អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ L និងចំនុច A នៅលើយន្តហោះ ចូរយើងទម្លាក់កាត់កែងពីចំណុច A ទៅបន្ទាត់ត្រង់ L (រូបភាព 1.8, a) ។ បន្ទាប់មកមូលដ្ឋានរបស់វា (ចំណុច O) ត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាកររាងពងក្រពើនៃចំណុច A លើបន្ទាត់ L. ប្រសិនបើបន្ទាត់ L និងចំនុច A ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ នោះក្នុងករណីនេះការព្យាកររាងពងក្រពើនៃចំនុច A ទៅលើបន្ទាត់ L គឺជាចំនុច O នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ L ជាមួយនឹងយន្តហោះកាត់កែងទៅវាឆ្លងកាត់ចំនុច A (រូបភាព 1.8 ។ , ខ). ប្រសិនបើចំណុច A ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ L នោះវាស្របគ្នានឹងការព្យាកររាងពងក្រពើរបស់វាទៅលើ L ។
សម្រាប់វ៉ិចទ័រ - AB (នៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហ) អ្នកអាចបង្កើតការព្យាករណ៍រាងពងក្រពើលើបន្ទាត់ត្រង់ L របស់វា ការចាប់ផ្តើមនិងបញ្ចប់(រូបភាព 1.9) ។ វ៉ិចទ័រ O A O B ភ្ជាប់ការព្យាករទាំងនេះ O A និង O B ហើយដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ L ត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាករ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រ AB ទៅលើបន្ទាត់អិល
បន្ទាត់ត្រង់ដែលមួយក្នុងចំណោមទិសដៅដែលអាចមានពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្ស. ទិសដៅដែលបានជ្រើសរើសនៅលើអ័ក្សត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយព្រួញមួយនៅចុងដែលត្រូវគ្នានៃអ័ក្ស។ ការព្យាករ orthogonal O A O B នៃវ៉ិចទ័រ AB ទៅលើអ័ក្ស l អាចត្រូវបានពិពណ៌នាទាំងស្រុង ប្រវែងវ៉ិចទ័រ O A O B ផ្តល់សញ្ញាទៅវា
ចង្អុលបង្ហាញទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើទិសដៅ O A O B ស្របគ្នានឹងទិសដៅអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ យកសញ្ញាបូក ហើយប្រសិនបើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រគឺផ្ទុយទៅនឹងទិសដៅនៃអ័ក្ស បន្ទាប់មកយកសញ្ញាដក។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ O A O B ដែលមានសញ្ញាដែលកំណត់ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាករ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រ AB ទៅលើអ័ក្ស l និងតំណាង pr l a ។
ចូរយើងកត់សំគាល់ថាការព្យាកររាងពងក្រពើនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សគឺជាលេខ ខណៈដែលការព្យាករ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រនៅលើបន្ទាត់គឺជាវ៉ិចទ័រ។ ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រត្រូវគ្នានឹងលេខដែលជាការព្យាកររបស់វា ទិសដៅមួយក្នុងចំណោមទិសដៅដែលអាចមានពីរត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។
រាល់ វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ l កំណត់អ័ក្សតែមួយ៖ វាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយ និងបញ្ជាក់ទិសដៅនៅលើវា។ ការព្យាករ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាករ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រនេះទៅលើទិសដៅវ៉ិចទ័រ l
មុំរវាងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរត្រូវបានគេហៅថា មុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ. មុំអាចប្រែប្រួលពី 0 ទៅπ។ តម្លៃខ្លាំង 0 និង π ត្រូវគ្នា។ វ៉ិចទ័រ collinearរៀងៗខ្លួន ទិសតែមួយ និងទិសផ្ទុយ. ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រពីរគឺ សូន្យបន្ទាប់មកមុំរវាងវ៉ិចទ័របែបនេះមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាជាការងាយស្រួលក្នុងការសន្មតថាក្នុងករណីនេះមុំមានតម្លៃបំពាន។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រសូន្យគឺស្របទៅនឹងចំណុចផ្សេងទៀត ដែលត្រូវគ្នាជាផ្លូវការទៅនឹងមុំ 0 (ឬ π)។ តម្លៃជាក់លាក់ដែលបានកំណត់ទៅមុំរវាងវ៉ិចទ័រសូន្យ និងវ៉ិចទ័រមួយចំនួនផ្សេងទៀតត្រូវបានជ្រើសរើសដោយផ្អែកលើស្ថានភាព។
ទ្រឹស្តីបទ ១.១.ការព្យាកររាងពងក្រពើនៃវ៉ិចទ័រ a ទៅទិសនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ l គឺស្មើនឹងប្រវែង |a| គុណនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំφរវាងវ៉ិចទ័រ a និង l, i.e.
pr l = a|a| cos
តើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ a និង l នៅឯណា
◄ សូមអោយវ៉ិចទ័រ l ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ L ហើយការចាប់ផ្តើមរបស់វាគឺចំនុច A។ ចូរតម្រឹមចំនុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ a ជាមួយចំនុច A ហើយអោយចុងរបស់វាជាចំនុច B (រូបភាព 1.10)។ ចូរយើងបង្កើតការព្យាករ orthogonal C នៃចំនុច B ទៅលើបន្ទាត់ L. បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ AC គឺជាការព្យាករ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រ a = AB ទៅកាន់បន្ទាត់ L ។
ប្រសិនបើមុំ φ រវាងវ៉ិចទ័រ a និង l គឺស្រួច (ដូចបង្ហាញក្នុងរូប 1.10, a) នោះចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ l និងចំនុច C ស្ថិតនៅម្ខាងនៃចំនុច A. ក្នុងករណីនេះ ការព្យាករនៃ a ទៅលើទិសដៅ នៃវ៉ិចទ័រ l គឺស្មើនឹងប្រវែង |AC| = |AB| cosφជើង AC នៃត្រីកោណ ABC ។
ប្រសិនបើមុំ φ មានរាងស្រឡូន (សូមមើលរូប 1.10, ខ) នោះចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ l និងចំនុច C ស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃចំនុច A. នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ AC និង l មានទិសដៅផ្ទុយ ហើយការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ a គឺស្មើនឹង - |AC|។ នៅក្នុងត្រីកោណ ABC មុំ ψ ជាប់នឹងចំហៀង AC គឺស្មើនឹង π - φ ដូច្នេះ |AC| = |AB| cos(π − φ) = - |AB| cosφ
ប្រសិនបើ φ = π/2 ឬ a = 0 នោះចំនុច C ស្របគ្នានឹងចំនុច A ហើយវ៉ិចទ័រ AC គឺជាវ៉ិចទ័រសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ cosπ/2 = 0 ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទក៏មានសុពលភាពផងដែរ។
ទ្រឹស្តីបទ 1.2 ។ការព្យាករ orthogonal នៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រទៅលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការព្យាករ orthogonal របស់ពួកគេទៅលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះ ហើយនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានគុណនឹងចំនួនមួយ ការព្យាករ orthogonal របស់វាទៅលើទិសដៅនៃ វ៉ិចទ័រមិនសូន្យត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា៖
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a ។
◄ ភ័ស្តុតាងមានពីរូប។ ១.១១. ក្នុងករណីដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 1.11, a, យើងមាន pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |BC|។ ក្នុងករណីដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 1.11, b, pr l a = |AB| ហើយប្រសិនបើ λ > 0, pr l (λa) = |AE| =λ|AB|។ ជម្រើសដែលនៅសល់ (ចំណុច C មិនមែនជារបស់ផ្នែក AB ក្នុងករណី a, λ ≤ 0 ក្នុងករណី ខ) ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្រដៀងគ្នា។
ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ការព្យាករអ័រតូហ្គោន គឺជាករណីពិសេសនៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល។ ជាមួយនឹងការព្យាករ orthogonal កាំរស្មីដែលបញ្ចាំងគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ។
ឧបករណ៍នៃការព្យាករបែបនេះមានយន្តហោះព្យាករមួយ។
ដើម្បីទទួលបានការព្យាកររាងជ្រុងនៃចំណុច A កាំរស្មីត្រូវតែត្រូវបានគូសកាត់កាត់កាត់កែងទៅ P1 ។ ចំណុច A1 ត្រូវបានគេហៅថាការព្យាកររាងពងក្រពើ ឬរាងចតុកោណនៃចំណុច A។
ដើម្បីទទួលបានការព្យាករ orthographic ក ១ ខ ១ចម្រៀក ABទៅកាន់យន្តហោះ ទំ ១ចាំបាច់តាមរយៈចំណុច កនិង INគូរបន្ទាត់កាត់កែង ទំ ១. ពេលបញ្ចាំងបន្ទាត់ប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ ទំ ១អ្នកនឹងទទួលបានការព្យាករ orthogonal ក ១និង ក្នុង ១ពិន្ទុ កនិង IN. ដោយភ្ជាប់ការព្យាករ orthogonal ក ១និង ក្នុង ១យើងទទួលបានការព្យាករ orthogonal ក ១ ខ ១ចម្រៀក AB.
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែលក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ការព្យាកររាងពងក្រពើផងដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការព្យាករណ៍រាងពងក្រពើមានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀត។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការព្យាករ orthographic:
1. ប្រវែងនៃចម្រៀកមួយគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃការព្យាកររបស់វាដែលបែងចែកដោយកូស៊ីនុសនៃមុំទំនោរនៃចម្រៀកទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ។
ចូរយើងយកបន្ទាត់ត្រង់ ABនិងបង្កើតការព្យាករ orthogonal របស់វា។ ក ១ ខ ១ទៅយន្តហោះ ទំ ១. ប្រសិនបើអ្នកគូរបន្ទាត់ត្រង់ AC || ក ១ ខ ១បន្ទាប់មកពីត្រីកោណ ABCធ្វើតាមនោះ។ |AC| ៖ |AB| = cos aឬ |AB| = |A 1 B 1 | :cos a, ដោយសារតែ |A 1 B 1 | = |AC|.
2. លើសពីនេះទៀតសម្រាប់ការព្យាករ orthogonal វានឹងជាការពិត ទ្រឹស្ដីការព្យាករមុំខាងស្តាំ៖
ទ្រឹស្តីបទ៖ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកមួយនៃមុំខាងស្តាំគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ ហើយមួយទៀតមិនកាត់កែងទៅវាទេ នោះមុំត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះនេះក្នុងទំហំពេញ។
ភស្តុតាង៖
ផ្តល់មុំត្រឹមត្រូវ។ ABCដែលតាមលក្ខខណ្ឌមានបន្ទាត់ត្រង់ BC ABនិង ស៊ុន ||យន្តហោះព្យាករណ៍ ទំ ១. ដោយការសាងសង់វាត្រង់ ព្រះអាទិត្យទៅធ្នឹមបញ្ចាំង ប៊ីប៊ី ១. ដូច្នេះត្រង់ ព្រះអាទិត្យទៅយន្តហោះ ខ (АВхВВ1)ចាប់តាំងពីវាគឺទៅបន្ទាត់ប្រសព្វពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ តាមលក្ខខណ្ឌ, ត្រង់ B 1 C 1 || ព្រះអាទិត្យដូច្នេះក៏ឡើងយន្តហោះដែរ។ ខឧ. និងដោយផ្ទាល់ ក ១ ខ ១យន្តហោះនេះ។ ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ ក ១ ខ ១និង B 1 C ១ស្មើនឹង 90° ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។
ការព្យាករណ៍អ័រតូហ្គោនផ្តល់នូវភាពសាមញ្ញនៃសំណង់ធរណីមាត្រនៅពេលកំណត់ការព្យាកររាងពងក្រពើនៃចំណុច ក៏ដូចជាសមត្ថភាពក្នុងការរក្សារូបរាង និងវិមាត្រនៃតួរលេខដែលបានព្យាករលើការព្យាករ។ គុណសម្បត្តិទាំងនេះបានធានាថាការព្យាករ orthogonal ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគំនូរបច្ចេកទេស។
វិធីសាស្រ្តនៃការព្យាករដែលត្រូវបានពិចារណាធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហាដោយផ្ទាល់នៃធរណីមាត្រពិពណ៌នា ពោលគឺការសាងសង់គំនូរផ្ទះល្វែងពីដើម។ ការព្យាករលើយន្តហោះមួយដែលទទួលបានតាមរបៀបនេះផ្តល់នូវគំនិតមិនពេញលេញនៃវត្ថុ រូបរាង និងទីតាំងរបស់វានៅក្នុងលំហ ពោលគឺគំនូរបែបនេះមិនមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបញ្ច្រាស់នោះទេ។
ដើម្បីទទួលបានគំនូរបញ្ច្រាស i.e. គំនូរដែលផ្តល់នូវរូបភាពពេញលេញនៃរូបរាង ទំហំ និងទីតាំងនៃដើមនៅក្នុងលំហ គំនូរមួយសន្លឹកត្រូវបានបំពេញបន្ថែម។ អាស្រ័យលើកម្មវិធីបន្ថែមមានប្រភេទគំនូរផ្សេងៗគ្នា។
- ដ្យាក្រាម Monge ឬការព្យាករ orthogonal ។ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រព្យាករអ័រតូហ្គោន (ចតុកោណ) គឺថា ដើមត្រូវបានព្យាករជារាងពងក្រពើលើ 2 ឬ 3 យន្តហោះព្យាករទៅវិញទៅមក ហើយបន្ទាប់មកបញ្ចូលគ្នាជាមួយយន្តហោះគំនូរ។
- គំនូរ Axonometric ។ខ្លឹមសារនៃគំនូរ axonometric គឺថាដំបូងដើមត្រូវបានភ្ជាប់យ៉ាងតឹងរឹងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian OXYZគ្រោងវាតាមទិសទៅម្ខាងនៃយន្តហោះព្យាករ OXY, ឬ OXZ. បន្ទាប់មកដោយការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល ការព្យាករប៉ារ៉ាឡែលនៃរចនាសម្ព័ន្ធលទ្ធផលត្រូវបានរកឃើញ៖ អ័ក្សសំរបសំរួល OX, OY, OZ,ការព្យាករបន្ទាប់បន្សំ និងដើម។
- គំនូរចក្ខុវិស័យ។នៅពេលសាងសង់គំនូរទស្សនវិស័យ ទីមួយបង្កើតការព្យាកររាងពងក្រពើមួយ ហើយបន្ទាប់មកនៅលើយន្តហោះរូបភាព ការព្យាករកណ្តាលនៃការព្យាករ orthographic ដែលបានសាងសង់ពីមុន និងដើមខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញ។
- ការព្យាករណ៍ដែលមានសញ្ញាលេខ។ល។ដើម្បីទទួលបានការព្យាករជាមួយនឹងសញ្ញាលេខ ដើមត្រូវបានព្យាករតាមទិសនៅលើយន្តហោះកម្រិតសូន្យ ហើយចម្ងាយពីចំណុចដើមទៅយន្តហោះនេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។
ចូរយើងរស់នៅដោយលម្អិតបន្ថែមទៀតលើការសិក្សាអំពីការព្យាកររាងចតុកោណ និងគំនូរ axonometric ។
ការព្យាករអ័រតូហ្គោន គឺជាករណីពិសេសនៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល នៅពេលដែលទិសដៅព្យាករ S កាត់កែង (រាងពងក្រពើ) ទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ S 1 (រូបភាព 1.11) ។
អង្ករ។ ១.១១. ការព្យាកររាងពងក្រពើនៃមុំខាងស្តាំ
ការព្យាករណ៍អ័រតូហ្គោនត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងការអនុវត្តផ្នែកវិស្វកម្មសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីតួលេខធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះ ព្រោះវាមានគុណសម្បត្តិមួយចំនួនលើការព្យាករកណ្តាល និងប៉ារ៉ាឡែល (oblique) ដែលរួមមាន:
ក) ភាពសាមញ្ញនៃសំណង់ក្រាហ្វិកសម្រាប់កំណត់ការព្យាករ orthogonal នៃចំណុច;
ខ) សមត្ថភាព នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ ដើម្បីរក្សារូបរាង និងទំហំនៃតួលេខដែលបានព្យាករលើការព្យាករណ៍។
គុណសម្បត្តិទាំងនេះបានធានានូវការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៃការព្យាករ orthogonal នៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យា ជាពិសេសសម្រាប់ការរៀបចំគំនូរវិស្វកម្មមេកានិច។
សម្រាប់ការព្យាកររាងពងក្រពើ លក្ខណៈសម្បត្តិអថេរទាំងប្រាំបួនដែលបានពិភាក្សាខាងលើមានសុពលភាព។ លើសពីនេះទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការកត់សម្គាល់មួយបន្ថែមទៀត ទីដប់ ទ្រព្យសម្បត្តិអថេរ ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់តែការព្យាករ orthogonal ប៉ុណ្ណោះ។
10. ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ជ្រុងម្ខាងនៃមុំខាងស្តាំគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ នោះមុំខាងស្តាំត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះព្យាករនេះដោយមិនមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ (រូបភាព 1.11)
នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាពទី 1.11 បង្ហាញមុំខាងស្តាំ ABD ដែលភាគីទាំងពីរស្របគ្នានឹងយន្តហោះព្យាករ 1 ។ យោងតាមលក្ខណសម្បត្តិ invariant 9.2 មុំនេះត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះ 1 ដោយមិនបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ ពោលគឺ A 1 B 1 D 1 = 90 ។
ចូរយើងយកចំណុចបំពាន C នៅលើធ្នឹមបញ្ចាំង DD 1 បន្ទាប់មកលទ្ធផល ABC នឹងត្រង់ ចាប់តាំងពី ABBB 1 DD 1 ។
ការព្យាករនៃមុំខាងស្តាំ ABC នេះដែលមានតែម្ខាង AB ស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃការព្យាករ 1 នឹងជាមុំខាងស្តាំ A 1 B 1 D 1 ។
និយាយអំពីតួលេខធរណីមាត្រ និងការព្យាកររបស់វា ចាំបាច់ត្រូវចាំថា ការព្យាករនៃតួលេខ គឺជាសំណុំនៃការព្យាករនៃចំណុចទាំងអស់របស់វា។
១.៦. ប្រព័ន្ធនៃការព្យាករចំនួនបី។ Epure Monge ។
តួលេខធរណីមាត្រលំហទាំងអស់អាចត្រូវបានតម្រង់ទិសទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធចតុកោណកែង Cartesian នៃអ័ក្សកូអរដោនេ - ប្រព័ន្ធនៃយន្តហោះកូអរដោនេកាត់កែងគ្នាបី (រូបភាព 1.12) ។
អង្ករ។ ១.១២. រូបភាពនៃប្រព័ន្ធព្យាករណ៍យន្តហោះបី
យន្តហោះសម្របសម្រួលទាំងនេះត្រូវបានកំណត់៖
ប្លង់ផ្ដេក - 1;
យន្តហោះខាងមុខនៃការព្យាករ - 2;
ទម្រង់ការព្យាករយន្តហោះ - ៣.
បន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះបង្កើតជាអ័ក្សកូអរដោនេ៖ អ័ក្ស abscissa – X; អ័ក្សតម្រឹម - Y; អ័ក្សអនុវត្ត - Z. ចំណុច O នៃចំនុចប្រសព្វនៃអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានយកជាប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ និងត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ O. ទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សត្រូវបានពិចារណា៖ សម្រាប់អ័ក្ស x - ទៅខាងឆ្វេងនៃប្រភពដើម , សម្រាប់អ័ក្ស Y - ឆ្ពោះទៅរកអ្នកមើលពីយន្តហោះ 2, សម្រាប់អ័ក្ស z - ឡើងពីយន្តហោះ 1; ទិសដៅផ្ទុយត្រូវបានចាត់ទុកថាអវិជ្ជមាន។
ដើម្បីសម្រួលការវែកញែកបន្ថែមទៀត យើងនឹងពិចារណាតែផ្នែកនៃលំហរដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃប្លង់ទម្រង់នៃការព្យាករ 3 ។
ជាមួយនឹងការសន្មត់នេះ យន្តហោះសំរបសំរួលបីនៃការព្យាករបង្កើតជាមុំលំហចំនួនបួន - octants (ក្នុងករណីទូទៅ - 8 octants) ។
ពីរូបភព។ 1.12 គេអាចមើលឃើញថាអ័ក្ស X បែងចែកប្លង់ផ្តេកនៃការព្យាករ 1 ជាពីរផ្នែក៖ ពាក់កណ្តាលខាងមុខ 1 (អ័ក្ស X និង Y) និងពាក់កណ្តាលខាងក្រោយ 1 (អ័ក្ស X និង - Y) ។
អ័ក្ស X បែងចែក យន្តហោះខាងមុខនៃការព្យាករណ៍ 2 ក៏ជាពីរផ្នែកផងដែរ៖ ពាក់កណ្តាលខាងលើ 2 (អ័ក្ស X និង Z) និងពាក់កណ្តាលខាងក្រោម 2 (អ័ក្ស X និង - Z) ។
អ័ក្សតម្រៀប Y និងកម្មវិធី Z បែងចែកប្លង់ទម្រង់នៃការព្យាករ 3 ជាបួនផ្នែក៖
ជាន់ខាងមុខ 3 (អ័ក្ស Y និង Z)
ជាន់ក្រោយខាងលើ 3 (-Y និង Z អ័ក្ស)
ជាន់ខាងមុខខាងក្រោម 3 (អ័ក្ស Y និង –Z)
ជាន់ក្រោយខាងក្រោម ទី 3 (អ័ក្ស - Y និង -Z)
ដើម្បីទទួលបានគំរូប្លង់សំប៉ែត (ពីរវិមាត្រ) ប្លង់ផ្តេក 1 និងទម្រង់ 3 ត្រូវបានផ្សំជាមួយផ្នែកខាងមុខ 2 តាមលំដាប់ដែលបង្ហាញដោយព្រួញក្នុងរូប។ ១.១២.
ទំ 
ក្នុងករណីនេះ យន្តហោះព្យាករណ៍ផ្ដេក 1 បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស X ដោយ 90 ហើយយន្តហោះព្យាករទម្រង់ 3 បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស Z ផងដែរដោយ 90 (ទិសដៅនៃការបង្វិលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 1.12) ។
ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃយន្តហោះព្យាករចំនួនបីដែលទទួលបានតាមវិធីនេះ (រូបភាព 1.13) គឺជាគំរូផ្ទះល្វែងមួយនៃប្រព័ន្ធនៃ spatial បី។
ទៅ
អង្ករ។ ១.១៣. គំរូលំហនៃចំណុច A
ដើម្បីបង្កើតគំរូផ្ទះល្វែងនៃតួលេខធរណីមាត្រលំហ ចំនុចនីមួយៗរបស់វាត្រូវបានព្យាករជារាងពងក្រពើលើប្លង់ព្យាករ 1, 2 និង 3 ដែលបន្ទាប់មកត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ គំរូផ្ទះល្វែងនៃតួលេខធរណីមាត្រទំហំដែលទទួលបានតាមវិធីនេះត្រូវបានគេហៅថាដ្យាក្រាម Monge ។
លំដាប់នៃការសាងសង់ដ្យាក្រាមនៃចំណុចមួយដែលមានទីតាំងនៅ octant ទីមួយ។
នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាពទី 1.13 បង្ហាញចំណុចលំហ A ដែលកូអរដោនេនៃ (x, y, z) បង្ហាញចម្ងាយដែលចំណុចត្រូវបានដកចេញពីយន្តហោះព្យាករណ៍។
ឃ 
ដើម្បីទទួលបានការព្យាកររាងមូលនៃចំណុច A វាចាំបាច់ត្រូវកាត់កាត់កែងពីចំណុចនេះទៅលើយន្តហោះព្យាករ។
ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់កាត់កែងទាំងនេះជាមួយនឹងប្លង់ព្យាករបង្កើតបានជាការព្យាករណ៍នៃចំនុច A៖
A 1 - ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃចំណុច;
A 2 - ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខនៃចំណុច;
ក
អង្ករ។ ១.១៤. ដ្យាក្រាមចំណុច A
នៅក្នុងរូបភព។ 1.14 យន្តហោះព្យាករ 1 និង 3 ត្រូវបានផ្សំជាមួយយន្តហោះគំនូរ (ជាមួយយន្តហោះព្យាករ 2) ហើយរួមគ្នាជាមួយពួកវាត្រូវបានផ្សំជាមួយយន្តហោះគំនូរ និងការព្យាករណ៍នៃចំណុច A (A 1, A 2, A 3) ហើយដូច្នេះ គំរូប្លង់នៃយន្តហោះសំរបសំរួលត្រូវបានទទួលការព្យាករណ៍ និងគំរូប្លង់នៃចំនុច A - ដ្យាក្រាមរបស់វា។
ទីតាំងនៃការព្យាករនៃចំណុច A នៅលើដ្យាក្រាមត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយកូអរដោនេទាំងបីរបស់វា (រូបភាព 1.14) ។
នៅក្នុងរូបភព។ 1.13 និងរូបភព។ 1.14 វាក៏ច្បាស់ដែរថានៅក្នុងដ្យាក្រាមការព្យាករផ្តេក និងផ្នែកខាងមុខនៃចំនុចស្ថិតនៅលើកាត់កែងដូចគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស X ក៏ដូចជាការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ និងទម្រង់ - នៅលើកាត់កែងដូចគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស Z៖
ក 1 ក 2 X, ក 2 ក 3 Z.
ពីរូបទី 1.12 វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុចដែលមានទីតាំងនៅ octants ផ្សេងៗគ្នាមានសញ្ញាកូអរដោនេជាក់លាក់។
តារាងបង្ហាញសញ្ញានៃកូអរដោណេនៃចំនុចដែលមានទីតាំងនៅ octants ផ្សេងៗគ្នា
តារាងនៃសញ្ញាសំរបសំរួល
|
ផ្លាកសញ្ញាសំរបសំរួល |
|||
សំណួរសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង
តើអ្វីទៅជាគំនិតនៅពីក្រោយការព្យាករ?
តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃការព្យាករកណ្តាល ហើយអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងរបស់វា?
តើអ្វីទៅជាខ្លឹមសារនៃការព្យាករស្របគ្នា ហើយអ្វីជាលក្ខណៈសំខាន់របស់វា?
តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃការព្យាកររាងមូល (ចតុកោណ)?
តើទ្រឹស្តីបទនៃការព្យាករមុំខាងស្តាំត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងដូចម្តេច?
កិច្ចការស្រដៀងគ្នា៖
ចំហៀង AB នៃ rhombus ABCD ស្មើនឹង a មុំមួយគឺ 60 ដឺក្រេ។ យន្តហោះអាល់ហ្វាត្រូវបានគូសកាត់ចំហៀង AB នៅចម្ងាយ a/2 ពីចំណុច D ។
ក) រកចំងាយពីចំណុច C ដល់យន្តហោះអាល់ហ្វា។
ខ) បង្ហាញក្នុងរូបភាពនៃមុំ dihedral លីនេអ៊ែរ DABM ។ M ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អាល់ហ្វា។
គ) រកស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះ rhombus និងយន្តហោះអាល់ហ្វា។
ចំហៀង AB នៃ rhombus ABCD ស្មើនឹង a មុំមួយគឺ 60 ដឺក្រេ។ យន្តហោះអាល់ហ្វាមួយត្រូវបានគូរកាត់ផ្នែក AB នៅចម្ងាយ a/2 ពីចំណុច D. a) ស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុច C ទៅយន្តហោះអាល់ហ្វា។ ខ) បង្ហាញក្នុងរូបភាពនៃមុំ dihedral លីនេអ៊ែរ DABM ។ M ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អាល់ហ្វា។ គ) រកស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះ rhombus និងយន្តហោះអាល់ហ្វា។
ចំហៀង AB នៃ rhombus ABCD គឺស្មើនឹង a ហើយមុំមួយរបស់វាស្មើនឹង 60 ដឺក្រេ។ យន្តហោះអាល់ហ្វាត្រូវបានគូសកាត់ចំហៀង AB នៅចម្ងាយ a2 ពីចំណុច D ។
ក) រកចំងាយពីចំណុច C ដល់យន្តហោះអាល់ហ្វា។
ខ) បង្ហាញក្នុងរូបភាពមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral DABM, M ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ pl ។ អាល់ហ្វា
គ) រកស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះ rhombus និងយន្តហោះអាល់ហ្វា។
ពិចារណាយន្តហោះ ទំ និងបន្ទាត់ត្រង់កាត់វា។ . អនុញ្ញាតឱ្យ ក - ចំណុចបំពានក្នុងលំហ។ ចូរយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ត្រង់ចំណុចនេះ។ , ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ . អនុញ្ញាតឱ្យ . ចំណុច ហៅថាការព្យាករនៃចំណុចមួយ។ កទៅយន្តហោះ ទំជាមួយនឹងការរចនាប៉ារ៉ាឡែលតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ . យន្តហោះ ទំ ចំនុចនៃលំហត្រូវបានព្យាករត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះព្យាករណ៍។
p - យន្តហោះព្យាករណ៍;
- ការរចនាដោយផ្ទាល់; ;
; ; ;
ការរចនារាងមូលគឺជាករណីពិសេសនៃការរចនាប៉ារ៉ាឡែល។ ការរចនាអ័រតូហ្គោន គឺជាការរចនាប៉ារ៉ាឡែល ដែលបន្ទាត់រចនាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលព្យាករ។ ការរចនាអ័រតូហ្គោនត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគំនូរបច្ចេកទេស ដែលតួលេខមួយត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះចំនួនបី - ផ្ដេក និងបញ្ឈរពីរ។
និយមន័យ:
ការព្យាករណ៍រាងពងក្រពើនៃចំណុចមួយ។ មទៅយន្តហោះ ទំហៅថាមូលដ្ឋាន ម ១កាត់កែង MM ១, បានធ្លាក់ចុះពីចំណុច មទៅយន្តហោះ ទំ.
ការកំណត់: , 
, .
និយមន័យ៖ ការព្យាកររាងមូលនៃតួលេខ ចទៅយន្តហោះ ទំគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលជាការព្យាកររាងមូលនៃសំណុំនៃចំណុចនៃរូប ចទៅយន្តហោះ ទំ.
ការរចនាអ័រតូហ្គោន ជាករណីពិសេសនៃការរចនាប៉ារ៉ាឡែល មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា៖
p - យន្តហោះព្យាករណ៍;
- ការរចនាដោយផ្ទាល់; ;
1) ;
2) , .
- ការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលគឺស្របគ្នា។
តំបន់គម្រោងនៃរូបភាពផ្ទះល្វែង
ទ្រឹស្តីបទ៖ តំបន់នៃពហុកោណនៃយន្តហោះទៅលើយន្តហោះជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងផ្ទៃពហុកោណដែលបានព្យាករគុណនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ពហុកោណនិងយន្តហោះព្យាករ។
ដំណាក់កាលទី 1: តួរលេខដែលបានព្យាករគឺជាត្រីកោណ ABC ដែលផ្នែកម្ខាងនៃ AC ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករ a (ស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ a) ។
បានផ្តល់ឱ្យ:
បញ្ជាក់:
ភស្តុតាង:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. ដោយទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបី;
វីឌី - កម្ពស់; B 1 D - កម្ពស់;
5. - មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral;
6. ; ; ; 
;
ដំណាក់កាលទី 2៖ តួរលេខដែលបានព្យាករគឺជាត្រីកោណ ABC ដែលមិនមានជ្រុងណាមួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះព្យាករ a ហើយមិនស្របនឹងវាទេ។
បានផ្តល់ឱ្យ:
បញ្ជាក់:
ភស្តុតាង:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(ដំណាក់កាលទី 1);
5. ; ; ;
(ដំណាក់កាលទី 1);
ដំណាក់កាល៖ តួលេខដែលបានរចនាគឺជាពហុកោណតាមអំពើចិត្ត។
ភស្តុតាង:
ពហុកោណត្រូវបានបែងចែកដោយអង្កត់ទ្រូងដែលទាញចេញពីកំពូលមួយទៅជាចំនួនកំណត់នៃត្រីកោណ ដែលទ្រឹស្តីបទនីមួយៗគឺពិត។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទក៏នឹងជាការពិតសម្រាប់ផលបូកនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណទាំងអស់ដែលយន្តហោះបង្កើតមុំដូចគ្នាជាមួយនឹងយន្តហោះព្យាករ។
មតិយោបល់: ទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់តួរលេខយន្តហោះណាមួយដែលជាប់នឹងខ្សែកោងបិទជិត។
លំហាត់:
1. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលយន្តហោះមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជាត្រីកោណធម្មតាដែលមានចំហៀង a ។
2. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលយន្តហោះមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាករណ៍របស់វាជាត្រីកោណ isosceles ដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 10 សង់ទីម៉ែត្រ និងមូលដ្ឋាន 12 សង់ទីម៉ែត្រ។
3. ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលយន្តហោះមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជាត្រីកោណដែលមានជ្រុង 9, 10 និង 17 សង់ទីម៉ែត្រ។
4. គណនាផ្ទៃនៃ trapezoid យន្តហោះដែលទំនោរទៅយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ ប្រសិនបើការព្យាកររបស់វាគឺជា isosceles trapezoid នោះមូលដ្ឋានធំជាងគឺ 44 សង់ទីម៉ែត្រ ចំហៀងគឺ 17 សង់ទីម៉ែត្រ និងអង្កត់ទ្រូង។ គឺ 39 សង់ទីម៉ែត្រ។
5. គណនាផ្ទៃការព្យាករនៃ hexagon ធម្មតាដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 8 សង់ទីម៉ែត្រ, យន្តហោះដែលមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះព្យាករនៅមុំមួយ។
6. rhombus ដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 12 សង់ទីម៉ែត្រនិងមុំស្រួចបង្កើតជាមុំមួយដែលមានយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គណនាផ្ទៃនៃការព្យាករនៃ rhombus ទៅលើយន្តហោះនេះ។
7. រូបចម្លាក់ដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 20 សង់ទីម៉ែត្រនិងអង្កត់ទ្រូងនៃ 32 សង់ទីម៉ែត្របង្កើតជាមុំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គណនាផ្ទៃនៃការព្យាករនៃ rhombus ទៅលើយន្តហោះនេះ។
8. ការព្យាករនៃ canopy មួយទៅលើយន្តហោះផ្ដេកគឺជាចតុកោណជាមួយភាគីនិង . ស្វែងរកផ្ទៃនៃដំបូល ប្រសិនបើមុខចំហៀងមានចតុកោណកែងស្មើគ្នា ទំនោរទៅប្លង់ផ្ដេកនៅមុំមួយ ហើយផ្នែកកណ្តាលនៃ canopy គឺជាការ៉េស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ។
11. លំហាត់លើប្រធានបទ "បន្ទាត់និងយន្តហោះក្នុងលំហ"៖
ជ្រុងនៃត្រីកោណស្មើនឹង 20 សង់ទីម៉ែត្រ 65 សង់ទីម៉ែត្រ 75 សង់ទីម៉ែត្រ ពីចំនុចកំពូលនៃមុំធំជាងនៃត្រីកោណ កាត់កែងដែលស្មើនឹង 60 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានគូរទៅប្លង់របស់វា រកចំងាយពីចុងកាត់កែងទៅ ជ្រុងធំជាងនៃត្រីកោណ។
2. ពីចំនុចមួយនៅចំងាយសង់ទីម៉ែត្រពីយន្តហោះ ចំនុចទំនោរពីរត្រូវបានគូរ បង្កើតមុំជាមួយយន្តហោះស្មើ និងមុំខាងស្តាំរវាងពួកវា។ រកចំងាយរវាងចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទំនោរ។
3. ផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណធម្មតាគឺ 12 សង់ទីម៉ែត្រ ចំនុច M ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះផ្នែកដែលតភ្ជាប់ចំណុច M ជាមួយចំនុចកំពូលទាំងអស់នៃត្រីកោណបង្កើតមុំជាមួយនឹងយន្តហោះរបស់វា។ រកចំងាយពីចំនុច M ទៅចំនុចកំពូល និងជ្រុងនៃត្រីកោណ។
4. យន្តហោះមួយត្រូវបានគូសកាត់ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េនៅមុំមួយទៅអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ។ រកមុំដែលជ្រុងទាំងពីរនៃការ៉េមានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះ។
5. ជើងនៃត្រីកោណកែង isosceles មានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់អ៊ីប៉ូតេនុសនៅមុំមួយ។ សូមបញ្ជាក់ថាមុំរវាងប្លង់ a និងប្លង់ត្រីកោណគឺស្មើនឹង .
6. មុំ dihedral រវាងប្លង់នៃត្រីកោណ ABC និង DBC គឺស្មើនឹង . រក AD ប្រសិនបើ AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm ។
សំណួរសាកល្បងលើប្រធានបទ "បន្ទាត់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ"
1. រាយគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ បង្កើត axioms នៃ stereometric ។
2. បង្ហាញផលវិបាកពី axioms ។
3. តើទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃបន្ទាត់ពីរក្នុងលំហ? ផ្តល់និយមន័យនៃបន្ទាត់ប្រសព្វ ប៉ារ៉ាឡែល និង skew ។
4. បង្ហាញសញ្ញានៃបន្ទាត់ skew ។
5. តើទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះគឺជាអ្វី? ផ្តល់និយមន័យនៃការប្រសព្វ បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងប្លង់។
6. បង្ហាញសញ្ញានៃភាពស្របគ្នារវាងបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
7. តើអ្វីជាទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃយន្តហោះទាំងពីរ?
8. កំណត់ប្លង់ប៉ារ៉ាឡែល។ បង្ហាញសញ្ញាថាយន្តហោះពីរស្របគ្នា។ ទ្រឹស្តីបទរដ្ឋអំពីយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល។
9. កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់។
10. បង្ហាញសញ្ញានៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
11. កំណត់មូលដ្ឋាននៃកាត់កែង មូលដ្ឋាននៃទំនោរមួយ ការព្យាករណ៍នៃទំនោរទៅលើយន្តហោះ។ បង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់កាត់កែង និងទំនោរធ្លាក់លើយន្តហោះពីចំណុចមួយ។
12. កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។
13. បង្ហាញទ្រឹស្តីបទអំពីបីកាត់កែង។
14. ផ្តល់និយមន័យនៃមុំ dihedral, មុំលីនេអ៊ែរនៃ dihedral angle ។
15. បង្ហាញសញ្ញានៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះពីរ។
16. កំណត់ចំងាយរវាងចំនុចពីរផ្សេងគ្នា។
17. កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។
18. កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។
19. កំណត់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះស្របទៅនឹងវា។
20. កំណត់ចម្ងាយរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល។
21. កំណត់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ។
22. កំណត់ការព្យាករ orthogonal នៃចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះមួយ។
23. កំណត់ការព្យាករ orthogonal នៃតួលេខនៅលើយន្តហោះមួយ។
24. បង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការព្យាករលើយន្តហោះ។
25. បង្កើតនិងបង្ហាញទ្រឹស្ដីមួយលើផ្ទៃព្យាករនៃពហុកោណយន្តហោះ។