ពិចារណាសំណុំ A=(a1,a2,...,an),មានធាតុ n ផ្សេងគ្នា ដែលយើងនឹងហៅថា n-set
ឬចំនួនប្រជាជនទូទៅនៃ volume n. ពីសំណុំ n អ្នកអាចបង្កើតផ្នែករបស់វា (សំណុំរង)។
និយមន័យ។ សំណុំរងដែលមានធាតុ m នៃសំណុំ n ត្រូវបានគេហៅថា m-subset នៃ n-set ឬ co-
សហជីពនៃធាតុ n នៃ m ឬគំរូនៃបរិមាណ m ពីចំនួនប្រជាជនទូទៅនៃបរិមាណ n ។
មានជម្រើសជ្រើសរើសពីរ៖
1. ជម្រើសដោយគ្មានការត្រឡប់មកវិញដែលនៅពេលជ្រើសរើស ធាតុមួយត្រូវបានដកចេញពីចំនួនប្រជាជន។ គំរូ
(ការតភ្ជាប់) ក្នុងករណីនេះមិនមានធាតុដដែលៗទេ។
2. ស្វាគមន៍ការត្រលប់មកវិញនូវជម្រើសដែលការជ្រើសរើសត្រូវបានធ្វើឡើងរាល់ពេលពីប្រជាជនទាំងមូល នោះគឺពីមុន
ជាមួយនឹងការជ្រើសរើសបន្ទាប់ ធាតុដែលបានជ្រើសរើសពីមុនត្រូវបានបញ្ជូនត្រឡប់ទៅចំនួនប្រជាជនវិញ។ នៅក្នុងគំរូមួយ (ចូលរួម) ក្នុង
ក្នុងករណីនេះមានពាក្យដដែលៗ។
សំណាកណាដែលមានបរិមាណដូចគ្នាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាខុសគ្នា ហើយមួយណាដូចគ្នាអាស្រ័យលើច្បាប់សម្រាប់ការជ្រើសរើសការតភ្ជាប់
nia (សំណុំរង, គំរូ) ។
សមាសធាតុពីរអាចខុសគ្នាទាំង 1) នៅក្នុងសមាសភាពប្រសិនបើវាមានយ៉ាងហោចណាស់ធាតុផ្សេងគ្នាមួយ ឬ
2) លំដាប់នៃធាតុចូល។
អាស្រ័យលើច្បាប់នៃការជ្រើសរើស ការតភ្ជាប់ត្រូវបានបែងចែកជាបីប្រភេទ៖ ការដាក់ ការផ្លាស់ប្តូរ ការបញ្ចូលគ្នា។ អាស្រ័យលើ
វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើស (ដោយគ្មានការត្រឡប់មកវិញឬជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) ប្រភេទនៃការតភ្ជាប់នីមួយៗអាចដោយគ្មានពាក្យដដែលៗឬជាមួយពាក្យដដែលៗ។
2. កន្លែងដោយគ្មាន និងជាមួយពាក្យដដែលៗ។
បញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺ បញ្ហានៅលើចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ,មាតិកាដែលអាចមាន
បង្ហាញដោយសំណួរ៖ តើអាចជ្រើសរើសវត្ថុផ្សេងៗគ្នា និងដាក់ក្នុង m នៅកន្លែងផ្សេងគ្នាបានប៉ុន្មាន?
ក៏ជាបញ្ហាបុរាណនៃ combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួនកន្លែងដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារដែល
អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ តើមានវិធីប៉ុន្មានដែលអាចជ្រើសរើស m ចេញពី n វត្ថុ និងដាក់ក្នុង m កន្លែងផ្សេងគ្នា
ក្នុងចំណោមមួយណាដូចគ្នា?
និយមន័យ។ ការរៀបចំធាតុ n ដោយ m គឺជាការតភ្ជាប់នៃធាតុ n ដោយ m ដែលខុសគ្នា
ពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុរបស់ពួកគេ (សមាសភាព) ឬតាមលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់ពួកគេ។
នៅក្នុងភាសានៃទ្រឹស្តីសំណុំ វាស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ ការរៀបចំនៃធាតុ n ដោយ m គឺជាលំដាប់មួយ។
m-subset នៃ n-set (បានបញ្ជាទិញ m-sample ពីចំនួនប្រជាជននៃទំហំ n) ។ ពាក្យ "បញ្ជា"
មានន័យថាលំដាប់នៃធាតុនៅក្នុងគំរូគឺសំខាន់៖ គំរូដែលមានធាតុដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានភាពខុសគ្នា
ការបញ្ជាទិញរបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា។
កិច្ចការ. សូមឱ្យមានសំណុំមួយដែលមាន 4 អក្សរ:
(A, B, C, D) ។ សរសេរទីតាំងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអក្សរទាំង ៤ ដែលបានបង្ហាញជាពីរ៖
ក) គ្មានពាក្យដដែលៗ;
ខ) ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ។
ដំណោះស្រាយ។
ក) មាន 12 កន្លែងដូចជា៖ (AB), (AC), (AD), (BC), (ВD), (BA), (CA), (CB), (CD), (DA), (DB ), (DC) ។ បានកត់សម្គាល់ឃើញថា
កន្លែងដាក់ខុសគ្នាតាមលំដាប់នៃធាតុ និងសមាសភាពរបស់វា។ ទីតាំង AB និង BA មានអក្សរដូចគ្នា
ប៉ុន្តែលំដាប់នៃការរៀបចំរបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា។
ខ) មាន ១៦ កន្លែងបែបនេះសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ករណី (ក) ។
កន្លែងត្រូវបានបន្ថែមពីធាតុដូចគ្នាបេះបិទ (AA), (BB), (CC), (DD)។
កិច្ចការ. សូមឱ្យមានសំណុំមួយដែលមានអក្សរ 2: (A, B) ។ សរសេរទីតាំងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗពី
4 អក្សរ។
ដំណោះស្រាយ។ ម្នាលអាវុសោទាំងឡាយ ១៦ យ៉ាងនោះគឺ (អាបាបា) (បាបាបា) (បាបាបា) (បាបា) (បាបា) (បាបា) (បាបា) (បាបា) (បាបា) (បាបា) (បាបាបា) (បាបាបា) ។
(បា.), (បា.), (បា.
ទ្រឹស្តីបទ ៣. 3.1 ចំនួននៃការរៀបចំផ្សេងគ្នាដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ n នៃ m គឺស្មើនឹង
សម្រាប់ការយកគំរូដោយគ្មានការត្រឡប់មកវិញ។
3.2 ចំនួននៃការដាក់ដែលមានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ n នៃ m គឺស្មើនឹង m (2) សម្រាប់គំរូជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ។
ភស្តុតាង។ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងនឹងប្រើក្បួនគុណ។
ចូរយើងពិចារណាគំរូដោយមិនត្រលប់មកវិញ។ មាន n លទ្ធភាពក្នុងការជ្រើសរើសធាតុទីមួយ (n – 1) សម្រាប់ទីពីរ
(មុនពេលជម្រើសទីពីរ មានធាតុ (n – 1) ដែលបន្សល់ទុកនៅក្នុងប្រជាជនទូទៅ), ... ជាមួយនឹងជម្រើស mth (n – m + 1) លទ្ធភាព។
ដូច្នេះយោងទៅតាមក្បួនគុណ
ចូរយើងសរសេរកន្សោមក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលជាង ដោយគុណ និងចែកវាដោយ (m – n)!
ចាត់ទុកថា ០! = 1 ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើរូបមន្តនេះសម្រាប់ករណី m = n ។
ពិចារណាគំរូជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ
. មាន n លទ្ធភាពក្នុងការជ្រើសរើសធាតុទីមួយ ហើយមានលទ្ធភាព n សម្រាប់ទីពីរផងដែរ (មុនពេលជ្រើសរើស
rum នៃធាតុបន្ទាប់ ធាតុដែលបានជ្រើសរើសពីមុនត្រូវបានជួសជុល ហើយត្រឡប់ទៅប្រជាជនទូទៅវិញ) ជាមួយនឹងការជ្រើសរើស mth
ក៏មាន n លទ្ធភាពផងដែរ។ ដូច្នេះ។
កិច្ចការ. កាសែតខ្លះមាន 12 ទំព័រ។ វាចាំបាច់ក្នុងការដាក់រូបថតចំនួនបួននៅលើទំព័រនៃកាសែតនេះ។
តើនេះអាចធ្វើបានតាមវិធីប៉ុន្មានយ៉ាង បើគ្មានទំព័រកាសែតគួរមានរូបថតច្រើនជាងមួយ?
ដំណោះស្រាយ. នៅក្នុងបញ្ហានេះ ប្រជាជនមានចំនួន 12 ទំព័រនៃកាសែតមួយ ហើយគំរូដែលគ្មានត្រឡប់មកវិញគឺ 4 ទំព័រដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីពួកគេសម្រាប់រូបថត។ នៅក្នុងភារកិច្ចនេះវាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែទំព័រណាដែលត្រូវបានជ្រើសរើសប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងលំដាប់ណា (សម្រាប់ការរៀបចំរូបថត) ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហាបុរាណនៃការកំណត់ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃ 12 ធាតុនៃ 4 ធាតុ:
ដូច្នេះ រូបថតចំនួន 4 នៅលើ 12 ទំព័រអាចត្រូវបានរៀបចំតាមវិធី 11,880 ។
កិច្ចការ. ក្មេងប្រុសនោះនៅតែមានត្រាជាមួយនឹងលេខ 1, 3 និង 7 ពីសំណុំសម្រាប់ការប្រកួតក្តារមួយដែលគាត់បានដោះស្រាយដោយមានជំនួយពីការទាំងនេះ។
បោះត្រាលេខប្រាំខ្ទង់នៅលើសៀវភៅទាំងអស់ - ធ្វើកាតាឡុក។ តើលេខប្រាំខ្ទង់ផ្សេងគ្នាអាចផ្គូផ្គងបានប៉ុន្មាន?
ដាក់ក្មេងប្រុស?
ដំណោះស្រាយ។ យើងអាចពិចារណាថា បទពិសោធន៍មានជម្រើស 5 ដងជាមួយនឹងការត្រឡប់នៃលេខមួយក្នុងចំណោម 3 ខ្ទង់ (1, 3, 7)។ ដូច្នេះចំនួននៃលេខប្រាំខ្ទង់ត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួននៃការដាក់ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗនៃ 3 ធាតុនៃ 5:
3. ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
បញ្ហាបុរាណនៃ combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារដែលអាចជា
បង្ហាញដោយសំណួរ៖ តើវត្ថុផ្សេងៗអាចដាក់នៅកន្លែងផ្សេងគ្នាបានប៉ុន្មាន?
និយមន័យ។ ការរៀបចំដែលធាតុ n ទាំងអស់នៃចំនួនប្រជាជនចូលរួមត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។
kami ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃធាតុ n ។ ការផ្លាស់ប្តូរមានធាតុដូចគ្នា ប៉ុន្តែខុសគ្នាតាមលំដាប់លំដោយ។
កិច្ចការ. សូមឱ្យមានសំណុំអក្សរ (A, B, C) ។ សរសេររាល់ការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមាន។
ដំណោះស្រាយ។ សំណុំនៃអក្សរនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរចំនួន 6: (ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CBA), (CAB) ។
ទ្រឹស្តីបទ. ចំនួននៃការបំប្លែងនៃធាតុផ្សេងគ្នា n គឺស្មើនឹង n!, i.e. Рn = n!
ភស្តុតាង។ ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរគឺជាករណីពិសេសនៃការដាក់បន្ទាប់មកសម្រាប់ n = m យើងទទួលបាន
មតិយោបល់។ សម្រាប់ n ធំ ដើម្បីគណនាហ្វាក់តូរីយ៉ែល ប្រើតារាងលោការីតនៃហ្វាក់តូរីស ឬរូបមន្តស្ទ័រលីងប្រហាក់ប្រហែល
កិច្ចការ. តើអ្នកអាចបង្កើត "ពាក្យ" ប៉ុន្មានអក្សរពីអក្សរនៃពាក្យ "អាពាហ៍ពិពាហ៍"?
ដំណោះស្រាយ. ប្រជាជនទូទៅគឺជាអក្សរ 4 នៃពាក្យ "អាពាហ៍ពិពាហ៍" (b, p, a, k) ។
ចំនួន "ពាក្យ" ត្រូវបានកំណត់ដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអក្សរទាំង 4 នេះពោលគឺ P4 = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 ។
កិច្ចការ. តើសៀវភៅប្រាំបួនផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំនៅលើធ្នើដោយរបៀបប៉ុន្មានដើម្បីឱ្យសៀវភៅបួនក្បាលនៅជាប់គ្នា?
ដំណោះស្រាយ. មានសៀវភៅចំនួន 9 ផ្សេងៗគ្នានៅក្នុងប្រជាជនដើម។
បន្ទាប់មកសម្រាប់សៀវភៅ 6 ដែលនៅសល់គឺ P6 = 6! = 720 ការផ្លាស់ប្តូរ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសៀវភៅជាក់លាក់ចំនួនបួនអាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ P4 = 4! = 24 វិធី។
យោងទៅតាមក្បួនគុណយើងមាន P6 x P4 = 720 x 24 = 17280 ។
4. ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលក្នុងចំណោមធាតុ n ដែលបានជ្រើសរើសមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ (ការជ្រើសរើសជាមួយការត្រឡប់មកវិញ) បញ្ហានៃចំនួននៃការបំប្លែងជាមួយពាក្យដដែលៗអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ តើមានប៉ុន្មានវិធីអាច n វត្ថុដែលមានទីតាំងនៅលើ
n កន្លែងផ្សេងគ្នា ប្រសិនបើក្នុងចំណោមវត្ថុ n មាន k ប្រភេទផ្សេងគ្នា (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.
និយមន័យ។ ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗគឺជាសមាសធាតុពីចំនួនប្រជាជន ដែលនីមួយៗមានធាតុ n ដែលក្នុងនោះធាតុ
a1 ត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត n1 ដង,
a2 ត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត n2 ដង,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
មួយត្រូវបានធ្វើឡើងវិញ nk ដង
n1 + n2 + ... + nk = n
ហើយដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងលំដាប់ដែលធាតុផ្សេងៗត្រូវបានរៀបចំ។
ទ្រឹស្តីបទ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
ភស្តុតាង។ ភ័ស្តុតាងគឺជាក់ស្តែង ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរធាតុដូចគ្នាបេះបិទនៅក្នុងការបំប្លែងជាមួយពាក្យដដែលៗមិនផ្តល់ការផ្លាស់ប្តូរថ្មីទេ។
កិច្ចការ.
តើការផ្សំអក្សរចំនួនប៉ុន្មានដែលអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីអក្សរនៃពាក្យ "Mississippi"?
ដំណោះស្រាយ។ មានអក្សរ "m", 4 អក្សរ "i", 3 អក្សរ "c" និង 1 អក្សរ "p" សម្រាប់សរុប 9 អក្សរ។
ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗគឺស្មើនឹង
5. បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
បញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ តើអ្នកអាចជ្រើសរើស m ពីវត្ថុផ្សេងគ្នាបានប៉ុន្មានវិធី?
និយមន័យ។ បន្សំនៃធាតុផ្សេងគ្នានៃ m ត្រូវបានគេហៅថាបន្សំនៃធាតុ n នៃ m (m<=n), которые
ពួកវាខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងសមាសភាពនៃធាតុរបស់វា។
កិច្ចការ។ សូមឱ្យមានសំណុំដែលមានអក្សរ 4 (A, B, C, D) ។ ចូរយើងសរសេរបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃការចង្អុលបង្ហាញ
អក្សរ ៣ ។
ដំណោះស្រាយ។ មាន 4 បន្សំបែបនេះ: ABC, ACD, ABD, BCD ។
នៅទីនេះ ចំនួននៃបន្សំមិនរាប់បញ្ចូលឧទាហរណ៍ ASV, VSA ទេ ព្រោះវាមិនខុសគ្នានៅក្នុងសមាសភាពពីលំដាប់បន្តបន្ទាប់គ្នានោះទេ។
អក្សរ ABC ព្រោះការរៀបចំធាតុឡើងវិញមិនផ្តល់ការរួមបញ្ចូលគ្នាថ្មីទេ។
ទ្រឹស្តីបទ។ ចំនួនបន្សំនៃធាតុ n ដោយ m គឺស្មើនឹង
ភស្តុតាង។
ចូរយើងចាំថាទាំងបន្សំ និងការរៀបចំនៃធាតុ n ដោយ m គឺជាគំរូនៃបរិមាណ m ពីចំនួនប្រជាជនទូទៅនៃបរិមាណ n ហើយភាពខុសគ្នារវាងពួកវាគឺថានៅក្នុងករណីនៃការដាក់ទាំងសមាសភាពនិងលំដាប់នៃធាតុគឺមានសារៈសំខាន់ ចំណែកឯ នៅក្នុងករណីនៃបន្សំ មានតែសមាសភាពប៉ុណ្ណោះដែលជាធាតុសំខាន់។ សូមឱ្យមានការរួមបញ្ចូលគ្នាមួយ។ ដើម្បីបង្កើតការរៀបចំទាំងអស់ដែលមានធាតុដូចគ្នា វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃធាតុនៃការរួមបញ្ចូលគ្នានេះ។ ដោយសារមានធាតុ m ក្នុងការផ្សំគ្នានោះមាន m! ការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះការរួមបញ្ចូលគ្នាមួយដែលមានធាតុ m ត្រូវគ្នាទៅនឹង m! ទីតាំងជាមួយធាតុទាំងនេះ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
លេខត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ binomial: ពួកគេគឺជាមេគុណនៅក្នុងការពង្រីក binomial របស់ Newton
កិច្ចការ. អ្នកត្រូវតែជ្រើសរើសសៀវភៅ 4 ក្នុងចំណោម 10 ផ្សេងៗគ្នាដែលមានជាអំណោយ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ. ប្រជាជនទូទៅគឺ 10 សៀវភៅផ្សេងគ្នា។ អ្នកត្រូវជ្រើសរើស 4 ក្នុងចំណោមពួកគេ ហើយលំដាប់នៃការជ្រើសរើសសៀវភៅមិនមានបញ្ហាទេ។ យើងត្រូវស្វែងរកចំនួនបន្សំនៃធាតុ 10 យោងតាម
កិច្ចការ. មានបាល់ចំនួន 10 ពណ៌ស និង 5 គ្រាប់។ តើបាល់ចំនួន 7 អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបប៉ុន្មានដើម្បីឱ្យ 3 គ្រាប់ទាំងនោះមានពណ៌ខ្មៅ?
ដំណោះស្រាយ. យើងមាន 15 បាល់: 10 ពណ៌សនិង 5 ខ្មៅ។ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសបាល់ចំនួន ៧៖ ពណ៌ស ៤ និងខ្មៅ ៣ ។
ចូរបែងចែកបាល់ចំនួន 15 ទៅជា 2 ប្រជាជនទូទៅ៖
1) 10 គ្រាប់ពណ៌ស;
2) បាល់ខ្មៅចំនួន 5 ។
យើងនឹងជ្រើសរើសបាល់ពណ៌សចំនួន 4 ពីប្រជាជនទូទៅ I លំដាប់នៃការជ្រើសរើសគឺព្រងើយកណ្តើយពួកគេអាចជ្រើសរើសបាន
នៅក្នុងវិធី។ យើងនឹងជ្រើសរើសបាល់ខ្មៅចំនួន 3 ពីចំនួនប្រជាជន II ពួកគេអាចជ្រើសរើសបាន។
នៅក្នុងវិធី។
បន្ទាប់មកយោងទៅតាមច្បាប់គុណ ចំនួននៃវិធីដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង .
ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះអាចត្រូវបានតំណាងដោយគ្រោងការណ៍ដូចខាងក្រោម
កិច្ចការ. ក្រុមចំនួន 10 ចូលរួមក្នុងការប្រកួតជើងឯកបាល់ទាត់ដែលល្អបំផុតទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់ទី 1 ទី 2 និងទី 3 ។
ក្រុមពីរដែលដណ្តើមបានចំណាត់ថ្នាក់ចុងក្រោយនឹងមិនចូលរួមក្នុងការប្រកួតជើងឯកដូចគ្នាបន្ទាប់ទៀតទេ។
តើមានជម្រើសប៉ុន្មានផ្សេងគ្នាសម្រាប់លទ្ធផលជើងឯកអាចមានប្រសិនបើយើងគិតតែទីតាំងនៃក្រុមបីដំបូងនិងពីរក្រុមចុងក្រោយ?
ដំណោះស្រាយ. មានប្រជាជនទូទៅចំនួន 10 ក្រុម។ យើងនឹងជ្រើសរើសក្រុមចំនួន 5 ចេញពីវាក្នុង 2 ដំណាក់កាល៖
1) ជាលើកដំបូងសម្រាប់ 3 កន្លែងដំបូងក្នុងចំណោម 10 ដោយគិតគូរពីសមាសភាពនិងលំដាប់នៃក្រុម។
2) បន្ទាប់មកសម្រាប់ 2 កន្លែងចុងក្រោយក្នុងចំណោម 7 ដែលនៅសល់ដោយគិតតែសមាសភាពប៉ុណ្ណោះ (លំដាប់នៃក្រុមដែលត្រូវបានលុបចោលគឺមិនសំខាន់ទេ) ។
កន្លែង 3 ដំបូងអាចត្រូវបានចែកចាយតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។
ចំនួនវិធីដើម្បីកម្ចាត់ក្រុម 2 ចេញពី 7 ដែលនៅសល់គឺ .
យោងទៅតាមក្បួនគុណ យើងឃើញថាចំនួនលទ្ធផលផ្សេងគ្នានៃវិសមភាពគឺ 0។
កិច្ចការ.
តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការស្ទង់មតិសិស្ស 11 នាក់ក្នុងមេរៀនមួយ ប្រសិនបើគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេនឹងត្រូវបានស្ទង់មតិពីរដង ហើយចំនួនសិស្សអាចត្រូវបានគេស្ទង់មតិក្នុងអំឡុងពេលមេរៀន ហើយលំដាប់ដែលសិស្សត្រូវបានស្ទង់មតិគឺមិនមានភាពព្រងើយកន្តើយ?
ដំណោះស្រាយ.
វិធីសាស្រ្ត I. មានសិស្សទូទៅចំនួន ១១នាក់។ គ្រូប្រហែលជាមិនសម្ភាសន៍សិស្សណាម្នាក់ក្នុងចំណោមសិស្សទាំង 11 នាក់ ដែលជាជម្រើសមួយ។ ករណីនេះត្រូវនឹង។ គ្រូអាចសម្ភាសបានតែសិស្សម្នាក់ប៉ុណ្ណោះ ជម្រើសបែបនេះ។
ប្រសិនបើគ្រូធ្វើការស្ទង់មតិសិស្សពីរនាក់ នោះចំនួនជម្រើសនៃការស្ទង់មតិគឺ . មានជម្រើសសម្រាប់សម្ភាសសិស្សបីនាក់។ល។
ជាចុងក្រោយ សិស្សទាំងអស់អាចធ្វើការស្ទង់មតិបាន។ ចំនួនជម្រើសក្នុងករណីនេះ។
ចំនួននៃជម្រើសស្ទង់មតិដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើច្បាប់បន្ថែម
ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះអាចត្រូវបានតំណាងដោយគ្រោងការណ៍ដូចខាងក្រោមៈ
វិធីសាស្រ្ត II ។ ប្រជាជនទូទៅមាន ២ ធាតុ៖
(a, c) ដែល a – សិស្សត្រូវបានសម្ភាសន៍ គ – សិស្សមិនត្រូវបានសម្ភាសន៍ក្នុងមេរៀននេះទេ។
ការពិសោធន៍មានជម្រើស 11 ដងជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញនៃធាតុមួយនៃសំណុំនេះ - សិស្សម្នាក់ៗក្នុងចំនោមសិស្សទាំង 11 នាក់ត្រូវបានស្ទង់មតិ ឬមិនបានស្ទង់មតិ។
នៅក្នុងកិច្ចការនេះ វាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែថាធាតុណាមួយនៃសំណុំត្រូវបានជ្រើសរើសទេ (ចំនួនសិស្សត្រូវបានស្ទង់មតិ និងចំនួនប៉ុន្មានដែលមិនមាន)
ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងលំដាប់អ្វីដែរ (ឧ. សិស្សមួយណាត្រូវបានសម្ភាសន៍ ឬអត់)។
ចំនួននៃវិធីនៃការជ្រើសរើសបែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួននៃការដាក់ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗនៃ 2 ធាតុនៃ 11; .
6. ការរួមផ្សំជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ
ពិចារណាបញ្ហានៃចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ៖
មានវត្ថុដូចគ្នាបេះបិទនៃប្រភេទ n នីមួយៗ។
តើអាច m (m<= r) из этих (n x r) предметов?
និយមន័យ. ការផ្សំជាមួយពាក្យដដែលៗគឺជាសមាសធាតុនៃ n នៃ m នីមួយៗ (ការជ្រើសរើសជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញនៃធាតុ m) ដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងសមាសភាពប៉ុណ្ណោះ ហើយសមាសធាតុនីមួយៗអាចមានធាតុដដែលៗ។
កិច្ចការ. មាន 2 អក្សរ A, 2 អក្សរ B, 2 អក្សរ C. តើអ្នកអាចជ្រើសរើសអក្សរពីរក្នុងចំណោមអក្សរទាំងប្រាំមួយបានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ។ មាន 6 វិធីដើម្បីជ្រើសរើសអក្សរ 2 ក្នុងចំណោម 6 ដោយពាក្យដដែលៗ៖ (AA), (AB), (AC), (BC), (BB), (CC) ។ ការបញ្ជាទិញមានដូចខាងក្រោម៖
ចំនួនអក្សរមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាទេ។
ទ្រឹស្តីបទ. ចំនួននៃបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗគឺស្មើនឹង
ភស្តុតាង។ សូមឱ្យមានវត្ថុនៃប្រភេទផ្សេងគ្នា។ តើមានការតភ្ជាប់ប៉ុន្មាននៃធាតុ m អាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីពួកវាប្រសិនបើយើងមិនគិតពីលំដាប់នៃធាតុ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំធាតុនៅក្នុងបន្សំនីមួយៗតាមប្រភេទ (ដំបូងធាតុទាំងអស់នៃប្រភេទទី 1 បន្ទាប់មកទី 2 ។ ល។ ) ។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងប្តូរធាតុទាំងអស់នៅក្នុងបន្សំ ប៉ុន្តែបន្ថែមលេខ 1 ទៅលេខនៃធាតុនៃប្រភេទទីពីរ 2 នៃប្រភេទទីបី។ 1, 2,..., n + m – 1 ហើយការផ្សំគ្នាមានធាតុ m ។
វាធ្វើតាមនោះ។
កិច្ចការ. បណ្ណាល័យបច្ចេកទេសមានសៀវភៅគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជាដើម សរុបចំនួន ១៦ ផ្នែកនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។
ការបញ្ជាទិញ 4 ផ្សេងទៀតសម្រាប់អក្សរសិល្ប៍ត្រូវបានទទួល។ តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការបញ្ជាទិញបែបនេះ?
ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារសៀវភៅដែលបានបញ្ជាទិញចំនួន 4 អាចមកពីផ្នែកដូចគ្នានៃវិទ្យាសាស្ត្រ ឬពីផ្នែកផ្សេងៗគ្នា ហើយលំដាប់នៃការជ្រើសរើសផ្នែកមិនសំខាន់ទេ ចំនួននៃជម្រើសនៃការបញ្ជាទិញត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនបន្សំជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗនៃ 16 ធាតុនៃ 4 ពោលគឺឧ។
កិច្ចការ. ហាងកុម្មង់នំមានលក់នំ ៤ ប្រភេទ៖ ណាប៉ូឡេអុង នំអន្សម នំប៉័ងខ្លី និងនំប៉ាវ។ តើអ្នកអាចទិញនំ៧មុខបានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ. ជាក់ស្តែង លំដាប់ដែលនំត្រូវបានជ្រើសរើសមិនសំខាន់ទេ ហើយការផ្សំអាចរួមបញ្ចូលធាតុដដែលៗ (ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចទិញនំអេកឡឺរចំនួន 7) ។ ជាលទ្ធផលចំនួននៃវិធីដើម្បីទិញនំ 7 ត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួននៃការផ្សំជាមួយនឹងការធ្វើឡើងវិញនៃ 4 ធាតុនៃ 7, i.e.
7. បន្សំនៃភាគថាស
ក្នុងថ្នាក់នៃបញ្ហានេះ សូមពិចារណាបញ្ហាពីរខាងក្រោមនេះ៖
1. បានផ្តល់ n វត្ថុផ្សេងគ្នា និង k ក្រុមផ្សេងគ្នា។ តើវត្ថុផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានចែកជាប៉ុន្មានវិធីទៅក្នុងក្រុម k ផ្សេងគ្នា ប្រសិនបើក្រុមទទេត្រូវបានអនុញ្ញាត? ខាងក្រោមនេះយើងនឹងបង្ហាញថាចំនួនវិធីគឺស្មើនឹង k^n ។
2. បានផ្តល់ n វត្ថុផ្សេងគ្នា និង k ក្រុមផ្សេងគ្នា។ តើមានវិធីប៉ុន្មានដែល n វត្ថុផ្សេងគ្នាត្រូវបានចែកចាយទៅជាក្រុម k ប្រសិនបើមានវត្ថុ n1 នៅក្នុងក្រុមទីមួយ n2 នៅក្នុងក្រុមទីពីរ nk នៅក្នុងក្រុម k ដែល n 1 + n2 +... + nk = ន. ខាងក្រោមនេះយើងនឹងបង្ហាញថាចំនួនវិធីគឺស្មើគ្នា
ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទីមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រជាជនជាក្រុម k ផ្សេងគ្នា (1, 2, ..., k) ។ យើងអាចគិតពីការពិសោធដែលមានការជ្រើសរើស n-fold ត្រឡប់លេខក្រុមសម្រាប់ធាតុនីមួយៗ។ សូមចំណាំថា ដោយសារធាតុមានភាពខុសគ្នា វាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែក្រុមណាដែលត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ធាតុប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងលំដាប់អ្វីដែលក្រុមទាំងនេះត្រូវបានជ្រើសរើសផងដែរ។ ដូច្នេះចំនួននៃវិធីដើម្បីបែងចែក n វត្ថុផ្សេងគ្នាទៅជាក្រុម k ត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួននៃការដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗនិងធាតុ k នៃ n:
ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទីពីរ។
ការបែងចែក n ទៅជាក្រុម k អាចធ្វើបានដូចខាងក្រោម។ ដំបូងយើងដាក់វត្ថុ n ទាំងអស់ជាប់គ្នា។ បន្ទាប់ពីនេះយកវត្ថុ n1 ដំបូងហើយដាក់វានៅក្នុងក្រុមទី 1 វត្ថុ n2 ទីពីរនៅក្នុងក្រុមទីពីរ ... វត្ថុ nk ចុងក្រោយនៅក្នុងក្រុម k-th ។ វាច្បាស់ណាស់ថាដោយការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងនៃវត្ថុក្នុងជួរដេកមួយ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានប្រភេទទាំងអស់នៃភាគថាសនៃវត្ថុ។ ដោយសារចំនួននៃការបំប្លែងនៃធាតុ n គឺ n! នោះចំនួនវត្ថុក្នុងជួរគឺ n! ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះយើងកត់សម្គាល់ថាការរៀបចំឡើងវិញនៃវត្ថុ n1 ដំបូងមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់ក៏ដូចជា n2 ទីពីរ ... , និង nk ចុងក្រោយ។ តាមក្បួនផលិតផលយើងទទួលបាន n1!n2!...nk! ការរៀបចំឡើងវិញនៃវត្ថុដែលមិនផ្លាស់ប្តូរលទ្ធផលនៃភាគថាស។ ដូច្នេះចំនួននៃវិធីដើម្បីបំបែកជាក្រុមគឺស្មើនឹង
រូបមន្តគឺដូចគ្នានឹងរូបមន្តសម្រាប់ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងការធ្វើដដែលៗ។ លទ្ធផលដូចគ្នាអាចមកដល់ខុសគ្នា។ យើងជ្រើសរើសធាតុ n1 ដំបូងពីធាតុ n ។ ដោយសារលំដាប់នៃធាតុដែលបានជ្រើសរើសគឺព្រងើយកណ្តើយ វាមានជម្រើស។ បន្ទាប់ពីនេះយើងជ្រើសរើសធាតុ n2 បន្ទាប់ពី n - n1 ដែលនៅសល់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធី។ល។
ទីបំផុតយើងជ្រើសរើសធាតុ nk ចុងក្រោយពី nk ដែលនៅសល់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើ, នោះគឺនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់។ ដោយប្រើច្បាប់ផលិតផល យើងឃើញថាចំនួនវិធីចែកជាក្រុមគឺស្មើនឹង
ដូចដែលយើងឃើញ បញ្ហាភាគថាសនាំទៅរករូបមន្តផ្សំដែលគេស្គាល់រួចហើយ។
កិច្ចការ។បាល់ដូចគ្នាបេះបិទចំនួន 7 ត្រូវបានរាយប៉ាយដោយចៃដន្យនៅទូទាំង 4 រន្ធ (ចំនួនគ្រាប់បាល់ណាមួយអាចបញ្ចូលទៅក្នុងរន្ធមួយ)។ តើមានវិធីប៉ុន្មានផ្សេងគ្នាក្នុងការចែកចាយបាល់ចំនួន 7 ក្នុងចំណោមរន្ធចំនួន 4?
ដំណោះស្រាយ។ យើងមានបាល់ចំនួន 7 ដែលយើងចែកចាយជាង 4 រន្ធ (រន្ធអាចទទេ) ពោលគឺវាត្រូវគ្នាទៅនឹងបញ្ហាដំបូងនៃភាគថាស ចំនួនវិធីគឺ 4^7 = 16348
កិច្ចការ។ នៅពេលលេង dominoes អ្នកលេង 4 នាក់ចែកគ្រាប់ឡុកឡាក់ 28 ស្មើៗគ្នា។ តើគេអាចធ្វើបែបនេះតាមវិធីប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ។ នេះគឺជាបញ្ហាអំពីការបែងចែកគ្រាប់ឡុកឡាក់ 28 គ្រាប់រវាងអ្នកលេង 4 នាក់ គ្រាប់ឡុកឡាក់ 7 គ្រាប់នីមួយៗ។ ដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានខាងលើសម្រាប់ចំនួនវិធីនៃផ្នែកបែបនេះ (បញ្ហាទី 2) យើងមាន
8. អនុសាសន៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា
ការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សំគ្នា គឺជាការលំបាកដែលគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង។ មានហេតុផលជាច្រើន ប៉ុន្តែមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាក់ស្តែង - នៅពេលបង្ហាញ combinatorics វាក្យស័ព្ទជាក់លាក់របស់វាត្រូវបានប្រើ (ចំនួនប្រជាជនទូទៅ គំរូ ច្បាប់ជ្រើសរើស)។ នៅក្នុងបញ្ហាជាក្បួនពាក្យទាំងនេះមិនមានវត្តមានទេ - វាត្រូវបានបង្កើតឡើងជាភាសាអក្សរសាស្ត្រសាមញ្ញនិងបន្សំ។
គោលគំនិតជាតិមានវត្តមាននៅក្នុងវាក្នុងទម្រង់មិនច្បាស់លាស់។ ដូច្នេះបន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់នៃមាតិកានៃភារកិច្ចអ្នកត្រូវ "បកប្រែ" វា។
ទៅជាភាសាគណិតវិទ្យា។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងយល់
1) តើអ្វីជាប្រជាជនទូទៅ - វានឹងមានវត្តមាននៅក្នុងបញ្ហាជានិច្ច ពោលគឺបញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នាគឺទាក់ទង
មានការព្រួយបារម្ភជាមួយនឹងជម្រើសនៃវត្ថុ ហើយជម្រើសនេះត្រូវបានធ្វើឡើងពីអ្វីមួយ (ប្រជាជនទូទៅ); តើអ្វីជាបរិមាណនៃក្រុមប្រឹក្សាទូទៅ
សរុប;
2) ប្រជាជនទូទៅមួយឬច្រើន;
3) អ្វីដែលជាគំរូនិងអ្វីដែលជាទំហំគំរូ;
៤) ច្បាប់ជ្រើសរើស៖ តើពាក្យដដែលៗអាចទទួលយកបានឬអត់ លំដាប់នៃធាតុដែលបានជ្រើសរើសមានសារៈសំខាន់ តើអាចផ្លាស់ប្តូរសមាសភាពបានទេ។
បន្ទាប់ពីនេះ វាមានប្រយោជន៍សម្រាប់ខ្លួនអ្នកក្នុងការកែទម្រង់បញ្ហាជាភាសានៃប្រជាជនទូទៅ និងគំរូ។ អាស្រ័យ
អាស្រ័យលើស្ថានភាពសូមជ្រើសរើសរូបមន្តដែលចង់បាន (សូមមើលតារាង) ។ ពេលខ្លះក្នុងបញ្ហាស្មុគស្មាញ ចាំបាច់ត្រូវប្រើមិនមែន
តើមានរូបមន្តប៉ុន្មាន?
សរុបសេចក្តីមក យើងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលេខ។
ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតតារាងនៃលេខបែបនេះដោយប្រើរូបមន្ត (3.11)។
តារាងលេខមានរាងត្រីកោណហើយត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ Pascalដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូ Blaise Pascal (1623-1662) ។ តាមរយៈការវិភាគត្រីកោណរបស់ Pascal វាងាយស្រួលក្នុងការមើលលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលេខ។
លក្ខណសម្បត្តិ 1 – 2 ធ្វើតាមនិយមន័យនៃបន្សំជាសំណុំរងដែលមាន មធាតុនៃសំណុំដែលមាន នធាតុ។
លក្ខណៈសម្បត្តិ 3 – 5 ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិ 4 ត្រីកោណរបស់ Pascal អាចត្រូវបានពង្រីកយ៉ាងងាយស្រួលចុះក្រោមដោយចំនួនជំហានណាមួយ។
រូបភាព 3.2 ដ្យាក្រាមសម្រាប់កំណត់ប្រភេទនៃការរៀបចំ និងការជ្រើសរើសរូបមន្ត
ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k ន kកូអរដោនេផ្សេងគ្នា។
ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
ឧទាហរណ៍៖តើអ្នកអាចបង្កើតលេខ 3 ខ្ទង់ដែលមានលេខខុសគ្នាដែលមិនមានលេខ 0 តាមវិធីប៉ុន្មាន?
ចំនួនខ្ទង់ 
, វិមាត្រនៃវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នា 
ចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗ
ចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k គឺជាចំនួននៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន នធាតុផ្សេងគ្នាបង្កើតវ៉ិចទ័រជាមួយ kកូអរដោណេ ដែលខ្លះអាចដូចគ្នាបេះបិទ។
ចំនួននៃការដាក់ជាមួយពាក្យដដែលៗត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
.
ឧទាហរណ៍៖តើពាក្យប្រវែង ៦ អាចត្រូវបានបង្កើតចេញពី ២៦ អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំងប៉ុន្មាន?
ចំនួនអក្សរ 
, វិមាត្រវ៉ិចទ័រ 
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ធាតុ គឺជាចំនួនវិធីដែលវាអាចត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងផ្សេងៗគ្នា នធាតុផ្សេងៗ។
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
.
មតិយោបល់៖ថាមពលនៃសំណុំដែលត្រូវការ កវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដោយប្រើរូបមន្ត៖ 
, កន្លែងណា X- ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសកន្លែងដែលចង់បាន; នៅ- ចំនួននៃវិធីដើម្បីរៀបចំធាតុចាំបាច់នៅលើពួកវា; z- ចំនួនវិធីរៀបចំធាតុដែលនៅសល់នៅកន្លែងដែលនៅសល់។
ឧទាហរណ៍។តើសៀវភៅ៥ក្បាលផ្សេងគ្នាអាចរៀបចំលើធ្នើរសៀវភៅបានប៉ុន្មានរបៀប? តើសៀវភៅជាក់លាក់ពីរ A និង B នៅជាប់គ្នាប៉ុន្មានករណី?
ចំនួនសរុបនៃវិធីដើម្បីរៀបចំសៀវភៅចំនួន 5 ក្នុង 5 កន្លែងគឺស្មើនឹង 
= 5! = 120.
នៅក្នុងបញ្ហា X- ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសកន្លែងពីរនៅជិត, X= 4;នៅ- ចំនួនវិធីក្នុងការរៀបចំសៀវភៅពីរក្បាលក្នុងពីរកន្លែង។ នៅ = 2! = 2;
z- ចំនួនវិធីដើម្បីដាក់សៀវភៅ 3 ដែលនៅសល់ក្នុង 3 កន្លែងដែលនៅសល់។ z= ៣! = 6. ដូច្នេះ 
=
48.
ចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
ចំនួនបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗពី ន ដោយ k គឺជាចំនួននៃវិធីដែលមនុស្សម្នាក់អាចធ្វើបាន នធាតុផ្សេងគ្នាដើម្បីជ្រើសរើស kបំណែកដោយមិនគិតពីការបញ្ជាទិញ។
ចំនួននៃបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
.
លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
ឧទាហរណ៍។មានបាល់ចំនួន 7 នៅក្នុងកោដ្ឋ។ ក្នុងនោះមាន៣ពណ៌ស។ បាល់ចំនួន 3 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី? តើមានមនុស្សស្បែកសម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេប៉ុន្មានករណី?
វិធីសរុប 
. ដើម្បីទទួលបានចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសបាល់ពណ៌ស 1 (ក្នុងចំណោម 3 គ្រាប់ពណ៌ស) និង 2 គ្រាប់ខ្មៅ (ក្នុងចំណោម 4 គ្រាប់ខ្មៅ) អ្នកត្រូវគុណ 
និង 
ដូច្នេះចំនួននៃវិធីដែលត្រូវការ 
លំហាត់
1. ក្នុងចំណោមសិស្ស 35 នាក់នៅក្នុងថ្នាក់នៅចុងឆ្នាំ 14 មនុស្សមាន "5" នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា - 15 នាក់; គីមីវិទ្យា - 18 នាក់; នៅក្នុងគណិតវិទ្យានិងរូបវិទ្យា - 7 នាក់; ក្នុងគណិតវិទ្យា និងគីមីវិទ្យា - ៩នាក់; នៅក្នុងរូបវិទ្យានិងគីមីវិទ្យា - 6 នាក់; នៅក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងបី - 4 នាក់។ តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមាន "5" នៅក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងនេះ? តើមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលមិនមាន "A" ក្នុងមុខវិជ្ជាទាំងនេះ? មាន “A” តែក្នុងគណិតវិទ្យាទេ? មាន "A" ត្រឹមតែពីរមុខវិជ្ជាទេ?
2. ក្នុងក្រុមសិស្ស 30 នាក់ គ្រប់គ្នាដឹងយ៉ាងហោចណាស់ភាសាបរទេសមួយ គឺភាសាអង់គ្លេស ឬអាល្លឺម៉ង់។ សិស្ស 22 នាក់និយាយភាសាអង់គ្លេស 17 នាក់និយាយភាសាអាឡឺម៉ង់តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ចេះភាសាទាំងពីរ? តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលចេះភាសាអាឡឺម៉ង់ តែមិនចេះភាសាអង់គ្លេស?
3. និស្សិតមកពីប្រទេសរុស្ស៊ីរស់នៅក្នុង 20 បន្ទប់នៃអន្តេវាសិកដ្ឋាននៃវិទ្យាស្ថានមិត្តភាពប្រជាជន; នៅក្នុង 15 - ពីអាហ្វ្រិក; 20 មកពីបណ្តាប្រទេសនៅអាមេរិកខាងត្បូង។ លើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុង 7 - ជនជាតិរុស្ស៊ីនិងអាហ្វ្រិករស់នៅ, ក្នុង 8 - ជនជាតិរុស្ស៊ីនិងអាមេរិកខាងត្បូង; នៅក្នុង 9 - អាហ្វ្រិកនិងអាមេរិកខាងត្បូង; នៅក្នុង 3 - រុស្ស៊ី អាមេរិកខាងត្បូង និងអាហ្វ្រិក។ តើសិស្សរស់នៅប៉ុន្មានបន្ទប់៖ 1) មកពីទ្វីបតែមួយ; 2) តែមកពីទ្វីបពីរ; 3) មានតែជនជាតិអាហ្វ្រិកប៉ុណ្ណោះ។
4. សិស្សម្នាក់ៗក្នុងចំនោម 500 នាក់ត្រូវបានតម្រូវឱ្យចូលរៀនយ៉ាងហោចណាស់វគ្គពិសេសមួយក្នុងចំនោមបីមុខវិជ្ជា៖ គណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ។ វគ្គសិក្សាពិសេសចំនួនបីត្រូវបានចូលរួមដោយសិស្សចំនួន 10 នាក់ ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា - សិស្ស 30 នាក់ ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ - 25 នាក់; វគ្គសិក្សាពិសេសផ្នែករូបវិទ្យា - សិស្ស 80 នាក់។ គេដឹងដែរថា សិស្សចំនួន ៣៤៥ នាក់ចូលរៀនវគ្គពិសេសមួយផ្នែកគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា ១៤៥ នាក់ និងនិស្សិតតារាសាស្ត្រ ១០០ នាក់។ តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់ដែលរៀនវគ្គពិសេសផ្នែកតារាសាស្ត្រ? តើមានសិស្សប៉ុន្មាននាក់រៀនវគ្គពិសេសពីរ?
5. ប្រធានវគ្គបានធ្វើបទបង្ហាញអំពីការងារអប់រំកាយដូចខាងក្រោម។ សរុប - សិស្ស 45 នាក់។ ផ្នែកបាល់ទាត់ - 25 នាក់ ផ្នែកបាល់បោះ - 30 នាក់ ផ្នែកអុក - 28 នាក់។ ជាមួយគ្នានេះដែរ មនុស្សចំនួន ១៦ នាក់ ចូលរួមក្នុងពេលដំណាលគ្នា ផ្នែកបាល់ទាត់ និងបាល់បោះ ១៨ នាក់ - បាល់ទាត់ និងអុក ១៧ - បាល់បោះ និងអុក ១៥ នាក់ចូលរួមទាំងបីផ្នែក។ ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលរបាយការណ៍មិនត្រូវបានទទួលយក។
6. មានត្រីចំនួន 11 នៅក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រី។ ក្នុងនោះមាន៤ពណ៌ក្រហម សល់ពណ៌មាស។ ត្រីចំនួន ៤ ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន? ស្វែងរកចំនួននៃវិធីដើម្បីធ្វើដូច្នេះថាក្នុងចំណោមពួកគេមាន: 1) ពិតប្រាកដមួយគឺក្រហម; 2) ពិតប្រាកដ 2 មាស; 3) យ៉ាងហោចណាស់មួយមានពណ៌ក្រហម។
7. មាន 8 ឈ្មោះក្នុងបញ្ជី។ ក្នុងនោះស្រី៤នាក់។ តើគេអាចបែងចែកជាពីរក្រុមស្មើៗគ្នាបានប៉ុន្មានយ៉ាង ទើបម្នាក់ៗមាននាមត្រកូលស្រី?
8. ពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹក សូមជ្រើសរើស 4 ។ តើមានវិធីប៉ុន្មានយ៉ាងដែលអាចធ្វើបានដូច្នេះ៖ 1) សន្លឹកបៀទាំងអស់មានលក្ខណៈខុសៗគ្នា។ 2) សន្លឹកបៀទាំងអស់មានឈុតដូចគ្នា; ៣) ក្រហម ២ និងខ្មៅ ២ ។
9. នៅលើសន្លឹកបៀអក្ខរក្រមកាត់មានអក្សរ K, K, K, U, U, A, E, R. តើអ្នកអាចដាក់ពួកវាជាជួរៗបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យវាប្រែជា “ក្អែក”។
10. សន្លឹកបៀនៃអក្ខរក្រមកាត់ដែលមានអក្សរ O, T, O, L, O, R, I, N, G, O, L, O, G ត្រូវបត់បានប៉ុន្មានវិធី ដើម្បីអោយពាក្យ “។ otolaryngologist” ត្រូវបានបង្កើតឡើង?
11. សន្លឹកបៀដែលកាត់អក្ខរក្រមដែលមានអក្សរ L, I, T, E, R, A, T, U, R, A តើអ្នកអាចដាក់ពួកវាជាជួរបានប៉ុន្មានវិធី ទើបអ្នកទទួលបានពាក្យថាអក្សរសិល្ប៍។ .
12. 8 នាក់ឈរតម្រង់ជួរ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យមនុស្សជាក់លាក់ A និង B ពីរនាក់គឺ: 1) នៅជាប់គ្នា; 2) នៅគែមនៃជួរ;
13. 10 នាក់អង្គុយនៅតុមូលមួយដែលមាន 10 កៅអី។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី ដើម្បីឲ្យមនុស្សខាងក្រោមនៅក្បែរនោះ៖ 1) មនុស្សជាក់លាក់ពីរនាក់ A និង B; 2) មនុស្សជាក់លាក់បីនាក់ A, B និង C ។
14. លេខអារ៉ាប់ 10 បង្កើតជាលេខកូដ 5 ខ្ទង់។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបណាខ្លះ៖ 1) លេខទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ 2) កន្លែងចុងក្រោយគឺជាលេខគូ។
15. 26 អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង (រួមទាំងស្រៈ 6) បង្កើតជាពាក្យប្រាំមួយអក្សរ។ តើវាអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធីដើម្បីឱ្យពាក្យមាន៖ 1) អក្សរ "a" ពិតប្រាកដមួយ; 2) អក្សរស្រៈមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ; ពិតប្រាកដពីរអក្សរ "a"; គ) ស្រៈពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។
16. តើលេខបួនខ្ទង់ប៉ុន្មានចែកនឹង 5?
17. តើលេខបួនខ្ទង់ដែលមានលេខខុសគ្នាប៉ុន្មានត្រូវបែងចែកដោយ 25?
19. គ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 ត្រូវបានបោះចោល។ តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មានករណី៖ 1) ពិតប្រាកដ 1 "ប្រាំមួយ"; 2) យ៉ាងហោចណាស់មួយ "ប្រាំមួយ" ។
20. គ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 ត្រូវបានបោះចោល។ តើមានប៉ុន្មានករណី៖ 1) មនុស្សគ្រប់រូបគឺខុសគ្នា។ 2) ចំនួនពីរដូចគ្នាបេះបិទនៃចំនុច។
21. តើពាក្យប៉ុន្មានដែលមានអក្សរផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតចេញពីអក្ខរក្រម a, b, c, d ។ រាយពួកវាទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ៖ abcd, abcd…។
ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុពី នធាតុផ្សេងគ្នាត្រូវបានយកតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ នៅក្នុងការរៀបចំឡើងវិញ លំដាប់នៃធាតុមានសារៈសំខាន់ ហើយធាតុទាំងអស់ត្រូវតែជាប់ពាក់ព័ន្ធក្នុងការរៀបចំឡើងវិញ។ នធាតុ។
កិច្ចការ៖ ស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់លំដាប់នៃលេខ 1, 2, 3 ។
ការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោមមាន៖
1:
1 2 3
2:
1 3 2
3:
2 1 3
4:
2 3 1
5:
3 1 2
6:
3 2 1
ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរសម្រាប់ N ធាតុផ្សេងគ្នាគឺ ន!. ពិតជា៖
- មួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងដំបូង នធាតុ (ជម្រើសសរុប ន),
- នៅសល់ណាមួយអាចត្រូវបានដាក់នៅទីតាំងទីពីរ (N-1)ធាតុ (ជម្រើសសរុប N·(N-1)),
- ប្រសិនបើយើងបន្តលំដាប់នេះសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា នកន្លែង, យើងទទួលបាន: N·(N-1)·(N-2)· … ·1នោះគឺសរុប ន!ការផ្លាស់ប្តូរ។
ពិចារណាបញ្ហានៃការទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរលេខទាំងអស់។ 1… ន(នោះគឺជាលំដាប់នៃប្រវែង ន) ដែលលេខនីមួយៗបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ 1 ដង។ មានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការបញ្ជាទិញដែលការផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានទទួល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយញឹកញាប់បំផុតគឺការបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុង វចនានុក្រមលំដាប់ (សូមមើលឧទាហរណ៍ខាងលើ) ។ ក្នុងករណីនេះ ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ត្រូវបានតម្រៀបដំបូងដោយលេខទីមួយ បន្ទាប់មកដោយលេខទីពីរ។ល។ នៅក្នុងលំដាប់ឡើង។ ដូច្នេះទីមួយនឹងជាការផ្លាស់ប្តូរ 12… ននិងចុងក្រោយ - N N-1…1.
ចូរយើងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ លំដាប់លេខដើមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីទទួលបានការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ អ្នកត្រូវតែអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ
- វាចាំបាច់ក្នុងការរកមើលការផ្លាស់ប្តូរបច្ចុប្បន្នពីស្តាំទៅឆ្វេងហើយក្នុងពេលតែមួយត្រូវប្រាកដថាធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃការបំប្លែង (ធាតុដែលមានលេខខ្ពស់ជាង) គឺមិនលើសពីធាតុមុន (ធាតុដែលមានលេខទាបជាង) . ដរាបណាសមាមាត្រនេះត្រូវបានបំពាន អ្នកត្រូវតែឈប់ ហើយសម្គាល់លេខបច្ចុប្បន្ន (ទីតាំង 1)។
- ពិនិត្យមើលផ្លូវដែលបានធ្វើដំណើរម្តងទៀតពីស្តាំទៅឆ្វេង រហូតដល់យើងឈានដល់លេខទីមួយ ដែលធំជាងការសម្គាល់ក្នុងជំហានមុន។
- ផ្លាស់ប្តូរធាតុលទ្ធផលទាំងពីរ។
- ឥឡូវនេះនៅក្នុងផ្នែកនៃអារេដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំនៃទីតាំង 1 អ្នកត្រូវតម្រៀបលេខទាំងអស់តាមលំដាប់ឡើង។ ចាប់តាំងពីមុននេះ ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានសរសេររួចជាស្រេចក្នុងលំដាប់ចុះមក វាចាំបាច់ក្នុងការបង្វែរផ្នែកនៃបន្តបន្ទាប់នេះ។
វិធីនេះយើងនឹងទទួលបានលំដាប់ថ្មីមួយ ដែលនឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាជំហានដំបូងក្នុងជំហានបន្ទាប់។
ការអនុវត្តនៅក្នុង C ++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
# រួមបញ្ចូល
ដោយប្រើ namespace std;
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n − 2;
ខណៈ (j != -1 && a[j] >= a) j--;
ប្រសិនបើ (j == -1)
ត្រឡប់មិនពិត; // មិនមានការផ្លាស់ប្តូរទៀតទេ
int k = n − 1;
ខណៈ (a[j] >= a[k]) k--;
ប្តូរ(a,j,k);
int l = j + 1, r = n − 1;
ខណៈពេលដែល (l
ត្រឡប់ពិត;
}
void Print(int *a, int n) // លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ
{
ឋិតិវន្ត int num = 1; // លេខផ្លាស់ប្តូរ
cout.width(3);
cout<<
num++ <<
": "
;
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
cout<<
a[i] <<
" "
;
cout<<
endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout<<
"N = "
;
cin >> n;
a = ថ្មី int[n];
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = ខ្ញុំ + 1;
បោះពុម្ព (a, n);
ខណៈពេល (NextSet(a, n))
បោះពុម្ព (a, n);
cin.get(); cin.get();
ត្រឡប់ 0;
}
លទ្ធផលប្រតិបត្តិ
ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
បញ្ហានៃការបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស នធាតុក្នុងករណីដែលធាតុនៃលំដាប់អាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។ ចូរនិយាយថាលំដាប់ដើមមានធាតុ n 1 , n 2 ... n kដែលជាកន្លែងដែលធាតុ n ១ធ្វើម្តងទៀតដោយខ្លួនឯង។ r ១ម្តង, n ២ធ្វើម្តងទៀតដោយខ្លួនឯង។ r ២ដង។ល។ ត្រង់ណា n 1 +n 2 +...+n k =N. ប្រសិនបើយើងរាប់អ្វីៗទាំងអស់។ n 1 + n 2 + ... + n kធាតុនៃការបំប្លែងជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗផ្សេងគ្នា នោះជាសរុបមានបំរែបំរួលខុសគ្នានៃការបំប្លែង ( n 1 +n 2 +...+n k)!. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងចំណោមការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ មិនមែនទាំងអស់សុទ្ធតែខុសគ្នានោះទេ។ តាមពិតអ្វីៗទាំងអស់។ r ១ធាតុ n ១យើងអាចប្តូរកន្លែងជាមួយគ្នាបាន ហើយវានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរការផ្លាស់ប្តូរទេ។ តាមរបៀបដូចគ្នាយើងអាចរៀបចំធាតុឡើងវិញ n ២, n ៣ល. ជាលទ្ធផលយើងមាន r ១!ជម្រើសសម្រាប់ការសរសេរការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាជាមួយនឹងការរៀបចំផ្សេងគ្នានៃធាតុដដែលៗ n ១. ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរ r 1 !·r 2 !·...·r k !វិធី។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នាជាមួយពាក្យដដែលៗគឺស្មើនឹង
ដើម្បីបង្កើតការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ អ្នកអាចប្រើក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតការផ្លាស់ប្តូរដោយមិនប្រើពាក្យដដែលៗដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ ចូរយើងណែនាំធាតុដដែលៗទៅក្នុងអារេ a ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាកូដកម្មវិធីសម្រាប់បង្កើតការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ (មានតែកូដមុខងារ main() ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ)។
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
# រួមបញ្ចូល
ដោយប្រើ namespace std;
void swap (int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n − 2;
ខណៈ (j != -1 && a[j] >= a) j--;
ប្រសិនបើ (j == -1)
ត្រឡប់មិនពិត; // មិនមានការផ្លាស់ប្តូរទៀតទេ
int k = n − 1;
ខណៈ (a[j] >= a[k]) k--;
ប្តូរ(a,j,k);
int l = j + 1, r = n − 1; // តម្រៀបនៅសល់នៃលំដាប់
ខណៈពេលដែល (l
ត្រឡប់ពិត;
}
void Print(int *a, int n) // លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ
{
ឋិតិវន្ត int num = 1; // លេខផ្លាស់ប្តូរ
cout.width(3); // ទទឹងនៃវាលលទ្ធផលលេខ permutation
cout<<
num++ <<
": "
;
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
cout<<
a[i] <<
" "
;
cout<<
endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout<<
"N = "
;
cin >> n;
a = ថ្មី int[n];
សម្រាប់ (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = ខ្ញុំ + 1;
a = 1; // ធាតុធ្វើម្តងទៀត
បោះពុម្ព (a, n);
ខណៈពេល (NextSet(a, n))
បោះពុម្ព (a, n);
cin.get(); cin.get();
ត្រឡប់ 0;
}
លទ្ធផលនៃក្បួនដោះស្រាយខាងលើ៖ 
COMBINATORICS
Combinatorics គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីបញ្ហានៃការជ្រើសរើស និងការរៀបចំធាតុពីសំណុំមូលដ្ឋានជាក់លាក់មួយស្របតាមច្បាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ រូបមន្ត និងគោលការណ៍នៃ combinatorics ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ហើយតាមនោះ ទទួលបានច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យដ៏ធំ ដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការយល់ដឹងត្រឹមត្រូវអំពីគំរូស្ថិតិដែលបង្ហាញខ្លួនឯងនៅក្នុងធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យា។
ច្បាប់សម្រាប់ការបូក និងគុណក្នុង combinatorics
ច្បាប់បូក។ ប្រសិនបើសកម្មភាពពីរ A និង B គឺផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក ហើយសកម្មភាព A អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី m និង B តាមវិធី n នោះសកម្មភាពមួយក្នុងចំណោមសកម្មភាពទាំងនេះ (A ឬ B) អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី n + m ។
ឧទាហរណ៍ ១.
មានក្មេងប្រុស ១៦ នាក់ ស្រី ១០ នាក់នៅក្នុងថ្នាក់។ តើអ្នកអាចចាត់តាំងមន្ត្រីកាតព្វកិច្ចម្នាក់តាមវិធីប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ
ទាំងក្មេងប្រុសឬក្មេងស្រីអាចត្រូវបានចាត់តាំងឱ្យបំពេញកាតព្វកិច្ច, i.e. មន្រ្តីកាតព្វកិច្ចអាចជាក្មេងប្រុស 16 នាក់ឬក្មេងស្រីណាម្នាក់ក្នុងចំណោម 10 ។
ដោយប្រើច្បាប់បូក យើងរកឃើញថាមន្ត្រីកាតព្វកិច្ចម្នាក់អាចត្រូវបានចាត់តាំងតាមវិធី 16+10=26។
ច្បាប់ផលិតផល។ អនុញ្ញាតឱ្យមានសកម្មភាព k ដែលត្រូវអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រសិនបើសកម្មភាពទីមួយអាចអនុវត្តបានដោយវិធី n 1 សកម្មភាពទីពីរនៅក្នុងវិធី n 2 ទីបីនៅក្នុងវិធី n 3 និងបន្តរហូតដល់សកម្មភាព kth ដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងវិធី n k បន្ទាប់មកសកម្មភាព k ទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្ត។ :
វិធី។
ឧទាហរណ៍ ២.
មានក្មេងប្រុស ១៦ នាក់ ស្រី ១០ នាក់នៅក្នុងថ្នាក់។ តើមន្ត្រីកាតព្វកិច្ចពីររូបអាចត្រូវតែងតាំងដោយរបៀបណា?
ដំណោះស្រាយ
មិនថាក្មេងប្រុសឬក្មេងស្រីអាចត្រូវបានតែងតាំងជាអ្នកដំបូងដែលបំពេញកាតព្វកិច្ច។ ដោយសារតែ មានក្មេងប្រុស 16 នាក់ និងក្មេងស្រី 10 នាក់នៅក្នុងថ្នាក់ បន្ទាប់មកអ្នកអាចតែងតាំងមនុស្សដំបូងនៅលើកាតព្វកិច្ចតាមវិធី 16+10=26 ។
បន្ទាប់ពីយើងបានជ្រើសរើសមន្ត្រីកាតព្វកិច្ចទីមួយហើយ យើងអាចជ្រើសរើសអ្នកទីពីរពីមនុស្ស 25 នាក់ដែលនៅសេសសល់គឺ ឧ. 25 វិធី។
យោងតាមទ្រឹស្តីបទគុណ អ្នកចូលរួមពីរនាក់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី 26*25=650។
បន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ ការផ្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ
បញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួននៃបន្សំដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារអាចបញ្ជាក់បានដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ជ្រើសរើស m ពី n ធាតុផ្សេងគ្នា?
ឧទាហរណ៍ ៣.
អ្នកត្រូវតែជ្រើសរើសសៀវភៅ 4 ក្នុងចំណោម 10 ផ្សេងៗគ្នាដែលមានជាអំណោយ។ តើនេះអាចធ្វើតាមរបៀបប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ
យើងត្រូវជ្រើសរើសសៀវភៅ 4 ក្បាលក្នុងចំណោម 10 ហើយលំដាប់នៃជម្រើសមិនមានបញ្ហាទេ។ ដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួនបន្សំនៃធាតុទាំង ១០ នៃ ៤៖
.
ពិចារណាពីបញ្ហានៃចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗ៖ មានវត្ថុដូចគ្នាបេះបិទនៃប្រភេទនីមួយៗនៃ n ប្រភេទផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ជ្រើសរើស m() ពី ទាំងនេះ (n*r) ធាតុ?
.
ឧទាហរណ៍ 4 ។
ហាងកុម្មង់នំមានលក់នំ ៤ ប្រភេទ៖ ណាប៉ូឡេអុង នំអន្សម នំប៉័ងខ្លី និងនំប៉ាវ។ តើអ្នកអាចទិញនំ៧មុខបានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ
ដោយសារតែ ក្នុងចំណោមនំទាំង 7 អាចមាននំប្រភេទដូចគ្នា បន្ទាប់មកចំនួននៃវិធីដែលនំ 7 អាចទិញបានត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួននៃការផ្សំជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗពី 7 ទៅ 4 ។
.
ទីតាំងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ។ ទីតាំងជាមួយពាក្យដដែលៗ
បញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួនកន្លែងដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារអាចបង្ហាញដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ជ្រើសរើស និង ប្រកាស ដោយ m ខុសគ្នា កន្លែង m ពី n ខុសគ្នា ធាតុ?
ឧទាហរណ៍ 5 ។
កាសែតខ្លះមាន 12 ទំព័រ។ វាចាំបាច់ក្នុងការដាក់រូបថតចំនួនបួននៅលើទំព័រនៃកាសែតនេះ។ តើនេះអាចធ្វើបានតាមវិធីប៉ុន្មានយ៉ាង បើគ្មានទំព័រកាសែតគួរមានរូបថតច្រើនជាងមួយ?
ដំណោះស្រាយ។
ក្នុងកិច្ចការនេះ យើងមិនគ្រាន់តែជ្រើសរើសរូបថតនោះទេ ប៉ុន្តែដាក់វានៅលើទំព័រជាក់លាក់នៃកាសែត ហើយទំព័រនីមួយៗនៃកាសែតមិនគួរមានរូបថតលើសពីមួយសន្លឹកនោះទេ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហាបុរាណនៃការកំណត់ចំនួននៃការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៃ 12 ធាតុនៃ 4 ធាតុ:
ដូច្នេះ រូបថតចំនួន 4 នៅលើ 12 ទំព័រអាចត្រូវបានរៀបចំតាមវិធី 11,880 ។
ក៏ជាបញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួនកន្លែងដែលមានពាក្យដដែលៗ ដែលខ្លឹមសារអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច អ្នកខកងទ័ព និង ប្រកាស ដោយ m ខុសគ្នា កន្លែង m ពី n ធាតុ,ជាមួយរួចរាល់ ដែល មាន ដូចគ្នា?
ឧទាហរណ៍ ៦.
ក្មេងប្រុសនៅតែមានតែមលេខ 1, 3 និង 7 ពីសំណុំហ្គេមរបស់គាត់ គាត់បានសម្រេចចិត្តប្រើត្រាទាំងនេះដើម្បីដាក់លេខប្រាំខ្ទង់លើសៀវភៅទាំងអស់ដើម្បីបង្កើតកាតាឡុក។ តើក្មេងប្រុសអាចបង្កើតលេខប្រាំខ្ទង់បានប៉ុន្មាន?
ការផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ. ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ
បញ្ហាបុរាណនៅក្នុង combinatorics គឺជាបញ្ហានៃចំនួននៃការបំប្លែងដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ ខ្លឹមសារដែលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ ប៉ុន្មាន វិធី អាច ប្រកាស ន ផ្សេងៗ ធាតុ នៅលើ n ខុសគ្នា កន្លែង?
ឧទាហរណ៍ ៧.
តើអ្នកអាចបង្កើត "ពាក្យ" ប៉ុន្មានអក្សរពីអក្សរនៃពាក្យ "អាពាហ៍ពិពាហ៍"?
ដំណោះស្រាយ
ប្រជាជនទូទៅគឺជាអក្សរ 4 នៃពាក្យ "អាពាហ៍ពិពាហ៍" (b, p, a, k) ។ ចំនួននៃ "ពាក្យ" ត្រូវបានកំណត់ដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអក្សរទាំង 4 នេះ, i.e.
សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលក្នុងចំណោមធាតុ n ដែលបានជ្រើសរើសមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ (ការជ្រើសរើសជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) បញ្ហានៃចំនួននៃការបំប្លែងជាមួយពាក្យដដែលៗអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសំណួរ៖ តើ n វត្ថុដែលមានទីតាំងនៅកន្លែងផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញដោយរបៀបណាប្រសិនបើក្នុងចំណោមវត្ថុ n មាន k ប្រភេទផ្សេងគ្នា (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.
ឧទាហរណ៍ ៨.
តើការផ្សំអក្សរចំនួនប៉ុន្មានដែលអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីអក្សរនៃពាក្យ "Mississippi"?
ដំណោះស្រាយ
មានអក្សរ "m", 4 អក្សរ "i", 3 អក្សរ "c" និង 1 អក្សរ "p" សម្រាប់សរុប 9 អក្សរ។ ដូច្នេះចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗគឺស្មើនឹង
សេចក្តីសង្ខេបនៃផ្ទៃខាងក្រោយសម្រាប់ផ្នែក "រួមបញ្ចូលគ្នា"
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា combinatorics គឺជាសាខាឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ (និងមិនមែនជាផ្នែកនៃ terver) ហើយសៀវភៅសិក្សាដែលមានទម្ងន់ត្រូវបានសរសេរនៅលើវិញ្ញាសានេះ ដែលខ្លឹមសារដែលជួនកាលមិនងាយស្រួលជាងពិជគណិតអរូបីនោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយផ្នែកតូចមួយនៃចំណេះដឹងទ្រឹស្តីនឹងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើង ហើយនៅក្នុងអត្ថបទនេះខ្ញុំនឹងព្យាយាមវិភាគក្នុងទម្រង់ដែលអាចចូលដំណើរការបាននូវមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រធានបទជាមួយនឹងបញ្ហាបន្សំធម្មតា។ ហើយអ្នកជាច្រើននឹងជួយខ្ញុំ ;-)
តើយើងនឹងធ្វើអ្វី? ក្នុងន័យតូចចង្អៀត Combinatorics គឺជាការគណនានៃបន្សំផ្សេងៗដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីសំណុំជាក់លាក់មួយ។ ដាច់វត្ថុ។ វត្ថុត្រូវបានគេយល់ថាជាវត្ថុដាច់ដោយឡែកឬសត្វមានជីវិត - មនុស្ស សត្វ ផ្សិត រុក្ខជាតិ សត្វល្អិត ។ល។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ combinatorics មិនខ្វល់អ្វីទាំងអស់ថាឈុតមាន បបរ semolina មួយចាន ដែក soldering និង កង្កែបវាលភក់។ វាមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋានដែលវត្ថុទាំងនេះអាចត្រូវបានរាប់បញ្ចូល - មានបីក្នុងចំណោមពួកគេ។ (ភាពមិនច្បាស់លាស់)ហើយអ្វីដែលសំខាន់នោះគឺថាគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេដូចគ្នានោះទេ។
យើងបានដោះស្រាយជាច្រើនហើយឥឡូវនេះអំពីការផ្សំ។ ប្រភេទបន្សំទូទៅបំផុតគឺការផ្លាស់ប្តូរវត្ថុការជ្រើសរើសរបស់ពួកគេពីសំណុំ (បន្សំ) និងការចែកចាយ (ការដាក់) ។ តោះមើលថាតើវាកើតឡើងយ៉ាងណាឥឡូវនេះ៖
ការផ្លាស់ប្តូរ បន្សំ និងការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗ
កុំខ្លាចពាក្យមិនច្បាស់លាស់ ជាពិសេសព្រោះពាក្យមួយចំនួនពិតជាមិនសូវល្អទេ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយកន្ទុយនៃចំណងជើង - តើមានអ្វីកើតឡើង។ គ្មានពាក្យដដែលៗ"? នេះមានន័យថានៅក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងពិចារណាសំណុំដែលមាន ផ្សេងៗវត្ថុ។ ឧទាហរណ៍ ... ទេ ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់បបរជាមួយដែក និងកង្កែបទេ វាជាការប្រសើរក្នុងការមានរសជាតិឆ្ងាញ់ជាង =) ស្រមៃថាផ្លែប៉ោមមួយផ្លែ និងចេកមួយបានកើតឡើងនៅលើតុនៅពីមុខអ្នក ( ប្រសិនបើអ្នកមានពួកគេ ស្ថានភាពអាចត្រូវបានក្លែងធ្វើជាការពិត)។ យើងដាក់ផ្លែឈើពីឆ្វេងទៅស្តាំតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ
ផ្លែប៉ោម / pear / ចេក
សំណួរទី១៖ តើគេអាចរៀបចំឡើងវិញបានប៉ុន្មានវិធី?
ការរួមបញ្ចូលគ្នាមួយត្រូវបានសរសេរខាងលើរួចហើយ ហើយមិនមានបញ្ហាជាមួយអ្វីដែលនៅសល់ទេ៖
ផ្លែប៉ោម / ចេក / pear
pear / ផ្លែប៉ោម / ចេក
pear / ចេក / ផ្លែប៉ោម
ចេក / ផ្លែប៉ោម / pear
ចេក / pear / ផ្លែប៉ោម
សរុប៖ ៦ បន្សំ ឬ ៦ ការផ្លាស់ប្តូរ.
យល់ព្រម វាមិនពិបាកក្នុងការរាយបញ្ជីករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់នោះទេ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើមានវត្ថុច្រើនទៀត? ជាមួយនឹងផ្លែឈើបួនមុខផ្សេងគ្នាចំនួននៃការផ្សំនឹងកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង!
គ្មានការឈឺចាប់ - វត្ថុ 3 អាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។
សំណួរទី ២៖ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសបានប៉ុន្មានវិធី ក) ផ្លែឈើមួយ ខ) ផ្លែឈើពីរ គ) ផ្លែឈើបី ឃ) យ៉ាងហោចណាស់ផ្លែឈើមួយ?
ហេតុអ្វីជ្រើសរើស? ដូច្នេះយើងបានបង្កើនចំណង់អាហារក្នុងកថាខណ្ឌមុន - ដើម្បីញ៉ាំ! ក) ផ្លែឈើមួយអាចជ្រើសរើសបានតាមបីវិធី - យកផ្លែប៉ោមមួយផ្លែ ឬចេកមួយ។
ការគណនាជាផ្លូវការត្រូវបានអនុវត្តតាម រូបមន្តសម្រាប់ចំនួនបន្សំ:
ធាតុក្នុងករណីនេះគួរតែត្រូវបានយល់ដូចខាងក្រោម: "តើអ្នកអាចជ្រើសរើសផ្លែឈើ 1 ក្នុងចំណោម 3 តាមរបៀបប៉ុន្មាន?"
ខ) ចូរយើងរាយបញ្ជីបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃផ្លែឈើពីរ៖
ផ្លែប៉ោមនិង pear;
ផ្លែប៉ោមនិងចេក;
pear និងចេក។
ចំនួននៃបន្សំអាចត្រូវបានពិនិត្យយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នា៖
ធាតុត្រូវបានយល់ក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នាមួយ: "តើអ្នកអាចជ្រើសរើសយកផ្លែឈើ 2 ក្នុងចំណោមបី?"
គ) ហើយចុងក្រោយ មានវិធីតែមួយគត់ដើម្បីជ្រើសរើសផ្លែឈើបីប្រភេទ៖
ដោយវិធីនេះ រូបមន្តសម្រាប់ចំនួនបន្សំនៅតែមានអត្ថន័យសម្រាប់គំរូទទេ៖
តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចជ្រើសរើសមិនមែនផ្លែឈើតែមួយទេ - តាមពិតទៅមិនយកអ្វីទាំងអស់ ហើយនោះជាវា។
ឃ) តើអ្នកអាចប្រើវិធីប៉ុន្មាន យ៉ាងហោចណាស់មួយផ្លែឈើ? លក្ខខណ្ឌ "យ៉ាងហោចណាស់មួយ" មានន័យថាយើងពេញចិត្តនឹងផ្លែឈើ 1 (ណាមួយ) ឬផ្លែឈើ 2 ឬផ្លែឈើទាំង 3:
ដោយប្រើវិធីទាំងនេះ អ្នកអាចជ្រើសរើសយ៉ាងហោចណាស់ផ្លែឈើមួយ។
ដើម្បីឆ្លើយសំណួរបន្ទាប់ ខ្ញុំត្រូវការអ្នកស្ម័គ្រចិត្ដពីរនាក់ ... ... បាទ ព្រោះគ្មាននរណាម្នាក់ចង់ទេ នោះខ្ញុំនឹងហៅអ្នកទៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល =)
សំណួរទី ៣៖ តើអ្នកអាចចែកផ្លែឈើមួយផ្លែទៅ Dasha និង Natasha បានប៉ុន្មានវិធី?
ដើម្បីចែកចាយផ្លែឈើពីរដំបូងអ្នកត្រូវជ្រើសរើសពួកគេ។ យោងតាមកថាខណ្ឌ "be" នៃសំណួរមុន នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធី ខ្ញុំនឹងសរសេរវាឡើងវិញ៖
ផ្លែប៉ោមនិង pear;
ផ្លែប៉ោមនិងចេក;
pear និងចេក។
ប៉ុន្តែឥឡូវនេះវានឹងមានបន្សំច្រើនជាងពីរដង។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាផ្លែឈើមួយគូដំបូង៖
អ្នកអាចព្យាបាល Dasha ជាមួយផ្លែប៉ោមមួយនិង Natasha ជាមួយ pear មួយ;
ឬផ្ទុយមកវិញ - Dasha នឹងទទួលបាន pear ហើយ Natasha នឹងទទួលបានផ្លែប៉ោម។
ហើយការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់គូនៃផ្លែឈើនីមួយៗ។
ក្នុងករណីនេះវាដំណើរការ រូបមន្តលេខដាក់:
វាខុសគ្នាពីរូបមន្តដែលវាយកទៅក្នុងគណនី មិនត្រឹមតែចំនួននៃវិធីដែលវត្ថុជាច្រើនអាចត្រូវបានជ្រើសរើស ប៉ុន្តែក៏មានការផ្លាស់ប្តូរវត្ថុទាំងអស់ផងដែរ។ នៅក្នុងគ្នាគំរូដែលអាចធ្វើបាន។ ដូច្នេះនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាវាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែដែលអ្នកអាចជ្រើសរើសឧទាហរណ៍ pear និងចេកមួយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងរបៀបដែលពួកគេនឹងត្រូវបានចែកចាយ (ដាក់) រវាង Dasha និង Natasha ។
ព្យាយាមយល់ឱ្យបានច្បាស់ពីភាពខុសគ្នារវាងការផ្លាស់ប្តូរ ការផ្សំ និងការដាក់។ ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត អ្នកអាចរាប់បន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដោយដៃ ប៉ុន្តែភាគច្រើនវាក្លាយជាកិច្ចការដ៏ច្រើនលើសលប់ ដែលជាមូលហេតុដែលអ្នកត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃរូបមន្ត។
ខ្ញុំក៏រំលឹកអ្នកថាឥឡូវនេះយើងកំពុងនិយាយអំពី s ជាច្រើន។ ផ្សេងៗវត្ថុ ហើយប្រសិនបើផ្លែប៉ោម/ផ្លែពែរ/ចេកត្រូវបានជំនួសដោយផ្លែប៉ោម 3 ផ្លែ ឬសូម្បីតែផ្លែប៉ោម 3 ស្រដៀងគ្នា នោះនៅក្នុងបរិបទនៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា ពួកគេនឹងនៅតែត្រូវបានពិចារណា។ ផ្សេងៗ.
សូមក្រឡេកមើលប្រភេទនីមួយៗនៃបន្សំឱ្យបានលំអិត៖
ការរៀបចំឡើងវិញ
ការផ្លាស់ប្តូរ គឺជាបន្សំដែលរួមមាន ពីដូចគ្នា។ ផ្សេងៗវត្ថុនិងខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃទីតាំងរបស់ពួកគេ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត
លក្ខណៈពិសេសប្លែកនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺថាពួកវានីមួយៗពាក់ព័ន្ធ ទាំងអស់។ជាច្រើន នោះគឺ ទាំងអស់។វត្ថុ។ ឧទាហរណ៍៖ គ្រួសារដែលរួសរាយរាក់ទាក់៖
បញ្ហា 1
តើមនុស្ស 5 នាក់អាចអង្គុយនៅតុបានប៉ុន្មាន?
ដំណោះស្រាយ៖ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ៖
ចម្លើយ៖ ១២០ វិធី
មិនគួរឱ្យជឿប៉ុន្តែជាការពិត។ សូមកត់សម្គាល់ថានៅទីនេះវាមិនមានបញ្ហាថាតើតុមានរាងមូលការ៉េឬថាតើមនុស្សទាំងអស់អង្គុយលើកៅអីតាមជញ្ជាំងតែមួយទេ - មានតែចំនួនវត្ថុនិងទីតាំងដែលទាក់ទងរបស់ពួកគេប៉ុណ្ណោះដែលសំខាន់។ បន្ថែមពីលើការរៀបចំមនុស្សឡើងវិញ ជារឿយៗមានបញ្ហាក្នុងការរៀបចំសៀវភៅផ្សេងៗនៅលើធ្នើ ប៉ុន្តែវានឹងសាមញ្ញពេក សូម្បីតែសម្រាប់តែចានក៏ដោយ៖
បញ្ហា ២
តើលេខបួនខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានសន្លឹកពីសន្លឹកបៀទាំងបួនដែលមានលេខ 0, 5, 7, 9?
ដើម្បីបង្កើតលេខបួនខ្ទង់ អ្នកត្រូវប្រើ ទាំងអស់។បួនសន្លឹក (លេខដែលប្លែក! ) ហើយនេះគឺជាតម្រូវការជាមុនដ៏សំខាន់បំផុតសម្រាប់ការអនុវត្តរូបមន្ត ជាក់ស្តែង តាមរយៈការរៀបចំសន្លឹកបៀឡើងវិញ យើងនឹងទទួលបានលេខបួនខ្ទង់ផ្សេងគ្នា ... ចាំតើអ្វីៗនៅទីនេះទេ? ;-)
គិតអោយច្បាស់ពីបញ្ហា! ជាទូទៅ នេះគឺជាលក្ខណៈលក្ខណៈនៃបញ្ហារួមផ្សំ និងប្រូបាប៊ីលីតេ - អ្នកត្រូវគិតនៅក្នុងពួកគេ។ ហើយជារឿយៗគិតក្នុងន័យប្រចាំថ្ងៃដូចជាឧទាហរណ៍ក្នុងការវិភាគនៃឧទាហរណ៍ណែនាំជាមួយផ្លែឈើ។ ទេ ខ្ញុំមិនអំពាវនាវឱ្យធ្វើការឆោតល្ងង់តាមសាខាគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀតទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំត្រូវកត់សម្គាល់ថាដូចគ្នា អាំងតេក្រាល។អាច រៀនដោះស្រាយមេកានិចសុទ្ធសាធ។
ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
យើងបង្កើនល្បឿន៖
បន្សំ
សៀវភៅសិក្សាជាធម្មតាផ្តល់និយមន័យ laconic និងមិនច្បាស់លាស់នៃបន្សំ ដូច្នេះនៅក្នុងមាត់របស់ខ្ញុំ ការបង្កើតនឹងមិនសមហេតុផលទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំសង្ឃឹមថា អាចយល់បាន៖
បន្សំ
ដាក់ឈ្មោះបន្សំផ្សេងៗនៃវត្ថុដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីវត្ថុផ្សេងៗគ្នា ហើយដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងវត្ថុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតការរួមបញ្ចូលគ្នាតែមួយគឺជាជម្រើសតែមួយគត់នៃធាតុនៅក្នុងនោះ។ ការបញ្ជាទិញរបស់ពួកគេមិនសំខាន់ទេ។(ទីតាំង) ។ ចំនួនសរុបនៃបន្សំតែមួយគត់បែបនេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត 
.
បញ្ហា ៣
ប្រអប់មាន 15 ផ្នែក។ តើអ្នកអាចយក 4 ដុំបានប៉ុន្មានវិធី?
ដំណោះស្រាយ: ជាដំបូងខ្ញុំគូរយកចិត្តទុកដាក់ម្តងទៀតចំពោះការពិតដែលថាយោងទៅតាមតក្កវិជ្ជានៃលក្ខខណ្ឌព័ត៌មានលម្អិតត្រូវបានពិចារណា ផ្សេងៗ- ទោះបីជាពួកគេពិតជាប្រភេទដូចគ្នា និងមើលឃើញដូចគ្នាក៏ដោយ។ (ឧទាហរណ៍ក្នុងករណីនេះ គេអាចដាក់លេខ) .
បញ្ហាទាក់ទងនឹងការជ្រើសរើស 4 ផ្នែកដែលក្នុងនោះ "ជោគវាសនាបន្ថែមទៀត" របស់ពួកគេមិនសំខាន់ទេ - និយាយប្រហែល "ពួកគេគ្រាន់តែជ្រើសរើស 4 បំណែកហើយនោះជាវា" ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានការផ្សំនៃផ្នែក។ តោះរាប់លេខរបស់ពួកគេ៖
នៅទីនេះជាការពិតណាស់ មិនចាំបាច់រមៀលឡើងនូវចំនួនដ៏ធំនោះទេ។
ក្នុងស្ថានភាពស្រដៀងគ្នានេះ ខ្ញុំណែនាំឲ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោម៖ ក្នុងភាគបែង ជ្រើសរើសហ្វាក់តូរីយ៉ែលធំបំផុត (ក្នុងករណីនេះ) ហើយកាត់បន្ថយប្រភាគដោយវា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ លេខភាគគួរតែត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ . ខ្ញុំនឹងសរសេរវាយ៉ាងលម្អិត៖
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះអ្នកអាចយក 4 ផ្នែកពីប្រអប់។
ជាថ្មីម្តងទៀត៖ តើនេះមានន័យយ៉ាងណា? នេះមានន័យថាពីសំណុំនៃ 15 ផ្នែកផ្សេងគ្នាដែលអ្នកអាចធ្វើបាន មួយពាន់បីរយហុកសិបប្រាំ ប្លែកការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ 4 ផ្នែក។ នោះគឺការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ 4 ផ្នែកនីមួយៗនឹងខុសគ្នាពីបន្សំផ្សេងទៀតយ៉ាងហោចណាស់មួយផ្នែក។
ចម្លើយ: 1365 វិធី
រូបមន្ត វាចាំបាច់ក្នុងការយកចិត្តទុកដាក់បំផុតព្រោះវាជា "បុក" នៃ combinatorics ។ ក្នុងករណីនេះ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ដឹង និងសរសេរចុះតម្លៃ "ខ្លាំង" ដោយគ្មានការគណនាណាមួយឡើយ៖ . ទាក់ទងនឹងបញ្ហាដែលបានវិភាគ៖
មធ្យោបាយតែមួយគត់ដែលអ្នកអាចមិនយកផ្នែកតែមួយ;
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះអ្នកអាចយក 1 ផ្នែក (ណាមួយនៃ 15);
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះអ្នកអាចយក 14 ផ្នែក (ជាមួយនឹងផ្នែកមួយក្នុងចំណោម 15 ដែលនៅសល់ក្នុងប្រអប់);
- មានវិធីតែមួយគត់ដើម្បីយកដប់ប្រាំផ្នែក។
ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនឯងដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយនឹងត្រីកោណមាត្ររបស់ញូតុន និង ប៉ាស្កាល់ ដែលតាមវិធីនេះវាងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ពិនិត្យមើលការគណនាសម្រាប់តម្លៃតូចៗនៃ "en" ។
បញ្ហា ៤
តើអ្នកអាចជ្រើសរើសសន្លឹកបៀចំនួន 3 សន្លឹកពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹកបានប៉ុន្មាន?
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ អ្វីដែលល្អអំពីបញ្ហាផ្សំគ្នាជាច្រើនគឺភាពខ្លីរបស់វា - រឿងសំខាន់គឺត្រូវឈានដល់ចំណុចខាងក្រោម។ ហើយខ្លឹមសារជួនកាលបង្ហាញខ្លួនពីភាគីផ្សេងៗ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏គួរយល់ដឹង៖
បញ្ហា ៤
មនុស្សម្នាក់ចូលរួមក្នុងការប្រកួតអុក ហើយម្នាក់ៗលេងល្បែងទីមួយជាមួយគ្នា។ តើការប្រកួតបានប៉ុន្មានប្រកួត?
ដោយសារខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់លេងអុក ហើយបានចូលរួមម្តងហើយម្តងទៀតក្នុងការប្រកួតជុំវិលជុំ ខ្ញុំបានរកឃើញថាខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ត្រូវបានដឹកនាំដោយទំហំនៃកោសិកានៅក្នុងតារាងការប្រកួត ដែលលទ្ធផលនៃហ្គេមនីមួយៗត្រូវបានរាប់ពីរដង ហើយលើសពីនេះទៅទៀតកោសិកានៃ "អង្កត់ទ្រូងសំខាន់" ត្រូវបានដាក់ស្រមោល។ (ចាប់តាំងពីអ្នកចូលរួមមិនលេងជាមួយខ្លួនឯង). ដោយផ្អែកលើហេតុផលខាងលើ ចំនួនសរុបនៃហ្គេមដែលបានលេងត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត។ ដំណោះស្រាយនេះគឺត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង (សូមមើលឯកសារដែលត្រូវគ្នា។ធនាគារនៃដំណោះស្រាយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ) ហើយអស់រយៈពេលជាយូរមកហើយខ្ញុំបានភ្លេចអំពីវាយោងទៅតាមគោលការណ៍ "វាត្រូវបានសម្រេចចិត្តមិនអីទេ" ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកទស្សនាគេហទំព័រម្នាក់បានកត់សម្គាល់ថា តាមពិតនៅទីនេះ អ្នកអាចត្រូវបានណែនាំដោយបន្សំ banal ច្រើនបំផុត៖
គូផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីគូប្រជែង (អ្នកណាលេងស អ្នកណាលេងខ្មៅ វាមិនសំខាន់ទេ).
បញ្ហាដែលស្មើគ្នាគឺការចាប់ដៃគ្នា៖ មានបុរសធ្វើការនៅមន្ទីរមួយ ហើយចាប់ដៃគ្នាគ្រប់គ្នា តើគេចាប់ដៃប៉ុន្មាន? និយាយអញ្ចឹងអ្នកលេងអុកក៏ចាប់ដៃគ្នាមុនការប្រកួតនីមួយៗ។
ជាការប្រសើរណាស់ មានការសន្និដ្ឋានពីរនៅទីនេះ៖
ទីមួយ មិនមែនអ្វីៗទាំងអស់ច្បាស់ជាជាក់ស្តែងនោះទេ។
ហើយទីពីរកុំខ្លាចក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា "ក្រៅប្រអប់"!
សូមអរគុណច្រើនចំពោះអក្សររបស់អ្នក ពួកគេជួយកែលម្អគុណភាពនៃសម្ភារៈសិក្សា!
ទីតាំង
ឬបន្សំ "កម្រិតខ្ពស់" ។ ទីតាំង ដាក់ឈ្មោះបន្សំផ្សេងៗនៃវត្ថុដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីវត្ថុផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន ហើយដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកទាក់ទងនឹងសមាសធាតុនៃវត្ថុក្នុងគំរូ ហើយក៏ជាលំដាប់របស់ពួកគេដែរ។. ចំនួននៃការដាក់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
តើជីវិតរបស់យើងជាអ្វី? ល្បែងមួយ:
បញ្ហា ៥
Borya, Dima និង Volodya អង្គុយលេងចំណុច។ តើគេអាចចែកកាតមួយបានប៉ុន្មានវិធី? (បន្ទះមាន ៣៦ សន្លឹក)
ដំណោះស្រាយ៖ ស្ថានភាពគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងបញ្ហាទី 4 ប៉ុន្តែខុសគ្នាត្រង់ថា វាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែសន្លឹកបៀចំនួន 3 សន្លឹកត្រូវបានដកចេញពីនាវាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានចែកចាយក្នុងចំណោមអ្នកលេងផងដែរ។ យោងតាមរូបមន្តដាក់៖
មានវិធីចែកបៀ 3 សន្លឹកដល់អ្នកលេង។
មានគ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយមួយផ្សេងទៀតដែលតាមទស្សនៈរបស់ខ្ញុំគឺកាន់តែច្បាស់៖
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះអ្នកអាចដកសន្លឹកបៀចំនួន 3 ចេញពីនាវា។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមួយ។ ក្នុងចំណោមប្រាំពីរពាន់មួយរយសែសិបបន្សំឧទាហរណ៍៖ ស្តេចនៃស្ពត, ៩ ដួងចិត្ត, ៧ ដួងចិត្ត។ នៅក្នុងពាក្យផ្សំគ្នា សន្លឹកបៀទាំង 3 សន្លឹកនេះអាចត្រូវបាន "រៀបចំឡើងវិញ" រវាង Boris, Dima និង Volodya តាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
KP, 9H, 7H;
KP, 7H, 9H;
9H, KP, 7H;
9H, 7H, KP;
7H, KP, 9H;
7H, 9H, CP ។
ហើយការពិតស្រដៀងគ្នានេះគឺជាការពិត សម្រាប់នរណាម្នាក់សំណុំតែមួយគត់នៃ 3 សន្លឹក។ ហើយកុំភ្លេចយើងរាប់ឈុតបែបនេះ។ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើជាសាស្រ្តាចារ្យដើម្បីយល់ថាចំនួនបន្សំដែលបានរកឃើញគួរតែត្រូវបានគុណនឹងប្រាំមួយ:
តាមរបៀបនេះអ្នកអាចចែកបៀមួយសន្លឹកទៅអ្នកលេង 3 នាក់។
នៅក្នុងខ្លឹមសារ វាបានប្រែក្លាយទៅជាការត្រួតពិនិត្យមើលឃើញ រូបមន្តអត្ថន័យចុងក្រោយដែលយើងនឹងបញ្ជាក់នៅកថាខណ្ឌបន្ទាប់។
ចម្លើយ: 42840
ប្រហែលជាអ្នកនៅតែមានសំណួរថា តើអ្នកណាជាអ្នកចែកបៀ? ...ប្រហែលជាគ្រូ =)
ហើយដើម្បីកុំឱ្យនរណាម្នាក់អាក់អន់ចិត្ត ក្រុមសិស្សទាំងមូលនឹងចូលរួមក្នុងកិច្ចការបន្ទាប់៖
បញ្ហា ៦
សិស្សានុសិស្សមាន២៣នាក់។ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសមេឃុំ និងអនុប្រធានបានប៉ុន្មានរបៀប?
បញ្ហានៃ "ការបែងចែក" មុខតំណែងនៅក្នុងក្រុមកើតឡើងជាញឹកញាប់ ហើយជាបញ្ហាពិតប្រាកដ។ ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។