វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន។

ផ្ទះ វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងជាក្រាហ្វិកដោយផ្នែកដែលដឹកនាំ។ ប្រវែងត្រូវបានជ្រើសរើសនៅលើមាត្រដ្ឋានជាក់លាក់មួយដើម្បីចង្អុលបង្ហាញ ទំហំវ៉ិចទ័រ ហើយទិសដៅនៃផ្នែកតំណាងឱ្យ ទិសដៅវ៉ិចទ័រ

. ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថា 1 សង់ទីម៉ែត្រតំណាងឱ្យ 5 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង នោះខ្យល់ភាគឦសានដែលមានល្បឿន 15 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង នឹងត្រូវបានតំណាងដោយផ្នែកទិសដែលមានប្រវែង 3 សង់ទីម៉ែត្រ ដូចបានបង្ហាញក្នុងរូប។ វ៉ិចទ័រ នៅលើយន្តហោះវាគឺជាផ្នែកដឹកនាំ។ វ៉ិចទ័រពីរ ស្មើ ប្រសិនបើពួកគេមានដូចគ្នា។ទំហំ និង.

ទិសដៅ ពិចារណាវ៉ិចទ័រដែលគូរពីចំណុច A ដល់ចំណុច B. ចំណុចត្រូវបានគេហៅថាចំណុចចាប់ផ្តើម វ៉ិចទ័រ ហើយចំណុច B ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចបញ្ចប់ . និមិត្តសញ្ញានិមិត្តសញ្ញាសម្រាប់វ៉ិចទ័រនេះគឺ (អានជា “វ៉ិចទ័រ AB”)។ វ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដិតដូចជា U, V, និង W. វ៉ិចទ័រទាំងបួនក្នុងរូបនៅខាងឆ្វេងមានប្រវែង និងទិសដៅដូចគ្នា។ ដូច្នេះពួកគេតំណាងស្មើ

ខ្យល់; នោះគឺ

នៅក្នុងបរិបទនៃវ៉ិចទ័រ យើងប្រើ = ដើម្បីបង្ហាញថាពួកគេស្មើគ្នា។ ប្រវែង, ឬរ៉ិចទ័រ

ត្រូវបានបង្ហាញជា || ។ ដើម្បីកំណត់ថាវ៉ិចទ័រស្មើឬអត់ យើងរកឃើញទំហំ និងទិសដៅរបស់វា។ឧទាហរណ៍ ១

វ៉ិចទ័រ u, , w ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។ បញ្ជាក់ថា u = = w ។ដំណោះស្រាយ
ដំបូងយើងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រនីមួយៗដោយប្រើរូបមន្តចម្ងាយ៖
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|u| = √ 2 + (4 − 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 − 1) 2 + [−1 - (−2)] 2 = √9 + 1 = √10 ។
ពីទីនេះ
|u| = | = |w|។
វ៉ិចទ័រ u, និង w ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាព ហាក់ដូចជាមានទិសដៅដូចគ្នា ប៉ុន្តែយើងនឹងពិនិត្យមើលជម្រាលរបស់វា។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលពួកគេស្ថិតនៅមានជម្រាលដូចគ្នា នោះវ៉ិចទ័រមានទិសដៅដូចគ្នា។ យើងគណនាជម្រាល៖
ចាប់តាំងពី u, និង w មានរ៉ិចទ័រស្មើគ្នា និងទិសដៅដូចគ្នា

u = = វ.

សូមចងចាំថា វ៉ិចទ័រស្មើគ្នាគ្រាន់តែត្រូវការទំហំដូចគ្នា និងទិសដៅដូចគ្នា មិនមែនទីតាំងដូចគ្នាទេ។ តួលេខកំពូលបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃសមភាពវ៉ិចទ័រ។ ឧបមាថាមនុស្សម្នាក់ដើរទៅទិសខាងកើត 4 ជំហាន ហើយបន្ទាប់មក 3 ជំហានខាងជើង។ បន្ទាប់មកមនុស្សនោះនឹងមាន 5 ជំហានពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសដៅដែលបានបង្ហាញនៅខាងឆ្វេង។ វ៉ិចទ័រ 4 ឯកតាវែងជាមួយទិសទៅស្តាំតំណាងឱ្យ 4 ជំហានទៅខាងកើត និងវ៉ិចទ័រ 3 ឯកតាវែងជាមួយទិសឡើងតំណាងឱ្យ 3 ជំហានទៅខាងជើង។ នៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះមានវ៉ិចទ័រនៃ 5 ជំហាននៃរ៉ិចទ័រ និងក្នុងទិសដៅដែលបានបង្ហាញ។ ចំនួនទឹកប្រាក់ត្រូវបានហៅផងដែរ។ លទ្ធផល វ៉ិចទ័រពីរ។

ជាទូទៅ វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ u និង v អាចត្រូវបានបន្ថែមធរណីមាត្រដោយដាក់ចំណុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ v ទៅចំណុចបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ u ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកវ៉ិចទ័រដែលមានចំណុចចាប់ផ្តើមដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ u និងចុងបញ្ចប់ដូចគ្នា ចំនុចដូចវ៉ិចទ័រ v ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។

ផលបូកគឺជាវ៉ិចទ័រដែលតំណាងដោយផ្នែកដឹកនាំពីចំណុច A នៃវ៉ិចទ័រ u ដល់ចំណុចបញ្ចប់ C នៃវ៉ិចទ័រ v ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ u = និង v = នោះ
u + v = + =

យើងក៏អាចពណ៌នាអំពីការបន្ថែមវ៉ិចទ័រថាជាការដាក់ចំនុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័ររួមគ្នា បង្កើតប្រលេឡូក្រាម និងស្វែងរកអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម។ (នៅក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។) ការបន្ថែមនេះជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា ក្បួនប៉ារ៉ាឡែល ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រគឺជាការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប វ៉ិចទ័រទាំងពីរ u + v និង v + u ត្រូវបានតំណាងដោយផ្នែកបន្ទាត់ទិសដៅដូចគ្នា។

ប្រសិនបើកម្លាំងពីរ F 1 និង F 2 ធ្វើសកម្មភាពលើវត្ថុមួយ លទ្ធផលកម្លាំងគឺជាផលបូកនៃ F 1 + F 2 នៃកម្លាំងដាច់ដោយឡែកទាំងពីរនេះ។

ឧទាហរណ៍កម្លាំងពីរនៃ 15 ញូតុន និង 25 ញូតុនធ្វើសកម្មភាពលើវត្ថុមួយកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ ស្វែងរកផលបូករបស់ពួកគេ ឬកម្លាំងលទ្ធផល និងមុំដែលវាបង្កើតជាមួយនឹងកម្លាំងខ្លាំងជាង។

វ៉ិចទ័រ u, , w ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។ បញ្ជាក់ថា u = = w ។ចូរគូរលក្ខខណ្ឌបញ្ហា ក្នុងករណីនេះ ចតុកោណកែង ដោយប្រើ v ឬតំណាងឱ្យលទ្ធផល។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖
|v| 2 = 15 2 + 25 ២ នៅទីនេះ |v| តំណាងឱ្យប្រវែងឬទំហំនៃ v ។
|v| = √15 2 + 25 ២
|v| ≈ ២៩.២.
ដើម្បីស្វែងរកទិសដៅ សូមចំណាំថា ដោយសារ OAB គឺជាមុំខាងស្តាំ។
tanθ = 15/25 = 0.6 ។
ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងរកឃើញ θ ដែលជាមុំដែលកម្លាំងធំជាងបង្កើតជាមួយកម្លាំងសុទ្ធ៖
θ = tan - 1 (0.6) ≈ 31°
លទ្ធផលមានរ៉ិចទ័រ 29.2 និងមុំ 31° ជាមួយនឹងកម្លាំងខ្លាំងជាង។

អ្នកបើកយន្តហោះអាចកែតម្រូវទិសដៅហោះហើររបស់ពួកគេ ប្រសិនបើមានខ្យល់បក់ឆ្លង។ ខ្យល់ និងល្បឿននៃយន្តហោះអាចតំណាងថាជាខ្យល់។

ឧទាហរណ៍ 3. ល្បឿនយន្តហោះ និងទិសដៅ។យន្តហោះកំពុងធ្វើដំណើរតាម azimuth នៃ 100 °ក្នុងល្បឿន 190 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង ខណៈពេលដែលល្បឿនខ្យល់គឺ 48 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង និង azimuth របស់វាគឺ 220 °។ ស្វែងរកល្បឿនដាច់ខាតនៃយន្តហោះ និងទិសដៅនៃចលនារបស់វា ដោយគិតគូរពីខ្យល់។

វ៉ិចទ័រ u, , w ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។ បញ្ជាក់ថា u = = w ។តោះធ្វើគំនូរជាមុនសិន។ ខ្យល់ត្រូវបានតំណាង ហើយវ៉ិចទ័រល្បឿនយន្តហោះគឺ . វ៉ិចទ័រល្បឿនលទ្ធផលគឺ v ដែលជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។ មុំθរវាង v និងត្រូវបានគេហៅថា មុំរសាត់ .

ចំណាំថាតម្លៃ COA = 100° - 40° = 60° ។ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃ CBA ក៏ស្មើនឹង 60° (មុំទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នា)។ ដោយសារផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 360° ហើយ COB និង OAB គឺជារ៉ិចទ័រដូចគ្នា នីមួយៗត្រូវតែជា 120°។ ដោយ ច្បាប់កូស៊ីនុស នៅក្នុង OAB យើងមាន
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = ២១៨
បន្ទាប់មក |v| ស្មើនឹង 218 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។ នេះបើយោងតាម ច្បាប់នៃស៊ីនុស នៅក្នុងត្រីកោណដូចគ្នា,
48 /sinθ = 218 / អំពើបាប 120°,
ឬ
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
បន្ទាប់មក θ = 11° ទៅមុំចំនួនគត់ជិតបំផុត។ ល្បឿនដាច់ខាតគឺ 218 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង ហើយទិសដៅនៃចលនារបស់វាយកទៅក្នុងគណនីខ្យល់: 100° - 11° ឬ 89°។

ដោយផ្តល់វ៉ិចទ័រ w យើងអាចរកឃើញវ៉ិចទ័រពីរផ្សេងទៀត u និង v ដែលផលបូកគឺ w ។ វ៉ិចទ័រ u និង v ត្រូវបានគេហៅថា សមាសធាតុ w ហើយដំណើរការនៃការស្វែងរកពួកវាត្រូវបានគេហៅថា ការរលួយ ឬតំណាងវ៉ិចទ័រដោយសមាសធាតុវ៉ិចទ័ររបស់វា។

នៅពេលដែលយើងពង្រីកវ៉ិចទ័រ ជាធម្មតាយើងស្វែងរកសមាសធាតុកាត់កែង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជាញឹកញាប់ សមាសធាតុមួយនឹងស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ហើយមួយទៀតនឹងស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ។ ដូច្នេះពួកគេត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ ផ្ដេក ទំហំ បញ្ឈរ សមាសធាតុវ៉ិចទ័រ។ ក្នុងរូបខាងក្រោម វ៉ិចទ័រ w = ត្រូវបាន decomposed ជាផលបូកនៃ u = និង v = ។

សមាសធាតុផ្តេកនៃ w គឺ u ហើយសមាសភាគបញ្ឈរគឺ v ។

ឧទាហរណ៍ 4វ៉ិចទ័រ w មានរ៉ិចទ័រ 130 និងជម្រាល 40° ទាក់ទងទៅនឹងផ្ដេក។ បំបែកវ៉ិចទ័រទៅជាសមាសធាតុផ្ដេក និងបញ្ឈរ។

វ៉ិចទ័រ u, , w ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។ បញ្ជាក់ថា u = = w ។ដំបូងយើងនឹងគូររូបភាពជាមួយវ៉ិចទ័រផ្ដេក និងបញ្ឈរ u និង v ដែលផលបូកគឺ w ។

ពី ABC យើងរកឃើញ |u| និង |v| ដោយប្រើនិយមន័យនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស៖
cos40° = |u|/130 ឬ |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 ឬ |v| = 130.sin40° ≈ 84 ។
បន្ទាប់មកសមាសធាតុផ្តេកនៃ w គឺ 100 ទៅខាងស្តាំ ហើយសមាសធាតុបញ្ឈរនៃ w គឺ 84 ឡើង។

មូលដ្ឋាននៃលំហគឺជាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៅក្នុងលំហអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលរួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ទាំងអស់នេះត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងសាមញ្ញ។ ជាក្បួន មូលដ្ឋានត្រូវបានត្រួតពិនិត្យនៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហ ហើយសម្រាប់នេះអ្នកត្រូវស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ និងទីបីដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ។ ខាងក្រោមនេះត្រូវបានសរសេរតាមគ្រោងការណ៍ លក្ខខណ្ឌដែលវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន

ទៅ ពង្រីកវ៉ិចទ័រ b ទៅជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន
e,e...,e[n] វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកមេគុណ x, ..., x[n] ដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ e,e...,e[n] គឺស្មើនឹង វ៉ិចទ័រ ខ៖
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ខ។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះសមីការវ៉ិចទ័រគួរតែត្រូវបានបម្លែងទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយដំណោះស្រាយគួរតែត្រូវបានរកឃើញ។ នេះក៏សាមញ្ញផងដែរក្នុងការអនុវត្ត។
មេគុណដែលរកឃើញ x, ..., x [n] ត្រូវបានគេហៅថា កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ b នៅក្នុងមូលដ្ឋានអ៊ី, អ៊ី ... , អ៊ី [ន] ។
ចូរបន្តទៅផ្នែកជាក់ស្តែងនៃប្រធានបទ។

ការបំបែកវ៉ិចទ័រទៅជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន

កិច្ចការទី 1 ។ ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រ a1, a2 បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៅលើយន្តហោះឬអត់

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
ដំណោះស្រាយ៖ យើងបង្កើតកត្តាកំណត់ពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយគណនាវា។

កត្តាកំណត់មិនមែនសូន្យទេ។ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដែលមានន័យថាពួកវាបង្កើតជាមូលដ្ឋាន.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
ដំណោះស្រាយ៖ យើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ

កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹង 13 (មិនស្មើនឹងសូន្យ) - ពីនេះវាដូចខាងក្រោមថាវ៉ិចទ័រ a1, a2 គឺជាមូលដ្ឋាននៅលើយន្តហោះ។

---=================---

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ធម្មតាពីកម្មវិធី MAUP នៅក្នុងវិញ្ញាសា "គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់"។

កិច្ចការទី 2 ។ បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ a1, a2, a3 បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ ហើយពង្រីកវ៉ិចទ័រ b យោងទៅតាមមូលដ្ឋាននេះ (ប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ)។
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
ដំណោះស្រាយ៖ ជាដំបូង ពិចារណាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ a1, a2, a3 ហើយពិនិត្យមើលកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A

បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ។ ម៉ាទ្រីសមានធាតុសូន្យមួយ ដូច្នេះវាជាការសមស្របជាងក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់ជាកាលវិភាគក្នុងជួរឈរទីមួយឬជួរទីបី។

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងបានរកឃើញថាកត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ វ៉ិចទ័រ a1, a2, a3 គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.
តាមនិយមន័យ វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានក្នុង R3 ។ ចូរយើងសរសេរកាលវិភាគនៃវ៉ិចទ័រ ខ ដោយផ្អែកលើ

វ៉ិចទ័រគឺស្មើគ្នានៅពេលដែលកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។
ដូច្នេះ ពីសមីការវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

តោះដោះស្រាយ SLAE វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការក្នុងទម្រង់

កត្តាកំណត់សំខាន់នៃ SLAE គឺតែងតែស្មើនឹងកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន

ដូច្នេះនៅក្នុងការអនុវត្តវាមិនត្រូវបានគេរាប់ពីរដងទេ។ ដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់ជំនួយ យើងដាក់ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃជំនួសជួរឈរនីមួយៗនៃកត្តាកំណត់សំខាន់។ កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើច្បាប់ត្រីកោណ

ចូរជំនួសកត្តាកំណត់ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្តរបស់ Cramer

ដូច្នេះ ការពង្រីកវ៉ិចទ័រ b ក្នុងន័យមូលដ្ឋានមានទម្រង់ b=-4a1+3a2-a3 ។ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ b ក្នុងមូលដ្ឋាន a1, a2, a3 នឹងមាន (-4,3, 1) ។

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1) ។
ដំណោះស្រាយ៖ យើងពិនិត្យវ៉ិចទ័រសម្រាប់មូលដ្ឋាន - យើងបង្កើតកត្តាកំណត់ពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយគណនាវា

ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានក្នុងលំហ. វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកកាលវិភាគនៃវ៉ិចទ័រ b តាមរយៈមូលដ្ឋាននេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រ

និងបំប្លែងទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

យើងសរសេរសមីការម៉ាទ្រីស

បន្ទាប់មកទៀត សម្រាប់រូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញកត្តាកំណត់ជំនួយ

យើងអនុវត្តរូបមន្តរបស់ Cramer

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ b ដែលផ្តល់ឱ្យមានកាលវិភាគតាមរយៈវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានពីរ b=-2a1 + 5a3 ហើយកូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹង b(-2,0, 5) ។

កិច្ចការសាកល្បង

កិច្ចការទី 1 - 10. វ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

បង្ហាញថាវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះ៖

វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1) ។ បង្ហាញថាវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ និងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ X ក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ភារកិច្ចនេះមានពីរផ្នែក។ ដំបូងអ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន។ វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះខុសពីសូន្យ បើមិនដូច្នេះទេ វ៉ិចទ័រមិនជាមូលដ្ឋានទេ ហើយវ៉ិចទ័រ X មិនអាចពង្រីកលើមូលដ្ឋាននេះបានទេ។

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស៖

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺ ∆ = 37

ដោយសារកត្តាកំណត់គឺមិនសូន្យ វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ X អាចត្រូវបានពង្រីកលើមូលដ្ឋាននេះ។ ទាំងនោះ។ មានលេខ α 1, α 2, α 3 ដែលសមភាពទទួលបាន៖

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

ចូរយើងសរសេរសមភាពនេះក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល៖

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្មើគ្នានៃវ៉ិចទ័រយើងមាន:

3α 1 −2α 2 −4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 −3α 2 −1α 3 = 1 យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការវិធីសាស្រ្ត Gaussian ឬ.

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer

X = ε 1 + 2ε 2 −ε ៣

ដំណោះស្រាយត្រូវបានទទួល និងដំណើរការដោយប្រើប្រាស់សេវាកម្ម៖

សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន

ជាមួយនឹងបញ្ហានេះពួកគេក៏ដោះស្រាយផងដែរ:

ការដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស

វិធីសាស្រ្ត Cramer

វិធីសាស្រ្ត Gauss

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Jordano-Gauss

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមរយៈការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត

គុណម៉ាទ្រីសតាមអ៊ីនធឺណិត

និយមន័យស្តង់ដារ៖ "វ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកដែលដឹកនាំ។" នេះជាធម្មតាជាវិសាលភាពនៃចំណេះដឹងរបស់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាអំពីវ៉ិចទ័រ។ តើអ្នកណាត្រូវការ "ផ្នែកទិសដៅ" មួយចំនួន?
ការព្យាករណ៍អាកាសធាតុ។ ខ្យល់បក់ពីទិសពាយ័ព្យ ល្បឿន ១៨ ម៉ែត្រក្នុងមួយវិនាទី។ យល់ស្របទាំងទិសដៅនៃខ្យល់ (កន្លែងដែលវាបក់មកពី) និងម៉ូឌុល (នោះគឺជាតម្លៃដាច់ខាត) នៃបញ្ហាល្បឿនរបស់វា។

បរិមាណដែលមិនមានទិសដៅត្រូវបានគេហៅថា scalar ។ ម៉ាស ការងារ បន្ទុកអគ្គីសនី មិនត្រូវបានដឹកនាំនៅកន្លែងណាទេ។ ពួកវាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយតម្លៃលេខ - "ប៉ុន្មានគីឡូក្រាម" ឬ "ប៉ុន្មានជូល" ។

បរិមាណរូបវន្តដែលមិនត្រឹមតែមានតម្លៃដាច់ខាតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទិសដៅផងដែរ ត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណវ៉ិចទ័រ។

ល្បឿន, កម្លាំង, ការបង្កើនល្បឿន - វ៉ិចទ័រ។ សម្រាប់ពួកគេ “ប៉ុន្មាន” គឺសំខាន់ ហើយ “កន្លែងណា” គឺសំខាន់។ ឧទាហរណ៍ ការបង្កើនល្បឿនដោយសារទំនាញផែនដី សំដៅមកលើផ្ទៃផែនដី ហើយកម្លាំងរបស់វាគឺ ៩,៨ ម៉ែត/វិនាទី ២. Impulse, កម្លាំងវាលអគ្គិសនី, induction វាលម៉ាញេទិក ក៏ជាបរិមាណវ៉ិចទ័រផងដែរ។

អ្នកចាំថាបរិមាណរូបវន្តត្រូវបានតាងដោយអក្សរ ឡាតាំង ឬក្រិច។ សញ្ញាព្រួញខាងលើអក្សរបង្ហាញថាបរិមាណជាវ៉ិចទ័រ៖

នេះជាឧទាហរណ៍មួយទៀត។
រថយន្តផ្លាស់ទីពី A ទៅ B ។ លទ្ធផលចុងក្រោយគឺចលនារបស់វាពីចំណុច A ដល់ចំណុច B ពោលគឺចលនាដោយវ៉ិចទ័រ។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ហើយថាហេតុអ្វីបានជាវ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកដែលដឹកនាំ។ សូមចំណាំថាចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រគឺជាកន្លែងដែលព្រួញស្ថិតនៅ។ ប្រវែងវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងនៃផ្នែកនេះ។ ចង្អុលបង្ហាញដោយ៖ ឬ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានធ្វើការជាមួយបរិមាណមាត្រដ្ឋាន យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ និងពិជគណិតបឋម។ វ៉ិចទ័រគឺជាគំនិតថ្មី។ នេះគឺជាថ្នាក់មួយផ្សេងទៀតនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា។ ពួកគេមានច្បាប់ផ្ទាល់ខ្លួន។

មានពេលមួយយើងមិនដឹងអ្វីទាំងអស់អំពីលេខ។ ការស្គាល់គ្នារបស់ខ្ញុំជាមួយពួកគេបានចាប់ផ្តើមនៅសាលាបឋមសិក្សា។ វាបានប្រែក្លាយថាចំនួនអាចត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក បូក ដក គុណ និងចែក។ យើងបានដឹងថាមានលេខមួយ និងលេខសូន្យ។
ឥឡូវនេះយើងត្រូវបានណែនាំទៅវ៉ិចទ័រ។

គោលគំនិតនៃ "ច្រើន" និង "តិចជាង" សម្រាប់វ៉ិចទ័រមិនមានទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ទិសដៅរបស់ពួកគេអាចខុសគ្នា។ មានតែប្រវែងវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះដែលអាចប្រៀបធៀបបាន។

ប៉ុន្តែមានគោលគំនិតនៃសមភាពសម្រាប់វ៉ិចទ័រ។
ស្មើវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងដូចគ្នានិងទិសដៅដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានផ្ទេរស្របទៅនឹងខ្លួនវាទៅចំណុចណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះ។
នៅលីវគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែង 1 ។ សូន្យគឺជាវ៉ិចទ័រដែលប្រវែងគឺសូន្យ ពោលគឺការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់។

វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើការជាមួយវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ - ដូចគ្នាដែលយើងគូរក្រាហ្វនៃមុខងារ។ ចំនុចនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវគ្នានឹងលេខពីរ - កូអរដោនេ x និង y របស់វា abscissa និង ordinate ។
វ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេពីរ៖

នៅទីនេះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសរសេរក្នុងវង់ក្រចក - ក្នុង x និង y ។
ពួកគេត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងសាមញ្ញ៖ កូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រដកកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមរបស់វា។

ប្រសិនបើកូអរដោណេវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ប្រវែងរបស់វាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។

១. ក្បួនប៉ារ៉ាឡែល។ ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រ ហើយយើងដាក់ប្រភពដើមនៃទាំងពីរនៅចំណុចដូចគ្នា។ យើងបង្កើតរហូតដល់ប្រលេឡូក្រាម ហើយពីចំណុចដូចគ្នាយើងគូរអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម។ នេះនឹងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និង .

ចងចាំរឿងនិទានអំពី swan, crayfish និង pike? ពួកគេបានព្យាយាមយ៉ាងខ្លាំង ប៉ុន្តែពួកគេមិនដែលរើរទេះនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ ផលបូកវ៉ិចទ័រនៃកម្លាំងដែលពួកគេបានអនុវត្តទៅលើរទេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

២. វិធីទីពីរដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រគឺច្បាប់ត្រីកោណ។ ចូរយើងយកវ៉ិចទ័រដូចគ្នា និង . យើងនឹងបន្ថែមការចាប់ផ្តើមនៃទីពីរទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីមួយ។ ឥឡូវនេះសូមភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយនិងចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ។ នេះគឺជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និង .

ដោយប្រើច្បាប់ដូចគ្នា អ្នកអាចបន្ថែមវ៉ិចទ័រជាច្រើន។ យើងរៀបចំពួកវាម្តងមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយទៅចុងបញ្ចប់នៃចុងក្រោយ។

ស្រមៃថាអ្នកកំពុងធ្វើដំណើរពីចំណុច A ដល់ចំណុច B ពី B ទៅ C ពី C ទៅ D បន្ទាប់មកទៅ E និង ទៅ F ។ លទ្ធផលចុងក្រោយនៃសកម្មភាពទាំងនេះ គឺចលនាពី A ដល់ F ។

នៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រហើយយើងទទួលបាន៖

ដកវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំផ្ទុយទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនិងស្មើគ្នា។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ថាការដកវ៉ិចទ័រជាអ្វី។ ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រ។

គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ

នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានគុណនឹងលេខ k វ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានទទួលដែលប្រវែងគឺ k ដងខុសពីប្រវែង។ វាមានទិសដៅរួមជាមួយវ៉ិចទ័រ បើ k ធំជាងសូន្យ ហើយផ្ទុយទៅវិញ បើ k តូចជាងសូន្យ។

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានគុណមិនត្រឹមតែដោយលេខប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ដោយគ្នាទៅវិញទៅមកផងដែរ។

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផលនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

សូមចំណាំថាយើងគុណវ៉ិចទ័រពីរ ហើយលទ្ធផលគឺមាត្រដ្ឋាន នោះគឺជាលេខ។ ឧទាហរណ៍ក្នុងរូបវិទ្យា ការងារមេកានិកគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរ - កម្លាំង និងការផ្លាស់ទីលំនៅ៖

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកាត់កែង ផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេគឺសូន្យ។
ហើយនេះជារបៀបដែលផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ និង៖

ពីរូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន អ្នកអាចរកឃើញមុំរវាងវ៉ិចទ័រ៖

រូបមន្តនេះគឺមានភាពងាយស្រួលជាពិសេសនៅក្នុង stereometric ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងបញ្ហាទី 14 នៃការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យា អ្នកត្រូវស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ឬរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។ ជាញឹកញាប់ វិធីសាស្រ្តវ៉ិចទ័របញ្ហាទី 14 ត្រូវបានដោះស្រាយលឿនជាងបញ្ហាបុរាណជាច្រើនដង។

នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា មានតែផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានបង្រៀន។
វាប្រែថាបន្ថែមលើផលិតផលមាត្រដ្ឋានក៏មានផលិតផលវ៉ិចទ័រផងដែរនៅពេលដែលលទ្ធផលនៃការគុណវ៉ិចទ័រពីរគឺជាវ៉ិចទ័រ។ អ្នកណាជួល ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងរូបវិទ្យាដឹងថាកម្លាំង Lorentz និងកម្លាំង Ampere ជាអ្វី។ រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកកម្លាំងទាំងនេះរួមមានផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រគឺជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏មានប្រយោជន៍។ អ្នកនឹងឃើញរឿងនេះក្នុងឆ្នាំដំបូងរបស់អ្នក។