Õpetaja avasõna:
Natuke ajaloolist tausta: Paljud teadlased on iidsetest aegadest huvitatud probleemide lõikamisest. Paljudele lihtsatele lõikamisprobleemidele leidsid lahendused juba vanad kreeklased ja hiinlased, kuid esimese süstemaatilise traktaadi sel teemal kirjutas Abul-Vef. Geomeetrid hakkasid 20. sajandi alguses tõsiselt lahendama figuuride võimalikult väikesteks osadeks lõikamise ja seejärel teise kujundi konstrueerimise probleeme. Üks selle sektsiooni asutajatest oli kuulus pusle asutaja Henry E. Dudeney.
Tänapäeval otsivad puslesõbrad innukalt lõikamisprobleeme, sest selliste probleemide lahendamiseks pole universaalset meetodit ning igaüks, kes neid lahendama võtab, saab täielikult demonstreerida oma leidlikkust, intuitsiooni ja loova mõtlemise võimet. (Tunni jooksul toome välja ainult ühe võimalikest lõikamisnäidetest. Võib arvata, et õpilastel võib tekkida mõni muu õige kombinatsioon - seda pole vaja karta).
See õppetund peaks toimuma praktilise õppetunni vormis. Jagage ringis osalejad 2-3-liikmelistesse rühmadesse. Varustage iga rühm õpetaja poolt eelnevalt koostatud joonistega. Õpilastel on joonlaud (jaotistega), pliiats ja käärid. Kääride abil on lubatud teha ainult sirgeid lõikeid. Olles lõiganud figuuri tükkideks, peate tegema samadest osadest teise figuuri.
Lõikamisülesanded:
1). Proovige lõigata joonisel näidatud joonis kolmeks võrdse kujuga osaks:
Vihje: väikesed kujundid näevad välja nagu T-täht.
2). Nüüd lõigake see kuju neljaks võrdse kujuga osaks:
Vihje: On lihtne arvata, et väikesed kujundid koosnevad 3 lahtrist, kuid kolme lahtriga kujundeid pole palju. Neid on ainult kahte tüüpi: nurk ja ristkülik.
3). Jagage kujund kaheks võrdseks osaks ja kasutage saadud osi malelaua moodustamiseks.
Vihje: soovitage alustada ülesannet teisest osast, justkui malelaua hankimisel. Pea meeles, milline on malelaua kuju (ruut). Loendage saadaolevate lahtrite arv pikkuses ja laiuses. (Pidage meeles, et lahtrit peaks olema 8).
4). Proovige juust lõigata kolme noa liigutusega kaheksaks võrdseks tükiks.
Näpunäide: proovige juustu pikuti lõigata.
Iseseisva lahenduse ülesanded:
1). Lõigake paberist välja ruut ja tehke järgmist.
· lõika 4 tükiks, millest saab teha kaks võrdset väiksemat ruutu.
· lõika viieks osaks – neli võrdhaarset kolmnurka ja üks ruut – ning murra need kokku nii, et saad kolm ruutu.
Matemaatikajuhendajatele ning erinevate valikainete ja klubide õpetajatele on välja pakutud valik meelelahutuslikke ja harivaid geomeetrilisi lõikeülesandeid. Selliseid ülesandeid oma tundides kasutava juhendaja eesmärk ei ole mitte ainult huvitada õpilast huvitavate ja tõhusate lahtrite ja kujundite kombinatsioonide vastu, vaid arendada ka tema joonte, nurkade ja kujundite taju. Ülesannete kogum on suunatud peamiselt 4.-6. klassi lastele, kuigi seda on võimalik kasutada isegi keskkooliõpilastega. Harjutused nõuavad õpilastelt kõrget ja stabiilset tähelepanu kontsentratsiooni ning sobivad suurepäraselt visuaalse mälu arendamiseks ja treenimiseks. Soovitatav matemaatikaõpetajatele, kes valmistavad õpilasi ette sisseastumiseksamiteks matemaatikakoolidesse ja -klassidesse, mis seavad erilisi nõudmisi lapse iseseisva mõtlemise ja loominguliste võimete tasemele. Ülesannete tase vastab lütseumi “teise kooli” (teise matemaatikakooli), Moskva Riikliku Ülikooli väikese mehaanika-matemaatikateaduskonna, Kurtšatovi kooli jne sisseastumisolümpiaadide tasemele.
Matemaatika juhendaja märkus:
Mõnes probleemilahenduses, mida saate vaadata vastaval kursoril klõpsates, on näidatud ainult üks võimalikest lõikamise näidetest. Ma tunnistan täielikult, et võite jõuda mõne muu õige kombinatsiooniga – seda pole vaja karta. Kontrollige oma pisikese lahendust hoolikalt ja kui see vastab tingimustele, siis võtke julgelt järgmine ülesanne.
1) Proovige lõigata joonisel näidatud kujund 3 võrdse kujuga osaks:
: Väikesed kujundid on väga sarnased T-tähega
2) Nüüd lõigake see kuju neljaks võrdse kujuga osaks:
Matemaatika juhendaja näpunäide: On lihtne arvata, et väikesed kujundid koosnevad 3 lahtrist, kuid kolme lahtriga kujundeid pole palju. Neid on ainult kahte tüüpi: nurk ja 1 × 3 ristkülik.
3) Lõika see kuju 5 võrdse kujuga tükiks:
Leidke lahtrite arv, mis moodustavad iga sellise kujundi. Need arvud näevad välja nagu täht G.
4) Nüüd peate kümnest lahtrist koosneva kujundi lõikama neljaks ebavõrdne ristkülik (või ruut) üksteise suhtes.
Matemaatika juhendaja juhised: valige ristkülik ja proovige ülejäänud lahtritesse mahutada veel kolm. Kui see ei tööta, muutke esimest ristkülikut ja proovige uuesti.
5) Ülesanne muutub keerulisemaks: peate joonise 4-ks lõikama erineva kujuga figuurid (mitte tingimata ristkülikud).
Matemaatika juhendaja näpunäide: kõigepealt joonistage eraldi kõik erineva kujuga figuuritüübid (neid on rohkem kui neli) ja korrake valikute loendamise meetodit nagu eelmises ülesandes.
:
6) Lõika see kujund neljast erineva kujuga lahtrist viieks kujundiks nii, et igasse neist oleks maalitud ainult üks roheline lahter.
Matemaatika juhendaja näpunäide: Proovi lõikamist alustada selle joonise ülemisest servast ja saad kohe aru, kuidas edasi toimida.
:
7) Eelmise ülesande põhjal. Leia mitu erineva kujuga kujundit, mis koosnevad täpselt neljast lahtrist? Figuuri saab väänata ja pöörata, kuid te ei saa tõsta lauda (selle pinnalt), millel see asub. See tähendab, et kahte antud arvu ei peeta võrdseks, kuna neid ei saa üksteisest pöörata.
Matemaatika juhendaja näpunäide: Uurige eelmise ülesande lahendust ja proovige ette kujutada nende kujundite erinevaid positsioone pööramisel. Pole raske arvata, et meie probleemi vastuseks on number 5 või rohkem. (Tegelikult isegi rohkem kui kuus). Kirjeldatud on 7 tüüpi kujundeid.
8) Lõika 16 lahtrist koosnev ruut 4 võrdse kujuga tükiks nii, et iga nelja tüki sees oleks täpselt üks roheline lahter.
Matemaatika juhendaja näpunäide: Väikeste kujundite välimus ei ole ruut või ristkülik ega isegi nelja lahtri nurk. Milliseid kujundeid peaksite proovima lõigata?
9) Lõika kujutatud kujund kaheks osaks, et saadud osad saaks ruuduks voltida.
Matemaatika juhendaja vihje: Kokku on 16 lahtrit, mis tähendab, et ruudu suurus on 4x4. Ja kuidagi on vaja aken keskelt ära täita. Kuidas seda teha? Kas võib olla mingi nihe? Seejärel, kuna ristküliku pikkus on võrdne paaritu arvu lahtritega, tuleks lõikamine teha mitte vertikaalse lõikega, vaid mööda katkendlikku joont. Nii et ülemine osa lõigatakse keskmise lahtri ühelt küljelt ära ja alumine osa teiselt poolt.
10) Lõika 4x9 ristkülik kaheks tükiks, et need saaks ruuduks voltida.
Matemaatika juhendaja näpunäide: ristkülikus on kokku 36 lahtrit. Seetõttu on ruudu suurus 6x6. Kuna pikk külg koosneb üheksast rakust, tuleb kolm neist ära lõigata. Kuidas see kärpimine edasi läheb?
11) Joonisel kujutatud viiest lahtrist koosnev rist tuleb lõigata (saate lahtrid ise lõigata) tükkideks, millest saaks ruudu voltida.
Matemaatika juhendaja näpunäide: Selge on see, et olenemata sellest, kuidas me lõikame mööda lahtrite jooni, me ruutu ei saa, kuna lahtreid on ainult 5. See on ainus ülesanne, mille puhul lõikamine on lubatud mitte rakkude järgi. Siiski oleks hea need siiski teejuhiks jätta. Näiteks väärib märkimist, et me peame kuidagi eemaldama taanded, mis meil on – nimelt meie risti sisenurkades. Kuidas seda teha? Näiteks lõigates ära mõned väljaulatuvad kolmnurgad risti välisnurkadest...
Ülesanne 1: Ristküliku, mille küljed on väljendatud täisarvudena, saab lõigata vormi kujunditeks (joonisel oleva lahtri külg võrdub ühega). Tõesta, et seda saab lõigata 1 × 5 ristkülikuteks.
(D.~Karpov)
Lahendus: Selle ristküliku pindala jagatakse näidatud joonise pindalaga, see tähendab 5-ga. Ristküliku pindala on võrdne külgede pikkuste korrutisega. Kuna külgede pikkused on täisarvud ja 5 on algarv, peab ühe külje pikkus jaguma 5-ga. Jagame selle külje ja vastaskülje segmentideks pikkusega 5 ja ülejäänud kaks külge segmentideks pikkusega 1, misjärel ühendame vastaskülgede vastavad punktid sirgjoontega. Ülesanne 2: Lahendage võrrandisüsteem reaalarvudes(A.~Khrabrov)
Lahendus: Vastus: süsteemil on unikaalne lahendus: a = b = c = d = 0. Süsteemi kaks võrrandit liites saame võrratuse 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Võrratustest 2ab ≤ a² + b² ja 2cd ≤ c² + d², järeldub, et selle võrrandi parem pool ei ole suurem kui vasak ja võrdsust saab saavutada ainult siis, kui b = 0, c = 0, a = b ja c = d. See tähendab, et selle süsteemi ainus võimalik lahendus on a = b = c = d = 0.Teine võimalus lahendatakse sarnaselt.
Ülesanne 3: Rombis ABCD on punktid E ja F võetud vastavalt külgedele AB ja BC, nii et CF/BF = BE/AE = 1994. Selgus, et DE = DF. Leidke nurk EDF.
Ülesande tingimustest (mõlemas versioonis) järeldub, et BE = CF. Joonistame küljele AB lõigu AK, mis on võrdne BE-ga. Kolmnurgad ADK ja CDF on mõlema külje ja nurga poolest võrdsed (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). See tähendab, et DK = DF = DE, see tähendab, et kolmnurk DKE on võrdhaarne. Eelkõige on selle põhjas olevad nurgad DKE ja DEK võrdsed. Seetõttu on kolmnurgad ADK ja BDE võrdsed (kahe külje ja nurga all: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Seega AD = BD, see tähendab, et kolmnurk ABD on võrdkülgne. Seetõttu ∠BAD = 60, ∠ABC = 120.
(A.~Khrabrov)
Lahendus: Las võistkond A võidab nende reeglitega matšis meeskonda B (võib-olla kindlustab varajase võidu). See tähendab, et järelejäänud (kasutamata) penaltite mis tahes mõeldava tulemuse korral oleks võistkonna A skoor kõrgem kui võistkonnal B. Kujutagem ette, et meeskonnad jätkasid penaltite löömist pärast mängu lõppu ja lõid kõik ülejäänud penaltid, ilma et võistkond A oleks löönud ühtegi punkti rohkem väravaid ja meeskond B ei löönud enam kordagi. Sel juhul jääb A löödud väravate koguarv siiski suuremaks kui B löödud väravad (seda tähendab sõnad "varajane võit"). Kui palju see veel olla võib? Ainult 1 või 2. Tõepoolest, kui vahe oleks olnud suurem kui kaks, oleks A-meeskonna võit muutunud vältimatuks ka varem, enne viimast penaltipaari.Lisaks märgime, et meie kaalutava mängu jätkumisel tabasid väravat täpselt pooled löökidest. Seega tabas väravat kõigist 129 löögipaarist täpselt pooled ehk täpselt 129. Need 129 väravat on jagatud A ja B vahel nii, et A-l on 1 või 2 rohkem. See määrab selgelt meeskonna A löödud väravate arvu – 65.
Ülesanne 5: Lahendage võrrand naturaalarvudes:(D.~Karpov)
Lahendus: Sellel võrrandil on ainulaadne lahendus: x = 2, y = 1, z = 2 (mõlemas versioonis). See, et see on lahendus, tuleneb üldisest identiteedist a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, mida esimeses versioonis rakendati väärtusele a = 105 ja teises versioonile a = 201.Muid lahendusi ei ole, sest kui z > 2, siis võrrandi parem pool jagub 8-ga, aga vasak mitte, kuna 105 x saab anda jäägi 1 ainult jagamisel 8-ga ja 211 y - ainult jäägid 1 ja 3. Jääb veel märkida, et z = 1 puhul ei ole ka lahendusi ning z = 2 puhul on väärtused y = 1 ja x = 2 üheselt määratud.