ចំណាំ. សម្ភារៈនេះមានទ្រឹស្តីបទ និងភស្តុតាងរបស់វា ព្រមទាំងបញ្ហាមួយចំនួនដែលបង្ហាញពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោងដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង.

ទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោង

.

ភស្តុតាង.

ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោងមួយ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់រួចហើយថាផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹង 180 ដឺក្រេ។

អនុញ្ញាតឱ្យ A 1 A 2... A n ជាពហុកោណប៉ោងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ n > 3. ចូរយើងគូរអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់នៃពហុកោណពីចំនុចកំពូលនៃ A 1។ ពួកគេបែងចែកវាទៅជាត្រីកោណ n – 2៖ Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណគឺជាផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណទាំងអស់នេះ។ ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណនីមួយៗគឺ 180° ហើយចំនួនត្រីកោណគឺ (n – 2)។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon A 1 A 2... A n គឺស្មើនឹង 180° (n – 2)។

កិច្ចការ។

ពហុកោណប៉ោងមានបីមុំ 80 ដឺក្រេ និងនៅសល់ 150 ដឺក្រេ។ តើមានមុំប៉ុន្មានក្នុងពហុកោណប៉ោង?

ដំណោះស្រាយ។

ទ្រឹស្តីបទចែងថា៖ សម្រាប់ប៉ោង n-gon ផលបូកនៃមុំគឺ 180°(n-2) .

ដូច្នេះសម្រាប់ករណីរបស់យើង៖

180(n-2)=3*80+x*150, កន្លែងណា

មុំ 3 នៃ 80 ដឺក្រេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាហើយចំនួនមុំផ្សេងទៀតនៅតែមិនស្គាល់សម្រាប់យើងដូច្នេះយើងកំណត់លេខរបស់ពួកគេជា x ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយពីធាតុនៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងបានកំណត់ចំនួនមុំនៃពហុកោណជា n ដោយសារពីពួកគេយើងដឹងពីតម្លៃនៃមុំបីពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាវាច្បាស់ណាស់ x = n-3 ។

ដូច្នេះសមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

180(n-2)=240+150(n-3)

យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

ចម្លើយ៖ 5 កំពូល

កិច្ចការ។

តើពហុកោណអាចមានមុំប៉ុន្មានប្រសិនបើមុំនីមួយៗតិចជាង 120 ដឺក្រេ?

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោង។

ទ្រឹស្តីបទចែងថា៖ សម្រាប់ប៉ោង n-gon ផលបូកនៃមុំទាំងអស់គឺ 180°(n-2) .

នេះមានន័យថាសម្រាប់ករណីរបស់យើងវាចាំបាច់ដំបូងដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណលក្ខខណ្ឌព្រំដែននៃបញ្ហា។ នោះគឺធ្វើឱ្យការសន្មត់ថាមុំនីមួយៗគឺស្មើនឹង 120 ដឺក្រេ។ យើង​ទទួល​បាន:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (យើងនឹងពិចារណាកន្សោមនេះដោយឡែកពីគ្នាខាងក្រោម)

ដោយផ្អែកលើសមីការលទ្ធផល យើងសន្និដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើមុំតិចជាង 120 ដឺក្រេ នោះចំនួនមុំនៃពហុកោណគឺតិចជាងប្រាំមួយ។

ការពន្យល់៖

ដោយផ្អែកលើកន្សោម 180n - 120n = 360 បានផ្តល់ថាផ្នែករងនៃផ្នែកខាងស្តាំគឺតិចជាង 120n ភាពខុសគ្នាគួរតែមានច្រើនជាង 60n ។ ដូច្នេះ កូតានៃការបែងចែកនឹងតែងតែតិចជាងប្រាំមួយ។

ចម្លើយ៖ចំនួនបញ្ឈរនៃពហុកោណនឹងមានតិចជាងប្រាំមួយ។

កិច្ចការ

នៅក្នុងពហុកោណ មុំបីគឺ 113 ដឺក្រេនីមួយៗ ហើយនៅសល់គឺស្មើគ្នា ហើយរង្វាស់ដឺក្រេរបស់ពួកគេគឺជាចំនួនគត់។ រក​ចំនួន​បញ្ឈរ​នៃ​ពហុកោណ។

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោង។

ទ្រឹស្តីបទចែងថា៖ សម្រាប់ប៉ោង n-gon ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់គឺ 360° .

ដូច្នេះ

3*(180-113)+(n-3)x=360

ផ្នែកខាងស្តាំនៃកន្សោមគឺជាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងផលបូកនៃមុំបីត្រូវបានដឹងដោយលក្ខខណ្ឌ ហើយរង្វាស់ដឺក្រេនៃសល់ (ចំនួនរបស់ពួកគេរៀងគ្នា n-3 ចាប់តាំងពីមុំបីត្រូវបានគេស្គាល់) ត្រូវបានកំណត់ជា x ។

159 ត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាពីរ 53 និង 3 ដោយ 53 ជាលេខបឋម។ នោះគឺមិនមានកត្តាគូផ្សេងទៀតទេ។

ដូច្នេះ n-3 = 3, n=6, នោះគឺចំនួនមុំនៃពហុកោណគឺប្រាំមួយ។

ចម្លើយ: ប្រាំមួយជ្រុង

កិច្ចការ

បង្ហាញថាពហុកោណប៉ោងអាចមានមុំស្រួចស្រាវច្រើនបំផុតបី។

ដំណោះស្រាយ

ដូចដែលគេដឹង ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹង 360 0។ ចូរយើងអនុវត្តភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ ប្រសិនបើពហុកោណប៉ោងមានមុំខាងក្នុងស្រួចយ៉ាងតិចបួន នោះក្នុងចំណោមមុំខាងក្រៅរបស់វាមានមុំ obtuse យ៉ាងតិចបួន ដែលមានន័យថាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់នៃពហុកោណគឺធំជាង 4 * 90 0 = 360 0 ។ យើងមានភាពផ្ទុយគ្នា។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រមូលដ្ឋាន វាត្រូវបានបង្ហាញថាផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon គឺ 180° (n-2)។ វាប្រែថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះក៏ជាការពិតសម្រាប់ពហុកោណដែលមិនប៉ោង។

ទ្រឹស្តីបទ 3. ផលបូកនៃមុំនៃ n-gon បំពានគឺ 180° (n - 2) ។

ភស្តុតាង។ ចូរបែងចែកពហុកោណទៅជាត្រីកោណដោយគូរអង្កត់ទ្រូង (រូបភាពទី 11) ។ ចំនួននៃត្រីកោណបែបនេះគឺ n-2 ហើយនៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗផលបូកនៃមុំគឺ 180°។ ដោយសារមុំនៃត្រីកោណបង្កើតជាមុំនៃពហុកោណ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណគឺ 180° (n - 2)។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ពិចារណា​លើ​បន្ទាត់​ដែល​ខូច​ដោយ​បំពាន ដែល​អាច​នឹង​មាន​ការ​ប្រសព្វ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង A1A2…AnA1 (រូបភាព 12, ក)។ យើង​នឹង​ហៅ​ខ្សែ​ដែល​ប្រសព្វ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង​បែប​នោះ​ថា ពហុកោណ​ផ្កាយ (រូប​ទី ១២, ខ-ឃ)។

ចូរយើងជួសជុលទិសដៅនៃការរាប់មុំច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ចំណាំថាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយប៉ូលីលីនបិទជិតអាស្រ័យលើទិសដៅដែលវាត្រូវបានឆ្លងកាត់។ ប្រសិនបើទិសដៅនៃការឆ្លងកាត់ពហុកោណត្រូវបានបញ្ច្រាស នោះមុំនៃពហុកោណនឹងជាមុំដែលបំពេញបន្ថែមមុំនៃពហុកោណដើមរហូតដល់ 360°។

ប្រសិនបើ M គឺជាពហុកោណដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ដែលខូចបិទសាមញ្ញ អាចឆ្លងកាត់តាមទ្រនិចនាឡិកា (រូបភាព 13, ក) នោះផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណនេះនឹងស្មើនឹង 180° (n - 2)។ ប្រសិនបើខ្សែដែលខូចដំណើរការក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា (រូបភាព 13, ខ) នោះផលបូកនៃមុំនឹងស្មើនឹង 180° (n + 2)។

ដូច្នេះរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ខូចបិទសាមញ្ញមានទម្រង់ = 180° (n 2) ដែលផលបូកនៃមុំ n គឺជាចំនួនមុំនៃពហុកោណ។ "+" ឬ "-" ត្រូវបានយកអាស្រ័យលើទិសដៅដែលខ្សែដែលខូចត្រូវបានឆ្លងកាត់។

ភារកិច្ចរបស់យើងគឺទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណតាមអំពើចិត្តដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ដែលខូច (អាចកាត់ដោយខ្លួនឯង)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងណែនាំពីគោលគំនិតនៃកម្រិតនៃពហុកោណ។

កម្រិតនៃពហុកោណគឺជាចំនួននៃបដិវត្តន៍ដែលចំណុចមួយធ្វើនៅពេលដែលឆ្លងកាត់ផ្នែករបស់វា។ លើសពីនេះទៅទៀត បដិវត្តដែលធ្វើឡើងក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានរាប់ដោយសញ្ញា “+” ហើយបដិវត្តដែលធ្វើឡើងក្នុងទិសទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានរាប់ដោយសញ្ញា “-” ។

វាច្បាស់ណាស់ថាពហុកោណដែលបង្កើតឡើងដោយពហុកោណបិទជិតមានកម្រិត +1 ឬ -1 អាស្រ័យលើទិសដៅនៃការឆ្លងកាត់។ កម្រិតនៃបន្ទាត់ដែលខូចនៅក្នុងរូបភាព 12a គឺស្មើនឹងពីរ។ កម្រិតនៃ heptagons រាងផ្កាយ (រូបភាព 12, គ, ឃ) គឺស្មើនឹងពីរនិងបីរៀងគ្នា។

គោលគំនិតនៃដឺក្រេត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ខ្សែកោងបិទនៅលើយន្តហោះ។ ឧទាហរណ៍កម្រិតនៃខ្សែកោងដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 14 គឺពីរ។

ដើម្បីស្វែងរកកម្រិតនៃពហុកោណ ឬខ្សែកោង អ្នកអាចបន្តដូចខាងក្រោម។ ចូរយើងសន្មត់ថា ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង (រូបភាពទី 15, ក) យើងចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាមួយ A1 បានធ្វើបដិវត្តន៍ពេញលេញ ហើយបានបញ្ចប់នៅចំណុចដូចគ្នា A1 ។ ចូរយើងដកផ្នែកដែលត្រូវគ្នាចេញពីខ្សែកោង ហើយបន្តផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោងដែលនៅសល់ (រូបភាព 15, ខ) ។ ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីកន្លែងខ្លះ A2 យើងធ្វើបដិវត្តពេញលេញម្តងទៀត ហើយប៉ះចំណុចដូចគ្នា បន្ទាប់មកយើងលុបផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃខ្សែកោង ហើយបន្តធ្វើចលនា (រូបភាពទី 15, គ)។ ដោយរាប់ចំនួនផ្នែកដាច់ស្រយាលដែលមានសញ្ញា "+" ឬ "-" អាស្រ័យលើទិសដៅនៃការឆ្លងកាត់របស់វា យើងទទួលបានកម្រិតដែលត្រូវការនៃខ្សែកោង។

ទ្រឹស្តីបទ 4. សម្រាប់ពហុកោណដែលបំពាន រូបមន្តមាន

180° (n +2m),

តើផលបូកនៃមុំស្ថិតនៅត្រង់ណា n ជាចំនួនមុំ m ជាដឺក្រេនៃពហុកោណ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យពហុកោណ M មានដឺក្រេ m ហើយត្រូវបានបង្ហាញជាធម្មតានៅក្នុងរូបភាពទី 16 ។ M1, ... , Mk គឺជាបន្ទាត់ដែលខូចដែលបិទដោយសាមញ្ញដែលឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបង្កើតបដិវត្តពេញលេញ។ A1, …, Ak គឺជាចំនុចប្រសព្វដោយខ្លួនឯងដែលត្រូវគ្នានៃបន្ទាត់ដែលខូច ដែលមិនមែនជាចំនុចកំពូលរបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ចំនួនចំនុចកំពូលនៃពហុកោណ M ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងពហុកោណ M1, …, Mk ដោយ n1, …, nk រៀងគ្នា។ ចាប់តាំងពី បន្ថែមពីលើចំនុចកំពូលនៃពហុកោណ M ចំនុចកំពូល A1, ..., Ak ត្រូវបានបន្ថែមទៅពហុកោណទាំងនេះ បន្ទាប់មកចំនួននៃកំពូលនៃពហុកោណ M1, ..., Mk នឹងស្មើនឹង n1+1, ។ .., nk+1 រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃមុំរបស់ពួកគេនឹងស្មើនឹង 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12)។ បូកឬដកត្រូវបានយកអាស្រ័យលើទិសដៅនៃការឆ្លងកាត់ខ្សែដែលខូច។ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណ M0 ដែលនៅសេសសល់ពីពហុកោណ M បន្ទាប់ពីដកពហុកោណ M1, ..., Mk ស្មើនឹង 180° (n-n1- ...-nk+k2)។ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណ M0, M1, ..., Mk ផ្តល់ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណ M ហើយនៅចំនុចកំពូលនីមួយៗ A1, ..., Ak យើងទទួលបាន 360° បន្ថែមទៀត។ ដូច្នេះ យើង​មាន​សមភាព

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k។

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

ដែល m ជាដឺក្រេនៃពហុកោណ M ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាគណនាផលបូកនៃមុំនៃផ្កាយប្រាំជ្រុង (រូបភាព 17, ក)។ កម្រិតនៃបន្ទាត់ដែលខូចបិទដែលត្រូវគ្នាគឺ -2 ។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំដែលត្រូវការគឺ 180 ។

ផលបូកនៃមុំនៃទ្រឹស្តីបទ n-gon ។ ផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon គឺ 180 o (n-2) ។ ភស្តុតាង។ ពីចំនុចកំពូលមួយចំនួននៃប៉ោង n-gon យើងគូរអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ បន្ទាប់មក n-gon នឹង​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​ជា​ត្រីកោណ n-2 ។ នៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗ ផលបូកនៃមុំគឺ 180° ហើយមុំទាំងនេះបង្កើតបានជាមុំនៃ n-gon ។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំនៃ n-gon គឺ 180 o (n-2) ។

វិធីទីពីរដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ។ ផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon គឺ 180 o (n-2) ។ ភ័ស្តុតាង 2. អនុញ្ញាតឱ្យ O ជាចំណុចខាងក្នុងនៃប៉ោង n-gon A 1 ...A n ។ ចូរភ្ជាប់វាទៅនឹងចំនុចកំពូលនៃពហុកោណនេះ។ បន្ទាប់មក n-gon នឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជា n ត្រីកោណ។ នៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗ ផលបូកនៃមុំគឺ 180 ដឺក្រេ។ មុំទាំងនេះបង្កើតជាមុំ n-gon និង 360 ដឺក្រេ។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំនៃ n-gon គឺ 180 o (n-2) ។

លំហាត់ទី 3 បង្ហាញថាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង n-gon គឺស្មើនឹង 360 ដឺក្រេ។ ភស្តុតាង។ មុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹង 180° ដកមុំខាងក្នុងដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង n-gon គឺស្មើនឹង 180 o n ដកផលបូកនៃមុំខាងក្នុង។ ដោយសារផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃប៉ោង n-gon គឺស្មើនឹង 180 o (n-2) នោះផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនឹងស្មើនឹង 180 o n o (n-2) = 360 o ។

លំហាត់ទី 4 តើមុំធម្មតាមានអ្វីខ្លះ: ក) ត្រីកោណ; ខ) បួនជ្រុង; គ) មន្ទីរបញ្ចកោណ; ឃ) ឆកោន; e) ប្រាំបី; f) decagon; g) dodecagon? ចម្លើយ: ក) 60 o; b) 90 o; e) 135 o; f) 144 o;

លំហាត់ទី 12* តើចំនួនមុំស្រួចធំបំផុតដែលប៉ោង n-gon អាចមាន? ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹង 360 ដឺក្រេ ដូច្នេះពហុកោណប៉ោងមិនអាចមានមុំស្រួចលើសពីបីទេ ដូច្នេះវាមិនអាចមានមុំស្រួចខាងក្នុងលើសពីបីបានទេ។ ចម្លើយ។ ៣.

នៅថ្នាក់ទី 8 ក្នុងអំឡុងពេលមេរៀនធរណីមាត្រនៅសាលារៀន សិស្សត្រូវបានណែនាំជាលើកដំបូងអំពីគោលគំនិតនៃពហុកោណប៉ោង។ ឆាប់ៗនេះពួកគេនឹងដឹងថាតួលេខនេះមានទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ មិនថាវាអាចស្មុគស្មាញប៉ុណ្ណានោះទេ ផលបូកនៃមុំខាងក្នុង និងខាងក្រៅទាំងអស់នៃពហុកោណប៉ោងត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ គ្រូគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យានិយាយអំពីអ្វីដែលផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹង។

ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃពហុកោណប៉ោង

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ?

មុននឹងបន្តទៅភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ចូរយើងចាំថាពហុកោណមួយណាត្រូវបានគេហៅថាប៉ោង។ ពហុកោណប៉ោង គឺជាពហុកោណដែលស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ដែលមានផ្នែកណាមួយរបស់វា។ ឧទាហរណ៍​ដែល​បង្ហាញ​ក្នុង​រូប​នេះ៖

ប្រសិនបើពហុកោណមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់នោះវាត្រូវបានគេហៅថាមិនប៉ោង។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹង តើចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណស្ថិតនៅត្រង់ណា។

ភស្តុតាងនៃការពិតនេះគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទស្តីពីផលបូកនៃមុំនៅក្នុងត្រីកោណ ដែលសិស្សសាលាទាំងអស់ស្គាល់ច្បាស់។ ខ្ញុំ​ប្រាកដ​ថា​ទ្រឹស្តីបទ​នេះ​ក៏​ស៊ាំ​នឹង​អ្នក​ដែរ។ ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹង .

គំនិតនេះគឺដើម្បីបំបែកពហុកោណប៉ោងទៅជាត្រីកោណជាច្រើន។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា។ អាស្រ័យលើវិធីសាស្រ្តដែលយើងជ្រើសរើស ភស្តុតាងនឹងខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។

1. បែងចែកពហុកោណប៉ោងទៅជាត្រីកោណ ដោយប្រើអង្កត់ទ្រូងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដែលដកចេញពីកំពូលមួយចំនួន។ វាងាយស្រួលយល់ថាបន្ទាប់មក n-gon របស់យើងនឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាត្រីកោណ:

លើសពីនេះទៅទៀត ផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៃត្រីកោណលទ្ធផលទាំងអស់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃមុំនៃ n-gon របស់យើង។ យ៉ាងណាមិញ មុំនីមួយៗនៅក្នុងត្រីកោណលទ្ធផល គឺជាមុំមួយផ្នែកនៅក្នុងពហុកោណប៉ោងរបស់យើង។ នោះគឺចំនួនទឹកប្រាក់ដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង .

2. អ្នកក៏អាចជ្រើសរើសចំនុចមួយនៅខាងក្នុងពហុកោណប៉ោង ហើយភ្ជាប់វាទៅនឹងចំនុចកំពូលទាំងអស់។ បន្ទាប់មក n-gon របស់យើងនឹងបែងចែកជាត្រីកោណ៖

លើសពីនេះទៅទៀត ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណរបស់យើងក្នុងករណីនេះនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៃត្រីកោណទាំងនេះដកមុំកណ្តាល ដែលស្មើនឹង . នោះគឺចំនួនដែលត្រូវការគឺម្តងទៀតស្មើនឹង .

ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោង

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសួរសំណួរថា "តើអ្វីជាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងមួយ?" សំណួរនេះអាចត្រូវបានឆ្លើយដូចខាងក្រោម។ ជ្រុងខាងក្រៅនីមួយៗនៅជាប់នឹងផ្នែកខាងក្នុងដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះវាស្មើនឹង៖

បន្ទាប់មកផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់គឺស្មើនឹង . នោះគឺវាស្មើគ្នា។

នោះគឺទទួលបានលទ្ធផលគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់។ ប្រសិនបើយើងគូរមុំខាងក្រៅទាំងអស់នៃប៉ោង n-gon មួយតាមលំដាប់លំដោយ នោះលទ្ធផលនឹងពិតជាប្លង់ទាំងមូល។

ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម។ ចូរកាត់បន្ថយសមាមាត្រទាំងអស់នៃពហុកោណប៉ោងមួយចំនួន រហូតដល់វាបញ្ចូលគ្នាទៅជាចំណុចមួយ។ បន្ទាប់ពីវាកើតឡើង មុំខាងក្រៅទាំងអស់នឹងត្រូវបានដាក់ដាច់ពីគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយដូច្នេះបំពេញយន្តហោះទាំងមូល។

ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ មែនទេ? ហើយមានការពិតជាច្រើននៅក្នុងធរណីមាត្រ។ ដូច្នេះរៀនធរណីមាត្រសិស្សសាលាជាទីស្រឡាញ់!

សម្ភារៈនៅលើអ្វីដែលផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹងត្រូវបានរៀបចំដោយ Sergey Valerievich

ខូច

និយមន័យ

បន្ទាត់ខូចឬនិយាយឱ្យខ្លី បន្ទាត់ខូចគឺ​ជា​លំដាប់​កំណត់​នៃ​ផ្នែក ដូចជា​ចុង​មួយ​នៃ​ផ្នែក​ទី​មួយ​បម្រើ​ជា​ចុង​នៃ​ផ្នែក​ទី​ពីរ ចុង​ម្ខាង​ទៀត​នៃ​ផ្នែក​ទីពីរ​បម្រើ​ជា​ចុង​នៃ​ផ្នែក​ទី​បី ។ល។ ក្នុងករណីនេះផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នាមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នាទេ។ ផ្នែកទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាតំណភ្ជាប់នៃបន្ទាត់ដែលខូច។

ប្រភេទនៃប៉ូលីលីន

ខ្សែដែលខូចត្រូវបានគេហៅថា បិទប្រសិនបើការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកទីមួយស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកចុងក្រោយ។

ខ្សែដែលខូចអាចឆ្លងកាត់ដោយខ្លួនឯង ប៉ះខ្លួនវា ឬត្រួតលើខ្លួនឯង។ ប្រសិនបើមិនមានឯកវចនៈបែបនេះទេនោះខ្សែដែលខូចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សាមញ្ញ.

ពហុកោណ

និយមន័យ

ខ្សែបន្ទាត់ដែលខូចដែលបិទជិតសាមញ្ញជាមួយផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលជាប់នឹងវាត្រូវបានគេហៅថា ពហុកោណ.

មតិយោបល់

នៅចំនុចកំពូលនីមួយៗនៃពហុកោណ ជ្រុងរបស់វាកំណត់មុំជាក់លាក់នៃពហុកោណ។ វា​អាច​ពង្រីក​តិច ឬ​ពង្រីក​បន្ថែម​ទៀត។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ពហុកោណនីមួយៗមានមុំតិចជាង $180^\circ$។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យពហុកោណ $P$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ដែលមិនប្រសព្វ។ យើងនឹងផ្លាស់ទីវាស្របទៅនឹងពហុកោណ។ នៅចំណុចខ្លះ ជាលើកដំបូង យើងនឹងទទួលបានបន្ទាត់ត្រង់ $a$ ដែលមានចំណុចរួមមួយយ៉ាងតិចជាមួយពហុកោណ $P$។ ពហុកោណស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់នេះ (ចំណុចខ្លះរបស់វាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $a$)។

បន្ទាត់ $a$ មានចំណុចកំពូលយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃពហុកោណ។ ជ្រុងពីររបស់វា ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ $a$ ចូលគ្នាក្នុងវា (រួមទាំងករណីនៅពេលដែលមួយក្នុងចំណោមពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ)។ នេះមានន័យថានៅចំនុចកំពូលនេះ មុំគឺតិចជាងមុំដែលលាតចេញ។

និយមន័យ

ពហុកោណត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោងប្រសិនបើវាស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់នីមួយៗដែលមានផ្នែកខាងរបស់វា។ ប្រសិនបើពហុកោណមិនមានរាងប៉ោងទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនប៉ោង.

មតិយោបល់

ពហុកោណប៉ោងគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃពាក់កណ្តាលប្លង់ដែលចងដោយបន្ទាត់ដែលមានជ្រុងនៃពហុកោណ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃពហុកោណប៉ោង

ពហុកោណប៉ោងមានមុំទាំងអស់តិចជាង $180^\circ$។

ផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរនៃពហុកោណប៉ោងមួយ (ជាពិសេស អង្កត់ទ្រូងរបស់វា) មាននៅក្នុងពហុកោណនេះ។

ភស្តុតាង

ចូរយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិដំបូង

យកមុំណាមួយ $A$ នៃពហុកោណប៉ោង $P$ ហើយផ្នែករបស់វា $a$ មកពីចំនុចកំពូល $A$ ។ អនុញ្ញាតឱ្យ $l$ ជាបន្ទាត់ដែលមានចំហៀង $a$ ។ ដោយសារពហុកោណ $P$ គឺប៉ោង វាស្ថិតនៅម្ខាងនៃបន្ទាត់ $l$។ អាស្រ័យហេតុនេះ មុំ $A$ របស់វាក៏ស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់នេះផងដែរ។ នេះមានន័យថាមុំ $A$ តិចជាងមុំដែលបានអភិវឌ្ឍ ពោលគឺតិចជាង $180^\circ$ ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ

យកពីរចំណុច $A$ និង $B$ នៃពហុកោណប៉ោង $P$ ។ ពហុកោណ $P$ គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃពាក់កណ្តាលយន្តហោះជាច្រើន។ ផ្នែក $AB$ មាននៅក្នុងយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះ។ ដូច្នេះហើយ វាក៏មាននៅក្នុងពហុកោណ $P$ ផងដែរ។

និយមន័យ

អង្កត់ទ្រូងនៃពហុកោណហៅថា ចម្រៀកដែលតភ្ជាប់ ចំនុចកំពូលដែលមិននៅជាប់របស់វា។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ n-gon)

ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង $n$-gon ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត $\dfrac(n(n-3))(2)$ ។

ភស្តុតាង

ពីចំនុចកំពូលនីមួយៗនៃ n-gon វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរអង្កត់ទ្រូង $n-3$ (អ្នកមិនអាចគូរអង្កត់ទ្រូងទៅកំពូលជិតខាង ឬទៅចំនុចកំពូលនេះដោយខ្លួនឯងបានទេ)។ ប្រសិនបើយើងរាប់ផ្នែកដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នោះ វានឹងមាន $n\cdot(n-3)$ នៃពួកវា ចាប់តាំងពីមាន $n$ vertices ។ ប៉ុន្តែអង្កត់ទ្រូងនីមួយៗនឹងត្រូវបានរាប់ពីរដង។ ដូច្នេះចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ n-gon គឺស្មើនឹង $\dfrac(n(n-3))(2)$ ។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីផលបូកនៃមុំនៃ n-gon)

ផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង $n$-gon គឺ $180^\circ(n-2)$។

ភស្តុតាង

ពិចារណា $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ ។

ចូរយកចំណុចបំពាន $O$ នៅខាងក្នុងពហុកោណនេះ។

ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណទាំងអស់ $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ គឺស្មើនឹង $180^\circ\cdot n$។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ផលបូកនេះគឺជាផលបូកនៃមុំខាងក្នុងទាំងអស់នៃពហុកោណ និងមុំសរុប $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ ។

បន្ទាប់មកផលបូកនៃមុំនៃ $n$-gon ដែលកំពុងពិចារណាគឺស្មើនឹង $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$ ។

ផលវិបាក

ផលបូកនៃមុំនៃការមិនប៉ោង $n$-gon គឺ $180^\circ(n-2)$។

ភស្តុតាង

ពិចារណាពហុកោណ $A_1A_2\ldots A_n$ ដែលមុំតែមួយគត់ $\angle A_2$ គឺមិនប៉ោង នោះគឺ $\angle A_2>180^\circ$ ។

ចូរយើងសម្គាល់ផលបូកនៃការចាប់របស់គាត់ជា $S$។

ចូរភ្ជាប់ចំណុច $A_1A_3$ ហើយពិចារណាពហុកោណ $A_1A_3\ldots A_n$ ។

ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណនេះគឺ៖

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$ ។

ដូច្នេះ $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$។

ប្រសិនបើពហុកោណដើមមានមុំមិនប៉ោងច្រើនជាងមួយ នោះប្រតិបត្តិការដែលបានពិពណ៌នាខាងលើអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងមុំនីមួយៗ ដែលនឹងនាំឱ្យសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ (នៅលើផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង n-gon)

ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង $n$-gon គឺ $360^\circ$។

ភស្តុតាង

មុំខាងក្រៅនៅចំនុចកំពូល $A_1$ គឺស្មើនឹង $180^\circ-\angle A_1$។

ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់គឺស្មើនឹង៖

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\រង្វង់$។