Koostage mõlema masina vahetuse jooksul toodetud defektsete osade arvu jaotusseadus ja arvutage selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve.
192. Tõenäosus, et kell vajab täiendavat reguleerimist, on 0,2. Koostage seadus täiendavat reguleerimist vajavate kellade arvu jaotamiseks kolme juhuslikult valitud kella vahel. Kasutades saadud jaotusseadust, leidke selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon. Kontrollige tulemust binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni vastavate valemite abil.
193. Saadaval oleva kuue loteriipileti hulgast, millest neli on mittevõitvad, loositakse juhuslikult üks pilet kuni võidupileti leidmiseni. Koostage jaotusseadus juhuslikule suurusele X - välja võetud piletite arv, kui iga väljavõetud pilet ei tule tagasi. Leidke selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve.
194. Üliõpilane saab sooritada eksami mitte rohkem kui neli korda. Koostage juhusliku suuruse X jaotusseadus - eksami sooritamise katsete arv, kui selle sooritamise tõenäosus on 0,75 ja suureneb iga järgneva katsega 0,1 võrra. Leidke selle juhusliku suuruse dispersioon.
195. Kahe sõltumatu juhusliku suuruse X ja Y jaotusseadused on antud:
| X | – 6 | Y | – 3 | – 1 | ||||
| P | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
Koostage juhusliku suuruse X–Y jaotusseadus ja kontrollige dispersiooniomadust D(X–Y) = D(X) + D(Y).
196. Töökojas saadaolevast viiest sama tüüpi kellast on ainult ühel pendel valesti. Meister kontrollib juhuslikult valitud kella. Ülevaatus lõpeb niipea, kui tuvastatakse nihutatud pendliga kell (kontrollitud kellasid enam ei vaadata). Koostage jaotusseadus meistri poolt vaadatud tundide arvu kohta ja arvutage selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.
197. Sõltumatud juhuslikud muutujad X ja Y on määratud jaotusseadustega:
| X | Y | – 2 | ||||||
| P | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
Koostage juhusliku suuruse X 2 + 2Y jaotusseadus ja kontrollige matemaatilise ootuse omadust: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. On teada, et juhusliku suuruse X, millel on kaks väärtust x 1 = 1 ja x 2 = 2, matemaatiline ootus on 7/6. Leidke tõenäosus, millega juhuslik suurus X saab oma väärtused. Koostage juhusliku suuruse 2 X 2 jaotusseadus ja leidke selle dispersioon.
199. Kaks sõltumatut juhuslikku muutujat X ja Y on määratletud jaotusseadustega:
Leidke P(X= 3) ja P(Y= 4). Koostage juhusliku suuruse X – 2Y jaotusseadus ning kontrollige matemaatilise ootuse ja dispersiooni omadusi: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
Ülesannetes 201–210 on antud juhuslikud suurused, mis jaotuvad normaalseaduse järgi
201. Juhuslik suurus ξ on normaaljaotusega. Leidke P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. Juhuslik suurus ξ on normaaljaotusega. Leidke P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. Juhuslik suurus ξ on normaaljaotusega. Leidke P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. Tavalise seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse ξ jaoks leidke Р(|ξ–а|<2σ).
206. Tavalise seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse ξ jaoks leidke Р(|ξ–а|<4σ).
207. Sõltumatud juhuslikud suurused ξ ja η on normaalselt jaotatud,
Мξ= –1; Dξ = 2; Мη= 5; Dη= 7. Kirjuta üles tõenäosustihedus ja nende summa jaotusfunktsioon. Leidke Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. Sõltumatud juhuslikud suurused ξ, η, ζ jaotuvad normaalseaduse järgi ja Мξ= 3; Dξ = 4; Мη= –2; Dη = 0,04; Мζ= 1; Dζ = 0,09. Kirjutage üles nende summa tõenäosustihedus ja jaotusfunktsioon. Leidke Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. Sõltumatud juhuslikud suurused ξ, η, ζ on normaaljaotusega ja Мξ= –1; Dξ = 9; Мη= 2; Dη = 4; Мζ= –3; Dζ = 0,64. Kirjutage üles nende summa tõenäosustihedus ja jaotusfunktsioon. Leidke Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. Automaatmasin toodab rulle, reguleerides nende läbimõõtu ξ. Eeldades, et ξ on normaaljaotus ja a = 10 mm, σ = 0,1 mm, leidke intervall, milles toodetud rullide läbimõõdud sisalduvad tõenäosusega 0,9973.
Ülesannetes 211–220 on näidis X mahuga n =100 tabeliga:
| x i | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n i | 20+(a+b) | 30–(a+b) |
kus mõõtmistulemused x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – sagedused, millega väärtused x i esinevad.
1) konstrueerida suhteliste sageduste hulknurk w i =n i /n;
2) arvutab valimi keskmise, valimi dispersiooni D B ja standardhälbe σ B;
3) arvutada teoreetilised sagedused. Koostada graafik samale joonisele nagu hulknurk;
4) testida χ 2 kriteeriumi kasutades hüpoteesi üldkogumi normaaljaotusest olulisuse tasemel α = 0,05.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a = 2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
Ülesannetes 221–230 täpsustatakse karakteristikute X ja Y ühismõõtmiste tulemuste kahemõõtmeline valim mahuga n = 100 korrelatsioonitabeliga:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | a 4 | a 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+a | 12+b | – | – | 20+(a+b) |
| x 4 | – | – | 16–a | 14–b | – | 30–(a+b) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| n yi | 19+a | 42+b–a | 31–b | n = 100 |
kus x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.
1) Leidke ja σ y. Võtke ja σ x väärtused eelmisest ülesandest.
2) Arvutage korrelatsioonikordaja r B . Tehke järeldus tunnuste X ja Y vahelise seose olemuse kohta.
3) Koostage Y regressioonisirge võrrand kujul X.
4) Joonista graafikule korrelatsiooniväli, s.t. joonistage punktid (xi, yi) ja konstrueerige sirge.
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
Ülesannetes 231–240 leidke funktsiooni maksimaalne väärtus 
tingimustel 
.
Võtke väärtused tabelist
| Valikud | Valikud | |||||||||
| A 1 | ||||||||||
| A 2 | ||||||||||
| A 3 | ||||||||||
| B 1 | ||||||||||
| B 2 | ||||||||||
| B 3 | ||||||||||
| T 1 | ||||||||||
| T 2 | ||||||||||
| T 3 | ||||||||||
| C 1 | ||||||||||
| C 2 |
nõutud:
1) lahendada lineaarse programmeerimise ülesanne graafiliselt;
2) lahendab ülesande tabeli simpleksmeetodil;
3) näidata vastavust tugilahenduste ja teostatavate lahenduste piirkonna tippude vahel;
Ülesannetes 241–250 tuleb viiele tarbijale B j () tarnida mingi homogeenne veos, mis on koondunud kolme tarnija A i () hulka. Tarnijate a i veosevarud ja tarbijate vajadused b j, samuti kaubaühiku transportimise maksumus i-nda tarnija juurest j-nda tarbijani C ij on toodud tabelis.
| Tarnijad | Tarbijad | Reservid | ||||
| B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | B 5 | ||
| A 1 | Alates 11 | Alates 12 | Alates 13 | Alates 14 | Alates 15 | a 1 |
| A 2 | Alates 21 | Alates 22 | Alates 23 | Alates 24 | Alates 25 | a 2 |
| A 3 | C 31 | C 32 | C 33 | C 34 | Alates 35 | a 3 |
| Vajadused | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 | b 5 |
Vaja kindlaks teha optimaalne veoplaan, mis võimaldab tarnijatelt kogu lasti eemaldada ja rahuldab kõigi tarbijate vajadused nii, et selle plaani maksumus oleks minimaalne. Leidke esimene tugiplaan "loode" nurga meetodil. Leia optimaalne plaan kasutades potentsiaalset meetodit. Arvutage iga plaani saatekulu.
| Valikud | Valikud | |||||||||
| a 1 | ||||||||||
| a 2 | ||||||||||
| a 3 | ||||||||||
| b 1 | ||||||||||
| b 2 | ||||||||||
| b 3 | ||||||||||
| b 4 | ||||||||||
| b 5 | ||||||||||
| Alates 11 | ||||||||||
| Alates 12 | ||||||||||
| Alates 13 | ||||||||||
| Alates 14 | ||||||||||
| Alates 15 | ||||||||||
| Alates 21 | ||||||||||
| Alates 22 | ||||||||||
| Alates 23 | ||||||||||
| Alates 24 | ||||||||||
| Alates 25 | ||||||||||
| C 31 | ||||||||||
| C 32 | ||||||||||
| C 33 | ||||||||||
| C 34 | ||||||||||
| Alates 35 |
Ülesannetes 251-260 teeb tööstus kapitaliinvesteeringuid nelja objekti. Panuse iseärasusi ja kohalikke olusid arvesse võttes väljendatakse majandusharu kasumit, olenevalt finantseerimise suurusest, maksemaatriksi elementidega. Probleemi lihtsustamiseks eeldame, et tööstuse kahjum võrdub tööstuse kasumiga. Leidke optimaalsed tööstusstrateegiad. Nõutud:
1) võta lähteandmed tabelisse kokku ja leia maatriksmängule lahendus puhaste strateegiatena, kui see on olemas (muidu vaata järgmist sammu 2);
2) lihtsustada maksemaatriksit;
3) luua antud maatriksmänguga võrdväärne vastastikku duaalülesannete paar;
4) leida optimaalne lahendus otsesele probleemile (tööstusele B) simpleksmeetodil;
5) muutujate vastavust kasutades kirjutada välja duaalülesande optimaalne lahendus (tööstusele A);
6) anda selle lahenduse geomeetriline tõlgendus (tööstuse A jaoks);
7) kasutades duaalprobleemi paari optimaalsete lahenduste, optimaalsete strateegiate ja mängu maksumuse vahelist seost, leida mängule lahendus segastrateegiates;
1. võimalus 2. valik 3
1. Analüütiline geomeetria ja vektoralgebra………………….. 4
2. Lineaarvõrrandi ja kompleksarvude süsteemid………….. 5
3. Funktsioonigraafikute joonistamine, piirväärtuste arvutamine
ja funktsioonide murdepunktide tuvastamine.…………….……………. 6
4. Funktsioonide tuletised, suurimad ja vähimad väärtused
segmendil..……………………………………………………….… 9
5. Funktsioonide uurimine ja graafikute koostamine,
mitme muutuja funktsioonid, vähimruutude meetod... 11
6. Määramatu, kindel ja ebaõige integraal… 12
7. Diferentsiaalvõrrandite ja süsteemide lahendamine
Diferentsiaalvõrrandid…………….………………….….…… 14
8. Mitmik- ja kõverjoonelised integraalid ……………………………… 15
9. Arv- ja astmeridade uurimine, ligikaudne
Diferentsiaalvõrrandite lahendused…………………………… 17
10. Tõenäosusteooria…………………………………………………… 18
Petr Aleksejevitš Burov
Anatoli Nikolajevitš Muravjov
Ülesannete kogumine
©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-12-07
Kaht juhuslikku muutujat $X$ ja $Y$ nimetatakse sõltumatuks, kui ühe juhusliku suuruse jaotusseadus ei muutu sõltuvalt sellest, milliseid võimalikke väärtusi saab teine juhuslik suurus. See tähendab, et iga $x$ ja $y$ puhul on sündmused $X=x$ ja $Y=y$ sõltumatud. Kuna sündmused $X=x$ ja $Y=y$ on sõltumatud, siis sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutise teoreemi järgi $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ right)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
Näide 1 . Laske juhuslikul muutujal $X$ väljendada ühe loterii “Vene Lotto” piletitelt saadud rahalist võitu ja juhusliku muutujaga $Y$ teise loterii “Kuldvõti” piletitelt saadud rahalist võitu. On ilmne, et juhuslikud suurused $X,\Y$ on sõltumatud, kuna ühe loterii piletite võidud ei sõltu teise loterii piletitelt saadud võitude jaotamise seadusest. Juhul, kui juhuslikud muutujad $X,\Y$ väljendaksid sama loterii võitu, siis ilmselgelt oleksid need juhuslikud suurused sõltuvad.
Näide 2 . Kaks töötajat töötavad erinevates töökodades ja toodavad erinevaid tooteid, mis ei ole tootmistehnoloogia ja kasutatud tooraine poolest omavahel seotud. Esimese töötaja poolt vahetuses valmistatud defektsete toodete arvu levitamise seadus on järgmisel kujul:
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
\ defektsete \ toodete arv \ x & 0 ja 1 \\
\hline
Tõenäosus & 0,8 ja 0,2 \\
\hline
\end(massiiv)$
Teise töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv järgib järgmist jaotusseadust.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
\ defektsete \ toodete arv \ y & 0 & 1 \\
\hline
Tõenäosus & 0,7 ja 0,3 \\
\hline
\end(massiiv)$
Leiame jaotusseaduse kahe töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arvu kohta.
Olgu juhuslik suurus $X$ esimese töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv ja $Y$ teise töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv. Tingimuse järgi on juhuslikud muutujad $X,\Y$ sõltumatud.
Kahe töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv on juhuslik suurus $X+Y$. Selle võimalikud väärtused on $0,\1$ ja $2$. Leiame tõenäosuse, millega juhuslik suurus $X+Y$ võtab oma väärtused.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\vasak(Y=1\parem)+P\vasak(X=1\parem)P\vasak(Y=0\parem)=0,8\cpunkt 0,3+0,2\cpunkt 0,7 =0,38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0,2\cdot 0,3=0,06.$
Siis kahe töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arvu jaotusseadus:
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
\ defektsete \ toodete arv & 0 & 1 ja 2 \\
\hline
Tõenäosus & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(massiiv)$
Eelmises näites tegime juhuslike suurustega $X,\Y$ operatsiooni, nimelt leidsime nende summa $X+Y$. Andkem nüüd täpsem definitsioon juhuslike suuruste tehtetele (liitmine, erinevus, korrutamine) ja näiteid lahendustest.
Definitsioon 1. Juhusliku muutuja $X$ korrutis $kX$ konstantse muutujaga $k$ on juhuslik suurus, mis võtab väärtused $kx_i$ samade tõenäosustega $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \ dots ,\ n\ right)$.
2. definitsioon. Juhuslike muutujate $X$ ja $Y$ summa (erinevus või korrutis) on juhuslik muutuja, mis võtab kõik võimalikud väärtused kujul $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ või $x_i\cdot y_i$) , kus $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, tõenäosusega $p_(ij)$, et juhuslik muutuja $X$ saab väärtuse $x_i$ ja $Y$ väärtuse $y_j$:
$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
Kuna juhuslikud suurused $X,\Y$ on sõltumatud, siis sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutusteoreemi järgi $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ paremal)= p_i\cdot p_j$.
Näide 3 . Sõltumatud juhuslikud muutujad $X,\ Y$ on määratud nende tõenäosusjaotuse seadustega.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i ja 0,4 & 0,1 ja 0,5 \\
\hline
\end(massiiv)$
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 ja 0,7 \\
\hline
\end(massiiv)$
Sõnastame juhusliku suuruse $Z=2X+Y$ jaotuse seaduse. Juhuslike muutujate $X$ ja $Y$ summa ehk $X+Y$ on juhuslik muutuja, mis võtab kõik võimalikud väärtused kujul $x_i+y_j$, kus $i=1,\ 2 ,\punktid ,\ n$ , tõenäosusega $p_(ij)$, et juhuslik muutuja $X$ saab väärtuse $x_i$ ja $Y$ väärtuse $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kuna juhuslikud suurused $X,\Y$ on sõltumatud, siis sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutusteoreemi järgi $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ paremal)= p_i\cdot p_j$.
Seega on sellel juhuslike muutujate $2X$ ja $Y$ jaotusseadused.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i ja 0,4 & 0,1 ja 0,5 \\
\hline
\end(massiiv)$
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 ja 0,7 \\
\hline
\end(massiiv)$
Summa $Z=2X+Y$ kõigi väärtuste ja nende tõenäosuste leidmise mugavuse huvides koostame abitabeli, mille igas lahtris asetame vasakusse nurka summa $ väärtused. Z=2X+Y$ ja paremas nurgas - nende väärtuste tõenäosused, mis on saadud juhuslike suuruste $2X$ ja $Y$ vastavate väärtuste tõenäosuste korrutamisel.
Selle tulemusena saame jaotuse $Z=2X+Y$:
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 ja 0,35 \\
\hline
\end(massiiv)$
Teenuse eesmärk. Võrguteenuse kasutamine arvutatakse matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve(vt näidet). Lisaks joonistatakse jaotusfunktsiooni F(X) graafik.
- Online lahendus
- Video juhendamine
Juhusliku suuruse matemaatilise ootuse omadused
- Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne iseendaga: M[C]=C, C – konstant;
- M=C M[X]
- Juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga: M=M[X]+M[Y]
- Sõltumatute juhuslike suuruste korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega: M=M[X] M[Y] , kui X ja Y on sõltumatud.
Dispersiooniomadused
- Konstantse väärtuse dispersioon on null: D(c)=0.
- Konstantteguri saab dispersioonimärgi alt välja võtta ruudustades: D(k*X)= k 2 D(X).
- Kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, siis on summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltuvad: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dispersiooni jaoks kehtib järgmine arvutusvalem:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Näide. Teada on kahe sõltumatu juhusliku suuruse X ja Y matemaatilised ootused ja dispersioonid: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Leidke juhusliku suuruse Z=9X-8Y+7 matemaatiline ootus ja dispersioon.
Lahendus. Matemaatilise ootuse omaduste põhjal: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dispersiooni omaduste põhjal: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345
Pidevad juhuslikud muutujad. Juhuslike suuruste süsteemid. Kahe juhusliku argumendi funktsioon. Konvolutsiooni valem. Normaaljaotuse stabiilsus, lk 3
Olgu antud juhusliku argumendi X funktsioon. Argumendi jaotusseadust teades on vaja leida selle funktsiooni matemaatiline ootus.
1. Olgu argumendiks X diskreetne jaotusjadaga juhuslik suurus
.
Näide 3. Diskreetne juhuslik suurus X on antud jaotusega
Leia funktsiooni matemaatiline ootus 
.
Võimalikud Y väärtused:
; 
; 
.
2. Olgu argument X pidev juhuslik suurus, mis on määratud jaotustihedusega p(x). Funktsiooni matemaatilise ootuse leidmiseks saate esmalt leida väärtuse Y jaotustiheduse g(y) ja seejärel kasutada valemit: 
.
Võimaluse korral väärtused 
, See 
.
Näide 4. Juhuslik suurus X on antud tihedusega 
intervallis (0, π/2); väljaspool seda intervalli p(x)=0. Leia funktsiooni matemaatiline ootus 
.
, 
, , ; Seega
§ 17. Kahe juhusliku argumendi funktsioon.
Konvolutsiooni valem. Normaaljaotuse stabiilsus.
o Kui juhuslike suuruste X ja Y iga võimalike väärtuste paar vastab juhusliku suuruse Z ühele võimalikule väärtusele, siis Z nimetatakse kahe juhusliku argumendi funktsioon X ja Y:
.
Täiendavad näited näitavad, kuidas funktsiooni jaotust leida 
teadaolevate terminite jaotuste järgi. See probleem esineb praktikas sageli. Näiteks kui mõõteseadme näitude X-viga on ühtlaselt jaotunud, siis tekib ülesanne leida vigade summa jaotusseadus .
Juhtum 1. Olgu X ja Y- diskreetsed sõltumatud juhuslikud muutujad. Funktsiooni Z=X+Y jaotusseaduse koostamiseks on vaja leida kõik võimalikud Z väärtused ja nende tõenäosused. Teisisõnu koostatakse juhusliku suuruse Z jaotusseeria.
Näide 1. Diskreetsed sõltumatud juhuslikud suurused X ja Y, määratud jaotustega
3. JUHUSLIKUD MUUTUJAD. JUHUSLIKU MUUTUJA MÕISTE
Juhuslik muutuja Nimetatakse suurust, mis samadel tingimustel läbiviidud testide tulemusena omandab üldiselt erinevaid väärtusi, mis sõltuvad juhuslikest teguritest, mida arvesse ei võeta. Näited juhuslikest suurustest: täringul veeretud punktide arv, defektsete toodete arv partiis, mürsu löögipunkti kõrvalekalle sihtmärgist, seadme tööaeg jne. On diskreetsed ja pidevad juhuslikud muutujad. Diskreetne Kutsutakse juhuslikku muutujat, mille võimalikud väärtused moodustavad loendatava hulga, lõpliku või lõpmatu (st hulga, mille elemente saab nummerdada).
Pidev Nimetatakse juhuslikku muutujat, mille võimalikud väärtused täidavad pidevalt mõnda arvurea lõplikku või lõpmatut intervalli. Pideva juhusliku muutuja väärtuste arv on alati lõpmatu.
Juhuslikud muutujad tähistame suurte tähtedega ladina tähestiku lõpust: X, Y, . ; juhuslike muutujate väärtused – väiketähtedega: X, y,. . Seega X Tähistab kogu juhusliku muutuja võimalike väärtuste komplekti ja X - Osa selle konkreetsest tähendusest.
Jaotamise seadus Diskreetne juhuslik suurus on mis tahes kujul määratud vastavus juhusliku suuruse võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste vahel.
Olgu juhusliku suuruse võimalikud väärtused X Are . Testi tulemusena võtab juhuslik suurus ühe neist väärtustest, s.o. Toimub üks sündmus paarikaupa kokkusobimatute sündmuste täielikust rühmast.
Olgu ka nende sündmuste tõenäosused teada:
Juhusliku suuruse jaotusseadus X Võib kirjutada tabeli kujul nimega Jaotus lähedal Diskreetne juhuslik muutuja:
Kahe sõltumatu juhusliku suuruse x ja y jaotusseadus on antud
q 
lk
q 
lk
See on jaotuse geomeetriline seadus.
(saame koonduva seeria, kuna 
).
4. ülesanne. Peol alates 10 Seal on kolm mittestandardset osa. Kaks osa valiti juhuslikult. Kirjutage seadus mittestandardsete osade arvu jaotamiseks kahe valitud osa vahel. Arvutage selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus.
Lahendus. Juhuslik väärtus X– mittestandardsete osade arvul kahe valitud osa hulgas on järgmised võimalikud väärtused: 
Leiame nende tõenäosused
Koostame juhusliku suuruse nõutava jaotuse seaduse
Matemaatilise ootuse leidmine
.
5. ülesanne. X väärtuse tõenäoline prognoos - aktsiate väärtuse protsentuaalne muutus võrreldes nende hetkekursiga kuue kuu jooksul - on esitatud jaotusseaduse vormis:
Leidke tõenäosus, et aktsiate ostmine on tulusam kui raha paigutamine pangahoiusele 36% aastas.
Lahendus. Pangahoiuse summa suurenemine 3% kuus toimub 6 kuu pärast. Tõenäosus, et aktsiate ostmine on pangahoiusest tulusam, määratakse suuremale tõusule vastavate tõenäosuste summaga. börsihind:
Probleem 6. Olgu igapäevased kulud autode teenindamiseks ja reklaamimiseks teatud autokaupluses keskmiselt 100 tuhat rubla ja müükide arv X autod järgivad päevasel ajal järgmist jaotusseadust:
a) Leidke päevase kasumi matemaatiline ootus autohinnaga 150 tuhat rubla b) Autode arvu päevase müügi dispersioon.
Lahendus. a)Päevakasum arvutatakse valemi abil
P = (150 X- 100 tuhat rubla
Nõutav omadus M(P) leitakse ülaltoodud matemaatilise ootuse omaduste abil (tuhandetes rublades):
b) Juhusliku suuruse jaotuse seadus X 2 näeb välja selline:
M(X 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.
Oodatud väärtus M(X) = 2,675. Järelikult saame soovitud dispersiooni väärtuse:
Probleem 7. Juhuslik väärtus X jaotusfunktsiooniga määratud kogu teljel 
. Leidke tõenäosustiheduse funktsioon ja tõenäosus, et X võtab väärtuse, mis sisaldub intervallis ( 0,1
).
Lahendus. A-prioor 
Kasulik on lisada ülesande lahendust joonisel 4.
Z 
probleem 8. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on joonisel 5 näidatud kujul.
Leidke: a) tõenäosustiheduse funktsioon; b) graafikut vaadates F(x), märkida juhusliku suuruse põhitunnused, näiteks võimalike väärtuste vahemik, kõige tõenäolisemad väärtused jne; V) M(X), D(X) ; G) P(X 2 ) . Siis on tõenäosus, et osa on hea, võrdne
Peame osa valmistamist iseseisvaks kogemuseks, millel on "edu" tõenäosus lk=0,31 . Seejärel määratakse seosest vajalik osade arv
Ülesanne 1. Loosi kuulub: auto väärtusega 5000 den. ühikut, 4 telerit hinnaga 250 den. ühikut, 5 videomakki väärtusega 200 den. ühikut 7 päeva jooksul müüakse kokku 1000 piletit. ühikut Koostage ühe pileti ostnud loteriis osaleja saadud netovõidu jaotusseadus.
Lahendus. Juhusliku muutuja X võimalikud väärtused - netovõit pileti kohta - on 0 - 7 = -7 raha. ühikut (kui pilet ei võitnud), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 den. ühikut (kui piletil on vastavalt videomaki, teleri või auto võit). Arvestades, et 1000 piletist on mittevõitjate arv 990 ja näidatud võidud on vastavalt 5, 4 ja 1 ning kasutades klassikalist tõenäosuse definitsiooni, saame:
need. levitamise seeriad
2. ülesanne. Tõenäosus, et üliõpilane sooritab semestrieksami sessioonil erialade kaupa A Ja B, on vastavalt 0,7 ja 0,9. Koostage üliõpilase sooritatavate semestrieksamite arvu jaotusseadus.
Lahendus. Juhusliku suuruse võimalikud väärtused X— sooritatud eksamite arv – 0, 1, 2.
Lase A i– sündmus, mis seisneb õpilase läbimises i eksam ( i=1,2). Siis on tõenäosus, et õpilane sooritab sessioonil vastavalt eksamid 0, 1, 2 (arvestame sündmusi A 1 ja A 2 sõltumatut):
Seega juhusliku suuruse jaotusrida
3. ülesanne. Arvutama M(X) juhusliku muutuja jaoks X— puhaskasum vastavalt ülesandele 1.
need. keskmine kasum on null. Tulemus tähendab, et kogu piletimüügist saadud tulu läheb võitudeks.
4. ülesanne. Juhuslike suuruste jaotuse seadused on teada X Ja Y– 1. ja 2. laskuri kogutud punktide arv.
Tuleb välja selgitada, kumb kahest laskurist paremini laseb.
Arvestades juhuslike muutujate jaotusrida X Ja Y, pole sellele küsimusele vastamine kaugeltki lihtne numbriliste väärtuste rohkuse tõttu. Lisaks on esimesel laskuril saavutatud punktide arvu äärmuslikud väärtused üsna suured (näiteks üle 0,1). X= 0; 1 ja X= 9; 10) ja teisel laskuril on vahepealsed väärtused ( Y = 4; 5; 6).
Ilmselgelt on kahest laskurist parem see, kes kogub keskmiselt rohkem punkte.
ehk kahe laskuri keskmine punktide arv on sama.
5. ülesanne.Ülesandes 4 arvutage iga laskuri punktide arvu dispersioon ja standardhälve.
Seega, kui saadud punktide keskmised väärtused on võrdsed ( M(X)=M(Y)) selle dispersioon, s.o. hajumise karakteristik keskmise väärtuse suhtes, vähem teise laskuri puhul ( D(X)
Me veendume selles 
Arvestades, et juhusliku suuruse jaotusseadus X binoom meil on
Ülesanne 7. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseeria koosneb kahest tundmatust väärtusest. Tõenäosus, et juhuslik suurus võtab ühe neist väärtustest, on 0,8. Leidke juhusliku suuruse jaotusfunktsioon, kui selle matemaatiline ootus on 3,2 ja dispersioon 0,16.
Lahendus. Jaotussarjal on vorm
või 
Lahendades saadud süsteemi, leiame kaks lahendust:
Ja 
Kirjutame üles jaotusfunktsiooni avaldise:
või 
Ülesanne 8. Arvestades juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni X:
a) Leidke tõenäosustihedus f(x); b) koostada graafikuid f(x) Ja F(x); c) veenduge selles X– pidev juhuslik suurus; d) leidke tõenäosused P(X=1), P(X
Probleem 10. Pank väljastas laenu n erinevatele laenuvõtjatele summas S R. igaüks laenu intressimääraga r. Leidke a) panga kasumi matemaatiline ootus ja hajuvus, samuti intressimäära tingimus, kui laenusaaja laenu tagasimaksmise tõenäosus on võrdne lk; b) kasumi matemaatiline ootus ja standardhälve juures n =1000, lk =0,8, S= 100 tuhat rubla Ja r = 30%.
Lahendus. a) Kuna laenuvõtjad ei ole omavahel seotud, võib eeldada, et meil on n sõltumatud testid. Panga laenu kaotamise tõenäosus igal katsel on q = = 1 – p. Lase X– laenuvõtjate arv, kes maksid laenu koos intressiga tagasi, siis määratakse panga kasum valemiga
Kus X on juhuslik muutuja, millel on binoomjaotuse seadus.
Kuna laenu väljastamine on mõttekas ainult positiivse matemaatilise kasumiootuse korral (positiivne keskmine kasum), siis tingimusest M( P) > 0, intressimäära tingimus on järgmine:
b) Laenu intressimäär rahuldab tingimust, et matemaatiline kasumiootus on positiivne: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Matemaatiline kasumiootus:
100 ∙ 1000 (30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 miljonit rubla.
Kasumi standardhälve:
Probleem 1. 25 nahktagi partiis on 5-l varjatud defekt. Osta 3 jopet. Leidke defektsete jakkide arvu jaotumise seadus ostetud jopede vahel. Jaotuse hulknurga konstrueerimine.
2. ülesanne. Tõenäosus, et bilansi koostamisel tehti viga, on 0,3. Audiitorile esitati järelduse tegemiseks ettevõtte 3 bilanssi. Koostada seadus kontrollitavate saldode positiivsete järelduste arvu jaotamiseks.
3. ülesanne. Kaks ostjat sooritavad iseseisvalt ühe ostu. Tõenäosus, et esimene ostja sooritab ostu, on 0,8 ja tõenäosus, et teine ostja, on 0,6. Juhuslik väärtus X– klientide tehtud ostude arv. Kirjeldage juhusliku suuruse jaotusseadust X.
4. ülesanne. Kaks konservitehast tarnivad poodi tooteid vahekorras 2:3. Tippkvaliteediga toodete osakaal esimeses tehases on 90% ja teises 80%. Poest osteti 3 purki konserve. Leidke kõrgeima kvaliteediga toodetega purkide arvu matemaatiline ootus ja standardhälve.
5. ülesanne. Pideva juhusliku suuruse tõenäosustihedus X funktsiooniga määratud intervallis (–π/2; π/2). 
Väljaspool seda intervalli 
Leia parameeter KOOS ja määrata juhusliku suuruse tabamise tõenäosus X intervalli (0; π/4).
6. ülesanne. Juhuslik väärtus X antud tõenäosustihedusega 
kell – ∞
4)M(X) = 2,519, σ( X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M x= =1h., D x= 1/3 h 2; 8)σ x = 48,8 g.
SMOLENSK RIIKÜLIKOOL
TÕENÄOSUSTEOORIA JÄRGI
Tõenäosusteooria piirteoreemid.
Iga juhusliku muutuja puhul, millel on matemaatiline ootus ja dispersioon, kehtib Tšebõševi ebavõrdsus:
P(|
X—
a|>
ε
)≤
(1)
P(|
X—
a|≤
ε
)≥ 1-
Tšebõševi teoreem : Kui dispersioon n sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 . X n on piiratud sama konstandiga, siis arvu piiramatu suurenemisega n juhusliku suuruse aritmeetiline keskmine läheneb tõenäosuselt nende matemaatiliste ootuste aritmeetilisele keskmisele, s.t.
Tagajärg: Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 . X n on samad matemaatilised ootused, võrdsed a, ja nende dispersioon on piiratud sama konstandiga, siis võtavad Tšebõševi ebavõrdsus ja Tšebõševi teoreem järgmise kuju:
Bernoulli teoreem : sündmuste suhteline sagedus aastal n korduvad sõltumatud katsed, millest igaühes võib see toimuda sama tõenäosusega lk, arvu piiramatu kasvuga n koondub tõenäosuselt tõenäosusele lk selle sündmuse kohta eraldi testis:
Keskpiirteoreem identselt jaotatud suurustele
: Kui X 1
,
X 2
.
X n– sõltumatud juhuslikud muutujad, millel on võrdsed matemaatilised ootused M[
X i ]
=a, dispersioon D[
X i ]=
a 2
ja kolmandat järku absoluutsed kesksed momendid M(|
X i —
a i |
3
)=
m i , (
)
, siis summa jaotamise seadus Y n =
X 1
+
X 2
+. +
X n juures 
läheneb lõputult normaalsele. Eelkõige siis, kui kõik juhuslikud muutujad X i identselt jaotatud, siis läheneb nende summa jaotusseadus lõputult normaalseadusele mil 
.
Moivre-Laplace'i lokaalne teoreem : Kui tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas katses on konstantne ja erineb 0-st ja 1-st, siis on tõenäosus P m , n et sündmus A juhtub m iga kord n sõltumatud testid piisavalt suure arvuga n, ligikaudu võrdne
,
.
Moivre-Laplace'i integraalteoreem : Kui tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas katses on konstantne ja erinev 0 ja 1, siis tõenäosus, et arv m sündmuse toimumine A V n sõltumatud testid jõudsid vahemikus a enne b(kaasa arvatud), piisavalt suure arvuga n ligikaudu võrdsed
–
Laplace'i funktsioon (või tõenäosusintegraal);
, 
.
Tunni eesmärk : 1. Saavutada tsentraalse piiriteoreemi rakendamise tingimused.
2. Tugevdada normaaljaotuse seadusega seotud tõenäosuste arvutamise oskusi.
3. Õpetage õpilasi ära tundma suurte arvude seaduse avaldumist.
Selle teema õppetunni jaoks tuleks ette valmistada vastused järgmistele küsimustele:
Mis on suurte arvude seaduse olemus?
Mis on Tšebõševi ebavõrdsuse praktiline ja teoreetiline tähendus?
Mis praktiline tähendus on Tšebõševi teoreemil?
Selgitage Bernoulli teoreemi abil suhteliste sageduste stabiilsuse omadust.
Mis on tõenäosusteooria keskse piiriteoreemi olemus?
Ülesanne 1. Keskmine veekulu loomafarmis on 1000 liitrit ööpäevas ja selle juhusliku suuruse standardhälve ei ületa 200 liitrit. Hinnake Tšebõševi võrratust kasutades tõenäosust, et farmi veevool ühelgi valitud päeval ei ületa 2000 L.
Lahendus. Dispersioon D(X)=σ 2 ≤200 2 . Kuna intervalli 0≤X≤2000 piirid on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetrilised M(X) = 1000, siis võib soovitud sündmuse tõenäosuse hindamiseks rakendada Tšebõševi ebavõrdsust.
,
need. mitte vähem kui 0,96.
2. ülesanne. Statistika järgi elab keskmiselt 87% vastsündinutest 50-aastaseks. Kasutades Tšebõševi ebavõrdsust, hinnake tõenäosust, et 1000 vastsündinust erineb 50-aastaseks jäänute osakaal selle sündmuse tõenäosusest mitte rohkem kui 0,04 (absoluutväärtuses).
,
need. mitte vähem kui 0,929.
3. ülesanne. Elektrilampide keskmise põlemisaja määramiseks 200 identsest kastist koosnevas partiis võeti igast kastist üks lamp. Hinnake tõenäosust, et valitud 200 elektrilambi keskmine põlemisaeg erineb kogu partii lampide keskmisest põlemisajast mitte rohkem kui 5 tundi (absoluutväärtuses), kui on teada, et põlemise standardhälve lampide tööaeg igas kastis on alla 7 tunni.
Soovitud sündmuse tõenäosuse leidmine
,
need. mitte vähem kui 0,9902.
4. ülesanne. Mitu antud suuruse mõõtmist tuleb teha, et tagada vähemalt 0,95 tõenäosusega, et nende mõõtmiste aritmeetiline keskmine erineb suuruse tegelikust väärtusest mitte rohkem kui 1 võrra (absoluutväärtuses), kui iga mõõtmise standardhälve ei ületa 5?
Vaja leida n, mille juures
.
Rakendame Tšebõševi ebavõrdsust:
, kus 
ja kell 
, st. vaja on vähemalt 500 mõõtmist.
5. ülesanne. Metroorongid sõidavad vaheaegadega 2 minutit. Iga reisija, teistest sõltumatult, saabub perroonile juhuslikul ajahetkel. Astus selle rongi peale 75 reisijad. Kui suur on tõenäosus, et nende ooteaeg kokku jääb ühe kuni kahe ja poole tunni vahele?
Lahendus. Tähistame ooteaega i reisija läbi X i. Loomulik on eeldada, et reisijal on samavõrra võimalik rongide vahel igal ajal kohale jõuda. Formaalselt tähendab see seda X i omab ühtset jaotusseadust tõenäosustiheduse funktsiooniga
f(x)
=
Siis 
Ja 
Kokku ooteaeg Y=∑ X i tähistab suurema arvu sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate summat, millel on piiratud dispersioon. Keskse piiriteoreemi alusel võib väita, et Y omab normaallähedast jaotusseadust. Normaaljaotuse seaduse määrab matemaatiline ootus ja dispersioon. Loeme need kokku.
N(75,25) . Probleem nõuab arvutamist
6. ülesanne. Laskja tabab tõenäosusega esikümnesse 0,4 , üheksani - tõenäosusega 0,3 , kaheksani - tõenäosusega 0,2 , seitsmes - tõenäosusega 0,1 . Kui suur on tõenäosus, et millal 25 tulistajalt tulistatud lasud 250 lööb punktid välja 220 enne 240 prillid?
Lahendus. Laske kl i-ndas tulistas tulistaja valib X i punktid. Kogused X i sõltumatud ja neil on sama jaotus
Punktide summa Y= 
olles suure hulga sõltumatute identselt jaotatud terminite summa piiratud dispersiooniga, on sellel normaalsele lähedane jaotusseadus, mille parameetrid
N(225,25) Ja P(220 2 ). Kui suur on tõenäosus, et ühel mõõtmisel viga ei ületa 1 MK? Mõõtmistäpsuse parandamiseks oleme seda teinud 25 mõõtmiste puhul võetakse mõõdetud väärtuseks vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine. Kui suur on sel juhul tõenäosus, et viga ei ületa 1 MK? (Juhend: kasutage normaaljaotuse seaduse stabiilsuse fakti.) Määrake viimane tõenäosus, kui mõõtmisvea jaotusseadus on teadmata ja teada on ainult selle dispersioon, mis on võrdne 4 mk 2.
Lahendus. Lase X- mõõtmisviga. Siis
Kui mõõtmisvea jaotusseadus pole teada, siis Tšebõševi ebavõrdsusest:
P(| 
0 | 1
, siis kehtivad mõlemad Moivre-Laplace'i teoreemid.
a) Moivre-Laplace'i kohaliku teoreemi järgi
b) Juhuslik muutuja X 
aastal õnnestumiste suhtelist sagedust n katsed ja D 
Kuna Pearsoni katses oli edu suhtelise sageduse kõrvalekalle õnnestumise tõenäosusest ühes katses võrdne 
siis Moivre–Laplace’i integraaliteoreemi järgi
Ülesanne 1. Keskmiselt on 10% teatud piirkonna töötavast elanikkonnast töötud. Kasutades Tšebõševi ebavõrdsust, hinnake tõenäosust, et küsitletud 10 000 tööealise linnaelaniku töötuse määr jääb vahemikku 9–11% (kaasa arvatud).
2. ülesanne. Kindlustusseltsi kogemus näitab, et kindlustusjuhtum juhtub ligikaudu iga viiendal lepingul. Kasutades Tšebõševi ebavõrdsust, hinnake nõutav sõlmitavate lepingute arv nii, et tõenäosusega 0,9 saaks väita, et kindlustusjuhtumite osakaal erineb 0,1-st mitte rohkem kui 0,01 (absoluutväärtuses).
3. ülesanne. Pankade põhikapitali uurides selgus, et viiendikul pankadest on põhikapital üle 100 miljoni rubla. Leidke tõenäosus, et 1800 panga hulgas on põhikapital üle 100 miljoni rubla: a) vähemalt 300; b) 300 kuni 400 (kaasa arvatud).
4. ülesanne. Tõenäosus, et väärtpabereid müüv diiler müüb need maha, on 0,7. Kui palju väärtpabereid peaks olema, et tõenäosusega 0,996 saaks väita, et müüdud osakaal nende hulgas ei erineks 0,7-st rohkem kui 0,04 (absoluutväärtuses)?
5. ülesanne. Kindlustusseltsil on 10 000 klienti. Igaüks neist, kindlustades õnnetuse, panustab 500 rubla. Õnnetuse tõenäosus on 0,0055 ja kannatanule makstav kindlustussumma on 50 000 rubla. Kui suur on tõenäosus, et: a) kindlustusselts kannab kahju; b) üle poole klientidelt laekunud vahenditest kulub kindlustussummade tasumisele?
See on huvitav:
- Funktsiooni piiri leidmine punktis L'Hopitali reegli abil Funktsiooni piiri leidmine L'Hopitali reegli abil, mis paljastab kuju 0/0 ja ∞/∞ määramatused. Allolev kalkulaator leiab funktsiooni piirangu L'Hopitali reegli abil (tuletistega […]
- Matemaatikaportaal Nav-vaate otsing Navigeerimine Olete siin: Avaleht Matemaatiline analüüs L'Hopitali reegel L'Hopitali reegel. Teoreem (L'Hopitali reegel kuju $\frac$ või $\frac$ määramatuste avalikustamiseks). Laske funktsioonidel […]
- Kampaania "Teise miljoni avamine!" reeglid >> Samm 1. Hankige sooduskood Osaleja sooduskoodi saate hankida veebisaidilt kia.ru või otse ametlikest KIA esindustest: Sooduskoodi saamiseks veebisaidil kia.ru peate […]
- Merelaevade taotlus Merelaevadele nimede andmise kord KINNITUD Venemaa Transpordiministeeriumi 20. augusti 2009. a korraldusega nr 141 MÄÄRUS merelaevadele nimede andmise korra kohta I. Üldsätted 1. Korra määrused […]