Arvutage joontega moodustatud kujundi pöörlemiskeha maht. Pöörleva keha maht

Integraalide kasutamine pöördekehade mahtude leidmiseks

Matemaatika praktiline kasulikkus tuleneb sellest, et ilma

Spetsiifilised matemaatilised teadmised raskendavad seadme tööpõhimõtete ja kaasaegse tehnoloogia kasutamise mõistmist. Iga inimene peab oma elus tegema üsna keerulisi arvutusi, kasutama üldkasutatavaid seadmeid, leidma teatmeteostest vajalikud valemid ja koostama lihtsaid algoritme ülesannete lahendamiseks. Kaasaegses ühiskonnas seostatakse üha enam kõrget haridustaset nõudvaid erialasid matemaatika vahetu rakendamisega. Seega muutub matemaatika õpilase jaoks erialaselt oluliseks õppeaineks. Algoritmilise mõtlemise kujundamisel on juhtiv roll matemaatikal, mis arendab oskust tegutseda etteantud algoritmi järgi ja konstrueerida uusi algoritme.

Uurides teemat integraali kasutamine pöördekehade mahtude arvutamisel, soovitan valikainete klassi õpilastel kaaluda teemat: "Pöördekehade mahud integraalide abil." Allpool on toodud metoodilised soovitused selle teema käsitlemiseks:

1. Lameda kujundi pindala.

Algebrakursusest teame, et praktilist laadi ülesanded viisid kindla integraali mõisteni..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Pöörleva keha ruumala leidmiseks, mis moodustub kõverjoonelise trapetsi pöörlemisel ümber Ox-telje, mis on piiratud katkendjoonega y=f(x), Ox-telje, sirgjoontega x=a ja x=b, arvutame kasutades valemit

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Silindri maht.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Koonus saadakse täisnurkse kolmnurga ABC (C = 90) pööramisel ümber härja telje, millel jalg AC asub.

Lõik AB asub sirgel y=kx+c, kus https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Olgu a=0, b=H (H on koonuse kõrgus), siis Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Tüvekoonuse ruumala.

Tüvikoonuse saab saada ristkülikukujulise trapetsi ABCD (CDOx) pööramisel ümber Ox-telje.

Lõik AB asub sirgel y=kx+c, kus , c=r.

Kuna sirge läbib punkti A (0;r).

Seega näeb sirgjoon välja selline: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Olgu a=0, b=H (H on kärbikoonuse kõrgus), seejärel https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Palli helitugevus.

Palli saab, kui pöörata ringi keskpunktiga (0;0) ümber Ox-telje. Ox-telje kohal asuv poolring on antud võrrandiga

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala
kasutades kindlat integraali?

Üldiselt on integraalarvutuses palju huvitavaid rakendusi, kasutades kindlat integraali, saate arvutada figuuri pindala, pöörleva keha ruumala, kaare pikkuse, pindala; pöörlemine ja palju muud. Nii et see saab olema lõbus, palun jääge optimistlikuks!

Kujutage ette mingit lamedat kujundit koordinaattasandil. Tutvustatakse? ... Huvitav, kes mida esitles... =))) Oleme selle ala juba leidnud. Kuid lisaks saab seda joonist pöörata ja pöörata kahel viisil:

- ümber abstsisstelje;
- ümber ordinaattelje.

Selles artiklis käsitletakse mõlemat juhtumit. Eriti huvitav on teine pööramisviis, kuid tegelikult on lahendus peaaegu sama, mis tavalisemal ümber x-telje pööramisel. Boonusena pöördun tagasi figuuri pindala leidmise probleem, ja ma ütlen teile, kuidas leida ala teisel viisil - piki telge. See pole niivõrd boonus, kuivõrd materjal sobib hästi teemasse.

Alustame kõige populaarsema pöörlemisviisiga.

lame kuju ümber telje

Arvutage keha ruumala, mis saadakse joontega piiratud kujundi pööramisel ümber telje.

Lahendus: Nagu piirkonna leidmise probleemi puhul, lahendus algab lameda kujundi joonistamisega. See tähendab, et tasapinnal on vaja konstrueerida joonis, mis on piiratud joontega ja ärge unustage, et võrrand määrab telje. Kuidas joonistust tõhusamalt ja kiiremini täita, saab lugeda lehekülgedelt Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused Ja . See on Hiina meeldetuletus ja siinkohal ma pikemalt ei peatu.

Siinne joonis on üsna lihtne:

Soovitud tasane kujund on varjutatud ümber telje. Tegelikult on kehal matemaatiline nimi, kuid ma olen liiga laisk, et teatmeteoses midagi selgitada, nii et liigume edasi.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala?

Pöördekeha ruumala saab arvutada valemi abil:

Valemis peab arv olema integraali ees. Nii ka juhtus – kõik, mis elus keerleb, on selle konstandiga seotud.

Arvan, et valminud joonise põhjal on lihtne ära arvata, kuidas seada integreerimise piirid “a” ja “olla”.

Funktsioon... mis see funktsioon on? Vaatame joonist. Tasapinna kujund on piiratud ülaosas oleva parabooli graafikuga. See on funktsioon, mis on valemis ette nähtud.

Praktilistes ülesannetes võib lame kuju mõnikord asuda telje all. See ei muuda midagi – integrand valemis on ruudus: , seega integraal on alati mittenegatiivne, mis on väga loogiline.

Arvutame pöörleva keha ruumala järgmise valemi abil:

Nagu ma juba märkisin, osutub integraal peaaegu alati lihtsaks, peamine on olla ettevaatlik.

Vastus:

Oma vastuses peate märkima mõõtme – kuupühikud. See tähendab, et meie pöörlemiskehas on umbes 3,35 "kuubikut". Miks kuubik ühikut? Sest kõige universaalsem koostis. Võib olla kuupsentimeetrit, võib olla kuupmeetrit, võib olla kuupkilomeetrit jne, nii palju rohelisi mehikesi suudab teie fantaasia lendavasse taldrikusse panna.

Leia keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber joontega piiratud kujundi telje , ,

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Vaatleme kahte keerulisemat probleemi, millega ka praktikas sageli kokku puututakse.

Arvutage keha ruumala, mis saadakse, pöörates ümber joonise abstsisstelje, mis on piiratud joontega , ja

Lahendus: Kujutagem joonisel lamedat joonist, mis on piiratud joontega , , , , unustamata, et võrrand määrab telje:

Soovitud kujund on varjutatud sinisega. Kui see pöörleb ümber oma telje, osutub see nelja nurgaga sürrealistlikuks sõõrikuks.

Arvutame pöördekeha ruumala kui kehade mahtude erinevus.

Kõigepealt vaatame punasega ringis olevat joonist. Kui see pöörleb ümber telje, saadakse kärbitud koonus. Tähistame selle kärbikoonuse mahtu tähisega.

Mõelge figuurile, mis on roheliselt ümbritsetud. Kui pöörate seda kujundit ümber telje, saate ka kärbitud koonuse, ainult veidi väiksema. Tähistame selle helitugevust .

Ja ilmselgelt on mahtude erinevus täpselt meie “sõõriku” maht.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame standardvalemit:

1) Punasega ümbritsetud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

2) Rohelise ringiga joonistatud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

3) Soovitud pöördekoguse maht:

Vastus:

On uudishimulik, et sel juhul saab lahendust kontrollida kärbikoonuse ruumala arvutamise kooli valemi abil.

Otsus ise kirjutatakse sageli lühemalt, umbes nii:

Nüüd puhkame veidi ja räägime teile geomeetrilistest illusioonidest.

Tihti on inimestel köidetega seotud illusioone, mida märkas raamatus Perelman (teine). Meelelahutuslik geomeetria. Vaadake lahendatud ülesande lamedat joonist - selle pindala tundub olevat väike ja pöördekeha maht on veidi üle 50 kuupühiku, mis tundub liiga suur. Muide, keskmine inimene joob terve elu jooksul ära toa 18 ruutmeetri suuruse vedeliku, mis, vastupidi, tundub liiga väike kogus.

Pärast lüürilist kõrvalepõiget on lihtsalt sobiv lahendada loominguline ülesanne:

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber telje tasapinnalise kujundi, mis on piiratud joontega , , kus .

See on näide, mille saate ise lahendada. Pange tähele, et kõik juhtumid esinevad sagedusalas, ehk teisisõnu on tegelikult antud integratsioonile valmis piirid. Joonistage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud õigesti, tuletan teile meelde õppetunni materjali graafikute geomeetrilised teisendused: kui argument on jagatud kahega: , siis venitatakse graafikud piki telge kaks korda. Soovitav on leida vähemalt 3-4 punkti trigonomeetriliste tabelite järgi joonise täpsemaks lõpuleviimiseks. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Muide, ülesannet saab lahendada ratsionaalselt ja mitte väga ratsionaalselt.

Pöörlemisel tekkiva keha ruumala arvutamine
lame kuju ümber telje

Teine lõik on veelgi huvitavam kui esimene. Ümber ordinaattelje pöörleva keha ruumala arvutamise ülesanne on samuti üsna tavaline külaline katsetöös. Teel seda kaalutakse figuuri pindala leidmise probleem teine meetod on integreerimine piki telge, see võimaldab teil mitte ainult oma oskusi parandada, vaid ka õpetab teid leidma kõige kasumlikuma lahendustee. Selles on ka praktiline elu mõte! Nagu mu matemaatika õpetamismeetodite õpetaja naeratades meenutas, tänasid paljud lõpetajad teda sõnadega: "Teie aine aitas meid palju, nüüd oleme tõhusad juhid ja juhime personali optimaalselt." Seda võimalust kasutades avaldan talle ka suurt tänu, seda enam, et kasutan omandatud teadmisi sihtotstarbeliselt =).

Soovitan kõigile, isegi täielikele mannekeenidele. Veelgi enam, teises lõigus õpitud materjal pakub hindamatut abi topeltintegraalide arvutamisel.

Arvestades tasapinnalist joonist, mis on piiratud joontega , , .

1) Leidke nende joontega piiratud lameda kujundi pindala.
2) Leidke keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

Tähelepanu! Isegi kui soovite lugeda ainult teist punkti, lugege kindlasti esimene!

Lahendus: Ülesanne koosneb kahest osast. Alustame ruudust.

1) Teeme joonise:

On lihtne näha, et funktsioon määrab parabooli ülemise haru ja funktsioon määrab parabooli alumise haru. Meie ees on triviaalne parabool, mis "lebab küljel".

Soovitud kujund, mille pindala tuleb leida, on varjutatud sinisega.

Kuidas leida figuuri pindala? Seda võib leida “tavalisel” viisil, millest tunnis räägiti Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala. Lisaks leitakse joonise pindala pindalade summana:
- segmendil ;
- segmendil.

Sellepärast:

Miks on tavalahendus sel juhul halb? Esiteks saime kaks integraali. Teiseks on integraalide all juured ja integraalides olevad juured ei ole kingitus ja pealegi võib integratsiooni piiride asendamisel segadusse sattuda. Tegelikult pole integraalid muidugi tapjad, kuid praktikas võib kõik palju kurvem olla, valisin probleemi jaoks lihtsalt “paremad” funktsioonid.

On olemas ratsionaalsem lahendus: see seisneb pöördfunktsioonidele üleminekus ja piki telge integreerimises.

Kuidas jõuda pöördfunktsioonide juurde? Jämedalt öeldes peate väljendama "x" kuni "y". Kõigepealt vaatame parabooli:

Sellest piisab, kuid veendume, et sama funktsiooni saab tuletada alumisest harust:

Sirge joonega on lihtsam:

Nüüd vaadake telge: palun kallutage oma pead perioodiliselt 90 kraadi paremale, kui selgitate (see pole nali!). Vajalik joonis asub segmendil, mida tähistab punane punktiirjoon. Sel juhul asub lõigul sirgjoon parabooli kohal, mis tähendab, et joonise pindala tuleks leida teile juba tuttava valemi abil: . Mis on valemis muutunud? Ainult kiri ja ei midagi enamat.

! Märge: Integreerimise piirid piki telge tuleks määrata rangelt alt üles!

Piirkonna leidmine:

Seetõttu segmendis:

Pange tähele, kuidas ma integreerimise läbi viisin, see on kõige ratsionaalsem viis ja ülesande järgmises lõigus selgub, miks.

Lugejatele, kes kahtlevad integreerimise õigsuses, leian tuletised:

Saadakse algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integreerimine viidi läbi õigesti.

Vastus:

2) Arvutame selle kujundi ümber telje pöörlemisel tekkiva keha ruumala.

Joonistan joonise veidi teistsuguse kujundusega:

Niisiis, sinisega varjutatud kujund pöörleb ümber telje. Tulemuseks on "hõljuv liblikas", mis pöörleb ümber oma telje.

Pöörleva keha ruumala leidmiseks integreerime piki telge. Kõigepealt peame minema pöördfunktsioonide juurde. Seda on juba tehtud ja üksikasjalikult kirjeldatud eelmises lõigus.

Nüüd kallutame pea uuesti paremale ja uurime oma figuuri. Ilmselt tuleks ruumalade erinevusena leida pöörleva keha ruumala.

Pöörame punase ringiga figuuri ümber telje, mille tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistame seda mahtu .

Pöörame roheliselt ringitatud figuuri ümber telje ja tähistame seda saadud pöörlemiskeha mahuga.

Meie liblika maht võrdub mahtude erinevusega.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame valemit:

Mis vahe on eelmises lõigus toodud valemist? Ainult kirjas.

Kuid integratsiooni eelist, millest ma hiljuti rääkisin, on palju lihtsam leida , selle asemel, et tõsta integrand esmalt 4. astmele.

Vastus:

Pange tähele, et kui sama lamedat kujundit pöörata ümber telje, saate loomulikult täiesti erineva pöörlemiskeha, erineva helitugevusega.

Antud lame kujund, mis on piiratud joonte ja teljega.

1) Minge pöördfunktsioonide juurde ja leidke nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala, integreerides muutujaga.
2) Arvutage keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

See on näide, mille saate ise lahendada. Huvilised saavad figuuri pindala leida ka “tavapärasel” viisil, kontrollides sellega punkti 1). Aga kui, kordan, pöörate lamedat kujundit ümber telje, saate täiesti erineva pöördekeha erineva helitugevusega, muide, õige vastuse (ka neile, kellele meeldib probleeme lahendada).

Ülesande kahe pakutud punkti täielik lahendus on õppetunni lõpus.

Jah, ja ärge unustage oma pead paremale kallutada, et mõista pöörlemiskehi ja integratsiooni piire!

Hakkasin artiklit lõpetama, kuid täna tõid nad huvitava näite just ordinaattelje ümber pöörleva keha ruumala leidmiseks. Värske:

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber telje kõveratega piiratud kujundi ja .

Lahendus: Teeme joonise:

Teel tutvume veel mõnede funktsioonide graafikutega. Siin on huvitav paarisfunktsiooni graafik...

Olgu T pöördekeha, mis on moodustatud pöördel ümber abstsisstelje kõverjoonelise trapetsi, mis asub ülemisel pooltasandil ja on piiratud abstsisstelje, sirgjoonte x=a ja x=b ning pideva funktsiooni y= graafikuga f(x) .

Tõestame, et see on nii pöörde keha on kuubik ja selle maht väljendatakse valemiga

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Esiteks tõestame, et see pöördekeha on korrapärane, kui valime pöördeteljega risti oleva Oyzi tasapinna väärtuseks \Pi. Pange tähele, et tasapinnast Oyz kaugusel x asuv lõik on ring raadiusega f(x) ja selle pindala S(x) võrdub \pi f^2(x) (joonis 46). Seetõttu on funktsioon S(x) pidev tänu f(x) pidevusele. Järgmiseks, kui S(x_1)\leqslant S(x_2), siis see tähendab, et . Kuid lõikude projektsioonid Oyzi tasapinnale on ringid raadiusega f(x_1) ja f(x_2), mille keskpunkt on O ja alates f(x_1)\leqslant f(x_2) sellest järeldub, et ring raadiusega f(x_1) sisaldub ringis raadiusega f(x_2) .

Niisiis, revolutsiooni keha on korrapärane. Seetõttu on see kuubikuks ja selle maht arvutatakse valemiga

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kui kõverjoonelist trapetsi piirasid nii alt kui ka ülalt kõverad y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), siis

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Valemit (3) saab kasutada ka pöördekeha ruumala arvutamiseks juhul, kui pöörleva kujundi piir on määratud parameetriliste võrranditega. Sel juhul tuleb kindla integraalimärgi all kasutada muutuja muutust.

Mõnel juhul osutub mugavaks jaotada pöörlevad kehad mitte sirgeteks ümmargusteks silindriteks, vaid erinevat tüüpi kujunditeks.

Näiteks leiame keha ruumala, mis saadakse kõvera trapetsi pööramisel ümber ordinaattelje. Esiteks leiame ruumala, mis saadakse ristküliku pööramisel kõrgusega y#, mille põhjas asub segment . See maht on võrdne kahe sirge ümmarguse silindri ruumalade erinevusega

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Kuid nüüd on selge, et vajalikku mahtu hinnatakse ülalt ja alt järgmiselt:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Siit tuleneb see lihtsalt ümber ordinaattelje pöörleva keha ruumala valem:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Näide 4. Leiame kuuli ruumala raadiusega R.

Lahendus.Üldisust kaotamata vaatleme raadiusega R ringi, mille keskpunkt on lähtepunktis. See ring, mis pöörleb ümber härja telje, moodustab palli. Ringjoone võrrand on x^2+y^2=R^2, seega y^2=R^2-x^2. Võttes arvesse ringi sümmeetriat ordinaattelje suhtes, leiame kõigepealt poole vajalikust mahust

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Seetõttu on kogu palli maht võrdne \frac(4)(3)\pi R^3.

Näide 5. Arvutage koonuse ruumala, mille kõrgus h ja aluse raadius r.

Lahendus. Valime koordinaatide süsteemi nii, et Ox-telg langeb kokku kõrgusega h (joonis 47), ja võtame koordinaatide alguspunktiks koonuse tipu. Seejärel kirjutatakse sirge OA võrrand kujul y=\frac(r)(h)\,x.

Kasutades valemit (3), saame:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Näide 6. Leiame astroidi x-telje ümber pööramisel saadud keha ruumala \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(joonis 48).

Lahendus. Ehitame astroidi. Vaatleme poolt astroidi ülemisest osast, mis asub ordinaattelje suhtes sümmeetriliselt. Kasutades valemit (3) ja muutes muutujat kindla integraalimärgi all, leiame uue muutuja t integreerimise piirid.

Kui x=a\cos^3t=0 , siis t=\frac(\pi)(2) , ja kui x=a\cos^3t=a , siis t=0 . Arvestades, et y^2=a^2\sin^6t ja dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, saame:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Astroidi pöörlemisel moodustunud kogu keha maht on \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Näide 7. Leiame keha ruumala, mis saadakse x-telje ja tsükloidi esimese kaarega piiratud kõverjoonelise trapetsi ordinaattelje pöörlemisel \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(juhtumid).

Lahendus. Kasutame valemit (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, ja asendada integraalimärgi all olev muutuja, võttes arvesse, et tsükloidi esimene kaar tekib muutuja t muutumisel 0-st 2\pi-ni. Seega

\begin(joondatud)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end (joondatud)

Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peate lubama ActiveX-juhtelemendid!

Teema: "Pöördkehade ruumalade arvutamine kindla integraali abil"

Tunni tüüp: kombineeritud.

Tunni eesmärk:õppida arvutama pöördekehade ruumalasid integraalide abil.

Ülesanded:

kinnistada oskust tuvastada kõverjoonelisi trapetse mitmete geomeetriliste kujundite põhjal ja arendada kõverjooneliste trapetside pindalade arvutamise oskust;

tutvuda ruumilise kujundi mõistega;

õppida arvutama pöörlevate kehade ruumalasid;

edendada loogilise mõtlemise, pädeva matemaatilise kõne arengut, täpsust jooniste koostamisel;

kasvatada huvi aine vastu, opereerida matemaatiliste mõistete ja kujunditega, kasvatada tahet, iseseisvust ja visadust lõpptulemuse saavutamisel.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

Tervitused rühmast. Teatage õpilastele tunni eesmärgid.

Tahaksin tänast õppetundi alustada tähendamissõnaga. "Elas kord üks tark mees, kes teadis kõike. Üks mees tahtis tõestada, et tark ei tea kõike. Liblikat peopesades hoides küsis ta: "Ütle mulle, salvei, milline liblikas on minu käes: surnud või elus?" Ja ta mõtleb: "Kui elav ütleb, siis ma tapan ta, kui surnu ütleb, siis lasen ta lahti." Tark vastas pärast mõtlemist: "Kõik on teie kätes."

Seetõttu töötame täna viljakalt, omandame uue teadmistepagasi ning rakendame omandatud oskusi ja oskusi edaspidises elus ja praktilises tegevuses.

II. Varem õpitud materjali kordamine.

Meenutagem eelnevalt uuritud materjali põhipunkte. Selleks täitkem ülesanne "Eelimina lisasõna".

(Õpilased ütlevad lisasõna.)

Õige "Diferentsiaal". Proovige nimetada ülejäänud sõnad ühe tavalise sõnaga. (Integraalarvutus.)

Meenutagem integraalarvutusega seotud põhietappe ja mõisteid.

Harjutus. Taasta lüngad. (Õpilane tuleb välja ja kirjutab markeriga vajalikud sõnad sisse.)

Töö vihikutes.

Newtoni-Leibnizi valemi tuletasid inglise füüsik Isaac Newton (1643-1727) ja saksa filosoof Gottfried Leibniz (1646-1716). Ja see pole üllatav, sest matemaatika on keel, mida räägib loodus ise.

Mõelgem, kuidas seda valemit kasutatakse praktiliste probleemide lahendamiseks.

Näide 1: Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Lahendus: Koostame koordinaattasandil funktsioonide graafikud . Valime figuuri ala, mis tuleb leida.

III. Uue materjali õppimine.

Pöörake tähelepanu ekraanile. Mis on esimesel pildil näidatud? (Joonisel on lame kujund.)

Mis on teisel pildil näidatud? Kas see kuju on tasane? (Joonis näitab kolmemõõtmelist joonist.)

Kosmoses, maal ja igapäevaelus kohtame mitte ainult lamedaid, vaid ka kolmemõõtmelisi kujundeid, kuid kuidas arvutada selliste kehade ruumala? Näiteks: planeedi, komeedi, meteoriidi vms maht.

Inimesed mõtlevad mahule nii maju ehitades kui ka ühest anumast teise vett valades. See, kui täpsed ja põhjendatud need olid, on juba teine teema.

1612. aasta oli Austria linna Linzi, kus elas kuulus astronoom Johannes Kepler, elanikele väga viljakas, eriti viinamarjade osas. Inimesed valmistasid veinivaate ja tahtsid teada, kuidas nende mahtu praktiliselt määrata.

Seega tähistasid Kepleri vaadeldavad tööd terve uurimistöö voo algust, mis kulmineerus 17. sajandi viimasel veerandil. disain I. Newtoni ja G.V. Diferentsiaal- ja integraalarvutuse Leibniz. Sellest ajast peale oli muutujate matemaatika matemaatikateadmiste süsteemis juhtival kohal.

Täna tegeleme teiega selliste praktiliste tegevustega, seetõttu

Meie tunni teema: "Pöörlevate kehade mahtude arvutamine kindla integraali abil."

Pöörleva keha määratluse saate teada, täites järgmise ülesande.

"Labürint".

Harjutus. Leidke segasest olukorrast väljapääs ja kirjutage definitsioon üles.

IVMahtude arvutamine.

Kindla integraali abil saate arvutada konkreetse keha, eriti pöörleva keha ruumala.

Pöördekeha on keha, mis saadakse kõvera trapetsi pööramisel ümber selle aluse (joon. 1, 2).

Pöördekeha ruumala arvutatakse ühe valemi abil:

1. ümber OX-telje.

2. , kui kõvera trapetsi pöörlemine ümber operatsioonivõimendi telje.

Õpilased kirjutavad vihikusse üles põhivalemid.

Õpetaja selgitab tahvlil olevate näidete lahendusi.

1. Leidke joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi ordinaattelje pöörlemisel saadud keha ruumala: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Lahendus.

Vastus: 1163 cm3.

2. Leidke paraboolse trapetsi ümber x-telje pööramisel saadud keha ruumala y = , x = 4, y = 0.

Lahendus.

V. Matemaatika simulaator.

2. Nimetatakse antud funktsiooni kõigi antiderivaatide hulk

A) määramata integraal,

B) funktsioon,

B) eristamine.

7. Leidke joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi abstsisstelje ümber pööramisel saadud keha ruumala:

D/Z. Uue materjali konsolideerimine

Arvutage kroonlehe ümber x-telje pöörlemisel tekkiva keha maht y = x2, y2 = x.

Koostame funktsiooni graafikud. y = x2, y2 = x. Teisendame graafiku y2 = x kujule y = .

Meil on V = V1 - V2 Arvutame iga funktsiooni mahu:

Järeldus:

Kindel integraal on matemaatika õppimise kindel alus, mis annab asendamatu panuse praktiliste probleemide lahendamisel.

Teema “Integraal” demonstreerib ilmekalt matemaatika ja füüsika, bioloogia, majanduse ja tehnoloogia seost.

Kaasaegse teaduse areng on mõeldamatu ilma integraali kasutamiseta. Sellega seoses on vaja alustada selle õppimist keskerihariduse raames!

VI. Hindamine.(Komentaariga.)

Suur Omar Khayyam - matemaatik, luuletaja, filosoof. Ta julgustab meid olema oma saatuse peremehed. Kuulame katkendit tema loomingust:

Ütlete, see elu on üks hetk.
Hinda seda, ammuta sellest inspiratsiooni.
Nii nagu kulutad, nii see möödub.
Ärge unustage: ta on teie looming.

3. definitsioon. Pöördekeha on keha, mis saadakse lameda kujundi pööramisel ümber telje, mis ei ristu figuuriga ja asub sellega samal tasapinnal.

Pöörlemistelg võib ristuda joonisega, kui see on joonise sümmeetriatelg.

2. teoreem.
, telg
ja sirged segmendid
Ja

pöörleb ümber telje
. Seejärel saab valemi abil arvutada saadud pöörlemiskeha ruumala

(2)

Tõestus. Sellise keha jaoks ristlõige abstsissiga on raadiusega ring
, Tähendab
ja valem (1) annab vajaliku tulemuse.

Kui joonis on piiratud kahe pideva funktsiooni graafikuga
Ja
ja joonelõigud
Ja
, ja
Ja
, siis ümber x-telje pööramisel saame keha, mille ruumala

Näide 3. Arvutage toru ruumala, mis saadakse ringiga piiratud ringi pööramisel

ümber abstsisstelje.

R otsus. Näidatud ring on allpool piiratud funktsiooni graafikuga
ja ülevalt –
. Nende funktsioonide ruutude erinevus:

Nõutav maht

(integrandi graafik on ülemine poolring, nii et ülaltoodud integraal on poolringi pindala).

Näide 4. Paraboolne segment alusega
, ja kõrgus , pöörleb ümber aluse. Arvutage saadud keha (Cavalieri "sidrun") maht.

R otsus. Asetame parabooli, nagu joonisel näidatud. Siis selle võrrand
, ja
. Leiame parameetri väärtuse :
. Niisiis, vajalik maht:

3. teoreem. Olgu pideva mittenegatiivse funktsiooni graafikuga piiratud kõverjooneline trapets
, telg
ja sirged segmendid
Ja
, ja
, pöörleb ümber telje
. Seejärel saab valemi abil leida saadud pöörlemiskeha ruumala

(3)

Tõestuse idee. Me jagame segmendi
punktid

, osadeks ja tõmmake sirgjooned
. Kogu trapets laguneb ribadeks, mida võib pidada ligikaudu alusega ristkülikuteks
ja kõrgus
.

Lõikasime saadud silindri, pöörates sellist ristkülikut piki selle generaatorit, ja voltime selle lahti. Saame "peaaegu" rööptahuka mõõtmetega:
,
Ja
. Selle maht
. Seega on pöörde keha ruumala jaoks ligikaudne võrdsus

Täpse võrdsuse saamiseks tuleb minna piirini at
. Ülaltoodud summa on funktsiooni integraalsumma
, seega saame limiidis integraali valemist (3). Teoreem on tõestatud.

Märkus 1. Teoreemides 2 ja 3 on tingimus
võib ära jätta: valem (2) on üldiselt märgi suhtes tundetu
ja valemis (3) sellest piisab
asendatud
.

Näide 5. Paraboolne segment (alus
, kõrgus ) pöörleb ümber kõrguse. Leidke saadud keha maht.

Lahendus. Asetame parabooli, nagu joonisel näidatud. Ja kuigi pöörlemistelg lõikub figuuriga, on see - telg - sümmeetriatelg. Seetõttu peame arvestama ainult segmendi parema poolega. Parabooli võrrand
, ja
, Tähendab
. Mahu jaoks on meil:

Märkus 2. Kui kõverjoonelise trapetsi kõverjooneline piir on antud parameetriliste võrranditega
,
,
Ja
,
siis saate asendamisega kasutada valemeid (2) ja (3). peal
Ja
peal
kui see muutub t alates
enne .

Näide 6. Joonist piirab tsükloidi esimene kaar
,
,
ja x-telg. Leidke keha ruumala, mis on saadud selle kujundi pööramisel ümber: 1) telje
; 2) kirved
.

Lahendus. 1) Üldvalem
Meie puhul:

2) Üldvalem
Meie figuuri jaoks:

Kutsume õpilasi üles kõik arvutused ise läbi viima.

Märkus 3. Olgu pideva joonega piiratud kumer sektor
ja kiired
,

, pöörleb ümber polaartelje. Saadud keha mahtu saab arvutada valemi abil.

Näide 7. Kardioidiga piiratud figuuri osa
, mis asub väljaspool ringi
, pöörleb ümber polaartelje. Leidke saadud keha maht.

Lahendus. Mõlemad jooned ja seega ka joonis, mida nad piiravad, on polaartelje suhtes sümmeetrilised. Seetõttu on vaja arvestada ainult selle osaga, mille jaoks
. Kõverad ristuvad punktis
Ja