បន្ទាត់កម្លាំងនៃវាលអគ្គិសនីគឺជាបន្ទាត់ដែលតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗស្របគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ E. តាមទិសដៅរបស់ពួកគេ មនុស្សម្នាក់អាចវិនិច្ឆ័យកន្លែងដែលបន្ទុកវិជ្ជមាន (+) និងអវិជ្ជមាន (–) ដែលបង្កើតវាលអគ្គិសនីស្ថិតនៅ។ ដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់ (ចំនួនបន្ទាត់ដែលទម្លុះផ្ទៃឯកតាកាត់កែងទៅពួកវា) គឺជាលេខស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ E ។
បន្ទាត់កម្លាំងវាលអគ្គិសនី ខ្សែកម្លាំងវាលអគ្គិសនីមិនត្រូវបានបិទទេ ពួកគេមានការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់។ យើងអាចនិយាយបានថាវាលអគ្គីសនីមាន "ប្រភព" និង "លិច" នៃខ្សែវាល។ បន្ទាត់នៃកម្លាំងចាប់ផ្តើមនៅលើបន្ទុកវិជ្ជមាន (+) (រូបភាព ក) និងបញ្ចប់ដោយបន្ទុកអវិជ្ជមាន (–) (រូបភាព ខ) ។ បន្ទាត់វាលមិនប្រសព្វគ្នាទេ។
លំហូរនៃកម្លាំងវាលអគ្គិសនីវ៉ិចទ័រតំបន់បំពាន dS ។ លំហូរនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងនៃវាលអគ្គីសនីតាមរយៈគេហទំព័រ dS: គឺជាវ៉ិចទ័រ pseudo-vector ទំហំដែលស្មើនឹង dS ហើយទិសដៅស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ n ទៅកាន់គេហទំព័រ dS ។ E = constdФ E = N - ចំនួនបន្ទាត់នៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងវាលអគ្គិសនី E ជ្រៀតចូលតំបន់ dS ។
លំហូរនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងនៃវាលអគ្គិសនី ប្រសិនបើផ្ទៃមិនរាបស្មើ ហើយវាលមិនដូចគ្នាទេនោះ ធាតុតូចមួយ dS ត្រូវបានកំណត់ ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថារាបស្មើ ហើយវាលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាឯកសណ្ឋាន។ លំហូរនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងនៃវាលអគ្គិសនី: សញ្ញានៃលំហូរស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃការចោទប្រកាន់។
ច្បាប់របស់ Gauss (ទ្រឹស្តីបទ) ក្នុងទម្រង់អាំងតេក្រាល។ មុំរឹងគឺជាផ្នែកមួយនៃលំហដែលកំណត់ដោយផ្ទៃរាងសាជី។ រង្វាស់នៃមុំរឹងគឺជាសមាមាត្រនៃផ្ទៃ S នៃស្វ៊ែរដែលកាត់ចេញពីផ្ទៃនៃស្វ៊ែរដោយផ្ទៃរាងសាជីទៅការ៉េនៃកាំ R នៃស្វ៊ែរ។ 1 steradian គឺជាមុំរឹងដែលមានចំនុចកំពូលនៅចំកណ្តាលនៃស្វ៊ែរ ដោយកាត់ចេញពីផ្ទៃលើផ្ទៃនៃស្វ៊ែរ ស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលមានប្រវែងចំហៀងស្មើនឹងកាំនៃស្វ៊ែរនេះ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss ក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាល វាលអគ្គីសនីត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបន្ទុកចំនុច +q នៅក្នុងកន្លែងទំនេរ។ លំហូរ d Ф E ដែលបង្កើតឡើងដោយការចោទប្រកាន់នេះតាមរយៈតំបន់គ្មានកំណត់ dS ដែលជាកាំនៃវ៉ិចទ័រ r ។ dS n - ការព្យាករណ៍នៃផ្ទៃ dS លើយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ r ។ n គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃធម្មតាវិជ្ជមានទៅផ្ទៃ dS ។
ប្រសិនបើផ្ទៃដែលបំពានជុំវិញការចោទប្រកាន់ k- បន្ទាប់មកយោងទៅតាមគោលការណ៍ superposition: ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss: សម្រាប់វាលអគ្គីសនីនៅក្នុងកន្លែងទំនេរ លំហូរនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងវាលអគ្គិសនីតាមរយៈផ្ទៃបិទជិតដោយបំពានគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃការចោទប្រកាន់ដែលមាន។ នៅខាងក្នុងផ្ទៃនេះបែងចែកដោយε 0 ។
វិធីសាស្រ្តនៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss ដើម្បីគណនាវាលអគ្គិសនីគឺជាវិធីសាស្រ្តទីពីរនៃការកំណត់កម្លាំងវាលអគ្គិសនី ទ្រឹស្តីបទរបស់ E. Gauss ត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកវាលដែលបង្កើតដោយសាកសពជាមួយនឹងស៊ីមេទ្រីធរណីមាត្រ។ បន្ទាប់មកសមីការវ៉ិចទ័រត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាមាត្រដ្ឋានមួយ។
វិធីសាស្រ្តនៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Gauss ដើម្បីគណនាវាលអគ្គិសនីគឺជាវិធីសាស្រ្តទីពីរនៃការកំណត់កម្លាំងវាលអគ្គិសនី E 1) លំហូរ FE នៃវ៉ិចទ័រ E ត្រូវបានរកឃើញដោយកំណត់លំហូរ។ 2) លំហូរ F E ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Gauss ។ 3) ពីលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្មើគ្នានៃលំហូរវ៉ិចទ័រ E ត្រូវបានរកឃើញ។
ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss 1. វាលនៃខ្សែស្រលាយដែលមានបន្ទុកឯកសណ្ឋានគ្មានកំណត់ (ស៊ីឡាំង) ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេលីនេអ៊ែរτ (τ = dq/dl, C/m) ។ វាលគឺស៊ីមេទ្រីដែលដឹកនាំកាត់កែងទៅនឹងខ្សែស្រឡាយហើយសម្រាប់ហេតុផលស៊ីមេទ្រីនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃស៊ីឡាំង (ខ្សែស្រឡាយ) មានតម្លៃដូចគ្នា។
2. វាលនៃផ្នែកដែលមានបន្ទុកស្មើៗគ្នានៃកាំ R. វាលគឺស៊ីមេទ្រី បន្ទាត់នៃអាំងតង់ស៊ីតេ E នៃវាលអគ្គិសនីត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅរ៉ាឌីកាល់ ហើយនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីចំណុច O វាលមានតម្លៃដូចគ្នា។ ឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតា n ទៅស្វ៊ែរនៃកាំ r ស្របនឹងវ៉ិចទ័រអាំងតង់ស៊ីតេ E. ចូរយើងចាប់យកស្វ៊ែរដែលមានបន្ទុក (+q) ដែលមានផ្ទៃស្វ៊ែរជំនួយនៃកាំ r ។
2.Field of a uniformly charged sphere when the field of a sphere is like the field of a point charge. នៅ r 
(σ = dq/dS, C/m2) ។ វាលគឺស៊ីមេទ្រី វ៉ិចទ័រ E កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលមានដង់ស៊ីតេបន្ទុកផ្ទៃ +σ និងមានតម្លៃដូចគ្នានៅចម្ងាយដូចគ្នាពីយន្តហោះ។ 3. វាលនៃយន្តហោះគ្មានកំណត់ដែលគិតថ្លៃស្មើភាពគ្នាជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេបន្ទុកផ្ទៃ + σ ជាផ្ទៃបិទជិត យើងយកស៊ីឡាំងមួយ មូលដ្ឋានដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះ ហើយដែលបែងចែកដោយយន្តហោះចោទប្រកាន់ជាពីរពាក់កណ្តាលស្មើគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Earnshaw ប្រព័ន្ធនៃបន្ទុកអគ្គីសនីនៅស្ថានីមិនអាចស្ថិតក្នុងលំនឹងថេរបានទេ។ ការចោទប្រកាន់ + q នឹងមានលំនឹងប្រសិនបើនៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីចម្ងាយ dr កម្លាំង F ធ្វើសកម្មភាពពីការចោទប្រកាន់ផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រៅផ្ទៃ S ត្រឡប់វាទៅទីតាំងដើមរបស់វា។ មានប្រព័ន្ធគិតថ្លៃ q 1, q 2, ... q n ។ មួយនៃការចោទប្រកាន់ q នៃប្រព័ន្ធនឹងត្រូវបានគ្របដណ្តប់ដោយផ្ទៃបិទជិត S. n គឺជាឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅផ្ទៃ S ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Earnshaw កម្លាំង F គឺដោយសារតែវាល E ដែលបង្កើតឡើងដោយការចោទប្រកាន់ផ្សេងទៀតទាំងអស់។ វាលនៃការចោទប្រកាន់ខាងក្រៅទាំងអស់ E ត្រូវតែត្រូវបានដឹកនាំផ្ទុយទៅនឹងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅ dr ពោលគឺពីផ្ទៃ S ទៅកណ្តាល។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss ប្រសិនបើការចោទប្រកាន់មិនត្រូវបានគ្របដណ្ដប់ដោយផ្ទៃបិទជិតនោះ Ф E = 0. ភាពផ្ទុយគ្នាបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Earnshaw ។
0 ហូរចេញច្រើនជាងលំហូរចូល។ Ф 0 ហូរចេញច្រើនជាងវាហូរចូល។ F 33ច្បាប់របស់ Gauss ក្នុងទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល Vector divergence គឺជាចំនួនបន្ទាត់វាលក្នុងមួយឯកតាបរិមាណ ឬដង់ស៊ីតេលំហូរនៃបន្ទាត់វាល។ ឧទាហរណ៍៖ ទឹកហូរចេញ និងហូរចេញពីបរិមាណមួយ។ Ф> 0 ហូរចេញច្រើនជាងលំហូរចូល។ Ф 0 ហូរចេញច្រើនជាងវាហូរចូល។ Ф 0 ហូរចេញច្រើនជាងវាហូរចូល។ Ф 0 ហូរចេញច្រើនជាងវាហូរចូល។ Ф 0 ហូរចេញច្រើនជាងវាហូរចូល។ Ф title="ច្បាប់របស់ Gauss ក្នុងទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល វ៉ិចទ័រ divergence គឺជាចំនួនបន្ទាត់នៃកម្លាំងក្នុងមួយឯកតាបរិមាណ ឬដង់ស៊ីតេលំហូរនៃខ្សែថាមពល។ ឧទាហរណ៍៖ ទឹកហូរចេញ និងហូរចេញពីបរិមាណមួយ។ Ф > 0 ច្រើនទៀត ហូរចេញជាងលំហូរចូល។ Ф
ការតំណាងឱ្យវាលអេឡិចត្រូស្ទិចដោយប្រើវ៉ិចទ័រអាំងតង់ស៊ីតេនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នានៃវាលគឺមានភាពរអាក់រអួលណាស់ព្រោះរូបភាពប្រែទៅជាច្របូកច្របល់ខ្លាំង។ ហ្វារ៉ាដេយបានស្នើរវិធីសាស្រ្តដែលមើលឃើញកាន់តែសាមញ្ញ និងងាយស្រួលជាងមុនសម្រាប់ពណ៌នាវាលអេឡិចត្រូស្ទិកដោយប្រើ បន្ទាត់ភាពតានតឹងឬ ខ្សែអំណាច. ខ្សែអំណាចត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងដែលតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងវាល (រូបភាព 1.2) ។ ទិសដៅនៃបន្ទាត់វាលស្របគ្នានឹងទិសដៅ។ បន្ទាត់នៃកម្លាំងចាប់ផ្តើមនៅបន្ទុកវិជ្ជមាន និងបញ្ចប់ដោយការចោទប្រកាន់អវិជ្ជមាន។ បន្ទាត់វាលមិនប្រសព្វគ្នាទេ ព្រោះនៅចំនុចនីមួយៗនៃវាល វ៉ិចទ័រមានទិសដៅតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ វាលអេឡិចត្រូស្ទិកត្រូវបានចាត់ទុកថាជាឯកសណ្ឋាន ប្រសិនបើអាំងតង់ស៊ីតេនៅគ្រប់ចំណុចរបស់វាដូចគ្នាទាំងក្នុងទំហំ និងទិសដៅ។ បន្ទាត់នៃកម្លាំងនៃវាលបែបនេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រអាំងតង់ស៊ីតេ។
បន្ទាត់វាលនៃកម្លាំងនៃការគិតថ្លៃចំណុចគឺជាបន្ទាត់ត្រង់រ៉ាឌីកាល់ដែលផុសចេញពីការចោទប្រកាន់ ហើយនឹងទៅជាគ្មានដែនកំណត់ប្រសិនបើវាជាវិជ្ជមាន (រូបភាព 1.3a) ។ ប្រសិនបើការចោទប្រកាន់គឺអវិជ្ជមាន ទិសដៅនៃបន្ទាត់វាលប្រែទៅជាផ្ទុយគ្នា: ពួកគេចាប់ផ្តើមនៅភាពគ្មានកំណត់ ហើយបញ្ចប់ដោយបន្ទុក -q (រូបភាព 1.3b) ។ វាលនៃការគិតថ្លៃចំណុចមានស៊ីមេទ្រីកណ្តាល។
រូប ១.៣. បន្ទាត់ភាពតានតឹងនៃការគិតថ្លៃចំណុច: a - វិជ្ជមាន, ខ - អវិជ្ជមាន។
រូបភាពទី 1.3 បង្ហាញពីផ្នែករាបស្មើនៃវាលអេឡិចត្រូស្ទិកនៃប្រព័ន្ធដែលមានបន្ទុកពីរដែលមានទំហំស្មើគ្នា: ក) ការចោទប្រកាន់នៃសញ្ញាដូចគ្នា ខ) ការចោទប្រកាន់នៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា។1. 5. គោលការណ៍នៃ superposition នៃវាលអេឡិចត្រូស្តាត។
ភារកិច្ចចម្បងនៃអេឡិចត្រូស្ទិកគឺដើម្បីកំណត់រ៉ិចទ័រ និងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រអាំងតង់ស៊ីតេនៅចំណុចនីមួយៗនៃវាល ដែលបង្កើតឡើងដោយប្រព័ន្ធនៃការគិតថ្លៃចំណុចស្ថានី ឬដោយផ្ទៃបន្ទុកនៃរូបរាងបំពាន។ ចូរយើងពិចារណាករណីទី 1 នៅពេលដែលវាលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រព័ន្ធនៃការចោទប្រកាន់ q 1, q 2, ... , q n ។ ប្រសិនបើបន្ទុកសាកល្បង q 0 ត្រូវបានដាក់នៅចំណុចណាមួយនៅក្នុងវាលនេះ នោះកងកម្លាំង Coulomb នឹងធ្វើសកម្មភាពលើវាពីការចោទប្រកាន់ q 1, q 2, ..., q n ។ យោងតាមគោលការណ៍ឯករាជ្យនៃសកម្មភាពនៃកម្លាំងដែលត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងមេកានិច កម្លាំងលទ្ធផលគឺស្មើនឹងផលបូកវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេ
.
ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់កម្លាំងនៃវាលអេឡិចត្រូស្តាត ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពអាចត្រូវបានសរសេរថា: តើកម្លាំងនៃវាលលទ្ធផលដែលបង្កើតឡើងដោយប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃបន្ទុកនៅចំណុចណាដែលបន្ទុកតេស្ត 0 ស្ថិតនៅ។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពអាចត្រូវបានសរសេរតាមនោះ។ 
តើកម្លាំងវាលដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទុកមួយ q i នៅឯណា។ សមភាពនឹងមានទម្រង់ 
. កាត់បន្ថយដោយ q 0 យើងទទួលបាន .
កម្លាំងវាលអេឡិចត្រូស្ទិចនៃប្រព័ន្ធនៃការគិតថ្លៃចំណុចគឺស្មើនឹងផលបូកវ៉ិចទ័រនៃកម្លាំងវាលដែលបង្កើតឡើងដោយការចោទប្រកាន់នីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។នេះគឺជា គោលការណ៍ឯករាជ្យនៃសកម្មភាពនៃវាលអេឡិចត្រូត ឬ គោលការណ៍ superposition (ត្រួតលើគ្នា) វាល .
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រកាំដែលដកចេញពីចំណុចបន្ទុក q i ទៅចំណុចវាលដែលកំពុងសិក្សា។ កម្លាំងវាលនៅក្នុងវាពីបន្ទុក q i គឺស្មើនឹង 
. បន្ទាប់មកភាពតានតឹងលទ្ធផលដែលបង្កើតឡើងដោយប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃការចោទប្រកាន់គឺស្មើនឹង 
. រូបមន្តលទ្ធផលក៏អាចអនុវត្តបានសម្រាប់ការគណនាវាលអេឡិចត្រូស្តាតនៃសាកសពសាកនៃរូបរាងតាមអំពើចិត្ត ចាប់តាំងពីរាងកាយណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែកតូចបំផុត ដែលផ្នែកនីមួយៗអាចចាត់ទុកថាជាបន្ទុក q i ។ បន្ទាប់មកការគណនានៅចំណុចណាមួយក្នុងលំហនឹងមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងខាងលើ។
ដោយដឹងពីវ៉ិចទ័រនៃកម្លាំងវាលអេឡិចត្រូស្ទិកនៅចំនុចនីមួយៗរបស់វា អ្នកអាចតំណាងឱ្យវាលនេះដោយមើលឃើញដោយប្រើបន្ទាត់កម្លាំងវាល (បន្ទាត់វ៉ិចទ័រ E →) ។ បន្ទាត់ភាពតានតឹងត្រូវបានគូរដូច្នេះតង់សង់ទៅពួកវានៅចំណុចនីមួយៗស្របគ្នាជាមួយនឹងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រភាពតានតឹង E → (រូបភាពទី 4, ក) ។
ចំនួនបន្ទាត់ដែលទម្លុះផ្ទៃឯកតា dS កាត់កែងទៅនឹងពួកវាត្រូវបានគូរសមាមាត្រទៅនឹងទំហំនៃវ៉ិចទ័រ E → (រូបភាពទី 4, ខ) ។ បន្ទាត់វាលត្រូវបានកំណត់ទិសដៅស្របនឹងទិសនៃវ៉ិចទ័រ E → ។ រូបភាពលទ្ធផលនៃការបែងចែកខ្សែភាពតានតឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងវិនិច្ឆ័យការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃវាលអគ្គិសនីដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចំណុចផ្សេងគ្នារបស់វា។ បន្ទាត់នៃកម្លាំងចាប់ផ្តើមនៅបន្ទុកវិជ្ជមាន និងបញ្ចប់ដោយការចោទប្រកាន់អវិជ្ជមាន។ នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាពទី 5 បង្ហាញពីបន្ទាត់ភាពតានតឹងនៃការគិតថ្លៃចំណុច (រូបភាព 5, a, b); ប្រព័ន្ធនៃការចោទប្រកាន់ផ្ទុយគ្នាពីរ (រូបទី 5, មួយ ខ រូបភពទី 4 រូបភពទី 5 គ) គឺជាឧទាហរណ៍នៃវាលអេឡិចត្រូស្ទិកដែលមិនស្មើគ្នា និងយន្តហោះដែលមានបន្ទុកផ្ទុយគ្នាពីរស្របគ្នា (រូបភាពទី 5, ឃ) គឺជាឧទាហរណ៍នៃវាលអគ្គិសនីដូចគ្នា .
ទ្រឹស្តីបទ Ostrogradsky-Gauss និងកម្មវិធីរបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំបរិមាណរូបវន្តថ្មីដែលកំណត់លក្ខណៈនៃវាលអគ្គិសនី - លំហូរវ៉ិចទ័រភាពតានតឹង វាលអគ្គិសនី។ សូមឲ្យមានផ្ទៃតូចគួរសមក្នុងចន្លោះដែលវាលអគ្គិសនីត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលក្នុងនោះអាំងតង់ស៊ីតេ ពោលគឺវាលអេឡិចត្រូនិកមានឯកសណ្ឋាន។ ផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រដោយតំបន់ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងធម្មតាទៅផ្ទៃ ហៅ លំហូរបឋមនៃវ៉ិចទ័រភាពតានតឹង តាមរយៈវេទិកា (រូបភាព 10.7):
តើការព្យាករវាលនៅឯណា ទៅទិសដៅធម្មតា។ .
ឥឡូវនេះ សូមយើងពិចារណាលើផ្ទៃបិទដោយបំពាន។ ក្នុងករណីដែលផ្ទៃបិទជិតត្រូវជ្រើសរើសជានិច្ច ខាងក្រៅធម្មតា។ ទៅលើផ្ទៃ ពោលគឺ ទិសដៅធម្មតាទៅខាងក្រៅនៃតំបន់។
ប្រសិនបើយើងបែងចែកផ្ទៃនេះទៅជាតំបន់តូចៗ កំណត់លំហូរបឋមនៃវាលតាមរយៈតំបន់ទាំងនេះ ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវា នោះជាលទ្ធផលយើងទទួលបានលំហូរ វ៉ិចទ័រភាពតានតឹង តាមរយៈផ្ទៃបិទជិត (រូបភាព 10.8):
. (10.9)
 |
| អង្ករ។ ១០.៧ |
 អង្ករ។ ១០.៨ |
ទ្រឹស្តីបទ Ostrogradsky-Gaussរដ្ឋ៖ លំហូរនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងនៃវាលអេឡិចត្រូស្ទិកតាមរយៈផ្ទៃបិទជិតមួយគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងផលបូកពិជគណិតនៃការគិតថ្លៃឥតគិតថ្លៃដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងផ្ទៃនេះ៖
, (10.10)
កន្លែងដែលជាផលបូកពិជគណិតនៃការគិតថ្លៃឥតគិតថ្លៃដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងផ្ទៃ គឺជាដង់ស៊ីតេបរិមាណនៃការគិតថ្លៃឥតគិតថ្លៃដែលកាន់កាប់បរិមាណ។
ពីទ្រឹស្តីបទ Ostrogradsky-Gauss (10.10), (10.12) វាដូចខាងក្រោមថាលំហូរមិនអាស្រ័យលើរូបរាងនៃផ្ទៃបិទ (ស្វ៊ែរ, ស៊ីឡាំង, គូប។ ល។ ) ប៉ុន្តែត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទុកសរុបនៅខាងក្នុងផ្ទៃ .
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Ostrogradsky-Gauss ក្នុងករណីខ្លះ គេអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលនូវកម្លាំងវាលអគ្គិសនីនៃតួដែលគិតថ្លៃ ប្រសិនបើការចែកចាយបន្ទុកដែលបានផ្តល់ឱ្យមានភាពស៊ីមេទ្រីណាមួយ។
ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Ostrogradsky-Gauss. ចូរយើងពិចារណាពីបញ្ហានៃការគណនាវាលនៃប្រហោងដែលមានជញ្ជាំងស្តើង ស៊ីឡាំងវែងសាកស្មើគ្នានៃកាំ (ខ្សែស្រលាយសាកគ្មានកំណត់)។បញ្ហានេះមានស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស។ សម្រាប់ហេតុផលស៊ីមេទ្រី វាលអគ្គីសនីត្រូវតែតម្រង់តាមកាំ។ ចូរយើងជ្រើសរើសផ្ទៃបិទក្នុងទម្រង់ជាស៊ីឡាំងនៃកាំ និងប្រវែងដែលបិទនៅចុងទាំងសងខាង (រូបភាព ១០.៩)។
ក ខ
) បន្ទាត់តានតឹងត្រូវបានគូរដូច្នេះតង់សង់ទៅពួកគេនៅចំណុចនីមួយៗស្របនឹងទិសនៃវ៉ិចទ័រតានតឹង 
(រូបភាព 1.4, ក).ចំនួនបន្ទាត់ដែលទម្លុះផ្ទៃឯកតា dS កាត់កែងទៅនឹងពួកវាត្រូវបានគូរសមាមាត្រទៅនឹងម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ 
(រូបភាព 1.4, ខ).
បន្ទាត់នៃកម្លាំងត្រូវបានកំណត់ទិសដៅស្របនឹងទិសនៃវ៉ិចទ័រ 
. រូបភាពលទ្ធផលនៃការបែងចែកខ្សែភាពតានតឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងវិនិច្ឆ័យការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃវាលអគ្គិសនីដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចំណុចផ្សេងគ្នារបស់វា។ បន្ទាត់នៃកម្លាំងចាប់ផ្តើមនៅបន្ទុកវិជ្ជមាន និងបញ្ចប់ដោយការចោទប្រកាន់អវិជ្ជមាន។
នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាព 1.5 បង្ហាញពីបន្ទាត់ភាពតានតឹងនៃការគិតថ្លៃចំណុច (រូបភាព 1.5, ក,
ខ); ប្រព័ន្ធនៃការចោទប្រកាន់ពីរផ្ទុយគ្នា (រូបភាព 1.5, វ) គឺជាឧទាហរណ៍នៃវាលអេឡិចត្រូស្ទិកមិនស្មើគ្នា និងយន្តហោះដែលគិតថ្លៃផ្ទុយគ្នាពីរ (រូបភាព 1.5, ជី) គឺជាឧទាហរណ៍នៃវាលអគ្គីសនីឯកសណ្ឋាន។
១.៥. ការចែកចាយបន្ទុក
ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីសម្រួលការគណនាគណិតវិទ្យា វាជាការងាយស្រួលក្នុងការជំនួសការចែកចាយពិតនៃការគិតថ្លៃដាច់ពីគ្នាជាមួយនឹងការចែកចាយបន្តប្រឌិត។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរទៅការចែកចាយបន្តនៃបន្ទុក គោលគំនិតនៃដង់ស៊ីតេបន្ទុកត្រូវបានប្រើ - លីនេអ៊ែរ ផ្ទៃ និងបរិមាណ ឧ។
(1.12)
ដែល dq គឺជាបន្ទុកចែកចាយទៅតាមធាតុនៃប្រវែង 
, ធាតុផ្ទៃ dS និងធាតុកម្រិតសំឡេង dV ។
ដោយគិតពីការចែកចាយទាំងនេះ រូបមន្ត (1.11) អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើការគិតថ្លៃត្រូវបានចែកចាយលើបរិមាណ នោះជំនួសឱ្យ q i អ្នកត្រូវប្រើ dq = dV ហើយជំនួសនិមិត្តសញ្ញាបូកជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល បន្ទាប់មក
.
(1.13)
១.៦. ឌីប៉ូលអគ្គិសនី
ដើម្បីពន្យល់ពីបាតុភូតដែលទាក់ទងនឹងការចោទប្រកាន់ក្នុងរូបវិទ្យា គោលគំនិតត្រូវបានប្រើ dipole អគ្គិសនី.
ប្រព័ន្ធនៃការចោទប្រកាន់ចំណុចផ្ទុយគ្នាដែលមានទំហំស្មើគ្នាពីរ ដែលចម្ងាយរវាងដែលតិចជាងចម្ងាយទៅចំណុចនៃចន្លោះដែលកំពុងសិក្សា ត្រូវបានគេហៅថា dipole អគ្គិសនី។យោងតាមនិយមន័យនៃ dipole មួយ +q=q= q ។
ដឹកនាំពីបន្ទុកអវិជ្ជមានទៅវិជ្ជមាន។ លក្ខណៈសំខាន់នៃឌីប៉ូលគឺ ពេល dipole អគ្គិសនី
= q 
.
(1.14)ដោយតម្លៃដាច់ខាត
p = q 
.
(1.15)
នៅក្នុង SI, ពេលឌីប៉ូលអគ្គិសនីត្រូវបានវាស់ជា coulombs ដងក្នុងមួយម៉ែត្រ (C ម)
ចូរយើងគណនាសក្ដានុពល និងកម្លាំងវាលអគ្គិសនីនៃឌីប៉ូល ដោយពិចារណាថាវាជាចំណុចមួយ ប្រសិនបើ 
រ.
សក្ដានុពលនៃវាលអគ្គិសនីដែលបង្កើតឡើងដោយប្រព័ន្ធនៃការគិតថ្លៃចំណុចនៅចំណុចបំពានដែលកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រកាំ 
យើងសរសេរវាជាទម្រង់៖
ដែល r 1 r 2 r 2 , r 1 r 2 r = 
, ដោយសារតែ 
r; មុំរវាងវ៉ិចទ័រកាំ 
និង
(រូបភាព 1.6) .
ដោយគិតពីរឿងនេះយើងទទួលបាន
.
(1.16)
ដោយប្រើរូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងជម្រាលសក្តានុពលទៅនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ យើងនឹងរកឃើញអាំងតង់ស៊ីតេដែលបង្កើតឡើងដោយវាលអគ្គិសនីនៃឌីប៉ូល។ តោះពង្រីកវ៉ិចទ័រ 
អគ្គិសនី
វាល dipole ទៅជាសមាសភាគកាត់កែងគ្នាពីរ, i.e. 
(រូបភាព 1. 6) ។
ទីមួយនៃពួកវាត្រូវបានកំណត់ដោយចលនានៃចំណុចដែលកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រកាំ 
(សម្រាប់តម្លៃថេរនៃមុំ) ឧ. យើងរកឃើញតម្លៃនៃ E ដោយភាពខុសគ្នា (1.81) ទាក់ទងទៅនឹង r, i.e.
.
(1.17)
សមាសភាគទីពីរត្រូវបានកំណត់ដោយចលនានៃចំណុចដែលទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរមុំ (សម្រាប់ r ថេរ) ពោលគឺ E នឹងត្រូវបានរកឃើញដោយភាពខុសគ្នា (1.16) ទាក់ទងនឹង : 
,
(1.18)
កន្លែងណា 
, ឃ 
= rd ។
ភាពតានតឹងលទ្ធផល E 2 = E 2 + E 2 ឬបន្ទាប់ពីការជំនួស 
.
(1.19)
មតិយោបល់: នៅ = 90 o 
,
(1.20)
ឧ. ភាពតានតឹងនៅចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃ dipole (i.e. O) និងកាត់កែងទៅអ័ក្សនៃ dipole នេះ។
នៅ = 0 o 
,
(1.21)
i.e. នៅចំណុចមួយនៅលើការបន្តនៃបន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នាជាមួយនឹងអ័ក្សនៃ dipole នេះ។
ការវិភាគនៃរូបមន្ត (1.19), (1.20), (1.21) បង្ហាញថាកម្លាំងវាលអគ្គិសនីនៃឌីប៉ូលមានការថយចុះជាមួយនឹងចម្ងាយក្នុងសមាមាត្របញ្ច្រាសទៅ r 3 ពោលគឺលឿនជាងការគិតថ្លៃចំណុច (សមាមាត្របញ្ច្រាសទៅ r 2) ។
មានមធ្យោបាយងាយស្រួលណាស់ក្នុងការពិពណ៌នាអំពីវាលអគ្គិសនីដោយមើលឃើញ។ វិធីសាស្រ្តនេះចុះមកក្នុងការសាងសង់បណ្តាញខ្សែ ដោយមានជំនួយពីទំហំ និងទិសដៅនៃកម្លាំងវាលនៅចំណុចផ្សេងៗក្នុងលំហ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅក្នុងវាលអគ្គីសនី (រូបភាពទី 31, ក) ហើយគូរផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់តូចមួយពីវាដើម្បីឱ្យទិសដៅរបស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងទិសដៅនៃវាលនៅចំណុច។ បន្ទាប់មក ពីចំណុចខ្លះនៃផ្នែកនេះ យើងគូរផ្នែកមួយ ទិសដៅដែលស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃវាលនៅចំណុច។
អង្ករ។ 31. ក) បន្ទាត់ខូចដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃវាលត្រឹមតែបួនចំណុច ខ) បន្ទាត់ខូចដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃវាលនៅប្រាំមួយចំណុច។ គ) បន្ទាត់បង្ហាញទិសដៅនៃវាលនៅគ្រប់ចំណុច។ បន្ទាត់ដាច់ ៗ បង្ហាញទិសដៅនៃវាលនៅចំណុច
ខ្សែដែលខូចដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះមិនកំណត់ទិសដៅនៃវាលបានត្រឹមត្រូវនៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នោះទេ។ ជាការពិត ផ្នែកត្រូវបានដឹកនាំយ៉ាងជាក់លាក់នៅតាមបណ្តោយវាលតែនៅចំណុចមួយ (ដោយការសាងសង់); ប៉ុន្តែនៅចំណុចផ្សេងទៀតនៅលើផ្នែកដូចគ្នា វាលអាចមានទិសដៅខុសគ្នាបន្តិច។ ទោះជាយ៉ាងនេះក្តី ការសាងសង់នេះនឹងបង្ហាញទិសដៅវាលបានកាន់តែត្រឹមត្រូវ នៅពេលដែលចំនុចដែលបានជ្រើសរើសនៅជិតគ្នាទៅវិញទៅមក។ នៅក្នុងរូបភព។ នៅក្នុងរូបភាពទី 31b ទិសដៅនៃវាលត្រូវបានបង្ហាញមិនមែនសម្រាប់បួនទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ប្រាំមួយចំណុច ហើយរូបភាពគឺត្រឹមត្រូវជាង។ រូបភាពនៃទិសដៅវាលនឹងមានភាពត្រឹមត្រូវនៅពេលដែលចំនុចបំបែកផ្លាស់ទីទៅជិតគ្នាដោយគ្មានកំណត់។ ក្នុងករណីនេះខ្សែដែលខូចប្រែទៅជាខ្សែកោងរលោងមួយចំនួន (រូបភាព 31, គ) ។ ទិសដៅនៃតង់សង់ទៅបន្ទាត់នេះនៅចំណុចនីមួយៗស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃកម្លាំងវាលនៅចំណុចនេះ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែវាលអគ្គិសនី។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ណាមួយដែលគូរដោយបញ្ញានៅក្នុងវាលមួយ ទិសដៅនៃតង់សង់ដែលនៅចំណុចណាមួយស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃកម្លាំងវាលនៅចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់វាលអគ្គិសនី។
ក្នុងចំណោមទិសដៅផ្ទុយទាំងពីរដែលកំណត់ដោយតង់សង់ យើងនឹងតែងតែយល់ព្រមជ្រើសរើសទិសដៅដែលស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃកម្លាំងដែលដើរតួលើបន្ទុកវិជ្ជមាន ហើយយើងនឹងសម្គាល់ទិសដៅនេះនៅក្នុងគំនូរដោយព្រួញ។
និយាយជាទូទៅ ខ្សែវាលអគ្គីសនីគឺជាខ្សែកោង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏អាចមានបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ឧទាហរណ៍នៃវាលអគ្គីសនីដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយបន្ទាត់ត្រង់គឺជាវាលនៃបន្ទុកចំណុច ចម្ងាយពីការចោទប្រកាន់ផ្សេងទៀត (រូបភាពទី 32) និងវាលនៃបាល់ដែលមានបន្ទុកស្មើភាពគ្នា ហើយក៏នៅឆ្ងាយពីតួដែលត្រូវបានចោទប្រកាន់ផ្សេងទៀតផងដែរ (រូបភាព 33) ។
អង្ករ។ 32. បន្ទាត់វាលនៃបន្ទុកវិជ្ជមាន
អង្ករ។ 33. ខ្សែបន្ទាត់នៃបាល់ដែលមានបន្ទុកស្មើគ្នា
ដោយប្រើខ្សែវាលអគ្គិសនី អ្នកមិនត្រឹមតែអាចពណ៌នាពីទិសដៅនៃវាលប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងកំណត់លក្ខណៈម៉ូឌុលនៃកម្លាំងវាលផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាម្តងទៀតអំពីវាលនៃបន្ទុកមួយចំណុច (រូបភាពទី 34)។ បន្ទាត់នៃវាលនេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់រ៉ាឌីកាល់ដែលបង្វែរពីបន្ទុកគ្រប់ទិសទី។ ពីទីតាំងនៃការចោទប្រកាន់ដូចជាពីកណ្តាលយើងនឹងសាងសង់ជាស៊េរីនៃស្វ៊ែរ។ បន្ទាត់វាលទាំងអស់ដែលគូរដោយយើងឆ្លងកាត់ពួកវានីមួយៗ។ ដោយសារផ្ទៃនៃលំហទាំងនេះកើនឡើងតាមសមាមាត្រទៅនឹងការ៉េនៃកាំ ពោលគឺការ៉េនៃចម្ងាយទៅបន្ទុក ចំនួនបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ផ្ទៃឯកតានៃស្វ៊ែរមានការថយចុះ ដោយសារការ៉េនៃ ចម្ងាយទៅបន្ទុក។ ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងដឹងថាកម្លាំងវាលអគ្គិសនីក៏ថយចុះដែរ។ ដូច្នេះ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង យើងអាចវិនិច្ឆ័យកម្លាំងវាលដោយចំនួនបន្ទាត់វាលដែលឆ្លងកាត់តំបន់ឯកតាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ទាំងនេះ។
អង្ករ។ 34. ស្វ៊ែរដែលគូរជុំវិញបន្ទុកចំណុចវិជ្ជមាន។ ពួកគេម្នាក់ៗបង្ហាញគេហទំព័រតែមួយ
ប្រសិនបើការចោទប្រកាន់ត្រូវបានយកធំជាងពីរដង នោះកម្លាំងវាលនៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នឹងកើនឡើងដោយកត្តាមួយ។ ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចវិនិច្ឆ័យកម្លាំងវាលដោយដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់វាល យើងយល់ព្រមគូរបន្ទាត់បន្ថែមទៀតពីបន្ទុក បន្ទុកកាន់តែធំ។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តរូបភាពនេះ ដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់វាលអាចបម្រើដើម្បីពិពណ៌នាបរិមាណនៃកម្លាំងវាល។ យើងនឹងរក្សាវិធីសាស្រ្តនៃការតំណាងនេះក្នុងករណីដែលវាលមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការចោទប្រកាន់តែមួយ ប៉ុន្តែមានតួអក្សរស្មុគស្មាញជាង។
វាទៅដោយមិននិយាយថាចំនួនបន្ទាត់ដែលយើងគូរតាមរយៈផ្ទៃឯកតាដើម្បីពណ៌នាវាលនៃអាំងតង់ស៊ីតេដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺអាស្រ័យលើការបំពានរបស់យើង។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដែលនៅពេលដែលពណ៌នាផ្ទៃផ្សេងគ្នានៃវាលដូចគ្នា ឬនៅពេលពណ៌នាវាលជាច្រើនប្រៀបធៀបជាមួយគ្នានោះ ដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់ដែលបានអនុម័តសម្រាប់ពណ៌នាវាលដែលកម្លាំងស្មើនឹងការរួបរួមគួរតែត្រូវបានរក្សាទុក។
នៅក្នុងគំនូរ (ឧទាហរណ៍ក្នុងរូបទី 35) វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពណ៌នាមិនមែនជាការចែកចាយនៃបន្ទាត់វាលនៅក្នុងលំហ ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកឆ្លងកាត់នៃរូបភាពនៃការចែកចាយនេះដោយប្លង់នៃគំនូរដែលនឹងធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបាន ដើម្បីទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា "ផែនទីអគ្គិសនី" ។ ផែនទីបែបនេះផ្តល់នូវការតំណាងដែលមើលឃើញពីរបៀបដែលវាលដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានចែកចាយនៅក្នុងលំហ។ នៅកន្លែងដែលកម្លាំងវាលខ្ពស់ បន្ទាត់ត្រូវបានគូសយ៉ាងក្រាស់ កន្លែងដែលវាលខ្សោយ ដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់គឺតូច។
អង្ករ។ 35. បន្ទាត់វាលរវាងចានដែលមានបន្ទុកផ្ទុយគ្នា។ កម្លាំងវាល៖ ក) អប្បបរមា - ដង់ស៊ីតេនៃខ្សែវាលគឺតិចតួចបំផុត។ 6) មធ្យម - ដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់វាលគឺជាមធ្យម; គ) ធំបំផុត - ដង់ស៊ីតេនៃបន្ទាត់វាលគឺអតិបរមា
វាលដែលកម្លាំងនៅគ្រប់ចំណុចគឺដូចគ្នាក្នុងទំហំ និងទិសដៅត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា។ បន្ទាត់វាលដូចគ្នាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នា។ នៅក្នុងគំនូរ វាលដូចគ្នាក៏នឹងត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរីនៃបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែល និងសមមូល ដែលដង់ស៊ីតេកាន់តែរឹងមាំ វាលដែលពួកគេតំណាង (រូបភាព 35) ។
ចំណាំថាខ្សែសង្វាក់ដែលបង្កើតឡើងដោយគ្រាប់ធញ្ញជាតិនៅក្នុងការពិសោធន៍ក្នុង§ 13 មានរាងដូចបន្ទាត់វាល។ នេះគឺជាធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីគ្រាប់ធញ្ញជាតិពន្លូតនីមួយៗមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃកម្លាំងវាលនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះរូប។ លេខ 26 និង 27 គឺដូចជាផែនទីនៃខ្សែវាលអគ្គីសនីរវាងបន្ទះប៉ារ៉ាឡែល និងនៅជិតបាល់ដែលសាកពីរ។ ដោយប្រើតួនៃរាងផ្សេងៗ ដោយមានជំនួយពីការពិសោធន៍បែបនេះ គេអាចរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលនូវគំរូនៃការចែកចាយខ្សែវាលអគ្គិសនីសម្រាប់វិស័យផ្សេងៗ។