Balagin Viktor
Matemaatiliste reeglite ja teoreemide avastamisega jõudsid teadlased uute matemaatiliste tähistuste ja märkideni. Matemaatilised märgid on sümbolid, mis on loodud matemaatiliste mõistete, lausete ja arvutuste salvestamiseks. Matemaatikas kasutatakse tähistuse lühendamiseks ja väite täpsemaks väljendamiseks spetsiaalseid sümboleid. Lisaks erinevate tähestiku (ladina, kreeka, heebrea) numbritele ja tähtedele kasutatakse matemaatilises keeles palju viimastel sajanditel leiutatud erisümboleid.
Lae alla:
Eelvaade:
MATEMAATILISED SYMBOLID.
Olen töö ära teinud
7. klassi õpilane
GBOU keskkool nr 574
Balagin Viktor
2012-2013 õppeaasta
MATEMAATILISED SYMBOLID.
- Sissejuhatus
Sõna matemaatika tuli meile vanakreeka keelest, kus μάθημα tähendas "õppima", "teadmisi omandama". Ja see, kes ütleb: "Ma ei vaja matemaatikat, minust ei saa matemaatikut", eksib. Kõik vajavad matemaatikat. Avaldades meid ümbritsevat imelist numbrite maailma, õpetab see selgemalt ja järjekindlamalt mõtlema, arendab mõtlemist, tähelepanu ning kasvatab visadust ja tahet. M.V. Lomonosov ütles: "Matemaatika paneb mõtted korda." Ühesõnaga, matemaatika õpetab meid õppima teadmisi omandama.
Matemaatika on esimene teadus, mida inimene suudab omandada. Vanim tegevus oli loendamine. Mõned primitiivsed hõimud lugesid esemete arvu sõrmede ja varvaste abil. Tänaseni kiviajast säilinud kaljumaal kujutab numbrit 35 35 ritta tõmmatud pulga kujul. Võime öelda, et 1 pulk on esimene matemaatiline sümbol.
Matemaatiline “kirjutamine”, mida me praegu kasutame – alates tundmatute tähistamisest tähtedega x, y, z kuni integraalimärgini – arenes järk-järgult. Sümboolika areng lihtsustas tööd matemaatiliste tehtetega ja aitas kaasa matemaatika enda arengule.
Vana-Kreeka keelest "sümbol" (kreeka. sümbolon - märk, omen, parool, embleem) - märk, mis on seotud objektiivsusega, mida see tähistab nii, et märgi ja selle objekti tähendust esindab ainult märk ise ja see ilmneb ainult selle tõlgenduse kaudu.
Matemaatiliste reeglite ja teoreemide avastamisega jõudsid teadlased uute matemaatiliste tähistuste ja märkideni. Matemaatilised märgid on sümbolid, mis on loodud matemaatiliste mõistete, lausete ja arvutuste salvestamiseks. Matemaatikas kasutatakse tähistuse lühendamiseks ja väite täpsemaks väljendamiseks spetsiaalseid sümboleid. Lisaks erinevate tähestiku (ladina, kreeka, heebrea) numbritele ja tähtedele kasutatakse matemaatilises keeles palju viimastel sajanditel leiutatud erisümboleid.
2. Liitmis- ja lahutamismärgid
Matemaatilise märgistamise ajalugu algab paleoliitikumiga. Sellest ajast pärinevad loendamisel kasutatud sälkudega kivid ja luud. Kõige kuulsam näide onIshango luu. Kuulus Ishangost (Kongo) pärit luu, mis pärineb umbes 20 tuhandest aastast eKr, tõestab, et juba sel ajal tegi inimene üsna keerulisi matemaatilisi tehteid. Luudel olevaid sälkusid kasutati liitmiseks ja neid rakendati rühmadena, sümboliseerides numbrite liitmist.
Vana-Egiptuses oli juba palju arenenum noodisüsteem. Näiteks sisseAhmesi papüürusliitmissümbol kasutab pilti, kus kaks jalga kõnnivad üle teksti edasi, ja lahutamise sümbol kasutab kahte jalga tagurpidi.Vanad kreeklased märkisid liitmist kõrvuti kirjutades, kuid aeg-ajalt kasutasid lahutamiseks kaldkriipsu sümbolit “/” ja poolellipsilist kõverat.
Liitmise (pluss "+") ja lahutamise (miinus "-") aritmeetiliste operatsioonide sümbolid on nii tavalised, et me peaaegu kunagi ei mõtle sellele, et neid pole alati olemas olnud. Nende sümbolite päritolu on ebaselge. Üks versioon on see, et neid kasutati varem kauplemisel kasumi ja kahjumi märgina.
Samuti arvatakse, et meie märkpärineb ühest sõnast "et", mis tähendab ladina keeles "ja". Väljendus a+b see oli ladina keeles kirjutatud nii: a et b . Järk-järgult, sagedase kasutamise tõttu, alates märgist " et "jääb ainult" t "mis aja jooksul muutus"+ ". Esimene inimene, kes võis märki kasutadalühendina et, oli astronoom Nicole d'Oresme (raamatu "Taeva ja maailma raamat" autor) neljateistkümnenda sajandi keskel.
15. sajandi lõpus kasutasid prantsuse matemaatik Chiquet (1484) ja itaallane Pacioli (1494) "" või " "" (tähistab "pluss") lisamiseks ja "" või " '' (tähistab "miinus") lahutamiseks.
Lahutamise märge oli segasem, kuna lihtsa "” Saksa, Šveitsi ja Hollandi raamatutes kasutasid nad mõnikord sümbolit „÷’”, mida me kasutame nüüd jagunemise tähistamiseks. Mitmed seitsmeteistkümnenda sajandi raamatud (nagu Descartes ja Mersenne) kasutavad lahutamise tähistamiseks kahte punkti "∙ ∙" või kolme punkti "∙ ∙ ∙".
Kaasaegse algebralise sümboli esmakordne kasutamine "” viitab saksa algebra käsikirjale aastast 1481, mis leiti Dresdeni raamatukogust. Samast ajast pärit ladinakeelses käsikirjas (ka Dresdeni raamatukogust) on mõlemad märgid: "" Ja " - " . Märkide süstemaatiline kasutamine "" ja " - " liitmise ja lahutamise jaoks on leitudJohann Widmann. Saksa matemaatik Johann Widmann (1462-1498) oli esimene, kes kasutas mõlemat märki oma loengutes õpilaste kohaloleku ja puudumise tähistamiseks. Tõsi, on andmeid, et ta “laenatas” need märgid ühelt vähetuntud Leipzigi ülikooli professorilt. Aastal 1489 avaldas ta Leipzigis esimese trükitud raamatu ( Mercantile Aithmetic - "Commercial Aithmetic"), milles olid mõlemad märgid. Ja , teoses “Kiire ja meeldiv konto kõigile kaupmeestele” (u 1490)
Ajaloolise kurioosumina väärib märkimist, et ka pärast märgi kasutuselevõttumitte kõik ei kasutanud seda sümbolit. Widmann ise tutvustas seda Kreeka ristina(tänapäeval kasutatav märk), mille horisontaaljoon on mõnikord vertikaalsest veidi pikem. Mõned matemaatikud, nagu Record, Harriot ja Descartes, kasutasid sama märki. Teised (nagu Hume, Huygens ja Fermat) kasutasid ladina risti "†", mis mõnikord asetati horisontaalselt ja mille ühes või teises otsas oli risttala. Lõpuks kasutasid mõned (nt Halley) dekoratiivsemat välimust " ».
3.Võrdsusmärk
Võrdsusmärk matemaatikas ja teistes täppisteadustes kirjutatakse kahe suuruselt identse avaldise vahele. Diophantus oli esimene, kes kasutas võrdusmärki. Ta tähistas võrdsust tähega i (kreeka keelest isos - võrdne). INantiik- ja keskaegne matemaatikavõrdsust märgiti sõnaliselt, näiteks est egale või kasutati lühendit “ae” ladina aequalis - “võrdne”. Teistes keeltes kasutati ka sõna "võrdne" esitähti, kuid see ei olnud üldiselt aktsepteeritud. Võrdsusmärgi "=" võttis 1557. aastal kasutusele Walesi arst ja matemaatikRoberti rekord(Record R., 1510-1558). Mõnel juhul oli võrdsust tähistav matemaatiline sümbol sümbol II. Record tutvustas sümbolit "=" kahe võrdse horisontaalse paralleelse joonega, mis on palju pikemad kui tänapäeval kasutatavad. Inglise matemaatik Robert Record oli esimene, kes kasutas võrdsuse sümbolit, väites sõnadega: "Kaks objekti ei saa olla üksteisega võrdsemad kui kaks paralleelset segmenti." Aga ikka seesXVII sajandRene Descarteskasutas lühendit "ae".Francois VietVõrdsusmärk tähistas lahutamist. Mõnda aega takistas Rekordi sümboli levikut tõsiasi, et sama sümboliga tähistati sirgjoonte paralleelsust; Lõpuks otsustati paralleelsuse sümbol vertikaalseks muuta. Märk sai laialt levinud alles pärast Leibnizi loomingut 17.-18. sajandi vahetusel, st enam kui 100 aastat pärast selle esmakordset kasutaja surma.Roberti rekord. Tema hauakivil pole sõnu – vaid sinna raiutud võrdusmärk.
Seotud sümbolid ligikaudse võrdsuse "≈" ja identiteedi "≡" tähistamiseks on väga noored – esimese võttis kasutusele 1885. aastal Günther, teise 1857. aastal.Riemann
4. Korrutamis- ja jagamismärgid
Korrutamismärgi risti kujul ("x") võttis kasutusele anglikaani preester-matemaatikWilliam Ooughtred V 1631. Enne teda kasutati korrutusmärgiks M-tähte, kuigi pakuti ka muid tähiseid: ristküliku sümbol (Erigon, ), tärn ( Johann Rahn, ).
Hiljem Leibnizasendas risti punktiga (lõpp17. sajandil), et mitte segi ajada seda kirjaga x ; enne teda leiti sellist sümboolikatRegiomontana (15. sajand) ja inglise teadlaneThomas Herriot (1560-1621).
Jagamise toimingu näitamiseksMuudaeelistatud kaldkriips. Käärsool hakkas tähistama jagunemistLeibniz. Enne neid kasutati sageli ka tähte D. AlustadesFibonacci, kasutatakse ka araabia teostes kasutatud murdejoont. Jaotus vormis obelus ("÷"), mille tutvustas Šveitsi matemaatikJohann Rahn(umbes 1660)
5. Protsendi märk.
Sajanik tervikust, ühikuna võetud. Sõna "protsent" ise pärineb ladinakeelsest sõnast "pro centum", mis tähendab "saja kohta". 1685. aastal ilmus Pariisis Mathieu de la Porte’i (1685) raamat “Kaubandusliku aritmeetika käsiraamat”. Ühes kohas räägiti protsentidest, mida siis tähistati “cto” (lühend sõnast cento). Laduja pidas seda "cto" aga murdosaks ja trükkis "%". Nii et kirjavea tõttu tuli see märk kasutusele.
6.Lõpmatuse märk
Kasutusele tuli praegune lõpmatuse sümbol "∞".John Wallis aastal 1655. John Wallisavaldas suure traktaadi "Lõpmatu aritmeetika" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), kuhu ta sisestas enda leiutatud sümbolilõpmatus. Siiani pole teada, miks ta just selle märgi valis. Üks autoriteetsemaid hüpoteese seob selle sümboli päritolu ladina tähega "M", mida roomlased kasutasid numbri 1000 tähistamiseks.Nelikümmend aastat hiljem nimetas matemaatik Bernoulli lõpmatuse sümboli "lemniscus" (ladina lint).
Teine versioon ütleb, et kaheksakujuline figuur annab edasi "lõpmatuse" mõiste peamist omadust: liikumist lõputult . Mööda numbrit 8 saab liikuda lõputult nagu jalgrattarajal. Et sisestatud märki numbriga 8 mitte segamini ajada, otsustasid matemaatikud selle asetada horisontaalselt. Juhtus. See tähistus on muutunud standardseks kogu matemaatika, mitte ainult algebra jaoks. Miks ei tähistata lõpmatust nulliga? Vastus on ilmne: ükskõik kuidas numbrit 0 keerate, see ei muutu. Seetõttu langes valik 8.
Teine võimalus on oma saba õgiv madu, mis poolteist tuhat aastat eKr sümboliseeris Egiptuses erinevaid protsesse, millel polnud algust ega lõppu.
Paljud usuvad, et Möbiuse riba on sümboli eellanelõpmatus, sest lõpmatuse sümbol patenteeriti pärast Mobiuse ribaseadme leiutamist (nimetatud üheksateistkümnenda sajandi matemaatiku Mobiuse järgi). Möbiuse riba on kumer ja otstest ühendatud pabeririba, mis moodustab kaks ruumilist pinda. Olemasoleva ajaloolise teabe kohaselt hakati lõpmatuse sümbolit kasutama lõpmatuse tähistamiseks kaks sajandit enne Möbiuse riba avastamist.
7. Märgid nurk a ja risti sti
Sümbolid " nurk"Ja" risti"leiutas sisse 1634prantsuse matemaatikPierre Erigon. Tema perpendikulaarsuse sümbol oli ümber pööratud, meenutades tähte T. Nurga sümbol meenutas ikooni, andis sellele kaasaegse vormiWilliam Ooughtred ().
8. Allkiri paralleelsus Ja
Sümbol " paralleelsus» tuntud iidsetest aegadest, seda kasutatiHeron Ja Aleksandria pappus. Alguses sarnanes sümbol praeguse võrdusmärgiga, kuid viimase tulekuga pöörati segaduse vältimiseks sümbolit vertikaalselt (Muuda(1677), Kersey (John Kersey ) ja teised 17. sajandi matemaatikud)
9. Pi
Esmalt moodustus üldtunnustatud arvu tähis, mis võrdub ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhtega (3,1415926535...).William Jones V 1706, võttes kreeka sõnade περιφέρεια esitähe -ring ja περίμετρος - ümbermõõt, see tähendab ümbermõõtu. Mulle meeldis see lühend.Euler, kelle teosed kinnitasid nimetuse kindlalt.
10. Siinus ja koosinus
Huvitav on siinuse ja koosinuse välimus.
Siinus ladina keelest - sinus, õõnsus. Kuid sellel nimel on pikk ajalugu. India matemaatikud tegid trigonomeetrias suuri edusamme 5. sajandi paiku. Sõna "trigonomeetria" ennast ei eksisteerinud, selle võttis kasutusele Georg Klügel 1770. aastal.) See, mida me praegu nimetame sine'iks, vastab ligikaudu sellele, mida hindud nimetasid ardha-jiya'ks, tõlgituna poolstringiks (s.o poolakordiks). Lühiduse mõttes nimetasid nad seda lihtsalt jiyaks (keel). Kui araablased tõlkisid hindude teoseid sanskriti keelest, ei tõlkinud nad "stringi" araabia keelde, vaid kirjutasid sõna lihtsalt ümber araabia tähtedega. Tulemuseks oli jiba. Kuid kuna araabia silbikirjas lühikesi täishäälikuid ei märgita, jääb tegelikult alles j-b, mis on sarnane teise araabia sõnaga - jaib (õõnes, põsas). Kui Cremona Gerard tõlkis 12. sajandil araablased ladina keelde, siis tõlkis ta selle sõna kui sinus, mis ladina keeles tähendab ka siinust, depressiooni.
Koosinus ilmus automaatselt, sest hindud nimetasid seda koti-jiya ehk lühidalt ko-jiya. Koti on sanskriti keeles vibu kumer ots.Kaasaegsed stenogrammid ja tutvustati William Ooughtredja teostesse sisse kirjutatud Euler.
Nimetus tangent/cotangent on palju hilisema päritoluga (ingliskeelne sõna tangent tuleb ladinakeelsest sõnast tangere – puudutama). Ja isegi praegu pole ühtset nimetust - mõnes riigis kasutatakse sagedamini tähistust tan, teistes - tg
11. Lühend “Mida oli vaja tõestada” (jne)
« Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum).
Kreeka fraas tähendab "mida oli vaja tõestada" ja ladina keeles "mida oli vaja näidata". See valem lõpetab Vana-Kreeka suure kreeka matemaatiku Eukleidese (3. sajand eKr) kõik matemaatilised arutlused. Ladina keelest tõlgitud – mida oli vaja tõestada. Keskaegsetes teaduslikes traktaatides kirjutati see valem sageli lühendatud kujul: QED.
12. Matemaatiline tähistus.
Sümbolid | Sümbolite ajalugu |
Pluss- ja miinusmärgid leiutati ilmselt saksa matemaatilises koolkonnas “Kossistid” (st algebraistid). Neid kasutatakse Johann Widmanni 1489. aastal ilmunud Aritmeetikas. Varem tähistati liitmist tähega p (pluss) või ladina sõna et (sidesõna “ja”) ning lahutamist tähega m (miinus). Widmanni jaoks ei asenda plussmärk mitte ainult liitmist, vaid ka sidet "ja". Nende sümbolite päritolu on ebaselge, kuid tõenäoliselt kasutati neid varem kauplemisel kasumi ja kahjumi indikaatoritena. Mõlemad sümbolid muutusid peaaegu koheselt Euroopas tavaliseks – välja arvatud Itaalia. |
|
× ∙ | Korrutusmärgi võttis 1631. aastal kasutusele William Oughtred (Inglismaa) kaldus risti kujul. Enne teda kasutati tähte M. Hiljem asendas Leibniz risti täpiga (17. sajandi lõpp), et mitte ajada seda segamini tähega x; enne teda leiti sellist sümboolikat Regiomontanilt (XV sajand) ja inglise teadlaselt Thomas Harriotilt (1560-1621). |
/ : ÷ | Ooughtred eelistas kaldkriipsu. Leibniz hakkas jagunemist tähistama kooloniga. Enne neid kasutati sageli ka tähte D. Fibonaccist alustades kasutatakse ka araabia kirjutistes kasutusel olnud murdejoont. Inglismaal ja USA-s levis sümbol ÷ (obelus), mille pakkusid välja Johann Rahn ja John Pell 17. sajandi keskel. |
= | Võrdsusmärgi pakkus välja Robert Record (1510-1558) 1557. aastal. Ta selgitas, et maailmas pole midagi võrdsemat kui kaks paralleelset ühepikkust lõiku. Mandri-Euroopas võttis võrdusmärgi kasutusele Leibniz. |
Võrdlevaid märke tutvustas Thomas Herriot oma töös, mis avaldati postuumselt 1631. aastal. Enne teda kirjutasid nad sõnadega: rohkem, vähem. |
|
% | Protsendisümbol esineb 17. sajandi keskel mitmes allikas, selle päritolu on ebaselge. On hüpotees, et see tekkis masinakirjutaja veast, kes kirjutas lühendi cto (cento, sajandik) väärtuseks 0/0. On tõenäolisem, et see on kursiivne kaubanduslik ikoon, mis ilmus umbes 100 aastat varem. |
√ | Juuremärki kasutas esmakordselt saksa matemaatik Christoph Rudolf Cossistide koolkonnast 1525. aastal. See sümbol pärineb sõna radix (juur) stiliseeritud esitähest. Algul ei olnud radikaalse väljendi kohal ühtegi joont; Descartes võttis selle hiljem kasutusele teistsugusel eesmärgil (sulgude asemel) ja see omadus ühines peagi juurmärgiga. |
a n | Astendamine. Eksponendi tänapäevase tähistuse võttis kasutusele Descartes oma teoses "Geomeetria" (1637), kuid ainult 2-st suuremate loomulike astmete puhul. Hiljem laiendas Newton seda märgistusviisi negatiivsetele ja murdosaastendajatele (1676). |
() | Tartaglia (1556) ilmus radikaalsete avaldiste jaoks sulud, kuid enamik matemaatikuid eelistas sulgude asemel esiletõstetavale väljendile alla joonida. Leibniz võttis sulud üldisesse kasutusse. |
Summamärgi võttis Euler kasutusele 1755. aastal |
|
Toote sümboli võttis Gauss kasutusele 1812. aastal |
|
i | Täht i kujuteldava ühikukoodina:pakkus välja Euler (1777), kes võttis selleks sõna imaginarius (imaginaarne) esitähe. |
π | Üldtunnustatud tähistus numbrile 3.14159... moodustas William Jones 1706. aastal, võttes kreekakeelsete sõnade περιφέρεια esimese tähe – ring ja περίμετρος – ümbermõõt, see tähendab ümbermõõt. |
Leibniz tuletas integraali tähise sõna "Summa" esimesest tähest. |
|
y" | Tuletise lühike tähistus algarvuga ulatub tagasi Lagrange'i. |
Piiri sümboli ilmus 1787. aastal Simon Lhuillier (1750-1840). |
|
Lõpmatuse sümboli leiutas Wallis ja see avaldati 1655. aastal. |
13. Järeldus
Matemaatika on tsiviliseeritud ühiskonna jaoks hädavajalik. Matemaatika sisaldub kõigis teadustes. Matemaatiline keel on segatud keemia ja füüsika keelega. Aga me mõistame seda ikkagi. Võib öelda, et hakkame matemaatika keelt õppima koos oma emakeelega. Nii on matemaatika lahutamatult meie ellu sisenenud. Tänu mineviku matemaatilistele avastustele loovad teadlased uusi tehnoloogiaid. Säilinud avastused võimaldavad lahendada keerulisi matemaatilisi probleeme. Ja iidne matemaatiline keel on meile selge ja avastused on meile huvitavad. Tänu matemaatikale avastasid Archimedes, Platon ja Newton füüsikaseadused. Me õpime neid koolis. Füüsikas on ka füüsikateadusele omased sümbolid ja terminid. Kuid matemaatiline keel ei kao füüsiliste valemite seas. Vastupidi, neid valemeid ei saa kirjutada ilma matemaatikateadmisteta. Ajalugu säilitab teadmised ja faktid tulevastele põlvedele. Uute avastuste jaoks on vaja matemaatikat edasi uurida. Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Matemaatilised sümbolid Töö valmis kooli nr 574 Balagin Victor 7. klassi õpilane
Sümbol (kreeka keeles symbolon - märk, end, parool, embleem) on märk, mis on seotud sellega tähistatava objektiivsusega nii, et märgi ja selle objekti tähendust esindab ainult märk ise ja see avaldub ainult selle kaudu. tõlgendus. Märgid on matemaatilised sümbolid, mis on loodud matemaatiliste mõistete, lausete ja arvutuste salvestamiseks.
Ishango luu osa Ahmesi papüürusest
+ − Pluss- ja miinusmärgid. Liitmist tähistas täht p (pluss) või ladina sõna et (sidesõna "ja") ja lahutamist täht m (miinus). Väljend a + b kirjutati ladina keeles nii: a et b.
Lahutamise märge. ÷ ∙ ∙ või ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne
Lehekülg Johann Widmanni raamatust. Aastal 1489 avaldas Johann Widmann Leipzigis esimese trükitud raamatu ( Mercantile Aithmetic - "Commercial Aithmetic"), milles olid nii + kui ka - märgid.
Lisamärge. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley
Võrdsusmärk Diophantus oli esimene, kes kasutas võrdusmärki. Ta tähistas võrdsust tähega i (kreeka keelest isos - võrdne).
Võrdsusmärgi pakkus välja 1557. aastal inglise matemaatik Robert Record "Kaks objekti ei saa olla üksteisega võrdsemad kui kaks paralleelset lõiku." Mandri-Euroopas võttis võrdusmärgi kasutusele Leibniz
× ∙ Korrutusmärgi võttis 1631. aastal kasutusele William Oughtred (Inglismaa) kaldus risti kujul. Leibniz asendas risti punktiga (17. sajandi lõpus), et mitte ajada seda segamini tähega x. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz
protsenti. Mathieu de la Porte (1685). Sajanik tervikust, ühikuna võetud. "protsent" - "pro centum", mis tähendab "saja kohta". "cto" (lühend sõnast cento). Masinakirjutaja arvas, et "cto" on murdosa ja kirjutas "%".
Lõpmatus. John Wallis John Wallis tutvustas enda leiutatud sümbolit 1655. aastal. Saba õgiv madu sümboliseeris erinevaid protsesse, millel pole algust ega lõppu.
Lõpmatuse sümbolit hakati kasutama lõpmatuse tähistamiseks kaks sajandit enne Möbiuse riba avastamist Möbiuse riba on pabeririba, mis on kõverdatud ja otstest ühendatud, moodustades kaks ruumilist pinda. August Ferdinand Mobius
Nurk ja risti. Sümbolid leiutas 1634. aastal prantsuse matemaatik Pierre Erigon. Erigoni nurga sümbol meenutas ikooni. Perpendikulaarsuse sümbol on ümber pööratud, meenutades T-tähte. Nendele märkidele andis kaasaegse kuju William Oughtred (1657).
Paralleelsus. Sümbolit kasutasid Aleksandria Heron ja Aleksandria Pappus. Alguses sarnanes sümbol praeguse võrdusmärgiga, kuid viimase tulekuga pöörati segaduse vältimiseks sümbol vertikaalselt. Aleksandria heron
Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones aastal 1706 π εριφέρεια on ring ja π ερίμετρος on ümbermõõt, see tähendab ümbermõõt. See lühend meeldis Eulerile, kelle teosed selle nimetuse lõpuks kinnistasid. William Jones
sin Siinus ja koosinus cos Sinus (ladina keelest) – siinus, õõnsus. Kochi-jiya või lühidalt ko-jiya. Coty – vibu kaardus ots Kaasaegse stenogrammi võttis kasutusele William Oughtred ja see pandi paika Euleri teostes. "Arha-jiva" - indiaanlaste seas - "poolkeel" Leonard Euler William Oughtred
Mida oli vaja tõestada (jne) “Quod erat demonstrandum” QED. See valem lõpetab Vana-Kreeka suure matemaatiku Eukleidese (3. sajand eKr) kõik matemaatilised argumendid.
Iidne matemaatiline keel on meile selge. Füüsikas on ka füüsikateadusele omased sümbolid ja terminid. Kuid matemaatiline keel ei kao füüsiliste valemite seas. Vastupidi, neid valemeid ei saa kirjutada ilma matemaatikateadmisteta.
Lõpmatus.J. Wallis (1655).
Esmakordselt leiti inglise matemaatiku John Valise traktaadist "Koonuslõikudest".
Naturaallogaritmide alus. L. Euler (1736).
Matemaatiline konstant, transtsendentaalne arv. Mõnikord kutsutakse seda numbrit sulgedetašotlaste auks teadlane Napier, teose “Logaritmide hämmastava tabeli kirjeldus” (1614) autor. Konstant ilmub esmakordselt vaikivalt Napieri ülalmainitud teose 1618. aastal ilmunud ingliskeelse tõlke lisas. Konstandi enda arvutas esmakordselt välja Šveitsi matemaatik Jacob Bernoulli, lahendades intressitulu piirväärtuse probleemi.
2,71828182845904523...
Selle konstandi esimene teadaolev kasutusala, kus seda tähistati tähega b, leitud Leibnizi kirjadest Huygensile, 1690–1691. Kiri e Euler hakkas seda kasutama 1727. aastal ja esimene selle kirjaga väljaanne oli tema töö “Mehaanika ehk liikumisteadus, mida seletatakse analüütiliselt” 1736. aastal. vastavalt e tavaliselt kutsutakse Euleri number. Miks valiti kiri? e, täpselt teadmata. Võib-olla on see tingitud sellest, et sõna algab sellega eksponentsiaalne("indikatiivne", "eksponentsiaalne"). Teine oletus on, et tähed a, b, c Ja d on juba üsna laialdaselt kasutatud muudel eesmärkidel ja e oli esimene "tasuta" kiri.
Ümbermõõdu ja läbimõõdu suhe. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Matemaatiline konstant, irratsionaalne arv. Arv "pi", vana nimi on Ludolphi number. Nagu iga irratsionaalne arv, on π esitatud lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna:
π = 3,141592653589793...
Esimest korda kasutas selle numbri tähistamist kreeka tähega π Briti matemaatik William Jones raamatus “Uus sissejuhatus matemaatikasse” ja see sai üldtunnustatud pärast Leonhard Euleri tööd. See nimetus pärineb kreeka sõnade περιφερεια algustähest - ring, perifeeria ja περιμετρος - perimeeter. Johann Heinrich Lambert tõestas π irratsionaalsust aastal 1761 ja Adrienne Marie Legendre tõestas π 2 irratsionaalsust 1774. aastal. Legendre ja Euler oletasid, et π võib olla transtsendentaalne, s.t. ei suuda rahuldada ühtegi täisarvu koefitsientidega algebralist võrrandit, mille lõpuks tõestas 1882. aastal Ferdinand von Lindemann.
Kujutletav üksus. L. Euler (1777, trükis - 1794).
On teada, et võrrand x 2 =1 sellel on kaks juurt: 1 Ja -1 . Imaginaarne ühik on üks võrrandi kahest juurtest x 2 = -1, mida tähistatakse ladina tähega i, teine juur: -i. Selle nimetuse pakkus välja Leonhard Euler, kes võttis selleks ladinakeelse sõna esitähe kujutlusvõimeline(kujuteldav). Samuti laiendas ta kõik standardfunktsioonid keerukale domeenile, st. numbrite komplekt, mis on esitatav kui a+ib, Kus a Ja b- reaalarvud. Mõiste "kompleksarv" võttis laialdaselt kasutusele saksa matemaatik Carl Gauss 1831. aastal, kuigi varem kasutas seda mõistet samas tähenduses prantsuse matemaatik Lazare Carnot 1803. aastal.
Ühikvektorid. W. Hamilton (1853).
Ühikvektoreid seostatakse sageli koordinaatsüsteemi koordinaattelgedega (eriti Descartes'i koordinaatsüsteemi telgedega). Piki telge suunatud ühikvektor X, tähistatud i, piki telge suunatud ühikvektor Y, tähistatud j, ja piki telge suunatud ühikvektor Z, tähistatud k. Vektorid i, j, k nimetatakse ühikvektoriteks, neil on ühikmoodulid. Mõiste "ort" võttis kasutusele inglise matemaatik ja insener Oliver Heaviside (1892) ning tähistus i, j, k- Iiri matemaatik William Hamilton.
Arvu täisarv osa, antie. K.Gauss (1808).
Arvu x arvu [x] täisarv on suurim täisarv, mis ei ületa x. Seega =5, [-3,6]=-4. Funktsiooni [x] nimetatakse ka "x-i antieriks". Terve osa funktsiooni sümboli võttis kasutusele Carl Gauss 1808. aastal. Mõned matemaatikud eelistavad kasutada selle asemel tähistust E(x), mille pakkus välja 1798. aastal Legendre.
Paralleelsuse nurk. N.I. Lobatševski (1835).
Lobatševski tasapinnal - sirge vaheline nurkb, läbides punktiKOHTAjoonega paralleelnea, mis ei sisalda punktiKOHTA, ja risti alatesKOHTA peal a. α - selle risti pikkus. Kui punkt eemaldubKOHTA sirgjoonelt aparalleelsuse nurk väheneb 90°-lt 0°-le. Lobatševski andis paralleelsuse nurga valemiP( α )=2arctg e - α /q , Kus q— mingi konstant, mis on seotud Lobatševski ruumi kõverusega.
Tundmatud või muutuvad kogused. R. Descartes (1637).
Matemaatikas on muutuja suurus, mida iseloomustab väärtuste kogum, mida see võib võtta. See võib tähendada nii reaalset füüsikalist suurust, mida vaadeldakse ajutiselt selle füüsilisest kontekstist eraldatuna, kui ka mõnda abstraktset suurust, millel pole reaalses maailmas analooge. Muutuja mõiste tekkis 17. sajandil. algselt loodusteaduslike nõuete mõjul, mis tõi esiplaanile liikumise, protsesside, mitte ainult olekute uurimise. See mõiste nõudis oma väljenduseks uusi vorme. Sellised uued vormid olid Rene Descartes’i tähealgebra ja analüütiline geomeetria. Esmakordselt võttis ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja tähise x, y kasutusele Rene Descartes oma töös “Meetodi arutelu” 1637. aastal. Koordinaatide meetodi väljatöötamisel aitas kaasa ka Pierre Fermat, kuid tema teosed avaldati esmakordselt pärast tema surma. Descartes ja Fermat kasutasid koordinaatide meetodit ainult lennukis. Kolmemõõtmelise ruumi koordinaatmeetodit kasutas Leonhard Euler esmakordselt juba 18. sajandil.
Vektor. O. Cauchy (1853).
Algusest peale mõistetakse vektorit kui objekti, millel on suurusjärk, suund ja (valikuliselt) rakenduspunkt. Vektorarvutuse alged ilmusid koos kompleksarvude geomeetrilise mudeliga Gaussis (1831). Hamilton avaldas oma kvaterniooniarvutuse osana väljatöötatud tehted vektoritega (vektori moodustasid kvaterniooni imaginaarsed komponendid). Hamilton pakkus selle termini välja vektor(ladina sõnast vektor, vedaja) ja kirjeldas mõningaid vektoranalüüsi toiminguid. Maxwell kasutas seda formalismi oma elektromagnetismi käsitlevates töödes, juhtides sellega teadlaste tähelepanu uuele arvutusele. Peagi ilmus Gibbsi teos "Elements of Vector Analysis" (1880. aastad) ja seejärel andis Heaviside (1903) vektoranalüüsile kaasaegse ilme. Vektormärgi enda võttis kasutusele prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy 1853. aastal.
Liitmine, lahutamine. J. Widman (1489).
Pluss- ja miinusmärgid leiutati ilmselt saksa matemaatilises koolkonnas “Kossistid” (st algebraistid). Neid on kasutatud Jan (Johannes) Widmanni 1489. aastal ilmunud õpikus Kiire ja meeldiv konto kõigile kaupmeestele. Varem tähistati lisamist tähega lk(ladina keelest pluss"rohkem") või ladina sõna et(sidesõna “ja”) ja lahutamine - täht m(ladina keelest miinus"vähem, vähem") Widmanni jaoks ei asenda plussmärk mitte ainult liitmist, vaid ka sidet "ja". Nende sümbolite päritolu on ebaselge, kuid tõenäoliselt kasutati neid varem kauplemisel kasumi ja kahjumi indikaatoritena. Mõlemad sümbolid muutusid peagi Euroopas tavaliseks – välja arvatud Itaalia, mis jätkas vanade tähiste kasutamist umbes sajandi.
Korrutamine. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Kaldristi kujul oleva korrutusmärgi võttis 1631. aastal kasutusele inglane William Oughtred. Enne teda kasutati kirja kõige sagedamini M, kuigi pakuti välja ka teisi tähistusi: ristküliku sümbol (prantsuse matemaatik Erigon, 1634), tärn (Šveitsi matemaatik Johann Rahn, 1659). Hiljem asendas Gottfried Wilhelm Leibniz risti täpiga (17. sajandi lõpus), et mitte segi ajada seda tähega x; enne teda leiti sellist sümboolikat saksa astronoomi ja matemaatiku Regiomontanuse (15. sajand) ning inglise teadlase Thomas Herrioti (1560 -1621) seas.
Jaoskond. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Oughtred kasutas jaotusmärgina kaldkriipsu /. Gottfried Leibniz hakkas jagunemist tähistama kooloniga. Enne neid kasutati sageli ka kirja D. Alates Fibonaccist kasutatakse ka murru horisontaalset joont, mida kasutasid Heron, Diophantus ja araabia teostes. Inglismaal ja USA-s levis sümbol ÷ (obelus), mille pakkus välja Johann Rahn (võimalik, et John Pelli osalusel) 1659. aastal. Ameerika riikliku matemaatiliste standardite komitee katse ( Riiklik matemaatikanõuete komitee) obeliuse eemaldamine praktikast (1923) ei õnnestunud.
protsenti. Hr de la Porte (1685).
Sajanik tervikust, ühikuna võetud. Sõna "protsent" ise pärineb ladinakeelsest sõnast "pro centum", mis tähendab "saja kohta". 1685. aastal ilmus Pariisis Mathieu de la Porte'i raamat "Kaubandusliku aritmeetika käsiraamat". Ühes kohas räägiti protsentidest, mida siis tähistati “cto” (lühend sõnast cento). Laduja pidas seda "cto" aga murdosaks ja trükkis "%". Nii et kirjavea tõttu tuli see märk kasutusele.
kraadid. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Eksponenti kaasaegset tähistust tutvustas Rene Descartes oma " Geomeetria"(1637) aga ainult loomulike astmete puhul, mille eksponendid on suuremad kui 2. Hiljem laiendas Isaac Newton seda tähistusvormi negatiivsetele ja murdosaastendajatele (1676), mille tõlgenduse oli selleks ajaks juba välja pakutud: flaami matemaatik ja insener Simon Stevin, inglise matemaatik John Wallis ja prantsuse matemaatik Albert Girard.
Aritmeetiline juur n-reaalarvu aste A≥0, - mittenegatiivne arv n- mille aste on võrdne A. 2. astme aritmeetilist juurt nimetatakse ruutjuureks ja selle saab kirjutada ilma astet märkimata: √. 3. astme aritmeetilist juurt nimetatakse kuupjuureks. Keskaegsed matemaatikud (näiteks Cardano) tähistasid ruutjuurt sümboliga R x (ladina keelest Radix, juur). Kaasaegset tähistust kasutas esmakordselt saksa matemaatik Christoph Rudolf Cossist koolkonnast 1525. aastal. See sümbol pärineb sama sõna stiliseeritud esitähest radix. Algul ei olnud radikaalse väljendi kohal ühtegi joont; hiljem võttis selle kasutusele Descartes (1637) teisel eesmärgil (sulgude asemel) ja see tunnus ühines peagi juurmärgiga. 16. sajandil tähistati kuupjuurt järgmiselt: R x .u.cu (alates lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) hakkas kasutama suvalise astme juure jaoks tuttavat tähistust. See formaat loodi tänu Isaac Newtonile ja Gottfried Leibnizile.
Logaritm, kümnendlogaritm, naturaallogaritm. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Mõiste "logaritm" kuulub Šoti matemaatikule John Napierile ( "Hämmastava logaritmitabeli kirjeldus", 1614); see tekkis kreeka sõnade λογος (sõna, seos) ja αριθμος (arv) kombinatsioonist. J. Napieri logaritm on abiarv kahe arvu suhte mõõtmiseks. Kaasaegse logaritmi määratluse andis esmakordselt inglise matemaatik William Gardiner (1742). Definitsiooni järgi arvu logaritm b põhineb a (a ≠ 1, a > 0) – eksponent m, milleni numbrit tuleks tõsta a(nimetatakse logaritmi baasiks), et saada b. Määratud logi a b. Niisiis, m = logi a b, Kui a m = b.
Esimesed kümnendlogaritmide tabelid avaldas 1617. aastal Oxfordi matemaatikaprofessor Henry Briggs. Seetõttu nimetatakse kümnendlogaritme välismaal sageli Briggsi logaritmideks. Mõiste "looduslik logaritm" võtsid kasutusele Pietro Mengoli (1659) ja Nicholas Mercator (1668), kuigi Londoni matemaatikaõpetaja John Spidell koostas naturaallogaritmide tabeli juba 1619. aastal.
Kuni 19. sajandi lõpuni ei olnud üldtunnustatud logaritmi tähistust, mille aluseks oli a näidatud sümbolist vasakul ja kohal logi, siis selle kohal. Lõppkokkuvõttes jõudsid matemaatikud järeldusele, et aluse jaoks on kõige mugavam koht joone all, pärast sümbolit logi. Logaritmimärk - sõna "logaritm" lühendi tulemus - esineb erinevates vormides peaaegu samaaegselt esimeste logaritmitabelite ilmumisega, nt. Logi sisse- autorid I. Kepler (1624) ja G. Briggs (1631), logi- B. Cavalieri (1632). Määramine ln naturaallogaritmi võttis kasutusele saksa matemaatik Alfred Pringsheim (1893).
Siinus, koosinus, puutuja, kotangens. W. Outred (17. sajandi keskpaik), I. Bernoulli (18. sajand), L. Euler (1748, 1753).
Siinuse ja koosinuse lühendid võttis kasutusele William Oughtred 17. sajandi keskel. Tangensi ja kotangensi lühendid: tg, ctg Johann Bernoulli poolt 18. sajandil kasutusele võetud, levisid need laialt Saksamaal ja Venemaal. Teistes riikides kasutatakse nende funktsioonide nimetusi tan, võrevoodi pakkus välja Albert Girard veelgi varem, 17. sajandi alguses. Leonhard Euler (1748, 1753) viis trigonomeetriliste funktsioonide teooria selle tänapäevasesse vormi ja me võlgneme selle talle tõelise sümboolika kinnistamise eest.Mõiste "trigonomeetrilised funktsioonid" võttis kasutusele saksa matemaatik ja füüsik Georg Simon Klügel 1770. aastal.
India matemaatikud nimetasid algselt siinusjoont "arha-jiva"("poolkeel", see tähendab pool akordi), seejärel sõna "arha" heideti kõrvale ja siinusjoont hakati lihtsalt nimetama "jiva". Araabia keele tõlkijad seda sõna ei tõlkinud "jiva" araabia sõna "vatar", mis tähistab stringi ja akordi ning transkribeeriti araabia tähtedega ja hakkas kutsuma siinusjoont "jiba". Kuna araabia keeles ei märgita lühikesi täishäälikuid, vaid sõnas pikk "i". "jiba" tähistatud samamoodi nagu poolvokaali "th", hakkasid araablased siinuse rea nime hääldama "jibe", mis tähendab sõna-sõnalt "õõnes", "siinus". Araabia teoste ladina keelde tõlkimisel tõlkisid Euroopa tõlkijad selle sõna "jibe" Ladina sõna sinus, millel on sama tähendus.Mõiste "tangent" (lat.puutujad– liigutav) tutvustas Taani matemaatik Thomas Fincke oma raamatus The Geometry of the Round (1583).
Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on matemaatilised funktsioonid, mis on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Trigonomeetrilise pöördfunktsiooni nimi moodustatakse vastava trigonomeetrilise funktsiooni nimest, lisades eesliide "kaar" (lat. kaar- kaar).Pöördfunktsioonid trigonomeetrilised funktsioonid sisaldavad tavaliselt kuut funktsiooni: arcsinus (arcsin), arccosine (arccos), arktangent (arctg), arkotangens (arcctg), kaarekujuline (arcsec) ja arccosecant (arccosec). Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide erisümboleid kasutas esmakordselt Daniel Bernoulli (1729, 1736).Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide tähistamise viis prefiksi abil kaar(alates lat. arcus, kaar) ilmus koos Austria matemaatiku Karl Scherferiga ja konsolideeriti tänu prantsuse matemaatikule, astronoomile ja mehaanikule Joseph Louis Lagrange'ile. Mõeldi, et näiteks harilik siinus võimaldab leida seda mööda ringjoont alluva kõõlu ja pöördfunktsioon lahendab vastupidise ülesande. Kuni 19. sajandi lõpuni pakkusid Inglise ja Saksa matemaatikakoolkonnad välja muid tähistusi: patt. -1 ja 1/sin, kuid neid ei kasutata laialdaselt.
Hüperboolne siinus, hüperboolne koosinus. V. Riccati (1757).
Ajaloolased avastasid hüperboolsete funktsioonide esmakordse ilmumise inglise matemaatiku Abraham de Moivre'i (1707, 1722) töödes. Kaasaegse määratluse ja nende üksikasjaliku uurimise viis läbi itaallane Vincenzo Riccati 1757. aastal oma töös “Opusculorum”, ta pakkus välja ka nende nimetused: sh,ptk. Riccati alustas ühiku hüperbooli kaalumisest. Hüperboolsete funktsioonide omaduste sõltumatu avastamise ja edasise uurimise viis läbi saksa matemaatik, füüsik ja filosoof Johann Lambert (1768), kes tegi kindlaks tavalise ja hüperboolse trigonomeetria valemite laia paralleelsuse. N.I. Seejärel kasutas Lobatševski seda paralleelsust, püüdes tõestada mitteeukleidilise geomeetria järjepidevust, milles tavaline trigonomeetria asendatakse hüperboolse omaga.
Nii nagu trigonomeetriline siinus ja koosinus on koordinaatringi punkti koordinaadid, on hüperboolne siinus ja koosinus hüperbooli punkti koordinaadid. Hüperboolseid funktsioone väljendatakse eksponentsiaalina ja need on tihedalt seotud trigonomeetriliste funktsioonidega: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Analoogiliselt trigonomeetriliste funktsioonidega defineeritakse hüperboolne puutuja ja kootangens vastavalt hüperboolse siinuse ja koosinuse, koosinuse ja siinuse suhtena.
Diferentsiaal. G. Leibniz (1675, ilmunud 1684).
Funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa.Kui funktsioon y=f(x)üks muutuja x-l on juures x=x 0tuletis ja juurdekasvΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funktsioonid f(x) saab esitada kujulΔy=f"(x0)Δx+R(Δx) , kus liige on R lõpmatult väike võrreldesΔx. Esimene liigedy=f"(x 0 )Δxselles laienduses ja seda nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks f(x) punktisx 0. IN Gottfried Leibnizi, Jacobi ja Johann Bernoulli teosed"erinevus"kasutati "kasvu" tähenduses, seda tähistas I. Bernoulli läbi Δ. G. Leibniz (1675, avaldatud 1684) kasutas tähistust "lõpmatu väikese erinevuse" jaoks.d- sõna esimene täht"diferentsiaal", mille ta moodustas aastast"erinevus".
Määramatu integraal. G. Leibniz (1675, ilmus 1686).
Sõna "integraal" kasutas trükis esmakordselt Jacob Bernoulli (1690). Võib-olla on see termin tuletatud ladina keelest täisarv- terve. Teise oletuse kohaselt oli aluseks ladina sõna integro- viia endisesse olekusse, taastada. Märki ∫ kasutatakse matemaatikas integraali tähistamiseks ja see on ladinakeelse sõna esitähe stiliseeritud esitus summa - summa. Seda kasutas esmakordselt saksa matemaatik ning diferentsiaal- ja integraalarvutuse rajaja Gottfried Leibniz 17. sajandi lõpus. Teine diferentsiaal- ja integraalarvutuse rajaja, Isaac Newton, ei pakkunud oma töödes integraalile alternatiivset sümboolikat, kuigi proovis erinevaid variante: vertikaalset riba funktsiooni kohal või ruudukujulist sümbolit, mis seisab funktsiooni ees või piirneb sellega. Funktsiooni määramata integraal y=f(x) on antud funktsiooni kõigi antiderivaatide kogum.
Kindel integraal. J. Fourier (1819-1822).
Funktsiooni kindel integraal f(x) madalama piiriga a ja ülempiir b saab määratleda kui erinevust F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Kus F(x)- mingi funktsiooni antiderivaat f(x) . Kindel integraal a ∫ b f(x)dx arvuliselt võrdne joonise pindalaga, mis on piiratud x-telje ja sirgjoontega x=a Ja x=b ja funktsiooni graafik f(x). Kindla integraali kujundamise meile tuttaval kujul pakkus 19. sajandi alguses välja prantsuse matemaatik ja füüsik Jean Baptiste Joseph Fourier.
Tuletis. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Tuletis on diferentsiaalarvutuse põhimõiste, mis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust f(x) kui argument muutub x . See on määratletud kui funktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi juurdekasvu suhte piir, kuna argumendi juurdekasv kipub olema null, kui selline piir on olemas. Funktsiooni, millel on mingil hetkel lõplik tuletis, nimetatakse selles punktis diferentseeruvaks. Tuletise arvutamise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks. Vastupidine protsess on integreerimine. Klassikalises diferentsiaalarvutuses defineeritakse tuletist kõige sagedamini piiriteooria mõistete kaudu, kuid ajalooliselt tekkis piiriteooria diferentsiaalarvutusest hiljem.
Mõiste “tuletis” võttis kasutusele Joseph Louis Lagrange 1797. aastal, tõmmet kasutava tuletise tähistust kasutab ka tema (1770, 1779) ja dy/dx- Gottfried Leibniz 1675. aastal. Ajatuletise tähistamise viis tähe kohal oleva punktiga pärineb Newtonilt (1691).Venekeelset terminit "funktsiooni tuletis" kasutas esmakordselt vene matemaatikVassili Ivanovitš Viskovatov (1779-1812).
Osaline tuletis. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Paljude muutujate funktsioonide jaoks on määratletud osalised tuletised – ühe argumendi tuletised, mis arvutatakse eeldusel, et ülejäänud argumendid on konstantsed. Nimetused ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y tutvustas prantsuse matemaatik Adrien Marie Legendre 1786. aastal; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- teise järgu osatuletised - saksa matemaatik Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Erinevus, juurdekasv. I. Bernoulli (17. sajandi lõpp – 18. sajandi esimene pool), L. Euler (1755).
Kasvu tähistust tähega Δ kasutas esmakordselt Šveitsi matemaatik Johann Bernoulli. Delta sümbol hakati üldiselt kasutama pärast Leonhard Euleri tööd 1755. aastal.
Summa. L. Euler (1755).
Summa on suuruste (arvud, funktsioonid, vektorid, maatriksid jne) liitmise tulemus. N arvu summa a 1, a 2, ..., a n tähistamiseks kasutatakse kreeka tähte “sigma” Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Summa märgi Σ võttis kasutusele Leonhard Euler 1755. aastal.
Töö. K.Gauss (1812).
Korrutis on korrutamise tulemus. N arvu korrutise a 1, a 2, ..., a n tähistamiseks kasutatakse kreeka tähte pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Näiteks 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Toote Π-märgi võttis kasutusele saksa matemaatik Carl Gauss 1812. aastal. Vene matemaatikakirjanduses kohtas terminit "toode" esmakordselt Leonti Filippovitš Magnitski 1703. aastal.
Faktoriaalne. K. Crump (1808).
Arvu n faktoriaal (tähistatakse n!, hääldatakse "en faktoriaal") on kõigi naturaalarvude korrutis kuni n kaasa arvatud: n! = 1·2·3·...·n. Näiteks 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Definitsiooni järgi eeldatakse 0! = 1. Faktoriaal on defineeritud ainult mittenegatiivsete täisarvude jaoks. N faktoriaal on võrdne n elemendi permutatsioonide arvuga. Näiteks 3! = 6, tõepoolest,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Kõik kuus ja ainult kuus kolme elemendi permutatsiooni.
Mõiste "faktoriaalne" võttis kasutusele prantsuse matemaatik ja poliitik Louis Francois Antoine Arbogast (1800), tähis n! – Prantsuse matemaatik Christian Crump (1808).
Moodul, absoluutväärtus. K. Weierstrass (1841).
Reaalarvu x absoluutväärtus on mittenegatiivne arv, mis on määratletud järgmiselt: |x| = x, kui x ≥ 0 ja |x| = -x, kui x ≤ 0. Näiteks |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleksarvu moodul z = a + ib on reaalarv, mis võrdub √(a 2 + b 2).
Arvatakse, et termini "moodul" pakkus välja inglise matemaatik ja filosoof, Newtoni õpilane Roger Cotes. Gottfried Leibniz kasutas ka seda funktsiooni, mida ta nimetas "mooduliks" ja tähistas: mol x. Absoluutväärtuse üldtunnustatud tähise võttis 1841. aastal kasutusele saksa matemaatik Karl Weierstrass. Kompleksarvude puhul võtsid selle kontseptsiooni 19. sajandi alguses kasutusele prantsuse matemaatikud Augustin Cauchy ja Jean Robert Argan. 1903. aastal kasutas Austria teadlane Konrad Lorenz sama sümboolikat vektori pikkuse kohta.
Norm. E. Schmidt (1908).
Norm on vektorruumis defineeritud funktsionaal, mis üldistab vektori pikkuse või arvu mooduli mõistet. Märgi "norm" (ladina sõnast "norma" - "reegel", "muster") võttis kasutusele saksa matemaatik Erhard Schmidt 1908. aastal.
Piirang. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), paljud matemaatikud (kuni kahekümnenda sajandi alguseni)
Limit on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid, mis tähendab, et teatud muutuja väärtus läheneb selle muutumise protsessis lõputult teatud konstantsele väärtusele. Piiri mõistet kasutasid intuitiivselt 17. sajandi teisel poolel Isaac Newton, aga ka 18. sajandi matemaatikud nagu Leonhard Euler ja Joseph Louis Lagrange. Esimesed ranged definitsioonid järjestuse piirile andsid Bernard Bolzano 1816. aastal ja Augustin Cauchy 1821. aastal. Sümbol lim (esimesed 3 tähte ladinakeelsest sõnast limes – ääris) ilmus 1787. aastal Šveitsi matemaatiku Simon Antoine Jean Lhuillieri poolt, kuid selle kasutamine ei meenutanud veel tänapäevaseid. Väljendit lim tuttavamal kujul kasutas esmakordselt Iiri matemaatik William Hamilton 1853. aastal.Weierstrass võttis kasutusele tänapäevasele lähedase tähise, kuid tuttava noole asemel kasutas ta võrdusmärki. Nool ilmus 20. sajandi alguses mitme matemaatiku seas korraga - näiteks inglise matemaatik Godfried Hardy 1908. aastal.
Zeta funktsioon, d Riemanni zeta funktsioon. B. Riemann (1857).
Kompleksmuutuja s = σ + it analüütiline funktsioon σ > 1 korral, mis on määratud absoluutselt ja ühtlaselt koonduva Dirichlet' reaga:
ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s + ... .
Kui σ > 1, kehtib esitus Euleri korrutise kujul:
ζ(s) = Π lk (1-p -s) -s,
kus korrutis võetakse üle kõik algarvud p. Zeta-funktsioon mängib arvuteoorias suurt rolli.Reaalse muutuja funktsioonina võttis zeta funktsiooni 1737. aastal kasutusele (avaldatud 1744) L. Euler, kes osutas selle laienemisele tooteks. Seda funktsiooni käsitles siis saksa matemaatik L. Dirichlet ja eriti edukalt vene matemaatik ja mehaanik P.L. Tšebõšev algarvude jaotamise seadust uurides. Zeeta-funktsiooni kõige sügavamad omadused avastati aga hiljem, pärast saksa matemaatiku Georg Friedrich Bernhard Riemanni (1859) tööd, kus zeta-funktsiooni käsitleti kompleksmuutuja funktsioonina; Ta võttis 1857. aastal kasutusele ka nimetuse “zeta funktsioon” ja tähise ζ(s).
Gamma funktsioon, Euleri Γ funktsioon. A. Legendre (1814).
Gamma funktsioon on matemaatiline funktsioon, mis laiendab faktoriaali mõistet kompleksarvude väljale. Tavaliselt tähistatakse Γ(z). G-funktsiooni võttis esmakordselt kasutusele Leonhard Euler 1729. aastal; see määratakse järgmise valemiga:
Γ(z) = limn→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n).
G-funktsiooni kaudu väljendatakse suurt hulka integraale, lõpmatuid korrutisi ja jadasummasid. Laialdaselt kasutatav analüütilises arvuteoorias. Nime "Gamma funktsioon" ja tähise Γ(z) pakkus välja prantsuse matemaatik Adrien Marie Legendre 1814. aastal.
Beeta-funktsioon, B-funktsioon, Euleri B-funktsioon. J. Binet (1839).
Kahe muutuja p ja q funktsioon, mis on defineeritud p>0, q>0 võrrandiga:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beetafunktsiooni saab väljendada Γ-funktsiooni kaudu: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Nii nagu täisarvude gammafunktsioon on faktoriaali üldistus, on beetafunktsioon teatud mõttes binoomkoefitsientide üldistus.
Beetafunktsioon kirjeldab paljusid omadusielementaarosakesed osaledes tugev interaktsioon. Seda omadust märkas Itaalia teoreetiline füüsikGabriele Veneziano aastal 1968. See tähistas algust stringiteooria.
Nime "beetafunktsioon" ja tähise B(p, q) võttis 1839. aastal kasutusele prantsuse matemaatik, mehaanik ja astronoom Jacques Philippe Marie Binet.
Laplace'i operaator, Laplacian. R. Murphy (1833).
Lineaarne diferentsiaaloperaator Δ, mis määrab n muutuja x 1, x 2, ..., x n funktsioonid φ(x 1, x 2, ..., x n):
Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.
Täpsemalt, ühe muutuja funktsiooni φ(x) puhul langeb Laplace'i operaator kokku 2. tuletise operaatoriga: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Võrrandit Δφ = 0 nimetatakse tavaliselt Laplace’i võrrandiks; Siit pärinevad nimed "Laplace'i operaator" või "Laplacian". Nimetuse Δ võttis kasutusele inglise füüsik ja matemaatik Robert Murphy 1833. aastal.
Hamiltoni operaator, nabla operaator, Hamiltoni operaator. O. Heaviside (1892).
Vormi vektordiferentsiaaloperaator
∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂ a · j+ ∂/∂z · k,
Kus i, j, Ja k- koordinaatühiku vektorid. Vektoranalüüsi põhioperatsioonid, nagu ka Laplace'i operaator, väljenduvad loomulikul viisil läbi Nabla operaatori.
1853. aastal võttis Iiri matemaatik William Rowan Hamilton selle operaatori kasutusele ja lõi selle sümboli ∇ kreeka tagurpidi tähena Δ (delta). Hamiltonis osutas sümboli ots vasakule, hiljem, Šoti matemaatiku ja füüsiku Peter Guthrie Tate’i töödes, omandas sümbol oma tänapäevase kuju. Hamilton nimetas seda sümbolit "atled" (sõna "delta" loetakse tagurpidi). Hiljem hakkasid inglise teadlased, sealhulgas Oliver Heaviside, nimetama seda sümbolit "nabla" tähe ∇ nime järgi foiniikia tähestikus, kus see esineb. Tähe päritolu seostatakse muusikainstrumendiga, nagu harf, ναβλα (nabla) vanakreeka keeles, mis tähendab "harf". Operaatorit kutsuti Hamiltoni operaatoriks ehk nabla operaatoriks.
Funktsioon. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Matemaatiline mõiste, mis kajastab hulga elementide vahelisi suhteid. Võime öelda, et funktsioon on “seadus”, “reegel”, mille kohaselt ühe hulga (nimetatakse definitsioonipiirkonnaks) iga elementi seostatakse mõne teise hulga elemendiga (nimetatakse väärtuste domeeniks). Funktsiooni matemaatiline kontseptsioon väljendab intuitiivset ideed, kuidas üks suurus määrab täielikult teise suuruse väärtuse. Sageli viitab mõiste "funktsioon" numbrilisele funktsioonile; st funktsioon, mis seab mõned numbrid teistega vastavusse. Matemaatikud määrasid pikka aega argumente ilma sulgudeta, näiteks nii - φх. Seda tähistust kasutas esmakordselt Šveitsi matemaatik Johann Bernoulli 1718. aastal.Sulgusid kasutati ainult mitme argumendi korral või kui argument oli keeruline avaldis. Nende aegade vastukajad on tänapäevalgi kasutusel olevad salvestisedsin x, log xjne. Kuid järk-järgult muutus sulgude f(x) kasutamine üldreegliks. Ja selle peamine tunnustus kuulub Leonhard Eulerile.
Võrdsus. R. Record (1557).
Võrdsusmärgi pakkus välja Walesi arst ja matemaatik Robert Record 1557. aastal; sümboli piirjoon oli praegusest tunduvalt pikem, kuna imiteeris kahe paralleelse segmendi kujutist. Autor selgitas, et maailmas pole midagi võrdsemat kui kaks paralleelset ühepikkust segmenti. Enne seda tähistati antiik- ja keskaegses matemaatikas võrdsust verbaalselt (näiteks est egale). 17. sajandil hakkas Rene Descartes kasutama æ (lat. aequalis) ja ta kasutas tänapäevast võrdusmärki näitamaks, et koefitsient võib olla negatiivne. François Viète kasutas lahutamise tähistamiseks võrdusmärki. Rekordi sümbol ei saanud laialt levinud kohe. Rekordi sümboli levikut takistas asjaolu, et iidsetest aegadest kasutati sama sümbolit sirgjoonte paralleelsuse tähistamiseks; Lõpuks otsustati paralleelsuse sümbol vertikaalseks muuta. Mandri-Euroopas võttis Gottfried Leibniz märgi "=" kasutusele alles 17.-18. sajandi vahetusel, see tähendab enam kui 100 aastat pärast Robert Recordi surma, kes seda esimest korda selleks kasutas.
Ligikaudu võrdne, ligikaudu võrdne. A.Gunther (1882).
Allkiri " Saksa matemaatik ja füüsik Adam Wilhelm Sigmund Günther võttis 1882. aastal kasutusele suhte "ligikaudu võrdne" sümbolina ≈ ".
Enam-vähem. T. Harriot (1631).
Need kaks märki võttis kasutusele inglise astronoom, matemaatik, etnograaf ja tõlkija Thomas Harriot 1631. aastal, enne seda kasutati sõnu "rohkem" ja "vähem".
Võrreldavus. K.Gauss (1801).
Võrdlus on seos kahe täisarvu n ja m vahel, mis tähendab, et nende arvude erinevus n-m jagatakse antud täisarvuga a, mida nimetatakse võrdlusmooduliks; see on kirjutatud: n≡m(mod а) ja kõlab "arvud n ja m on võrreldavad modulo a". Näiteks 3≡11(mod 4), kuna 3-11 jagub 4-ga; arvud 3 ja 11 on võrreldavad mooduliga 4. Kongruentsidel on palju võrdsustega sarnaseid omadusi. Seega saab võrdluse ühes osas paikneva termini üle kanda vastupidise märgiga teise osasse ning sama mooduliga võrdlusi liita, lahutada, korrutada, mõlemat võrdluse osa korrutada sama arvuga jne. . Näiteks,
3≡9+2 (mod. 4) ja 3-2≡9 (mod. 4)
Samas tõesed võrdlused. Ja õigete võrdluste paarist 3≡11 (mod 4) ja 1≡5 (mod 4) on järgmine:
3+1≡11+5 (mod. 4)
3-1≡11-5 (mod. 4)
3·1≡11,5 (mod 4)
3 2 ≡ 11 2 (mod 4)
3,23≡11,23 (mod. 4)
Arvuteooria tegeleb erinevate võrdluste lahendamise meetoditega, s.t. meetodid täisarvude leidmiseks, mis rahuldavad üht või teist tüüpi võrdlusi. Modulo võrdlusi kasutas esmakordselt saksa matemaatik Carl Gauss oma 1801. aasta raamatus Aritmeetilised uuringud. Ta pakkus välja ka matemaatikas kehtestatud sümboolika võrdlusteks.
Identiteet. B. Riemann (1857).
Identiteet on kahe analüütilise avaldise võrdsus, mis kehtib selles sisalduvate tähtede mis tahes lubatud väärtuste puhul. Võrdsus a+b = b+a kehtib a ja b kõigi arvväärtuste puhul ning on seega identsus. Identiteetide fikseerimiseks on mõnel juhul alates 1857. aastast kasutatud märki “≡” (loe “identselt võrdne”), mille autoriks selles kasutuses on saksa matemaatik Georg Friedrich Bernhard Riemann. Võid üles kirjutada a+b ≡ b+a.
Perpendikulaarsus. P. Erigon (1634).
Perpendikulaarsus on kahe sirge, tasandi või sirge ja tasandi suhteline asend, milles näidatud joonised moodustavad täisnurga. Perpendikulaarsust tähistava märgi ⊥ võttis 1634. aastal kasutusele prantsuse matemaatik ja astronoom Pierre Erigon. Perpendikulaarsuse mõistel on mitmeid üldistusi, kuid reeglina on nende kõigiga kaasas märk ⊥.
Paralleelsus. W. Outred (postuumne väljaanne 1677).
Paralleelsus on suhe teatud geomeetriliste kujundite vahel; näiteks sirge. Sõltuvalt erinevatest geomeetriatest määratletud erinevalt; näiteks Eukleidese ja Lobatševski geomeetrias. Paralleelsuse märk on tuntud iidsetest aegadest, seda kasutasid Aleksandria Heron ja Pappus. Algul sarnanes tähis praegusele võrdusmärgile (ainult rohkem laiendatud), kuid viimase tulekuga pöörati segaduse vältimiseks sümbolit vertikaalselt ||. Esimest korda ilmus see sellisel kujul inglise matemaatiku William Oughtredi teoste postuumselt väljaandes 1677. aastal.
Ristmik, liit. J. Peano (1888).
Hulkade ristumiskoht on hulk, mis sisaldab neid ja ainult neid elemente, mis kuuluvad samaaegselt kõikidesse antud hulkadesse. Hulkade liit on hulk, mis sisaldab kõiki alghulkade elemente. Lõikumist ja liitu nimetatakse ka operatsioonideks hulkadel, mis määravad teatud hulgale vastavalt ülaltoodud reeglitele uued hulgad. Tähistatakse vastavalt ∩ ja ∪. Näiteks kui
A= (♠ ♣ ) Ja B= (♣ ♦),
See
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Sisaldab, sisaldab. E. Schroeder (1890).
Kui A ja B on kaks hulka ja A-s pole elemente, mis ei kuuluks B-sse, siis öeldakse, et A sisaldub B-s. Nad kirjutavad A⊂B või B⊃A (B sisaldab A-d). Näiteks,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Sümbolid "sisaldab" ja "sisaldab" ilmusid 1890. aastal saksa matemaatiku ja loogiku Ernst Schroederi poolt.
Seotus. J. Peano (1895).
Kui a on hulga A element, siis kirjutage a∈A ja loe "a kuulub A-le". Kui a ei ole hulga A element, kirjutage a∉A ja lugege "a ei kuulu A-sse". Alguses ei eristatud seoseid “sisaldub” ja “kuulub” (“on element”), kuid aja jooksul nõudsid need mõisted eristamist. Sümbolit ∈ kasutas esmakordselt Itaalia matemaatik Giuseppe Peano 1895. aastal. Sümbol ∈ pärineb kreeka sõna εστι esimesest tähest – olema.
Universaalsuse kvantor, olemasolu kvantor. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Kvantifikaator on üldnimetus loogilistele tehtetele, mis näitavad predikaadi tõesuse valdkonda (matemaatiline väide). Filosoofid on pikka aega pööranud tähelepanu loogikatehtetele, mis piiravad predikaadi tõesuse valdkonda, kuid ei ole määratlenud neid eraldi tehteklassina. Kuigi kvantorloogilisi konstruktsioone kasutatakse laialdaselt nii teaduslikus kui ka igapäevakõnes, toimus nende formaliseerimine alles 1879. aastal, saksa loogiku, matemaatiku ja filosoofi Friedrich Ludwig Gottlob Frege raamatus “Mõistete arvutamine”. Frege noodikiri nägi välja tülikate graafiliste konstruktsioonidena ja seda ei aktsepteeritud. Seejärel pakuti välja palju edukamaid sümboleid, kuid üldtunnustatud tähistused olid eksistentsiaalse kvantori jaoks ∃ (loe “olemas”, “on olemas”), mille pakkus välja Ameerika filosoof, loogik ja matemaatik Charles Peirce 1885. aastal ja ∀. universaalsele kvantorile (loe "any" , "igaüks", "kõik"), mille moodustas saksa matemaatik ja loogik Gerhard Karl Erich Gentzen 1935. aastal analoogia põhjal eksistentsi kvantori sümboliga (ingliskeelsete sõnade ümberpööratud algustähed Olemasolu (olemasolu) ja Igasugune (ükskõik milline)). Näiteks salvestada
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0, |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
kõlab nii: "iga ε>0 korral on δ> 0, nii et kõigi x-ide korral ei ole x 0 ja mis rahuldab võrratust |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Tühi komplekt. N. Bourbaki (1939).
Komplekt, mis ei sisalda ühtki elementi. Tühja komplekti märk võeti Nicolas Bourbaki raamatutes kasutusele 1939. aastal. Bourbaki on 1935. aastal loodud prantsuse matemaatikute rühma kollektiivne pseudonüüm. Üks Bourbaki grupi liikmetest oli Ø sümboli autor Andre Weil.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
Matemaatikas mõistetakse tõestust kui teatud reeglitele üles ehitatud arutluskäiku, mis näitab, et teatud väide on tõene. Alates renessansist on matemaatikud tõestuse lõppu tähistanud lühendiga "Q.E.D.", mis tuleneb ladinakeelsest väljendist "Quod Erat Demonstrandum" - "Mida oli vaja tõestada". Arvutipaigutussüsteemi ΤΕΧ loomisel 1978. aastal kasutas Ameerika arvutiteaduse professor Donald Edwin Knuth sümbolit: täidetud ruutu, nn Halmose sümbolit, mis sai nime Ungari päritolu Ameerika matemaatiku Paul Richard Halmose järgi. Tänapäeval tähistab tõestuse valmimist tavaliselt Halmose sümbol. Alternatiivina kasutatakse muid märke: tühi ruut, täisnurkne kolmnurk, // (kaks ettepoole suunatud kaldkriipsu), samuti venekeelset lühendit "ch.t.d."
Matemaatiline tähistus(“matemaatika keel”) on keerukas graafiline tähistussüsteem, mida kasutatakse abstraktsete matemaatiliste ideede ja hinnangute esitamiseks inimesele loetaval kujul. See moodustab (oma keerukuse ja mitmekesisuse poolest) olulise osa inimkonna poolt kasutatavatest kõnevälistest märgisüsteemidest. Käesolevas artiklis kirjeldatakse üldtunnustatud rahvusvahelist tähistussüsteemi, kuigi erinevatel minevikukultuuridel oli oma ja mõnel neist on tänaseni isegi piiratud kasutusala.
Pange tähele, et matemaatilist tähistust kasutatakse reeglina koos mõne loomuliku keele kirjaliku vormiga.
Lisaks fundamentaal- ja rakendusmatemaatikale kasutatakse matemaatilisi tähistusi laialdaselt füüsikas, aga ka (piiratud määral) inseneriteaduses, arvutiteaduses, majanduses ja tõepoolest kõigis inimtegevuse valdkondades, kus kasutatakse matemaatilisi mudeleid. Õige matemaatilise ja rakendusliku märgistusstiili erinevusi arutatakse kogu tekstis.
Entsüklopeediline YouTube
1 / 5
✪ Logi sisse / matemaatikas
✪ Matemaatika 3. klass. Mitmekohaliste arvude numbrite tabel
✪ Komplektid matemaatikas
✪ Matemaatika 19. Matemaatiline lõbu - Šiškina kool
Subtiitrid
Tere! See video ei räägi matemaatikast, vaid pigem etümoloogiast ja semiootikast. Aga ma olen kindel, et see teile meeldib. Mine! Kas olete teadlik, et üldkujuliste kuupvõrrandite lahenduste otsimine võttis matemaatikutel mitu sajandit? See on osaliselt põhjus? Kuna selgete mõtete jaoks polnud selgeid sümboleid, võib-olla on käes meie aeg. Sümboleid on nii palju, et võite segadusse sattuda. Kuid teid ja mind ei saa petta, mõtleme selle välja. See on suur pöördtäht A. See on tegelikult ingliskeelne täht, mis on loetletud sõnades "all" ja "any". Vene keeles võib seda sümbolit, olenevalt kontekstist, lugeda nii: kõigile, kõigile, kõigile, kõigele ja nii edasi. Nimetame sellist hieroglüüfi universaalseks kvantoriks. Ja siin on veel üks kvantor, kuid juba olemas. Ingliskeelne e-täht kajastub Paintis vasakult paremale, vihjates sellega ülemere-verbile “olemas”, omal moel loeme: on, on, on ja muul sarnasel viisil. Sellise eksistentsiaalse kvantori hüüumärk lisab unikaalsust. Kui see on selge, liigume edasi. Tõenäoliselt puutusite üheteistkümnendas klassis kokku määramata integraalidega, tuletan teile meelde, et see pole lihtsalt mingi antiderivatiiv, vaid integrandi kõigi antiderivaatide kogu. Nii et ärge unustage C - integratsiooni konstanti. Muide, integraalne ikoon ise on lihtsalt piklik s-täht, ladinakeelse sõna summa kaja. See on täpselt kindla integraali geomeetriline tähendus: graafiku all oleva figuuri pindala leidmine lõpmata väikeste suuruste liitmise teel. Minu jaoks on see matemaatilise analüüsi kõige romantilisem tegevus. Kuid kooli geomeetria on kõige kasulikum, sest see õpetab loogilist rangust. Esimesel aastal peaks teil olema selge arusaam sellest, mis on tagajärg, mis on samaväärsus. Noh, sa ei saa segadusse minna vajalikkuse ja piisavuse suhtes, tead? Proovime kasvõi natukene süveneda. Kui otsustate minna kõrgemale matemaatikale, siis ma kujutan ette, kui halb on teie isiklik elu, kuid seepärast nõustute tõenäoliselt tegema väikese harjutuse. Seal on kolm punkti, millest igaühel on vasak ja parem külg, mis tuleb ühendada ühega kolmest joonistatud sümbolist. Palun vajutage pausile, proovige ise ja kuulake siis, mis mul öelda on. Kui x=-2, siis |x|=2, aga vasakult paremale saab fraasi konstrueerida nii. Teises lõigus on vasakul ja paremal pool kirjas absoluutselt sama asi. Ja kolmandat punkti saab kommenteerida järgmiselt: iga ristkülik on rööpkülik, kuid mitte iga rööpkülik pole ristkülik. Jah, ma tean, et te pole enam väike, kuid siiski minu aplaus neile, kes selle harjutuse lõpetasid. Noh, okei, sellest piisab, meenutagem numbrilisi komplekte. Loendamisel kasutatakse naturaalarve: 1, 2, 3, 4 ja nii edasi. Looduses -1 õuna ei eksisteeri, kuid muide, täisarvud võimaldavad meil sellistest asjadest rääkida. Täht ℤ karjub meile nulli olulise rolli pärast; ratsionaalsete arvude kogumit tähistatakse tähega ℚ ja see pole juhus. Inglise keeles tähendab sõna "quuotient" "suhtumist". Muide, kui kuskil Brooklynis tuleb teie juurde afroameeriklane ja ütleb: "Keep it real!", võite olla kindel, et tegemist on matemaatikuga, reaalarvude austajaga. Noh, peaksite lugema midagi kompleksarvude kohta, see on kasulikum. Teeme nüüd tagasikäigu, pöördume tagasi kõige tavalisema Kreeka kooli esimesse klassi. Ühesõnaga meenutagem iidset tähestikku. Esimene täht on alfa, siis betta, see konks on gamma, siis delta, millele järgneb epsilon ja nii edasi, kuni viimase täheni omega. Võite olla kindel, et kreeklastel on ka suured tähed, kuid kurbadest asjadest me nüüd ei räägi. Meil on parem lõbu – piirid. Kuid siin pole saladusi, kohe on selge, millisest sõnast matemaatiline sümbol tekkis. Seetõttu võime liikuda video viimase osa juurde. Palun proovige ette lugeda arvujada limiidi määratlus, mis on nüüd teie ette kirjutatud. Vajutage kiiresti pausile ja mõelge ning saagu teile rõõmu aastane laps, kes tunneb ära sõna "ema". Kui mis tahes nullist suurema epsiloni korral on positiivne täisarv N, nii et kõigi N-st suuremate arvjada numbrite korral on võrratus |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Üldine informatsioon
Süsteem arenes nagu loomulikud keeledki ajalooliselt (vt matemaatiliste tähistuste ajalugu) ja on organiseeritud nagu loomulike keelte kirjutamine, laenates sealt ka palju sümboleid (peamiselt ladina ja kreeka tähestikust). Sümbolid, nagu tavakirjaski, on kujutatud kontrastsete joontega ühtlasel taustal (must valgel paberil, hele tumedal tahvlil, kontrastsed monitoril jne) ning nende tähenduse määrab eelkõige kuju ja suhteline asend. Värvi ei arvestata ja seda tavaliselt ei kasutata, kuid tähtede kasutamisel võivad nende omadused nagu stiil ja isegi kirjatüüp, mis tavakirjas tähendust ei mõjuta, mängida matemaatilises tähistuses tähenduslikku rolli.
Struktuur
Tavalised matemaatilised tähistused (eelkõige nn matemaatilised valemid) kirjutatakse tavaliselt vasakult paremale reale, kuid need ei pruugi moodustada järjestikust tähemärkide jada. Üksikud tähemärgiplokid võivad ilmuda rea üla- või alaossa, isegi kui märgid ei kattu vertikaalidega. Samuti asuvad mõned osad täielikult joonest kõrgemal või all. Grammatilisest aspektist võib peaaegu iga “valemit” pidada hierarhiliselt organiseeritud puu-tüüpi struktuuriks.
Standardimine
Matemaatiline tähistus esindab süsteemi selle komponentide seotuse mõttes, kuid üldiselt Mitte moodustavad formaalse süsteemi (matemaatika enda mõistmises). Igal keerulisel juhul ei saa neid isegi programmiliselt sõeluda. Nagu iga loomulik keel, on ka "matemaatika keel" täis ebajärjekindlaid tähistusi, homograafe, erinevaid (kõnelejate seas) õigeks peetava tõlgendusi jne. Matemaatiliste sümbolite tähestikku pole isegi näha, ja eriti seetõttu, et Küsimus, kas pidada kahte tähistust erinevateks sümboliteks või sama sümboli erinevat kirjapilti, ei ole alati selgelt lahendatud.
Mõned matemaatilised tähistused (peamiselt mõõtmisega seotud) on standardis ISO 31-11, kuid üldine tähistus on üsna puudulik.
Matemaatilise märgistuse elemendid
Numbrid
Kui on vaja kasutada arvusüsteemi, mille alus on alla kümne, kirjutatakse alus indeksisse: 20003 8. Arvusüsteeme, mille alused on üle kümne, üldtunnustatud matemaatilises tähistuses ei kasutata (kuigi loomulikult uurib neid teadus ise), kuna nende jaoks pole piisavalt numbreid. Seoses informaatika arenguga on muutunud aktuaalseks kuueteistkümnendsüsteem, milles numbreid 10-st 15-ni tähistatakse kuue esimese ladina tähega A-st F-ni. Selliste numbrite tähistamiseks kasutatakse arvutis mitmeid erinevaid lähenemisviise. loodusteadustes, kuid neid pole üle kantud matemaatikasse.
Üla- ja alaindeksi märgid
Sulud, seotud sümbolid ja eraldajad
Sulgusid "()" kasutatakse:
Ruudusulge "" kasutatakse sageli tähenduste rühmitamisel, kui tuleb kasutada palju sulgude paare. Sel juhul asetatakse need väljapoole ja (hoolika tüpograafiaga) on kõrgema kõrgusega kui sisemised sulgud.
Ruudu "" ja sulgusid "()" kasutatakse vastavalt suletud ja avatud ruumide tähistamiseks.
Lokkis sulgusid "()" kasutatakse tavaliselt , kuigi nende puhul kehtib sama hoiatus, mis nurksulgude puhul. Vasakpoolseid "(" ja paremaid ")" sulgusid saab kasutada eraldi; kirjeldatakse nende eesmärki.
nurksulgu märgid " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle ) Korraliku tüpograafia korral peaksid neil olema nürinurgad ja need peaksid seega erinema sarnastest, millel on täis- või teravnurk. Praktikas ei tasu sellele loota (eriti valemeid käsitsi kirjutades) ja neil tuleb intuitsiooni kasutades vahet teha.
Valemi osa esiletõstmiseks kasutatakse sageli sümmeetrilisi (vertikaalse telje suhtes) sümbolite paare, sealhulgas neid, mis erinevad loetletud. Kirjeldatakse paarissulgude eesmärki.
Indeksid
Sõltuvalt asukohast eristatakse ülemist ja alumist indeksit. Ülemine indeks võib (kuid ei pruugi tähendada) astendamist muude kasutuste kohta.
Muutujad
Teadustes on suuruste komplektid ja igaüks neist võib võtta kas väärtuste komplekti ja kutsuda muutuv väärtus (variant) või ainult üks väärtus ja seda nimetatakse konstandiks. Matemaatikas abstraheeritakse suurused sageli füüsikalisest tähendusest ja siis muutub muutuv suurus abstraktne(või numbriline) muutuja, mida tähistatakse mõne sümboliga, mis ei ole hõivatud ülalmainitud erimärkidega.
Muutuv X loetakse antuks, kui on määratud väärtuste kogum, mida see aktsepteerib (x). Mugav on pidada muutujaks konstantset suurust, millele vastav hulk (x) koosneb ühest elemendist.
Funktsioonid ja operaatorid
Matemaatikas pole olulist vahet operaator(ühtlane), kuva Ja funktsiooni.
Samas on arusaadav, et kui antud argumentidest vastenduse väärtuse kirjutamiseks on vaja täpsustada , siis selle vastenduse sümbol tähistab funktsiooni, muul juhul räägitakse pigem operaatorist. Ühe argumendi mõne funktsiooni sümboleid kasutatakse sulgudega või ilma. Näiteks palju elementaarseid funktsioone sin x (\displaystyle \sin x) või sin (x) (\displaystyle \sin(x)), kuid elementaarfunktsioone kutsutakse alati välja funktsioonid.
Operaatorid ja suhted (ühe- ja binaarsed)
Funktsioonid
Funktsiooni võib nimetada kahes tähenduses: selle väärtuse väljendusena antud argumentidega (kirjalik f (x) , f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) jne) või funktsiooni endana. Viimasel juhul sisestatakse ainult funktsiooni sümbol, ilma sulgudeta (kuigi need kirjutatakse sageli juhuslikult).
Matemaatilises töös kasutatavate tavaliste funktsioonide jaoks on palju tähistusi ilma täiendava selgituseta. Muidu tuleb funktsiooni kuidagi kirjeldada ja fundamentaalses matemaatikas ei erine see põhimõtteliselt ja on ka tähistatud suvalise tähega. Kõige populaarsem täht muutuvate funktsioonide tähistamiseks on f, g ja sageli kasutatakse ka enamikku kreeka tähti.
Eelmääratletud (reserveeritud) nimetused
Ühetähelistele tähistustele võib aga soovi korral anda teistsuguse tähenduse. Näiteks tähte i kasutatakse sageli indeksi sümbolina kontekstides, kus kompleksnumbreid ei kasutata, ja tähte võib mõnes kombinatoorikas kasutada muutujana. Samuti määrake teooria sümbolid (nt " ⊂ (\displaystyle \subset )"Ja" ⊃ (\displaystyle \supset )") ja lausearvutused (nt " ∧ (\displaystyle \wedge)"Ja" ∨ (\displaystyle \vee)") saab kasutada ka muus tähenduses, tavaliselt vastavalt järjestussuhete ja binaarsete operatsioonidena.
Indekseerimine
Indekseerimist kujutatakse graafiliselt (tavaliselt alumiste, mõnikord ka ülaosadega) ja see on teatud mõttes viis muutuja infosisu laiendamiseks. Siiski kasutatakse seda kolmes veidi erinevas (kuigi kattuvas) tähenduses.
Tegelikud numbrid
Sarnaselt kasutusega , võib olla mitu erinevat muutujat, tähistades neid sama tähega. Näiteks: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\x_(2),\x_(3)\ldots). Tavaliselt ühendab neid mingi ühisosa, kuid üldiselt pole see vajalik.
Lisaks saab "indeksitena" kasutada mitte ainult numbreid, vaid ka mis tahes sümboleid. Kui aga indeksina kirjutatakse mõni muu muutuja ja avaldis, tõlgendatakse seda kirjet kui "muutujat, mille arv on määratud indeksi avaldise väärtusega".
Tensoranalüüsis
Lineaaralgebras kirjutatakse tensoranalüüs, diferentsiaalgeomeetria koos indeksitega (muutujate kujul)
"Sümbolid ei ole ainult mõtete salvestused,
vahend selle kujutamiseks ja kinnistamiseks, -
ei, need mõjutavad mõtet ennast,
nad... juhendavad teda ja sellest piisab
liigutage need paberile... selleks
eksimatult jõuda uute tõdedeni."
L. Carnot
Matemaatilised märgid on mõeldud eelkõige matemaatiliste mõistete ja lausete täpseks (üheselt määratletud) salvestamiseks. Nende tervik matemaatikute reaalsetes tingimustes moodustab nn matemaatilise keele.
Matemaatilised sümbolid võimaldavad kirjutada kompaktsel kujul lauseid, mida on tavakeeles tülikas väljendada. Nii on neid lihtsam meeles pidada.
Enne teatud märkide kasutamist arutlemisel püüab matemaatik öelda, mida igaüks neist tähendab. Vastasel juhul ei pruugi nad temast aru saada.
Kuid matemaatikud ei saa alati kohe öelda, mida see või teine sümbol, mille nad mis tahes matemaatilise teooria jaoks kasutusele võtsid, peegeldab. Näiteks sadu aastaid opereerisid matemaatikud negatiivsete ja kompleksarvudega, kuid nende arvude ja nendega tehte objektiivne tähendus avastati alles 18. sajandi lõpus ja 19. sajandi alguses.
1. Matemaatiliste kvantorite sümboolika
Sarnaselt tavakeelega võimaldab ka matemaatiliste märkide keel vahetada väljakujunenud matemaatilisi tõdesid, kuid olles vaid tavakeelega seotud abivahend ega saa ilma selleta eksisteerida.
Matemaatiline määratlus:
Tavakeeles:
Funktsiooni piirang F (x) mingis punktis X0 on konstantne arv A nii, et suvalise arvu E>0 korral eksisteerib positiivne d(E), nii et tingimusest |X - X 0 | Kvantorites kirjutamine (matemaatika keeles) 2. Matemaatiliste märkide ja geomeetriliste kujundite sümboolika. 1) Lõpmatus on matemaatikas, filosoofias ja loodusteadustes kasutatav mõiste. Teatud objekti mõiste või atribuudi lõpmatus tähendab, et sellele on võimatu näidata piire või kvantitatiivset mõõdet. Mõiste lõpmatus vastab mitmele erinevale mõistele, olenevalt kasutusvaldkonnast, olgu selleks siis matemaatika, füüsika, filosoofia, teoloogia või igapäevaelu. Matemaatikas ei ole ühtset lõpmatuse mõistet, see on igas jaotises varustatud eriomadustega. Pealegi pole need erinevad "lõpmatused" omavahel asendatavad. Näiteks hulgateooria eeldab erinevaid lõpmatusi ja üks võib olla suurem kui teine. Oletame, et täisarvude arv on lõpmatult suur (seda nimetatakse loendatavaks). Lõpmatute hulkade elementide arvu kontseptsiooni üldistamiseks võetakse matemaatikas kasutusele hulga kardinaalsuse mõiste. Siiski pole olemas üht "lõpmatut" jõudu. Näiteks reaalarvude hulga võimsus on suurem kui täisarvude võimsus, sest nende hulkade vahel ei saa luua üks-ühele vastavust ja täisarvud on reaalarvude hulgas. Seega on sel juhul üks kardinaalarv (võrdne hulga astmega) "lõpmatu" kui teine. Nende mõistete rajajaks oli saksa matemaatik Georg Cantor. Arvutuses lisatakse reaalarvude komplekti kaks sümbolit, pluss ja miinus lõpmatus, mida kasutatakse piirväärtuste ja lähenemise määramiseks. Tuleb märkida, et antud juhul ei räägi me "käegakatsutavast" lõpmatusest, kuna iga seda sümbolit sisaldava avalduse saab kirjutada ainult lõplike arvude ja kvantorite abil. Need sümbolid (ja paljud teised) võeti kasutusele pikemate väljendite lühendamiseks. Lõpmatus on lahutamatult seotud ka lõpmata väikese määramisega, näiteks ütles Aristoteles: Lõpmatus esines enamikus kultuurides abstraktse kvantitatiivse tähistusena millelegi arusaamatult suurele, mida rakendati üksustele, millel puuduvad ruumilised või ajalised piirid. 2) Ringjoon on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mille kaugus antud punktini, mida nimetatakse ringi keskpunktiks, ei ületa etteantud mittenegatiivset arvu, mida nimetatakse selle ringi raadiuseks. Kui raadius on null, taandub ring punktiks. Ringjoon on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mis on antud punktist, mida nimetatakse keskpunktiks, võrdsel kaugusel nullist erineval kaugusel, mida nimetatakse selle raadiuseks. 3) Ruut (romb) – on nelja erineva elemendi, näiteks nelja põhielemendi või nelja aastaaja kombinatsiooni ja järjestuse sümbol. Numbri 4 sümbol, võrdsus, lihtsus, terviklikkus, tõde, õiglus, tarkus, au. Sümmeetria on idee, mille kaudu inimene püüab mõista harmooniat ja seda on iidsetest aegadest peetud ilu sümboliks. Nn "figuureeritud" värsid, mille tekst on rombi kontuuriga, on sümmeetrilised. Meie - (E.Martov, 1894) 4) Ristkülik. Kõigist geomeetrilistest vormidest on see kõige ratsionaalsem, usaldusväärsem ja õigem joonis; empiiriliselt on see seletatav asjaoluga, et ristkülik on alati ja kõikjal olnud lemmikkuju. Selle abil kohandas inimene ruumi või mistahes eseme otseseks kasutamiseks oma igapäevaelus, näiteks: maja, tuba, laud, voodi jne. 5) Viisnurk on korrapärane tähekujuline viisnurk, igaviku, täiuslikkuse ja universumi sümbol. Pentagon - tervise amulett, silt ustel nõidade eemale peletamiseks, Thothi, Merkuuri, Keldi Gawaini jne embleem, Jeesuse Kristuse viie haava, õitsengu, juutide õnne sümbol, legendaarne Saalomoni võti; märk kõrgest staatusest Jaapani ühiskonnas. 6) Regulaarne kuusnurk, kuusnurk - külluse, ilu, harmoonia, vabaduse, abielu sümbol, numbri 6 sümbol, inimese kujutis (kaks kätt, kaks jalga, pea ja torso). 7) Rist on kõrgeimate pühade väärtuste sümbol. Rist modelleerib vaimset aspekti, vaimu tõusu, Jumala poole püüdlemist, igavikku. Rist on universaalne elu ja surma ühtsuse sümbol. 8) Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, ja kolmest neid kolme punkti ühendavast segmendist. 9) Kuueharuline täht (Taaveti täht) – koosneb kahest üksteise peale asetatud võrdkülgsest kolmnurgast. Üks versioon märgi päritolust ühendab selle kuju valge liilia lille kujuga, millel on kuus kroonlehte. Lill asetati traditsiooniliselt templi lambi alla nii, et preester süütas Magen Davidi keskel tule. Kabalas sümboliseerivad kaks kolmnurka inimesele omast duaalsust: hea versus kurjus, vaimne versus füüsiline jne. Ülespoole suunatud kolmnurk sümboliseerib meie häid tegusid, mis tõusevad taeva poole ja lasevad armuvoo alla tagasi siia maailma (mida sümboliseerib allapoole suunatud kolmnurk). Mõnikord nimetatakse Taaveti tähte Looja täheks ja iga selle kuut otsa seostatakse ühe nädalapäevaga ja keskpunkti laupäevaga. 10) Viieharuline täht – bolševike peamine eristav embleem on punane viieharuline täht, mis paigaldati ametlikult 1918. aasta kevadel. Algselt nimetas bolševike propaganda seda "Marsi täheks" (mis kuulus väidetavalt iidsele sõjajumalale - Marsile) ja hakkas seejärel kuulutama, et "tähe viis kiirt tähendavad kõigi viie kontinendi töörahva liitu. võitlus kapitalismi vastu." Tegelikkuses pole viieharulisel tähel midagi pistmist ei sõjaka jumaluse Marsi ega rahvusvahelise proletariaadiga, see on iidne (ilmselt Lähis-Ida päritolu) okultne märk, mida nimetatakse "pentagrammiks" või "Saalomoni täheks". Märkigem, et pentagrammi panid bolševikud sageli Punaarmee mundritele, sõjavarustusele, erinevatele siltidele ja kõikvõimalikele visuaalse propaganda atribuutidele puhtsaatanlikult: kahe “sarvega” püsti. 3. Vabamüürlaste märgid Masonid Moto:"Vabadus. Võrdsus. Vennaskond". Vabade inimeste ühiskondlik liikumine, kes vaba valiku alusel võimaldavad saada paremaks, saada Jumalale lähedasemaks ja seetõttu tunnustatakse neid maailma parandavatena. Märgid Särav silm (delta) on iidne, religioosne märk. Ta ütleb, et Jumal jälgib tema loomingut. Selle märgi kujutisega palusid vabamüürlased Jumalalt õnnistust mis tahes suurejooneliste tegude või nende töö eest. Radiant Eye asub Peterburis Kaasani katedraali frontoonil. Kompassi ja ruudu kombinatsioon vabamüürlaste märgis. Asjatundmatute jaoks on see töövahend (mason) ja initsieeritu jaoks on need viisid maailma mõistmiseks ning jumaliku tarkuse ja inimliku mõistuse vahelise suhte mõistmiseks. Jumaliku tarkuse jaoks pole miski võimatu, see võib võtta nii inimliku (-) kui ka jumaliku kuju (0), see võib sisaldada kõike. Seega mõistab inimmõistus jumalikku tarkust ja võtab selle omaks. Filosoofias on see väide absoluutse ja suhtelise tõe postulaat. Kuusnurkne täht (Petlemm) Täht G tähistab Jumalat (saksa keeles – Got), universumi suurt geomeetrit. Järeldus Matemaatilised sümbolid on mõeldud peamiselt matemaatiliste mõistete ja lausete täpseks salvestamiseks. Nende tervik moodustab nn matemaatilise keele.
“... alati on võimalik välja mõelda suurem arv, sest osade arvul, milleks segmenti saab jagada, pole piiri; seetõttu on lõpmatus potentsiaalne, mitte kunagi tegelik ja olenemata jaotuste arvust on alati potentsiaalselt võimalik jagada see segment veelgi suuremaks arvuks. Märkigem, et Aristoteles andis suure panuse lõpmatuse teadvustamisse, jagades selle potentsiaalseks ja tegelikuks, ning jõudis sellest küljest lähedale matemaatilise analüüsi alustele, osutades ka viiele mõtteallikale selle kohta:
Lisaks arendati lõpmatust filosoofias ja teoloogias koos täppisteadustega. Näiteks teoloogias ei anna Jumala lõpmatus mitte niivõrd kvantitatiivset määratlust, kuivõrd see tähendab piiramatut ja arusaamatut. Filosoofias on see ruumi ja aja atribuut.
Kaasaegne füüsika jõuab lähedale Aristotelese eitatud lõpmatuse asjakohasusele – see tähendab ligipääsetavusele reaalses maailmas, mitte ainult abstraktselt. Näiteks on olemas singulaarsuse kontseptsioon, mis on tihedalt seotud mustade aukude ja Suure Paugu teooriaga: see on aegruumi punkt, kuhu lõpmata väikeses mahus mass on koondunud lõpmatu tihedusega. Mustade aukude olemasolu kohta on juba kindlaid kaudseid tõendeid, kuigi suure paugu teooria on alles väljatöötamisel.
Ring on Päikese, Kuu sümbol. Üks levinumaid sümboleid. See on ka lõpmatuse, igaviku ja täiuslikkuse sümbol.
Luuletus on romb.
Pimeduse seas.
Silm puhkab.
Ööpimedus on elav.
Süda ohkab ahnelt,
Vahel jõuavad meieni tähtede sosin.
Ja taevasinised tunded on rahvarohked.
Kõik oli ununenud kastevas säras.
Anname teile lõhnava suudluse!
Sära kiiresti!
Sosista uuesti
Nagu siis:
"Jah!"
Muidugi ei pruugi te nende väidetega nõustuda.
Keegi ei salga aga, et igasugune kujund tekitab inimeses assotsiatsioone. Kuid probleem on selles, et mõned objektid, süžeed või graafilised elemendid tekitavad kõigis inimestes (õigemini paljudes) samu assotsiatsioone, teised aga hoopis teistsuguseid.
Kolmnurga kui kujundi omadused: tugevus, muutumatus.
Stereomeetria aksioom A1 ütleb: "Läbi 3 ruumipunkti, mis ei asu samal sirgel, läbib tasapind ja ainult üks!"
Selle väite mõistmise sügavuse kontrollimiseks küsitakse tavaliselt ülesannet: „Laual istub kolm kärbest, laua kolmes otsas. Teatud hetkel lendavad nad lahku kolmes üksteisega risti olevas suunas sama kiirusega. Millal nad jälle samasse lennukisse lähevad? Vastus on tõsiasi, et kolm punkti määravad alati ja igal hetkel ühe tasapinna. Ja kolmnurga määravad täpselt 3 punkti, nii et seda geomeetria näitajat peetakse kõige stabiilsemaks ja vastupidavamaks.
Kolmnurka nimetatakse tavaliselt teravaks, "solvavaks" kujundiks, mis on seotud meheliku põhimõttega. Võrdkülgne kolmnurk on mehelik ja päikeseline märk, mis esindab jumalikkust, tuld, elu, südant, mäge ja ülestõusmist, heaolu, harmooniat ja kuninglikkust. Pööratud kolmnurk on naiselik ja kuu sümbol, mis tähistab vett, viljakust, vihma ja jumalikku halastust.
Ameerika Ühendriikide osariigi sümbolid sisaldavad ka erineval kujul kuueharulist tähte, eriti on see Ameerika Ühendriikide suurel pitsatil ja pangatähtedel. Taaveti tähte on kujutatud Saksamaa linnade Cheri ja Gerbstedti, samuti Ukraina Ternopili ja Konotopi vappidel. Burundi lipul on kujutatud kolm kuueharulist tähte ja need esindavad riigi motot: „Ühtsus. Töö. Edusammud".
Kristluses on kuueharuline täht Kristuse sümboliks, nimelt jumaliku ja inimliku olemuse liitu Kristuses. Seetõttu on see märk õigeusu ristile kirjutatud.
Valitsus”, mis on vabamüürluse täieliku kontrolli all.
Väga sageli joonistavad satanistid mõlema otsaga pentagrammi, et sinna oleks hõlbus kuradipea “Baphometi pentagramm” sobitada. “Tulise revolutsionääri” portree on paigutatud “Baphometi pentagrammi” sisse, mis on 1932. aastal kavandatud tšekistide eriordu “Feliks Dzeržinski” kompositsiooni keskne osa (hiljem lükkas selle projekti tagasi sügavalt vihkanud Stalin "Raudne Felix").
Marksistlikud "maailmaproletaarse revolutsiooni" plaanid olid selgelt vabamüürlaste päritolu; mitmed silmapaistvamad marksistid olid vabamüürluse liikmed. L. Trotski oli üks neist ja just tema tegi ettepaneku muuta vabamüürlaste pentagramm bolševismi tunnusmärgiks.
Rahvusvahelised vabamüürlaste loožid pakkusid bolševikele salaja täielikku, eriti rahalist toetust.
Vabamüürlased on Looja seltsimehed, sotsiaalse progressi toetajad inertsi, inertsuse ja teadmatuse vastu. Vabamüürluse silmapaistvad esindajad on Nikolai Mihhailovitš Karamzin, Aleksandr Vasiljevitš Suvorov, Mihhail Illarionovitš Kutuzov, Aleksandr Sergejevitš Puškin, Joseph Goebbels.
Ruut on reeglina altpoolt inimeste teadmised maailmast. Vabamüürluse seisukohalt tuleb inimene maailma jumaliku plaani mõistmiseks. Ja teadmiste saamiseks on vaja tööriistu. Kõige tõhusam teadus maailma mõistmisel on matemaatika.
Ruut on vanim matemaatiline instrument, mis on tuntud juba ammusest ajast. Väljaku lõpetamine on juba suur samm edasi tunnetuse matemaatilistes vahendites. Inimene mõistab maailma teaduste abil, matemaatika on neist esimene, kuid mitte ainus.
Väljak on aga puidust ja sinna mahub, mis mahub. Seda ei saa lahti nihutada. Kui proovite seda laiendada, et mahutada rohkem, rikute selle.
Nii et inimesed, kes püüavad mõista kogu jumaliku plaani lõpmatust, kas surevad või lähevad hulluks. "Tea oma piire!" - seda ütleb see märk Maailmale. Isegi kui te oleksite Einstein, Newton, Sahharov – inimkonna suurimad mõistused! - mõista, et sind piirab sünniaeg; maailma, keele, ajuvõime, mitmesuguste inimlike piirangute ja oma keha elu mõistmisel. Seetõttu, jah, õppige, kuid saage aru, et te ei saa kunagi täielikult aru!
Aga kompass? Kompass on jumalik tarkus. Ringi kirjeldamiseks võite kasutada kompassi, kuid kui sirutate selle jalad laiali, on see sirgjoon. Ja sümboolsetes süsteemides on ring ja sirge kaks vastandit. Sirge joon tähistab inimest, tema algust ja lõppu (nagu kriips kahe kuupäeva – sünni ja surma – vahel). Ring on jumaluse sümbol, sest see on täiuslik kuju. Nad vastanduvad üksteisele – jumalikud ja inimlikud kujundid. Inimene ei ole täiuslik. Jumal on kõiges täiuslik.
Inimesed teavad alati tõde, kuid alati suhtelist tõde. Ja absoluutset tõde teab ainult Jumal.
Õppige rohkem ja rohkem, mõistes, et te ei saa täielikult aru tõde - milliseid sügavusi leiame tavalisest ruuduga kompassist! Kes oleks arvanud!
See on vabamüürlaste sümboolika ilu ja võlu, selle tohutu intellektuaalne sügavus.
Alates keskajast on kompassist kui täiuslike ringide joonistamise vahendist saanud geomeetria, kosmilise korra ja planeeritud tegevuste sümbol. Sel ajal kujutati vägede jumalat sageli universumi looja ja arhitekti kujutisel, kompass käes (William Blake “Suur arhitekt”, 1794).
Kuusnurkne täht tähendas ühtsust ja vastandite võitlust, mehe ja naise, hea ja kurja, valguse ja pimeduse võitlust. Üks ei saa eksisteerida ilma teiseta. Nende vastandite vahel tekkiv pinge loob maailma sellisena, nagu me seda tunneme.
Ülespoole tõusev kolmnurk tähendab "Inimene püüdleb Jumala poole". Kolmnurk alla – "Jumalikkus laskub inimese juurde." Nendega seoses eksisteerib meie maailm, mis on inimliku ja jumaliku liit. G-täht tähendab siin seda, et Jumal elab meie maailmas. Ta on tõeliselt kohal kõiges, mille ta lõi.
Otsustavaks jõuks matemaatilise sümboolika kujunemisel ei ole matemaatikute “vaba tahe”, vaid praktika ja matemaatilise uurimistöö nõuded. Just tõeline matemaatiline uurimus aitab välja selgitada, milline märkide süsteem peegeldab kõige paremini kvantitatiivsete ja kvalitatiivsete seoste struktuuri, mistõttu võivad need olla tõhusaks vahendiks nende edasisel kasutamisel sümbolites ja embleemides.