Как найти длину ребра пирамиды

Даны координаты вершин пирамиды $А_1А_2А_3А_4$. Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)
1) Найти длины ребер $А_1А_2;А_1А_3;А_1А_4$.
Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер
$$А_1А_2 = \sqrt{(-2-4)^2+(1+1)^2+(0-3)^2} = 7$$
$$А_1А_3 = \sqrt{(0-4)^2+(-5+1)^2+(1-3)^2} = 6$$
$$А_1А_4 = \sqrt{(3-4)^2+(2+1)^2+(-6-3)^2} = \sqrt{91}$$
2) Угол между ребрами $А_1А_2$ и $А_1А_4$.
Для того чтобы найти угол между ребрами, найдем уравнения прямых этих ребер, а затем угол между прямыми. Уравнения прямых будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$ Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямых $А_1А_2 = \frac{x-4}{-2-4} = \frac{y+1}{1+1} = \frac{z-3}{0-3} =>$ $$ А_1А_2 = \frac{x-4}{-6} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{-3} $$
$А_1А_4 = \frac{x-4}{3-4} = \frac{y+1}{2+1} = \frac{z-3}{-6-3} =>$ $$ А_1А_4 = \frac{x-4}{-1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-9}$$
Угол между прямыми находится по формуле $$ \cos\phi = \frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{ \sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2} \sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$ где $S_1(l_1;m_1;n_1)$ направляющий вектор первой прямой $S_2(l_2;m_2;n_2)$ - второй прямой. Поставляем координаты направляющих векторов $$ \cos \widehat{A_4A_1A_2} = \frac{(-6)(-1) + 2*3+(-3)(-9)}{ \sqrt{(-6)^2+2^2+(-3)^2} \sqrt{(-1)^2+3^2+(-9)^2}} = \frac{6+6+27}{\sqrt{36+4+9} * \sqrt{1+9+81}} = \frac{39}{7*\sqrt{91}} => \widehat{A_4A_1A_2} \approx 34^0$$
3) Площадь грани $А_1А_2А_3$.
В основании лежи треугольник у которого уже известны стороны $A_1A_2 = 7$ и $A_1A_3 = 6$, координаты всех точек, т.е. можно найти длину третьей стороны и воспользоваться формулой Герона для нахождения площади, можно зная длину основания $A_1A_2 $ и уравнение прямой $A_1A_2$ найдем расстояние от точки $A_3$ до этой прямой это будет высота треугольника и найдем площадь по формуле $S = \frac{1}{2}ah $.
Найдем третью сторону и воспользуемся формулой Герона $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}$$ $$А_2А_3 = \sqrt{(0+2)^2+(-5-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{41}$$ тогда полупериметр равен $p = \frac{6+7+\sqrt{41}}{2} = \frac{13+\sqrt{41}}{2}$ $$S = \sqrt{ \frac{13+\sqrt{41}}{2}* \frac{13+\sqrt{41}-12}{2}* \frac{13+\sqrt{41}-14}{2}* \frac{13+\sqrt{41}-2\sqrt{41}}{2}} = $$$$ = \sqrt{ \frac{13+\sqrt{41}}{2}* \frac{1+\sqrt{41}}{2}* \frac{\sqrt{41}-1}{2}* \frac{13-\sqrt{41}}{2}} = $$ воспользуемся формулой сокращенного умножения - формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ $$ = \frac{1}{4}\sqrt{ (13^2-41)(41-1)} = \frac{32}{4} \sqrt{5} = 8 \sqrt{5}$$
4)Уравнение прямой $А1А2$.
Уравнение прямой было найдено в п.2
$$ А_1А_2 = \frac{x-4}{-6} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{-3} $$
5) Уравнение плоскости $А_1А_2А_3$.
Известны координаты точек $А_1(4;-1;3), А_2(-2;1;0), А_3(0;-5;1)$
Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатной форме $$\left|\begin{array}{c} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$$ Подставляем координаты точек $$\left|\begin{array}{c} x-4 & y+1 & z-3\\ -2-4 & 1+1 & 0-3 \\ 0-4 & -5+1 & 1-3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{c} x-4 & y+1 & z-3\\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end{array}\right| = $$$$ = (x-4)*2*(-2)+(y+1)(-3)(-4)+(-6)(-4)(z-3)-(-4)2(z-3)-(-4)(-3)(x-4)-(-2)(-6)(y+1)=$$$$ =-4(x-4)+12(y+1)+24(z-3)+8(z-3)-12(x-4)-12(y+1) = -16(x-4)+32(z-3)= $$$$ =-16x+64+32z-96=-16x+32z-32 = 0$$ Уравнение плоскости $$-16x+32z-32 = 0 => -x+2z-2=0$$
6) Уравнение высоты, опущенной из вершины $А_4$ на грань $А_1А_2А_3$.
Известны координаты точки $А_4(3;2;-6) $, уравнение плоскости, в которой лежит грань $A_1A_2A_3$ $-x+2z-2=0$ з этого уравнения получим координаты нормального вектора к плоскости $\vec{N}=(-1;0;2) $. Этот вектор является направляющим вектором прямой, подставим координаты вектора в каноническое уравнение прямой и координаты точки $A_4$ $\frac{x-3}{-1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z+6}{2} $ получили, что прямая перпендикулярна оси Oy, уравнение прямой можно записать еще и так $$\frac{x-3}{-1} = \frac{z+6}{2}, \quad x=1 $$
7) Угол между ребром $А_1А_4$ и гранью $А_1А_2А_3$.
Есть прямая, на которой лежит ребро, ее уравнение $А_1А_4 = \frac{x-4}{-1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-9}$.
Есть плоскость, которой принадлежит грань $A_1A_2A_3$ $-x+2z-2=0$.
Запишем каноническое уравнение прямой $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$, каноническое уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$, тогда угол между прямой и плоскостью будет рассчитываться по формуле $$ \sin \phi = \frac{|Am + Bn + Cp|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$Подставляем данные из задачи в формулу $$\sin \phi = \frac{|(-1)(-1) + 0*3 + 2(-9)|}{ \sqrt{(-1)^2+0^2+2^2} \sqrt{(-1)^2+3^2+(-9)^2}} = \frac{17}{ \sqrt{455}} => \arcsin (\frac{17}{ \sqrt{455}}) \approx 52,84^0$$

8) Объем пирамиды.
Объем пирамиды равен $$V_{пир} = \frac{1}{3}Sh$$ где $S = 8 \sqrt{5}$ - площадь основания. Нужно найти высоту, опущенную на это основание, а это есть расстояние от точки до плоскости, которое рассчитывается по формуле $$d = |\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}|$$ где $(x_0;y_0;z_0)$ - координаты точки $А_4(3;2;-6)$, а $Ax+By+Cz+D=0$ - уравнение плоскости, которое равно $-x+2z-2=0$. Подставляем координаты и получаем $$h = |\frac{-3+2*(-6)-2}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}| = \frac{17}{\sqrt{5}} $$ Подставляем в формулу объема $$V_{пир} = \frac{1}{3} 8 \sqrt{5}*\frac{17}{\sqrt{5}} = \frac{136}{3}$$

Пирамида – это фигура, у которой есть основание в виде многоугольника и боковые грани со сходящимися вверху вершинами. Границы боковых граней называются ребрами. А как же найти длину ребра пирамиды?

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти длину ребра пирамиды" Как складывать квадратные корни Как найти диагональ квадрата Как найти координаты вершины параболы

Инструкция

Найдите граничные точки ребра, длину которого ищете. Пусть это будут точки А и В.

Задайте координаты точек А и В. Их нужно задавать трехмерными, т.к. пирамида – объемная фигура. Получите А(х1, у1, z1) и B(x2, y2, z2).

Вычислите нужную длину, используя общую формулу: длина ребра пирамиды равняется корню суммы квадратов разниц соответствующих координат граничных точек. Подставьте цифры ваших координат в формулу и найдите длину ребра пирамиды. Таким же образом найдите длину ребер не только правильной пирамиды, но и прямоугольной, и усеченной, и произвольной.

Найдите длину ребра пирамиды, у которой все ребра равны, заданы стороны основания фигуры и известна высота. Определите месторасположение основания высоты, т.е. нижней ее точки. Так как ребра равны, значит можно провести окружность, центром которой будет точка пересечения диагоналей основания.

Проведите прямые линии, соединяющие противоположные углы основания пирамиды. Отметьте точку, где они пересекаются. Эта же точка и будет нижней границей высоты пирамиды.

Найдите длину диагонали прямоугольника с помощью теоремы Пифагора, где сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Получите а2+b2=c2, где а и b – катеты, а с - гипотенуза. Гипотенуза тогда будет равна корню из суммы квадратов катетов.

Найдите длину ребра пирамиды. Сначала поделите длину диагонали пополам. Все полученные данные подставьте значения в формулу Пифагора, описанную выше. Аналогично предыдущему примеру найдите корень из суммы квадратов высоты пирамиды и половины диагонали.

Как просто

Другие новости по теме:

Под пирамидой подразумевается одна из разновидностей многогранников, в основании которого лежит многоугольник, а грани его - это треугольники, которые соединяются в единой, общей вершине. Если из вершины опустить перпендикуляр к основанию пирамиды, получившийся отрезок будет называться высотой

Треугольной называется пирамида, в основании которой лежит треугольник. Высотой такой пирамиды будет перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость ее основания. Для того, чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, то есть такой пирамиды, все грани которой являются равносторонними

Пирамида - это объемная фигура, каждая из боковых граней которой имеет форму треугольника. Если и в основании тоже лежит треугольник, а все ребра имеют одинаковую длину, то это - правильная треугольная пирамида. У этой объемной фигуры четыре грани, поэтому часто ее называют «тетраэдром» - от

Апофемой в пирамиде называют отрезок, проведенный из ее вершины к основанию одной из боковых граней, если отрезок перпендикулярен этому основанию. Боковая грань такой объемной фигуры всегда имеет треугольную форму. Поэтому при необходимости вычисления длины апофемы допустимо использование свойств

Объемная геометрическая фигура, все боковые грани которой имеют треугольную форму и не меньше одной общей вершины, назвается пирамидой. Та грань, которая не примыкает к общей для остальных вершине, называется основанием пирамиды. Если все стороны и углы образующего ее многоугольника одинаковы,

Если по обе стороны некоторой плоскости есть точки, принадлежащие объемной фигуре (например, многограннику), эту плоскость можно назвать секущей. А двухмерная фигура, образованная общими точками плоскости и многогранника, в этом случае называется сечением. Такое сечение будет являться диагональным,

Пирамида - это многогранник, составленный из определенного числа имеющих одну общую вершину плоских боковых поверхностей и одного основания. Основание, в свою очередь, имеет с каждой боковой гранью одно общее ребро, и поэтому его форма определяет общее число граней фигуры. В правильной

Пирамида - сложное геометрическое тело. Оно образовано плоским многоугольником (основание пирамиды), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина пирамиды) и всех отрезков, которые соединяют точки основания пирамиды с вершиной. Как же найти площадь пирамиды? Вам понадобится линейка,

Пирамида – это фигура, у которой есть основание в виде многоугольника и боковые грани со сходящимися вверху вершинами. Границы боковых граней называются ребрами . А как же найти длину ребра пирамиды ?

Инструкция

Найдите граничные точки ребра, длину которого ищете. Пусть это будут точки А и В.

Вычислите нужную длину , используя общую формулу: длина ребра пирамиды равняется корню суммы квадратов разниц соответствующих координат граничных точек. Подставьте цифры ваших координат в формулу и найдите длину ребра пирамиды . Таким же образом найдите длину ребер не только правильной пирамиды , но и прямоугольной, и усеченной, и произвольной.

Найдите длину ребра пирамиды , у которой все ребра равны, заданы стороны основания фигуры и известна высота. Определите месторасположение основания высоты, т.е. нижней ее точки. Так как ребра равны, значит можно провести окружность, центром которой будет точка пересечения диагоналей основания.

Проведите прямые линии, соединяющие противоположные углы основания пирамиды . Отметьте точку, где они пересекаются. Эта же точка и будет нижней границей высоты пирамиды .

Найдите длину диагонали прямоугольника с помощью теоремы Пифагора, где сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Получите а2+b2=c2, где а и b – катеты, а с - гипотенуза. Гипотенуза тогда будет равна корню из суммы квадратов катетов.

Найдите длину ребра пирамиды . Сначала поделите длину диагонали пополам. Все полученные данные подставьте значения в формулу Пифагора, описанную выше. Аналогично предыдущему примеру найдите корень из суммы квадратов высоты пирамиды и половины диагонали.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Задачи на вычисление стороны основания пирамиды составляют в задачнике по геометрии довольно большой раздел. Очень многое зависит от того, какая гемоетрическая фигура лежит в основании, а также от того, что дано в условиях задачи. Вам…

Пирамида - это геометрическое тело с многоугольником в основании и боковыми треугольными гранями с общей вершиной. Количество боковых граней пирамиды равно числу сторон основания. Инструкция 1В прямоугольной пирамиде одно из боковых ребер…

Четырехугольная пирамида - это пятигранник с четырехугольным основанием и боковой поверхностью из четырех треугольных граней. Боковые ребра многогранника пересекаются в одной точке - вершине пирамиды. Инструкция 1Четырехугольная пирамида может быть…

Частный случай конуса называется пирамидой, если в основании фигуры лежит многоугольник. Если этот многоугольник является выпуклым, все его стороны имеют одинаковую длину, а вершина многогранника проецируется в центр основания, пирамиду называют…

Пирамида представляет собой многогранник, грани которого являются треугольниками, имеющими общую вершину. Вычисление бокового ребра изучают в школе, на практике часто приходится вспоминать подзабытую формулу. Инструкция 1По виду основания…

Развертку правильной многогранной усеченной пирамиды можно построить по определенному алгоритму. Достаточно рассмотреть его на примере построения развертки четырехгранной усеченной пирамиды, в основаниях которой лежат два подобных равносторонних…

Объемная геометрическая фигура, которую образуют четыре грани, называется тетраэдром. Каждая из граней такой фигуры может иметь только треугольную форму. Любая из четырех вершин многогранника образуется тремя ребрами, а общее число ребер равно…

Форму многогранников, в том числе, и пирамиды, имеют многие реальные объекты, например, знаменитые пирамиды Египта. Данная геометрическая фигура имеет несколько параметров, основным из которых является высота. Инструкция 1Определите, является ли…

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его представляют собой треугольники, обладающие общей вершиной. Для правильной пирамиды справедливо то же определение, но в основании ее лежит правильный…

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая…