Olgu juhuslik valim genereeritud vaadeldava juhusliku suuruse ξ, matemaatilise ootuse ja dispersiooni abil mis on tundmatud. Nende tunnuste hinnanguna tehti ettepanek kasutada valimi keskmist

ja valimi dispersioon

. (3.14)

Vaatleme mõningaid matemaatilise ootuse ja dispersiooni hinnangute omadusi.

1. Arvutage valimi keskmise matemaatiline ootus:

Seetõttu on valimi keskmine erapooletu hindaja jaoks.

2. Tuletage meelde, et tulemused vaatlused on sõltumatud juhuslikud muutujad, millest igaühel on sama jaotusseadus kui väärtusel, mis tähendab , , . Eeldame, et dispersioon on lõplik. Siis, vastavalt Tšebõševi teoreemile suurte arvude seaduse kohta, kehtib iga ε > 0 korral võrdsus ,

mille saab kirjutada nii: . (3.16) Võrreldes (3.16) järjepidevuse omaduse (3.11) definitsiooniga näeme, et hinnang on matemaatilise ootuse järjepidev hinnang.

3. Leidke valimi keskmise dispersioon:

. (3.17)

Seega väheneb matemaatilise ootuse hinnangu dispersioon pöördvõrdeliselt valimi suurusega.

Saab tõestada, et kui juhuslik suurus ξ on normaalselt jaotatud, siis valimi keskmine on matemaatilise ootuse efektiivne hinnang, st dispersioon on väikseima väärtuse võrreldes mis tahes muu matemaatilise ootuse hinnanguga. Teiste jaotusseaduste ξ puhul ei pruugi see nii olla.

Valimi dispersioon on dispersiooni kallutatud hinnang, sest . (3.18)

Tõepoolest, kasutades matemaatilise ootuse ja valemi (3.17) omadusi, leiame

.

Dispersiooni erapooletu hinnangu saamiseks tuleb hinnangut (3.14) korrigeerida, st korrutada . Siis saame erapooletu valimi dispersiooni

. (3.19)

Pange tähele, et valemid (3.14) ja (3.19) erinevad ainult nimetaja poolest ning suurte väärtuste korral erinevad valimi ja erapooletud dispersioonid vähe. Väikese valimi korral tuleks siiski kasutada seost (3.19).

Juhusliku suuruse standardhälbe hindamiseks kasutatakse nn “korrigeeritud” standardhälvet, mis võrdub erapooletu dispersiooni ruutjuurega: .

Intervallide hinnangud

Statistikas on jaotuste tundmatute parameetrite hindamiseks kaks lähenemisviisi: punkt ja intervall. Vastavalt punktide hindamisele, millest oli juttu eelmises osas, näidatakse ainult punkt, mille ümber hinnanguline parameeter asub. Siiski on soovitav teada, kui kaugel see parameeter tegelikult olla võib hinnangute võimalikest realisatsioonidest erinevates vaatlussarjades.

Sellele küsimusele – ka ligikaudse – vastuse annab teine ​​parameetrite hindamise meetod – intervall. Selle hindamismeetodi kohaselt leitakse intervall, mis ühele lähedase tõenäosusega katab parameetri tundmatu arvväärtuse.

Intervallhinnangu mõiste

Punktide hinnang on juhuslik suurus ja võimalike näidisrakenduste jaoks võtab see väärtusi, mis on ligikaudu võrdsed parameetri tegeliku väärtusega. Mida väiksem on erinevus, seda täpsem on hinnang. Seega positiivne arv, mille puhul , iseloomustab hinnangu täpsust ja kutsutakse hinnanguviga (või piirviga).

Usalduse tõenäosus(või usaldusväärsus) nimetatakse tõenäosuseks β , millega ebavõrdsus realiseerub , st.

. (3.20)

Ebavõrdsuse asendamine samaväärne topelt ebavõrdsus , või , saame

Intervall , katab tõenäosusega β , , tundmatu parameeter, kutsutakse usaldusvahemik (või intervalli hinnang), vastav usaldustõenäosus β .

Juhuslik suurus pole mitte ainult hinnang, vaid ka viga: selle väärtus sõltub tõenäosusest β ja reeglina proovist. Seetõttu on usaldusvahemik juhuslik ja avaldist (3.21) tuleks lugeda järgmiselt: “Intervall katab parameetri tõenäosusega β ”, ja mitte nii: „Parameeter langeb tõenäoliselt intervalli β ”.

Usaldusvahemiku tähendus on see, et proovimahu kordamisel mitu korda suhtelises proportsioonis juhtudest võrdne β , usaldusvahemik, mis vastab usalduse tõenäosusele β , hõlmab hinnangulise parameetri tegelikku väärtust. Seega usalduse tõenäosus β iseloomustab usaldusväärsus usalduse hindamine: seda rohkem β , seda tõenäolisem on, et usaldusvahemiku rakendamine sisaldab tundmatut parameetrit.

Laske teha sõltumatud katsed juhusliku muutujaga, mille matemaatiline ootus ja dispersioon on teadmata, mis andis tulemused - . Arvutame parameetrite ja parameetrite jaoks järjepidevad ja erapooletud hinnangud.

Matemaatilise ootuse hinnanguks võtame katseväärtuste aritmeetilise keskmise

. (2.9.1)

Suurte arvude seaduse järgi on see hinnang jõukas , mille väärtus on tõenäosus. Sama hinnang on ka erapooletu , sest

. (2.9.2)

Selle hinnangu dispersioon on

. (2.9.3)

Võib näidata, et normaaljaotuse seaduse puhul on see hinnang tõhus . Teiste seaduste puhul ei pruugi see nii olla.

Hindame nüüd dispersiooni. Esmalt valime hindamiseks valemi statistiline dispersioon

. (2.9.4)

Kontrollime dispersioonihinnangu järjepidevust. Avame sulud valemis (2.9.4)

.

Kui esimene liige läheneb tõenäosuselt väärtusele , teises - kuni. Seega läheneb meie hinnang tõenäosuselt dispersioonile

,

järelikult ta on jõukas .

Kontrollime ümberasustamata hinnangud koguse kohta. Selleks asendame avaldise (2.9.1) valemiga (2.9.4) ja arvestame, et juhuslikud suurused sõltumatu

,

. (2.9.5)

Liigume valemis (2.9.5) juhuslike suuruste kõikumiste juurde

Avades sulgud, saame

,

. (2.9.6)

Arvutame seda arvesse võttes väärtuse matemaatilise ootuse (2.9.6).

. (2.9.7)

Seos (2.9.7) näitab, et valemi (2.9.4) abil arvutatud väärtus ei ole erapooletu hinnang hajutamiseks. Selle matemaatiline ootus ei ole võrdne, kuid mõnevõrra väiksem. Selline hinnang toob kaasa süstemaatilise vea allapoole. Sellise kallutatuse kõrvaldamiseks peate sisse viima paranduse, korrutades väärtuse . See korrigeeritud statistiline dispersioon võib seejärel olla dispersiooni erapooletu hindaja

. (2.9.8)

See hinnang on täpselt sama kehtiv kui hinnang, sest millal väärtus on .

Praktikas on hinnangu (2.9.8) asemel mõnikord mugavam kasutada teise esialgse statistilise hetkega seotud samaväärset hinnangut

. (2.9.9)

Hinnangud (2.9.8), (2.9.9) ei ole tõhusad. Saab näidata, et normaaljaotuse seaduse puhul need nii on asümptootiliselt tõhus (soovi korral kaldub minimaalsele võimalikule väärtusele).

Seega saab piiratud mahus statistilise materjali töötlemiseks sõnastada järgmised reeglid. Kui sõltumatutes katsetes võtab juhuslik suurus väärtused teadmata matemaatilise ootuse ja dispersiooniga, siis tuleks nende parameetrite määramiseks kasutada ligikaudseid hinnanguid

(2.9.10)

Töö lõpp -

See teema kuulub jaotisesse:

Loengukonspektid matemaatikas tõenäosusteooria matemaatiline statistika

Kõrgema matemaatika ja arvutiteaduse osakond.. Loengukonspekt.. matemaatikas..

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:

Säuts

Kõik selle jaotise teemad:

Tõenäosusteooria
Tõenäosusteooria on matemaatika haru, milles uuritakse juhuslike massinähtuste mustreid. Nähtust, mis on juhuslik, nimetatakse

Tõenäosuse statistiline määratlus
Sündmus on juhuslik nähtus, mis võib ilmneda või mitte ilmneda kogemuse tulemusena (mitmetähenduslik nähtus). Märkige sündmused suurte ladina tähtedega

Elementaarsete sündmuste ruum
Olgu mõne kogemusega seotud palju sündmusi ja: 1) kogemuse tulemusena ilmneb üks ja ainus asi

Sündmuste toimingud
Kahe sündmuse summa ja

Ümberkorraldused
Elementide erinevate permutatsioonide arv on tähistatud

Paigutused
Paigutades elemendid vastavalt

Kombinatsioonid
Elementide kombinatsioon

Valem ühildumatute sündmuste tõenäosuste lisamiseks
Teoreem. Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga. (1

Valem suvaliste sündmuste tõenäosuste lisamiseks
Teoreem. Kahe sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende korrutise tõenäosuseta.

Tõenäosuse korrutamise valem
Olgu kaks sündmust ja antakse. Mõelge sündmusele

Kogutõenäosuse valem
Olgu täielik rühm kokkusobimatuid sündmusi, mida nimetatakse hüpoteesideks. Mõelge mõnele sündmusele

Hüpoteesi tõenäosusvalem (Bayes)
Mõelgem uuesti – kokkusobimatute hüpoteeside ja sündmuse täielik rühm

Asümptootiline Poissoni valem
Juhtudel, kui testide arv on suur ja sündmuse toimumise tõenäosus

Juhuslikud diskreetsed kogused
Juhuslik suurus on suurus, mis katse kordamisel võib omandada ebavõrdseid arvväärtusi. Juhuslikku muutujat nimetatakse diskreetseks,

Juhuslikud pidevad muutujad
Kui juhuslik suurus võib katse tulemusel omandada mis tahes väärtuse teatud lõigust või kogu reaalteljelt, siis nimetatakse seda pidevaks. Seadus

Juhusliku pideva muutuja tõenäosustiheduse funktsioon
Las olla. Vaatleme punkti ja anname sellele juurdekasvu

Juhuslike suuruste arvulised karakteristikud
Juhuslikud diskreetsed või pidevad muutujad loetakse täielikult määratletuks, kui nende jaotusseadused on teada. Tegelikult saab jaotusseadusi teades alati välja arvutada tabamise tõenäosuse

Juhuslike muutujate kvantilid
Juhusliku pideva muutuja järgu kvantiil

Juhuslike muutujate matemaatiline ootus
Juhusliku suuruse matemaatiline ootus iseloomustab selle keskmist väärtust. Kõik juhusliku suuruse väärtused on rühmitatud selle väärtuse ümber. Vaatleme esmalt juhuslikku diskreetset muutujat

Juhuslike suuruste standardhälve ja dispersioon
Vaatleme esmalt juhuslikku diskreetset muutujat. Numbriliste karakteristikute režiim, mediaan, kvantilid ja matemaatiline ootus

Juhuslike muutujate hetked
Tõenäosusteoorias kasutatakse lisaks matemaatilisele ootusele ja dispersioonile kõrgema järgu arvulisi karakteristikuid, mida nimetatakse juhuslike suuruste momentideks.

Teoreemid juhuslike suuruste arvuliste tunnuste kohta
Teoreem 1. Mittejuhusliku väärtuse matemaatiline ootus on võrdne selle väärtuse endaga. Tõestus: lase

Binoomjaotuse seadus

Poissoni jaotamise seadus
Laske väärtused võtta juhuslikul diskreetsel muutujal

Ühtne jaotusseadus
Juhusliku pideva muutuja ühtne jaotuse seadus on tõenäosustihedusfunktsiooni seadus, mis

Normaaljaotuse seadus
Juhusliku pideva muutuja normaaljaotuse seadus on tihedusfunktsiooni seadus

Eksponentjaotuse seadus
Juhusliku suuruse eksponentsiaalset või eksponentsiaalset jaotust kasutatakse tõenäosusteooria sellistes rakendustes nagu järjekorrateooria, usaldusväärsuse teooria

Juhuslike suuruste süsteemid
Praktikas puututakse tõenäosusteooria rakendustes sageli kokku probleemidega, mille puhul katse tulemusi kirjeldatakse mitte ühe juhusliku muutujaga, vaid mitme juhusliku muutujaga korraga.

Kahe juhusliku diskreetse muutuja süsteem
Moodustagu kaks juhuslikku diskreetset muutujat süsteemi. Juhuslik väärtus

Kahe juhusliku pideva muutuja süsteem
Moodustagu nüüd süsteem kahe juhusliku pideva muutujaga. Selle süsteemi jaotusseadust nimetatakse tõenäoliselt

Jaotuse tingimuslikud seadused
Olgu sõltuvad juhuslikud pidevad suurused

Kahe juhusliku suuruse süsteemi arvkarakteristikud
Juhuslike muutujate süsteemi algne järjestusmoment

Mitme juhusliku suuruse süsteem
Kahe juhusliku suuruse süsteemi kohta saadud tulemusi saab üldistada suvalisest arvust juhuslikest suurustest koosnevate süsteemide puhul. Moodustagu süsteem hulgaga

Kahe juhusliku suuruse süsteemi normaaljaotuse seadus
Vaatleme kahe juhusliku pideva muutuja süsteemi. Selle süsteemi jaotusseadus on normaaljaotuse seadus

Tõenäosusteooria piirteoreemid
Tõenäosusteooria distsipliini põhieesmärk on uurida juhuslike massinähtuste mustreid. Praktika näitab, et homogeensete juhuslike nähtuste massi jälgimine paljastab

Tšebõševi ebavõrdsus
Vaatleme matemaatilise ootusega juhuslikku muutujat

Tšebõševi teoreem
Kui juhuslikud suurused on paaride kaupa sõltumatud ja neil on lõplikud, kollektiivselt piiratud dispersioonid

Bernoulli teoreem
Katsete arvu piiramatu suurenemise korral läheneb sündmuse esinemise sagedus tõenäosuselt sündmuse tõenäosusele

Keskpiiri teoreem
Juhuslike muutujate lisamisel mis tahes jaotusseadustega, kuid ühiselt piiratud dispersioonidega, jaotusseadus

Matemaatilise statistika põhiprobleemid
Eespool käsitletud tõenäosusteooria seadused esindavad reaalsete mustrite matemaatilist väljendust, mis tegelikult eksisteerivad erinevates juhuslikes massinähtustes. Õppimine

Lihtne statistiline üldkogum. Statistiline jaotusfunktsioon
Vaatleme mõnda juhuslikku muutujat, mille jaotusseadus on teadmata. Nõutav kogemuste põhjal

Statistilised seeriad. tulpdiagramm
Vaatluste suure hulga (suurusjärgus sadu) korral muutub populatsioon statistilise materjali salvestamisel ebamugavaks ja tülikaks. Selguse ja kompaktsuse huvides statistiline materjal

Statistilise jaotuse arvulised karakteristikud
Tõenäosusteoorias võeti arvesse juhuslike suuruste erinevaid arvulisi karakteristikuid: matemaatilist ootust, dispersiooni, erinevat järku alg- ja keskmomente. Sarnased numbrid

Teoreetilise jaotuse valik momentide meetodil
Igasugune statistiline jaotus sisaldab paratamatult piiratud arvu vaatlustega seotud juhuslikkuse elemente. Suure hulga vaatluste korral on need juhuslikkuse elemendid tasandatud,

Jaotusseaduse vormi kohta püstitatud hüpoteesi usutavuse kontrollimine
Olgu antud statistiline jaotus lähendatud mingi teoreetilise kõvera või

Nõusoleku kriteeriumid
Vaatleme üht kõige sagedamini kasutatavat sobivuse kriteeriumit – nn Pearsoni kriteeriumi. Arva ära

Tundmatute jaotusparameetrite punktihinnangud
Aastal lk. 2.1. – 2.7 uurisime üksikasjalikult, kuidas lahendada matemaatilise statistika esimene ja teine ​​põhiülesanne. Need on katseandmete põhjal juhuslike suuruste jaotusseaduste määramise probleemid

Usaldusvahemik. Usalduse tõenäosus
Praktikas on juhusliku muutujaga tehtud väikese arvu katsetega tundmatu parameetri ligikaudne asendamine

Olgu juhuslik suurus X ja selle parameetrid on matemaatiline ootus A ja dispersioon on teadmata. Väärtusega X viidi läbi N sõltumatut katset, mis andsid tulemused x 1, x 2, x n.

Arutluskäigu üldistust vähendamata loeme need juhusliku suuruse väärtused erinevateks. Väärtusi x 1, x 2, x n käsitleme sõltumatute, identselt jaotatud juhuslike muutujatena X 1, X 2, X n.

Lihtsaim statistilise hindamise meetod - asendus- ja analoogiameetod - seisneb valimi jaotuse vastava tunnuse - valimi tunnuse - võtmises üldkogumi ühe või teise arvtunnuse (keskmise, dispersiooni jne) hinnanguna. .

Asendusmeetodi kasutamine matemaatilise ootuse hinnanguna A peame võtma valimi jaotuse matemaatilise ootuse - valimi keskmise. Seega saame

Valimi erapooletuse ja järjepidevuse kontrollimiseks keskmise hinnanguna A, vaatleme seda statistikat valitud vektori (X 1, X 2, X n) funktsioonina. Võttes arvesse, et igal suurusel X 1, X 2, X n on sama jaotusseadus kui väärtusel X, järeldame, et nende suuruste ja väärtuse X arvnäitajad on samad: M(X i) = M(X) = a, D(X i) = D(X) = , i = 1, 2, n , kus X i on kollektiivselt sõltumatud juhuslikud muutujad.

Seega

Siit definitsiooni järgi saame, et see on erapooletu hinnang A, ja kuna n®¥ puhul D()®0, siis eelmise lõigu teoreemi järgi on matemaatilise ootuse järjekindel hinnang Aüldine elanikkond.

Hinnangu efektiivsus või ebaefektiivsus oleneb juhusliku suuruse X jaotusseaduse tüübist. Võib tõestada, et kui väärtus X on jaotatud normaalseaduse järgi, siis on hinnang efektiivne. Teiste levitamisseaduste puhul ei pruugi see nii olla.

Üldise dispersiooni erapooletu hinnang toimib korrigeeritud valimi dispersioonina

,

Sest , kus on üldine dispersioon. Tõesti,

Üldise dispersiooni hinnang s -- 2 kehtib samuti, kuid see ei ole efektiivne. Normaaljaotuse puhul on see aga “asümptootiliselt efektiivne”, st n-i kasvades läheneb selle dispersiooni suhe minimaalsesse võimalikku lõpmatult ühtsusele.

Seega, kui anda näidis jaotusest F( x) tundmatu matemaatilise ootusega juhuslik muutuja X A ja dispersioon, siis on meil nende parameetrite väärtuste arvutamiseks õigus kasutada järgmisi ligikaudseid valemeid:

a ,

.

Siin x-i- - diskreetimisvalik, n- i - - sagedusvalikud x i, - - näidissuurus.
Korrigeeritud valimi dispersiooni arvutamiseks on valem mugavam

.

Arvutamise lihtsustamiseks on soovitatav lülituda tingimusvalikutele (nagu on kasulik võtta originaalversioon, mis asub intervalli variatsiooni seeria keskel). Siis

, .

Intervallide hindamine

Eespool käsitlesime tundmatu parameetri hindamise küsimust Aüks number. Nimetame selliseid hinnanguid punkthinnanguks. Nende puuduseks on see, et väikese valimi korral võivad need hinnangulistest parameetritest oluliselt erineda. Seetõttu, et saada aimu parameetri ja selle hinnangu lähedusest, võetakse matemaatilises statistikas kasutusele nn intervallhinnangud.

Olgu parameetri q proovist leitud punkthinnang q *. Tavaliselt antakse uurijatele ette mingi piisavalt suur tõenäosus g (näiteks 0,95, 0,99 või 0,999), et sündmust tõenäosusega g saaks pidada praktiliselt usaldusväärseks, ning tõstatatakse küsimus sellise väärtuse leidmise kohta e > 0

.

Seda võrdsust muutes saame:

ja sel juhul ütleme, et intervall ]q * - e; q * + e[ katab hinnangulise parameetri q tõenäosusega g.

Intervall ]q * -e; q * +e [ kutsutakse usaldusvahemik .

Tõenäosust g nimetatakse usaldusväärsus intervallhinnangu (usaldustõenäosus).

Usaldusvahemiku otsad, s.o. nimetatakse punkte q * -e ja q * +e usalduse piirid .

Kutsutakse numbrit e hindamise täpsus .

Usalduspiiride määramise probleemi näitena vaatleme juhusliku suuruse X matemaatilise ootuse hindamise küsimust, millel on parameetritega normaaljaotuse seadus. A ja s, st. X = N( a, s). Matemaatiline ootus on sel juhul võrdne A. Vaatluste X 1, X 2, X n põhjal arvutame keskmise ja hindamine dispersioon s 2.

Selgub, et näidisandmetest on võimalik konstrueerida juhuslik suurus

millel on Studenti jaotus (või t-jaotus) n = n -1 vabadusastmega.

Kasutame tabelit A.1.3 ja leiame antud tõenäosuse g ja arvu n jaoks sellise arvu t g, et tõenäosus

P(|t(n)|< t g) = g,

.

Olles teinud ilmseid teisendusi, saame,

F-testi rakendamise protseduur on järgmine:

1. Eeldatakse, et rahvastiku jaotus on normaalne. Antud olulisuse tasemel a formuleeritakse nullhüpotees H 0: s x 2 = s y 2 normaalsete populatsioonide üldiste dispersioonide võrdsuse kohta konkureeriva hüpoteesi H 1: s x 2 > s y 2 alusel.

2. Populatsioonidest X ja Y, mille maht on vastavalt n x ja n y, saadakse kaks sõltumatut valimit.

3. Arvutage korrigeeritud valimi dispersioonide s x 2 ja s y 2 väärtused (arvutusmeetodeid käsitletakse §13.4). Suurem dispersioon (s x 2 või s y 2) on tähistatud s 1 2, väiksem - s 2 2.

4. F-kriteeriumi väärtus arvutatakse valemiga F obs = s 1 2 / s 2 2.

5. Kasutades Fisher-Snedecori jaotuse kriitiliste punktide tabelit, antud olulisuse tasemel a ja vabadusastmete arvul n 1 = n 1 - 1, n 2 = n 2 - 1 (n 1 on suurema korrigeeritud dispersiooni vabadusastmed), leitakse kriitiline punkt F cr (a, n 1, n 2).

Pange tähele, et tabelis A.1.7 on näidatud ühepoolse F-testi kriitilised väärtused. Seega, kui rakendatakse kahepoolset kriteeriumi (H 1: s x 2 ¹ s y 2), siis otsitakse parempoolset kriitilist punkti F cr (a/2, n 1, n 2) olulisuse taseme a/ järgi. 2 (pool määratud väärtusest) ja vabadusastmete arv n 1 ja n 2 (n 1 on suurema dispersiooni vabadusastmete arv). Vasakpoolset kriitilist punkti ei pruugita leida.

6. Tehakse järeldus: kui F-kriteeriumi arvutuslik väärtus on suurem või võrdne kriitilisest väärtusest (F obs ³ F cr), siis erinevad dispersioonid antud olulisuse tasemel oluliselt. Muidu (F obs.< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Ülesanne 15.1. Tooraine tarbimine toodanguühiku kohta vana tehnoloogia järgi oli:

Uue tehnoloogia kasutamine:

Eeldades, et vastavad üldkogumid X ja Y on normaaljaotusega, kontrollige, et varieeruvuse poolest ei erineks uute ja vanade tehnoloogiate tooraine tarbimine, kui võtta olulisuse tasemeks a = 0,1.

Lahendus. Jätkame ülaltoodud järjekorras.

1. Hajutusväärtuste alusel hindame toorme tarbimise varieeruvust uute ja vanade tehnoloogiate lõikes. Seega on nullhüpotees kujul H 0: s x 2 = s y 2. Konkureeriva hüpoteesina aktsepteerime hüpoteesi H 1: s x 2 ¹ s y 2, kuna me ei ole eelnevalt kindlad, et ükski üldistest dispersioonidest on teisest suurem.

2-3. Leiame näidiserinevused. Arvutuste lihtsustamiseks liigume edasi tingimuslike valikute juurde:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

Korraldame kõik arvutused järgmiste tabelite kujul:

u i	m i	ma olen u i	kas ma olen u i 2	m i (u i +1) 2		v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

Juhtimine: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Juhtimine: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

Leiame parandatud näidiserinevused:

4. Võrdleme dispersioone. Leiame suurema korrigeeritud dispersiooni ja väiksema suhe:

.

5. Tingimuse järgi on konkureeriv hüpotees kujul s x 2 ¹ s y 2, mistõttu kriitiline piirkond on kahepoolne ja kriitilise punkti leidmisel tuleks võtta olulisuse tasemed, mis on pooled etteantud väärtusest.

Vastavalt tabelile A.1.7, kasutades olulisuse taset a/2 = 0,1/2 = 0,05 ja vabadusastmete arvu n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8, leiame kriitiline punkt F cr ( 0,05; 8) = 3,28.

6. Kuna F obs.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

Eespool, hüpoteeside kontrollimisel, eeldasime uuritavate juhuslike suuruste normaaljaotust. Spetsiaalsed uuringud on aga näidanud, et pakutud algoritmid on normaaljaotusest kõrvalekallete suhtes väga stabiilsed (eriti suurte valimite puhul).

Jaotusparameetrid ja statistika

Mis tahes juhusliku suuruse jaotuse parameetrid, näiteks matemaatiline ootus või dispersioon, on teoreetilised suurused, mida ei saa otseselt mõõta, kuigi neid saab hinnata. Need esindavad kvantitatiivset omadust elanikkonnast ja neid saab määrata ainult teoreetilise modelleerimise käigus hüpoteetiliste väärtustena, kuna need kirjeldavad juhusliku suuruse jaotuse tunnuseid üldkogumis endas. Nende praktikas väljaselgitamiseks viib katset läbi viiv teadlane neile valikulise hinnangu. See hindamine hõlmab statistilisi arvutusi.

Statistika on uuritavate parameetrite kvantitatiivne tunnus, mis iseloomustab valimi väärtuste uuringu põhjal saadud juhusliku suuruse jaotust. Statistikat kasutatakse kas valimi enda kirjeldamiseks või, mis on fundamentaalsetes eksperimentaalsetes uuringutes ülimalt oluline, uuritavas populatsioonis juhusliku suuruse jaotuse parameetrite hindamiseks.

Mõistete eraldamine "parameeter" Ja "statistika" on väga oluline, kuna see võimaldab teil vältida mitmeid eksperimendi käigus saadud andmete vale tõlgendamisega seotud vigu. Fakt on see, et kui hindame jaotusparameetreid statistiliste andmete abil, saame väärtused, mis on ainult teatud määral lähedased hinnangulistele parameetritele. Peaaegu alati on parameetrite ja statistika vahel mingi erinevus ja me tavaliselt ei oska öelda, kui suur see erinevus on. Teoreetiliselt, mida suurem on valim, seda lähemal on hinnangulised parameetrid nende valimi omadustele. See aga ei tähenda, et valimi suurust suurendades jõuame paratamatult hinnangulisele parameetrile lähemale ja vähendame selle erinevust arvutatud statistikast. Praktikas võib kõik osutuda palju keerulisemaks.

Kui teoreetiliselt langeb statistika eeldatav väärtus kokku hinnangulise parameetriga, siis sellist hinnangut nimetatakse ümberasustamata. Nimetatakse hinnang, mille puhul hinnangulise parameetri eeldatav väärtus erineb parameetrist endast teatud summa võrra ümberasustatud.

Samuti on vaja eristada jaotusparameetrite punkt- ja intervallhinnanguid. Koht nimetatakse arvu kasutades hinnangut. Näiteks kui ütleme, et antud subjekti puutetundlikkuse ruumilise läve väärtus antud tingimustes ja teatud nahapiirkonnas on 21,8 mm, siis on selline hinnang punkt. Samamoodi tekib punkthinnang, kui ilmateade ütleb, et akna taga on 25°C. Intervallide hindamine hõlmab arvude hulga või vahemiku kasutamist hindamisel. Puutetundlikkuse ruumilist läve hinnates võib öelda, et see jäi vahemikku 20–25 mm. Samamoodi võivad sünoptikud teatada, et nende prognooside kohaselt ulatub õhutemperatuur lähema ööpäeva jooksul 22–24°C-ni. Juhusliku suuruse intervallhinnang võimaldab meil mitte ainult määrata selle suuruse soovitud väärtust, vaid määrata ka sellise hinnangu võimaliku täpsuse.

Matemaatiline ootus ja selle hindamine

Pöördume tagasi meie mündiviskamise katse juurde.

Proovime vastata küsimusele: mitu korda peaksid "pead" ilmuma, kui me viskame münti kümme korda? Vastus tundub ilmne. Kui mõlema tulemuse tõenäosus on võrdne, peavad tulemused ise olema võrdselt jaotunud. Teisisõnu, tavalise mündi kümme korda viskamisel võime eeldada, et selle üks külg, näiteks “pea”, langeb täpselt viis korda. Samamoodi peaks 100-kordse mündi viskamisel ilmuma “päid” täpselt 50 korda ja kui münti visata 4236 korda, siis meile huvipakkuv pool peaks ilmuma 2118 korda, ei rohkem ega vähem.

Niisiis, juhusliku sündmuse teoreetilist tähendust nimetatakse tavaliselt matemaatiline ootus. Oodatava väärtuse saab leida juhusliku suuruse teoreetilise tõenäosuse korrutamisel katsete arvuga. Formaalsemalt määratletakse seda aga kui esimest järku keskmomenti. Seega on matemaatiline ootus juhusliku suuruse väärtus, milleni see korduvate testide käigus teoreetiliselt kaldub, mille ümber see varieerub.

On selge, et matemaatilise ootuse teoreetiline väärtus jaotusparameetrina ei ole alati võrdne meile huvipakkuva juhusliku suuruse empiirilise väärtusega, mida väljendatakse statistikas. Kui teeme mündiviskamise katse, siis on üsna tõenäoline, et kümnest tulemusest kerkivad “pead” välja vaid neli-kolm korda või võib-olla, vastupidi, kaheksa korda või võib-olla see. ei tule üldse kordagi. On selge, et mõned neist tulemustest osutuvad tõenäolisemaks, mõned vähem tõenäoliseks. Kui kasutada normaaljaotuse seadust, siis võime jõuda järeldusele, et mida rohkem erineb tulemus teoreetiliselt eeldatavast, mida määrab matemaatilise ootuse väärtus, seda vähem tõenäoline on see praktikas.

Lisaks oletame, et oleme sarnase protseduuri mitu korda läbi viinud ega ole kunagi teoreetiliselt oodatud väärtust jälginud. Siis võib meil tekkida kahtlus mündi ehtsuses. Võime eeldada, et meie mündi puhul ei ole peade saamise tõenäosus tegelikult 50%. Sel juhul võib osutuda vajalikuks hinnata selle sündmuse tõenäosust ja vastavalt ka matemaatilise ootuse väärtust. See vajadus tekib alati, kui eksperimendis uurime pideva juhusliku suuruse, näiteks reaktsiooniaja jaotust, ilma et meil oleks eelnevalt mingit teoreetilist mudelit. Reeglina on see esimene kohustuslik etapp katsetulemuste kvantitatiivsel töötlemisel.

Matemaatilist ootust saab hinnata kolmel viisil, mis praktikas võivad anda veidi erinevaid tulemusi, kuid teoreetiliselt peaksid need meid kindlasti viima matemaatilise ootuse väärtuseni.

Sellise hindamise loogika on illustreeritud joonisel fig. 1.2. Oodatavat väärtust võib pidada juhusliku suuruse jaotuse keskseks tendentsiks X, kui selle kõige tõenäolisem ja seetõttu ka kõige sagedamini esinev väärtus ning jaotuse kaheks võrdseks osaks jagava punktina.

Riis. 1.2.

Jätkame oma mõttelisi katseid mündiga ja viime läbi kolm katset, visates seda kümme korda. Oletame, et esimeses katses kerkisid "pead" üles neli korda, sama juhtus teises katses, kolmandas katses kerkisid "pead" rohkem kui poolteist korda sagedamini - seitse korda. On loogiline eeldada, et meid huvitava sündmuse matemaatiline ootus asub tegelikult kusagil nende väärtuste vahel.

Esiteks, kõige lihtsam hindamismeetod matemaatiline ootus on leida aritmeetiline keskmine. Siis on eeldatava väärtuse hinnang ülaltoodud kolme mõõtmise põhjal (4 + 4 + 7)/3 = 5. Samamoodi saab reaktsiooniaja katsetes oodatavat väärtust hinnata, võttes kõigi saadud väärtuste aritmeetilise keskmise X. Nii et kui kulutasime P reaktsiooniaja mõõtmised X, siis saame aritmeetilise keskmise arvutamiseks kasutada järgmist valemit, mis meile seda näitab X on vaja liita kõik empiiriliselt saadud väärtused ja jagada need vaatluste arvuga:

Valemis (1.2) on matemaatilise ootuse mõõt tavaliselt tähistatud kui ̅ X (loe kui "X ribaga"), kuigi mõnikord võib selle kirjutada ka nii M (inglise keelest tähendab - keskmine).

Aritmeetiline keskmine on kõige sagedamini kasutatav matemaatilise ootuse hinnang. Sellistel juhtudel eeldatakse, et juhuslikku suurust mõõdetakse meetriline kaal. On selge, et saadud tulemus võib, aga ei pruugi kattuda matemaatilise ootuse tõelise väärtusega, mida me kunagi ei tea. Siiski on oluline, et see meetod on erapooletu matemaatilise ootuse hindamine. See tähendab, et hinnangulise väärtuse eeldatav väärtus on võrdne selle matemaatilise ootusega: .

Teine hindamismeetod matemaatiline ootus on võtta selle väärtuseks meid huvitava muutuja kõige sagedamini esinev väärtus. Seda väärtust nimetatakse jaotusrežiim. Näiteks just vaadeldud mündi viskamise puhul võib matemaatilise ootuse väärtuseks võtta “neli”, kuna kolmes läbiviidud testis esines see väärtus kaks korda; Sellepärast osutus jaotusrežiim sel juhul võrdseks neljaga. Režiimi hinnangut kasutatakse peamiselt siis, kui katsetaja tegeleb muutujatega, mis võtavad diskreetseid väärtusi, mis on määratud mittemeetriline kaal.

Näiteks kirjeldades õpilaste hinnete jaotust eksamil, saab koostada õpilaste saadud hinnete sagedusjaotuse. Seda sagedusjaotust nimetatakse histogramm. Sel juhul võib keskse tendentsi (matemaatilise ootuse) väärtuseks võtta kõige tavalisema hinnangu. Pidevate väärtustega iseloomustatud muutujate uurimisel seda mõõdikut praktiliselt ei kasutata või kasutatakse harva. Kui saadud tulemuste sagedusjaotus siiski konstrueeritakse, siis reeglina ei puuduta see uuritava tunnuse eksperimentaalselt saadud väärtusi, vaid mõningaid selle avaldumise intervalle. Näiteks inimeste pikkust uurides saab näha, kui palju inimesi jääb pikkuse vahemikku kuni 150 cm, kui palju vahemikku 150–155 cm jne. Sel juhul on režiim seotud uuritava tunnuse, antud juhul kõrgusega, intervallväärtustega.

On selge, et režiim, nagu ka aritmeetiline keskmine, võib, aga ei pruugi kattuda matemaatilise ootuse tegeliku väärtusega. Kuid nagu aritmeetiline keskmine, on ka režiim matemaatilise ootuse erapooletu hinnang.

Lisame, et kui kaks väärtust valimis esinevad võrdselt sageli, siis nimetatakse sellist jaotust bimodaalne. Kui proovis esineb kolm või enam väärtust võrdselt sageli, siis öeldakse, et sellisel valimil puudub režiim. Sellised juhtumid, kus on piisavalt palju vaatlusi, viitavad reeglina sellele, et andmed on võetud üldisest populatsioonist, mille jaotuse olemus erineb tavapärasest.

Lõpuks kolmas hindamismeetod matemaatiline ootus on jagada ainete valim meid huvitava parameetri järgi täpselt pooleks. Seda piiri iseloomustavat suurust nimetatakse mediaan distributsioonid.

Oletame, et oleme kohal suusavõistlusel ja pärast selle lõppu tahame hinnata, kes sportlastest näitas keskmisest kõrgemaid ja kes madalamaid tulemusi. Kui osalejate koosseis on enam-vähem ühtlane, siis keskmise tulemuse hindamisel on loogiline arvutada aritmeetiline keskmine. Oletame aga, et elukutseliste osalejate hulgas on mitmeid harrastajaid. Neid on vähe, kuid need näitavad tulemusi, mis on teistest oluliselt kehvemad. Sel juhul võib selguda, et näiteks 100 konkursil osalejast näitasid keskmisest kõrgemaid tulemusi 87. Selge on see, et selline keskmise tendentsi hinnang ei saa meid alati rahuldada. Sel juhul on loogiline eeldada, et keskmist tulemust näitasid osalejad, kes saavutasid kuskil 50. või 51. koha. See on jaotuse mediaan. Enne 50. finalisti lõpetas 49 osalejat, 51. järel – samuti 49. Kelle tulemust nende hulgas keskmiseks võtta, pole aga selge. Muidugi võib selguda, et nad lõpetasid sama ajaga. Siis pole probleemi. Probleemi ei teki, kui vaatluste arv on paaritu. Muudel juhtudel saab aga kasutada kahe osaleja tulemuste keskmist.

Mediaan on jaotuse kvantiili erijuht. Kvantiil on osa distributsioonist. Formaalselt võib seda määratleda muutuja kahe väärtuse vahelise jaotuse integraalväärtusena X. Seega väärtus X on jaotuse mediaan, kui jaotuse integraalväärtus (tõenäosustihedus) on vahemikus -∞ kuni X võrdne jaotuse integraalväärtusega alates X kuni +∞. Samamoodi saab jaotuse jagada neljaks, kümneks või 100 osaks. Selliseid kvantiile nimetatakse vastavalt kvartiilid, detsiilid Ja protsentiilid. Kvantiile on ka teist tüüpi.

Nii nagu kaks eelmist matemaatilise ootuse hindamise meetodit, on mediaan matemaatilise ootuse erapooletu hinnang.

Teoreetiliselt eeldatakse, et kui meil on tõesti tegemist juhusliku suuruse normaaljaotusega, peaksid kõik kolm matemaatilise ootuse hinnangut andma sama tulemuse, kuna need kõik esindavad varianti. erapooletu hinnangulise juhusliku suuruse sama jaotusparameetri hinnangud (vt joonis 1.2). Praktikas juhtub seda aga harva. See võib olla tingitud eelkõige asjaolust, et analüüsitud jaotus erineb normaalsest. Kuid selliste lahknevuste peamine põhjus on reeglina see, et matemaatilise ootuse väärtust hinnates on võimalik saada väärtus, mis erineb väga oluliselt selle tegelikust väärtusest. Kuid nagu eelpool märgitud, on matemaatilises statistikas tõestatud, et mida sõltumatumad on vaadeldava muutuja testid, seda lähemal peaks hinnanguline väärtus olema tõelisele.

Seega ei määra praktikas matemaatilise ootuse hindamise meetodi valikut mitte soov saada selle parameetri täpsem ja usaldusväärsem hinnang, vaid ainult mugavuse kaalutlused. Samuti mängib matemaatilise ootuse hindamise meetodi valikul teatud rolli mõõtmise skaala, mis kajastab hinnatava juhusliku suuruse tähelepanekuid.

Ootus on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

Matemaatiline ootus, definitsioon, diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate matemaatiline ootus, valim, tingimuslik ootus, arvutus, omadused, probleemid, ootuse hinnang, dispersioon, jaotusfunktsioon, valemid, arvutusnäited

Laiendage sisu

Ahenda sisu

Matemaatiline ootus on määratlus

Üks olulisemaid kontseptsioone matemaatilises statistikas ja tõenäosusteoorias, mis iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste või tõenäosuste jaotust. Tavaliselt väljendatakse juhusliku suuruse kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Laialdaselt kasutatav tehnilises analüüsis, numbriridade uurimises ning pidevate ja aeganõudvate protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes ning seda kasutatakse hasartmängude teoorias mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmist väärtust, tõenäosusteoorias vaadeldakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotust.

Matemaatiline ootus on tõenäosusteooria juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt. Juhusliku muutuja ootus x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus on

Matemaatiline ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida juhuslik suurus võib võtta.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutiste summa.

Matemaatiline ootus on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.

Matemaatiline ootus on hasartmängude teoorias võitude summa, mida mängija saab iga panuse kohta keskmiselt teenida või kaotada. Hasartmängukeeles nimetatakse seda mõnikord "mängija eeliseks" (kui see on mängija jaoks positiivne) või "maja eeliseks" (kui see on mängija jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus on kasumi protsent võidu kohta, mis on korrutatud keskmise kasumiga, millest on lahutatud kaotuse tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus matemaatilises teoorias

Juhusliku muutuja üheks oluliseks numbriliseks tunnuseks on selle matemaatiline ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi mõistet. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku katse tulemused. Kui on üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis rahuldab Kolmogorovi aksioome. Funktsiooni, mis on määratletud juhuslike muutujate mis tahes võimalike väärtuste jaoks, nimetatakse ühisjaotuse seaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada mis tahes sündmuste tõenäosused. Eelkõige on tõenäosuste abil antud juhuslike muutujate ja ühisjaotuse seadus, mis võtavad väärtused hulgast ja.

Mõiste "matemaatiline ootus" võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) ja see pärineb mõistest "võitude eeldatav väärtus", mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christiaani teostes. Huygens. Esimese täieliku teoreetilise arusaama ja hinnangu sellele kontseptsioonile andis aga Pafnuti Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).

Juhuslike arvmuutujate jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme probleemi puhul piisab püstitatud küsimusele vastamiseks teadmisest uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest). Juhuslike muutujate peamised numbrilised karakteristikud on matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne suure arvu katsete jooksul juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsikaline tähendus: kui asetate ühikulise massi sirgjoonele, asetate teatud massi teatud punktidesse (diskreetse jaotuse jaoks) või "määrige" selle teatud tihedusega (absoluutselt pideva jaotuse jaoks) , siis on matemaatilisele ootusele vastav punkt koordinaat "raskuskese" on sirge.

Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame juhusliku suuruse teatud arvulisele omadusele, mis kirjeldab selle asukohta. numbriteljel, s.o. "positsiooni omadused".

Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse matemaatilisel ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.

Mõelge juhuslikule muutujale X, millel on võimalikud väärtused x1, x2, …, xn tõenäosustega p1, p2, …, pn. Peame mõne numbriga iseloomustama juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn “kaalutud keskmist”. xi, ja iga väärtust xi tuleks keskmistamisel arvesse võtta selle väärtuse tõenäosusega võrdelise "kaaluga". Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise X, mida me tähistame M |X|:

Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime arvesse tõenäosusteooria üht olulisemat mõistet – matemaatilise ootuse mõiste. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutised.

X on seotud omapärase sõltuvusega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega suure hulga katsete jooksul. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku muutuja vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosuses läheneb) selle matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel. Tõepoolest, mõelge juhuslikule muutujale X, mida iseloomustab jaotusseeria:

Las toodetakse N sõltumatud katsed, millest igaühes on väärtus X omandab teatud väärtuse. Oletame, et väärtus x1 ilmunud m1 korda, väärtust x2 ilmunud m2 korda, üldine tähendus xi ilmus mi korda. Arvutame välja väärtuse X vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mis erinevalt matemaatilisest ootusest M|X| tähistame M*|X|:

Kasvava arvu katsetega N sagedused pi läheneb (tõenäosuses läheneb) vastavatele tõenäosustele. Järelikult juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine M|X| katsete arvu suurenemisega läheneb see (tõenäosus läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Eelpool sõnastatud seos aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.

Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et mõned keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama suuruse vaatluste jada aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.

Paljude katsete keskmiste stabiilsust saab hõlpsasti katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel keha kaalumisel saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; Vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.

Tuleb märkida, et juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike suuruste puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest suurustest, mille jaoks matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb. Kuid sellised juhtumid ei paku praktikale olulist huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud hulk võimalikke väärtusi ja loomulikult on neil matemaatiline ootus.

Lisaks juhusliku suuruse asukoha kõige olulisematele tunnustele - matemaatilisele ootusele - kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsiooni tunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike koguste kohta; pideva suuruse korral on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonistel on näidatud vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiim.

Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, nimetatakse jaotust "multimodaalseks".

Mõnikord on distributsioone, mille miinimum on pigem keskel kui maksimum. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".

Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Sageli kasutatakse teist positsioonikarakteristikut – juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda katkendliku muutuja jaoks. Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga ümbritsetud ala jagatakse pooleks.

Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan kokku matemaatilise ootuse ja moodusega.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmine väärtus – juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse arvtunnus. Kõige üldisemalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal tõenäosusmõõdu suhtes R algses tõenäosusruumis:

Matemaatilise ootuse saab arvutada ka Lebesgue'i integraalina X tõenäosusjaotuse järgi px kogused X:

Lõpmatu matemaatilise ootusega juhusliku suuruse kontseptsiooni saab defineerida loomulikul viisil. Tüüpiline näide on mõnede juhuslike jalutuskäikude tagastusajad.

Matemaatilise ootuse abil määratakse jaotuse paljud numbrilised ja funktsionaalsed karakteristikud (juhusliku suuruse vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, tunnusfunktsioon, mis tahes järku momendid, eelkõige dispersioon, kovariatsioon. .

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste asukoha tunnus (selle jaotuse keskmine väärtus). Selles funktsioonis toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll on sarnane staatilise momendi - massijaotuse raskuskeskme koordinaadi - rolliga mehaanikas. Teistest asukoha tunnustest, mille abil jaotust üldsõnaliselt kirjeldatakse - mediaanid, moodused, erineb matemaatiline ootus selle suurema väärtuse poolest, mis sellel ja vastaval hajuvuskarakteristikul - dispersioonil - tõenäosusteooria piirteoreemides on. Matemaatilise ootuse tähendust paljastavad kõige täielikumalt suurte arvude seadus (Tšebõševi ebavõrdsus) ja tugevdatud suurte arvude seadus.

Diskreetse juhusliku suuruse ootus

Olgu mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks võib täringu viskamisel punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Sageli tekib praktikas sellise väärtuse puhul küsimus: millist väärtust see suure hulga testide korral "keskmiselt" võtab? Kui suur on meie keskmine sissetulek (või kahjum) igast riskantsest tehingust?

Oletame, et on mingi loterii. Tahame aru saada, kas selles osalemine (või isegi korduvalt, regulaarselt) on tulus või mitte. Oletame, et iga neljas pilet on võitja, auhind on 300 rubla ja iga pileti hind on 100 rubla. Lõpmatult suure osavõtuarvuga see juhtubki. Kolmel neljandikul juhtudest kaotame, iga kolme kaotuse eest tuleb maksta 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osaluse korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku saab meie vareme keskmiseks hinnaks 25 rubla pileti kohta.

Me viskame täringut. Kui see ei ole petmine (ilma raskuskeset nihutamata jne), siis mitu punkti meil keskmiselt korraga on? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, võtame lihtsalt aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, siis ei maksa pahandada, et ükski konkreetne veeremine 3,5 punkti ei anna - no sellel kuubil pole ju sellise numbriga nägu!

Nüüd võtame oma näited kokku:

Vaatame äsja antud pilti. Vasakul on juhusliku suuruse jaotuse tabel. Väärtus X võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (näidatud ülemisel real). Muid tähendusi ei saa olla. Iga võimaliku väärtuse all on allpool kirjas selle tõenäosus. Paremal on valem, kus M(X) nimetatakse matemaatiliseks ootuseks. Selle väärtuse tähendus on see, et suure arvu testide korral (suure valimiga) kaldub keskmine väärtus samale matemaatilisele ootusele.

Pöördume uuesti sama mängukuubi juurde. Punktide arvu matemaatiline ootus viskamisel on 3,5 (kui ei usu, arvuta see valemiga ise). Oletame, et viskasid seda paar korda. Tulemused olid 4 ja 6. Keskmine oli 5, mis on kaugel 3,5-st. Viskasid veel ühe korra, said 3 ehk siis keskmiselt (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Matemaatilisest ootusest kuidagi kaugel. Tee nüüd hull katse – veereta kuubikut 1000 korda! Ja isegi kui keskmine ei ole täpselt 3,5, on see selle lähedal.

Arvutame ülalkirjeldatud loterii matemaatilise ootuse. Plaat näeb välja selline:

Siis on matemaatiline ootus, nagu me eespool tuvastasime:

Teine asi on see, et ilma valemita "näppude peal" tegemine oleks raske, kui oleks rohkem võimalusi. Noh, oletame, et 75% kaotab pileteid, 20% võidab pileteid ja 5% eriti võidab.

Nüüd mõned matemaatilise ootuse omadused.

Seda on lihtne tõestada:

Konstantse teguri võib välja võtta matemaatilise ootuse märgina, see tähendab:

See on matemaatilise ootuse lineaarsusomaduse erijuht.

Teine matemaatilise ootuse lineaarsuse tagajärg:

see tähendab, et juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste summaga.

Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, Siis:

Seda on ka lihtne tõestada) Töö XY ise on juhuslik muutuja ja kui algväärtused võiksid võtta n Ja m väärtused vastavalt siis XY võib võtta nm väärtusi. Iga väärtuse tõenäosus arvutatakse selle põhjal, et sõltumatute sündmuste tõenäosused korrutatakse. Selle tulemusena saame selle:

Pideva juhusliku suuruse ootus

Pidevatel juhuslikel suurustel on selline tunnus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). See iseloomustab sisuliselt olukorda, et juhuslik muutuja võtab reaalarvude hulgast mõned väärtused sagedamini ja mõned harvemini. Näiteks vaadake seda graafikut:

Siin X- tegelik juhuslik muutuja, f(x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi otsustades katsete ajal väärtus X on sageli nullilähedane arv. Võimalused on ületatud 3 või olla väiksem -3 pigem puhtalt teoreetiline.

Olgu näiteks ühtlane jaotus:

See on üsna kooskõlas intuitiivse mõistmisega. Oletame, et kui saame palju ühtlase jaotusega juhuslikke reaalarve, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.

Siin on rakendatavad ka diskreetsete juhuslike suuruste puhul kasutatavad matemaatilise ootuse omadused – lineaarsus jne.

Seos matemaatilise ootuse ja muude statistiliste näitajate vahel

Statistilises analüüsis eksisteerib koos matemaatilise ootusega ka üksteisest sõltuvate näitajate süsteem, mis peegeldab nähtuste homogeensust ja protsesside stabiilsust. Variatsiooninäitajad ei oma sageli iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on andmete homogeensust iseloomustav variatsioonikordaja, mis on väärtuslik statistiline tunnus.

Protsesside varieeruvuse või stabiilsuse astet statistikateaduses saab mõõta mitme näitaja abil.

Kõige olulisem juhusliku suuruse muutlikkust iseloomustav näitaja on Dispersioon, mis on kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud matemaatilise ootusega. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteeside testimine, põhjus-tagajärg seoste analüüs jne). Nagu keskmine lineaarne hälve, peegeldab dispersioon ka andmete levimise ulatust keskmise väärtuse ümber.

Kasulik on tõlkida märkide keel sõnade keelde. Selgub, et dispersioon on kõrvalekallete keskmine ruut. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine väärtus, seejärel võetakse iga algse ja keskmise väärtuse erinevus, ruudustatakse, liidetakse ja jagatakse seejärel populatsiooni väärtuste arvuga. Individuaalse väärtuse ja keskmise erinevus peegeldab hälbe mõõtu. See on ruudus nii, et kõik hälbed muutuksid eranditult positiivseteks arvudeks ja et nende summeerimisel vältida positiivsete ja negatiivsete hälvete vastastikust hävitamist. Seejärel arvutame ruudus hälbeid arvestades lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmine – ruut – kõrvalekalded. Kõrvalekalded ruudustatakse ja arvutatakse keskmine. Vastus võlusõnale "dispersioon" peitub vaid kolmes sõnas.

Puhtal kujul, nagu aritmeetiline keskmine või indeks, dispersiooni siiski ei kasutata. See on pigem abi- ja vahenäitaja, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Sellel pole isegi tavalist mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algandmete mõõtühiku ruut.

Mõõdame juhuslikku suurust N korda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmist väärtust. Kuidas on keskmine väärtus seotud jaotusfunktsiooniga?

Või viskame täringuid palju kordi. Iga viske korral täringule ilmuvate punktide arv on juhuslik suurus ja võib võtta mis tahes loomuliku väärtuse vahemikus 1 kuni 6. Kõikide täringuvisete jaoks arvutatud langenud punktide aritmeetiline keskmine on samuti juhuslik suurus, kuid suurte N see kaldub väga konkreetsele numbrile – matemaatilisele ootusele Mx. Sel juhul Mx = 3,5.

Kuidas sa selle väärtuse said? Laske sisse N testid n1 kui saad 1 punkti, n2üks kord - 2 punkti ja nii edasi. Seejärel tulemuste arv, mille puhul üks punkt langes:

Samamoodi tulemuste puhul, kui visatakse 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.

Oletame nüüd, et teame juhusliku suuruse x jaotusseadust, st teame, et juhuslik suurus x võib võtta väärtusi x1, x2, ..., xk tõenäosustega p1, p2, ..., pk.

Juhusliku suuruse x matemaatiline ootus Mx on võrdne:

Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Seega on keskmise palga hindamiseks mõistlikum kasutada mediaani mõistet ehk sellist väärtust, et mediaanist madalamat ja kõrgemat palka saavate inimeste arv langeb kokku.

Tõenäosus p1, et juhuslik suurus x on väiksem kui x1/2, ja tõenäosus p2, et juhuslik suurus x on suurem kui x1/2, on sama ja võrdne 1/2-ga. Mediaani ei määrata kõigi jaotuste jaoks üheselt.

Standard või standardhälve statistikas nimetatakse vaatlusandmete või kogumite kõrvalekalde astet KESKMISEST väärtusest. Tähistatakse tähtedega s või s. Väike standardhälve näitab, et andmed koonduvad keskmise ümber, samas kui suur standardhälve näitab, et lähteandmed asuvad sellest kaugel. Standardhälve on võrdne suuruse, mida nimetatakse dispersiooniks, ruutjuurega. See on algandmete ruudu erinevuste summa keskmine, mis erineb keskmisest väärtusest. Juhusliku muutuja standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Näide. Katsetingimustes sihtmärki tulistades arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve:

Variatsioon- tunnuse väärtuse kõikumine, muutuvus üldkogumi üksuste vahel. Uuritavas populatsioonis leitud tunnuse individuaalseid arvväärtusi nimetatakse väärtuste variantideks. Keskmise väärtuse ebapiisav populatsiooni täielikuks iseloomustamiseks sunnib meid täiendama keskmisi väärtusi näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse varieeruvust (variatsiooni). Variatsioonikoefitsient arvutatakse järgmise valemi abil:

Variatsioonivahemik(R) tähistab erinevust atribuudi maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritavas populatsioonis. See indikaator annab kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse varieeruvusest, kuna see näitab erinevust ainult valikute maksimaalsete väärtuste vahel. Sõltuvus karakteristiku äärmuslikest väärtustest annab variatsiooni ulatusele ebastabiilse juhusliku iseloomu.

Keskmine lineaarne hälve esindab analüüsitud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (moodulite) kõrvalekallete aritmeetilist keskmist nende keskmisest väärtusest:

Matemaatiline ootus hasartmängude teoorias

Matemaatiline ootus on Keskmine rahasumma, mille mängur võib antud panusega võita või kaotada. See on mängija jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna see on enamiku mängusituatsioonide hindamisel põhiline. Matemaatiline ootus on ka optimaalne vahend põhiliste kaartide paigutuste ja mängusituatsioonide analüüsimiseks.

Oletame, et mängite sõbraga mündimängu, panustades iga kord võrdselt 1 dollari, olenemata sellest, mis ette tuleb. Tails tähendab, et võidad, pead tähendab, et kaotad. Koefitsiendid on üks ühele, et see tuleb pea peale, seega panustate $1 kuni $1. Seega on teie matemaatiline ootus null, sest Matemaatilisest vaatenurgast ei saa sa teada, kas juhid või kaotad kahe viske või 200 järel.

Teie tunnikasum on null. Tunnivõidud on rahasumma, mille loodate tunni jooksul võita. Sa võid visata münti 500 korda tunnis, aga sa ei võida ega kaota, sest... teie võimalused pole positiivsed ega negatiivsed. Kui vaadata, siis tõsise mängija seisukohalt pole see panustamissüsteem halb. Kuid see on lihtsalt ajaraiskamine.

Kuid oletame, et keegi soovib panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu samas mängus. Siis on sul kohe positiivne ootus 50 senti igalt panuselt. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panusta esimesele dollarile ja kaota $1; Panustate 1 dollari kaks korda ja olete 1 dollariga ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.

Kui münt ilmub ühe tunni jooksul 500 korda, on teie tunnivõit juba 250 dollarit, sest... Keskmiselt kaotasite ühe dollari 250 korda ja võitsite kaks dollarit 250 korda. $500 miinus $250 võrdub $250, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on keskmine summa, mille panuse kohta võidate, on 50 senti. Võitsite 250 dollarit, panustades ühe dollari 500 korda, mis võrdub 50 sendiga panuse kohta.

Matemaatilisel ootusel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu 2 dollarit panustada, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid teie, kui teil on 2:1 panustamise eelis, kui kõik muud asjad on võrdsed, teenite 50 senti iga 1-dollarise panuse eest asjaolud. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, kui sul on piisavalt raha, et kulud mugavalt katta. Kui jätkate panustamist samal viisil, siis üle pika aja lähenevad teie võidud üksikute visete ootuste summale.

Iga kord, kui teete parima panuse (panus, mis võib osutuda pikas perspektiivis kasumlikuks), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate sellel kindlasti midagi, olenemata sellest, kas kaotate selle mängus või mitte. antud käsi. Ja vastupidi, kui teete allajäänud panuse (pikemas perspektiivis kahjumlik panus), kui koefitsiendid on teie vastu, kaotate midagi olenemata sellest, kas võidate või kaotate käe.

Teete parima tulemusega panuse, kui teie ootused on positiivsed, ja see on positiivne, kui koefitsiendid on teie poolel. Kui teete panuse halvima tulemusega, on teil negatiivne ootus, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised mängijad panustavad ainult parimale tulemusele, kui juhtub halvim. Mida tähendab koefitsient teie kasuks? Võite lõpuks võita rohkem, kui tegelik koefitsient toob. Maandumispeade tegelik koefitsient on 1:1, kuid koefitsientide suhte tõttu saate 2:1. Sel juhul on tõenäosus teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.

Siin on matemaatilise ootuse keerulisem näide. Sõber kirjutab üles numbrid ühest viieni ja panustab 5 dollarit teie 1 dollari vastu, et te ei arva numbrit ära. Kas peaksite sellise kihlveoga nõustuma? Mis on siin ootus?

Keskmiselt eksite neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et te numbrit arvate, 4:1. Tõenäosus, et te kaotate dollari ühel katsel. Siiski võidate 5:1, võimalusega kaotada 4:1. Seega on koefitsiendid teie kasuks, võite võtta panuse ja loota parimale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda $1 ja võidate ühe korra $5. Selle põhjal teenite kõigi viie katse eest 1 dollari positiivse matemaatilise ootusega 20 senti panuse kohta.

Mängija, kes loodab võita rohkem, kui ta panustab, nagu ülaltoodud näites, kasutab võimalusi. Vastupidi, ta rikub oma võimalused, kui loodab võita vähem, kui ta panustab. Panustajal võib olla kas positiivne või negatiivne ootus, mis sõltub sellest, kas ta võidab või rikub koefitsiendi.

Kui panustate 50 dollariga, et võita 10 dollarit võiduvõimalusega 4:1, on teil negatiivne ootus 2 dollarit, sest Keskmiselt võidate neli korda 10 dollarit ja kaotate ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et kaotus panuse kohta on 10 dollarit. Aga kui panustate 30 dollariga, et võita 10 dollarit sama võidukoefitsiendiga 4:1, siis sel juhul on teil positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollarit ja kaotate üks kord 30 dollarit, saades 10 dollari suuruse kasumi. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine ​​hea.

Matemaatiline ootus on iga mänguolukorra keskpunkt. Kui kihlvedude vahendaja julgustab jalgpallifänne panustama 11 dollarit, et võita 10 dollarit, on tal positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari pealt. Kui kasiino maksab passiliinilt isegi raha kräppides, siis on kasiino positiivne ootus iga 100 dollari kohta ligikaudu 1,40 dollarit, sest See mäng on üles ehitatud nii, et igaüks, kes sellele reale panustab, kaotab keskmiselt 50,7% ja võidab 49,3% kogu ajast. Kahtlemata toob just see näiliselt minimaalne positiivne ootus tohutut kasumit kasiinoomanikele üle maailma. Vegas Worldi kasiinoomanik Bob Stupak märkis, et "tuhandik ühe protsendi negatiivne tõenäosus piisavalt pika vahemaa jooksul hävitab maailma rikkaima mehe."

Ootused pokkerit mängides

Pokkerimäng on matemaatilise ootuse teooria ja omaduste kasutamise seisukohalt kõige illustreerivam ja illustreerivam näide.

Oodatav väärtus pokkeris on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte numbrite ja pika vahemaa teooria raames. Edukas pokkerimäng on alati aktsepteerida positiivse eeldatava väärtusega käike.

Matemaatilise ootuse matemaatiline tähendus pokkerit mängides seisneb selles, et me puutume otsuste tegemisel sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid vastase käes on, millised kaardid tulevad järgmistes panustamisvoorudes). Peame vaatlema iga lahendust suurte arvude teooria seisukohast, mis väidab, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku suuruse keskmine väärtus selle matemaatilisele ootusele.

Matemaatilise ootuse arvutamise valemitest on pokkeris kõige enam kasutatav järgmine:

Pokkerit mängides saab arvutada eeldatava väärtuse nii panuste kui ka kõnede puhul. Esimesel juhul tuleks arvesse võtta omakapitali, teisel juhul panga enda koefitsiente. Konkreetse käigu matemaatilist ootust hinnates peaksite meeles pidama, et foldi ootus on alati null. Seega on kaartide äraviskamine alati tulusam otsus kui mis tahes negatiivne käik.

Ootus ütleb teile, mida võite oodata (kasum või kahjum) iga riskitava dollari kohta. Kasiinod teenivad raha, sest kõigi neis mängitavate mängude matemaatiline ootus on kasiino kasuks. Piisavalt pika mängude seeria puhul võite eeldada, et klient kaotab oma raha, kuna "koefitsiendid" on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinomängijad aga piiravad oma mänge lühikeste ajavahemikega, jaotades seeläbi koefitsiendid enda kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, võite teenida rohkem raha, tehes lühikese aja jooksul palju tehinguid. Ootus on teie kasumi protsent võidu kohta, mis on korrutatud teie keskmise kasumiga, millest on lahutatud teie kaotuse tõenäosus korrutatuna teie keskmise kahjumiga.

Pokkerit võib käsitleda ka matemaatilise ootuse seisukohast. Võite eeldada, et teatud käik on tulus, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla parim, sest mõni teine ​​käik on tulusam. Oletame, et tabasite viie kaardi tõmbepokkeris täismaja. Teie vastane teeb panuse. Tead, et kui tõstad panust, vastab ta. Seetõttu tundub tõstmine olevat parim taktika. Kui aga panust siiski tõstad, loobivad ülejäänud kaks mängijat kindlasti. Kui aga callida, on sul täielik kindlus, et teised kaks mängijat sinu taga teevad sama. Kui tõstate oma panust, saate ühe ühiku ja kui lihtsalt maksate, saate kaks. Seega annab helistamine teile suurema positiivse eeldatava väärtuse ja on parim taktika.

Matemaatiline ootus võib anda aimu ka sellest, millised pokkeritaktikad on vähem tulusad ja millised tulusamad. Näiteks kui mängite kindlat kätt ja arvate, et teie kaotus on keskmiselt 75 senti, sealhulgas ante, siis peaksite seda jaotust mängima, sest see on parem kui voltimine, kui ante on $1.

Teine oluline põhjus eeldatava väärtuse mõistmiseks on see, et see annab teile meelerahu, kas võidate panuse või mitte: kui tegite hea panuse või loobusite õigel ajal, teate, et olete teeninud või mitte. säästis teatud summa raha, mida nõrgem mängija säästa ei suutnud. Palju raskem on loobuda, kui oled ärritunud, sest vastane tõmbas tugevama käe. Kõige selle juures lisatakse teie öö või kuu võitudele raha, mille säästate, kui panuse asemel ei mängi.

Pea meeles, et kui sa vahetaksid oma käsi, oleks vastane sulle helistanud ja nagu näete pokkeri alusteoreemi artiklist, on see vaid üks sinu eelistest. Peaksite olema õnnelikud, kui see juhtub. Võite isegi õppida nautima käe kaotamist, sest teate, et teised teie positsioonil olevad mängijad oleksid kaotanud palju rohkem.

Nagu alguses mündimängu näites mainitud, on kasumi tunnimäär omavahel seotud matemaatilise ootusega ning see kontseptsioon on eriti oluline professionaalsete mängijate jaoks. Kui lähete pokkerit mängima, peaksite vaimselt hindama, kui palju võite ühe mängutunni jooksul võita. Enamikul juhtudel peate toetuma oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka matemaatikat. Näiteks mängite lowballi loosimist ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja vahetavad seejärel kaks kaarti, mis on väga halb taktika. Saate aru saada, et iga kord, kui nad panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad umbes 48 dollarit tunnis. Olete üks ülejäänud neljast mängijast, kes on ligikaudu võrdsed, seega peavad need neli mängijat (ja teie nende hulgas) jagama 48 dollarit, millest igaüks teenib 12 dollarit tunnis. Teie tunnikoefitsient on sel juhul lihtsalt võrdne teie osaga rahasummast, mille kaotasid kolm halba mängijat tunnis.

Pika aja jooksul on mängija koguvõidud tema matemaatiliste ootuste summa üksikutes kätes. Mida rohkem käsi mängid positiivse ootusega, seda rohkem võidad ja vastupidi, mida rohkem käsi mängid negatiivse ootusega, seda rohkem kaotad. Selle tulemusena peaksite valima mängu, mis võib teie positiivset ootust maksimeerida või negatiivset ootust tühistada, et saaksite oma tunnivõitu maksimeerida.

Positiivne matemaatiline ootus mängustrateegias

Kui oskad kaarte lugeda, võib sul olla kasiino ees eelis, kui nad seda ei märka ja sind välja viskavad. Kasiinod armastavad purjus mängijaid ja ei salli kaarte lugevaid mängijaid. Eelis võimaldab teil võita rohkem kordi kui kaotada aja jooksul. Hea rahahaldus, kasutades eeldatava väärtuse arvutusi, aitab teil teenida rohkem kasumit ja vähendada kahjumit. Ilma eeliseta on parem raha heategevuseks anda. Mängus börsil annab eelise mängusüsteem, mis loob suuremat kasumit kui kahjumid, hinnavahed ja komisjonitasud. Ükski rahahaldus ei päästa halba mängusüsteemi.

Positiivne ootus on defineeritud kui nullist suurem väärtus. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui null, on ka matemaatiline ootus negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda hullem on olukord. Kui tulemus on null, on ooteaeg tulus. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus ja mõistlik mängusüsteem. Intuitsiooni järgi mängimine viib katastroofini.

Matemaatiline ootus ja aktsiatega kauplemine

Matemaatiline ootus on finantsturgudel börsikauplemisel üsna laialt kasutatav ja populaarne statistiline näitaja. Esiteks kasutatakse seda parameetrit kauplemise edukuse analüüsimiseks. Pole raske arvata, et mida kõrgem on see väärtus, seda rohkem on põhjust pidada uuritavat tehingut edukaks. Loomulikult ei saa kaupleja tööd analüüsida ainult selle parameetriga. Arvutatud väärtus koos teiste töökvaliteedi hindamismeetoditega võib aga analüüsi täpsust oluliselt tõsta.

Kauplemiskonto jälgimise teenustes arvutatakse sageli matemaatilist ootust, mis võimaldab kiiresti hinnata hoiuse kallal tehtud tööd. Erandid hõlmavad strateegiaid, mis kasutavad kahjumlike tehingute väljastamist. Kauplejal võib mõnda aega vedada ja seetõttu ei pruugi tema töös üldse kahjusid tekkida. Sel juhul ei saa juhinduda ainult matemaatilisest ootusest, sest töös kasutatavaid riske ei võeta arvesse.

Turukauplemisel kasutatakse matemaatilist ootust kõige sagedamini mis tahes kauplemisstrateegia kasumlikkuse ennustamisel või kaupleja tulu ennustamisel tema varasema kauplemise statistiliste andmete põhjal.

Raha haldamisega seoses on väga oluline mõista, et negatiivsete ootustega tehingute tegemisel puudub rahahaldusskeem, mis võiks kindlasti tuua kõrget kasumit. Kui jätkate nendel tingimustel börsil mängimist, siis olenemata sellest, kuidas te oma raha haldate, kaotate kogu oma konto, olenemata sellest, kui suur see alguses oli.

See aksioom kehtib mitte ainult negatiivse ootusega mängude või tehingute kohta, vaid ka võrdsete võimalustega mängude kohta. Seetõttu on ainus kord, kui teil on võimalus pikaajaliselt kasumit teenida, kui teete positiivse eeldatava väärtusega tehinguid.

Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või negatiivne ootus on; Oluline on vaid see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu peaksite enne raha haldamise kaalumist leidma positiivsete ootustega mängu.

Kui sul sellist mängu pole, siis kogu maailma rahahaldus sind ei päästa. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, saate õige rahahalduse abil muuta selle eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike on positiivne ootus! Teisisõnu, pole vahet, kui tulus on kauplemissüsteem, mis põhineb ühel lepingul. Kui teil on süsteem, mis võidab 10 dollarit lepingu kohta tehingu kohta (pärast vahendustasusid ja libisemist), saate kasutada rahahaldustehnikaid, et muuta see tulusamaks kui süsteem, mille keskmine hind on 1000 dollarit tehingu kohta (pärast komisjonitasude ja libisemise mahaarvamist).

Tähtis pole see, kui kasumlik süsteem oli, vaid see, kui kindel on, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kõige olulisem ettevalmistus, mida kaupleja teha saab, tagada, et süsteem näitaks tulevikus positiivset oodatavat väärtust.

Et omada tulevikus positiivset eeldatavat väärtust, on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite kõrvaldamise või vähendamisega, vaid ka võimalikult paljude süsteemireeglite vähendamisega. Iga lisatav parameeter, iga tehtud reegel, iga väike muudatus süsteemis vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis peate ehitama üsna primitiivse ja lihtsa süsteemi, mis teenib pidevalt väikest kasumit peaaegu igal turul. Jällegi on oluline mõista, et süsteemi kasumlikkusel pole vahet, kui see on kasumlik. Kauplemisel teenitud raha teenitakse tõhusa rahahalduse kaudu.

Kauplemissüsteem on lihtsalt tööriist, mis annab teile positiivse eeldatava väärtuse, et saaksite kasutada rahahaldust. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või mõnel turul või millel on eri turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta suure tõenäosusega kaua reaalajas. Enamiku tehniliselt orienteeritud kauplejate probleem seisneb selles, et nad kulutavad liiga palju aega ja jõupingutusi kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite väärtuste optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et raisata energiat ja arvutiaega kauplemissüsteemi kasumi suurendamisele, suunake oma energia minimaalse kasumi saamise usaldusväärsuse tõstmisele.

Teades, et raha haldamine on vaid numbrite mäng, mis nõuab positiivsete ootuste kasutamist, võib kaupleja lõpetada aktsiakaubanduse "püha graali" otsimise. Selle asemel saab ta hakata oma kauplemismeetodit testima, uurida, kui loogiline see meetod on ja kas see annab positiivseid ootusi. Õiged rahahaldusmeetodid, mida rakendatakse mis tahes, isegi väga keskpäraste kauplemismeetodite puhul, teevad ülejäänud töö ise ära.

Iga kaupleja töös edu saavutamiseks peab ta lahendama kolm kõige olulisemat ülesannet: . Tagada, et edukate tehingute arv ületaks vältimatuid vigu ja valearvestusi; Seadistage oma kauplemissüsteem nii, et teil oleks võimalus võimalikult sageli raha teenida; Saavutage oma tegevusega stabiilseid positiivseid tulemusi.

Ja siin, meile, töötavatele kauplejatele, võib matemaatiline ootus suureks abiks olla. See termin on tõenäosusteoorias üks võtmetähtsusega termineid. Selle abil saate anda mõne juhusliku väärtuse keskmise hinnangu. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on sarnane raskuskeskmega, kui kujutada kõiki võimalikke tõenäosusi erineva massiga punktidena.

Seoses kauplemisstrateegiaga kasutatakse selle efektiivsuse hindamiseks kõige sagedamini matemaatilist kasumiootust (või kahjumit). See parameeter on määratletud kui antud kasumi- ja kahjumitasemete produktide ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegias, et 37% kõigist tehingutest toovad kasumit ja ülejäänud osa - 63% - on kahjumlikud. Samal ajal on eduka tehingu keskmine tulu 7 dollarit ja keskmine kahjum 1,4 dollarit. Arvutame selle süsteemi abil kauplemise matemaatilise ootuse:

Mida see number tähendab? See ütleb, et selle süsteemi reegleid järgides saame igalt suletud tehingult keskmiselt 1708 dollarit. Kuna saadud tõhususe reiting on nullist suurem, saab sellist süsteemi kasutada reaalseks tööks. Kui arvutuse tulemusena osutub matemaatiline ootus negatiivseks, siis see viitab juba keskmisele kahjumile ja selline kauplemine toob kaasa hävingu.

Kasumi suurust tehingu kohta saab väljendada ka suhtelise väärtusena % kujul. Näiteks:

– tulu protsent 1 tehingu kohta - 5%;

– edukate kauplemistehingute osakaal - 62%;

– kahjumi protsent 1 tehingu kohta - 3%;

– ebaõnnestunud tehingute osakaal - 38%;

See tähendab, et keskmine kaubandus toob 1,96%.

Võimalik on välja töötada süsteem, mis hoolimata kahjumlike tehingute ülekaalust annab positiivse tulemuse, kuna selle MO>0.

Siiski ei piisa ainult ootamisest. Raske on raha teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on selle kasumlikkus võrreldav pangaintressiga. Las iga operatsioon toodab keskmiselt ainult 0,5 dollarit, aga mis siis, kui süsteem hõlmab 1000 toimingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga märkimisväärne summa. Sellest järeldub loogiliselt, et hea kauplemissüsteemi teiseks eripäraks võib pidada lühikest positsioonide hoidmise perioodi.

Allikad ja lingid

dic.academic.ru – akadeemiline veebisõnastik

mathematics.ru – matemaatikat käsitlev hariv veebisait

nsu.ru – Novosibirski Riikliku Ülikooli haridusveebisait

webmath.ru on haridusportaal üliõpilastele, taotlejatele ja koolilastele.

exponenta.ru hariduslik matemaatiline veebisait

ru.tradimo.com – tasuta veebikaubanduskool

crypto.hut2.ru – multidistsiplinaarne teabeallikas

poker-wiki.ru – tasuta pokkeri entsüklopeedia

sernam.ru – valitud loodusteaduslike publikatsioonide teaduslik raamatukogu

reshim.su – veebisait LAHENDAME testkursuste probleeme

unfx.ru – Forex UNFX-is: koolitus, kauplemissignaalid, usalduse haldamine

slovopedia.com – suur entsüklopeediline sõnaraamat Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Sinu teejuht pokkerimaailmas

statanaliz.info – infoblogi “Andmete statistiline analüüs”

forex-trader.rf – Forex-Traderi portaal

megafx.ru – praegune Forexi analüüs

fx-by.com – kõik kaupleja jaoks