ឧទាហរណ៍នៃប្រតិបត្តិការជាមួយលោការីត។ លោការីតនៃផលិតផល និងលោការីតនៃកូតាត

យើងបន្តសិក្សាលោការីត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពី ការគណនាលោការីតដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា លោការីត. ដំបូងយើងនឹងយល់ពីការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ។ បន្ទាប់ សូមមើលពីរបៀបដែលតម្លៃនៃលោការីតត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងនឹងផ្តោតលើការគណនាលោការីតតាមរយៈតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់ដំបូងរបស់លោការីតផ្សេងទៀត។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងរៀនពីរបៀបប្រើតារាងលោការីត។ ទ្រឹស្តីទាំងមូលត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។

ការរុករកទំព័រ។

ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត វាអាចធ្វើបានយ៉ាងលឿន និងងាយស្រួល ការស្វែងរកលោការីតតាមនិយមន័យ. ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបដែលដំណើរការនេះកើតឡើង។

ខ្លឹមសាររបស់វាគឺតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ដែលតាមនិយមន័យលោការីត លេខ c គឺជាតម្លៃនៃលោការីត។ នោះគឺតាមនិយមន័យ ខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពខាងក្រោមត្រូវគ្នានឹងការស្វែងរកលោការីត៖ log a b=log a a c =c ។

ដូច្នេះ ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ គឺបានមករកលេខ c ដែល a = b ហើយលេខ c ខ្លួនវាជាតម្លៃដែលចង់បានរបស់លោការីត។

ដោយគិតពីព័ត៌មានក្នុងកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលលេខក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានផ្តល់ដោយអំណាចជាក់លាក់នៃមូលដ្ឋានលោការីត អ្នកអាចចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗនូវអ្វីដែលលោការីតស្មើនឹង - វាស្មើនឹងនិទស្សន្ត។ ចូរបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកកំណត់ហេតុ 2 2 −3 ហើយគណនាលោការីតធម្មជាតិនៃលេខ អ៊ី 5,3 ផងដែរ។

ដំណោះស្រាយ។

និយមន័យនៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយភ្លាមៗថា log 2 2 −3 = −3 ។ ពិតប្រាកដណាស់ លេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាន 2 ទៅ −3 អំណាច។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញលោការីតទីពីរ៖ lne 5.3 = 5.3 ។

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 2 2 −3 = −3 និង lne 5,3 = 5,3 ។

ប្រសិនបើលេខ b នៅក្រោមសញ្ញាលោការីត មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ជាថាមពលនៃមូលដ្ឋាននៃលោការីតទេ នោះអ្នកត្រូវមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្នដើម្បីមើលថាតើវាអាចទៅរួចដែរឬទេក្នុងការតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ។ ជារឿយៗការតំណាងនេះគឺជាក់ស្តែង ជាពិសេសនៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានទៅនឹងអំណាចនៃ 1, ឬ 2, ឬ 3, ...

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត កំណត់ហេតុ 5 25 និង .

ដំណោះស្រាយ។

វាងាយស្រួលមើលថា 25=5 2 នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលោការីតទីមួយ៖ log 5 25=log 5 5 2=2។

ចូរបន្តទៅការគណនាលោការីតទីពីរ។ លេខអាចត្រូវបានតំណាងជាអំណាចនៃ 7: (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ .

ចូរយើងសរសេរលោការីតទីបីឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម។ ឥឡូវនេះអ្នកអាចឃើញវា។ ដែលយើងសន្និដ្ឋាន . ដូច្នេះតាមនិយមន័យលោការីត .

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖ .

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 5 25=2 , និង .

នៅពេលដែលមានចំនួនធម្មជាតិធំគ្រប់គ្រាន់នៅក្រោមសញ្ញាលោការីត វាមិនប៉ះពាល់ដល់ការបញ្ចូលវាទៅជាកត្តាចម្បងនោះទេ។ ជារឿយៗវាជួយតំណាងឱ្យចំនួនដូចជាអំណាចមួយចំនួននៃមូលដ្ឋាននៃលោការីត ហើយដូច្នេះគណនាលោការីតនេះតាមនិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ភ្លាមៗនូវតម្លៃនៃលោការីត។ លក្ខណសម្បត្តិទាំងនេះរួមមានលក្ខណសម្បត្តិលោការីតរបស់មួយ និងទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃចំនួនដែលស្មើនឹងគោល៖ log 1 1=log a 0 =0 និង log a=log a 1=1។ នោះគឺនៅពេលដែលនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតមានលេខ 1 ឬលេខមួយស្មើនឹងមូលដ្ឋានរបស់លោការីត នោះក្នុងករណីទាំងនេះលោការីតគឺស្មើនឹង 0 និង 1 រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

តើលោការីត និង log10 ស្មើនឹងអ្វី?

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ពីនិយមន័យនៃលោការីត វាធ្វើតាម .

ក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ លេខ 10 នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតស្របគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានរបស់វា ដូច្នេះលោការីតទសភាគដប់គឺស្មើនឹងមួយ នោះគឺ lg10=lg10 1 =1។

ចម្លើយ៖

និង lg10=1 ។

ចំណាំថាការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ (ដែលយើងបានពិភាក្សាក្នុងកថាខណ្ឌមុន) បង្កប់ន័យការប្រើប្រាស់កំណត់ហេតុសមភាព a p = p ដែលជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយរបស់លោការីត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយស្រួលថាជាថាមពលនៃចំនួនជាក់លាក់មួយ វាងាយស្រួលប្រើរូបមន្ត ដែលត្រូវនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃលោការីត។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកលោការីតដែលបង្ហាញពីការប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតដែលមិនបានរៀបរាប់ខាងលើក៏ត្រូវបានគេប្រើក្នុងការគណនាដែរ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម។

ការស្វែងរកលោការីតតាមរយៈលោការីតដែលគេស្គាល់ផ្សេងទៀត។

ព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះបន្តប្រធានបទនៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីតនៅពេលគណនាពួកគេ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ ភាពខុសគ្នាចំបងគឺថា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញលោការីតដើមនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតមួយផ្សេងទៀត តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ការបំភ្លឺ។ ចូរនិយាយថាយើងដឹងថា log 2 3≈1.584963 បន្ទាប់មកយើងអាចរកឃើញឧទាហរណ៍ log 2 6 ដោយធ្វើការបំប្លែងបន្តិចបន្តួចដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត៖ log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ វាគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផលមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ច្រើនដងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើឃ្លាំងអាវុធធំទូលាយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត ដើម្បីគណនាលោការីតដើមតាមរយៈវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីតពី 27 ទៅគោល 60 ប្រសិនបើអ្នកដឹងថា log 60 2=a និង log 60 5=b ។

ដំណោះស្រាយ។

ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកកំណត់ហេតុ ៦០ ២៧ ។ ងាយមើលថា 27 = 3 3 ហើយលោការីតដើម ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃអំណាច អាចសរសេរឡើងវិញជា 3·log 60 3។

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបបង្ហាញកំណត់ហេតុ 60 3 នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតដែលគេស្គាល់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃចំនួនដែលស្មើនឹងមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកំណត់ហេតុសមភាព 60 60=1 ។ ម៉្យាងទៀត log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·កំណត់ហេតុ 60 2+កំណត់ហេតុ 60 3+កំណត់ហេតុ 60 5 . ដូច្នេះ 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. អាស្រ័យហេតុនេះ កំណត់ហេតុ 60 3=1−2·កំណត់ហេតុ 60 2−កំណត់ហេតុ 60 5=1−2·a−b.

ជាចុងក្រោយ យើងគណនាលោការីតដើម៖ log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ដោយឡែកវាមានតម្លៃនិយាយអំពីអត្ថន័យនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតនៃទម្រង់ . វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានណាមួយទៅលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានជាក់លាក់តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់ឬវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកពួកគេ។ ជាធម្មតា ពីលោការីតដើម ដោយប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ ពួកវាផ្លាស់ទីទៅលោការីតក្នុងគោល 2, អ៊ី ឬ 10 ចាប់តាំងពីសម្រាប់មូលដ្ឋានទាំងនេះមានតារាងលោការីតដែលអនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃរបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាជាមួយនឹងកម្រិតជាក់លាក់នៃ ភាពត្រឹមត្រូវ។ នៅកថាខណ្ឌបន្ទាប់ យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើ។

តារាងលោការីត និងការប្រើប្រាស់របស់វា។

ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃលោការីតប្រហែលមួយ គេអាចប្រើ តារាងលោការីត. តារាងលោការីតគោល ២ ដែលប្រើជាទូទៅបំផុត តារាងលោការីតធម្មជាតិ និងតារាងលោការីតទសភាគ។ នៅពេលធ្វើការនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទសភាគ វាងាយស្រួលប្រើតារាងលោការីតដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានដប់។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងរៀនស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីត។

តារាងដែលបានបង្ហាញអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខពី 1,000 ដល់ 9,999 (មានខ្ទង់ទសភាគបី) ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃមួយដប់ពាន់។ យើងនឹងវិភាគគោលការណ៍នៃការស្វែងរកតម្លៃលោការីតដោយប្រើតារាងនៃលោការីតទសភាគដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ - វាកាន់តែច្បាស់តាមវិធីនេះ។ ចូរយើងស្វែងរកកំណត់ហេតុ 1.256 ។

នៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញពីរខ្ទង់ដំបូងនៃលេខ 1.256 នោះគឺយើងរកឃើញ 1.2 (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ខៀវសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់)។ ខ្ទង់ទីបីនៃលេខ 1.256 (ខ្ទង់ទី 5) ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ទីមួយ ឬចុងក្រោយនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ក្រហម)។ ខ្ទង់ទីបួននៃលេខដើម 1.256 (ខ្ទង់ទី 6) ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ទីមួយ ឬចុងក្រោយនៅខាងស្តាំនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ដោយបន្ទាត់ពណ៌បៃតង)។ ឥឡូវនេះយើងរកឃើញលេខនៅក្នុងក្រឡានៃតារាងលោការីតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេកដែលបានសម្គាល់ និងជួរឈរដែលបានសម្គាល់ (លេខទាំងនេះត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ទឹកក្រូច)។ ផលបូកនៃលេខដែលបានសម្គាល់ផ្តល់តម្លៃដែលចង់បាននៃលោការីតទសភាគត្រឹមត្រូវទៅខ្ទង់ទសភាគទីបួន នោះគឺ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

តើវាអាចទៅរួចទេ ដោយប្រើតារាងខាងលើ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខដែលមានច្រើនជាងបីខ្ទង់បន្ទាប់ពីខ្ទង់ទសភាគ ក៏ដូចជាតម្លៃដែលលើសពីចន្លោះពី 1 ដល់ 9.999? បាទអ្នកអាចធ្វើបាន។ ចូរបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

តោះគណនា lg102.76332។ ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរ លេខក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ: 102.76332=1.0276332·10 ២. បន្ទាប់ពីនេះ mantissa គួរតែត្រូវបានបង្គត់ទៅខ្ទង់ទសភាគទីបីយើងមាន 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2ខណៈពេលដែលលោការីតទសភាគដើមគឺប្រហែលស្មើនឹងលោការីតនៃចំនួនលទ្ធផល នោះគឺយើងយក log102.76332≈lg1.028·10 2 ។ ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត៖ lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ជាចុងក្រោយ យើងរកឃើញតម្លៃនៃលោការីត lg1.028 ពីតារាងលោការីតទសភាគ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012។ ជាលទ្ធផល ដំណើរការទាំងមូលនៃការគណនាលោការីតមើលទៅដូចនេះ៖ log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

សរុបសេចក្តីមក វាគឺមានតំលៃកត់សម្គាល់ថាការប្រើតារាងនៃលោការីតទសភាគ អ្នកអាចគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃលោការីតណាមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរដើម្បីទៅកាន់លោការីតទសភាគ ស្វែងរកតម្លៃរបស់ពួកគេក្នុងតារាង និងអនុវត្តការគណនាដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាកំណត់ហេតុ 2 3 ។ យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីត យើងមាន។ ពីតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញ log3≈0.4771 និង log2≈0.3010។ ដូច្នេះ .

គន្ថនិទ្ទេស។

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។
Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

\(a^(b)=c\) \(\leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

ចូរពន្យល់វាឱ្យកាន់តែសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ \(\log_(2)(8)\) គឺស្មើនឹងថាមពលដែល \(2\) ត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបាន \(8\)។ ពីនេះវាច្បាស់ថា \(\log_(2)(8)=3\)។

ឧទាហរណ៍:	\\(\log_(5)(25)=2\)	ដោយសារតែ \\(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	ដោយសារតែ \\(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	ដោយសារតែ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

អាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីតណាមួយមាន "កាយវិភាគសាស្ត្រ" ដូចខាងក្រោមៈ

អាគុយម៉ង់នៃលោការីតជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរនៅកម្រិតរបស់វា ហើយមូលដ្ឋានត្រូវបានសរសេរជា subscript ខិតទៅជិតសញ្ញាលោការីត។ ហើយធាតុនេះអានដូចនេះ៖ "លោការីតពីម្ភៃប្រាំទៅគោលប្រាំ"។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាលោការីត?

ដើម្បីគណនាលោការីត អ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរ៖ តើមូលដ្ឋានគួរលើកឡើងពីអំណាចអ្វី ដើម្បីទទួលបានអាគុយម៉ង់?

ឧទាហរណ៍គណនាលោការីត៖ a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ក) តើអំណាចអ្វីត្រូវលើក \(4\) ដើម្បីទទួលបាន \(16\)? ជាក់ស្តែងទីពីរ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល:

\\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

គ) តើអំណាចមួយណាត្រូវលើក \(\ sqrt(5)\) ដើម្បីទទួលបាន \(1\)? តើអំណាចអ្វីធ្វើឱ្យលេខមួយ? សូន្យ ពិតណាស់!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

ឃ) តើអំណាចមួយណាត្រូវលើក \(\sqrt(7)\) ដើម្បីទទួលបាន \(\sqrt(7)\)? ទីមួយ លេខណាមួយទៅអំណាចទីមួយគឺស្មើនឹងខ្លួនវា។

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) តើអំណាចមួយណាដែលត្រូវលើក \(3\) ដើម្បីទទួលបាន \(\ sqrt(3)\)? មកពីយើងដឹងថា នោះជាអំណាចប្រភាគ ដែលមានន័យថា ឫសការេ គឺជាអំណាចនៃ \(\frac(1)(2)\) ។

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ឧទាហរណ៍ ៖ គណនាលោការីត \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

ដំណោះស្រាយ :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		យើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីត ចូរសម្គាល់វាជា x ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើនិយមន័យនៃលោការីត៖ \(\log_(a)(c)=b\) \(\leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		តើអ្វីតភ្ជាប់ \(4\sqrt(2)\) និង \(8\)? ពីរ ពីព្រោះលេខទាំងពីរអាចត្រូវបានតំណាងដោយពីរ៖ \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		នៅខាងឆ្វេងយើងប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖ \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) និង \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		មូលដ្ឋានគឺស្មើគ្នា យើងបន្តទៅសមភាពនៃសូចនាករ
\\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ \(\frac(2)(5)\)
		ឫសលទ្ធផលគឺជាតម្លៃនៃលោការីត

ចម្លើយ ៖ \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

ហេតុអ្វីបានជាលោការីតត្រូវបានបង្កើត?

ដើម្បីយល់ពីនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ៖ \(3^(x)=9\)។ គ្រាន់តែផ្គូផ្គង \(x\) ដើម្បីធ្វើឱ្យសមភាពដំណើរការ។ ជាការពិតណាស់ \(x=2\) ។

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការ៖ \(3^(x)=8\) x ស្មើនឹងអ្វី? ចំនុចហ្នឹងហើយ។

អ្នកដែលឆ្លាតបំផុតនឹងនិយាយថា "X គឺតិចជាងពីរបន្តិច" ។ តើត្រូវសរសេរលេខនេះដោយរបៀបណា? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ លោការីតត្រូវបានបង្កើត។ សូមអរគុណដល់គាត់ ចម្លើយនៅទីនេះអាចសរសេរជា \(x=\log_(3)(8)\)។

ខ្ញុំចង់សង្កត់ធ្ងន់ថា \(\log_(3)(8)\) ដូចជា លោការីតណាមួយគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ។. បាទ វាមើលទៅមិនធម្មតា ប៉ុន្តែវាខ្លី។ ព្រោះបើយើងចង់សរសេរវាជាទសភាគ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖ \(1.892789260714.....\)

ឧទាហរណ៍ ៖ ដោះស្រាយសមីការ \(4^(5x-4)=10\)

ដំណោះស្រាយ :

\\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) និង \(10\) មិនអាចត្រូវបាននាំទៅមូលដ្ឋានដូចគ្នាទេ។ នេះមានន័យថាអ្នកមិនអាចធ្វើដោយគ្មានលោការីតបានទេ។ ចូរយើងប្រើនិយមន័យនៃលោការីត៖ \(a^(b)=c\) \(\leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		ចូរត្រឡប់សមីការ ដូច្នេះ X នៅខាងឆ្វេង
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		មុនយើង។ តោះផ្លាស់ទី \(4\) ទៅខាងស្តាំ។ ហើយកុំខ្លាចលោការីត ចាត់ទុកវាដូចជាលេខធម្មតា។
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		ចែកសមីការដោយ 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		នេះគឺជាឫសរបស់យើង។ បាទ វាមើលទៅមិនធម្មតា ប៉ុន្តែពួកគេមិនជ្រើសរើសចម្លើយទេ។

ចម្លើយ ៖ \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

លោការីតទសភាគ និងធម្មជាតិ

ដូចដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងនិយមន័យនៃលោការីត មូលដ្ឋានរបស់វាអាចជាលេខវិជ្ជមានណាមួយ លើកលែងតែមួយ \((a>0, a\neq1)\)។ ហើយក្នុងចំណោមមូលដ្ឋានដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ មានពីរដែលកើតឡើងជាញឹកញាប់ ដែលសញ្ញាណខ្លីពិសេសមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់លោការីតជាមួយពួកគេ៖

លោការីតធម្មជាតិ៖ ជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានជាលេខរបស់អយល័រ \(e\) (ស្មើនឹងប្រមាណ \(2.7182818...\)) ហើយលោការីតត្រូវបានសរសេរជា \(\ln(a)\) ។

នោះគឺ \(\ln(a)\) គឺដូចគ្នានឹង \(\log_(e)(a)\)

លោការីតទសភាគ៖ លោការីតដែលមានគោល១០ត្រូវបានសរសេរ \(\lg(a)\) ។

នោះគឺ \(\lg(a)\) គឺដូចគ្នានឹង \(\log_(10)(a)\)ដែលជាកន្លែងដែល \(a\) គឺជាលេខមួយចំនួន។

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

លោការីតមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើន។ មួយក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវបានគេហៅថា "អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន" ហើយមើលទៅដូចនេះ:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ។ តោះមើលឱ្យច្បាស់ថាតើរូបមន្តនេះកើតឡើងយ៉ាងដូចម្តេច។

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវសញ្ញាណខ្លីនៃនិយមន័យនៃលោការីត៖

ប្រសិនបើ \(a^(b)=c\), បន្ទាប់មក \(\log_(a)(c)=b\)

នោះគឺ \(b\) គឺដូចគ្នានឹង \(\log_(a)(c)\)។ បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរ \(\log_(a)(c)\) ជំនួសឱ្យ \(b\) ក្នុងរូបមន្ត \(a^(b)=c\)។ វាបានប្រែក្លាយ \(a^(\log_(a)(c))=c\) - អត្តសញ្ញាណលោការីតមេ។

អ្នកអាចរកឃើញលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃលោការីត។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ អ្នកអាចធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងគណនាតម្លៃនៃកន្សោមជាមួយនឹងលោការីត ដែលពិបាកក្នុងការគណនាដោយផ្ទាល់។

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម \(36^(\log_(6)(5))\)

ដំណោះស្រាយ :

ចម្លើយ : \(25\)

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរលេខជាលោការីត?

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ លោការីតណាមួយគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ។ ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ លេខណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាលោការីត។ ឧទាហរណ៍ យើងដឹងថា \(\log_(2)(4)\) ស្មើនឹងពីរ។ បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យពីរ អ្នកអាចសរសេរ \(\log_(2)(4)\)។

ប៉ុន្តែ \(\log_(3)(9)\) ក៏ស្មើនឹង \(2\) ដែលមានន័យថា យើងក៏អាចសរសេរ \(2=\log_(3)(9)\) ផងដែរ។ ដូចគ្នានេះដែរជាមួយ \(\log_(5)(25)\) និងជាមួយ \(\log_(9)(81)\) ។ល។ នោះគឺវាប្រែចេញ

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងត្រូវការ យើងអាចសរសេរពីរជាលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានណាមួយក៏បាន (មិនថានៅក្នុងសមីការ ក្នុងកន្សោម ឬក្នុងវិសមភាព) យើងគ្រាន់តែសរសេរមូលដ្ឋានការ៉េជាអាគុយម៉ង់។

វាដូចគ្នាជាមួយនឹងបីដង – វាអាចត្រូវបានសរសេរជា \(\log_(2)(8)\) ឬជា \(\log_(3)(27)\) ឬជា \(\log_(4)( 64) \) ... នៅទីនេះយើងសរសេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងគូបជាអាគុយម៉ង់មួយ:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

ហើយជាមួយបួន:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

ហើយជាមួយដកមួយ៖

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( ៣)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

ហើយមួយភាគបី៖

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

លេខណាមួយ \(a\) អាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតជាមួយគោល \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

ដំណោះស្រាយ :

ចម្លើយ : \(1\)

(មកពីភាសាក្រិច λόγος - "ពាក្យ", "ទំនាក់ទំនង" និងἀριθμός - "លេខ") លេខ ខអាស្រ័យលើ ក(កំណត់ហេតុ α ខ) ត្រូវបានគេហៅថាលេខបែបនេះ គ, និង ខ= មួយ គនោះគឺជាកំណត់ត្រា α ខ=គនិង b=aគគឺសមមូល។ លោការីតមានន័យប្រសិនបើ a > 0, a ≠ 1, b > 0 ។

ក្នុងន័យផ្សេងទៀត លោការីតលេខ ខអាស្រ័យលើ កបង្កើតជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ(លោការីតមានសម្រាប់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ)។

ពីរូបមន្តនេះវាដូចខាងក្រោមថាការគណនា x = កំណត់ហេតុ α ខស្មើនឹងការដោះស្រាយសមីការ a x = b ។

ឧទាហរណ៍:

កំណត់ហេតុ 2 8 = 3 ព្រោះ 8 = 2 3 ។

ចូរយើងសង្កត់ធ្ងន់ថាការបង្កើតលោការីតដែលបានចង្អុលបង្ហាញធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់បានភ្លាមៗ តម្លៃលោការីតនៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតដើរតួជាថាមពលជាក់លាក់នៃមូលដ្ឋាន។ ជាការពិតណាស់ ការបង្កើតលោការីត ធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថា ប្រសិនបើ b=a គបន្ទាប់មកលោការីតនៃលេខ ខអាស្រ័យលើ កស្មើ ជាមួយ. វាក៏ច្បាស់ដែរថាប្រធានបទលោការីតមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយប្រធានបទ អំណាចនៃលេខមួយ។.

ការគណនាលោការីតត្រូវបានគេហៅថា លោការីត. លោការីតគឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យានៃការទទួលយកលោការីត។ នៅពេលទទួលយកលោការីត ផលិតផលនៃកត្តាត្រូវបានបំលែងទៅជាផលបូកនៃពាក្យ។

សក្តានុពលគឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាបញ្ច្រាសនៃលោការីត។ កំឡុងពេលមានសក្តានុពល មូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានលើកឡើងទៅកម្រិតនៃការបញ្ចេញមតិដែលសក្តានុពលត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំលែងទៅជាផលិតផលនៃកត្តា។

ជាញឹកញយ លោការីតពិតត្រូវបានប្រើជាមួយគោល ២ (គោលពីរ) លេខអយល័រ អ៊ី ≈ ២.៧១៨ (លោការីតធម្មជាតិ) និង ១០ (ទសភាគ)។

នៅដំណាក់កាលនេះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិចារណា គំរូលោការីតកំណត់ហេតុ ៧ ២ , ln √ 5, lg0.0001 ។

ហើយធាតុ lg(-3), កំណត់ហេតុ -3 3.2, កំណត់ហេតុ -1 -4.3 មិនសមហេតុផលទេព្រោះនៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានដាក់នៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីតទីពីរមានលេខអវិជ្ជមាន។ នៅក្នុងគោល ហើយនៅទីបីមានលេខអវិជ្ជមានក្រោមសញ្ញាលោការីត និងឯកតានៅមូលដ្ឋាន។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់កំណត់លោការីត។

វាមានតម្លៃពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីលក្ខខណ្ឌ a> 0, a ≠ 1, b> 0. ក្រោមដែលយើងទទួលបាន និយមន័យលោការីត។ចូរយើងពិចារណាថាហេតុអ្វីបានជាការរឹតបន្តឹងទាំងនេះត្រូវបានយក។ សមភាពនៃទម្រង់ x = log α នឹងជួយយើងក្នុងរឿងនេះ ខដែលហៅថា អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ដែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។

ចូរយើងទទួលយកលក្ខខណ្ឌ a≠1. ដោយសារថាមពលមួយទៅថាមពលណាមួយស្មើនឹងមួយ នោះសមភាព x=log α ខអាចមានបានតែនៅពេលដែល b=1ប៉ុន្តែកំណត់ហេតុ 1 1 នឹងជាចំនួនពិតណាមួយ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះយើងយក a≠1.

ចូរយើងបញ្ជាក់ពីភាពចាំបាច់នៃលក្ខខណ្ឌ a>0. នៅ a=0យោងតាមការបង្កើតលោការីតអាចមានបានតែនៅពេលដែល b=0. ហើយតាមនោះ។ កំណត់ហេតុ 0 0អាចជាចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ ចាប់តាំងពីសូន្យទៅថាមពលដែលមិនមែនជាសូន្យគឺសូន្យ។ ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះអាចត្រូវបានលុបចោលដោយលក្ខខណ្ឌ a≠0. ហើយនៅពេលដែល ក<0 យើងត្រូវតែបដិសេធការវិភាគនៃតម្លៃសមហេតុផល និងអសមហេតុផលនៃលោការីត ចាប់តាំងពីសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុសមផល និងមិនសមហេតុផលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែមូលដ្ឋានមិនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ វាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះដែលលក្ខខណ្ឌត្រូវបានចែង a>0.

និងលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយ b>0កើតចេញពីវិសមភាព a>0ចាប់តាំងពី x=log α ខនិងតម្លៃនៃសញ្ញាបត្រដែលមានមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន កវិជ្ជមានជានិច្ច។

លក្ខណៈពិសេសនៃលោការីត។

លោការីតលក្ខណៈដោយឡែក លក្ខណៈដែលនាំទៅដល់ការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយរបស់ពួកគេ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការគណនាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់។ នៅពេលផ្លាស់ទី "ចូលទៅក្នុងពិភពលោការីត" គុណត្រូវបានបំលែងទៅជាការបូកដែលងាយស្រួលជាង ការបែងចែកត្រូវបានបំលែងទៅជាដក ហើយនិទស្សន្ត និងការដកឫសត្រូវបានបំលែងរៀងៗខ្លួនទៅជាគុណ និងចែកដោយនិទស្សន្ត។

ការបង្កើតលោការីត និងតារាងនៃតម្លៃរបស់វា (សម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ) ត្រូវបានបោះពុម្ពលើកដំបូងនៅឆ្នាំ 1614 ដោយគណិតវិទូជនជាតិស្កុតឡេន លោក John Napier ។ តារាងលោការីត ពង្រីក និងលម្អិតដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការគណនាបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វកម្ម ហើយនៅតែមានជាប់ទាក់ទងរហូតដល់ការប្រើប្រាស់ម៉ាស៊ីនគិតលេខអេឡិចត្រូនិក និងកុំព្យូទ័រ។

លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y) ។

មូលដ្ឋានដូចគ្នា។

Log6 4 + log6 ៩.

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការបន្តិច។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត

ចុះបើមូលដ្ឋាន ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីតជាថាមពល? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើ ODZ នៃលោការីតត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ៖ a > 0, a ≠ 1, x >

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

សូមមើលផងដែរ:

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តស្មើនឹង 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Nikolaevich Tolstoy ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ដោយដឹងពីច្បាប់នេះ អ្នកនឹងដឹងទាំងតម្លៃពិតប្រាកដនៃនិទស្សន្ត និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

កន្សោមលោការីត

ឧទាហរណ៍ ១.
ក). x=10ac^2 (a>0,c>0)។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងគណនា

4. កន្លែងណា .

ឧទាហរណ៍ 2. រក x if

ឧទាហរណ៍ 3. អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

អ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹងពីច្បាប់ទាំងនេះ - បើគ្មានពួកគេទេ បញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរតែមួយមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្នកអាចរៀនអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ លោការីត និងលោការីត។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y) ។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃកូតា។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. បើហេតុផលខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយអ្នកគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

ដោយសារលោការីតមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគណនាដោយឡែកពីគ្នា។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការបំលែង លេខធម្មតាទាំងស្រុងត្រូវបានទទួល។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ កន្សោមដូចការធ្វើតេស្តត្រូវបានផ្តល់ជូនក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាលស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) នៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូង។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើ ODZ នៃលោការីតត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយបន្ថែមទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ផ្ទុយមកវិញផងដែរ។ , i.e. អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនពេលចុះហត្ថលេខាលោការីតចូលទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

ចូរយើងកម្ចាត់សញ្ញាបត្រនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយប្រើរូបមន្តទីមួយ៖
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ចំណាំថាភាគបែងមានលោការីត មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ដែលជាអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 24; 49 = 72. យើងមាន៖

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយទាមទារឱ្យមានការបញ្ជាក់ខ្លះៗ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូតដល់ពេលចុងក្រោយ យើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តលោការីត។ ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍លោការីត។

យើងបានបង្ហាញមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតដែលឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់នៃអំណាច ហើយយកនិទស្សន្តចេញ - យើងទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log2 7. ចាប់តាំងពី log2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបាន - 2/4 នឹងនៅតែស្ថិតក្នុងភាគបែង។ យោងតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលជាអ្វីដែលបានធ្វើ។ លទ្ធផលបានជាចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើហេតុផលខុសគ្នា? ចុះបើពួកគេមិនមែនជាលេខដូចគ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយមកជួយសង្គ្រោះ។ ចូរយើងបង្កើតវាតាមទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងកំណត់ c = x យើងទទួលបាន៖

ពីរូបមន្តទីពីរ វាធ្វើតាមដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតអាចប្តូរបាន ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតលេចឡើងនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានបញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយ។ តោះមើលពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរមានអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ឥឡូវនេះសូម "បញ្ច្រាស" លោការីតទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលរៀបចំកត្តាឡើងវិញ យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយជាមួយលោការីត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទីមួយគឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករនេះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយ វាចាំបាច់ក្នុងការតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ រូបមន្តខាងក្រោមនឹងជួយយើង៖

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃលោការីត។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលហៅថា៖ ។

តាមពិតទៅ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកទៅជាថាមពលបែបនេះ ដែលលេខ b ទៅអំណាចនេះផ្តល់លេខ a? នោះជាការត្រឹមត្រូវ៖ លទ្ធផលគឺដូចគ្នាទៅនឹងលេខ a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើនជាប់គាំង។

ដូចជារូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយគិតពីច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

បើអ្នកណាមិនដឹង នេះជាកិច្ចការពិតពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលស្ទើរតែមិនអាចហៅថាលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ពួកវាជាផលវិបាកនៃនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេតែងតែលេចឡើងក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយនៃមូលដ្ឋាននោះ គឺស្មើនឹងមួយ។
loga 1 = 0 គឺ។ គោល a អាចជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានមួយ នោះលោការីតនឹងស្មើនឹងសូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវអនុវត្តឲ្យបានជាក់ជាមិនខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

សូមមើលផងដែរ:

លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a តំណាងឱ្យកន្សោម។ ដើម្បីគណនាលោការីតមានន័យថា ស្វែងរកអំណាច x () ដែលសមភាពពេញចិត្ត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

វាចាំបាច់ក្នុងការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើព្រោះបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់និងឧទាហរណ៍ដែលទាក់ទងនឹងលោការីតត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានរបស់វា។ លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រនិងអសកម្មដែលនៅសល់អាចទទួលបានតាមរយៈឧបាយកលគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងរូបមន្តទាំងនេះ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

នៅពេលគណនារូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃលោការីត (៣.៤) អ្នកមកញឹកញាប់ណាស់។ អ្វីដែលនៅសល់គឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែនៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួន ពួកគេមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការសម្រួលកន្សោមស្មុគស្មាញ និងគណនាតម្លៃរបស់វា។

ករណីទូទៅនៃលោការីត

លោការីតទូទៅមួយចំនួន គឺជាលោការីត ដែលគោលគឺដប់ និទស្សន្ត ឬពីរ។
លោការីតដល់គោលដប់ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលោការីតទសភាគ ហើយត្រូវបានតាងយ៉ាងសាមញ្ញដោយ lg(x)។

វាច្បាស់ណាស់ពីការថតដែលមូលដ្ឋានមិនត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងការថត។ ឧទាហរណ៍

លោការីតធម្មជាតិគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋានជានិទស្សន្ត (តំណាងដោយ ln(x))។

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តស្មើនឹង 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Nikolaevich Tolstoy ។ ដោយដឹងពីច្បាប់នេះ អ្នកនឹងដឹងទាំងតម្លៃពិតប្រាកដនៃនិទស្សន្ត និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ហើយលោការីតសំខាន់មួយទៀតទៅគោលពីរត្រូវបានតាងដោយ

ដេរីវេនៃលោការីតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងមួយបែងចែកដោយអថេរ

លោការីតអាំងតេក្រាល ឬអង្គបដិវត្តត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង

សម្ភារៈដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនទាក់ទងនឹងលោការីត និងលោការីត។ ដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីសម្ភារៈនេះ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា និងសាកលវិទ្យាល័យ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

កន្សោមលោការីត

ឧទាហរណ៍ ១.
ក). x=10ac^2 (a>0,c>0)។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងគណនា

2.
ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពខុសគ្នានៃលោការីតយើងមាន

3.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងរកឃើញ

4. កន្លែងណា .

កន្សោមដែលហាក់ដូចជាស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានធ្វើឲ្យសាមញ្ញក្នុងការបង្កើតដោយប្រើច្បាប់មួយចំនួន

ការស្វែងរកតម្លៃលោការីត

ឧទាហរណ៍ 2. រក x if

ដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់ការគណនា យើងអនុវត្តទៅលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយ 5 និង 13

យើងបានដាក់វាក្នុងកំណត់ត្រា និងកាន់ទុក្ខ

ដោយសារមូលដ្ឋានស្មើគ្នា នោះយើងយកកន្សោម

លោការីត។ កម្រិតដំបូង។

អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងយកលោការីតនៃអថេរមកសរសេរលោការីតតាមរយៈផលបូកនៃពាក្យរបស់វា

នេះគ្រាន់តែជាការចាប់ផ្តើមនៃការស្គាល់គ្នារបស់យើងជាមួយនឹងលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ អនុវត្តការគណនា បង្កើនជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក - អ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងដែលអ្នកទទួលបានក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត។ ដោយបានសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ យើងនឹងពង្រីកចំនេះដឹងរបស់អ្នកទៅកាន់ប្រធានបទសំខាន់មួយទៀតគឺ វិសមភាពលោការីត...

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ការបូកនិងដកលោការីត

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y) ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log6 4 + log6 ៩.

ដោយសារលោការីតមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការបន្តិច។ ចុះបើមូលដ្ឋាន ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីតជាថាមពល? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

វិធីដោះស្រាយលោការីត

នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយទាមទារឱ្យមានការបញ្ជាក់ខ្លះៗ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូតដល់ពេលចុងក្រោយ យើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។ យើងបានបង្ហាញមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតដែលឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់នៃអំណាច ហើយយកនិទស្សន្តចេញ - យើងទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងកំណត់ c = x យើងទទួលបាន៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ឥឡូវនេះសូម "បញ្ច្រាស" លោការីតទីពីរ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលហៅថា៖ ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

បើអ្នកណាមិនដឹង នេះជាកិច្ចការពិតពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយនៃមូលដ្ឋាននោះ គឺស្មើនឹងមួយ។
loga 1 = 0 គឺ។ គោល a អាចជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានមួយ នោះលោការីតនឹងស្មើនឹងសូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

ជាមួយនឹងវីដេអូនេះ ខ្ញុំចាប់ផ្តើមមេរៀនដ៏វែងមួយអំពីសមីការលោការីត។ ឥឡូវនេះអ្នកមានឧទាហរណ៍បីនៅលើមូលដ្ឋានដែលយើងនឹងរៀនដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតដែលត្រូវបានគេហៅថា - ប្រូតូហ្សូ.

កំណត់ហេតុ 0.5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថាសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុតមានដូចខាងក្រោម៖

កំណត់ហេតុ a f (x) = b

ក្នុងករណីនេះ វាមានសារៈសំខាន់ដែលអថេរ x មានវត្តមានតែនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ នោះគឺមានតែនៅក្នុងអនុគមន៍ f (x) ប៉ុណ្ណោះ។ ហើយលេខ a និង b គ្រាន់តែជាលេខ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយ មុខងារដែលមានអថេរ x ។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយរចនាសម្ព័ន្ធបែបនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ គ្រូបង្រៀនភាគច្រើននៅសាលាផ្តល់វិធីសាស្ត្រនេះ៖ បង្ហាញមុខងារ f(x) ភ្លាមៗដោយប្រើរូបមន្ត f ( x) = ក ខ នោះគឺនៅពេលដែលអ្នកឆ្លងកាត់ការសាងសង់ដ៏សាមញ្ញបំផុត អ្នកអាចបន្តទៅដំណោះស្រាយភ្លាមៗដោយគ្មានសកម្មភាព និងសំណង់បន្ថែម។

បាទ ពិតណាស់ ការសម្រេចចិត្តនឹងត្រឹមត្រូវ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយបញ្ហាជាមួយរូបមន្តនេះគឺសិស្សភាគច្រើន មិនយល់តើវាមកពីណា ហើយហេតុអ្វីយើងលើកអក្សរ a ទៅអក្សរ b ។

ជាលទ្ធផល ជាញឹកញាប់ខ្ញុំឃើញមានកំហុសឆ្គងដ៏គួរឱ្យរំខាន នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ អក្សរទាំងនេះត្រូវបានប្តូរ។ រូបមន្តនេះត្រូវតែយល់ ឬបង្រួបបង្រួម ហើយវិធីសាស្ត្រទីពីរនាំឲ្យមានកំហុសនៅគ្រាមិនសមរម្យ និងសំខាន់បំផុត៖ អំឡុងពេលប្រឡង តេស្ត។ល។

នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំស្នើដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំទាំងអស់ឱ្យបោះបង់ចោលរូបមន្តស្តង់ដាររបស់សាលា ហើយប្រើវិធីសាស្រ្តទីពីរដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត ដែលតាមដែលអ្នកប្រហែលជាទាយពីឈ្មោះត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ Canonical.

គំនិតនៃទម្រង់ Canonical គឺសាមញ្ញ។ សូមក្រឡេកមើលបញ្ហារបស់យើងម្តងទៀត៖ នៅខាងឆ្វេងយើងមានកំណត់ហេតុ a ហើយដោយអក្សរ a យើងមានន័យថាលេខ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយអនុគមន៍ដែលមានអថេរ x ។ អាស្រ័យហេតុនេះ លិខិតនេះគឺជាកម្មវត្ថុនៃការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ដែលត្រូវបានដាក់លើមូលដ្ឋាននៃលោការីត។ គឺ៖

1 ≠ a > 0

ម្យ៉ាងវិញទៀត ពីសមីការដូចគ្នា យើងឃើញថាលោការីតត្រូវតែស្មើនឹងលេខ ខ ហើយគ្មានការរឹតត្បិតណាមួយលើអក្សរនេះទេ ព្រោះវាអាចយកតម្លៃណាមួយ - ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ វាទាំងអស់គឺអាស្រ័យលើតម្លៃដែលមុខងារ f(x) យក។

ហើយនៅទីនេះយើងចងចាំក្បួនដ៏អស្ចារ្យរបស់យើងដែលលេខ b ណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតទៅមូលដ្ឋាន a នៃ a ទៅអំណាចនៃ b:

b = កំណត់ហេតុ a b

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីចងចាំរូបមន្តនេះ? បាទ សាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងសរសេរសំណង់ខាងក្រោម៖

b = b 1 = b log a

ជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីនេះ ការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ដែលយើងបានសរសេរនៅដើមដំបូងកើតឡើង។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត ហើយណែនាំមេគុណ b ជាអំណាចនៃ a ។ យើងទទួលបាន:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ជាលទ្ធផល សមីការដើមនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

អស់ហើយ។ មុខងារថ្មីលែងមានលោការីតទៀតហើយ ហើយអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើបច្ចេកទេសពិជគណិតស្តង់ដារ។

ជាការពិតណាស់ ឥឡូវនេះ នរណាម្នាក់នឹងជំទាស់៖ ហេតុអ្វីបានជាចាំបាច់ត្រូវបង្កើតរូបមន្ត Canonical មួយចំនួន ហេតុអ្វីបានជាអនុវត្តជំហានដែលមិនចាំបាច់បន្ថែមចំនួនពីរ ប្រសិនបើអាចផ្លាស់ទីភ្លាមៗពីការរចនាដើមទៅរូបមន្តចុងក្រោយ? បាទ/ចាស ប្រសិនបើសិស្សភាគច្រើនមិនយល់ថាតើរូបមន្តនេះមកពីណា ហើយជាលទ្ធផល តែងតែមានកំហុសនៅពេលអនុវត្តវា។

ប៉ុន្តែលំដាប់នៃសកម្មភាពនេះ ដែលមានបីជំហាន អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការលោការីតដើម ទោះបីជាអ្នកមិនយល់ថារូបមន្តចុងក្រោយមកពីណាក៏ដោយ។ ដោយវិធីនេះធាតុនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Canonical:

log a f (x) = កត់ត្រា a b

ភាពងាយស្រួលនៃទម្រង់ Canonical ក៏ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏ធំទូលាយមួយ ហើយមិនមែនគ្រាន់តែជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុតដែលយើងកំពុងពិចារណាសព្វថ្ងៃនេះនោះទេ។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះសូមសម្រេចចិត្ត៖

កំណត់ហេតុ 0.5 (3x − 1) = −3

ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចនេះ៖

កំណត់ហេតុ 0.5 (3x − 1) = កំណត់ហេតុ 0.5 0.5 −3

សិស្សជាច្រើនមានការប្រញាប់ប្រញាល់ ហើយព្យាយាមលើកលេខ 0.5 ភ្លាមៗទៅកាន់ថាមពលដែលបានមករកយើងពីបញ្ហាដើម។ ជាការពិតណាស់ នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានបណ្តុះបណ្តាលយ៉ាងល្អរួចហើយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ អ្នកអាចអនុវត្តជំហាននេះភ្លាមៗ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកទើបតែចាប់ផ្តើមសិក្សាប្រធានបទនេះ វាជាការប្រសើរជាងកុំប្រញាប់ប្រញាល់ទៅកន្លែងណាមួយដើម្បីជៀសវាងការធ្វើឱ្យមានកំហុសឆ្គង។ ដូច្នេះយើងមានទម្រង់ Canonical ។ យើងមាន:

3x − 1 = 0.5 −3

នេះមិនមែនជាសមីការលោការីតទៀតទេ ប៉ុន្តែលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងអថេរ x ។ ដើម្បីដោះស្រាយវាដំបូងយើងមើលលេខ 0.5 ទៅនឹងថាមពលនៃ −3 ។ ចំណាំថា 0.5 គឺ 1/2 ។

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

បំប្លែងប្រភាគទសភាគទាំងអស់ទៅជាប្រភាគទូទៅ នៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត។

យើងសរសេរឡើងវិញហើយទទួលបាន៖

3x − 1 = 8
៣x = ៩
x = ៣

នោះហើយជាវាយើងទទួលបានចម្លើយ។ បញ្ហាទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយ។

កិច្ចការទីពីរ

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីពីរ៖

ដូចដែលយើងឃើញ សមីការនេះលែងសាមញ្ញបំផុតទៀតហើយ។ ប្រសិនបើគ្រាន់តែដោយសារតែមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅខាងឆ្វេង ហើយមិនមែនជាលោការីតតែមួយទៅមូលដ្ឋានតែមួយទេ។

ដូច្នេះ យើងត្រូវលុបបំបាត់ភាពខុសគ្នានេះដោយរបៀបណា។ ក្នុងករណីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ សូមក្រឡេកមើលមូលដ្ឋានឱ្យបានដិតដល់៖ នៅខាងឆ្វេងគឺជាលេខនៅក្រោមឫស៖

អនុសាសន៍ទូទៅ៖ នៅក្នុងសមីការលោការីតទាំងអស់ ព្យាយាមកម្ចាត់រ៉ាឌីកាល់ ពោលគឺ ពីធាតុដែលមានឫស ហើយបន្តទៅមុខងារថាមពល ដោយហេតុថានិទស្សន្តនៃអំណាចទាំងនេះត្រូវបានដកចេញយ៉ាងងាយស្រួលចេញពីសញ្ញានៃលោការីត ហើយទីបំផុតដូចជា ធាតុមួយជួយសម្រួល និងបង្កើនល្បឿនការគណនាយ៉ាងសំខាន់។ ចូរយើងសរសេរវាដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងចងចាំនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃលោការីត៖ អំណាចអាចមកពីអាគុយម៉ង់ ក៏ដូចជាពីមូលដ្ឋាន។ នៅក្នុងករណីនៃហេតុផល, ដូចខាងក្រោមកើតឡើង:

កំណត់ហេតុ a k b = 1/k loga ខ

ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខដែលមាននៅក្នុងអំណាចមូលដ្ឋានត្រូវបាននាំមកមុខ ហើយក្នុងពេលតែមួយដាក់បញ្ច្រាស ពោលគឺវាក្លាយជាលេខទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីរបស់យើងសញ្ញាបត្រមូលដ្ឋានគឺ 1/2 ។ ដូច្នេះយើងអាចយកវាចេញជា 2/1 ។ យើងទទួលបាន:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

សូមចំណាំ៖ មិនស្ថិតក្រោមកាលៈទេសៈណាក៏ដោយ អ្នកគួរតែកម្ចាត់លោការីតនៅជំហាននេះ។ ចងចាំគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី 4 ដល់ទី 5 និងលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការ: គុណត្រូវបានអនុវត្តដំបូងហើយបន្ទាប់មកមានតែការបូកនិងដកប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីនេះ យើងដកធាតុមួយក្នុងចំណោមធាតុដូចគ្នាចេញពី ១០ ធាតុ៖

9 កំណត់ហេតុ 5 x = 18
កំណត់ហេតុ 5 x = 2

ឥឡូវនេះសមីការរបស់យើងមើលទៅដូចដែលវាគួរតែ។ នេះជាសំណង់សាមញ្ញបំផុត ហើយយើងដោះស្រាយវាដោយប្រើទម្រង់ Canonical៖

log 5 x = log 5 5 ២
x = 5 ២
x = 25

អស់ហើយ។ បញ្ហាទីពីរត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ទីបី

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីបី៖

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីរូបមន្តខាងក្រោម៖

log b = log 10 ខ

ប្រសិនបើហេតុផលខ្លះអ្នកមានការភ័ន្តច្រឡំដោយកំណត់ចំណាំ ខ នោះនៅពេលអនុវត្តការគណនាទាំងអស់ អ្នកអាចសរសេរកំណត់ហេតុ 10 ខ។ អ្នកអាចធ្វើការជាមួយលោការីតទសភាគតាមវិធីដូចគ្នានឹងអ្នកផ្សេងទៀត៖ យកអំណាច បន្ថែម និងតំណាងឱ្យលេខណាមួយក្នុងទម្រង់ lg 10។

វាគឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះដែលឥឡូវនេះយើងនឹងប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ព្រោះវាមិនមែនជាលក្ខណៈសាមញ្ញបំផុតដែលយើងបានសរសេរចុះនៅដើមមេរៀនរបស់យើង។

ជាដំបូង សូមចំណាំថា កត្តា 2 នៅពីមុខ lg 5 អាចត្រូវបានបន្ថែម ហើយក្លាយជាថាមពលនៃមូលដ្ឋាន 5។ លើសពីនេះ ពាក្យឥតគិតថ្លៃ 3 ក៏អាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតផងដែរ - នេះគឺជាការងាយស្រួលណាស់ក្នុងការសង្កេតពីការសម្គាល់របស់យើង។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ លេខណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាកំណត់ហេតុទៅមូលដ្ឋាន 10:

៣ = កំណត់ហេតុ ១០ ១០ ៣ = កំណត់ហេតុ ១០ ៣

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវបញ្ហាដើម ដោយគិតពីការផ្លាស់ប្តូរដែលទទួលបាន៖

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = កំណត់ហេតុ 25,000

មុនពេលយើងម្តងទៀតគឺជាទម្រង់ Canonical ហើយយើងទទួលបានវាដោយមិនឆ្លងកាត់ដំណាក់កាលនៃការផ្លាស់ប្តូរ ពោលគឺសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុតមិនលេចឡើងនៅកន្លែងណានោះទេ។

នេះជាអ្វីដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅដើមមេរៀន។ ទម្រង់ Canonical អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាថ្នាក់ធំជាងរូបមន្តស្តង់ដារដែលគ្រូសាលាភាគច្រើនផ្តល់ឱ្យ។

នោះហើយជាវា យើងកម្ចាត់សញ្ញានៃលោការីតទសភាគ ហើយយើងទទួលបានសំណង់លីនេអ៊ែរសាមញ្ញមួយ៖

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ទាំងអស់! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

កំណត់ចំណាំលើវិសាលភាព

នៅទីនេះខ្ញុំចង់ធ្វើការកត់សម្គាល់ដ៏សំខាន់មួយទាក់ទងនឹងវិសាលភាពនៃនិយមន័យ។ ប្រាកដណាស់ឥឡូវនេះនឹងមានសិស្ស និងគ្រូដែលនឹងនិយាយថា៖ "នៅពេលយើងដោះស្រាយកន្សោមដោយលោការីត យើងត្រូវចាំថាអាគុយម៉ង់ f (x) ត្រូវតែធំជាងសូន្យ!" ក្នុងន័យនេះ សំណួរសមហេតុសមផលមួយកើតឡើង៖ ហេតុអ្វីបានជាយើងមិនតម្រូវឱ្យមានភាពមិនស្មើគ្នានេះដើម្បីបំពេញចិត្តក្នុងបញ្ហាណាមួយដែលបានពិចារណា?

កុំបារម្ភ។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ គ្មានឫសបន្ថែមនឹងលេចឡើងទេ។ ហើយនេះគឺជាល្បិចដ៏អស្ចារ្យមួយទៀតដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនល្បឿននៃដំណោះស្រាយ។ គ្រាន់តែដឹងថាប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាអថេរ x កើតឡើងតែនៅក្នុងកន្លែងមួយ (ឬផ្ទុយទៅវិញនៅក្នុងអាគុយម៉ង់តែមួយនៃលោការីតតែមួយ) ហើយគ្មានកន្លែងណាផ្សេងទៀតនៅក្នុងករណីរបស់យើងដែលអថេរ x លេចឡើងបន្ទាប់មកសរសេរដែននៃនិយមន័យ។ មិនត្រូវការព្រោះវានឹងត្រូវបានប្រតិបត្តិដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ នៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាននោះ 3x − 1 ពោលគឺអាគុយម៉ង់គួរតែស្មើនឹង 8 ។ វាមានន័យថាដោយស្វ័យប្រវត្តិ 3x − 1 នឹងធំជាងសូន្យ។

ជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចសរសេរថានៅក្នុងករណីទីពីរ x គួរតែស្មើនឹង 5 2 ពោលគឺវាពិតជាធំជាងសូន្យ។ ហើយនៅក្នុងករណីទីបី ដែល x + 3 = 25,000 ពោលគឺម្តងទៀត ច្បាស់ជាងសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វិសាលភាពត្រូវបានពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ x កើតឡើងនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

នោះហើយជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវដឹងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញបំផុត។ ច្បាប់នេះតែម្នាក់ឯង រួមជាមួយនឹងច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ នឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទ។

ប៉ុន្តែសូមនិយាយដោយស្មោះត្រង់៖ ដើម្បីស្វែងយល់ពីបច្ចេកទេសនេះ ដើម្បីរៀនពីរបៀបអនុវត្តទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការមើលមេរៀនវីដេអូតែមួយ។ ដូច្នេះឥឡូវនេះ សូមទាញយកជម្រើសសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យដែលភ្ជាប់ជាមួយមេរៀនវីដេអូនេះហើយចាប់ផ្តើមដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ការងារឯករាជ្យទាំងពីរនេះ។

វានឹងនាំអ្នកក្នុងរយៈពេលពីរបីនាទី។ ប៉ុន្តែឥទ្ធិពលនៃការហ្វឹកហាត់បែបនេះនឹងមានកម្រិតខ្ពស់ជាងការមើលមេរៀនវីដេអូនេះទៅទៀត។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីសមីការលោការីត។ ប្រើទម្រង់ Canonical សម្រួលកន្សោមដោយប្រើច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយលោការីត ហើយអ្នកនឹងមិនខ្លាចបញ្ហាណាមួយឡើយ។ នោះជាអ្វីទាំងអស់ដែលខ្ញុំមានសម្រាប់ថ្ងៃនេះ។

ដោយពិចារណាលើដែននៃនិយមន័យ

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍លោការីត និងរបៀបដែលវាប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីត។ ពិចារណាលើការសាងសង់ទម្រង់

កំណត់ហេតុ a f (x) = b

កន្សោមបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញបំផុត - វាមានមុខងារតែមួយ ហើយលេខ a និង b គ្រាន់តែជាលេខ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយ មុខងារដែលអាស្រ័យលើអថេរ x ។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើរូបមន្ត៖

b = កំណត់ហេតុ a b

រូបមន្តនេះគឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃលោការីត ហើយនៅពេលជំនួសកន្សោមដើមរបស់យើង យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

log a f (x) = កត់ត្រា a b

f (x) = a ខ

នេះគឺជារូបមន្តដែលធ្លាប់ស្គាល់ពីសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា។ សិស្សជាច្រើនប្រហែលជាមានសំណួរមួយ៖ ដោយសារនៅក្នុងកន្សោមដើមមុខងារ f (x) ស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់ ហេតុការរឹតបន្តឹងខាងក្រោមត្រូវបានដាក់លើវា៖

f(x) > 0

ការកំណត់នេះត្រូវបានអនុវត្តដោយសារតែលោការីតនៃលេខអវិជ្ជមានមិនមានទេ។ ដូច្នេះ ប្រហែលជាលទ្ធផលនៃការកំណត់នេះ ការពិនិត្យលើចម្លើយគួរតែត្រូវបានណែនាំ? ប្រហែលជាពួកគេត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងប្រភព?

ទេ នៅក្នុងសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត ការត្រួតពិនិត្យបន្ថែមគឺមិនចាំបាច់ទេ។ ហើយនោះហើយជាមូលហេតុ។ សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តចុងក្រោយរបស់យើង៖

f (x) = a ខ

ការពិតគឺថាលេខ a គឺនៅក្នុងករណីណាមួយធំជាង 0 - តម្រូវការនេះក៏ត្រូវបានដាក់ដោយលោការីតផងដែរ។ លេខ a គឺជាមូលដ្ឋាន។ ក្នុងករណីនេះ គ្មានការរឹតត្បិតលើលេខ ខ. ប៉ុន្តែនេះមិនសំខាន់ទេ ព្រោះមិនថាយើងបង្កើនចំនួនវិជ្ជមានដល់កម្រិតណានោះទេ យើងនឹងនៅតែទទួលបានលេខវិជ្ជមាននៅទិន្នផល។ ដូច្នេះតម្រូវការ f (x) > 0 ត្រូវបានពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

អ្វីដែលគួរពិនិត្យមើលគឺដែនមុខងារក្រោមសញ្ញាកំណត់ហេតុ។ វាអាចមានរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញ ហើយអ្នកប្រាកដជាត្រូវតាមដានពួកវាក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការដំណោះស្រាយ។ តោះមើល។

កិច្ចការដំបូង៖

ជំហានដំបូង៖ បំប្លែងប្រភាគនៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន:

យើងកម្ចាត់សញ្ញាលោការីត ហើយទទួលបានសមីការមិនសមហេតុផលធម្មតា៖

ក្នុងចំណោមឫសដែលទទួលបាន មានតែឫសទីមួយដែលសាកសមនឹងយើង ព្រោះឫសទីពីរគឺតិចជាងសូន្យ។ ចម្លើយតែមួយគត់នឹងជាលេខ 9 ។ នោះហើយជាវា បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ គ្មានការត្រួតពិនិត្យបន្ថែមគឺត្រូវបានទាមទារដើម្បីធានាថាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺធំជាង 0 ព្រោះវាមិនត្រឹមតែធំជាង 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃសមីការវាស្មើនឹង 2។ ដូច្នេះហើយ តម្រូវការ “ធំជាងសូន្យ "គឺពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីពីរ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នានៅទីនេះ។ យើងសរសេរសំណង់ឡើងវិញដោយជំនួសបីដង៖

យើងកម្ចាត់សញ្ញាលោការីត និងទទួលបានសមីការមិនសមហេតុផល៖

យើងដាក់ជ្រុងទាំងសងខាងដោយគិតគូរពីការរឹតបន្តឹង និងទទួលបាន៖

4 − 6x − x 2 = (x − 4) ២

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលតាមរយៈអ្នករើសអើង៖

ឃ = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

ប៉ុន្តែ x = −6 មិនសមនឹងយើងទេ ព្រោះប្រសិនបើយើងជំនួសលេខនេះទៅក្នុងវិសមភាពរបស់យើង យើងទទួលបាន៖

−6 + 4 = −2 < 0

ក្នុងករណីរបស់យើង វាត្រូវបានទាមទារថាវាធំជាង 0 ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរ ស្មើ។ ប៉ុន្តែ x = −1 សមនឹងយើង៖

−1 + 4 = 3 > 0

ចម្លើយតែមួយគត់នៅក្នុងករណីរបស់យើងគឺ x = −1 ។ នោះជាដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងត្រលប់ទៅការចាប់ផ្តើមនៃការគណនារបស់យើង។

ចំណុចសំខាន់ដែលដកចេញពីមេរៀននេះគឺថាអ្នកមិនចាំបាច់ពិនិត្យមើលឧបសគ្គលើមុខងារក្នុងសមីការលោការីតសាមញ្ញទេ។ ដោយសារតែក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការដំណោះស្រាយឧបសគ្គទាំងអស់ត្រូវបានពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះមិនមានន័យថាអ្នកអាចភ្លេចអំពីការត្រួតពិនិត្យទាំងអស់គ្នានោះទេ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើការលើសមីការលោការីត វាអាចប្រែទៅជាមិនសមហេតុផល ដែលវានឹងមានការរឹតបន្តឹង និងតម្រូវការសម្រាប់ផ្នែកខាងស្តាំ ដែលយើងបានឃើញសព្វថ្ងៃនេះក្នុងឧទាហរណ៍ពីរផ្សេងគ្នា។

មានអារម្មណ៍សេរីក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ ហើយត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នជាពិសេសប្រសិនបើមានឫសគល់នៃការឈ្លោះប្រកែកគ្នា។

សមីការលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

យើងបន្តសិក្សាសមីការលោការីត ហើយក្រឡេកមើលបច្ចេកទេសគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរទៀត ដែលវាជាម៉ូតដើម្បីដោះស្រាយសំណង់ស្មុគ្រស្មាញ។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងចងចាំពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយ៖

កំណត់ហេតុ a f (x) = b

នៅក្នុងសញ្ញាណនេះ a និង b គឺជាលេខ ហើយនៅក្នុងអនុគមន៍ f (x) អថេរ x ត្រូវតែមានវត្តមាន ហើយមានតែនៅទីនោះ នោះគឺ x ត្រូវតែនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះ។ យើងនឹងបំប្លែងសមីការលោការីតបែបនេះដោយប្រើទម្រង់ Canonical ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមចំណាំ

b = កំណត់ហេតុ a b

លើសពីនេះទៅទៀត a b គឺជាអាគុយម៉ង់យ៉ាងជាក់លាក់។ សូមសរសេរពាក្យនេះឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

log a f (x) = កត់ត្រា a b

នេះជាអ្វីដែលយើងកំពុងតែព្យាយាមសម្រេចដើម្បីឲ្យមានលោការីតមួយនៅខាងឆ្វេងនិងស្ដាំ។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចនិយាយជាន័យធៀប កាត់ចេញនូវសញ្ញាកំណត់សំគាល់ ហើយតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា យើងអាចនិយាយបានថា យើងគ្រាន់តែសមីការអាគុយម៉ង់៖

f (x) = a ខ

ជាលទ្ធផល យើងនឹងទទួលបានកន្សោមថ្មីមួយដែលនឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ។ ចូរយើងអនុវត្តច្បាប់នេះចំពោះបញ្ហារបស់យើងនៅថ្ងៃនេះ។

ដូច្នេះការរចនាដំបូង៖

ជាដំបូងខ្ញុំកត់សម្គាល់ថានៅខាងស្តាំគឺជាប្រភាគដែលភាគបែងគឺជាកំណត់ហេតុ។ នៅពេលអ្នកឃើញកន្សោមដូចនេះ វាជាការល្អក្នុងការចងចាំនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យនៃលោការីត៖

បកប្រែជាភាសារុស្សី នេះមានន័យថាលោការីតណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកូតានៃលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានគ។ ជាការពិតណាស់ 0< с ≠ 1.

ដូច្នេះ៖ រូបមន្តនេះមានករណីពិសេសដ៏អស្ចារ្យមួយ នៅពេលដែលអថេរ c ស្មើនឹងអថេរ ខ. ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបានសំណង់ដូចជា:

នេះពិតជាសំណង់ដែលយើងឃើញពីសញ្ញានៅខាងស្តាំក្នុងសមីការរបស់យើង។ ចូរជំនួសសំណង់នេះដោយ log a b យើងទទួលបាន៖

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងកិច្ចការដើម យើងបានប្តូរអាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋាននៃលោការីត។ ជំនួសមកវិញ យើងត្រូវបញ្ច្រាសប្រភាគ។

ចូរយើងចាំថាសញ្ញាបត្រណាមួយអាចមកពីមូលដ្ឋាននេះបើយោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម:

ម៉្យាងទៀត មេគុណ k ដែលជាថាមពលនៃមូលដ្ឋាន ត្រូវបានបង្ហាញជាប្រភាគបញ្ច្រាស។ ចូរបង្ហាញវាជាប្រភាគបញ្ច្រាស៖

កត្តាប្រភាគមិនអាចទុកនៅខាងមុខបានទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះ យើងនឹងមិនអាចតំណាងឱ្យសញ្ញាណនេះជាទម្រង់ Canonical (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ក្នុងទម្រង់ Canonical មិនមានកត្តាបន្ថែមមុនលោការីតទីពីរទេ)។ ដូច្នេះ ចូរយើងបន្ថែមប្រភាគ 1/4 ទៅក្នុងអាគុយម៉ង់ជាថាមពល៖

ឥឡូវយើងធ្វើការគណនាអាគុយម៉ង់ដែលមូលដ្ឋានដូចគ្នា (ហើយមូលដ្ឋានរបស់យើងពិតជាដូចគ្នា) ហើយសរសេរ៖

x + 5 = 1

x = −4

អស់ហើយ។ យើងទទួលបានចម្លើយចំពោះសមីការលោការីតទីមួយ។ សូមចំណាំ៖ នៅក្នុងបញ្ហាដើម អថេរ x លេចឡើងក្នុងកំណត់ហេតុតែមួយ ហើយវាបង្ហាញនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដូច្នេះមិនចាំបាច់ពិនិត្យមើលដែនទេ ហើយលេខរបស់យើង x = −4 គឺពិតជាចម្លើយ។

ឥឡូវយើងបន្តទៅកន្សោមទីពីរ៖

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

នៅទីនេះ បន្ថែមពីលើលោការីតធម្មតា យើងនឹងត្រូវធ្វើការជាមួយ log f (x) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ? ចំពោះសិស្សដែលមិនបានត្រៀមខ្លួន វាហាក់ដូចជាថានេះជាកិច្ចការដ៏លំបាកមួយចំនួន ប៉ុន្តែតាមពិតអ្វីៗទាំងអស់អាចដោះស្រាយបានតាមវិធីបឋម។

សូមក្រឡេកមើលពាក្យ lg 2 log 2 7. តើយើងអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីវា? មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃ log និង lg គឺដូចគ្នា ហើយនេះគួរតែផ្តល់គំនិតខ្លះៗ។ ចូរយើងចងចាំម្តងទៀតពីរបៀបដែលអំណាចត្រូវបានដកចេញពីក្រោមសញ្ញានៃលោការីត៖

log a b n = nlog a b

ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្វីដែលជាអំណាចនៃ b នៅក្នុងអាគុយម៉ង់ក្លាយជាកត្តានៅពីមុខកំណត់ហេតុខ្លួនឯង។ ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តនេះទៅកន្សោម lg 2 log 2 7. កុំខ្លាចដោយ lg 2 - នេះគឺជាកន្សោមទូទៅបំផុត។ អ្នកអាចសរសេរវាឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

ច្បាប់ទាំងអស់ដែលអនុវត្តចំពោះលោការីតផ្សេងទៀតគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់វា។ ជាពិសេសកត្តានៅខាងមុខអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតនៃអាគុយម៉ង់។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖

ជាញឹកញាប់ណាស់ សិស្សមិនឃើញសកម្មភាពនេះដោយផ្ទាល់ទេ ព្រោះវាមិនល្អក្នុងការបញ្ចូលកំណត់ហេតុមួយនៅក្រោមសញ្ញាមួយផ្សេងទៀត។ តាមពិតទៅវាមិនមានអ្វីជាឧក្រិដ្ឋកម្មទេ។ លើសពីនេះទៅទៀត យើងទទួលបានរូបមន្តដែលងាយស្រួលក្នុងការគណនា ប្រសិនបើអ្នកចងចាំច្បាប់សំខាន់មួយ៖

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជានិយមន័យ និងជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយរបស់វា។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងបំប្លែងសមីការលោការីត អ្នកគួរតែដឹងពីរូបមន្តនេះដូចដែលអ្នកចង់ដឹងពីតំណាងកំណត់ហេតុនៃលេខណាមួយ។

ចូរយើងត្រឡប់ទៅភារកិច្ចរបស់យើង។ យើងសរសេរវាឡើងវិញដោយគិតពីការពិតដែលថាពាក្យទីមួយនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នានឹងស្មើនឹង lg 7 ។ យើងមាន៖

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

ចូរផ្លាស់ទី lg 7 ទៅខាងឆ្វេង យើងទទួលបាន៖

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

យើងដកកន្សោមនៅខាងឆ្វេងព្រោះវាមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលសមីការដែលយើងទទួលបាន។ វាជាទម្រង់ Canonical ប៉ុន្តែមានកត្តា −3 នៅខាងស្តាំ។ តោះបន្ថែមវាទៅអាគុយម៉ង់ lg ខាងស្ដាំ៖

log 8 = log (x + 4) −3

មុនពេលយើងគឺជាទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត ដូច្នេះយើងកាត់ចេញសញ្ញា lg និងសមីការអាគុយម៉ង់៖

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

អស់ហើយ! យើងបានដោះស្រាយសមីការលោការីតទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះមិនតម្រូវឱ្យមានការត្រួតពិនិត្យបន្ថែមទេព្រោះនៅក្នុងបញ្ហាដើម x មានវត្តមាននៅក្នុងអាគុយម៉ង់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំរាយបញ្ជីចំណុចសំខាន់ៗនៃមេរៀននេះម្តងទៀត។

រូបមន្តចម្បងដែលត្រូវបានបង្រៀននៅក្នុងមេរៀនទាំងអស់នៅលើទំព័រនេះឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការលោការីត គឺជាទម្រង់ Canonical ។ ហើយកុំខ្លាចនឹងការពិតដែលសៀវភៅសិក្សាភាគច្រើនបង្រៀនអ្នកឱ្យចេះដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ ឧបករណ៍នេះដំណើរការយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាព និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាបានទូលំទូលាយជាងឧបករណ៍សាមញ្ញបំផុតដែលយើងបានសិក្សានៅដើមមេរៀនរបស់យើង។

លើសពីនេះទៀត ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាន។ ពោលគឺ៖

រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានមួយ និងករណីពិសេសនៅពេលយើងធ្វើកំណត់ហេតុបញ្ច្រាស (វាមានប្រយោជន៍ណាស់ចំពោះយើងក្នុងបញ្ហាទីមួយ);
រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែម និងដកអំណាចពីសញ្ញាលោការីត។ នៅទីនេះ សិស្សជាច្រើនបានជាប់គាំង ហើយមិនឃើញថាសញ្ញាបត្រដែលបានដកចេញ និងណែនាំខ្លួនវាអាចមានកំណត់ហេតុ f (x) នោះទេ។ មិនមានអ្វីខុសជាមួយនោះទេ។ យើងអាចណែនាំកំណត់ហេតុមួយដោយយោងតាមសញ្ញានៃសញ្ញាផ្សេងទៀត ហើយក្នុងពេលដំណាលគ្នាយ៉ាងសំខាន់ជួយសម្រួលដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា ដែលជាអ្វីដែលយើងសង្កេតឃើញនៅក្នុងករណីទីពីរ។

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់បន្ថែមថា វាមិនចាំបាច់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យដែននៃនិយមន័យនៅក្នុងករណីនីមួយៗនោះទេ ពីព្រោះនៅគ្រប់ទីកន្លែងអថេរ x មានវត្តមាននៅក្នុងសញ្ញានៃកំណត់ហេតុតែមួយប៉ុណ្ណោះ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នាគឺនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ជាលទ្ធផល តម្រូវការទាំងអស់នៃវិសាលភាពត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

បញ្ហាជាមួយមូលដ្ឋានអថេរ

ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលសមីការលោការីត ដែលសម្រាប់សិស្សជាច្រើនហាក់ដូចជាមិនមានស្តង់ដារ ប្រសិនបើមិនអាចដោះស្រាយបានទាំងស្រុង។ យើងកំពុងនិយាយអំពីកន្សោមដែលផ្អែកលើលេខមិនមែនលើអថេរ និងមុខងារសូម្បីតែ។ យើងនឹងដោះស្រាយសំណង់បែបនេះដោយប្រើបច្ចេកទេសស្តង់ដាររបស់យើង ពោលគឺតាមរយៈទម្រង់ Canonical ។

ជាដំបូង ចូរយើងចងចាំពីរបៀបដែលបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយផ្អែកលើលេខធម្មតា។ ដូច្នេះសំណង់សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានគេហៅថា

កំណត់ហេតុ a f (x) = b

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ យើងអាចប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

b = កំណត់ហេតុ a b

យើងសរសេរពាក្យដើមរបស់យើងឡើងវិញ ហើយទទួលបាន៖

log a f (x) = កត់ត្រា a b

បន្ទាប់មកយើងធ្វើសមតុល្យ ពោលគឺយើងសរសេរ៖

f (x) = a ខ

ដូច្នេះហើយ យើងកម្ចាត់ស្លាកសញ្ញា និងដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតា។ ក្នុងករណីនេះឫសដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយនឹងជាឫសនៃសមីការលោការីតដើម។ លើសពីនេះ កំណត់ត្រាមួយនៅពេលដែលទាំងខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំស្ថិតនៅក្នុងលោការីតដូចគ្នា ដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ Canonical ។ វាគឺដើម្បីកត់ត្រាបែបនេះដែលយើងនឹងព្យាយាមកាត់បន្ថយការរចនានាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ។ ដូច្នេះ តោះទៅ។

កិច្ចការដំបូង៖

កំណត់ហេតុ x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

ជំនួស 1 ដោយ log x − 2 (x − 2) 1 . កំរិតដែលយើងសង្កេតនៅក្នុងអាគុយម៉ង់គឺពិតជាលេខ b ដែលឈរនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេរកន្សោមរបស់យើងឡើងវិញ។ យើងទទួលបាន:

កំណត់ហេតុ x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = កំណត់ហេតុ x − 2 (x − 2)

តើយើងឃើញអ្វី? មុនពេលយើងគឺជាទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត ដូច្នេះយើងអាចធ្វើសមីការដោយសុវត្ថិភាព។ យើងទទួលបាន:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយមិនចប់ត្រឹមហ្នឹងទេ ព្រោះសមីការនេះមិនស្មើនឹងពាក្យដើមទេ។ យ៉ាងណាមិញ ការស្ថាបនាលទ្ធផលមានមុខងារដែលត្រូវបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល ហើយលោការីតដើមរបស់យើងមិនត្រូវបានកំណត់នៅគ្រប់ទីកន្លែង និងមិនមែនជានិច្ចកាលនោះទេ។

ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវតែសរសេរដែននៃនិយមន័យដាច់ដោយឡែក។ តោះកុំឲ្យសក់បែកចុង ហើយត្រូវសរសេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ជាមុនសិន៖

ដំបូង អាគុយម៉ង់នៃលោការីតនីមួយៗត្រូវតែធំជាង 0៖

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ទីពីរ មូលដ្ឋានត្រូវតែមិនត្រឹមតែធំជាង 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ខុសគ្នាពី 1៖

x − 2 ≠ ១

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖

ប៉ុន្តែកុំព្រួយបារម្ភ៖ នៅពេលដំណើរការសមីការលោការីត ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ នៅលើដៃម្ខាង យើងតម្រូវឱ្យអនុគមន៍ quadratic ធំជាងសូន្យ ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត អនុគមន៍ quadratic នេះគឺស្មើនឹងកន្សោមលីនេអ៊ែរជាក់លាក់ ដែលតម្រូវឱ្យវាធំជាងសូន្យផងដែរ។

ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងទាមទារ x − 2 > 0 នោះតំរូវការ 2x 2 − 13x + 18 > 0 នឹងពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ ដូច្នេះហើយយើងអាចកាត់ចេញវិសមភាពដែលមានអនុគមន៍ការ៉េ។ ដូច្នេះចំនួនកន្សោមដែលមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើងនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹមបី។

ជាការពិតណាស់ ជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចកាត់ចេញវិសមភាពលីនេអ៊ែរ ពោលគឺកាត់ចេញ x − 2 > 0 ហើយតម្រូវឱ្យ 2x 2 − 13x + 18 > 0។ ប៉ុន្តែអ្នកនឹងយល់ស្របថាការដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុតគឺលឿនជាង។ និងសាមញ្ញជាង quadratic សូម្បីតែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌថាជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងមូលនេះយើងទទួលបានឫសដូចគ្នា។

ជាទូទៅ ព្យាយាមបង្កើនប្រសិទ្ធភាពការគណនានៅពេលណាដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ហើយនៅក្នុងករណីនៃសមីការលោការីត សូមកាត់ចេញវិសមភាពពិបាកបំផុត។

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធរបស់យើងឡើងវិញ៖

នេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃការបញ្ចេញមតិចំនួនបី ដែលតាមពិតទៅ ពួកយើងបានដោះស្រាយរួចហើយ។ ចូរសរសេរសមីការការ៉េដោយឡែកពីគ្នា ហើយដោះស្រាយវា៖

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

មុនពេលយើងគឺជាត្រីកោណចតុកោណដែលកាត់បន្ថយ ហើយដូច្នេះយើងអាចប្រើរូបមន្តរបស់ Vieta ។ យើងទទួលបាន:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ឥឡូវនេះយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធរបស់យើងហើយឃើញថា x = 2 មិនសមនឹងយើងទេព្រោះយើងតម្រូវឱ្យ x ធំជាង 2 ។

ប៉ុន្តែ x = 5 សមនឹងយើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ៖ លេខ 5 គឺធំជាង 2 ហើយក្នុងពេលតែមួយ 5 មិនស្មើនឹង 3 ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធនេះនឹងមាន x = 5 ។

នោះហើយជាវាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយរួមទាំងការយកទៅក្នុងគណនី ODZ ។ ចូរបន្តទៅសមីការទីពីរ។ ការគណនាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងព័ត៌មានជាច្រើនទៀតកំពុងរង់ចាំយើងនៅទីនេះ៖

ជំហានដំបូង៖ ដូចលើកមុនដែរ យើងនាំបញ្ហាទាំងមូលទៅជាទម្រង់ Canonical។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងអាចសរសេរលេខ 9 ដូចខាងក្រោម:

អ្នកមិនចាំបាច់ប៉ះមូលដ្ឋានជាមួយឫសទេ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការបំប្លែងអាគុយម៉ង់។ ចូរផ្លាស់ទីពីឫសទៅអំណាចដោយនិទស្សន្តសមហេតុផល។ ចូរសរសេរចុះ៖

ខ្ញុំមិនសរសេរសមីការលោការីតធំទាំងមូលរបស់យើងឡើងវិញទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែសមីការភ្លាមៗនោះ៖

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

មុនពេលដែលពួកយើងជា trinomial quadratic ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយថ្មី ចូរយើងប្រើរូបមន្តរបស់ Vieta ហើយសរសេរ៖

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

ដូច្នេះ យើងទទួលបានឬសគល់ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់ធានាយើងថាពួកគេនឹងសមនឹងសមីការលោការីតដើមនោះទេ។ បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់ ស្លាកសញ្ញាកំណត់ការរឹតបន្តឹងបន្ថែម (នៅទីនេះយើងគួរតែសរសេរប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែដោយសារលក្ខណៈស្មុគស្មាញនៃរចនាសម្ព័ន្ធទាំងមូល ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តគណនាដែននិយមន័យដាច់ដោយឡែក)។

ជាបឋម សូមចាំថា អាគុយម៉ង់ត្រូវតែធំជាង 0 ពោលគឺ៖

ទាំងនេះគឺជាតម្រូវការដែលកំណត់ដោយវិសាលភាពនៃនិយមន័យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាចាប់តាំងពីយើងស្មើគ្នាកន្សោមពីរដំបូងនៃប្រព័ន្ធទៅគ្នាទៅវិញទៅមកនោះយើងអាចកាត់ចេញណាមួយនៃពួកវា។ សូមឆ្លងវគ្គទីមួយទៅ ព្រោះមើលទៅមានការគំរាមកំហែងជាងអ្នកទីពីរ។

លើសពីនេះ សូមចំណាំថាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពទីពីរ និងទីបីនឹងជាសំណុំដូចគ្នា (គូបនៃចំនួនមួយចំនួនធំជាងសូន្យ ប្រសិនបើចំនួននេះខ្លួនឯងធំជាងសូន្យ ស្រដៀងគ្នានេះដែរជាមួយនឹងឫសនៃសញ្ញាបត្រទីបី - វិសមភាពទាំងនេះ មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង ដូច្នេះយើងអាចឆ្លងកាត់វាបាន)។

ប៉ុន្តែជាមួយនឹងវិសមភាពទីបីនេះនឹងមិនដំណើរការទេ។ ចូរយើងកម្ចាត់សញ្ញារ៉ាឌីកាល់នៅខាងឆ្វេងដោយលើកផ្នែកទាំងពីរទៅជាគូបមួយ។ យើងទទួលបាន:

ដូច្នេះយើងទទួលបានតម្រូវការដូចខាងក្រោមៈ

− 2 ≠ x > −3

តើឫសរបស់យើងមួយណា៖ x 1 = −3 ឬ x 2 = −1 បំពេញតម្រូវការទាំងនេះ? ជាក់ស្តែង មានតែ x = −1 ទេ ព្រោះ x = −3 មិនបំពេញវិសមភាពទីមួយ (ដោយសារវិសមភាពរបស់យើងតឹងរ៉ឹង)។ ដូច្នេះ ត្រលប់ទៅបញ្ហារបស់យើងវិញ យើងទទួលបានឫសមួយ៖ x = −1 ។ នោះហើយជាវាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ជាថ្មីម្តងទៀត ចំណុចសំខាន់នៃកិច្ចការនេះ៖

មានអារម្មណ៍សេរីក្នុងការអនុវត្ត និងដោះស្រាយសមីការលោការីត ដោយប្រើទម្រង់ Canonical ។ សិស្សដែលបង្កើតសញ្ញាណបែបនេះ ជាជាងផ្លាស់ប្តូរដោយផ្ទាល់ពីបញ្ហាដើមទៅជាសំណង់ដូចជា log a f(x) = b ធ្វើកំហុសតិចជាងអ្នកដែលប្រញាប់ប្រញាល់ទៅកន្លែងណាមួយ ដោយរំលងជំហានមធ្យមនៃការគណនា។
ដរាបណាមូលដ្ឋានអថេរមួយលេចឡើងក្នុងលោការីត នោះបញ្ហានឹងឈប់សាមញ្ញបំផុត។ ដូច្នេះនៅពេលដោះស្រាយ វាចាំបាច់ត្រូវគិតគូរពីដែននៃនិយមន័យ៖ អាគុយម៉ង់ត្រូវតែធំជាងសូន្យ ហើយមូលដ្ឋានមិនត្រូវធំជាង 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាមិនត្រូវស្មើនឹង 1 នោះទេ។

តម្រូវការចុងក្រោយអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះចម្លើយចុងក្រោយតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងមូលដែលមានតម្រូវការទាំងអស់សម្រាប់ដែននិយមន័យ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាដោយខ្លួនឯងជាមុនសិន ហើយបន្ទាប់មកចងចាំដែននៃនិយមន័យ ធ្វើការដាច់ដោយឡែកពីគ្នាក្នុងទម្រង់ជាប្រព័ន្ធ ហើយអនុវត្តវាទៅឫសដែលទទួលបាន។

តើវិធីណាដែលត្រូវជ្រើសរើសនៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីតជាក់លាក់គឺអាស្រ័យលើអ្នក។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយចម្លើយនឹងដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍នៃប្រតិបត្តិការជាមួយលោការីត។ លោការីតនៃផលិតផល និងលោការីតនៃកូតាត

ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ

ការស្វែងរកលោការីតតាមរយៈលោការីតដែលគេស្គាល់ផ្សេងទៀត។

តារាងលោការីត និងការប្រើប្រាស់របស់វា។

អាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋាននៃលោការីត

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាលោការីត?

ដើម្បីគណនាលោការីត អ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរ៖ តើមូលដ្ឋានគួរលើកឡើងពីអំណាចអ្វី ដើម្បីទទួលបានអាគុយម៉ង់?

ហេតុអ្វីបានជាលោការីតត្រូវបានបង្កើត?

លោការីតទសភាគ និងធម្មជាតិ

លោការីតទសភាគ៖ លោការីត​ដែល​មាន​គោល​១០​ត្រូវ​បាន​សរសេរ \(\lg(a)\) ។

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរលេខជាលោការីត?

លេខណាមួយ \(a\) អាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតជាមួយគោល \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់កំណត់លោការីត។

លក្ខណៈពិសេសនៃលោការីត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

កន្សោមលោការីត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ការបូកនិងដកលោការីត

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

រូបមន្តលោការីត។ ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍លោការីត។

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ករណីទូទៅនៃលោការីត

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

កន្សោមលោការីត

ការស្វែងរកតម្លៃលោការីត

លោការីត។ កម្រិតដំបូង។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ការបូកនិងដកលោការីត

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

វិធីដោះស្រាយលោការីត

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

កិច្ចការទីពីរ

ឧទាហរណ៍ទីបី

កំណត់ចំណាំលើវិសាលភាព

ដោយពិចារណាលើដែននៃនិយមន័យ

សមីការលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

បញ្ហាជាមួយមូលដ្ឋានអថេរ

លោការីតទសភាគ៖ លោការីតដែលមានគោល១០ត្រូវបានសរសេរ \(\lg(a)\) ។