Tsentripetaalne kiirendus- punkti kiirenduse komponent, mis iseloomustab kõverusega trajektoori kiirusvektori suuna muutumise kiirust (teine komponent, tangentsiaalne kiirendus, iseloomustab kiirusmooduli muutust). Suunatud trajektoori kõveruskeskme poole, kust see termin pärineb. Väärtus võrdub kiiruse ruuduga, mis on jagatud kõverusraadiusega. Mõiste "tsentripetaalne kiirendus" on samaväärne terminiga " normaalne kiirendus" Seda jõudude summa komponenti, mis selle kiirenduse põhjustab, nimetatakse tsentripetaaljõuks.
Tsentripetaalse kiirenduse lihtsaim näide on kiirendusvektor ühtlasel liikumisel ringil (suunatud ringi keskme poole).
Kiire kiirendus projektsioonis teljega risti olevale tasapinnale näib see tsentripetaalsena.
Entsüklopeediline YouTube
-
1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Kus a n (\displaystyle a_(n)\ )- normaalne (tsentripetaalne) kiirendus, v (\displaystyle v\)- (hetkeline) lineaarne liikumiskiirus piki trajektoori, ω (\displaystyle \omega \)- selle liikumise (hetkeline) nurkkiirus trajektoori kõveruskeskme suhtes, R (\displaystyle R\)- trajektoori kõverusraadius antud punktis. (Seos esimese ja teise valemi vahel on ilmne v = ω R (\displaystyle v=\omega R\)).
Ülaltoodud avaldised sisaldavad absoluutväärtusi. Neid saab lihtsalt vektorkujul kirjutada, korrutades e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- ühikvektor trajektoori kõveruskeskpunktist antud punktini:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)Need valemid on võrdselt rakendatavad nii konstantse (absoluutväärtuses) kiirusega liikumise kui ka suvalise juhtumi korral. Teise puhul tuleb aga meeles pidada, et tsentripetaalkiirendus ei ole täiskiirenduse vektor, vaid ainult selle trajektooriga risti olev komponent (või mis on sama, hetkkiiruse vektoriga risti); täiskiirenduse vektor sisaldab siis ka tangentsiaalset komponenti ( tangentsiaalne kiirendus) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\), suunas, mis langeb kokku trajektoori puutujaga (või, mis on sama, hetkekiirusega).
Motivatsioon ja järeldus
Asjaolu, et kiirendusvektori lagundamine komponentideks – üks piki vektori trajektoori puutujat (tangentsiaalne kiirendus) ja teine selle suhtes risti (tavaline kiirendus) – võib olla mugav ja kasulik, on iseenesest üsna ilmne. Konstantse moodulkiirusega liikudes võrdub tangentsiaalne komponent nulliga ehk sel olulisel konkreetsel juhul jääb ainult tavaline komponent. Lisaks, nagu allpool näha, on kõigil neil komponentidel selgelt määratletud omadused ja struktuur ning tavaline kiirendus sisaldab oma valemi struktuuris üsna olulist ja mittetriviaalset geomeetrilist sisu. Ringliigutuse olulisest erijuhtumist rääkimata.
Ametlik järeldus
Kiirenduse lagunemist tangentsiaalseteks ja normaalkomponentideks (millest teine on tsentripetaal- ehk normaalkiirendus) saab leida, diferentseerides aja suhtes kiirusvektorit, mis on esitatud kujul v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) läbi ühiktangensi vektori e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d l d t = d v d l d t = d v d \f) τ \ t e 2 (display) (\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Siin kasutame ühikvektori tähistust, mis on normaalne trajektoori ja suhtes l (\displaystyle l\)- praeguse trajektoori pikkuse jaoks ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); viimane üleminek kasutab ka ilmset
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )ja geomeetrilistest kaalutlustest lähtudes
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )Tavaline (tsentripetaalne) kiirendus. Veelgi enam, selle tähendus, selles sisalduvate objektide tähendus, samuti tõend selle kohta, et see on tõepoolest puutujavektoriga ortogonaalne (st et e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- tõesti normaalne vektor) - tuleneb geomeetrilistest kaalutlustest (tõsiasi, et mis tahes konstantse pikkusega vektori tuletis aja suhtes on risti selle vektori endaga, on üsna lihtne fakt; sel juhul rakendame seda väidet d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Märkmed
On lihtne märgata, et tangentsiaalse kiirenduse absoluutväärtus sõltub ainult maapinna kiirendusest, langedes kokku selle absoluutväärtusega, vastupidiselt normaalkiirenduse absoluutväärtusele, mis ei sõltu maapinna kiirendusest, vaid sõltub maapinna kiirendusest. maakiirus.
Siin esitatud meetodeid või nende variatsioone saab kasutada selliste mõistete tutvustamiseks nagu kõvera kõverus ja kõvera kõverusraadius (kuna juhul, kui kõver on ring, R (\displaystyle R) langeb kokku sellise ringi raadiusega; samuti pole liiga raske näidata, et ring on tasapinnas e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n)) keskpunktiga suunas e n (\displaystyle e_(n)\ ) etteantud punktist kaugel R (\displaystyle R) sellest - langeb kokku antud kõveraga - trajektoor - kuni teise väiksuse järguni antud punkti kauguses).
Lugu
Esimene, kes sai tsentripetaalse kiirenduse (või tsentrifugaaljõu) õiged valemid, oli ilmselt Huygens. Peaaegu sellest ajast alates on tsentripetaalse kiirenduse arvestamine muutunud tavapäraseks mehaaniliste probleemide jms lahendamise tehnikaks.
Mõnevõrra hiljem mängisid need valemid olulist rolli universaalse gravitatsiooniseaduse avastamisel (kepleri kolmandal seadusel põhineva gravitatsioonijõu sõltuvuse seaduse saamiseks gravitatsiooniallika kaugusest kasutati tsentripetaalse kiirenduse valemit. tuletatud vaatlustest).
19. sajandiks oli tsentripetaalse kiirenduse arvestamine muutunud täiesti rutiinseks nii puhta teaduse kui ka insenerirakenduste jaoks.
Ühtlast ringliikumist iseloomustab keha liikumine mööda ringi. Sel juhul muutub ainult kiiruse suund ja selle suurus jääb muutumatuks.
Üldiselt liigub keha mööda kõverat rada ja seda on raske kirjeldada. Kõverjoonelise liikumise kirjeldamise lihtsustamiseks jagatakse see lihtsamateks liikumistüüpideks. Eelkõige on üks neist tüüpidest ühtlane liikumine ringis. Iga kõvera liikumistrajektoori saab jagada piisavalt väikesteks osadeks, milles keha liigub ligikaudu mööda kaare, mis on ringi osa.
Kui keha liigub ringis, on lineaarkiirus suunatud tangentsiaalselt. Järelikult, isegi kui keha liigub piki kaaret konstantse absoluutkiirusega, on liikumissuund igas punktis erinev. Seega on igasugune liikumine ringis kiirendusega liikumine.
Kujutage ette ringi, mida mööda materiaalne punkt liigub. Null-ajahetkel on see asendis A. Teatud ajaintervalli järel jõuab see punkti B. Kui tõmbame ringi keskpunktist punkti A ja punkti B kaks raadiusvektorit, siis tekib teatud nurk. saada nende vahel. Nimetagem seda nurga phi-ks. Kui punkt pöörleb võrdse aja jooksul läbi sama nurga phi, nimetatakse sellist liikumist ühtlaseks ja kiirust nurkseks.
Joonis 1 - nurkkiirus.
Nurkkiirust mõõdetakse pööretes sekundis. Üks pööre sekundis on siis, kui punkt läbib kogu ringi ja naaseb oma algasendisse, kuludes ühe sekundi. Seda käivet nimetatakse ringlusperioodiks. Pöörlemisperioodi pöördväärtust nimetatakse pöörlemissageduseks. See tähendab, mitu pööret suudab punkt ühe sekundi jooksul teha. Kahe raadiusvektori poolt moodustatud nurka mõõdetakse radiaanides. Radiaan on nurk kahe raadiusvektori vahel, mis lõikavad ringi pinnale raadiuse pikkusega kaare.
Ümber ringi liikuva punkti kiirust saab mõõta ka radiaanides sekundis. Sel juhul nimetatakse punkti liikumist ühe radiaani võrra sekundis kiiruseks. Seda kiirust nimetatakse nurkkiiruseks. See tähendab, mitu ühikunurka suudab raadiusvektor ühe sekundi jooksul pöörata? Ühtlase liikumise korral ringis on nurkkiirus konstantne.
Ringjoonel liikumise kiirenduse määramiseks kanname joonisele punktide A ja B kiirusvektorid. Nende vektorite vaheline nurk on võrdne raadiusvektorite vahelise nurgaga. Kuna kiirendus on teatud ajavahemiku jooksul võetud kiiruste erinevus jagatud selle intervalliga. Seejärel kanname paralleeltõlke abil kiirusvektori alguse punktis A punkti B. Nende vektorite erinevus on vektor delta V. Kui jagame selle punkte A ja B ühendava kõõluga, eeldusel, et punktide vaheline kaugus on lõpmata väike, siis saame kiirendusvektori, mis on suunatud ringi keskpunkti poole. Mida nimetatakse ka tsentripetaalseks kiirenduseks.
Kuna lineaarkiirus muudab ühtlaselt suunda, siis ringliikumist ühtlaseks nimetada ei saa, see on ühtlaselt kiirenev.
Nurkkiirus
Valime ringil punkti 1 . Ehitame raadiuse. Ajaühiku jooksul liigub punkt punkti 2 . Sel juhul kirjeldab raadius nurka. Nurkkiirus on arvuliselt võrdne raadiuse pöördenurgaga ajaühikus.
Periood ja sagedus
Pöörlemisperiood T- see on aeg, mille jooksul keha teeb ühe pöörde.
Pöörlemissagedus on pöörete arv sekundis.
Sagedus ja periood on omavahel seotud
Seos nurkkiirusega
Lineaarne kiirus
Iga punkt ringil liigub teatud kiirusega. Seda kiirust nimetatakse lineaarseks. Lineaarkiiruse vektori suund langeb alati kokku ringjoone puutujaga. Näiteks liiguvad lihvmasina alt sädemed, korrates hetkekiiruse suunda.
Mõelge punktile ringil, mis teeb ühe pöörde, kulutatud aeg on periood T. Tee, mida punkt läbib, on ümbermõõt.
Tsentripetaalne kiirendus
Ringjoonel liikudes on kiirendusvektor alati kiirusvektoriga risti, suunatud ringi keskpunkti poole.
Eelnevaid valemeid kasutades saame tuletada järgmised seosed
Punktidel, mis asuvad samal sirgel, mis väljub ringi keskpunktist (näiteks võivad need olla punktid, mis asuvad ratta kodaratel), on sama nurkkiiruse, perioodi ja sagedusega. See tähendab, et nad pöörlevad samamoodi, kuid erineva lineaarkiirusega. Mida kaugemal on punkt keskpunktist, seda kiiremini see liigub.
Kiiruste liitmise seadus kehtib ka pöörleva liikumise puhul. Kui keha või tugisüsteemi liikumine ei ole ühtlane, kehtib seadus hetkkiiruste kohta. Näiteks mööda pöörleva karusselli serva kõndiva inimese kiirus võrdub karusselli serva lineaarse pöörlemiskiiruse ja inimese kiiruse vektorsummaga.
Maa osaleb kahes peamises pöörlemisliikumises: ööpäevane (ümber oma telje) ja orbitaalne (ümber Päikese). Maa pöörlemisperiood ümber Päikese on 1 aasta ehk 365 päeva. Maa pöörleb ümber oma telje läänest itta, selle pöörlemise periood on 1 ööpäev ehk 24 tundi. Laiuskraad on nurk ekvaatori tasapinna ja Maa keskpunktist selle pinnapunktini suunduva suuna vahel.
Newtoni teise seaduse järgi on igasuguse kiirenduse põhjuseks jõud. Kui liikuv keha kogeb tsentripetaalset kiirendust, võib seda kiirendust põhjustavate jõudude olemus olla erinev. Näiteks kui keha liigub tema külge seotud köiel ringikujuliselt, siis on mõjuvaks jõuks elastsusjõud.
Kui kettal lamav keha pöörleb koos kettaga ümber oma telje, siis on selliseks jõuks hõõrdejõud. Kui jõud peatab oma tegevuse, jätkab keha liikumist sirgjooneliselt
Vaatleme punkti liikumist ringil punktist A punkti B. Lineaarkiirus on võrdne v A Ja v B vastavalt. Kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus. Leiame vektorite erinevuse.
Töö allikas: Otsus 3553.-20. OGE 2016 matemaatika, I.V. Jaštšenko. 36 võimalust.
Ülesanne 18. Diagramm näitab maa jaotust kategooriate kaupa Uurali, Volga, Lõuna- ja Kaug-Ida föderaalringkondades. Määrake diagrammilt, millises linnaosas on väikseim põllumajandusmaa osa.
1) Uurali föderaalringkond
2) Volga föderaalringkond
3) Lõuna föderaalringkond
4) Kaug-Ida föderaalringkond
Lahendus.
Põllumajandusmaad on värvitud horisontaalsete joonte kujul oleva sektoriga (vt joonist). Peate valima linnaosa, kus sellise sektori pindala on minimaalne. Joonise analüüs näitab, et tegemist on Kaug-Ida föderaalringkonnaga.
Vastus: 4.
Ülesanne 19. Vanaemal on 20 tassi: 10 punaste õitega, ülejäänud siniste õitega. Vanaema valab teed juhuslikult valitud tassi. Leidke tõenäosus, et see on siniste lilledega tass.
Lahendus.
Kuna siniste lilledega tasse on täpselt 20-10 = 10 ja kokku on 20 tassi, siis on tõenäosus, et sinililledega tass valitakse juhuslikult
.Vastus: 0,5.
Ülesanne 20. Tsentripetaalkiirenduse ringjoonel liikumisel (m/s2) saab arvutada valemiga a=w^2*R, kus w on nurkkiirus (s-1) ja R on ringi raadius. Selle valemi abil leidke raadius R (meetrites), kui nurkkiirus on 7,5 s-1 ja tsentripetaalne kiirendus on 337,5 m/s2.
Lahendus.
Valemist väljendame ringi raadiust, saame:
ja arvutage see, asendades andmed , , meie valemis.
Looduses toimub keha liikumine sageli mööda kõveraid jooni. Peaaegu mis tahes kõverjoonelist liikumist saab kujutada liikumiste jadana mööda ringkaarte. Üldjuhul muutub ringis liikudes keha kiirus nagu suuruses, nii ja poole.
Ühtlane liikumine ümber ringi
Ringliikumist nimetatakse ühtlaseks, kui kiirus jääb konstantseks.
Newtoni kolmanda seaduse kohaselt põhjustab iga tegevus võrdse ja vastupidise reaktsiooni. Tsentripetaaljõule, millega ühendus kehale mõjub, mõjub vastu võrdne suurus ja vastassuunaline jõud, millega keha ühendusele mõjub. See jõud F 6 helistas tsentrifugaal, kuna see on suunatud radiaalselt ringi keskpunktist. Tsentrifugaaljõud on suuruselt võrdne tsentripetaaljõuga:
Näited
Mõelge juhtumile, kus sportlane pöörab ümber pea nööri otsa seotud eset. Sportlane tunneb jõudu, mis rakendatakse käele ja tõmbab seda väljapoole. Objekti ringil hoidmiseks tõmbab sportlane (niidi abil) selle sissepoole. Seetõttu mõjub objekt (taas läbi niidi) Newtoni kolmanda seaduse kohaselt käele võrdse ja vastupidise jõuga ning see on jõud, mida sportlase käsi tunneb (joonis 3.23). Objektile mõjuv jõud on niidi sissepoole suunatud pinge.
Teine näide: “haamri” spordivarustusele mõjub sportlase käes olev kaabel (joonis 3.24).
Tuletagem meelde, et tsentrifugaaljõud ei mõju mitte pöörlevale kehale, vaid keermele. Kui mõjus tsentrifugaaljõud kehal siis kui niit katkeb, lendaks see radiaalselt tsentrist eemale, nagu on näidatud joonisel 3.25, a. Kuid tegelikult hakkab keha keerme katkemisel tangentsiaalselt liikuma (joonis 3.25, b) selle kiiruse suunas, mis tal oli keerme katkemise hetkel.
Tsentrifugaaljõude kasutatakse laialdaselt.
Tsentrifuug on seade, mis on mõeldud pilootide, sportlaste ja astronautide koolitamiseks ja testimiseks. Suur raadius (kuni 15 m) ja suur mootori võimsus (mitu MW) võimaldavad luua tsentripetaalset kiirendust kuni 400 m/s 2 . Tsentrifugaaljõud surub kehadele jõuga, mis ületab Maa normaalset gravitatsioonijõudu enam kui 40 korda. Inimene talub ajutist ülekoormust 20-30 korda, kui ta asub risti tsentrifugaaljõu suunaga, ja 6 korda, kui ta asub selle jõu suunas.
3.8. Inimese liikumise kirjeldamise elemendid
Inimese liigutused on keerulised ja raskesti kirjeldatavad. Siiski on paljudel juhtudel võimalik tuvastada olulisi punkte, mis eristavad üht tüüpi liikumist teisest. Mõelge näiteks jooksmise ja kõndimise erinevusele.
Astuvate liigutuste elemendid kõndimisel on näidatud joonisel fig. 3.26. Kõndimisliigutuste puhul on iga jalg vaheldumisi toetav ja kandmine. Toetusperiood sisaldab amortisatsiooni (keha liikumise pidurdamine toe suunas) ja äratõuget, ülekandeperiood aga kiirendamist ja pidurdamist.
Inimkeha ja tema jalgade järjestikused liigutused kõndimisel on näidatud joonisel fig. 3.27.
Jooned A ja B annavad kvaliteetse pildi jalgade liikumisest kõndimise ajal. Ülemine rida A viitab ühele jalale, alumine rida B teisele. Sirged lõigud vastavad jalatoe momentidele maapinnal, kaarekujulised lõigud jalgade liikumismomentidele. Teatud aja jooksul a) toetuvad mõlemad jalad maapinnale; siis (b)- jalg A on õhus, jalg B jätkab toetumist; ja siis (koos)- jälle toetuvad mõlemad jalad maapinnale. Mida kiiremini kõnnid, seda lühemaks muutuvad intervallid. (A Ja Koos).
Joonisel fig. Joonisel 3.28 on kujutatud inimese keha järjestikused liigutused jooksmisel ja jalgade liigutuste graafiline esitus. Nagu jooniselt näha, on joostes ajavahemikud { b, d, /), kui mõlemad jalad on õhus ja samaaegselt maapinda puudutavate jalgade vahel pole vaheaegu. See on jooksmise ja kõndimise erinevus.
Teine levinud liigutusviis on erinevate hüpete ajal toe äratõukamine. Väljatõuge teostatakse tõukejala sirgendamise ning käte ja torso õõtsuvate liigutustega. Tõrjumise ülesanne on tagada sportlase üldmassikeskme algkiirusvektori maksimaalne väärtus ja selle optimaalne suund. Joonisel fig. Näidatud on 3,29 faasi
\ 4. peatükk
SÕIDÜNAAMIKAMATERJAL PUNKT
Dünaamika on mehaanika haru, mis uurib keha liikumist, võttes arvesse selle koostoimet teiste kehadega.
Jaotises “Kinemaatika” tutvustati mõisteid kiirust Ja kiirendus materiaalne punkt. Päriskehade puhul vajavad need mõisted selgitamist, kuna erinevate jaoks tõelised kehapunktid need liikumisomadused võivad erineda. Näiteks kaardus jalgpallipall mitte ainult ei liigu edasi, vaid ka pöörleb. Pöörleva keha punktid liiguvad erineva kiirusega. Sel põhjusel võetakse esmalt arvesse materiaalse punkti dünaamikat ja seejärel laiendatakse saadud tulemusi reaalsetele kehadele.