Ülesanne 20 Ühtse riigieksami algtase

1) Tigu roomab päevas 4 m puu otsas, öö jooksul libiseb puu otsas 1 m. Puu kõrgus on 13 m. Mitu päeva võtab aega, et tigu puu otsa roomaks puu esimest korda? (4-1 = 3, 4. päeva hommik on 9m kõrgusel ja ööpäevaga roomab 4m.Vastus: 4 )

2) Tigu roomab ööpäevaga 4 m puu otsas, öö jooksul libiseb puu otsas 3 m. Puu kõrgus on 10 m. Mitu päeva võtab aega, et tigu puu otsa roomaks puu esimest korda? Vastus: 7

3) Tigu ronib päeval 3 m puu otsa, öösel laskub 2 m. Puu kõrgus on 10 m Mitu päeva võtab teol puu otsa ronimine? Vastus: 8

4) Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 5 tükki ja kui mööda rohelisi jooni - 7 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? ? (Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, järelikult on ridu 14. Kui lõikate pulga mööda kollaseid jooni, saate 5 tükki, seega on 4 rida. Kui lõikate seda mööda rohelisi jooni, saad 7 tükki, seega ridu on 6. Ridasid kokku: 14 + 4 + 6 = 24 rida. Vastus:25 )

5) Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikad pulga mööda punaseid jooni, saad 5 tükki, kui mööda kollaseid jooni, siis 7 tükki ja kui mööda rohelisi jooni, siis 11 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? Vastus : 21

6) Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 10 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 8 tükki, kui mööda rohelist - 8 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? Vastus : 24

7) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

2 kuldmündi eest saate 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

5 hõbemündi eest saate 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 50 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Vastus: 10

8) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

· 2 kuldmündi eest saad 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

· 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 100 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?? Vastus: 20

9) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

1) 3 kuldmündi eest 4 hõbedat ja üks vask;

2) 6 hõbemündi eest saad 4 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolal olid ainult hõbemündid. Pärast vahetuspunkti külastamist muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 35 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Vastus: 10

10) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

1) 3 kuldmündi eest 4 hõbedat ja üks vask;

2) 7 hõbemündi eest saad 4 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolal olid ainult hõbemündid. Pärast vahetuspunkti külastamist muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 42 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Vastus: 30

11) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

1) 4 kuldmündi eest 5 hõbedat ja üks vask;

2) 8 hõbemündi eest saad 5 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 45 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Vastus: 35

12) Korvis on 50 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 28 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 24 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu piimaseent on korvis? ( (50-28)+1=23 - peavad olema safranist piimakorgid. (50-24)+1=27 - piimaseened peavad olema. Vastus: piimaseened korvis 27 .)

13) Korvis on 40 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 17 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja 25 seene hulgas vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? ( Vastavalt probleemsetele tingimustele: (40-17)+1=24 - peavad olema safranist piimakorgid. (40-25)+1=16 24 .)

14) korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? (Vastavalt probleemiavaldusele: (30-12)+1=19 - peavad olema safranist piimakorgid. (30-20)+1=11 - piimaseened peavad olema. Vastus: safranist piimakorgid korvis 19 .)

15) Korvis on 45 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 23 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 24 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? ( Vastavalt probleemsetele tingimustele: (45-23)+1=23 - peavad olema safranist piimakorgid. (45-24)+1=22 - piimaseened peavad olema. Vastus: safranist piimakorgid korvis 23 .)

16) Korvis on 25 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 11 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 16 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? ( Kuna iga 11 seene hulgas on vähemalt üks seen, siis piimaseene ei ole rohkem kui 10. Kuna 16 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen, siis pole seeni üle 15. Ja kuna seeni on 25 kokku korvis, siis on täpselt 10 piimaseent, ja safrani piimakübarad täpseltVastus: 15.

17) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 4200 rubla ja iga järgneva meetri eest 1300 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 11 meetri sügavuse kaevu? ?(Vastus: 117700)

18) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3700 rubla ja iga järgneva meetri eest 1700 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 8 meetri sügavuse kaevu? ( 77200 )

19) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3500 rubla ja iga järgneva meetri eest 1600 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 9 meetri sügavuse kaevu? ( 89100 )

20) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3900 rubla ja iga järgneva meetri eest 1200 rubla rohkem kui eelmise eest. Mitu rubla peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 6 meetri sügavuse kaevu? (41400)

21) Treener soovitas Andreyl veeta esimesel tundide päeval jooksulindil 15 minutit ja igal järgneval tunnil suurendada jooksulindil veedetud aega 7 minuti võrra. Kui mitmel seansil veedab Andrey jooksulindil kokku 2 tundi ja 25 minutit, kui ta järgib treeneri nõuandeid? ( 5 )

22) Treener soovitas Andreyl veeta esimesel tundide päeval jooksulindil 22 minutit ja igal järgneval tunnil suurendada jooksulindil veedetud aega 4 minuti võrra, kuni see jõuab 60 minutini, ja seejärel jätkata treenimist 60 minutit. iga päev. Mitmel seansil, alates esimesest, veedab Andrey jooksulindil kokku 4 tundi ja 48 minutit? ( 8 )

23) Kinosaali esimeses reas on 24 istekohta ja igas järgmises reas 2 võrra rohkem kui eelmises. Mitu kohta on kaheksandas reas? ( 38 )

24) Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval tuleb võtta 3 tilka ja igal järgneval päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 30 tilga võtmist joob ta veel 3 päeva 30 tilka ravimit ja vähendab seejärel tarbimist 3 tilka päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jooksul, kui iga pudel sisaldab 20 ml ravimit (mis on 250 tilka)? (2) aritmeetilise progressiooni summa, mille esimene liige on 3, vahe 3 ja viimane liige 30.; 165 + 90 + 135 = 390 tilka; 3+ 3(n-1)=30; n=10 ja 27- 3(n-1)=3; n=9

25) Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval peaks ta võtma 20 tilka ja igal järgmisel päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 15-päevast kasutamist teeb patsient 3-päevase pausi ja jätkab ravimi võtmist vastupidises skeemis: 19. päeval võtab ta sama arvu tilka kui 15. päeval ja seejärel vähendab iga päev annust 3 tilka, kuni annus jääb alla 3 tilga päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jaoks, kui igas pudelis on 200 tilka? ( 7 ) joob 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26) Kodumasinate kaupluses on külmikute müügimaht hooajaline. Jaanuaris müüdi 10 ja järgneva kolme kuuga 10 külmikut. Alates maist on müük eelmise kuuga võrreldes kasvanud 15 ühiku võrra. Alates septembrist hakkas müügimaht eelmise kuuga võrreldes vähenema 15 külmiku võrra kuus. Mitu külmkappi müüs pood aastaga? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) Maakera pinnale tõmmatakse viltpliiatsiga 12 paralleeli ja 22 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna?

Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal. (13 22=286)

28) Maakera pinnale joonistati viltpliiatsiga 17 paralleeli ja 24 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna? Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal. (18 24 =432)

29) Kui suur on vähim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis jaguks 7-ga? (2) Kui probleemipüstitus kõlaks järgmiselt: „Mis on väikseim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis garanteeritud jagub 7-ga? Siis peaksite võtma seitse järjestikust numbrit.

30) Kui suur on väikseim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis jaguks 9-ga? (2)

31) Kümne järjestikuse arvu korrutis jagatakse 7-ga. Millega saab jääk olla võrdne? (0) 10 järjestikuse arvu hulgas jagub üks neist kindlasti 7-ga, seega on nende arvude korrutis seitsmekordne. Seetõttu on jääk 7-ga jagamisel null.

32) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulise lõigu jooksul hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 6 hüpet, alustades lähtepunktist? ( rohutirts võib sattuda punktidesse: −6, −4, −2, 0, 2, 4 ja 6; ainult 7 punkti.)

33) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulise lõigu jooksul hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 12 hüpet, alustades lähtepunktist? ( rohutirts võib olla punktides: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 ja 12; ainult 13 punkti.)

34) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulise lõigu jooksul hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 11 hüpet, alustades lähtepunktist? (võib esineda punktides: -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 ja 11; kokku 12 punkti.)

35) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulõigu hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatide sirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 8 hüpet, alustades lähtepunktist?

Pange tähele, et rohutirts võib jõuda ainult paariskoordinaatidega punktidesse, kuna hüpete arv on paaris. Maksimaalne rohutirts võib olla punktides, mille moodul ei ületa kaheksat. Seega võib rohutirts sattuda punktidesse: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8, kokku 9 punkti.

Ülesanne nr 5922.

Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3500 rubla ja iga järgmise meetri eest 1600 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 9 meetri sügavuse kaevu?

Kuna iga järgmise arvesti tasu erineb sama numbri võrra eelmise eest tasumisest, on meil ees.

Selles järgus - esimese arvesti tasu, - iga järgneva arvesti maksete erinevus, - tööpäevade arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa leitakse järgmise valemi abil:

Asendame need probleemid selle valemiga.

Vastus: 89100.

Ülesanne nr 5943.

Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

· 2 kuldmündi eest saad 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

· 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 100 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes??

Ülesanne nr 5960.

Rohutirts hüppab piki koordinaatjoont mis tahes suunas ühikulise lõigu jaoks hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 5 hüpet, alustades lähtepunktist?

Kui rohutirts teeb viis hüpet ühes suunas (paremale või vasakule), jõuab ta punktidesse koordinaatidega 5 või -5:

Pange tähele, et rohutirts võib hüpata nii paremale kui ka vasakule. Kui ta teeb 1 hüppe paremale ja 4 hüpet vasakule (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti koordinaadiga -3. Samamoodi, kui rohutirts teeb 1 hüppe vasakule ja 4 hüpet paremale (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti, mille koordinaat on 3:

Kui rohutirts teeb 2 hüpet paremale ja 3 hüpet vasakule (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti koordinaadiga -1. Samamoodi, kui rohutirts teeb 2 hüpet vasakule ja 3 hüpet paremale (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti, mille koordinaat on 1:

Pange tähele, et kui hüpete koguarv on paaritu, siis rohutirts ei naase koordinaatide alguspunkti, see tähendab, et ta pääseb ainult paaritute koordinaatidega punktidesse:

Neid punkte on ainult 6.

Kui hüpete arv oleks paaris, siis saaks rohutirts naasta koordinaatide alguspunkti ja kõik punktid koordinaatjoonel, mida ta saaks tabada, oleksid paariskoordinaadid.

Vastus: 6

Ülesanne nr 5990

Tigu ronib päevaga 2 m puu otsa, ööga libiseb alla 1 m. Puu kõrgus on 9 m. Mitu päeva võtab teol puu otsa roomamine?

Pange tähele, et selles ülesandes peaksime eristama mõistet "päev" ja "päeva" mõistet.

Probleem küsib, kui kaua täpselt päevadel tigu roomab puu otsa.

Ühe päevaga tõuseb tigu kuni 2 m, ja ühe päevaga tõuseb tigu kuni 1 m (päeva jooksul tõuseb see 2 m ja öösel langeb 1 m).

7 päevaga tõuseb tigu 7 meetrit. See tähendab, et 8. päeva hommikul peab ta roomama 2 m tippu ja kaheksandal päeval läbib selle distantsi.

Vastus: 8 päeva.

Probleem nr 6010.

Kõik maja sissepääsud on sama korruste arvuga ja igal korrusel on sama palju kortereid. Sel juhul on maja korruste arv suurem kui korrusel asuvate korterite arv, korrusel asuvate korterite arv on suurem kui sissepääsude arv ja sissepääsude arv on suurem kui üks. Mitu korrust on majal, kui seal on kokku 105 korterit?

Maja korterite arvu leidmiseks peate korrutama korterite arvu korrusel ( ) korruste arvuga ( ) ja korrutama sissepääsude arvuga ( ).

See tähendab, et peame leidma ( ) järgmiste tingimuste alusel:

(1)

Viimane ebavõrdsus peegeldab seisundit "Maja korruste arv on suurem kui korterite arv ühel korrusel, korterite arv korrusel on suurem kui sissepääsude arv ja sissepääsude arv on rohkem kui üks."

See tähendab, et ( ) on suurim arv.

Korrigeerime 105 algteguriteks:

Võttes arvesse tingimust (1),.

Vastus: 7.

Ülesanne nr 6036.

Korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

Sest 12 seene hulgas on vähemalt üks kaamelin(või rohkem) piimaseente arv peab olema väiksem või võrdne.

Sellest järeldub, et safranipiimakorkide arv on suurem või võrdne sellega.

Sest 20 seene hulgast vähemalt üks seen(või rohkem), peab safranipiimakorkide arv olema väiksem või võrdne

Siis leidsime, et ühelt poolt on safranipiimakorkide arv suurem või võrdne 19 , ja teisest küljest - väiksem või võrdne 19 .

Seetõttu on safrani piimakorkide arv võrdub 19.

Vastus: 19.

Probleem nr 6047.

Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elas korteris nr 333 seitsmendas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on üheksakorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Igal korrusel on korterite arv sama, korterite numbrid majas algavad ühega.)

Igal korrusel olgu korterid.

Siis on korterite arv esimeses kuues sissepääsus võrdne

Leiame ebavõrdsust rahuldava maksimaalse loodusliku väärtuse ( - kuuenda sissepääsu viimase korteri number ja see on väiksem kui 333.)

Siit

Kuuenda sissepääsu viimase korteri number on

Seitsmes sissepääs algab korterist 325.

Seega korter 333 asub teisel korrusel.

Vastus: 2

Ülesanne nr 6060.

Maakera pinnale joonistati viltpliiatsiga 17 paralleeli ja 24 meridiaani. Mitmeks osaks jagavad tõmmatud jooned maakera pinna? Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal.

Kujutagem ette arbuusi, mille lõikasime tükkideks.

Tehes kaks lõiget ülalt alla (joonistades kaks meridiaani), lõikame arbuusi kaheks viiluks. Seega, tehes 24 lõiget (24 meridiaani), lõikame arbuusi 24 viiluks.

Nüüd lõikame iga viilu.

Kui teeme 1 põikilõike (paralleelselt), siis lõikame ühe viilu 2 osaks.

Kui teeme 2 põiki lõiget (paralleeli), siis lõikame ühe viilu 3 osaks.

See tähendab, et tehes 17 lõiget, lõikame ühe viilu 18 osaks.

Niisiis, lõikasime 24 viilu 18 tükiks ja saime tüki.

Järelikult jagavad 17 paralleeli ja 24 meridiaani maakera pinna 432 osaks.

Vastus: 432.

Probleem nr 6069

Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikad pulga mööda punaseid jooni, saad 5 tükki, kui mööda kollaseid jooni, siis 7 tükki ja kui mööda rohelisi jooni, siis 11 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda?

Kui teete 1 lõike, saate 2 tükki.

Kui teed 2 lõiget, saad 3 tükki.

Üldiselt: kui teed lõike, siis saad tüki.

Tagasi: tükkide saamiseks peate tegema lõike.

Leiame joonte koguarvu, mida mööda pulk lõigati.

Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 5 tükki - seetõttu oli seal 4 punast joont;

kui kollasel - 7 tükki - seetõttu oli seal 6 kollast joont;

ja kui rohelistel - 11 tükki - seega oli seal 10 rohelist joont.

Seega on ridade koguarv võrdne . Kui lõikad pulga mööda kõiki jooni, saad 21 tükki.

Vastus: 21.

Probleem nr 9626.

Ringteel on neli tanklat: A, B, B ja D. Vahemaa A ja B vahel on 50 km, A ja B vahel on 40 km, C ja D vahel 25 km, G ja A vahel on 35 km (kõik vahemaad mõõdetakse mööda ringteed lühimas suunas). Leidke kaugus B ja C vahel.

Vaatame, kuidas tanklad paiknevad. Proovime neid korraldada järgmiselt:

Sellise paigutuse korral ei saa G ja A vaheline kaugus olla 35 km.

Proovime seda:

Sellise paigutuse korral ei saa A ja B vaheline kaugus olla 40 km.

Vaatleme seda võimalust:

See valik vastab probleemi tingimustele.

Vastus: 10.

Probleem nr 10041.

Viktoriini ülesannete nimekiri koosnes 25 küsimusest. Iga õige vastuse eest sai õpilane 7 punkti, vale vastuse eest arvati temalt maha 9 punkti, vastuse puudumise eest 0 punkti. Mitu õiget vastust andis õpilane, kes kogus 56 punkti, kui on teada, et ta eksis vähemalt korra?

Las õpilane annab õiged ja valed vastused ( ). Kuna tema vastas võib olla ka muid küsimusi, saame ebavõrdsuse:

Pealegi, olenevalt olukorrast,

Kuna õige vastus lisab 7 punkti ja vale vastus lahutab 9 ning õpilane saab lõpuks 56 punkti, on võrrand järgmine:

See võrrand tuleb lahendada täisarvudes.

Kuna 9 ei jagu 7-ga, peab see olema jagatav 7-ga.

Las siis olla.

Sel juhul on kõik tingimused täidetud.

Probleem nr 10056.

Ristkülik jagatakse kahe sirge lõikega neljaks väikeseks ristkülikuks. Nende kolme pindala, alustades vasakust ülaosast ja seejärel päripäeva, on 15, 18, 24. Leidke neljanda ristküliku pindala.

Ristküliku pindala on võrdne selle külgede korrutisega.

Kollasel ja sinisel ristkülikul on ühine külg, seega on nende ristkülikute pindalade suhe võrdne teiste külgede pikkuste suhtega (ei ole üksteisega võrdne).

Valgel ja rohelisel ristkülikul on ka ühine külg, seega on nende pindalade suhe võrdne teiste külgede suhtega (ei ole üksteisega võrdne), st sama suhe:

Proportsiooni omaduse järgi saame

Siit.

Probleem nr 10071.

Ristkülik jagatakse kahe sirge lõikega neljaks väikeseks ristkülikuks. Neist kolme ümbermõõt, alustades ülalt vasakult ja seejärel päripäeva, on 17, 12, 13. Leidke neljanda ristküliku ümbermõõt.

Ristküliku ümbermõõt on võrdne selle kõigi külgede pikkuste summaga.

Märgime ristkülikute küljed, nagu on näidatud joonisel, ja väljendame ristkülikute ümbermõõte näidatud muutujate kaudu. Saame:

Nüüd peame leidma, mis on avaldise väärtus.

Lahutame kolmandast võrrandist teise ja lisame kolmanda. Saame:

Paremat ja vasakut külge lihtsustades saame:

Niisiis, .

Vastus: 18.

Probleem nr 10086.

Tabelis on kolm veergu ja mitu rida. Tabeli igasse lahtrisse paigutati naturaalarv nii, et esimese veeru kõigi arvude summa on 72, teises 81, kolmandas 91 ja iga rea ​​arvude summa on suurem kui 13. , kuid vähem kui 16. Mitu rida on tabelis?

Leiame kõigi tabelis olevate arvude summa: .

Olgu tabeli ridade arv .

Vastavalt ülesandele iga rea ​​arvude summa rohkem kui 13, kuid vähem kui 16.

Kuna arvude summa on naturaalarv, rahuldavad selle topeltvõrratuse ainult kaks naturaalarvu: 14 ja 15.

Kui eeldame, et iga rea ​​arvude summa on 14, siis on kõigi tabelis olevate arvude summa võrdne ja see summa rahuldab ebavõrdsust.

Kui eeldame, et iga rea ​​arvude summa on 15, siis on kõigi tabelis olevate arvude summa võrdne ja see arv rahuldab ebavõrdsust.

Seega peab naturaalarv täitma ebavõrdsuse süsteemi:

Ainus loomulik, mis seda süsteemi rahuldab, on

Vastus: 17.

Naturaalarvude A, B ja C kohta on teada, et igaüks neist on suurem kui 4, kuid väiksem kui 8. Nad arvasid ära naturaalarvu, korrutasid selle A-ga, lisasid selle saadud korrutisele B ja lahutasid C. tulemus oli 165. Mis numbrit arvati?

Täisarvud A, B ja C võib olla võrdne numbritega 5, 6 või 7.

Olgu tundmatu naturaalarv võrdne .

Saame: ;

Vaatleme erinevaid võimalusi.

Olgu A=5. Siis B=6 ja C=7 või B=7 ja C=6 või B=7 ja C=7 või B=6 ja C=6.

Kontrollime: ; (1)

165 jagub 5-ga.

Arvude B ja C erinevus on 0 või 0, kui need arvud on võrdsed. Kui erinevus on võrdne , siis võrdsus (1) on võimatu. Seetõttu on erinevus 0 ja

Olgu A=6. Siis B=5 ja C=7 või B=7 ja C=5 või B=7 ja C=7 või B=5 ja C=5.

Kontrollime: ; (2)

Arvude B ja C erinevus on 0 või 0, kui need arvud on võrdsed. Kui erinevus on võrdne või 0, siis võrdsus (2) on võimatu, kuna see on paarisarv ja summa (165 + paarisarv) ei saa olla paarisarv.

Olgu A=7. Siis B=5 ja C=6 või B=6 ja C=5 või B=6 ja C=6 või B=5 ja C=5.

Kontrollime: ; (3)

Arvude B ja C erinevus on 0 või 0, kui need arvud on võrdsed. Arv 165 jagamisel 7-ga jätab jäägiks 4. Järelikult ei jagu see ka 7-ga ja võrdsus (3) on võimatu.

Vastus: 33

Raamatust kukkus välja mitu järjestikust lehte. Viimase lehekülje number enne väljalangenud lehti on 352, esimese lehekülje number pärast maha visatud lehti kirjutatakse samade numbritega, kuid erinevas järjekorras. Mitu lina välja kukkus?

Ilmselgelt on esimese lehekülje arv pärast maha visatud lehti suurem kui 352, mis tähendab, et see võib olla kas 532 või 523.

Iga mahakukkunud leht sisaldab 2 lehte. Seetõttu on lehekülgi paarisarv. 352 on paarisarv. Kui liidame paarisarvule paarisarvu, saame paarisarvu. Seetõttu on viimati langenud lehekülje number paarisarv ja esimese lehekülje number pärast väljalangenud lehti peab olema paaritu ehk 523. Seetõttu on viimati välja visatud lehekülje number 522. Siis saadakse tulemuseks linad.

Vastus: 85

Maša ja karu sõid 160 küpsist ja purgi moosi, alustades ja lõpetades samal ajal. Algul sõi Maša moosi ja Karu küpsiseid, kuid mingil hetkel läksid nad ümber. Karu sööb mõlemat kolm korda kiiremini kui Maša. Mitu küpsist sõi Karu, kui nad sõid moosi võrdselt?

Kui Maša ja Karu sõid moosi võrdselt ja karu sõi ajaühiku kohta kolm korda rohkem moosi, siis ta sõi moosi kolm korda lühema ajaga kui Maša. Teisisõnu sõi Maša moosi kolm korda kauem kui Karu. Kuid samal ajal, kui Maša moosi sõi, sõi karu küpsiseid. Järelikult sõi karu küpsiseid kolm korda kauem kui Maša. Kuid pealegi sõi Karu ajaühikus kolm korda rohkem küpsiseid kui Maša, seega sõi ta lõpuks 9 korda rohkem küpsiseid kui Maša.

Nüüd on võrrandi loomine lihtne. Las Maša sööb küpsiseid, siis sõi karu küpsiseid. Koos sõid nad küpsiseid. saame võrrandi:

Vastus: 144

Lillepoe letil on 3 vaasi roosidega: oranž, valge ja sinine. Oranžist vaasist vasakul on 15 roosi ja sinisest vaasist paremal 12 roosi. Kokku on vaasides 22 roosi. mitu roosi on oranžis vaasis?

Kuna 15+12=27 ja 27>22, siis loendati ühes vaasis lillede arv kaks korda. Ja see on valge vaas, sest see peaks olema vaas, mis seisab sinisest paremal ja oranžist vasakul. Niisiis, vaasid on järgmises järjekorras:

Siit saame süsteemi:

Lahutades esimese kolmandast võrrandist, saame O = 7.

Vastus: 7

Kümme sammast on omavahel juhtmetega ühendatud nii, et igast sambast tuleb täpselt 8 juhet. Mitu juhet on nende kümne pooluse vahel?

Lahendus

Simuleerime olukorda. Olgu meil kaks sammast ja need on omavahel juhtmetega ühendatud nii, et igast sambast tuleb täpselt 1 juhe. Siis selgub, et postidelt tuleb 2 juhet. Kuid meil on selline olukord:

See tähendab, et kuigi postidelt tuleb 2 juhet, venitatakse postide vahele ainult üks juhe. See tähendab, et pikendatud juhtmete arv on kaks korda väiksem kui väljaminevate juhtmete arv.

Saame: - väljuvate juhtmete arvu.

Tõmmatud juhtmete arv.

Vastus: 40

Kümnest riigist seitse sõlmisid sõpruslepingu täpselt kolme teise riigiga ja kõik ülejäänud kolm sõlmisid sõpruslepingu täpselt seitsme riigiga. Kui palju lepinguid sõlmiti?

See ülesanne on sarnane eelmisele: kaks riiki allkirjastavad ühe üldlepingu. Igal lepingul on kaks allkirja. See tähendab, et allkirjastatud lepingute arv on poole väiksem kui allkirjade arv.

Leiame allkirjade arvu:

Leiame sõlmitud lepingute arvu:

Vastus: 21

Kolm ühest punktist lähtuvat kiirt jagavad tasapinna kolme erineva nurga alla, mõõdetuna kraadide täisarvuna. Suurim nurk on 3 korda väiksem. Mitu väärtust võib keskmine nurk võtta?

Olgu väikseim nurk võrdne , siis suurim nurk on võrdne . Kuna kõigi nurkade summa on võrdne, on keskmise nurga väärtus võrdne.

Keskmine nurk peab olema suurem kui väikseim ja väiksem kui suurim nurk.

Saame ebavõrdsuse süsteemi:

Seetõttu võtab see väärtusi vahemikus 52 kuni 71 kraadi, see tähendab kõiki võimalikke väärtusi.

Vastus: 20

Miša, Kolja ja Lesha mängivad lauatennist: mängu kaotanud mängija annab teed mängijale, kes selles ei osalenud. Lõpuks selgus, et Miša mängis 12 mängu ja Kolja - 25. Mitu mängu Lesha mängis?

Lahendus

Tuleks selgitada, kuidas turniir on üles ehitatud: turniir koosneb kindlast arvust mängudest; antud mängu kaotaja annab teed mängijale, kes selles mängus ei osalenud. Järgmise mängu lõpus võtab kaotaja koha mängija, kes selles ei osalenud. Järelikult osaleb iga mängija vähemalt ühes kahest järjestikusest mängust.

Uurime, kui palju mänge kokku oli.

Kuna Kolja mängis 25 mängu, peeti turniiril seega vähemalt 25 mängu.

Misha mängis 12 mängu. Kuna ta osales kindlasti igas teises mängus, siis ei mängitud rohkem kui geim. See tähendab, et turniir koosnes 25 mängust.

Kui Miša mängis 12 mängu, siis Lesha ülejäänud 13.

Vastus: 13

Veerandi lõpus pani Petya ühe aine kohta kõik oma hinded järjest üles, neid oli 5, ja mõne nende vahele pani korrutusmärgid. Saadud arvude korrutis osutus võrdseks 3495-ga. Millise hinde saab Petja selles aines veerandis, kui õpetaja annab ainult hinded 2, 3, 4 või 5 ja veerandi lõpphindeks on kõigi jooksvate hinnete aritmeetiline keskmine ümardatuna ümardamisreeglite järgi? (Näiteks 3,2 ümardatakse 3-ni; 4,5 - 5-ni; 2,8 - 3-ni)

Korrigeerime 3495 algteguriteks. Arvu viimane koht on 5, seetõttu jagub arv 5-ga; Numbrite summa jagub 3-ga, seega jagub arv 3-ga.

Sain aru

Seetõttu on Petiti hinnangud 3, 5, 2, 3, 3. Leiame aritmeetilise keskmise:

Vastus: 3

6 erineva naturaalarvu aritmeetiline keskmine on 8. Kui palju tuleks neist arvudest suurimat suurendada, et nende aritmeetiline keskmine muutuks 1 võrra suuremaks?

Aritmeetiline keskmine on võrdne kõigi arvude summaga, mis on jagatud nende arvuga. Olgu kõigi arvude summa võrdne. Vastavalt probleemi tingimustele seega.

Aritmeetiline keskmine sai 1 võrra rohkem, see tähendab, et see võrdub 9-ga. Kui ühte arvudest suurendati võrra, siis summa suurenes võrra ja sai võrdseks .

Numbrite arv ei ole muutunud ja võrdub 6-ga.

Saame võrdsuse:

Jakovleva Natalja Sergeevna
Töö nimetus: matemaatika õpetaja
Haridusasutus: MCOU "Buninskaja keskkool"
Asukoht: Bunino küla, Solntsevski rajoon, Kurski oblast
Materjali nimi: artiklit
Teema:"Matemaatika ühtse riigieksami algtase ülesannete nr 20 lahendamise meetodid"
Avaldamise kuupäev: 05.03.2018
Peatükk: täielik haridus

Ühtne riigieksam on praegu ainus

keskkoolilõpetajate lõputunnistuse vorm. Ja saamine

keskhariduse tunnistust ei saa ilma ühtse riigieksami eduka sooritamiseta

matemaatika. Matemaatika pole mitte ainult oluline akadeemiline aine, vaid

ja üsna keeruline. Neil on palju paremad matemaatilised võimed

Mitte kõik lapsed, kuid eksami edukast sooritamisest sõltub nende edasine saatus.

Lõpuõpetajad esitavad ikka ja jälle küsimuse: “Kuidas aidata

üliõpilane, kes valmistub ühtseks riigieksamiks ja sooritab selle edukalt? Selleks, et

Lõpetaja on saanud tunnistuse, piisab matemaatika algtaseme läbimisest. A

eksami sooritamise edukus on otseselt seotud õpetaja oskusega

meetodid erinevate probleemide lahendamiseks. Pakun teile näiteid

ülesande nr 20 lahendused matemaatika algtase FIPI 2018 all

toimetanud M.V. Jaštšenko.

1 .Teibil keskel vastaskülgedel on kaks triipu: sinine ja

punane. Kui lõikate teibi mööda punast triipu, on üks osa 5 cm

pikem kui teine. Kui lint lõigatakse mööda sinist triipu, siis üks osa on

15 cm pikem kui teine. Leidke kaugus punase ja sinise vahel

triibud.

Lahendus:

Olgu cm kaugus lindi vasakust otsast sinise triibuni cm

kaugus lindi paremast otsast punase triibuni, cm kaugus

triipude vahele. Teada on, et kui lint lõigata mööda punast triipu, siis

üks osa on teisest 5 cm pikem, st a + c – b = 5. Kui lõikad kaasa

sinine triip, siis on üks osa teisest 15 cm pikem, mis tähendab +c –

a = 15. Liidame kaks võrdsust liikme kaupa: a+c-b+c+c-a=20, 2c=20, c=10.

2 . 6 erineva naturaalarvu aritmeetiline keskmine on 8. Sees

kui palju peate nendest numbritest suurimat suurendama, et keskmine

aritmeetiline suurenes 1 võrra.

Lahendus: Kuna 6 naturaalarvu aritmeetiline keskmine on 8,

See tähendab, et nende arvude summa on 8*6=48. Arvude aritmeetiline keskmine

suurenes 1 võrra ja sai võrdseks 9-ga, kuid arvude arv ei muutunud, mis tähendab

arvude summa võrdub 9*6=54. Et teada saada, kui palju üks on kasvanud

numbrite järgi tuleb leida vahe 54-48=6.

3. 6x5 laua lahtrid on värvitud mustvalgeks. Naabrite paarid

Seal on 26 erinevat värvi lahtrit, paarid naabermustad lahtrid 6. Mitu paari

naaberrakud on valged.

Lahendus:

Igas horisontaaljoones moodustub 5 paari naaberrakke, mis tähendab

horisontaalselt on kokku 5*5=25 paari naaberrakke. Vertikaalselt

Moodustub 4 paari naaberrakke, see tähendab ainult naaberrakkude paari

vertikaalid on 4*6=24. Kokku moodustub 24 + 25 = 49 paari naaberrakke. Alates

on 26 paari erinevat värvi, 6 paari musta, järelikult tuleb 49 valget paari

26-6 = 17 paari.

Vastus: 17.

4. Lillepoe letil on kolm roosidega vaasi: valge, sinine ja

punane. Punasest vaasist vasakul on 15 roosi, sinisest vaasist paremal 12

roosid Kokku on vaasides 22 roosi. Mitu roosi on valges vaasis?

Lahendus: Olgu x roosi valges vaasis, y roosid sinises vaasis, z roosid olgu

punane. Vastavalt ülesande tingimustele on vaasides 22 roosi, see tähendab x + y + z = 22. On teada

et punasest vaasist vasakul on 15 sinist ja valget roosi, mis tähendab x + y = 15. A

sinisest vaasist paremal, st valges ja punases vaasis on 12 roosi, mis tähendab x+ z= 12.

Sain:

Liidame 2. ja 3. võrdsuse liikme liikme kaupa: x+y+x+ z=27 või 22 +x=27, x=5.

5 .Maša ja karu sõid 160 küpsist ja purgi moosi, alustades ja lõpetades

samaaegselt. Algul sõi Maša moosi ja Karu sõi küpsiseid, kuid mingil moel

hetkel, kui nad muutusid. Karu sööb mõlemat 3 korda kiiremini kui Maša.

Mitu küpsist sõi Karu, kui nad sõid sama koguse moosi?

Lahendus: Sellest ajast peale, kui Maša ja karu hakkasid küpsiseid ja moosi sööma

samal ajal ja samal ajal valmis, ja sõi ühe toote ja siis

erinevad ja vastavalt probleemi tingimustele sööb Karu mõlemat 3 korda kiiremini kui

Maša, see tähendab, et karu neelas toitu 9 korda kiiremini kui Maša. Seejärel lase x

Maša sõi küpsiseid ja Karu sõi 9 küpsist. On teada, et nad sõid kõike

160 küpsist. Saame: x+9x=160, 10x=160, x=16, mis tähendab, et karu sõi

16*9=144 küpsist.

6. Raamatust kukkus välja mitu järjestikust lehte. Viimane number

lk enne mahavisatud lehti 352. Esimese lehekülje number pärast

mahakukkunud lehed kirjutatakse üles samade numbritega, kuid erinevas järjekorras.

Mitu lina välja kukkus?

Lahendus: Lastakse maha jätta x lehte, siis on väljalangetavate lehtede arv 2x, siis

on paarisarv. Esimesena langenud lehe number on 353. Erinevus

esimese mahajäetud lehe number ja esimese lehe number pärast mahajäetud lehekülgi

peab olema paarisarv, mis tähendab, et arv pärast maha visatud lehti on

523. Siis on maha visatud lehtede arv võrdne (523-353): 2 = 85.

7. Naturaalarvude A, B, C kohta on teada, et igaüks neist on suurem kui 5, kuid

vähem kui 9. Nad arvasid ära naturaalarvu, korrutasid seejärel A-ga, lisasid B ja

lahutada C. Saame 164. Mis arvu oli mõeldud?

Lahendus: Olgu x peidetud naturaalarv, siis Ax+B-C=164, Ax=

164 – (B-C), kuna arvud A, B, C on suuremad kui 5, kuid väiksemad kui 9, siis -2≤B-C≤2,

see tähendab, et Ax = 166; 165; 164; 163; 162. Numbritest 6,7,8 on ainult 6

Matemaatika ühtse riigieksami ülesanne nr 20 sisaldab luureülesannet. Selle jaotise ülesanded on intuitiivsemad kui ühtse riigieksami ülesandes 19, kuid sellegipoolest on need tavaõpilase jaoks üsna keerulised. Niisiis, jätkame tüüpiliste võimaluste kaalumist.

Matemaatika algtaseme ühtse riigieksami ülesannete nr 20 tüüpiliste valikute analüüs

Ülesande esimene versioon (demoversioon 2018)

• 2 kuldmündi eest saate 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;
• 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 50 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

Täitmise algoritm:

1. Sisestage sümbolid.
2. Kirjutage need ülesanded sümbolite abil üles.
3. Määrake tundmatu loogilise arutluskäigu abil.

Lahendus:

Tingimuse kohaselt kuldmünte ei ilmunud, mis tähendab, et Nikolai vahetas kõik pärast teist toimingut saadud kuldmündid esimest toimingut kasutades. Kuldmünte saab vahetada ainult 2 tk, seetõttu toimus paarisarv teist tehingut.

Tutvustame tähistust, olgu 2n sekundi tehteid (arv on alati paaris).

Kui rakendame teist toimingut, saame:

Kõik kuldmündid vahetati esimese tehinguga. Ühe toiminguga saate korraga vahetada 2 kuldmünti, mis tähendab, et toimingute koguarv on (3 · 2n)/2 = 3 n. See on

3 · 2n kulda vahetati 3 · 3n hõbeda + 3n vase vastu.

Või pärast teisendamist:

Võrdleme esimese ja teise toimingu tulemusi:

5 · 2n hõbedat vahetati 3 · 2n kulla + 2n vase vastu.

3 · 2n kulda vahetatud 9n hõbeda + 3n vase vastu

5 · 2n hõbe vahetatud 9n hõbeda vastu + 3n vask+2n vask

10n hõbe vahetatud 9n hõbeda + 5n vase vastu

Kui peale 10n hõbemündi vahetamist saame 9n hõbemünte, siis Nikolai hõbemüntide arv on vähenenud n võrra. Viimasest väljendist on selge, et Nikolai sai 5n vaskmünti ja vastavalt tingimusele ilmus 50 vaskmünti, see tähendab 5n = 50.

Ülesande teine ​​versioon

Maša ja karu sõid 100 küpsist ja purgi moosi, alustades ja lõpetades samal ajal. Algul sõi Maša moosi ja Karu küpsiseid, kuid mingil hetkel läksid nad ümber. Karu sööb mõlemat kolm korda kiiremini kui Maša. Mitu küpsist sõi Karu, kui nad sõid sama koguse moosi?

Täitmise algoritm:

1. Võrrelge tulemusi.
2. Leia tundmatu.

Lahendus:

1. Kuna nii Maša kui Karu sõid moosi võrdselt ja Karu sõi moosi 3 korda kiiremini, siis Maša sõi moosi (oma pool) 3 korda kauem kui Karu (sama pool).
2. Siis selgub, et Karu sõi küpsiseid 3 korda kauem kui Maša ja sõi neid ka 3 korda kiiremini, ehk siis ühe Maša söödud küpsise kohta oli 3∙3=9 Karu söödud küpsist.
3. Neid küpsiseid on kokku 1+9=10 ja 100 küpsises on täpselt 100:10 = 10 selliseid koguseid.
4. See tähendab, et Maša sõi 10 küpsist ja Karu sõi 9∙10=90.

Ülesande kolmas versioon

Maša ja karu sõid 51 küpsist ja purgi moosi, alustades ja lõpetades samal ajal. Algul sõi Maša moosi ja Karu küpsiseid, kuid mingil hetkel läksid nad ümber. Karu sööb mõlemat neli korda kiiremini kui Maša. Mitu küpsist sõi Karu, kui nad sõid sama koguse moosi?

Täitmise algoritm:

1. Tehke kindlaks, kes ja mitu korda kauem küpsiseid sõi.
2. Tehke kindlaks, kes sõi moosi ja mitu korda kauem.
3. Võrrelge tulemusi.
4. Leia tundmatu.

Lahendus:

1. Kuna nii Maša kui Karu sõid moosi võrdselt ja samal ajal sõi Karu moosi 4 korda kiiremini, siis Maša sõi moosi (oma pool) 4 korda kauem kui Karu (sama pool).
2. Siis selgub, et Karu sõi küpsiseid 4 korda kauem kui Maša ja sõi neid ka 4 korda kiiremini, see tähendab, et ühe Maša söödud küpsise kohta oli 4∙4 = 16 karu söödud küpsist.
3. Neid küpsiseid on kokku 1+16=17 ja 51 küpsises on täpselt 51:17 = 3 sellist summat.
4. See tähendab, et Maša sõi 3 küpsist ja Karu sõi 3∙16=48.

Ülesande neljas versioon

Kui mõlemat tegurit suurendataks 1 võrra, suureneks nende korrutis 11 võrra. Tegelikult suurendati mõlemat tegurit 2 võrra. Kui palju suurenes toode?

Täitmise algoritm:

1. Sisestage sümbolid.
2. Teisendage saadud avaldis.
3. Leia tundmatu.

Lahendus:

Kui need tegurid suurenevad 1 võrra, suureneb nende korrutis 11 võrra, see tähendab,

Nüüd arvutame samamoodi, kui palju korrutis suureneb, kui tegureid suurendatakse 2 võrra, ja asendame sellega, mida me juba teame a + b = 10:

Ülesande viies versioon

Kui mõlemat tegurit suurendataks 1 võrra, suureneks nende korrutis 3 võrra. Tegelikult suurendati mõlemat tegurit 5 võrra. Kui palju suurenes toode?

Täitmise algoritm:

1. Sisestage sümbolid.
2. Kirjutage esimene tingimus sümbolite abil üles.
3. Teisendage saadud avaldis.
4. Kirjutage sümbolite abil üles teine ​​tingimus.
5. Teisendage saadud avaldis.
6. Leia tundmatu.

Lahendus:

Olgu esimene tegur võrdne a-ga ja teine ​​tegur b-ga, nende korrutis on võrdne ab-ga.

Kui need tegurid suurenevad 1 võrra, suureneb nende korrutis 3 võrra, st

Liigutame korrutise ab vasakpoolsele küljele vastupidise märgiga ja avame sulud korrutades.

Nüüd arvutame samamoodi, kui palju korrutis suureneb, kui tegureid suurendatakse 5 võrra, ja asendame sellega, mida me juba teame a + b = 2:

2017. aasta kahekümnenda ülesande võimalus

Ristkülik jagatakse kahe sirge segmendiga neljaks väiksemaks ristkülikuks. Neist kolme ümbermõõt, alustades ülalt vasakult ja seejärel päripäeva, on 24, 28 ja 16. Leia neljanda ristküliku ümbermõõt.

Joonistame ristküliku meile sobival kujul ümber:

Nüüd loome võrrandid, kasutades ristküliku perimeetri valemit:

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (1)

Viktoriini ülesannete nimekiri koosnes 25 küsimusest. Iga õige vastuse eest sai õpilane 7 punkti, vale vastuse eest arvati temalt maha 10 punkti, vastuse puudumise eest 0 punkti. Mitu õiget vastust andis 42 punkti kogunud õpilane, kui on teada, et ta eksis vähemalt korra?

Täitmise algoritm

1. Teeme õigete ja valede vastuste kombinatsioonid ja määrame nendes punktide arvu, näiteks: 1) 1 õige + 1 vale = 7–10 = –3 punkti; 2) 2 õiget + 1 vale = 2 7–10 = 4 punkti jne.
2. Õigete vastuste punktidest ja nende kombinatsioonide punktidest “skoorime” 42 punkti. Loendame esitatud küsimuste arvu.
3. Ülejäänud erinevus laekunud küsimuste arvu ja antud 25 küsimuse vahel on määratletud kui need, millele ei vastatud.
4. Kontrollime saadud tulemust.

Lahendus:

Toome sisse järgmised tähistused: õige vastus – 1P, vale vastus – 1H.

Määrame kombinatsioonid ja määrame antavate punktide arvu:

1P=7 punkti

1P+1N=7–10=–3 b.

2P+1N=2·7–10=4 b.

3P+1N=3·7–10=11 b.

Võtame võimalikud punktid kokku: 7+ (–3)+4+11=19. Sellest ilmselgelt ei piisa. Ja kindlasti lisate veel 11: 19+11=30. 42 punktini jõudmiseks peate lisama 12 punkti, mis saadakse 4 punkti kolmekordsel sisestamisel. Üldiselt saame:

7+(–3)+4+11+11+3·4=42.

Kirjutame saadud terminite kombinatsiooni vastuste kujul:

1P+(1P+1N)+(2P+1N)+(3P+1N)+(3P+1N)+3 (2P+1N)=1P+1P+1N+2P+1N+3P+1N+3P+ 1N+6P +3N=16P+7N (vastused).

16+7=23 vastust. 25–23=2 vastust, mille eest saadi 0 punkti, s.o. need on vastuseta küsimused.

Seega anti meie arvutuste kohaselt 16 õiget vastust.

Kontrollime seda:

16 vastust, igaüks 7 punkti. + 7 vastust (–10) b. + 2 vastust igaüks 0 punkti. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (punkti).

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (2)

Tabelis on kolm veergu ja mitu rida. Tabeli igasse lahtrisse kirjutati naturaalarv nii, et esimese veeru kõigi arvude summa on 103, teises 97, kolmandas 93 ja iga rea ​​arvude summa on suurem kui 21. , kuid vähem kui 24. Mitu rida on tabelis?

Täitmise algoritm

1. Leidke tabelist kõigi arvude kogusumma (liides iga kolme veeru summad).
2. Määrame iga rea ​​numbrite summade jaoks vastuvõetavate väärtuste vahemiku.
3. Jagades kogusumma esmalt iga rea ​​väikseima arvude summaga ja seejärel suurimaga, saame vajaliku arvu ridu.

Lahendus:

Tabelis olevate arvude summa on: 103+97+93=293.

Kuna tingimuse järgi on igal real olevate arvude summa >21, kuid<24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (3)

Majas on vaid kaheksateist korterit numbritega 1 kuni 18. Igas korteris elab vähemalt üks ja mitte rohkem kui kolm inimest. Korterites 1 kuni 13 (kaasa arvatud) elab kokku 15 inimest ja korterites 11 kuni 18 (kaasa arvatud) kokku 20 inimest. Mitu inimest elab selles majas?

Täitmise algoritm

1. Määrame korterites 11–13 elavate inimeste maksimaalse arvu, kasutades andmeid selle kohta, kui palju inimesi elab korterites 1–13.
2. Leiame korterite 11–13 elanike miinimumarvu, võttes arvesse korterite 11–18 elanike andmeid.
3. Võrreldes punktides 1-2 saadud andmeid saame nende korterite nr 11-13 elanike täpse arvu.
4. Leiame korterites 1–10 ja 14–18 elavate inimeste arvu.
5. Arvutame maja elanike arvu kokku.

Lahendus:

Esimesed 13 korterit (1.-13.) on koduks 15 inimesele. See tähendab, et 11 korteris elab 1 inimene, lisaks 2 korterit (11·1+2·2=15). Järelikult elab korterites 11–13 (s.o 3) vähemalt 3 ja mitte rohkem kui 5 (1+2+2) inimest.

Teises 8 korteris (11.-18.) on 20 inimest. Samas 14. kuni 18. korterisse (s.o 5 korterisse) ei mahu rohkem kui 5·3=15 inimest. Ja seetõttu elab korterites 11-13 mitte vähem kui 20–15 = 5 inimest.

Need. ühelt poolt ei tohiks korterites 11-13 elada rohkem kui 5 inimest ja teiselt poolt mitte vähem kui 5. Järeldus: nendes korterites elab täpselt 5 inimest, sest Mõlemal juhul pole muid kehtivaid väärtusi.

Siis saame: korterites 1–10 elab 15–5=10 inimest, korterites 14–18 elab 20–5=15 inimest. Majas elavate inimeste koguarv: 10+5+15=30 inimest.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (4)

Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

• 4 kuldmündi eest saate 5 hõbedat ja ühe vaskmündi;
• 7 hõbemündi eest saad 5 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 45 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

Täitmise algoritm

1. Määrame hõbemüntide arvu, mida Nikolay vajab kahekordseks vahetuseks, et tal poleks kuldmünte. Topeltvahetus on esmalt hõbemüntide vahetamine kulla ja vase vastu ning seejärel kulla vahetamine hõbeda ja vase vastu.
2. Määrame erinevate müntide arvu, mis Nikolaile jääb 1 kahekordse vahetamise tulemusena.
3. Arvutame kahekordsete vahetuste arvu, mis tuleb teha, et ilmuks 45 vaskmünti.
4. Leiame hulga hõbemünte, mis Nikolail oleks pidanud algselt olema, et teha vajalik arv vahetusi ja mille ta sai kõigi vahetuste tulemusena.
5. Määrame soovitud erinevuse.

Lahendus:

Nikolay peab 1. vahetuse tegema 2. skeemi järgi, sest tal on ainult hõbemündid. Selleks, et tal ei jääks kuldmünte, peab ta leidma minimaalse kordse 5-st saadavast kuldmündist ja neljast kuldmündist, mille ta saab korraga vastu võtta (ilma jäägita). See on number 20.

Vastavalt sellele peab Nikolaisel 20 kuldmündi saamiseks olema 20:5 = 4 komplekti hõbemünte 7 tükist. See tähendab, et esialgu peaks tal olema 4·7=28. Ja samal ajal saab Nikolai ka 1·4=4 vaskmünti.

Vahetuse tehes annab Nikolai 20:4 = 5 komplekti kuldmedaleid. Vastutasuks saab ta 5·5=25 hõbemünti ja 1·5=5 vaskmünti.

Seega jääb Nikolaile ühe vahetuse tulemusena 25 hõbemünti ja 4+5=9 vaskmünti. Kuna Nicholas sai lõpuks 45 vaskmünti, tähendab see, et 45:9 = 5 topeltvahetust.

Kui 1 topeltvahetuse tulemusena sai Nikolai 25 hõbemünti, siis 5 sellise vahetuse järel on tal 25·5=125 tk. Ja esialgu pidi tal selleks olema 28·5=140 hõbemünti. Järelikult vähenes nende arv Nikolais 140–125 = 15 tükki.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (5)

Kõik maja sissepääsud on sama korruste arvuga ning kõikidel korrustel on sama arv kortereid. Sel juhul on maja korruste arv suurem kui korrusel asuvate korterite arv, korrusel asuvate korterite arv on suurem kui sissepääsude arv ja sissepääsude arv on suurem kui üks. Mitu korrust on majal, kui seal on kokku 357 korterit?

Täitmise algoritm

1. Määratleme võrrandi hoone korterite arvu määramiseks, kasutades tingimuses toodud parameetreid (s.o läbi korterite arvu korrusel jne).
2. Korrutame 357.
3. Leiame saadud kordajate vastavuse konkreetsetele parameetritele, lähtudes sellest, milline parameetritest on teistest suurem või väiksem.

Lahendus:

Sest kõigil korrustel on sama arv kortereid (X), kõigil sissepääsudel on sama arv korruseid (Y), siis tähistades sissepääsude arvu Z-ga, saame kirjutada: 357 = X·Y·Z.

Korrigeerime 357 algteguriteks. Saame: 357=3·7·17·1. Pealegi on see paigutuse ainus võimalus. Sest Y>X>Z>1, siis me ei võta paigutuses ühikut arvesse ja määrame, et Z=3, X=7, Y=17.

Kuna korruste arv on tähistatud Y-ga, on vajalik arv 17.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (6)

Kümnest riigist seitse sõlmisid sõpruslepingu täpselt kolme riigiga ja kõik ülejäänud kolm sõlmisid sõpruslepingu täpselt seitsme riigiga. Kui palju lepinguid sõlmiti?

Täitmise algoritm

1. Loendame 7 riigi sõlmitud lepingute arvu.
2. Määrame 3 ülejäänud riigi sõlmitud lepingute arvu.
3. Leiame sõlmitud lepingute koguarvu. Jagame selle 2-ga, sest kahepoolsed lepingud.

Lahendus:

Esimesed 7 riiki sõlmisid lepingud 3 riigiga, s.o. Nendel lepingutel on 7·3=21 allkirja. Samamoodi andsid ülejäänud 3 riiki 7 riigiga lepinguid sõlmides 3·7=21 allkirja. See tähendab, et allkirju on kokku 21+21=42.

Sest Kõik lepingud on kahepoolsed, mis tähendab, et igal neist on 2 allkirja. Järelikult on lepinguid poole vähem kui allkirju, s.t. 42:2=21 kokkulepped.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (7)

Maakera pinnale joonistati viltpliiatsiga 13 paralleeli ja 25 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna?

Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal.

Täitmise algoritm

1. Tõestame, et paralleelid jagavad maakera 13+1 osaks.
2. Tõestame, et meridiaanid jagavad maakera 25 osaks.
3. Leitud arvude korrutisena määrame osade arvu, milleks maakera tervikuna on jagatud.

Lahendus:

Kui iga paralleel on ring, siis on see suletud sirge. See tähendab, et 1. paralleel jagab maakera kaheks osaks. Lisaks jagab 2. paralleel 3 osaks, 3. - 4 osaks jne. Selle tulemusena jagavad 13 paralleeli maakera 13+1=14 osaks.

Meridiaan on poolusi ühendav ringjoone kaar, s.o. See ei ole suletud joon ega jaga maakera osadeks. Aga 2 meridiaani juba jagunevad, st. 2 meridiaani jagavad 2 osaks, siis 3. meridiaan lisab 3. osa, 4. – 5. osa jne. See tähendab lõppkokkuvõttes, et 25 meridiaani moodustavad maakeral 25 osa.

Osade koguarv maakeral on: 14·25=350 osa.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (8)

Korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

Täitmise algoritm

1. Määrame piimaseente arvukuse 12 seene ja safrani piimakübarate arvukuse 20 seene hulgas.
2. Tõestame, et on ainult üks õige number, mis tähistab safranipiimakorkide arvu. Salvestame selle vastuses.

Lahendus:

Kui 12 seene hulgas on vähemalt 1 piimaseen, siis seeni ei ole rohkem kui 11. Kui 20 seene hulgas on vähemalt 1 piimaseen, siis ei ole rohkem kui 19 seeni.

See tähendab, et kui piimaseene ei saa olla üle 11, siis alla 30 – 11 = 19 seent ei saa olla. Need. ühel küljel on mitte rohkem kui 19 safranist piimakorki ja teisel pool mitte vähem kui 19. Seetõttu saab safranist piimakorke olla ainult täpselt 19.

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (9)

Kui mõlemat tegurit suurendataks 1 võrra, suureneks nende korrutis 3 võrra. Kui palju suureneks nende tegurite korrutis, kui mõlemat tegurit suurendataks 5 võrra?

Täitmise algoritm

1. Tutvustame tegurite tähistust. See võimaldab meil väljendada algset toodet (enne tegurite suurendamist).
2. Koostame võrrandi olukorrale, kui tegureid suurendatakse 1 võrra. Teostame teisendused. Saame uue avaldise, mis kuvab seose algsete tegurite vahel.
3. Loome võrrandi olukorrale, kui tegureid suurendatakse 5 võrra. Teostame teisendused. Sisestame võrrandisse sammus 2 saadud avaldise ja leiame soovitud erinevuse.

Lahendus:

Olgu 1. tegur võrdne x-ga, 2. – y. Siis on nende toode xy.

Pärast kordajate suurendamist 1 võrra saame:

(x+1)(y+1)=xy+3

xy +y+x+1= xy +3

Pärast kordajate suurendamist 5 võrra saame:

(x+5)(y+5)=xy+N, kus N on toodete soovitud erinevus.

Teostame ümberkujundamisi:

xy+5y+5x+25=xy+N

N= xy +5y+5x+25– xy

Sest Eespool on juba määratud, et x + y = 2, siis saame:

2019. aasta kahekümnenda ülesande võimalus (10)

Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elas korteris nr 462 seitsmendas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on seitsmekorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Kõikidel korrustel on korterite arv sama, korterite numeratsioon majas algab ühest.)

Täitmise algoritm

1. Valikumeetodi abil määrame korterite arvu saidil. See arv peaks olema selline, et korterite arv oleks suurem kui 6 sissepääsu korterite arv, kuid väiksem kui 7 korterite arv.
2. Korterite arvu määrame 6 sissepääsuga. Lahutame selle arvu 462-st ja jagame selle saidi korterite arvuga. Nii saame teada vajaliku korruse numbri. Märkus: 1) kui saadakse täisarv, on soovitud korruse number 1 võrra suurem kui arvutatud väärtus; 2) kui saadakse murdarv, siis saadakse korruse number ümardatuna.

Lahendus:

Otsime korterite arvu kohapeal, kontrollides numbrite kaupa.

Oletame, et see arv on 3. Siis saame, et 6 korruse 7 sissepääsus on 7 6 3 = 126 korterit,

ja 7 sissepääsus 7 korrusel on 7·7·3=147 korterit.

Korter nr 462 ei kuulu kindlasti korterite nr 126–147 hulka.

Samamoodi, kontrollides numbreid 4, 5 jne, jõuame arvuni 10. Tõestame, et see on täpselt õige:

7 sissepääsus 6 korrusel on 7 6 10 = 420 korterit,

7 sissepääsuga 7 korrusel: 7·7·10=490 korterit. Alates 420<462<490, то условие задания выполнено.

Korteri nr 462 juurde pääsemiseks tuleb läbida 462–420 = 42 korterit. Sest Igal saidil on 10 korterit, siis 42:10 = 4,2 korrust tuleb ületada. 4.2 tähendab, et peate läbima 4 korrust täielikult ja tõusma 5-ndale. Seega on vajalik korrus 5.

Mysikova Julia

Matemaatika algtaseme ühtne riigieksam koosneb 20 ülesandest. Ülesandes 20 testitakse loogilisi ülesannete lahendamise oskusi. Õpilane peab suutma rakendada oma teadmisi ülesannete lahendamiseks praktikas, sh aritmeetilises ja geomeetrilises progressioonis. Käesolevas töös vaadeldakse üksikasjalikult matemaatika algtaseme ühtse riigieksami 20. ülesande lahendamist ning detailülesannete põhjal lahendusnäiteid ja -meetodeid.

Lae alla:

Eelvaade:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Matemaatika algtaseme ühtse riigieksami leidlikkuse ülesanded. Ülesanded nr 20 Julia Aleksandrovna Mysikova, õpilane 11 “A” sotsiaalmajanduslik klass Munitsipaalõppeasutus “Keskkool nr 45”

Tigu puu otsas Lahendus. Tigu roomab päeval 3 m puu otsas, öösel laskub 2 m. Kokku liigub ta ööpäevas 3 – 2 = 1 meeter. 7 päevaga tõuseb see 7 meetrit. Kaheksandal päeval roomab see veel 3 meetrit üles ja on esimest korda kõrgusel 7 + 3 = 10 (m), s.o. puu otsas. Vastus: 8 Tigu roomab päeval puu otsast 3 m üles, öösel laskub 2 m. Puu kõrgus on 10 m. Mitu päeva võtab teol aega, et roomata selle aluselt latva puu?

Tanklad Lahendus. Joonistame ringi ja järjestame punktid (tanklad) nii, et vahemaad vastaksid tingimusele. Pange tähele, et kõik punktide A, C ja D vahelised kaugused on teada. AC = 20, AD = 30, CD = 20. Märgistame punkti A. Punktist A päripäeva märgime punkti C, pidage meeles, et AC = 20. Nüüd märgime punkti D, mis asub punktist A 30 kaugusel, seda kaugust ei saa A-st päripäeva kõrvale panna, kuna siis on C ja D vaheline kaugus 10 ja tingimuse kohaselt CD = 2 0 . See tähendab, et punktist A punkti D peame liikuma vastupäeva, märkima punkti D. Kuna CD = 20, on kogu ringi pikkus 20 + 30 + 20 = 70. Kuna AB = 35, siis on punkt B diametraalselt punkti A vastas. Kaugus punktist C punktini B võrdub 35-20 = 15. Vastus: 15. Ringteel on neli tanklat: A, B, C ja D. Vahemaa A ja B vahel on 35 km, A ja C vahel 20 km, C ja D vahel 20 km, D vahel ja A on 30 km (kõik vahemaad mõõdetakse mööda ringteed lühimas suunas). Leidke kaugus B ja C vahel. Esitage oma vastus kilomeetrites.

Kinosaalis Lahendus. 1 viis. Loeme lihtsalt kokku, mitu kohta on ridades kuni kaheksandani: 1 – 24 2 – 26 3 – 28 4 – 30 5 – 32 6 – 34 7 – 36 8 – 38. Vastus: 38. Kohapeal on 24 kohta. kino esimene rida ja igas järgmises reas on istekohti 24. 2 rohkem kui eelmine. Mitu kohta on kaheksandas reas? 2. meetod. Märgime, et ridade kohtade arv on aritmeetiline progressioon, mille esimene liige on 24 ja erinevus on 2. Kasutades progressiooni n-nda liikme valemit, leiame kaheksanda liikme a 8 = 24 + (8 – 1)*2 = 38. Vastus: 38.

Seened korvis Lahendus. Tingimusest, et mis tahes 27 seene hulgas on vähemalt üks piimakübar, järeldub, et seente arv ei ületa 26. Teisest tingimusest, et mis tahes 25 seene hulgas on vähemalt üks seen, järeldub, et seeni on mitte rohkem kui 24. Kuna seeni on kokku 50, siis safrani piimakübaraid on 24, piimaseeni 26. Vastus: 24. Korvis on 50 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 27 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 25 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

Kuubikud reas Lahendus. Kui nummerdame kõik kuubikud numbritega ühest kuueni (arvestamata, et seal on erinevat värvi kuubikud), saame kuubikute permutatsioonide koguarvu: P(6)=6*5*4*3*2 *1=720 Pidage nüüd meeles, et punast kuubikut on 2 ja nende ümberpaigutamine (P(2)=2*1=2) uut meetodit ei anna, seega tuleb saadud korrutist 2 korda vähendada. Samamoodi peame meeles, et meil on 3 rohelist kuubikut, seega peame vähendama saadud toodet 6 korda (P(3)=3*2*1=6) Seega saame kuubikute paigutamise viiside koguarvu 60. Vastus: 60 Mitmel viisil saab ritta panna kahte identset punast kuubikut, kolme identset rohelist kuubikut ja ühte sinist kuubikut?

Jooksulindil Treener soovitas Andreyl veeta esimesel klassipäeval jooksulindil 15 minutit ja igal järgneval tunnil suurendada jooksulindil veedetud aega 7 minuti võrra. Kui mitmel seansil veedab Andrey jooksulindil kokku 2 tundi ja 25 minutit, kui ta järgib treeneri nõuandeid? Lahendus. 1 viis. Märgime, et peame leidma aritmeetilise progressiooni summa esimese liikmega 15 ja vahe, mis on võrdne 7-ga. Kasutades progressiooni S n =(2a 1 +(n-1) esimese n liikme summa valemit )d)*n/2 meil on 145=(2*15+ (n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+ 7n–7)*n, 290=(23+7n)*n, 290=23n+7n2, 7n2 +23n-290=0, n=5. Vastus: 5. 2. meetod. Töömahukam. 1-15-15 2-22-37 3-29-66 4-36-102 5-43-145. Vastus: 5.

Müntide vahetamine Ülesanne 20. Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust: 2 kuldmündi eest saate 3 hõbedat ja ühe vaskmündi; 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi. Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 50 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Lahendus. Las Nikolai sooritab esmalt x teist tüüpi tehteid ja seejärel y esimest tüüpi tehteid. Siis on meil: Siis oli 3y -5x = 90 – 100 = -10 hõbemünti, st. 10 vähem. Vastus: 10

Omanik leppis lahendusega kokku. Tingimusest on selge, et iga kaevatud arvesti hindade jada on aritmeetiline progressioon, mille esimene liige on a 1 = 3700 ja erinevus d = 1700. Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemiga S n = 0,5(2a 1 + (n – 1)d)n. Algandmed asendades saame: S 10 = 0,5(2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200. Seega tuleb omanikul töötajatele maksta 77 200 rubla. Vastus: 77200. Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3700 rubla ja iga järgneva meetri eest - 1700 rubla rohkem kui eelmise eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 8 meetri sügavuse kaevu?

Vesi süvendis Üleujutuse tagajärjel täitus süvend veega 2 meetrini. Ehituspump pumpab pidevalt vett välja, alandades selle taset 20 cm tunnis. Aluspinnase vesi, vastupidi, tõstab veetaset süvendis 5 cm tunnis. Mitu tundi pumbaga töötamist kulub selleks, et kaevu veetase langeks 80 cm-ni? Lahendus. Pumba töö ja pinnaseveega üleujutuse tulemusena langeb veetase süvendis 20-5 = 15 sentimeetrit tunnis. Tase langeb 200-80=120 sentimeetri võrra 120:15=8 tundi. Vastus: 8.

Piluga paak 38-liitrisesse paaki valatakse iga tund, alates kella 12-st, täis ämbritäis vett mahuga 8 liitrit. Aga paagi põhjas on väike vahe ja tunniga voolab sealt 3 liitrit välja. Mis ajahetkel (tundides) paak täielikult täidetakse? Lahendus. Iga tunni lõpus suureneb vee maht paagis 8–3 = 5 liitri võrra. 6 tunni pärast, see tähendab kell 18, on paagis 30 liitrit vett. Kell 19.00 lisatakse paaki 8 liitrit vett ja paagis oleva vee mahuks saab 38 liitrit. Vastus: 19.

Kaev Naftafirma puurib naftatootmiseks kaevu, mis geoloogiliste uuringute andmetel asub 3 km sügavusel. Tööpäeva jooksul lähevad puurijad 300 meetri sügavusele, kuid üleöö “mudab” kaev uuesti, ehk täitub 30 meetri sügavuselt pinnasega. Mitu tööpäeva kulub naftameestel kaevu naftasügavuseni puurimiseks? Lahendus. Arvestades kaevu mudastumist, läbib päeva jooksul 300-30 = 270 meetrit. See tähendab, et 10 täispäevaga läbitakse 2700 meetrit ja 11. tööpäeval veel 300 meetrit. Vastus: 11.

Maakera Maakera pinnale on viltpliiatsiga tõmmatud 17 paralleeli ja 24 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna? Lahendus. Üks paralleel jagab maakera pinna kaheks osaks. Kaks korda kolm osa. Kolm korda neli osa jne. 17 paralleeli jagavad pinna 18 osaks. Joonistame ühe meridiaani ja saame ühe terve (mitte lõigatud) pinna. Joonistame teise meridiaani ja meil on juba kaks osa, kolmas meridiaan jagab pinna kolmeks osaks jne. 24 meridiaani jagasid meie pinna 24 osaks. Saame 18*24=432. Kõik jooned jagavad maakera pinna 432 osaks. Vastus: 432.

Rohutirts hüppab Rohutirts hüppab piki koordinaatjoont mis tahes suunas ühikulise lõigu jooksul hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatide sirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 8 hüpet, alustades lähtepunktist? Lahendus: Pärast väikest järelemõtlemist võime märgata, et rohutirts võib sattuda vaid paariskoordinaatidega punktidesse, kuna hüpete arv on paaris. Näiteks kui ta teeb viis hüpet ühes suunas, siis vastassuunas teeb ta kolm hüpet ja jõuab punktidesse 2 või −2. Maksimaalne rohutirts võib olla punktides, mille moodul ei ületa kaheksat. Seega võib rohutirts sattuda punktidesse: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 ja 8; ainult 9 punkti. Vastus: 9.

Uued bakterid Iga sekundiga jaguneb bakter kaheks uueks bakteriks. On teada, et bakterid täidavad kogu ühe klaasi mahu 1 tunniga. Mitu sekundit kulub bakterite täitmiseks pool klaasi? Lahendus. Pidage meeles, et 1 tund = 3600 sekundit. Iga sekund on kaks korda rohkem baktereid. See tähendab, et poole klaasi bakterite muutmiseks klaasitäieks kulub vaid 1 sekund. Seetõttu täitus klaas poolenisti 3600-1=3599 sekundiga. Vastus: 3599.

Arvude jagamine Kümne järjestikuse arvu korrutis jagatakse 7-ga. Millega saab jääk olla võrdne? Lahendus. Probleem on lihtne, kuna kümnest järjestikusest naturaalarvust jagub vähemalt üks 7-ga. See tähendab, et kogu korrutis jagub 7-ga ilma jäägita. See tähendab, et jääk on 0. Vastus: 0.

Kus Petya elab? Probleem 1. Majal, kus Petya elab, on üks sissepääs. Igal korrusel on kuus korterit. Petya elab korteris nr 50. Mis korrusel Petya elab? Lahendus: jagage 50 6-ga, saame jagatise 8 ja jääk on 2. See tähendab, et Petya elab 9. korrusel. Vastus: 9. Ülesanne 2. Kõik maja sissepääsud on ühe korruste arvuga ja kõikidel korrustel on sama arv kortereid. Sel juhul on maja korruste arv suurem kui korrusel asuvate korterite arv, korrusel asuvate korterite arv on suurem kui sissepääsude arv ja sissepääsude arv on suurem kui üks. Mitu korrust on majal, kui seal on kokku 455 korterit? Lahendus. Selle probleemi lahendus tuleneb arvu 455 arvestamisest algteguriteks. 455 = 13*7*5. See tähendab, et majal on 13 korrust, sissepääsus igal korrusel 7 korterit, 5 sissepääsu. Vastus: 13.

Ülesanne 3. Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elab korteris nr 468 kaheksandas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on kaheteistkorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Kõigil korrustel on korterite arv sama, korterite numbrid majas algavad ühest.) Lahendus: Petya saab arvutada, et kaheteistkümnekorruselises majas on seitsme esimese sissepääsu juures 12 * 7 = 84 kohta. Edasi vaadates ühe saidi võimalikku korterite arvu, näete, et neid on vähem kui kuus, kuna 84 * 6 = 504. See on rohkem kui 468. See tähendab, et igal saidil on 5 korterit, siis esimeses seitsmes sissepääsus on 84 * 5 = 420 korterit . 468 – 420 = 48, see tähendab, et Sasha elab 8. sissepääsu korteris 48 (kui numeratsioon oleks igas sissepääsus ühest). 48:5 = 9 ja 3 jäänud. Nii et Sasha korter asub 10. korrusel. Vastus: 10.

Restoranimenüü Restoranimenüüs on 6 sorti salateid, 3 tüüpi esimest rooga, 5 tüüpi teist rooga ja 4 tüüpi magustoitu. Mitu lõunasööki salatist, esimesest, teisest käigust ja magustoidust saavad selle restorani külastajad valida? Lahendus. Kui nummerdame iga salati esimeseks, teiseks, magustoiduks, siis: 1 salatiga, 1 esimene, 1 teine, saate serveerida ühe neljast magustoidust. 4 võimalust. Teise sekundiga on ka 4 varianti jne. Kokku saame 6*3*5*4=360. Vastus: 360.

Maša ja karu Karu sõi oma poole moosipurgist 3 korda kiiremini kui Maša, mis tähendab, et tal on küpsiste söömiseks jäänud veel 3 korda rohkem aega. Sest Karu sööb küpsiseid 3 korda kiiremini kui Maša ja tal on veel 3 korda rohkem aega (ta sõi oma pool moosipurki 3 korda kiiremini), siis sööb ta 3⋅3=9 korda rohkem küpsiseid kui Maša (9 karu sööb küpsised, samas kui Masha sööb ainult 1 küpsise). Selgub, et vahekorras 9:1 söövad Karu ja Maša küpsiseid. Kokku on 10 aktsiat, mis tähendab, et 1 aktsia võrdub 160:10=16. Selle tulemusena sõi Karu 16⋅9=144 küpsist. Vastus: 144 Maša ja karu sõid 160 küpsist ja purgi moosi, alustades ja lõpetades samal ajal. Algul sõi Maša moosi ja Karu küpsiseid, kuid mingil hetkel läksid nad ümber. Karu sööb mõlemat kolm korda kiiremini kui Maša. Mitu küpsist sõi Karu, kui nad sõid moosi võrdselt?

Pulgad ja jooned Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 5 tükki ja kui mööda rohelisi jooni - 7 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? Lahendus. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, järelikult on ridu 14. Kui lõikate pulga mööda kollaseid jooni, saate 5 tükki, seega on 4 rida. Kui lõikate seda mööda rohelisi jooni, saad 7 tükki, seega tuleb ridu 6. Rida kokku: 14+ 4+6=24 rida, seega tuleb 25 tükki. Vastus: 25

Arst määras Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval tuleb võtta 3 tilka ja igal järgneval päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 30 tilga võtmist joob ta veel 3 päeva 30 tilka ravimit ja vähendab seejärel tarbimist 3 tilka päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jooksul, kui iga pudel sisaldab 20 ml ravimit (mis on 250 tilka)? Lahendus Esimeses tilkade võtmise etapis on päevas võetavate tilkade arv kasvav aritmeetiline progressioon, mille esimene liige on 3, vahe on 3 ja viimane liige 30. Seega: siis 3 + 3(n) -1) = 30; 3+ 3 n -3 = 30; 3 n = 30; n = 10, st. 10 päeva on möödunud 30 tilka suurendamise skeemi järgi. Teame ariitide summa valemit. progressioon: arvutame S10:

Järgmise 3 päeva jooksul - 30 tilka: 30 · 3 = 90 (tilka) Manustamise viimasel etapil: st. 30-3(n-1) =0; 30 -3n+3=0; -3n = -33; n=11, st. 11 päeva jooksul vähendati ravimite tarbimist. Leiame aritmeetika summa. edasiminek 4) Niisiis, kokku 165 + 90 + 165 = 420 tilka 5) Siis 420: 250 = 42/25 = 1 (17/25) pudelit Vastus: peate ostma 2 pudelit

Kodumasinate kauplus Kodumasinate kaupluses on külmikute müügimaht hooajaline. Jaanuaris müüdi 10 ja järgneva kolme kuuga 10 külmikut. Alates maist on müük eelmise kuuga võrreldes kasvanud 15 ühiku võrra. Alates septembrist hakkas müügimaht eelmise kuuga võrreldes vähenema 15 külmiku võrra kuus. Mitu külmkappi müüs pood aastaga? Lahendus. Arvutame järjestikku, kui palju külmikuid iga kuuga müüdi, ja võtame tulemused kokku: 10 4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+(55+15)+(70-15)+ (55-15)+(40-15)+ (25-15)= = 40+25+40+55+70+55+40+25+10=120+110+130=360 Vastus: 360.

Kastid Kahte tüüpi, sama laiuse ja kõrgusega kastid on laotud laos 43 m pikkuses reas, laiuselt kõrvuti. Ühte tüüpi kast on 2 m ja teine ​​5 m pikk. Kui suur on vähim lahtrite arv, mis on vajalik terve rea täitmiseks tühjade tühikuteta? Lahendus Kuna Kui teil on vaja leida kõige väiksem arv kaste, siis => peate võtma kõige rohkem suuri kaste. Seega 5 · 7 = 35; 43 – 35 = 8 ja 8:2 = 4; 4+7=11 Seega on ainult 11 kasti. Vastus: 11.

Tabel Tabelis on kolm veergu ja mitu rida. Tabeli igasse lahtrisse paigutati naturaalarv nii, et kõigi esimese veeru numbrite summa on 119, teises - 125, kolmandas - 133 ja iga rea ​​arvude summa on suurem kui 15. , kuid vähem kui 18. Mitu rida on veerus? Lahendus. Kõikide veergude kogusumma = 119 + 125 + 133 = 377 Limiit ei hõlma numbreid 18 ja 15, mis tähendab: 1) kui rea summa = 17, siis ridade arv on 377: 17= =22,2 2) kui rea summa = 16, siis ridade arv on 377: 16= =23,5 Seega ridade arv = 23 (kuna see peaks jääma 22,2 ja 23,5 vahele) Vastus: 23

Viktoriin ja ülesanded Viktoriini ülesannete loetelu koosnes 36 küsimusest. Iga õige vastuse eest sai õpilane 5 punkti, vale vastuse eest arvati temalt maha 11 punkti ja vastuse puudumise eest 0 punkti. Mitu õiget vastust andis õpilane, kes kogus 75 punkti, kui on teada, et ta eksis vähemalt korra? Lahendus. 1. meetod: Olgu X õigete vastuste arv ja X valede vastuste arv. Seejärel loome võrrandi 5x -11y = 75, kus 0

Grupp turiste Grupp turiste ületas mäekuru. Esimese tõusukilomeetri läbisid nad 50 minutiga ning iga järgnev kilomeeter võttis eelmisest 15 minutit kauem aega. Viimane kilomeeter enne tippu läbiti 95 minutiga. Pärast kümneminutilist puhkust tipus alustasid turistid laskumist, mis kulges järk-järgult. Esimene kilomeeter pärast tippkohtumist läbiti tunniga ning iga järgmine kilomeeter oli eelmisest 10 minutit kiirem. Mitu tundi kulus grupil kogu marsruudil, kui viimane laskumiskilomeeter läbiti 10 minutiga? Lahendus. Rühm kulutas mäest üles minnes 290 minutit, puhkamiseks 10 minutit ja mäest alla laskumiseks 210 minutit. Kokku kulutasid turistid kogu marsruudil 510 minutit. Teisendame 510 minutit tundideks ja leiame, et 8,5 tunniga läbisid turistid kogu teekonna. Vastus: 8.5

Täname tähelepanu eest!