ៖

ពីការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ សំណុំនៃដំណោះស្រាយនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ហើយក្រាហ្វនឹងនៅដដែល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ យើងបានរៀនដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរពីរ ហើយបង្កើតក្រាហ្វរបស់ពួកគេ យើងបានដឹងថាក្រាហ្វនៃសមីការបែបនេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. និងផ្សេងៗទៀត។ ពិជគណិតទី 7 ។ M. : ការត្រាស់ដឹង។ ឆ្នាំ ២០១០

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ពិជគណិត 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. និងផ្សេងៗទៀត។ ពិជគណិត 7.M. ២០០៦

2. វិបផតថលសម្រាប់មើលគ្រួសារ () ។

កិច្ចការទី 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ពិជគណិតទី 7 លេខ 960 សិល្បៈ 210;

កិច្ចការទី 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ពិជគណិត 7 លេខ 961 សិល្បៈ 210;

កិច្ចការទី 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ពិជគណិត 7 លេខ 962 សិល្បៈ 210;

§ 1 ការជ្រើសរើសឫសសមីការក្នុងស្ថានភាពជាក់ស្តែង

ចូរយើងពិចារណាស្ថានភាពជាក់ស្តែងនេះ៖

មេ និងកូនជាងរួមគ្នាបង្កើតផ្នែកផ្ទាល់ខ្លួនចំនួន 400 ។ ជាងនេះទៅទៀត ចៅហ្វាយនាយធ្វើការ ៣ថ្ងៃ ហើយសិស្ស ២ថ្ងៃ។ តើមនុស្សម្នាក់ៗបង្កើតបានប៉ុន្មានផ្នែក?

ចូរបង្កើតគំរូពិជគណិតនៃស្ថានភាពនេះ។ ទុកឱ្យមេផលិតផ្នែកក្នុងរយៈពេល 1 ថ្ងៃ។ ហើយសិស្សគឺនៅព័ត៌មានលម្អិត។ បន្ទាប់មក មេនឹងធ្វើ 3 ផ្នែកក្នុងរយៈពេល 3 ថ្ងៃ ហើយសិស្សនឹងធ្វើ 2 ផ្នែកក្នុងរយៈពេល 2 ថ្ងៃ។ រួមគ្នាពួកគេនឹងផលិត 3 + 2 ផ្នែក។ ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌសរុបចំនួន 400 ផ្នែកត្រូវបានផលិតយើងទទួលបានសមីការ:

សមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ។ នៅទីនេះយើងត្រូវស្វែងរកគូនៃលេខ x និង y ដែលសមីការនឹងយកទម្រង់នៃសមភាពលេខពិត។ ចំណាំថាប្រសិនបើ x = 90, y = 65 នោះយើងទទួលបានសមភាព៖

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

ចាប់តាំងពីសមភាពលេខត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល គូនៃលេខ 90 និង 65 នឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយដែលរកឃើញមិនមែនមានតែមួយនោះទេ។ ប្រសិនបើ x = 96 និង y = 56 នោះយើងទទួលបានសមភាព៖

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

នេះក៏ជាសមភាពលេខពិត ដែលមានន័យថា គូនៃលេខ 96 និង 56 ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។ ប៉ុន្តែគូនៃលេខ x = 73 និង y = 23 នឹងមិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះទេ។ តាមពិត 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 នឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមភាពលេខមិនត្រឹមត្រូវ 265 = 400 ។ គួរកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើយើងពិចារណាសមីការទាក់ទងនឹងស្ថានភាពជាក់ស្តែងនេះ នោះនឹងមានគូនៃលេខដែលជា ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះនឹងមិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះទេ។ ឧទាហរណ៍លេខពីរបី៖

x = 200 និង y = -100

គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ប៉ុន្តែសិស្សមិនអាចបង្កើត -100 ផ្នែកបានទេ ដូច្នេះហើយលេខគូបែបនេះមិនអាចជាចម្លើយចំពោះសំណួរនៃបញ្ហានោះទេ។ ដូច្នេះ ក្នុងស្ថានភាពជាក់ស្តែងនីមួយៗ ចាំបាច់ត្រូវប្រកាន់យកនូវវិធីសាស្រ្តសមហេតុផលក្នុងការជ្រើសរើសឫសគល់នៃសមីការ។

ចូរយើងសង្ខេបលទ្ធផលដំបូង៖

សមីការនៃទម្រង់ ax + bу + c = 0 ដែល a, b, c ជាលេខណាមួយ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ។

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរគឺជាលេខគូដែលត្រូវគ្នានឹង x និង y ដែលសមីការប្រែទៅជាសមភាពលេខពិត។

§ 2 ក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ការកត់ត្រាយ៉ាងខ្លាំងនៃគូ (x; y) ជំរុញឱ្យយើងគិតអំពីលទ្ធភាពនៃការពណ៌នាវាជាចំណុចដែលមានកូអរដោនេ xy y នៅលើយន្តហោះ។ នេះមានន័យថាយើងអាចទទួលបានគំរូធរណីមាត្រនៃស្ថានភាពជាក់លាក់មួយ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ៖

2x + y − 4 = 0

ចូរជ្រើសរើសគូមួយចំនួននៃលេខដែលនឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ និងបង្កើតចំណុចជាមួយនឹងកូអរដោនេដែលបានរកឃើញ។ សូមឱ្យចំណុចទាំងនេះជាចំណុច៖

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6)។

ចំណាំថាចំណុចទាំងអស់ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ បន្ទាត់នេះត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ។ វាគឺជាគំរូក្រាហ្វិក (ឬធរណីមាត្រ) នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើគូនៃលេខ (x; y) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ax + vy + c = 0 បន្ទាប់មកចំនុច M(x;y) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វនៃសមីការ។ យើងអាចនិយាយតាមរបៀបផ្សេងទៀត៖ ប្រសិនបើចំនុច M(x;y) ជារបស់ក្រាហ្វនៃសមីការ ax + y + c = 0 នោះគូនៃលេខ (x; y) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ពីវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រយើងដឹង៖

ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់មួយ អ្នកត្រូវការ 2 ពិន្ទុ ដូច្នេះដើម្បីគូរក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែ 2 គូនៃដំណោះស្រាយ។ ប៉ុន្តែការទស្សន៍ទាយឫសគឺមិនតែងតែជានីតិវិធីងាយស្រួល ឬសមហេតុផលនោះទេ។ អ្នកអាចធ្វើតាមច្បាប់ផ្សេងទៀត។ ដោយសារ abscissa នៃចំណុចមួយ (អថេរ x) គឺជាអថេរឯករាជ្យ អ្នកអាចផ្តល់ឱ្យវានូវតម្លៃងាយស្រួលណាមួយ។ ការជំនួសលេខនេះទៅក្នុងសមីការ យើងរកឃើញតម្លៃនៃអថេរ y ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមឲ្យសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

ឲ្យ x = 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 0 − y + 1 = 0 ឬ y = 1 ។ នេះមានន័យថា ប្រសិនបើ x = 0 នោះ y = 1 ។ លេខមួយគូ (0;1) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។ ចូរកំណត់តម្លៃមួយទៀតសម្រាប់អថេរ x: x = 2. បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 2 - y + 1 = 0 ឬ y = 3. គូនៃលេខ (2;3) ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។ ដោយប្រើចំណុចទាំងពីរដែលបានរកឃើញ វាអាចសង់ក្រាហ្វនៃសមីការ x − y + 1 = 0 ។

អ្នកអាចធ្វើដូចនេះបាន៖ ដំបូងកំណត់តម្លៃជាក់លាក់មួយចំនួនទៅអថេរ y ហើយមានតែបន្ទាប់មកគណនាតម្លៃនៃ x ។

§ 3 ប្រព័ន្ធសមីការ

ស្វែងរកលេខធម្មជាតិពីរដែលផលបូកគឺ 11 ហើយភាពខុសគ្នាគឺ 1 ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ ដំបូងយើងបង្កើតគំរូគណិតវិទ្យា (ឧទាហរណ៍ពិជគណិត)។ សូមឱ្យលេខទីមួយជា x និងលេខទីពីរ y ។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃលេខ x + y = 11 និងភាពខុសគ្នានៃលេខ x - y = 1. ដោយសារសមីការទាំងពីរដោះស្រាយជាមួយលេខដូចគ្នា លក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ជាធម្មតានៅក្នុងករណីបែបនេះកំណត់ត្រាពិសេសមួយត្រូវបានប្រើ។ សមីការត្រូវបានសរសេរមួយនៅពីក្រោមម្ខាងទៀត ហើយរួមបញ្ចូលជាមួយនឹងដង្កៀបអង្កាញ់។

កំណត់ត្រាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធសមីការ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនីមួយៗ ឧ. ក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗ។ ចូរយើងយកសមីការទីមួយ៖

ប្រសិនបើ x = 4 បន្ទាប់មក y = 7. ប្រសិនបើ x = 9 បន្ទាប់មក y = 2 ។

ចូរគូសបន្ទាត់ត្រង់តាមចំនុច (4;7) និង(9;2)។

ចូរយកសមីការទីពីរ x − y = 1 ។ ប្រសិនបើ x = 5 បន្ទាប់មក y = 4 ។ ប្រសិនបើ x = 7 បន្ទាប់មក y = 6 ។ យើងក៏គូសបន្ទាត់ត្រង់តាមចំនុច (5;4) និង (7;6 ) យើងទទួលបានគំរូធរណីមាត្រនៃបញ្ហា។ គូនៃលេខដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ (x;y) ត្រូវតែជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទាំងពីរ។ នៅក្នុងរូប យើងឃើញចំណុចតែមួយ ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ទាំងពីរ។

កូអរដោនេរបស់វាគឺ (6; 5) ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានឹងមានៈ លេខដែលត្រូវការទីមួយគឺ 6 ទីពីរគឺ 5 ។

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖

Mordkovich A.G., ពិជគណិតថ្នាក់ទី 7 ជា 2 ផ្នែក, ផ្នែកទី 1, សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - បោះពុម្ពលើកទី 10, កែប្រែ - ទីក្រុងម៉ូស្គូ, "Mnemosyne", ឆ្នាំ 2007
Mordkovich A.G., ពិជគណិតថ្នាក់ទី 7 ជា 2 ផ្នែក, ផ្នែកទី 2, សៀវភៅបញ្ហាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ / [A.G. Mordkovich និងអ្នកដទៃ]; កែសម្រួលដោយ A.G. Mordkovich - ការបោះពុម្ពលើកទី 10 កែប្រែ - ទីក្រុងម៉ូស្គូ "Mnemosyne" ឆ្នាំ 2007
ហ. Tulchinskaya, ពិជគណិតថ្នាក់ទី 7 ។ ការស្ទង់មតិ Blitz: សៀវភៅណែនាំសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ, បោះពុម្ពលើកទី 4, កែសម្រួលនិងពង្រីក, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, "Mnemosyne", ឆ្នាំ 2008
Alexandrova L.A., ពិជគណិតថ្នាក់ទី៧។ ឯកសារសាកល្បងប្រធានបទក្នុងទម្រង់ថ្មីសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ កែសម្រួលដោយ A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", ឆ្នាំ 2011
អាឡិចសាន់ដ្រា អិលអេ. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៧។ ការងារឯករាជ្យសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ កែសម្រួលដោយ A.G. Mordkovich - ការបោះពុម្ពលើកទី 6, គំរូ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, "Mnemosyne" ឆ្នាំ 2010

សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរគឺជាសមីការណាមួយដែលមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ a*x+b*y=s.នៅទីនេះ x និង y គឺជាអថេរពីរ a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួន។

ខាងក្រោមនេះជាមួយចំនួន ឧទាហរណ៍នៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

1. 10*x + 25*y = 150;

ដូចជាសមីការដែលមានមិនស្គាល់មួយ សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ (មិនស្គាល់) ក៏មានដំណោះស្រាយផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5 ជាមួយនឹង x=8 និង y=3 ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រឹមត្រូវ 8-3=5។ ក្នុងករណីនេះ គូនៃលេខ x=8 និង y=3 ត្រូវបាននិយាយថាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5។ អ្នកក៏អាចនិយាយបានថា លេខគូ x=8 និង y=3 បំពេញសមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5។

ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ a*x + b*y = c គឺជាគូនៃលេខណាមួយ (x,y) ដែលបំពេញសមីការនេះ ពោលគឺប្រែសមីការដែលមានអថេរ x និង y ទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សូមកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលគូនៃលេខ x និង y ត្រូវបានសរសេរនៅទីនេះ។ ធាតុនេះខ្លីជាង និងងាយស្រួលជាង។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចាំថា កន្លែងទីមួយក្នុងកំណត់ត្រាបែបនេះគឺជាតម្លៃនៃអថេរ x ហើយទីពីរគឺជាតម្លៃនៃអថេរ y ។

សូមចំណាំថា លេខ x=11 និង y=8, x=205 និង y=200 x=4.5 និង y=-0.5 ក៏បំពេញសមីការលីនេអ៊ែរ x-y=5 ដូច្នេះហើយគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរនេះ។

ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់ពីរ មិនមែនតែមួយទេ។រាល់សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងការមិនស្គាល់ពីរមានដំណោះស្រាយខុសៗគ្នាជាច្រើនគ្មានកំណត់។ នោះគឺមាន ខុសគ្នាជាច្រើនគ្មានកំណត់លេខពីរ x និង y ដែលបំប្លែងសមីការលីនេអ៊ែរទៅជាអត្តសញ្ញាណពិត។

ប្រសិនបើសមីការជាច្រើនដែលមានអថេរពីរមានដំណោះស្រាយដូចគ្នាបេះបិទ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការសមមូល។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើសមីការជាមួយមិនស្គាល់ពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះពួកគេក៏ត្រូវបានចាត់ទុកថាសមមូលដែរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់ពីរ

1. លក្ខខណ្ឌណាមួយនៅក្នុងសមីការអាចផ្ទេរពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត ប៉ុន្តែចាំបាច់ត្រូវប្តូរសញ្ញារបស់វាទៅជាសញ្ញាផ្ទុយ។ សមីការលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើម។

2. ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការអាចត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងតម្លៃដើម។

តើសមីការមួយណានឹងត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានអថេរពីរ?

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សមីការ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ឬ xy = 12 គឺជាសមីការក្នុងអថេរពីរ។

សមីការដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរអាច៖

ក) មានដំណោះស្រាយមួយ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + 5y 2 = 0 មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (0; 0);

វី) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + y 2 + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយ;

ការបំបែកឯកតា

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ៖ xy − 2 = 2x – y ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌសម្រាប់គោលបំណងនៃកត្តាកត្តា៖

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ពីតង្កៀបនីមួយៗ យើងដកកត្តាទូទៅមួយ៖

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y − 2) = 0. យើងមាន៖

y = 2, x – ចំនួនពិតណាមួយ ឬ x = -1, y – ចំនួនពិតណាមួយ។

ដូច្នេះ ចម្លើយគឺជាគូទាំងអស់នៃទម្រង់ (x; 2), x € R និង (-1; y), y € R ។

សមភាពនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានដល់សូន្យ

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយសមីការ៖ 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y) ។

ដំណោះស្រាយ។

ការដាក់ជាក្រុម៖

(3x − 2) 2 + (2y − 3) 2 = 0 ។

ផលបូកនៃកន្សោមមិនអវិជ្ជមានពីរគឺសូន្យលុះត្រាតែ 3x – 2 = 0 និង 2y – 3 = 0 ។

នេះមានន័យថា x = 2/3 និង y = 3/2 ។

ចម្លើយ៖ (២/៣; ៣/២) ។

វិធីសាស្រ្តប៉ាន់ស្មាន

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ យើងរំលេចការ៉េពេញលេញ៖

((x + 1) 2 + 1)((y − 2) 2 + 2) = 2. ចូរយើងប៉ាន់ស្មាន អត្ថន័យនៃកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក។

(x + 1) 2 + 1 = 1 និង (y − 2) 2 + 2 = 2 ដែលមានន័យថា x = −1, y = 2 ។

ចម្លើយ៖ (-១; ២) ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ x 2 − 6x + y − 4√y + 13 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរដោះស្រាយសមីការជាសមីការការ៉េសម្រាប់ x ។ តោះស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

ចម្លើយ៖ (៣; ៤)។

ឧទាហរណ៍ 5 ។

ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនទាំងមូល៖ x 2 + 5y 2 = 20x + 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ ៦.

ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរគូសបញ្ជាក់ការេពេញលេញនៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ៖

ចម្លើយ៖ (២; -៣) និង (-២; -៣) ។

ឧទាហរណ៍ ៧.

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ៖

(x 2 − 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x − y) 2 = 36 និង (y + 2) 2 = 1

(x − y) 2 = 1 និង (y + 2) 2 = 36 ។

ចម្លើយ៖ -១៧.

នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការក្នុងអថេរពីរ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។