កាលវិភាគរង់ចាំ។ ការរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺជាតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ។

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

ឧទាហរណ៍។

X −4 6 ១០
р 0.2 0.3 0.5

ដំណោះស្រាយ៖ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃ X និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6។

ដើម្បីគណនាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការគណនាក្នុង Excel (ជាពិសេសនៅពេលមានទិន្នន័យច្រើន) យើងស្នើឱ្យប្រើគំរូដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ()។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយវាដោយខ្លួនឯង (អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ) ។
ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X ដែលបានបញ្ជាក់ដោយច្បាប់ចែកចាយ៖

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម។

Property 1. ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវា៖ M(C)=C ។

Property 2. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញជាសញ្ញានៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា៖ M(CX)=CM(X)។

Property 3. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យទៅវិញទៅមកគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃកត្តា: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)* ។ ..*M (Xn)

Property 4. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ៖ M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn)

បញ្ហា 189. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ Z ប្រសិនបើការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃ X និង Y ត្រូវបានគេស្គាល់៖ Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

ដំណោះស្រាយ៖ ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា) យើងទទួលបាន M(Z )=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)= 5+2*3=11។

190. ការប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា បញ្ជាក់៖ ក) M(X − Y) = M(X) - M (Y); ខ) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាត X-M(X) គឺស្មើនឹងសូន្យ។

191. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X យកតម្លៃដែលអាចមានបី: x1= 4 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p1 = 0.5; xЗ = 6 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ P2 = 0.3 និង x3 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p3 ។ ស្វែងរក៖ x3 និង p3 ដោយដឹងថា M(X)=8 ។

192. បញ្ជីតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1; , M(X^2) = 0 ,9 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ p1, p2, p3 ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃ xi

194. បណ្តុំនៃ 10 ផ្នែកមានបីផ្នែកដែលមិនមានស្តង់ដារ។ ផ្នែកពីរត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X - ចំនួននៃផ្នែកមិនស្តង់ដារក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសពីរ។

196. ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដោយឡែក X-ចំនួននៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងប្រាំ ដែលក្នុងនោះចំនុចនីមួយៗនឹងលេចឡើងនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ ប្រសិនបើចំនួនសរុបនៃការបោះគឺម្ភៃ។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយ binomial គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បង និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងមួយ៖

នោះគឺប្រសិនបើ sl ។ បរិមាណមានច្បាប់ចែកចាយ

ហៅការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ ប្រសិនបើ sl ។ បរិមាណ​មាន​ចំនួន​តម្លៃ​ដែល​គ្មាន​កំណត់​បន្ទាប់​មក​ការ​រំពឹង​ទុក​តាម​គណិតវិទ្យា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ផល​បូក​នៃ​ស៊េរី​គ្មាន​កំណត់ បានផ្តល់ថាស៊េរីនេះគឺពិតជាបញ្ចូលគ្នា (បើមិនដូច្នេះទេពួកគេនិយាយថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមិនមានទេ) .

សម្រាប់ បន្ត sl ។ តម្លៃដែលបានបញ្ជាក់ដោយអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ f(x) ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាត្រូវបានកំណត់ជាអាំងតេក្រាល

បានផ្តល់ថាអាំងតេក្រាលនេះមាន (ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលខុសគ្នា នោះពួកគេនិយាយថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមិនមានទេ)។

ឧទាហរណ៍ ១. អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយ ច្បាប់របស់ Poisson. តាមនិយមន័យ

ឬតោះបញ្ជាក់

,

ដូច្នេះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ , ការកំណត់ច្បាប់នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ Poisson គឺស្មើនឹងតម្លៃមធ្យមនៃអថេរនេះ។

ឧទាហរណ៍ ២. សម្រាប់អថេរចៃដន្យដែលមានច្បាប់ចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹង

():

(យកដែនកំណត់នៅក្នុងអាំងតេក្រាលដោយគិតគូរពីការពិតដែលថា f (x) គឺមិនមែនសូន្យសម្រាប់តែ x វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ) ។

ឧទាហរណ៍ ៣. អថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ចែកចាយ កាច, មិនមានតម្លៃមធ្យម។ ពិត

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា.

ទ្រព្យ ១. ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរគឺស្មើនឹងថេរនេះដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។

C ថេរយកតម្លៃនេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមួយ ហើយតាមនិយមន័យ M(C)=C×1=C

ទ្រព្យ ២. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកពិជគណិតនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។

យើងកំណត់ខ្លួនយើងក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះសម្រាប់តែផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកពីរ ពោលគឺឧ។ ចូរយើងបញ្ជាក់

នៅក្រោមផលបូកនៃពាក្យដាច់ពីគ្នាពីរ។ បរិមាណត្រូវបានយល់ដូចខាងក្រោម។ បរិមាណដែលយកតម្លៃជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ

តាមនិយមន័យ

តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានគណនានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនោះនៅឯណា។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយរាយករណីទាំងអស់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ដូច្នេះវាស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ពោលគឺឧ។ . ដូចគ្នានេះដែរ . ទីបំផុតយើងមាន

ទ្រព្យ ៣. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។

យូ			…
សំណួរ			…
X			…
រ			…

យើងបង្ហាញភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះសម្រាប់តែបរិមាណដាច់ដោយឡែកប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យ X និង Y មានភាពឯករាជ្យ និងមានច្បាប់ចែកចាយ

ផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យទាំងនេះនឹងជាអថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នាដោយសារតែភាពឯករាជ្យនៃអថេរចៃដន្យ . បន្ទាប់មក

ផលវិបាក. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញជាសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះ សតវត្ស C មិនអាស្រ័យលើតម្លៃអ្វីដែលពាក្យនោះទេ។ តម្លៃ X បន្ទាប់មកដោយទ្រព្យសម្បត្តិ 3. យើងមាន

M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)

ឧទាហរណ៍. ប្រសិនបើ a និង b ជាថេរ នោះ M(ax+b)=aM(x)+b។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការរចនានៃការសាកល្បងឯករាជ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យ n ការពិសោធន៍ឯករាជ្យត្រូវបានអនុវត្ត ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ក្នុងនីមួយៗគឺស្មើនឹង P. ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនៅក្នុងការពិសោធន៍ n ទាំងនេះគឺជាអថេរចៃដន្យ X ដែលត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការគណនាដោយផ្ទាល់នូវតម្លៃមធ្យមរបស់វាគឺពិបាកណាស់។ ដើម្បីធ្វើឱ្យសាមញ្ញ យើងនឹងប្រើការពង្រីក ដែលយើងនឹងប្រើច្រើនជាងមួយដងនាពេលអនាគត៖ ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនៅក្នុងការពិសោធន៍ n រួមមានចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍បុគ្គល i.e.

ដែលជាកន្លែងដែលមានច្បាប់ចែកចាយ (យកតម្លៃ 1 ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងតម្លៃ 0 ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនបានបង្ហាញនៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ។

រ	ទី 1	r

នោះហើយជាមូលហេតុ

ទាំងនោះ។ ចំនួនមធ្យមនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនៅក្នុងការពិសោធន៍ឯករាជ្យ n គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការពិសោធន៍ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.1 នោះចំនួនជាមធ្យមនៃការវាយក្នុង 20 ដងគឺ 20x0.1=2 ។

កិច្ចការទី 1 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណុះគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 0.9 ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមគ្រាប់ពូជបួនដែលបានសាបព្រោះយ៉ាងហោចណាស់បីនឹងពន្លក?

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ ក- ពី 4 គ្រាប់ យ៉ាងហោចណាស់ 3 គ្រាប់នឹងពន្លក; ព្រឹត្តិការណ៍ IN- ពី 4 គ្រាប់ 3 គ្រាប់នឹងពន្លក; ព្រឹត្តិការណ៍ ជាមួយ- ពី ៤ គ្រាប់ ៤ គ្រាប់នឹងពន្លក។ ដោយទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេ
និង
យើងកំណត់ដោយរូបមន្តរបស់ Bernoulli ដែលត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងករណីដូចខាងក្រោម។ សូមឱ្យស៊េរីត្រូវបានប្រារព្ធឡើង នការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ ក្នុងអំឡុងពេលនីមួយៗដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងគឺថេរ និងស្មើ rហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះមិនកើតឡើងគឺស្មើនឹង
. បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ កវ នការធ្វើតេស្តនឹងបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ ដង គណនាដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Bernoulli

,

កន្លែងណា
- ចំនួននៃបន្សំ នធាតុដោយ . បន្ទាប់មក

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ

កិច្ចការទី 2 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណុះគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 0.9 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមគ្រាប់ពូជ 400 គ្រាប់ដែលបានសាបព្រោះ 350 គ្រាប់នឹងពន្លក។

ដំណោះស្រាយ។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ
ការប្រើរូបមន្តរបស់ Bernoulli គឺពិបាកដោយសារតែភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនា។ ដូច្នេះ យើងអនុវត្តរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលដែលបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានរបស់ Laplace៖

,

កន្លែងណា
និង
.

ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ បន្ទាប់មក

.

យើងរកឃើញពីតារាងទី 1 នៃឧបសម្ព័ន្ធ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង

កិច្ចការទី 3 ។គ្រាប់ពូជស្រូវសាលីមានស្មៅ 0.02% ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាប្រសិនបើគ្រាប់ពូជចំនួន 10,000 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនោះ គ្រាប់ពូជស្មៅចំនួន 6 នឹងត្រូវបានរកឃើញ?

ដំណោះស្រាយ។ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានរបស់ Laplace ដោយសារតែប្រូបាប៊ីលីតេទាប
នាំទៅរកគម្លាតយ៉ាងសំខាន់នៃប្រូបាប៊ីលីតេពីតម្លៃពិតប្រាកដ
. ដូច្នេះតម្លៃតូច rដើម្បីគណនា
អនុវត្តរូបមន្ត Asymptotic Poisson

, កន្លែងណា .

រូបមន្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេល
, និងតិច rនិងច្រើនទៀត នលទ្ធផលកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា
;
. បន្ទាប់មក

កិច្ចការទី 4 ។ភាគរយដំណុះនៃគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 90% ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគ្រាប់ពូជដែលសាបព្រោះក្នុងចំណោម 500 គ្រាប់ ពី 400 ទៅ 440 គ្រាប់នឹងពន្លក។

ដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង កនៅក្នុងគ្នា។ នការធ្វើតេស្តគឺថេរនិងស្មើគ្នា rបន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ
ព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ កនៅក្នុងការធ្វើតេស្តបែបនេះនឹងមានមិនតិចទេ។ ម្តង និងមិនមានទៀតទេ ដងកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលរបស់ Laplace ដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

, កន្លែងណា

,
.

មុខងារ
ហៅថាមុខងារ Laplace ។ ឧបសម្ព័ន្ធ (តារាងទី 2) ផ្តល់តម្លៃនៃមុខងារនេះសម្រាប់
. នៅ
មុខងារ
. សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាន Xដោយសារតែភាពចម្លែកនៃមុខងារ Laplace
. ដោយប្រើមុខងារ Laplace យើងមាន៖

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច។ ដោយប្រើរូបមន្តខាងលើយើងរកឃើញ
និង :

កិច្ចការទី 5 ។ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ X:

2. ស្វែងរក៖ 1) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា; 2) ការបែកខ្ញែក; 3) គម្លាតស្តង់ដារ។

ដំណោះស្រាយ។ 1) ប្រសិនបើច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយតារាង

2. នៅ​កន្លែង​ដែល​បន្ទាត់​ទី​មួយ​មាន​តម្លៃ​នៃ​អថេរ x ហើយ​បន្ទាត់​ទីពីរ​មាន​ប្រូបាប​នៃ​តម្លៃ​ទាំង​នេះ នោះ​ការ​រំពឹង​ទុក​តាម​គណិតវិទ្យា​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត

2) ភាពខុសគ្នា
អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការ៉េនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា i.e.

តម្លៃនេះកំណត់លក្ខណៈនៃតម្លៃរំពឹងទុកជាមធ្យមនៃគម្លាតការេ Xពី
. ពីរូបមន្តចុងក្រោយដែលយើងមាន

ភាពប្រែប្រួល
អាចត្រូវបានរកឃើញតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដោយផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមរបស់វា៖ ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ
ស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យ Xនិងការ៉េនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
នោះគឺ

ដើម្បីគណនា
ចូរយើងបង្កើតច្បាប់នៃការចែកចាយបរិមាណដូចខាងក្រោម
:

3) ដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃការខ្ចាត់ខ្ចាយនៃតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យជុំវិញតម្លៃមធ្យមរបស់វា គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានណែនាំ
អថេរចៃដន្យ Xស្មើនឹងឫសការ៉េនៃបំរែបំរួល
នោះគឺ

.

ពីរូបមន្តនេះយើងមាន៖

កិច្ចការទី 6 ។អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ Xផ្តល់ដោយអនុគមន៍ចែកចាយបន្ត

ស្វែងរក៖ 1) មុខងារចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល
; 2) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
; 3) ភាពខុសគ្នា
.

ដំណោះស្រាយ។ 1) មុខងារចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល
អថេរចៃដន្យបន្ត Xត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចែកចាយបន្ត
នោះគឺ

.

មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលស្វែងរកមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

2) ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យបន្ត Xផ្តល់ដោយមុខងារ
បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

ចាប់តាំងពីមុខងារ
នៅ
និងនៅ
គឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកពីរូបមន្តចុងក្រោយដែលយើងមាន

.

3) ភាពខុសគ្នា
យើងនឹងកំណត់ដោយរូបមន្ត

កិច្ចការទី 7 ។ប្រវែងនៃផ្នែកគឺជាអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃ 40 មម និងគម្លាតស្តង់ដារនៃ 3 មម។ ស្វែងរក៖ 1) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រវែងនៃផ្នែកដែលបានយកតាមអំពើចិត្តនឹងមានច្រើនជាង 34 មម និងតិចជាង 43 មម; 2) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រវែងនៃផ្នែកនឹងខុសពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាមិនលើសពី 1.5 មីលីម៉ែត្រ។

ដំណោះស្រាយ។ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ X- ប្រវែងនៃផ្នែក។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xផ្តល់ដោយមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល
បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ Xនឹងយកតម្លៃដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក
, ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

.

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាពដ៏តឹងរឹង
ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តដូចគ្នា។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xត្រូវ​បាន​ចែក​ចាយ​ទៅ​តាម​ច្បាប់​ធម្មតា។

, (1)

កន្លែងណា
- មុខងារ Laplace
.

នៅក្នុងបញ្ហា។ បន្ទាប់មក

2) យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា, ដែលជាកន្លែងដែល
. ជំនួស (1) យើងមាន

. (2)

ពីរូបមន្ត (2) យើងមាន។

អថេរចៃដន្យ បន្ថែមពីលើច្បាប់ចែកចាយ ក៏អាចត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរ។ លក្ខណៈលេខ .

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M (x) នៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃមធ្យមរបស់វា។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

កន្លែងណា – តម្លៃអថេរចៃដន្យ, ទំ ខ្ញុំ -ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ។

តោះពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖

1. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវាផ្ទាល់

2. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានគុណដោយចំនួនជាក់លាក់ k នោះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា

M (kx) = kM (x)

3. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 − x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ x 1, x 2, … x n ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។

M (x 1, x 2, … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)

6. M (x − M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ចូរយើងគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាសម្រាប់អថេរចៃដន្យពីឧទាហរណ៍ទី 11 ។

M(x) = = .

ឧទាហរណ៍ 12 ។អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ x 1, x 2 ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយច្បាប់ចែកចាយ៖

x 1 តារាង 2

x 2 តារាងទី 3

តោះគណនា M (x 1) និង M (x 2)

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យទាំងពីរគឺដូចគ្នា - ពួកគេស្មើនឹងសូន្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយធម្មជាតិនៃការចែកចាយរបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើតម្លៃនៃ x 1 ខុសគ្នាតិចតួចពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ នោះតម្លៃនៃ x 2 ខុសគ្នាក្នុងវិសាលភាពធំពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតបែបនេះមិនតូចទេ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះបង្ហាញថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ពីតម្លៃមធ្យមដែលគម្លាតពីវាកើតឡើង ទាំងតូច និងធំជាង។ ដូច្នេះ ដោយ​មាន​ភ្លៀង​ធ្លាក់​មធ្យម​ប្រចាំឆ្នាំ​ដូចគ្នា​ក្នុង​តំបន់​ពីរ វា​មិនអាច​និយាយបាន​ថា តំបន់​ទាំងនេះ​អំណោយផល​ស្មើគ្នា​សម្រាប់​ការងារ​កសិកម្ម។ ដូចគ្នានេះដែរ ដោយផ្អែកលើសូចនាករប្រាក់ខែជាមធ្យម វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិនិច្ឆ័យចំណែកនៃកម្មករដែលមានប្រាក់ខែខ្ពស់ និងទាប។ ដូច្នេះលក្ខណៈលេខត្រូវបានណែនាំ - ការបែកខ្ញែក D(x) , ដែលកំណត់កម្រិតនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា៖

ឃ (x) = M (x − M (x)) ២. (2)

ការបែកខ្ញែកគឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការ៉េនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក វ៉ារ្យ៉ង់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖

ឃ(x)= = (3)

ពីនិយមន័យនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយវាដូចខាងក្រោមថា D (x) 0 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក៖

1. វ៉ារ្យ៉ង់នៃថេរគឺសូន្យ

2. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានគុណដោយចំនួនជាក់លាក់ k នោះអថេរនឹងត្រូវបានគុណនឹងការេនៃចំនួននេះ

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យជាគូ x 1 , x 2 , … x n វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួល។

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលសម្រាប់អថេរចៃដន្យពីឧទាហរណ៍ ១១។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M (x) = 1. ដូច្នេះយោងទៅតាមរូបមន្ត (3) យើងមាន:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

ចំណាំថាវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាបំរែបំរួល ប្រសិនបើអ្នកប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 3៖

D (x) = M (x 2) – M 2 (x) ។

ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលសម្រាប់អថេរចៃដន្យ x 1 , x 2 ពីឧទាហរណ៍ 12 ដោយប្រើរូបមន្តនេះ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យទាំងពីរគឺសូន្យ។

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

ឃ (x 2) = (−20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

តម្លៃវ៉ារ្យង់កាន់តែជិតដល់សូន្យ ការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យកាន់តែតូចដែលទាក់ទងទៅនឹងតម្លៃមធ្យម។

បរិមាណត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ. របៀបអថេរចៃដន្យ x ប្រភេទផ្តាច់មុខ Mdតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដែលមានប្រូបាបខ្ពស់បំផុតត្រូវបានគេហៅថា។

របៀបអថេរចៃដន្យ x ប្រភេទបន្ត Mdជា​ចំនួន​ពិត​ដែល​កំណត់​ជា​ចំណុច​អតិបរមា​នៃ​ដង់ស៊ីតេ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ចែកចាយ f(x)។

មធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ x ប្រភេទបន្ត Mnគឺជាចំនួនពិតដែលបំពេញសមីការ

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់បំផុតបន្ទាប់នៃអថេរចៃដន្យបន្ទាប់ពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយរបស់វា ដែលកំណត់ថាជាគម្លាតការ៉េមធ្យមពីមធ្យម៖

ប្រសិនបើបង្ហាញដោយពេលនោះ វ៉ារ្យ៉ង់ VX នឹងជាតម្លៃដែលរំពឹងទុក នេះជាលក្ខណៈនៃ "ការខ្ចាត់ខ្ចាយ" នៃការបែងចែក X ។

ជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការគណនាបំរែបំរួល ឧបមាថាយើងទើបតែទទួលបានការផ្តល់ជូនដែលយើងមិនអាចបដិសេធបាន៖ នរណាម្នាក់បានផ្តល់ឱ្យយើងនូវវិញ្ញាបនបត្រពីរសម្រាប់ឆ្នោតដូចគ្នា។ អ្នករៀបចំឆ្នោតលក់សំបុត្រចំនួន 100 សន្លឹករៀងរាល់សប្តាហ៍ ដោយចូលរួមក្នុងការចាប់ឆ្នោតដាច់ដោយឡែក។ គំនូរជ្រើសរើសសំបុត្រមួយក្នុងចំណោមសំបុត្រទាំងនេះតាមរយៈដំណើរការចៃដន្យឯកសណ្ឋាន - សំបុត្រនីមួយៗមានឱកាសស្មើគ្នាក្នុងការជ្រើសរើស - ហើយម្ចាស់សំបុត្រសំណាងនោះទទួលបានមួយរយលានដុល្លារ។ អ្នក​កាន់​សំបុត្រ​ឆ្នោត​ចំនួន ៩៩ នាក់​ដែល​នៅ​សល់​មិន​ឈ្នះ​អ្វី​ឡើយ។

យើង​អាច​ប្រើ​អំណោយ​តាម​ពីរ​យ៉ាង៖ ទិញ​សំបុត្រ​ពីរ​សន្លឹក​ក្នុង​ឆ្នោត​មួយ ឬ​មួយ​ដើម្បី​ចូល​រួម​ក្នុង​ឆ្នោត​ពីរ​ផ្សេង​គ្នា។ តើយុទ្ធសាស្ត្រមួយណាល្អជាង? ចូរយើងព្យាយាមវិភាគវា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ដោយអថេរចៃដន្យតំណាងឱ្យទំហំនៃការឈ្នះរបស់យើងនៅលើសំបុត្រទីមួយ និងទីពីរ។ តម្លៃរំពឹងទុករាប់លានគឺ

ហើយដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់តម្លៃដែលរំពឹងទុកគឺជាការបន្ថែម ដូច្នេះការទូទាត់សរុបជាមធ្យមរបស់យើងនឹងមាន

ដោយមិនគិតពីយុទ្ធសាស្ត្រដែលបានអនុម័ត។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យុទ្ធសាស្ត្រទាំងពីរនេះ ហាក់ដូចជាខុសគ្នា។ ចូរយើងហួសពីតម្លៃដែលរំពឹងទុក ហើយសិក្សាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេពេញលេញ

ប្រសិនបើយើងទិញសំបុត្រពីរក្នុងឆ្នោតមួយ នោះឱកាសរបស់យើងក្នុងការឈ្នះគ្មានអ្វីនឹងមាន 98% និង 2% - ឱកាសឈ្នះ 100 លាន។ ប្រសិនបើយើងទិញសំបុត្រសម្រាប់ការចាប់ឆ្នោតផ្សេងគ្នា លេខនឹងមានដូចខាងក្រោម: 98.01% - ឱកាសនៃការមិនឈ្នះអ្វីទាំងអស់ ដែលខ្ពស់ជាងមុនបន្តិច។ 0.01% - ឱកាសឈ្នះ 200 លាន ក៏មានច្រើនជាងមុនបន្តិច។ ហើយឱកាសនៃការឈ្នះ 100 លានឥឡូវនេះគឺ 1.98% ។ ដូច្នេះនៅក្នុងករណីទី 2 ការចែកចាយរ៉ិចទ័រគឺកាន់តែខ្ចាត់ខ្ចាយបន្តិច។ តម្លៃមធ្យម 100 លានដុល្លារទំនងជាតិចជាងបន្តិច ខណៈពេលដែលភាពជ្រុលនិយមទំនងជា។

វាគឺជាគំនិតនៃការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យដែលការបែកខ្ញែកមានគោលបំណងឆ្លុះបញ្ចាំង។ យើងវាស់ការរីករាលដាលតាមរយៈការ៉េនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ ដូច្នេះក្នុងករណី 1 ភាពប្រែប្រួលនឹងមាន

ក្នុងករណីទី 2 ភាពខុសគ្នាគឺ

ដូចដែលយើងរំពឹងទុក តម្លៃចុងក្រោយគឺធំជាងបន្តិច ដោយសារការចែកចាយក្នុងករណីទី 2 មានការរីករាលដាលបន្តិច។

នៅពេលដែលយើងធ្វើការជាមួយបំរែបំរួល អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺការ៉េ ដូច្នេះលទ្ធផលអាចជាលេខធំណាស់។ (មេគុណគឺមួយពាន់ពាន់លាន ដែលគួរចាប់អារម្មណ៍

សូម្បីតែអ្នកលេងដែលទម្លាប់ធ្វើការភ្នាល់ធំ។) ដើម្បីបំប្លែងតម្លៃទៅជាមាត្រដ្ឋានដើមដែលមានអត្ថន័យជាងមុន ឫសការេនៃការប្រែប្រួលនេះត្រូវបានគេយកជាញឹកញាប់។ លេខលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ ហើយជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរក្រិក a:

គម្លាតស្តង់ដារនៃទំហំសម្រាប់យុទ្ធសាស្រ្តឆ្នោតទាំងពីររបស់យើងគឺ . នៅក្នុងវិធីមួយចំនួន ជម្រើសទីពីរគឺប្រហែល $71,247 ហានិភ័យជាង។

តើភាពខុសគ្នាជួយក្នុងការជ្រើសរើសយុទ្ធសាស្រ្តយ៉ាងដូចម្តេច? វាមិនច្បាស់ទេ។ យុទ្ធសាស្ត្រដែលមានភាពខុសគ្នាខ្ពស់ជាងគឺប្រថុយប្រថានជាង។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលប្រសើរជាងសម្រាប់កាបូបរបស់យើង - ការប្រថុយប្រថានឬការលេងដោយសុវត្ថិភាព? សូមឱ្យយើងមានឱកាសទិញសំបុត្រមិនមែនពីរទេគឺទាំងអស់មួយរយ។ បន្ទាប់មកយើងអាចធានាថាឈ្នះឆ្នោតមួយ (ហើយភាពខុសគ្នានឹងសូន្យ); ឬអ្នកអាចលេងនៅក្នុងការចាប់ឆ្នោតផ្សេងគ្នាមួយរយ ដោយមិនទទួលបានអ្វីជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ប៉ុន្តែមានឱកាសមិនសូន្យនៃការឈ្នះរហូតដល់ដុល្លារ។ ការជ្រើសរើសជម្រើសមួយក្នុងចំណោមជម្រើសទាំងនេះគឺហួសពីវិសាលភាពនៃសៀវភៅនេះ។ អ្វីដែលយើងអាចធ្វើនៅទីនេះគឺពន្យល់ពីរបៀបធ្វើការគណនា។

តាមពិត មានវិធីសាមញ្ញជាងក្នុងការគណនាបំរែបំរួលជាជាងការប្រើនិយមន័យដោយផ្ទាល់ (8.13)។ (មានហេតុផលគ្រប់បែបយ៉ាងក្នុងការសង្ស័យអំពីប្រភេទគណិតវិទ្យាដែលលាក់កំបាំងនៅទីនេះ បើមិនដូច្នេះទេ ហេតុអ្វីបានជាភាពខុសគ្នានៅក្នុងឧទាហរណ៍ឆ្នោតប្រែទៅជាចំនួនគត់?

ចាប់តាំងពី - ថេរ; ហេតុនេះ

"វ៉ារ្យង់គឺជាមធ្យមនៃការ៉េដកការេនៃមធ្យម។"

ឧទាហរណ៍ ក្នុងបញ្ហាឆ្នោត តម្លៃមធ្យមប្រែទៅជា ឬដក (ការេនៃមធ្យមភាគ) ផ្តល់លទ្ធផលដែលយើងទទួលបានមុននេះតាមវិធីពិបាកជាង។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានរូបមន្តសាមញ្ញជាងនេះ ដែលអនុវត្តនៅពេលយើងគណនាសម្រាប់ឯករាជ្យ X និង Y។ យើងមាន

ចាប់តាំងពី ដូចដែលយើងដឹង សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ ដូច្នេះហើយ

"ភាពខុសគ្នានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យស្មើនឹងផលបូកនៃការប្រែប្រួលរបស់វា។

ដូច្នេះ ការ​បែក​ខ្ញែក​នៃ​ការ​ឈ្នះ​សរុប​សម្រាប់​សំបុត្រ​ឆ្នោត​ចំនួន​ពីរ​ក្នុង​ឆ្នោត​ពីរ​ផ្សេង​គ្នា (ឯករាជ្យ) នឹង​ជា​តម្លៃ​បំបែក​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​សម្រាប់​សំបុត្រ​ឆ្នោត​ឯករាជ្យ​នឹង

វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកនៃពិន្ទុដែលរមៀលលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរអាចទទួលបានដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នាព្រោះវាជាផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរ។ យើងមាន

សម្រាប់គូបត្រឹមត្រូវ; ដូច្នេះនៅក្នុងករណីនៃមជ្ឈមណ្ឌលផ្លាស់ទីលំនៅនៃម៉ាស់

ដូច្នេះប្រសិនបើគូបទាំងពីរមានមជ្ឈិមផ្លាស់ទីលំនៅ។ ចំណាំថានៅក្នុងករណីចុងក្រោយនេះ ភាពខុសគ្នាគឺធំជាង ទោះបីជាវាយកតម្លៃមធ្យម 7 ញឹកញាប់ជាងក្នុងករណីគ្រាប់ឡុកឡាក់ធម្មតាក៏ដោយ។ ប្រសិនបើគោលដៅរបស់យើងគឺដើម្បីបង្វិលសំណាងប្រាំពីរបន្ថែមទៀត នោះការប្រែប្រួលមិនមែនជាសូចនាករដ៏ល្អបំផុតនៃភាពជោគជ័យនោះទេ។

មិនអីទេ យើងបានបង្កើតរបៀបគណនាបំរែបំរួល។ ប៉ុន្តែយើងមិនទាន់ផ្តល់ចម្លើយចំពោះសំណួរថាហេតុអ្វីបានជាចាំបាច់ត្រូវគណនាបំរែបំរួល។ មនុស្សគ្រប់គ្នាធ្វើវា ប៉ុន្តែហេតុអ្វី? ហេតុផលចម្បងគឺវិសមភាពរបស់ Chebyshev ដែលបង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃការបែកខ្ញែក:

(វិសមភាពនេះខុសពីវិសមភាព Chebyshev សម្រាប់ផលបូកដែលយើងជួបប្រទះក្នុងជំពូកទី 2។) នៅកម្រិតគុណភាព (8.17) ចែងថា អថេរចៃដន្យ X កម្រយកតម្លៃឆ្ងាយពីមធ្យមរបស់វា ប្រសិនបើវ៉ារ្យង់ VX របស់វាតូច។ ភស្តុតាង

ការគ្រប់គ្រងគឺសាមញ្ញមិនធម្មតា។ ពិតជា

ការបែងចែកដោយបំពេញភស្តុតាង។

ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដោយ a និងគម្លាតស្តង់ដារដោយ a ហើយជំនួសក្នុង (8.17) ដោយនោះលក្ខខណ្ឌប្រែទៅជាដូច្នេះយើងទទួលបានពី (8.17)

ដូច្នេះ X នឹងកុហកក្នុងរយៈពេល - ដងនៃគម្លាតស្តង់ដារនៃមធ្យមរបស់វា លើកលែងតែក្នុងករណីដែលប្រូបាប៊ីលីតេមិនលើសពីនេះ អថេរចៃដន្យនឹងស្ថិតនៅក្នុងរយៈពេល 2a យ៉ាងហោចណាស់ 75% នៃការសាកល្បង។ ចាប់ពី - យ៉ាងហោចណាស់ 99% ។ ទាំងនេះគឺជាករណីនៃវិសមភាពរបស់ Chebyshev ។

ប្រសិនបើអ្នកបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរបីគ្រាប់ម្តង នោះផលបូកសរុបនៃពិន្ទុនៅក្នុងការបោះទាំងអស់នឹងតែងតែនៅជិត ហេតុផលសម្រាប់នេះគឺដូចខាងក្រោម: ភាពខុសគ្នានៃការបោះដោយឯករាជ្យនឹងមានភាពខុសប្លែកគ្នាក្នុងន័យថាគម្លាតស្តង់ដារនៃអ្វីគ្រប់យ៉ាង។

ដូច្នេះពីវិសមភាពរបស់ Chebyshev យើងទទួលបានថាផលបូកនៃពិន្ទុនឹងស្ថិតនៅចន្លោះ

យ៉ាងហោចណាស់សម្រាប់ 99% នៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រឹមត្រូវ។ ឧទាហរណ៍ លទ្ធផលនៃការបោះចោលមួយលានដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេច្រើនជាង 99% នឹងមានចន្លោះពី 6.976 លានទៅ 7.024 លាន។

ជាទូទៅ អនុញ្ញាតឱ្យ X ជាអថេរចៃដន្យណាមួយនៅលើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ Π មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាកំណត់ និងគម្លាតស្តង់ដារកំណត់ a ។ បន្ទាប់មកយើងអាចណែនាំទៅពិចារណាលើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ Pn ដែលជាព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលជា -លំដាប់ ដែលនីមួយៗ និងប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ជា

ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងកំណត់អថេរចៃដន្យដោយរូបមន្ត

បន្ទាប់មកតម្លៃ

នឹងជាផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ ដែលត្រូវនឹងដំណើរការនៃការបូកសរុបការសម្រេចឯករាជ្យនៃតម្លៃ X នៅលើ P. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងស្មើនឹង និងគម្លាតស្តង់ដារ - ; ដូច្នេះតម្លៃមធ្យមនៃការសម្រេចបាន

នឹងមានចាប់ពីយ៉ាងហោចណាស់ 99% នៃរយៈពេល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសមួយធំល្មម មធ្យមនព្វន្ធនៃការធ្វើតេស្តឯករាជ្យនឹងតែងតែមានភាពជិតស្និទ្ធនឹងតម្លៃដែលរំពឹងទុក (នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ទ្រឹស្តីបទដែលខ្លាំងជាងនេះត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ ហៅថាច្បាប់ខ្លាំងនៃចំនួនធំ ប៉ុន្តែ សម្រាប់ពួកយើងនូវវិសមភាពរបស់ Chebyshev ដែលយើងទើបតែដកចេញ។ )

ពេលខ្លះយើងមិនដឹងពីលក្ខណៈនៃចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេទេ ប៉ុន្តែយើងត្រូវប៉ាន់ប្រមាណការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរ X ដោយប្រើការសង្កេតម្តងហើយម្តងទៀតនៃតម្លៃរបស់វា។ (ឧទាហរណ៍ យើងអាចចង់បានសីតុណ្ហភាពថ្ងៃត្រង់ខែមករាជាមធ្យមនៅសាន់ហ្វ្រាន់ស៊ីស្កូ ឬយើងប្រហែលជាចង់ដឹងពីអាយុសង្ឃឹមរស់ ដែលភ្នាក់ងារធានារ៉ាប់រងគួរតែផ្អែកលើការគណនារបស់ពួកគេ។) ប្រសិនបើយើងមានការសង្កេតជាក់ស្តែងដោយឯករាជ្យ យើងអាចសន្មត់ថា ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាពិតគឺប្រហាក់ប្រហែល

អ្នកក៏អាចប៉ាន់ស្មានភាពខុសប្លែកគ្នាដោយប្រើរូបមន្តផងដែរ។

ក្រឡេកមើលរូបមន្តនេះ អ្នកប្រហែលជាគិតថាមានកំហុសវាយអក្សរនៅក្នុងវា។ វាហាក់ដូចជាថាវាគួរតែនៅទីនោះដូចនៅក្នុង (8.19) ចាប់តាំងពីតម្លៃពិតនៃការបែកខ្ញែកត្រូវបានកំណត់នៅក្នុង (8.15) តាមរយៈតម្លៃរំពឹងទុក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការជំនួសនៅទីនេះដោយអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណប្រសើរជាងមុន ព្រោះវាធ្វើតាមនិយមន័យ (8.20) ដែល

នេះជាភស្តុតាង៖

(នៅក្នុងការគណនានេះ យើងពឹងផ្អែកលើឯករាជ្យភាពនៃការសង្កេតនៅពេលយើងជំនួសដោយ )

នៅក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីវាយតម្លៃលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ជាមួយអថេរ X ចៃដន្យ ជាធម្មតាគេគណនាមធ្យមភាគជាក់ស្តែង និងគម្លាតស្តង់ដារជាក់ស្តែង ហើយបន្ទាប់មកសរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់នេះជាឧទាហរណ៍ លទ្ធផលនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគូ។ សន្មតថាត្រឹមត្រូវ។