Ladina keelest tõlgitud proportsioon (proportio) tähendab suhet, osade tasasust, see tähendab 2 suhte võrdsust. Proportsioonide arvutamise teadmine on igapäevastes olukordades sageli vajalik.
Juhised1. Lihtne näide, kui on vaja rakendada teadmisi proportsioonide lahendamise kohta: kuidas arvutada 13% oma palgast – sama protsent, mis läheb pensionifondile.
2. Kirjutage kaks proportsioonirida. Esimeses märkige palga kogusumma, mis moodustab 100%, see tähendab näiteks 15 000 (rubla) = 100%.
3. Märkige allolevale reale arvutatav summa märgiga “X”, see, mis võrdub 13%, see tähendab X = 13%.
4. Proportsiooni põhikvaliteet kõlab nii: proportsiooni äärmiste liikmete korrutis võrdub selle keskmiste liikmete korrutisega. See tähendab, et kui korrutate 15 000 13-ga, on saadud arv võrdne X väärtusega, mis on korrutatud 100-ga. See tähendab, et proportsiooni liikmed risti korrutades saate identse väärtuse.
5. Et arvutada, millega X on võrdne lõpptulemuses, korrutage 15 000 13-ga ja jagage 100-ga. Saad, et 13 protsenti teie palgast on 1950 rubla, seega saate 15 000 - 1950 = 13 050 teie kätes rubla netopalgast.
6. Kui teil on vaja piruka jaoks võtta 100 grammi tuhksuhkrut ja teate, et 140 grammi mahub ühte lihvitud klaasi, tehke järgmine proportsioon: 100 = X140 = 1
7. Arvutage välja, mis X.X = 100 x 1 / 140 = 0,7 See tähendab, et vajate 0,7 tassi tuhksuhkrut.
8. Juhtub, et tuleb välja arvutada tervik, teades ainult protsentuaalset osa. Oletame, et teate, et ettevõttes on keskeriharidusega 21 inimest, mis moodustab 5% töötajate koguarvust. Töötajate koguarvu arvutamiseks moodustage proportsioon: X (inimene) = 100%, 21 = 5%. 21 x 100 / 5 = 420 inimest.
9. Seega, olles olemasolevad andmed kahele reale üles kirjutanud, tuleb tundmatu liikme väärtus leida järgmiselt: korrutada omavahel need proportsiooni liikmed, mis on tundmatu kõrval ja kõrgemal ning saadud arv jagada väärtus, mis on diagonaalselt tundmatust A = BS = JAH = B x C / D; B = A x D/C; C = A x D/B; D = C x B / A
Geomeetrias on mitut tüüpi diagonaale. Diagonaal on lõik, mis ühendab hulknurga või hulktahuka kahte mittekülgnevat (ei kuulu samasse külge ega serva) tippu. Samuti on hulknurkadeks peetavate tahkude diagonaale ja hulktahuka erinevate tahkude tippe ühendavaid ruumilisi diagonaale. On kujundeid, mille kõik diagonaalid on üksteisega võrdsed. Tasapinnal on see korrapärane viisnurk ja ruut, ruumis on see positiivne oktaeedr Teades positiivse hulknurga külgede pikkusi või positiivse hulktahuka servade pikkusi, saab arvutada iga diagonaali pikkuse.
1. Igas korrapärases hulknurgas on nurgad üksteisega võrdsed ja arvutatakse valemiga ?? = (N – 2) * 180?/N, kus?? – positiivse hulknurga iga nurk, N – tippude arv Teades hulknurga tippude nurki, saab selle diagonaalid arvutada koosinusteoreemiga BE = v(AB? + AE? – 2 * AB * AE * cos??)
2. Kui tippude arv on suurem kui viis, siis diagonaalide arvutamiseks, mis ühendavad eri külgedel asetsevaid tippe, saab sama koosinusteoreemi abil arvutada saadud kolmnurkade nurgad. Oletame, et kuusnurgas ABCDEF tuleb diagonaali BE leidmiseks arvutada diagonaal CE, seejärel kasutada nurga arvutamiseks sama koosinusteoreemi??, siis?? = ?? -??. Seega BE = v(BC? + CE? – 2 * BC * CE * cos??).
Video teemal
Märge!
Hulktahuka ruumilise diagonaali arvutamiseks peate konstrueerima seda diagonaali sisaldava lõigu, arvutama selle lõigu tippude nurgad, pidades lõiku tasaseks hulknurgaks. Seejärel saab ülaltoodud diagrammi abil arvutada diagonaali.
Mis on proportsioon? Matemaatilisest vaatenurgast on proportsioon 2 suhte võrdsus. Kõik proportsiooni osad on üksteisest sõltuvad ja nende tulemus on vankumatu.
Sa vajad
- – Algebra õpik 7. klassile.
1. Võrdsuse servadel olevaid arve nimetatakse äärmuslikeks. Sellest lähtuvalt on keskmised keskmised. Proportsiooni põhiomadus seisneb selles, et võrdsuse äärmist ja keskmist osa saab omavahel korrutada. Võtke proportsioon 6:3=8:4. Korrutage äärmised osad kokku, saate 6 * 4 = 24, keskmiste osade korrutis on samuti võrdne 24-ga. Siit ka tulemus: proportsiooni mõne osa korrutis peab olema võrdne teiste osade korrutisega (äärmuslik = keskmine).
2. Võtke see proportsiooni kvaliteet kasutusele, arvutage võrrandi x: 4 = 15: 3 võõras liige. Proportsiooni tundmatu osa avastamiseks kasutage äärmise ja keskmise osa samaväärsuse reeglit. Kirjutage see võrrand järgmiselt: x*3=4*15. Selle võrrandi lahendamine annab teile õige proportsiooni.
3. Kui proportsioon koosneb suur- või murdarvudest, saab seda lihtsustada. Vähendage suhte mõlemat osa identne arv kordi. Proportsiooni rikkumise vältimiseks toimige järgmiselt: 40:10=60:15. Suurendage suhte mõlemat terminit kolm korda (120:30=60:15) või vähendage teise suhte osasid (40:10=12:3). Mõlemad proportsioonid on positiivsed.
4. Suurendage või vähendage proportsioone ainult identne arv kordi. Olles saanud lihtsustatud ümberkujundamise, vabastate proportsiooni murdosadest ja lihtsustate võrrandit. Võtke näide: 200:25=56:x. Suurte arvudega arvutuste tegemise vältimiseks jagage need sama arvuga. Kui võtame selle arvuna 25, saab võrrand järgmise kuju: 8:1=56:x. Selle proportsiooni tundmatu osa saab peas kindlaks määrata ilma keerulisi arvutusi kasutamata.
5. Proportsioonide osi saab ümber paigutada. Võtke proportsioon 3:5=12:20. Välisosade ümberpaigutamine (20:5=12:3), võimalik on ka kõigi osade samaaegne ümberpaigutamine (20:12=5:3). Kõik proportsioonid on õiged. Nii et ühest proportsioonist saate mitu ja need kõik on positiivsed.
Märge!
Proportsioonide osade ümberrühmitamine kohtadesse on ülesannete lahendamisel mugav.
Abistavad nõuanded
Kõigi proportsioonide põhikvaliteet: ab = bc.
Matemaatikas on proportsioon kahe suhte võrdsus. Kõiki selle osi iseloomustab vastastikune sõltuvus ja pidev tulemus. Proportsioonide lahendamise teesi mõistmiseks piisab ühe näite vaatamisest.
1. Uurige proportsioonide omadusi. Võrdsuse servadel olevaid numbreid nimetatakse äärmuslikeks ja keskel asuvaid numbreid keskmiseks. Proportsiooni peamine omadus on see, et võrdsuse keskmist ja äärmist osa saab omavahel korrutada. Piisab, kui võtta proportsioon 8:4 = 6:3. Kui korrutada äärmised osad kokku, saad 8*3=24, nagu keskmiste arvude korrutamisel. See tähendab, et proportsiooni äärmiste osade korrutis on alati võrdne selle keskmiste osade korrutisega.
2. Arvestage proportsiooni põhikvaliteeti, et arvutada tundmatu liige võrrandis x: 4 = 8: 2. Proportsiooni tundmatu osa leidmiseks tuleks kasutada keskmise ja äärmise osa samaväärsuse reeglit. Kirjutage võrrand kujul x*2=4*8, see tähendab x*2=32. Lahendage see võrrand (32/2), saate proportsiooni (16) puuduva liikme.
3. Lihtsusta proportsiooni, kui see koosneb murdarvudest või suurtest arvudest. Selleks jagage või korrutage selle mõlemad liikmed identse arvuga. Näiteks proportsiooni 80:20=120:30 kombineeritud osi saab lihtsustada, jagades selle liikmed 10-ga (8:2=12:3). Saate samaväärse võrdsuse. Sama juhtub, kui suurendate proportsiooni kõiki tingimusi, näiteks 2 võrra, nii et 160:40 = 240:60.
4. Proovige proportsioonide osi ümber paigutada. Näiteks 6:10=24:40. Vahetage välimised osad (40:10=24:6) või paigutage kõik osad korraga ümber (40:24=10:6). Kõik saadud proportsioonid on samaväärsed. Nii saad ühest mitu võrdsust.
5. Lahenda proportsioon protsentidega. Kirjutage see üles näiteks kujul: 25=100%, 5=x. Nüüd peate korrutama keskmised terminid (5 * 100) ja jagama kuulsa äärmusega (25). Tulemuseks on, et x = 20%. Samamoodi saate korrutada kuulsad äärmuslikud terminid ja jagada need olemasoleva keskmisega, saades soovitud tulemuse.
Viimases videotunnis vaatlesime protsentuaalsete ülesannete lahendamist proportsioonide abil. Seejärel oli meil vaja vastavalt ülesande tingimustele leida ühe või teise suuruse väärtus.
Seekord on alg- ja lõppväärtused meile juba antud. Seetõttu nõuavad probleemid protsendi leidmist. Täpsemalt, mitu protsenti on see või teine väärtus muutunud. Proovime.
Ülesanne. Tossud maksavad 3200 rubla. Pärast hinnatõusu hakkasid need maksma 4000 rubla. Mitme protsendi võrra tõsteti tossude hinda?
Niisiis, me lahendame proportsioonide kaudu. Esimene samm - algne hind oli 3200 rubla. Seetõttu on 3200 rubla 100%.
Lisaks anti meile lõpphind - 4000 rubla. See on teadmata protsent, nii et nimetagem seda x-ks. Saame järgmise konstruktsiooni:
3200 — 100%
4000 – x%
Noh, probleemi seis on kirjas. Teeme proportsiooni:
Vasakpoolne murdosa tühistab suurepäraselt 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Teise võimalusena saate seda lühendada 4: 32: 4 = 8 võrra; 40: 4 = 10. Saame järgmise proportsiooni:
Kasutame proportsiooni põhiomadust: äärmusliikmete korrutis võrdub keskmiste liikmete korrutisega. Saame:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
See on tavaline lineaarvõrrand. Siit leiame x:
x = 1000: 8 = 125
Seega saime lõpliku protsendi x = 125. Aga kas arv 125 on probleemi lahendus? Pole võimalik! Sest ülesanne nõuab välja selgitamist, mitme protsendi võrra tõsteti tossude hinda.
Millise protsendi võrra – see tähendab, et peame leidma muudatuse:
∆ = 125 − 100 = 25
Saime 25% – nii palju tõsteti alghinda. See on vastus: 25.
Ülesanne B2 protsentide kohta nr 2Liigume edasi teise ülesande juurde.
Ülesanne. Särk maksis 1800 rubla. Pärast hinna alandamist hakkas see maksma 1530 rubla. Mitme protsendi võrra särgi hinda alandati?
Tõlgime tingimuse matemaatilisse keelde. Alghind on 1800 rubla - see on 100%. Ja lõpphind on 1530 rubla - me teame seda, kuid me ei tea, mitu protsenti see on algväärtusest. Seetõttu tähistame seda x-ga. Saame järgmise konstruktsiooni:
1800 — 100%
1530 – x%
Saadud kirje põhjal loome proportsiooni:
Edasiste arvutuste lihtsustamiseks jagame selle võrrandi mõlemad pooled 100-ga. Teisisõnu kriipsutame vasaku ja parema murru lugejast maha kaks nulli. Saame:
Nüüd kasutame taas proportsiooni põhiomadust: äärmusliikmete korrutis võrdub keskmiste liikmete korrutisega.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Jääb üle vaid leida x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Saime, et x = 85. Kuid nagu eelmises ülesandes, ei ole see arv iseenesest lahendus. Lähme tagasi oma seisundi juurde. Nüüd teame, et pärast alandamist saadud uus hind on 85% vanast. Ja muudatuste leidmiseks on vaja vanast hinnast, st. 100%, lahutage uus hind, s.o. 85%. Saame:
∆ = 100 − 85 = 15
See number on vastus: Pange tähele: täpselt 15 ja mitte mingil juhul 85. See on kõik! Probleem on lahendatud.
Tõenäoliselt küsivad tähelepanelikud õpilased: miks esimeses ülesandes lahutasime erinevuse leidmisel lõpparvust algarvu ja teises ülesandes tegime täpselt vastupidist: esialgsest 100% -st lahutasime lõpliku 85%?
Olgem selles küsimuses selged. Formaalselt on matemaatikas suuruse muutus alati lõppväärtuse ja algväärtuse vahe. Teisisõnu, teises ülesandes oleksime pidanud saama mitte 15, vaid −15.
Seda miinust ei tohiks aga mingil juhul vastusesse lisada, sest see on juba algse probleemi tingimustes arvesse võetud. See ütleb otse hinna alandamise kohta. Ja 15% hinnaalandus on sama, mis hinnatõus −15%. Sellepärast piisab ülesande lahenduses ja vastuses lihtsalt 15 kirjutamisest - ilma miinusteta.
See on kõik, ma loodan, et oleme selle lahendanud. See lõpetab meie tänase õppetunni. Kohtumiseni jälle!
Kuid kõik pole nii keeruline ja arusaamatu, kui esmapilgul tundub. Miks seda kõike vaja on? Siin on kõige levinum näide.
Oletame, et meie veebisaidil on pilt üles laaditud ja me tahame, et pärast laadimist looks miniatuurse koopia ehk pildi eelvaate. Sageli on see vajalik näiteks uudiste teatavaks tegemiseks. Ja skript nõuab, et määraksite vähemalt miniatuurse pildi ligikaudsed mõõtmed - selle laius ja kõrgus.
Ütleme ka, et olete selle laiuse juba välja toonud, aga kuidas on lood kõrgusega? Kuidas seda arvutada nii, et pilt näiks enam-vähem proportsionaalne originaaliga.
ArvutusvalemKõik tehakse kahes etapis:
- 1 - jagage originaal laius vajaliku laiusega;
- 2 - Saame vajaliku kõrguse, jagades algse kõrguse kahe laiuse jagamise tulemusega (samm 1).
Näide. Võtame juba kõigile teada pildi suurused: 1024x768 ja 800x600. Kujutagem ette, et me ei tea teise pildi kõrgust. Valem annab järgmise: 768/(1024/800) = 600. See on kõrgus, mida me vajame.
Kui me teame kõrgust, kuid peame saama laiuse, siis peame tegema kõik nagu esimeses valemis, ainult vastupidi.
Vajaliku laiuse saamiseks vajate:
- 1 - jagage algne kõrgus vajaliku kõrgusega;
- 2 - Saame vajaliku laiuse, jagades algse laiuse kahe kõrguse jagamise tulemusega (samm 1).
See tähendab, et 1024/(768/600) = 800.
See viimane artikkel on kirjutatud selleks, et hõlmata uusimat teavet tarbetute linkide eemaldamise kohta Blogspoti mallidest ja uutest Bloggeri teemadest. Nagu teate, toimus 2018. aastal Bloggeri koodides muudatusi, mistõttu tuleb paljusid koodiga toiminguid teha uuel viisil. Lisaks on ilmunud uued teemad, mis on erinevalt kujundatud. Nende muudatustega seoses käsitleme linkide eemaldamise teemat.
Saate kontrollida oma ajaveebi väliste linkide olemasolu teenustes https://pr-cy.ru/link_extractor/ ja https://seolik.ru/links. Ärge unustage, et peate kontrollima mitte ainult ajaveebi avalehte, vaid ka postituste lehte ja lehte. Suur hulk indekseerimiseks avatud välislinke takistab .
Sellised mallid annavad kõige rohkem väliseid linke. Kui ma oma testblogis lihtsat teemat installisin, siis kontrollisin, et pealehel oleks 25 välist linki, millest 14 olid indekseeritud.
Tuletan meelde, et enne malli koodis muudatuste tegemist tehke varukoopia!
Ja siin on täielik kood:
Salvestage muudatused ja vaadake blogist Attribution.
Siin on mittetäielik loend linkidest, mis on mutrivõtmeikoonides krüpteeritud (blogi ID on teie)
- HTML1 vidin: http://www.blogger.com/rearrange?blogID=1490203873741752013&widgetType=HTML&widgetId=HTML1&action=editWidget§ionId=header
- HTML2 vidin http://www.blogger.com/rearrange?blogID=1490203873741752013&widgetType=HTML&widgetId=HTML2&action=editWidget§ionId=header
- ajaveebi arhiiv: http://www.blogger.com/rearrange?blogID=1490203873741752013&widgetType=BlogArchive&widgetId=BlogArchive1&action=editWidget§ionId=main
- Blogi otseteed: http://www.blogger.com/rearrange?blogID=1490203873741752013&widgetType=Label&widgetId=Label1&action=editWidget§ionId=main
- Populaarsed sõnumid: http://www.blogger.com/rearrange?blogID=1490203873741752013&widgetType=PopularPosts&widgetId=PopularPosts2&action=editWidget§ionId=main
Kõigist nendest linkidest on lihtne lahti saada. Leidke silt oma ajaveebi mallist. Seda kuvatakse nii mitu korda, kui teie ajaveebis on vidinaid. Eemaldage kõik sildi esinemised.
Kuidas kustutada:
1. meetod. Muutke vahekaardil Kujundus elementi "Blogipostitused" ja tühjendage märkeruut "Kuva "Kiiredigeerimine"".
2. meetod. Leidke oma ajaveebi mallist silt ja eemaldage see. Salvestage oma muudatused ja kontrollige oma blogis ikooni ja linki.
Nimelt:
funktsioon setAttributeOnload(objekt, atribuut, val) (
if(window.addEventListener) (
window.addEventListener("load",
function())( objekt = val; ), false);
) muidu (
window.attachEvent("onload", function())( objekt = val; ));
}
}
gapi.load("gapi.iframes:gapi.iframes.style.bubble", function() (
if (gapi.iframes && gapi.iframes.getContext) (
gapi.iframes.getContext().openChild((
url: "https://www.blogger.com/navbar.g?targetBlogID\x3d1490203873741752013\x26blogName\x3dnew\x26publishMode\x3dPUBLISH_MODE_BLOGSPOT\x26navbarType\RoightdLIGHTyxt6LIGHTyx8x3d \x 3dhttps://m-ynewblog.blogspot. com /search\x26blogLocale\x3dru\x26v\x3d2\x26homepageUrl\x3dhttps://m-ynewblog.blogspot.com/\x26vt\x3d-3989465016614688571",
kus: document.getElementById("navbar-iframe-container"),
id: "navbar-iframe"
});
}
});
(funktsioon() (
var skript = document.createElement("skript");
script.type = "tekst/javascript";
script.src = "//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/google_top_exp.js";
var head = document.getElementsByTagName("head");
kui (pea) (
head.appendChild(script);
}})();
Nüüd ei paku ajaveebi Navbar indekseeritavaid välislinke, kuid usun, et see on lisaelement, mis ei kanna funktsionaalset koormust ja parem on see eemaldada.
Tehtud Google Plusi profiili redigeerimise näitel. Tuletame meelde, et Google Plusi tootmine lõpetatakse 2. aprillil 2019. Sellest tulenevalt peate pärast seda kuupäeva vidina koodis "Minust" muid muudatusi tegema.
Järgige jaotises Blogi seaded teed Blogi sätted -> Muu -> Saidi voog -> Luba ajaveebi voog, rakendage järgmisi sätteid:
Leiame blogimallist Attribution1 vidinate (vidinate loendi) järgi otsimiseks ja kustutame koodi koos jaotisega sarnaselt vanale Bloggeri mallile (vt ülalt 1).
Kogu kood näeb välja selline:
§ 125. Proportsiooni mõiste.
Proportsioon on kahe suhte võrdsus. Siin on näited võrdsustest, mida nimetatakse proportsioonideks:
Märge. Koguste nimetusi proportsioonides ei märgita.
Proportsioone loetakse tavaliselt järgmiselt: 2 on 1 (ühik) ja 10 on 5 (esimene proportsioon). Saate seda lugeda erinevalt, näiteks: 2 on sama mitu korda rohkem kui 1, mitu korda on 10 rohkem kui 5. Kolmandat proportsiooni saab lugeda nii: - 0,5 on sama mitu korda vähem kui 2, mitu korda 0,75 on väiksem kui 3.
Proportsioonis sisalduvaid arve nimetatakse proportsiooniliikmeteks. See tähendab, et proportsioon koosneb neljast terminist. Esimest ja viimast liiget, st äärtes asuvaid termineid, nimetatakse äärmuslikeks ja keskel asuvate osakaalu liikmeid nimetatakse keskteks. See tähendab, et esimeses proportsioonis on numbrid 2 ja 5 äärmuslikud liikmed ning arvud 1 ja 10 proportsiooni keskmised liikmed.
§ 126. Proportsiooni põhiomadus.
Mõelge proportsioonile:
Korrutame selle äärmus- ja keskliikmed eraldi. Äärmuste korrutis on 6 4 = 24, keskmiste korrutis on 3 8 = 24.
Vaatleme teist proportsiooni: 10: 5 = 12: 6. Korrutame ka siin äärmus- ja keskliikmed eraldi.
Äärmuste korrutis on 10 6 = 60, keskmiste korrutis on 5 12 = 60.
Proportsiooni põhiomadus: proportsiooni äärmiste liikmete korrutis on võrdne selle keskmiste liikmete korrutisega.
Üldiselt kirjutatakse proportsiooni peamine omadus järgmiselt: reklaam = eKr .
Kontrollime seda mitmes proportsioonis:
1) 12: 4 = 30: 10.
See proportsioon on õige, kuna suhted, millest see koosneb, on võrdsed. Samas, võttes proportsiooni äärmusliikmete korrutise (12 10) ja selle keskmiste liikmete korrutise (4 30), näeme, et need on omavahel võrdsed, s.t.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Proportsioon on õige, mida on lihtne kontrollida, lihtsustades esimest ja teist suhet. Proportsiooni peamine omadus on järgmisel kujul:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Pole raske kontrollida, et kui kirjutada võrrand, mille vasakul küljel on kahe arvu korrutis ja paremal kahe teise arvu korrutis, siis saab nendest neljast arvust teha proportsiooni.
Olgu meil võrdus, mis sisaldab nelja paarikaupa korrutatud arvu:
need neli numbrit võivad olla proportsiooniliikmed, mida pole raske kirjutada, kui võtta esimene korrutis äärmuste ja teine keskmiste liikmete korrutis. Avaldatud võrdsuse saab koostada näiteks järgmises proportsioonis:
Üldiselt võrdõiguslikkusest reklaam = eKr võib saada järgmised proportsioonid:
Tehke ise järgmine harjutus. Arvestades kahe arvupaari korrutist, kirjutage igale võrdsusele vastav proportsioon:
a) 1 6 = 2 3;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Tundmatute proportsiooniliikmete arvutamine.
Proportsiooni põhiomadus võimaldab teil arvutada mis tahes proportsiooni tingimusi, kui see pole teada. Võtame proportsiooni:
X : 4 = 15: 3.
Selles proportsioonis on üks äärmuslik liige teadmata. Teame, et mis tahes proportsioonis võrdub äärmuslike liikmete korrutis keskmiste liikmete korrutisega. Selle põhjal võime kirjutada:
x 3 = 4 15.
Pärast 4 korrutamist 15-ga saame selle võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
X 3 = 60.
Vaatleme seda võrdsust. Selles on esimene tegur teadmata, teine tegur on teada ja toode on teada. Teame, et tundmatu teguri leidmiseks piisab toote jagamisest teise (teadaoleva) teguriga. Siis selgub:
X= 60:3 või X = 20.
Kontrollime leitud tulemust, asendades selle asemel numbri 20 X selles proportsioonis:
Proportsioon on õige.
Mõelgem, milliseid toiminguid pidime tegema, et arvutada proportsiooni tundmatu äärmuslik liige. Proportsiooni neljast liikmest oli meile tundmatu vaid äärmuslik; olid teada kaks keskmist ja teine äärmus. Proportsiooni äärmusliku liikme leidmiseks korrutasime esmalt keskmised liikmed (4 ja 15) ning seejärel jagasime leitud toote teadaoleva äärmusliikmega. Nüüd näitame, et toimingud ei muutuks, kui soovitud proportsiooni äärmuslik termin ei oleks mitte esimesel, vaid viimasel kohal. Võtame proportsiooni:
70: 10 = 21: X .
Paneme kirja proportsiooni põhiomaduse: 70 X = 10 21.
Korrutades arvud 10 ja 21, kirjutame võrdsuse ümber järgmiselt:
70 X = 210.
Siin on üks tegur teadmata, selle arvutamiseks piisab korrutise (210) jagamisest teise teguriga (70),
X = 210: 70; X = 3.
Seega võime öelda, et proportsiooni iga äärmusliige on võrdne keskmiste korrutisega, mis on jagatud teise äärmusega.
Liigume nüüd tundmatu keskmise liikme arvutamise juurde. Võtame proportsiooni:
30: X = 27: 9.
Kirjutame proportsiooni peamise omaduse:
30 9 = X 27.
Arvutame 30 korrutise 9-ga ja korraldame viimase võrrandi osad ümber:
X 27 = 270.
Leiame tundmatu teguri:
X= 270:27 või X = 10.
Kontrollime asendusega:
30:10 = 27:9. Proportsioon on õige.
Võtame teise proportsiooni:
12: b = X: 8. Kirjutame proportsiooni põhiomaduse:
12 . 8 = 6 X. Korrutades 12 ja 8 ning paigutades ümber võrdsuse osad, saame:
6 X= 96. Leidke tundmatu tegur:
X= 96:6 või X = 16.
Seega on proportsiooni iga keskmine liige võrdne äärmuste korrutisega, mis on jagatud teise keskmisega.
Leidke järgmiste proportsioonide tundmatud tingimused:
1) A : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Viimased kaks reeglit saab üldises vormis kirjutada järgmiselt:
1) Kui proportsioon näeb välja selline:
x: a = b: c, See
2) Kui proportsioon näeb välja selline:
a: x = b: c, See
§ 128. Proportsiooni lihtsustamine ja selle tingimuste ümberkorraldamine.
Selles jaotises tuletame reeglid, mis võimaldavad meil proportsiooni lihtsustada juhul, kui see sisaldab suuri numbreid või murdosa. Teisendused, mis proportsiooni ei riku, hõlmavad järgmist:
1. Mis tahes suhte mõlema liikme samaaegne suurendamine või vähendamine sama arv kordi.
NÄIDE 40:10 = 60:15.
Korrutades esimese suhte mõlemad liikmed 3-ga, saame:
120:30 = 60: 15.
Proportsiooni ei rikutud.
Vähendades teise seose mõlemat liiget 5 korda, saame:
Saime jälle õige proportsiooni.
2. Mõlema eelneva või mõlema järgneva liikme samaaegne suurendamine või vähendamine sama arvu kordi.
Näide. 16:8 = 40:20.
Kahekordistame mõlema suhte eelmised tingimused:
Saime õige proportsiooni.
Vähendame mõlema seose järgnevaid liikmeid 4 korda:
Proportsiooni ei rikutud.
Saadud kaks järeldust võib lühidalt välja tuua järgmiselt: Proportsiooni ei rikuta, kui me suurendame või vähendame samaaegselt proportsiooni mis tahes äärmuslikku ja keskmist liiget sama arv kordi.
Näiteks vähendades proportsiooni 16:8 = 40:20 esimest äärmuslikku ja teist keskmist liiget 4 korda, saame:
3. Proportsiooni kõikide liikmete samaaegne suurendamine või vähendamine sama palju kordi. Näide. 36:12 = 60:20. Suurendame kõiki nelja arvu 2 korda:
Proportsiooni ei rikutud. Vähendame kõiki nelja arvu 4 korda:
Proportsioon on õige.
Loetletud teisendused võimaldavad esiteks proportsioone lihtsustada ja teiseks neid murdosadest vabastada. Toome näiteid.
1) Olgu proportsioon:
200: 25 = 56: x .
Selles on esimese suhte liikmed suhteliselt suured arvud ja kui tahtsime väärtust leida X, siis peaksime nende arvude põhjal arvutusi tegema; kuid me teame, et proportsiooni ei rikuta, kui suhte mõlemad liikmed jagatakse sama arvuga. Jagame igaüks neist 25-ga. Proportsioon on järgmine:
8:1 = 56: x .
Nii oleme saanud mugavama proportsiooni, millest X võib meelest leida:
2) Võtame proportsiooni:
2: 1 / 2 = 20: 5.
Selles proportsioonis on murdosa (1/2), millest saate lahti saada. Selleks peate selle liikme korrutama näiteks 2-ga. Kuid meil ei ole õigust proportsiooni üht keskmist liiget suurendada; koos sellega on vaja suurendada ühte äärmuslikku liiget; siis proportsiooni ei rikuta (kahe esimese punkti alusel). Suurendame esimest äärmuslikest mõistetest
(2 2) : (2 1/2) = 20:5 või 4:1 = 20:5.
Suurendame teist äärmuslikku liiget:
2: (2 1/2) = 20: (2 5) või 2: 1 = 20:10.
Vaatame veel kolme näidet proportsioonide vabastamise kohta murdosadest.
Näide 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Toome murrud ühise nimetaja juurde:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Korrutades esimese suhte mõlemad liikmed 8-ga, saame:
Näide 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7. Toome murrud ühise nimetaja juurde:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Korrutame mõlemad järgnevad liikmed 14-ga, saame: 12:15 = 16:20.
Näide 3. 1/2: 1/48 = 20:5/6.
Korrutame kõik proportsiooni liikmed 48-ga:
24: 1 = 960: 40.
Ülesannete lahendamisel, milles esinevad mingid proportsioonid, on sageli vaja proportsiooni tingimusi erinevatel eesmärkidel ümber paigutada. Mõelgem, millised permutatsioonid on seaduslikud, st ei riku proportsioone. Võtame proportsiooni:
3: 5 = 12: 20. (1)
Selles äärmuslikke termineid ümber korraldades saame:
20: 5 = 12:3. (2)
Korraldame nüüd keskmised terminid ümber:
3:12 = 5: 20. (3)
Korraldame korraga ümber nii äärmuslikud kui ka keskmised terminid:
20: 12 = 5: 3. (4)
Kõik need proportsioonid on õiged. Nüüd paneme esimese seose teise asemele ja teise esimese asemele. Saate proportsiooni:
12: 20 = 3: 5. (5)
Selles proportsioonis teeme samad ümberpaigutused, mis varemgi, st paigutame esmalt ümber äärmuslikud terminid, seejärel keskmised ja lõpuks nii äärmuslikud kui ka keskmised korraga. Saate veel kolm proportsiooni, mis on samuti õiglane:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Seega ühest etteantud proportsioonist saab ümberkorraldades juurde 7 proportsiooni, mis koos selle proportsiooniga teeb 8 proportsiooni.
Kõigi nende proportsioonide paikapidavust on eriti lihtne avastada tähtedega kirjutades. Ülaltoodud 8 proportsiooni on järgmisel kujul:
a: b = c: d; c: d = a: b;
d: b = c: a; b:d = a:c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
On lihtne näha, et kõigis nendes proportsioonides on peamine omadus järgmine:
reklaam = eKr.
Seega ei riku need permutatsioonid proportsioonide õiglust ja neid saab vajadusel kasutada.