Ühe muutuja funktsiooni tuletis.

Sissejuhatus.

Need metoodilised arendused on mõeldud tööstus- ja ehitusteaduskonna üliõpilastele. Need koostati seoses matemaatika kursuse programmiga jaotises “Ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus”.

Arengud kujutavad endast ühtset metoodilist juhendit, mis sisaldab: lühike teoreetiline teave; “standardsed” ülesanded ja harjutused koos üksikasjalike lahenduste ja nende lahenduste selgitustega; testivalikud.

Iga lõigu lõpus on lisaharjutused. Selline arenduste struktuur muudab need sobivad iseseisvaks lõigu valdamiseks minimaalse õpetaja abiga.

§1. Tuletise definitsioon.

Mehaaniline ja geomeetriline tähendus

tuletis.

Tuletise mõiste on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid, mis tekkis juba 17. sajandil. Tuletise mõiste kujunemist seostatakse ajalooliselt kahe probleemiga: vahelduva liikumise kiiruse probleem ja kõvera puutuja probleem.

Need ülesanded, vaatamata nende erinevale sisule, viivad samasuguse matemaatilise tehteni, mis tuleb mingi funktsiooniga sooritada.See tehe on saanud matemaatikas erinimetuse. Seda nimetatakse funktsiooni diferentseerimise operatsiooniks. Diferentseerimisoperatsiooni tulemust nimetatakse tuletiseks.

Seega on funktsiooni y=f(x) tuletis punktis x0 funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir (kui see on olemas)
juures
.

Tuletis on tavaliselt tähistatud järgmiselt:
.

Seega definitsiooni järgi

Sümboleid kasutatakse ka tuletiste tähistamiseks
.

Tuletise mehaaniline tähendus.

Kui s=s(t) on materiaalse punkti sirgjoonelise liikumise seadus, siis
on selle punkti kiirus ajahetkel t.

Tuletise geomeetriline tähendus.

Kui funktsioonil y=f(x) on punktis tuletis , siis funktsiooni graafiku puutuja nurgakordaja punktis
võrdub
.

Näide.

Leia funktsiooni tuletis
punktis =2:

1) Anname sellele punkti =2 juurdekasvu
. Märka seda.

2) Leia funktsiooni juurdekasv punktis =2:

3) Loome funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhte:

Leiame suhte piiri at
:

.

Seega
.

§ 2. Mõnede tuletised

lihtsamaid funktsioone.

Õpilane peab õppima arvutama konkreetsete funktsioonide tuletisi: y=x,y= ja üldiselt = .

Leiame funktsiooni y=x tuletise.

need. (x)′=1.

Leiame funktsiooni tuletise

Tuletis

Lase
Siis

Võimsusfunktsiooni tuletisi avaldistes on lihtne märgata mustrit
kus n = 1,2,3.

Seega

. (1)

See valem kehtib mis tahes reaalse n jaoks.

Täpsemalt, kasutades valemit (1), saame:

;

.

Näide.

Leia funktsiooni tuletis

.

.

See funktsioon on vormi funktsiooni erijuht

juures
.

Kasutades valemit (1), saame

.

Funktsioonide y=sin x ja y=cos x tuletised.

Olgu y=sinx.

Jagame ∆x-ga, saame

Minnes piirini ∆x→0, saame

Olgu y=cosx.

Minnes piirini ∆x→0, saame

;
. (2)

§3. Eristamise põhireeglid.

Vaatleme eristamise reegleid.

Teoreem1 . Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) on antud punktis x diferentseeruvad, siis selles punktis on diferentseeruv ka nende summa ning summa tuletis on võrdne liikmete tuletiste summaga : (u+v)"=u"+v".(3)

Tõestus: vaatleme funktsiooni y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumendi x juurdekasv ∆x vastab funktsioonide u ja v juurdekasvudele ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Siis funktsioon y suureneb

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Seega

Niisiis, (u+v)"=u"+v".

Teoreem2. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) on antud punktis x diferentseeruvad, siis on ka nende korrutis samas punktis diferentseeruv Sel juhul leitakse korrutise tuletis järgmise valemiga: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Tõestus: Olgu y=uv, kus u ja v on mõned x-i diferentseeruvad funktsioonid. Anname x-i juurdekasvu ∆x, siis u saab juurdekasvu ∆u, v saab juurdekasvu ∆v ja y saab juurdekasvu ∆y.

Meil on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), või

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Seetõttu ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siit

Minnes piirväärtusele ∆x→0 ja võttes arvesse, et u ja v ei sõltu ∆x-st, saame

3. teoreem. Kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille nimetaja on võrdne jagaja ruuduga ja lugeja on dividendi jagaja tuletise ja funktsiooni korrutise vahe. dividend jagaja tuletisega, s.o.

Kui
See
(5)

4. teoreem. Konstandi tuletis on null, s.t. kui y=C, kus C=const, siis y"=0.

5. teoreem. Konstantteguri võib tuletise märgist välja võtta, s.t. kui y=Cu(x), kus С=const, siis y"=Cu"(x).

Näide 1.

Leia funktsiooni tuletis

.

Sellel funktsioonil on vorm
, kus u=x,v=cosx. Diferentseerimisreeglit (4) rakendades leiame

.

Näide 2.

Leia funktsiooni tuletis

.

Rakendame valemit (5).

Siin
;
.

Ülesanded.

Leidke järgmiste funktsioonide tuletised:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Looge suhe ja arvutage piir.

Kust see tuli? tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel? Tänu ainsale piirile. See näib olevat maagia, kuid tegelikkuses on see salakavalus ja ei mingit pettust. Õppetunnis Mis on tuletis? Hakkasin vaatama konkreetseid näiteid, kus definitsiooni kasutades leidsin lineaar- ja ruutfunktsiooni tuletised. Kognitiivse soojenduse eesmärgil jätkame häirimist tuletisinstrumentide tabel, lihvides algoritmi ja tehnilisi lahendusi:

Näide 1

Sisuliselt peate tõestama astmefunktsiooni tuletise erijuhtumit, mis tavaliselt kuvatakse tabelis: .

Lahendus tehniliselt vormistatud kahel viisil. Alustame esimese, juba tuttava lähenemisega: redel algab plangiga ja tuletisfunktsioon algab punktis tuletisega.

Mõelgem mõned(konkreetne) punkt kuuluv määratluspiirkond funktsioon, milles on tuletis. Määrame siinkohal juurdekasvu (muidugi ulatuse piireso/o - mina) ja koostage funktsiooni vastav samm:

Arvutame limiidi:

Ebakindlus 0:0 kõrvaldatakse standardtehnikaga, mida peetakse tagasi esimesel sajandil eKr. Korrutage lugeja ja nimetaja konjugaadi avaldisega :

Sellise piiri lahendamise tehnikat käsitletakse üksikasjalikult sissejuhatavas tunnis. funktsioonide piiride kohta.

Kuna kvaliteediks saate valida MIS TAHES intervalli punkti, siis pärast asendamist saame:

Vastus

Rõõmustagem veel kord logaritmide üle:

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis tuletise definitsiooni abil

Lahendus: Vaatame sama ülesande edendamiseks teistsugust lähenemist. See on täpselt sama, kuid disaini poolest ratsionaalsem. Idee on lahenduse alguses olevast alamindeksist lahti saada ja kasutada tähe asemel tähte.

Mõelgem meelevaldne punkt, mis kuulub määratluspiirkond funktsioon (intervall) ja määrake selle juurdekasv. Kuid siin, muide, nagu enamikul juhtudel, saate teha ilma reservatsioonideta, kuna logaritmiline funktsioon on definitsioonipiirkonna mis tahes punktis diferentseeritav.

Siis on funktsiooni vastav juurdekasv:

Leiame tuletise:

Disaini lihtsust tasakaalustab segadus, mis võib algajatel (ja mitte ainult) tekkida. Oleme ju harjunud, et täht “X” limiidis muutub! Kuid siin on kõik teisiti: - antiikkuju ja - elav külaline, kes sammub reipalt mööda muuseumi koridori. See tähendab, et "x" on "nagu konstant".

Kommenteerin määramatuse kõrvaldamist samm-sammult:

(1) Kasutame logaritmi omadust .

(2) Sulgudes jagage lugeja nimetaja liikmega.

(3) Nimetajas me kunstlikult korrutame ja jagame x-ga, et seda ära kasutada tähelepanuväärne piir , samas kui as lõpmatult väike paistab silma.

Vastus: tuletise määratluse järgi:

Või lühidalt:

Teen ettepaneku ise koostada veel kaks tabelivalemit:

Näide 3

Sel juhul on mugav koostatud juurdekasvu koheselt ühise nimetajani taandada. Ülesande ligikaudne näidis tunni lõpus (esimene meetod).

Näide 3:Lahendus : kaaluge mõnda punkti , mis kuulub funktsiooni määratluspiirkonda . Määrame siinkohal juurdekasvu ja koostage funktsiooni vastav samm:

Leiame tuletise punktist :


Kuna kui a saate valida mis tahes punkti funktsiooni domeen , See Ja
Vastus : tuletise määratluse järgi

Näide 4

Leia tuletis definitsiooni järgi

Ja siin tuleb kõike taandada imeline piir. Lahendus vormistatakse teisel viisil.

Hulk muid tabelituletised. Täieliku nimekirja leiab kooliõpikust või näiteks Fichtenholtzi 1. köitest. Ma ei näe erilist mõtet diferentseerimisreeglite tõendite kopeerimisel raamatutest – need genereeritakse samuti valemiga.

Näide 4:Lahendus , mis kuulub ja määrake selle juurdekasv

Leiame tuletise:

Kasutades imelist piiri

Vastus : a-prioor

Näide 5

Leia funktsiooni tuletis , kasutades tuletise määratlust

Lahendus: kasutame esimest kujundusstiili. Vaatleme mõnda punkti, mis kuulub , ja täpsustame argumendi juurdekasvu selles. Siis on funktsiooni vastav juurdekasv:

Võib-olla pole mõned lugejad veel täielikult mõistnud põhimõtet, mille järgi tuleb juurdekasvu teha. Võtke punkt (arv) ja leidke selles funktsiooni väärtus: , see tähendab funktsiooni selle asemel"X" tuleks asendada. Nüüd võtame ka väga konkreetse arvu ja asendame selle funktsiooniga selle asemel"iksa": . Paneme erinevuse kirja ja see on vajalik pane täielikult sulgudesse.

Kompileeritud funktsiooni juurdekasv Võib olla kasulik kohe lihtsustada. Milleks? Hõlbustada ja lühendada lahendust täiendava piirini.

Kasutame valemeid, avame sulud ja vähendame kõike, mida saab vähendada:

Kalkun on roogitud, praega pole probleeme:

Lõpuks:

Kuna saame väärtuseks valida mis tahes reaalarvu, teeme asendus ja saame .

Vastus: a-prioor.

Kontrollimiseks leiame tuletise kasutades diferentseerimisreeglid ja tabelid:

Õiget vastust on alati kasulik ja meeldiv ette teada, seega on parem pakutud funktsioon "kiirelt" eristada, kas mõtteliselt või mustandis, kohe lahenduse alguses.

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis tuletise definitsiooni järgi

See on näide, mille saate ise lahendada. Tulemus on ilmne:

Näide 6:Lahendus : kaaluge mõnda punkti , mis kuulub ja määrake selles sisalduva argumendi juurdekasv . Siis on funktsiooni vastav juurdekasv:


Arvutame tuletise:


Seega:
Sest nagu siis saate valida mis tahes reaalarvu Ja
Vastus : a-prioor.

Läheme tagasi stiili nr 2 juurde:

Näide 7

Uurime kohe, mis juhtuma peaks. Kõrval keeruliste funktsioonide diferentseerimise reegel:

Lahendus: vaatleme suvalist punkti, mis kuulub punktile , määrake sellele argumendi juurdekasv ja koostage funktsiooni juurdekasv:

Leiame tuletise:


(1) Kasutamine trigonomeetriline valem .

(2) Siinuse all avame sulud, koosinuse all esitame sarnased terminid.

(3) Siinuse all taandame liikmeid, koosinuse all jagame lugeja nimetaja liikmega.

(4) Siinuse veidruse tõttu võtame “miinuse” välja. Koosinuse all märgime, et termin .

(5) Kasutamiseks teostame nimetajas kunstlikku korrutamist esimene imeline piir. Seega on ebakindlus kõrvaldatud, teeme tulemuse korda.

Vastus: a-prioor

Nagu näete, seisneb vaadeldava probleemi põhiraskus limiidi enda keerukuses + pakendi kerges unikaalsuses. Praktikas kasutatakse mõlemat disainimeetodit, seega kirjeldan mõlemat lähenemist võimalikult üksikasjalikult. Need on samaväärsed, kuid minu subjektiivse mulje järgi on mannekeenidel soovitatavam jääda valiku 1 juurde, kus on “X-null”.

Näide 8

Definitsiooni kasutades leidke funktsiooni tuletis

Näide 8:Lahendus : kaaluge suvalist punkti , mis kuulub , määrame selle juurdekasvu ja koostage funktsiooni juurdekasv:

Leiame tuletise:

Kasutame trigonomeetrilist valemit ja esimene tähelepanuväärne piir:

Vastus : a-prioor

Vaatame probleemi haruldasemat versiooni:

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis punktis, kasutades tuletise definitsiooni.

Esiteks, mis peaks olema lõpptulemus? Number

Arvutame vastuse standardsel viisil:

Lahendus: selguse seisukohalt on see ülesanne palju lihtsam, kuna valem arvestab selle asemel konkreetset väärtust.

Määrame punkti juurdekasvu ja koostame vastava funktsiooni juurdekasvu:

Arvutame tuletise punktis:

Kasutame väga haruldast puutuja erinevuse valemit ja veel kord taandame lahenduse esimene imeline piir:

Vastus: tuletise määratluse järgi punktis.

Probleemi pole nii keeruline "üldiselt" lahendada - piisab, kui asendada või lihtsalt sõltuvalt disainimeetodist. Sel juhul on selge, et tulemus ei ole arv, vaid tuletatud funktsioon.

Näide 10

Definitsiooni kasutades leidke funktsiooni tuletis punktis (millest üks võib osutuda lõpmatuks), mida olen juba üldiselt kirjeldanud teoreetiline tund tuletise kohta.

Mõned tükkhaaval määratletud funktsioonid on samuti diferentseeritavad graafiku ristumispunktides, näiteks catdog on punktis ühine tuletis ja ühine puutuja (x-telg). Kõver, kuid eristatav ! Huvilised saavad selles äsja lahendatud näite abil ise veenduda.

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-06-11

Vene Föderatsiooni haridusministeerium

“MATI” – VENEMAA RIIK

nime saanud TEHNOLOOGIAÜLIKOOL. K. E. TSIOLKOVSKI

Kõrgema matemaatika osakond

Kursuse ülesannete valikud

Kursuse ülesande juhend

"Funktsioonide piirid. Tuletised"

Kulakova R.D.

Titarenko V.I.

Moskva 1999

annotatsioon

Kavandatavate juhiste eesmärk on aidata esmakursuslastel omandada teoreetilisi ja praktilisi materjale teemal "Matemaatiline analüüs".

Igas osas analüüsitakse pärast teoreetilist osa tüüpilisi probleeme.

Juhendis käsitletakse järgmisi teemasid: funktsioonide piirid, erinevates vormides antud funktsioonide eristamine, kõrgema järgu tuletised ja diferentsiaalid, L'Hopitali reegel, tuletise rakendamine geomeetria ja mehaanika probleemidele.

Materjali kinnistamiseks palutakse õpilastel sooritada kursused ülaltoodud teemadel.

Neid juhiseid saab kasutada kõigil teaduskondadel ja erialadel.

1. Funktsioonide piirid

Jadade ja funktsioonide piiride määramiseks kasutatakse mõnda tuntud tehnikat:

Kui teil on vaja leida piir

võib esialgu taandada ühiseks nimetajaks

Jagades liikmega, millel on maksimaalne aste, saame lugejas konstantse väärtuse ja nimetajas kõik 0-le kalduvad liikmed, see on

.

Seejärel asendades x=a, saame:
;

4.
, kui asendada x=0, saame
.

5. Kui aga on vaja leida ratsionaalse funktsiooni piir

, siis miinimumastmega liikmega jagades saame

; ja suunates x väärtuse 0, saame:

Kui piirid sisaldavad irratsionaalseid avaldisi, siis on ratsionaalse avaldise saamiseks vaja sisse viia uusi muutujaid või kanda irratsionaalsused nimetajalt lugejasse ja vastupidi.

6.
; Teeme muutuja muudatuse. Me asendame
, kell
, saame
.

7.
. Kui lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga, siis limiit ei muutu. Korrutage lugeja arvuga
ja jagage sama avaldisega, et piirmäär ei muutuks, ja korrutage nimetaja arvuga
ja jagada sama avaldisega. Siis saame:

Piiride määratlemiseks kasutatakse sageli järgmisi märkimisväärseid piiranguid:

; (1)

. (2)

8.
.

Sellise limiidi arvutamiseks vähendame selle 1. tähelepanuväärse piirini (1). Selleks korrutage ja jagage lugeja arvuga
, ja nimetaja on
, Siis.

9.
Selle piiri arvutamiseks vähendame selle teise märkimisväärse piirini. Selleks valime sulgudes olevast ratsionaalsest avaldisest terve osa ja esitame selle korraliku murdena. Seda tehakse juhtudel, kui
, Kus
, A
, Kus
;

, A
, siis lõpuks
. Siin kasutati pidevate funktsioonide koosseisu järjepidevust.

2. Tuletis

Funktsiooni tuletis
nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte lõplikuks piiriks, kui viimane kipub olema null:

, või
.

Geomeetriliselt on tuletis funktsiooni graafiku puutuja kalle
punktis x, see tähendab
.

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus punktis x.

Tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks.

Valemid põhifunktsioonide eristamiseks:

3. Eristamise põhireeglid

Lase siis:

7) Kui , siis see on
, Kus
Ja
on siis tuletised
(keerulise funktsiooni eristamise reegel).

4. Logaritmiline diferentseerimine

Kui teil on vaja leida Eq.
, siis saate:

a) logaritmi võrrandi mõlemad pooled

b) eristavad saadud võrdsuse mõlemad pooled, kus
x on olemas kompleksfunktsioon,

.

c) asendada selle avaldis x-iga

.

Näide:

5. Implitsiitsete funktsioonide eristamine

Olgu võrrand
määratleb x kaudse funktsioonina.

a) erista võrrandi mõlemad pooled x suhtes
, saame esimese astme võrrandi suhtes ;

b) saadud võrrandist, mille me väljendame .

Näide:
.

6. Antud funktsioonide diferentseerimine

parameetriliselt

Olgu funktsioon antud parameetriliste võrranditega
,

Siis
, või

Näide:

7. Tuletise rakendamine probleemidele

geomeetria ja mehaanika

Lase
Ja
, Kus - nurk, mille moodustab OX-telje positiivse suunaga kõvera puutuja abstsiss-punktis .

Kõvera puutuja võrrand
punktis
on kujul:

, Kus -tuletis juures
.

Kõvera normaal on puutujaga risti olev joon, mis läbib puutepunkti.

Normaalvõrrandil on vorm

.

Nurk kahe kõvera vahel
Ja
nende ristumiskohas
on nurk nende kõverate puutujate vahel punktis
. See nurk leitakse valemiga

.

8. Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid

Kui on funktsiooni tuletis
, siis tuletis nimetatakse teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse , või
, või .

Mis tahes järku tuletised defineeritakse sarnaselt: kolmandat järku tuletis
; n-ndat järku tuletis:

.

Kahe funktsiooni korrutise korral saate Leibnizi valemi abil saada mis tahes n-ndat järku tuletise:

9. Implitsiitse funktsiooni teine ​​tuletis

- võrrand määrab , x kaudse funktsioonina.

a) määratleda
;

b) erista x suhtes võrdsuse vasak ja parem pool
,

Lisaks funktsiooni eristamine
muutuja x järgi, pidage seda meeles x-il on funktsioon:

;

c) asendamine läbi
, saame:
jne.

10. Parameetriliselt määratud funktsioonide tuletised

Otsi
Kui
.

11. Esimese ja kõrgema järgu erinevused

Funktsiooni esimest järku diferentsiaal
nimetatakse põhiosaks, mis on argumendi suhtes lineaarne. Argumendi diferentsiaal on argumendi juurdekasv:
.

Funktsiooni diferentsiaal on võrdne selle tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutisega:

.

Diferentsiaali põhiomadused:

Kus
.

Kui juurdekasv
argument on absoluutväärtuses väike
Ja.

Seega saab funktsiooni diferentsiaali kasutada ligikaudsete arvutuste tegemiseks.

Funktsiooni teist järku diferentsiaal
nimetatakse esimest järku diferentsiaaliks:
.

Samamoodi:
.

.

Kui
Ja on sõltumatu muutuja, siis arvutatakse valemite abil kõrgemat järku erinevused

Leia funktsiooni esimest ja teist järku diferentsiaalid

12. Piirmäärade arvutamine L'Hopitali reegli abil

Kõik ülaltoodud piirid ei kasutanud diferentsiaalarvutuse aparaati. Kui aga on vaja leida

ja kell
mõlemad funktsioonid on lõpmata väikesed või mõlemad on lõpmata suured, siis ei ole nende suhe punktis määratletud
ja seepärast esindab määramatuse tüüpi või vastavalt. Kuna see on suhe ühel hetkel
võib olla piiratud või lõpmatu piir, siis selle piiri leidmist nimetatakse määramatuse avalikustamiseks (L'Hopital Bernouli reegel),

ja kehtib järgmine võrdsus:

, Kui
Ja
.

=
.

Sarnane reegel kehtib ka siis, kui
Ja
, st.
.

=

=
.

L'Hopitali reegel võimaldab lahendada ka seda tüüpi ebamäärasusi
Ja
. Arvutada
, Kus
- lõpmatult väike ja
- lõpmatult suur kell
(tüübi määramatuse avalikustamine
) tuleks toode vormile teisendada

(tüübi määramatus) või liikide kaupa (tüübi määramatus ) ja seejärel kasutage Lapitali reeglit.

Arvutada
, Kus
Ja
- lõpmatult suur kell
(tüübi määramatuse avalikustamine
) erinevus tuleks teisendada vormile
, siis paljastage ebakindlus tüüp . Kui
, See
.

Kui
, siis saame tüübi määramatuse (
), mis selgub sarnaselt näitele 12).

Sest
, siis saame tüübi määramatuse
ja siis meil on

.

L'Hopitali reeglit saab kasutada ka seda tüüpi määramatuste lahendamiseks
. Nendel juhtudel peame silmas avaldise piiri arvutamist
, Kus
millal
on lõpmatult väike, juhul
- lõpmatult suur ja korpuses
- funktsioon, mille piir on võrdne ühtsusega.

Funktsioon
kahel esimesel juhul on tegemist lõpmatult väikese funktsiooniga ja viimasel juhul lõpmata suure funktsiooniga.

Enne selliste avaldiste piiri otsimist võetakse need logaritmiliselt, s.t. Kui
, See
, siis leidke piir
ja seejärel leidke piir . Kõigil ülaltoodud juhtudel
on tüüpiline ebakindlus
, mis avatakse sarnaselt näitele 12).

5.

(kasuta L'Hopitali reeglit)=

=
.

Selles piiride korrutis on esimene tegur võrdne 1-ga, teine ​​tegur on esimene tähelepanuväärne piir ja see on samuti võrdne 1-ga ning viimane tegur kipub olema 0, seega:

ja siis
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

KURSUSETÖÖ SISALDAB 21 ÜLESANNE.

nr 1-4 – Funktsioonide piiride arvutamine;

Nr 5-10 – Leia funktsioonide tuletised;

Nr 11 – Leia esimene tuletis;

#12 – arvuta parameetrilisel kujul määratud funktsioon;

# 13 – leidke d 2 y;

#14 – leidke y ( n ) ;

Nr 15 – Loo võrrand punktis kõvera normaal- ja puutuja jaoks x 0 ;

Nr 16 – Arvutage funktsiooni väärtus ligikaudu diferentsiaali abil;

#17 – leidke
;

#18 – leidke ;

#19 – leidke ;

Nr 20-21 – Arvutage piirmäär L'Hopitali reegli abil.

valik 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Arvutage tuletis

№5.
.

Mis on tuletis?
Tuletisfunktsiooni definitsioon ja tähendus

Paljusid üllatab selle artikli ootamatu paigutus minu autori kursusel ühe muutuja funktsiooni tuletise ja selle rakenduste kohta. Lõppude lõpuks, nagu see on olnud kooliajast: standardõpik annab ennekõike tuletise definitsiooni, selle geomeetrilise, mehaanilise tähenduse. Järgmisena leiavad õpilased funktsioonide tuletised definitsiooni järgi ja alles siis täiustavad nad diferentseerimistehnikat kasutades tuletis tabelid.

Aga minu seisukohalt on järgmine lähenemine pragmaatilisem: esiteks on soovitatav HÄSTI MÕISTA funktsiooni piir ja eriti lõpmatult väikesed kogused. Fakt on see, et tuletise definitsioon põhineb limiidi mõistel, mida koolikursuses vähe arvestatakse. Seetõttu ei mõista märkimisväärne osa teadmiste graniidi noortest tarbijatest tuletise olemust. Seega, kui teil on diferentsiaalarvutusest vähe aru või tark aju on sellest pagasist paljude aastate jooksul edukalt lahti saanud, alustage funktsioonide piirangud. Samal ajal meisterdage/jätke meelde nende lahendus.

Seesama praktiline meel ütleb, et see on kõigepealt kasulik õppige leidma tuletisi, kaasa arvatud keeruliste funktsioonide tuletised. Teooria on teooria, aga nagu öeldakse, tahad alati eristada. Sellega seoses on parem läbida loetletud põhitunnid ja võib-olla diferentseerimise meister mõistmata isegi oma tegude olemust.

Soovitan pärast artikli lugemist alustada selle lehe materjalidega. Lihtsamad ülesanded tuletisinstrumentidega, kus käsitletakse eelkõige funktsiooni graafiku puutuja probleemi. Aga sa võid oodata. Fakt on see, et paljud tuletise rakendused ei nõua selle mõistmist ja pole üllatav, et teoreetiline tund ilmus üsna hilja - kui mul oli vaja selgitada suurenevate/kahanevate intervallide ja äärmuste leidmine funktsioonid. Pealegi oli ta teemal päris kaua. Funktsioonid ja graafikud”, kuni lõpuks otsustasin selle varem panna.

Seetõttu, kallid teekannud, ärge kiirustage tuletise olemust imema nagu näljased loomad, sest küllastus on maitsetu ja puudulik.

Funktsiooni suurenemise, kahanemise, maksimumi, miinimumi mõiste

Paljud õpikud tutvustavad tuletiste mõistet mõne praktilise ülesande toel ja tõin ka ühe huvitava näite. Kujutage ette, et me reisime linna, kuhu on võimalik jõuda erineval viisil. Heidame kohe kõrvale kõverad käänulised teed ja arvestame ainult sirgeid kiirteid. Kuid ka sirgjoonelised suunad on erinevad: linna pääseb mööda lauget kiirteed. Või mööda künklikku kiirteed – üles-alla, üles-alla. Teine tee läheb ainult ülesmäge ja teine ​​kogu aeg allamäge. Äärmuslikud entusiastid valivad marsruudi läbi järsu kalju ja järsu tõusuga kuru.

Kuid olenemata teie eelistustest on soovitatav piirkonda tunda või vähemalt omada selle topograafilist kaarti. Mis siis, kui selline teave puudub? Saab ju valida näiteks sileda tee, aga selle tulemusena komistada rõõmsate soomlastega suusanõlvale. Pole tõsi, et navigaator või isegi satelliidipilt annab usaldusväärseid andmeid. Seetõttu oleks tore raja reljeef vormistada matemaatika abil.

Vaatame mõnda teed (külgvaade):

Igaks juhuks tuletan meelde elementaarset tõsiasja: reisimist juhtub vasakult paremale. Lihtsuse huvides eeldame, et funktsioon pidev vaadeldavas piirkonnas.

Millised on selle graafiku omadused?

Intervallidega funktsiooni suureneb, st selle iga järgmine väärtus rohkem eelmine. Jämedalt öeldes on ajakava paigas alla üles(ronime mäkke). Ja intervallil funktsioon väheneb– iga järgmine väärtus vähem eelmine ja meie ajakava on käimas ülevalt alla(läheme nõlvast alla).

Pöörame tähelepanu ka eripunktidele. Punktis, kuhu jõuame maksimaalselt, see on on olemas selline teelõik, kus väärtus on suurim (kõrgeim). Samal hetkel saavutatakse see miinimum, Ja on olemas selle naabruskond, kus väärtus on väikseim (madalaim).

Vaatleme klassis rangemat terminoloogiat ja määratlusi. funktsiooni äärmuste kohta, kuid praegu uurime veel ühte olulist funktsiooni: intervallidega funktsioon suureneb, kuid see suureneb erinevatel kiirustel. Ja esimene asi, mis teile silma hakkab, on see, et graafik tõuseb intervalli jooksul palju lahedam, kui intervallil . Kas tee järsust on võimalik mõõta matemaatiliste vahenditega?

Funktsiooni muutumise kiirus

Idee on järgmine: võtame mingi väärtuse (loe "delta x"), mida me kutsume argumentide juurdekasv, ja hakkame seda proovima oma tee erinevates punktides:

1) Vaatame kõige vasakpoolsemat punkti: distantsi läbides ronime nõlval kõrgusele (roheline joon). Kogust nimetatakse funktsiooni juurdekasv, ja sel juhul on see juurdekasv positiivne (väärtuste erinevus piki telge on suurem kui null). Loome suhte, mis mõõdab meie tee järsust. Ilmselgelt on see väga konkreetne arv ja kuna mõlemad juurdekasvud on positiivsed, siis .

Tähelepanu! Nimetused on ÜKS sümbolit, see tähendab, et te ei saa "X"-st "deltat" maha rebida ja neid tähti eraldi käsitleda. Loomulikult puudutab kommentaar ka funktsiooni juurdekasvu sümbolit.

Uurime saadud murdosa olemust sisukamalt. Olgem esialgu 20 meetri kõrgusel (vasakul mustas punktis). Pärast meetrite vahemaa läbimist (vasak punane joon) leiame end 60 meetri kõrguselt. Siis on funktsiooni juurdekasv meetrit (roheline joon) ja: . Seega igal meetril sellel teelõigul kõrgus suureneb keskmine 4 meetri võrra...unustasid oma ronimisvarustuse? =) Teisisõnu, konstrueeritud seos iseloomustab funktsiooni KESKMISE MUUTUMIST (antud juhul kasvu).

Märge : Kõnealuse näite arvväärtused vastavad ainult ligikaudselt joonise proportsioonidele.

2) Nüüd läheme sama kaugele kõige parempoolsemast mustast punktist. Siin on tõus astmelisem, seega on juurdekasv (karmiinpunane joon) suhteliselt väike ja suhe võrreldes eelmise juhtumiga on väga tagasihoidlik. Suhteliselt öeldes meetrit ja funktsiooni kasvukiirus on . See tähendab, et siin on tee iga meetri kohta keskmine pool meetrit tõusu.

3) Väike seiklus mäeküljel. Vaatame ülemist musta punkti, mis asub ordinaatteljel. Oletame, et see on 50 meetri märk. Ületame taas distantsi, mille tulemusena leiame end madalamalt - 30 meetri tasemelt. Kuna liikumine viiakse läbi ülevalt alla(telje "vastupidises" suunas), siis finaal funktsiooni juurdekasv (kõrgus) on negatiivne: meetrit (joonisel pruun segment). Ja sel juhul me juba räägime vähenemise kiirus Funktsioonid: , see tähendab, et selle lõigu teekonna iga meetri kohta väheneb kõrgus keskmine 2 meetri võrra. Hoolitse oma riiete eest viiendas punktis.

Nüüd esitame endale küsimuse: millist “mõõtestandardi” väärtust on kõige parem kasutada? See on täiesti arusaadav, 10 meetrit on väga karm. Neile mahub kergesti peale kümmekond hummocki. Olenemata konarustest, all võib olla sügav kuristik ja mõne meetri pärast on selle teine ​​külg veelgi järsu tõusuga. Seega ei saa me kümnemeetrisega selliste teelõikude kohta arusaadavat kirjeldust läbi suhte .

Ülaltoodud arutelust järeldub järgmine järeldus: seda väiksem väärtus, seda täpsemalt kirjeldame tee topograafiat. Lisaks on tõesed järgmised faktid:

– Kellelegi tõstepunktid saate valida väärtuse (isegi kui see on väga väike), mis mahub konkreetse tõusu piiridesse. See tähendab, et vastav kõrguse juurdekasv on garanteeritud positiivne ja ebavõrdsus näitab õigesti funktsiooni kasvu nende intervallide igas punktis.

- Samamoodi, iga kaldepunkt on väärtus, mis sobib sellele kaldele täielikult. Järelikult on vastav kõrguse kasv selgelt negatiivne ja ebavõrdsus näitab õigesti funktsiooni vähenemist antud intervalli igas punktis.

– Eriti huvitav on juhtum, kui funktsiooni muutumise kiirus on null: . Esiteks on nullkõrguse juurdekasv () märk sujuvast teest. Ja teiseks on ka teisi huvitavaid olukordi, mille näiteid näete joonisel. Kujutage ette, et saatus on toonud meid mäe tippu, kus kotkasid lendlevad, või oru põhja, kus on krooksuvad konnad. Kui teha väike samm suvalises suunas, on kõrguse muutus tühine ja võime öelda, et funktsiooni muutumise kiirus on tegelikult null. Täpselt sellist pilti vaadeldi punktides.

Seega oleme jõudnud hämmastava võimaluseni funktsiooni muutumise kiirust suurepäraselt täpselt iseloomustada. Matemaatiline analüüs võimaldab ju suunata argumendi juurdekasvu nulli: st muuta see lõpmatult väike.

Selle tulemusena tekib veel üks loogiline küsimus: kas tee ja selle ajakava jaoks on võimalik leida teine ​​funktsioon, mis annaks meile teada kõigi tasaste lõikude, tõusude, laskumiste, tippude, orgude ja ka kasvu/languse kiiruse kohta igas teekonna punktis?

Mis on tuletis? Tuletise definitsioon.
Tuletise ja diferentsiaali geomeetriline tähendus

Lugege hoolikalt ja mitte liiga kiiresti – materjal on lihtne ja kõigile kättesaadav! Pole hullu, kui mõnes kohas ei tundu midagi väga selget, võite alati hiljem artikli juurde naasta. Ütlen veel, kõigi punktide põhjalikuks mõistmiseks on kasulik teooriat mitu korda uurida (nõuanne on eriti oluline "tehniliste" õpilaste jaoks, kelle jaoks on kõrgmatemaatika õppeprotsessis oluline roll).

Loomulikult asendame tuletise definitsioonis selle punktis järgmisega:

Milleni me oleme jõudnud? Ja jõudsime järeldusele, et seadusejärgse funktsiooni jaoks pannakse vastavusse muu funktsioon, mida nimetatakse tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis).

Tuletis iseloomustab muutuse kiirus funktsioonid Kuidas? Idee jookseb punase niidina artikli algusest peale. Mõelgem mõnele punktile määratluspiirkond funktsioonid Olgu funktsioon antud punktis diferentseeruv. Seejärel:

1) Kui , siis funktsioon suureneb punktis . Ja ilmselgelt on olemas intervall(isegi väga väike), mis sisaldab punkti, kus funktsioon kasvab, ja selle graafik läheb "alt üles".

2) Kui , siis funktsioon väheneb punktis . Ja seal on intervall, mis sisaldab punkti, kus funktsioon väheneb (graafik läheb "ülevalt alla").

3) Kui , siis lõpmatult lähedal punkti lähedal hoiab funktsioon oma kiirust konstantsena. See juhtub, nagu märgitud, püsiva funktsiooni ja funktsiooni kriitilistes punktides, eriti miinimum- ja maksimumpunktides.

Natuke semantikat. Mida tähendab tegusõna "erituma" laiemas tähenduses? Eristada tähendab tunnuse esiletõstmist. Funktsiooni eristamisega “isoleerime” selle muutumise kiiruse funktsiooni tuletise kujul. Mida, muide, tähendab sõna "tuletis"? Funktsioon juhtus funktsioonist.

Mõisteid tõlgendab väga edukalt tuletise mehaaniline tähendus :
Vaatleme keha koordinaatide muutumise seadust olenevalt ajast ja antud keha liikumiskiiruse funktsiooni. Funktsioon iseloomustab keha koordinaatide muutumise kiirust, seetõttu on see funktsiooni esimene tuletis aja suhtes: . Kui mõistet “keha liikumine” looduses ei eksisteeriks, siis seda ei oleks tuletis mõiste "keha kiirus".

Keha kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega: . Kui algseid mõisteid “keha liikumine” ja “keha kiirus” looduses ei eksisteeriks, siis poleks neid olemaski tuletis mõiste "keha kiirendus".

Koordinaatide tasapinnal xOy vaatleme funktsiooni graafikut y=f(x). Teeme asja paika M(x 0 ; f (x 0)). Lisame abstsissi x 0 juurdekasv Δx. Saame uue abstsissi x 0 +Δx. See on punkti abstsiss N, ja ordinaat on võrdne f (x 0 + Δx). Abstsisselja muutus tõi endaga kaasa ka ordinaate muutuse. Seda muutust nimetatakse funktsiooni juurdekasvuks ja see on tähistatud Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Läbi punktide M Ja N joonistame sekanti MN, mis moodustab nurga φ positiivse telje suunaga Oh. Määrame nurga puutuja φ täisnurksest kolmnurgast MPN.

Lase Δx kipub nulli. Siis sekant MN kipub võtma puutujapositsiooni MT ja nurk φ muutub nurgaks α . Niisiis, nurga puutuja α on nurga puutuja piirväärtus φ :

Funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, kui viimane kipub olema null, nimetatakse funktsiooni tuletiseks antud punktis:

Tuletise geomeetriline tähendus seisneb selles, et funktsiooni arvuline tuletis antud punktis võrdub nurga puutujaga, mille moodustab läbi selle punkti tõmmatud puutuja antud kõverale ja telje positiivsele suunale Oh:

Näited.

1. Leia argumendi juurdekasv ja funktsiooni y= juurdekasv x 2, kui argumendi algväärtus oli võrdne 4 ja uus - 4,01 .

Lahendus.

Uus argumendi väärtus x=x 0 +Δx. Asendame andmed: 4.01=4+Δх, siit ka argumendi juurdekasv Δx=4,01-4 = 0,01. Funktsiooni juurdekasv on definitsiooni järgi võrdne funktsiooni uue ja eelmiste väärtuste erinevusega, st. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kuna meil on funktsioon y=x2, See Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastus: argumentide juurdekasv Δx=0,01; funktsiooni juurdekasv Δу=0,0801.

Funktsiooni juurdekasvu võib leida erinevalt: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Leia funktsiooni graafiku puutuja kaldenurk y=f(x) punktis x 0, Kui f "(x 0) = 1.

Lahendus.

Tuletise väärtus puutepunktis x 0 ja on puutuja nurga puutuja väärtus (tuletise geomeetriline tähendus). Meil on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sest tg45° = 1.

Vastus: selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab nurga Ox-telje positiivse suunaga 45°.

3. Tuletage funktsiooni tuletise valem y=xn.

Eristumine on funktsiooni tuletise leidmise toiming.

Tuletisi leidmisel kasutage valemeid, mis tuletati tuletise definitsiooni põhjal, samamoodi nagu tuletasime tuletise astme valemi: (x n)" = nx n-1.

Need on valemid.

Tuletisinstrumentide tabel Verbaalsete sõnastuste hääldamisel on seda lihtsam meelde jätta:

1. Konstantse suuruse tuletis on null.

2. X algarvu on võrdne ühega.

3. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta.

4. Astme tuletis on võrdne selle astme eksponendi korrutisega sama alusega astme võrra, kuid eksponent on ühe võrra väiksem.

5. Juure tuletis võrdub ühega, mis on jagatud kahe võrdse juurega.

6. Ühe jagatuna x-ga tuletis võrdub miinus üks jagatuna x-ga ruudus.

7. Siinuse tuletis on võrdne koosinusega.

8. Koosinuse tuletis on võrdne miinussiinusega.

9. Puutuja tuletis võrdub ühega, mis on jagatud koosinuse ruuduga.

10. Kootangensi tuletis on miinus üks jagatuna siinuse ruuduga.

Me õpetame diferentseerimisreeglid.

1. Algebralise summa tuletis on võrdne terminite tuletiste algebralise summaga.

2. Korrutise tuletis võrdub esimese ja teise teguri tuletise korrutisega pluss esimese teguri ja teise teguri tuletis.

3. Tuletis "y" jagatud "ve"-ga võrdub murdosaga, milles lugeja on "y algarvu korrutis "ve" miinus "y korrutatud ve-ga" ja nimetaja on "ve ruudus".

4. Valemi erijuhtum 3.

Õpime koos!

Lehekülg 1/1 1