របៀបដែលរូបមន្តគូបត្រូវបានបង្ហាញ។ និទស្សន្ត

រូបមន្តគុណ ឬក្បួនជាអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើក្នុងនព្វន្ធ ជាពិសេសពិជគណិត ដើម្បីពន្លឿនដំណើរការនៃការវាយតម្លៃកន្សោមពិជគណិតធំ។ រូបមន្តខ្លួនឯងគឺបានមកពីច្បាប់ដែលមាននៅក្នុងពិជគណិតសម្រាប់គុណពហុនាមជាច្រើន។

ការប្រើប្រាស់រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់នូវដំណោះស្រាយយ៉ាងរហ័សចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ ហើយក៏ជួយសម្រួលការបញ្ចេញមតិផងដែរ។ ច្បាប់នៃការបំប្លែងពិជគណិតអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកអនុវត្តឧបាយកលមួយចំនួនជាមួយនឹងកន្សោម ដែលអ្នកអាចទទួលបាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពនៃកន្សោមនៅផ្នែកខាងស្តាំ ឬបំលែងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (ដើម្បីទទួលបានកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។ បន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា) ។

វាងាយស្រួលក្នុងការដឹងពីរូបមន្តដែលប្រើសម្រាប់ការគុណដោយអក្សរកាត់ពីសតិ ព្រោះវាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា និងសមីការ។ ខាងក្រោមនេះគឺជារូបមន្តសំខាន់ៗដែលមាននៅក្នុងបញ្ជីនេះ និងឈ្មោះរបស់វា។

ការ៉េនៃផលបូក

ដើម្បីគណនាការេនៃផលបូក អ្នកត្រូវរកផលបូកដែលមានការេនៃពាក្យទីមួយ ពីរដងនៃផលិតផលនៃពាក្យទីមួយ និងទីពីរ និងការ៉េនៃទីពីរ។ ក្នុងទម្រង់នៃកន្សោម ច្បាប់នេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ (a + c)² = a² + 2ac + c² ។

ភាពខុសគ្នាការ៉េ

ដើម្បីគណនាការ៉េនៃភាពខុសគ្នា អ្នកត្រូវគណនាផលបូកដែលរួមមានការេនៃលេខទីមួយ ពីរដងនៃផលគុណនៃលេខទីមួយ និងទីពីរ (យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ) និងការ៉េនៃលេខទីពីរ។ ក្នុងទម្រង់នៃកន្សោម ច្បាប់នេះមើលទៅដូចនេះ៖ (a - c)² = a² - 2ac + c² ។

ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ

រូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃលេខពីរការ៉េគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលេខទាំងនេះ និងភាពខុសគ្នារបស់វា។ ក្នុងទម្រង់នៃកន្សោម ច្បាប់នេះមើលទៅដូចនេះ៖ a² - с² = (a + с) · (a - с) ។

គូបនៃផលបូក

ដើម្បីគណនាគូបនៃផលបូកនៃពាក្យទាំងពីរ អ្នកត្រូវគណនាផលបូកដែលមានគូបនៃពាក្យទីមួយ គុណផលនៃការ៉េនៃពាក្យទីមួយ និងទីពីរ បីដងនៃផលិតផលនៃពាក្យទីមួយ និងទីពីរ។ ការ៉េ និងគូបនៃពាក្យទីពីរ។ ក្នុងទម្រង់នៃការបញ្ចេញមតិ ច្បាប់នេះមើលទៅដូចនេះ៖ (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³ ។

ផលបូកនៃគូប

យោងតាមរូបមន្ត វាស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យទាំងនេះ និងភាពខុសគ្នានៃការ៉េមិនពេញលេញរបស់វា។ ក្នុងទម្រង់នៃកន្សោម ច្បាប់នេះមើលទៅដូចនេះ៖ a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²)។

ឧទាហរណ៍។វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាបរិមាណនៃតួលេខដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ថែមគូបពីរ។ មានតែទំហំនៃភាគីរបស់ពួកគេប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដឹង។

ប្រសិនបើតម្លៃចំហៀងគឺតូចនោះការគណនាគឺសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើប្រវែងនៃជ្រុងត្រូវបានបង្ហាញជាលេខដ៏លំបាកនោះ ក្នុងករណីនេះវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការប្រើរូបមន្ត "ផលបូកនៃគូប" ដែលនឹងធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល។

គូបខុសគ្នា

កន្សោមសម្រាប់ភាពខុសគ្នាគូបស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ ជាផលបូកនៃអំណាចទីបីនៃពាក្យទីមួយ គុណផលអវិជ្ជមាននៃការ៉េនៃពាក្យទីមួយដោយទីពីរ បីដងផលនៃពាក្យទីមួយដោយការ៉េនៃទីពីរ។ និងគូបអវិជ្ជមាននៃពាក្យទីពីរ។ នៅក្នុងទម្រង់នៃកន្សោមគណិតវិទ្យា គូបនៃភាពខុសគ្នាមើលទៅដូចនេះ៖ (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³ ។

ភាពខុសគ្នានៃគូប

ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តគូបខុសគ្នាពីផលបូកនៃគូបដោយសញ្ញាតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នានៃគូបគឺជារូបមន្តដែលស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនិងការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក។ ក្នុងទម្រង់ ភាពខុសគ្នានៃគូបមើលទៅដូចនេះ៖ a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2) ។

ឧទាហរណ៍។វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាបរិមាណនៃតួលេខដែលនឹងនៅតែមានបន្ទាប់ពីដកតួលេខបរិមាណពណ៌លឿងដែលជាគូបផងដែរពីបរិមាណនៃគូបពណ៌ខៀវ។ មានតែទំហំចំហៀងនៃគូបតូចនិងធំប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានគេស្គាល់។

ប្រសិនបើតម្លៃចំហៀងតូច នោះការគណនាគឺសាមញ្ញណាស់។ ហើយប្រសិនបើប្រវែងនៃជ្រុងត្រូវបានបង្ហាញជាលេខសំខាន់ៗ នោះវាមានតម្លៃអនុវត្តរូបមន្តដែលមានចំណងជើងថា "ភាពខុសគ្នានៃគូប" (ឬ "គូបនៃភាពខុសគ្នា") ដែលនឹងធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល។

រូបមន្តគុណសង្ខេប។

សិក្សារូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖ ការ៉េនៃផលបូក និងការ៉េនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ; ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរ; គូបនៃផលបូកនិងគូបនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ; ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូបនៃកន្សោមពីរ។

ការអនុវត្តរូបមន្តគុណអក្សរកាត់នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

ដើម្បី​សម្រួល​កន្សោម ពហុនាម​កត្តា និង​កាត់​បន្ថយ​ពហុនាម​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ស្តង់ដារ រូបមន្ត​គុណ​អក្សរកាត់​ត្រូវ​បាន​ប្រើ។ រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ដែលអ្នកត្រូវដឹងដោយបេះដូង.

អនុញ្ញាតឱ្យ a, b R. បន្ទាប់មក៖

1. ការេនៃផលបូកនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងការេនៃកន្សោមទីមួយ បូកនឹងផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ ពីរដង និងទីពីរបូកការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. ការ៉េនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងការេនៃកន្សោមទីមួយដកពីរដងនៃផលិតផលនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរបូកការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

3. ភាពខុសគ្នានៃការ៉េកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះ និងផលបូករបស់វា។

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. គូបនៃផលបូកកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងគូបនៃកន្សោមទីមួយ បូកនឹងផលគុណនៃការ៉េនៃកន្សោមទីមួយ បីដង ហើយទីពីរបូកនឹងផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ បូកនឹងគូបនៃកន្សោមទីពីរ។

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. គូបខុសគ្នាកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងគូបនៃកន្សោមទីមួយដកបីដងផលគុណនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ ហើយទីពីរបូកនឹងផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងការ៉េនៃទីពីរដកគូបនៃកន្សោមទីពីរ។

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

6. ផលបូកនៃគូបកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះ។

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. ភាពខុសគ្នានៃគូបកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូកនៃកន្សោមទាំងនេះ។

a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

ការអនុវត្តរូបមន្តគុណអក្សរកាត់នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១.

គណនា

ក) ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូកនៃកន្សោមពីរ យើងមាន

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ខ) ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ យើងទទួលបាន

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

ឧទាហរណ៍ ២.

គណនា

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរយើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ៣.

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ

(x − y) 2 + (x + y) ២

ចូរប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក និងការ៉េនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ

(x − y) 2 + (x + y) 2 = x 2 − 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

រូបមន្តគុណសង្ខេបក្នុងតារាងតែមួយ៖

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

រូបមន្តគុណសង្ខេប។ ការបណ្តុះបណ្តាល។

ព្យាយាមវាយតម្លៃកន្សោមខាងក្រោមតាមវិធីនេះ៖

ចម្លើយ៖

ឬ​បើ​អ្នក​ស្គាល់​ការ​ការ៉េ​នៃ​លេខ​ពីរ​ខ្ទង់​នៅ​ចាំ​ថា​វា​មាន​ប៉ុន្មាន? តើអ្នកចាំទេ? . អស្ចារ្យ! ដោយសារយើងកំពុងការ៉េ យើងត្រូវតែគុណនឹង។ វាប្រែថា។

សូមចងចាំថា រូបមន្តផលបូកការ៉េ និងភាពខុសគ្នាការ៉េមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់កន្សោមលេខប៉ុណ្ណោះទេ៖

គណនាកន្សោមខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង៖

ចម្លើយ៖

រូបមន្តគុណសង្ខេប។ បន្ទាត់ខាងក្រោម។

ចូរ​សង្ខេប​បន្តិច​ហើយ​សរសេរ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ការេ​នៃ​ផលបូក​និង​ភាពខុសគ្នា​ក្នុង​មួយ​បន្ទាត់​៖

ឥឡូវនេះសូមអនុវត្ត "ការផ្គុំ" រូបមន្តពីទិដ្ឋភាពដែលខូចដើម្បីមើល។ យើងនឹងត្រូវការជំនាញនេះនៅពេលក្រោយ នៅពេលបំប្លែងកន្សោមធំ។

ចូរនិយាយថាយើងមានកន្សោមដូចខាងក្រោមៈ

យើងដឹងថាការេនៃផលបូក (ឬភាពខុសគ្នា) គឺ ការ៉េនៃលេខមួយ។ ការ៉េនៃចំនួនផ្សេងទៀត។និង ពីរដងនៃផលិតផលនៃលេខទាំងនេះ.

នៅក្នុងបញ្ហានេះវាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញការេនៃលេខមួយ - នេះ។ ដូច្នោះហើយ លេខមួយក្នុងចំណោមលេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងតង្កៀបគឺជាឫសការ៉េនៃ នោះគឺ

ដោយសារពាក្យទីពីរមាន វាមានន័យថានេះគឺជាផលគុណទ្វេនៃលេខមួយ និងលេខមួយទៀតរៀងៗខ្លួន៖

តើលេខទីពីរដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងតង្កៀបរបស់យើងនៅឯណា។

លេខទីពីរនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹង។

សូមពិនិត្យមើល។ គួរតែស្មើគ្នា។ ជាការពិត នេះគឺដូច្នេះ មានន័យថា យើងបានរកឃើញលេខទាំងពីរដែលមាននៅក្នុងតង្កៀប៖ និង។ វានៅសល់ដើម្បីកំណត់សញ្ញាដែលឈររវាងពួកគេ។ តើអ្នកគិតថានឹងមានសញ្ញាបែបណា?

ត្រូវហើយ! ចាប់តាំងពីយើង បន្ថែមប្រសិនបើផលិតផលត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដងនោះនឹងមានសញ្ញាបន្ថែមរវាងលេខ។ ឥឡូវសរសេរកន្សោមដែលបានផ្លាស់ប្តូរ។ តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ? អ្នកគួរតែទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

ចំណាំ៖ ការផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែងនៃលក្ខខណ្ឌមិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលទេ (វាមិនមានបញ្ហាថាតើការបូក ឬដកត្រូវបានដាក់នៅចន្លោះ និង)។

វាមិនចាំបាច់ជាដាច់ខាតដែលពាក្យនៅក្នុងកន្សោមដែលកំពុងបំប្លែងគួរតែដូចដែលបានសរសេរក្នុងរូបមន្ត។ សូមមើលកន្សោមនេះ៖ . ព្យាយាមបំប្លែងវាដោយខ្លួនឯង។ តើវាដំណើរការទេ?

ការអនុវត្ត - បំប្លែងកន្សោមខាងក្រោម៖

ចម្លើយ៖តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ? តោះដោះស្រាយប្រធានបទ។ ជ្រើសរើសពីកន្សោមខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការ៉េនៃផលបូកឬភាពខុសគ្នា។

1. - បញ្ជាក់ថាវាសមមូល។

1. - មិនអាចត្រូវបានតំណាងជាការ៉េ; មនុស្សម្នាក់អាចស្រមៃប្រសិនបើមានជំនួសវិញ។

ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់មួយទៀតគឺ ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ។

ភាពខុសគ្នានៃការ៉េមិនមែនជាការ៉េនៃភាពខុសគ្នាទេ!

ភាពខុសគ្នារវាងការេនៃលេខពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលេខទាំងនេះ និងភាពខុសគ្នារបស់វា៖

តោះពិនិត្យមើលថាតើរូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវឬអត់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ចូរយើងគុណដូចដែលយើងបានធ្វើនៅពេលទាញយករូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

ដូច្នេះ​យើង​ទើប​តែ​ផ្ទៀងផ្ទាត់​ថា​រូបមន្ត​ពិត​ជា​ត្រឹមត្រូវ​។ រូបមន្តនេះក៏ជួយសម្រួលដល់ប្រតិបត្តិការគណនាស្មុគស្មាញផងដែរ។ នេះជាឧទាហរណ៍៖

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនា: ។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ យើង​អាច​ការ៉េ បន្ទាប់​មក​ការ​ការ៉េ និង​ដក​មួយ​ពី​មួយ​ទៀត ប៉ុន្តែ​រូបមន្ត​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​កាន់​តែ​ងាយ​ស្រួល​សម្រាប់​យើង៖

តើវាដំណើរការទេ? តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖

ដូចគ្នានឹងការេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េអាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែជាមួយលេខទេ៖

ការដឹងពីរបៀបគណនាភាពខុសគ្នានៃការ៉េនឹងជួយយើងបំប្លែងកន្សោមគណិតវិទ្យាដ៏ស្មុគស្មាញ។

សូមចំណាំ៖

ចាប់តាំងពីពេលដែល decomposing ភាពខុសគ្នានៃកន្សោមត្រឹមត្រូវដោយការ៉េយើងទទួលបាន

សូមប្រយ័ត្ន ហើយមើលថាពាក្យជាក់លាក់ណាមួយកំពុងត្រូវបានការ៉េ! ដើម្បីបង្រួបបង្រួមប្រធានបទ សូមបំប្លែងកន្សោមខាងក្រោម៖

តើអ្នកបានសរសេរវាទេ? ចូរប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល៖

ឥឡូវនេះអ្នកបានស្ទាត់ជំនាញការេនៃផលបូក និងការ៉េនៃភាពខុសគ្នា ក៏ដូចជាភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយឧទាហរណ៍សម្រាប់ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃរូបមន្តទាំងបីនេះ។

ការបំប្លែងកន្សោមបឋម (ផលបូកការេ ភាពខុសគ្នាការេ ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ)

ចូរនិយាយថាយើងត្រូវបានផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។

កន្សោមនេះចាំបាច់ត្រូវធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ មើលឲ្យច្បាស់ តើអ្នកឃើញអ្វីនៅក្នុងភាគយក? ត្រឹមត្រូវហើយ លេខភាគគឺជាការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះ៖

នៅពេល​ធ្វើឱ្យ​កន្សោម​ងាយស្រួល​ចងចាំ​ថា​តម្រុយ​នៃ​ទិសដៅ​ណា​ដែល​ត្រូវ​ទៅ​ក្នុង​ភាពសាមញ្ញ​គឺ​នៅក្នុង​ភាគបែង (ឬ​ភាគយក)។ ក្នុងករណីរបស់យើង នៅពេលដែលភាគបែងត្រូវបានពង្រីក ហើយគ្មានអ្វីអាចធ្វើបានទៀតទេ យើងអាចយល់ថា ភាគយកនឹងជាការ៉េនៃផលបូក ឬការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។ ដោយសារយើងកំពុងបន្ថែម វាច្បាស់ណាស់ថា ភាគយកគឺជាការ៉េនៃផលបូក។

សាកល្បងបំប្លែងកន្សោមខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង៖

តើវាដំណើរការទេ? ប្រៀបធៀបចម្លើយហើយបន្ត!

គូបនៃផលបូក និងគូបនៃភាពខុសគ្នា

រូបមន្តគូបបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូបត្រូវបានចេញតាមវិធីដូចគ្នា។ ការ៉េនៃផលបូកនិង ភាពខុសគ្នាការ៉េ៖ បើកវង់ក្រចកពេលគុណពាក្យដោយគ្នាទៅវិញទៅមក។

ប្រសិនបើការេនៃផលបូក និងការ៉េនៃភាពខុសគ្នាគឺងាយស្រួលចងចាំ នោះសំណួរនឹងកើតឡើង៖ "តើត្រូវចងចាំគូបដោយរបៀបណា?"

សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវរូបមន្តទាំងពីរដែលបានពិពណ៌នាដោយប្រៀបធៀបជាមួយពាក្យស្រដៀងគ្នានៃការការ៉េ៖

តើអ្នកឃើញគំរូអ្វី?

1. នៅពេលសាងសង់ក្នុង ការ៉េយើងមាន ការ៉េថ្ងៃដំបូងនិង ការ៉េទីពីរ; នៅពេលឡើងដល់គូប - បាទ គូបលេខដូចគ្នានិង គូបលេខផ្សេងទៀត។

2. នៅពេលសាងសង់នៅក្នុង ការ៉េយើងមាន កើនឡើងទ្វេដងផលិតផលនៃលេខ (លេខដែលបានលើកឡើងទៅអំណាចទី 1 ដែលជាអំណាចតិចជាងមួយដែលយើងលើកឡើងនូវការបញ្ចេញមតិ); កំឡុងពេលសាងសង់ គូប - បីដងផលិតផល​ដែល​លេខ​មួយ​ត្រូវ​បាន​ការ៉េ (ដែល​ក៏​ជា​ថាមពល 1 តិច​ជាង​ថាមពល​ដែល​យើង​លើក​ឡើង​នូវ​កន្សោម)។

3. នៅពេលការេ សញ្ញានៅក្នុងតង្កៀបនៅក្នុងកន្សោមបើកចំហត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅពេលបន្ថែម (ឬដក) ផលិតផលទ្វេ - ប្រសិនបើមានការបន្ថែមនៅក្នុងតង្កៀបនោះយើងបន្ថែមប្រសិនបើមានដកយើងដក; នៅពេលលើកគូប ច្បាប់គឺនេះ៖ ប្រសិនបើយើងមានគូបបូក នោះសញ្ញាទាំងអស់គឺ "+" ហើយប្រសិនបើយើងមានគូបខុសគ្នា នោះសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា៖ "" - "" - "" - "" .

ទាំងអស់ខាងលើលើកលែងតែការពឹងផ្អែកនៃអំណាចនៅពេលគុណនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។

តើយើងត្រូវអនុវត្តទេ? បើកតង្កៀបក្នុងកន្សោមខាងក្រោម៖

ប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល៖

ភាពខុសគ្នានិងផលបូកនៃគូប

សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តគូចុងក្រោយ៖ ភាពខុសគ្នា និងផលបូកនៃគូប។

ដូចដែលយើងចងចាំក្នុងភាពខុសគ្នានៃការ៉េ យើងគុណភាពខុសគ្នា និងផលបូកនៃលេខទាំងនេះដោយគ្នាទៅវិញទៅមក។ វាក៏មានតង្កៀបពីរនៅក្នុងភាពខុសគ្នានៃគូប និងផលបូកនៃគូប:

តង្កៀប 1 - ភាពខុសគ្នា (ឬផលបូក) នៃលេខទៅនឹងថាមពលដំបូង (អាស្រ័យលើថាតើយើងបង្ហាញភាពខុសគ្នាឬផលបូកនៃគូប);

តង្កៀប 2 - ការេមិនពេញលេញ (មើលឱ្យជិត៖ ប្រសិនបើយើងដក (ឬបន្ថែម) ផលគុណនៃលេខទ្វេវានឹងមានការ៉េ) សញ្ញានៅពេលគុណលេខគឺផ្ទុយទៅនឹងសញ្ញានៃកន្សោមដើម។

ដើម្បីពង្រឹងប្រធានបទ សូមដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

ប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល៖

ការបណ្តុះបណ្តាល

ចម្លើយ៖

សូមសង្ខេប៖

មានរូបមន្តគុណសង្ខេបចំនួន ៧៖

កម្រិតកម្រិតខ្ពស់

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់គឺជារូបមន្តដែលដឹងថាអ្នកអាចជៀសវាងការអនុវត្តន៍សកម្មភាពស្តង់ដារមួយចំនួននៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃកន្សោម ឬកត្តាពហុនាម។ រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ត្រូវដឹងដោយចិត្ត!

1. ការ៉េនៃផលបូកកន្សោម​ពីរ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ការេ​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ​បូក​នឹង​ផល​គុណ​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ​ចំនួន​ពីរ​និង​ការ​បូក​ការ៉េ​នៃ​កន្សោម​ទីពីរ​:
2. ភាពខុសគ្នាការ៉េកន្សោម​ពីរ​ស្មើ​នឹង​ការេ​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ ដក​ពីរដង​នៃ​ផល​គុណ​នៃ​កន្សោម​ទីមួយ និង​ទីពីរ​បូក​នឹង​ការេ​នៃ​កន្សោម​ទីពីរ៖
3. ភាពខុសគ្នានៃការ៉េកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះ និងផលបូករបស់វា៖
4. គូបនៃផលបូកកន្សោម​ពីរ​ស្មើ​នឹង​គូប​នៃ​កន្សោម​ទីមួយ​បូក​នឹង​ផលគុណ​នៃ​ការេ​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ​បី​ដង និង​ផល​គុណ​ទីពីរ​បូក​បី​ផល​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ និង​ការ​ការ៉េ​នៃ​ទីពីរ​បូក​នឹង​គូប​នៃ​កន្សោម​ទីពីរ៖
5. គូបខុសគ្នាកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងគូបនៃកន្សោមទីមួយ ដកបីដងផលគុណនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ ហើយទីពីរបូកនឹងផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងការ៉េនៃទីពីរដកគូបនៃកន្សោមទីពីរ:
6. ផលបូកនៃគូបកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះ៖
7. ភាពខុសគ្នានៃគូបកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូកនៃកន្សោមទាំងនេះ៖

ឥឡូវនេះសូមបញ្ជាក់រូបមន្តទាំងអស់នេះ។

រូបមន្តគុណសង្ខេប។ ភស្តុតាង។

1. .
ដើម្បី​ការ៉េ​កន្សោម​មាន​ន័យ​ថា​គុណ​វា​ដោយ​ខ្លួន​វា៖
.

តោះបើកតង្កៀប ហើយផ្តល់ចំនុចស្រដៀងគ្នា៖

2. .
យើងធ្វើដូចគ្នា៖ យើងគុណភាពខុសគ្នាដោយខ្លួនវា បើកតង្កៀប និងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា៖
.

3. .
ចូរយើងយកកន្សោមនៅខាងស្តាំ ហើយបើកតង្កៀប៖
.

4. .
លេខគូបអាចត្រូវបានតំណាងថាជាលេខនេះគុណនឹងការេរបស់វា៖

ដូចគ្នានេះដែរ៖

នៅក្នុងភាពខុសគ្នានៃគូបសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា។

6. .

.

7. .
តោះបើកតង្កៀបនៅខាងស្តាំ៖
.

ការប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ 1៖

ស្វែងរកអត្ថន័យនៃកន្សោម៖

ដំណោះស្រាយ៖

1. យើងប្រើរូបមន្តការ៉េនៃផលបូក៖ .
2. ចូរស្រមៃមើលលេខនេះជាភាពខុសគ្នា ហើយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃភាពខុសគ្នា៖ .

ឧទាហរណ៍ 2៖

ស្វែងរកអត្ថន័យនៃកន្សោម៖ .

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ 3៖

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

ដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖

ចូរប្រើរូបមន្ត៖ ការ៉េនៃផលបូក និងការ៉េនៃភាពខុសគ្នា៖

វិធីសាស្រ្ត II ។

ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរ៖

ឥឡូវនេះពាក្យរបស់អ្នក ...

ខ្ញុំបានប្រាប់អ្នកនូវអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលខ្ញុំដឹងអំពីរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់។

ប្រាប់ខ្ញុំឥឡូវនេះតើអ្នកនឹងប្រើវាទេ? បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ?

តើប្រិយមិត្តយល់យ៉ាងណាចំពោះអត្ថបទនេះ?

ប្រហែលជាអ្នកមានសំណួរ។ ឬសំណូមពរ។

សរសេរនៅក្នុងមតិយោបល់។ យើងអានមតិយោបល់ទាំងអស់ ហើយឆ្លើយតបទៅទាំងអស់គ្នា។

និងសំណាងល្អក្នុងការប្រឡងរបស់អ្នក!

កត្តា​បី​ដែល​មួយ​ៗ​ស្មើ x.(\ រចនាប័ទ្ម x ។ ) ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថា "គូប" ហើយលទ្ធផលរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញ:

x 3 (\ រចនាប័ទ្ម x^(3))

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x) គូបសម្រាប់គូប ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសគឺយកឫសគូប។ ឈ្មោះធរណីមាត្រនៃសញ្ញាបត្រទីបី " "គឺដោយសារតែការពិតដែលគណិតវិទូបុរាណបានចាត់ទុកតម្លៃនៃគូបជាលេខគូប ប្រភេទពិសេសនៃលេខអង្កាញ់ (សូមមើលខាងក្រោម) ចាប់តាំងពីគូបនៃលេខ x (\ រចនាប័ទ្ម x) ប្រភេទពិសេសនៃលេខអង្កាញ់ (សូមមើលខាងក្រោម) ចាប់តាំងពីគូបនៃលេខ.

ស្មើនឹងបរិមាណនៃគូបដែលមានប្រវែងគែមស្មើនឹង

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

លំដាប់នៃគូប ផលបូកនៃគូបដំបូង n (\displaystyle n)

លេខធម្មជាតិវិជ្ជមានត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))

ដេរីវេនៃរូបមន្ត

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃគូបអាចទទួលបានដោយប្រើតារាងគុណ និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ ដោយពិចារណាលើតារាងគុណ 5 × 5 ចំនួនពីរជាឧទាហរណ៍នៃវិធីសាស្ត្រ យើងនឹងអនុវត្តការវែកញែកសម្រាប់តារាងទំហំ n×n ។ × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

តារាងគុណ និងគូបលេខ × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

តារាងគុណ និងវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ផលបូកនៃលេខក្នុង k-th (k=1,2,...) ផ្ទៃដែលបានជ្រើសរើសនៃតារាងទីមួយ៖

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac(k(k-1))(2))=k^(3))

ហើយផលបូកនៃលេខក្នុង k-th (k=1,2,...) ផ្ទៃដែលបានជ្រើសរើសនៃតារាងទីពីរ តំណាងឱ្យការវិវត្តនព្វន្ធ៖

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac(n(n+1))(2))=(\frac(n(n+1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac(n(n+1))(2))\right)^(2))

ទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួន

• នៅក្នុងសញ្ញាទសភាគ គូបអាចបញ្ចប់ដោយខ្ទង់ណាមួយ (មិនដូចការ៉េ)
• នៅក្នុងសញ្ញាទសភាគ លេខពីរខ្ទង់ចុងក្រោយនៃគូបអាចជា 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 66, 68 , 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. ការពឹងផ្អែកនៃខ្ទង់ចុងក្រោយនៃគូបនៅលើ ចុងក្រោយអាចបង្ហាញក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

គូប​ជា​លេខ​គិត

"លេខគូប" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3))ត្រូវបានគេមើលឃើញជាប្រវត្តិសាស្ត្រថាជាប្រភេទលេខដែលគិតតាមលំហ។ វាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃលេខត្រីកោណជាប់គ្នា។ T n (\ displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

ភាពខុសគ្នារវាងលេខគូបពីរដែលនៅជាប់គ្នាគឺជាលេខគោលប្រាំបួនជ្រុង។

បង្ហាញចំនួនគូបក្នុងន័យនៃ tetrahedral Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).

នៅក្នុងមេរៀនមុន យើងបានដោះស្រាយជាមួយកត្តាកត្តា។ យើងបានស្ទាត់ជំនាញពីរវិធី៖ ការដាក់កត្តារួមចេញពីតង្កៀប និងការដាក់ជាក្រុម។ នៅក្នុងមេរៀននេះ - វិធីសាស្រ្តដ៏មានឥទ្ធិពលដូចខាងក្រោមៈ រូបមន្តគុណសង្ខេប. និយាយឱ្យខ្លី - FSU ។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ (ផលបូក និងភាពខុសគ្នា ការេ ផលបូក និងភាពខុសគ្នាគូប ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូប) គឺចាំបាច់បំផុតនៅក្នុងគ្រប់ផ្នែកនៃគណិតវិទ្យា។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញក្នុងកន្សោម ដោះស្រាយសមីការ គុណពហុនាម កាត់បន្ថយប្រភាគ ដោះស្រាយអាំងតេក្រាល ។ល។ ល។ សរុបមក មានហេតុផលទាំងអស់ដែលត្រូវដោះស្រាយជាមួយពួកគេ។ ស្វែងយល់ថាតើពួកគេមកពីណា ហេតុអ្វីបានជាពួកគេត្រូវការ របៀបចងចាំពួកគេ និងរបៀបអនុវត្តវា។

តើយើងយល់ទេ?)

តើរូបមន្តគុណសង្ខេបមកពីណា?

សមភាព 6 និង 7 មិនត្រូវបានសរសេរតាមរបៀបដែលធ្លាប់ស្គាល់នោះទេ។ វា​ជា​ប្រភេទ​ផ្ទុយ​ពី​នេះ​។ នេះគឺជាគោលបំណង។) សមភាពណាមួយដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង។ ធាតុនេះធ្វើឱ្យវាកាន់តែច្បាស់ថា FSUs មកពីណា។

ពួកវាត្រូវបានយកចេញពីការគុណ។ ) ឧទាហរណ៍៖

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

នោះហើយជាវា គ្មានល្បិចវិទ្យាសាស្ត្រទេ។ យើងគ្រាន់តែគុណតង្កៀប ហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា។ នេះជារបៀបដែលវាប្រែចេញ រូបមន្តគុណសង្ខេបទាំងអស់។ អក្សរកាត់ការគុណគឺដោយសារតែនៅក្នុងរូបមន្តខ្លួនឯងមិនមានការគុណនៃតង្កៀបនិងការកាត់បន្ថយនៃស្រដៀងគ្នា។ អក្សរកាត់។) លទ្ធផលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យភ្លាមៗ។

FSU ត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ បើគ្មានបីដំបូងទេ អ្នកមិនអាចសុបិន្ត C បានទេ បើគ្មានសល់ អ្នកមិនអាចសុបិន្ត B ឬ A បានទេ។

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការរូបមន្តគុណជាអក្សរកាត់?

មានហេតុផលពីរយ៉ាងដើម្បីរៀន សូម្បីតែទន្ទេញចាំរូបមន្តទាំងនេះ។ ទីមួយគឺថាចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចនឹងកាត់បន្ថយចំនួនកំហុសដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាហេតុផលចម្បងនោះទេ។ ប៉ុន្តែទីពីរ ...

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។