តោះធ្វើការជាមួយ សមីការការ៉េ. ទាំងនេះគឺជាសមីការពេញនិយមណាស់! នៅក្នុងទម្រង់ទូទៅបំផុតរបស់វា សមីការបួនជ្រុងមើលទៅដូចនេះ៖
ឧទាហរណ៍:
នៅទីនេះ ក =1; ខ = 3; គ = -4
នៅទីនេះ ក =2; ខ = -0,5; គ = 2,2
នៅទីនេះ ក =-3; ខ = 6; គ = -18
អញ្ចឹងអ្នកយល់...
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ?ប្រសិនបើអ្នកមានសមីការ quadratic នៅពីមុខអ្នកក្នុងទម្រង់នេះ នោះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ។ ចងចាំពាក្យវេទមន្ត រើសអើង . កម្រសិស្សវិទ្យាល័យមិនបានឮពាក្យនេះ! ឃ្លា "យើងដោះស្រាយតាមរយៈអ្នករើសអើង" ជំរុញឱ្យមានទំនុកចិត្ត និងការធានាឡើងវិញ។ ព្រោះមិនចាំបាច់រំពឹងល្បិចពីអ្នករើសអើង! វាសាមញ្ញ និងគ្មានបញ្ហាក្នុងការប្រើប្រាស់។ ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េមើលទៅដូចនេះ៖
កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញានៃឫសគឺមួយ។ រើសអើង. ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដើម្បីស្វែងរក X យើងប្រើ មានតែ a, b និង c. ទាំងនោះ។ មេគុណពីសមីការការ៉េ។ គ្រាន់តែជំនួសតម្លៃដោយប្រុងប្រយ័ត្ន a, b និង cនេះគឺជារូបមន្តដែលយើងគណនា។ ចូរជំនួស ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក! ឧទាហរណ៍សម្រាប់សមីការទីមួយ ក =1; ខ = 3; គ= -៤. នៅទីនេះយើងសរសេរវាចុះ៖
ឧទាហរណ៍ស្ទើរតែត្រូវបានដោះស្រាយ៖
អស់ហើយ។
តើករណីអ្វីខ្លះដែលអាចកើតមាននៅពេលប្រើរូបមន្តនេះ? មានតែបីករណីប៉ុណ្ណោះ។
1. អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាឫសអាចត្រូវបានស្រង់ចេញពីវា។ ថាតើឫសត្រូវបានស្រង់ចេញបានល្អឬមិនល្អគឺជាសំណួរផ្សេង។ អ្វីដែលសំខាន់គឺអ្វីដែលត្រូវបានស្រង់ចេញជាគោលការណ៍។ បន្ទាប់មកសមីការការ៉េរបស់អ្នកមានឫសពីរ។ ដំណោះស្រាយពីរផ្សេងគ្នា។
2. អ្នករើសអើងគឺសូន្យ។ បន្ទាប់មកអ្នកមានដំណោះស្រាយមួយ។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹងនេះមិនមែនជាឫសគល់តែមួយទេប៉ុន្តែ ពីរដូចគ្នាបេះបិទ. ប៉ុន្តែនេះដើរតួនាទីក្នុងវិសមភាព ដែលយើងនឹងសិក្សាអំពីបញ្ហានេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត។
3. អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ ឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនអាចយកបានទេ។ មិនអីទេ។ នេះមានន័យថាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ហើយតើអ្នកគិតថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើខុស? មែនហើយ របៀប...
កំហុសទូទៅបំផុតគឺការភាន់ច្រលំជាមួយនឹងតម្លៃសញ្ញា a, b និង c. ឬផ្ទុយទៅវិញមិនមែនជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ (កន្លែងដែលត្រូវច្រឡំ?) ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការជំនួសតម្លៃអវិជ្ជមានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាឫស។ អ្វីដែលជួយនៅទីនេះគឺការកត់ត្រាលម្អិតនៃរូបមន្តជាមួយនឹងលេខជាក់លាក់។ ប្រសិនបើមានបញ្ហាជាមួយការគណនា, ធ្វើដូច្នេះ!
ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
នៅទីនេះ a = -6; b = -5; c = -1
ចូរនិយាយថាអ្នកដឹងថាអ្នកកម្រទទួលបានចម្លើយជាលើកដំបូង។
អញ្ចឹងកុំខ្ជិល។ វានឹងចំណាយពេលប្រហែល 30 វិនាទីដើម្បីសរសេរបន្ទាត់បន្ថែម និងចំនួននៃកំហុស នឹងថយចុះយ៉ាងខ្លាំង. ដូច្នេះយើងសរសេរលម្អិត ដោយមានតង្កៀប និងសញ្ញាទាំងអស់៖
វាហាក់ដូចជាពិបាកមិនគួរឱ្យជឿក្នុងការសរសេរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប៉ុន្តែវាហាក់ដូចជាដូច្នេះ។ សាកល្បងប្រើ។ ជាការប្រសើរណាស់ឬជ្រើសរើស។ តើមួយណាល្អជាង លឿន ឬត្រូវ? លើសពីនេះទៀតខ្ញុំនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្ត។ មួយសន្ទុះក្រោយមក មិនចាំបាច់សរសេរអ្វីទាំងអស់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ននោះទេ។ វានឹងដំណើរការដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកប្រើបច្ចេកទេសជាក់ស្តែងដែលត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។ គំរូដ៏អាក្រក់នេះជាមួយនឹង bunch of minuses អាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល និងគ្មានកំហុស!
ដូច្នេះ របៀបដោះស្រាយសមីការការ៉េតាមរយៈអ្នករើសអើងដែលយើងចងចាំ។ ឬគេរៀនក៏ល្អដែរ។ អ្នកដឹងពីរបៀបកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ a, b និង c. តើអ្នកដឹងពីរបៀប? ដោយយកចិត្តទុកដាក់ជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្ត root និង ដោយយកចិត្តទុកដាក់រាប់លទ្ធផល។ អ្នកយល់ថាពាក្យគន្លឹះនៅទីនេះ ដោយយកចិត្តទុកដាក់?
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការបួនជ្រុងច្រើនតែមើលទៅខុសគ្នាបន្តិច។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖
នេះ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ . ពួកគេក៏អាចដោះស្រាយបានតាមរយៈអ្នករើសអើង។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវអ្វីដែលពួកគេស្មើនឹងនៅទីនេះ។ a, b និង c.
តើអ្នកបានយល់ហើយឬនៅ? នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូង a = 1; b = -4;ក គ? វាមិននៅទីនោះទាល់តែសោះ! បាទ បាទ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យានេះមានន័យថា c = 0 ! អស់ហើយ។ ជំនួសលេខសូន្យទៅក្នុងរូបមន្តជំនួសវិញ។ គ,ហើយយើងនឹងជោគជ័យ។ ដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ទីពីរ។ មានតែយើងទេដែលមិនមានសូន្យនៅទីនេះ ជាមួយ, ក ខ !
ប៉ុន្តែសមីការ quadratic មិនពេញលេញអាចដោះស្រាយបានច្រើនយ៉ាងសាមញ្ញ។ ដោយគ្មានការរើសអើង។ ចូរយើងពិចារណាសមីការមិនពេញលេញដំបូង។ តើអ្នកអាចធ្វើអ្វីនៅខាងឆ្វេង? អ្នកអាចយក X ចេញពីតង្កៀប! តោះយកវាចេញ។
ហើយអ្វីមកពីនេះ? ហើយការពិតដែលថាផលិតផលស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើនិងលុះត្រាតែកត្តាណាមួយស្មើនឹងសូន្យ! មិនជឿខ្ញុំទេ? មិនអីទេ មកជាមួយលេខមិនសូន្យពីរ ដែលពេលគុណនឹងផ្តល់សូន្យ!
មិនដំណើរការ? នោះហើយជាវា...
ដូច្នេះយើងអាចសរសេរដោយទំនុកចិត្ត៖ x = 0, ឬ x = ៤
ទាំងអស់។ ទាំងនេះនឹងជាឫសគល់នៃសមីការរបស់យើង។ ទាំងពីរគឺសមរម្យ។ នៅពេលជំនួសពួកវាណាមួយទៅក្នុងសមីការដើម យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណត្រឹមត្រូវ 0 = 0។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញជាងការប្រើអ្នករើសអើង។
សមីការទីពីរក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញផងដែរ។ ផ្លាស់ទី 9 ទៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន:
អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវដកឫសចេញពីលេខ 9 ហើយនោះជាវា។ វានឹងប្រែជា៖
ឫសពីរផងដែរ។ . x = +3 និង x = −3.
នេះជារបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយ។ ទាំងដោយដាក់ X ចេញពីតង្កៀប ឬដោយគ្រាន់តែផ្លាស់ទីលេខទៅខាងស្តាំ ហើយបន្ទាប់មកស្រង់ឫស។
វាជាការលំបាកខ្លាំងណាស់ក្នុងការច្រឡំបច្ចេកទេសទាំងនេះ។ ដោយសារតែក្នុងករណីដំបូងអ្នកនឹងត្រូវដកឫសនៃ X ដែលជាការមិនអាចយល់បានហើយក្នុងករណីទី 2 គ្មានអ្វីដែលត្រូវដកចេញពីតង្កៀបទេ ...
ឥឡូវនេះសូមកត់សម្គាល់ពីបច្ចេកទេសជាក់ស្តែងដែលកាត់បន្ថយចំនួនកំហុសឆ្គងយ៉ាងខ្លាំង។ ដូចគ្នាដែលកើតឡើងដោយការមិនប្រុងប្រយ័ត្ន... ដែលក្រោយមកវាក្លាយជាការឈឺចាប់ និងអាក់អន់ចិត្ត...
ការណាត់ជួបដំបូង. កុំខ្ជិលមុនពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េ ហើយនាំវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ តើនេះមានន័យថាម៉េច?
ចូរនិយាយថាបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់អ្នកទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម:
កុំប្រញាប់សរសេររូបមន្តឫស! អ្នកស្ទើរតែប្រាកដជាទទួលបានហាងឆេងលាយឡំ a, b និង c ។បង្កើតគំរូឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ទីមួយ X ការ៉េ បន្ទាប់មកដោយគ្មានការ៉េ បន្ទាប់មកពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូចនេះ៖
ហើយម្តងទៀតកុំប្រញាប់! ដកនៅពីមុខ X ការ៉េពិតជាអាចធ្វើឱ្យអ្នកខកចិត្ត។ ងាយភ្លេច... កម្ចាត់ដក។ យ៉ាងម៉េច? បាទ ដូចបានបង្រៀនក្នុងប្រធានបទមុន! យើងត្រូវគុណសមីការទាំងមូលដោយ -1 ។ យើងទទួលបាន:
ប៉ុន្តែឥឡូវនេះអ្នកអាចសរសេររូបមន្តសម្រាប់ឫសដោយសុវត្ថិភាព គណនាការរើសអើង និងបញ្ចប់ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍។ សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។ ឥឡូវនេះអ្នកគួរតែមានឫស 2 និង -1 ។
ទទួលភ្ញៀវទីពីរ។ពិនិត្យឫស! នេះបើតាមទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta។ កុំខ្លាចអី ខ្ញុំនឹងពន្យល់គ្រប់យ៉ាង! កំពុងពិនិត្យ រឿងចុងក្រោយសមីការ។ ទាំងនោះ។ មួយដែលយើងធ្លាប់សរសេររូបមន្តឫស។ ប្រសិនបើ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍នេះ) មេគុណ a = 1ការពិនិត្យមើលឫសគឺងាយស្រួល។ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណពួកគេ។ លទ្ធផលគួរតែជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ i.e. ក្នុងករណីរបស់យើង -2 ។ សូមចំណាំ មិនមែន 2 ទេ ប៉ុន្តែ -2! សមាជិកឥតគិតថ្លៃ ជាមួយនឹងសញ្ញារបស់អ្នក។
. បើវាមិនដំណើរការទេ វាមានន័យថាពួកគេបានដួលនៅកន្លែងណាមួយហើយ។ រកមើលកំហុស។ ប្រសិនបើវាដំណើរការអ្នកត្រូវបន្ថែមឫស។ ការពិនិត្យចុងក្រោយនិងចុងក្រោយ។ មេគុណគួរតែជា ខជាមួយ ទល់មុខ
ធ្លាប់ស្គាល់។ ក្នុងករណីរបស់យើង -1 + 2 = +1 ។ មេគុណ ខដែលនៅពីមុខ X គឺស្មើនឹង -1 ។ ដូច្នេះអ្វីៗគឺត្រឹមត្រូវ!
វាជាការអាណិតដែលវាសាមញ្ញសម្រាប់តែឧទាហរណ៍ដែល x ការេគឺសុទ្ធជាមួយនឹងមេគុណ a = 1 ។ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់ពិនិត្យមើលសមីការបែបនេះ! វានឹងមានកំហុសតិច និងតិច។
ទទួលភ្ញៀវទីបី. ប្រសិនបើសមីការរបស់អ្នកមានមេគុណប្រភាគ ចូរកម្ចាត់ប្រភាគចេញ! គុណសមីការដោយភាគបែងធម្មតាដូចដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកមុន។ នៅពេលធ្វើការជាមួយប្រភាគ កំហុសនៅតែបន្តចូលមកដោយហេតុផលមួយចំនួន...
និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំបានសន្យាថានឹងសម្រួលឧទាហរណ៍ដ៏អាក្រក់ដោយមានការដកឃ្លាមួយចំនួន។ សូម! នៅទីនេះគាត់។
ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំដោយ minuses យើងគុណសមីការដោយ -1 ។ យើងទទួលបាន:
អស់ហើយ! ការដោះស្រាយគឺជាសេចក្តីរីករាយ!
ដូច្នេះសូមសង្ខេបប្រធានបទ។
គន្លឹះជាក់ស្តែង៖
1. មុនពេលដោះស្រាយ យើងនាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ហើយបង្កើតវា។ ត្រូវហើយ។.
2. ប្រសិនបើមានមេគុណអវិជ្ជមាននៅពីមុខ X ការ៉េ យើងលុបបំបាត់វាដោយគុណសមីការទាំងមូលដោយ -1 ។
3. ប្រសិនបើមេគុណជាប្រភាគ យើងលុបបំបាត់ប្រភាគដោយគុណសមីការទាំងមូលដោយកត្តាដែលត្រូវគ្នា។
4. ប្រសិនបើ x ការ៉េគឺសុទ្ធ មេគុណរបស់វាស្មើនឹងមួយ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ធ្វើវា!
សមីការប្រភាគ។ ODZ
យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់នៃសមីការ។ យើងដឹងពីរបៀបធ្វើការជាមួយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ ទិដ្ឋភាពចុងក្រោយខាងឆ្វេង - សមីការប្រភាគ. ឬពួកគេក៏ត្រូវបានគេហៅថាគួរឱ្យគោរពថែមទៀត - សមីការប្រភាគប្រភាគ. វាគឺដូចគ្នា។
សមីការប្រភាគ។
ដូចដែលឈ្មោះបង្កប់ន័យ សមីការទាំងនេះចាំបាច់មានប្រភាគ។ ប៉ុន្តែមិនមែនត្រឹមតែប្រភាគទេ ប៉ុន្តែប្រភាគដែលមាន មិនស្គាល់នៅក្នុងភាគបែង. យ៉ាងហោចណាស់ក្នុងមួយ។ ឧទាហរណ៍:
ខ្ញុំសូមរំលឹកថា បើភាគបែងមានតែប៉ុណ្ណោះ។ លេខទាំងនេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ។
របៀបសម្រេចចិត្ត សមីការប្រភាគ? ជាដំបូងកម្ចាត់ប្រភាគ! បន្ទាប់ពីនេះ សមីការភាគច្រើនប្រែទៅជាលីនេអ៊ែរ ឬចតុកោណ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងដឹងពីអ្វីដែលត្រូវធ្វើ... ក្នុងករណីខ្លះវាអាចប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណដូចជា 5=5 ឬកន្សោមមិនត្រឹមត្រូវដូចជា 7=2។ ប៉ុន្តែរឿងនេះកម្រកើតឡើងណាស់។ ខ្ញុំនឹងរៀបរាប់ខាងក្រោម។
ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគ! សាមញ្ញណាស់។ អនុវត្តការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ។
យើងត្រូវគុណសមីការទាំងមូលដោយកន្សោមដូចគ្នា។ ដើម្បីឱ្យភាគបែងទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយ! អ្វីៗនឹងកាន់តែងាយស្រួលភ្លាមៗ។ ខ្ញុំសូមពន្យល់ជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។ ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ៖
តើអ្នកបានបង្រៀននៅសាលាបឋមសិក្សាយ៉ាងដូចម្តេច? យើងរំកិលអ្វីៗទៅម្ខាង នាំវាទៅជាភាគបែងរួម។ល។ ភ្លេចវាដូចជាសុបិន្តអាក្រក់! នេះជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើ នៅពេលអ្នកបន្ថែម ឬដកប្រភាគ។ ឬអ្នកធ្វើការជាមួយវិសមភាព។ ហើយនៅក្នុងសមីការ យើងនឹងគុណភាគីទាំងពីរភ្លាមៗដោយកន្សោមដែលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីកាត់បន្ថយភាគបែងទាំងអស់ (ឧ. ជាខ្លឹមសារដោយភាគបែងរួម)។ ហើយអ្វីទៅជាការបញ្ចេញមតិនេះ?
នៅផ្នែកខាងឆ្វេង ការកាត់បន្ថយភាគបែងតម្រូវឱ្យគុណនឹង x+2. ហើយនៅខាងស្តាំ គុណនឹង 2 ត្រូវបានទាមទារ នេះមានន័យថាសមីការត្រូវតែគុណនឹង 2(x+2). គុណ៖
នេះជាការគុណទូទៅនៃប្រភាគ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងពិពណ៌នាវាយ៉ាងលម្អិត៖
សូមចំណាំថាខ្ញុំមិនទាន់បើកតង្កៀបនៅឡើយទេ (x + 2)! ដូច្នេះសរុបមក ខ្ញុំសរសេរវា៖
នៅផ្នែកខាងឆ្វេងវាចុះកិច្ចសន្យាទាំងស្រុង (x+2)ហើយនៅខាងស្តាំ 2. តើមួយណាជាតម្រូវការ! បន្ទាប់ពីការកាត់បន្ថយយើងទទួលបាន លីនេអ៊ែរសមីការ៖
ហើយគ្រប់គ្នាអាចដោះស្រាយសមីការនេះបាន! x = ២.
ចូរដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយទៀត ដែលស្មុគស្មាញបន្តិច៖
ប្រសិនបើយើងចាំថា 3 = 3/1, និង 2x = 2x/១ យើងអាចសរសេរ៖
ហើយម្តងទៀតយើងកម្ចាត់អ្វីដែលយើងមិនចូលចិត្ត - ប្រភាគ។
យើងឃើញថា ដើម្បីកាត់បន្ថយភាគបែងដោយ X យើងត្រូវគុណប្រភាគដោយ (x–2). ហើយមួយចំនួនតូចមិនមែនជាឧបសគ្គសម្រាប់យើងទេ។ ចូរយើងគុណ។ ទាំងអស់។ផ្នែកខាងឆ្វេង និង ទាំងអស់។ផ្នែកខាងស្តាំ:
វង់ក្រចកម្តងទៀត (x–2)ខ្ញុំមិនបង្ហាញទេ។ ខ្ញុំធ្វើការជាមួយតង្កៀបទាំងមូលដូចជាប្រសិនបើវាជាលេខមួយ! នេះត្រូវធ្វើជានិច្ច បើមិនដូច្នេះទេ គ្មានអ្វីត្រូវកាត់បន្ថយឡើយ។
ជាមួយនឹងអារម្មណ៍នៃការពេញចិត្តយ៉ាងខ្លាំង យើងកាត់បន្ថយ (x–2)ហើយយើងទទួលបានសមីការដោយគ្មានប្រភាគណាមួយ ដោយប្រើបន្ទាត់!
ឥឡូវនេះសូមបើកតង្កៀប៖
យើងនាំយកស្រដៀងគ្នា ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេង ហើយទទួលបាន៖
សមីការការ៉េបុរាណ។ ប៉ុន្តែការដកនៅខាងមុខគឺមិនល្អទេ។ អ្នកតែងតែអាចកម្ចាត់វាដោយគុណ ឬចែកដោយ -1 ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍យ៉ាងដិតដល់ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថា វាជាការល្អបំផុតក្នុងការបែងចែកសមីការនេះដោយ -2! ក្នុងមួយរំពេច ដកនឹងរលាយបាត់ ហើយហាងឆេងនឹងកាន់តែទាក់ទាញ! ចែកដោយ -2 ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេង - ពាក្យដោយពាក្យនិងខាងស្តាំ - គ្រាន់តែបែងចែកសូន្យដោយ -2 សូន្យហើយយើងទទួលបាន:
យើងដោះស្រាយតាមរយៈការរើសអើង និងពិនិត្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ យើងទទួលបាន x = 1 និង x = 3. ឫសពីរ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញក្នុងករណីដំបូង សមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបានក្លាយទៅជាលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែនៅទីនេះវាក្លាយជាចតុកោណ។ វាកើតឡើងថាបន្ទាប់ពីកម្ចាត់ប្រភាគ X ទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ នៅសល់អ្វីមួយ ដូចជា 5=5។ វាមានន័យថា x អាចជាអ្វីក៏បាន. អ្វីក៏ដោយវានឹងនៅតែត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ ហើយវាប្រែថាជាការពិត 5=5។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីកម្ចាត់ប្រភាគ វាអាចប្រែទៅជាមិនពិតទាំងស្រុង ដូចជា 2=7។ ហើយនេះមានន័យថា គ្មានដំណោះស្រាយ! ណាមួយ X ប្រែថាមិនពិត។
បានដឹងពីដំណោះស្រាយចម្បង សមីការប្រភាគ? វាសាមញ្ញ និងឡូជីខល។ យើងផ្លាស់ប្តូរកន្សោមដើម ដូច្នេះអ្វីៗដែលយើងមិនចូលចិត្តបាត់។ ឬវាជ្រៀតជ្រែក។ ក្នុងករណីនេះទាំងនេះគឺជាប្រភាគ។ យើងនឹងធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងប្រភេទនៃឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាមួយលោការីត ស៊ីនុស និងភាពភ័យរន្ធត់ផ្សេងទៀត។ យើង ជានិច្ចចូរយើងកម្ចាត់ទាំងអស់នេះ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយយើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរកន្សោមដើមតាមទិសដៅដែលយើងត្រូវការ យោងតាមច្បាប់បាទ... ជំនាញដែលជាការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះយើងកំពុងធ្វើជាម្ចាស់វា។
ឥឡូវនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីរំលងមួយនៃ ការវាយឆ្មក់សំខាន់ៗនៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម! ប៉ុន្តែជាដំបូងចាំមើលថាតើអ្នកធ្លាក់ចូលឬអត់?
តោះមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖
រឿងហ្នឹងដឹងហើយ យើងគុណទាំងសងខាង (x–2), យើងទទួលបាន:
ខ្ញុំរំលឹកអ្នកដោយតង្កៀប (x–2)យើងធ្វើការដូចជាមួយ កន្សោមអាំងតេក្រាល!
នៅទីនេះខ្ញុំលែងសរសេរមួយក្នុងភាគបែងទៀតហើយ វាមិនថ្លៃថ្នូរ... ហើយខ្ញុំមិនបានគូសតង្កៀបក្នុងភាគបែងទេ លើកលែងតែ x–២មិនមានអ្វីទេអ្នកមិនចាំបាច់គូរទេ។ តោះខ្លី៖
បើកវង់ក្រចក ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេង ហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា៖
យើងដោះស្រាយ ពិនិត្យ យើងទទួលបានឫសពីរ។ x = ២និង x = ៣. អស្ចារ្យ។
ឧបមាថាការចាត់តាំងនិយាយថាឱ្យសរសេរឫស ឬផលបូករបស់ពួកគេប្រសិនបើមានឫសច្រើនជាងមួយ។ តើយើងនឹងសរសេរអ្វី?
ប្រសិនបើអ្នកសម្រេចចិត្តថាចម្លើយគឺ 5 ត្រូវបានវាយឆ្មក់. ហើយកិច្ចការនឹងមិនត្រូវបានបញ្ចូលដល់អ្នកទេ។ ពួកគេបានធ្វើការដោយឥតប្រយោជន៍... ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺ 3 ។
តើមានរឿងអ្វីកើតឡើង?! ហើយអ្នកព្យាយាមធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។ ជំនួសតម្លៃនៃមិនស្គាល់ទៅក្នុង ដើមឧទាហរណ៍។ ហើយប្រសិនបើនៅ x = ៣អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងរីកចម្រើនជាមួយគ្នាយ៉ាងអស្ចារ្យ យើងទទួលបាន 9 = 9 បន្ទាប់មកនៅពេលណា x = ២វានឹងចែកជាសូន្យ! អ្វីដែលអ្នកពិតជាមិនអាចធ្វើបាន។ មធ្យោបាយ x = ២មិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ ហើយមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាក្នុងចម្លើយនោះទេ។ នេះគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា extraneous ឬឫសបន្ថែម។ យើងគ្រាន់តែបោះវាចោល។ ឫសចុងក្រោយគឺមួយ។ x = ៣.
ម៉េចចឹង?! - ខ្ញុំឮពាក្យឧទានដោយកំហឹង។ យើងត្រូវបានបង្រៀនថាសមីការមួយអាចត្រូវបានគុណដោយកន្សោមមួយ! នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នា!
បាទ ដូចគ្នាបេះបិទ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌតូចមួយ - កន្សោមដែលយើងគុណ (ចែក) - ខុសពីសូន្យ. ក x–២នៅ x = ២ស្មើសូន្យ! ដូច្នេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺយុត្តិធម៌។
ហើយឥឡូវនេះតើខ្ញុំអាចធ្វើអ្វីបាន?! កុំគុណដោយកន្សោម? តើខ្ញុំគួរពិនិត្យរាល់ពេលទេ? ម្តងទៀតមិនច្បាស់!
ស្ងប់ស្ងាត់! កុំភ័យខ្លាច!
ក្នុងស្ថានភាពលំបាកនេះ សំបុត្រវេទមន្តបីនឹងជួយសង្រ្គោះយើង។ ខ្ញុំដឹងពីអ្វីដែលអ្នកកំពុងគិត។ ត្រូវហើយ! នេះ។ ODZ . តំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។
នៅក្នុងសង្គមសម័យទំនើប សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយសមីការដែលមានអថេរការ៉េអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃសកម្មភាព ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្តក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកទេស។ ភ័ស្តុតាងនៃការនេះអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការរចនានៃនាវាសមុទ្រ និងទន្លេ យន្តហោះ និងមីស៊ីល។ ដោយប្រើការគណនាបែបនេះ គន្លងនៃចលនានៃសាកសពជាច្រើន រួមទាំងវត្ថុអវកាសត្រូវបានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែក្នុងការព្យាករណ៍សេដ្ឋកិច្ចក្នុងការរចនា និងការសាងសង់អគារប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងកាលៈទេសៈប្រចាំថ្ងៃធម្មតាបំផុតផងដែរ។ ពួកគេប្រហែលជាត្រូវការជាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើដំណើរឡើងភ្នំ ព្រឹត្តិការណ៍កីឡា នៅក្នុងហាងនៅពេលធ្វើការទិញ និងក្នុងស្ថានភាពទូទៅផ្សេងទៀត។
ចូរបំបែកកន្សោមទៅជាកត្តាសមាសធាតុរបស់វា។
កម្រិតនៃសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយតម្លៃអតិបរមានៃកម្រិតនៃអថេរដែលកន្សោមមាន។ ប្រសិនបើវាស្មើនឹង 2 នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា quadratic ។
ប្រសិនបើយើងនិយាយជាភាសានៃរូបមន្ត នោះកន្សោមដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ទោះបីជាវាមើលទៅបែបណាក៏ដោយ តែងតែអាចនាំមកទម្រង់នៅពេលដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃកន្សោមមានបីពាក្យ។ ក្នុងចំណោមពួកគេ៖ ពូថៅ 2 (នោះគឺជាអថេរការ៉េដែលមានមេគុណរបស់វា) bx (មិនស្គាល់ដោយគ្មានការ៉េដែលមានមេគុណរបស់វា) និង c (សមាសធាតុឥតគិតថ្លៃ នោះគឺជាលេខធម្មតា)។ ទាំងអស់នេះនៅផ្នែកខាងស្តាំគឺស្មើនឹង 0។ ក្នុងករណីដែលពហុនាមបែបនេះខ្វះលក្ខខណ្ឌធាតុផ្សំណាមួយរបស់វា លើកលែងតែអ័ក្ស 2 វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះតម្លៃនៃអថេរដែលងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកគួរតែត្រូវបានពិចារណាជាមុនសិន។
ប្រសិនបើកន្សោមមើលទៅដូចជាវាមានពាក្យពីរនៅខាងស្តាំ អ័ក្ស 2 និង bx កាន់តែច្បាស់ វិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីស្វែងរក x គឺដោយដាក់អថេរចេញពីតង្កៀប។ ឥឡូវនេះសមីការរបស់យើងនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ x(ax+b)។ បន្ទាប់មក វាច្បាស់ណាស់ថា x=0 ឬបញ្ហាកើតឡើងក្នុងការស្វែងរកអថេរពីកន្សោមខាងក្រោម៖ ax+b=0។ នេះត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃគុណ។ ច្បាប់ចែងថាផលិតផលនៃកត្តាពីរនាំឱ្យ 0 លុះត្រាតែមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺសូន្យ។
ឧទាហរណ៍
x=0 ឬ 8x − 3 = 0
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានឫសពីរនៃសមីការ៖ 0 និង 0.375។
សមីការនៃប្រភេទនេះអាចពិពណ៌នាអំពីចលនារបស់សាកសពដែលស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃទំនាញផែនដី ដែលបានចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីពីចំណុចជាក់លាក់មួយដែលយកជាប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ នៅទីនេះ សញ្ញាណគណិតវិទ្យាមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ y = v 0 t + gt 2/2 ។ ដោយការជំនួសតម្លៃចាំបាច់ ស្មើផ្នែកខាងស្តាំទៅ 0 និងការស្វែងរកមិនស្គាល់ដែលអាចកើតមាន អ្នកអាចរកឃើញពេលវេលាដែលឆ្លងកាត់ពីពេលដែលរាងកាយឡើងដល់ពេលដែលវាធ្លាក់ចុះ ក៏ដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀតជាច្រើន។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយ។
កត្តាកន្សោមមួយ។
ច្បាប់ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះនៅក្នុងករណីស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ quadratic នៃប្រភេទនេះ។
X 2 − 33x + 200 = 0
ត្រីកោណចតុកោណនេះត្រូវបានបញ្ចប់។ ជាដំបូង ចូរយើងបំប្លែងកន្សោម និងកត្តាវា។ មានពីរក្នុងចំនោមពួកគេ៖ (x-8) និង (x-25) = 0. ជាលទ្ធផលយើងមានឫសពីរ 8 និង 25 ។
ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងនៅថ្នាក់ទី 9 អនុញ្ញាតឱ្យវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីស្វែងរកអថេរនៅក្នុងកន្សោមមិនត្រឹមតែនៃទីពីរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងនៃលំដាប់ទីបីនិងទីបួន។
ឧទាហរណ៍៖ 2x 3 + 2x 2 − 18x − 18 = 0. ពេលដែលកត្តាខាងស្ដាំទៅជាកត្តាជាមួយអថេរ មានបីក្នុងចំណោមនោះគឺ (x+1), (x-3) និង (x+ ៣).
ជាលទ្ធផលវាច្បាស់ថាសមីការនេះមានឫសបី: -3; -1; ៣.
ឫសការេ
ករណីមួយទៀតនៃសមីការលំដាប់ទីពីរមិនពេញលេញគឺជាកន្សោមដែលតំណាងជាភាសាអក្សរតាមរបៀបដែលផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានសាងសង់ពីសមាសធាតុ ax 2 និង c ។ នៅទីនេះ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរ ពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយបន្ទាប់ពីនោះឫសការ៉េត្រូវបានស្រង់ចេញពីភាគីទាំងពីរនៃសមភាព។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីនេះជាធម្មតាមានឫសពីរនៃសមីការ។ ករណីលើកលែងតែមួយគត់អាចជាសមភាពដែលមិនមានពាក្យជាមួយទាំងអស់ ដែលអថេរស្មើនឹងសូន្យ ក៏ដូចជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃកន្សោមនៅពេលដែលផ្នែកខាងស្តាំអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីចុងក្រោយនេះ មិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់ ព្រោះសកម្មភាពខាងលើមិនអាចអនុវត្តដោយឫសគល់បានទេ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ quadratic នៃប្រភេទនេះគួរតែត្រូវបានពិចារណា។
ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខ -4 និង 4 ។
ការគណនាផ្ទៃដី
តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាប្រភេទនេះបានបង្ហាញខ្លួននៅសម័យបុរាណ ពីព្រោះការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាក្នុងគ្រាដ៏ឆ្ងាយទាំងនោះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយតម្រូវការក្នុងការកំណត់ដោយភាពត្រឹមត្រូវបំផុតនៃតំបន់ និងបរិវេណនៃដីឡូតិ៍។
យើងក៏គួរពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយផ្អែកលើបញ្ហានៃប្រភេទនេះ។
ដូច្នេះសូមនិយាយថាមានដីរាងចតុកោណដែលមានប្រវែង ១៦ ម៉ែត្រធំជាងទទឹង។ អ្នកគួរតែស្វែងរកប្រវែង ទទឹង និងបរិវេណនៃគេហទំព័រ ប្រសិនបើអ្នកដឹងថាផ្ទៃដីរបស់វាគឺ 612 m2 ។
ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងបង្កើតសមីការចាំបាច់ជាមុនសិន។ ចូរយើងកំណត់ដោយ x ទទឹងនៃផ្ទៃ នោះប្រវែងរបស់វានឹងមាន (x+16)។ ពីអ្វីដែលបានសរសេរវាដូចខាងក្រោមថាផ្ទៃត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម x (x + 16) ដែលយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហារបស់យើងគឺ 612 ។ នេះមានន័យថា x (x + 16) = 612 ។
ការដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ ហើយកន្សោមនេះគឺពិតជាមិនអាចធ្វើបានដូចគ្នាទេ។ ហេតុអ្វី? ទោះបីជាផ្នែកខាងឆ្វេងនៅតែមានកត្តាពីរក៏ដោយក៏ផលិតផលរបស់ពួកគេមិនស្មើនឹង 0 ទាល់តែសោះ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅទីនេះ។
រើសអើង
ជាដំបូង យើងនឹងធ្វើការបំប្លែងជាចាំបាច់ បន្ទាប់មករូបរាងនៃកន្សោមនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ x 2 + 16x - 612 = 0. នេះមានន័យថាយើងបានទទួលកន្សោមក្នុងទម្រង់មួយដែលត្រូវនឹងស្តង់ដារដែលបានបញ្ជាក់ពីមុន ដែលជាកន្លែងដែល a=1, b=16, c= −612 ។
នេះអាចជាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើការរើសអើង។ នៅទីនេះការគណនាចាំបាច់ត្រូវបានធ្វើឡើងតាមគ្រោងការណ៍: D = b 2 - 4ac ។ បរិមាណជំនួយនេះមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកបរិមាណដែលត្រូវការនៅក្នុងសមីការលំដាប់ទីពីរប៉ុណ្ណោះទេ វាកំណត់ចំនួនជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន។ ប្រសិនបើ D>0 មានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ; សម្រាប់ D=0 មានឫសមួយ។ ក្នុងករណី D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
អំពីឫសនិងរូបមន្តរបស់វា។
ក្នុងករណីរបស់យើង ការរើសអើងគឺស្មើនឹង៖ 256 - 4(-612) = 2704។ នេះបង្ហាញថាបញ្ហារបស់យើងមានចម្លើយ។ ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់ k ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េត្រូវតែបន្តដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាឫស។
នេះមានន័យថាក្នុងករណីដែលបានបង្ហាញ៖ x 1 = 18, x 2 = −34 ។ ជម្រើសទីពីរនៅក្នុងបញ្ហានេះមិនអាចជាដំណោះស្រាយបានទេព្រោះវិមាត្រនៃដីឡូតិ៍មិនអាចវាស់បានក្នុងបរិមាណអវិជ្ជមានដែលមានន័យថា x (នោះគឺទទឹងដី) គឺ 18 ម៉ែត្រពីទីនេះយើងគណនាប្រវែង: 18 +16=34 និងបរិវេណ 2(34+18)=104(m2)។
ឧទាហរណ៍និងភារកិច្ច
យើងបន្តការសិក្សារបស់យើងអំពីសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយលម្អិតនៃពួកវាមួយចំនួននឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
ចូរផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព ធ្វើការបំប្លែង មានន័យថា យើងនឹងទទួលបានប្រភេទនៃសមីការដែលជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាស្តង់ដារ ហើយសមីការវាទៅជាសូន្យ។
15x 2 + 20x + 5 − 12x 2 – 27x – 1 = 0
ការបន្ថែមភាពស្រដៀងគ្នា យើងកំណត់ការរើសអើង៖ D = 49 - 48 = 1. នេះមានន័យថាសមីការរបស់យើងនឹងមានឫសពីរ។ ចូរយើងគណនាពួកវាតាមរូបមន្តខាងលើ ដែលមានន័យថា ទីមួយនៃពួកវានឹងស្មើនឹង 4/3 និងទីពីរដល់ 1។
2) ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយអាថ៌កំបាំងនៃប្រភេទផ្សេងគ្នា។
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើមានឫសនៅទីនេះ x 2 − 4x + 5 = 1? ដើម្បីទទួលបានចម្លើយដ៏ទូលំទូលាយ សូមកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ធម្មតាដែលត្រូវគ្នា ហើយគណនាការរើសអើង។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េទេ ព្រោះនេះមិនមែនជាខ្លឹមសារនៃបញ្ហាទាល់តែសោះ។ ក្នុងករណីនេះ D = 16 - 20 = -4 ដែលមានន័យថាពិតជាគ្មានឫសទេ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា
វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តខាងលើ និងការរើសអើង នៅពេលដែលឫសការេត្រូវបានយកចេញពីតម្លៃនៃក្រោយ។ ប៉ុន្តែនេះមិនតែងតែកើតឡើងទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានវិធីជាច្រើនដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរក្នុងករណីនេះ។ ឧទាហរណ៍៖ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ នាងត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកដែលបានរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 16 ក្នុងប្រទេសបារាំង ហើយបានបង្កើតអាជីពដ៏អស្ចារ្យមួយដោយសារតែទេពកោសល្យគណិតវិទ្យានិងទំនាក់ទំនងនៅតុលាការ។ រូបភាពរបស់គាត់អាចមើលឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ។
គំរូដែលជនជាតិបារាំងដ៏ល្បីម្នាក់បានកត់សម្គាល់មានដូចខាងក្រោម។ គាត់បានបង្ហាញថាឫសគល់នៃសមីការបន្ថែមជាលេខទៅ -p=b/a ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេត្រូវគ្នាទៅនឹង q=c/a។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលភារកិច្ចជាក់លាក់។
3x 2 + 21x − 54 = 0
ដើម្បីភាពសាមញ្ញ ចូរយើងបំប្លែងកន្សោម៖
x 2 + 7x − 18 = 0
ចូរយើងប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វានឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវចំណុចដូចខាងក្រោម: ផលបូកនៃឫសគឺ -7 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ -18 ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថាឫសនៃសមីការគឺលេខ -9 និង 2. បន្ទាប់ពីពិនិត្យមើល យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាតម្លៃអថេរទាំងនេះពិតជាសមនឹងកន្សោម។
ក្រាហ្វប៉ារ៉ាបូឡា និងសមីការ
គោលគំនិតនៃអនុគមន៍ quadratic និងសមីការ quadratic មានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ឧទាហរណ៍នៃការនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយមុន។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើល riddles គណិតវិទ្យាមួយចំនួននៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀត។ សមីការណាមួយនៃប្រភេទដែលបានពិពណ៌នាអាចត្រូវបានតំណាងដោយមើលឃើញ។ ទំនាក់ទំនងបែបនេះ គូរជាក្រាហ្វ ត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រភេទផ្សេងៗរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។
ប៉ារ៉ាបូឡាណាមួយមានចំនុចកំពូល នោះគឺជាចំណុចដែលសាខារបស់វាផុសឡើង។ ប្រសិនបើ a> 0 ពួកវាឡើងខ្ពស់ដល់អគ្មានកំណត់ ហើយនៅពេលដែល a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
ការតំណាងដែលមើលឃើញនៃមុខងារជួយដោះស្រាយសមីការណាមួយ រាប់បញ្ចូលទាំងរាងបួនជ្រុង។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វិក។ ហើយតម្លៃនៃអថេរ x គឺជាកូអរដោណេ abscissa នៅចំនុចដែលបន្ទាត់ក្រាហ្វប្រសព្វជាមួយ 0x ។ កូអរដោណេនៃចំនុចកំពូលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ x 0 = -b/2a ។ ហើយដោយការជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើមនៃអនុគមន៍ អ្នកអាចរកឃើញ y 0 នោះគឺជាកូអរដោនេទីពីរនៃ vertex នៃ parabola ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ័ក្សតម្រៀប។
ចំនុចប្រសព្វនៃមែកធាងប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ័ក្ស abscissa
មានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការដោះស្រាយសមីការ quadratic ប៉ុន្តែក៏មានគំរូទូទៅផងដែរ។ សូមក្រឡេកមើលពួកគេ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្ស 0x សម្រាប់ a> 0 គឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ 0 យកតម្លៃអវិជ្ជមាន។ ហើយសម្រាប់ ក<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. បើមិនដូច្នេះទេ ឃ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
ពីក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា អ្នកក៏អាចកំណត់ឫសផងដែរ។ ភាពផ្ទុយគ្នាក៏ជាការពិតដែរ។ នោះគឺប្រសិនបើវាមិនងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានការតំណាងដែលមើលឃើញនៃអនុគមន៍រាងបួនជ្រុងទេ អ្នកអាចស្មើផ្នែកខាងស្ដាំនៃកន្សោមទៅ 0 និងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល។ ហើយការដឹងពីចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស 0x វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតក្រាហ្វ។
ពីប្រវត្តិសាស្ត្រ
ដោយប្រើសមីការដែលមានអថេរការ៉េ នៅថ្ងៃចាស់ ពួកគេមិនត្រឹមតែធ្វើការគណនាគណិតវិទ្យា និងកំណត់តំបន់នៃតួលេខធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះទេ។ មនុស្សបុរាណត្រូវការការគណនាបែបនេះសម្រាប់ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងវិស័យរូបវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ ក៏ដូចជាសម្រាប់ការព្យាករណ៍ហោរាសាស្រ្តផងដែរ។
ដូចដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រសម័យទំនើបណែនាំ ប្រជាជននៅបាប៊ីឡូនគឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។ វាបានកើតឡើងបួនសតវត្សមុនសម័យរបស់យើង។ ជាការពិតណាស់ ការគណនារបស់ពួកគេមានភាពខុសប្លែកគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីអ្វីដែលបានទទួលយកនាពេលបច្ចុប្បន្ន ហើយបានប្រែទៅជាមានលក្ខណៈបឋមជាង។ ជាឧទាហរណ៍ គណិតវិទូមេសូប៉ូតាមៀ មិនមានគំនិតអំពីអត្ថិភាពនៃលេខអវិជ្ជមានទេ។ ពួកគេក៏មិនស៊ាំជាមួយ subtleties ផ្សេងទៀតដែលសិស្សសាលាសម័យទំនើបដឹង។
ប្រហែលជាមុនជាងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃបាប៊ីឡូន អ្នកប្រាជ្ញមកពីប្រទេសឥណ្ឌា Baudhayama បានចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។ រឿងនេះបានកើតឡើងប្រហែលប្រាំបីសតវត្សមុនគ្រិស្តសករាជ។ ពិតមែន សមីការលំដាប់ទីពីរ វិធីសាស្ត្រសម្រាប់ការដោះស្រាយដែលលោកបានផ្តល់ឲ្យគឺសាមញ្ញបំផុត។ ក្រៅពីគាត់ អ្នកគណិតវិទូចិនក៏ចាប់អារម្មណ៍នឹងសំណួរស្រដៀងគ្នានៅសម័យដើមដែរ។ នៅទ្វីបអឺរ៉ុប សមីការបួនជ្រុងចាប់ផ្តើមត្រូវបានដោះស្រាយតែនៅដើមសតវត្សទី 13 ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែក្រោយមកពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងស្នាដៃរបស់ពួកគេដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យដូចជា ញូតុន ដេសការេត និងអ្នកផ្សេងទៀតជាច្រើន។
សមីការការ៉េ - ងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ! * តទៅនេះហៅថា KU ។មិត្តភ័ក្តិ វាហាក់ដូចជាថាមិនមានអ្វីសាមញ្ញជាងនៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាងការដោះស្រាយសមីការបែបនេះទេ។ ប៉ុន្តែមានអ្វីមួយបានប្រាប់ខ្ញុំថាមនុស្សជាច្រើនមានបញ្ហាជាមួយគាត់។ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តមើលថាតើមានការចាប់អារម្មណ៍តាមតម្រូវការប៉ុន្មានដែល Yandex ផ្តល់ឱ្យក្នុងមួយខែ។ នេះជាអ្វីដែលបានកើតឡើងសូមមើល៖
តើវាមានន័យយ៉ាងដូចម្តេច? នេះមានន័យថាមនុស្សប្រហែល 70,000 នាក់ក្នុងមួយខែកំពុងស្វែងរកព័ត៌មាននេះ ហើយនេះគឺជារដូវក្តៅ ហើយអ្វីដែលនឹងកើតឡើងក្នុងអំឡុងឆ្នាំសិក្សា - វានឹងមានសំណើច្រើនជាងពីរដង។ នេះមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ ព្រោះក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រីទាំងនោះដែលបានបញ្ចប់ការសិក្សាតាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ និងកំពុងត្រៀមប្រឡង Unified State កំពុងស្វែងរកព័ត៌មាននេះ ហើយសិស្សសាលាក៏ខិតខំធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់ពួកគេឡើងវិញផងដែរ។
ទោះបីជាមានគេហទំព័រជាច្រើនដែលប្រាប់អ្នកពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនេះក៏ដោយ ក៏ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តចូលរួមវិភាគទាន និងបោះពុម្ពផ្សាយសម្ភារៈផងដែរ។ ជាដំបូងខ្ញុំចង់ឱ្យអ្នកទស្សនាមកកាន់គេហទំព័ររបស់ខ្ញុំដោយផ្អែកលើសំណើនេះ; ទីពីរ នៅក្នុងអត្ថបទផ្សេងទៀត នៅពេលដែលប្រធានបទ "KU" កើតឡើង ខ្ញុំនឹងផ្តល់តំណភ្ជាប់ទៅកាន់អត្ថបទនេះ។ ទីបី ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកបន្តិចទៀតអំពីដំណោះស្រាយរបស់គាត់ ជាជាងមានចែងនៅលើគេហទំព័រផ្សេងទៀត។ តោះចាប់ផ្តើម!ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ៖
សមីការការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់៖
ដែលមេគុណ a,ខហើយ c គឺជាលេខបំពាន ដែលមាន a≠0។
នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលាសម្ភារៈត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម - សមីការត្រូវបានបែងចែកជាបីថ្នាក់:
1. ពួកគេមានឫសពីរ។
2. * មានឫសតែមួយ។
3. ពួកគេគ្មានឫសទេ។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ជាពិសេសនៅទីនេះថាពួកគេមិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។
តើឫសត្រូវបានគណនាយ៉ាងដូចម្តេច? គ្រាន់តែ!
យើងគណនាអ្នករើសអើង។ នៅក្រោមពាក្យ "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" នេះមានរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត:
រូបមន្តឫសមានដូចខាងក្រោម៖
* អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តទាំងនេះដោយបេះដូង។
អ្នកអាចសរសេរនិងដោះស្រាយភ្លាមៗ៖
ឧទាហរណ៍៖
1. ប្រសិនបើ D > 0 នោះសមីការមានឫសពីរ។
2. ប្រសិនបើ D = 0 នោះសមីការមានឫសតែមួយ។
3. ប្រសិនបើ ឃ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
តោះមើលសមីការ៖
ក្នុងន័យនេះ កាលណាអ្នករើសអើងស្មើនឹងសូន្យ វគ្គសាលាថាបានឫសមួយ ត្រង់នេះស្មើនឹង ៩។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវ វាគឺដូច្នេះ ប៉ុន្តែ ...
គំនិតនេះគឺមិនត្រឹមត្រូវខ្លះ។ តាមពិតមានឫសពីរ។ បាទ/ចាស បាទ កុំភ្ញាក់ផ្អើល អ្នកទទួលបានឫសស្មើគ្នាពីរ ហើយដើម្បីឱ្យច្បាស់លាស់តាមគណិតវិទ្យា ចម្លើយគួរតែរួមបញ្ចូលឫសពីរ៖
x 1 = 3 x 2 = 3
ប៉ុន្តែនេះគឺដូច្នេះ - ភាពច្របូកច្របល់តូចមួយ។ នៅសាលាអ្នកអាចសរសេរវាចុះ ហើយនិយាយថាមានឫសមួយ។
ឥឡូវឧទាហរណ៍បន្ទាប់៖
ដូចដែលយើងដឹងហើយ ឫសនៃលេខអវិជ្ជមានមិនអាចយកបានទេ ដូច្នេះគ្មានដំណោះស្រាយក្នុងករណីនេះទេ។
នោះជាដំណើរការសម្រេចចិត្តទាំងមូល។
មុខងារបួនជ្រុង។
នេះបង្ហាញពីអ្វីដែលដំណោះស្រាយមើលទៅដូចធរណីមាត្រ។ នេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ (នៅពេលអនាគតនៅក្នុងអត្ថបទមួយ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពការ៉េ)។
នេះគឺជាមុខងារនៃទម្រង់៖
ដែល x និង y ជាអថេរ
a, b, c - លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយមាន ≠ 0
ក្រាហ្វគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា៖
នោះគឺវាប្រែថាដោយការដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយ "y" ស្មើនឹងសូន្យ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ័ក្ស x ។ វាអាចមានពីរចំណុចនេះ (អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន) មួយ (អ្នករើសអើងគឺសូន្យ) និងគ្មាន (អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន)។ ព័ត៌មានលម្អិតអំពីមុខងារការ៉េ អ្នកអាចមើលអត្ថបទដោយ Inna Feldman ។
តោះមើលឧទាហរណ៍៖
ឧទាហរណ៍ 1: ដោះស្រាយ 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= −192
ឃ=ខ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
ចម្លើយ៖ x 1 = 8 x 2 = −12
* វាអាចបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការបានភ្លាមៗ ដោយ 2 មានន័យថា ធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ ការគណនានឹងកាន់តែងាយស្រួល។
ឧទាហរណ៍ 2៖ សម្រេចចិត្ត x ២–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
យើងបានរកឃើញថា x 1 = 11 និង x 2 = 11
វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យសរសេរ x = 11 នៅក្នុងចម្លើយ។
ចម្លើយ៖ x = ១១
ឧទាហរណ៍ 3៖ សម្រេចចិត្ត x 2 −8x + 72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac = (–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនពិតទេ។
ចម្លើយ៖ គ្មានដំណោះស្រាយទេ។
អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ មានដំណោះស្រាយ!
នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលការរើសអើងអវិជ្ជមានត្រូវបានទទួល។ តើអ្នកដឹងអ្វីខ្លះអំពីចំនួនកុំផ្លិច? ខ្ញុំនឹងមិននិយាយលម្អិតនៅទីនេះអំពីមូលហេតុ និងកន្លែងដែលពួកគេក្រោកឡើង និងអ្វីដែលតួនាទី និងភាពចាំបាច់ជាក់លាក់របស់ពួកគេនៅក្នុងគណិតវិទ្យានេះគឺជាប្រធានបទសម្រាប់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកដ៏ធំមួយ។
គំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ទ្រឹស្តីតិចតួច។
ចំនួនកុំផ្លិច z គឺជាចំនួននៃទម្រង់
z = a + ប៊ី
ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ខ្ញុំគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។
a+bi - នេះគឺជាលេខតែមួយ មិនមែនជាការបន្ថែមទេ។
ឯកតាស្រមើលស្រមៃស្មើនឹងឫសនៃដកមួយ៖
ឥឡូវពិចារណាសមីការ៖
យើងទទួលបានឫសផ្សំពីរ។
សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។
ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេស នេះគឺជាពេលដែលមេគុណ "b" ឬ "c" ស្មើនឹងសូន្យ (ឬទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ)។ ពួកគេអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយគ្មានបញ្ហារើសអើង។
ករណី 1. មេគុណ b = 0 ។
សមីការក្លាយជា៖
តោះបម្លែង៖
ឧទាហរណ៍៖
4x 2 −16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = −2
ករណីទី 2. មេគុណ c = 0 ។
សមីការក្លាយជា៖
ចូរបំប្លែង និងធ្វើកត្តា៖
*ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។
ឧទាហរណ៍៖
9x 2–45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ឬ x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
ករណីទី 3. មេគុណ b = 0 និង c = 0 ។
នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនឹងតែងតែ x = 0 ។
លក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានប្រយោជន៍ និងលំនាំនៃមេគុណ។
មានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងមេគុណធំ។
កx 2 + bx+ គ=0 រក្សាសមភាព
ក + ខ+ គ = ០,នោះ។
- ប្រសិនបើសម្រាប់មេគុណនៃសមីការ កx 2 + bx+ គ=0 រក្សាសមភាព
ក+ ស =ខ, នោះ។
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះជួយដោះស្រាយសមីការប្រភេទជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍ 1៖ 5001 x 2 –4995 x – 6=0
ផលបូកនៃហាងឆេងគឺ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ដែលមានន័យថា
ឧទាហរណ៍ 2៖ 2501 x 2 +2507 x+6=0
រក្សាសមភាព ក+ ស =ខ, មធ្យោបាយ
ភាពទៀងទាត់នៃមេគុណ។
1. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 + bx + c = 0 មេគុណ "b" គឺស្មើនឹង (a 2 +1) ហើយមេគុណ "c" គឺស្មើលេខនឹងមេគុណ "a" នោះឫសរបស់វាស្មើគ្នា។
អ័ក្ស 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a ។
ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 6x 2 + 37x + 6 = 0 ។
x 1 = −6 x 2 = −1/6 ។
2. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 – bx + c = 0 មេគុណ “b” គឺស្មើនឹង (a 2 +1) ហើយមេគុណ “c” គឺស្មើលេខនឹងមេគុណ “a” នោះឫសរបស់វាស្មើគ្នា។
អ័ក្ស 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a ។
ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 15x 2 –226x +15 = 0 ។
x 1 = 15 x 2 = 1/15 ។
3. ប្រសិនបើនៅក្នុង Eq ។ ax 2 + bx – c = 0 coefficient “b” គឺស្មើនឹង (a 2 ១) និងមេគុណ “គ” ជាលេខស្មើនឹងមេគុណ "a", បន្ទាប់មកឫសរបស់វាស្មើគ្នា
អ័ក្ស 2 + (a 2 −1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a ។
ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 17x 2 +288x – 17 = 0 ។
x 1 = − 17 x 2 = 1/17 ។
4. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 – bx – c = 0 មេគុណ “b” គឺស្មើនឹង (a 2 – 1) ហើយមេគុណ c ជាលេខស្មើនឹងមេគុណ “a” នោះឫសរបស់វាស្មើគ្នា។
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a ។
ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 10x 2 – 99x –10 = 0 ។
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។
ទ្រឹស្តីបទ Vieta ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីល្បាញ Francois Vieta។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងអាចបង្ហាញពីផលបូក និងផលនៃឫសនៃ KU បំពានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា។
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
សរុបមក លេខ 14 ផ្តល់តែ 5 និង 9។ ទាំងនេះគឺជាឫសគល់។ ជាមួយនឹងជំនាញជាក់លាក់មួយ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបង្ហាញ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េជាច្រើនដោយផ្ទាល់មាត់ភ្លាមៗ។
លើសពីនេះទៀតទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ វាងាយស្រួលបន្ទាប់ពីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងតាមរបៀបធម្មតា (តាមរយៈអ្នករើសអើង) ឫសលទ្ធផលអាចត្រូវបានពិនិត្យ។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យធ្វើបែបនេះជានិច្ច។
មធ្យោបាយដឹកជញ្ជូន
ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ មេគុណ "a" ត្រូវបានគុណនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ ដូចជា "បោះ" ទៅវា ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្ត "ផ្ទេរ" ។វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលអ្នកអាចស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយសំខាន់បំផុតនៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាការ៉េពិតប្រាកដ។
ប្រសិនបើ ក± b+c≠ 0 បន្ទាប់មកបច្ចេកទេសផ្ទេរត្រូវបានប្រើឧទាហរណ៍៖
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក្នុងសមីការ (2) វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថា x 1 = 10 x 2 = 1
ឫសលទ្ធផលនៃសមីការត្រូវតែបែងចែកដោយ 2 (ចាប់តាំងពីទាំងពីរត្រូវបាន "បោះ" ពី x 2) យើងទទួលបាន
x 1 = 5 x 2 = 0.5 ។
តើអ្វីជាហេតុផល? រកមើលអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។
ការរើសអើងនៃសមីការ (១) និង (២) គឺស្មើគ្នា៖
ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឫសនៃសមីការ អ្នកទទួលបានតែភាគបែងផ្សេងគ្នា ហើយលទ្ធផលគឺអាស្រ័យយ៉ាងជាក់លាក់លើមេគុណនៃ x 2៖
ទីពីរ (កែប្រែ) មួយមានឫសធំជាង 2 ដង។
ដូច្នេះយើងបែងចែកលទ្ធផលដោយ 2 ។
*ប្រសិនបើយើងបង្វិលបីឡើងវិញ យើងនឹងបែងចែកលទ្ធផលដោយ 3 ។ល។
ចម្លើយ៖ x 1 = 5 x 2 = 0.5
ការ៉េ ur-ie និងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។
ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកដោយសង្ខេបអំពីសារៈសំខាន់របស់វា - អ្នកត្រូវតែអាចសម្រេចចិត្តយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយមិនគិត អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តនៃឫសគល់ និងការរើសអើងដោយបេះដូង។ បញ្ហាជាច្រើនដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមបានពុះកញ្ជ្រោលដល់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង (ធរណីមាត្រផងដែរ)។
អ្វីដែលគួរកត់សម្គាល់!
1. ទម្រង់នៃការសរសេរសមីការអាច "បង្កប់ន័យ"។ ឧទាហរណ៍ ធាតុខាងក្រោមគឺអាចធ្វើទៅបាន៖
15+ 9x 2 − 45x = 0 ឬ 15x + 42 + 9x 2 − 45x = 0 ឬ 15 −5x + 10x 2 = 0 ។
អ្នកត្រូវនាំវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ (ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំនៅពេលដោះស្រាយ)។
2. ចងចាំថា x គឺជាបរិមាណដែលមិនស្គាល់ ហើយវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរផ្សេងទៀត - t, q, p, h និងផ្សេងទៀត។
យើងបន្តសិក្សាលើប្រធានបទ " ការដោះស្រាយសមីការ" យើងបានស្គាល់សមីការលីនេអ៊ែររួចហើយ ហើយកំពុងបន្តទៅស្គាល់ សមីការការ៉េ.
ជាដំបូង យើងនឹងពិនិត្យមើលថាតើសមីការបួនជ្រុងជាអ្វី របៀបដែលវាត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ទូទៅ និងផ្តល់និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងនឹងប្រើឧទាហរណ៍ដើម្បីពិនិត្យមើលលម្អិតអំពីរបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ បន្ទាប់មក យើងនឹងបន្តទៅការដោះស្រាយសមីការពេញលេញ ទទួលបានរូបមន្តឫសគល់ ស្គាល់អ្នករើសអើងនៃសមីការការ៉េ និងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតា។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងតាមដានទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។
ការរុករកទំព័រ។
តើសមីការការ៉េជាអ្វី? ប្រភេទរបស់ពួកគេ។
ដំបូងអ្នកត្រូវយល់ច្បាស់ថាអ្វីជាសមីការបួនជ្រុង។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការចាប់ផ្តើមការសន្ទនាអំពីសមីការការ៉េជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ ក៏ដូចជានិយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ អ្នកអាចពិចារណាអំពីប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការការ៉េ៖ កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ ក៏ដូចជាសមីការពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។
និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ
និយមន័យ។
សមីការការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + b x + c = 0ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a គឺមិនមែនសូន្យ។
ចូរនិយាយភ្លាមៗថា សមីការ quadratic ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាសមីការ quadratic គឺ សមីការពិជគណិតសញ្ញាបត្រទីពីរ។
និយមន័យដែលបានបញ្ជាក់អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ។ ដូច្នេះ 2 x 2 +6 x + 1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។
និយមន័យ។
លេខ a, b និង c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការការ៉េ a·x 2 +b·x+c=0 ហើយមេគុណ a ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬខ្ពស់បំផុត ឬមេគុណ x 2 b គឺជាមេគុណទីពីរ ឬមេគុណ x ហើយ c គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ .
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x −3=0 នៅទីនេះ មេគុណនាំមុខគឺ 5 មេគុណទីពីរគឺស្មើនឹង −2 ហើយពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹង −3 ។ សូមចំណាំថានៅពេលដែលមេគុណ b និង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទើបតែបានផ្ដល់ឱ្យ ទម្រង់ខ្លីនៃសមីការការ៉េគឺ 5 x 2 −2 x−3=0 ជាជាង 5 x 2 +(−2) · x+(−3)=0 ។
គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលមេគុណ a និង/ឬ b ស្មើនឹង 1 ឬ −1 ពួកវាជាធម្មតាមិនមានវត្តមានយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការការ៉េ ដែលបណ្តាលមកពីភាពពិសេសនៃការសរសេរបែបនេះ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការការ៉េ y 2 −y + 3 = 0 មេគុណនាំមុខគឺមួយ ហើយមេគុណនៃ y គឺស្មើនឹង −1 ។
សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ
អាស្រ័យលើតម្លៃនៃមេគុណនាំមុខ សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយត្រូវបានសម្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។
និយមន័យ។
សមីការ quadratic ដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ. បើមិនដូច្នោះទេសមីការការ៉េគឺ មិនបានប៉ះ.
យោងតាមនិយមន័យនេះ សមីការការ៉េ x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ។ល។ - បានផ្តល់ឱ្យ ក្នុងពួកវានីមួយៗ មេគុណទីមួយគឺស្មើនឹងមួយ។ A 5 x 2 −x −1 = 0 ។ល។ - សមីការការ៉េដែលមិនបានកាត់បន្ថយ មេគុណឈានមុខគេគឺខុសពី 1 ។
ពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយណាមួយ ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណនាំមុខ អ្នកអាចទៅកាត់បន្ថយមួយ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបំប្លែងសមមូល ពោលគឺសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលទទួលបានតាមវិធីនេះមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយដើម ឬដូចជាវាមិនមានឫសគល់។
ចូរយើងក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ quadratic unreduced ទៅ a reduce ត្រូវបានអនុវត្ត។
ឧទាហរណ៍។
ពីសមីការ 3 x 2 +12 x−7=0 ទៅកាន់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលត្រូវគ្នា។
ដំណោះស្រាយ។
យើងគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 3 វាមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចអនុវត្តសកម្មភាពនេះបាន។ យើងមាន (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ដែលដូចគ្នា (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ហើយបន្ទាប់មក (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 មកពីណា។ នេះជារបៀបដែលយើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ ដែលស្មើនឹងតម្លៃដើម។
ចម្លើយ៖
សមីការក្រឡាចត្រង្គពេញលេញនិងមិនពេញលេញ
និយមន័យនៃសមីការការ៉េមានលក្ខខណ្ឌ a≠0។ លក្ខខណ្ឌនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យសមីការ a x 2 + b x + c = 0 គឺ quadratic ចាប់តាំងពីពេលដែល a = 0 វាពិតជាក្លាយជាសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ b x + c = 0 ។
ចំពោះមេគុណ b និង c ពួកវាអាចស្មើនឹងសូន្យ ទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។
និយមន័យ។
សមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 ត្រូវបានហៅ មិនពេញលេញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ b, c គឺស្មើនឹងសូន្យ។
នៅក្នុងវេនរបស់វា។
និយមន័យ។
បញ្ចប់សមីការការ៉េគឺជាសមីការដែលមេគុណទាំងអស់ខុសពីសូន្យ។
ឈ្មោះបែបនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចៃដន្យទេ។ វានឹងក្លាយជាច្បាស់ពីការពិភាក្សាខាងក្រោម។
ប្រសិនបើមេគុណ b ជាសូន្យ នោះសមីការការ៉េយកទម្រង់ ax 2 +0·x+c=0 ហើយវាស្មើនឹងសមីការ a·x 2 +c=0 ។ ប្រសិនបើ c=0 នោះគឺសមីការការ៉េមានទម្រង់ ax 2 +b·x+0=0 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា·x 2 +b·x=0 ។ ហើយជាមួយ b=0 និង c=0 យើងទទួលបានសមីការការ៉េ ax 2 = 0 ។ សមីការលទ្ធផលខុសពីសមីការការ៉េពេញលេញ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេមិនមានទាំងពាក្យដែលមានអថេរ x ឬពាក្យឥតគិតថ្លៃ ឬទាំងពីរ។ ដូច្នេះឈ្មោះរបស់ពួកគេ - សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។
ដូច្នេះសមីការ x 2 +x+1=0 និង −2 x 2 −5 x+0.2=0 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េពេញលេញ និង x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x = 0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។
ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ
ពីព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនវាដូចខាងក្រោមថាមាន សមីការការ៉េមិនពេញលេញបីប្រភេទ:
- ax 2 = 0 មេគុណ b=0 និង c=0 ត្រូវគ្នានឹងវា;
- a x 2 +c=0 ពេល b=0 ;
- និង ax 2 +b·x=0 នៅពេល c=0 ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលតាមលំដាប់លំដោយថាតើសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទនីមួយៗនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច។
a x 2 = 0
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែលមេគុណ b និង c ស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 = 0 ។ សមីការ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដែលទទួលបានពីដើមដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយចំនួនមិនសូន្យ a ។ ជាក់ស្តែង ឫសនៃសមីការ x 2 = 0 គឺសូន្យ ចាប់តាំងពី 0 2 = 0 ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាសម្រាប់លេខដែលមិនសូន្យ p វិសមភាព p 2 > 0 ទទួលបាន ដែលមានន័យថាសម្រាប់ p≠0 សមភាព p 2 = 0 គឺមិនដែលសម្រេចបាន។
ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a·x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x=0 ។
ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ −4 x 2 = 0 ។ វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0 ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសតែមួយសូន្យ។
ដំណោះស្រាយខ្លីក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 ។
a x 2 + c = 0
ឥឡូវសូមមើលពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណ b គឺសូន្យ និង c≠0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0 ។ យើងដឹងថាការផ្លាស់ទីពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ក៏ដូចជាការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ ផ្តល់សមីការសមមូល។ ដូច្នេះ យើងអាចអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 +c=0៖
- ផ្លាស់ទី c ទៅខាងស្តាំ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = −c,
- ហើយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ a យើងទទួលបាន។
សមីការលទ្ធផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់របស់វា។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃ a និង c តម្លៃនៃកន្សោមអាចជាអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=1 និង c=2 បន្ទាប់មក) ឬវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=−2 និង c=6, បន្ទាប់មក ) វាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដោយសារតាមលក្ខខណ្ឌ c≠0។ យើងនឹងវិភាគករណីដាច់ដោយឡែក និង។
ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាការេនៃចំនួនណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ វាកើតឡើងពីនេះថានៅពេលណា នោះសម្រាប់លេខណាមួយ p សមភាពមិនអាចក្លាយជាការពិតបានទេ។
ប្រសិនបើ នោះស្ថានភាពដែលមានឫសគល់នៃសមីការគឺខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងចងចាំអំពី នោះឫសនៃសមីការភ្លាមៗក្លាយជាជាក់ស្តែង វាជាលេខ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលេខក៏ជាឫសគល់នៃសមីការដែរ ជាការពិត។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ តោះធ្វើវា។
ចូរយើងសម្គាល់ឫសនៃសមីការដែលទើបតែប្រកាសថាជា x 1 និង −x 1 ។ ឧបមាថាសមីការមានឫស x 2 មួយទៀត ខុសពីឫសដែលបានចង្អុលបង្ហាញ x 1 និង −x 1 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាការជំនួសឫសរបស់វាទៅជាសមីការជំនួសឱ្យ x បង្វែរសមីការទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ x 1 និង −x 1 យើងមាន ហើយសម្រាប់ x 2 យើងមាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការដកតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះការដកផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពផ្តល់ឱ្យ x 1 2 −x 2 2 = 0 ។ លក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពលទ្ធផលជា (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 ។ យើងដឹងថាផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះពីសមភាពលទ្ធផល វាធ្វើតាមថា x 1 −x 2 = 0 និង/ឬ x 1 + x 2 = 0 ដែលដូចគ្នា x 2 = x 1 និង/ឬ x 2 = −x 1 ។ ដូច្នេះយើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា ចាប់តាំងពីដើមដំបូងយើងបាននិយាយថា ឫសនៃសមីការ x 2 គឺខុសពី x 1 និង −x 1 ។ នេះបង្ហាញថាសមីការមិនមានឫសអ្វីក្រៅពី និង .
ចូរយើងសង្ខេបព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c=0 គឺស្មើនឹងសមីការដែល
- មិនមានឫសប្រសិនបើ
- មានឫសពីរហើយប្រសិនបើ .
ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការការ៉េ 9 x 2 +7 = 0 ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ វានឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = −7 ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់។ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំមានលេខអវិជ្ជមាន សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 +7 = 0 មិនមានឫសទេ។
ចូរដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញមួយផ្សេងទៀត −x 2 +9=0 ។ យើងផ្លាស់ទីប្រាំបួនទៅខាងស្តាំ៖ −x 2 = −9 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ −1 យើងទទួលបាន x 2 = 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំមានលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងសន្និដ្ឋានថា ឬ . បន្ទាប់មកយើងសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ −x 2 +9=0 មានឫសពីរ x=3 ឬ x=−3 ។
a x 2 + b x = 0
វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រភេទចុងក្រោយនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញសម្រាប់ c=0។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ a x 2 + b x = 0 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ជាក់ស្តែង យើងអាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយកកត្តារួម x ចេញពីតង្កៀប។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅសមីការសមមូលនៃទម្រង់ x·(a·x+b)=0 ។ ហើយសមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x=0 និង a·x+b=0 ដែលជាសមីការបន្ទាប់គឺលីនេអ៊ែរ និងមានឫស x=−b/a។
ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ax 2 +b·x=0 មានឫសពីរ x=0 និង x=−b/a ។
ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយទៅនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការ។
ដំណោះស្រាយ។
ការយក x ចេញពីតង្កៀបផ្តល់សមីការ។ វាស្មើនឹងសមីការពីរ x=0 និង . យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ ហើយដោយបែងចែកលេខចម្រុះដោយប្រភាគធម្មតា យើងរកឃើញ . ដូច្នេះឫសនៃសមីការដើមគឺ x=0 និង .
បន្ទាប់ពីទទួលបានការអនុវត្តចាំបាច់ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លី៖
ចម្លើយ៖
x=0 , ។
ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ: , កន្លែងណា D=b 2 −4 a គ- ហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ. ធាតុសំខាន់មានន័យថា។
វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីរបៀបដែលរូបមន្តឫសគល់ត្រូវបានយកមក និងរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះ។
ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ
អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 + b·x + c = 0 ។ ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖
- យើងអាចបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះដោយចំនួនមិនមែនសូន្យ a ដែលបណ្តាលឱ្យមានសមីការការ៉េដូចខាងក្រោម។
- ឥឡូវនេះ ជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញនៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា៖ . បន្ទាប់ពីនេះ សមីការនឹងយកទម្រង់។
- ក្នុងដំណាក់កាលនេះ គេអាចផ្ទេរពាក្យពីរចុងក្រោយទៅខាងស្ដាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នាយើងមាន។
- ហើយសូមបំប្លែងកន្សោមខាងស្តាំផង៖ .
ជាលទ្ធផល យើងមកដល់សមីការដែលស្មើនឹងសមីការការ៉េដើម ax 2 +b·x+c=0 ។
យើងបានដោះស្រាយសមីការដែលស្រដៀងគ្នានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនរួចហើយនៅពេលដែលយើងពិនិត្យ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមទាក់ទងនឹងឫសនៃសមីការ៖
- ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។
- ប្រសិនបើ នោះសមីការមានទម្រង់ ដូច្នេះហើយ ដែលឫសតែមួយគត់របស់វាអាចមើលឃើញ។
- ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក ឬ ដែលដូចគ្នានឹង ឬ នោះគឺសមីការមានឫសពីរ។
ដូច្នេះ វត្តមាន ឬអវត្ដមាននៃឫសគល់នៃសមីការ ហើយដូច្នេះសមីការការ៉េដើម គឺអាស្រ័យទៅលើសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិនៅជ្រុងខាងស្តាំ។ នៅក្នុងវេន សញ្ញានៃកន្សោមនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញានៃភាគយក ចាប់តាំងពីភាគបែង 4·a 2 តែងតែវិជ្ជមាន ពោលគឺដោយសញ្ញានៃកន្សោម b 2 −4·a·c ។ កន្សោមនេះ b 2 −4 a c ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េនិងកំណត់ដោយលិខិត ឃ. ពីទីនេះខ្លឹមសារនៃការរើសអើងគឺច្បាស់លាស់ - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេបានសន្និដ្ឋានថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើលេខរបស់ពួកគេគឺជាអ្វី - មួយ ឬពីរ។
ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ ហើយសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់៖ . ហើយយើងធ្វើការសន្និដ្ឋាន៖
- ប្រសិនបើ D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។
- ចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការមានឫសពីរ ឬដែលអាចសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬ ហើយបន្ទាប់ពីពង្រីក និងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតាដែលយើងទទួលបាន។
ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ពួកវាមើលទៅដូចជា កន្លែងដែលការរើសអើង D ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត D=b 2 −4·a·c ។
ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ ជាមួយនឹងការរើសអើងវិជ្ជមាន អ្នកអាចគណនាឫសពិតទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ។ នៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ រូបមន្តទាំងពីរផ្តល់តម្លៃដូចគ្នានៃឫស ដែលត្រូវនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ហើយជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន នៅពេលដែលយើងព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ យើងត្រូវប្រឈមមុខនឹងការដកឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនាំយើងហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែមានគូ conjugate ស្មុគស្មាញឫស ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។
ក្បួនដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើរូបមន្តឫស
នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត root ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វា។ ប៉ុន្តែនេះទាក់ទងនឹងការស្វែងរកឫសស្មុគ្រស្មាញ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា យើងជាធម្មតានិយាយមិនអំពីភាពស្មុគស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែអំពីឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការបួនជ្រុង។ ក្នុងករណីនេះ គួរតែមុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីស្វែងរកអ្នករើសអើងជាមុនសិន ត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ)។ ហើយមានតែបន្ទាប់មកគណនាតម្លៃនៃឫស។
ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរ ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 អ្នកត្រូវ៖
- ដោយប្រើរូបមន្តបែងចែក D=b 2 −4·a·c គណនាតម្លៃរបស់វា;
- សន្និដ្ឋានថាសមីការការ៉េមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។
- គណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តប្រសិនបើ D=0;
- ស្វែងរកឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងគឺវិជ្ជមាន។
នៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថាប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ អ្នកក៏អាចប្រើរូបមន្តដែរ វានឹងផ្តល់តម្លៃដូចគ្នាទៅនឹង .
អ្នកអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ
ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបួនជ្រុងដែលមានការរើសអើងវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ។ ដោយបានដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា វានឹងអាចដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងផ្សេងទៀត។ តោះចាប់ផ្ដើម។
ឧទាហរណ៍។
រកឫសនៃសមីការ x 2 +2·x−6=0 ។
ដំណោះស្រាយ។
ក្នុងករណីនេះ យើងមានមេគុណនៃសមីការការ៉េដូចខាងក្រោមៈ a=1, b=2 និង c=−6 ។ យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដំបូងអ្នកត្រូវគណនាការរើសអើង ដើម្បីធ្វើដូច្នេះយើងជំនួសសញ្ញា a, b និង c ដែលបានបង្ហាញទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ចាប់តាំងពី 28>0 នោះគឺ ការបែងចែកគឺធំជាងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫស យើងទទួលបាន នៅទីនេះអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលដោយធ្វើ ផ្លាស់ទីមេគុណលើសពីសញ្ញាឫសបន្តដោយការកាត់បន្ថយប្រភាគ៖
ចម្លើយ៖
ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ធម្មតាបន្ទាប់។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការការ៉េ −4 x 2 +28 x −49=0 ។
ដំណោះស្រាយ។
យើងចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកអ្នករើសអើង៖ D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ដូច្នេះ សមីការការ៉េនេះមានឫសតែមួយ ដែលយើងរកឃើញថា
ចម្លើយ៖
x=3.5 ។
វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការ 5·y 2 +6·y+2=0 ។
ដំណោះស្រាយ។
នេះគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ៖ a=5, b=6 និង c=2។ យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើងយើងមាន D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. ការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការបួនជ្រុងនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។
ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ នោះយើងអនុវត្តរូបមន្តល្បីសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ហើយអនុវត្ត ប្រតិបត្តិការជាមួយលេខស្មុគស្មាញ:
ចម្លើយ៖
មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ ឫសស្មុគស្មាញគឺ៖ .
ចូរយើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការបួនជ្រុងគឺអវិជ្ជមាន នោះនៅក្នុងសាលារៀនជាធម្មតាពួកគេសរសេរចម្លើយភ្លាមៗដែលពួកគេបង្ហាញថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយឫសស្មុគ្រស្មាញមិនត្រូវបានរកឃើញទេ។
រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ
រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ដែល D=b 2 −4·a·c អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានរូបមន្តនៃទម្រង់បង្រួមបន្ថែមទៀត ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយនឹងមេគុណ x (ឬសាមញ្ញជាមួយ a មេគុណនៃទម្រង់ 2·n ឧទាហរណ៍ ឬ 14·ln5=2·7·ln5)។ ចូរនាំនាងចេញ។
ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ a x 2 +2 n x + c = 0 ។ ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងដឹង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាអ្នករើសអើង D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្តឫស៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់កន្សោម n 2 −a c ជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n នឹងយកទម្រង់ 
ដែលជាកន្លែងដែល D 1 = n 2 −a·c ។
វាងាយស្រួលមើលថា D=4·D 1 ឬ D 1 =D/4។ ម្យ៉ាងទៀត ឃ ១ ជាចំណែកទី ៤ នៃអ្នករើសអើង។ វាច្បាស់ណាស់ថាសញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ។ នោះគឺសញ្ញា D 1 ក៏ជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។
ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរ 2·n អ្នកត្រូវការ
- គណនា D 1 = n 2 −a·c ;
- ប្រសិនបើ ឃ ១<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- ប្រសិនបើ D 1 = 0 បន្ទាប់មកគណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត;
- ប្រសិនបើ D 1 > 0 បន្ទាប់មករកឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត។
ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 −6 x −32=0 ។
ដំណោះស្រាយ។
មេគុណទីពីរនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 2·(−3) ។ នោះគឺអ្នកអាចសរសេរសមីការការ៉េដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 នៅទីនេះ a=5, n=−3 និង c=−32 ហើយគណនាផ្នែកទីបួននៃ អ្នករើសអើង៖ ឃ 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ដោយសារតម្លៃរបស់វាគឺវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសត្រឹមត្រូវ៖
ចំណាំថាវាអាចប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ការងារគណនាបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវអនុវត្ត។
ចម្លើយ៖
ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ
ពេលខ្លះ មុននឹងចាប់ផ្តើមគណនាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការសួរសំណួរ៖ "តើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលទម្រង់សមីការនេះទេ?" យល់ស្របថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការគណនា វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 11 x 2 −4 x−6=0 ជាង 1100 x 2 −400 x−600=0 ។
ជាធម្មតា ការធ្វើឱ្យទម្រង់សមីការបួនជ្រុងមានភាពសាមញ្ញត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌមុន គេអាចសម្រួលសមីការ 1100 x 2 −400 x −600=0 ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។
ការបំប្លែងស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តជាមួយសមីការបួនជ្រុង ដែលជាមេគុណដែលមិនមែនជា . ក្នុងករណីនេះភាគីទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកជាធម្មតាដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 12 x 2 −42 x+48=0 ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា៖ GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 យើងមកដល់សមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 −7 x + 8=0 ។
ហើយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការ quadratic ជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើដើម្បីកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះការគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគុណដោយ LCM(6, 3, 1)=6 នោះវានឹងយកទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 +4·x−18=0 ។
នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃចំណុចនេះ យើងកត់សម្គាល់ថាពួកគេស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណខ្ពស់បំផុតនៃសមីការបួនជ្រុងដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងការគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ជាធម្មតាមួយផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េ −2 x 2 −3 x + 7=0 ទៅកាន់ដំណោះស្រាយ 2 x 2 +3 x−7=0 ។
ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ
រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ quadratic បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តឫស អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។
រូបមន្តដែលគេស្គាល់ និងអាចអនុវត្តបានច្រើនបំផុតពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មានទម្រង់ និង . ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ ឧទាហរណ៍ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 −7 x + 22 = 0 យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាស្មើនឹង 7/3 ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹង 22 ។ /៣.
ដោយប្រើរូបមន្តដែលបានសរសេររួចហើយ អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងមួយចំនួនផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបង្ហាញផលបូកនៃការេនៃឫសនៃសមីការការ៉េតាមរយៈមេគុណរបស់វា៖ .
គន្ថនិទ្ទេស។
- ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
- Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។