Allpool on loetletud neli peamist integreerimismeetodit.
1)
Summa või vahe integreerimise reegel.
.
Siin ja all u, v, w on integratsioonimuutuja x funktsioonid.
2)
Konstandi liigutamine väljaspool integraalimärki.
Olgu c x-st sõltumatu konstant. Siis saab selle integraalmärgist välja võtta.
3)
Muutuv asendusmeetod.
Vaatleme määramatut integraali.
Kui leiame sellise funktsiooni φ (x) alates x, nii
,
siis, asendades muutuja t = φ(x) , saame
.
4)
Osade kaupa integreerimise valem.
,
kus u ja v on integratsioonimuutuja funktsioonid.
Määramatute integraalide arvutamise lõppeesmärk on teisenduste abil taandada antud integraal kõige lihtsamateks integraalideks, mida nimetatakse tabeliintegraalideks. Tabeliintegraale väljendatakse elementaarfunktsioonide kaudu tuntud valemite abil.
Vaata integraalide tabelit >>>
Näide
Arvuta määramata integraal
Lahendus
Märgime, et integrand on kolme liikme summa ja erinevus:
, Ja .
Meetodi rakendamine 1
.
Järgmisena märgime, et uute integraalide integrandid korrutatakse konstantidega 5, 4,
Ja 2
, vastavalt. Meetodi rakendamine 2
.
Integraalide tabelist leiame valemi
.
Eeldusel, et n = 2
, leiame esimese integraali.
Kirjutame teise integraali vormi ümber
.
Märkame seda. Siis
Kasutame kolmandat meetodit. Muudame muutujat t = φ (x) = log x.
.
Integraalide tabelist leiame valemi
Kuna integratsiooni muutujat saab tähistada mis tahes tähega, siis
Kirjutame vormis ümber kolmanda integraali
.
Rakendame osade kaupa integreerimist.
Paneme selle.
Siis
;
;
;
;
.
Lõpuks ometi oleme
.
Kogume terminid x-ga 3
.
.
Vastus
Viited:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kõrgema matemaatika ülesannete kogu, “Lan”, 2003.
Koolis ei suuda paljud integraalid lahendada või on nendega probleeme. See artikkel aitab teil seda välja mõelda, kuna leiate sellest kõik. integreeritud tabelid.
Integraalne on matemaatilise analüüsi üks peamisi arvutusi ja kontseptsioone. Selle välimus tulenes kahest eesmärgist:
Esimene värav- funktsiooni taastamine selle tuletise abil.
Teine värav- graafiku ja funktsiooni f(x) kaugusel paikneva ala arvutamine sirgel, kus a on suurem või võrdne x-ga, mis on suurem või võrdne b-st ja x-teljega.
Need eesmärgid viivad meid kindlate ja määramatute integraalideni. Nende integraalide vaheline seos seisneb omaduste otsimises ja arvutamises. Kuid kõik voolab ja ajas muutub, leiti uusi lahendusi, leiti täiendusi, tuues seeläbi kindlad ja määramatud integraalid teiste integratsioonivormide juurde.
Mis on juhtunud määramatu integraal te küsite. See on ühe muutuja x antiderivatiivne funktsioon F(x) vahemikus a, mis on suurem kui x suurem kui b. nimetatakse mis tahes funktsiooniks F(x), antud intervallis mis tahes tähise x korral on tuletis võrdne F(x). On selge, et F(x) on f(x) antiderivatiiv vahemikus a on suurem kui x on suurem kui b. See tähendab, et F1(x) = F(x) + C. C – on f(x) konstant ja antiderivaat antud intervallis. See väide on inverteeritav funktsiooni f(x) - 2 puhul erinevad antiderivaadid ainult konstandi poolest. Integraalarvutuse teoreemi põhjal selgub, et iga pidev intervallis a
Kindel integraal mõistetakse limiidina integraalsummades või antud funktsiooni f(x) olukorras, mis on defineeritud mingil real (a,b), millel on antituletis F, mis tähendab selle avaldiste erinevust antud rea otstes F(b) - F(a).
Selle teema uurimise illustreerimiseks soovitan vaadata videot. See räägib üksikasjalikult ja näitab, kuidas leida integraale.
Iga integraalitabel on iseenesest väga kasulik, kuna aitab lahendada teatud tüüpi integraali.
Kõik võimalikud kirjatarbed ja palju muud. Saate osta veebipoe v-kant.ru kaudu. Või järgige lihtsalt linki Kirjatarvete Samara (http://v-kant.ru) kvaliteet ja hinnad üllatavad teid meeldivalt.
Antiderivatiivne funktsioon ja määramatu integraal
Fakt 1. Integreerimine on diferentseerimise pöördtegevus, nimelt funktsiooni taastamine selle funktsiooni teadaolevast tuletisest. Funktsioon on seega taastatud F(x) kutsutakse antiderivaat funktsiooni jaoks f(x).
Definitsioon 1. Funktsioon F(x f(x) teatud intervalliga X, kui kõigi väärtuste puhul x sellest intervallist kehtib võrdsus F "(x)=f(x), see tähendab seda funktsiooni f(x) on antiderivatiivse funktsiooni tuletis F(x). .
Näiteks funktsioon F(x) = patt x on funktsiooni antiderivaat f(x) = cos x tervel arvureal, kuna mis tahes x väärtuse korral (patt x)" = (cos x) .
Definitsioon 2. Funktsiooni määramatu integraal f(x) on kõigi selle antiderivaatide kogum. Sel juhul kasutatakse tähistust
∫
f(x)dx
,kus on märk ∫ nimetatakse integraalmärgiks, funktsiooniks f(x) – integrandi funktsioon ja f(x)dx – integrandi väljendus.
Seega, kui F(x) – mingi antiderivaat jaoks f(x), See
∫
f(x)dx = F(x) +C
Kus C - suvaline konstant (konstant).
Funktsiooni antiderivaatide hulga tähenduse mõistmiseks määramata integraalina on sobiv järgmine analoogia. Olgu uks (traditsiooniline puituks). Selle ülesanne on olla "uks". Millest uks tehtud on? Valmistatud puidust. See tähendab, et funktsiooni “olla uks” integrandi, st selle määramatu integraali antiderivaatide hulk on funktsioon “olla puu + C”, kus C on konstant, mis antud kontekstis võib tähistavad näiteks puu tüüpi. Nii nagu uks valmistatakse mõne tööriista abil puidust, tehakse funktsiooni tuletis antiderivatiivsest funktsioonist, kasutades valemid, mida õppisime tuletist uurides .
Siis on tavaliste objektide funktsioonide ja neile vastavate antiderivaatide (“olla uks” - “olla puu”, “olla lusikas” - “olla metallist” jne) tabel sarnane põhitabeliga. määramata integraalid, mis antakse allpool. Määramatute integraalide tabelis on loetletud ühised funktsioonid koos antiderivaatidega, millest need funktsioonid on "tehtud". Osas ebamäärase integraali leidmise probleemidest on antud integrandid, mida saab integreerida otse ilma suurema vaevata, st määramata integraalide tabeli abil. Keerulisemate ülesannete puhul tuleb integrand esmalt teisendada, et saaks kasutada tabeliintegraale.
Fakt 2. Funktsiooni taastamisel antiderivatiivina peame arvestama suvalise konstandiga (konstandiga) C ja selleks, et mitte kirjutada antiderivaatide loendit erinevate konstantidega 1 kuni lõpmatuseni, peate kirjutama antiderivaatide komplekti suvalise konstandiga C, näiteks nii: 5 x³+C. Niisiis, antiderivaati avaldisesse kaasatakse suvaline konstant (konstant), kuna antiderivaat võib olla funktsioon, näiteks 5 x³+4 või 5 x³+3 ja diferentseerituna läheb 4 või 3 või mõni muu konstant nulliks.
Esitame selle funktsiooni jaoks integratsiooniprobleemi f(x) leida selline funktsioon F(x), mille tuletis võrdne f(x).
Näide 1. Leia funktsiooni antiderivaatide hulk
Lahendus. Selle funktsiooni jaoks on funktsioon antiderivaat
Funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni antiderivaadiks f(x), kui tuletis F(x) on võrdne f(x), või, mis on sama asi, diferentsiaal F(x) on võrdne f(x) dx, st.
(2)
Seetõttu on funktsioon funktsiooni antiderivaat. See pole aga ainus antiderivaat. Need toimivad ka funktsioonidena
Kus KOOS– suvaline konstant. Seda saab kontrollida diferentseerimisega.
Seega, kui funktsiooni jaoks on üks antiderivaat, siis on selle jaoks lõpmatu arv antiderivaate, mis erinevad konstantse liikme võrra. Kõik funktsiooni antiderivaadid on kirjutatud ülaltoodud kujul. See tuleneb järgmisest teoreemist.
Teoreem (formaalne faktiväide 2). Kui F(x) – funktsiooni antiderivaat f(x) teatud intervalliga X, siis mis tahes muu antiderivaat jaoks f(x) samal intervallil saab esitada kujul F(x) + C, Kus KOOS– suvaline konstant.
Järgmises näites pöördume integraalide tabeli poole, mis esitatakse lõikes 3, määramata integraali omaduste järel. Teeme seda enne kogu tabeli lugemist, et ülaltoodu olemus oleks selge. Ja pärast tabelit ja atribuute kasutame neid integreerimisel tervikuna.
Näide 2. Leidke tuletisvastaste funktsioonide komplektid:
Lahendus. Leiame antiderivatiivsete funktsioonide komplektid, millest need funktsioonid on "valmistatud". Integraalide tabelist valemeid mainides leppige praegu lihtsalt sellega, et seal on sellised valemid, ja uurime ebamääraste integraalide tabelit ennast veidi edasi.
1) Valemi (7) rakendamine integraalide tabelist for n= 3, saame
2) Kasutades integraalide tabelist valemit (10). n= 1/3, meil on
3) Alates
siis vastavalt valemile (7) koos n= -1/4 leiame
Integraalmärgi alla ei kirjutata funktsioon ise f, ja selle korrutis diferentsiaali järgi dx. Seda tehakse eelkõige selleks, et näidata, millise muutuja järgi antiderivatiivi otsitakse. Näiteks,
,
;
siin on integrand mõlemal juhul võrdne , kuid selle määramatud integraalid osutuvad vaadeldavatel juhtudel erinevateks. Esimesel juhul käsitletakse seda funktsiooni muutuja funktsioonina x, ja teises - funktsioonina z .
Funktsiooni määramatu integraali leidmise protsessi nimetatakse selle funktsiooni integreerimiseks.
Määramatu integraali geomeetriline tähendus
Oletame, et peame leidma kõvera y=F(x) ja me juba teame, et puutujanurga puutuja igas selle punktis on etteantud funktsioon f(x) selle punkti abstsiss.
Vastavalt tuletise geomeetrilisele tähendusele puutuja kaldenurga puutuja antud kõvera punktis y=F(x) võrdne tuletise väärtusega F"(x). Seega peame leidma sellise funktsiooni F(x), mille jaoks F"(x)=f(x). Ülesandes nõutav funktsioon F(x) on antiderivaat f(x). Ülesande tingimusi ei rahulda mitte üks kõver, vaid kõverate perekond. y=F(x)- üks sellistest kõveratest ja mis tahes muu kõvera saab sellest saada paralleeltõlke teel piki telge Oy.
Nimetagem antiderivatiivse funktsiooni graafikut f(x) integraalkõver. Kui F"(x)=f(x), siis funktsiooni graafik y=F(x) on olemas integraalkõver.
Fakt 3. Määramatu integraal on geomeetriliselt esindatud kõigi integraalikõverate perekonnaga , nagu alloleval pildil. Iga kõvera kaugus koordinaatide alguspunktist määratakse suvalise integreerimiskonstandiga C.
Määramata integraali omadused
Fakt 4. Teoreem 1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga ja diferentsiaal on võrdne integrandiga.
Fakt 5. Teoreem 2. Funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal f(x) on võrdne funktsiooniga f(x) kuni konstantse tähtajani , st.
(3)
Teoreemid 1 ja 2 näitavad, et diferentseerimine ja integreerimine on vastastikku pöördtehted.
Fakt 6. Teoreem 3. Integrandi konstantse teguri saab välja võtta määramata integraali märgist , st.
Loetleme elementaarfunktsioonide integraalid, mida mõnikord nimetatakse tabeliteks:
Mistahes ülaltoodud valemit saab tõestada, võttes parempoolse külje tuletise (tulemuseks on integrand).
Integratsioonimeetodid
Vaatame mõningaid põhilisi integreerimismeetodeid. Need sisaldavad:
1. Lagundamise meetod(otsene integratsioon).
See meetod põhineb tabelintegraalide otsesel kasutamisel, aga ka määramatu integraali omaduste 4 ja 5 kasutamisel (st konstantse teguri väljavõtmine sulgudest ja/või integrandi esitamine funktsioonide summana – dekomponeerimine integrandi terminiteks).
Näide 1. Näiteks saab (dx/x 4) leidmiseks kasutada otse tabeliintegraali x n dx jaoks. Tegelikult(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Vaatame veel paar näidet.
Näide 2. Selle leidmiseks kasutame sama integraali:
Näide 3. Selle leidmiseks peate võtma
Näide 4. Leidmiseks esindame integrandi funktsiooni vormis 
ja kasutage eksponentsiaalfunktsiooni jaoks tabeliintegraali:
Vaatleme sulgude kasutamist konstantseks teguriks.
Näide 5.
Leiame näiteks 
. Seda arvestades saame
Näide 6. Me leiame selle. Kuna 
, kasutame tabeliintegraali 
Saame
Kahes järgmises näites saate kasutada ka sulgusid ja tabeliintegraale:
Näide 7.
(kasutame ja 
);
Näide 8.
(me kasutame 
Ja 
).
Vaatame keerukamaid näiteid, mis kasutavad summaintegraali.
Näide 9. Näiteks leiame 
. Laiendusmeetodi rakendamiseks lugejas kasutame summa kuubi valemit ja jagame saadud polünoomi nimetajaga termini kaupa.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Tuleb märkida, et lahenduse lõppu kirjutatakse üks ühine konstant C (ja mitte iga termini integreerimisel eraldi). Edaspidi tehakse ka ettepanek jätta lahendusprotsessis üksikute terminite integreerimisest konstandid välja seni, kuni avaldis sisaldab vähemalt ühte määramatut integraali (ühe konstandi kirjutame lahenduse lõppu).
Näide 10. Me leiame 
. Selle ülesande lahendamiseks faktoreerime lugeja (pärast seda saame nimetajat vähendada).
Näide 11. Me leiame selle. Siin saab kasutada trigonomeetrilisi identiteete.
Mõnikord tuleb avaldise terminiteks lagundamiseks kasutada keerukamaid tehnikaid.
Näide 12. Me leiame 
. Integrandis valime kogu murdosa 
. Siis
Näide 13. Me leiame
2. Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)
Meetod põhineb järgmisel valemil: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kus x =(t) on vaadeldaval intervallil diferentseeruv funktsioon.
Tõestus. Leiame tuletised muutuja t suhtes valemi vasakult ja paremalt küljelt.
Pange tähele, et vasakul pool on kompleksfunktsioon, mille vaheargument on x = (t). Seetõttu eristamaks seda t suhtes, eristame esmalt integraali x suhtes ja seejärel võtame vaheargumendi tuletise t suhtes.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Tuletis paremalt küljelt:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Kuna need tuletised on Lagrange'i teoreemi kohaselt võrdsed, erinevad tõestatava valemi vasak ja parem pool teatud konstandi võrra. Kuna määramata integraalid ise on defineeritud kuni määramata konstandiliikmeni, võib selle konstandi lõplikust tähistusest välja jätta. Tõestatud.
Muutuja edukas muutmine võimaldab algset integraali lihtsustada ja kõige lihtsamal juhul taandada tabeliks. Selle meetodi rakendamisel eristatakse lineaarset ja mittelineaarset asendusmeetodit.
a) Lineaarne asendusmeetod Vaatame näidet.
Näide 1.
. Olgu siis t= 1 – 2x
dx=d(½ - ½t) = - ½ dt
Tuleb märkida, et uut muutujat ei ole vaja selgesõnaliselt välja kirjutada. Sellistel juhtudel räägitakse diferentsiaalmärgi all oleva funktsiooni teisendamisest või diferentsiaalmärgi alla konstantide ja muutujate sisseviimisest, s.t. O kaudne muutuja asendamine.
Näide 2. Näiteks leiamecos(3x + 2)dx. Diferentsiaali omaduste järgi dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), siiscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Mõlemas vaadeldavas näites kasutati integraalide leidmiseks lineaarset asendust t=kx+b(k0).
Üldjuhul kehtib järgmine teoreem.
Lineaarne asendusteoreem. Olgu F(x) funktsiooni f(x) antituletis. Siisf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kus k ja b on mingid konstandid,k0.
Tõestus.
Integraali f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definitsiooni järgi. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Võtame integraalimärgist välja konstantteguri k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nüüd saame jagada võrdsuse vasaku ja parema külje kaheks ja saada tõestatava väite kuni konstantse liikme tähistuseni.
See teoreem ütleb, et kui integraali f(x)dx= F(x) + C definitsioonis asendame argumendi x asemel avaldise (kx+b), siis see toob kaasa täiendava avaldise ilmumise. tegur 1/k antiderivaadi ees.
Kasutades tõestatud teoreemi, lahendame järgmised näited.
Näide 3.
Me leiame 
. Siin kx+b= 3 –x, st k= -1,b= 3. Siis
Näide 4.
Me leiame selle. Herekx+b= 4x+ 3, st k= 4,b= 3. Siis
Näide 5.
Me leiame 
. Siin kx+b= -2x+ 7, st k= -2,b= 7. Siis
.
Näide 6. Me leiame 
. Siin kx+b= 2x+ 0, st k= 2,b= 0.
.
Võrrelgem saadud tulemust näitega 8, mis lahendati dekomponeerimismeetodil. Lahendades sama probleemi erineva meetodiga, saime vastuse 
. Võrdleme tulemusi: Seega erinevad need avaldised üksteisest konstantse liikme võrra 
, st. Saadud vastused ei ole vastuolus.
Näide 7. Me leiame 
. Valime nimetajas täiusliku ruudu.
Mõnel juhul ei vähenda muutuja muutmine integraali otse tabeliks, vaid võib lahendust lihtsustada, võimaldades järgmises etapis kasutada laiendusmeetodit.
Näide 8. Näiteks leiame 
. Asenda t=x+ 2, siis dt=d(x+ 2) =dx. Siis
,
kus C = C 1 – 6 (avaldise (x+ 2) asendamisel kahe esimese liikme asemel saame ½x 2 -2x– 6).
Näide 9. Me leiame 
. Olgu t= 2x+ 1, siis dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Asendame t avaldisega (2x+ 1), avame sulud ja anname sarnased.
Pange tähele, et teisenduste käigus liikusime teisele konstantsele terminile, sest konstantsete terminite rühma võib teisendusprotsessi käigus välja jätta.
b) Mittelineaarne asendusmeetod Vaatame näidet.
Näide 1.
. Lett = -x 2. Järgmisena võiks x-i väljendada t-ga, seejärel leida avaldis dx-le ja rakendada muutuja muutmist soovitud integraalis. Kuid sel juhul on lihtsam asju teisiti teha. Let's finddt=d(-x 2) = -2xdx. Pange tähele, et avaldis xdx on soovitud integraali integrandi tegur. Avaldame selle tulemuseks olevast võrdsusestxdx= - ½dt. Siis
Peamised integraalid, mida iga õpilane peaks teadma
Loetletud integraalid on alus, põhialuste alus. Need valemid tuleks kindlasti meeles pidada. Keerulisemate integraalide arvutamisel peate neid pidevalt kasutama.
Pöörake erilist tähelepanu valemitele (5), (7), (9), (12), (13), (17) ja (19). Ärge unustage integreerimisel lisada oma vastusele suvalist konstanti C!
Konstandi integraal
∫ A d x = A x + C (1)Toitefunktsiooni integreerimine
Tegelikult võis piirduda ainult valemitega (5) ja (7), kuid ülejäänud integraalid sellest rühmast esinevad nii sageli, et tasub neile veidi tähelepanu pöörata.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)
Eksponentfunktsioonide ja hüperboolsete funktsioonide integraalid
Muidugi võib valemit (8) (võib-olla meeldejätmiseks kõige mugavam) pidada valemi (9) erijuhtudeks. Valemid (10) ja (11) hüperboolse siinuse ja hüperboolse koosinuse integraalide jaoks on kergesti tuletatavad valemist (8), kuid parem on need seosed lihtsalt meeles pidada.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonomeetriliste funktsioonide põhiintegraalid
Viga, mida õpilased sageli teevad, on see, et nad ajavad valemites (12) ja (13) olevad märgid segamini. Pidades meeles, et siinuse tuletis on võrdne koosinusega, arvavad paljud inimesed millegipärast, et funktsiooni sinx integraal on võrdne cosx-ga. See ei ole tõsi! Siinuse integraal on võrdne "miinuskoosinusega", kuid cosxi integraal on võrdne "lihtsalt siinusega":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integraalid, mis taandavad trigonomeetrilisteks pöördfunktsioonideks
Arktangensile viiv valem (16) on loomulikult valemi (17) erijuhtum, kui a=1. Samamoodi on (18) (19) erijuht.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaared x a + C (a > 0) (19)
Keerulisemad integraalid
Samuti on soovitatav neid valemeid meeles pidada. Neid kasutatakse ka üsna sageli ja nende toodang on üsna tüütu.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Integratsiooni üldreeglid
1) Kahe funktsiooni summa integraal on võrdne vastavate integraalide summaga: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Kahe funktsiooni erinevuse integraal on võrdne vastavate integraalide erinevusega: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstandi saab integraalimärgist välja võtta: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
On lihtne näha, et omadus (26) on lihtsalt omaduste (25) ja (27) kombinatsioon.
4) Kompleksfunktsiooni integraal, kui sisefunktsioon on lineaarne: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Siin on F(x) funktsiooni f(x) antiderivaat. Pange tähele: see valem töötab ainult siis, kui sisemine funktsioon on Ax + B.
Tähtis: kahe funktsiooni korrutise integraali ja murdosa integraali jaoks pole universaalset valemit:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (kolmkümmend)
See ei tähenda muidugi, et murdosa või korrutist ei saaks integreerida. Lihtsalt iga kord, kui näete integraali nagu (30), peate leiutama viisi selle vastu võitlemiseks. Mõnel juhul aitab teid osade kaupa integreerimine, mõnel juhul peate muutma muutujat ja mõnikord võivad aidata isegi "kooli" algebra või trigonomeetria valemid.
Lihtne näide määramata integraali arvutamisest
Näide 1. Leidke integraal: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xKasutame valemeid (25) ja (26) (funktsioonide summa või erinevuse integraal on võrdne vastavate integraalide summa või erinevusega. Saame: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Pidagem meeles, et konstandi saab integraalimärgist (valem (27)) välja võtta. Avaldis teisendatakse vormiks
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x
Nüüd kasutame lihtsalt põhiintegraalide tabelit. Peame rakendama valemeid (3), (12), (8) ja (1). Integreerime astmefunktsiooni, siinuse, eksponentsiaali ja konstanti 1. Ärge unustage lisada suvalist konstanti C lõppu:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Pärast elementaarseid teisendusi saame lõpliku vastuse:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testige end diferentseerimise teel: võtke saadud funktsiooni tuletis ja veenduge, et see on võrdne algse integrandiga.
Integraalide koondtabel
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaared x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Laadige integraalide tabel (II osa) alla sellelt lingilt
Kui õpid ülikoolis, kui sul on raskusi kõrgema matemaatikaga (matemaatiline analüüs, lineaaralgebra, tõenäosusteooria, statistika), kui vajad kvalifitseeritud õpetaja teenuseid, mine kõrgema matemaatika juhendaja lehele. Lahendame teie probleemid koos!
Samuti võite olla huvitatud