Näide 1. 32 kaardipakist eemaldatakse järjestikku 2 kaarti ilma tagastamata. Leidke tõenäosus, et mõlemad on ässad.

Lahendus. Kuna esimest kaarti saab kaardipakist välja tõmmata 32 viisil ja teist - 31 (kuna pakki on jäänud 31 kaarti), siis on katse võimalike tulemuste arv . Määrame soodsate tulemuste arvu. Esimese ässa saab valida pakis oleva nelja hulgast, teise - ülejäänud kolme hulgast. See tähendab, et mitmeid soodsaid tulemusi ja soovitud tõenäosus on võrdne

Näide 2. Karbist, milles oli viis ekleeri ja seitse Napoleoni, võeti välja viis kooki. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on kaks "éclairi" ja kolm "napoleoni".

Lahendus. Katse võimalike tulemuste arv on kombinatsioonide arv 12 korda 5:

Soodsate tulemuste arv tuleneb mitmest viisist, kuidas saab viie saadaoleva hulgast valida kaks "éclairi" ja kolme "Napoleoni" komplekti seitsme hulgast:

Seetõttu on nõutav tõenäosus võrdne

Näide 3. Ringi visatakse juhuslikult punkt. Leidke tõenäosus, et see ei lange sellesse ringisse kirjutatud korrapärasesse kolmnurka.

Lahendus. Sel juhul on võimalike tulemuste kogumi mõõduks ringi pindala ja soodsate tulemuste kogumi mõõduks on erinevus ringi ja kolmnurga pindalade vahel: . Seetõttu on antud sündmuse tõenäosus võrdne

Näide 4. Kaks laskurit lasevad igaüks ühe lasu märklauda. Nende tabamuse tõenäosus on vastavalt 0,6 ja 0,9. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus:

Mõlemad tabasid sihtmärki;

Vähemalt üks tabas sihtmärki.

Lahendus. Nimetagem vastavalt esimese ja teise laskuri tabamust sihtmärgile sündmusteks ja pange tähele, et ja on ühised, kuid iseseisvad sündmused (teisisõnu, mõlemad laskurid saavad märklauda tabada ja kummagi tabamise tõenäosus ei sõltu teise tulemus). Sündmus on sündmuste produkt ja seega

Sündmus on summa ja selle tõenäosuse määramiseks kasutame liitmisteoreemi üldkuju:

Näide 5. Kolmes identses urnis on kuulid: esimeses on 5 valget ja 3 musta, teises 2 valget ja 6 musta, kolmandas 3 valget ja 1 musta. Juhuslikult valitud urnist tõmmatakse pall. Leidke tõenäosus, et ta on valge.

Sündmuse tingimusliku tõenäosuse ehk urnist valge palli tõmbamise määrab tõenäosuse klassikaline definitsioon (soodsate tulemuste arv on valgete pallide arv ja võimalike tagajärgede arv on pallide koguarv). pallid urnis). Sellepärast

Kasutades kogu tõenäosuse valemit, saame:

Näide 6.Õpilasrühmas on 20 õpilast. Neist 5 on tublid õpilased, kes teavad kõiki eksamiküsimusi, 8 õpilast teavad vastuseid 70% küsimustele ja 7 teavad vastuseid 50%le. Esimesena helistanud õpilane vastas eksamitöö esimesele küsimusele. Leidke tõenäosus, et ta on suurepärane õpilane.

TÕENÄOSUS- üldteaduslik ja filosoofiline. kategooria, mis tähistab massiliste juhuslike sündmuste esinemise võimalikkuse kvantitatiivset astet fikseeritud vaatlustingimustes ja iseloomustab nende suhteliste sageduste stabiilsust. Loogikas, semantiline aste ... ... Filosoofiline entsüklopeedia

MIS ON FILOSOOFIA?- "MIS ON FILOSOOFIA?" ("Qu est ce que la philosophie?", Les Editions de Minuit, 1991), Deleuze'i ja Guattari raamat. Sissejuhatuses näidatud autorite mõtete kohaselt on "mis on filosoofia" küsimus, mis "küsitakse, varjates ärevust, lähemale ... ...

MIS ON FILOSOOFIA?- (Qu est ce que la philosophie?, Les Editions de Minuit, 1991) Deleuze'i ja Guattari raamat. Sissejuhatuses välja toodud autorite mõtete kohaselt on filosoofia küsimus, mida esitatakse ärevust varjates keskööle lähemal, millal veel... ... Filosoofia ajalugu: entsüklopeedia

Tõenäosus- matemaatiline, numbriline karakteristik mis tahes konkreetse sündmuse toimumise võimaluse astme kohta teatud konkreetsetes tingimustes, mida saab korrata piiramatu arv kordi. Teaduslike teadmiste kategooriana on mõiste "V".... Suur Nõukogude entsüklopeedia

TÕENÄOSUS- kosmilise l ilmumise võimalikkuse astme matemaatiline arvkarakteristik. teatud sündmus teatud kindlatel tingimustel, mida saab korrata piiramatu arv kordi. Teaduslike teadmiste kategooriana peegeldab V. mõiste eritüüpi... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Õiged vaalad- ? Lõunavaalad ... Wikipedia

Koorikud (telesarjad)- See artikkel või jaotis vajab ülevaatamist. Palun täiustage artiklit vastavalt artiklite kirjutamise reeglitele... Vikipeedia

Tõenäosus näitab konkreetse sündmuse võimalikkust teatud arvu korduste korral. See on ühe või mitme tulemusega võimalike tulemuste arv jagatud võimalike sündmuste koguarvuga. Mitme sündmuse tõenäosus arvutatakse, jagades probleemi individuaalseteks tõenäosusteks ja korrutades need tõenäosused.

Sammud

Ühe juhusliku sündmuse tõenäosus

1. Valige üksteist välistavate tulemustega sündmus. Tõenäosust saab arvutada ainult siis, kui kõnealune sündmus kas toimub või ei toimu. On võimatu saada samaaegselt sündmust ja selle vastupidist tulemust. Sellised sündmused on näiteks 5 täringul veeretamine või kindla hobuse võitmine võistlusel. Viis kas tuleb või ei tule; teatud hobune kas tuleb enne või mitte.

   • Näiteks on võimatu arvutada sellise sündmuse tõenäosust: ühe täringuviskega ilmuvad 5 ja 6 korraga.

2. Tehke kindlaks kõik võimalikud sündmused ja tagajärjed, mis võivad tekkida. Oletame, et peate määrama tõenäosuse, et 6 numbriga täringu viskamisel saate kolme. "Kolme viskamine" on sündmus ja kuna me teame, et 6 numbrit saab veeretada, on võimalike tulemuste arv kuus. Seega teame, et antud juhul on 6 võimalikku tulemust ja üks sündmus, mille tõenäosust tahame määrata. Allpool on veel kaks näidet.

   • Näide 1. Sel juhul on sündmus "nädalavahetusele langeva päeva valimine" ja võimalike tulemuste arv võrdub nädalapäevade arvuga, see tähendab seitse.
   • Näide 2. Sündmus on "tõmmake punane pall" ja võimalike tulemuste arv on võrdne pallide koguarvuga, see tähendab kahekümnega.

3. Jagage sündmuste arv võimalike tulemuste arvuga. Nii saate määrata ühe sündmuse tõenäosuse. Kui arvestada täringu viskamise juhtumit 3-ga, on sündmuste arv 1 (3 on täringu ühel küljel) ja tulemuste koguarv on 6. Tulemuseks on suhe 1/6, 0,166 ehk 16,6%. Sündmuse tõenäosus kahe ülaltoodud näite puhul leitakse järgmiselt:

   • Näide 1. Kui suur on tõenäosus, et valite juhuslikult päeva, mis langeb nädalavahetusele? Sündmuste arv on 2, kuna ühes nädalas on kaks puhkepäeva ja tulemuste koguarv on 7. Seega on tõenäosus 2/7. Saadud tulemuse võib kirjutada ka 0,285 või 28,5%.
   • Näide 2. Karbis on 4 sinist, 5 punast ja 11 valget palli. Kui võtate karbist välja juhusliku palli, siis kui suur on tõenäosus, et see on punane? Sündmuste arv on 5, kuna kastis on 5 punast palli ja tulemuste koguarv on 20. Leiame tõenäosuse: 5/20 = 1/4. Saadud tulemuse võib kirjutada ka 0,25 või 25%.

4. Liitke kõigi võimalike sündmuste tõenäosused ja vaadake, kas summa on 1. Kõigi võimalike sündmuste kogutõenäosus peab olema 1 või 100%. Kui te ei saa 100%, tegite suure tõenäosusega vea ja jätsite ühe või mitme võimaliku sündmuse vahele. Kontrollige oma arvutusi ja veenduge, et olete kaalunud kõiki võimalikke tulemusi.

   • Näiteks tõenäosus saada täringut viskamisel 3 on 1/6. Sel juhul on 1/6-ga võrdne ka tõenäosus, et mõni muu arv jääb ülejäänud viie hulgast välja. Selle tulemusena saame 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, see tähendab 100%.
   • Kui unustate näiteks stantsil oleva numbri 4, saate tõenäosuste liitmisel vaid 5/6 ehk 83%, mis ei ole võrdne ühega ja näitab viga.

5. Väljendage võimatu tulemuse tõenäosust 0-ga. See tähendab, et antud sündmus ei saa toimuda ja selle tõenäosus on 0. Nii saad arvestada võimatute sündmustega.

   • Näiteks kui arvutaksite tõenäosuse, et lihavõtted langevad 2020. aasta esmaspäevale, saaksite 0, sest lihavõtteid tähistatakse alati pühapäeval.

   Mitme juhusliku sündmuse tõenäosus

   1. Sõltumatute sündmuste kaalumisel arvutage iga tõenäosus eraldi. Kui olete kindlaks teinud, millised on sündmuste tõenäosused, saab neid eraldi arvutada. Oletame, et tahame teada tõenäosust, et visatakse täringut kaks korda järjest ja saadakse 5. Teame, et tõenäosus saada üks 5 on 1/6 ja tõenäosus saada teine ​​5 on samuti 1/6. Esimene tulemus ei ole teisega seotud.

      • Kutsutakse mitu rulli viiekesi iseseisvad sündmused, kuna see, mis juhtub esimesel korral, ei mõjuta teist sündmust.

   2. Sõltuvate sündmuste tõenäosuse arvutamisel arvestage eelnevate tulemuste mõju. Kui esimene sündmus mõjutab teise tulemuse tõenäosust, räägime tõenäosuse arvutamisest sõltuvad sündmused. Näiteks kui valite 52-kaardilisest pakist kaks kaarti, muutub pärast esimese kaardi tõmbamist paki koosseis, mis mõjutab teise kaardi valikut. Kahest sõltuvast sündmusest teise tõenäosuse arvutamiseks peate teise sündmuse tõenäosuse arvutamisel võimalike tulemuste arvust lahutama 1.

      • Näide 1. Mõelge järgmisele sündmusele: Pakist tõmmatakse juhuslikult kaks kaarti üksteise järel. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad kaardid on klubidelt? Tõenäosus, et esimene kaart on klubi masti, on 13/52 ehk 1/4, kuna pakis on 13 sama masti kaarti.
        • Pärast seda on tõenäosus, et teine ​​kaart on klubi masti, 12/51, kuna ühte klubikaarti enam pole. Seda seetõttu, et esimene sündmus mõjutab teist. Kui tõmbate kolm klubi ja ei pane seda tagasi, on pakis üks kaart vähem (52 ​​asemel 51).
      • Näide 2. Karbis on 4 sinist, 5 punast ja 11 valget palli. Kui juhuslikult tõmmatakse kolm palli, siis kui suur on tõenäosus, et esimene on punane, teine ​​sinine ja kolmas valge?
        • Tõenäosus, et esimene pall on punane, on 5/20 ehk 1/4. Tõenäosus, et teine ​​pall on sinine, on 4/19, kuna kasti on jäänud üks pall vähem, kuid siiski 4 sinine pall. Lõpuks on tõenäosus, et kolmas pall on valge, 11/18, kuna oleme juba kaks palli viiki loosinud.

   3. Korrutage iga üksiku sündmuse tõenäosus. Olenemata sellest, kas tegemist on sõltumatute või sõltuvate sündmustega või tulemuste arvuga (võib olla 2, 3 või isegi 10), saate üldise tõenäosuse arvutada, korrutades kõigi kõnealuste sündmuste tõenäosused üksteisega. Selle tulemusena saate mitme sündmuse tõenäosuse, järgmise üksteise järel. Näiteks ülesanne on Leidke tõenäosus, et kui täringut kaks korda järjest viskate, saate 5. Tegemist on kahe sõltumatu sündmusega, millest igaühe tõenäosus on 1/6. Seega on mõlema sündmuse tõenäosus 1/6 x 1/6 = 1/36, see tähendab 0,027 ehk 2,7%.

      • Näide 1. Pakist tõmmatakse juhuslikult üksteise järel kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad kaardid on klubidelt? Esimese sündmuse tõenäosus on 13/52. Teise sündmuse tõenäosus on 12/51. Leiame kogutõenäosuse: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, see tähendab 0,058 ehk 5,8%.
      • Näide 2. Karbis on 4 sinist, 5 punast ja 11 valget palli. Kui kastist tõmmatakse üksteise järel juhuslikult kolm palli, siis kui suur on tõenäosus, et esimene on punane, teine ​​sinine ja kolmas valge? Esimese sündmuse tõenäosus on 5/20. Teise sündmuse tõenäosus on 4/19. Kolmanda sündmuse tõenäosus on 11/18. Seega on kogutõenäosus 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032 ehk 3,2%.

Vastus: 0,7157

2.

3.

4. arv ei jagu 5-ga

Lahendus: P(A) = m/n; m=1/

See võrdub 90-ga ja lahutage nendest arvudest need, mis jaguvad 5-ga (10,15,20,25...90,95). Nende arv on 18 => n=90-18=72

Vastus: 1/72

Lahendus: P(A) = m/n

a) P(A) = 6/36 = 1/6

Lahendus: C m n = n! /m!(n-m)!

m = C37 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

b) saate 7-st 7-st 3 punast seitsmel viisil ja 3-st musta viiest =>

35 viisiga.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Vastus:

Lahendus:

Vastus: 0,3.

Lahendus:

A – labürindist väljumine.

P(A/H3) =0,2 – 3. labürindist

P(A/H4) = 0,1 – 4 labürindist

Vastus: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Lahendus:

Lahendus:

P(A/H3) = 8/10 = 4/5;

P(A) = 1/3 (1/2 + 5/6 + 4/5) = 62/45

13.

Lahendus:

Las B-l pole tabamust

P(C) = 1 - 0,216 = 0,784

Vastus: 0,784

Lahendus:

H1 = 1/3; H2 = 1/3; H3 = 1/3

Vastus: 15/48 = 0,3125

16.

Lahendus:

17.

Lahendus:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Lahendus:

Vastus: P(A) = 0,925

Õpilane külastab raamatut otsides 3 raamatukogu. Tõenäosus, et need on raamatukogus, on 0,4; 0,5; 0,1; ja asjaolu, et need väljastati või mitte, on sama tõenäolised sündmused. Kui suur on tõenäosus, et vajalik raamat leitakse?

Lahendus: A-raamat on raamatukogus, B – raamatut ei väljastata.

P(B) = P(B-) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Määrame vajaliku raamatu leidmise tõenäosuse:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) ) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Vastus: 1/2

23. Leia tõenäosus, et 12 inimese sünnipäev langeb aasta erinevatele kuudele.

Lahendus: P(A) = m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5* 1) / 12 7 = 7 * 8 * 25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Vastus: 1925/1212 7

24. Urnis on 10 valget, 5 musta ja 15 punast palli. Järjest tõmmatakse 2 palli. Arvesse võetakse 2 sündmust: A - vähemalt üks kahest tõmmatud kuulist on punane, B - vähemalt üks tõmmatud pall on valge. Leidke sündmuse C = A + B tõenäosus.

25. Juhuslikult valitud number koosneb 5 numbrist. Määrake tõenäosus, et kõik selles olevad arvud on erinevad.

26. Trikotaažipood sai sokke, millest 60% tuli ühest tehasest, 25% teisest ja 15% kolmandast tehasest. Leia tõenäosus, et ostja ostetud sokid on valmistatud teises või kolmandas tehases.

Lahendus. A1-1 tehasest, P(A1) = 0,6;

A2 – tehasest 2; P(A2) = 0,25

A3 – 3 tehasest; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Vastus: 0,4

Reisija saab pileti saamiseks pöörduda mõnda piletikassasse. 1. kassasse mineku tõenäosus on 0,4; teises 0,35; ja 3. 0,25. Tõenäosus, et reisija saabumise ajaks on kassast saadaolevad piletid müüdud, on 1. kassas 0,3; teisele 0,4, kolmandale 0,6. Leidke tõenäosus, et reisija ostab pileti.

P(A) – pileti mitteostmise tõenäosus.

P(A) = 0,4 * 0,3 + 0,35 * 0,4 + 0,25 * 0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – pileti ostmise tõenäosus = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Vastus: P(A1) = 0,59.

28. Visatakse 4 täringut. Leia tõenäosus, et: a) vähemalt ühel neist on 2 punkti, b) neil on sama arv punkte.

Lahendus:

29. 9 erinevate ühekohaliste numbritega nummerdatud märgi hulgast valitakse välja 3. Leidke tõenäosus, et nende numbrite järjestikusel salvestamisel näidatakse numbrite väärtuste suurenemist.

Lahendus:

30. Loosipileti võidu tõenäosus on 0,1. Kui suur on tõenäosus, et kolmest ostetud piletist võidab vähemalt üks?

31. Täis kaardipakist (52 lehte) võetakse korraga välja 4 kaarti. Leidke tõenäosus, et kõik need kaardid on erineva mastiga.

Lahendus: Konkreetse ülikonna joonistamise tõenäosus on C 1 13

C 1 13 = 13 (võimalike viiside arv).

Võimalus tõmmata kaarte alates 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0,1054982

Vastus: P(A) = 0,1054982.

32. Seal on 3 urni. Esimesel neist on 5 valget ja 6 musta palli, teisel 4 valget ja 3 musta palli, kolmandal 5 valget ja 3 musta palli. Keegi valib juhuslikult ühe urni ja tõmbab sellest palli. See pall osutus valgeks. Leidke tõenäosus, et see pall tõmmatakse teisest urnist.

Lahendus:

Vastus: 0,9125

52. Kui suur on tõenäosus saada 1 äss, äss ja kuningas, kui jagate 52 kaardipakist 6 kaarti?

Autod toimetati teenindusjaama. Pealegi oli neist 5 šassii rike, 8 mootori talitlushäireid ja 10 olid täiesti töökorras. Kui suur on tõenäosus, et vigase šassiiga autol on ka vigane mootor?

Lahendus:

11111111 8 vigase mootoriga

5 sobimatute liigutustega osaga 11111 1111111111 10 töötavad

11111111111111111111 kokku 20

3 vigase mootori ja käiguosaga 111

P = m/n m-defektse šassii ja vigase mootoriga autode arv; m = 3

n – vigaste šassiiga sõidukite arv; n = 5

P = 3/5 – tõenäosus, et vigase šassiiga autol on vigane mootor.

Vastus: 3/5

Vastus: 21/625; 219/625; 247/625

67. Esimeses 8 traktorist koosnevas brigaadis vajab remonti 2, teises 6-1. Igast brigaadist valitakse juhuslikult üks traktor. Määrake tõenäosus, et a) mõlemad töötavad, b) vähemalt üks töötab, c) töötab ainult üks

a)P(A)=P(A1*A2)=3/4*5/6=5/8

b) P(A) = 1-P(--- A) = 1-2/8 * 1/6 = 1-1/24 = 23/24

c) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. Organisatsioonis töötab 12 meest ja 8 naist. Neile on eraldatud 3 auhinda. Määrake tõenäosus, et preemia saavad: a) kaks meest ja üks naine; b) ainult naised; c) vähemalt üks mees.

Lahendus: a) A-1 mees

B-2 meest

S- 1 naine

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

b) A-1 naine

B-2 naised

S-3 naised

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

c) A-vähemalt 1 mees

Kõik naised

P(A)=1- P(---A)

P(---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. 25 töötajast 10 ettevõttel on kõrgharidus: Määrake tõenäosus, et kolmest juhuslikult valitud inimesest on kõrgharidus; a) kolm inimest; b) üks inimene; c) vähemalt üks inimene.

Lahendus:

70. Kaartidele on kirjutatud tähed “K”, “A”, “P”, “T”, “O”, “Ch”, “K”, “A”. Kaardid segatakse ja asetatakse nende loosimise järjekorras. Kui suur on tõenäosus, et saate: a) sõna “KAART”; b) sõna “KAART”; c) sõna “PRAEGU”.

71. 25 esemega karbis on 15 kvaliteetset toodet. Juhuslikult loositakse välja 3 eset. Määrake tõenäosus, et: a) üks neist on kõrgema kvaliteediga; b) kõik kolm toodet on parema kvaliteediga; c) vähemalt üks parema kvaliteediga toode.

Lahendus:

72. Visatakse kolm täringut. Kui suur on tõenäosus, et: a) vähemalt üks neist saab 5 punkti; b) kõik saavad paarituid numbreid; c) kõik täringud näitavad samu numbreid

73. Esimeses 6 palliga karbis on 4 punast ja 2 musta, teises 7 palliga karbis on 2 punast ja 5 musta. Üks pall viidi esimesest kastist teise, seejärel viidi üks pall teisest esimesse. Leidke tõenäosus, et esimesest kastist tõmmatud pall on must.

74. Kaks ettevõtet toodavad sama tüüpi tooteid. Veelgi enam, teine ​​toodab 55% mõlema ettevõtte toodetest. Tõenäosus, et esimene ettevõte toodab mittestandardset toodet, on 0,1 ja teine ​​​​on 0,15. a) Määrake tõenäosus, et juhuslikult võetud toode osutub mittestandardseks, b) võetud toode osutub mittestandardseks. Kui suur on tõenäosus, et see on toodetud teises tehases.

Lahendus:

75. Seal on kolm urni. Esimesel on 3 valget ja 2 musta palli, teisel ja kolmandal 4 valget ja 3 musta palli. Juhuslikult valitud urnist tõmmatakse pall. Ta osutus valgeks. Kui suur on tõenäosus, et pall tõmmatakse kolmandast urnist?

Lahendus: P(H1) = 1/3; P(H2) = 1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – valge palli tõmbamise tõenäosus.

Kui valitakse 1. urn P(A/H1) = 3/5

2. P(A/H2) = 4/7

3. P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Vastus: 1/3

76. Külvamiseks mõeldud seemned tarnitakse talusse kolmest seemnefarmist. Veelgi enam, esimene ja teine ​​talu saadavad kumbki 40% kõigist seemnetest. Esimese farmi seemnete idanevus on 90%, teise 85% ja kolmanda 95%. a) Määrake tõenäosus, et juhuslikult võetud seeme ei idane, b) juhuslikult võetud seeme ei idane Kui suur on tõenäosus, et see on pärit teisest talust?

77. Eksamiprogramm koosneb 30 küsimusest. Rühma 20 õpilasest õppisid kõik küsimused selgeks 8 inimest, 25 küsimust õppisid 6 inimest, 20 küsimust 5 ja 10 küsimust üks inimene. Määrake tõenäosus, et juhuslikult kutsutud õpilane vastab kahele piletil olevale küsimusele.

Lahendus: H1 on õpilase valik, kes on õppinud kõike, H2 on õpilase valik, kes on õppinud 25 küsimust, H3 on õpilase valik, kes on õppinud 20 küsimust, H4 on õpilase valik, kes on õppinud 10 küsimust .

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-need, kes on kõik küsimused selgeks õppinud, n-kõik õpilased.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Tõenäosus, et õpilane, kes on kõike õppinud, vastas kahele piletil olevale küsimusele 25-st õpitud küsimusest.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – tõenäosus, et õpilane vastab 2-le piletil olevale küsimusele 25-st õpitud küsimusest.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – tõenäosus, et 20 küsimust õppinud õpilane vastab 2 piletil olevale küsimusele.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – tõenäosus, et 10 küsimust õppinud õpilane vastab 2 piletil olevale küsimusele.

Kasutades kogutõenäosuse valemit, leiame tõenäosuse, et juhuslikult kutsutud õpilane vastab piletil kahele küsimusele:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Vastus: 5/6

78. Enne külvi töödeldakse 95% seemnetest spetsiaalse lahusega. Seemnete idanevus pärast töötlemist on 99%, töötlemata 85%. A) Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud seeme idaneb? B) Suvaliselt võetud seeme tärkas. Kui suur on tõenäosus, et see pärines töödeldud seemnest?

Lahendus: H1-ga töödeldud seemned, H2 – töötlemata seemned, A – idandatud seeme.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 – tõenäosus, et juhuslikult võetud seeme töötlemisel idaneb.

P(A/H2) = 0,85 – tõenäosus, et juhuslikult valitud seeme idaneb, kui see on töötlemata.

A) kogu tõenäosuse valemit kasutades leiame tõenäosuse, et juhuslikult võetud seeme tärkab:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0,95 * 0,99 + 0,05 * 0,85 = 0,9405 + 0,0425 = 0,983

Vastus: 0,983

79. Pood saab telereid neljast tehasest. Tõenäosus, et teleril aasta jooksul riket ei esine, on: esimesel taimel 0,9, teisel 0,8, kolmandal 0,8 ja neljandal 0,99. Juhuslikult valitud teler kukkus aasta jooksul üles. Kui suur on tõenäosus, et see on valmistatud esimeses tehases?

80. Ostja külastab võrdselt tõenäoliselt kõiki kolme poodi. Tõenäosus, et klient ostab toote esimesest poest, on 0,4, teises 0,6 ja kolmandas 0,8. Määrake tõenäosus, et klient ostab toote konkreetsest poest. Ostja ostis toote. Leidke tõenäosus, et ta ostis selle teisest poest.

Vastus: 0,7157

2. Töötaja juhib 3 masinat. Neist esimese tõrgeteta töötamise tõenäosus on 0,75, teise 0,85,
kolmas 0,95. Leidke tõenäosus, et a) kaks masinat lähevad rikki, b) kõik kolm masinat töötavad tõrgeteta, c) vähemalt üks masin läheb rikki.

3. 52 kaardist koosnevast pakist tõmmatakse juhuslikult 3. Leia tõenäosus, et see on kolm, seitse ja äss.

4. Leia tõenäosus, et abonent valib õige kahekohalise numbri, kui ta teab, et antud arv ei jagu 5-ga

Lahendus: P(A) = m/n; m=1/

Loendame kahekohaliste arvude koguarvu. See võrdub 90-ga ja lahutage nendest arvudest need, mis jaguvad 5-ga (10,15,20,25...90,95). Nende arv on 18 => n=90-18=72

Vastus: 1/72

5. Täringut visatakse 2 korda: a) Leia tõenäosus, et ülemiste tahkude punktide summa on 7. b) leia tõenäosus, et ühe viske ajal tekib vähemalt 2 punkti.

Lahendus: P(A) = m/n

a) P(A) = 6/36 = 1/6

b) P(B) = 1-5/6*5/6 = 1-25/36 = 11/36

6. Urnis on 5 musta ja 7 punast palli. Kolm palli tõmmatakse järjest (ilma tagastamata). Leidke tõenäosus, et a) kõik kolm palli on punased, b) kolm palli on punased või mustad.

Lahendus: C m n = n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - võimalused kolme palli joonistamiseks.

a) 7-st saab 3 punast seitsmel viisil.

m = C37 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

b) saate 7-st 7-st 3 punast seitsmel viisil ja 3-st musta viiest =>

35 viisiga.

m = C 3 7 + C 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Vastus: a) P(A) = 7/44; b) P(A2) = 9/44

15-liikmelises grupis sportib 6 inimest. Leia tõenäosus, et 7 juhuslikult valitud inimesest 5 tegeleb spordiga.

Lahendus: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7) !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Vastus: 0,3.

Hiir saab juhuslikult valida ühe viiest labürindist. On teada, et tõenäosus, et ta 3 minutiga erinevatest labürintidest väljub, on 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0.1. Las selgub, et hiir pääses labürindist välja 3 minutiga. Kui suur on tõenäosus, et ta valis esimese labürindi? Teine labürint?

Lahendus: Esialgu on hiirega labürindi valimise tõenäosus võrdne:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – vastavalt 1,2,3,4,5 labürindi valimise tõenäosus.

A – labürindist väljumine.

P(A/H1) = 0,5 – tõenäosus, et hiir väljub 1 labürindist

P(A/H2) = 0,6 – 2 labürindist.

P(A/H3) =0,2 – 3. labürindist

P(A/H4) = 0,1 – 4 labürindist

P(A/H5) = 0,1 – 5 labürindist

Kogu tõenäosuse valemi järgi:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1 )=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 – tõenäosus, et hiir väljub labürindist 3 minuti jooksul.

A) Leidke tõenäosus, et hiir valis esimese labürindi (kasutades Bayesi valemit):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/ 10) = 1/10*10/3 = 1/3

B) Leidke tõenäosus, et hiir valis teise labürindi (kasutades Bayesi valemit)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3 /25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Vastus: 1/3; 2/5

9. 10 piletist võidab 2. Leia tõenäosus, et 5 piletist võidab üks.

10. Septembris on vihmase päeva tõenäosus 0,3. Võistkond "Statistik" võidab selgel päeval tõenäosusega 0,8 ja vihmasel päeval on see tõenäosus 0,3. Teatavasti võitsid nad septembris kindla mängu Kui suur on tõenäosus, et sel päeval: a) sadas vihma; b) oli selge päev.

11. Tõenäosus, et esimene laskur tabab sihtmärki on 0,7, teine ​​- 0,5 ja kolmas -0,4. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks laskur tabab sihtmärki .

Lahendus:

Esimene karp sisaldab 20 osa, millest 10 on standardsed, teine ​​karp sisaldab 30 osa, millest 25 on standardne, kolmas karp sisaldab 10 osa, millest 8 on standardsed. Juhuslikult valitud karbist võeti juhuslikult üks osa, mis osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see võeti teisest kastist.

Lahendus: P(Hi) = 1/3; P(A/H1) = 10/20 = 1/2; P(A/H2) = 25/30 = 5/6;

P(A/H3) = 8/10 = 4/5;

P(A) = 1/3 (1/2 + 5/6 + 4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. Kõik viis identset kaarti sisaldavad ühte järgmistest tähtedest: A, E, N, C, T. Kaardid
segatud. Määrake tõenäosus, et väljavõetud ja ritta a) pandud kaartidest on võimalik teha
sõna “SEIN”, b) kolmest kaardist saad teha sõna “EI”.

Sihtmärgi tabamiseks piisab selle tabamiseks vähemalt ühest mürsust. Kahest relvast tulistati kaks salve. Leia sihtmärgi tabamise tõenäosus, kui tõenäosus tabada sihtmärki ühe lasuga esimesest püssist on 0,46, teisest on 0,6.

Lahendus:

Las B-l pole tabamust

A1 – tabab 1. löögi.

A2 – tabamus 2. lasul.

P(B) = -- A1 - A2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Siis C – vähemalt üks tabamus.

P(C) = 1 - 0,216 = 0,784

Vastus: 0,784

Seal on 3 urni. Esimeses urnis on 6 musta ja 4 valget, teises 5 valget ja 5 musta, kolmandas 7 valget ja 3 musta. Juhuslikult valitakse urn ja sellest tõmmatakse pall, mis osutub valgeks. Leidke tõenäosus, et valitakse teine ​​urn.

Lahendus:

H1 = 1/3; H2 = 1/3; H3 = 1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Vastus: 15/48 = 0,3125

16. Münti visatakse 3 korda. Leidke tõenäosus, et vapp ilmub: a) kõik 3 korda, b) ainult üks kord, c) vähemalt üks kord

Lahendus:

17. Üksikutele kaartidele kirjutatakse numbrid 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kõik kaardid segatakse, misjärel võetakse juhuslikult 5 kaarti ja asetatakse need ritta. Määrake tõenäosus, et saadakse arv 1 2 0 3 5. (Lahendage ülesanne, kasutades sündmuse tõenäosuse definitsiooni ja tõenäosusteooria teoreeme)

Kolm kuulsat majandusteadlast pakkusid korraga välja oma teooriad, mida peeti võrdselt tõenäoliseks. Pärast majanduse seisu jälgimist selgus, et selle arengu tõenäosus, mille see esimese teooria kohaselt tegelikult sai, on 0,5; teisest – 0,7; kolmandast – 0,4. Kuidas see muudab kolme teooria õigsuse tõenäosust.

Lahendus:

P(A/H1) = 0,5; P(A/H2) = 0,7; P(A/H3) = 0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Poes on müügil 4 magnetofoni. Tõenäosus, et need peavad vastu garantiiajale, on vastavalt võrdne: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Leidke tõenäosus, et juhuslikult ostetud magnetofon jääb garantiiaja üle.

Lahendus: 1 magnetofoni ostmise tõenäosus –1/4; 2 – 1/4; 3 – 1/4; 4 – 1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Vastus: P(A) = 0,925

Ülesanne nr 1.26

Auto number sisaldab nelja numbrit, millest igaüks võib võrdselt võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 9 (võimalik arv 0000). Määrake tõenäosus, et arvu teine ​​number on neli.

Leiame kõigi võimalike autonumbri kombinatsioonide arvu:

Arvu 2. koht on 4, kui selle kombinatsioon on kujul X 4 XX, kus X on mis tahes number vahemikus 0 kuni 9.

Seetõttu on selliste arvude arv võrdne:

Tõenäosus, et arvu teine ​​number on neli.

Vastus:

Ülesanne nr 2.11

Antud on ühe sisendi ja ühe väljundiga ahelat moodustavate elementide ühendamise skeem (joonis 1). Eeldatakse, et elementide rikked on kollektiivselt sõltumatud sündmused. Mõne elemendi rike põhjustab signaali katkemise ahela harus, kus see element asub. Elementide 1, 2, 3, 4, 5 rikete tõenäosused on vastavalt võrdsed q1=0,1; q2 = 0,2; q3 = 0,3; q4 = 0,4; q5 = 0,5. Leidke tõenäosus, et signaal liigub sisendist väljundisse.

1. pilt

Vastavalt joonisele 1 on elemendid 1, 2, 3 ühendatud paralleelselt ja järjestikku elemendiga 4.

Sisestame sündmused: A­ 1 – element 1 on korras, A­ 2 – element 2 on korras, A­ 3 – element 3 on korras, A­ 4 – element 4 on korras, B– signaal läheb punktist edasi a asja juurde b, C– signaal läheb punktist edasi a asja juurde c(sissepääsust väljapääsuni).

Sündmus B juhtub, kui element 1 või element 2 või element 3 töötab:

B :

Sündmus C juhtub, kui sündmus aset leiab B ja sündmus A 4 :

Sündmuse toimumise tõenäosus C :

Vastus:

Ülesanne nr 3.28

Samanimelisi seadmeid toodetakse kolmes tehases. Esimene tehas tarnib 45% kõigist tootmisse tulevatest toodetest, teine ​​- 30% ja kolmas - 25%. Esimeses tehases toodetud seadme tõrgeteta töötamise tõenäosus on 0,8, teises - 0,85 ja kolmandas - 0,9. Tootmisse jõudnud seade osutus heas töökorras. Määrake tõenäosus, et see on toodetud teises tehases.

Tähistame A-ga sündmust - tootmisse saadud seade on heas töökorras.

Teeme mitmeid eeldusi:

Seade tuli 1. tehasest:

Seade tuli 2. tehasest:

Seade tuli 3. tehasest:

Iga hüpoteesi vastavad tingimuslikud tõenäosused on järgmised:

Kogu tõenäosuse valemit kasutades leiame sündmuse tõenäosuse A:

Arvutame tõenäosuse, et töötav seade tuli 2. tehasest:

Vastus:

Ülesanne nr 4.26

Münti visatakse 100 korda. Kui suur on tõenäosus, et see ei maandu kunagi nii, et vapp on ülespoole?

Sündmus – münt ei langenud kunagi 100 viskamise korral esiga ülespoole.

Tõenäosus, et münt ei maandunud esiküljega ülespoole lk=0,5 ja seega ka tõenäosus, et münt langes koos vapiga üles q=0,5 :

Määrame sündmuse tõenäosuse A Bernoulli valemi järgi ( n = 100; k =100 )

Vastus:

Ülesanne nr 5.21

Diskreetne juhuslik suurus X võib võtta ühe viiest fikseeritud väärtusest x1, x2, x3, x4, x5 tõenäosustega p1, p2, p3, p4, p5. Arvutage väärtuse X matemaatiline ootus ja dispersioon. Arvutage ja joonistage jaotusfunktsioon.

Tabel 1 – Algandmed

X väärtuse matemaatiline ootus ja dispersioon:

Koostame SV X jaotuse seeria:

Tabel 2 – Jaotusseeria SV X

Joonistame jaotusfunktsiooni (joonis 2):

Joonis 2 - jaotusfunktsiooni F(X i) graafik

Ülesanne nr 6.3

Juhuslik väärtus X antud tõenäosustihedusega:

Defineeri konstant KOOS, väärtuse X matemaatiline ootus, dispersioon, jaotusfunktsioon, samuti selle intervalli sattumise tõenäosus.

Siit ka konstant:

Määrame SV matemaatilise ootuse X:

Määrame SV dispersiooni X:

Määratleme väärtuse X jaotusfunktsiooni:

Vastus:

Ülesanne nr 7.15

Juhuslik väärtus X jaotatud ühtlaselt intervalli peale [ a,b]. Joonistage juhuslik muutuja Y= (X) ja määrake tõenäosustihedus g(y).

pöördfunktsioone pole

Joonis 3 – funktsioonigraafik

Kuna juhuslik muutuja X on jaotatud ühtlaselt üle intervalli, siis on selle tõenäosustihedus võrdne:

Määrame suuruse tõenäosustiheduse:

Ülesanne nr 8.30

2D juhuslik vektor ( X, Y) on ühtlaselt jaotunud piirkonnas B, mis on joonisel 4 esile tõstetud paksude sirgjoontega. Kahemõõtmeline tõenäosustihedus f(x,y) on sama selle piirkonna B mis tahes punkti jaoks:

Arvutage korrelatsioonikordaja X ja Y väärtuste vahel.

Tabel 3 – Algandmed

Joonis 4

Ehitame ala B vastavalt tabelis 5 ja joonisel 4 toodud koordinaatidele.

Joonis 5

Analüüsime Joonis 5: pindala B intervallil piirneb vasakult sirge, paremalt, intervalli piirneb vasakult sirgjoonega, paremalt -

Seetõttu on ühine tõenäosustihedus järgmine:

Seega:

Kontrollime saadud tulemust geomeetriliselt. Jaotuspinnaga piiratud keha ruumala IN ja tasapind xOy on võrdne 1-ga, st:

Seetõttu arvutati konstant õigesti.

Arvutame matemaatilised ootused:

Arvutame dispersioonid:

Arvutame korrelatsioonimomendi:

Arvutame korrelatsioonikoefitsiendi X ja Y väärtuste vahel:

Vastus:

Probleem nr 9

Ühemõõtmelise juhusliku suuruse valimi põhjal:

Hankige variatsiooniseeria;

Joonistage empiiriline jaotusfunktsioon F * (x) ;

Koostage histogramm võrdse intervalli meetodil;

Koostage histogramm võrdse tõenäosuse meetodil;

Arvutage ootuse ja dispersiooni punkthinnangud;

Arvutage matemaatilise ootuse ja dispersiooni intervallhinnangud (γ = 0,95);

Esitage hüpotees juhusliku suuruse jaotusseaduse kohta ja kontrollige seda sobivuse testi abil  2 ja Kolmogorovi kriteerium (  = 0,05).

Ühemõõtmeline valim:

Näidissuurus

Lahendus

1. Saame algsest variatsiooniseeria:

Koostame histogrammi võrdse intervalli meetodil (joonis 7).

Histogrammi koostamiseks koostame intervallide statistilise jada, võttes arvesse, et kõigi intervallide pikkus peab olema sama.

Intervallide arv;

- intervalli laius;

SV X j-nda intervalli tabamise sagedus;

Statistiline tihedus j-ndas intervallis.

Tabel 4 – Intervallide statistilised seeriad

f * (x)

Joonis 7

Koostame histogrammi kasutades võrdse tõenäosuse meetodit (joonis 8).

Histogrammi koostamiseks koostame intervallstatistilise jada, võttes arvesse, et SV X tabamuse sagedus igas j-ndas intervallis peaks olema sama (tabel 5).

Tabel 5 – Intervallide statistilised seeriad

f * (x)

Joonis 8

Arvutame matemaatilise ootuse ja dispersiooni punkthinnangud:

Arvutame matemaatilise ootuse ja dispersiooni (γ = 0,95) intervallhinnangud:

H 0 – X väärtus jaotub vastavalt eksponentsiaalseadusele:

H 1 – X väärtust ei jaotata eksponentsiaalseaduse järgi

Seega saame täielikult määratletud hüpoteetilise jaotusfunktsiooni:

Kontrollime hüpoteesi normaalseaduse kohta Pearsoni kriteeriumi abil. Arvutame võrdse intervalliga statistilise jada alusel kriteeriumi väärtuse:

Arvutame intervallidesse langemise teoreetilised tõenäosused valemi abil:

Tabel 6 – Arvutustulemused

Kontrollime arvutuste õigsust:

Arvutame Pearsoni kriteeriumi:

Määrame vabadusastmete arvu:

Valime tabelist Pearsoni kriteeriumi kriitilise väärtuse vabadusastme ja antud olulisuse taseme jaoks:

Kuna tingimus on täidetud, aktsepteeritakse hüpotees H 0 eksponentsiaalse jaotuse seaduse kohta (ei ole põhjust seda ümber lükata).

8) Kontrollime hüpoteesi Kolmogorovi kriteeriumi abil. Selleks joonistame hüpoteetilise jaotusfunktsiooni empiirilise funktsiooniga samasse koordinaatsüsteemi (joonis 6). Võrdluspunktidena kasutame 10 väärtust tabelist 6. Graafikut kasutades määrame funktsioonide ja vahelise maksimaalse absoluuthälbe:

Arvutame Kolmogorovi kriteeriumi väärtuse:

Kolmogorovi tabelist valime vastavalt etteantud olulisuse tasemele kriteeriumi kriitilise väärtuse:

Kuna tingimus on täidetud, siis hüpotees H 0 eksponentsiaalse jaotuse seaduse kohta on aktsepteeritud (ei ole põhjust seda tagasi lükata).