បន្សំ។ ទីតាំង។ ការរៀបចំឡើងវិញ

ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាបន្សំដែលផ្សំឡើងដោយភាពដូចគ្នា។ នធាតុផ្សេងគ្នានិងខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់ពួកគេ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមាន

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។៖ តើលេខបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានពីខ្ទង់ 1,2,3 បើខ្ទង់នីមួយៗបង្ហាញក្នុងរូបភាពនៃលេខតែម្តង?

ដំណោះស្រាយ៖

ឬដូចនេះ ឧទាហរណ៍. លំដាប់​ដែល​អ្នក​ចូល​រួម​ប្រាំពីរ​នាក់​និយាយ​នៅ​ក្នុង​សន្និសីទ​និស្សិត​ត្រូវ​កំណត់​ដោយ​លេខ​ឆ្នោត។ តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការចាប់ឆ្នោត?

ដំណោះស្រាយ៖បំរែបំរួលនីមួយៗនៃការចាប់ឆ្នោតខុសគ្នាតែតាមលំដាប់នៃអ្នកចូលរួម ពោលគឺវាជាការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 7 ។ លេខរបស់ពួកគេគឺ

ឧទាហរណ៍។មនុស្ស 4 នាក់​បាន​ចូល​ទៅ​កាន់​បញ្ជី​សាច់ប្រាក់​ក្នុង​ពេល​តែ​មួយ​ដើម្បី​ទទួល​ប្រាក់។ តើ​គេ​អាច​តម្រង់​ជួរ​បាន​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង?

ដំណោះស្រាយ៖ជួរមានមនុស្ស 4 នាក់ផ្សេងគ្នា ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រនៃការតម្រង់ជួរនីមួយៗត្រូវគិតពីលំដាប់ដែលពួកគេស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះ​មាន​ការ​ប្រែប្រួល​នៃ​មនុស្ស​បួន​នាក់​ចំនួន​របស់​ពួក​គេ​គឺ​ស្មើ​នឹង​

ទីតាំង នធាតុផ្សេងៗគ្នាយោងទៅតាម មធាតុដែលខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងលំដាប់ ឬនៅក្នុងសមាសភាពនៃធាតុ។

ចំនួននៃការដាក់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានគណនា

ឧទាហរណ៍៖តើអ្នកអាចបង្កើតសញ្ញាបានប៉ុន្មានពីទង់ជាតិចំនួន 6 ដែលមានពណ៌ខុសៗគ្នា ដោយយកជាពីរ?

ដំណោះស្រាយ៖

ឧទាហរណ៍៖កាលវិភាគមួយថ្ងៃមានប្រាំមេរៀន។ កំណត់ចំនួននៃជម្រើសកាលវិភាគនៅពេលជ្រើសរើសពី 11 វិញ្ញាសា។

ដំណោះស្រាយ៖ជម្រើសកាលវិភាគនីមួយៗតំណាងឱ្យសំណុំនៃ 5 វិញ្ញាសាក្នុងចំណោម 11 ដែលខុសពីជម្រើសផ្សេងទៀតទាំងនៅក្នុងសមាសភាពនៃវិញ្ញាសានិងនៅក្នុងលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានអនុវត្តតាម នោះគឺជាការរៀបចំនៃធាតុ 11 នៃ 5 នីមួយៗ នៃជម្រើសកាលវិភាគត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

បន្សំគឺជាបន្សំដែលផលិតពី នធាតុផ្សេងៗគ្នាយោងទៅតាម មធាតុដែលខុសគ្នាយ៉ាងហោចណាស់មួយធាតុ។ ចំនួនបន្សំ

ឧទាហរណ៍៖តើអ្នកអាចជ្រើសរើស 2 ផ្នែកក្នុងប្រអប់ដែលមាន 10 ផ្នែកបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ៖

ឧទាហរណ៍៖មនុស្ស 16 នាក់ចូលរួមក្នុងការប្រកួតអុក។ តើការប្រកួតត្រូវលេងប៉ុន្មានក្នុងការប្រកួត ប្រសិនបើហ្គេមមួយត្រូវលេងរវាងអ្នកចូលរួមពីរនាក់?

ដំណោះស្រាយ៖ហ្គេមនីមួយៗត្រូវបានលេងដោយអ្នកចូលរួមពីរនាក់ក្នុងចំណោម 16 នាក់ ហើយខុសគ្នាតែនៅក្នុងសមាសភាពនៃគូនៃអ្នកចូលរួម ពោលគឺវាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ 16 ធាតុនៃពីរ។

ឧទាហរណ៍៖មានបាក់តេរី 6 ប្រភេទ។ ដើម្បីកំណត់អត្រាកំណើនរបស់ពួកគេ ពូជបីត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ៖វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសត្រូវបានចាត់ទុកថាខុសគ្នា ប្រសិនបើសំពាធដែលបានជ្រើសរើសនីមួយៗមានភាពខុសគ្នានៅក្នុងធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ លេខនេះ។

នោះគឺមាន 20 វិធី។

យើងសង្កត់ធ្ងន់ថាចំនួននៃការដាក់ ការអនុញ្ញាត និងបន្សំត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាព

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា combinatorics ច្បាប់ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ។

ច្បាប់​សរុប៖ប្រសិនបើវត្ថុមួយចំនួន កអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំនៃវត្ថុមួយ។ មវិធី និងវត្ថុផ្សេងទៀត។ INអាចត្រូវបានជ្រើសរើស នវិធី បន្ទាប់មកជ្រើសរើសទាំងពីរ ក, ឬ INអាចធ្វើទៅបានតាមវិធី។

ច្បាប់ផលិតផល៖ប្រសិនបើវត្ថុ កអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំនៃវត្ថុមួយ។ មវិធី និងបន្ទាប់ពីជម្រើសនីមួយៗ វត្ថុ INអាចជ្រើសរើសបាន។ នវិធី បន្ទាប់មកវត្ថុមួយគូ ( ក, ខ)នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានជ្រើសរើសដោយវិធីសាស្រ្ត។

ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k ន kកូអរដោនេផ្សេងគ្នា។

ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖តើ​អ្នក​អាច​បង្កើត​លេខ​ 3 ខ្ទង់​ដែល​មាន​លេខ​ខុស​គ្នា​ដែល​មិន​មាន​លេខ 0 តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន?

ចំនួនខ្ទង់
, វិមាត្រនៃវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នា

ចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗ

ចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k គឺជាចំនួននៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន នធាតុផ្សេងគ្នាបង្កើតវ៉ិចទ័រជាមួយ kកូអរដោណេ ដែលខ្លះអាចដូចគ្នាបេះបិទ។

ចំនួននៃការដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

.

ឧទាហរណ៍៖តើ​ពាក្យ​ប្រវែង ៦ អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ចេញ​ពី ២៦ អក្សរ​នៃ​អក្ខរក្រម​ឡាតាំង​ប៉ុន្មាន?

ចំនួនអក្សរ
, វិមាត្រវ៉ិចទ័រ

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ធាតុ គឺជាចំនួនវិធីដែលវាអាចត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងផ្សេងៗគ្នា នធាតុផ្សេងៗ។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

.

មតិយោបល់៖ថាមពលនៃសំណុំដែលត្រូវការ កវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដោយប្រើរូបមន្ត៖
, កន្លែងណា X- ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសកន្លែងដែលចង់បាន; នៅ- ចំនួននៃវិធីដើម្បីរៀបចំធាតុចាំបាច់នៅលើពួកវា; z- ចំនួនវិធីរៀបចំធាតុដែលនៅសល់នៅកន្លែងដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍។តើសៀវភៅ 5 ប្រភេទផ្សេងគ្នាអាចរៀបចំនៅលើធ្នើសៀវភៅបានប៉ុន្មាន? តើសៀវភៅ A និង B ពីរនៅជាប់គ្នាក្នុងប៉ុន្មានករណី?

ចំនួនសរុបនៃវិធីដើម្បីរៀបចំសៀវភៅចំនួន 5 ក្នុង 5 កន្លែងគឺស្មើនឹង = 5! = 120.

នៅក្នុងបញ្ហា X- ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសកន្លែងពីរនៅជិត, X= 4;នៅ- ចំនួនវិធីដើម្បីរៀបចំសៀវភៅពីរនៅពីរកន្លែង នៅ = 2! = 2; z- ចំនួនវិធីដើម្បីដាក់សៀវភៅ 3 ដែលនៅសល់ក្នុង 3 កន្លែងដែលនៅសល់, z= ៣! = 6. ដូច្នេះ
= 48.

ចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ

ចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k គឺជាចំនួននៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន នធាតុផ្សេងគ្នាដើម្បីជ្រើសរើស kបំណែកដោយមិនគិតពីការបញ្ជាទិញ។

ចំនួននៃបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

.

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

ឧទាហរណ៍។មានបាល់ចំនួន 7 នៅក្នុងកោដ្ឋ។ ក្នុង​នោះ​មាន​៣​ពណ៌​ស​។ បាល់ចំនួន 3 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន? តើមានមនុស្សស្បែកសម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេប៉ុន្មានករណី?

វិធីសរុប
. ដើម្បីទទួលបានចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសបាល់ពណ៌ស 1 (ក្នុងចំណោម 3 គ្រាប់ពណ៌ស) និង 2 គ្រាប់ខ្មៅ (ក្នុងចំណោម 4 គ្រាប់ខ្មៅ) អ្នកត្រូវគុណ
និង
ដូច្នេះចំនួននៃវិធីដែលត្រូវការ

លំហាត់

1. ក្នុងចំណោមសិស្ស 35 នាក់នៅក្នុងថ្នាក់នៅចុងឆ្នាំ 14 មនុស្សមាន "5" នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា - 15 នាក់; គីមីវិទ្យា - 18 នាក់; នៅក្នុងគណិតវិទ្យានិងរូបវិទ្យា - 7 នាក់; ក្នុងគណិតវិទ្យា និងគីមីវិទ្យា - ៩នាក់; នៅក្នុងរូបវិទ្យានិងគីមីវិទ្យា - 6 នាក់; នៅក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងបី - 4 នាក់។ តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមាន "5" នៅក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងនេះ? តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមិនមាន "A" ក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងនេះ? មាន “A” តែក្នុងគណិតវិទ្យាទេ? មាន "A" ត្រឹមតែពីរមុខវិជ្ជាទេ?

2. ក្នុងក្រុមសិស្ស 30 នាក់ គ្រប់គ្នាដឹងយ៉ាងហោចណាស់ភាសាបរទេសមួយ គឺភាសាអង់គ្លេស ឬអាល្លឺម៉ង់។ សិស្ស 22 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេស 17 នាក់និយាយភាសាអាឡឺម៉ង់តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ចេះភាសាទាំងពីរ? តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់ តែមិនចេះភាសាអង់គ្លេស?

3. និស្សិតមកពីប្រទេសរុស្ស៊ីរស់នៅក្នុង 20 បន្ទប់នៃអន្តេវាសិកដ្ឋាននៃវិទ្យាស្ថានមិត្តភាពប្រជាជន; នៅក្នុង 15 - ពីអាហ្វ្រិក; 20 មកពីបណ្តាប្រទេសនៅអាមេរិកខាងត្បូង។ លើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុង 7 - ជនជាតិរុស្ស៊ីនិងអាហ្វ្រិករស់នៅ, ក្នុង 8 - ជនជាតិរុស្ស៊ីនិងអាមេរិកខាងត្បូង; នៅក្នុង 9 - អាហ្វ្រិកនិងអាមេរិកខាងត្បូង; នៅក្នុង 3 - រុស្ស៊ី អាមេរិកខាងត្បូង និងអាហ្វ្រិក។ តើសិស្សរស់នៅប៉ុន្មានបន្ទប់៖ 1) មកពីទ្វីបតែមួយ; 2) តែមកពីទ្វីបពីរ; 3) មានតែជនជាតិអាហ្វ្រិកប៉ុណ្ណោះ។

4. សិស្សម្នាក់ៗក្នុងចំនោម 500 នាក់ត្រូវបានតម្រូវឱ្យចូលរៀនយ៉ាងហោចណាស់វគ្គពិសេសមួយក្នុងចំនោមបីមុខវិជ្ជាគឺ គណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ។ វគ្គសិក្សាពិសេសចំនួនបីត្រូវបានចូលរួមដោយសិស្សចំនួន 10 នាក់ ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា - សិស្ស 30 នាក់ ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ - 25 នាក់; វគ្គសិក្សាពិសេសផ្នែករូបវិទ្យា - សិស្ស 80 នាក់។ គេ​ដឹង​ដែរ​ថា សិស្ស​ចំនួន ៣៤៥​នាក់​ចូល​រៀន​វគ្គ​ពិសេស​មួយ​ផ្នែក​គណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា ១៤៥​នាក់ និង​តារាសាស្ត្រ ១០០​នាក់។ តើ​មាន​សិស្ស​ប៉ុន្មាន​នាក់​ដែល​រៀន​វគ្គ​ពិសេស​ផ្នែក​តារាសាស្ត្រ? តើ​មាន​សិស្ស​ប៉ុន្មាន​នាក់​រៀន​វគ្គ​ពិសេស​ពីរ?

5. ប្រធាន​វគ្គ​បាន​ធ្វើ​បទ​បង្ហាញ​អំពី​ការងារ​អប់រំ​កាយ​ដូច​ខាង​ក្រោម។ សរុប - សិស្ស 45 នាក់។ ផ្នែកបាល់ទាត់ - 25 នាក់ ផ្នែកបាល់បោះ - 30 នាក់ ផ្នែកអុក - 28 នាក់។ ជាមួយគ្នានេះដែរ មនុស្សចំនួន ១៦ នាក់ ចូលរួមក្នុងពេលដំណាលគ្នា ផ្នែកបាល់ទាត់ និងបាល់បោះ ១៨ នាក់ - បាល់ទាត់ និងអុក ១៧ - បាល់បោះ និងអុក ១៥ នាក់ចូលរួមទាំងបីផ្នែក។ ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលរបាយការណ៍មិនត្រូវបានទទួលយក។

6. មានត្រីចំនួន 11 នៅក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រី។ ក្នុង​នោះ​មាន​៤​ពណ៌​ក្រហម សល់​ពណ៌​មាស។ ត្រីចំនួន ៤ ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន? ស្វែងរកចំនួនវិធីដើម្បីធ្វើដូច្នេះថាក្នុងចំណោមពួកគេមាន: 1) ពិតប្រាកដមួយគឺក្រហម; 2) ពិតប្រាកដ 2 មាស; 3) យ៉ាងហោចណាស់មួយមានពណ៌ក្រហម។

7. មាន 8 ឈ្មោះក្នុងបញ្ជី។ ក្នុង​នោះ​ស្រី​៤​នាក់ ។ តើ​គេ​អាច​បែងចែក​ជា​ពីរ​ក្រុម​ស្មើៗ​គ្នា​បាន​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង ទើប​ម្នាក់ៗ​មាន​នាម​ត្រកូល​ស្រី?

8. ពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹក សូមជ្រើសរើស 4 ។ តើមានវិធីប៉ុន្មានយ៉ាងដែលអាចធ្វើបានដូច្នេះ៖ 1) សន្លឹកបៀទាំងអស់មានលក្ខណៈខុសៗគ្នា។ 2) សន្លឹកបៀទាំងអស់មានឈុតដូចគ្នា; ៣) ក្រហម ២ និងខ្មៅ ២ ។

9. នៅលើសន្លឹកបៀអក្ខរក្រមកាត់មានអក្សរ K, K, K, U, U, A, E, R. តើអ្នកអាចដាក់ពួកវាជាជួរៗបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យវាប្រែជា “ក្អែក”។

10. សន្លឹកបៀនៃអក្ខរក្រមកាត់ដែលមានអក្សរ O, T, O, L, O, R, I, N, G, O, L, O, G ត្រូវបត់បានប៉ុន្មានវិធី ដើម្បីអោយពាក្យ “។ otolaryngologist” ត្រូវបានបង្កើតឡើង?

11. សន្លឹកបៀដែលកាត់អក្ខរក្រមដែលមានអក្សរ L, I, T, E, R, A, T, U, R, A តើអ្នកអាចដាក់ពួកវាក្នុងជួរបានប៉ុន្មានវិធី ទើបអ្នកទទួលបានពាក្យ "អក្សរសិល្ប៍" .

12. 8 នាក់ឈរតម្រង់ជួរ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យមនុស្សជាក់លាក់ A និង B ពីរនាក់គឺ: 1) នៅជាប់គ្នា; 2) នៅគែមនៃជួរ;

13. 10 នាក់អង្គុយនៅតុមូលមួយដែលមាន 10 កៅអី។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី ដើម្បីឲ្យមនុស្សខាងក្រោមនៅក្បែរនោះ៖ 1) មនុស្សជាក់លាក់ពីរនាក់ A និង B; 2) មនុស្សជាក់លាក់បីនាក់ A, B និង C ។

14. លេខអារ៉ាប់ 10 បង្កើតជាលេខកូដ 5 ខ្ទង់។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបណាខ្លះ៖ 1) លេខទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ 2) កន្លែងចុងក្រោយគឺជាលេខគូ។

15. 26 អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង (រួមទាំងស្រៈ 6) បង្កើតជាពាក្យប្រាំមួយអក្សរ។ តើវាអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យពាក្យមាន: 1) អក្សរ "a" ពិតប្រាកដមួយ; 2) អក្សរស្រៈមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ; ពិតប្រាកដពីរអក្សរ "a"; គ) ស្រៈពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។

16. តើលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មានចែកនឹង 5?

17. តើលេខបួនខ្ទង់ដែលមានលេខខុសគ្នាប៉ុន្មានត្រូវបែងចែកដោយ 25?

19. គ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 ត្រូវបានបោះចោល។ តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មានករណី៖ 1) ពិតប្រាកដ 1 "ប្រាំមួយ"; 2) យ៉ាងហោចណាស់មួយ "ប្រាំមួយ" ។

20. គ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 ត្រូវបានបោះចោល។ តើមានប៉ុន្មានករណី៖ 1) មនុស្សគ្រប់រូបគឺខុសគ្នា។ 2) ចំនួនពិន្ទុដូចគ្នាទាំងពីរ។

21. តើពាក្យប៉ុន្មានដែលមានអក្សរផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតចេញពីអក្ខរក្រម a, b, c, d ។ រាយពួកវាទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ៖ abcd, abcd…។

នៅក្នុង combinatorics ពួកគេសិក្សាសំណួរអំពីចំនួនបន្សំនៃប្រភេទជាក់លាក់មួយដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ធាតុ) ។

កំណើតនៃ combinatorics ជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងស្នាដៃរបស់ B. Pascal និង P. Fermat លើទ្រឹស្តីនៃល្បែង។ ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តផ្សំត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ G.V. Leibniz, J. Bernoulli និង L. Euler ។

ទស្សនវិទូ អ្នកនិពន្ធ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យាជនជាតិបារាំង Blaise Pascal (1623-1662) បានបង្ហាញសមត្ថភាពគណិតវិទ្យាដ៏ឆ្នើមរបស់គាត់តាំងពីដើមដំបូងមក។ ចំណាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យារបស់ Pascal មានភាពចម្រុះណាស់។ Pascal បានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទសំខាន់មួយនៃធរណីមាត្រទស្សន៍ទាយ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal) ដែលបានរចនាម៉ាស៊ីនបូកសរុប (ម៉ាស៊ីនបន្ថែមរបស់ Pascal) បានផ្តល់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាមេគុណ binomial (Pascal's triangle) គឺជាអ្នកដំបូងដែលកំណត់បានត្រឹមត្រូវ និងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ សម្រាប់ភ័ស្តុតាង និងបានធ្វើឱ្យជំហានដ៏សំខាន់មួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃការវិភាគគ្មានដែនកំណត់ បានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅក្នុង hydrostatics Pascal បានបង្កើតច្បាប់មូលដ្ឋានរបស់ខ្លួន (ច្បាប់របស់ Pascal) ។ "លិខិតទៅខេត្តមួយ" របស់ Pascal គឺជាស្នាដៃនៃសុភាសិតបុរាណបារាំង។

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) - ទស្សនវិទូអាឡឺម៉ង់ គណិតវិទូ រូបវិទ្យា និងអ្នកបង្កើត មេធាវី ប្រវត្តិវិទូ ភាសាវិទូ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា រួមជាមួយនឹង I. Newton គាត់បានបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។ គាត់បានចូលរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះ combinatorics ។ ជាពិសេសឈ្មោះរបស់គាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាទ្រឹស្តីលេខ។

Gottfried Wilhelm Leibniz មានរូបរាងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍តិចតួច ដូច្នេះហើយបានផ្តល់ចំណាប់អារម្មណ៍ដល់មនុស្សដែលមានរូបរាងសាមញ្ញ។ ថ្ងៃមួយនៅទីក្រុងប៉ារីស គាត់បានចូលទៅក្នុងហាងលក់សៀវភៅដោយសង្ឃឹមថានឹងទិញសៀវភៅដោយទស្សនវិទូដែលគាត់ស្គាល់។ ពេល​ភ្ញៀវ​សួរ​អំពី​សៀវភៅ​នេះ អ្នក​លក់​សៀវភៅ​បាន​ពិនិត្យ​មើល​គាត់​ពី​ក្បាល​ដល់​ចុង​ជើង ហើយ​និយាយ​បែប​ចំអក​ថា៖ «ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​អ្នក​ត្រូវ​ការ​វា? តើអ្នកពិតជាមានសមត្ថភាពអានសៀវភៅបែបនេះមែនទេ? មុនពេលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមានពេលឆ្លើយ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅខ្លួនឯងបានចូលហាងដោយពាក្យថា “ជំរាបសួរ និងគោរពចំពោះមហាលីបនីស!” អ្នកលក់មិនអាចយល់ថានេះពិតជា Leibniz ដ៏ល្បីល្បាញ ដែលសៀវភៅរបស់គាត់មានតម្រូវការខ្លាំងក្នុងចំណោមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។

នៅពេលអនាគត ខាងក្រោមនេះនឹងដើរតួយ៉ាងសំខាន់

លេម៉ា។អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយនិងនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយ។ បន្ទាប់មកចំនួនគូផ្សេងគ្នាទាំងអស់ដែលនឹងត្រូវស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង។ជាការពិតណាស់ ជាមួយនឹងធាតុមួយពីសំណុំមួយ យើងអាចបង្កើតគូផ្សេងគ្នា និងសរុបនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយ។

ទីតាំង, ការផ្លាស់ប្តូរ, បន្សំ

សូមឱ្យយើងមានសំណុំនៃធាតុបី។ តើ​យើង​អាច​ជ្រើសរើស​ធាតុ​ពីរ​ក្នុង​ចំណោម​ធាតុ​ទាំង​នេះ​តាម​វិធី​ណា​ខ្លះ?

និយមន័យ។ការរៀបចំនៃសំណុំនៃធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុគឺជាបន្សំដែលត្រូវបានផ្សំឡើងនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុហើយខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងធាតុខ្លួនឯងឬតាមលំដាប់នៃធាតុ។

ចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុត្រូវបានតាងដោយ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "ការរៀបចំ" ដែលមានន័យថាការរៀបចំ) កន្លែងនិង។

ទ្រឹស្តីបទ។ចំនួននៃការដាក់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុគឺស្មើនឹង

ភស្តុតាង។ឧបមាថាយើងមានធាតុ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានទីតាំងដែលអាចធ្វើបាន។ យើងនឹងសាងសង់កន្លែងទាំងនេះតាមលំដាប់លំដោយ។ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់ធាតុដាក់ទីមួយ។ ពីសំណុំធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យវាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធីផ្សេងៗ។ បន្ទាប់ពីជ្រើសរើសធាតុទីមួយ វានៅតែមានជម្រើសសម្រាប់ជ្រើសរើសធាតុទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដោយសារជម្រើសបែបនេះនីមួយៗផ្តល់កន្លែងថ្មី ជម្រើសទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាដោយសេរីជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះយើងមាន៖

ឧទាហរណ៍។តើទង់ជាតិអាចផ្សំឡើងដោយឆ្នូតផ្តេកបីនៃពណ៌ផ្សេងគ្នាបានប៉ុនណា ប្រសិនបើមានសម្ភារៈជាប្រាំពណ៌?

ដំណោះស្រាយ។ចំនួនដែលត្រូវការនៃទង់បីក្រុម៖

និយមន័យ។ Permutation of a set of element គឺជាការរៀបចំធាតុក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។

ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុបីគឺ

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "ការផ្លាស់ប្តូរ" ដែលមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" "ចលនា") ។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍។តើ 8 rooks អាចដាក់នៅលើក្តារអុកដោយវិធីណាដែលពួកគេមិនប៉ះគ្នា?

នៅក្នុង combinatorics ពួកគេសិក្សាសំណួរអំពីចំនួនបន្សំនៃប្រភេទជាក់លាក់មួយដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ធាតុ) ។

កំណើតនៃ combinatorics ជាសាខាមួយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការងាររបស់ B. Pascal និង P. Fermat លើទ្រឹស្តីនៃល្បែង។ ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានធ្វើឡើងដោយ G.V. Leibniz, J. Bernoulli និង L. Euler ។

ទស្សនវិទូ អ្នកនិពន្ធ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យាជនជាតិបារាំង Blaise Pascal (1623-1662) បានបង្ហាញសមត្ថភាពគណិតវិទ្យាដ៏ឆ្នើមរបស់គាត់តាំងពីដើមដំបូងមក។ ចំណាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យារបស់ Pascal មានភាពចម្រុះណាស់។ Pascal បាន​បង្ហាញ​រឿង​មួយ។
ពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រព្យាករណ៍ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Pascal) បានរចនាម៉ាស៊ីនបូកសរុប (ម៉ាស៊ីនបន្ថែមរបស់ Pascal) បានផ្តល់វិធីសាស្ត្រសម្រាប់គណនាមេគុណធរណីមាត្រ (ត្រីកោណ Pascal) គឺជាអ្នកដំបូងដែលកំណត់បានត្រឹមត្រូវ និងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាសម្រាប់ភស្តុតាង។ បានបង្កើតជំហានដ៏សំខាន់មួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃការវិភាគគ្មានកំណត់ ដែលបានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅក្នុង hydrostatics Pascal បានបង្កើតច្បាប់មូលដ្ឋានរបស់ខ្លួន (ច្បាប់របស់ Pascal) ។ "លិខិតទៅខេត្តមួយ" របស់ Pascal គឺជាស្នាដៃនៃសុភាសិតបុរាណបារាំង។

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) គឺជាទស្សនវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ គណិតវិទូ រូបវិទ្យា និងជាអ្នកបង្កើត មេធាវី ប្រវត្តិវិទូ និងភាសាវិទូ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា រួមជាមួយនឹង I. Newton គាត់បានបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។ គាត់បានចូលរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះ combinatorics ។ ជាពិសេសឈ្មោះរបស់គាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាទ្រឹស្តីលេខ។

Gottfried Wilhelm Leibniz មានរូបរាងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍តិចតួច ដូច្នេះហើយបានផ្តល់នូវចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះមនុស្សដែលមានរូបរាងសាមញ្ញ។ ថ្ងៃមួយនៅទីក្រុងប៉ារីស គាត់បានចូលទៅក្នុងហាងលក់សៀវភៅដោយសង្ឃឹមថានឹងទិញសៀវភៅដោយទស្សនវិទូដែលគាត់ស្គាល់។ ពេល​ភ្ញៀវ​សួរ​អំពី​សៀវភៅ​នេះ អ្នក​លក់​សៀវភៅ​បាន​ពិនិត្យ​មើល​គាត់​ពី​ក្បាល​ដល់​ចុង​ជើង ហើយ​និយាយ​បែប​ចំអក​ថា៖ «ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​អ្នក​ត្រូវ​ការ​វា? តើអ្នកពិតជាមានសមត្ថភាពអានសៀវភៅបែបនេះមែនទេ? មុនពេលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមានពេលឆ្លើយ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅខ្លួនឯងបានចូលហាងដោយពាក្យថា “ជំរាបសួរ និងគោរពចំពោះមហាលីបនីស!” អ្នកលក់មិនអាចយល់ថានេះពិតជា Leibniz ដ៏ល្បីល្បាញ ដែលសៀវភៅរបស់គាត់មានតម្រូវការខ្លាំងក្នុងចំណោមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។

នៅពេលអនាគត ខាងក្រោមនេះនឹងដើរតួយ៉ាងសំខាន់

លេម៉ា។អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយហើយនៅក្នុងសំណុំមួយ - ធាតុ។ បន្ទាប់មកចំនួនគូផ្សេងគ្នាទាំងអស់ដែលនឹងស្មើនឹង .

ភស្តុតាង។ជាការពិតណាស់ ជាមួយនឹងធាតុមួយពីសំណុំមួយ យើងអាចបង្កើតគូផ្សេងគ្នា និងសរុបនៅក្នុងសំណុំនៃធាតុមួយ។

ទីតាំង, ការផ្លាស់ប្តូរ, បន្សំ

សូមឱ្យយើងមានសំណុំនៃធាតុបី។ តើ​យើង​អាច​ជ្រើស​រើស​ធាតុ​ទាំង​ពីរ​នេះ​តាម​វិធី​ណា​ខ្លះ? .

និយមន័យ។ការរៀបចំសំណុំនៃធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុគឺជាបន្សំដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ > ធាតុ ហើយខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងធាតុខ្លួនឯង ឬតាមលំដាប់នៃធាតុ។

ចំនួននៃការរៀបចំទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុត្រូវបានតាងដោយ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "ការរៀបចំ" ដែលមានន័យថាការរៀបចំ) កន្លែងនិង .

ទ្រឹស្តីបទ។ចំនួននៃការដាក់នៃសំណុំនៃធាតុដោយធាតុគឺស្មើនឹង

ភស្តុតាង។ឧបមាថាយើងមានធាតុ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានទីតាំងដែលអាចធ្វើបាន។ យើងនឹងសាងសង់កន្លែងទាំងនេះតាមលំដាប់លំដោយ។ ដំបូង​យើង​កំណត់​ធាតុ​ដាក់​ដំបូង។ ពីសំណុំធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យវាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធីផ្សេងៗ។ បន្ទាប់​ពី​ជ្រើស​រើស​ធាតុ​ទី​មួយ​ហើយ នៅ​មាន​វិធី​ជ្រើស​រើស​ធាតុ​ទី​ពីរ។ល។ ដោយសារជម្រើសបែបនេះនីមួយៗផ្តល់កន្លែងថ្មី ជម្រើសទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាដោយសេរីជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះយើងមាន៖

ឧទាហរណ៍។តើទង់ជាតិអាចផ្សំឡើងដោយឆ្នូតផ្តេកចំនួនបីនៃពណ៌ផ្សេងគ្នាបានប៉ុនណា ប្រសិនបើមានសម្ភារៈជាប្រាំពណ៌?

ដំណោះស្រាយ។ចំនួនដែលត្រូវការនៃទង់បីក្រុម៖

និយមន័យ។ Permutation of a set of element គឺជាការរៀបចំធាតុក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។

ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់នៃសំណុំនៃធាតុបីគឺ

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុទាំងអស់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "permutation" ដែលមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" "ចលនា") ។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាទាំងអស់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍។តើ rooks ត្រូវបានដាក់នៅលើ chessboard តាមរបៀបប៉ុន្មានដើម្បីកុំឱ្យពួកគេវាយប្រហារគ្នាទៅវិញទៅមក?

ដំណោះស្រាយ។ចំនួន rooks ដែលត្រូវការ

អា-ព្រីរី!

និយមន័យ។បន្សំនៃធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុគឺជាការបន្សំដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុហើយខុសគ្នាយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយ (នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត -element សំណុំរងនៃសំណុំនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងបន្សំមិនដូចកន្លែងដាក់លំដាប់នៃធាតុមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាទេ។ ចំនួននៃបន្សំនៃធាតុ ធាតុនីមួយៗត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ (ពីអក្សរដំបូងនៃពាក្យបារាំង "បន្សំ" ដែលមានន័យថា "បន្សំ") ។

លេខ

បន្សំទាំងអស់ពីសំណុំពីរគឺ .

លក្ខណសម្បត្តិនៃលេខ (\sf C)_n^k

ជាការពិតណាស់ សំណុំរង -element នីមួយៗនៃសំណុំ -element ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគ្នាទៅនឹងសំណុំរងមួយ និងតែមួយ -element នៃសំណុំដូចគ្នា។

ជាការពិត យើងអាចជ្រើសរើសសំណុំរងនៃធាតុតាមវិធីខាងក្រោម៖ ជួសជុលធាតុមួយ; ចំនួននៃសំណុំរង -element ដែលមានធាតុនេះគឺស្មើនឹង ; ចំនួននៃសំណុំរង -element ដែលមិនមានធាតុនេះគឺស្មើនឹង .

ត្រីកោណ Pascal

នៅក្នុងត្រីកោណនេះ លេខខ្លាំងក្នុងជួរនីមួយៗគឺស្មើនឹង 1 ហើយលេខដែលមិនខ្លាំងនីមួយៗគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលេខទាំងពីរខាងលើវាពីជួរមុន។ ដូច្នេះត្រីកោណនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលេខ។

ទ្រឹស្តីបទ។

ភស្តុតាង។ចូរយើងពិចារណាលើសំណុំនៃធាតុមួយ ហើយដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមតាមពីរវិធី៖ តើមានលំដាប់ប៉ុន្មានដែលអាចធ្វើបានពីធាតុនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
កំណត់ក្នុងធាតុនីមួយៗដែលមិនមានធាតុលេចឡើងពីរដង?

1 វិធី។ យើងជ្រើសរើសសមាជិកទីមួយនៃលំដាប់ បន្ទាប់មកទីពីរ ទីបី។ល។ សមាជិក

វិធីសាស្រ្ត 2 ។ ដំបូង​យើង​ជ្រើសរើស​ធាតុ​ពី​សំណុំ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ហើយ​បន្ទាប់​មក​រៀបចំ​វា​តាម​លំដាប់​ខ្លះ

គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនេះដោយ៖

ឧទាហរណ៍។តើអ្នកអាចជ្រើសរើសលេខ 5 ក្នុងចំណោម 36 ក្នុងហ្គេម “Sportloto” បានប៉ុន្មាន?

ចំនួនមធ្យោបាយដែលត្រូវការ

ភារកិច្ច។

1. ស្លាក​លេខ​រថយន្ត​មាន​អក្សរ​រុ​ស្សី​ចំនួន​៣​តួ (៣៣​តួ​) និង​លេខ​៤ ។ តើ​មាន​ស្លាក​លេខ​ខុស​គ្នា​ប៉ុន្មាន​?
2. មានកូនសោចំនួន 88 នៅលើព្យាណូ។ តើអ្នកអាចបង្កើតសំឡេងចំនួន ៦ ជាប់ៗគ្នាបានប៉ុន្មាន?
3. តើ​មាន​លេខ​ប្រាំមួយ​ខ្ទង់​ប៉ុន្មាន​ដែល​ចែក​នឹង 5?
4. តើកាក់ 7 ផ្សេងគ្នាអាចដាក់ក្នុងហោប៉ៅបីបានប៉ុន្មាន?
5. តើ​លេខ​ប្រាំ​ខ្ទង់​ប៉ុន្មាន​ដែល​អ្នក​អាច​ធ្វើ​ឱ្យ​មាន​លេខ 5 យ៉ាង​ហោច​ម្តង​ក្នុង​សញ្ញា​គោល​ដប់​របស់​វា?
6. តើមនុស្ស 20 នាក់អាចអង្គុយនៅតុមូលបានប៉ុន្មានរបៀប ដោយពិចារណាពីវិធីដូចគ្នា ប្រសិនបើពួកគេអាចទទួលបានមួយពីមួយទៀតដោយផ្លាស់ទីជារង្វង់?
7. តើមានលេខប្រាំខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលបែងចែកដោយ 5 ហើយមិនមានលេខដូចគ្នា?
8. នៅលើក្រដាសគូសដែលមានជ្រុងក្រឡា 1 សង់ទីម៉ែត្រ រង្វង់កាំ 100 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានគូរដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើនៃកោសិកា ហើយមិនប៉ះជ្រុងនៃកោសិកា។ តើរង្វង់នេះអាចប្រសព្វគ្នាបានប៉ុន្មានក្រឡា?
9. តើ​លេខ​អាច​ត្រូវ​បាន​រៀប​ចំ​ជួរ​គ្នា​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង ដើម្បី​ឱ្យ​លេខ​នៅ​ជាប់​គ្នា និង​តាម​លំដាប់​ឡើង?
10. តើលេខប្រាំខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានខ្ទង់ បើខ្ទង់នីមួយៗអាចប្រើបានតែម្តងគត់?
11. ពីពាក្យ ROT ដោយរៀបចំអក្សរឡើងវិញ អ្នកអាចទទួលបានពាក្យដូចខាងក្រោម៖ TOP, ORT, OTR, TRO, RTO ។ ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា anagrams ។ តើអ្នកអាចបង្កើតអាណាក្រាមប៉ុន្មានពីពាក្យ LOGARITHM?
12. តោះហៅ ការបំបែកលេខធម្មជាតិ តំណាងរបស់វាជាផលបូកនៃលេខធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាភាគថាសទាំងអស់នៃលេខមួយ៖

ភាគថាស​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ខុស​គ្នា ប្រសិន​បើ​វា​ខុស​គ្នា​ទាំង​ចំនួន​ឬ​តាម​លំដាប់​នៃ​លក្ខខណ្ឌ​របស់​វា​។

តើ​មាន​ភាគ​ខុស​គ្នា​ប៉ុន្មាន​នៃ​លេខ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ?
13. តើមានលេខបីខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលមានលំដាប់លេខមិនកើនឡើង?
14. តើមានលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលមានលំដាប់លេខមិនកើនឡើង?
15. តើ​មនុស្ស ១៧ នាក់​អាច​អង្គុយ​ក្នុង​ជួរ​គ្នា​បាន​ប៉ុន្មាន​របៀប ដើម្បី​ឱ្យ​ពួកគេ​នៅ​ម្ខាង?
16. ក្មេង​ស្រី និង​ក្មេង​ប្រុស ត្រូវ​បាន​អង្គុយ​ដោយ​ចៃដន្យ​នៅ​ក្នុង​កៅអី​មួយ​ជួរ។ តើ​គេ​អាច​អង្គុយ​បាន​ប៉ុន្មាន​របៀប ដើម្បី​កុំ​ឲ្យ​មនុស្ស​ស្រី​ពីរ​នាក់​អង្គុយ​ជិត​គ្នា?
17. ក្មេង​ស្រី និង​ក្មេង​ប្រុស ត្រូវ​បាន​អង្គុយ​ដោយ​ចៃដន្យ​នៅ​ក្នុង​កៅអី​មួយ​ជួរ។ តើ​គេ​អាច​អង្គុយ​បាន​ប៉ុន្មាន​របៀប ដើម្បី​ឲ្យ​ស្រីៗ​អង្គុយ​ជិត​គ្នា?

ការរៀបចំឡើងវិញ។ រូបមន្តសម្រាប់ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ

ការផ្លាស់ប្តូរពី ន ធាតុ

អនុញ្ញាតឱ្យឈុត Xរួមបញ្ចូល ន ធាតុ។

និយមន័យ។ ការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពីន ធាតុនៃសំណុំX ដោយ ន ហៅ ការផ្លាស់ប្តូរពី ន ធាតុ។

ចំណាំថាការផ្លាស់ប្តូរណាមួយរួមបញ្ចូលធាតុទាំងអស់នៃសំណុំX ហើយពិតជាម្តង។ នោះគឺការបំប្លែងធាតុខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុប៉ុណ្ណោះ ហើយអាចទទួលបានពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយការបំប្លែងធាតុ (ហេតុនេះឈ្មោះ)។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ពីន ធាតុត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា .

ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរគឺជាករណីពិសេសនៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៅពេល បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកលេខ យើងទទួលបានពីរូបមន្ត (2) ជំនួសវា។ :

ដូច្នេះ

(3)

ឧទាហរណ៍។ តើសៀវភៅ៥ក្បាលអាចដាក់នៅលើធ្នើបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។ មានវិធីជាច្រើនក្នុងការដាក់សៀវភៅនៅលើធ្នើ ព្រោះមានការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុទាំងប្រាំ៖វិធី។

មតិយោបល់។ រូបមន្ត (1)-(3) មិនចាំបាច់ទន្ទេញចាំទេ៖ បញ្ហាទាក់ទងនឹងកម្មវិធីរបស់ពួកគេតែងតែអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើច្បាប់ផលិតផល។ ប្រសិនបើសិស្សមានបញ្ហាក្នុងការបង្កើតគំរូរួមនៃបញ្ហា នោះវាជាការប្រសើរក្នុងការបង្រួមសំណុំរូបមន្ត និងច្បាប់ដែលបានប្រើ (ដូច្នេះមានឱកាសតិចជាងសម្រាប់កំហុស)។ ពិតហើយ បញ្ហាដែលការបំប្លែង និងរូបមន្ត (៣) ត្រូវបានប្រើជាធម្មតាត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានបញ្ហា។

ភារកិច្ច

1. F. តើពួកគេអាចតម្រង់ជួរនៅការិយាល័យលក់សំបុត្របានប៉ុន្មានវិធី៖ 1) មនុស្ស 3 នាក់; ២) ៥ នាក់?

ដំណោះស្រាយ។

ជម្រើសផ្សេងៗសម្រាប់ការរៀបចំ n មនុស្សនៅក្នុងជួរគឺខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងលំដាប់ដែលមនុស្សត្រូវបានរៀបចំប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺពួកវាជាការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុ n ។

មនុស្សបីនាក់អាចតម្រង់ជួរ P3=3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ១) ៦ វិធី; 2) 120 វិធី។

2. T. តើមនុស្ស 4 នាក់អាចអង្គុយលើកៅអីបួនបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

ចំនួនមនុស្សស្មើនឹងចំនួនកៅអីនៅលើលេងជាកីឡាករបម្រុង ដូច្នេះចំនួននៃការដាក់ជម្រើសគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុ 4: P4 = 4! = ២៤.

អ្នកអាចវែកញែកយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល៖ សម្រាប់មនុស្សទីមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើសកន្លែងណាមួយក្នុងចំណោម 4 កន្លែងសម្រាប់ទីពីរ - ណាមួយក្នុងចំណោម 3 ដែលនៅសល់ សម្រាប់ទីបី - ណាមួយក្នុងចំណោម 2 ដែលនៅសល់ អ្នកចុងក្រោយនឹងយក 1 កន្លែងដែលនៅសល់។ ; មានអ្វីគ្រប់យ៉ាង = 24 វិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីដាក់មនុស្ស 4 នាក់នៅលើកៅអីបួន។

ចម្លើយ៖ ២៤ វិធី។

3. M. នៅ Vova's សម្រាប់អាហារថ្ងៃត្រង់ - វគ្គទីមួយ ទីពីរ ទីបី និងនំ។ គាត់ពិតជានឹងចាប់ផ្តើមជាមួយនំខេក ហើយញ៉ាំអាហារដែលនៅសល់តាមលំដាប់ចៃដន្យ។ ស្វែងរកចំនួនជម្រើសអាហារថ្ងៃត្រង់ដែលអាចធ្វើបាន។

M- បញ្ហាពីសៀវភៅសិក្សា។ សៀវភៅណែនាំដោយ A.G. Mordkovich

T - ed ។ S.A.Telyakovsky

F-M.V

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាប់ពីនំរួចរាល់ Vova អាចជ្រើសរើសមុខម្ហូបណាមួយក្នុងចំណោមបីមុខ បន្ទាប់មកពីរ ហើយបញ្ចប់ដោយនៅសល់។ ចំនួនសរុបនៃជម្រើសអាហារថ្ងៃត្រង់ដែលអាចធ្វើបាន៖ =6.

ចម្លើយ៖ ៦.

4. F. តើឃ្លាត្រឹមត្រូវប៉ុន្មាន (តាមទស្សនៈនៃភាសារុស្សី) អាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃពាក្យក្នុងប្រយោគមួយ: 1) "ខ្ញុំបានទៅដើរលេង"; 2) "ឆ្មាកំពុងដើរនៅក្នុងទីធ្លា"?

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងប្រយោគទីពីរ បុព្វបទ "in" ត្រូវតែបង្ហាញនៅមុខនាម "yard" ដែលវាសំដៅទៅលើ។ ដូច្នេះការរាប់គូ "នៅក្នុងទីធ្លា" ជាពាក្យមួយ អ្នកអាចរកឃើញចំនួននៃការបំប្លែងផ្សេងៗគ្នានៃពាក្យតាមលក្ខខណ្ឌចំនួនបី៖ P3 = 3! = 6. ដូចនេះ ក្នុង​ករណី​នេះ អ្នក​អាច​បង្កើត​ប្រយោគ​ត្រឹម​ត្រូវ​ចំនួន ៦។

ចម្លើយ៖ ១) ៦; ២) ៦.

5. តើអ្នកអាចប្រើអក្សរ K,L,M,H ក្នុងវិធីប៉ុន្មានដើម្បីកំណត់ចំនុចកំពូលនៃចតុកោណ?

ដំណោះស្រាយ។

យើងនឹងសន្មត់ថាចំនុចកំពូលនៃចតុកោណត្រូវបានរាប់លេខ ដែលនីមួយៗមានលេខថេរ។ បន្ទាប់មក​បញ្ហា​មក​ដល់​ការ​រាប់​ចំនួន​នៃ​វិធី​ផ្សេង​គ្នា​នៃ​ការ​រៀបចំ​អក្សរ​ចំនួន​ 4 លើ​ 4 កន្លែង​ (បញ្ឈរ​) ពោល​គឺ​ការ​រាប់​ចំនួន​នៃ​ការ​បំប្លែង​ខុស​គ្នា​: P4 = 4! = 24 វិធី។

ចម្លើយ៖ ២៤ វិធី។

6. F. មិត្តភក្តិបួននាក់បានទិញសំបុត្រកុន៖ សម្រាប់កៅអីទី 1 និងទី 2 នៅជួរទីមួយ និងសម្រាប់កៅអីទី 1 និងទី 2 នៅជួរទីពីរ។ តើមិត្តៗអាចយកកៅអីទាំង ៤ នេះក្នុងរោងកុនបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

មិត្តបួននាក់អាចយក 4 កន្លែងផ្សេងគ្នា P4 = 4! = 24 វិធីផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ២៤ វិធី។

7. T. អ្នកនាំសំបុត្រត្រូវបញ្ជូនកញ្ចប់ទៅស្ថាប័ន 7 ផ្សេងគ្នា។ តើគាត់អាចជ្រើសរើសផ្លូវប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

ផ្លូវគួរតែត្រូវបានយល់ថាជាលំដាប់ដែលអ្នកនាំសំបុត្រទៅមើលស្ថាប័ននានា។ ចូរយើងដាក់លេខស្ថាប័នពីលេខ 1 ដល់លេខ 7 បន្ទាប់មកផ្លូវនឹងត្រូវបានតំណាងជាលំដាប់នៃលេខ 7 លំដាប់ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ចំនួនផ្លូវគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 7: P7 = 7! = 5,040 ។

ចម្លើយ៖ ៥.០៤០ ផ្លូវ។

8. T. តើមានកន្សោមប៉ុន្មានដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងផលិតផល abcde ដែលបានទទួលពីវាដោយរៀបចំកត្តាឡើងវិញ?

ដំណោះស្រាយ។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផលិតផលនៃកត្តាប្រាំផ្សេងគ្នា abcde លំដាប់ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរ (នៅពេលដែលកត្តាត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរ) ។

សរុប P5 = 5! = 120 វិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីរៀបចំមេគុណប្រាំ; យើងចាត់ទុកមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (abcde) ជាពាក្យដើម កន្សោមដែលនៅសល់ចំនួន 119 គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងពាក្យនេះ។

ចម្លើយ៖ ១១៩ កន្សោម។

9. T. Olga ចងចាំថាលេខទូរស័ព្ទរបស់មិត្តភ័ក្តិនាងបញ្ចប់ដោយលេខ 5, 7, 8 ប៉ុន្តែនាងភ្លេចថាលេខទាំងនេះលេចឡើងក្នុងលំដាប់ណា។ បង្ហាញពីចំនួនជម្រើសច្រើនបំផុតដែលនាងនឹងត្រូវឆ្លងកាត់ ដើម្បីចូលទៅដល់មិត្តរបស់នាង។

ដំណោះស្រាយ។

លេខទូរសព្ទបីខ្ទង់ចុងក្រោយអាចស្ថិតនៅក្នុងលេខមួយ P3=3! =6 ការបញ្ជាទិញដែលអាចធ្វើបាន ដែលក្នុងនោះមានតែមួយត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះ។ Olga អាចវាយជម្រើសត្រឹមត្រូវភ្លាមៗ នាងអាចវាយលេខទីបី។ល។ នាងនឹងត្រូវវាយបញ្ចូលចំនួនច្រើនបំផុតនៃជម្រើស ប្រសិនបើជម្រើសត្រឹមត្រូវប្រែទៅជាចុងក្រោយ ពោលគឺទីប្រាំមួយ។

ចម្លើយ៖ ៦ ជម្រើស។

10. T. តើលេខប្រាំមួយខ្ទង់ (ដោយមិនប្រើលេខដដែលៗ) អាចបង្កើតបានពីលេខ៖ ក) 1,2, 5, 6, 7, 8; ខ) ០, ២, ៥, ៦, ៧, ៨? ដំណោះស្រាយ។

ក) ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 6 ខ្ទង់: 1, 2, 5, 6, 7, 8 ពីពួកវាអ្នកអាចបង្កើតលេខប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាបានតែដោយរៀបចំលេខទាំងនេះឡើងវិញ។ លេខ​ប្រាំមួយ​ខ្ទង់​ខុស​គ្នា​គឺ P6=6! = ៧២០.

ខ) ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 6 ខ្ទង់: 0, 2, 5, 6, 7, 8 ពីពួកគេអ្នកត្រូវបង្កើតចំនួនប្រាំមួយខ្ទង់ជាច្រើន។ ភាពខុសគ្នាពីបញ្ហាមុនគឺថា សូន្យមិនអាចមកមុនបានទេ។

អ្នកអាចអនុវត្តច្បាប់ផលិតផលដោយផ្ទាល់៖ អ្នកអាចជ្រើសរើសលេខណាមួយក្នុងចំណោម 5 ខ្ទង់ (លើកលែងតែលេខសូន្យ) សម្រាប់កន្លែងដំបូង។ នៅក្នុងចំណាត់ថ្នាក់ទីពីរ - ណាមួយនៃ 5 ខ្ទង់ដែលនៅសល់ (4 គឺ "មិនមែនសូន្យ" ហើយឥឡូវនេះយើងរាប់លេខសូន្យ); ទៅលេខបី - លេខណាមួយក្នុងចំណោម 4 ខ្ទង់ដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីជម្រើសពីរដំបូង។ល។ ចំនួនសរុបនៃជម្រើសគឺ៖ = 600.

អ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជម្រើសដែលមិនចាំបាច់។ 6 ខ្ទង់​អាច​រៀប​បាន P6=6! = 720 វិធីផ្សេងគ្នា។ ក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តទាំងនេះនឹងមានអ្នកដែលនៅកន្លែងដំបូងគឺសូន្យដែលមិនអាចទទួលយកបាន។ តោះរាប់ចំនួនជម្រើសមិនត្រឹមត្រូវទាំងនេះ។ ប្រសិនបើមានលេខសូន្យនៅកន្លែងដំបូង (វាត្រូវបានជួសជុល) បន្ទាប់មកប្រាំកន្លែងបន្ទាប់អាចមានលេខ "មិនសូន្យ" លេខ 2, 5, 6, 7, 8 តាមលំដាប់លេខរៀង 5 លេខ អាចដាក់បាន 5 កន្លែង គឺស្មើនឹង P5 = 5! = 120, i.e. ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរលេខដែលចាប់ផ្តើមពីសូន្យគឺ 120។ ចំនួនដែលត្រូវការនៃលេខប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹង: P6 - P5 = 720 - 120 = 600 ។

ចម្លើយ៖ ក) ៧២០; ខ) ៦០០ លេខ។

11. T. តើលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មាន (ដោយមិនប្រើលេខដដែលៗ) ដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ 3, 5, 7, 9 គឺជាលេខដែល៖ ក) ចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3;

ខ) តើគុណនឹង ១៥?

ដំណោះស្រាយ។

ក) ពីលេខ 3, 5, 7, 9 យើងបង្កើតលេខបួនខ្ទង់ដោយចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3 ។

យើងជួសជុលលេខ 3 នៅកន្លែងដំបូង; បន្ទាប់មកនៅលើបីដែលនៅសល់លេខ 5, 7 9 អាចត្រូវបានដាក់ក្នុងលំដាប់ណាមួយក្នុងលំដាប់ណាមួយ ចំនួនសរុបនៃជម្រើសសម្រាប់ទីតាំងរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង P 3 = 3!=6. វានឹងមានលេខបួនខ្ទង់ផ្សេងគ្នាជាច្រើនដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3 ។

ខ) ចំណាំថាផលបូកនៃខ្ទង់ទាំងនេះ 3 + 5 + 7 + 9 = 24 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះ លេខបួនខ្ទង់ណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយលេខទាំងនេះត្រូវបែងចែកដោយ 3។ ដើម្បីឱ្យចំនួនមួយចំនួនអាចបែងចែកបាន។ ដោយ 15 វាចាំបាច់ដើម្បីឱ្យពួកគេបញ្ចប់ដោយលេខ 5 ។

យើងជួសជុលលេខ 5 នៅកន្លែងចុងក្រោយ; 3 ខ្ទង់ដែលនៅសល់អាចដាក់បីកន្លែងនៅពីមុខ 5 Рз = 3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា។ វានឹងមានលេខបួនខ្ទង់ផ្សេងគ្នាជាច្រើនដែលបង្កើតឡើងដោយលេខទាំងនេះដែលបែងចែកដោយ 15 ។

ចម្លើយ៖ ក) ៦ លេខ; ខ) ៦ លេខ។

12. T. រកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខទាំងបួនខ្ទង់ដែលអាចធ្វើបានពីលេខ 1, 3, 5, 7 (ដោយមិនចាំបាច់ធ្វើម្តងទៀត)។

ដំណោះស្រាយ។

លេខបួនខ្ទង់នីមួយៗដែលបង្កើតឡើងដោយខ្ទង់ 1, 3, 5, 7 (ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ) មានចំនួនខ្ទង់ស្មើនឹង 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ។

ពីលេខទាំងនេះអ្នកអាចបង្កើត P4 = 4! = 24 លេខផ្សេងគ្នា, ខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃខ្ទង់។ ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខទាំងអស់នេះនឹងស្មើនឹង

16 = 384.

ចម្លើយ៖ ៣៨៤ ។

13. T. ក្មេងប្រុសប្រាំពីរនាក់ដែលរួមមាន Oleg និង Igor ឈរជាប់គ្នា។ ស្វែងរកចំនួនបន្សំដែលអាចធ្វើបានប្រសិនបើ៖

ក) Oleg គួរតែនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក។

ខ) Oleg គួរតែនៅដើមជួរដេក ហើយ Igor គួរតែនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក។

គ) Oleg និង Igor គួរតែឈរក្បែរគ្នា។
ដំណោះស្រាយ។

ក) មានក្មេងប្រុសតែ 7 នាក់ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុង 7 កន្លែង ប៉ុន្តែធាតុមួយត្រូវបានជួសជុល និងមិនអាចរៀបចំឡើងវិញបានទេ (Oleg គឺនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក)។ ចំនួននៃបន្សំដែលអាចធ្វើបានគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូររបស់ក្មេងប្រុស 6 នាក់ដែលឈរនៅមុខ Oleg: P6=6!=720 ។

គូជាធាតុតែមួយ រៀបចំឡើងវិញជាមួយធាតុប្រាំផ្សេងទៀត។ ចំនួននៃបន្សំដែលអាចធ្វើបាននឹងជា P6 = 6! = ៧២០.

អនុញ្ញាតឱ្យ Oleg និង Igor ឥឡូវនេះឈរក្បែរគ្នាតាមលំដាប់ IO ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន P6 = 6 មួយទៀត! = 720 បន្សំផ្សេងទៀត។

ចំនួនសរុបនៃបន្សំដែល Oleg និង Igor នៅជាប់គ្នា (តាមលំដាប់ណាមួយ) គឺ 720 + 720 = 1,440 ។

ចម្លើយ៖ ក) ៧២០; ខ) ១២០; គ) 1,440 បន្សំ។

14. កីឡាករបាល់ទាត់ 11 នាក់តម្រង់ជួរមុនការប្រកួតចាប់ផ្តើម។ ទីមួយគឺជាប្រធានក្រុម ទីពីរគឺជាអ្នកចាំទី ហើយនៅសល់គឺចៃដន្យ។ តើមានវិធីសាស្រ្តសាងសង់ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាប់ពីប្រធានក្រុម និងអ្នកចាំទី អ្នកលេងទី 3 អាចជ្រើសរើសកន្លែងណាមួយក្នុងចំណោម 9 កន្លែងដែលនៅសល់ កន្លែងបន្ទាប់ពី 8 ។ល។ ចំនួនសរុបនៃវិធីសាស្រ្តសាងសង់ដោយប្រើច្បាប់ផលិតផលគឺស្មើនឹង៖

1 = 362,880, ឬ P 9 = 9! = 362,880 ។

ចម្លើយ៖ ៣៦២.៨៨០។

15. M. តើអាចកំណត់ចំនុចកំពូលនៃគូបដោយអក្សរ A, B, C, D, E, F, G, K យ៉ាងដូចម្តេច?

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ចំនុចទីមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើសអក្សរណាមួយក្នុងចំណោម 8 អក្សរ សម្រាប់ទីពីរ - ណាមួយនៃ 7 ដែលនៅសល់។ល។ ចំនួនសរុបនៃវិធីនេះបើយោងតាមច្បាប់ផលិតផលគឺ=40 320 ឬ P8 = 8!

ចម្លើយ៖ ៤០.៣២០។

16. T. កាលវិភាគសម្រាប់ថ្ងៃច័ន្ទមានប្រាំមួយមេរៀន៖ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ ជីវវិទ្យា ប្រវត្តិវិទ្យា អប់រំកាយ គីមីវិទ្យា។ តើអ្នកអាចបង្កើតកាលវិភាគមេរៀនសម្រាប់ថ្ងៃនេះតាមរបៀបប៉ុន្មាន ដើម្បីអោយមេរៀនគណិតវិទ្យាពីរនៅជាប់គ្នា?

ដំណោះស្រាយ។

មានមេរៀនសរុបចំនួន 6 ដែលក្នុងនោះមេរៀនគណិតវិទ្យាចំនួនពីរគួរតែនៅជាប់គ្នា។

យើង "ស្អិត" ធាតុពីរ (ពិជគណិត និងធរណីមាត្រ) ដំបូងក្នុងលំដាប់ AG បន្ទាប់មកតាមលំដាប់ GA ។ សម្រាប់ជម្រើស "ស្អិតជាប់" នីមួយៗយើងទទួលបាន P5 = 5! = 120 ជម្រើសកាលវិភាគ។ ចំនួនសរុបនៃវិធីដើម្បីបង្កើតកាលវិភាគគឺ 120 (AG) +120 (GA) = 240 ។

ចម្លើយ៖ ២៤០ វិធី។

17. T. តើមានការបំប្លែងអក្សរនៃពាក្យ “កោណ” ចំនួនប៉ុន្មានដែលអក្សរ K, O, N នៅជាប់គ្នា?

ដំណោះស្រាយ។

ផ្តល់ឱ្យ 5 អក្សរដែល 3 ត្រូវតែនៅជាប់គ្នា។ អក្សរ K, O, N បីអាចឈរនៅជាប់នឹងអក្សរ P3 = 3! = 6 វិធី។ សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនីមួយៗនៃការ "ស្អិត" អក្សរ K, O, N យើងទទួលបាន P3 = 3! = 6 វិធីនៃការអនុញ្ញាតអក្សរ "gluing", U, S. ចំនួនសរុបនៃការផ្លាស់ប្តូរអក្សរផ្សេងគ្នានៃពាក្យ "កោណ" ដែលអក្សរ K, O, N នៅជាប់គ្នាគឺ 6 6 = 36 ។ ការផ្លាស់ប្តូរ - អាណាក្រាម។

ចម្លើយ៖ ៣៦ អរូបី។

18. T. តើក្មេងប្រុស 5 នាក់ និងក្មេងស្រី 5 នាក់អាចកាន់កាប់កៅអីពីលេខ 1 ដល់លេខ 10 ក្នុងជួរតែមួយនៅក្នុងរោងកុនបានប៉ុន្មាន? តើ​ពួកគេ​អាច​ធ្វើ​បែប​នេះ​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន​យ៉ាង ប្រសិនបើ​ក្មេងប្រុស​អង្គុយ​ក្នុង​កៅអី​លេខ​សេស និង​ក្មេងស្រី​នៅ​កៅអី​លេខ​គូ?

ដំណោះស្រាយ។

ជម្រើសនីមួយៗសម្រាប់ការរៀបចំរបស់ក្មេងប្រុសអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយនឹងជម្រើសនៃការរៀបចំរបស់ក្មេងស្រីនីមួយៗ ដូច្នេះយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផល ចំនួនសរុបនៃវិធីសម្រាប់ដាក់កុមារក្នុងករណីនេះគឺ 120 20= 14400.

ចម្លើយ៖ 3,628,800 វិធី; 14,400 វិធី។

19. T. ក្មេងប្រុស 5 នាក់ និងក្មេងស្រី 4 នាក់ចង់អង្គុយលើកៅអីដែលមានកៅអីប្រាំបួន ដូច្នេះក្មេងស្រីម្នាក់ៗអង្គុយនៅចន្លោះក្មេងប្រុសពីរនាក់។ តើ​គេ​អាច​ធ្វើ​បែប​នេះ​តាម​វិធី​ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច ក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រីត្រូវឆ្លាស់គ្នា ពោលគឺក្មេងស្រីអាចអង្គុយបានតែលេខគូ ហើយក្មេងប្រុសអាចអង្គុយបានតែលេខសេសប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះហើយ ក្មេងស្រីអាចផ្លាស់ប្តូរកន្លែងជាមួយក្មេងស្រីបាន ហើយក្មេងប្រុសអាចផ្លាស់ប្តូរកន្លែងជាមួយក្មេងប្រុសតែប៉ុណ្ណោះ។ ក្មេងស្រីអាចអង្គុយបានបួនកន្លែង P4=4! = 24 វិធីហើយក្មេងប្រុសប្រាំនាក់នៅប្រាំកន្លែង P5 = 5! = 120 វិធី។

វិធីនីមួយៗនៃការដាក់ក្មេងស្រីអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយនឹងវិធីនីមួយៗនៃការដាក់ក្មេងប្រុស ដូច្នេះយោងទៅតាមច្បាប់ផលិតផលចំនួនសរុបនៃវិធីគឺស្មើនឹង: P420 = 2,880 វិធី។

ចម្លើយ៖ ២.៨៨០ វិធី។

20. F. បង្វែរលេខ 30 និង 210 ទៅជាកត្តាបឋម តាមវិធីជាច្រើនដែលលេខអាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃកត្តាសាមញ្ញ៖ 1) 30; ២) ២១០?

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយកលេខទាំងនេះទៅជាកត្តាចម្បង៖

30 = 2 ; 210 = 2 .

លេខ 30 អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់

រ 3 = ៣! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា (ដោយកត្តារៀបចំឡើងវិញ) ។

លេខ 210 អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃ primes
មេគុណរ 4 = 4! = 24 វិធីផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ១) ៦ វិធី; 2) 24 វិធី។

21. F. តើមានលេខ 4 ខ្ទង់ផ្សេងគ្នាប៉ុន្មានដែលអាចសរសេរដោយប្រើលេខ 1, 2, 3, 5?

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីឱ្យលេខស្មើគ្នា វាត្រូវតែបញ្ចប់ដោយលេខគូ ពោលគឺ 2. ចូរយើងជួសជុលលេខទាំងពីរនៅទីតាំងចុងក្រោយ លេខបីខ្ទង់ដែលនៅសល់ត្រូវតែបង្ហាញនៅពីមុខវាតាមលំដាប់ណាមួយ។ ចំនួននៃការបំប្លែង 3 ខ្ទង់ផ្សេងគ្នាគឺ P3 = 3! = ៦; ដូច្នេះ វាក៏នឹងមាន 6 ផ្សេងគ្នា សូម្បីតែលេខ 4 ខ្ទង់ (លេខ 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅការផ្លាស់ប្តូរនីមួយៗនៃបីខ្ទង់)។

ចម្លើយ៖ ៦ លេខ។

22. F. តើលេខសេសចំនួនប្រាំខ្ទង់ផ្សេងគ្នាដែលមិនមានលេខដូចគ្នាអាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើលេខ 1,2, 4, 6, 8?

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់លេខដែលផ្សំឡើងជាលេខសេស វាត្រូវតែបញ្ចប់ដោយលេខសេស ពោលគឺលេខមួយ។ លេខ 4 ខ្ទង់ដែលនៅសេសសល់អាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញដោយដាក់ការរៀបចំឡើងវិញនីមួយៗមុនអង្គភាព។

ចំនួនសរុបនៃលេខសេសចំនួនប្រាំខ្ទង់គឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ: P4 = 4 ! =24.

23. F. តើលេខប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាប៉ុន្មានដែលមានលេខមិនដដែលៗអាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើលេខ 1; 2 3, 4, 5, 6 ប្រសិនបើ៖ 1) លេខត្រូវចាប់ផ្តើមដោយ 56; ២) តើលេខ ៥ និង ៦ គួរនៅជាប់គ្នាទេ?

ដំណោះស្រាយ។

យើងជួសជុលពីរខ្ទង់ 5 និង 6 នៅដើមលេខ ហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវការប្តូរផ្សេងៗពី 4 ខ្ទង់ដែលនៅសល់។ ចំនួន​លេខ​ប្រាំមួយ​ខ្ទង់​ផ្សេង​គ្នា​គឺ​ស្មើ៖ P4 = 4! = ២៤.

ចំនួនសរុបនៃចំនួនប្រាំមួយខ្ទង់ផ្សេងគ្នាដែលលេខ 5 និង 6 នៅជាប់គ្នា (តាមលំដាប់ណាមួយ) គឺ 120 + 120 = 240 លេខ។ (ជម្រើស 56 និង 65 មិនឆបគ្នា និងមិនអាចសម្រេចបានក្នុងពេលដំណាលគ្នាទេ យើងអនុវត្តច្បាប់បូកបញ្ចូលគ្នា។ )

ចម្លើយ៖ ១) ទី ២៤; 2) 240 លេខ។

24. F. តើលេខ 1,2,3,4 ខុសគ្នាប៉ុន្មានលេខដែលមិនមានលេខដូចគ្នា?

ដំណោះស្រាយ។

លេខគូត្រូវតែបញ្ចប់ដោយលេខគូ។ យើងជួសជុលលេខ 2 នៅកន្លែងចុងក្រោយ បន្ទាប់មក 3 ខ្ទង់មុនអាចត្រូវបានតម្រៀបឡើងវិញ P3 = 3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា; យើងទទួលបានលេខ 6 ជាមួយនឹងលេខពីរនៅចុងបញ្ចប់។ យើងជួសជុលលេខ 4 នៅកន្លែងចុងក្រោយយើងទទួលបាន P3 = 3! = 6 ការបំប្លែងផ្សេងគ្នានៃខ្ទង់មុនបី និង 6 លេខដែលបញ្ចប់ដោយ 4 ។

ចំនួនសរុបនៃលេខសូម្បីតែបួនខ្ទង់នឹងមាន 6 + 6 = 12 លេខផ្សេងគ្នា។

ចម្លើយ៖ ១២ លេខ។

មតិយោបល់។ យើងរកឃើញចំនួនសរុបនៃជម្រើសដោយប្រើក្បួនបន្សំ (ជម្រើស 6 សម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ដោយពីរ 6 ជម្រើសសម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ដោយបួន វិធីសាស្ត្រសម្រាប់បង្កើតលេខជាមួយពីរ និងជាមួយលេខបួននៅចុងបញ្ចប់គឺផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក មិនឆបគ្នា។ ដូច្នេះចំនួនសរុបនៃជម្រើសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនជម្រើសដែលមានពីរនៅខាងចុង និងចំនួនជម្រើសដែលមាន 4 នៅចុងបញ្ចប់)។ ធាតុ 6 + 6 = 12 ឆ្លុះបញ្ចាំងពីហេតុផលសម្រាប់សកម្មភាពរបស់យើងប្រសើរជាងធាតុ P.

25. F. តើលេខ 1) 12 អាចសរសេរជាផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ៗបានប៉ុន្មាន? 2) 24; ៣) ១២០?

ដំណោះស្រាយ។

ភាពបារម្ភនៃបញ្ហានេះគឺថានៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួននីមួយៗនៃលេខទាំងនេះមានកត្តាដូចគ្នាបេះបិទ។ នៅពេលបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាពីកត្តា យើងនឹងមិនទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរថ្មីទេ ប្រសិនបើយើងប្តូរកត្តាដូចគ្នាទាំងពីរ។

1) លេខ 12 ត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាសំខាន់បី, ពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទ: 12 = .

ប្រសិនបើកត្តាទាំងអស់ខុសគ្នា នោះពួកគេអាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញនៅក្នុងផលិតផល P3 = 3! = 6 វិធីផ្សេងគ្នា។ ដើម្បីរាយវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ យើងនឹង "បែងចែក" តាមលក្ខខណ្ឌពីរពីរ ហើយសង្កត់ធ្ងន់លើមួយក្នុងចំណោមពួកគេ: 12 = 2.

បន្ទាប់មក បំរែបំរួល 6 យ៉ាងខាងក្រោមនៃការរលាយចូលទៅក្នុងអ្នករស់នៅគឺអាចធ្វើទៅបាន:

ប៉ុន្តែតាមពិត លេខគូសបន្ទាត់ពីក្រោមគ្មានអត្ថន័យក្នុងគណិតវិទ្យាទេ ដូច្នេះលទ្ធផល 6 ការបំប្លែងនៅក្នុងសញ្ញាណធម្មតាមើលទៅដូចតទៅ៖

i.e. តាមពិតយើងទទួលបានមិនមែន ៦ ទេ ប៉ុន្តែការបំប្លែងចំនួន ៣ ផ្សេងគ្នា ចំនួននៃការបំប្លែងត្រូវបានកាត់បន្ថយពាក់កណ្តាល ដោយសារយើងមិនចាំបាច់គិតគូរពីការបំប្លែងពីររវាងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ចូរយើងសម្គាល់ P x ចំនួនដែលត្រូវការនៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុទាំងបី រួមទាំងធាតុដូចគ្នាចំនួនពីរ។ បន្ទាប់មកលទ្ធផលដែលយើងទទួលបានអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: Рз = Р X ប៉ុន្តែ 2 គឺជាចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុពីរ ពោលគឺ 2 == ២! = P 2, ដូច្នេះ P3, = P x P 2, ហេតុនេះ P x = . (នេះ​គឺ​ជា​រូបមន្ត​សម្រាប់​ចំនួន​នៃ​ការ​បំប្លែង​ដោយ​ពាក្យ​ដដែលៗ)។

គេអាចវែកញែកខុសគ្នា ដោយផ្អែកតែលើច្បាប់ផលិតផលផ្សំប៉ុណ្ណោះ។

ដើម្បីបង្កើតផលិតផលនៃកត្តាបី ដំបូងជ្រើសរើសកន្លែងសម្រាប់កត្តា 3; នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីបីយ៉ាង។ បន្ទាប់ពីនេះយើងបំពេញចន្លោះដែលនៅសល់ទាំងពីរជាមួយ twos; នេះអាចត្រូវបានធ្វើក្នុង 1 វិធី។ យោងតាមច្បាប់ផលិតផលចំនួនសរុបនៃវិធីគឺ: 3-1 = 3 ។, Р x = 20 ។

វិធីទីពីរ។ នៅពេលបង្កើតផលនៃកត្តាទាំងប្រាំ ជាដំបូងយើងជ្រើសរើសកន្លែងមួយសម្រាប់វិធីទាំងប្រាំ (5 វិធី) បន្ទាប់មកសម្រាប់បី (4 វិធី) ហើយបំពេញកន្លែង 3 ដែលនៅសល់ដោយពីរ (1 វិធី) ។ យោងតាមច្បាប់ផលិតផល 5 4 1 = 20 ។

ចម្លើយ៖ ១) ៣; 2) 4; ៣) ២០.

26. F. តើកោសិកាទាំង 6 អាចលាបពណ៌បានប៉ុន្មានវិធី ទើបកោសិកា 3 ក្រហម ហើយ 3 កោសិកាដែលនៅសល់ត្រូវលាបពណ៌ (ពណ៌នីមួយៗមានពណ៌ផ្ទាល់ខ្លួន) ស ខ្មៅ ឬបៃតង?

ដំណោះស្រាយ។

ការបំប្លែងនៃធាតុទាំង ៦ ដែលក្នុងនោះមាន ៣ យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ៖

បើមិនដូច្នោះទេ៖ ដើម្បីលាបពណ៌ស អ្នកអាចជ្រើសរើសកោសិកាមួយក្នុងចំណោមកោសិកាទាំង ៦ ខ្មៅ - ពី ៥ ពណ៌បៃតង - ពី ៤; កោសិកាដែលនៅសល់បីត្រូវបានលាបពណ៌ក្រហម។ ចំនួនសរុបនៃវិធី: 6 5 4 1 = 120 ។

ចម្លើយ៖ ១២០ វិធី។

២៧.T. អ្នកថ្មើរជើងត្រូវដើរមួយប្លុកខាងជើង និងបីប្លុកខាងលិច។ សរសេរផ្លូវថ្មើរជើងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។= 4.

ចម្លើយ៖ ៤ ផ្លូវ។

28. M. a) នៅលើទ្វារនៃការិយាល័យដូចគ្នាចំនួនបួន ចាំបាច់ត្រូវព្យួរផ្លាកសញ្ញាដែលមានឈ្មោះនាយករងទាំងបួន។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

ខ) ក្នុងថ្នាក់ “A” ទាំង ៩ នៅថ្ងៃពុធ មានមេរៀនចំនួន ៥៖ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ ការអប់រំកាយ ភាសារុស្សី ភាសាអង់គ្លេស។ តើអ្នកអាចបង្កើតជម្រើសកាលវិភាគប៉ុន្មានសម្រាប់ថ្ងៃនេះ?

គ) តើចោរបួននាក់អាចខ្ចាត់ខ្ចាយបានប៉ុន្មានយ៉ាង ក្នុងមួយទិស ទាំងបួនទិស?

ឃ) អ្នកជំនួយត្រូវប្រគល់ច្បាប់ចម្លងចំនួនប្រាំច្បាប់នៃបញ្ជារបស់ឧត្តមសេនីយ៍ទៅកងវរសេនាធំចំនួនប្រាំ។ តើគាត់អាចជ្រើសរើសផ្លូវដឹកជញ្ជូនសម្រាប់ច្បាប់ចម្លងនៃការបញ្ជាទិញបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ។

ក) សម្រាប់ចានទីមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើសទូណាមួយក្នុងចំណោម 4 ទូ។
សម្រាប់ទីពីរ - ណាមួយនៃបីដែលនៅសល់សម្រាប់ទីបី - ណាមួយនៃពីរដែលនៅសល់សម្រាប់ទីបួន - មួយនៅសល់; យោងតាមច្បាប់
ផលិតផល, ចំនួនសរុបនៃវិធីគឺ: 4 3 2 1 = 24, ឬ P4 = 4! = ២៤.= 120, ឬ P5 = 5! = ១២០.

ចម្លើយ៖ ក) ២៤; ខ) ១២០; គ) 24; ឃ) ១២០.

អក្សរសិល្ប៍

Afanasyev V.V. ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងឧទាហរណ៍ និងបញ្ហា, - Yaroslavl: សាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យរដ្ឋ Yaroslavl, 1994 ។

Bavrin I. I. គណិតវិទ្យាឧត្តមសិក្សា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតឯកទេសគីមី និងគណិតវិទ្យា នៃសាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យ - បោះពុម្ពលើកទី២ កែប្រែ។ - M. : ការអប់រំ, 1993 ។

Bunimovich E.A., Bulychev V. A. ប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិ។ ថ្នាក់ទី 5-9: សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ, - M.: Bustard, 2005 ។

Vilenkin N. Ya និងអ្នកដទៃ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី១០៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សានុសិស្សនៅតាមសាលារៀន និងថ្នាក់រៀនដែលមានការសិក្សាស៊ីជម្រៅអំពីគណិតវិទ្យា។ - M. : ការអប់រំ, 1992 ។

Vilenkin N. Ya និងអ្នកដទៃ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១១៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សសាលា និងថ្នាក់រៀនគណិតវិទ្យាស៊ីជម្រៅ - M.: Prosveshchenie, 1990។

Glazer G.I. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា៖ ថ្នាក់ទី៩-១០។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ - M. : ការអប់រំ 1983 ។

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. គណិតវិទ្យាទី៩៖ ពិជគណិត។ មុខងារ។ ការវិភាគទិន្នន័យ - M.: Bustard, 2000 ។

Kolyagin និងអ្នកដទៃ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគថ្នាក់ទី១១។ គណិតវិទ្យានៅសាលា - ឆ្នាំ 2002 - លេខ 4 - ទំព័រ 43,44,46 ។

Lyupshkas V.S. វគ្គសិក្សាតាមជម្រើសក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩-១១ - អិម, ១៩៩១។

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. ធាតុផ្សំនៃស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 7-9 - M.: Prosveshchenie, 2005 ។

Mordkovich A.G., Semenov P.V. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ ថ្នាក់ទី១០៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំទូទៅ (កម្រិតទម្រង់) - M.: Mnemosyna, 2005 ។

Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ធាតុនៃស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 7-9 - M.: Prosveshchenie, 2005 ។