៤១.១. គ្រោងការណ៍សម្រាប់អនុវត្តអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃបរិមាណធរណីមាត្រ ឬរូបវន្ត A (ផ្ទៃនៃតួលេខ បរិមាណរាងកាយ សម្ពាធសារធាតុរាវនៅលើចានបញ្ឈរ។ វាត្រូវបានសន្មត់ថាបរិមាណ A នេះគឺជាការបន្ថែម ពោលគឺនៅពេលបែងចែកផ្នែក [a; b] ចង្អុលជាមួយ є (a; b) នៅលើផ្នែក [a; s] និង [s; b] តម្លៃនៃ A ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្នែកទាំងមូល [a; b] ស្មើនឹងផលបូកនៃតម្លៃរបស់វាដែលត្រូវគ្នានឹង [a; s] និង [s; ខ]។
ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃ A នេះ អ្នកអាចត្រូវបានដឹកនាំដោយគ្រោងការណ៍មួយក្នុងចំណោមគ្រោងការណ៍ពីរ៖ គ្រោងការណ៍ I (ឬវិធីសាស្រ្តនៃផលបូកអាំងតេក្រាល) និងគ្រោងការណ៍ II (ឬវិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។
គ្រោងការណ៍ទីមួយគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
1. ការប្រើចំនុច x 0 = a, x 1 ,... , x n = b បែងចែក segment [a;b] ទៅជា n ផ្នែក។ អនុលោមតាមនេះបរិមាណ A ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍នឹងត្រូវបានបែងចែកជា n "លក្ខខណ្ឌបឋម" ΔAi (i = 1, ... ,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 + ...+ ΔA n ។
2. បង្ហាញ "ពាក្យបឋម" នីមួយៗជាផលិតផលនៃមុខងារមួយចំនួន (កំណត់ពីលក្ខខណ្ឌបញ្ហា) ដែលគណនានៅចំណុចបំពាននៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នាដោយប្រវែងរបស់វា៖ ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i ។
នៅពេលស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃ ΔA i ភាពសាមញ្ញមួយចំនួនគឺអាចអនុញ្ញាតបាន៖ ធ្នូនៅក្នុងតំបន់តូចមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយអង្កត់ធ្នូដែលចុះកិច្ចសន្យាចុងរបស់វា។ ល្បឿនអថេរលើផ្ទៃតូចមួយអាចត្រូវបានគេប៉ាន់ស្មានថាជាថេរ។ល។
យើងទទួលបានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃបរិមាណ A ក្នុងទម្រង់ជាផលបូកអាំងតេក្រាល៖
3. តម្លៃដែលត្រូវការ A គឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល i.e.
"វិធីសាស្រ្តនៃផលបូក" ដែលបានចង្អុលបង្ហាញដូចដែលយើងឃើញគឺផ្អែកលើការតំណាងនៃអាំងតេក្រាលដែលជាផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌគ្មានកំណត់។
គ្រោងការណ៍ I ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបវន្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
គ្រោងការណ៍ទី 2 គឺជាគ្រោងការណ៍ដែលបានកែប្រែបន្តិចបន្តួច I ហើយត្រូវបានគេហៅថា "វិធីសាស្រ្តឌីផេរ៉ង់ស្យែល" ឬ "វិធីសាស្រ្តនៃការបោះបង់ការបញ្ជាទិញខ្ពស់គ្មានកំណត់"៖
1) នៅលើផ្នែក [a;b] យើងជ្រើសរើសតម្លៃបំពាន x ហើយពិចារណាផ្នែកអថេរ [a; X]។ នៅលើផ្នែកនេះ បរិមាណ A ក្លាយជាអនុគមន៍ x: A = A(x), ឧ. យើងសន្មត់ថាផ្នែកនៃបរិមាណដែលចង់បាន A គឺជាមុខងារមិនស្គាល់ A(x) ដែល x є គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ បរិមាណ A;
2) យើងរកឃើញផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើង ΔA នៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរដោយចំនួនតូចមួយ Δx = dx ពោលគឺ យើងរកឃើញឌីផេរ៉ង់ស្យែល dA នៃអនុគមន៍ A = A(x): dA = ƒ(x) dx ដែល ƒ(x ) ដែលបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌបញ្ហា មុខងារនៃអថេរ x (ភាពសាមញ្ញផ្សេងៗក៏អាចធ្វើទៅបាននៅទីនេះផងដែរ);
3) សន្មត់ថា dA ≈ ΔA សម្រាប់ Δx → 0 យើងរកឃើញតម្លៃដែលចង់បានដោយការរួមបញ្ចូល dA ក្នុងជួរពី a ដល់ b:
៤១.២. ការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ
កូអរដោណេចតុកោណ
ដូចដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយ (សូមមើល "អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់") ផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ដែលមានទីតាំងនៅ "ខាងលើ" អ័ក្ស abscissa (ƒ(x) ≥ 0) គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាលកំណត់ដែលត្រូវគ្នា៖
រូបមន្ត (41.1) ត្រូវបានទទួលដោយការអនុវត្តគ្រោងការណ៍ I - វិធីសាស្ត្របូក។ ចូរយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃរូបមន្ត (41.1) ដោយប្រើគ្រោងការណ៍ II ។ ទុកឱ្យរាងកោងត្រូវបានចងដោយបន្ទាត់ y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (មើលរូប 174)។
ដើម្បីស្វែងរកតំបន់ S នៃ trapezoid នេះ យើងធ្វើប្រតិបត្តិការដូចខាងក្រោម៖
1. យកតាមចិត្ត x О [a; b] ហើយយើងនឹងសន្មត់ថា S = S(x) ។
2. ចូរឱ្យអាគុយម៉ង់ x បង្កើនចំនួន Δx = dx (x + Δx є [a; b]) ។ អនុគមន៍ S = S(x) នឹងទទួលបានការកើនឡើង ΔS ដែលជាតំបន់នៃ "Elementary curvilinear trapezoid" (វាត្រូវបានគូសបញ្ជាក់ក្នុងរូប)។
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលតំបន់ dS គឺជាផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើង ΔS នៅ Δx → 0 ហើយជាក់ស្តែងវាស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែងដែលមានមូលដ្ឋាន dx និងកម្ពស់ y: dS = y dx ។
3. ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x = a ដល់ x = b យើងទទួលបាន
ចំណាំថាប្រសិនបើ trapezoid កោងមានទីតាំងនៅ "ខាងក្រោម" អ័ក្ស Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
រូបមន្ត (41.1) និង (41.2) អាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ:
ផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយខ្សែកោង y = fι(x) និង y = ƒг(x), បន្ទាត់ត្រង់ x = a និង x = b (ផ្តល់ ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (សូមមើលរូបភព។ 175) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត
ប្រសិនបើរូបសំប៉ែតមានរាង "ស្មុគស្មាញ" (សូមមើលរូបភាព 176) នោះវាគួរតែត្រូវបានបែងចែកជាផ្នែកៗដោយបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy ដូច្នេះរូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយអាចត្រូវបានអនុវត្ត។
ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែងត្រូវបានកំនត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ y = c និង y = d អ័ក្ស Oy និងខ្សែកោងបន្ត x = φ(y) ≥ 0 (មើលរូបភាព 177) នោះផ្ទៃរបស់វាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត 
ហើយជាចុងក្រោយ ប្រសិនបើ trapezoid កោងត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោងដែលបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
បន្ទាត់ត្រង់ x = aix = b និងអ័ក្សអុក បន្ទាប់មកតំបន់របស់វាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
ដែល a និង β ត្រូវបានកំណត់ពីសមភាព x(a) = a និង x(β) = b ។
ឧទាហរណ៍ 41.1 ។ រកផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយអ័ក្សអុក និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 − 2x សម្រាប់ x є ។
ដំណោះស្រាយ៖ រូបមានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូបភាព 178។ ស្វែងរកតំបន់របស់វា S:
ឧទាហរណ៍ 41.2 ។ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយពងក្រពើ x = a cos t, y = b sin t ។
ដំណោះស្រាយ៖ ទីមួយ ចូរយើងស្វែងរក 1/4 នៃផ្ទៃ S. នៅទីនេះ x ផ្លាស់ប្តូរពី 0 ទៅ a ដូច្នេះ t ប្តូរពីទៅ 0 (សូមមើលរូប 179)។ យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះ។ នេះមានន័យថា S = π аВ ។
កូអរដោនេប៉ូឡា
អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញតំបន់ S នៃវិស័យ curvilinear ពោលគឺ តួរលេខសំប៉ែតដែលចងដោយបន្ទាត់បន្ត r=r(φ) និងកាំរស្មីពីរ φ=a និង φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - វិធីសាស្រ្តឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
1. យើងនឹងពិចារណាផ្នែកនៃផ្ទៃដែលចង់បាន S ជាមុខងារនៃមុំφ, i.e. S = S(φ) ដែល a ≤
φ ≤
β (ប្រសិនបើφ = a បន្ទាប់មក S(a) = 0 ប្រសិនបើφ = β បន្ទាប់មក S(β) = S) ។
2. ប្រសិនបើមុំប៉ូលបច្ចុប្បន្ន φ ទទួលបានការកើនឡើងΔφ = dφ នោះការបង្កើននៅក្នុងតំបន់ AS គឺស្មើនឹងតំបន់នៃ "វិស័យ curvilinear បឋមសិក្សា" OAB ។
ឌីផេរ៉ង់ស្យែល dS តំណាងឱ្យផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើង ΔS នៅ dφ →
0 និងស្មើនឹងផ្ទៃនៃផ្នែករាងជារង្វង់ O AC (ស្រមោលក្នុងរូប) នៃកាំ r ជាមួយនឹងមុំកណ្តាលdφ។ នោះហើយជាមូលហេតុ 
3. ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលក្នុងចន្លោះពីφ = a ដល់ φ = β យើងទទួលបានតំបន់ដែលត្រូវការ
ឧទាហរណ៍ 41.3 ។ ស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយ "ផ្កាកុលាបបីជាន់" r=acos3φ (សូមមើលរូប 181)។
ដំណោះស្រាយ៖ ជាដំបូង ចូរយើងរកផ្ទៃនៃពាក់កណ្តាលនៃផ្កាមួយនៃ "ផ្កាកុលាប" ពោលគឺ ១/៦ នៃផ្ទៃដីសរុបនៃរូប៖
i.e. ដូច្នេះ
ប្រសិនបើរូបសំប៉ែតមានរាង "ស្មុគស្មាញ" នោះកាំរស្មីដែលចេញពីបង្គោលគួរតែបែងចែកវាទៅជាផ្នែក curvilinear ដែលរូបមន្តលទ្ធផលគួរតែត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីស្វែងរកតំបន់នោះ។ ដូច្នេះសម្រាប់តួលេខដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាព 182 យើងមាន៖
៤១.៣. ការគណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោងយន្តហោះ
កូអរដោណេចតុកោណ
សូមអោយខ្សែកោងយន្តហោះ AB ត្រូវបានផ្តល់ជាកូអរដោណេចតុកោណ សមីការគឺ y=ƒ(x) ដែល a≤x≤ b ។
ប្រវែងនៃធ្នូ AB ត្រូវបានគេយល់ថាជាដែនកំណត់ដែលប្រវែងនៃបន្ទាត់ដែលខូចដែលបានចារឹកនៅក្នុងធ្នូនេះមាននិន្នាការនៅពេលដែលចំនួននៃតំណភ្ជាប់នៃបន្ទាត់ដែលខូចកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់ ហើយប្រវែងនៃតំណភ្ជាប់ធំបំផុតរបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ។ ចូរយើងបង្ហាញថាប្រសិនបើអនុគមន៍ y = ƒ(x) និងដេរីវេរបស់វា y" = ƒ"(x) បន្តនៅចន្លោះ [a; b] បន្ទាប់មក ខ្សែកោង AB មានប្រវែងស្មើនឹង
តោះអនុវត្តគ្រោងការណ៍ I (វិធីសាស្ត្របូក) ។
1. ពិន្ទុ x 0 = a, x 1 ... , x n = b ( x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. ប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូ (ឬតំណភ្ជាប់នៃបន្ទាត់ដែលខូច) ΔL 1 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរពីត្រីកោណដែលមានជើង Δx i និង Δу i:
យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange លើការបង្កើនកម្រិតកំណត់នៃអនុគមន៍ Δу i =ƒ"(с i) Δх i ដែល ci є (x i-1; x i) ដូច្នេះ។
និងប្រវែងនៃបន្ទាត់ដែលខូចទាំងមូល M 0 M 1 ... M n គឺស្មើនឹង
3. ប្រវែង លីត្រខ្សែកោង AB តាមនិយមន័យគឺស្មើនឹង
.
ចំណាំថាសម្រាប់ ΔL i →
0 ផងដែរ Δx i →
0 ΔLi = 
ដូច្នេះហើយ |Δx i |<ΔL i).
មុខងារ 
គឺបន្តនៅលើចន្លោះពេល [a; b] ដោយសារតាមលក្ខខណ្ឌ អនុគមន៍ ƒ"(x) គឺបន្ត។ ដូច្នេះហើយមានកម្រិតនៃផលបូកអាំងតេក្រាល (41.4) នៅពេលអតិបរមា Δx i →
0
:
ដូច្នេះ 
ឬក្នុងទម្រង់អក្សរកាត់ លីត្រ =
ប្រសិនបើសមីការនៃខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ដែល x(t) និង y(t) គឺជាអនុគមន៍បន្តដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុបន្ត ហើយ x(a) = a, x(β) = b បន្ទាប់មកប្រវែង លីត្រខ្សែកោង AB ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
រូបមន្ត (41.5) អាចទទួលបានពីរូបមន្ត (41.3) ដោយជំនួស x = x(t), dx = x"(t)dt, 
ឧទាហរណ៍ 41.4 ។ រករង្វង់នៃកាំ R. 
ដំណោះស្រាយ៖ ចូររក 1/4 នៃប្រវែងរបស់វាពីចំនុច (0;R) ដល់ចំនុច (R;0) (សូមមើលរូប 184)។ ដោយសារតែ 
នោះ។
មានន័យថា លីត្រ= 2π R. ប្រសិនបើសមីការនៃរង្វង់ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π) បន្ទាប់មក
ការគណនាប្រវែងធ្នូអាចផ្អែកលើការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្ត (41.3) អាចទទួលបានដោយប្រើគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។
1. យកតម្លៃបំពាន x є [a; b] ហើយពិចារណាផ្នែកអថេរ [a;x] ។ ទំហំនៅលើវា។ លីត្រក្លាយជាមុខងារនៃ x, i.e. លីត្រ = លីត្រ(X) ( លីត្រ(a) = 0 និង លីត្រ(ប) = លីត្រ).
2. ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែល dlមុខងារ លីត្រ = លីត្រ(x) នៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរដោយចំនួនតូចមួយ Δx = dx: dl = លីត្រ"(x)dx។ ចូរយើងស្វែងរក លីត្រ"(x) ជំនួសធ្នូគ្មានកំណត់ MN ជាមួយអង្កត់ធ្នូ Δ លីត្រកាត់ធ្នូនេះ (សូមមើលរូប 185)៖
3. ការរួមបញ្ចូល dl ក្នុងចន្លោះពី a ទៅ b យើងទទួលបាន 
សមភាព 
ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្នូនៅក្នុងកូអរដោណេចតុកោណ។
ចាប់តាំងពី y" x = -dy/dx បន្ទាប់មក
រូបមន្តចុងក្រោយគឺទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរសម្រាប់ត្រីកោណគ្មានកំណត់ MST (សូមមើលរូប 186)។
កូអរដោនេប៉ូឡា
សូមអោយខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការក្នុងប៉ូលកូអរដោណេ r = r(φ), a≤φ≤β។
ចូរយើងសន្មត់ថា r(φ) និង r"(φ) គឺបន្តនៅចន្លោះ [a;β]។
ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាព x = rcosφ, y = rsinφ ការភ្ជាប់ប៉ូលនិងកូអរដោណេ Cartesian មុំφត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាប់មកខ្សែកោង AB អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ការអនុវត្តរូបមន្ត (41.5) យើងទទួលបាន
ឧទាហរណ៍ 41.5 ។ រកប្រវែងនៃ cardioid r = = a(1 + cosφ) ។
ដំណោះស្រាយ៖ cardioid r = a(1 + cosφ) មានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូបភាព 187 ។ វាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សប៉ូល។ ចូរយើងរកឃើញប្រវែងពាក់កណ្តាលនៃ cardioid៖
ដូច្នេះ 1/2l = 4a ។ នេះមានន័យថា l=8a ។
៤១.៤. ការគណនាបរិមាណរាងកាយ
ការគណនាបរិមាណនៃរាងកាយពីតំបន់ដែលគេស្គាល់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែល
1. តាមរយៈចំនុចបំពាន x є យើងគូរប្លង់ ∏ កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សអុក (សូមមើលរូប 188)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ដោយ S(x) ផ្ទៃកាត់នៃរាងកាយដោយយន្តហោះនេះ; S(x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្គាល់ និងបន្តផ្លាស់ប្តូរជាការផ្លាស់ប្តូរ x។ អនុញ្ញាតឱ្យ v(x) បង្ហាញពីបរិមាណនៃផ្នែកនៃរាងកាយដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃយន្តហោះ P. យើងសន្មត់ថានៅលើផ្នែក [a; x] តម្លៃ v គឺជាអនុគមន៍ x, i.e. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V) ។
2. រកឌីផេរ៉ង់ស្យែល dV នៃអនុគមន៍ v = v(x) ។ វាតំណាងឱ្យ "ស្រទាប់បឋម" នៃរាងកាយដែលរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលដែលកាត់អ័ក្សអុកនៅចំណុច x និង x + Δx ដែលប្រហែលជាត្រូវបានគេយកជាស៊ីឡាំងដែលមានមូលដ្ឋាន S (x) និងកម្ពស់ dx ។ ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលបរិមាណ dV = S(x) dx ។
3. ស្វែងរកតម្លៃដែលចង់បាន V ដោយបញ្ចូល dA ក្នុងចន្លោះពី a ដល់ B:
រូបមន្តលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តសម្រាប់បរិមាណនៃរាងកាយមួយដោយតំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែល។
ឧទាហរណ៍ 41.6 ។ ស្វែងរកទំហំរាងអេលីប 
ដំណោះស្រាយ៖ កាត់រាងអេលីបដោយយន្តហោះស្របនឹងយន្តហោះ Oyz ហើយនៅចម្ងាយ x ពីវា (-a ≤х≤ក) យើងទទួលបានរាងពងក្រពើ (សូមមើលរូប 189)៖
តំបន់នៃរាងពងក្រពើនេះគឺ 
ដូច្នេះយោងទៅតាមរូបមន្ត (41.6) យើងមាន
បរិមាណនៃតួនៃការបង្វិល
អនុញ្ញាតឱ្យអង្កាញ់រាងកោងបង្វិលជុំវិញអ័ក្សអុក ដែលចងដោយបន្ទាត់បន្ត y = ƒ(x) 0 ចម្រៀក a ≤ x ≤ b និងបន្ទាត់ត្រង់ x = a និង x = b (មើលរូបភាព 190)។ តួលេខដែលទទួលបានពីការបង្វិលត្រូវបានគេហៅថាតួនៃបដិវត្តន៍។ ផ្នែកនៃរាងកាយនេះដោយប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សអុក គូសតាមចំនុច x នៃអ័ក្សអុក (x Î [ក; b]), មានរង្វង់ដែលមានកាំ y = ƒ(x) ។ π ដូច្នេះ S(x)=
y ២.
ការអនុវត្តរូបមន្ត (41.6) សម្រាប់បរិមាណនៃរាងកាយដោយផ្អែកលើតំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលយើងទទួលបាន
ប្រសិនបើបន្ទាត់រាងចតុកោណកែងត្រូវបានកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្ត x = φ(y) ≥ 0 និងបន្ទាត់ត្រង់ x = 0, y = c,< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
y = d (c
ឧទាហរណ៍ 41.7 ។ ស្វែងរកបរិមាណនៃរាងកាយដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ជុំវិញអ័ក្ស Oy (សូមមើលរូបភាព 191)។
ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើរូបមន្ត (៤១.៨) យើងរកឃើញ៖
៤១.៥. ការគណនាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍
សូមឲ្យខ្សែកោង AB ជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ƒ(x) ≥ 0 ដែល x є [a; b] និងអនុគមន៍ y = ƒ(x) និងដេរីវេរបស់វា y"=ƒ"(x) បន្ត នៅលើផ្នែកនេះ។
ចូរយើងស្វែងរកផ្ទៃ S នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលខ្សែកោង AB ជុំវិញអ័ក្សអុក។
តោះអនុវត្តគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។
2. ចូរឱ្យអាគុយម៉ង់ x បង្កើនចំនួន Δх = dx ។ តាមរយៈចំនុច x + dx є [a; b] យើងក៏គូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សអុក។ មុខងារ s=s(x) នឹងទទួលបានការបន្ថែម Az ដែលបង្ហាញក្នុងរូបជា “ខ្សែក្រវ៉ាត់”។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃតំបន់ ds ដោយជំនួសតួរលេខដែលបង្កើតរវាងផ្នែកដោយកោណដែលកាត់ឱ្យខ្លី generatrix ដែលស្មើនឹង dlហើយកាំនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹង y និង y + dy ។ ផ្ទៃខាងក្រោយរបស់វាគឺ ds= π (y+y+ ឌី) dl=2π នៅ dl + π ឌីអេល. π នៅ dlការបដិសេធផលិតផល dydl ជាលំដាប់គ្មានកំណត់នៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង ds យើងទទួលបាន ds=2
ឬចាប់តាំងពី
3. ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលក្នុងចន្លោះពី x = a ដល់ x = b យើងទទួលបាន
ប្រសិនបើខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = x(t), y = y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2 នោះរូបមន្ត (41.9) សម្រាប់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍មានទម្រង់
ឧទាហរណ៍ 41.8 ។ ស្វែងរកផ្ទៃនៃបាល់នៃកាំ R ។
ឧទាហរណ៍ 41.9 ។ បានផ្តល់ស៊ីក្លូ
ស្វែងរកផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយបង្វិលវាជុំវិញអ័ក្សអុក។
ដំណោះស្រាយ៖ នៅពេលដែលពាក់កណ្តាលនៃអ័ក្សស៊ីក្លូវិលជុំវិញអ័ក្សអុក ផ្ទៃនៃការបង្វិលគឺស្មើនឹង
៤១.៦. កម្មវិធីមេកានិចនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
ការងារកម្លាំងអថេរ< b), находится по формуле (см. п. 36).
អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចសម្ភារៈ M ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សអុក ក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងអថេរ F = F(x) ដែលដឹកនាំស្របទៅនឹងអ័ក្សនេះ។ ការងារធ្វើដោយកម្លាំងនៅពេលផ្លាស់ទីចំណុច M ពីទីតាំង x = a ទៅទីតាំង x = b (a
ឧទាហរណ៍ 41.10 តើការងារប៉ុន្មានត្រូវធ្វើដើម្បីលាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ 0.05 ម៉ែត្រប្រសិនបើកម្លាំង 100 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ 0.01 ម៉ែត្រ?
ដំណោះស្រាយ៖ យោងតាមច្បាប់របស់ Hooke កម្លាំងយឺតដែលលាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវគឺសមាមាត្រទៅនឹងការលាតសន្ធឹងនេះ x ពោលគឺ F = kx ដែល k គឺជាមេគុណសមាមាត្រ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាកម្លាំងមួយ F = 100 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ x = 0.01 m; ដូច្នេះ 100 = k * 0.01 ដូច្នេះ k = 10000;
ដូច្នេះ F = 10000x ។
ការងារដែលត្រូវការដោយផ្អែកលើរូបមន្ត (41.10) គឺស្មើនឹង
ឧទាហរណ៍ 41.11 ។ ស្វែងរកការងារដែលត្រូវការដើម្បីបូមរាវលើគែមពីធុងស៊ីឡាំងបញ្ឈរដែលមានកម្ពស់ N m និងកាំមូលដ្ឋាន R m ។
ដំណោះស្រាយ៖ ការងារដែលត្រូវការដើម្បីលើកតួទម្ងន់ p ដល់កម្ពស់ h គឺស្មើនឹង p h ។ ប៉ុន្តែស្រទាប់ផ្សេងគ្នានៃរាវនៅក្នុងអាងស្តុកទឹកគឺនៅជម្រៅខុសៗគ្នា ហើយកម្ពស់នៃការកើនឡើង (ដល់គែមនៃអាងស្តុកទឹក) នៃស្រទាប់ផ្សេងៗគ្នាគឺមិនដូចគ្នាទេ។< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2. យើងរកឃើញផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើង ΔA នៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរដោយចំនួន Δx = dx ពោលគឺ យើងរកឃើញឌីផេរ៉ង់ស្យែល dA នៃអនុគមន៍ A(x)។
ដោយសារភាពតូចនៃ dx យើងសន្មត់ថាស្រទាប់ "បឋម" នៃអង្គធាតុរាវមានទីតាំងនៅជម្រៅដូចគ្នា x (ពីគែមនៃអាងស្តុកទឹក) (សូមមើលរូបភាព 193) ។ បន្ទាប់មក dA = dp*x ដែល dp គឺជាទម្ងន់នៃស្រទាប់នេះ; វាស្មើនឹង g * g dv ដែល g គឺជាល្បឿនទំនាញផែនដី g គឺជាដង់ស៊ីតេនៃអង្គធាតុរាវ dv គឺជាបរិមាណនៃស្រទាប់ "បឋម" នៃរាវ (វាត្រូវបានគូសបញ្ជាក់ក្នុងរូប) ឧ. dp = gg ឌីវី បរិមាណនៃស្រទាប់រាវដែលបានបង្ហាញគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹង π R 2 dx ដែល dx គឺជាកម្ពស់របស់ស៊ីឡាំង (ស្រទាប់) π R 2 គឺជាតំបន់នៃមូលដ្ឋានរបស់វា i.e. dv = π R 2 dx ។
ដូច្នេះ dp=gg π R 2 dx និង dA = gg π R 2 dx*x ។
3) ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x = 0 ដល់ x = H យើងរកឃើញ
ផ្លូវបានធ្វើដំណើរដោយរាងកាយ
ទុកឱ្យចំណុចវត្ថុមួយផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយល្បឿនអថេរ v=v(t) ។ ចូរយើងស្វែងរកផ្លូវ S ដែលធ្វើដំណើរដោយវាក្នុងអំឡុងពេលចន្លោះពេលពី t 1 ដល់ t 2 ។
ដំណោះស្រាយ៖ តាមអត្ថន័យរូបវន្តនៃនិស្សន្ទវត្ថុ វាត្រូវបានគេដឹងថានៅពេលដែលចំណុចមួយផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅមួយ "ល្បឿននៃចលនា rectilinear គឺស្មើនឹងពេលវេលានៃដេរីវេនៃផ្លូវ" ពោលគឺវាធ្វើតាមថា dS = v(t)dt ។ ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលក្នុងចន្លោះពី t 1 ដល់ t 2 យើងទទួលបាន 
ចំណាំថារូបមន្តដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយប្រើគ្រោងការណ៍ I ឬ II សម្រាប់អនុវត្តអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
ឧទាហរណ៍ 41.12 ។ ស្វែងរកផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយរាងកាយក្នុងរយៈពេល 4 វិនាទីពីការចាប់ផ្តើមនៃចលនា ប្រសិនបើល្បឿននៃរាងកាយគឺ v(t) = 10t + 2 (m/s)។
ដំណោះស្រាយ៖ ប្រសិនបើ v(t)=10t+2(m/s) នោះផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយរាងកាយពីដើមចលនា (t=0) ទៅចុងបញ្ចប់នៃវិនាទីទី 4 គឺស្មើនឹង
សម្ពាធរាវនៅលើចានបញ្ឈរ
យោងតាមច្បាប់របស់ Pascal សម្ពាធនៃអង្គធាតុរាវនៅលើចានផ្តេកគឺស្មើនឹងទម្ងន់នៃជួរឈរនៃអង្គធាតុរាវនេះដែលមានចានជាមូលដ្ឋានរបស់វា ហើយកម្ពស់របស់វាគឺជម្រៅនៃការជ្រមុជរបស់វាពីផ្ទៃទំនេរនៃអង្គធាតុរាវ។ ពោលគឺ P = g*g* S* h ដែល g ជាទំនាញទំនាញ g ជាដង់ស៊ីតេនៃអង្គធាតុរាវ S ជាផ្ទៃនៃចាន h ជាជម្រៅនៃការជ្រមុជរបស់វា។
ដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការរកមើលសម្ពាធអង្គធាតុរាវនៅលើចានដាក់បញ្ឈរ ព្រោះចំណុចផ្សេងគ្នារបស់វាស្ថិតនៅជម្រៅខុសៗគ្នា។
ទុកចានមួយដាក់បញ្ឈរក្នុងអង្គធាតុរាវ ចងដោយបន្ទាត់ x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) និង y 2 = ƒ 2 (x);
ប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានជ្រើសរើសដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 194។ ដើម្បីស្វែងរកសម្ពាធសារធាតុរាវ P នៅលើចាននេះ យើងអនុវត្តគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល)។
2. ចូរឱ្យអាគុយម៉ង់ x បង្កើនចំនួន Δх = dx ។ អនុគមន៍ p(x) នឹងទទួលបានការបង្កើនΔр (ក្នុងរូបភាពមានស្រទាប់ឆ្នូតនៃកម្រាស់ dx)។ ចូរយើងស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែល dp នៃមុខងារនេះ។ ដោយសារភាពតូចនៃ dx យើងនឹងពិចារណាបន្ទះនេះជាចតុកោណកែង ដែលចំណុចទាំងអស់មានជម្រៅដូចគ្នា x ពោលគឺចាននេះគឺផ្ដេក។
បន្ទាប់មកយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Pascal 
3. ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x = a ដល់ x = B យើងទទួលបាន
ឧទាហរណ៍ 41.13 ។
កំណត់បរិមាណនៃសម្ពាធទឹកនៅលើពាក់កណ្តាលរង្វង់ដែលដាក់បញ្ឈរក្នុងអង្គធាតុរាវ ប្រសិនបើកាំរបស់វាគឺ R ហើយកណ្តាល O របស់វាស្ថិតនៅលើផ្ទៃទឹកដោយសេរី (សូមមើលរូប 195)។ 
ពេលឋិតិវន្ត S y នៃប្រព័ន្ធនេះទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា
ប្រសិនបើម៉ាស់ត្រូវបានចែកចាយជាបន្តបន្ទាប់តាមខ្សែកោងមួយចំនួន នោះការរួមបញ្ចូលនឹងត្រូវការដើម្បីបង្ហាញពីពេលវេលាឋិតិវន្ត។
សូមឱ្យ y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) ជាសមីការនៃខ្សែកោងសម្ភារៈ AB ។ យើងនឹងពិចារណាវាដូចគ្នាជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេលីនេអ៊ែរថេរ g (g = const) ។
សម្រាប់ x є [a; b] នៅលើខ្សែកោង AB មានចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (x;y)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសផ្នែកបឋមនៃប្រវែង dl នៅលើខ្សែកោងដែលមានចំណុច (x; y) ។ បន្ទាប់មកម៉ាស់នៃផ្នែកនេះគឺស្មើនឹង g dl ។
ចូរយើងយកផ្នែកនេះ dl ប្រមាណជាចំណុចដែលស្ថិតនៅចម្ងាយ y ពីអ័ក្សអុក។ បន្ទាប់មកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃគ្រាឋិតិវន្ត dS x (“គ្រាបឋមសិក្សា”) នឹងស្មើនឹង g dly ពោលគឺ dS x = g dlу (សូមមើលរូប 196)។
វាធ្វើតាមថាពេលឋិតិវន្ត S x នៃខ្សែកោង AB ដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស Ox គឺស្មើនឹង
ដូចគ្នានេះដែរយើងរកឃើញ S y:
គ្រាឋិតិវន្ត S x និង S y នៃខ្សែកោងធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញរបស់វា (ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់)។ 
ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃខ្សែកោងយន្តហោះសម្ភារៈ y = ƒ(x), x Î គឺជាចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើម៉ាស់ទាំងមូលនៃខ្សែកោងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅចំណុចនេះ នោះពេលវេលាឋិតិវន្តនៃ ចំណុចនេះទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេណាមួយនឹងស្មើនឹងពេលវេលាឋិតិវន្តនៃខ្សែកោងទាំងមូល y = ƒ (x) ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សដូចគ្នា។ ចូរយើងកំណត់ដោយ C(x c;y c) ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃខ្សែកោង AB ។
ពីនិយមន័យនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ ភាពស្មើគ្នាធ្វើតាម
ពីទីនេះ
ការគណនានៃពេលវេលាឋិតិវន្ត និងកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃតួយន្តហោះ 
អនុញ្ញាតឱ្យរូបសំប៉ែតនៃសម្ភារៈ (ចាន) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ចងដោយខ្សែកោង y = ƒ(x) 0 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 0, x = a, x = b (សូមមើលរូបភាព 198) ។
បន្ទាប់មកម៉ាស់របស់វាគឺស្មើនឹង g ydx ។ ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ C នៃចតុកោណកែងស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែង។ ចំណុច C នេះស្ថិតនៅចម្ងាយ 1/2*y ពីអ័ក្សអុក និង x ពីអ័ក្ស Oy (ប្រហាក់ប្រហែល; ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត នៅចម្ងាយ x+ 1/2 ∆x) ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់គ្រាឋិតិវន្តបឋមទាក់ទងនឹងអ័ក្ស Ox និង Oy ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖
ដូច្នេះចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញមានកូអរដោនេ
1. តំបន់នៃតួលេខផ្ទះល្វែងមួយ។
តំបន់នៃ curvilinear trapezoid ចងដោយមុខងារមិនអវិជ្ជមាន f(x), អ័ក្ស x និងបន្ទាត់ត្រង់ x = ក, x = ខត្រូវបានកំណត់ជា S = ∫ a b f x d x ។
តំបន់នៃ trapezoid កោងមួយ។
ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយអនុគមន៍មួយ។ f(x)ប្រសព្វអ័ក្ស abscissa ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត S = ∑ i : f x ≥ 0 ∫ x i − 1 x i f x d x − ∑ i : f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x ខ្ញុំ- សូន្យនៃមុខងារ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតដើម្បីគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខនេះអ្នកត្រូវបែងចែកផ្នែក មុខងារសូន្យ f(x)ចូលទៅក្នុងផ្នែក, រួមបញ្ចូលមុខងារ fសម្រាប់ចន្លោះពេលលទ្ធផលនីមួយៗនៃសញ្ញាថេរ បន្ថែមអាំងតេក្រាលដាច់ដោយឡែកពីលើផ្នែកដែលមុខងារ fយកសញ្ញាផ្សេងគ្នា ហើយដកទីពីរចេញពីសញ្ញាទីមួយ។
2. តំបន់នៃផ្នែកកោង។
តំបន់នៃវិស័យ curvilinear ពិចារណាខ្សែកោង ρ = ρ (φ) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល, កន្លែងណា ρ (φ) - បន្តនិងមិនអវិជ្ជមាន [α; β] មុខងារ។ រូបភាពដែលត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោង ρ (φ) និងកាំរស្មី φ = α , φ = β ត្រូវបានគេហៅថា វិស័យ curvilinear ។ ផ្ទៃនៃផ្នែក curvilinear គឺ S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ ។
3. បរិមាណនៃតួនៃការបង្វិលមួយ។
បរិមាណនៃតួនៃការបង្វិល
អនុញ្ញាតឱ្យរាងកាយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស OX នៃ trapezoid curvilinear ចងដោយបន្ទាត់បន្តនៅលើផ្នែក មុខងារ f(x). បរិមាណរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត V = π ∫ a b f 2 x d x ។
ចំពោះបញ្ហានៃការស្វែងរកបរិមាណនៃរាងកាយពីតំបន់កាត់របស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យរាងកាយត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះ x = កនិង x = ខ, និងតំបន់នៃផ្នែករបស់វាដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច x, - បន្តនៅលើផ្នែក មុខងារ σ(x). បន្ទាប់មកបរិមាណរបស់វាស្មើនឹង V = ∫ a b σ x d x ។
4. ប្រវែងនៃធ្នូនៃខ្សែកោង។
អនុញ្ញាតឱ្យខ្សែកោង r → t = x t , y t , z t ហើយបន្ទាប់មកប្រវែងនៃផ្នែករបស់វាកំណត់ដោយតម្លៃ t = αនិង t = បេត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt ។
ប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោងយន្តហោះ ជាពិសេសប្រវែងនៃខ្សែកោងយន្តហោះដែលបានកំណត់នៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ OXYសមីការ y = f(x), a ≤ x ≤ ខត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx ។
5. ផ្ទៃនៃការបង្វិល។
ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ អនុញ្ញាតឱ្យផ្ទៃត្រូវបានកំណត់ដោយការបង្វិលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស OX នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x), a ≤ x ≤ ខ, និងមុខងារ fមាននិស្សន្ទវត្ថុបន្តលើចន្លោះពេលនេះ។ បន្ទាប់មកផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x ។
មេរៀនទី 21 ការអនុវត្តន៍នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ (2 ម៉ោង)
កម្មវិធីធរណីមាត្រ
ក) តំបន់នៃរូបភព
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយនៅក្នុងមេរៀនទី 19 គឺស្មើនឹងចំនួននៃផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ដែលចងដោយខ្សែកោង នៅ = f(x), ត្រង់ X = ក, X = ខនិងផ្នែក [ ក, ខ] អ័ក្ស OX ។ លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើ f(x) £ 0 នៅលើ [ ក, ខ] បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលគួរតែត្រូវបានយកដោយសញ្ញាដក។
ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យមុខងារ នៅ = f(x) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា បន្ទាប់មកដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងក្រាហ្វនៃមុខងារនេះ និងអ័ក្ស OX អ្នកគួរតែបែងចែកផ្នែកជាផ្នែកៗ ដែលមុខងារនីមួយៗរក្សាសញ្ញារបស់វា ហើយស្វែងរកតំបន់នៃ ផ្នែកនីមួយៗនៃរូបភាព។ ផ្ទៃដែលត្រូវការនៅក្នុងករណីនេះគឺជាផលបូកពិជគណិតនៃអាំងតេក្រាលលើផ្នែកទាំងនេះ ហើយអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ត្រូវបានយកក្នុងផលបូកនេះជាមួយនឹងសញ្ញាដក។
ប្រសិនបើតួលេខមួយត្រូវបានចងដោយខ្សែកោងពីរ នៅ = f 1 (x) និង នៅ = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x) បន្ទាប់មក ដូចខាងក្រោមពីរូបភាពទី 9 តំបន់របស់វាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៅក្នុងតំបន់នៃ curvilinear trapezoids កព្រះអាទិត្យ ខនិង ក AD ខដែលនីមួយៗជាលេខស្មើនឹងអាំងតេក្រាល មានន័យថា
 |
ចំណាំថាផ្ទៃនៃរូបភាពដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 10a ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នា: S = 
(បញ្ជាក់!) គិតពីរបៀបគណនាផ្ទៃនៃរូបដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 10b?
យើងកំពុងនិយាយតែអំពីអង្កត់ទ្រូងកោងដែលនៅជាប់នឹងអ័ក្ស OX ប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែរូបមន្តស្រដៀងគ្នានេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់តួលេខដែលនៅជាប់នឹងអ័ក្ស OU ផងដែរ។ ឧទាហរណ៍តំបន់នៃតួលេខដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 11 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ y=f(x), ចងខ្សែកោង, អាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ, tអូ និង j(a)= ក, j(b) = ខ, i.e. នៅ=។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid នេះគឺស្មើនឹង
.
ខ) ប្រវែងអ័ក្សកោង
សូមឱ្យខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នៅ = f(x) ចូរយើងពិចារណាធ្នូនៃខ្សែកោងនេះដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរ Xនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ចូរយើងស្វែងរកប្រវែងនៃធ្នូនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកធ្នូ AB ទៅជា នផ្នែកដោយចំណុច A = M 0, M 1, M 2, ..., M ន= B (រូបទី 14) ដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុច X 1 , X 2 , ..., x ន Î [ ក, ខ].
 |
ចូរយើងសម្គាល់ D លីត្រ ខ្ញុំប្រវែងធ្នូបន្ទាប់មក លីត្រ=។ ប្រសិនបើប្រវែងធ្នូ D លីត្រ ខ្ញុំមានទំហំតូចល្មម បន្ទាប់មកគេអាចចាត់ទុកថាស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នាដែលតភ្ជាប់ចំណុច M ខ្ញុំ-1, ម ខ្ញុំ. ចំណុចទាំងនេះមានកូអរដោនេ M ខ្ញុំ -1 (x ខ្ញុំ -1, f (x ខ្ញុំ-១)) ម ខ្ញុំ(x ខ្ញុំ, f(x ខ្ញុំ)) បន្ទាប់មកប្រវែងនៃចម្រៀកគឺស្មើគ្នារៀងគ្នា។
រូបមន្តរបស់ Lagrange ត្រូវបានប្រើនៅទីនេះ។ តោះដាក់ x ខ្ញុំ – x ខ្ញុំ-1 = ឃ x ខ្ញុំ, យើងទទួលបាន
បន្ទាប់មក លីត្រ = 
កន្លែងណា
លីត្រ = 
.
ដូច្នេះប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោង នៅ = f(x) ដែលត្រូវនឹងការផ្លាស់ប្តូរ Xនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] រកឃើញដោយរូបមន្ត
លីត្រ = 
, (1)
ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានបញ្ជាក់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tអូ, ឧ។ y(t) = f(x(t)) បន្ទាប់មកពីរូបមន្ត (១) យើងទទួលបាន៖
លីត្រ= 
.
នេះមានន័យថា ប្រសិនបើខ្សែកោងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នោះប្រវែងនៃធ្នូនៃខ្សែកោងនេះដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្លាស់ប្តូរ tអូ ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
វី) បរិមាណនៃតួនៃការបង្វិល។
|
ពិចារណាពីរាងពងក្រពើកោង ក AB ខ, កំណត់ដោយបន្ទាត់ នៅ = f(x), ត្រង់ X = ក, X = ខនិងផ្នែក [ ក,ខ] អ័ក្ស OX (រូបភាព 15) ។ ទុកអោយអន្ទាក់នេះបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស OX លទ្ធផលនឹងជាតួនៃការបង្វិល។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាបរិមាណនៃរាងកាយនេះនឹងស្មើនឹង 
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចទាញយករូបមន្តសម្រាប់បរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានដោយការបង្វិលរាងចតុកោណកែងជុំវិញអ័ក្ស OU ដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ X= j( នៅ), ត្រង់ y = គ , y = ឃនិងផ្នែក [ គ,ឃ] អ័ក្ស op-amp (រូបភាព 15):
កម្មវិធីរូបវិទ្យានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
នៅក្នុងការបង្រៀនទី 19 យើងបានបង្ហាញថាតាមទស្សនៈរូបវន្ត អាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងម៉ាស់នៃកំណាត់ស្តើង rectilinear នៃប្រវែងមិនស្មើគ្នា។ លីត្រ= ខ – ក, ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេលីនេអ៊ែរអថេរ r = f(x), f(x) ³ 0, កន្លែងណា X- ចម្ងាយពីចំណុចនៃដំបងទៅចុងខាងឆ្វេងរបស់វា។
ចូរយើងពិចារណាកម្មវិធីរូបវន្តផ្សេងទៀតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
បញ្ហា 1. ស្វែងរកការងារដែលត្រូវការដើម្បីបូមប្រេងពីធុងស៊ីឡាំងបញ្ឈរដែលមានកម្ពស់ H និងកាំមូលដ្ឋាន R. ដង់ស៊ីតេនៃប្រេងគឺ r ។
ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្កើតគំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហានេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ័ក្ស OX ឆ្លងកាត់តាមអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃស៊ីឡាំងដែលមានកម្ពស់ H និងកាំ R ដែលប្រភពដើមគឺនៅកណ្តាលនៃមូលដ្ឋានខាងលើនៃស៊ីឡាំង (រូបភាព 17) ។ ចូរបំបែកស៊ីឡាំងទៅជា នផ្នែកផ្ដេកតូច។ បន្ទាប់មកកន្លែងណា A i- ការងារបូម ខ្ញុំស្រទាប់ទី។ ការបែងចែកនៃស៊ីឡាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការបែងចែកនៃផ្នែកនៃការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់ស្រទាប់ចូលទៅក្នុង នផ្នែក។ ចូរយើងពិចារណាស្រទាប់មួយក្នុងចំណោមស្រទាប់ទាំងនេះដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយ x ខ្ញុំពីផ្ទៃ, ទទឹង D X(ឬភ្លាមៗ dx) ការបូមចេញស្រទាប់នេះអាចត្រូវបានគេគិតថាជាការ "លើក" ស្រទាប់ទៅកម្ពស់មួយ។ x ខ្ញុំ.
បន្ទាប់មកការងារដើម្បីបូមចេញស្រទាប់នេះគឺស្មើនឹង
A i» ទំ ខ្ញុំ x ខ្ញុំ, 
,
ដែលជាកន្លែងដែល P ខ្ញុំ=rgV ខ្ញុំ= rgpR ២ dx, រ ខ្ញុំ- ទម្ងន់, V ខ្ញុំ- បរិមាណនៃស្រទាប់។ បន្ទាប់មក A i» រ ខ្ញុំ x ខ្ញុំ= rgpR ២ dx.x អាយកន្លែងណា
ដូច្នេះហើយ 
.
បញ្ហា ២. ស្វែងរកពេលនៃនិចលភាព
ក) ស៊ីឡាំងដែលមានជញ្ជាំងស្តើងប្រហោងទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សដែលឆ្លងកាត់អ័ក្សស៊ីមេទ្រីរបស់វា;
ខ) ស៊ីឡាំងរឹងដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សដែលឆ្លងកាត់អ័ក្សស៊ីមេទ្រីរបស់វា;
គ) ដំបងស្តើងនៃប្រវែង លីត្រទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វា;
ឃ) ប្រវែងដំបងស្តើង លីត្រទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សឆ្លងកាត់ចុងខាងឆ្វេងរបស់វា។
ដំណោះស្រាយ។ដូចដែលគេដឹង ពេលវេលានៃនិចលភាពនៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សគឺស្មើនឹង ជ=លោក 2, និងប្រព័ន្ធនៃចំណុច។
ក) ស៊ីឡាំងមានជញ្ជាំងស្តើង ដែលមានន័យថា កំរាស់ជញ្ជាំងអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យកាំនៃមូលដ្ឋានរបស់ស៊ីឡាំងគឺ R កម្ពស់របស់វា H ហើយដង់ស៊ីតេម៉ាស់នៅលើជញ្ជាំងគឺស្មើនឹង r ។
ចូរបំបែកស៊ីឡាំងទៅជា នផ្នែកនិងរកកន្លែងណា J i- ពេលនៃនិចលភាព ខ្ញុំធាតុនៃភាគថាស។
ចូរយើងពិចារណា ខ្ញុំធាតុទី 1 នៃភាគថាស (ស៊ីឡាំងគ្មានកំណត់) ។ ចំនុចទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅចំងាយ R ពីអ័ក្ស លីត្រ. អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាស់នៃស៊ីឡាំងនេះ។ t ខ្ញុំ, បន្ទាប់មក t ខ្ញុំ= rV ខ្ញុំ» អេស ចំហៀង= 2prR dx ខ្ញុំ, កន្លែងណា x ខ្ញុំអូ បន្ទាប់មក J i» R 2 prR dx ខ្ញុំកន្លែងណា
.
ប្រសិនបើ r ជាថេរ នោះ ជ= 2prR 3 N ហើយចាប់តាំងពីម៉ាស់ស៊ីឡាំងស្មើនឹង M = 2prRН បន្ទាប់មក ជ=MR ២.
ខ) ប្រសិនបើស៊ីឡាំងរឹង (បំពេញ) បន្ទាប់មកយើងបែងចែកវាទៅជា ន vloស៊ីឡាំងស្តើងភ្ជាប់គ្នាទៅវិញទៅមក។ ប្រសិនបើ នមានទំហំធំ ស៊ីឡាំងនីមួយៗអាចចាត់ទុកថាជាជញ្ជាំងស្តើង។ ភាគថាសនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងភាគថាសនៃផ្នែកចូលទៅក្នុង នផ្នែកដែលមានចំណុច R ខ្ញុំ. ចូរយើងស្វែងរកម៉ាស់ ខ្ញុំស៊ីឡាំងជញ្ជាំងស្តើង៖ t ខ្ញុំ= rV ខ្ញុំ, កន្លែងណា
វ ខ្ញុំ= pR ខ្ញុំ 2 H - pR ខ្ញុំ- 1 2 H = pH(R ខ្ញុំ២ – រ ខ្ញុំ -1 2) =
PH(R ខ្ញុំ– រ ខ្ញុំ-1)(R ខ្ញុំ+ រ ខ្ញុំ -1).
ដោយសារតែជញ្ជាំងស៊ីឡាំងស្តើង យើងអាចសន្មត់ថា R ខ្ញុំ+ រ ខ្ញុំ-1 » 2R ខ្ញុំ, និង R ខ្ញុំ– រ ខ្ញុំ-1 = DR ខ្ញុំបន្ទាប់មក V ខ្ញុំ» pH2R ខ្ញុំ D.R. ខ្ញុំកន្លែងណា t ខ្ញុំ» rpН × 2R ខ្ញុំ D.R. ខ្ញុំ,
បន្ទាប់មកទីបំផុត 
គ) ពិចារណាប្រវែងដំបង លីត្រដែលដង់ស៊ីតេម៉ាស់គឺស្មើនឹង r ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ័ក្សនៃការបង្វិលឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វា។
យើងធ្វើគំរូដំបងជាផ្នែកនៃអ័ក្ស OX បន្ទាប់មកអ័ក្សនៃការបង្វិលរបស់ដំបងគឺជាអ័ក្ស OU ។ ចូរយើងពិចារណាផ្នែកបឋមមួយ ម៉ាស់របស់វា ចម្ងាយទៅអ័ក្សអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាស្មើគ្នា r ខ្ញុំ= x ខ្ញុំ. បន្ទាប់មក និចលភាពនៃនិចលភាពនៃផ្នែកនេះគឺស្មើនឹង ពេលដែលនិចលភាពនៃនិចលភាពនៃដំបងទាំងមូលស្មើនឹង 
. ពិចារណាថាម៉ាស់របស់ដំបងគឺស្មើនឹង , បន្ទាប់មក
ឃ) អនុញ្ញាតឱ្យឥឡូវនេះអ័ក្សនៃការបង្វិលឆ្លងកាត់ចុងខាងឆ្វេងនៃដំបង, i.e. គំរូនៃដំបងគឺជាផ្នែកនៃអ័ក្ស OX ។ បន្ទាប់មក ស្រដៀងគ្នានេះដែរ r ខ្ញុំ= x ខ្ញុំ, , កន្លែងណា 
ហើយចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
កិច្ចការទី 3 ។ស្វែងរកកម្លាំងសម្ពាធនៃអង្គធាតុរាវដែលមានដង់ស៊ីតេ r លើត្រីកោណកែងដែលមានជើង កនិង ខ, immersed បញ្ឈរនៅក្នុងរាវដូច្នេះថាជើង កគឺនៅលើផ្ទៃរាវ។
ដំណោះស្រាយ.
ចូរយើងបង្កើតគំរូនៃបញ្ហា។ សូមឱ្យចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំនៃត្រីកោណស្ថិតនៅដើម, ជើង កស្របពេលជាមួយនឹងផ្នែកនៃអ័ក្ស OU (អ័ក្ស OU កំណត់ផ្ទៃនៃអង្គធាតុរាវ) អ័ក្ស OX ត្រូវបានដឹកនាំចុះក្រោម ជើង ខស្របគ្នាជាមួយនឹងផ្នែកនៃអ័ក្សនេះ។ អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណនេះមានសមីការ ឬ .
វាត្រូវបានគេដឹងថាប្រសិនបើនៅលើតំបន់ផ្ដេកនៃតំបន់ ស, immersed នៅក្នុងអង្គធាតុរាវនៃដង់ស៊ីតេ r, ត្រូវបានចុចដោយជួរឈរនៃរាវនៃកម្ពស់មួយ។ hបន្ទាប់មកកម្លាំងសម្ពាធគឺស្មើគ្នា (ច្បាប់របស់ Pascal) ។ ចូរយើងប្រើច្បាប់នេះ។
ផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងខាងលើដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ y=f(x), ឆ្វេងនិងស្តាំ - ត្រង់ x=aនិង x=bតាមនោះពីខាងក្រោម - អ័ក្ស គោគណនាដោយរូបមន្ត
ផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងនៅខាងស្ដាំដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ x=φ(y)ខាងលើនិងខាងក្រោម - ត្រង់ y=dនិង y=cតាមនោះនៅខាងឆ្វេង - អ័ក្ស អូ:
ផ្ទៃនៃតួរលេខ curvilinear ចងខាងលើដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ y 2 = f 2 (x)ខាងក្រោម - ក្រាហ្វមុខងារ y 1 = f 1 (x), ឆ្វេងនិងស្តាំ - ត្រង់ x=aនិង x=b:
ផ្ទៃនៃតួរលេខ curvilinear ចងនៅខាងឆ្វេង និងស្តាំដោយក្រាហ្វនៃមុខងារ x 1 = φ 1 (y)និង x 2 =φ 2 (y)ខាងលើនិងខាងក្រោម - ត្រង់ y=dនិង y=cរៀងគ្នា៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់កំណត់ curvilinear trapezoid ពីខាងលើត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), កន្លែងណា α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) = ក, φ 1 (β) = ខ. សមីការទាំងនេះកំណត់មុខងារមួយចំនួន y=f(x)នៅលើផ្នែក [ ក, ខ] តំបន់នៃ trapezoid កោងមួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
ចូរបន្តទៅអថេរថ្មី។ x = φ 1 (t), បន្ទាប់មក dx = φ "1 (t) dt, ក y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t)ដូច្នេះ \begin(បង្ហាញគណិតវិទ្យា)
តំបន់នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។
ពិចារណាវិស័យ curvilinear OABកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ ρ=ρ(φ) នៅក្នុងកូអរដោនេប៉ូល, កាំរស្មីពីរ O.A.និង O.B.សម្រាប់ការដែល φ=α , φ=β .
យើងនឹងបែងចែកវិស័យទៅជាវិស័យបឋម អូម k-1 M k ( k=1, …, ន, M 0 = ក, M n = ខ) ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ Δφkមុំរវាងកាំរស្មី អូម k-1និង អូម kបង្កើតមុំជាមួយអ័ក្សប៉ូល។ φ k-1និង φkរៀងៗខ្លួន។ វិស័យបឋមនីមួយៗ OM k-1 M kជំនួសវាដោយផ្នែករង្វង់ដែលមានកាំ ρ k =ρ(φ" k), កន្លែងណា φ"ក- តម្លៃមុំ φ
ពីចន្លោះពេល [ φ k-1 , φ k] និងមុំកណ្តាល Δφk. តំបន់នៃវិស័យចុងក្រោយត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត 
.
បង្ហាញពីតំបន់នៃវិស័យ "បោះជំហាន" ដែលប្រហែលជំនួសវិស័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ OAB.
តំបន់ OABត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃតំបន់នៃវិស័យ "បោះជំហាន" នៅ n → ∞និង λ=អតិបរមាΔφ k → 0:
ដោយសារតែ 
, នោះ។
ប្រវែងអ័ក្សកោង
អនុញ្ញាតឱ្យនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] មុខងារផ្សេងគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y=f(x), ក្រាហ្វដែលជាធ្នូ។ ផ្នែក [ ក, ខ] ចូរយើងបំបែកវាទៅជា នផ្នែកដែលមានចំណុច x ១, x ២, …, xn-1. ចំណុចទាំងនេះនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុច ម ១, ម ២, …, Mn-1 arcs យើងភ្ជាប់ពួកវាជាមួយបន្ទាត់ខូចដែលត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ខូចដែលចារឹកនៅក្នុងធ្នូ។ បរិវេណនៃបន្ទាត់ដែលខូចនេះនឹងត្រូវបានតំណាងដោយ s ននោះគឺ
និយមន័យ. ប្រវែងនៃធ្នូនៃបន្ទាត់គឺជាដែនកំណត់នៃបរិវេណនៃបន្ទាត់ដែលខូចដែលចារឹកនៅក្នុងវា នៅពេលដែលចំនួននៃតំណភ្ជាប់ M k-1 M kកើនឡើងឥតកំណត់ ហើយប្រវែងធំបំផុតនៃពួកវាមានទំនោរទៅសូន្យ៖
ដែល λ គឺជាប្រវែងនៃតំណភ្ជាប់ធំបំផុត។
យើងនឹងរាប់ប្រវែងនៃធ្នូពីចំណុចមួយចំនួនឧទាហរណ៍ ក. អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុច M(x,y)ប្រវែងធ្នូគឺ សនិងនៅចំណុច M"(x+Δ x,y+Δy)ប្រវែងធ្នូគឺ s + Δsដែលជាកន្លែងដែល, i> Δs គឺជាប្រវែងនៃធ្នូ។ ពីត្រីកោណមួយ។ MNM"រកប្រវែងអង្កត់ធ្នូ៖ .
ពីការពិចារណាធរណីមាត្រវាធ្វើតាមនោះ។
នោះគឺជាធ្នូគ្មានកំណត់នៃបន្ទាត់មួយ ហើយអង្កត់ធ្នូដែលដាក់វាគឺសមមូល។
ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្តដែលបង្ហាញពីប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូ៖
ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ក្នុងសមភាពនេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ s=s(x):
ពីដែលយើងរកឃើញ
រូបមន្តនេះបង្ហាញពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃធ្នូនៃខ្សែកោងយន្តហោះ ហើយមានលក្ខណៈសាមញ្ញ អត្ថន័យធរណីមាត្រ៖ បង្ហាញទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរសម្រាប់ត្រីកោណគ្មានកំណត់ MTN (ds=MT, ).
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃធ្នូនៃខ្សែកោង spatial ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
ពិចារណាលើធ្នូនៃបន្ទាត់លំហដែលកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
កន្លែងណា α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - មុខងារផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់ t, នោះ។
ការរួមបញ្ចូលសមភាពនេះលើចន្លោះពេល [ α, β ] យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃធ្នូបន្ទាត់នេះ។
ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ អុកសុី, នោះ។ z=0នៅចំពោះមុខមនុស្សគ្រប់គ្នា t∈[α, β], នោះហើយជាមូលហេតុ
ក្នុងករណីដែលបន្ទាត់រាបស្មើត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ y=f(x) (a≤x≤b) កន្លែងណា f(x)គឺជាមុខងារដែលខុសគ្នា រូបមន្តចុងក្រោយយកទម្រង់
សូមឱ្យបន្ទាត់យន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។ ក្នុងករណីនេះយើងមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φដែលមុំប៉ូលត្រូវបានយកជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ φ . ដោយសារតែ
បន្ទាប់មករូបមន្តបង្ហាញពីប្រវែងនៃធ្នូនៃបន្ទាត់ ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល មានទម្រង់
បរិមាណរាងកាយ
ចូរយើងស្វែងរកបរិមាណនៃរាងកាយប្រសិនបើតំបន់នៃផ្នែកឆ្លងកាត់ណាមួយនៃរាងកាយនេះកាត់កែងទៅទិសដៅជាក់លាក់មួយត្រូវបានដឹង។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែករាងកាយនេះទៅជាស្រទាប់បឋមដោយប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស គោនិងកំណត់ដោយសមីការ x=const. សម្រាប់ការជួសជុលណាមួយ។ x∈តំបន់ដែលគេស្គាល់ S=S(x)ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃរាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ស្រទាប់បឋមកាត់ចេញដោយយន្តហោះ x=x k-1, x = x k (k=1, …, ន, x 0 = ក, x n = ខ) ជំនួសវាដោយស៊ីឡាំងដែលមានកម្ពស់ Δx k = x k −x k −1និងតំបន់មូលដ្ឋាន S(ξ k), ξ k ∈.
បរិមាណនៃស៊ីឡាំងបឋមដែលបានបង្ហាញត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត Δv k = E(ξ k) Δx k. ចូរយើងសង្ខេបផលិតផលបែបនេះទាំងអស់។
ដែលជាផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ S=S(x)នៅលើផ្នែក [ ក, ខ] វាបង្ហាញពីបរិមាណនៃតួដែលមានជំហានដែលមានស៊ីឡាំងបឋម និងប្រមាណការជំនួសតួនេះ។
បរិមាណនៃតួដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដែនកំណត់នៃបរិមាណនៃតួដែលបានបញ្ជាក់ λ→0 , កន្លែងណា λ - ប្រវែងធំបំផុតនៃផ្នែកបឋម Δx k. ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ វបរិមាណនៃរាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ
ម្ខាងទៀត
អាស្រ័យហេតុនេះ បរិមាណនៃរាងកាយលើផ្នែកឆ្លងកាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
ប្រសិនបើរាងកាយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស គោរាងចតុកោណកែងដែលចងនៅផ្នែកខាងលើដោយធ្នូនៃបន្ទាត់បន្តមួយ។ y=f(x), កន្លែងណា a≤x≤b, នោះ។ S(x) = π f 2 (x)ហើយរូបមន្តចុងក្រោយយកទម្រង់៖
មតិយោបល់. បរិមាណនៃតួដែលទទួលបានដោយការបង្វិលរាងកោងដែលចងនៅខាងស្ដាំដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ x=φ(y) (c ≤ x ≤ ឃ) ជុំវិញអ័ក្ស អូគណនាដោយរូបមន្ត
ផ្ទៃនៃការបង្វិល
ពិចារណាលើផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូនៃបន្ទាត់ y=f(x) (a≤x≤b) ជុំវិញអ័ក្ស គោ(សន្មតថាមុខងារ y=f(x)មានដេរីវេបន្ត)។ កំណត់តម្លៃ x∈យើងនឹងផ្តល់ការបន្ថែមទៅអាគុយម៉ង់មុខងារ dxដែលត្រូវនឹង "ចិញ្ចៀនបឋម" ដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូបឋម Δl. ចូរយើងជំនួស "ចិញ្ចៀន" នេះជាមួយនឹងរង្វង់រាងស៊ីឡាំង - ផ្ទៃក្រោយនៃរាងកាយដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃចតុកោណកែងជាមួយនឹងមូលដ្ឋានស្មើនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃធ្នូ។ dl, និងកម្ពស់ h=f(x). ដោយកាត់ចិញ្ចៀនចុងក្រោយហើយលាតវាយើងទទួលបានបន្ទះមួយដែលមានទទឹង dlនិងប្រវែង 2πy, កន្លែងណា y=f(x).
ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្ទៃត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្ត
រូបមន្តនេះបង្ហាញពីផ្ទៃផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូនៃបន្ទាត់មួយ។ y=f(x) (a≤x≤b) ជុំវិញអ័ក្ស គោ.
ប្រធានបទ 6.10 ។ កម្មវិធីធរណីមាត្រ និងរូបវន្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
1. តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយខ្សែកោង y =f(x)(f(x)>0), បន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b និងផ្នែក [a, b] នៃអ័ក្សអុក, ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
2. ផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយខ្សែកោង y = f (x) និង y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3. ប្រសិនបើខ្សែកោងមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = x (t), y = y (t) នោះផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ដែលចងដោយខ្សែកោងនេះ និងបន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b ត្រូវបានរកឃើញដោយ រូបមន្ត
4. សូមអោយ S (x) ជាតំបន់កាត់តួនៃតួដោយយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Ox បន្ទាប់មកបរិមាណនៃផ្នែកនៃរាងកាយដែលរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះ x = a និង x = b កាត់កែងទៅនឹង អ័ក្សត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
5. ទុកខ្សែកោងកោង y = f (x) និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 0, x = a និង x = b បង្វិលជុំវិញអ័ក្សអុក បន្ទាប់មកបរិមាណតួនៃការបង្វិលត្រូវបានគណនាដោយ រូបមន្ត
6. ឱ្យរាងកោងមួយចងដោយខ្សែកោង x = g (y) និង
បន្ទាត់ត្រង់ x = 0, y = c និង y = d, បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស O y បន្ទាប់មកទំហំតួនៃការបង្វិលត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
7. ប្រសិនបើខ្សែកោងនៃយន្តហោះទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ហើយត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ y = f (x) (ឬ x = F (y)) នោះប្រវែងនៃធ្នូត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
