Selles õppetükis käsitletakse ratsionaalarvude liitmist ja lahutamist. Teema on klassifitseeritud keeruliseks. Siin on vaja kasutada kogu varem omandatud teadmiste arsenali.
Täisarvude liitmise ja lahutamise reeglid kehtivad ka ratsionaalarvude puhul. Tuletame meelde, et ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada murdarvuna, kus a – see on murdosa lugeja, b on murdosa nimetaja. kus, b ei tohiks olla null.
Selles õppetükis kutsume üha enam murde ja seganumbreid ühe levinud fraasiga - ratsionaalsed arvud.
Tunni navigeerimine:Näide 1. Leidke väljendi tähendus:
Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud pluss on tehtemärk ja ei kehti murdosa kohta. Sellel murdel on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:
See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem moodul ja enne saadud vastust panna selle ratsionaalarvu märk, mille moodul on suurem. Ja selleks, et mõista, milline moodul on suurem ja milline väiksem, peate enne nende murdude arvutamist suutma võrrelda nende murdude mooduleid:
Ratsionaalarvu moodul on suurem kui ratsionaalarvu moodul. Seetõttu lahutasime . Saime vastuse. Seejärel, vähendades seda murdosa 2 võrra, saime lõpliku vastuse.
Mõned primitiivsed toimingud, nagu numbrite sulgudesse panemine ja moodulite lisamine, võib vahele jätta. Selle näite võib lühidalt kirjutada:
Näide 2. Leidke väljendi tähendus:
Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et ratsionaalarvude vahel seisev miinus on tehte märk ja ei kehti murdosa kohta. Sellel murdel on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:
Asendame lahutamise liitmisega. Tuletame teile meelde, et selleks peate lisama minuendile alajaotuse vastas oleva arvu:
Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Negatiivsete ratsionaalarvude lisamiseks peate lisama nende moodulid ja panema saadud vastuse ette miinuse:
Märge. Iga ratsionaalarvu pole vaja sulgudesse panna. Seda tehakse mugavuse huvides, et selgelt näha, millised märgid ratsionaalsetel numbritel on.
Näide 3. Leidke väljendi tähendus:
Selles avaldises on murdudel erinevad nimetajad. Ülesande lihtsustamiseks taandame need murded ühiseks nimetajaks. Me ei peatu üksikasjalikult, kuidas seda teha. Kui teil on raskusi, korrake kindlasti õppetundi.
Pärast murdude taandamist ühise nimetajani on avaldis järgmine:
See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Lahutame väiksema mooduli suuremast moodulist ja enne saadud vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:
Paneme selle näite lahenduse lühidalt kirja:
Näide 4. Leidke avaldise väärtus
Arvutame selle avaldise järgmiselt: lisame ratsionaalarvud ja lahutame saadud tulemusest ratsionaalarvu. 
Esimene tegevus:
Teine toiming:
Näide 5. Leidke väljendi tähendus:
Esitame täisarvu −1 murruna ja teisendame segaarvu valeks murdarvuks:
Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse:
Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame väiksema mooduli suuremast moodulist ja enne saadud vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:
Saime vastuse.
On ka teine lahendus. See seisneb tervete osade eraldi kokku panemises.
Niisiis, pöördume tagasi algse väljendi juurde:
Lisame iga numbri sulgudesse. Selleks on seganumber ajutine:
Arvutame täisarvulised osad:
(−1) + (+2) = 1
Põhiavaldisesse kirjutame (−1) + (+2) asemel saadud ühiku:
Saadud avaldis on . Selleks kirjutage ühik ja murd kokku:
Kirjutame lahenduse lühemalt nii:
Näide 6. Leidke avaldise väärtus
Teisendame segaarvu valeks murruks. Kirjutame ülejäänu muutmata ümber:
Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse:
Asendame lahutamise liitmisega:
Paneme selle näite lahenduse lühidalt kirja:
Näide 7. Leidke avaldise väärtus
Esitame täisarvu −5 murruna ja teisendame segaarvu valeks murdarvuks:
Toome need murrud ühise nimetaja juurde. Pärast nende ühiseks nimetajaks taandamist on neil järgmine vorm:
Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse:
Asendame lahutamise liitmisega:
Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:
Seega on avaldise väärtus .
Lahendame selle näite teisel viisil. Pöördume tagasi algse väljendi juurde:
Kirjutame segaarvu laiendatud kujul. Kirjutame ülejäänud ilma muudatusteta ümber:
Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:
Arvutame täisarvulised osad:
Põhiavaldises selle asemel, et kirjutada saadud arv −7
Väljend on segaarvu kirjutamise laiendatud vorm. Lõpliku vastuse saamiseks kirjutame arvu −7 ja murdosa kokku:
Kirjutame selle lahenduse lühidalt:
Näide 8. Leidke avaldise väärtus
Sulgudesse lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega:
Asendame lahutamise liitmisega:
Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:
Seega on avaldise väärtus
Seda näidet saab lahendada teisel viisil. See koosneb tervete ja murdosade eraldi lisamisest. Pöördume tagasi algse väljendi juurde:
Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse:
Asendame lahutamise liitmisega:
Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Liidame nende arvude moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse. Kuid seekord liidame terved osad (−1 ja −2), nii murdosa kui ka
Kirjutame selle lahenduse lühidalt:
Näide 9. Otsi väljendeid 
Teisendame segaarvud valedeks murdudeks:
Kirjutame ratsionaalarvu koos märgiga sulgudesse. Sulgudesse pole vaja ratsionaalset arvu panna, kuna see on juba sulgudes:
Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende numbrite moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:
Seega on avaldise väärtus
Proovime nüüd sama näidet lahendada teistmoodi, nimelt täis- ja murdosa eraldi lisamisega.
Lühilahenduse saamiseks proovime seekord mõned sammud vahele jätta, näiteks segaarvu kirjutamine laiendatud kujul ja lahutamise asendamine liitmisega:
Pange tähele, et murdosad on taandatud ühiseks nimetajaks.
Näide 10. Leidke avaldise väärtus 
Asendame lahutamise liitmisega:
Saadud avaldis ei sisalda negatiivseid numbreid, mis on vigade peamine põhjus. Ja kuna negatiivseid numbreid pole, saame eemaldada alamlahendi ees oleva plussi ja eemaldada ka sulud:
Tulemuseks on lihtne avaldis, mida on lihtne arvutada. Arvutame selle meile sobival viisil:
Näide 11. Leidke avaldise väärtus
See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Lahutame väiksema mooduli suuremast moodulist ja enne saadud vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:
Näide 12. Leidke avaldise väärtus 
Avaldis koosneb mitmest ratsionaalarvust. Vastavalt sellele peate kõigepealt tegema sulgudes olevad sammud.
Esiteks arvutame avaldise, seejärel liidame saadud tulemused.
Esimene tegevus:
Teine toiming:
Kolmas toiming:
Vastus: väljendi väärtus võrdub
Näide 13. Leidke avaldise väärtus 
Teisendame segaarvud valedeks murdudeks:
Paneme ratsionaalarvu koos märgiga sulgudesse. Ratsionaalarvu pole vaja sulgudesse panna, kuna see on juba sulgudes:
Toome need murrud ühise nimetaja juurde. Kui need on ühiseks nimetajaks taandatud, on neil järgmine vorm:
Asendame lahutamise liitmisega:
Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja enne saadud vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:
Seega väljendi tähendus võrdub
Vaatame kümnendkohtade liitmist ja lahutamist, mis on samuti ratsionaalsed arvud ja võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed.
Näide 14. Leia avaldise väärtus −3,2 + 4,3
Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud pluss on tehtemärk ja ei kehti kümnendmurru kohta 4.3. Sellel kümnendmurul on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:
(−3,2) + (+4,3)
See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem moodul ja enne saadud vastust panna ratsionaalarv, mille moodul on suurem. Ja selleks, et mõista, milline moodul on suurem ja milline väiksem, peate suutma nende kümnendmurdude mooduleid enne nende arvutamist võrrelda:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Arvu 4,3 moodul on suurem kui arvu −3,2 moodul, seega lahutasime 4,3-st 3,2. Saime vastuseks 1.1. Vastus on positiivne, kuna vastusele peab eelnema selle ratsionaalarvu märk, mille moodul on suurem. Ja arvu 4.3 moodul on suurem kui arvu −3.2 moodul
Seega on avaldise −3,2 + (+4,3) väärtus 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Näide 15. Leidke avaldise väärtus 3,5 + (−8,3)
See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Nagu eelmises näites, lahutame suuremast moodulist väiksema ja enne vastust paneme ratsionaalarvu märgi, mille moodul on suurem:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Seega on avaldise 3,5 + (−8,3) väärtus −4,8
Selle näite võib lühidalt kirjutada:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Näide 16. Leidke avaldise väärtus −7,2 + (−3,11)
See on negatiivsete ratsionaalarvude liitmine. Negatiivsete ratsionaalarvude lisamiseks tuleb lisada nende moodulid ja panna saadud vastuse ette miinus.
Moodulitega saate kirje vahele jätta, et väljendit mitte segada:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Seega on avaldise −7,2 + (−3,11) väärtus −10,31
Selle näite võib lühidalt kirjutada:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Näide 17. Leidke avaldise väärtus −0,48 + (−2,7)
See on negatiivsete ratsionaalarvude liitmine. Lisame nende moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse. Moodulitega saate kirje vahele jätta, et väljendit mitte segada:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Näide 18. Leia avaldise −4,9 − 5,9 väärtus
Lisame iga ratsionaalarvu koos selle märkidega sulgudesse. Arvestame, et miinus, mis asub ratsionaalarvude −4,9 ja 5,9 vahel, on tehtemärk ega kuulu arvu 5,9 hulka. Sellel ratsionaalsel arvul on oma plussmärk, mis on nähtamatu tänu sellele, et seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:
(−4,9) − (+5,9)
Asendame lahutamise liitmisega:
(−4,9) + (−5,9)
Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Lisame nende moodulid ja paneme saadud vastuse ette miinuse:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Seega on avaldise −4,9 − 5,9 väärtus −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Näide 19. Leia avaldise väärtus 7 − 9.3
Paneme iga numbri koos märkidega sulgudesse.
(+7) − (+9,3)
Asendame lahutamise liitmisega
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Seega on avaldise 7 − 9,3 väärtus −2,3
Paneme selle näite lahenduse lühidalt kirja:
7 − 9,3 = −2,3
Näide 20. Leidke avaldise väärtus −0,25 − (−1,2)
Asendame lahutamise liitmisega:
−0,25 + (+1,2)
Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja paneme vastuse ette selle arvu märgi, mille moodul on suurem:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Paneme selle näite lahenduse lühidalt kirja:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Näide 21. Leidke avaldise väärtus −3,5 + (4,1 − 7,1)
Teeme sulgudes olevad toimingud, seejärel lisame saadud vastuse numbriga −3,5
Esimene tegevus:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Teine toiming:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Vastus: avaldise −3,5 + (4,1 − 7,1) väärtus on −6,5.
Näide 22. Leidke avaldise väärtus (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Teeme sulgudes olevad sammud. Seejärel lahutage esimeste sulgude täitmise tulemusel saadud arvust arv, mis saadi teiste sulgude täitmise tulemusel:
Esimene tegevus:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Teine toiming:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Kolmas vaatus
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Vastus: avaldise (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) väärtus on 6.
Näide 23. Leidke avaldise väärtus −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Pangem iga ratsionaalne arv koos selle märkidega sulgudesse
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Väljend koosneb mitmest terminist. Kombinatoorse liitmise seaduse kohaselt, kui avaldis koosneb mitmest liikmest, siis summa ei sõltu tegevuste järjekorrast. See tähendab, et tingimusi saab lisada mis tahes järjekorras.
Ärme leiuta ratast, vaid lisame kõik terminid vasakult paremale nende ilmumise järjekorras:
Esimene tegevus:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Teine toiming:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Kolmas toiming:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Vastus: avaldise −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 väärtus on 1.
Näide 24. Leidke avaldise väärtus
Teisendame kümnendmurru −1,8 segaarvuks. Kirjutame ülejäänu muutmata ümber:
Joonistamine. Aritmeetilised tehted ratsionaalarvudega.
Tekst:
Ratsionaalarvudega tehte reeglid:
. samade märkidega numbrite liitmisel on vaja lisada nende moodulid ja panna nende ühine märk summa ette;
. kahe erineva märgiga arvu liitmisel lahutage suurema mooduliga arvust väiksema mooduliga arv ja pange saadud erinevuse ette suurema mooduliga arvu märk;
. Ühe arvu teisest lahutamisel peate lisama minuendile lahutatavale vastandarvu: a - b = a + (-b)
. kahe samade märkidega arvu korrutamisel korrutatakse nende moodulid ja saadud korrutise ette pannakse plussmärk;
. kahe erineva märgiga arvu korrutamisel korrutatakse nende moodulid ja asetatakse saadud korrutise ette miinusmärk;
. samade märkidega arvude jagamisel jagatakse dividendi moodul jagaja mooduliga ning saadud jagatise ette pannakse plussmärk;
. erinevate märkidega arvude jagamisel jagatakse dividendi moodul jagaja mooduliga ning saadud jagatise ette pannakse miinusmärk;
. Nulli jagamisel ja korrutamisel mis tahes arvuga, mis ei võrdu nulliga, on tulemus null:
. Nulliga jagada ei saa.
See artikkel annab ülevaate ratsionaalarvudega tehte omadused. Esiteks tehakse teatavaks põhiomadused, millel kõik muud omadused põhinevad. Pärast seda antakse veel mõned ratsionaalarvudega tehte sageli kasutatavad omadused.
Leheküljel navigeerimine.
Loetleme ratsionaalarvudega tehte põhiomadused(a, b ja c on suvalised ratsionaalarvud):
- Liitmise a+b=b+a kommutatiivne omadus.
- Liitumise (a+b)+c=a+(b+c) kombineeritud omadus .
- Neutraalse elemendi olemasolu liitmise teel - null, mille liitmine suvalise arvuga seda arvu ei muuda ehk a+0=a.
- Iga ratsionaalarvu a jaoks on vastandarv −a, nii et a+(−a)=0.
- Ratsionaalarvude korrutamise kommutatiivne omadus a·b=b·a.
- Korrutamise kombineeritud omadus (a·b)·c=a·(b·c) .
- Neutraalse elemendi olemasolu korrutamiseks on ühik, korrutamine, millega suvaline arv seda arvu ei muuda, st a·1=a.
- Iga nullist erineva ratsionaalarvu a jaoks on pöördarv a −1, nii et a·a −1 =1 .
- Lõpuks on ratsionaalarvude liitmine ja korrutamine seotud korrutamise jaotusomadusega liitmise suhtes: a·(b+c)=a·b+a·c.
Loetletud ratsionaalarvudega tehte omadused on põhilised, kuna neist saab saada kõik muud omadused.
Muud olulised omadused
Lisaks loetletud üheksale ratsionaalarvudega tehte põhiomadusele on veel hulk väga laialdaselt kasutatavaid omadusi. Anname neile lühikese ülevaate.
Alustame atribuudiga, mis on kirjutatud tähtedega as a·(−b)=−(a·b) või korrutamise as kommutatiivse omaduse tõttu (−a) b=−(a b). Sellest omadusest tuleneb otseselt ka ratsionaalsete arvude korrutamise reegel, mis on antud artiklis. See omadus selgitab reeglit "pluss korrutatud miinusega on miinus ja miinus korrutatud plussiga on miinus".
Siin on järgmine omadus: (−a)·(−b)=a·b. See eeldab negatiivsete ratsionaalarvude korrutamise reeglit. Sellest artiklist leiate ka ülaltoodud võrdsuse tõendi. See omadus vastab korrutusreeglile "miinus korda miinus on pluss".
Kahtlemata tasub keskenduda suvalise ratsionaalarvu a korrutamisele nulliga: a·0=0 või 0 a = 0. Tõestame seda omadust. Teame, et 0=d+(−d) iga ratsionaalse d korral, siis a·0=a·(d+(−d)) . Jaotuse omadus võimaldab saadud avaldise ümber kirjutada kujul a·d+a·(−d) ja kuna a·(−d)=−(a·d) , siis a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Nii jõudsime kahe vastandarvu summani, mis on võrdsed a·d ja −(a·d), nende summa annab nulli, mis tõestab võrdsust a·0=0.
On lihtne märgata, et eespool loetlesime ainult liitmise ja korrutamise omadused, samas kui lahutamise ja jagamise omadustest ei räägitud sõnagi. Selle põhjuseks on asjaolu, et ratsionaalarvude hulgal on lahutamise ja jagamise toimingud määratud liitmise ja korrutamise pöördväärtusena. See tähendab, et erinevus a−b on summa a+(−b) ja jagatis a:b on korrutis a·b−1 (b≠0).
Arvestades neid lahutamise ja jagamise definitsioone ning liitmise ja korrutamise põhiomadusi, saate ratsionaalarvudega tõestada mis tahes tehte omadusi.
Näitena tõestame korrutamise jaotuse omadust lahutamise suhtes: a·(b−c)=a·b−a·c. Kehtib järgmine võrdsuste ahel: a·(b-c)=a·(b+(-c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b–a·c, mis on tõend.
Autoriõigus nutikatele õpilastele
Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ühtegi www.saidi osa, sealhulgas sisemisi materjale ja välimust, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.