ontoloogilise kategooriana peegeldab mis tahes entiteedi tekkimise võimaluse ulatust mis tahes tingimustel. Vastupidiselt selle mõiste matemaatilisele ja loogilisele tõlgendusele ei seo ontoloogiline matemaatika end kvantitatiivse väljendamise kohustusega. V. tähendus avaldub determinismi ja laiemalt arengu olemuse mõistmise kontekstis.
Suurepärane määratlus
Mittetäielik määratlus ↓
TÕENÄOSUS
suurusi iseloomustav mõiste. teatud sündmuse toimumise võimalikkuse mõõt teatud ajal tingimused. Teaduslikus teadmisi on kolm tõlgendust V. Klassikaline mõiste V., mis tekkis matemaatilisest. hasartmängude analüüsis, mille on kõige põhjalikumalt välja töötanud B. Pascal, J. Bernoulli ja P. Laplace, käsitleb võitmist soodsate juhtumite arvu ja kõigi võrdselt võimalike juhtumite koguarvu suhtena. Näiteks kui visata täringut, millel on 6 külge, võib eeldada, et igaüks neist maandub väärtusega 1/6, kuna ühelgi poolel pole eeliseid teise ees. Sellist katsetulemuste sümmeetriat võetakse mängude korraldamisel eriti arvesse, kuid see on suhteliselt haruldane teaduse ja praktika objektiivsete sündmuste uurimisel. Klassikaline V. tõlgendus andis teed statistikale. V. mõisted, mis lähtuvad tegelikust teatud sündmuse toimumise jälgimine pikema aja jooksul. kogemus täpselt kindlaksmääratud tingimustel. Praktika kinnitab, et mida sagedamini sündmus aset leiab, seda suurem on selle toimumise objektiivse võimalikkuse aste ehk B. Seega statistiline. V. tõlgendus põhineb suhestumise mõistel. sagedus, mida saab katseliselt määrata. V. kui teoreetiline mõiste ei lange kunagi kokku empiiriliselt määratud sagedusega, aga mitmuses. Juhtudel erineb see suhtelisest praktiliselt vähe. kestuse tulemusena leitud sagedus. tähelepanekud. Paljud statistikud peavad V. "topelt" viitab. sagedused, servad määratakse statistiliselt. vaatlustulemuste uurimine
või katsed. Vähem realistlik oli V. määratlus, kuna piir on seotud. R. Misesi pakutud massiürituste või rühmade sagedused. V.-i sageduskäsitluse edasiarendusena esitatakse V. dispositsiooniline ehk protsentiivne tõlgendus (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Selle tõlgenduse järgi iseloomustab V. näiteks tingimuste genereerimise omadust. katse. installatsioonid, et saada massiliste juhuslike sündmuste jada. Just selline suhtumine tekitabki füüsilise dispositsioonid ehk eelsoodumused, V. mida saab sugulaste abil kontrollida. sagedus
Statistiline V. tõlgendus domineerib teaduslikus uurimistöös. tunnetus, sest see peegeldab spetsiifilist. juhusliku iseloomuga massinähtustele omaste mustrite olemus. Paljudes füüsilistes, bioloogilistes, majanduslikes, demograafilistes. ja muude sotsiaalsete protsesside puhul on vaja arvestada paljude juhuslike tegurite toimega, mida iseloomustab stabiilne sagedus. Nende stabiilsete sageduste ja koguste tuvastamine. selle hindamine V. abil võimaldab paljastada paljude õnnetuste kumuleeruva toime läbimise vajaduse. Siin saab avalduse juhuse vajaduseks muutmise dialektika (vt F. Engels, raamatus: K. Marx ja F. Engels, Works, kd. 20, lk. 535-36).
Loogiline ehk induktiivne arutluskäik iseloomustab suhet mittedemonstratiivse ja eriti induktiivse arutluse eelduste ja järelduste vahel. Erinevalt deduktsioonist ei taga induktsiooni eeldused järelduse tõesust, vaid muudavad selle ainult enam-vähem usutavaks. Seda usutavust saab täpselt sõnastatud eeldustega mõnikord hinnata V abil. Selle V väärtus määratakse enamasti võrdluse teel. mõisted (rohkem kui, väiksem või võrdne) ja mõnikord ka arvuliselt. Loogiline interpretatsiooni kasutatakse sageli induktiivse arutluse analüüsimiseks ja erinevate tõenäosusloogika süsteemide konstrueerimiseks (R. Carnap, R. Jeffrey). Semantikas loogilised mõisted V. on sageli defineeritud kui aste, mil määral kinnitatakse üht väidet teiste poolt (näiteks hüpotees selle empiiriliste andmetega).
Seoses otsuste langetamise ja mängude teooriate arenguga nn V. personalistlik tõlgendus. Kuigi V. väljendab samal ajal subjekti usu astet ja teatud sündmuse toimumist, tuleb V. ise valida nii, et V. arvutuse aksioomid oleksid täidetud. Seetõttu väljendab V. sellise tõlgendusega mitte niivõrd subjektiivse, vaid pigem mõistliku usu astet. Järelikult on sellise V. põhjal tehtud otsused ratsionaalsed, kuna ei arvesta psühholoogilist. subjekti omadused ja kalduvused.
Epistemoloogilisega t.zr. erinevus statistilise, loogilise vahel. ja personalistlikud tõlgendused V. on see, et kui esimene iseloomustab juhusliku iseloomuga massinähtuste objektiivseid omadusi ja seoseid, siis kaks viimast analüüsivad subjektiivse, tunnetusliku tunnuseid. inimtegevus ebakindluse tingimustes.
TÕENÄOSUS
üks olulisemaid teaduse mõisteid, mis iseloomustab erilist süsteemset nägemust maailmast, selle struktuurist, evolutsioonist ja teadmistest. Tõenäosusliku maailmavaate eripära ilmneb juhuslikkuse, sõltumatuse ja hierarhia mõistete (süsteemide struktuuri ja määratluse tasandite idee) kaasamise kaudu eksistentsi põhimõistete hulka.
Ideed tõenäosuse kohta tekkisid iidsetel aegadel ja olid seotud meie teadmiste omadustega, samas tunnistati tõenäosuslike teadmiste olemasolu, mis erinesid usaldusväärsetest teadmistest ja valeteadmistest. Tõenäosuse idee mõju teaduslikule mõtlemisele ja teadmiste arengule on otseselt seotud tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arenguga. Matemaatilise tõenäosusdoktriini tekkelugu ulatub 17. sajandisse, mil kujunes välja mõistete tuum, mis võimaldas. kvantitatiivsed (numbrilised) tunnused ja tõenäosusliku idee väljendamine.
Tõenäosuse intensiivsed rakendused tunnetuse arengule toimuvad 2. poolel. 19 - 1. korrus 20. sajandil Tõenäosus on sisenenud selliste loodusteaduste alusteaduste struktuuridesse nagu klassikaline statistiline füüsika, geneetika, kvantteooria ja küberneetika (infoteooria). Seetõttu personifitseerib tõenäosus seda etappi teaduse arengus, mida praegu määratletakse kui mitteklassikalist teadust. Tõenäosusliku mõtteviisi uudsuse ja tunnuste paljastamiseks on vaja lähtuda tõenäosusteooria ainese ja selle arvukate rakenduste aluste analüüsist. Tõenäosusteooriat defineeritakse tavaliselt kui matemaatilist distsipliini, mis uurib massiliste juhuslike nähtuste mustreid teatud tingimustel. Juhuslikkus tähendab seda, et massilise iseloomu raames ei sõltu iga elementaarnähtuse olemasolu teiste nähtuste olemasolust ega määra seda. Samas on nähtuste massilisus ise stabiilse struktuuriga ja sisaldab teatud seaduspärasusi. Massinähtus jaguneb üsna rangelt alamsüsteemideks ja elementaarnähtuste suhteline arv igas alamsüsteemis (suhteline sagedus) on väga stabiilne. Seda stabiilsust võrreldakse tõenäosusega. Massinähtust tervikuna iseloomustab tõenäosusjaotus ehk alamsüsteemide ja neile vastavate tõenäosuste täpsustamine. Tõenäosusteooria keel on tõenäosusjaotuste keel. Seetõttu defineeritakse tõenäosusteooriat kui abstraktset teadust jaotustega opereerimisest.
Tõenäosus tekitas teaduses ideid statistiliste mustrite ja statistiliste süsteemide kohta. Viimased on sõltumatutest või kvaasi-sõltumatutest üksustest moodustatud süsteemid, mille struktuuri iseloomustavad tõenäosusjaotused. Kuidas on aga võimalik moodustada süsteeme sõltumatutest üksustest? Tavaliselt eeldatakse, et terviklike omadustega süsteemide moodustamiseks on vajalik, et nende elementide vahel oleks piisavalt stabiilsed ühendused, mis süsteeme tsementeerivad. Statistiliste süsteemide stabiilsuse annab välistingimuste, väliskeskkonna, väliste, mitte sisemiste jõudude olemasolu. Juba tõenäosuse määratlus põhineb alati algmassi nähtuse kujunemise tingimuste seadmisel. Teine oluline tõenäosuslikku paradigmat iseloomustav idee on hierarhia (alluvuse) idee. See idee väljendab suhet üksikute elementide omaduste ja süsteemide terviklike omaduste vahel: viimased on justkui ehitatud esimeste peale.
Tõenäosuslike meetodite tähtsus tunnetuses seisneb selles, et need võimaldavad uurida ja teoreetiliselt väljendada hierarhilise, “kahetasandilise” struktuuriga objektide ja süsteemide struktuuri- ja käitumismustreid.
Tõenäosuse olemuse analüüs põhineb selle sagedusel, statistilisel tõlgendusel. Samas domineeris teaduses väga pikka aega selline tõenäosuse mõistmine, mida nimetati loogiliseks ehk induktiivseks tõenäosuseks. Loogilist tõenäosust huvitavad küsimused eraldiseisva, individuaalse otsuse kehtivuse kohta teatud tingimustel. Kas induktiivse järelduse (hüpoteetilise järelduse) kinnitusastet (usaldusväärsust, tõesust) on võimalik hinnata kvantitatiivsel kujul? Tõenäosusteooria väljatöötamise käigus arutati selliseid küsimusi korduvalt ja hakati rääkima hüpoteetiliste järelduste kinnitusastmetest. Selle tõenäosuse mõõdu määrab konkreetsele inimesele kättesaadav teave, tema kogemused, vaated maailmale ja psühholoogiline mõtteviis. Kõigil sellistel juhtudel ei saa tõenäosuse suurust rangelt mõõta ja see jääb praktiliselt väljaspool tõenäosusteooria kui järjepideva matemaatilise distsipliini pädevust.
Tõenäosuse objektiivne, sagedane tõlgendus kehtestati teaduses märkimisväärsete raskustega. Esialgu mõjutasid tõenäosuse olemuse mõistmist tugevalt need filosoofilised ja metodoloogilised vaated, mis olid omased klassikalisele teadusele. Ajalooliselt toimus tõenäosuslike meetodite areng füüsikas mehaanika ideede määrava mõju all: statistilisi süsteeme tõlgendati lihtsalt mehaanilistena. Kuna vastavaid probleeme ei lahendatud mehaanika rangete meetoditega, tekkisid väited, et tõenäosuslike meetodite ja statistiliste seaduste poole pöördumine on meie teadmiste ebatäielikkuse tagajärg. Klassikalise statistilise füüsika arenguloos püüti seda arvukalt põhjendada klassikalise mehaanika alusel, kuid need kõik ebaõnnestusid. Tõenäosuse aluseks on see, et see väljendab teatud klassi süsteemide struktuurseid tunnuseid, välja arvatud mehaanilised süsteemid: nende süsteemide elementide seisundit iseloomustab ebastabiilsus ja interaktsioonide eriline (mehaanikale mitte taandatav) iseloom.
Tõenäosuse sisenemine teadmistesse viib kõva determinismi kontseptsiooni eitamiseni, klassikalise teaduse kujunemisprotsessis välja töötatud olemise ja teadmise põhimudeli eitamiseni. Statistiliste teooriate põhimudelid on teistsuguse, üldisema iseloomuga: need hõlmavad juhuslikkuse ja sõltumatuse ideid. Tõenäosuse idee on seotud objektide ja süsteemide sisemise dünaamika avalikustamisega, mida välised tingimused ja asjaolud ei saa täielikult kindlaks määrata.
Tõenäosusliku maailmanägemuse kontseptsioon, mis põhineb iseseisvuse ideede absolutiseerimisel (nagu enne jäiga määratuse paradigmat), on nüüd paljastanud oma piirangud, mis peegeldub kõige tugevamalt kaasaegse teaduse üleminekus analüütilistele uurimismeetoditele. keerukad süsteemid ning iseorganiseerumisnähtuste füüsikalised ja matemaatilised alused.
Suurepärane määratlus
Mittetäielik määratlus ↓
On selge, et igal sündmusel on selle toimumise (elluviimise) võimalus erineval määral. Sündmuste kvantitatiivseks võrdlemiseks nende võimalikkuse astme järgi on ilmselgelt vaja iga sündmusega seostada teatud arv, mis on suurem, mida võimalikum on sündmus. Seda arvu nimetatakse sündmuse tõenäosuseks.
Sündmuse tõenäosus– on selle sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse määra numbriline mõõt.
Vaatleme selles katses täheldatud stohhastilist katset ja juhuslikku sündmust A. Kordame seda katset n korda ja olgu m(A) katsete arv, milles sündmus A toimus.
Seos (1.1)
helistas suhteline sagedus sündmusi A läbiviidud katsete sarjas.
Omaduste kehtivust on lihtne kontrollida:
kui A ja B on vastuolus (AB= ), siis ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1,2)
Suhteline sagedus määratakse alles pärast katseseeriat ja üldiselt võib see seeriate lõikes erineda. Kogemus näitab aga, et paljudel juhtudel läheneb suhteline sagedus katsete arvu suurenedes teatud arvule. Seda suhtelise sageduse stabiilsuse fakti on korduvalt kontrollitud ja seda võib pidada eksperimentaalselt kindlaks tehtud.
Näide 1.19.. Kui viskad ühe mündi, ei oska keegi ennustada, kummale poole see otsa maandub. Kui aga visata kaks tonni münte, siis kõik ütlevad, et umbes üks tonn kukub koos vapiga üles ehk siis vapi väljakukkumise suhteline sagedus on ligikaudu 0,5.
Kui katsete arvu suurenemisel kaldub sündmuse suhteline sagedus ν(A) teatud kindlale arvule, siis öeldakse, et sündmus A on statistiliselt stabiilne, ja seda arvu nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks.
Sündmuse tõenäosus A kutsutakse mingi fikseeritud arv P(A), milleni selle sündmuse suhteline sagedus ν(A) kaldub katsete arvu kasvades, st. 
Seda määratlust nimetatakse tõenäosuse statistiline määramine .
Vaatleme teatud stohhastilist eksperimenti ja koosneme selle elementaarsündmuste ruum lõplikust või lõpmatust (kuid loendatavast) elementaarsündmuste hulgast ω 1, ω 2, …, ω i, …. Oletame, et igale elementaarsündmusele ω i omistatakse teatud arv - р i, mis iseloomustab antud elementaarsündmuse toimumise võimalikkuse astet ja vastab järgmistele omadustele:
Seda numbrit p i kutsutakse elementaarsündmuse tõenäosusωi.
Olgu A nüüd selles katses vaadeldud juhuslik sündmus ja vastagu see teatud hulgale
Selles seadistuses sündmuse tõenäosus A nimeta A-d soodustavate elementaarsündmuste tõenäosuste summa(sisaldub vastavas komplektis A):
(1.4)
Sel viisil sisestatud tõenäosusel on samad omadused kui suhtelisel sagedusel, nimelt:
Ja kui AB = (A ja B ei ühildu),
siis P(A+B) = P(A) + P(B)
Tõepoolest, vastavalt (1.4)
Viimases seoses kasutasime ära asjaolu, et ükski elementaarne sündmus ei saa eelistada kahte kokkusobimatut sündmust korraga.
Märgime eriti, et tõenäosusteooria ei näita meetodeid p i määramiseks, neid tuleb otsida praktilistel põhjustel või saada vastavast statistilisest eksperimendist.
Vaatleme näiteks klassikalist tõenäosusteooria skeemi. Selleks vaadeldakse stohhastilist eksperimenti, mille elementaarsündmuste ruum koosneb lõplikust (n) arvust elementidest. Eeldame lisaks, et kõik need elementaarsündmused on võrdselt võimalikud, st elementaarsündmuste tõenäosused on võrdsed p(ω i)=p i =p. Sellest järeldub
Näide 1.20. Sümmeetrilise mündi viskamisel on peade ja sabade saamine võrdselt võimalik, nende tõenäosus on 0,5.
Näide 1.21. Sümmeetrilise täringu viskamisel on kõik näod võrdselt võimalikud, nende tõenäosus on 1/6.
Nüüd olgu sündmus A soositud m elementaarsündmuste poolt, neid tavaliselt nimetatakse sündmusele A soodsad tulemused. Siis
Sain klassikaline tõenäosuse määratlus: sündmuse A tõenäosus P(A) võrdub sündmusele A soodsate tulemuste arvu ja tulemuste koguarvu suhtega
Näide 1.22. Urnis on m valget ja n musta palli. Kui suur on valge palli tõmbamise tõenäosus?
Lahendus. Elementaarsündmuste koguarv on m+n. Need kõik on võrdselt tõenäolised. Soodne sündmus A millest m. Seega 
.
Tõenäosuse definitsioonist tulenevad järgmised omadused:
Vara 1. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.
Tõepoolest, kui sündmus on usaldusväärne, siis iga testi elementaarne tulemus soosib sündmust. Sel juhul t=p, seega,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Vara 2. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.
Tõepoolest, kui sündmus on võimatu, siis ükski testi elementaarsetest tulemustest ei soosi sündmust. Sel juhul T= 0, seega P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Vara 3.Juhusliku sündmuse tõenäosus on positiivne arv nulli ja ühe vahel.
Tõepoolest, juhuslik sündmus eelistab ainult osa testi elementaarsete tulemuste koguarvust. See tähendab 0≤m≤n, mis tähendab 0≤m/n≤1, seega rahuldab mis tahes sündmuse tõenäosus topeltvõrratust 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Võrreldes tõenäosuse (1,5) ja suhtelise sageduse (1,1) definitsioone, järeldame: tõenäosuse määratlus ei nõua testimist tegelikult; suhtelise sageduse määratlus eeldab seda testid on tegelikult tehtud. Teisisõnu, tõenäosus arvutatakse enne katset ja suhteline sagedus pärast katset.
Tõenäosuse arvutamiseks on siiski vaja esialgset teavet antud sündmuse jaoks soodsate elementaarsete tulemuste arvu või tõenäosuste kohta. Sellise eelinformatsiooni puudumisel kasutatakse tõenäosuse määramiseks empiirilisi andmeid, st sündmuse suhteline sagedus määratakse stohhastilise katse tulemuste põhjal.
Näide 1.23. Tehnilise kontrolli osakond avastas 3 mittestandardsed osad 80 juhuslikult valitud osast koosnevas partiis. Mittestandardsete osade esinemise suhteline sagedus r(A)= 3/80.
Näide 1.24. Vastavalt eesmärgile.toodetud 24 lasti ja registreeriti 19 tabamust. Suhteline eesmärgi tabamusmäär. r(A)=19/24.
Pikaajalised vaatlused on näidanud, et kui katsed viiakse läbi identsetes tingimustes, millest igaühes on katsete arv piisavalt suur, siis on suhtelisel sagedusel stabiilsuse omadus. See vara on et erinevates katsetes muutub suhteline sagedus vähe (mida vähem, seda rohkem katseid tehakse), kõikudes teatud konstantse arvu ümber. Selgus, et seda konstantset arvu saab võtta tõenäosuse ligikaudse väärtusena.
Suhtelise sageduse ja tõenäosuse vahelist seost kirjeldatakse üksikasjalikumalt ja täpsemalt allpool. Nüüd illustreerime stabiilsuse omadust näidetega.
Näide 1.25. Rootsi statistika järgi iseloomustavad 1935. aasta tüdrukute suhtelist sündide sagedust kuude lõikes järgmised numbrid (numbrid on järjestatud kuude järjekorras, alustades jaanuar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Suhteline sagedus kõigub numbri 0,481 ümber, mida võib võtta tüdrukute sünni tõenäosuse ligikaudse väärtusena.
Pange tähele, et erinevate riikide statistilised andmed annavad ligikaudu sama suhtelise sageduse väärtuse.
Näide 1.26. Mitu korda tehti mündiviskamise katseid, mille käigus loendati “vapi” ilmumiste arvu. Mitmete katsete tulemused on toodud tabelis.
Niisiis, räägime teemast, mis huvitab paljusid inimesi. Selles artiklis vastan küsimusele, kuidas arvutada sündmuse tõenäosust. Toon sellise arvutuse valemid ja mitu näidet, et oleks selgem, kuidas seda tehakse.
Mis on tõenäosus
Alustame sellest, et tõenäosus, et see või teine sündmus aset leiab, on teatud kindlustunne mingi tulemuse võimaliku toimumise suhtes. Selle arvutuse jaoks on välja töötatud kogutõenäosuse valem, mis võimaldab nn tingimuslike tõenäosuste kaudu kindlaks teha, kas teid huvitav sündmus leiab aset või mitte. See valem näeb välja selline: P = n/m, tähed võivad muutuda, kuid see ei mõjuta olemust ennast.
Näited tõenäosusest
Kasutades lihtsat näidet, analüüsime seda valemit ja rakendame seda. Oletame, et teil on teatud sündmus (P), olgu selleks täringuvise ehk võrdkülgne täring. Ja me peame arvutama, kui suur on tõenäosus saada sellele 2 punkti. Selleks vajate positiivsete sündmuste arvu (n), meie puhul - sündmuste koguarvu (m) kaotust 2 punkti. 2 punktiga viskamine võib juhtuda ainult ühel juhul, kui täringul on 2 punkti, kuna vastasel juhul on summa suurem, järeldub, et n = 1. Järgmisena loendame mistahes muude numbrite viskamiste arvu. täringud 1 täringu kohta - need on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6, seega on 6 soodsat juhtumit, st m = 6. Nüüd teeme valemi abil lihtsa arvutuse P = 1/ 6 ja leiame, et 2 punkti viskamine täringul on 1/6, see tähendab, et sündmuse tõenäosus on väga väike.
Vaatame ka näidet värviliste pallide kasutamisest, mis on kastis: 50 valget, 40 musta ja 30 rohelist. Peate kindlaks määrama, milline on rohelise palli joonistamise tõenäosus. Ja kuna seda värvi palli on 30, see tähendab, et positiivseid sündmusi saab olla ainult 30 (n = 30), on kõigi sündmuste arv 120, m = 120 (kõigi pallide koguarvu alusel), valemi abil arvutame välja, et rohelise palli tõmbamise tõenäosus on võrdne P = 30/120 = 0,25, see tähendab 25% 100-st. Samamoodi saate arvutada palli joonistamise tõenäosuse. erinevat värvi (must on 33%, valge 42%).
Tegelikult on valemid (1) ja (2) tingimusliku tõenäosuse lühike kirje, mis põhineb tunnuste juhuslikkuse tabelil. Pöördume tagasi käsitletud näite juurde (joonis 1). Oletame, et saame teada, et perel on plaanis osta laiekraanteleviisor. Kui suur on tõenäosus, et see pere sellise teleri ka reaalselt ostab?
Riis. 1. Laiekraantelevisiooni ostukäitumine
Sel juhul peame arvutama tingimusliku tõenäosuse P (ost sooritatud | ost planeeritud). Kuna teame, et perel on plaanis osta, siis ei koosne näidispind kõigist 1000 perest, vaid ainult laiekraanteleri soetamist plaanivatest. 250 sellisest perest 200 tegelikult selle teleri ostsid. Seetõttu saab järgmise valemi abil arvutada tõenäosuse, et pere soetab tegelikult laiekraanteleri, kui ta on seda plaaninud:
P (ost tehtud | ost planeeritud) = perede arv, kes planeerisid ja ostsid laiekraanteleri / perede arv, kes plaanivad osta laiekraantelerit = 200 / 250 = 0,8
Valem (2) annab sama tulemuse:
kus üritus on A on see, et perel on plaanis soetada laiekraanteleviisor ja üritus IN- et ta tõesti ostab selle. Asendades valemis tegelikud andmed, saame:
Otsuste puu
Joonisel fig. 1 pered jagunevad nelja kategooriasse: need, kes plaanisid osta laiekraanteleri ja need, kes seda ei teinud, samuti need, kes ostsid sellise teleri ja need, kes ei ostnud. Sarnase klassifikatsiooni saab läbi viia otsustuspuu abil (joonis 2). Joonisel fig näidatud puu. 2-l on kaks filiaali, mis vastavad peredele, kes plaanisid osta laiekraanteleri, ja peredele, kes seda ei teinud. Kõik need harud jagunevad kaheks täiendavaks haruks, mis vastavad leibkondadele, kes ostsid ja ei ostnud laiekraantelerit. Kahe põhiharu lõppu kirjutatud tõenäosused on sündmuste tingimusteta tõenäosused A Ja A'. Nelja lisaharu lõppu kirjutatud tõenäosused on iga sündmuste kombinatsiooni tingimuslikud tõenäosused A Ja IN. Tingimuslikud tõenäosused arvutatakse sündmuste ühistõenäosuse jagamisel igaühe vastava tingimusteta tõenäosusega.
Riis. 2. Otsuste puu
Näiteks selleks, et arvutada tõenäosus, et perekond ostab laiekraanteleviisori, kui ta on seda plaaninud, tuleb määrata sündmuse tõenäosus. ost planeeritud ja lõpule viidud ja jagage see sündmuse tõenäosusega ost planeeritud. Liikudes piki joonisel fig. 2, saame järgmise (sarnaselt eelmisele) vastuse:
Statistiline sõltumatus
Laiekraanteleri ostmise näites on tõenäosus, et juhuslikult valitud pere ostis laiekraanteleri, arvestades seda, et nad plaanisid seda teha, 200/250 = 0,8. Tuletame meelde, et tingimusteta tõenäosus, et juhuslikult valitud perekond ostis laiekraanteleri, on 300/1000 = 0,3. See viib väga olulise järelduseni. Varasem teave, et pere plaanis ostu, mõjutab ostu enda tõenäosust. Teisisõnu, need kaks sündmust sõltuvad üksteisest. Vastupidiselt sellele näitele on statistiliselt sõltumatud sündmused, mille tõenäosused ei sõltu üksteisest. Statistilist sõltumatust väljendab identiteet: P(A|B) = P(A), Kus P(A|B)- sündmuse tõenäosus A eeldusel, et sündmus toimus IN, P(A)- sündmuse A tingimusteta tõenäosus.
Pange tähele, et sündmused A Ja IN P(A|B) = P(A). Kui tunnuste situatsioonitabelis, mille suurus on 2 × 2, on see tingimus täidetud vähemalt ühe sündmuste kombinatsiooni puhul A Ja IN, kehtib see mis tahes muu kombinatsiooni puhul. Meie näites sündmustest ost planeeritud Ja ost lõpetatud ei ole statistiliselt sõltumatud, sest teave ühe sündmuse kohta mõjutab teise sündmuse tõenäosust.
Vaatame näidet, mis näitab, kuidas testida kahe sündmuse statistilist sõltumatust. Küsigem 300 perelt, kes ostsid laiekraanteleri, kas nad jäid ostuga rahule (joonis 3). Tehke kindlaks, kas ostuga rahulolu ja teleri tüüp on omavahel seotud.
Riis. 3. Laiekraantelerite ostjate rahulolu astet iseloomustavad andmed
Nende andmete põhjal otsustades,
Samal ajal
P (klient rahul) = 240 / 300 = 0,80
Seetõttu on tõenäosus, et klient on ostuga rahul ja perekond ostis HDTV, võrdne ning need sündmused on statistiliselt sõltumatud, kuna pole omavahel seotud.
Tõenäosuse korrutamise reegel
Tingimusliku tõenäosuse arvutamise valem võimaldab teil määrata ühise sündmuse tõenäosuse A ja B. Olles lahendanud valemi (1)
liigese tõenäosuse suhtes P(A ja B), saame tõenäosuste korrutamise üldreegli. Sündmuse tõenäosus A ja B võrdne sündmuse tõenäosusega A tingimusel, et sündmus aset leiab IN IN:
(3) P(A ja B) = P(A|B) * P(B)
Võtame näiteks 80 perekonda, kes ostsid HDTV laiekraanteleviisori (joonis 3). Tabelist selgub, et 64 peret on ostuga rahul ja 16 mitte. Oletame, et nende hulgast valitakse juhuslikult kaks perekonda. Määrake tõenäosus, et mõlemad kliendid on rahul. Kasutades valemit (3), saame:
P(A ja B) = P(A|B) * P(B)
kus üritus on A on see, et teine pere on oma ostuga ja üritusega rahul IN- et esimene pere on oma ostuga rahul. Tõenäosus, et esimene pere on oma ostuga rahul, on 64/80. Tõenäosus, et ka teine pere on oma ostuga rahul, sõltub aga esimese pere vastusest. Kui esimene pere pärast küsitlust valimisse tagasi ei naase (valik tagastamata), väheneb vastajate arv 79-le. Kui esimene pere on oma ostuga rahul, on tõenäosus, et ka teine pere jääb rahule, 63 /79, kuna valimisperedest on jäänud ostuga rahule vaid 63 inimest. Seega, asendades konkreetsed andmed valemiga (3), saame järgmise vastuse:
P(A ja B) = (63/79) (64/80) = 0,638.
Seetõttu on tõenäosus, et mõlemad pered on oma ostudega rahul, 63,8%.
Oletame, et pärast küsitlust naaseb esimene perekond valimisse. Määrake tõenäosus, et mõlemad pered jäävad ostuga rahule. Sel juhul on tõenäosus, et mõlemad pered on oma ostuga rahul, võrdne 64/80. Seetõttu P(A ja B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Seega on tõenäosus, et mõlemad pered on oma ostudega rahul, 64,0%. See näide näitab, et teise pere valik ei sõltu esimese valikust. Seega asendades tingimusliku tõenäosuse valemis (3) P(A|B) tõenäosus P(A), saame valemi sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamiseks.
Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel. Kui sündmused A Ja IN on statistiliselt sõltumatud, sündmuse tõenäosus A ja B võrdne sündmuse tõenäosusega A, korrutatuna sündmuse tõenäosusega IN.
(4) P(A ja B) = P(A)P(B)
Kui see reegel kehtib sündmuste kohta A Ja IN, mis tähendab, et need on statistiliselt sõltumatud. Seega on kahe sündmuse statistilise sõltumatuse määramiseks kaks võimalust:
- Sündmused A Ja IN on üksteisest statistiliselt sõltumatud siis ja ainult siis P(A|B) = P(A).
- Sündmused A Ja B on üksteisest statistiliselt sõltumatud siis ja ainult siis P(A ja B) = P(A)P(B).
Kui 2x2 situatsioonitabelis on üks nendest tingimustest täidetud vähemalt ühe sündmuste kombinatsiooni puhul A Ja B, kehtib see mis tahes muu kombinatsiooni puhul.
Elementaarsündmuse tingimusteta tõenäosus
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
kus sündmused B 1, B 2, ... B k on üksteist välistavad ja ammendavad.
Illustreerime selle valemi rakendamist joonise 1 näite abil. Kasutades valemit (5), saame:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Kus P(A)- tõenäosus, et ost oli planeeritud, P(B 1)- ostu sooritamise tõenäosus, P(B 2)- tõenäosus, et ost jääb lõpetamata.
BAYESI TEOREEM
Sündmuse tingimuslik tõenäosus võtab arvesse teavet, et on toimunud mõni muu sündmus. Seda lähenemisviisi saab kasutada nii tõenäosuse täpsustamiseks, võttes arvesse äsja saadud teavet, kui ka tõenäosuse arvutamiseks, et täheldatud mõju on konkreetse põhjuse tagajärg. Nende tõenäosuste täpsustamise protseduuri nimetatakse Bayesi teoreemiks. Esmakordselt töötas selle välja Thomas Bayes 18. sajandil.
Oletame, et eelpool mainitud ettevõte uurib uue telerimudeli turgu. Varem oli 40% ettevõtte loodud teleritest edukad, samas kui 60% mudelitest ei tunnustatud. Enne uue mudeli väljalaskmisest teatamist uurivad turundusspetsialistid hoolikalt turgu ja registreerivad nõudluse. Varem ennustati 80% edukatest mudelitest edukaks, samas kui 30% edukatest ennustustest osutus valeks. Turundusosakond andis uuele mudelile soodsa prognoosi. Kui suur on tõenäosus, et uue teleri mudeli järele tekib nõudlus?
Bayesi teoreemi saab tuletada tingimusliku tõenäosuse (1) ja (2) definitsioonidest. Tõenäosuse P(B|A) arvutamiseks kasutage valemit (2):
ja asendage P(A ja B) asemel valemi (3) väärtus:
P(A ja B) = P(A|B) * P(B)
Asendades P(A) valemi (5), saame Bayesi teoreemi:
kus sündmused B 1, B 2, ... B k on üksteist välistavad ja ammendavad.
Tutvustame järgmist tähistust: sündmus S - TV on nõutud, sündmus S' - Televiisor pole nõutud, sündmus F - soodne prognoos, sündmus F' - halb prognoos. Oletame, et P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Bayesi teoreemi rakendades saame:
Uue telerimudeli nõudluse tõenäosus on soodsa prognoosi korral 0,64. Seega on nõudluse puudumise tõenäosus soodsa prognoosi korral 1–0,64=0,36. Arvutusprotsess on näidatud joonisel fig. 4.
Riis. 4. a) Bayesi valemi abil tehtud arvutused, et hinnata televiisorite nõudluse tõenäosust; (b) Otsuste puu uue telerimudeli nõudluse uurimisel
Vaatame näidet Bayesi teoreemi kasutamisest meditsiinilises diagnostikas. Tõenäosus, et inimene põeb teatud haigust, on 0,03. Meditsiiniline test võib kontrollida, kas see on tõsi. Kui inimene on tõesti haige, on täpse diagnoosi (väide, et inimene on haige, kui ta on tõesti haige) tõenäosus 0,9. Kui inimene on terve, on valepositiivse diagnoosi (väide, et inimene on terve, kui ta on haige) tõenäosus 0,02. Oletame, et arstlik test annab positiivse tulemuse. Kui suur on tõenäosus, et inimene on tegelikult haige? Kui suur on täpse diagnoosi tõenäosus?
Tutvustame järgmist tähistust: sündmus D - inimene on haige, sündmus D' - inimene on terve, sündmus T - diagnoos on positiivne, sündmus T' - diagnoos negatiivne. Ülesande tingimustest järeldub, et P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Rakendades valemit (6), saame:
Tõenäosus, et positiivse diagnoosi korral on tõesti haige, on 0,582 (vt ka joonis 5). Pange tähele, et Bayesi valemi nimetaja on võrdne positiivse diagnoosi tõenäosusega, st. 0,0464.
Kui sündmused H 1, H 2, ..., H n moodustavad tervikliku rühma, siis saab suvalise sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutada kogutõenäosuse valemit:
P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)
Mille kohaselt saab sündmuse A toimumise tõenäosust esitada sündmuse A tingimuslike tõenäosuste korrutiste summana, sõltudes sündmuste H i toimumisest, nende sündmuste H i tingimusteta tõenäosustega. Neid sündmusi H i nimetatakse hüpoteesideks.
Kogu tõenäosuse valemist järgib Bayesi valem:
Hüpoteeside H i tõenäosusi P(H i) nimetatakse a priori tõenäosusteks - tõenäosusteks enne katsete läbiviimist.
Tõenäosusi P(A/H i) nimetatakse posterioorseteks tõenäosusteks – kogemuse tulemusena täpsustatud hüpoteeside H i tõenäosusteks.
Teenuse eesmärk. Veebikalkulaator on loodud kogu tõenäosuse arvutamiseks kogu Wordi vormingus kirjutatud lahendusprotsessiga (vt probleemide lahendamise näiteid).
Näide nr 1. Lambipirnid saab poodi kahest tehasest, kusjuures esimese tehase osakaal on 25%. Teadaolevalt on nende tehaste defektide osakaal vastavalt 5% ja 10% kõigist valmistatud toodetest. Müüja võtab juhuslikult ühe lambipirni. Kui suur on tõenäosus, et see on defektne?
Lahendus: Tähistagem A-ga sündmust - "pirn osutub defektseks". Selle lambipirni päritolu kohta on võimalikud järgmised hüpoteesid: H 1- "pirn tuli esimesest tehasest." H 2- "pirn tuli teisest taimest." Kuna esimese taime osakaal on 25%, on nende hüpoteeside tõenäosused vastavalt võrdsed 
; 
.
Tingimuslik tõenäosus, et vigase lambipirni tootis esimene tehas, on 
, teine taim - p(A/H 2)=
leiame kogu tõenäosuse valemi abil vajaliku tõenäosuse, et müüja võttis defektse lambipirni
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Vastus: p(A)= 0,0875.
Näide nr 2. Pood sai kaks võrdset kogust samanimelist toodet. Teatavasti on esimesest partiist 25% ja teisest 40% esmaklassilised kaubad. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud kaubaühik ei kuulu esimese klassi?
Lahendus:
Tähistagem A-ga sündmust - "toode on esmaklassiline". Selle toote päritolu kohta on võimalikud järgmised hüpoteesid: H 1- "toode esimesest partiist". H 2- "toode teisest partiist." Kuna esimese partii osakaal on 25%, on nende hüpoteeside tõenäosused vastavalt võrdsed ; 
.
Tingimuslik tõenäosus, et esimese partii toode on 
, teisest partiist - 
soovitud tõenäosus, et juhuslikult valitud kaubaühik on esmaklassiline
p(A) = P(H1) p(A/H1)+P(H2)(A/H2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
Siis on tõenäosus, et juhuslikult valitud kaubaühik ei kuulu esimesse klassi: 1-0,325 = 0,675
Vastus:
.
Näide nr 3. Teadaolevalt on 5% meestest ja 1% naistest värvipimedad. Juhuslikult valitud inimene osutus värvipimeks. Kui suur on tõenäosus, et tegemist on mehega (oletame, et mehi ja naisi on võrdne arv).
Lahendus.
Sündmus A – juhuslikult valitud isik ei osutu värvipimeks.
Leiame selle sündmuse toimumise tõenäosuse.
P(A) = P(A|H = mees) + P(A|H = naine) = 0,95 * 0,5 + 0,99 * 0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Siis on tõenäosus, et tegemist on mehega: p = P(A|H=mees) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Näide nr 4. Spordiolümpiaadist võtab osa 4 I kursuse, 6 II kursuse ja 5 III kursuse õpilast Olümpiaadi võitmise tõenäosus on vastavalt 0,9; 0,7 ja 0,8.
a) Leidke juhuslikult valitud osaleja võidu tõenäosus.
b) Selle ülesande tingimustes võitis olümpiaadi üks õpilane. Millisesse rühma ta kõige tõenäolisemalt kuulub?
Lahendus.
Sündmus A - juhuslikult valitud osaleja võit.
Siin P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Lahenduse saab selle kalkulaatori abil.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Valige p1, p2, p3 hulgast maksimaalne.
Näide nr 5. Ettevõttel on kolm sama tüüpi masinat. Üks neist annab 20% kogutoodangust, teine – 30%, kolmas – 50%. Sel juhul toodab esimene masin 5% defektidest, teine 4%, kolmas - 2%. Leidke tõenäosus, et esimene masin valmistab juhuslikult valitud defektse toote.