សេចក្តីណែនាំ។ បញ្ចូលកន្សោម F(x) ចុចបន្ទាប់។ ដំណោះស្រាយលទ្ធផលត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងឯកសារ Word ។ គំរូដំណោះស្រាយក៏ត្រូវបានបង្កើតនៅក្នុង Excel ផងដែរ។ ខាងក្រោមនេះជាវីដេអូណែនាំ។
ច្បាប់សម្រាប់បញ្ចូលមុខងារ
ឧទាហរណ៍≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
ចូរយើងពិចារណាវិធីលឿនជាងមុន ដើម្បីស្វែងរកឫសនៅលើចន្លោះពេល ក្រោមការសន្មត់ថា f(a)f(b)<0.
f'(x)>0 f'(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0 
Fig.1a រូប។ 1 ខ
សូមក្រឡេកមើលរូបទី 1 ក។ តោះគូរអង្កត់ធ្នូតាមចំនុច A និង B។ សមីការអង្កត់ធ្នូ 
.
នៅចំណុច x = x 1 , y = 0 ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រហាក់ប្រហែលដំបូងនៃឫស 
. (3.8)
ពិនិត្យលក្ខខណ្ឌ
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ (a) ពេញចិត្ត នោះក្នុងរូបមន្ត (3.8) យើងជំនួសចំណុច a ដោយ x 1 យើងទទួលបាន
.
ការបន្តដំណើរការនេះ យើងទទួលបានសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណទី n 
. (3.9)
ទីនេះបញ្ចប់ a គឺអាចចល័តបាន នោះគឺជា f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលចុងបញ្ចប់ a ត្រូវបានជួសជុល។
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Fig.2a Fig.2b
នៅក្នុងរូបភាព 1b, 2b f(x i)f(a) ត្រូវបានប្រតិបត្តិ<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
ការបន្តដំណើរការយើងមកដល់រូបមន្ត 
. (3.10)
ការបញ្ឈប់ដំណើរការ
|x n–x n-1|<ε; ξ≈x n
អង្ករ។ ៣
នៅក្នុងរូបភាពទី 3 f''(x) ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ដូច្នេះចុងទាំងពីរនឹងអាចផ្លាស់ទីបាន។
មុននឹងបន្តទៅសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការដដែលៗនៃវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ យើងណែនាំពីគោលគំនិតនៃមុខងារប៉ោង។
និយមន័យ។អនុគមន៍បន្តត្រូវបានហៅថាប៉ោង (ប៉ោង) ប្រសិនបើសម្រាប់ចំណុចពីរ x 1 , x 2 ពេញចិត្ត a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - រាងមូល
សម្រាប់អនុគមន៍ប៉ោង f''(x)≥0។
សម្រាប់អនុគមន៍ concave f''(x)≤0
ទ្រឹស្តីបទ ៣.ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) គឺប៉ោង (ប៉ោង) នៅលើផ្នែក នោះនៅលើផ្នែកណាមួយ 
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) មិនខ្ពស់ជាង (មិនទាបជាង) ជាងអង្កត់ធ្នូដែលឆ្លងកាត់ចំណុចក្រាហ្វជាមួយ abscissas x 1 និង x 2 ។
ភស្តុតាង៖
ចូរយើងពិចារណាមុខងារប៉ោង។ សមីការនៃអង្កត់ធ្នូ៖ ឆ្លងកាត់ x ១ និង x ២ មានទម្រង់៖ 
.
ពិចារណាចំណុច c = αx 1 + (1-α)x 2 ដែល aО
ម្យ៉ាងវិញទៀត តាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍ប៉ោង យើងមាន f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; ដូច្នេះ f(c) ≤ g(c) ល។ 
សម្រាប់មុខងារ concave ភស្តុតាងគឺស្រដៀងគ្នា។
យើងនឹងពិចារណាលើភស្តុតាងនៃការបង្រួបបង្រួមនៃដំណើរការដដែលៗសម្រាប់ករណីនៃមុខងារប៉ោង (concave) ។
ទ្រឹស្តីបទ ៤.អនុញ្ញាតឱ្យបន្តមុខងារដែលអាចបែងចែកបានពីរដង f(x) និងអនុញ្ញាតឱ្យ f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
ភស្តុតាង៖ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ករណី f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 ចាប់តាំងពី (b-x n -1)>0, និង f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
យើងមាន
(3.12)
(នោះគឺតម្លៃនៃអនុគមន៍ y (x) នៅចំណុច x n នៅលើអង្កត់ធ្នូស្របគ្នាជាមួយ f (ξ)) ។
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក (3.12) វាធ្វើតាម
ឬ
. (3.13)
សម្រាប់រូបភព។ 1a ដូច្នេះ
ឬ
មានន័យថា។ល។ (សូមមើល (៣.១១))។
សម្រាប់រូបទី 2 ក។ ជាលទ្ធផលពី (3.12) យើងទទួលបាន
មធ្យោបាយ
ដោយសារតែ 
ល។
ភស្តុតាងស្រដៀងគ្នាសម្រាប់រូបទី 1b និងរូបទី 2 ខ។ ដូច្នេះ យើងបានបង្ហាញថាលំដាប់លេខគឺជាការបញ្ចូលគ្នា។
a≤x 0
ការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូគឺលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណ 
.
, (3.14)
ដែល m 1 = min|f'(x)|, M 1 = max|f'(x)| ។
នេះធ្វើតាមរូបមន្តខាងក្រោម។ ចូរយើងពិចារណាករណីនៃចុងថេរ b និង f(b)> 0 ។
យើងមានចាប់ពី (3.9) 
. ពីទីនេះ 
. ដោយពិចារណាលើវាយើងអាចសរសេរបាន។ 
ឬ 
.
ការជំនួស (ξ-x n -1) នៅក្នុងភាគបែងនៃផ្នែកខាងស្តាំជាមួយ (b-x n -1) ហើយពិចារណាថា (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ (សូមមើលវិសមភាព (៣.១៤))។
ភស្តុតាងនៃការបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ករណីនៃរូបទី 3 (f'(x) សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ; ក្នុងករណីទូទៅ ទាំង f' និង f' អាចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា) គឺស្មុគស្មាញជាង ហើយមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះទេ។
នៅក្នុងបញ្ហា កំណត់ចំនួនឫសពិតនៃសមីការ f(x) = 0 បំបែកឫសទាំងនេះ ហើយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃអង្កត់ធ្នូ និងតង់សង់ ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់ពួកគេជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.001។
អនុញ្ញាតឱ្យនៅលើផ្នែក មុខងារគឺបន្ត ចាប់យកសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅចុងផ្នែក និងដេរីវេ f "(x)រក្សាទុកសញ្ញា។ អាស្រ័យលើសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ករណីខាងក្រោមនៃការរៀបចំខ្សែកោងគឺអាចធ្វើទៅបាន (រូបភាពទី 1) ។
អង្ករ។ ១.
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាឫសប្រហាក់ប្រហែលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ។
ទិន្នន័យដំបូង៖ f(x)-មុខងារ ; អ៊ី- ភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ; x 0 - ការប៉ាន់ស្មានដំបូង។
លទ្ធផល៖ xpr- ឫសប្រហាក់ប្រហែលនៃសមីការ f(x)= 0.
វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ៖
អង្ករ។ ២. f "(x) f ""(x)> 0.
ចូរយើងពិចារណាករណីនេះ។ f "(x)និង f ""(x)មានសញ្ញាដូចគ្នា (រូបភាពទី 2) ។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ឆ្លងកាត់ចំនុច ក 0 (a,f(a))និង ខ 0 (b,f(b)). ឫសដែលត្រូវការនៃសមីការ (ចំណុច x*) យើងមិនស្គាល់ទេ វានឹងយកចំនុចជំនួសវិញ។ X 1 ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូ ក 0 IN 0 ជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa ។ នេះនឹងជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫស។
នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ រូបមន្តមួយត្រូវបានចេញមកដែលបញ្ជាក់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរជាមួយកូអរដោណេ (x1; y1)និង (x2; y2): .
បន្ទាប់មកសមីការអង្កត់ធ្នូ ក 0 IN 0 នឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់៖ .
ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃ x = x 1 សម្រាប់ការដែល y = 0:. ឥឡូវនេះឫសគឺនៅលើផ្នែក . ចូរយើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូទៅផ្នែកនេះ។ តោះគូរអង្កត់ធ្នូភ្ជាប់ចំណុច ក 1 (x 1 ,f(x 1 )) និង ខ 0 (b,f(b))ហើយយើងនឹងរកឃើញ X 2 - ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូ ក 1 IN 0 ជាមួយអ័ក្ស អូ: x 2 =x 1 .
ការបន្តដំណើរការនេះយើងរកឃើញ
x 3 =x 2 .
យើងទទួលបានរូបមន្តដដែលៗសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងឫស
x n+1 =x ន .
ក្នុងករណីនេះចុងបញ្ចប់ ខចម្រៀក នៅតែគ្មានចលនានិងចុងបញ្ចប់ កផ្លាស់ទី។
ដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្តគណនាសម្រាប់វិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ៖
x n+1 =x ន ; x 0 = ក. (4)
ការគណនានៃការប៉ាន់ប្រមាណជាបន្តបន្ទាប់ទៅនឹងឫសពិតប្រាកដនៃសមីការបន្តរហូតដល់យើងឈានដល់ភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ i.e. លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖ |x n+1 -x ន |< តើភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់នៅឯណា។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ពោលគឺឧ។ f "(x) f ""(x)<0 . (រូបទី 3) ។
អង្ករ។ ៣. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូសម្រាប់ករណី f "(x) f ""(x)<0 .
ចូរភ្ជាប់ចំណុច ក 0 (a,f(a))និង ខ 0 (b,f(b))អង្កត់ធ្នូ ក 0 IN 0 . ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូជាមួយអ័ក្ស អូយើងនឹងពិចារណាការប្រហាក់ប្រហែលដំបូងនៃឫស។ ក្នុងករណីនេះការបញ្ចប់ថេរនៃចម្រៀកនឹងជាចុងបញ្ចប់ ក.
សមីការអង្កត់ធ្នូ ក 0 IN 0 :. ពីទីនេះយើងនឹងរកឃើញ x 1 , សន្មត់ y = 0: x 1 = ខ. ឥឡូវនេះឫសនៃសមីការ x. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូទៅផ្នែកនេះ យើងទទួលបាន x 2 =x 1 . បន្ត។ល។ យើងទទួលបាន x n+1 =x ន .
រូបមន្តគណនានៃវិធីសាស្ត្រ៖
x n+1 =x ន , x 0 =0 . (5)
លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបញ្ចប់ការគណនា: |x n+1 -x ន |< . បន្ទាប់មក xpr = xn+1ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះប្រសិនបើ f "(x) f ""(x)> 0តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (4) ប្រសិនបើ f "(x) f ""(x)<0 បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (5) ។
ជម្រើសជាក់ស្តែងនៃរូបមន្តមួយឬមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើក្បួនដូចខាងក្រោម: ចុងថេរនៃផ្នែកគឺមួយដែលសញ្ញានៃអនុគមន៍ស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃដេរីវេទីពីរ។
ឧទាហរណ៍។ បង្ហាញពីឥទ្ធិពលនៃច្បាប់នេះដោយប្រើសមីការ
(x-1)ln(x)-1=0ប្រសិនបើផ្នែកដាច់ពីគ្នាជា root .
ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះ f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
ដេរីវេទី 2 ក្នុងឧទាហរណ៍នេះគឺវិជ្ជមាននៅលើផ្នែកឯកោឫស : f ""(x)> 0, f(3)> 0, ឧ. f(b) f""(x)> 0. ដូច្នេះនៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ ដើម្បីបញ្ជាក់ឫស យើងជ្រើសរើសរូបមន្ត (4)។
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;
ចាប់ផ្តើម e:=0.0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x ;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
ប្រសិនបើ (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
បន្ទាប់មកចាប់ផ្តើម x1:=a; ខណៈពេលដែល abs (x2 - x) > e ធ្វើ
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2)
បញ្ចប់ elsebegin x1:=b;
ខណៈពេលដែល abs (x2 - x) > e ធ្វើ
ចាប់ផ្តើម x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1-a))/(yn-ya);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2);
វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញ
ពិចារណាសមីការ f(x)=0(1) ជាមួយឫសដាច់ដោយឡែក X. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ (1) ដោយប្រើវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ យើងកាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់សមមូល៖ x = ts (x) ។ (2)
នេះតែងតែអាចធ្វើបាន និងតាមវិធីជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍:
x = g(x) f(x) + x ? c(x), កន្លែងណា g(x) - មុខងារបន្តតាមអំពើចិត្តដែលមិនមានឫសនៅលើផ្នែក .
អនុញ្ញាតឱ្យ x (0) - ប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងឫសដែលទទួលបានតាមមធ្យោបាយណាមួយ។ x(ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ x (0) =(a+b)/2)។វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញមានការគណនាតាមលំដាប់នៃលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើដដែលៗ៖
x (k+1) =ts(x (k) ) k=0, 1, 2, ... (3)
ចាប់ផ្តើមពីការខិតជិត x (0) .
សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ 1 ប្រសិនបើលំដាប់ (x (k) ) នៃវិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញបានបញ្ចូលគ្នា ហើយមុខងារ q គឺបន្ត នោះដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x = q (x)
ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យវាក្លាយជា។ (4)
ចូរផ្លាស់ទីទៅដែនកំណត់ក្នុងសមភាព x (k+1) =ts(x (k) ) ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងទទួលបានពី (4) នោះ ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយសារតែការបន្តនៃមុខងារ tsនិង (4) .
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន x * =ts(x * ). អាស្រ័យហេតុនេះ x * - ឫសនៃសមីការ (២) i.e. X=x * .
ដើម្បីប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ លំដាប់ត្រូវតែបញ្ចូលគ្នា (x (k) }. លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការរួបរួមគ្នាផ្តល់ឱ្យ៖
ទ្រឹស្តីបទទី 1: (នៅលើ convergence) អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ x=ts(x)មានឫសតែមួយនៅលើផ្នែក ហើយលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖
- 1) c(x) គ 1 ;
- 2) c(x) "x;
- 3) មានថេរ q > 0: | q”(x)|?q . បន្ទាប់មកតាមលំដាប់លំដោយ (x (k) }, ផ្តល់ដោយរូបមន្ត x (k+1) = q(x (k) ), k=0, 1, ...បង្រួបបង្រួមតាមការប៉ាន់ស្មានដំបូងណាមួយ។ x (0) .
ភ័ស្តុតាង៖ ពិចារណាលក្ខខណ្ឌពីរនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់ (x (k) ): x (k) = q(x (k-1) ) និង x (k+1) = q(x (k) ) អាស្រ័យតាមលក្ខខណ្ឌ ២) x (k)និង x (k+1)ស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែក , បន្ទាប់មកដោយប្រើទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមរបស់ Lagrange យើងទទួលបាន៖
x (k+1) -x (k) = q(x (k) ) - គ(x (k-1) ) = គ "( គ k )(x (k) -x (k-1) ) ដែល គ k (x (k-1) , x (k) ).
ពីទីនេះយើងទទួលបាន៖
| x (k+1) -x (k) | = | ts” (គ k ) | · | x (k) -x (k-1) | ? q | x (k) -x (k-1) | ?
? q(q|x (k-1) -x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) -x (k-2) | ? ...? q k | x (1) -x (0) |. (5)
ពិចារណាស៊េរី
ស ? = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k+1) -x (k) ) + ... . (6)
ប្រសិនបើយើងបង្ហាញថា ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា នោះលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។
ស k = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k) -x (k-1) ).
ប៉ុន្តែវាមិនពិបាកក្នុងការគណនានោះទេ។
ស k = x (k)) . (7)
អាស្រ័យហេតុនេះ យើងនឹងបញ្ជាក់ពីការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់លំដោយ (x (k) }.
ដើម្បីបញ្ជាក់ពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី (6) ចូរយើងប្រៀបធៀបវាតាមពាក្យ (ដោយគ្មានពាក្យដំបូង x (0) ) នៅជិត
q 0 | x (1) -x (0) | + q 1 |x (1) -x (0) | + ... + |x (1) -x (0) | + ..., (8)
ដែលបង្រួបបង្រួមជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ (ចាប់តាំងពីតាមលក្ខខណ្ឌ q< 1 ) ដោយគុណធម៌នៃវិសមភាព (5) តម្លៃដាច់ខាតនៃស៊េរី (6) មិនត្រូវលើសពីលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរី convergent (8) (នោះគឺស៊េរី (8) majorizes ស៊េរី (6)) ដូច្នេះ ស៊េរី (6 ) ដូច្នេះ លំដាប់ក៏ចូលរួម (x (0) }.
យើងទទួលបានរូបមន្តដែលផ្តល់វិធីសាស្ត្រសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុស | X - x (k+1) |
វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញ។
X-x (k+1) = X - S k+1 = ស ? -ស k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) -x (k+2) ) + ... .
ដូច្នេះ
| X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) -x (k+2) | + ... ? q k+1 |x (1) -x (0) | + q k+2 |x (1) -x (0) | + ... = q k+1 |x (1) -x (0) | /(1-q) ។
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្ត
| X - x (k+1) | ? q k+1 |x (1) -x (0) | /(1-q) ។(9)
កំពុងទទួលយក x (0) អត្ថន័យ x (k) , នៅខាងក្រោយ x (1) - អត្ថន័យ x (k+1)(ចាប់តាំងពីជម្រើសបែបនេះអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបំពេញ) ហើយពិចារណាថាសម្រាប់វិសមភាព q k+1 ? qយើងបញ្ចេញ៖
| X - x (k+1) | ? q k+1 |x (k+1) -x (k) | / (1-q) ? q|x (k+1) -x (k) | /(1-q) ។
ដូច្នេះទីបំផុតយើងទទួលបាន៖
| X - x (k+1) | ? q|x (k+1) -x (k) | /(1-q) ។ (10)
យើងប្រើរូបមន្តនេះដើម្បីទាញយកលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបញ្ចប់លំដាប់នៃការធ្វើម្តងទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ x=ts(x)ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបញ្ជាក់សាមញ្ញ ហើយចម្លើយត្រូវតែរកឃើញដោយភាពសុក្រឹត អ៊ីនោះគឺ
| X - x (k+1) | ? អ៊ី
ពិចារណា (10) ទៅក្នុងគណនីយើងឃើញថាភាពត្រឹមត្រូវ អ៊ីនឹងត្រូវបានសម្រេចប្រសិនបើវិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត
|x (k+1) -x (k) | ? (1-q)/q ។(11)
ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការ x=ts(x)ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ វាចាំបាច់ក្នុងការបន្តការធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នារវាងការប៉ាន់ស្មានជិតខាងចុងក្រោយនៅតែធំជាងចំនួន e(1-q)/q ។
ចំណាំ 1: ជា q ថេរ ជាធម្មតាគេយកការប៉ាន់ស្មានខាងលើសម្រាប់បរិមាណ
ការបកស្រាយធរណីមាត្រ
សូមក្រឡេកមើលក្រាហ្វនៃមុខងារ។ នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ និងជាចំណុចប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់៖
រូបភាពទី 1 ។
ហើយការធ្វើម្តងទៀតបន្ទាប់គឺ x កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ផ្តេកជាមួយបន្ទាត់ត្រង់។
រូបភាពទី 2 ។
តួរលេខបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីតម្រូវការរួម។ ដេរីវេកាន់តែខិតទៅជិត 0 នោះ ក្បួនដោះស្រាយកាន់តែលឿន។ អាស្រ័យលើសញ្ញានៃដេរីវេនៅជិតដំណោះស្រាយការប៉ាន់ប្រមាណអាចត្រូវបានសាងសង់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ប្រសិនបើបន្ទាប់មកការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានសាងសង់នៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃឫស៖
រូបភាពទី 3 ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
បញ្ហានៃការកែលម្អគុណភាពនៃការគណនា ដោយសារភាពមិនស្របគ្នារវាងការចង់បាន និងជាក់ស្តែង មាន ហើយនឹងមាននៅពេលអនាគត។ ដំណោះស្រាយរបស់វានឹងត្រូវបានសម្របសម្រួលដោយការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន ដែលមានទាំងវិធីសាស្រ្តធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងសម្រាប់ការរៀបចំដំណើរការព័ត៌មាន និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេដោយប្រើឧបករណ៍ជាក់លាក់ - បរិស្ថាន និងភាសាសរសេរកម្មវិធី។
លទ្ធផលនៃការងារអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាគំរូមុខងារដែលបានបង្កើតសម្រាប់ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ ញូតុន អង្កត់ធ្នូ និងការបែងចែកពាក់កណ្តាល។ គំរូនេះអាចអនុវត្តបានចំពោះបញ្ហាដែលអាចកំណត់បាន, i.e. កំហុសក្នុងការគណនាពិសោធន៍ដែលអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។ គំរូមុខងារដែលបានបង្កើត និងការអនុវត្តកម្មវិធីរបស់វាអាចបម្រើជាផ្នែកសរីរាង្គនៃការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។
ដោយបានធ្វើការស្រាវជ្រាវលើប្រធានបទនៃវគ្គសិក្សា "វិធីសាស្រ្តលេខ។ ការដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ" ខ្ញុំបានសំរេចគោលដៅដែលបានកំណត់ក្នុងការណែនាំ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការចម្រាញ់ឫសត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត។ ឧទាហរណ៍ជាច្រើនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់និយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទនីមួយៗ។ ទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ជាក់។
ការប្រើប្រាស់ប្រភពផ្សេងៗបានធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងយល់បានពេញលេញអំពីប្រធានបទ។
វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ (វិធីសាស្រ្តត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជា វិធីសាស្រ្ត Secant ) វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងផ្អែកលើការបង្រួមតាមលំដាប់លំដោយនៃចន្លោះដែលមានឫសគល់តែមួយគត់នៃសមីការ. ដំណើរការដដែលៗត្រូវបានអនុវត្តរហូតដល់ភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានសម្រេច.
មិនដូចវិធីសាស្ត្របែងចែកពាក់កណ្តាលទេ វិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូបង្ហាញថាការបែងចែកចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណានឹងត្រូវបានអនុវត្តមិននៅកណ្តាលរបស់វាទេ ប៉ុន្តែនៅចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូជាមួយអ័ក្ស abscissa (អ័ក្ស X) ។ គួរកត់សម្គាល់ថាអង្កត់ធ្នូមួយត្រូវបានយល់ថាជាផ្នែកមួយដែលត្រូវបានដកចេញតាមរយៈចំណុចនៃមុខងារដែលកំពុងពិចារណានៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណា។ វិធីសាស្រ្តដែលកំពុងពិចារណាផ្តល់នូវការរកឃើញឫសលឿនជាងវិធីសាស្ត្រពាក់កណ្តាល ដោយផ្តល់ថាចន្លោះពេលដូចគ្នាដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានបញ្ជាក់។
តាមធរណីមាត្រ វិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូគឺស្មើនឹងការជំនួសវាដោយអង្កត់ធ្នូកោងឆ្លងកាត់ចំនុច និង (សូមមើលរូបទី 1 ។ )។
រូប ១. ការសាងសង់ផ្នែក (អង្កត់ធ្នូ) ទៅជាមុខងារមួយ។
សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ (អង្កត់ធ្នូ) ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច A និង B មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
សមីការនេះគឺជាសមីការធម្មតាសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ។ ជម្រាលនៃខ្សែកោងត្រូវបានបញ្ជាក់នៅតាមបណ្តោយ ordinate និង abscissa ដោយប្រើតម្លៃក្នុងភាគបែង និងរៀងគ្នា។
ចំពោះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa សមីការដែលបានសរសេរខាងលើនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
ជាចន្លោះពេលថ្មីសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ដំណើរការដដែលៗ យើងជ្រើសរើសមួយក្នុងចំណោមពីរ ឬនៅចុងបញ្ចប់នៃមុខងារដែលយកតម្លៃនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ សញ្ញាផ្ទុយគ្នានៃតម្លៃមុខងារនៅចុងនៃផ្នែកមួយអាចត្រូវបានកំណត់តាមវិធីជាច្រើន។ វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តទាំងនេះជាច្រើនគឺការគុណតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងកំណត់សញ្ញានៃផលិតផលដោយប្រៀបធៀបលទ្ធផលនៃគុណនឹងសូន្យ៖
ឬ 
.
ដំណើរការម្តងហើយម្តងទៀតនៃការចម្រាញ់ឫសបញ្ចប់នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃភាពជិតស្និតនៃការប៉ាន់ប្រមាណបន្តបន្ទាប់ចំនួនពីរបានក្លាយទៅជាតិចជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ពោលគឺឧ។
រូប ២. ការពន្យល់អំពីនិយមន័យនៃកំហុសក្នុងការគណនា។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូគឺលីនេអ៊ែរប៉ុន្តែលឿនជាងការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្ត bisection ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ
1. ស្វែងរកចន្លោះពេលមិនច្បាស់លាស់ដំបូងដោយប្រើវិធីសាស្រ្តបំបែកឫសមួយ។ Zផ្តល់កំហុសក្នុងការគណនា (លេខវិជ្ជមានតូច) និង ជំហានធ្វើឡើងវិញដំបូង () .
2. រកចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូជាមួយអ័ក្ស abscissa៖
3. វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច និង . បន្ទាប់អ្នកត្រូវពិនិត្យលក្ខខណ្ឌពីរ៖
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ 
បន្ទាប់មកឫសដែលចង់បានមានទីតាំងនៅខាងក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងដាក់ ;
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ 
បន្ទាប់មកឫសដែលចង់បានមានទីតាំងនៅខាងក្នុងផ្នែកខាងស្តាំទទួលយក .
ជាលទ្ធផល ចន្លោះពេលមិនច្បាស់លាស់ថ្មីមួយត្រូវបានរកឃើញ ដែលឫសដែលចង់បាននៃសមីការមានទីតាំងនៅ៖
4. យើងពិនិត្យមើលតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការសម្រាប់ភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងករណី៖
ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារវាងការប៉ាន់ប្រមាណបន្តបន្ទាប់គ្នា តិចជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ នោះដំណើរការដដែលៗនឹងបញ្ចប់។ តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារវាងការប៉ាន់ស្មានបន្តបន្ទាប់គ្នាពីរមិនឈានដល់ភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការទេនោះ ចាំបាច់ត្រូវបន្តដំណើរការដដែលៗ ហើយទៅជំហានទី 2 នៃក្បួនដោះស្រាយដែលកំពុងពិចារណា។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាការដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ។ ឫសត្រូវតែត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងជួរដែលកំពុងពិចារណាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ .
ជម្រើសសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរនៅក្នុងកញ្ចប់កម្មវិធីMathCAD.
លទ្ធផលនៃការគណនា ពោលគឺសក្ដានុពលនៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫស ក៏ដូចជាកំហុសក្នុងការគណនាអាស្រ័យលើជំហាននៃការធ្វើម្តងទៀត ត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ក្រាហ្វិក (សូមមើលរូបទី 1)។
រូប ១. ការគណនាលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ
ដើម្បីធានាបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់នៅពេលស្វែងរកសមីការក្នុងជួរមួយ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើម្តងទៀត 6 ដង។ នៅជំហានបន្ទាប់បន្សំចុងក្រោយ តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយតម្លៃ៖ .
ចំណាំ៖
ការកែប្រែនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺ វិធីសាស្រ្តទីតាំងមិនពិត(វិធីសាស្រ្តទីតាំងមិនពិត) ដែលខុសពីវិធីសាស្ត្រ secant តែនៅក្នុងពេលនីមួយៗ មិនមែន 2 ពិន្ទុចុងក្រោយត្រូវបានគេយកនោះទេ ប៉ុន្តែចំនុចទាំងនោះដែលមានទីតាំងនៅជុំវិញឫស។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើដេរីវេទី 2 អាចត្រូវបានយកចេញពីអនុគមន៍មិនមែនលីនេអ៊ែរ នោះក្បួនដោះស្រាយការស្វែងរកអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ ចូរយើងសន្មតថាដេរីវេទី 2 រក្សាសញ្ញាថេរ ហើយពិចារណាករណីពីរ៖
ករណីទី ១៖
ពីលក្ខខណ្ឌដំបូងវាប្រែថាផ្នែកថេរនៃផ្នែកគឺចំហៀងក.
ករណីទី ២៖
វិធីសាស្រ្តលេខ ១
ការដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរ ១
សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា ១
ការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫសគល់ ២
ការកែឫស ៤
វិធីសាស្រ្តចម្រាញ់ឫស ៤
វិធីសាស្រ្តចែកពាក់កណ្តាល ៤
វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ ៥
វិធីសាស្ត្រញូតុន (វិធីសាស្ត្រតង់សង់) ៦
ការរួមបញ្ចូលលេខ 7
សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហា 7
វិធីសាស្ត្រចតុកោណ ៨
វិធីសាស្ត្រចតុកោណ ៩
វិធីសាស្ត្រ Parabola (រូបមន្ត Simpson) ១០
វិធីសាស្រ្តលេខ
នៅក្នុងការអនុវត្ត ក្នុងករណីភាគច្រើន វាមិនអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយពិតប្រាកដចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យាដែលបានកើតឡើងនោះទេ។ វាកើតឡើងដោយសារតែដំណោះស្រាយដែលស្វែងរកជាធម្មតាមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងមុខងារបឋម ឬមុខងារដែលគេស្គាល់ផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះវិធីសាស្រ្តលេខបានទទួលសារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យ។
វិធីសាស្រ្តលេខមានន័យថាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជានព្វន្ធ និងប្រតិបត្តិការឡូជីខលមួយចំនួនលើលេខ។ អាស្រ័យលើភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការ ភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ និងវិធីសាស្ត្រដែលបានប្រើ សកម្មភាពមួយចំនួនធំអាចត្រូវបានទាមទារ ហើយនៅទីនេះអ្នកមិនអាចធ្វើដោយគ្មានកុំព្យូទ័រដែលមានល្បឿនលឿននោះទេ។
ដំណោះស្រាយដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្ត្រលេខជាធម្មតាប្រហាក់ប្រហែល ពោលគឺវាមានកំហុសមួយចំនួន។ ប្រភពនៃកំហុសក្នុងដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃបញ្ហាគឺ៖
កំហុសនៃវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយ;
កំហុសក្នុងការបង្គត់ក្នុងប្រតិបត្តិការជាមួយលេខ។
កំហុសវិធីសាស្រ្តគឺបណ្តាលមកពីដោយសារតែវិធីសាស្រ្តលេខជាធម្មតាដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញមួយទៀតដែលប្រហាក់ប្រហែល (នាំមកកាន់តែជិត) បញ្ហាដើម។ ក្នុងករណីខ្លះវិធីសាស្ត្រលេខគឺ ដំណើរការគ្មានទីបញ្ចប់, ដែល នៅក្នុងដែនកំណត់នាំទៅរកដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។ ដំណើរការនេះត្រូវបានរំខាននៅជំហានមួយចំនួន ផ្តល់នូវដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែល។
កំហុសក្នុងការបង្គត់អាស្រ័យលើចំនួននៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា។ វិធីសាស្រ្តលេខផ្សេងៗអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នា។ ភាពរសើបចំពោះកំហុសក្នុងការបង្គត់គឺអាស្រ័យយ៉ាងសំខាន់ទៅលើវិធីសាស្ត្រដែលបានជ្រើសរើស។
ការដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរ សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា
ការដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងបញ្ហាដែលមិនស្គាល់គឺជាបញ្ហាគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់មួយដែលកើតឡើងនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា និងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។
ជាទូទៅ សមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់មួយអាចត្រូវបានសរសេរ៖
f(x) = 0 ,
កន្លែងណា f(x) - មុខងារបន្តមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x.
លេខណាមួយ។ x 0 នៅឯណា f(x 0 ) ≡ 0 ត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃសមីការ f(x) = 0.
វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ nonlinear ត្រូវបានបែងចែកទៅជា ត្រង់(ការវិភាគច្បាស់លាស់) និង ដដែលៗ. វិធីសាស្រ្តផ្ទាល់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃទំនាក់ទំនងជាក់លាក់ (រូបមន្ត) ។ ក្នុងករណីនេះតម្លៃនៃឫសអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តនេះក្នុងចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ។ វិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ការដោះស្រាយត្រីកោណមាត្រ លោការីត អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងសមីការពិជគណិតសាមញ្ញផងដែរ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការមិនលីនេអ៊ែរភាគច្រើនដែលជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តមិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់នោះទេ។ សូម្បីតែសម្រាប់សមីការពិជគណិតខ្ពស់ជាងសញ្ញាបត្រទី 4 ក៏មិនអាចទទួលបានដំណោះស្រាយវិភាគក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តដែលមានចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធដែរ។ ក្នុងករណីទាំងអស់នោះ វាចាំបាច់ក្នុងការងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តលេខដែលធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យណាមួយ។
ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តលេខ បញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានបែងចែកជាពីរដំណាក់កាល៖ ការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្ម(ការបំបែក) នៃឫស, i.e. ស្វែងរកផ្នែកបែបនេះនៅលើអ័ក្ស xដែលក្នុងនោះមានឫសតែមួយ និង ការបញ្ជាក់អំពីឫស, i.e. ការគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មនៃឫស
ដើម្បីបំបែកឫសនៃសមីការ f(x) = 0 ចាំបាច់ត្រូវមានលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដែលធ្វើឱ្យវាអាចផ្ទៀងផ្ទាត់បានថា ជាដំបូងនៅលើផ្នែកដែលកំពុងពិចារណា [ ក,ខ] មានឫសមួយ ហើយទីពីរថា ឫសនេះគឺតែមួយគត់នៅលើផ្នែកដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។
ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅចន្លោះពេល [ ក,ខ] ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក តម្លៃរបស់វាមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ពោលគឺឧ។
f(ក) f(ខ) < 0 ,
បន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់មានឫសមួយនៅលើផ្នែកនេះ។
រូបទី 1. ការបំបែកឫស។ មុខងារ f(x) មិនមែនជាម៉ូណូតូនិចនៅលើចន្លោះពេល [ ក,ខ].
លក្ខខណ្ឌនេះ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាព (1) មិនធានាបាននូវភាពប្លែកនៃឫសនោះទេ។ លក្ខខណ្ឌបន្ថែមគ្រប់គ្រាន់ដែលធានានូវភាពប្លែកនៃឫសនៅលើផ្នែក [ ក,ខ] គឺជាតម្រូវការដែលអនុគមន៍មានលក្ខណៈ monotonic នៅចន្លោះពេលនេះ។ ជាសញ្ញានៃភាពឯកតានៃអនុគមន៍ យើងអាចប្រើលក្ខខណ្ឌនៃភាពជាប់លាប់នៃសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 f′( x) .
ដូច្នេះប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល [ ក,ខ] មុខងារគឺបន្ត និង monotonic ហើយតម្លៃរបស់វានៅខាងចុងនៃផ្នែកមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកមានឫសតែមួយនៅលើផ្នែកដែលកំពុងពិចារណា។
ដោយប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនេះអ្នកអាចបំបែកឫស វិភាគវិធីស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយ។
ការបំបែកឫសអាចធ្វើទៅបាន ក្រាហ្វិកប្រសិនបើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) ។ ឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ក្នុងរូបភាព (1) បង្ហាញថាមុខងារនេះនៅលើចន្លោះពេលអាចបែងចែកជាបីចន្លោះ monotonicity ហើយនៅលើចន្លោះពេលនេះវាមានឫសបី។
ការបំបែកឫសក៏អាចធ្វើបានដែរ។ តារាងវិធី។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាឫសទាំងអស់នៃសមីការ (2.1) ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺស្ថិតនៅលើចន្លោះ [ ក, ខ] ជម្រើសនៃផ្នែកនេះ (ចន្លោះពេលស្វែងរកឫស) អាចត្រូវបានធ្វើឡើងជាឧទាហរណ៍ ដោយផ្អែកលើការវិភាគនៃបញ្ហារាងកាយជាក់លាក់ ឬបញ្ហាផ្សេងទៀត។
អង្ករ។ 2. វិធីសាស្ត្រ Tabular នៃការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មជា root ។
យើងនឹងគណនាតម្លៃ f(x) ចាប់ផ្តើមពីចំណុច x=កផ្លាស់ទីទៅខាងស្តាំជាមួយនឹងជំហានមួយចំនួន ម៉ោង(រូបទី 2) ។ ដរាបណាតម្លៃដែលនៅជាប់គ្នាត្រូវបានរកឃើញ f(x) មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ដូច្នេះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ xអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាព្រំដែននៃផ្នែកដែលមានឫស។
ភាពជឿជាក់នៃវិធីសាស្ត្រតារាងសម្រាប់ការបំបែកឫសនៃសមីការគឺអាស្រ័យលើលក្ខណៈនៃមុខងារ f(x) និងលើទំហំជំហានដែលបានជ្រើសរើស ម៉ោង. ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើតម្លៃតូចមួយគ្រប់គ្រាន់ ម៉ោង(ម៉ោង<<|ខ−ក|) នៅលើព្រំដែននៃផ្នែកបច្ចុប្បន្ន [ x, x+ម៉ោង] មុខងារ f(x) យកតម្លៃនៃសញ្ញាដូចគ្នា បន្ទាប់មកវាជាធម្មជាតិក្នុងការរំពឹងថាសមីការ f(x) = 0 មិនមានឫសគល់លើផ្នែកនេះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនតែងតែជាករណីទេ: ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃ monotonicity នៃមុខងារមិនត្រូវបានបំពេញ f(x) នៅលើផ្នែក [ x, x+ម៉ោង] អាចជាឫសគល់នៃសមីការ (រូបទី ៣ ក)។
រូប ៣ ក រូប ៣ ខ
វាក៏មានឫសជាច្រើននៅលើផ្នែក [ x, x+ម៉ោង] ក៏អាចលេចឡើងប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ f(x) f(x+ ម៉ោង) < 0 (រូបទី 3 ខ) ។ ដោយគិតទុកជាមុនអំពីស្ថានភាពបែបនេះ អ្នកគួរតែជ្រើសរើសតម្លៃតូចល្មម ម៉ោង.
ដោយការបំបែកឫសតាមរបៀបនេះ យើងទទួលបានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់វាយ៉ាងសំខាន់រហូតដល់ជំហានដែលបានជ្រើសរើស។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងយកផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែកធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃ root នោះ កំហុសដាច់ខាតនៃតម្លៃនេះនឹងមិនលើសពីពាក់កណ្តាលនៃជំហានស្វែងរកទេ ( ម៉ោង/2). ដោយកាត់បន្ថយជំហាននៅក្នុងតំបន់ជុំវិញនៃឫសនីមួយៗ វាអាចទៅរួច ជាគោលការណ៍ដើម្បីបង្កើនភាពត្រឹមត្រូវនៃការបំបែកឫសទៅនឹងតម្លៃដែលបានកំណត់ទុកជាមុនណាមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវិធីសាស្រ្តនេះតម្រូវឱ្យមានការគណនាយ៉ាងច្រើន។ ដូច្នេះនៅពេលធ្វើការពិសោធន៍ជាលេខជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបញ្ហា នៅពេលដែលចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកឫសម្តងហើយម្តងទៀត វិធីសាស្ត្របែបនេះមិនសមស្របសម្រាប់ការចម្រាញ់ឫសទេ ហើយប្រើសម្រាប់តែការបំបែក (កំណត់ទីតាំង) ឫស ពោលគឺឧ។ កំណត់ការប៉ាន់ស្មានដំបូងចំពោះពួកគេ។ ការចម្រាញ់ឫសត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើវិធីសាស្រ្តសន្សំសំចៃបន្ថែមទៀត។
វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត
វិធីសាស្រ្តធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញសម្រាប់សមីការ f(x) = 0 មានដូចខាងក្រោម៖
1) សមីការដើមត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់ដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការធ្វើម្តងទៀត៖
x = φ (X). (2.2)
2) ជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានដំបូង X 0 និងគណនាការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ
x k = φ
(x k -1), k =1,2, ... (2.3)
ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៃលំដាប់ដដែលៗ នោះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ f(x) = 0, i.e. f(ξ ) =0.
y = φ (X)
ក x 0 x 1 x 2 ជី ខ
អង្ករ។ ២. ដំណើរការបង្រួបបង្រួម
នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាពទី 2 បង្ហាញពីដំណើរការនៃការទទួលបានចំនួនប្រហាក់ប្រហែលបន្ទាប់ដោយប្រើវិធីធ្វើម្តងទៀត។ លំដាប់នៃការប៉ាន់ប្រមាណចូលទៅជាឫស ξ .
មូលដ្ឋានទ្រឹស្ដីសម្រាប់អនុវត្តវិធីសាស្រ្តដដែលៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ ២.៣. សូមឱ្យលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ:
1) ឫសនៃសមីការ X= φ(x)ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក [ ក, ខ];
2) តម្លៃមុខងារទាំងអស់។ φ (X) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក [ ក, ខ], ធ. អ៊ី ក ≤ φ (X)≤ខ;
3) មានចំនួនវិជ្ជមានបែបនេះ q< 1, អ្វីទៅជាដេរីវេ φ "(x) នៅគ្រប់ចំណុចនៃផ្នែក [ ក, ខ] បំពេញវិសមភាព | φ "(x) | ≤ q.
1) លំដាប់លំដោយ x ន= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ... ) បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ណាមួយ។ x 0 Î [ ក, ខ];
2) ដែនកំណត់នៃលំដាប់លំដោយគឺជាឫសគល់នៃសមីការ
x = φ(x), ឧ x k= ξ បន្ទាប់មក ξ = φ (ξ);
3) វិសមភាពដែលបង្ហាញពីអត្រានៃការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់លំដោយគឺពិត
| ξ -x k | ≤ (b-a)×q k ។(2.4)
ជាក់ស្តែង ទ្រឹស្តីបទនេះកំណត់លក្ខខណ្ឌយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ដែលត្រូវតែត្រួតពិនិត្យមុនពេលអនុវត្តវិធីសាស្ត្រដដែលៗ។ ប្រសិនបើដេរីវេនៃមុខងារ φ (x) គឺធំជាងមួយនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត បន្ទាប់មកដំណើរការដដែលៗខុសគ្នា (រូបភាពទី 3)។
y = φ
(x) y = x
 |
អង្ករ។ ៣. ដំណើរការផ្ទួនគ្នា
ជាលក្ខខណ្ឌមួយសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្តដដែលៗ វិសមភាព
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូគឺដើម្បីជំនួសខ្សែកោង នៅ = f(x) ផ្នែកបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច ( ក, f(ក)) និង ( ខ, f(ខ)) អង្ករ។ ៤). Abscissa នៃចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស អូត្រូវបានយកជាវិធីសាស្រ្តបន្ទាប់។
ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តគណនាសម្រាប់វិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ យើងសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច ( ក, f(ក)) និង ( ខ, f(ខ)) និង, សមីការ នៅដល់សូន្យ យើងនឹងរកឃើញ X:
Þ 
Chord Method Algorithm :
1) អនុញ្ញាតឱ្យ k = 0;
2) គណនាលេខបន្ទាប់បន្សំ៖ k = k + 1.
តោះរកមួយបន្ទាប់ទៀត។ k-e ការប៉ាន់ស្មានដោយប្រើរូបមន្ត៖
x k= ក- f(ក)(ខ - ក)/(f(ខ) - f(ក)).
ចូរយើងគណនា f(x k);
3) ប្រសិនបើ f(x k)= 0 (ឫសត្រូវបានរកឃើញ) បន្ទាប់មកទៅកាន់ជំហានទី 5 ។
ប្រសិនបើ f(x k) × f(ខ)>0 បន្ទាប់មក ខ= x kបើមិនដូច្នេះទេ ក = x k;
4) ប្រសិនបើ |x k – x k -1 | > ε បន្ទាប់មកទៅកាន់ជំហានទី 2;
5) បង្ហាញតម្លៃនៃឫស x k ;
មតិយោបល់. សកម្មភាពនៃកថាខណ្ឌទីបីគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងសកម្មភាពនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពាក់កណ្តាល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ នៅជំហាននីមួយៗ ចុងបញ្ចប់ដូចគ្នានៃផ្នែក (ស្តាំ ឬឆ្វេង) អាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើក្រាហ្វនៃមុខងារនៅក្នុងសង្កាត់នៃឫសគឺប៉ោងឡើងលើ (រូបភាពទី 4, ក) ឬ concave ចុះ (រូបភាព 4, ខ) ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នារវាងការប៉ាន់ប្រមាណជិតខាង ត្រូវបានប្រើក្នុងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នា។
អង្ករ។ ៤. វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ
4. វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុន(តង់សង់)
អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញ f(x) = 0 ហើយបញ្ជាក់វា។ x ន.រូបមន្តគណនា វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុនដើម្បីកំណត់វិធីសាស្រ្តបន្ទាប់ x ន+1 អាចទទួលបានតាមពីរវិធី។
វិធីសាស្រ្តទីមួយបង្ហាញពីអត្ថន័យធរណីមាត្រ វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុនហើយមាននៅក្នុងការពិតដែលថាជំនួសឱ្យចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នៅ= f(x) ជាមួយអ័ក្ស អូរកមើលចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូតង់សង់ត្រូវបានគូរទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច ( x ន,f(x ន)) ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 5. សមីការតង់សង់មានទម្រង់ y - f(x ន)= f"(x ន)(x- x ន).
អង្ករ។ ៥. វិធីសាស្ត្រញូតុន (តង់សង់)
នៅចំណុចប្រសព្វនៃតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស អូអថេរ នៅ= 0. សមីការ នៅដល់សូន្យ យើងបង្ហាញ Xហើយយើងទទួលបានរូបមន្ត វិធីសាស្រ្តតង់សង់ :
(2.6)
វិធីទីពីរ៖ ពង្រីកមុខងារ f(x) ចូលទៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅជិតចំណុចមួយ។ x = x n:
អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងទៅនឹងលក្ខខណ្ឌលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង ( X- x ន) កំណត់ទៅសូន្យ f(x) និងបង្ហាញពីការមិនស្គាល់ពីសមីការលទ្ធផល Xតំណាងដោយ x ន+1 យើងទទួលបានរូបមន្ត (2.6) ។
ចូរយើងបង្ហាញលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។
ទ្រឹស្តីបទ ២.៤. អនុញ្ញាតឱ្យនៅលើផ្នែក [ ក, ខ]លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖
1) មុខងារ f(x) និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។ f"(X) និង f ""(x) បន្ត;
2) និស្សន្ទវត្ថុ f"(x) និង f""(x) ខុសពីសូន្យ និងរក្សាសញ្ញាថេរជាក់លាក់។
3) f(ក)× f(ខ) <
0 (មុខងារ f(xការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅលើផ្នែក) ។
បន្ទាប់មកមានផ្នែកមួយ [ α
, β
] ដែលមានឫសដែលចង់បាននៃសមីការ f(x) =
0 ដែលលំដាប់ដដែលៗ (2.6) ចូលរួម។ ប្រសិនបើជាសូន្យប្រហាក់ប្រហែល X 0 ជ្រើសរើសចំណុចព្រំដែននោះ [ α
, β
] ដែលសញ្ញានៃអនុគមន៍ស្របគ្នានឹងសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ។
ទាំងនោះ។ f(x 0)× f"(x 0)>0 បន្ទាប់មកលំដាប់ដែលធ្វើឡើងវិញត្រូវរួមគ្នាជាឯកតា
មតិយោបល់. ចំណាំថាវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូមកពីទិសដៅផ្ទុយ ហើយវិធីសាស្ត្រទាំងពីរនេះអាចបំពេញគ្នាទៅវិញទៅមក។ ការរួមបញ្ចូលគ្នាក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ។ វិធីសាស្រ្ត chord-tangent ។
5. វិធីសាស្រ្ត Secant
វិធីសាស្ត្រ secant អាចទទួលបានពីវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន ដោយជំនួសដេរីវេដោយកន្សោមប្រហាក់ប្រហែល - រូបមន្តខុសគ្នា៖
, 
,
. (2.7)
រូបមន្ត (2.7) ប្រើការប៉ាន់ស្មានមុនពីរ x ននិង x n - 1. ដូច្នេះសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ X 0 វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ x 1 , ឧទាហរណ៍ ដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន ជាមួយនឹងការជំនួសប្រហាក់ប្រហែលនៃដេរីវេតាមរូបមន្ត
, 
ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្ត្រ secant:
1) តម្លៃដំបូងត្រូវបានកំណត់ X 0 និងកំហុស ε . ចូរយើងគណនា
;
2) សម្រាប់ n = 1, 2, ... ខណៈពេលដែលលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ | x ន – x ន -1 | > ε , គណនា x n+ 1 យោងតាមរូបមន្ត (2.7) ។