Naturaalarvude jaguvuse kriteeriumid. Matemaatika projekt sellel teemal

Haridusvaldkond: loodusteadus.

Jaotis: "Matemaatika"

Uurimistöö sellel teemal:

"Naturaalarvude jaguvuse märgid"

Juht: Lapko I.V.

matemaatika õpetaja

Sissejuhatus:

1. Fakte matemaatika ajaloost.

2. 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10 jaguvuse märgid.

3. Naturaalarvude jaguvuse märgid 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50-ga.

4. Ülesannete lahendamine jagamiskriteeriumide abil.

6. Kasutatud kirjanduse loetelu (allikad).

Asjakohasus: Kõik me õppisime koolis jagamismärke, mis aitavad meil tänapäevani ilma asjatut aega raiskamata kiiresti ja täpselt seda või teist arvu jagada. Mitte kaua aega tagasi hakkasin seda teemat meenutades mõtlema, kas on veel naturaalarvudega jaguvuse märke. Ja just see mõte sundis mind uurimustööd kirjutama.
Hüpotees: Kui saate määrata naturaalarvude jaguvuse arvuga 2, 3, 5, 9, 10, siis tõenäoliselt on olemas märke, mille abil saate määrata naturaalarvude jaguvuse teiste arvudega.
Õppeobjekt: naturaalarvude jagatavus.

Õppeaine: naturaalarvude jaguvuse märgid.

Sihtmärk: täiendada koolis õpitud juba teadaolevaid naturaalarvude jaguvuse märke.

Ülesanded:
1. Defineeri ja korda üle juba uuritud jaguvuse märgid arvuga 2, 3. 5, 9, 10.
2. Uurige täiendavat kirjandust, mis kinnitab teiste naturaalarvude jaguvuse märkide olemasolu kohta püstitatud küsimuse õigsust.
3. Kontrollige ja hankige iseseisvalt naturaalarvude jaguvuse märke 4, 6, 8, 15, 25-ga.
4. Leia lisakirjandusest naturaalarvude jaguvuse märgid 7, 11,12,13,14-ga.
5. Tehke järeldus.
Uudsus: Projekti käigus täiendasin oma teadmisi naturaalarvude jaguvusmärkidest.

Uurimismeetodid: materjali kogumine, andmetöötlus, vaatlus, võrdlemine, analüüs, süntees.

1. Fakte matemaatika ajaloost

1. Jaguvuse märk- algoritm, mis võimaldab suhteliselt kiiresti kindlaks teha, kas arv on etteantud arvu kordne
Jaguvuse test on reegel, mille abil saab ilma jagamist tegemata kindlaks teha, kas üks naturaalarv jagub teisega. Jaguvuse märgid on alati huvitanud erinevate maade ja aegade teadlasi.2, 3, 5, 9, 10 jaguvuse märgid on tuntud juba iidsetest aegadest. 2-ga jaguvuse märki teadsid iidsed egiptlased 2 tuhat aastat eKr ning 2, 3, 5-ga jagamise märke kirjeldas üksikasjalikult itaalia matemaatik Leonardo Pisanus (ladina keeles Leonardus Pisanus, itaalia keeles Leonardo Pisano, umbes 1170, Pisa – umbes 1250 aasta, ibid.) – keskaegse Euroopa esimene suurem matemaatik. Teda tuntakse enim hüüdnime Fibonacci järgi. Aleksandria teadlane Eratosthenes, kes elas 3. sajandil eKr, mõtles kunagi samale küsimusele. Tema meetodit algarvude loendi koostamiseks nimetati "Eratosthenese sõelaks". Oletame, et peame leidma kõik algarvud kuni 100. Kirjutame järjest kõik arvud kuni 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Jättes numbri 2, kriipsutage maha kõik ülejäänud paarisarvud. Esimene säilinud arv pärast 2 on 3. Nüüd, jättes arvu 3, kriipsutame maha arvud, mis jaguvad 3-ga. Seejärel kriipsutage maha 5-ga jaguvad arvud. Selle tulemusel kriipsutatakse kõik liitarvud läbi ja ainult algarvud jääb: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Seda meetodit kasutades saate koostada loendeid algarvudest , mis on suuremad kui 100.

Arvude jaguvuse küsimusi käsitlesid pütagoorlased. Arvuteoorias tegid nad palju tööd naturaalarvude tüpoloogiaga. Pythagoraslased jagasid nad klassidesse. Eristati klasse: täiuslikud arvud (arv, mis võrdub oma jagajate summaga, näiteks: 6=1+2+3), sõbralikud arvud (millest igaüks on võrdne teise jagajate summaga, näiteks 220 ja 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), kujundarvud (kolmnurkarv, ruutarv), algarv arvud jne. Ta andis suure panuse arvude jaguvuse märkide uurimisse Blaise Pascal (1623-1662). Noor Blaise ilmutas väga varakult silmapaistvaid matemaatilisi võimeid, õppides arvutama enne, kui jõudis lugeda. Üldiselt on tema näide lapsepõlve matemaatilise geeniuse klassikaline juhtum. Ta kirjutas 24-aastaselt oma esimese matemaatilise traktaadi "Koosmuslike lõigete teooria kogemus". Umbes samal ajal konstrueeris ta mehaanilise lisamismasina, lisamismasina prototüübi. Oma töö algperioodil (1640–1650) leidis mitmekülgne teadlane algoritmi mis tahes täisarvu jaguvuse märkide leidmiseks mis tahes muu täisarvuga, millest tulenevad kõik konkreetsed märgid. Selle märk on järgmine: naturaalarv a jagatakse teise naturaalarvuga b ainult siis, kui arvu a numbrite korrutised vastavate jääkidega, mis saadakse numbriühikute jagamisel arvuga b jagatakse sellega number.
Seda teemat uurides on vaja teada mõisteid jagaja, kordne, alg- ja liitarvud Naturaalarvu a jagajaks on naturaalarv b, millega a jagatakse ilma jäägita Sageli väide jaguvuse kohta Arvu arvuga b väljendamist väljendatakse teiste samaväärsete sõnadega: a on arvu b kordne, b on a jagaja, b jagab a. Algarvud on naturaalarvud, millel on kaks jagajat: 1 ja arv ise. Näiteks arvud 5,7,19 on algarvud, sest jaguvad 1-ga ja iseendaga. Arve, millel on rohkem kui kaks jagajat, nimetatakse liitarvudeks. Näiteks arvul 14 on 4 jagajat: 1, 2, 7, 14, mis tähendab, et see on liit.

2. Jaguvuse märgid

Naturaalarvude jagamise lihtsustamiseks tuletati esimese kümne ja arvudeks 11, 25 jagamise reeglid, mis ühendati naturaalarvude jaguvusmärkide osaks. Allpool on toodud reeglid, mille järgi arvu analüüs ilma seda teise naturaalarvuga jagamata annab vastuse küsimusele, kas naturaalarv on arvude 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 ja kordne. numbriline ühik?

Naturaalarve, mille esimeses numbris on numbrid (lõpevad) 2,4,6,8,0, nimetatakse paarisarvudeks.

Arvude jaguvuse test 2-ga

Kõik paaris naturaalarvud jaguvad 2-ga, näiteks: 172, 94,67, 838, 1670.

Näiteks arv 52 738 jagub 2-ga, kuna viimane number 8 on paaris; 7691 ei jagu 2-ga, kuna 1 on paaritu arv; 1250 jagub 2-ga, kuna viimane number on null.

Arvude jaguvuse test 3-ga

Kõik naturaalarvud, mille numbrite summa jagub 3-ga, jaguvad 3-ga. Näiteks:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Näited.

Arv 52632 jagub 9-ga, kuna selle numbrite summa (18) jagub 9-ga.

Arvude jaguvuse test 4-ga

Kõik naturaalarvud, mille kaks viimast numbrit on nullid või 4 kordsed, jaguvad 4-ga.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Näited.
31 700 jagub 4-ga, kuna see lõpeb kahe nulliga;
215 634 ei jagu 4-ga, kuna kaks viimast numbrit annavad arvu 34, mis ei jagu 4-ga;
16608 jagub 4-ga, kuna 08 kaks viimast numbrit annavad arvu 8, mis jagub 4-ga.

Arvude jaguvuse test 5-ga

Arvude jaguvuse test 6-ga

Need naturaalarvud, mis jaguvad korraga 2 ja 3-ga, jaguvad 6-ga (kõik paarisarvud, mis jaguvad 3-ga). Näiteks: 126 (b – paaris, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Arvude jaguvuse test 8-ga

Need ja ainult need arvud, mis lõpevad kolme nulliga või mille kolm viimast numbrit väljendavad 8-ga jaguvat arvu, jaguvad 8-ga. Näide

Arv 853 000 lõpeb kolme nulliga, mis tähendab, et see jagub 8-ga

Arv 381 864 jagub 8-ga, kuna arvu 864 kolmest viimasest numbrist moodustatud arv jagub 8-ga.

JneArvude jaguvusmärk 9-ga

Need naturaalarvud, mille numbrite summa on 9-kordne, jaguvad 9-ga. Näiteks:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Näited.
Arv 17835 jagub 3-ga ja ei jagu 9-ga, kuna selle numbrite summa 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 jagub 3-ga ja ei jagu 9-ga.
Arv 105 499 ei jagu ei 3 ega 9-ga, kuna selle numbrite summa (29) ei jagu ei 3 ega 9-ga.
Arv 52632 jagub 9-ga, kuna selle numbrite summa (18) jagub 9-ga

Arvude jaguvuse test 10-ga

Näited.
8200 jagub 10 ja 100-ga;
542000 jagub 10, 100, 1000-ga.

3. Naturaalarvude jaguvuse märgid 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50-ga.

Lisakirjandusest leidsime kinnitust naturaalarvude 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 jaguvuse kriteeriumide õigsusele. Samuti leidsime mitmeid 7-ga jaguvuse märke:
1) Naturaalarv jagub 7-ga siis ja ainult siis, kui tuhandete arvu ja viimase kolme numbriga väljendatud arvu vahe jagub 7-ga.
Näited:
478009 jagub 7-ga, sest 478-9=469, 469 jagub 7-ga.
479345 ei jagu 7-ga, sest 479-345=134, 134 ei jagu 7-ga.
2) Naturaalarv jagub 7-ga, kui kahekordse arvu kümnendite ja ülejäänud arvu summa jagub 7-ga.
Näited:
4592 jagub 7-ga, sest 45·2=90, 90+92=182, 182 jagub 7-ga.
57384 ei jagu 7-ga, sest 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 ei jagu 7-ga.
3) Kolmekohaline naturaalarv kujul aba jagub 7-ga, kui a+b jagub 7-ga.
Näited:
252 jagub 7-ga, sest 2+5=7, 7/7.
636 ei jagu 7-ga, sest 6+3=9, 9 ei jagu 7-ga.
4) Kolmekohaline naturaalarv kujul baa jagub 7-ga, kui arvu numbrite summa jagub 7-ga.
Näited:
455 jagub 7-ga, sest 4+5+5=14, 14/7.
244 ei jagu 7-ga, sest 2+4+4=12, 12 ei jagu 7-ga.
5) Kolmekohaline naturaalarv kujul aab jagub 7-ga, kui 2a-b jagub 7-ga.
Näited:
882 jagub 7-ga, sest 8+8-2=14, 14/7.
996 ei jagu 7-ga, sest 9+9-6=12, 12 ei jagu 7-ga.
6) Neljakohaline naturaalarv kujul baa, kus b on kahekohaline arv, jagub 7-ga, kui b+2a jagub 7-ga.
Näited:
2744 jagub 7-ga, sest 27+4+4=35, 35/7.
1955 ei jagu 7-ga, sest 19+5+5=29, 29 ei jagu 7-ga.
7) Naturaalarv jagub 7-ga siis ja ainult siis, kui kahekordse viimase numbri lahutamise tulemus sellest arvust ilma viimase numbrita jagub 7-ga.
Näited:
483 jagub 7-ga, sest 48-3·2=42, 42/7.
564 ei jagu 7-ga, sest 56-4 2=48, 48 ei jagu 7-ga.
8) Naturaalarv jagub 7-ga siis ja ainult siis, kui numbriühikute arvuga 7 jagamisel saadud arvu numbrite korrutised vastavate jääkidega jagatakse 7-ga.
Näited:
10º7 = 1 (kuni 3)
100 × 7 = 14 (ost 2)
1000 × 7 = 142 (6)
10000 × 7 = 1428 (enim 4)
100 000 × 7 = 14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (ülejäänud 1) ja jääke korratakse uuesti.
Arv 1316 jagub 7-ga, sest... 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 jääk 1000 jagamisel 7-ga; 2 jääk 100 jagamisel 7-ga; 3 jääk 10 jagamisel 7-ga).
Arv 354722 ei jagu 7-ga, sest... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 ei jagu 7-ga (5 on 100 000 7-ga jagamise jääk; 4 on 10 000 7-ga jagamise jääk ; 6 jääki 1000 jagamisel 7-ga; 2 jääki 100 jagamisel 7-ga; 3 jääki 10 jagamisel 7-ga).
Jagatavus 11-ga.
1) Arv jagub 11-ga, kui paaritutes kohtades olevate numbrite summa ja paariskohtade numbrite summa vahe on 11-kordne.
Erinevus võib olla negatiivne arv või 0, kuid see peab olema 11 kordne. Nummerdamine toimub vasakult paremale.
Näide:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 ei ole 11 kordne, mis tähendab, et see arv ei jagu 11-ga.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 on 11 kordne, mis tähendab, et see arv jagub 11-ga.
2) Naturaalarv jagatakse paremalt vasakule kahekohalisteks rühmadeks ja need rühmad liidetakse. Kui saadud summa on 11-kordne, on testitav arv 11-kordne.
Näide: määrake, kas arv 12561714 jagub 11-ga.
Jagame arvu kahekohalisteks rühmadeks: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 jagub 11-ga, mis tähendab, et see arv jagub 11-ga.
3) Kolmekohaline naturaalarv jagub 11-ga, kui arvu külgmiste numbrite summa on võrdne keskel oleva numbriga. Vastus koosneb samadest küljenumbritest.
Näited:
594 jagub 11-ga, sest 5+4=9, 9 on keskel.
473 jagub 11-ga, sest 4+3=7, 7- keskel.
861 ei jagu 11-ga, sest 8+1=9 ja keskel on 6.
Jaguvuse test 12-ga
Naturaalarv jagub 12-ga siis ja ainult siis, kui ta jagub korraga 3 ja 4-ga.
Näited:
636 jagub 3 ja 4-ga, mis tähendab, et see jagub 12-ga.
587 ei jagu 3 ega 4-ga, mis tähendab, et see ei jagu 12-ga.
27126 jagub 3-ga, kuid ei jagu 4-ga, mis tähendab, et see ei jagu 12-ga.
13-ga jaguvuse testid
1) Naturaalarv jagub 13-ga, kui tuhandete arvu ja kolmest viimasest numbrist moodustatud arvu vahe jagub 13-ga.
Näited:
Arv 465400 jagub 13-ga, sest... 465–400 = 65, 65 jagatud 13-ga.
Arv 256184 ei jagu 13-ga, sest... 256 - 184 = 72, 72 ei jagu 13-ga.
2) Naturaalarv jagub 13-ga siis ja ainult siis, kui sellest arvust ilma viimase numbrita viimase numbri korrutis 9-ga lahutamise tulemus jagub 13-ga.
Näited:
988 jagub 13-ga, sest 98 - 9 8 = 26, 26 jagatakse 13-ga.
853 ei jagu 13-ga, sest 85 - 3 9 = 58, 58 ei jagu 13-ga.
Jaguvuse test 14-ga
Naturaalarv jagub 14-ga siis ja ainult siis, kui see jagub korraga 2 ja 7-ga.
Näited:
Arv 45826 jagub 2-ga, kuid ei jagu 7-ga, mis tähendab, et see ei jagu 14-ga.
Arv 1771 jagub 7-ga, kuid ei jagu 2-ga, mis tähendab, et see ei jagu 14-ga.
Arv 35882 jagub 2 ja 7-ga, mis tähendab, et see jagub 14-ga.
Jaguvuse test 19-ga
Naturaalarv jagub 19-ga ilma jäägita siis ja ainult siis, kui tema kümnendite arv, mis liidetakse kahekordsele ühikute arvule, jagub 19-ga.
Arvestada tuleks sellega, et kümnete arvu arvus tuleks lugeda mitte kümnekohalise numbri järgi, vaid täiskümnete koguarvu järgi täisarvus.
Näited:
1534 kümned on 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 ei jagu 19-ga, mis tähendab, et 1534 ei jagu 19-ga.
1824 182+4·2=190, 190/19, mis tähendab, et arv on 1824/19.
Testige jagavust 25 ja 50-ga
Jaga 25 või 50-ga on need ja ainult need arvud, mis lõpevad kahe nulliga või mille kaks viimast numbrit väljendavad arvu, mis jagub vastavalt 25 või 50-ga.

Arv 97300 lõpeb kahe nulliga, mis tähendab, et see jagub nii 25 kui ka 50-ga.

Arv 79 450 jagub 25 ja 50-ga, kuna kahest viimasest numbrist 50 moodustatud arv jagub nii 25 kui ka 50-ga.

4. Ülesannete lahendamine jagamiskriteeriumide abil.

Müüja poes.

Ostja viis poest paki piima väärtusega 34,5 rubla, karbi kodujuustu väärtusega 36 rubla, 6 kooki ja 3 kilogrammi suhkrut. Kui kassapidaja lõi välja 296-rublase tšeki, nõudis ostja arvutuse kontrollimist ja vea parandamist. Kuidas ostja tuvastas, et arve oli vale?

Lahendus: Igat tüüpi ostetud kaupade maksumust väljendatakse arvuna, mis jagub 3-ga (esimese kahe liigi kaupade puhul on hind 3-kordne ja ülejäänud toodete puhul on ostetud kaupade arv 3-kordne). iga liige jagub 3-ga, siis peab summa jaguma 3-ga. Arv 296 ei jagu 3-ga, seetõttu on arvutus vale.

Õunad karbiske.

Õunte arv karbis on alla 200. Neid saab jagada võrdselt 2,3,4,5 ja 6 lapse vahel. Kui palju õunu võib kastis olla?

Lahendus.

LCM(2;3;4;5;6) = 60.

60ndad< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Vastus: 180 õuna.

5. Järeldus:

Tööd tehes tutvusin jaguvusmärkide kujunemise ajalooga, sõnastasin naturaalarvude jaguvuse märgid 4, 6, 8, 15, 25,50-ga ning leidsin sellele kinnitust lisakirjandusest. Samuti veendusin, et naturaalarvude (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37-ga) jaguvusel on teisigi märke, mis kinnitasid hüpoteesi õigsust naturaalarvude teiste jaguvusmärkide olemasolu kohta.

Kasutatud kirjanduse loetelu (allikad):

1. Galkin V.A. Ülesanded teemal “Jaguvuse kriteeriumid” // Matemaatika, 1999.-№5.-P.9.

2. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. Klassiväline töö matemaatikas 6-8 klassis - M.: Haridus, 1984.

3. Kaplun L.M. GCD ja LCM probleemides. // Matemaatika, 1999.- nr 7. - Lk 4-6.

4. Pelman Ya.I. Matemaatika on huvitav! - M.: TERRA - Raamatuklubi, 2006

5. Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnaraamat./ Koost. Savin A.P. - M.: Pedagoogika, 1989. - Lk 352.

6. Ressursid – Internet.

- Üks olulisemaid teemasid Algebrad. Seda õpitakse peamiselt kooli 5.-6. klassides ja edaspidi nad selle õppesse praktiliselt ei naase. Samal ajal on sellel teemal teema Märkimisväärne hulk väga erinevaid ülesandeid, Mida leidub sageli olümpiaadidel, füüsika- ja matemaatikakoolidesse ja instituutidesse sisenemisel. Koolilapsed (ja isegi keskkooliõpilased) ei suuda reeglina kahjuks enamikku selle teema probleeme lahendada. Seetõttu keskendume sellele jaotisele Üsna üksikasjalik Ja kaalume neid ülesandeid, mida saavad teha 8. klassi õpilased.

Eesmärgid: Tuletage meelde põhiteavet naturaalarvude hulga kohta ja kaaluge selle teema tüüpilisi probleeme.

Tundide ajal

I. Tunni teema ja eesmärgi edastamine

II. Uue materjali õppimine (põhimõisted)

Kasutatavad numbrid Objektide loendamiseks, Kutsutakse loomulik: 1, 2, 3, 4, ... Naturaalarvude hulk on tähistatud tähega N. Selleks, et panna kirja, et arv kuulub vaadeldavasse hulka, kasuta märki E. Näiteks väite, et arv 5 on naturaalarv (või et arv 5 kuulub naturaalarvude hulka UU), saab kirjutada järgmiselt: 5 e N. Arv 2,3 ei ole naturaalarv. Seda saab kirjutada е-märgiga, st 2,3 ? N.

Kõik naturaalarvud (välja arvatud arv 1) jagunevad Lihtne Numbrid ja Komposiit Numbrid.

Numbrile helistatakse komposiit, Kui sellel on vähemalt üks jagaja, Milline Ei võrdu arvu ega ühikuga endaga. Näiteks arvul 18 on järgmised jagajad: 2, 3, 6, 9. Seetõttu on arv 18 liit. (Loomulikult on arvul 18 lisaks loetletud jagajatele veel kaks jagajat: 1 ja 18).

Numbrile helistatakse lihtne, Kui see Sellel pole muid jagajaid pealeIse ja üksus(näiteks 2, 3, 5, 7, 1 1, 13, 17, 19, 23,...).

Arv 1 ei ole alg- ega liitnumber.

Tuletame teile meelde Jaguvuse põhimärgid Naturaalarvud.

1. Arv jagub (ilma jäägita või täielikult) numbrile 2, Kui Tema viimaneArv on paaris või 0.(Pidage meeles, et arv 0 ei ole paaris ega paaritu.) Näiteks arv 35 634 jagub 2-ga, kuid arv 35 635 mitte.

2. Arv on jagatav Peal Number 3, kui Selle numbrite summa jagatakse 3-ga. Näiteks arv 33 606 jagub 3-ga, kuna selle arvu numbrite summa on 3 + 3 + 6 + 0 + 6 = 18

Jagub 3-ga. Arvu 32 606 numbrite summa on 3 + 2 + 6 + 0 + 6= 17, mis ei jagu 3-ga. Seetõttu ei jagu ka arv 32 606 3-ga.

3. Arv on jagatav numbrile 4, Kui Selle kaks viimast numbrit moodustavad arvu, mis jagub 4-ga või on nullid. Näiteks jagatakse arv 35 Ш

4 võrra, sest kahest viimasest numbrist moodustatud arv (arv 12)

jagub 4-ga.

Pöörake tähelepanu sellele jaguvuse märgile. Väga sageli taandavad koolilapsed selle jaguvuse testi ekslikult nii: arv jagub arvuga 4, kui selle kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga. Muidugi on see jaguvuse test jäme viga. Vaadeldavas näites jagub arv 35112 4-ga, kuigi kumbki selle kahest viimasest numbrist (1 ja 2) ei jagu 4-ga.

Arv 35 Ш ei jagu arvuga 4, kuna arv 18 (moodustatud kahest viimasest numbrist) ei jagu 4-ga.

4. Arv jagub arvuga 5, kui Selle viimane number on 0 või 5. Näiteks arvud 35 110 ja 35 115 jaguvad 5-ga, kuid arv 37 513 ei jagu 5-ga.

5. Arv jagub arvuga 8 Kui selle kolm viimast numbrit moodustavad arvu, mis jagub 8-ga või on nullid. Näiteks arv 37408 jagub 8-ga, sest arv 408 jagub 8-ga. Arv 37 4J4 ei jagu 8-ga, kuna arv 414 ei jagu 8-ga.

6. Arv jagub arvuga 9 Kui selle numbrite summa jagub 9-ga. Näiteks arv 71 505 jagub 9-ga, kuna selle arvu numbrite summa on 7+ 1 +5 + 0 + 5 = 18 jagub 9-ga. Arvu 70 505 numbrite summa on 7 + 0 + 5 + 0 + 5= 17, mis ei jagu 9-ga. Seetõttu ei jagu arv ise 9-ga.

7. Arv jagub arvuga 10, kui selle viimane number on null. Näiteks arv 37510 jagub 10-ga, kuid arv 37515 ei jagu 10-ga.

Jagatavuskriteeriumid võimaldavad lahendada keerulisemaid probleeme.

Näide 1

Määrake: milline arvudest 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 jagab arvu 357 120 ilma jäägita.

A) Arv jagub 2-ga, kuna selle viimane number on null.

B) Arv jagub 3-ga, kuna selle arvu numbrite summa on 3 + 5 + 7 +

1 +2 + 0-18 ja jagub 3-ga.

C) Arv jagub 4-ga, kuna selle kaks viimast numbrit moodustavad arvu 20,

mis jagub 4-ga.

D) Arv jagub 5-ga, kuna selle viimane number on null.

E) Arv jagub 6-ga, kuna 6 = 2 3 ja punktidest a, b järeldub, et arv

jagub korraga 2 ja 3-ga.

E) Arv jagub 8-ga, kuna selle kolm viimast numbrit moodustavad arvu

120, mis jagub 8-ga.

G) Arv jagub 9-ga, kuna selle numbrite summa 18 (punkt b) jagub 9-ga.

H) Arv jagub 10-ga, kuna selle viimane number on null.

I) Arv jagub 15-ga, kuna jagub samaaegselt 3 ja 5-ga (punktid b, d).

J) Arv jagub 18-ga, sest punktidest a, g järeldub, et see jagub 2 ja 9-ga.

K) Arv jagub 20-ga, kuna jagub samaaegselt 4 ja 5-ga (punktid c, d).

Arvestades arvu 357 120 jaguvust arvuga 6, 15, 18, 20, laiendasime kõik need arvud koalgarvude korrutiseks. Tuletame meelde, et vastastikku algarvud on arvud, millel pole ühiseid jagajaid. Pealegi ei pruugi numbrid olla algarvud. Näiteks arvud 8 ja 15 on suhteliselt algarvud, kuna neil pole ühiseid tegureid. Kuid kõik need numbrid 8 ja 15 on liitarvud.

Näiteks lõigus k esitati arv 18 kahe suhteliselt algarvu 2 ja 9 korrutisena. Seejärel kasutati nende arvudega jaguvuse märke. Kui lahutada jagajaarv mittekoalgarvude korrutiseks, muutub lahendus keerulisemaks ja võib esineda vigu. Näiteks arv 30 ei jagu ilma jäägita 20-ga. Aga kui kujutada arvu 20 kui 2 10, siis 30 jagub nii 2 kui ka 10-ga. Samas ei ole arvud 2 ja 10 suhteliselt algarvud.

Näide 2

Tehke kindlaks, kas arv 98 706 540 321 on alg- või liitarv?

Jaguvusmärke kasutades teeme kohe kindlaks, et see arv ei jagu 2,4, 5, 8, 10-ga. Nüüd selgitame välja, kas see arv jagub 3 ja 9-ga. Leiame selle arvu numbrite summa: 9 + 8 + 7 + 0 + 6 + 5+4 + 0 + 3 + 2+1= 45. arv 45 jagub 3-ga ja 9-ga, siis jagub see arv ka 3-ga ja 9-ga. Kuna sellel arvul on jagajad (3 ja 9), mis ei võrdu ei ühe ega arvu endaga, siis (definitsiooni järgi) on komposiit.

Tuleb märkida, et nii kaugele Mitte alatiÜks naturaalarv Aktsiad Teisele Jäljetult. Näiteks arvu 29 jagamisel 3-ga saame jagatiseks 9 ja jäägiks 2. Selle tehte saab kirjutada järgmiselt: 29 - 3-9 + 2 või Dividend(29) = Jagaja(3) Privaatne(9) + Ülejäänud(2). Kus Ülejäänud See peaks olema Naturaalarv Või Null JA Vähem kui jagaja.

Näide 3

A) Arvu 29 võib kirjutada ka kujul: 29 = 3 - 8 + 5. Kuid selles

jagatis on 8 ja jääk on 5, kuna jääk ei saa olla suurem ega võrdne

jagaja.

B) Arvu 29 võib kirjutada ka teisel kujul: 29 = 3 10 + (-1). Aga ka

jagatis on 10 ja jääk (- 1), kuna jääk peab olema naturaalne

Seega kirjutatakse jäägiga jagamine üldiselt järgmiselt: P =P"K+R. Siin on loomulik arv P- dividend, Naturaalarv R- jagaja, Naturaalarv K - jagatis, Mittenegatiivne täisarv G- Ülejäänud(0 < г < R). Kui G= 0, siis arv P Täiesti (ilma jäägita) jagub arvuga/? ja l ~ r - k.

See arvu jagamise vorm jäägiga võimaldab teil lahendada mitmesuguseid probleeme.

Näide 4

Number P Annab 13-ga jagamisel jäägi 5. Milline jääk, kui jagatakse 13-ga, annab arvu kuus korda antud arvust?

Kui number P Annab 13-ga jagamisel jäägi 5, siis saab selle kirjutada kujul: i = 13? + 5, kus TO- saadud jagatis. Siis on arv kuus korda suurem, st 6l = 6-(13-&+5)=78-&+30. Valime arvu 6/7 hulgast suurima naturaalarvu, mis jagub 13-ga ilma jäägita, st esitame arvu 6n kujul: 6i=(78A; + 26)+4=13-(6A: + 2)+4. Sellest kandest on selge, et number 6p Kui jagatakse 13-ga, saadakse jagatis (VC+ 2) ja ülejäänud 4.

Näide 5

Kahe arvu jagamisel 18-ga saadakse jääk 9. Tõesta, et nende arvude vahe ja summa jaguvad 18-ga ilma jäägita.

See artikkel algab materjaliga täisarvude jaguvuse teooria. Siin tutvustame jaguvuse mõistet ning näitame aktsepteeritud termineid ja tähiseid. See võimaldab meil loetleda ja põhjendada jaguvuse põhiomadusi.

Leheküljel navigeerimine.

Jaguvuse mõiste

Jaguvuse mõiste on üks aritmeetika ja arvuteooria põhimõisteid. Räägime jagatavusest ja erijuhtudel - jagatavusest. Niisiis, anname ettekujutuse täisarvude hulga jagatavusest.

Täisarv a aktsiad täisarvuga b, mis erineb nullist, kui on olemas täisarv (tähistage seda q-ga), mille puhul on tõene võrdus a=b·q. Sel juhul ütleme ka, et b jagab a. Sel juhul kutsutakse täisarv b jagaja numbrid a, kutsutakse täisarv a mitmekordsed arv b (jagajate ja kordajate kohta vt lisateavet artiklist Jagajad ja korrutised) ning täisarvu q nimetatakse privaatne.

Kui täisarv a on jagub täisarvuga b ülaltoodud tähenduses, siis võime öelda, et a jagub b-ga täielikult. Sõna "täiesti" rõhutab sel juhul veelgi, et täisarvu a jagamisel b on täisarv.

Mõnel juhul ei ole antud täisarvude a ja b korral täisarvu q, mille puhul oleks tõene võrdus a=b·q. Sellistel juhtudel ütleme, et täisarv a ei jagu täisarvuga b (see tähendab, et a ei jagu b-ga). Nendel juhtudel nad siiski kasutavad.

Mõistame jaguvuse mõistet näidete abil.

Iga täisarv a jagub arvuga a, arvuga −a, a, ühega ja arvuga −1.

Tõestame seda jaguvuse omadust.

Iga täisarvu a korral kehtivad võrrandid a=a·1 ja a=1·a, millest järeldub, et a jagatakse a-ga ja jagatis on võrdne ühega ning a jagub 1-ga ning jagatis on võrdne a. Iga täisarvu a korral kehtivad ka võrrandid a=(−a)·(−1) ja a=(−1)·(−a), millest järeldub, et a jagub a-le vastandarvuga, nagu samuti a jagub miinusühikuga.

Pange tähele, et täisarvu a jaguvuse omadust nimetatakse refleksiivsuse omaduseks.

Järgmine jaguvuse omadus ütleb, et null jagub mis tahes täisarvuga b.

Tõepoolest, kuna 0=b·0 iga täisarvu b korral, jagub null iga täisarvuga.

Eelkõige jagub null ka nulliga. See kinnitab võrdsust 0=0·q, kus q on mis tahes täisarv. Sellest võrdsusest järeldub, et nulliga jagatud nulli jagatis on mis tahes täisarv.

Samuti tuleb märkida, et ükski teine täisarv a peale null ei jagu 0-ga. Selgitame seda. Kui null jagas nullist erineva täisarvu, siis peaks võrdus a=0·q olema tõene, kus q on mingi täisarv ja viimane võrdus on võimalik ainult siis, kui a=0.

Kui täisarv a jagub täisarvuga b ja a on väiksem kui b moodul, siis on a võrdne nulliga. Literaalses vormis kirjutatakse see jaguvuse omadus järgmiselt: kui ab ja , siis a=0.

Tõestus.

Kuna a jagub b-ga, on olemas täisarv q, mille puhul on tõene võrdus a=b·q. Siis peab tõene olema ka võrdsus ja selle tõttu peab tõene olema ka vormi võrdsus. Kui q ei ole võrdne nulliga, siis järeldub, et . Võttes arvesse saadud ebavõrdsust, järeldub võrdsusest, et . Kuid see on tingimusega vastuolus. Seega saab q olla võrdne ainult nulliga ja saame a=b·q=b·0=0, mida meil oli vaja tõestada.

Kui täisarv a on nullist erinev ja jagub täisarvuga b, siis ei ole a moodul väiksem kui b moodul. See tähendab, et kui a≠0 ja ab, siis . See jaguvuse omadus tuleneb otseselt eelmisest.

Ainsad ühtsuse jagajad on täisarvud 1 ja −1.

Esiteks näitame, et 1 jagub 1 ja −1-ga. See tuleneb võrranditest 1=1·1 ja 1=(−1)·(−1) .

Jääb üle tõestada, et ükski teine täisarv ei jaga ühtsust.

Oletame, et täisarv b, mis erineb 1-st ja −1-st, on ühtsuse jagaja. Kuna ühtsus jagub b-ga, siis eelneva jaguvuse omaduse tõttu peab olema täidetud ebavõrdsus, mis võrdub ebavõrdsusega. Seda ebavõrdsust rahuldavad ainult kolm täisarvu: 1, 0 ja −1. Kuna eeldasime, et b erineb 1-st ja −1-st, siis jääb ainult b=0. Kuid b=0 ei saa olla ühtsuse jagaja (nagu näitasime jaguvuse teist omadust kirjeldades). See tõestab, et ükski teine arv peale 1 ja −1 pole ühtsuse jagajad.

Täisarvu a jagumiseks täisarvuga b on vajalik ja piisav, et arvu a moodul jagub arvu b mooduliga.

Esmalt tõestame vajalikkust.

Olgu a jagatud b-ga, siis on täisarv q, mille puhul a=b·q. Siis . Kuna tegemist on täisarvuga, tähendab võrdsus, et arvu a moodul jagub arvu b mooduliga.

Nüüd piisab.

Olgu arvu a moodul jagatud arvu b mooduliga, siis on olemas täisarv q, et . Kui arvud a ja b on positiivsed, siis on tõene võrdus a=b·q, mis tõestab a jaguvust b-ga. Kui a ja b on negatiivsed, siis on tõene võrrand −a=(−b)·q, mille saab ümber kirjutada kujule a=b·q. Kui a on negatiivne arv ja b on positiivne, siis on −a=b·q, see võrdsus on ekvivalentne võrrandiga a=b·(−q) . Kui a on positiivne ja b on negatiivne, on meil a=(−b)·q ja a=b·(−q) . Kuna nii q kui ka −q on täisarvud, tõestavad saadud võrdsused, et a jagub b-ga.

Järeldus 1.

Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis a jagub ka vastasarvuga −b.

Järeldus 2.

Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis −a jagub ka b-ga.

Äsja käsitletud jaguvuse omaduse tähtsust on raske ülehinnata – jaguvuse teooriat saab kirjeldada positiivsete täisarvude hulgal ja see jaguvuse omadus laiendab seda ka negatiivsetele täisarvudele.

Jaguvusel on transitiivsuse omadus: kui täisarv a jagub mõne täisarvuga m ja arv m omakorda mõne täisarvuga b, siis a jagub b-ga. See tähendab, et kui am ja mb, siis ab.

Toome selle jagatavusomaduse tõestuse.

Kuna a jagub m-ga, on mingi täisarv a 1, mille puhul a=m·a 1. Samamoodi, kuna m jagub b-ga, on mõni täisarv m 1, nii et m=b·m 1. Siis a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). Kuna kahe täisarvu korrutis on täisarv, siis m 1 ·a 1 on mingi täisarv. Tähistades seda q, jõuame võrrandini a=b·q, mis tõestab vaadeldava jaguvuse omadust.

Jaguvusel on antisümmeetria omadus, st kui a on jagatud b-ga ja samal ajal b jagatud a-ga, siis on kas täisarvud a ja b või arvud a ja −b võrdsed.

A jaguvusest b-ga ja b jaguvusest a-ga saame rääkida täisarvude q 1 ja q 2 olemasolust nii, et a=b·q 1 ja b=a·q 2. Asendades b·q 1 a asemel teise võrrandiga või asendades a·q 2 b asemel esimese võrrandiga, saame, et q 1 ·q 2 =1 ja arvestades, et q 1 ja q 2 on täisarvud, on võimalik ainult siis, kui q 1 =q 2 =1 või kui q 1 =q 2 =−1. Sellest järeldub, et a=b või a=−b (või, mis on sama, b=a või b=−a ).

Iga täisarvu ja nullist erineva arvu b korral on täisarv a, mis ei ole võrdne b-ga ja mis jagub b-ga.

See arv on mis tahes arv a=b·q, kus q on mis tahes täisarv, mis ei võrdu ühega. Võime liikuda järgmise jaguvuse omaduse juurde.

Kui mõlemad täisarvulised liikmed a ja b jaguvad täisarvuga c, jagub ka summa a+b arvuga c.

Kuna a ja b jaguvad c-ga, saame kirjutada a=c·q 1 ja b=c·q 2. Siis a+b=c q 1 + c q 2 =c (q 1 + q 2)(viimane üleminek on võimalik tänu ). Kuna kahe täisarvu summa on täisarv, tõestab võrdus a+b=c·(q 1 +q 2) summa a+b jaguvust c-ga.

Seda vara saab laiendada kolme, nelja või enama tähtaja summani.

Kui veel meeles pidada, et täisarvu b lahutamine täisarvust a on arvu a liitmine arvuga −b (vt), siis kehtib see jaguvuse omadus ka arvude erinevuse puhul. Näiteks kui täisarvud a ja b jagavad c-ga, siis vahe a−b jagub samuti c-ga.

Kui on teada, et võrdsuses kujul k+l+…+n=p+q+…+s on kõik liikmed peale ühe jaguvad mingi täisarvuga b, siis jagub ka see üks liige b-ga.

Oletame, et see termin on p (võime võtta mis tahes võrdsuse termini, mis ei mõjuta arutluskäiku). Siis p=k+l+…+n−q−…−s . Võrdsuse paremal küljel saadud avaldis jagatakse eelneva omaduse tõttu b-ga. Seetõttu jagub ka arv p b-ga.

Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis korrutis a·k, kus k on suvaline täisarv, jagatakse b-ga.

Kuna a jagub b-ga, siis on tõene võrrand a=b·q, kus q on mingi täisarv. Siis a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (viimane üleminek viidi läbi tänu ). Kuna kahe täisarvu korrutis on täisarv, tõestab võrrand a·k=b·(q·k) korrutise a·k jaguvust b-ga.

Järeldus: kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis korrutis a·k 1 ·k 2 ·…·k n, kus k 1, k 2, …, k n on mõned täisarvud, jagub b-ga.

Kui täisarvud a ja b jaguvad c-ga, jagatakse korrutiste a·u ja b·v summa kujul a·u+b·v, kus u ja v on suvalised täisarvud, c-ga.

Selle jagatavusomaduse tõestus on sarnane kahe eelmisega. Tingimusest saame a=c·q 1 ja b=c·q 2. Siis a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Kuna summa q 1 ·u+q 2 ·v on täisarv, siis vormi võrdsus a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) tõestab, et a·u+b·v jagub c-ga.

See lõpetab meie jaguvuse põhiomaduste ülevaate.

Bibliograafia.

Vilenkin N.Ya. ja teised matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele.
Vinogradov I.M. Arvuteooria alused.
Mihhelovitš Sh.H. Arvuteooria.
Kulikov L.Ya. jt Algebra ja arvuteooria ülesannete kogu: Õpik füüsika ja matemaatika üliõpilastele. pedagoogiliste instituutide erialad.

Arvude jagatavus. Alg- ja liitarvud.



Naturaalarvude jaguvus................................................ .............................................................. ..............................................................
Aritmeetika põhiteoreem.................................................. ...................................................... ...........................
Jaguvuse märgid................................................ ...................................................... ................................................................ ......
Arvude jaguvusega seotud väited................................................ ...................................................... ....
Suulised ülesanded................................................ ...................................................... ............................................................ ........
"Poolsuulised" ülesanded................................................ .............................................................. .............................................................. ..................
Millal kümnete täisarvuni................................................ ...................................................... ..............................
Probleemid summade jagatavuse kohta:................................................ ...................................................... ..........................................
Mittestandardsed ülesanded.................................................. ................................................................ .......................................................... ..
Mõned ülesanded õpikutest.................................................. ............................................................ ................................................
Võrdlused................................................ ...................................................... .............................................................. ..............
Fermat' väike teoreem................................................ .............................................................. ................................................................
Täisarvude võrrandite lahendamine................................................ ...................................................... ...............
Bibliograafia: ................................................... . ................................................... ......................................................

Heinrich G.N.

FMS nr 146, Perm

Üks matemaatikahariduse eesmärke, mis kajastub matemaatika osariigi standardi föderaalses komponendis, on õpilaste intellektuaalne areng.

Teema: Arvude jaguvus. Alg- ja liitarvud“ on üks teemadest, mis alates 5. klassist võimaldab lastel oma matemaatilisi võimeid senisest enam arendada. Töötades matemaatika, füüsika ja informaatika süvaõppega koolis, kus õppetöö toimub alates 7. klassist, on meie kooli matemaatikaosakond huvitatud sellest, et 5.-7. klassi õpilased saaksid selle teemaga rohkem tuttavaks. Püüame seda rakendada tundides Noorte Matemaatikute Koolis (SYUM), samuti piirkondlikus suvises matemaatikalaagris, kus õpetan koos meie kooli õpetajatega. Püüdsin valida ülesandeid, mis pakuksid huvi 5.–11. klassi õpilastele. Meie kooli õpilased ju õpivad seda teemat programmi järgi. Ja viimased 2 aastat on koolilõpetajad selleteemaliste probleemidega ühtsel riigieksamil (C6 tüüpi ülesannetes) silmitsi seisnud. Erinevatel juhtudel käsitlen teoreetilist materjali erinevas mahus.

Naturaalarvude jaguvus.

Mõned määratlused:

Naturaalarv a jagub naturaalarvuga b, kui on olemas naturaalarv c, mille puhul a=bc. Samal ajal kirjutavad nad: a b. Selles

Sel juhul nimetatakse b-d a jagajaks ja a on b kordne. Naturaalarvu nimetatakse algarvuks, kui sellel pole jagajaid.

erinev endast ja seadmest (näiteks: 2, 3, 5, 7 jne). Arvu nimetatakse liitarvuks, kui see ei ole algarvu. Seade ei ole lihtne ega kombineeritud.

Arv n jagub algarvuga p siis ja ainult siis, kui algtegurite hulgas, milleks n on lagunenud, esineb p.

Arvude a ja b suurim ühisjagaja on suurim arv, mis on nii a kui ka b jagaja, mida tähistatakse GCD (a;b) või D (a;b) abil.

Väikseim ühiskordaja on väikseim nii a kui ka b-ga jaguv arv, mida tähistatakse LCM (a;b) või K (a;b).

Kutsutakse numbreid a ja b vastastikku prime, kui nende suurim ühisjagaja on võrdne ühega.

Heinrich G.N.

FMS nr 146, Perm

Aritmeetika alusteoreem

Iga naturaalarvu n saab üheselt laiendada (kuni tegurite järjekorrani) algtegurite astmete korrutiseks:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

siin p1, p2,…pm on arvu n erinevad algjagajad ja k1, k2,…km on nende jagajate esinemisastmed (kordsusastmed).

Jaguvuse märgid

∙ Arv jagub 2-ga siis ja ainult siis, kui viimane number jagub 2-ga (st paaris).

∙ Arv jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui selle numbrite summa jagub 3-ga.

∙ Arv jagub 4-ga siis ja ainult siis, kui kahest viimasest numbrist koosnev kahekohaline arv jagub 4-ga.

∙ Arv jagub 5-ga siis ja ainult siis, kui viimane number jagub 5-ga (see tähendab, et see on 0 või 5).

∙ Et teada saada, kas arv jagub 7-ga (13-ga), peate jagama selle kümnendmärgistuse paremalt vasakule 3-kohalisteks rühmadeks (vasakpoolseim rühm võib sisaldada 1 või 2 numbrit), seejärel võtke paaritu arv. rühmad miinusmärgiga "ja paarisnumbritega - plussmärgiga. Kui saadud avaldis jagub 7-ga (13-ga), siis antud arv jagub 7-ga (13-ga).

∙ Arv jagub 8-ga siis ja ainult siis, kui viimasest kolmest numbrist koosnev kolmekohaline arv jagub 8-ga.

∙ Arv jagub 9-ga siis ja ainult siis, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.

∙ Arv jagub 10-ga siis ja ainult siis, kui viimane number on null.

∙ Arv jagub 11-ga siis ja ainult siis, kui selle paarisarvuliste kümnendarvude summa ja paaritu kümnendkoha numbrite summa annavad 11-ga jagamisel võrdsed jäägid.

Arvude jaguvusega seotud väited.

∙ Kui a b ja b c , siis a c .

∙ Kui a m, siis ab m.

∙ Kui a m ja b m, siis a+b m

∙ Kui a+.b m ja a m, siis b m

∙ Kui a m ja a k ning m ja k on kaasalgarvud, siis a mk

∙ Kui ab m ja a on m kaasalgarvud, siis b m

Heinrich G.N.

FMS nr 146, Perm

∙ Selleteemalistes tundides kaalun olenevalt õpilaste vanusest, tundide toimumise kohast ja ajast erinevaid ülesandeid. Valin need ülesanded peamiselt töö lõpus märgitud allikatest, sealhulgas eelmiste aastate Permi piirkondliku noorte matemaatikute turniiri materjalidest ning eelmiste aastate vene koolinoorte olümpiaadi II ja III etapi materjalidest. .

Kasutan SHYuM1 e 5., 6., 7. klasside klasside jaoks järgmisi ülesandeid teema „Arvude jagatavus“ käsitlemisel. Alg- ja liitarvud. Jaguvuse märgid."

Suulised ülesanded.

1. Lisage arvust 15 vasakule ja paremale 1 number, nii et arv jagub 15-ga.

Vastus: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. Lisage arvust 10 vasakule ja paremale 1 number, nii et arv jagub 72-ga.

Vastus: 4104.

3. Teatud arv jagub 6 ja 4-ga. Kas see peab jaguma 24-ga?

Vastus: ei, näiteks 12.

4. Leidke suurim naturaalarv, mis on 36 kordne ja mille kõik numbrid on esitatud üks kord.

Vastus: 9876543120.

5. Antud number on 645*7235. Asendage * arvuga, nii et saadud arv on 3-kordne. Vastus: 1, 4, 7.

6. Antakse arv 72*3*. Asendage * numbritega nii, et saadud arv oleks 45-kordne. Vastus: 72630, 72135.

"Poolsuulised" ülesanded.

1. Mitu pühapäeva võib aastas olla?

2. Teatud kuus langesid kolm pühapäeva paarisarvudele. Mis nädalapäev oli selle kuu 7. päev?

3. Alustame sõrmede lugemist järgmiselt: olgu pöial esimene, nimetissõrm teine, keskmine sõrm kolmas, sõrmusesõrm neljas, väike sõrm viies, väike sõrm kuues, sõrmusesõrm uuesti, seitsmes, keskmine sõrm kaheksas, nimetissõrm üheksas, pöial kümnes ja nimetissõrm kümnes jne. Milline sõrm see saab olema 2000?

1 SHUM - Noorte Matemaatikute Kool - Laupäevakool Füüsikakoolis nr 146

Heinrich G.N.

FMS nr 146, Perm

Millise n juures jagub arv 1111...111 7-ga?

Millise n juures jagub arv 1111...111 arvuga 999 999 999?

6. Murd b a on taandatav. Kas murd a + − b b on taandatav?

7. Anchuria riigis on ringluses pangatähed nimiväärtusega 1 Anchur, 10 Anchur, 100 Anchur, 1000 Anchur. Kas 500 000 pangatähte kasutades on võimalik kokku lugeda 1 000 000 ankrut?

8. Leidke kahekohaline arv, mille esimene number on võrdne selle arvu ja samade numbritega, kuid vastupidises järjekorras kirjutatud arvu erinevusega.

1. Aastas võib olla 365 või 366 päeva, iga seitsmes päev on pühapäev, mis tähendab 365 = 52 × 7 + 1 või 366 = 52 × 7 + 2, võib olla 52 või 53, kui pühapäev langeb 1. päeval.

2. Need 3 pühapäeva langesid 2., 16. ja 30. kuupäevale. See tähendab, et selle kuu 7. päev on reede.

3. Sõrmede arvu loendamisel korratakse perioodiga 8, mis tähendab, et piisab 2000 8-ga jagamise jäägi arvutamisest. See võrdub 0-ga. siis tuleb nimetissõrm kaheksandaks 2000. saab nimetissõrmeks.

7 võrra ja 111111=7× 15873. Sellest järeldub, et kui antud arvu kirjes on rohkem kui 6 ühikut, siis iga 6 ühiku järel võrdub järgmine jääk 0-ga.

arv kujul 1111...111 jagub 7-ga siis ja ainult siis, kui tema kogus

numbrid jaguvad 6-ga, s.t. n = 7 × t, kus tО Z.

samaaegselt. Selles arvus on ühikute arv 9-kordne. Esimene ja teine selline arv 111 111 111 ja 111 111 111 111 111 111 aga ei jagu arvuga 999 999 999. Ja 18 ühikuga arv jagub 999-ga. 999 999. Veelgi enam, alates 18. kuupäevast jagatakse iga 18. number 999 999 999-ga, s.o. n = 18 × t, kus tО N.

6. Murd	a on taandatav, st. a=bn, kus nО Z. Seejärel kirjutame murdosa ümber				a − b
					a+b
bn−b	b(n-1)	n - 1	On ilmne, et murd a a + − b b	vähendatav.
bn + b	b(n+1)	n+1	On ilmne, et murd a a + − b b	vähendatav.

7. Olgu a vekslid nimiväärtusega 1 ankru, b nimiväärtusega 10 ankrut, c 100 ankru nimiväärtusega ja d nimiväärtusega 1000 ankrut. Saame

Regionaaluuringute konverents Lakhdenpokhi valla koolinoortele

"Samm tulevikku"

Matemaatikaprojekt teemal:

Lõpetanud: Galkina Natalja

7. klassi õpilane

MKOU "Elisenvaara Keskkool"

Pea: Vassiljeva

Larisa Vladimirovna

matemaatika õpetaja

MKOU "Elisenvaara Keskkool"

Sissejuhatus 3 lk

Matemaatika ajaloost 4 lk.

Põhimõisted 4 lk.

Jaguvusmärkide klassifikatsioon: 5 lk.

Arvude jagatavus määratakse viimase numbri(te) järgi 5 – 6 lk.
Arvude jaguvus määratakse arvu numbrite summaga: 6 lehekülge.
Arvude jagatavus määratakse pärast mõne toimingu sooritamist numbri 6–9 lehekülje numbritega.
Arvu jaguvuse määramiseks kasutatakse muid märke 9 – 10 lk.

Jagatavuskriteeriumide rakendamine praktikas 10 – 11 lk.

Kokkuvõte 11 lk

Bibliograafia 12 lk.

Sissejuhatus

Uurimistöö asjakohasus: Jaguvuse märgid on alati huvitanud erinevate aegade ja rahvaste teadlasi. Matemaatikatundides teemat “Arvude jaguvuse märgid 2, 3, 5, 9, 10-ga” õppides tekkis huvi uurida arvude jaguvust. Eeldati, et kui on võimalik määrata arvude jaguvust nende arvudega, siis peavad olema märgid, mille järgi saab määrata naturaalarvude jaguvust teiste arvudega. Mõnel juhul selleks, et teada saada, kas mõni naturaalarv on jagatav a naturaalarvule b ilma jäägita ei ole vaja neid numbreid jagada. Piisab, kui tead mõningaid jagatavusmärke.

Hüpotees– kui on olemas naturaalarvude jaguvuse märgid 2, 3, 5, 9 ja 10-ga, siis on ka teisi märke, mille järgi saab naturaalarvude jaguvust määrata.

Uuringu eesmärk – täiendada juba teadaolevaid naturaalarvude jaguvusmärke tervikuna, koolis õpitud ja süstematiseerida need jaguvusmärgid.

Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja lahendada järgmine ülesanded:

Uurige iseseisvalt arvude jaguvust.

Uurige täiendavat kirjandust, et saada tuttavaks teiste jagatavusmärkidega.

Kombineerige ja tehke kokkuvõte erinevatest allikatest pärit funktsioonidest.

Tehke järeldus.

Õppeobjekt– kõigi võimalike jagamismärkide uurimine.

Õppeaine– jaguvuse tunnused.

Uurimismeetodid– materjali kogumine, andmetöötlus, võrdlemine, analüüs, süntees.

Uudsus: Projekti käigus täiendasin oma teadmisi naturaalarvude jaguvusmärkidest.

Matemaatika ajaloost

Blaise Pascal(sündinud 1623) - üks kuulsamaid inimesi inimkonna ajaloos. Pascalumer, kui ta oli 39-aastane, kuid vaatamata nii lühikesele elueale, läks ajalukku silmapaistva matemaatiku, füüsiku, filosoofi ja kirjanikuna. Tema järgi on nime saanud rõhuühik (pascal) ja tänapäeval väga populaarne programmeerimiskeel. Blaise Pascal leidis ühise

Pascali test on meetod, mis võimaldab saada mis tahes arvuga jaguvuse teste. Omamoodi “universaalne jagatavuse märk”.

Pascali jaguvuse test: Naturaalarv A jagatakse teise naturaalarvuga b ainult siis, kui arvu numbrite korrutiste summa A vastavateks jäägiks, mis saadakse numbriühikute jagamisel arvuga b, jagatakse selle arvuga.

Näiteks : arv 2814 jagub 7-ga, kuna 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 jagub 7-ga. (Siin 6 on 1000 7-ga jagamise jääk, 2 on 100 7-ga jagamise jääk ja 3 on jääk 10 jagamisest 7-ga).

Põhimõisted

Meenutagem mõningaid matemaatilisi mõisteid, mida selle teema uurimisel vaja läheb.

Jaguvuse test on reegel, mille abil saate ilma jagamiseta määrata, kas üks arv jagub teisega.

Jagaja naturaalarv A nimeta naturaalarv, millele A jagatud ilma jäägita.

Lihtne nimetatakse naturaalarvudeks, millel pole muid loomulikke jagajaid peale ühe ja nemendi.

Komposiit on arvud, millel on teised loomulikud jagajad peale 1 ja iseenda.

Jaguvuse märgid

Kõik naturaalarvude jaguvuse märgid, mida selles töös käsitlesin, võib jagada 4 rühma:

Vaatame kõiki neid rühmi lähemalt.

Arvude jagatavus määratakse viimase numbri(de) järgi

Esimene naturaalarvude jaguvuse märkide rühm, mida ma käsitlesin, sisaldab jaguvuse märke 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 ja numbriühikuid 10, 100 jne.

Testi jagavust 2-ga: arv jagub 2-ga, kui selle arvu viimane number jagub 2-ga (st viimane number on paarisarv).

Näiteks: 32217864 : 2

Testige jagavust 4-ga : Arv jagub 4-ga, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või kui selle kahest viimasest numbrist moodustatud kahekohaline arv jagub 4-ga.

Näiteks, 35324 : 4; 6600 : 4

Jaguvuse test 5-ga : arv jagub 5-ga, kui selle viimane number on 5 või 0.

Näiteks: 36780 : 5 või 12326 5 : 5

Testi jagavust 8-ga: Arv jagub 8-ga, kui selle arvu viimasest kolmest numbrist moodustatud kolmekohaline arv jagub 8-ga.

Näiteks: 432240 : 8

20-ga jaguvuse testimine: arv jagub 20-ga, kui kahest viimasest numbrist moodustatud arv jagub 20-ga. (Teine sõnastus: arv jagub 20-ga, kui arvu viimane number on 0 ja eelviimane number on paaris).

Näiteks: 59640 : 20

25-ga jaguvuse testimine: Arvud, mille kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad 25-ga jaguva arvu, jaguvad 25-ga.

Näiteks: 667975 : 25 või 77689 00 : 25

50-ga jaguvuse test: Arv jagub 50-ga, kui selle kahe väikseima kümnendkohaga moodustatud arv jagub 50-ga.

Näiteks: 564350 :50 või 5543 00 :50

Jaguvuse test 125-ga: Arv jagub 125-ga, kui selle kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 125-ga.

Näiteks: 32157000 :125 või 3216 250 :125

Need naturaalarvud, mille nullide arv on suurem või võrdne numbriühiku nullide arvuga, jagatakse numbriühikuteks.

Näiteks, 12 000 jagub 10, 100 ja 1000-ga.

Arvude jaguvus määratakse arvu numbrite summaga

Sellesse naturaalarvude jaguvuse märkide rühma kuuluvad 3, 9, 11 jaguvuse märgid, mida ma kaalusin.

3-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga.

Näiteks: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

9-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.

Näiteks: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11-ga jaguvuse testimine: Need arvud jaguvad 11-ga, kui paaritutes kohtades olevate numbrite summa on võrdne paariskohtade numbrite summaga või erineb sellest 11-kordselt.

Näiteks: 865948732:11 kuna 8+5+4+7+2=26 ja 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kuna 8+5+4+7+2=26 ja 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Arvude jagatavus määratakse pärast selle arvu numbritega mõne toimingu sooritamist

Sellesse naturaalarvude jaguvuse märkide rühma kuuluvad jaguvuse märgid: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Testi jagavust 6-ga:

Märk 1: Arv jagub 6-ga, kui kahekordse sadade arvu lahutamise tulemus sadade järgsest arvust jagub 6-ga.

Näiteks, 138: 6, sest 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 sest 44 – 7,2 = 30, (30:6)

Märk 2: Arv jagub 6-ga siis ja ainult siis, kui ühikute arvule lisatud kümnete arvu neljakordne jagub 6-ga.

Näiteks, 768:6 sest 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)

Jagatavus 7-ga:

Märk 1: arv jagub arvuga 7 kui kolmekordne, jagub ühikute arvule lisatud kümnete arv 7-ga.

Näiteks, number 154:7, sest 15 3 + 4 = 49 (49:7) jagatakse 7-ga

Märk 2: arv jagub 7-ga, kui kolmekohalisi paarituid rühmi (alustades ühega) moodustavate arvude algebralise summa moodul, mis on võetud märgiga “+”, ja paarisarvude summa, millel on märk “-”, jagub 7-ga.

Näiteks, 138689257:7, sest ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Jagatavus 11-ga:

Märk 1: Arv jagub 11-ga, kui paaritutel positsioonidel olevate numbrite summa ja paariskoha numbrite summa erinevuse moodul jagub 11-ga.

Näiteks, 9163627:11, sest ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Märk 2: arv jagub 11-ga, kui kahekohaliste (alates ühest) rühma moodustavate arvude summa jagub 11-ga.

Näiteks, 103785:11, sest 10+37+85=132 ja 01+32=33 (33:11)

Jagatavus 13-ga:

Märk 1: Arv jagub 13-ga, kui kümnete arvu pluss neli korda arvude summa jagub 13-ga.

Näiteks, 845:13, sest 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Märk 2: Arv jagub 13-ga, kui kümnete arvu ja üheksakordse arvu vahe jagub 13-ga.

Näiteks, 845:13, sest 84-5 9=39 (39:13)

Test 17-ga jagamiseks: arv jagub 17-ga, kui kümnete ja viiekordsete arvu erinevuse moodul jagub 17-ga.

Näiteks, 221:17, sest ǀ22-5·1ǀ=17

19-ga jagamise märgid: Arv jagub 19-ga, kui kahekordsele ühikute arvule lisatud kümnete arv jagub 19-ga.

Näiteks, 646:19, sest 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23-ga jaguvuse testid:

Märk 1: Arv jagub 23-ga, kui kahest viimasest numbrist moodustatud arvu kolmekordistamiseks lisatud sadade arv jagub 23-ga.

Näiteks, 28842:23, sest 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Märk 2: arv jagub arvuga 23 kui seitsmekordsele ühekordsele arvule lisatud kümnete arv jagub 23-ga.

Näiteks, 391:23, sest 3 9+7 1=46 (46:23)

Märk 3: arv jagub arvuga 23 kui seitsmekordsele kümnete arvule liidetud sadade arv ja kolmekordne ühikute arv jagub 23-ga.

Näiteks, 391:23, sest 3+7,9+3,1=69 (69:23)

27-ga jaguvuse testimine: arv jagub 27-ga, kui kolmekohalisi rühmi (alates ühest) moodustavate arvude summa jagub 27-ga.

Näiteks, 2705427:27 kuna 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

29-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 29-ga, kui kolmekordsele ühikute arvule liidetud kümnete arv jagub 29-ga.

Näiteks, 261:29, sest 26+3·1=29 (29:29)

31-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 31-ga, kui kümnete ja kolmekordsete arvu erinevuse moodul jagub 31-ga.

Näiteks, 217:31, sest ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

33-ga jaguvuse testid: Kui summa, mis saadakse numbri jagamisel paremalt vasakule kahekohalisteks rühmadeks, jagub 33-ga, jagub arv 33-ga.

Näiteks, 396:33, sest 96+3=99 (99:33)

37-ga jagamise kriteeriumid:

Märk 1: arv jagub 37-ga, kui arvu jagamisel kolmekohalistesse rühmadesse (alustades ühega) on nende rühmade summa 37-kordne.

Näiteks, number 100048:37, sest 100+048=148, (148:37)

Märk 2: arv jagub 37-ga, kui kümnete neljakordistamiseks liidetud sadade arvu kolmekordne moodul miinus ühikute arv korrutatuna seitsmega jagatakse 37-ga.

Näiteks, on arv 481:37, kuna see jagub 37-gaǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

41-ga jagamise kriteeriumid:

Märk 1: Arv jagub 41-ga, kui kümnete ja neljakordsete ühikute arvu erinevuse moodul jagub 41-ga.

Näiteks, 369:41, sest ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Märk 2: kontrollimaks, kas arv jagub 41-ga, tuleks see jagada paremalt vasakule 5-kohalisteks rühmadeks. Seejärel korrutage igas rühmas esimene parempoolne number 1-ga, korrutage teine number 10-ga, kolmas number 18-ga, neljas 16-ga, viies 37-ga ja lisage kõik saadud tooted. Kui tulemusjagub 41-ga, siis arv ise jagub 41-ga.

59-ga jagamise test: Arv jagub 59-ga, kui 6-ga korrutatud üheliste arvule liidetud kümnete arv jagub 59-ga.

Näiteks, 767:59, sest 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

79-ga jagamise test: Arv jagub 79-ga, kui kümnete arv, mis on korrutatud 8-ga, jagub 79-ga.

Näiteks, 711:79, sest 71+8·1=79, (79:79)

Jaguvuse test 99-ga: Arv jagub 99-ga, kui kahekohaliste (alates ühest) rühma moodustavate arvude summa jagub 99-ga.

Näiteks, 12573:99, sest 1+25+73=99, (99:99)

Jaguvuse test 101-ga: arv jagub 101-ga, kui kahekohaliste (alates ühest) paarituid rühmi moodustavate arvude algebralise summa moodul, mis võetakse koos märgiga “+”, ja paarisarvud, millel on “–”, jagub 101-ga.

Näiteks

Arvu jaguvuse määramiseks kasutatakse muid jaguvuskriteeriume

Sellesse naturaalarvude jaguvuse märkide rühma kuuluvad jaguvuse märgid: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 jne. Need kõik on liitarvud. Liitarvude jaguvuskriteeriumid põhinevad algarvude jaguvuskriteeriumidel, milleks saab lagundada mis tahes liitarvu.

Testi jagavust 6-ga:

Märk 1: Arv jagub 6-ga, kui see jagub nii 2 kui ka 3-ga, st kui see on paaris ja selle numbrite summa jagub 3-ga.

Näiteks, 768:6, sest 7+6+8=21 (21:3) ja viimane number numbris 768 on paaris.

Jaguvuse test 12-ga: Arv jagub 12-ga, kui see jagub korraga 3 ja 4-ga.

Näiteks, 408:12, sest 4+0+8=12 (12:3) ja kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga (08:4)

14-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 14-ga, kui see jagub 2 ja 7-ga.

Näiteks, arv 45612:14, kuna see jagub nii 2 kui ka 7-ga, mis tähendab, et see jagub 14-ga.

15-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 15-ga, kui see jagub 3 ja 5-ga.

Näiteks, 1146795:15 kuna See arv jagub nii 3 kui ka 5-ga.

27-ga jaguvuse testid: Arv jagub 27-ga, kui see jagub 3 ja 9-ga.

Näiteks, 511704:27 kuna 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 ja 18:9)

30-ga jagamise märgid: Arv jagub 30-ga, kui see lõpeb 0-ga ja kõigi numbrite summa jagub 3-ga.

Näiteks, 510:30 kuna 5+1+0=6 (6:3) ja numbris 510 (viimane number 0)

60-ga jagamise märgid: Selleks, et arv jaguks 60-ga, on vajalik ja piisav, et see jagub 4, 3 või 5-ga.

Näiteks, 1620:60 kuna 1+6+2+0=9 (9:3), arv 1620 lõpeb 0-ga, s.o. jagub 5-ga ja 1620: 4-ga, sest viimased kaks numbrit 20:4

Tööl on praktiline rakendus. Seda saavad kasutada kooliõpilased ja täiskasvanud reaalsete olukordade lahendamisel; õpetajad nii matemaatikatundides kui ka valikkursustes ja täiendavates kordustundides.

See uuring on kasulik õpilastele nende iseseisval ettevalmistusel lõpu- ja sisseastumiseksamiteks. See on kasulik ka õpilastele, kelle eesmärgiks on kõrged kohad linnaolümpiaadidel.

Ülesanne nr 1 . Kas on võimalik ainult numbreid 3 ja 4 kasutades kirjutada:

arv, mis jagub 10-ga;

paarisarv;

arv, mis on 5-kordne;

paaritu number

Probleem nr 2

Kirjutage mõni üheksakohaline arv, millel pole korduvaid numbreid (kõik numbrid on erinevad) ja jagub 1-ga ilma jäägita.

Kirjutage neist arvudest suurim.

Kirjutage neist arvudest väikseim.

Vastus: 987652413; 102347586

Probleem nr 3

Leidke suurim neljakohaline arv, mille kõik numbrid on erinevad ja jagub 2, 5, 9, 11-ga.

Vastus: 8910

Probleem nr 4

Olya mõtles välja lihtsa kolmekohalise numbri, mille kõik numbrid on erinevad. Millise numbriga võib see lõppeda, kui selle viimane number on võrdne kahe esimese summaga. Tooge näiteid selliste arvude kohta.

Vastus: ainult 7 võrra. Ülesande tingimustele vastavad 4 numbrit: 167, 257, 347, 527

Probleem nr 5

Kahes klassis on kokku 70 õpilast. Ühes klassis ei ilmunud tundi 7/17 õpilast, teises said 2/9 matemaatikas suurepärased hinded. Mitu õpilast on igas klassis?

Lahendus: Neist esimeses klassis võivad olla: 17, 34, 51... - arvud, mis on 17-kordsed. Teises klassis: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - arvud, mis on kordsed. 9-st. Peame valima esimesest jadast 1 numbri ja 2 on arv teisest, nii et nende summa moodustaks 70. Pealegi saab nendes jadades ainult väike arv termineid väljendada võimalikku laste arvu klass. See kaalutlus piirab oluliselt valikute valikut. Ainus võimalik variant oli paar (34, 36).

Probleem nr 6

9. klassis sai 1/7 õpilast testi eest A-d, 1/3 - B-d, ½ - C-d. Ülejäänud töö osutus mitterahuldavaks. Kui palju selliseid töökohti oli?

Lahendus:Ülesande lahenduseks peab olema arv, mis on arvude kordne: 7, 3, 2. Leiame esmalt neist arvudest väikseima. LCM (7, 3, 2) = 42. Saate luua avaldise vastavalt ülesande tingimustele: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 ebaõnnestus. Matemaatiliste seoste ülesanded eeldavad, et õpilaste arv klassis on 84, 126 jne. Inimene. Kuid terve mõistus viitab sellele, et kõige vastuvõetavam vastus on number 42.

Vastus: 1 töökoht.

Järeldus:

Selle töö tulemusena sain teada, et lisaks mulle teadaolevatele 2, 3, 5, 9 ja 10 jaguvuse märkidele on olemas ka teisi naturaalarvude jaguvuse märke. Saadud teadmised kiirendavad oluliselt paljude probleemide lahendamist. Ja ma saan neid teadmisi kasutada oma õppetegevuses, nii matemaatikatundides kui ka klassivälises tegevuses. Samuti tuleb märkida, et mõnede jaotuskriteeriumide sõnastused on keerulised. Võib-olla sellepärast neid koolis ei õpitagi. Loodan, et jätkan ka tulevikus tööd naturaalarvude jaguvuse märkide uurimisega.

Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnastik. Savin A.P. Moskva "Pedagoogika" 1989.

Matemaatika. Matemaatikatundide lisamaterjalid, 5.-11.klass. Rjazanovski A.R., Zaitsev E.A. Moskva "Bustard" 2002.

Matemaatikaõpiku lehekülgede taga. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Haridus, 1989.

Klassiväline töö matemaatikas 6.-8. Moskva. “Valgustus” 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.

“1001 küsimust ja vastust. Suur teadmiste raamat" Moskva. "Raamatute maailm" 2004.

Matemaatika valikkursus. Nikolskaja I.L. - Moskva. Valgustus 1991.

Olümpiaadiülesanded matemaatikas ja nende lahendamise meetodid. Farkov A.V. - Moskva. 2003. aasta

Interneti-ressursid.

Vaadake esitluse sisu
"Naturaalarvude jaguvuse märgid"

Piirkondlik teaduskonverents koolinoortele

Lakhdenpokhi linnaosa “Samm tulevikku”

"Naturaalarvude jaguvuse märgid"

Lõpetanud: Galkina Natalja

7. klassi õpilane

MKOU "Elisenvaara Keskkool"

Pea: Vassiljeva Larisa Vladimirovna

MKOU "Elisenvaarskaja" matemaatikaõpetaja Põhikool"

2014. aasta

Uurimistöö asjakohasus : Jaguvuse märgid on alati huvitanud erinevate aegade ja rahvaste teadlasi. Matemaatikatundides teemat “Arvude jaguvuse märgid 2, 3, 5, 9, 10-ga” õppides tekkis huvi uurida arvude jaguvust. Eeldati, et kui on võimalik määrata arvude jaguvust nende arvudega, siis peavad olema märgid, mille järgi saab määrata naturaalarvude jaguvust teiste arvudega. Mõnel juhul selleks, et teada saada, kas mõni naturaalarv on jagatav a naturaalarvule b ilma jäägita ei ole vaja neid numbreid jagada. Piisab, kui tead mõningaid jagatavusmärke. Hüpotees – kui on olemas naturaalarvude jaguvuse märgid 2, 3, 5, 9 ja 10-ga, siis on ka teisi märke, mille järgi saab naturaalarvude jaguvust määrata. Uuringu eesmärk – täiendada juba teadaolevaid naturaalarvude jaguvusmärke tervikuna, koolis õpitud ja süstematiseerida need jaguvusmärgid. Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja lahendada järgmine ülesanded:

Uurige iseseisvalt arvude jaguvust.
Uurige täiendavat kirjandust, et saada tuttavaks teiste jagatavusmärkidega.
Kombineerige ja tehke kokkuvõte erinevatest allikatest pärit funktsioonidest.
Tehke järeldus. Õppeobjekt – naturaalarvude jagatavus. Õppeaine – jaguvuse tunnused. Uurimismeetodid – materjali kogumine, andmetöötlus, võrdlemine, analüüs, üldistus. Uudsus : Projekti käigus täiendasin oma teadmisi naturaalarvude jaguvuse kriteeriumide kohta.

Matemaatika ajaloost

Blaise Pascal (sündinud 1623) - üks kuulsamaid inimesi inimkonna ajaloos. Pascal suri 39-aastaselt, kuid vaatamata nii lühikesele elueale läks ta ajalukku silmapaistva matemaatiku, füüsiku, filosoofi ja kirjanikuna. Tema järgi on nime saanud rõhuühik (pascal) ja tänapäeval väga populaarne programmeerimiskeel. Blaise Pascal leidis ühise algoritm mis tahes täisarvu jaguvuse märkide leidmiseks mis tahes muu täisarvuga.

Pascali test on meetod, mis võimaldab saada mis tahes arvuga jaguvuse teste. Omamoodi “universaalne jagatavuse märk”.

Pascali jaguvuse test: Naturaalarv a jagatakse teise naturaalarvuga b ainult siis, kui arvu a numbrite korrutised vastavate jääkidega, mis saadakse numbriühikute jagamisel arvuga b, jagub selle arvuga.

Näiteks : arv 2814 jagub 7-ga, kuna 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 jagub 7-ga. (Siin 6 on 1000 7-ga jagamise jääk, 2 on 100 7-ga jagamise jääk ja 3 on jääk 10 jagamisest 7-ga).

Põhimõisted

Pidagem meeles mõningaid matemaatilisi mõisteid, mida selle teema uurimisel vajame:

Jaguvuse test on reegel, mille abil saate ilma jagamiseta määrata, kas üks arv jagub teisega.

Jagaja naturaalarv A helistada loomulikule numbrile b , mille A jagatud ilma jäägita.

Lihtne nimetatakse naturaalarvudeks, millel pole muid loomulikke jagajaid peale ühe ja nemendi.

Komposiit on arvud, millel on teised loomulikud jagajad peale 1 ja iseenda.

Jaguvuse märgid

Kõik naturaalarvude jaguvuse märgid, mida selles töös käsitlesin, võib jagada 4 rühma:

I . Arvude jagatavus määratakse viimase numbri(de) järgi

Esimene naturaalarvude jaguvuse märkide rühm, mida ma käsitlesin, sisaldab jaguvuse märke 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 ja numbriühikuid 10, 100 jne.

Testi jagavust 2-ga : arv jagub 2-ga, kui selle arvu viimane number jagub 2-ga (st viimane number on paarisarv).

Näiteks : 3221786 4 : 2

Testige jagavust 4-ga : Arv jagub 4-ga, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või kui selle kahest viimasest numbrist moodustatud kahekohaline arv jagub 4-ga.

Näiteks: 353 24 : 4; 66 00 : 4

Jaguvuse test 5-ga : arv jagub 5-ga, kui selle viimane number on 5 või 0.

Näiteks: 3678 0 : 5 või 12326 5 : 5

Testi jagavust 8-ga: Arv jagub 8-ga, kui selle arvu viimasest kolmest numbrist moodustatud kolmekohaline arv jagub 8-ga.

Näiteks: 432 240 : 8

20-ga jaguvuse testimine: arv jagub 20-ga, kui arv on moodustatud kahega viimane arvud, jaguvad 20-ga. (Teine sõnastus: arv jagub 20-ks millal numbri viimane number on 0 ja teine kuni viimane number on paaris).

Näiteks: 596 40 : 20

25-ga jaguvuse testimine: Arvud, mille kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad 25-ga jaguva arvu, jaguvad 25-ga.

Näiteks: 6679 75 : 25 või 77689 00 : 25

50-ga jaguvuse test: Arv jagub 50-ga, kui selle kahe väikseima kümnendkohaga moodustatud arv jagub 50-ga.

Näiteks : 5643 50 : 50 või 5543 00 : 50

Jaguvuse test 125-ga: Arv jagub 125-ga, kui selle kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 125-ga.

Näiteks: 32157 000 : 125 või 3216 250 : 125

Jaguvuse märgid numbriühikuga 10, 100, 1000 jne: Need naturaalarvud, mille nullide arv on suurem või võrdne numbriühiku nullide arvuga, jagatakse numbriühikuteks.

Näiteks 12 000 jagub 10, 100 ja 1000-ga

II . Arvude jaguvus määratakse arvu numbrite summaga

Sellesse naturaalarvude jaguvuse märkide rühma kuuluvad 3, 9, 11 jaguvuse märgid, mida ma kaalusin.

3-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga.

Näiteks: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

9-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.

Näiteks: 653022: 9 kuna 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11-ga jaguvuse testimine: Need arvud jaguvad 11-ga, kui paaritutes kohtades olevate numbrite summa on võrdne paariskohtade numbrite summaga või erineb sellest 11-kordselt.

Näiteks: 865948732:11, sest 8+5+4+7+2=26 ja 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kuna 8+5+4+7+2=26 ja 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Arvude jaguvus määratakse pärast mõne toimingu sooritamist

selle numbri numbrite kohal

Sellesse naturaalarvude jaguvuse märkide rühma kuuluvad jaguvuse märgid: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Testi jagavust 6-ga:

Märk 1: arv jagub 6-ga, kui kahekordse sadade arvu lahutamise tulemus sadade järgsest arvust jagub 6-ga.

Näiteks: 138: 6, sest 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 sest 44 – 7,2 = 30, (30:6)

Märk 2: arv jagub 6-ga siis ja ainult siis, kui ühikute arvule lisatud kümnete neljakordne arv jagub 6-ga.

Näiteks: 768:6, sest 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)

Jagatavus 7-ga:

Märk 1: arv jagub 7-ga, kui kolmekordne üheliste arvule lisatud kümnete arv jagub 7-ga.

Näiteks: number 154:7, sest 15 3 + 4 = 49 (49:7) jagatakse 7-ga

Märk 2: arv jagub 7-ga, kui kolmekohalistest paaritutest rühmadest koosnevate arvude algebralise summa moodul, mis moodustab paarituid kolmekohalisi rühmi (alustades ühega), mis võetakse koos märgiga “+” ja paarisarvud, millel on “-” on jagub 7.

Näiteks 138689257:7, sest ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Jagatavus 11-ga:

Märk 1: arv jagub 11-ga, kui paaritutel positsioonidel olevate numbrite summa ja paariskoha numbrite summa erinevuse moodul jagub 11-ga.

Näiteks 9163627:11, sest ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Märk 2: arv jagub 11-ga, kui kahekohaliste (alates ühest) rühma moodustavate arvude summa jagub 11-ga.

Näiteks 103785:11, sest 10+37+85=132 ja 01+32=33 (33:11)

Jagatavus 13-ga:

Märk 1: arv jagub 13-ga, kui kümnete ja neljakordsete arvu summa jagub 13-ga

Näiteks 845:13, sest 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Märk 2: arv jagub 13-ga, kui kümnete arvu ja üheksakordse arvu vahe jagub 13-ga.

Näiteks 845:13, sest 84-5 9=39 (39:13)

Test 17-ga jagamiseks: Arv jagub 17-ga, kui kümnete ja viiekordsete arvude erinevuse moodul jagub 17-ga.

Näiteks 221:17, sest ǀ22-5·1ǀ=17

19-ga jagamise märgid: arv jagub 19-ga, kui arv on kümned, koos vale koos kahekordne ühikute arv, jagub 19-ga.

Näiteks 646:19, sest 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23-ga jaguvuse testid:

Märk 1: arv jagub 23-ga, kui kahest viimasest numbrist moodustatud arvu kolmekordistamiseks liidetud sadade arv jagub 23-ga.

Näiteks 28842:23, sest 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Märk 2: arv jagub 23-ga, kui seitsmekordsele ühikute arvule lisatud kümnete arv jagub 23-ga.

Näiteks 391:23, sest 39+7·1=46 (46:23)

Märk 3: arv jagub 23-ga, kui sadade arv liidetakse seitsmekordsele kümnete arvule ja kolmekordne ühikute arv, jagub 23-ga.

Näiteks 391:23, sest 3+7,9+3,1=69 (69:23)

27-ga jaguvuse testimine: arv jagub 27-ga, kui kolmekohalisi rühmi (alates ühest) moodustavate arvude summa jagub 27-ga.

Näiteks 2705427:27, sest 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

29-ga jaguvuse testimine: arv jagub 29-ga, kui kolmekordsele ühtede arvule liidetud kümnete arv jagub 29-ga

Näiteks 261:29, sest 26+3·1=29 (29:29)

31-ga jaguvuse testimine: arv jagub 31-ga, kui kümnete arvu erinevuse moodul ja kolmekordne ühikute arv jagatakse 31-ga.

Näiteks 217:31, sest ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

33-ga jaguvuse testid: Kui summa, mis saadakse numbri jagamisel paremalt vasakule kahekohalisteks rühmadeks, jagub 33-ga, jagub arv 33-ga.

Näiteks 396:33, sest 96+3=99 (99:33)

37-ga jagamise kriteeriumid:

Märk 1 : arv jagub 37-ga, kui arvu jagamisel kolmekohalistesse rühmadesse (alustades ühega) on nende rühmade summa 37-kordne.

Näiteks , number 100048:37, sest 100+048=148, (148:37)

Märk 2: arv jagub 37-ga, kui sadade kolmekordne moodul, mis liidetakse kümnete arvu neljakordseks, miinus ühikute arv korrutatuna seitsmega, jagub 37-ga.

Näiteks arv 481:37, kuna ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 jagub 37-ga

41-ga jagamise kriteeriumid:

Märk 1: arv jagub 41-ga, kui kümnete ja neljakordsete arvu erinevuse moodul jagub 41-ga.

Näiteks 369:41, sest ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Märk 2: kontrollimaks, kas arv jagub 41-ga, tuleb see jagada paremalt vasakule 5-kohalisteks rühmadeks. Seejärel korrutage igas rühmas esimene parempoolne number 1-ga, korrutage teine number 10-ga, kolmas number 18-ga, neljas 16-ga, viies 37-ga ja lisage kõik saadud tooted. Kui tulemus jagub 41-ga, siis arv ise jagub 41-ga.

59-ga jagamise test: Arv jagub 59-ga, kui 6-ga korrutatud üheliste arvule liidetud kümnete arv jagub 59-ga.

Näiteks 767:59, sest 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

79-ga jagamise test: Arv jagub 79-ga, kui kümnete arv, mis on korrutatud 8-ga, jagub 79-ga.

Näiteks 711:79, sest 71+8·1=79, (79:79)

Jaguvuse test 99-ga: Arv jagub 99-ga, kui kahekohaliste (alates ühest) rühma moodustavate arvude summa jagub 99-ga.

Näiteks 12573:99, sest 1+25+73=99, (99:99)

Jaguvuse test 101-ga: arv jagub 101-ga, kui kahekohaliste (alates ühest) paarituid rühmi moodustavate arvude algebralise summa moodul, mis võetakse koos märgiga “+”, ja paarisarvud, millel on “–”, jagub 101-ga.

Näiteks, 590547:101, sest ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Arvu jaguvuse määramiseks kasutatakse muid jaguvuskriteeriume

Testi jagavust 6-ga: Arv jagub 6-ga, kui see jagub nii 2 kui ka 3-ga, st kui see on paarisarv ja selle numbrite summa jagub 3-ga.

Näiteks 768:6, sest 7+6+8=21 (21:3) ja viimane number numbris 768 on paaris.

Jaguvuse test 12-ga : Arv jagub 12-ga, kui see jagub korraga 3 ja 4-ga.

Näiteks 408:12, sest 4+0+8=12 (12:3) ja kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga (08:4)

14-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 14-ga, kui see jagub 2 ja 7-ga.

Näiteks arv 45612:14, kuna see jagub nii 2 kui ka 7-ga, mis tähendab, et see jagub 14-ga

15-ga jaguvuse testimine: Arv jagub 15-ga, kui see jagub 3 ja 5-ga.

Näiteks 1146795:15, sest see arv jagub nii 3 kui 5-ga

27-ga jaguvuse testid: Arv jagub 27-ga, kui see jagub 3 ja 9-ga. Näiteks 511704:27, sest 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 ja 18:9)

30-ga jagamise märgid: Arv jagub 30-ga, kui see lõpeb 0-ga ja kõigi numbrite summa jagub 3-ga.

Näiteks 510:30, sest 5+1+0=6 (6:3) ja numbris 510 (viimane number 0)

60-ga jagamise märgid: Selleks, et arv jaguks 60-ga, on vajalik ja piisav, et see jagub 4, 3 või 5-ga.

Näiteks 1620:60, sest 1+6+2+0=9 (9:3), arv 1620 lõpeb 0-ga, s.o. jagub 5-ga ja 1620: 4-ga, sest viimased kaks numbrit 20:4

Jagatavuskriteeriumide rakendamine praktikas

See uuring on kasulik õpilastele nende iseseisval ettevalmistusel lõpu- ja sisseastumiseksamiteks. See on kasulik ka õpilastele, kelle eesmärgiks on kõrged kohad linnaolümpiaadidel.

Ülesanne nr 1 . Kas on võimalik ainult numbreid 3 ja 4 kasutades kirjutada:

arv, mis jagub 10-ga;
paarisarv;
arv, mis on 5-kordne;
paaritu number

Probleem nr 3 : leidke suurim neljakohaline arv, mille kõik numbrid on erinevad ja jagub 2, 5, 9, 11-ga.

Vastus: 8910

Ülesanne nr 4: Olya mõtles välja lihtsa kolmekohalise numbri, mille kõik numbrid on erinevad. Millise numbriga võib see lõppeda, kui selle viimane number on võrdne kahe esimese summaga. Tooge näiteid selliste arvude kohta.

Vastus: ainult 7 võrra. Ülesande tingimustele vastavad 4 numbrit: 167, 257, 347, 527

Probleem nr 5 : Kahes klassis on kokku 70 õpilast. Ühes klassis ei ilmunud tundi 7/17 õpilast, teises said 2/9 matemaatikas suurepärased hinded. Mitu õpilast on igas klassis?

Lahendus: Neist esimeses klassis võivad olla: 17, 34, 51... - arvud, mis on 17-kordsed. Teises klassis: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - arvud, mis on kordsed. 9-st. Peame valima esimesest jadast 1 numbri ja 2 on arv teisest, nii et nende summa moodustaks 70. Pealegi saab nendes jadades ainult väike arv termineid väljendada võimalikku laste arvu klass. See kaalutlus piirab oluliselt valikute valikut. Ainus võimalik variant oli paar (34, 36).

Probleem nr 6 : 9. klassis sai A-d kontrolltöö eest 1/7 õpilast, 1/3 sai neljad, ½ - kolmed. Ülejäänud töö osutus mitterahuldavaks. Kui palju selliseid töid oli?

Lahendus: Ülesande lahenduseks peab olema arv, mis on arvude kordne: 7, 3, 2. Leiame kõigepealt neist arvudest väikseim. LCM (7, 3, 2) = 42. Saate teha avaldise vastavalt ülesande tingimustele: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 ebaõnnestunud. Matemaatilise seose probleemid eeldavad, et arv 84., 126. klassi õpilased jne. Inimene. Aga terve mõistuse põhjustel sellest järeldub, et kõige vastuvõetavam vastus on number 42.

Vastus: 1 töökoht.

Järeldus:

Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnastik. Savin A.P. Moskva "Pedagoogika" 1989.
Matemaatika. Matemaatikatundide lisamaterjalid, 5.-11.klass. Rjazanovski A.R., Zaitsev E.A. Moskva "Bustard" 2002.
Matemaatikaõpiku lehekülgede taga. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Haridus, 1989.
Klassiväline töö matemaatikas 6.-8. Moskva. “Valgustus” 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
“1001 küsimust ja vastust. Suur teadmiste raamat" Moskva. "Raamatute maailm" 2004.
Matemaatika valikkursus. Nikolskaja I.L. - Moskva. Valgustus 1991.
Olümpiaadiülesanded matemaatikas ja nende lahendamise meetodid. Farkov A.V. - Moskva. 2003. aasta
Interneti-ressursid.

Naturaalarvude jaguvuse kriteeriumid. Matemaatika projekt sellel teemal

Jaguvuse mõiste

Naturaalarvude jaguvus.

Aritmeetika alusteoreem

Jaguvuse märgid

Arvude jaguvusega seotud väited.

Suulised ülesanded.

"Poolsuulised" ülesanded.

Vaadake esitluse sisu "Naturaalarvude jaguvuse märgid"

Vaadake esitluse sisu
"Naturaalarvude jaguvuse märgid"