Koonuse lõige ellipsi kujul. Parempoolse ringikujulise koonuse lõige

Kui kooniline pind lõigatakse tasapinnaga, saadakse teist järku kõverad - ring, ellips, parabool ja hüperbool. Sageli manduvad lõiketasandi teatud kohas ja koonuse tipu (S∈γ) läbimisel ring ja ellips punktiks või koonuse üks-kaks generatriksi langevad lõikesse.

Annab - ringi, kui lõiketasand on risti oma teljega ja lõikub kõik genereerivad pinnad.

Annab - ellipsi, kui lõiketasand ei ole risti oma teljega ja lõikub kõigi genereerivate pindadega.

Ehitame elliptika ω lennuk α , hõivates üldise positsiooni.

Probleemi lahendamine sisse lülitatud parempoolse ringkoonuse ristlõige tasapind on oluliselt lihtsustatud, kui lõiketasapind asub eenduvas asendis.

Projektsioontasandite muutmise meetodit kasutades tõlgime tasapinna α üldisest asendist konkreetsele - frontaalselt eenduv. Projektsioonide frontaaltasandil V 1 ehitame lennukist jälje α ja koonuse pinna projektsioon ω tasapind annab ellipsi, kuna lõiketasapind lõikub koonuse kõigi generaatritega. Ellips projitseeritakse teist järku kõverana projektsioonitasandile.
Lennuki jäljel α V võta suvaline punkt 3" mõõdame selle kaugust projektsioonitasandist H ja pane see pikali piki sideliini juba lennukis V 1, saan punkti 3" 1 . Rada läheb sellest läbi αV 1. Koonuse lõikejoon ω - punktid A" 1, E" 1ühtib siin lennuki jäljega. Järgmisena konstrueerime projektsioonide esitasandile joonestades abilõiketasandi γ3 V 1 tema jälg γ 3V 1. Koonilise pinnaga lõikuv abitasand ω annab ringi ja ristub tasapinnaga α annab horisontaalse joone h3. Ringiga lõikuva sirge omakorda annab vajalikud punktid C` ja K` tasapinnalised ristumiskohad α koonilise pinnaga ω . Vajalike punktide esiprojektsioonid C" ja K" konstrueerida lõiketasandisse kuuluvate punktidena α .

Punkti leidmiseks E(E', E") läbilõike jooned, tõmmake horisontaalselt eenduv tasapind läbi koonuse ülaosa γ 2 H, mis ristub tasapinnaga α sirgjoonel 1-2(1`-2`, 1"-2") . Ristmik 1"-2" sideliiniga annab punkti E"- lõikejoone kõrgeim punkt.

Lõikejoone frontaalprojektsiooni nähtavuspiiri tähistava punkti leidmiseks tõmmake läbi koonuse ülaosa horisontaalselt väljaulatuv tasapind γ 5 H ja leidke horisontaalprojektsioon F` soovitud punkt. Samuti lennuk γ 5 H ristub lennukiga α eesmine f(f`, f"). Ristmik f" sideliiniga annab punkti F". Horisontaalsel projektsioonil saadud punktid ühendame sujuva kõveraga, märkides sellele vasakpoolseima punkti G - ühe ristumisjoone iseloomulikest punktidest.
Seejärel konstrueerime projektsioonide V1 ja V frontaaltasanditel projektsioonid G. Ühendame kõik projektsioonide V frontaaltasandi lõikejoone konstrueeritud punktid sileda joonega.

Annab - parabooli, kui lõiketasand on paralleelne koonuse ühe generatriksiga.

Kõverate projektsioonide - kooniliste lõigete koostamisel on vaja meeles pidada teoreemi: pöördekoonuse tasase lõigu ortogonaalne projektsioon selle teljega risti olevale tasapinnale on teist järku kõver ja üks selle fookustest on ristsuunaline. koonuse tipu projektsioon sellele tasapinnale.

Vaatleme lõigu projektsioonide ehitamist lõiketasapinnal α paralleelne koonuse ühe generatriksiga (SD).

Ristlõike tulemuseks on parabool, mille tipp on punktis A(A`, A"). Teoreemi järgi koonuse tipp S fookusesse projitseeritud S`. Teadaolevate järgi =R S` määrake parabooli sihi asukoht. Seejärel joonistatakse kõvera punktid võrrandi abil p=R.

Lõikeprojektsioonide ehitamine lõiketasandil α paralleelselt ühe koonuse generaatoriga saab teha järgmist:

Koonuse ülaosa läbivate horisontaalselt väljaulatuvate abitasandite abil γ 1 H Ja γ 2 H.

Esiteks määratakse punktide esiprojektsioonid F", G"- generaatorite ristumiskohas S"1", S"2" ja lõiketasandi jälg α V. Sideliinide ristumiskohas γ 1 H Ja γ 2 H olla kindlaks määratud F', G'.

Sarnaselt saab määratleda näiteks ka teisi lõikejoone punkte D", E" Ja D', E'.

Kasutades abi frontaalprojektsiooni tasapindu ⊥ koonuse telg γ 3 V Ja γ 4 V.

Abitasandite lõigu ja koonuse projektsioonid tasapinnale H, tekivad ringid. Abitasapindade lõikejooned lõiketasandiga α seal on eest eenduvad sirgjooned.

Annab - hüperbooli, kui lõiketasand on paralleelne koonuse kahe generaatoriga.

Munitsipaalharidusasutus

4. keskkool

Koonilised lõigud

Lõpetatud

Spiridonov Anton

11A klassi õpilane

Kontrollitud

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Sissejuhatus

Kooniliste lõikude mõiste

Kooniliste sektsioonide tüübid

Uuring

Kooniliste sektsioonide ehitamine

Analüütiline lähenemine

Rakendus

Bibliograafia

Sissejuhatus.

Eesmärk: uurida koonuselõike.

Eesmärgid: õppida eristama koonuselõike tüüpe, konstrueerima kineetilisi lõike ja rakendama analüütilist lähenemist.

Koonuslõikeid pakkus esmakordselt kasutusele Vana-Kreeka geomeeter Menaechmus, kes elas 4. sajandil eKr, lahendades kuubi kahekordistamise probleemi. See ülesanne on seotud järgmise legendiga.

Ühel päeval puhkes Delose saarel katkuepideemia. Saare elanikud pöördusid oraakli poole, kelle sõnul on epideemia peatamiseks vaja kahekordistada Ateenas Apolloni templis asunud kuubikujulist kuldset altarit. Saarlased valmistasid uue altari, mille ribid olid kaks korda suuremad kui eelmisel. Katk aga ei lakanud. Vihased elanikud kuulsid oraaklilt, et said tema juhistest valesti aru – kahekordistada polnud vaja mitte kuubi servi, vaid selle mahtu ehk kuubi servi kahekordistada. Geomeetrilise algebra mõistes, mida kasutasid kreeka matemaatikud, tähendas ülesanne seda, et antud lõigule a leidke lõigud x ja y nii, et a: x = x: y = y: 2a. Siis on lõigu x pikkus võrdne .

Antud proportsiooni võib pidada võrrandisüsteemiks:

Kuid x 2 =ay ja y 2 =2ax on paraboolide võrrandid. Seetõttu tuleb ülesande lahendamiseks leida nende ristumispunktid. Kui võtta arvesse, et süsteemist on võimalik saada ka hüperbooli võrrand xy=2a 2, siis sama ülesande saab lahendada ka parabooli ja hüperbooli lõikepunktide leidmisega.

Kooniliste lõikude saamiseks lõi Menaechmus terava, ristkülikukujulise või nürikujulise koonuse tasapinnaga, mis oli risti ühe generatriitsiga. Teravnurkse koonuse korral on selle generaatoriga risti oleva tasandi lõige ellipsi kujuga. Nürikoonus annab hüperbooli ja ristkülikukujuline koonus parabooli.

Siit pärinevad ka kõverate nimetused, mille võttis kasutusele Apollonius Pergast, kes elas 3. sajandil eKr: ellips (έλλείψίς), mis tähendab viga, puudujääki (koonuse ja sirge nurga nurgast) ; hüperbool (ύπέρβωλη) - liialdus, ülekaal (koonuse nurga üle sirge); parabool (παραβολη) - lähendus, võrdsus (koonuse nurgast täisnurgaga). Hiljem märkasid kreeklased, et lõiketasandi kalde muutmisega on võimalik saada kõik kolm kõverat ühel koonusel. Sel juhul tuleks võtta kahest õõnsusest koosnev koonus ja mõelda, et need ulatuvad lõpmatuseni (joonis 1).

Kui joonistame ringikujulise koonuse lõigu, mis on selle teljega risti, ja pöörame seejärel lõiketasapinda, jättes selle koonuse lõikepunkti ühe paigale, siis näeme, kuidas ring kõigepealt välja venib, muutudes ellipsiks. Siis läheb ellipsi teine tipp lõpmatusse ja ellipsi asemel saad parabooli ning siis lõikub tasapind ka koonuse teise õõnsusega ja saad hüperbooli.

Kooniliste lõikude mõiste.

Koonuslõiked on tasapinnalised kõverad, mis saadakse parempoolse ringkoonuse lõikumisel tasapinnaga, mis ei läbi selle tippu. Analüütilise geomeetria seisukohalt on koonuslõige teist järku võrrandit rahuldavate punktide asukoht. Kui välja arvata viimases osas käsitletud degenereerunud juhtumid, on koonilised lõigud ellipsid, hüperboolid või paraboolid (joonis 2).

Kui täisnurkset kolmnurka pöörata ümber selle ühe jala, kirjeldab hüpotenuus koos pikendustega koonusekujulist pinda, mida nimetatakse parempoolse ringkoonuse pinnaks ja mida võib vaadelda kui pidevat tippu läbivat joonte jada ja mida nimetatakse generaatoriteks, kõik generaatorid. toetub samale ringile, mida nimetatakse tootmiseks. Iga generaator esindab pöörleva kolmnurga hüpotenuusi (teadaolevas asendis), mis on mõlemas suunas lõpmatuseni pikendatud. Seega ulatub iga generatriks mõlemale poole tippu, mille tulemusena on pinnal kaks õõnsust: need koonduvad ühes punktis ühises tipus. Kui sellist pinda lõikab tasapind, moodustab lõik kõvera, mida nimetatakse koonuslõikeks. Seda võib olla kolme tüüpi:

1) kui tasapind lõikub koonilise pinnaga piki kõiki generatrikse, siis tükeldatakse ainult üks õõnsus ja lõigus saadakse suletud kõver, mida nimetatakse ellipsiks;

2) kui lõiketasand lõikab mõlemat õõnsust, siis saadakse kõver, millel on kaks haru ja mida nimetatakse hüperbooliks;

3) kui lõiketasand on paralleelne ühe generaatoriga, siis saadakse parabool.

Kui lõiketasand on paralleelne genereeriva ringjoonega, siis saadakse ring, mida võib käsitleda ellipsi erijuhuna. Lõiketasand saab koonusekujulist pinda lõikuda ainult ühes tipus, siis moodustab lõige punkti, nagu ellipsi erijuhul.

Kui tippu läbiv tasapind lõikab mõlemat õõnsust, siis moodustab lõik ristuvate joonte paari, mida peetakse hüperbooli erijuhuks.

Kui tipp on lõpmatult kaugel, siis muutub kooniline pind silindriliseks ja selle läbilõige generaatoritega paralleelse tasapinna järgi annab parabooli erijuhuks paralleelsete joonte paari. Koonuslõikeid väljendatakse 2. järku võrranditega, mille üldkuju on

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

ja neid nimetatakse 2. järku kõverateks.

Kooniliste sektsioonide tüübid.

Koonilisi sektsioone võib olla kolme tüüpi:

1) lõiketasand lõikab koonuse kõik generatriksid selle ühe õõnsuse punktides; ristumisjoon on suletud ovaalne kõver - ellips; ringjoon kui ellipsi erijuhtum saadakse siis, kui lõiketasand on risti koonuse teljega.

2) lõiketasand on paralleelne ühe koonuse puutujatasandiga; ristlõikes on tulemuseks avatud kõver, mis ulatub lõpmatusse - parabool, mis asub täielikult ühel õõnsusel.

3) lõiketasand lõikab koonuse mõlemat õõnsust; lõikejoon – hüperbool – koosneb kahest identsest lõpmatuseni ulatuvast lahtisest osast (hüperbooli oksad), mis asuvad koonuse mõlemal õõnsusel.

Uuring.

Juhtudel, kui koonilisel lõigul on sümmeetriakese (keskpunkt), st see on ellips või hüperbool, saab selle võrrandit taandada (koordinaatide alguspunkti nihutamisega keskele) kujule:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Selliste (nn kesksete) kooniliste lõikude edasised uuringud näitavad, et nende võrrandeid saab taandada veelgi lihtsamale kujule:

Ax 2 + Wu 2 = C,

kui valime koordinaattelgede suundadeks põhisuunad - koonuslõigete põhitelgede (sümmeetriatelgede) suunad. Kui A-l ja B-l on samad märgid (kattuvad C märgiga), siis võrrand defineerib ellipsi; kui A ja B on erineva märgiga, siis on tegemist hüperbooliga.

Parabooli võrrandit ei saa taandada kujule (Ax 2 + By 2 = C). Koordinaatide telgede õige valiku korral (üks koordinaattelg on parabooli ainuke sümmeetriatelg, teine on sellega risti kulgev sirge, mis läbib parabooli tippu) saab selle võrrandi taandada kujule:

KOONUSOSADE KONSTRUKTSIOON.

Uurides koonuselõike kui tasandite ja koonuste lõikepunkte, pidasid Vana-Kreeka matemaatikud neid ka tasapinna punktide trajektoorideks. Leiti, et ellipsi saab defineerida kui punktide asukohta, mille kauguste summa kahe antud punktini on konstantne; parabool – antud punktist ja antud sirgest võrdsel kaugusel olevate punktide asukohana; hüperbool - punktide lookusena on kauguste erinevus, millest kahe etteantud punktini on konstantne.

Need koonuslõigete kui tasapinnaliste kõverate määratlused viitavad ka meetodile nende konstrueerimiseks venitatud stringi abil.

Ellips. Kui etteantud pikkusega keerme otsad on fikseeritud punktides F 1 ja F 2 (joonis 3), siis on kõver, mida kirjeldab mööda tihedalt venitatud niiti libiseva pliiatsi teravik, ellipsi kuju. Punkte F 1 ja F 2 nimetatakse ellipsi fookusteks ning lõike V 1 V 2 ja v 1 v 2 ellipsi lõikepunktide vahel koordinaattelgedega - suur- ja väiketelg. Kui punktid F 1 ja F 2 langevad kokku, muutub ellips ringiks (joonis 3).

Hüperbool. Hüperbooli konstrueerimisel kinnitatakse punkt P, pliiatsi ots, niidile, mis libiseb vabalt mööda punktidesse F 1 ja F 2 paigaldatud tihvte, nagu on näidatud joonisel 4, a, kaugused valitakse nii, et segment PF 2 on segmendist PF 1 pikema fikseeritud väärtuse võrra väiksem kui vahemaa F 1 F 2 . Sel juhul läheb niidi üks ots tihvti F 1 alt läbi ja niidi mõlemad otsad üle tihvti F 2. (Pliiatsi ots ei tohiks mööda niiti libiseda, seega tuleb see kinnitada, tehes niidile väikese aasa ja keerates teraviku sellest läbi.) Joonistame hüperbooli ühe haru (PV 1 Q), jälgides, et niit jääb kogu aeg pingul ja tõmmates niidi mõlemad otsad punktist F 2 mööda ja kui punkt P on lõigust F 1 F 2 allpool, hoidke niiti mõlemast otsast ja vabastage see ettevaatlikult. Joonistame hüperbooli teise haru, muutes esmalt tihvtid F 1 ja F 2 (joonis 4).

Hüperbooli oksad lähenevad kahele sirgele, mis lõikuvad harude vahel. Need sirgjooned, mida nimetatakse hüperbooli asümptootideks, on konstrueeritud nii, nagu on näidatud joonisel 4, b. Nurk

nende sirgete koefitsiendid on võrdsed kus on asümptootide vahelise nurga poolitaja segment, mis on risti lõiguga F 2 F 1 ; lõiku v 1 v 2 nimetatakse hüperbooli konjugeeritud teljeks ja lõiku V 1 V 2 on selle risttelg. Seega on asümptoodid ristküliku diagonaalid, mille küljed läbivad nelja telgedega paralleelset punkti v 1, v 2, V 1, V 2. Selle ristküliku koostamiseks peate määrama punktide v 1 ja v 2 asukoha. Nad on samal kaugusel, võrdsed

O-telgede lõikepunktist.See valem eeldab täisnurkse kolmnurga ehitamist jalgadega Ov 1 ja V 2 O ning hüpotenuusiga F 2 O.

Kui hüperbooli asümptoodid on üksteisega risti, siis nimetatakse hüperbooli võrdkülgseks. Kahte hüperbooli, millel on ühised asümptoodid, kuid ümber paigutatud põik- ja konjugeeritud teljed, nimetatakse vastastikku konjugeeritud.

Parabool. Ellipsi ja hüperbooli koldeid teadis Apollonius, kuid parabooli fookuse määras ilmselt esmakordselt Pappus (3. sajandi II pool), kes määratles selle kõvera antud punktist (fookusest) võrdsel kaugusel olevate punktide asukohana. ja etteantud sirge, mida nimetatakse direktoriks. Pingutatud niidi abil parabooli konstrueerimise, lähtudes Pappuse määratlusest, pakkus välja Isidore Mileetosest (VI sajand) (joon. 5).

Asetame joonlaua nii, et selle serv langeb kokku sihiga ja kinnitame selle serva külge joonistuskolmnurga ABC jala AC. Kinnitame niidi pikkuse AB ühe otsa kolmnurga tippu B ja teise parabooli F fookusesse. Olles tõmmanud niiti pliiatsiotsaga, suruge ots muutuvas punktis P joonestuskolmnurga vaba jalg AB. Kui kolmnurk liigub mööda joonlauda, kirjeldab punkt P parabooli kaare fookuse F ja suunaga, kuna keerme kogupikkus on võrdne AB-ga, keermetükk külgneb kolmnurga vaba haruga ja seetõttu peab järelejäänud keermetükk PF olema võrdne ülejäänud osa jalaga AB, st PA. Parabooli V lõikepunkti teljega nimetatakse parabooli tipuks, F ja V läbivat sirget on parabooli telg. Kui läbi fookuse tõmmatakse sirgjoon, mis on teljega risti, siis nimetatakse selle sirge parabooliga ära lõigatud lõiku fookusparameetriks. Ellipsi ja hüperbooli puhul määratakse fookusparameeter sarnaselt.

ANALÜÜTILINE LÄHENEMISVIIS

kus kõik koefitsiendid A, B ja C ei ole võrdsed nulliga. Kasutades paralleelset translatsiooni ja telgede pööramist, saab võrrandi (1) taandada vormile

ax 2 + x 2 + c = 0

Esimene võrrand saadakse võrrandist (1) B 2 > AC, teine - B 2 = AC jaoks. Koonilisi lõike, mille võrrandid on taandatud esimesele kujule, nimetatakse tsentraalseteks. Koonuselõike, mis on määratletud teist tüüpi võrranditega, mille q > 0, nimetatakse mittetsentraalseteks. Nendes kahes kategoorias on sõltuvalt koefitsientide märkidest üheksa erinevat tüüpi koonuselõike.

1) Kui koefitsiendid a, b ja c on sama märgiga, siis pole olemas reaalpunkte, mille koordinaadid rahuldaksid võrrandit. Sellist koonuslõiget nimetatakse kujuteldavaks ellipsiks (või mõtteliseks ringiks, kui a = b).

2) Kui a-l ja b-l on sama märk ja c-l on vastandmärk, siis on koonuselõik ellips; kui a = b – ring.

3) Kui a-l ja b-l on erinevad märgid, siis koonuselõik on hüperbool.

4) Kui a ja b märgid on erinevad ja c = 0, siis koosneb koonuslõige kahest lõikuvast sirgest.

5) Kui a ja b on sama märgiga ja c = 0, siis on kõveral ainult üks reaalne punkt, mis rahuldab võrrandit ja koonuslõige on kaks mõttelist ristuvat sirget. Sel juhul räägime ka punktile allutatud ellipsist või kui a = b, siis punktiga külgnevast ringist.

6) Kui kas a või b on võrdne nulliga ja teistel kordajatel on erinevad märgid, siis koosneb koonuslõik kahest paralleelsest sirgest.

7) Kui a või b on võrdne nulliga ja ülejäänud koefitsiendid on sama märgiga, siis pole ühtegi võrrandit rahuldavat reaalpunkti. Sel juhul öeldakse, et koonuslõik koosneb kahest mõttelisest paralleelsest sirgest.

8) Kui c = 0 ja kas a või b on samuti null, siis koosneb koonuslõik kahest reaalsest kokkulangevast sirgest. (Võrrand ei defineeri ühtegi koonuslõiget, kui a = b = 0, kuna sel juhul ei ole esialgne võrrand (1) teise astme.)

9) Teist tüüpi võrrandid defineerivad paraboolid, kui p ja q erinevad nullist. Kui p > 0 ja q = 0, saame kõvera sammust 8. Kui p = 0, siis võrrand ei defineeri ühtegi koonuslõiget, kuna algne võrrand (1) ei ole teise astme võrrand.

Rakendus

Looduses ja tehnoloogias leidub sageli koonuslõikeid. Näiteks Päikese ümber tiirlevate planeetide orbiidid on ellipsi kujulised. Ringjoon on ellipsi erijuhtum, mille suurtelg on võrdne kõrvalteljega. Paraboolpeeglil on omadus, et kõik tema teljega paralleelsed langevad kiired koonduvad ühte punkti (fookusesse). Seda kasutatakse enamikes peegelteleskoopides, mis kasutavad paraboolpeegleid, samuti radariantennides ja spetsiaalsetes paraboolpeegelditega mikrofonides. Paraboolse reflektori fookusesse asetatud valgusallikast lähtub paralleelsete kiirte kiir. Seetõttu kasutatakse suure võimsusega prožektorites ja autode esituledes paraboolpeegleid. Hüperbool on paljude oluliste füüsikaliste seoste graafik, nagu Boyle'i seadus (seoses ideaalse gaasi rõhu ja ruumalaga) ja Ohmi seadus, mis määratleb elektrivoolu takistuse funktsioonina konstantsel pingel.

Rakendus

Bibliograafia.

1. Aleksejev. Abeli teoreem ülesannetes ja lahendustes. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Õpik pedagoogiliste instituutide füüsika-matemaatikateaduskondade 1. kursuse üliõpilastele. Moskva "valgustus" 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Loengud matemaatilisest loogikast ja algoritmide teooriast. 1999. aasta

4. Gelfand I.M. Loengud lineaaralgebrast. 1998.

5. Gladky A.V. Sissejuhatus kaasaegsesse loogikasse. 2001

6. M.E. Kazarjan. Diferentsiaalgeomeetria kursus (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Lobatševski geomeetria 2004

8. Prasolov V.V.. Planimeetria ülesandeid 2001. a

9. Sheinman O.K.. Representatsiooniteooria alused. 2004

RIIGIEELARVE

KUTSESÕIDUSASUTUS

MOSKVA LINNAD

"POLITSEKOLLEDŽ"

Kokkuvõte distsipliinist matemaatika

Teemal: “Koonuslõiked ja nende rakendused tehnoloogias”

Esitatud

15. maleva kadett

Alekseeva A.I.

Õpetaja

Zaitseva O.N.

Moskva

2016

Sisu:

Sissejuhatus

1. Koonuselõike mõiste……………………………………………………………5

2. Koonuselõike tüübid…………………………………………………7

3. Uurimine…………………………………………………………………..8

4. Koonuslõike omadused…. ………………………………………….9

5. Koonusprofiilide ehitamine………………………………………….10

6. Analüütiline lähenemine……………………………………………………………14

7. Taotlus…………………………………………………………………….16

8. Üle koonuse…………………………………………………………..17

Kasutatud kirjanduse loetelu

Sissejuhatus

Koonuslõikeid pakkus esmakordselt kasutusele Vana-Kreeka geomeeter Menaechmus, kes elas 4. sajandil eKr, lahendades kuubi kahekordistamise probleemi. See ülesanne on seotud järgmise legendiga.

Siit on pärit ka kõverate nimetused, mille võttis kasutusele 3. sajandil eKr elanud Apollonius Pergast: ellips, mis tähendab viga, puudujääki (koonuse nurk sirge suhtes); hüperbool - liialdus, paremus (koonuse nurgast sirgjoone suhtes); parabool - lähendus, võrdsus (koonuse nurgast täisnurgaga). Hiljem märkasid kreeklased, et lõiketasandi kalde muutmisega on võimalik saada kõik kolm kõverat ühel koonusel. Sel juhul peaksite võtma kahest õõnsusest koosneva koonuse ja arvama, et need ulatuvad lõpmatuseni (joonis 1)

Pikka aega ei leidnud koonuslõiked rakendust enne, kui astronoomid ja füüsikud hakkasid nende vastu tõsist huvi tundma. Selgus, et neid jooni leidub looduses (selle näiteks on taevakehade trajektoorid) ja kirjeldavad graafiliselt paljusid füüsilisi protsesse (siin on liider hüperbool: meenutagem Ohmi seadust ja Boyle-Marriotti seadust), rääkimata nende kasutamine mehaanikas ja optikas. Praktikas, kõige sagedamini inseneri- ja ehitusvaldkonnas, tuleb tegeleda ellipsi ja parabooliga.

Joonis 1

diagramm

Kooniliste lõikude mõiste

Joonis 2

1) kui tasapind lõikub koonilise pinnaga piki kõiki generatrikse, siis tükeldatakse ainult üks õõnsus ja lõigus saadakse suletud kõver, mida nimetatakse ellipsiks;

2) kui lõiketasand lõikab mõlemat õõnsust, siis saadakse kõver, millel on kaks haru ja mida nimetatakse hüperbooliks;

3) kui lõiketasand on paralleelne ühe generaatoriga, siis saadakse parabool.

Kui tippu läbiv tasapind lõikub mõlemat tasapinda, tekitab lõik lõikuvate sirgete paari, mida peetakse hüperbooli erijuhuks.

Ax 2 +Ohoo+C + Dx + Ei + F= 0 ja neid nimetatakse 2. järku kõverateks.
(koonusosa)

Kooniliste tüübid lõigud .

Koonilisi sektsioone võib olla kolme tüüpi:

2) lõiketasand on paralleelne ühe koonuse puutujatasandiga; ristlõikes on tulemuseks avatud kõver, mis ulatub lõpmatusse - parabool, mis asub täielikult ühel õõnsusel.

(joonis 1) parabool (joonis 2) ellips (joonis 3) hüperbool

Uuring

Juhtudel, kui koonilisel lõigul on sümmeetriakese (keskpunkt), st see on ellips või hüperbool, saab selle võrrandit taandada (koordinaatide alguspunkti nihutamisega keskele) kujule:

a 11 x 2 +2xy+a 22 y 2 = a 33 .

Selliste (nn kesksete) kooniliste lõikude edasised uuringud näitavad, et nende võrrandeid saab taandada veelgi lihtsamale kujule:

Oh 2 + Wu 2 = C,

Tahandage parabooli võrrand kujule (Ah 2 + Wu 2 = C) see on võimatu. Koordinaatide telgede õige valiku korral (üks koordinaattelg on parabooli ainuke sümmeetriatelg, teine on sellega risti kulgev sirge, mis läbib parabooli tippu) saab selle võrrandi taandada kujule:

y 2 = 2 pikslit.

KOONUSLÕIGETE OMADUSED

Pappuse määratlused. Parabooli fookuse määramine andis Pappusele idee anda koonuselõike üldiselt alternatiivne määratlus. Olgu F etteantud punkt (fookus) ja L antud sirge (suund), mis ei läbi F, ning DF ja DL vastavalt kaugused liikuvast punktist P fookuseni F ja suund L. Seejärel, nagu Papp näitas, defineeritakse koonilised lõigud punktide P lookustena, mille puhul suhe DF:DL on mittenegatiivne konstant. Seda suhet nimetatakse koonuselõike ekstsentrilisuseks e. Kui e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hüperbool; kui e = 1 - parabool. Kui F asub L-l, on lookused joonte kujul (tegelikud või kujuteldavad), mis on degenereerunud koonilised lõigud. Ellipsi ja hüperbooli silmatorkav sümmeetria viitab sellele, et igal kõveral on kaks suunda ja kaks fookust ning see asjaolu viis Kepleri 1604. aastal mõttele, et paraboolil on ka teine fookus ja teine suund – punkt lõpmatus ja sirge. . Samamoodi võib ringi pidada ellipsiks, mille fookused langevad kokku keskpunktiga ja suunajooned on lõpmatuses. Ekstsentrilisus e on sel juhul null.

Omadused. Kooniliste sektsioonide omadused on tõeliselt ammendamatud ja kõiki neist võib pidada määravaks. Pappuse, Descartes'i geomeetria (1637) ja Newtoni Principia (1687) matemaatilises kogumikus on olulisel kohal punktide geomeetrilise asukoha probleem nelja sirge suhtes. Kui tasapinnal on antud neli sirget L 1 , L 2 , L 3 ja L4 (millest kaks võivad kokku langeda) ning punkt P on selline, et punktide P ja L kauguste korrutis 1 ja L 2 võrdeline punktide P ja L vahemaade korrutisega 3 ja L 4 , siis punktide P asukoht on kooniline lõige.

KOONUSOSADE KONSTRUKTSIOON

Need koonuslõigete kui tasapinnaliste kõverate määratlused viitavad ka meetodile nende konstrueerimiseks venitatud stringi abil.

Ellips. Kui etteantud pikkusega keerme otsad on fikseeritud punktides F 1 ja F 2 (joon. 3), siis piki tihedalt venitatud niiti libiseva pliiatsi teravikuga kirjeldatud kõver on ellipsi kujuga. F punktid 1 ja F2 nimetatakse ellipsi fookusteks ja segmente V 1 V 2 ja v 1 v 2 ellipsi ja koordinaattelgede lõikepunktide vahel - suur- ja kõrvaltelg. Kui punktid F 1 ja F 2 langevad kokku, siis muutub ellips ringiks (joon. 3).

Joonis 3

Hüperbool. Hüperbooli konstrueerimisel kinnitatakse punkt P, pliiatsi ots, niidile, mis libiseb vabalt mööda punktidesse F paigaldatud tihvte. 1 ja F 2 , nagu on näidatud joonisel 4, a, valitakse vahemaad nii, et segment PF 2 pikem kui segment PF 1 fikseeritud väärtuse võrra, mis on väiksem kui kaugus F 1 F 2 . Sel juhul läheb niidi üks ots tihvti F alt läbi 1 ja niidi mõlemad otsad lähevad üle tihvti F 2 . (Pliiatsiots ei tohiks mööda niiti libiseda, seega tuleb see kinnitada, tehes niidile väikese aasa ja keerates teraviku sellest läbi.) Hüperbooli üks haru (PV) 1 Q) joonistame, veendudes, et niit jääb kogu aeg pingul, ja tõmmates niidi mõlemad otsad punktist F mööda 2 ja kui punkt P on segmendi F all 1 F 2 , hoides niiti mõlemast otsast ja vabastades selle ettevaatlikult. Joonistame hüperbooli teise haru, muutes esmalt tihvte F 1 ja F 2 (joonis 4).

Joonis 4

Hüperbooli oksad lähenevad kahele sirgele, mis lõikuvad harude vahel. Neid jooni nimetatakse hüperbooli asümptootideks. Nende sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed kus on asümptootide vahelise nurga poolitaja segment, mis on risti lõiguga F 2 F 1 ; segment v 1 v 2 nimetatakse hüperbooli konjugeeritud teljeks ja segmenti V 1 V 2 – selle risttelg. Seega on asümptoodid ristküliku diagonaalid, mille küljed läbivad nelja punkti v 1 ,v 2 , V 1 , V 2 paralleelselt telgedega. Selle ristküliku koostamiseks peate määrama punktide asukoha v 1 ja v 2 . Need on samal kaugusel, võrdsed telgede lõikepunktiga O. See valem eeldab täisnurkse kolmnurga konstrueerimist jalgadega Ov 1 ja V 2 O ja hüpotenuus F 2 O.

Parabool. Ellipsi ja hüperbooli koldeid teadis Apollonius, kuid parabooli fookuse määras ilmselt esmakordselt Pappus (3. sajandi II pool), kes määratles selle kõvera antud punktist (fookusest) võrdsel kaugusel olevate punktide asukohana. ja etteantud sirge, mida nimetatakse direktoriks. Pingutatud niidi abil parabooli konstrueerimise, lähtudes Pappuse määratlusest, pakkus välja Isidore Mileetosest (VI sajand) (joon. 5).

Joonis 5

ANALÜÜTILINE LÄHENEMISVIIS

Algebraline klassifikatsioon. Algebraliselt võib koonuselõike defineerida kui tasapinnakõveraid, mille koordinaadid Descartes'i koordinaatsüsteemis vastavad teise astme võrrandile. Teisisõnu, kõigi kooniliste lõikude võrrandi saab kirjutada üldkujul, kus kõik koefitsiendid A, B ja C ei ole võrdsed nulliga. Kasutades paralleelset translatsiooni ja telgede pööramist, saab võrrandi (1) taandada vormile

kirves 2 +poolt 2 + c = 0

või

px 2 +q y = 0.

Esimene võrrand saadakse võrrandist (1) B2 > AC jaoks, teine - B jaoks 2 = AC. Koonilisi lõike, mille võrrandid on taandatud esimesele kujule, nimetatakse tsentraalseteks. Koonuselõike, mis on määratletud teist tüüpi võrranditega, mille q > 0, nimetatakse mittetsentraalseteks. Nendes kahes kategoorias on sõltuvalt koefitsientide märkidest üheksa erinevat tüüpi koonuselõike.

2) Kui a-l ja b-l on sama märk ja c-l on vastandmärk, siis on koonuselõik ellips; kui a = b - ring.

3) Kui a-l ja b-l on erinevad märgid, siis koonuselõik on hüperbool.

4) Kui a ja b märgid on erinevad ja c = 0, siis koosneb koonuslõige kahest lõikuvast sirgest.

5) Kui a ja b on sama märgiga ja c = 0, siis on kõveral ainult üks reaalne punkt, mis rahuldab võrrandit ja koonuselõik on kaks mõttelist ristuvat sirget. Sel juhul räägime ka punktile allutatud ellipsist või kui a = b, siis punktiga külgnevast ringist.

6) Kui kas a või b on võrdne nulliga ja teistel kordajatel on erinevad märgid, siis koosneb koonuslõik kahest paralleelsest sirgest.

Rakendus

Kõik Päikesesüsteemi kehad liiguvad ümber Päikese ellipsidena. Teistest tähesüsteemidest Päikesesüsteemi sisenevad taevakehad liiguvad ümber Päikese hüperboolsel orbiidil ja kui nende liikumist Päikesesüsteemi planeedid oluliselt ei mõjuta, lahkuvad nad samal orbiidil. Selle tehissatelliidid ja looduslik satelliit Kuu liiguvad ellipsina ümber Maa ning teistele planeetidele saadetud kosmoselaevad liiguvad pärast mootorite töö lõpetamist mööda paraboole või hüperboole (olenevalt kiirusest) kuni teiste planeetide või Päikese gravitatsioonini. muutub võrreldavaks gravitatsiooniga (joon. 3).

Üle koonuse

Ellipsi ja selle erijuhtumit – ringi, parabooli ja hüperbooli on lihtne katseliselt saada. Näiteks jäätisetorbik sobiks päris hästi torbiku rolli. Joonistage mõtteliselt üks selle generatritest ja lõigake sarv selle suhtes erinevate nurkade all. Ülesanne on teha ainult neli katset ja saada viiludel kõik võimalikud koonilised lõigud. Taskulambiga on katset veelgi lihtsam läbi viia: olenevalt selle asukohast ruumis tekitab valguskoonus toa seinale erineva kujuga laike. Iga täpi piir on üks koonuslõikudest. Pöörates taskulampi vertikaaltasapinnal, näete, kuidas üks kõver asendab teist: ring venitatakse ellipsiks, seejärel muutub see parabooliks ja see omakorda hüperbooliks.

Matemaatik lahendab sama ülesande teoreetiliselt, võrreldes kahte nurka: α - koonuse telje ja generatriksi vahel ning β - lõiketasandi ja koonuse telje vahel. Ja siin on tulemus: α jaoks< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β on hüperbooli haru. Kui pidada generaatoreid sirgjoonteks, mitte segmentideks, st võtta kahe ühise tipuga koonuse piiramatu sümmeetriline kujund, siis selgub, et ellips on suletud kõver, parabool koosneb ühest lõpmatust harust, ja hüperbool koosneb kahest.

Lihtsaima koonilise lõigu - ringi - saab joonistada niidi ja naela abil. Piisab, kui siduda niidi üks ots paberisse torgatud naela külge ja teine pliiatsi külge ning tõmmata pingule. Pärast täispöörde tegemist joonistab pliiats ringi. Või võite kasutada kompassi: selle lahendust muutes saate hõlpsalt joonistada terve ringide pere.

KASUTATUD VIIDATUTE LOETELU

1. Vereshchagin N.K., A.Shen. Loengud matemaatilisest loogikast ja algoritmide teooriast. 1999. aasta

2. Prasolov V.V.. Lobatševski geomeetria 2004

4. Prasolov V.V.. Lobatševski geomeetria 2004

Munitsipaalharidusasutus

4. keskkool

Lõpetatud

Spiridonov Anton

11A klassi õpilane

Kontrollitud

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Sissejuhatus

Kooniliste lõikude mõiste

Kooniliste sektsioonide tüübid

Uuring

Kooniliste sektsioonide ehitamine

Analüütiline lähenemine

Rakendus

Bibliograafia

Sissejuhatus.

Eesmärk: uurida koonuselõike.

Eesmärgid: õppida eristama koonuselõike tüüpe, konstrueerima kineetilisi lõike ja rakendama analüütilist lähenemist.

Koonuslõikeid pakkus esmakordselt kasutusele Vana-Kreeka geomeeter Menaechmus, kes elas 4. sajandil eKr, lahendades kuubi kahekordistamise probleemi. See ülesanne on seotud järgmise legendiga.

Antud proportsiooni võib pidada võrrandisüsteemiks:

ja neid nimetatakse 2. järku kõverateks.

Kooniliste sektsioonide tüübid.

Koonilisi sektsioone võib olla kolme tüüpi:

2) lõiketasand on paralleelne ühe koonuse puutujatasandiga; ristlõikes on tulemuseks avatud kõver, mis ulatub lõpmatusse - parabool, mis asub täielikult ühel õõnsusel.

Uuring.

Juhtudel, kui koonilisel lõigul on sümmeetriakese (keskpunkt), st see on ellips või hüperbool, saab selle võrrandit taandada (koordinaatide alguspunkti nihutamisega keskele) kujule:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Selliste (nn kesksete) kooniliste lõikude edasised uuringud näitavad, et nende võrrandeid saab taandada veelgi lihtsamale kujule:

Ax 2 + Wu 2 = C,

KOONUSOSADE KONSTRUKTSIOON.

Need koonuslõigete kui tasapinnaliste kõverate määratlused viitavad ka meetodile nende konstrueerimiseks venitatud stringi abil.

Ellips. Kui etteantud pikkusega keerme otsad on punktides fikseeritud F 1 ja F 2 (joonis 3), siis piki tihedalt venitatud niiti libiseva pliiatsi teravikuga kirjeldatud kõver on ellipsi kujuga. Punktid F 1 ja F 2 nimetatakse ellipsi fookusteks ja segmentideks V 1 V 2 ja v 1 v 2 ellipsi ja koordinaattelgede lõikepunktide vahel - suur- ja kõrvaltelg. Kui punktid F 1 ja F 2 langevad kokku, siis muutub ellips ringiks (joonis 3).

Hüperbool. Hüperbooli koostamisel punkt P, pliiatsi teravik, on kinnitatud niidile, mis libiseb vabalt mööda punktidesse paigaldatud tihvte F 1 ja F 2, nagu on näidatud joonisel fig 4, a, valitakse vahemaad nii, et segment PF 2 on segmendist pikem PF 1 fikseeritud summa võrra väiksem kui vahemaa F 1 F 2. Sel juhul läheb niidi üks ots naela alt läbi F 1 ja niidi mõlemad otsad lähevad üle tihvti F 2. (Pliiatsi ots ei tohiks mööda niiti libiseda, seega tuleb see kinnitada, tehes niidile väikese aasa ja keerates teraviku sellest läbi.) Hüperbooli üks haru ( PV 1 K) joonistame, veendudes, et niit jääb kogu aeg pingul, ja tõmmates niidi mõlemad otsad punktist mööda alla F 2 ja millal punkt P jääb segmendi alla F 1 F 2, hoides niiti mõlemast otsast ja vabastades selle ettevaatlikult. Joonistame hüperbooli teise haru, vahetades esmalt tihvte F 1 ja F 2 (joonis 4).

Hüperbooli oksad lähenevad kahele sirgele, mis lõikuvad harude vahel. Need read, nn hüperbooli asümptoodid, on ehitatud nii, nagu on näidatud joonisel 4, b. Nurk

nende sirgete koefitsiendid on võrdsed kus on lõiguga risti asümptootide vahelise nurga poolitaja segment F 2 F 1 ; joonelõik v 1 v 2 nimetatakse hüperbooli ja segmendi konjugeeritud teljeks V 1 V 2 - selle risttelg. Seega on asümptoodid ristküliku diagonaalid, mille küljed läbivad nelja punkti v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralleelselt telgedega. Selle ristküliku ehitamiseks peate määrama punktide asukoha v 1 ja v 2. Nad on samal kaugusel, võrdsed

telgede lõikepunktist O. See valem hõlmab jalgadega täisnurkse kolmnurga ehitamist Ov 1 ja V 2 O ja hüpotenuus F 2 O.

Kui hüperbooli asümptoodid on üksteisega risti, siis nimetatakse hüperbooliks võrdkülgsed. Kaks hüperbooli, millel on ühised asümptoodid, kuid põiki- ja konjugeeritud teljed on ümber paigutatud, nimetatakse vastastikku konjugeerida.

Parabool. Ellipsi ja hüperbooli nipid olid Apolloniosele teada, kuid parabooli fookus, ilmselt kehtestas esmakordselt Pappus (3. sajandi teine pool), kes defineeris selle kõvera antud punktist (fookusest) ja antud sirgest võrdsel kaugusel asuvate punktide geomeetrilise asukohana, mida nimetatakse nn. koolijuhataja. Pingutatud niidi abil parabooli konstrueerimise, lähtudes Pappuse määratlusest, pakkus välja Isidore Mileetosest (VI sajand) (joon. 5).

Asetame joonlaua nii, et selle serv langeb kokku suunaga ja kinnitame jala selle serva külge A.C. joonistus kolmnurk ABC. Kinnitame niidi ühe otsa pikkusega AB tipus B kolmnurk ja teine parabooli fookuses F. Kasutades niidi venitamiseks pliiatsiotsa, vajutage selle otsa muutuvas kohas P vabale jalale AB joonistus kolmnurk. Kui kolmnurk liigub mööda joonlauda, siis punkt P kirjeldab fookusega parabooli kaare F ja Directrix, kuna niidi kogupikkus on AB, niiditükk külgneb kolmnurga vaba jalaga ja seega ka ülejäänud niidijupp PF peab olema võrdne jala ülejäänud osaga AB, see on PA. Ristumispunkt V nimetatakse teljega parabooliks parabooli tipp, läbiv sirgjoon F Ja V, - parabooli telg. Kui läbi fookuse tõmmatakse teljega risti olev sirgjoon, siis nimetatakse selle sirge parabooliga ära lõigatud lõiku nn. fookusparameeter. Ellipsi ja hüperbooli puhul määratakse fookusparameeter sarnaselt.

ANALÜÜTILINE LÄHENEMISVIIS

kus kõik koefitsiendid A, B ja C ei ole võrdsed nulliga. Kasutades paralleelset translatsiooni ja telgede pööramist, saab võrrandi (1) taandada vormile

ax 2 + x 2 + c = 0

2) Kui a-l ja b-l on sama märk ja c-l on vastandmärk, siis on koonuselõik ellips; kui a = b - ring.

3) Kui a-l ja b-l on erinevad märgid, siis koonuselõik on hüperbool.

4) Kui a ja b märgid on erinevad ja c = 0, siis koosneb koonuslõige kahest lõikuvast sirgest.

6) Kui kas a või b on võrdne nulliga ja teistel kordajatel on erinevad märgid, siis koosneb koonuslõik kahest paralleelsest sirgest.

Rakendus

Bibliograafia.

1. Aleksejev. Abeli teoreem ülesannetes ja lahendustes. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Õpik pedagoogiliste instituutide füüsika-matemaatikateaduskondade 1. kursuse üliõpilastele. Moskva "valgustus" 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Loengud matemaatilisest loogikast ja algoritmide teooriast. 1999. aasta

4. Gelfand I.M. Loengud lineaaralgebrast. 1998.

5. Gladky A.V. Sissejuhatus kaasaegsesse loogikasse. 2001

6. M.E. Kazarjan. Diferentsiaalgeomeetria kursus (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Lobatševski geomeetria 2004

8. Prasolov V.V.. Planimeetria ülesandeid 2001. a

9. Sheinman O.K.. Representatsiooniteooria alused. 2004

(cm.) (mille juhiks on ring) tasanditega, mis ei läbi selle tippu.
Kui lõiketasapind ei ole paralleelne ühegi koonilise pinna generatriksiga, siis on kooniline lõige ellips, eelkõige ring (joonis 107). Kui lõiketasand on paralleelne ainult ühe koonilise pinna generatriksiga, siis on koonuslõige parabool (joon. 108). Kui lõiketasand on paralleelne kahe koonilise pinna generatriksiga, siis on koonuslõige hüperbool (joon. 109).
Ellipsi ja parabooli puhul lõikab lõiketasand ainult ühte koonusepinna õõnsust ja hüperbooli puhul lõikab lõiketasand koonilise pinna mõlemad õõnsused.
Koonilisi lõike nimetatakse muidu 2. järku kõverateks. Koonuslõikeid uurisid juba Vana-Kreeka matemaatikud (näiteks Menaechmus 4. sajandil eKr lahendas koonuslõigete kasutamise (vt) ülesande). Kõige täielikuma koonuselõike uurimise viis läbi Apollonius Pergast (III sajand eKr).

Koonuslõikeid kasutatakse tehnikas näiteks elliptilistes hammasratastes, prožektorite installatsioonides (paraboolpeeglid) jne. Päikesesüsteemi planeedid liiguvad ellipsides, komeedid paraboolides ja hüperboolides.
Koonuslõigete uurimisega koonuspinna sisse kirjutatud kerade abil viis läbi Belgia geomeeter J. Dandelin (19. sajand).

Koonilise lõigu võrrand polaarkoordinaatides on järgmine:

kus r on fookusraadiuse vektor (joonis 110, F on koonuse lõigu parem fookus);

p - fookusparameeter;
e - ekstsentrilisus;
φ - polaarnurk.

Kui e 1, siis see võrrand määrab (vt); sel juhul saame nurga φ puhul, mis varieerub vahemikus φ 0 kuni 2φ - φ 0 (kus 2 φ 0 on asümptootide vaheline nurk tan φ 0 =b/a), saame hüperbooli parempoolse haru ja nurkade φ puhul, mis muutuvad alates - φ 0 kuni φ 0 saame hüperbooli vasakpoolse haru.

Koonuselõike (ellipsi, parabooli ja hüperbooli) nimetust seletavad iidsed geomeetrid nende ülesannete lahendamise meetodiga, mis taanduvad lineaarsete või ruutvõrrandite lahendamisele - pindalade rakendamise meetod või paraboolmeetod, mida nimetatakse ka geomeetrilise algebra meetod.

Olgu AB = 2a - ellipsi läbimõõt (joonis 111), AE = 2p, CF - risti AB-ga; siis on CD-le konstrueeritud ruut võrdne ristküliku pindalaga (AF):

Kui panna AC=x, CB=2a - x, CD=y, saame:

Samamoodi on hüperbooli jaoks:

Ellipsi puhul sisaldab valem miinusmärki, st ristküliku pindala (CE) kasutatakse puudusega (kreeka ελλειψιζ - puudus). Hüperbooli puhul sisaldab valem plussmärki, st ristküliku pindala (CE) kasutatakse ülemääraselt (kreeka υπερβολη - liig, liig).
Kui ruudu pindala ja ristküliku pindala (CE) vahel on lihtne võrdsus (valemis pole miinust ega plussi - ei üle- ega puudujääki), st y² = 2pх, siis kõver (koonuslõiget) nimetatakse parabooliks (παραβολη - pimesoole alad, võrdsustus).

Vene Föderatsiooni haridusministeerium

Kaluga Riiklik Pedagoogikaülikool

Nemad. K.E. Tsiolkovski

"Koonilised lõigud"

1. Apolloniuse teosed

2. Apolloniuse “Koonuslõiked”.

2.1 Ristkülikukujulise pöördekoonuse lõigu kõvervõrrandi tuletamine

2.2 Parabooli võrrandi tuletamine

2.3 Ellipsi ja hüperbooli võrrandi tuletamine

2.4 Koonuslõigete muutumatus

2.5 Koonuslõigete edasine uurimine Apolloniuse teostes

2.6 Koonuslõigete teooria edasiarendus

3. Järeldus

4. Viited

Apolloniuse teosed

Apollonius sündis Väike-Aasias Pergaes. Tema tegevuse hiilgeaeg langeb 210. aastasse. eKr. Sel ajal elas ta Aleksandrias, kuhu ta noore mehena kolis ja kus õppis Eukleidese koolkonna matemaatikute juhendamisel. Apollonius sai kuulsaks geomeetri ja astronoomina. Ta suri umbes 170-aastaselt. eKr e.

Matemaatikas on Apollonius enim tuntud oma koonuselõikude poolest, milles ta esitas teooria täieliku kirjelduse ning töötas välja analüütilised ja projektiivsed meetodid. Apollonius kirjutas traktaadi “Sisestustest”, mis oli pühendatud lisade abil lahendatavate probleemide klassifikatsioonile. Sellised ülesanded võivad osutuda lahendatavateks kompassi ja joonlauaga (tasapinnalised ülesanded), koonuslõigete (täisülesanded) ja muude kõverate (lineaarsed) abil. Kindlaksmääramine, millisesse klassi konkreetne probleem kuulub, võib tähistada nende algebralise klassifikatsiooni algust. Apolloniuse huvi algebraprobleemide vastu avaldus ka tema teises töös “On Disordered irrationalities”, kus ta jätkas Eukleidese klassifitseerimist.

Apolloniuse puhtgeomeetrilised tööd on: teos “Spiraaljoontest”, milles ta käsitleb spiraale silindri pinnal, “Puudutusest”, kus analüüsitakse kuulsat Apolloniose probleemi: “Arvestades kolme asja, millest igaüks võib olla punkt, sirgjoon või ring; tuleb joonistada ring, mis läbiks iga antud punkti ja puudutaks kõiki antud sirgeid või ringe.

Töödest “On Plane Geometric Places” võime järeldada, et Apollonius käsitles tasapinna muutumist iseendaks, mis muudab sirged ja ringid sirgeks ja ringiks. Nende teisenduste erijuhtumiks on sarnasusteisendused ja teatud punkti inversioonid.

Osa Apolloniuse teoseid läks kaduma ega ole säilinud tänapäevani.

Apolloniuse "Koonilised lõiked".

Koonilised osad koosneb kaheksast raamatust. Neli esimest, mis autori sõnul teooria elemendid paika panid, on meieni jõudnud kreeka keeles, järgmised kolm on Thabit ibn Korra araabiakeelses tõlkes, viimane – kaheksas raamat – on kadunud. Selle tekstist on rekonstruktsioon, mis kuulub inglise astronoomile E. Halleyle (XVIII sajand).

Teist järku kõveraid käsitleti esmalt seoses kuubi kahekordistamise probleemiga; Menaechmus esitas need ristkülikukujuliste, nürinurksete ja teravnurksete pöördekoonuste lamedate lõikudena. See stereomeetriline esitus tagas kõnealuste kõverate olemasolu ja järjepidevuse. Seejärel asus Menaechmus läbilõike põhilise planimeetrilise omaduse tuletamiseni, mida vanad inimesed nimetasid sümptomiks (kõvera võrrand).

Ristkülikukujulise pöördekoonuse lõigu kõvervõrrandi tuletamine

Olgu OAB selle koonuse läbilõige telge OL läbiva tasapinnaga ja PLK selle koonuse generatriksiga risti oleva tasandi jälg (joonis 1). Siis KM 2 = AK KB, kuna AMB on poolring. Aga AK=PP′=√2LP 2 ja KB=√2KP 2, seega KM 2 =2LP KP.

Riis. 1

Tähistame KM y-ga, KP-ga p, siis saame

See on kõvera võrrand või sümptom, mis on kirjutatud tähestikuliste sümbolite abil ja iidsed kirjutasid selle sõnalises geomeetrilises vormis: poolakordi KM ruut igas punktis võrdub ristkülikuga PKSR, mis on üles ehitatud telje lõik PK tipuni (x) ja konstantsel lõigul PR (joonis 2).

Riis. 2

Samamoodi tuletati võrrand teravnurksete ja nürinurksete koonuste lõikude jaoks, s.o. ellips ja hüperbool:

= ja =, (2)

kus 2a on ellipsi peatelg või hüperbooli tegelik telg,

ja p on konstantne.

Juhul, kui р=а, võtavad võrrandid (2) kuju

y 2 =x(2a-x) ja y 2 =x(2a+x) (3)

millest esimene on raadiusega a ringi võrrand ja teine võrdkülgse hüperbooli võrrand. Ellipsi ja hüperbooli (2) saab ringjoonest ja hüperboolist (3) abstsissteljele kokkusurumisel suhtega √p/a.

Apollonius annab ennekõike üldisema definitsiooni. Esiteks võtab ta suvalise ringikujulise koonuse; teiseks uurib ta selle mõlemat õõnsust (mis annab võimaluse uurida hüperbooli mõlemat haru); lõpuks joonistab ta lõigu tasapinnaga, mis asub generatriksi suhtes mis tahes nurga all.

Analüütilise geomeetria tavapärases keeles võib öelda, et enne Apolloniust vaadeldi koonuselõike ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes, mille üks telgedest langes kokku põhiläbimõõduga ja teine läks sellega risti läbi ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi tipu. kõver; Apollonius seostas kõverad selle ühte otsa tõmmatud puutuja mis tahes läbimõõduga, s.o. mõnele kaldus koordinaatsüsteemile.

Peale stereomeetrilist definitsiooni annab Apollonius ka sümptomite tuletise – kõverate võrrandid. Samas liigitab ta saadud kõverad neid defineeriva võrrandi tüübi järgi, s.t. Aluseks on analüütilisele geomeetriale omane vaatenurk.

Parabooli võrrandi tuletamine

Olgu BAC ringkoonuse läbilõige telge läbiva tasapinnaga (joonis 3) ja tasapind GHD on joonestatud nii, et DE on risti BC-ga ja GH on paralleelne AB-ga (GH võib valida paralleelseks vahelduvvoolule). Leiame lõigus saadud DGE kõvera võrrandi.

Riis. 3

Olgu K selle kõvera suvaline punkt. Joonistame KL paralleelselt DE-ga ja MN paralleelselt BC-ga. KL-i ja MN-i läbiv tasapind on paralleelne aluse tasapinnaga ja, nagu Apollonius oli varem tõestanud, lõikab koonust ringis. Seetõttu KL 2 =ML LN.

Lõik GL on punkti D projektsiooni muutuv kaugus tipust, liikmed on konstantsed. Apollonius valib segmendi GF sellise, et

Siis KL 2 =GF LG. See on sümptom - ristlõike võrrand.

Kui tähistada KL=y, LG=x, GF=2p, siis saame võrrandi tavalisel kujul: y 2 =2px.

Apollonioses on võrrand kirjas ka verbaalselt - kreeka keeles: kui GH on üks parabooli läbimõõtudest ja KL on selle diameetri poolakordi konjugaat, siis Apollonius paneb GR = 2p risti GH-ga. Siis öeldakse, et igas punktis peab LK-le konstrueeritud ruut (joon. 4) olema võrdne ristkülikuga GRSL, s.o. GL GR.

Nimetus “parabool” tuleneb Apolloniuse nimest παραβολή (rakendus), kuna sellel kõveral punkti konstrueerimise probleem taandub rakenduse probleemiks (enne Apolloniust nimetati parabooliks ristkülikukujulise pöördekoonuse lõiguks).

Riis. 4

Ellipsi ja hüperbooli võrrandi tuletamine

Samamoodi saab Apollonius ellipsi ja hüperbooli võrrandi.

Seega on ellipsi puhul tõestatud, et LK 2 = pl. GLL′G′ (joonis 5), kus GH=2a on ellipsi teatud läbimõõt, LK on poolkord konjugaat sellega, GR=2p on konstant ja GR on GH-ga risti. Et liikuda tuttavama tähistusvormi juurde, pange tähele

Riis. 5

Seega taandatakse ellipsi punktide konstrueerimise probleem puudusega rakenduse probleemiks (“elliptiline probleem”), mis seletab nime “ellipsi” (έλλειψις - puudus). Selle nime võttis kasutusele Apollonius; enne teda nimetati ellipsit teravnurkse pöördekoonuse lõiguks.

Samamoodi saame hüperbooli (joonis 6) jaoks võrrandi

LK 2 = ruut GLL′G′, st. , või.

Järelikult taandub hüperbooli punktide konstrueerimise probleem liialdusega rakendamise probleemiks (“hüperboolne probleem”), mis seletab nimetust “hüperbool” (ύπερβολή - liig). Selle nime võttis kasutusele ka Apollonius, enne teda nimetati hüperbooliks nüri pöördekoonuse lõiku.

Konstrueeritud segmenti GR=2p, mis on paigutatud risti läbimõõduga GH, nimetas Apollonius “sirgeks küljeks”.

Riis. 6

Praegu nimetatakse väärtust p kanoonilise lõigu parameetriks (a ja b poolteljega ellipsi ja hüperbooli puhul p=b 2 /a ning tihendusteguriks √p/a, teisendades ringi või võrdkülgne hüperbool antud ellipsiks või hüperbooliks, on võrdne b/a) .

Apolloniuse koonuslõigete klassifikatsioon oli sisuliselt algebraline.

Koonuslõigete muutumatus

Apollonius mõistis suurepäraselt (ja see tõi ta lähemale New Age'i geomeetritele), et selline klassifikatsioon on õigustatud ainult siis, kui võrrandi vorm ei muutu, kui kõver omistatakse selle teisele läbimõõdule ja selle konjugeeritud akordidele.

Esimeses raamatus uurib ta seda probleemi. Selleks oli vaja määrata mis tahes läbimõõduga seotud akordide suund. Stereomeetrilise määramise korral saadakse konjugaadi suunad automaatselt. Apolloniuse püstitatud probleemi lahendamiseks on aga vaja stereomeetriast sõltumatut definitsiooni. Apollonius teeb seda: ta tõestab, et joon, mis on tõmmatud läbi kanoonilise lõigu punkti A paralleelselt A läbiva läbimõõduga konjugeeritud kõõlude suunaga, on puutuja. Pärast seda konstrueerib ta parabooli, ellipsi, ringi ja hüperbooli puutuja.

Olgu P mingi punkt paraboolil ja AA′ üks läbimõõtudest (joonis 7). Apollonius tõestab, et puutuja PR lõikab lõigu AR=AQ diameetri laiendist ära, kui PL on akordi konjugaat AA′-ga. Hüperbooli, ellipsi ja ringi jaoks saab ta seose (joonis 8, ellipsi jaoks)

Riis. 7

RA:RA′=QA:QA′.

Seejärel teisendab Apollonius ellipsi ja hüperbooli võrrandi nii, et koordinaatide alguspunkt on kõvera keskpunktis ja parabooli võrrand nii, et koordinaatide alguspunkt langeb kokku selle kõvera tipuga.

Seega on siin koordinaatteljed kaks konjugeeritud diameetrit. Pärast seda näitab ta, et võrrandi kuju ei muutu, kui võtta uuteks telgedeks mõni kõvera läbimõõt ja selle ühte otsa tõmmatud puutuja.

Riis. 8

Esimeses raamatus käsitleb Apollonius erinevaid koordinaatsüsteeme sõltuvalt ühest parameetrist, kuna need koordinaatsüsteemid määrab kõvera üks punkt - läbimõõdu lõpp, ning tõestab ellipsi, hüperbooli ja parabooli võrrandite muutumatust. vastavate koordinaatsüsteemide teisenduste suhtes.

Esimese raamatu lõpus näitab Apollonius, et on võimalik valida diameeter, mis on risti sellega seotud akordidega. Seejärel võib vaadeldavat kõverat kujutada mis tahes nüri-, teravnurga- või ristkülikukujulise koonuse lõikena generatriksiga risti oleva tasapinnaga. See teeb kindlaks Apolloniuse juurutatud kõverate identsuse enne teda käsitletud kanooniliste lõikudega.

Esimese raamatu põhiidee on võtta kõverate klassifitseerimise aluseks nende algebraliste võrrandite omadused ja just need, mis jäävad lubatavate koordinaatide teisenduste korral muutumatuks. Alles 19. sajandil. Seda ideed mõisteti täielikult, kui Klein kehtestas Erlangeni programmis uue käsitluse geomeetriast kui tasandi või ruumi teatud teisendusrühmade invariantide teadusest.

Koonuslõigete edasine uurimine Apolloniuse teostes

Järgmises kolmes raamatus arendab Apollonius koonuslõigete teooriat: selgitab asümptootide konjugaadi läbimõõtude põhiomadusi, saab asümptootide suhtes hüperbooli võrrandi (xy=const) ja paneb paika koonuse fookuste põhiomadused. ellips ja hüperbool. Siin ilmnevad esimest korda poolused ja polaarsused koonuselõike suhtes: kui punktist on võimalik koonuslõikele tõmmata kaks puutujat, siis puutepunkte ühendavat sirget nimetatakse antud punkti polaarjooneks. , ja punkt on selle sirge poolus. Kui liigutad poolust mööda lõiku lõikuvat sirget, siis polaar pöörleb ümber selle sirge pooluse, aga kui liigutad poolust mööda sirget, mis lõiku ei ristu, siis polaar pöörleb ka ümber selle sirge pooluse. mõnda punkti, ja antud juhul punkti, mille ümber polaar pöörleb, ja sirgjoont, mida mööda poolus liigub, nimetatakse ka pooluseks ja polaarseks. Neljandas raamatus käsitleb Apollonius kahe koonuselõike lõikepunktide arvu küsimust.

Viiendas raamatus defineerib Apollonius kõik normaalid koonuselõikeks (puutepunktis taastatud puutujaga risti). Kuues raamat uurib sarnaseid koonuselõike.

Seitsmes raamat sisaldab Apolloniuse kuulsaid teoreeme:

a) ellipsi konjugeeritud läbimõõtude ruutude summa on võrdne peatelgede ruutude summaga;

b) hüperbooli kahe konjugeeritud diameetri ruutude erinevus on võrdne peatelgede ruutude erinevusega;

c) ellipsi või hüperbooli kahele konjugeeritud diameetrile konstrueeritud rööpküliku pindala on konstantne.

Koonuslõigete teooria edasiarendus

Iidsetel aegadel polnud Apolloniuse loodud kõverate uurimise meetodeid välja töötatud, kuigi kuni 5. sajandi alguseni. AD tema töid uuriti ja kommenteeriti. Mis puutub koonuslõikudesse, siis Archimedes kasutas neid kuupvõrrandi lahendamiseks ja uurimiseks. Samadel eesmärkidel kasutasid koonuslõikeid hilisemad muistsed geomeetrid ja islamimaade teadlased.

Pikka aega ei saanud nad matemaatilises loodusteaduses rakendust, välja arvatud paraboolpeeglitelt valguse peegeldumise uurimine. Alles 17. sajandil. Toimus Apolloniuse ideede elavnemine: Fermat ja Descartes tõlkisid tema meetodi uue algebra keelde, pannes aluse analüütilisele geomeetriale ning Newton rakendas neid meetodeid kolmandat järku kõverate kirjeldamiseks ja uurimiseks. Kuid juba varem sai koonuslõigete teooria kõige laiemat rakendust maa- ja taevakehade mehaanikas: Kepler tegi kindlaks, et meie päikesesüsteemi planeedid liiguvad ellipsides, mille ühes koldes asub Päike; Galileo näitas, et visatud kivi lendab läbi kosmose paraboolina. Lõpuks 17. sajandi 80. aastatel. Newton lõi oma "Loodusfilosoofia matemaatilised põhimõtted" otse Apolloniuse teoste põhjal.

Järeldus

Apolloniuse koonuselõiked on näide matemaatilisest teooriast, mis loodi ammu enne seda, kui seda vaja läks. Sel puhul kirjutas A. Einstein: “Lisaks imetlusele selle imelise mehe vastu (räägime Keplerist) on veel üks imetluse ja aukartuse tunne, mis on aga seotud mitte inimesega, vaid looduse salapärase harmooniaga, mis vastavad kõige lihtsamatele seadustele. Koos sirge ja ringiga hõlmasid need ellipsi ja hüperbooli. Viimast näeme rakendatuna taevakehade orbiitidel, vähemalt hea lähendusega.

Bibliograafia:

1. Rajad ja labürindid. Esseed matemaatika ajaloost. Daan – Dalmedico A., Peiffer J. Trans. prantsuse keelest – M.: Mir, 1986.

2. Matemaatika ajalugu muinasajast kuni 19. sajandi alguseni. Juškevitš A.P. – M.: Nauka, 1970.

Külastasin 2. Sovetskaja äsja avatud “Vana raamatut”. Muljed on väga soodsad: universaalne pood, palju ilukirjandust, hea valik tehnika- ja teaduskirjandust. Kuna korraldusprotsess pole veel lõppenud, pole kogu tehnilist kirjandust veel välja pandud (olulist täiendust lubatakse lähipäevil) ja on veidi segaduses. Klientide kohtlemine on “kõige pudukaubam”, kutsutakse uuesti kohale ja palutakse uuest poest sõpradele rääkida.
Täidan oma viimase palve:

Loomulikult oli lihtsalt võimatu lahkuda ilma raamatut ostmata:

L. Karpinsky, Michigani ülikooli professor, G. Benedict, Texase ülikooli professor, J. Kalgun, Texase ülikooli professor
Ühtne matemaatika
Autoriseeritud tõlge inglise keelest koos märkuste ja muudatustega prof. D. A. Kryzhanovski
Riigi Akadeemilise Nõukogu teadus-tehniline sektsioon kinnitatakse tehnikumide ja tehnikumide käsiraamatuna; soovitatav juhendiks õpetajatele
M.-L.: Riiklik Kirjastus, 1926. XVI, 596 lk.
(Tehnikakoolide ja kolledžite käsiraamatud ja käsiraamatud)

Tõlkija eessõnast:

Peaaegu tohutu eri maade hariva matemaatikakirjanduse hulgast paistab kolme Ameerika professori kollektiivne töö “Unified Mathematics” silma nii originaalse materjalivaliku kui ka eelkõige töötlus- ja esitusviiside poolest. Autorite peamine tendents on ühendada kogu esitatav materjal selle üksikuid osi orgaaniliselt põimides üheks tervikuks - on täielikus kooskõlas meie kooli põhimõtetega. Kui matemaatika kui kooliõpetuse õppeaine peab olema tihedalt seotud looduse ja ühiskonna uurimisega ning elunõuetega, siis ei saa olla skolastilist jaotust isoleeritud, iseseisvateks distsipliinideks ja peatükkideks. Füüsika, tehnoloogia ja majandus ei kohanda oma probleeme kategooriatega, millesse matemaatiliste ülesannete kogumid tavaliselt jagunevad. Seega, mida varem õpib õpilane erinevate matemaatikaharude võtteid ja tulemusi kombineerima, seda parem. Ja selleks on kõige kindlam viis selle kombineerimismeetodi juurutamine matemaatika õppimise protsessi.
Raamatu teine eristav joon, mis on orgaaniliselt seotud selle ülalmainitud üldise tendentsiga, on rakendusmaterjalide äärmuslik rikkus ja mitmekesisus (võetud füüsikast, astronoomiast, tehnoloogiast, suurtükiväest, bioloogiast, statistikast, kommertsaritmeetikast jne) nii tekstis. ja ja ülesannetes - sobib suurepäraselt ka meie kooli vajadustega. See materjal on helde käega hajutatud kõikidesse peatükkidesse ja täidab täielikult peatükid XXII, XXVI ("võnkuv liikumine") ja XXVII ("orgaanilise kasvu seadused"). Viimases (XXVII) peatükis pööratakse erilist tähelepanu teema “haavaparanemiskõver” uudsusele – viimase sõjaaegsete haiglavaatluste tulemus. Tänu sellele näidete ja probleemide rohkusele võib “Ühtne matemaatika” olla kasulik juhend neile õppeasutustele, kus teooriat õpetatakse teiste käsiraamatute abil.
“Ühtse matemaatika” vaieldamatute eeliste hulka kuuluvad ka arvukad, huvitavalt koostatud “ajaloolised märkmed”.

Professor L. Karpinsky eessõna venekeelsele tõlkele:

"Ühtse matemaatika" keskne idee ei ole mitte niivõrd kõrvale kalduda traditsioonilisest matemaatikast, meie suurest minevikupärandist, vaid näidata, kui oluline ja tõeline roll on matemaatikal tänapäeva maailmas. Kreeklastele piisas teadmisest, et paraboolil on sellised ja sellised imelised geomeetrilised omadused. Kaasaegne õpilane peab näitama silmatorkavat seost algebraliste võrranditega ja eriti mürsu lennuga, erinevat tüüpi sillakonstruktsioonidega, kontserdisaalide kujuga ja isegi autode prožektoritega. Praktilised rakendused pole vähem imelised kui puhtalt teoreetilised.
Kaasaegne maailm nõuab mitte vähem vaimset tööd kui iidne maailm, kuid see nõuab mõistuse kontakti reaalsusega. Matemaatikas saab seda teha, säilitades samal ajal suure osa mineviku saavutustest.
Sellise raamatu lugemine on väga lõbus. Paljudel selles toodud näidetel on juba peaaegu ajalooline väärtus. Veelgi enam, mõned lõigud, mille teadmata oli kaheksakümmend kuni üheksakümmend aastat tagasi matemaatikute ja inseneride jaoks võimatu, on nüüdseks praktiliselt välja surnud ja nende avastamine on äärmiselt huvitav. Mõned kommentaarid võetakse vastu kurva naeratusega, eriti praegustele õpilastele mõeldes.

Viimastel aastatel on viieteist- ja isegi kahekümnekohalisi korrutamis- ja jagamismasinate laialdane kasutamine suurte kindlustusseltside kontorites ja mõnel määral ka observatooriumides osaliselt välja tõrjunud logaritmitabelid.
VII PEATÜKKIST: TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID

§ 10. Funktsioonide puutuja ja kotangens päritolu.- Vaatlusastronoomias mängib olulist rolli päikese ja teiste taevakehade kaldenurk horisondi suhtes. Mõne vertikaalse objekti poolt heidetud varju pikkuse ja objekti enda pikkuse suhe annab päikese kaldenurga kotangensi. See nurgafunktsioon ilmus enne puutujat araabia astronoomi Al-Battani kirjutistes 10. sajandil pärast Kristust ja seda nimetati varjuks ja hiljem otseseks varjuks või teiseks varjuks. Puutujafunktsiooni, mis tähistab seinaga risti oleva varda poolt vertikaalsele seinale heidetud varju pikkuse ja varda enda pikkuse suhet, hakati hiljem nimetama esimeseks varjuks. Araablased võtsid varda pikkuseks 12 ühikut.

XIX PEATÜKKIST: PARABOOL

§ 1. Mõiste.- Oleme defineerinud ellipsi (XVIII peatükk, § 3) kui punkti asukohta, mis liigub nii, et selle kaugus fikseeritud punktist, fookusest, on konstantses suhtes, mis on väiksem kui 1, ja selle kaugust punktist. fikseeritud liin, suund. Kui see konstantne suhe on 1, siis nimetatakse liikuva punktiga kirjeldatud kõverat parabooliks. Kui see suhe, olles konstantne, ületab 1, nimetatakse kõverat hüperbooliks.

Seisukord: ,at, määratakse ellips.
Tingimus: parabool on määratletud.
Seisukord: , at, on määratletud hüperbool.
[KOOS. 345–346.]

XXI PEATÜKKIST: TUNGENTSID JA NORMAALID TEIST JÄRKU KÕVERANI

§ 2. Üldkuju teise astme võrrand kujutab koonuslõiget.- Kui on antud sirge ringikujuline koonus, siis saab eukleidilise geomeetria geomeetriliste meetoditega näidata, et koonuse pinna läbilõige mis tahes tasapinnaga esindab ühte ülalmainitud kõveratest; nt koonuse põhjaga paralleelne tasapind annab ristlõikega ringi või siis ringpunkti (nullraadiusega ring), kui see läbib tippu.
Koonuse all mõeldakse siin kogu koonuse generatriksitest moodustatud koonusekujulist pinda, mis on nende lõikepunktist mõlemas suunas määramatult pikendatud.
Tasand, mis on paralleelne ainult ühe genereeriva elemendiga (koonuse generaatoriga), lõikab koonust piki parabooli või mööda kahte kokkulangevat sirget, kui lõiketasand läbib samal ajal ühte generatriksitest ja puudutab koonuse ringikujulist alust. koonus.
Tasapind, mis lõikab lõplikul kaugusel kõik koonuse generatriksid, annab ristlõike ellipsi; viimane muutub ellipsipunktiks, kui tasapind läbib koonuse tippu.
Tasand, mis on samaaegselt paralleelne koonuse mis tahes kahe generatriksiga, lõikab viimast piki hüperbooli, kuid kui tasand läbib tippu, siis hüperbool mandub sirge paariks.
§ 3. Ajalooline märkus koonuslõigete kohta.- Kreeka matemaatikud avastasid koonuslõigete põhiomadused peaaegu kaks tuhat aastat enne analüütilise geomeetria leiutamist XVII sajandi prantsuse matemaatikute Descartes'i ja Fermat' poolt. Trakaadi koonuslõigete kohta kirjutas Eukleides (umbes 320 eKr), kuid selle ületas otsustavalt sajand hiljem kirjutatud traktaat Apollonius Pergamonist(umbes 250 eKr); see viimane traktaat sisaldas enamikku meie uuritud põhiomadustest.
Fookuse ja suunaga otseselt seotud parabooli omadused ei sisaldu kaheksas Apolloniuse koonuslõigete kohta kirjutatud raamatus (peatükis); ta ei kasutanud ka tsentraalsete lõikude (st kõverate, millel on sümmeetriakese - ellips ja hüperbool) puhul Directrixi. Tutvustas need mõisted oma Matemaatilised kogud Aleksandria pappus(umbes 300 pKr), võib-olla viimane kõigist olulistest Kreeka matemaatikutest.
Vana-Kreeka matemaatikud tundsid nende kõverate vastu huvi puhtalt geomeetrilisest vaatenurgast. Nad ei teadnud, et planeetide rajad on koonilised lõigud; Samuti ei teadnud nad nende kõverate praktilist rakendust. Kuid ainult tänu sellele, et Kreeka geomeetrid uurisid nende kõverate omadusi, suutsid Johannes Kepler ja Isaac Newton kehtestada planeetide liikumise seadused universumis, kus me elame. Mainitud teadlased, aga ka maailma heliotsentrilise teooria taastanud Nicolaus Copernicus olid kreeklaste puhta geomeetria sügavad asjatundjad; nende uued teooriad ehitati otse selle puhta geomeetria alusel.
[KOOS. 374–376.]

XXII PEATÜKKIST: KOONUSOSADE KASUTAMINE

§ 1. Üldised märkused.- Arvukad koonuselõike – ring, ellips, parabool ja hüperbool – rakendused on juba osaliselt näidatud kõigi nende kõverate uurimisega kaasnevates probleemides. Nende kõverate sellised ulatuslikud ja mitmekesised kasulikud rakendused on peamiselt tingitud nende tangentsiaalsetest omadustest ja muudest geomeetrilistest omadustest. Asjaolu, et lihtsad geomeetrilised omadused kuuluvad just kõveratesse, mida väljendatakse algebraliste võrranditega kahe esimese ja teise astme muutujaga, näib viitavat teatud harmoonia olemasolule algebra ja geomeetria maailmas.

§ 2. Universumi seadused.- Aastal 1529 avastas Poola astronoom ja matemaatik Kopernik (1473 - 1543) uuesti ja tegi kindlaks juba vanadele kreeklastele teadaoleva tõsiasja, et päike kujutab endast universumi keskpunkti, milles me elame; ta uskus, et planeedid liiguvad ümber päikese ringorbiitidel.
Umbes sajand pärast seda kehtestas suur saksa astronoom Kepler (1571–1630) järgmised universumi seadused:
1. Planeetide orbiidid on ellipsid, mille ühes fookuses on päike.
2. Päikest liikuva planeediga ühendav raadiuse vektor kirjeldab võrdseid alasid võrdsetel ajaperioodidel (iga planeedi jaoks eraldi).
3. Iga planeedi täieliku pöörde aja ruut on võrdeline tema keskmise kauguse kuubiga Päikesest, s.o.
,
kus ja on kahe planeedi tiirlemisperioodid ning ja on nende orbiitide läbimõõdud.
Kepler sai oma avastused teha ainult tänu kõigi oma eelkäijate tööle, eriti kreeka matemaatikutele, kes viisid läbi nii täieliku koonuselõike omaduste uurimise, samuti taanlasele Tycho Brahele (1546 - 1601), kelle hoolikad vaatlused pakkusid. vajalikud faktilised andmed planeetide liikumise kohta.
Newton (1642 - 1727) lõpetas meid ümbritseva maailma liikumisseaduste kodifitseerimise töö, näidates, et mis tahes kahe keha vastastikune külgetõmme on pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga ja otseselt võrdeline nende massiga. Lisaks näitas Newton, et see eeldus viib Päikese ja mis tahes planeedi puhul elliptilise liikumiseni.
Päikesesüsteemis vaid korra ilmuvate komeetide teed on teadupärast paraboolid või ehk hüperboolid, mille ekstsentrilisus on 1 lähedal.
[KOOS. 391–392.]

§ 6. Koonuslõigete rakendamine arhitektuuris ja sillaehituses.- Niinimetatud “kuldne suhe” illustreerib kahtlemata hästi tiheda seose olemasolu vormi ilu ja numbriliste seoste vahel.

Selles asjas asjatundjate üksmeelse tõdemuse kohaselt on ristküliku mõõtmed kunstilisest seisukohast kõige rahuldavamad juhul, kui ristküliku pikem külg on seotud lühikese küljega ligikaudu samamoodi kui lühike. pool on seotud mõlema poole erinevusega. Teisisõnu, kui ristküliku alus on antud, siis leiame soovitud kõrguse - vormi suurima ilu mõttes - kasutades “kuldsuhet”, st jagades antud lõigu äärmuslikuks ja keskmiseks suhteks. . Näiteks kui alus on 40, määratakse kõrgus võrrandist:
;
see toob kaasa ruutvõrrandi suhtes. On tähelepanuväärne, et lõigates saadud ristkülikust ära ristküliku lühikesele küljele ehitatud ruudu, saame algse ristkülikuga sarnase ristküliku; sarnane ristkülik saadakse, kui algsele ristkülikule lisatakse ruut, mis on ehitatud algse ristküliku pikale küljele.
Oleme juba kohanud näiteid seostest, mis ilmselt eksisteerivad vormi lihtsuse ja vastava algebralise võrrandi lihtsuse vahel. Seega kujutab sirgjoont kõige lihtsam kahe muutujaga algebraline võrrand, nimelt esimese astme võrrand; ringjoont, konstruktsiooniliselt lihtsaimat kõverat, kujutab eriti lihtsat tüüpi ruutvõrrand; Kõik muud tüüpi ruutvõrrandid kahes muutujas vastavad ainult kolmele täiendavale kõverate klassile, nimelt ellipsidele, paraboolidele ja hüperboolidele. Kunstilise rahulolu tunnet, mille meile annavad need teist järku kõverad - koonilised lõigud - kinnitab nende vormide lai kasutus nii vanade kui ka uute kunstnike seas.
Kaarkaarte konstrueerides leiti, et geomeetrilise vormi ilu on kõige tihedamalt seotud vastava algebralise võrrandi lihtsusega. Parabooli ja ellipsi kasutatakse kaarekujulistes konstruktsioonides laialdaselt mitte ainult nende vormi ilu tõttu, vaid ka nende puhtmehaanilise kohanemisvõime tõttu nende konstruktsioonide raskusest tingitud pingete ja deformatsioonidega. Üks tunnustatud sillaehituse ekspert * ütleb, et "kaared peaksid olema täiuslikud kõverad", hoiatades niinimetatud "vale" ellipside kasutamise eest.

Asjaolu, et korrapäraseid ellipse ja paraboole leidub paljudes maailma uhkeimates sildades nii sageli, näitab, kui laialdaselt aktsepteeritakse teooriat, mis omistab vormi ilu elliptilistele ja paraboolsetele kaartele.
New Yorgi hiiglaslikul Hell-Gate'i sillal kujutab peakaar geomeetriliselt korrapärast parabooli (vt Ülesanne 11, XIX peatükk, § 11). London Bridge'i konstruktsiooni põhiosa koosneb viiest elliptilisest kaarest. Isegi hüperbool, kuigi väga harva, leiab sillaehituses kasutust. Tuleb märkida, et - osaliselt tänu suuremale joonistamise lihtsusele - on palju laiemalt levinud ringikujulised (poolringikujulised) kaared, aga ka lähendused ellipsile või paraboolile, mis on konstrueeritud mitme erineva keskpunktiga ringikujulise kaare abil.
Paraboolkaare kasutamisel sildade ja katuseplaatide ehitamisel võib eristada vähemalt nelja erinevat tüüpi. Esimest tüüpi esindavad ripp- (kett-) sillad, mille kaablid vajuvad mööda paraboolset kõverat. Teine tüüp hõlmab juhtumeid, kui paraboolkaare ülaosa asub sõidutee all. Kolmandat tüüpi sildadel ületab sõiduteed paraboolkaar. Lõpuks kuuluvad neljandasse tüüpi konstruktsioonid, milles paraboolkaar asub täielikult tee kohal, nagu lagede puhul.
Tavaliselt kasutatakse suurte teatrisaalide ja muude saalide kujundamisel elliptilisi või harvemini paraboolseid kaarte.
Vihmaveerennide projekteerimisel kasutatakse ka paraboolseid ja puhtalt elliptilisi kaarte, kuigi mitte nii sageli kui ringi- ja hobuserauakujulisi. Mõnikord kasutatakse isegi täielikke geomeetriliselt korrapäraseid ellipse (vt ülesanne 6 allpool).
1. Lahendage viimase lõigu ruutvõrrand ja kontrollige lahendust kõvera joonestamisel.
2. Kui suur on ristküliku laius, mille kõrgus on 40, kui see kõrgus on saadud ristküliku ilusaimale kujule vastava laiuse “kuldse suhte” tulemusel?
3. Ameerikas Pittsburghis asuval sillal on paraboolne kaar, mille avaus on 108 meetrit ja tõus 13,5 meetrit. Joonistage see parabool. Eeldusel, et vertikaalsed postid on eraldatud 6 meetri pikkuste paneelidega ja tõusevad 4,5 meetri kõrgusele kaare tipust, leidke nende pikkused.
4. Eelmises ülesandes kirjeldatud väiksemad kaared, mis viivad silla enda juurde, näivad olevat elliptilised. Nende sildeulatus on 8,4 meetrit ja võlvide endi kõrgused on umbes 2,4 meetrit. Joonista need.
5. Ühes äravoolus on paraboolvõlv 1,8 meetrit lai ja 1,2 meetrit kõrge. Koostage selle kaare kümme punkti.
6. Üks 1910. aastal ehitatud Chicago kanalisatsioonitorudest on ristlõikega vertikaalne ellips, mille mõõtmed on 3,6 × 4,2 meetrit. Joonistage selle lõigu kuju.
7. Joonistage elliptiline ja paraboolne kaar, kummagi pikkus on 30 meetrit ja kõrgus 9 meetrit. Võrrelge neid omavahel.
8. Ehitage skaala abil Williamsborgi rippsilla paraboolkaar (joonis 153), mille sildeulatus on 488 meetrit ja pööre 55 meetrit. Kirjutage selle võrrand selle lihtsaimal kujul, valides teljed sobivalt. Kui pikad on neli posti kaablist kuni parabooli tipu puutujani?
* G. H. Tyrrell, Kunstiline sillakujundus, Chicago, 1912.

[KOOS. 399–403.]

XXVI PEATÜKKIST: VIBRATSIOONILINE LIIKUMINE
Enamasti osutub mugavaks terve tsükli aja rakendamine tavalisele kiule ühikute täisarvu kujul ja ühiku väärtus sõltub perioodi väärtusest. Üheminutilise perioodiga pöörlemise korral võib abstsisstelje ühikuks võtta 10 sekundit ja raadiuse pikkuseks sama ordinaattelje ühikuks. Saadud kõver erineb sinusoidist väga vähe mõlemal koordinaatteljel võrdsete pikkusühikutega. Kõrgeim ja madalaim punkt on abstsissidel 15 ja 45. Momendid: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 ja 30 sekundit vastavad nurkadele 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° ja 180 °.

Füüsikud ja insenerid kasutavad sageli esinevate siinuskõverate joonistamiseks järgmist puhtgraafilist tehnikat. Kõigepealt tõmmake ring, mille keskpunkt on lähtepunktis ja mille läbimõõt on võrdne soovitud amplituudiga. Telgedevahelised nurgad jagatakse pooleks ja siis ikka ja jälle pooleks (nii mitu korda kui soovitakse). Täieliku tsükli kujutamiseks sobiva pikkusega segment asetatakse horisontaalteljele ja jagatakse nii mitmeks (tavaliselt 16) võrdseks osaks, kuivõrd ring jagatakse telgede ja poolitajatega.
[KOOS. 466–467.]

XXVII PEATÜKKIST: KASVU SEADUSED
§ 5. Haava paranemise edenemise kõver.- Orgaanilise kasvu seadust ja orgaanilise vähenemise seadust väljendavate valemitega tihedalt seotud on hiljuti avastatud seadus, mis seob nii algebraliselt võrrandi kujul kui ka graafiliselt kõvera kujul päevades väljendatud ajaga haav, mis on tekkinud pärast haava steriilseks või aseptiliseks muutumist. Kui aseptiline seisund on saavutatud tänu pesemisele ja loputamisele antiseptiliste lahustega, arvutatakse kahe vaatluse põhjal, mis tehakse tavaliselt 4 päeva pärast teist, nn “isiklik indeks”; see indeks koos kahe haava pindala mõõtmisega võimaldab arstil määrata haavapinna vähenemise normaalse progresseerumise antud isiku puhul. Haava kontuurid visandatakse hoolikalt läbipaistvale paberile ja seejärel mõõdetakse selle pindala matemaatilise instrumendiga, mida nimetatakse planimeetriks.

Vaatlusaeg, väljendatud päevades, on kantud piki x-telge ja haava pindala joonistatakse ordinaatidena. Pärast iga vaatlust ja pindala arvutamist kantakse nii saadud punkt samale telgede süsteemile, milles konstrueeritakse ideaal- ehk prohvetlik kõver (ennustuskõver). Kaks sellist ideaalset kõverat ja ka tegelikud vaadeldud kõverad on kujutatud meie diagrammidel.
Kui vaadeldav ala on ideaalse kõveraga määratud pindalast märgatavalt suurem, on see märk sellest, et haavas on endiselt infektsioon. Selline juhtum on esitatud teisel diagrammil. Sageli täheldatakse järgmist äärmiselt silmatorkavat ja seni seletamatut nähtust: kui haava pind paraneb palju kiiremini, kui ideaalkõver näitab, siis tekivad sekundaarsed haavandid, mis viivad kõvera normaalseks. Meie esimene diagramm on seda tüüpi.

See matemaatika rakendamine meditsiinis on suuresti tingitud dr Alexis Carrelist Rockefelleri meditsiiniuuringute instituudist. Ta täheldas, et mida suurem on haava pindala, seda kiiremini see paranes ja paranemise kiirus näis olevat võrdeline haava pindalaga. Kuid selle proportsionaalsuse koefitsient ei ole haavapiirkonna kõigi väärtuste puhul sama, vastasel juhul tekib vormi võrrand
,
kus tähistab haava pindala hetkel, mil see muutub steriilseks ja millal algavad diagrammil registreeritud vaatlused.
Tegelikkuses (ideaalsete kõverate joonistamiseks) kasutatakse järgmisi valemeid, mille on välja pakkunud dr. Lecomte du Nouilly(Nooyi näitas, et on olemas koefitsiendi normaalväärtus, mis sõltub inimese vanusest ja haava suurusest ning et kahe vaatluse põhjal määratud isikuindeks näitab kahtlemata isiku üldise tervisliku seisundiga seotud fakte. *.
[KOOS. 486–489.]

Munitsipaalharidusasutus

4. keskkool

Koonilised lõigud

Lõpetatud

Spiridonov Anton

11A klassi õpilane

Kontrollitud

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Sissejuhatus

Kooniliste lõikude mõiste

Kooniliste sektsioonide tüübid

Uuring

Kooniliste sektsioonide ehitamine

Analüütiline lähenemine

Rakendus

Bibliograafia

Sissejuhatus.

Eesmärk: uurida koonuselõike.

Eesmärgid: õppida eristama koonuselõike tüüpe, konstrueerima kineetilisi lõike ja rakendama analüütilist lähenemist.

Koonuslõikeid pakkus esmakordselt kasutusele Vana-Kreeka geomeeter Menaechmus, kes elas 4. sajandil eKr, lahendades kuubi kahekordistamise probleemi. See ülesanne on seotud järgmise legendiga.

Antud proportsiooni võib pidada võrrandisüsteemiks:

Kooniliste lõikude mõiste.

Kui täisnurkset kolmnurka pöörata ümber selle ühe jala, kirjeldab hüpotenuus koos pikendustega koonusekujulist pinda, mida nimetatakse parempoolse ringkoonuse pinnaks ja mida võib vaadelda kui pidevat tippu läbivat joonte jada ja mida nimetatakse generaatoriteks, kõik generaatorid. toetub samale ringile, mida nimetatakse tootmiseks. Iga generatriks on pöörlev kolmnurk (teadaolevas asendis), mis on mõlemas suunas lõpmatuseni pikendatud. Seega ulatub iga generatriks mõlemale poole tippu, mille tulemusena on pinnal kaks õõnsust: need koonduvad ühes punktis ühises tipus. Kui sellist pinda lõikab tasapind, moodustab lõik kõvera, mida nimetatakse koonuslõikeks. Seda võib olla kolme tüüpi:

1) kui tasapind lõikub koonilise pinnaga piki kõiki generatrikse, siis tükeldatakse ainult üks õõnsus ja lõigus saadakse suletud kõver, mida nimetatakse ellipsiks;

2) kui lõiketasand lõikab mõlemat õõnsust, siis saadakse kõver, millel on kaks haru ja mida nimetatakse hüperbooliks;

3) kui lõiketasand on paralleelne ühe generaatoriga, siis saadakse parabool.

Kui tippu läbiv tasapind lõikab mõlemat õõnsust, siis moodustab lõik ristuvate joonte paari, mida peetakse erijuhtumiks.

Kui tipp on lõpmatult kaugel, siis muutub kooniline pind silindriliseks ja selle läbilõige generaatoritega paralleelse tasapinna järgi annab erijuhul paralleelsete joonte paari. Koonuslõikeid väljendatakse 2. järku võrranditega, mille üldkuju on

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

ja neid nimetatakse 2. järku kõverateks.

Kooniliste sektsioonide tüübid.

Koonilisi sektsioone võib olla kolme tüüpi:

1) lõiketasand lõikab koonuse kõik generatriksid selle ühe õõnsuse punktides; ristumisjoon on suletud ovaalne kõver - ; ringjoon kui ellipsi erijuhtum saadakse siis, kui lõiketasand on risti koonuse teljega.

2) lõiketasand on paralleelne ühe koonuse puutujatasandiga; ristlõikes on tulemuseks avatud kõver, mis ulatub lõpmatusse - parabool, mis asub täielikult ühel õõnsusel.

Uuring.

Juhtudel, kui koonilisel lõigul on sümmeetriakese (keskpunkt), st see on ellips või hüperbool, saab selle võrrandit taandada (koordinaatide alguspunkti nihutamisega keskele) kujule:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Selliste (nn kesksete) kooniliste lõikude edasised uuringud näitavad, et nende võrrandeid saab taandada veelgi lihtsamale kujule:

Ax 2 + Wu 2 = C,

KOONUSOSADE KONSTRUKTSIOON.

Need koonuslõigete kui tasapinnaliste kõverate määratlused viitavad ka meetodile nende konstrueerimiseks venitatud stringi abil.

Hüperbooli oksad lähenevad kahele sirgele, mis lõikuvad harude vahel. Need sirgjooned, mida nimetatakse hüperbooli asümptootideks, on konstrueeritud nii, nagu on näidatud joonisel 4, b. Nurk

O-telgede lõikepunktist.See valem eeldab täisnurkse kolmnurga ehitamist jalgadega Ov 1 ja V 2 O ning hüpotenuusiga F 2 O.

ANALÜÜTILINE LÄHENEMISVIIS

kus kõik koefitsiendid A, B ja C ei ole võrdsed nulliga. Kasutades paralleelset translatsiooni ja telgede pööramist, saab võrrandi (1) taandada vormile

ax 2 + x 2 + c = 0

2) Kui a-l ja b-l on sama märk ja c-l on vastandmärk, siis on koonuselõik ellips; kui a = b – ring.

3) Kui a-l ja b-l on erinevad märgid, siis koonuselõik on hüperbool.

4) Kui a ja b märgid on erinevad ja c = 0, siis koosneb koonuslõige kahest lõikuvast sirgest.

6) Kui kas a või b on võrdne nulliga ja teistel kordajatel on erinevad märgid, siis koosneb koonuslõik kahest paralleelsest sirgest.

KOONUSLÕIKUD

- tasapinnalised kõverad, mis saadakse parempoolse ringkoonuse lõikumisel tasapinnaga, mis ei läbi selle tippu. Analüütilise geomeetria seisukohalt on koonuslõige teist järku võrrandit rahuldavate punktide asukoht. Välja arvatud degenereerunud juhtudel, on koonilised lõigud ellipsid, hüperboolid või paraboolid.

Kooniliste lõigete avastajaks peetakse Platoni õpilast ja Aleksander Suure õpetajat Menaechmost (4. sajand eKr). Menaechmus kasutas kuubi kahekordistamise probleemi lahendamiseks parabooli ja võrdkülgset hüperbooli. Aristaeuse ja Eukleidese 4. sajandi lõpul kirjutatud traktaadid koonuslõigete kohta. eKr, kadusid, kuid nende materjalid lisati kuulsatesse Perga Apolloniose (u 260–170 eKr) koonuselõikudesse, mis on säilinud tänapäevani. Apollonius loobus nõudest, et koonuse generatriksi lõiketasapind oleks risti ja sai selle kaldenurka muutes kõik koonuslõiked ühest ringkoonusest, olgu siis sirged või kallutatud. Samuti võlgneme Apolloniusele kõverate tänapäevased nimed – ellips, parabool ja hüperbool. Apollonius kasutas oma konstruktsioonides kahelehelist ringikujulist koonust, mistõttu sai esimest korda selgeks, et hüperbool on kahe haruga kõver. Alates Apolloniuse ajast on koonuslõiked jagatud kolme tüüpi olenevalt lõiketasandi kaldest koonuse generatriksi suhtes. Ellips moodustub siis, kui lõiketasapind lõikub kõigis koonuse generatrites ühes oma õõnsuses; parabool - kui lõiketasand on paralleelne ühe koonuse puutujatasandiga; hüperbool – kui lõiketasand lõikub koonuse mõlema õõnsusega.

Ellipsi ja hüperbooli fookused olid Apolloniosele teada, kuid parabooli fookuse määras ilmselt esmakordselt Pappus (3. sajandi 2. pool), kes määratles selle kõvera antud punktist (fookusest) võrdsel kaugusel olevate punktide asukohana. ja etteantud sirge, mida nimetatakse direktoriks. Pappuse määratluse põhjal venitatud niidi abil parabooli konstrueerimise pakkus välja Isidore Mileetosest (6. sajand).

Parabooli fookuse määramine andis Pappusele idee anda koonuselõike üldiselt alternatiivne määratlus. Olgu F etteantud punkt (fookus) ja L antud sirge (suund), mis ei läbi F, ning DF ja DL vastavalt kaugused liikuvast punktist P fookuseni F ja suund L. Seejärel, nagu Papp näitas, määratletakse koonilised lõigud punktide P lookustena, mille puhul suhe DF/DL on mittenegatiivne konstant. Seda suhet nimetatakse koonuselõike ekstsentrilisuseks e. Kui e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hüperbool; kui e = 1 - parabool. Kui F asub L-l, on lookused joonte kujul (tegelikud või kujuteldavad), mis on degenereerunud koonilised lõigud. Ellipsi ja hüperbooli silmatorkav sümmeetria viitab sellele, et igal kõveral on kaks suunda ja kaks fookust ning see asjaolu viis Kepleri 1604. aastal mõttele, et paraboolil on ka teine fookus ja teine suund – punkt lõpmatus ja sirge. . Samamoodi võib ringi pidada ellipsiks, mille fookused langevad kokku keskpunktiga ja suunajooned on lõpmatuses. Ekstsentrilisus e on sel juhul null.

KIRJANDUS
Van der Waerden B.L. Äratusteadus. M., 1959 Aleksandrov P.S. Loengud analüütilisest geomeetriast. M., 1968