Määrake juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioon. Statsionaarse protsessi korrelatsioonifunktsioon

9. Korrelatsioonifunktsioon ja selle peamised omadused.

Juhuslike protsesside täielikuks kirjeldamiseks võetakse kasutusele korrelatsiooni f-i mõiste.

võrdne matemaatilise ootuse, dispersiooni, standardhälbega

Eeldatakse, et jaotusseadus on normaalne. Graafikutel on näha järsk erinevus protsesside vahel, vaatamata nende võrdsetele tõenäosusomadustele.

(t)m		(t)

(t )D		(t)

(t)	(t) .

Näiteks lennuki jälgimine. Kui hetkel t asus ta positsioonile 1, siis just sellega on tema võimalik positsioon 2 järgmisel hetkel t 2 piiratud, st sündmused (x 1,t 1) ja (x 2,t 2) ei ole olla sõltumatu. Mida inertsiaalsem on uuritav objekt, seda suurem on see vastastikune sõltuvus ehk korrelatsioon. Corr funktsioon väljendab matemaatiliselt kahe funktsiooni korrelatsiooni või funktsiooni korrelatsiooni iseendaga (autokorrektsiooni funktsioon). Funktsiooni kirjeldatakse järgmiselt:

kus t 1 ja t 2 on mis tahes ajahetked, st t 1 ja t 2 T

Korrelatsioon on statistiline seos kahe või enama juhusliku muutuja vahel.

Korrelatsioonifunktsioon– selline kahe argumendi mittejuhuslik funktsioon R x (t 1 ,t 2 ), mis iga argumentide t 1 ja t 2 fikseeritud väärtuste paari puhul on võrdne nendele juhuslike muutujate x osadele vastava korrelatsioonimomendiga (t 1 ) ja x (t 2 ).

Korrelatsioonifunktsioon on aja funktsioon, mis määrab korrelatsiooni juhuslike protsessidega süsteemides.

Kui momendid t 1 ja t 2 langevad kokku, on korrelatsioonifunktsioon võrdne dispersiooniga. Normaliseeritud korrelatsioonifunktsioon arvutatakse järgmise valemi abil:

) 1,

kus x (t 1) ja x (t 2) r.s.o. juhuslik funktsioon x (t), mille t =t 1 ja t =t 2 vastavalt. Arvutada

nõutav korrelatsioonifunktsioon

tihedus (kahemõõtmeline)

tõenäosused

(x,x

; t, t

) dx dx

Korrelatsioonifunktsioonide omadused

1. Korrelatsioonifunktsioon R x (t 1 , t 2 ) on oma argumentide suhtes sümmeetriline:

R x (t 1 , t 2 ) = R x ( t 2 , t 1 )

vastavalt korrelatsioonifunktsiooni X(t) definitsioonile.

2. Juhuslikule funktsioonile lisamisel X (t) suvaline mittejuhuslik liige

(t), korrelatsioonifunktsioon Z (t) X (t) (t),

siis Rz(t1,t2) =Rx(t1,t2).

3. Juhusliku funktsiooni X (t) korrutamisel suvalise mittejuhusliku teguriga ψ(t), korrelatsioonifunktsioon R x (t 1,t 2) korrutatakse ψ(t 1)ψ(t 2).

06 Loeng.doc

Loeng 6. Juhuslike protsesside korrelatsioonifunktsioonid
Plaan.

1. Juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsiooni mõiste.

2. Statsionaarsus kitsas ja laiemas tähenduses.

3. Komplekti keskmine väärtus.

4. Keskmine väärtus ajas.

5. Ergoodilised juhuslikud protsessid.
Matemaatiline ootus ja dispersioon on juhusliku protsessi olulised omadused, kuid need ei anna piisavat ülevaadet juhusliku protsessi üksikute teostuste olemusest. See on selgelt näha jooniselt fig. 6.1, mis näitab kahe juhusliku protsessi rakendamist, millel on täiesti erinev struktuur, kuigi neil on samad matemaatilise ootuse ja hajutuse väärtused. Katkendjooned joonisel fig. 6.1. näidatud väärtused 3  x (t) juhuslike protsesside jaoks.
Joonisel fig. 6.1, A,ühest sektsioonist teise kulgeb suhteliselt sujuvalt ja joonisel fig. 6.1, b on sektsioonide lõikes tugev varieeruvus. Seetõttu on statistiline seos ristlõigete vahel esimesel juhul suurem kui teisel, kuid seda ei saa kindlaks teha ei matemaatilise ootuse ega dispersiooniga.

Et mingil määral iseloomustada juhusliku protsessi sisemist struktuuri, st võtta arvesse juhusliku protsessi väärtuste vahelist seost erinevatel ajahetkedel või teisisõnu, võtta arvesse juhusliku protsessi väärtuste vahelist suhet. juhusliku protsessi varieeruvus, on vaja juurutada juhusliku protsessi korrelatsiooni (autokorrelatsiooni) funktsiooni mõiste.uus protsess.

^ Juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioon X(t)kutsuda kahe argumendi mittejuhuslikuks funktsiooniksR x (t 1 , t 2), mis iga suvaliselt valitud argumendi väärtuste paari jaoks (ajapunktid) t 1 Jat 2 võrdne kahe juhusliku suuruse korrutise matemaatilise ootusegaX(t 1 ) JaX(t 2 ) juhusliku protsessi vastavad jaotised:

Kus  2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) - kahemõõtmeline tõenäosustihedus.

Sageli kasutavad nad korrelatsioonifunktsiooni jaoks teistsugust avaldist, mis pole juhusliku protsessi enda jaoks kirjutatud. X(t), ja tsentreeritud juhusliku komponendi jaoks X(t). Korrelatsioonifunktsiooni nimetatakse sel juhul tsentreeritud ja määratakse seose põhjal

(6.2)

Erinevad juhuslikud protsessid, olenevalt sellest, kuidas nende statistilised omadused ajas muutuvad, jagunevad paigal Ja mittestatsionaarne. Eristatakse statsionaarsust kitsamas tähenduses ja statsionaarsust laiemas tähenduses.

^ Statsionaarne kitsas tähenduses nimetatakse juhuslikuks protsessiks X(t), kui see n-mõõtmelised jaotusfunktsioonid ja tõenäosustihedus mis tahes P ei sõltu ajalugemise alguse asukohast t, st.

See tähendab, et kaks protsessi, X(t) Ja X(t+ ), omavad kõigi jaoks samad statistilised omadused  , st statsionaarse juhusliku protsessi statistilised omadused on ajas konstantsed. Statsionaarne juhuslik protsess on deterministlikes süsteemides stabiilse oleku protsessi omamoodi analoog.

^ Statsionaarne laiemas mõttes nimetatakse juhuslikuks protsessiks X(t), mille matemaatiline ootus on konstantne:

Ja korrelatsioonifunktsioon sõltub ainult ühest muutujast - argumentide erinevusest  =t 2 -t 1:

(6.5)

Juhusliku protsessi mõiste, statsionaarne laiemas tähenduses. võetakse kasutusele siis, kui juhusliku protsessi statistiliste tunnustena kasutatakse ainult matemaatilist ootust ja korrelatsioonifunktsiooni. Juhuslike protsesside teooria osa, mis kirjeldab juhusliku protsessi omadusi selle matemaatilise ootus- ja korrelatsioonifunktsiooni kaudu, on nn. korrelatsiooniteooria.

Tavalise jaotusseadusega juhusliku protsessi puhul määravad matemaatilise ootuse ja korrelatsioonifunktsioon selle täielikult n-mõõtmeline tõenäosustihedus. Sellepärast tavaliste juhuslike protsesside puhul langevad statsionaarsuse mõiste laiemas ja kitsas tähenduses kokku.

Statsionaarsete protsesside teooria on kõige täiuslikumalt välja töötatud ja võimaldab paljudel praktilistel juhtudel teha suhteliselt lihtsaid arvutusi. Seetõttu on mõnikord soovitav statsionaarsuse eeldus teha ka nendel juhtudel, kui juhuslik protsess, ehkki mittestatsionaarne, kuid süsteemi vaadeldava tööperioodi jooksul ei jõua signaalide statistilistel omadustel aega muutuda. mis tahes olulisel viisil. Kui pole öeldud teisiti, siis järgnevas käsitletakse juhuslikke protsesse, mis on laiemas tähenduses statsionaarsed.

Juhuslike protsesside teoorias kasutatakse kahte keskmiste väärtuste mõistet. Keskmise esimene mõiste on keskmine väärtus üle komplekti(või matemaatiline ootus), mis määratakse juhusliku protsessi rakenduste kogumi vaatluse põhjal samal ajahetkel. Komplekti keskmist väärtust tähistatakse tavaliselt juhuslikku funktsiooni kirjeldava avaldise kohal lainelise joonega:

Üldiselt on kogumi keskmine väärtus aja funktsioon.

Teine keskmise mõiste on keskmine väärtus ajas, mis määratakse juhusliku protsessi eraldiseisva teostuse vaatluse põhjal x{ f) päris pikaks ajaks T. Aja keskmist näitab juhusliku funktsiooni vastava avaldise kohal olev sirgjoon ja see määratakse valemiga

(6.7)

Kui see piir on olemas.

Keskmine väärtus ajas on üldiselt erinev komplekti üksikute rakenduste puhul, mis määratlevad juhusliku protsessi.

Üldjuhul on sama juhusliku protsessi puhul seatud keskmine ja aja keskmine erinevad, kuid nn ergoodiliste statsionaarsete juhuslike protsesside puhul langeb seatud keskmine aja keskmisega kokku:

(6.8)

Võrdsus (6.8) tuleneb ergoodiline teoreem, milles mõnede statsionaarsete juhuslike protsesside puhul on tõestatud, et mis tahes statistiline karakteristik, mis on saadud kogumi üle keskmistamisel tõenäosusega, olenemata sellest, kui lähedane on ühtsusele, langeb kokku ajas keskmistatud tunnusega. Ergodiline teoreem pole kõigi statsionaarsete protsesside jaoks tõestatud, seetõttu räägivad nad juhtudel, kui seda pole veel tõestatud. ergoodiline hüpotees.

Tuleb märkida, et mitte iga statsionaarne protsess ei ole ergoodiline.

Joonisel fig. 6.2. näitab näiteks statsionaarse mitteergoodilise protsessi graafikut, mille puhul võrdsus (6.8) ei kehti. Üldjuhul võib sama juhuslik protsess olla mõne statistilise tunnuse suhtes ergoodiline ja teiste suhtes mitte ergoodiline. Järgnevalt eeldame, et matemaatilise ootuse ja korrelatsioonifunktsiooni ergoodilisuse tingimused on täidetud.

Ergodilise teoreemi (või hüpoteesi) füüsiline tähendus on sügav ja sellel on suur praktiline tähendus. Ergoodiliste statsionaarsete protsesside statistiliste omaduste määramiseks, kui paljude sarnaste süsteemide samaaegset vaatlust on keeruline teostada meelevaldselt valitud ajahetkel, näiteks kui on üks prototüüp, võib selle asendada pikaajalise vaatlusega. üks süsteem. Tegelikult on see fakt statsionaarse juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsiooni eksperimentaalse määramise aluseks ühe teostuse põhjal. Vastupidi, kui sarnaste uuringute jaoks on olemas suur partii masstoodangut, on võimalik samaaegselt vaadelda kõiki partii proove või nende üsna esinduslikku valimit.

Nagu (6.5) näha, on korrelatsioonifunktsioon kogumi keskmine. Vastavalt statsionaarse juhusliku protsessi ergoodilisele teoreemile saab korrelatsioonifunktsiooni defineerida kui korrutise aja keskmist x(t) Ja x(t+ ), st.

(6.9)

Kus x(t)- mis tahes juhusliku protsessi rakendamine.

Ergodilise statsionaarse juhusliku protsessi tsentreeritud korrelatsioonifunktsioon

(6.10

Korrelatsioonifunktsioonide vahel R x ( ) Ja R 0 x ( ) on järgmine ühendus:

R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)

Ergoodsuse omaduse põhjal võib dispersioon olla D x [cm. (19)] defineeritud kui tsentreeritud juhusliku protsessi ruudu ajaline keskmine, s.o.

(6.12)

Võrreldes avaldisi (6.10) ja (6.11), võib seda märgata statsionaarse juhusliku protsessi dispersioon on võrdne tsentreeritud korrelatsioonifunktsiooni algväärtusega:

(6.13)

Võttes arvesse (6.12), saame luua seose dispersiooni ja korrelatsioonifunktsiooni vahel R x ( ), st.

(6.14) ja (6.15) põhjal on selge, et statsionaarse juhusliku protsessi dispersioon on konstantne ja seetõttu on ka standardhälve konstantne:

Kahe juhusliku protsessi vahelise seose statistilised omadused X(t) Ja G(t) saab iseloomustada ristkorrelatsiooni funktsioonR xg (t 1 , t 2), mis iga suvaliselt valitud argumendi väärtuste paari jaoks t 1 , t 2 on võrdne

Ergodilise teoreemi järgi võime (6.18) asemel kirjutada

(6.19)

Kus x(t) Ja g(t) - mis tahes statsionaarsete juhuslike protsesside rakendamine X(t) Ja G(t) vastavalt.

Ristkorrelatsiooni funktsioon R xg (  iseloomustab kahe juhusliku protsessi omavahelist statistilist seost X(t) Ja G(t) erinevatel ajahetkedel, mis on üksteisest eraldatud ajavahemikuga t Tähendus R xg(0) iseloomustab seda seost samal ajahetkel.

(6.19) järeldub, et

(6.20)

Kui juhuslikud protsessid X(t) Ja G(t) ei ole omavahel statistiliselt seotud ja omavad nulli keskmisi väärtusi, siis on nende vastastikune korrelatsioonifunktsioon kõigi m puhul võrdne nulliga. Kuid vastupidise järelduse, et kui ristkorrelatsioonifunktsioon on võrdne nulliga, siis on protsessid sõltumatud, saab teha ainult üksikjuhtudel (eriti normaaljaotusseadusega protsesside puhul), kuid pöördseadus ei omavad üldist jõudu.

Tsentreeritud korrelatsioonifunktsioon R° x (  aja mittejuhuslike funktsioonide korral on identselt võrdne nulliga. Samas korrelatsioonifunktsioon R x (  saab arvutada ka mittejuhuslike (tavaliste) funktsioonide jaoks. Pange tähele, et kui me räägime tavafunktsiooni korrelatsioonifunktsioonist x(t), siis mõistetakse seda lihtsalt kui tavafunktsiooni formaalse rakenduse tulemust x(t) integraaliga väljendatud tehte (6.13).

Iseloomustada mingil määral juhusliku protsessi sisemist struktuuri, s.o. võtta arvesse juhusliku protsessi väärtuste vahelist seost erinevatel ajahetkedel või teisisõnu võtta arvesse juhusliku protsessi varieeruvuse astet, võtta kasutusele korrelatsiooni (autokorrelatsiooni) funktsiooni mõiste. juhuslik protsess.

Juhusliku protsessi korrelatsiooni (või autokorrelatsiooni) funktsioon on kahe argumendi mittejuhuslik funktsioon, mis iga argumendi (ajapunktide) suvaliselt valitud väärtuste paari jaoks on võrdne kahe juhusliku korrutise matemaatilise ootusega. muutujad juhusliku protsessi vastavad lõigud:

Tsentreeritud juhusliku komponendi korrelatsioonifunktsioon nimetatakse tsentreeritud ja määratakse seose põhjal

(1.58)

Funktsiooni nimetatakse sageli kovariatsiooniks ja - autokorrelatsioon .

Statsionaarne kitsas tähenduses mida nimetatakse juhuslikuks protsessiks, kui selle -mõõtmelise jaotuse funktsioonid ja tõenäosustihedused mis tahes ei sõltu aja võrdluspositsioonist. See tähendab, et kahel protsessil on ükskõik millise jaoks samad statistilised omadused, st statsionaarse juhusliku protsessi statistilised omadused on ajas konstantsed. Statsionaarne juhuslik protsess on dünaamilistes süsteemides stabiilse oleku protsessi omamoodi analoog.

Statsionaarne laiemas mõttes mida nimetatakse juhuslikuks protsessiks, mille matemaatiline ootus on konstantne:

ja korrelatsioonifunktsioon sõltub ainult ühest muutujast - argumentide erinevusest:

Juhusliku protsessi mõiste, laiemas tähenduses statsionaarne, võetakse kasutusele siis, kui juhusliku protsessi statistiliste tunnustena kasutatakse ainult matemaatilist ootust ja korrelatsioonifunktsiooni. Juhuslike protsesside teooria osa, mis kirjeldab juhusliku protsessi omadusi selle matemaatilise ootus- ja korrelatsioonifunktsiooni kaudu, on nn. korrelatsiooniteooria.

Tavalise jaotusseadusega juhusliku protsessi puhul määravad matemaatilise ootuse ja korrelatsioonifunktsioon selle täielikult n-mõõtmeline tõenäosustihedus. Sellepärast Tavaliste juhuslike protsesside puhul langevad statsionaarsuse mõisted laias ja kitsas tähenduses kokku.

Juhuslike protsesside teoorias kasutatakse kahte keskmiste väärtuste mõistet. Keskmise esimene mõiste on määrata keskmine (või matemaatiline ootus), mis määratakse juhusliku protsessi mitme teostuse vaatluse põhjal samal ajahetkel. Tavaliselt tähistatakse kogumi keskmist väärtust laineline rida juhuslikku funktsiooni kirjeldava avaldise kohal:

Üldiselt on seatud keskmine aja funktsioon.

Teine keskmise mõiste on keskmine ajas , mis määratakse juhusliku protsessi eraldi realiseerimise vaatluse põhjal piisavalt pika aja jooksul. Aja keskmine on tähistatud otse ridaüle juhusliku funktsiooni vastava avaldise ja määratakse valemiga

, (1.62)

kui see piir on olemas.

Aja keskmine on juhusliku protsessi defineerivate hulga üksikute realisatsioonide puhul üldiselt erinev.

Üldiselt on sama juhusliku protsessi puhul keskmine üle hulga ja keskmine ajas erinevad, kuid nn. ergoodilised statsionaarsed juhuslikud protsessid kogumi keskmine väärtus langeb kokku aja keskmise väärtusega:

Vastavalt statsionaarse juhusliku protsessi ergoodilisele teoreemile saab korrelatsioonifunktsiooni defineerida kui ühe teostuse aja keskmist

(1.64)

Kus - mis tahes juhusliku protsessi rakendamine.

Ergodilise statsionaarse juhusliku protsessi tsentreeritud korrelatsioonifunktsioon

Avaldise (1.65) põhjal võib märkida, et statsionaarse juhusliku protsessi dispersioon on võrdne tsentreeritud korrelatsioonifunktsiooni algväärtusega:

Korrelatsioonianalüüsi teemaks on juhuslike suuruste vaheliste tõenäosuslike sõltuvuste uurimine.

Suurused on sõltumatud, kui nende kummagi jaotusseadus ei sõltu teise poolt võetud väärtusest. Sellisteks väärtusteks võib pidada näiteks detaili materjali vastupidavuse piiri ja teoreetilise pingekontsentratsiooni koefitsienti detaili ohtlikus lõigus.

Suurused on seotud tõenäosuslikud või stohhastilised sõltuvused, kui ühe suuruse teadaolev väärtus ei vasta mitte konkreetsele väärtusele, vaid teise suuruse jaotusseadusele. Tõenäosuslikud sõltuvused tekivad siis, kui suurused ei sõltu ainult nende ühistest teguritest, vaid ka erinevatest juhuslikest teguritest.

Täielikku teavet kahe juhusliku muutuja vahelise tõenäosusliku seose kohta esindab ühine jaotustihedus f(x,y) või tingimuslikud jaotustihedused f(x/y), f(y/x), st juhuslike suuruste X jaotustihedused ja Y konkreetsete väärtuste määramisel juures Ja X vastavalt.

Liigestihedus ja tingimuslikud jaotustihedused on seotud järgmiste seostega:

Tõenäosuslike sõltuvuste peamised tunnused on korrelatsioonimoment ja korrelatsioonikordaja.

Kahe juhusliku suuruse X ja Y korrelatsioonimoment on tsentreeritud juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus:

diskreetseks

pidevaks

kus m x ja m y– X ja Y väärtuste matemaatilised ootused; р ij– individuaalsete väärtuste tõenäosus x i Ja y i.

Korrelatsioonimoment iseloomustab ühtaegu juhuslike suuruste seost ja nende hajumist. Oma mõõtme poolest vastab see sõltumatu juhusliku muutuja dispersioonile. Juhuslike muutujate vahelise seose tunnuste esiletõstmiseks liigume edasi korrelatsioonikordaja juurde, mis iseloomustab seose läheduse astet ja võib varieeruda vahemikus -1 ≤ ρ ≤ 1.

;

kus S x ja S y– juhuslike suuruste standardhälbed.

Väärtused ρ = 1 ja ρ = –1 näitab funktsionaalset sõltuvust, väärtust ρ = 0 näitab, et juhuslikud suurused ei ole korrelatsioonis

Korrelatsiooni peetakse nii suuruste kui sündmuste vahel, aga ka mitmekordset korrelatsiooni, mis iseloomustab seost paljude suuruste ja sündmuste vahel.

Tõenäosuse täpsema analüüsiga määratakse juhuslike suuruste tinglikud matemaatilised ootused m a/x Ja m x/a, st juhuslike suuruste Y ja X matemaatilised ootused antud konkreetsete väärtuste puhul X Ja juures vastavalt.

Tingimusliku matemaatilise ootuse sõltuvus t u/x alates X nimetatakse Y regressiooniks X-st. Sõltuvus t x/a alates juures vastab X regressioonile Y.

Tavapäraselt jaotunud koguste jaoks Y ja X regressioonivõrrand on:

Y regressiooniks X-l

X-i regressiooniks Y-le

Korrelatsioonianalüüsi kõige olulisem rakendusvaldkond usaldusväärsuse probleemide puhul on operatiivvaatluste tulemuste töötlemine ja üldistamine. Juhuslike suuruste Y ja vaatlemise tulemused X mida esindavad paarisväärtused y i, x i i-th vaatlus, kus i=1, 2 . . . P; P– vaatluste arv.

Hindamine r korrelatsioonikordaja ρ määratakse valemiga

Kus , – matemaatiliste ootuste hinnangud t x Ja et vastavalt, st keskmine P väärtuste tähelepanekud

s x , s y- standardhälbete hinnangud Sx Ja S y vastavalt:

Olles määranud tingimuslike matemaatiliste ootuste hinnangu t y/x, t x / a vastavalt läbi ja , empiirilised regressioonivõrrandid U Kõrval X Ja X Kõrval Y kirjutatud järgmisel kujul:

Reeglina on ainult ühel regressioonil praktiline väärtus.

Korrelatsioonikoefitsiendiga r = 1 regressioonivõrrandid on identsed.

Küsimus nr 63 Statistiliste parameetrite hindamine usaldusvahemike abil

Kui testitava parameetri väärtust hinnatakse ühe arvuga, nimetatakse seda punktväärtuseks. Kuid enamiku probleemide puhul on vaja leida mitte ainult kõige usaldusväärsem arvväärtus, vaid ka hinnata usaldusväärsuse astet.

Peate teadma, millise vea põhjustab tõelise parameetri asendamine A selle punkthinnang; Millise usaldusväärsusega võib eeldada, et need vead ei ületa teadaolevaid etteantud piire.

Selleks kasutatakse matemaatilises statistikas nn usaldusvahemikke ja usaldustõenäosusi.

Kui parameetri jaoks A kogemusest saadud erapooletu hinnang , ja ülesanne on seatud võimaliku vea hindamiseks, siis on vaja määrata mingi piisavalt suur tõenäosus β (näiteks β = 0,9; 0,95; 0,99 jne), et sündmust tõenäosusega β saaks pidada praktiliselt usaldusväärseks.

Sel juhul võib leida ε väärtuse, mille jaoks P(| - a| < ε) = β.

Riis. 3.1.1 Usaldusvahemiku diagramm.

Sel juhul asendamise käigus tekkivate praktiliselt võimalike vigade vahemik A ei ületa ± ε. Absoluutväärtuselt suured vead ilmnevad ainult väikese tõenäosusega α = 1 – β. Sündmus, mis on vastupidine ja tundmatu tõenäosusega β, jääb sellesse intervalli ma β= ( - ε; + ε). Tõenäosust β võib tõlgendada kui tõenäosust, et juhuslik intervall ma β katab asja A(joonis 3.1.1).

Tõenäosust β nimetatakse tavaliselt usaldustõenäosuseks ja intervalliks ma β Seda nimetatakse tavaliselt usaldusvahemikuks. Joonisel fig. 3.1.1 võetakse arvesse sümmeetrilist usaldusvahemikku. Üldiselt ei ole see nõue kohustuslik.

Parameetri väärtuste usaldusvahemik a võib pidada väärtuste intervalliks a, mis on kooskõlas eksperimentaalsete andmetega ega ole nendega vastuolus.

Valides ühele lähedase usaldustõenäosuse β, tahame olla kindlad, et teatud tingimuste täitmisel toimub sellise tõenäosusega sündmus.

See on samaväärne tõsiasjaga, et vastupidist sündmust ei juhtu, et jätame tähelepanuta sündmuse tõenäosuse, mis on võrdne α = 1 – β. Märgime, et tühiste tõenäosuste jaoks piiri määramine ei ole matemaatiline probleem. Sellise piiri eesmärk on väljaspool tõenäosusteooriat ja selle määrab igas valdkonnas vastutuse määr ja lahendatavate probleemide iseloom.

Kuid liiga suure ohutusvaru kehtestamine toob kaasa põhjendamatu ja suure ehituskulude tõusu.

65 Küsimus nr 65 Statsionaarne juhuslik protsess.

Statsionaarne juhuslik funktsioon on juhuslik funktsioon, mille kõik tõenäosuslikud karakteristikud ei sõltu argumendist. Statsionaarsed juhuslikud funktsioonid kirjeldavad masina töö statsionaarseid protsesse, mittestatsionaarsed funktsioonid kirjeldavad mittestatsionaarseid protsesse, eriti mööduvaid: käivitamine, seiskamine, režiimi muutmine. Argument on aeg.

Statsionaarsustingimused juhuslike funktsioonide jaoks:

1. matemaatilise ootuse püsivus;

2. dispersiooni püsivus;

3. Korrelatsioonifunktsioon peaks sõltuma ainult argumentide erinevusest, kuid mitte nende väärtustest.

Statsionaarsete juhuslike protsesside näideteks on: õhusõiduki võnkumised stabiilses horisontaalses lennus; juhuslik müra raadios jne.

Iga statsionaarset protsessi võib pidada ajas lõputult jätkuvaks, uurimistöö käigus saab lähtepunktiks valida mis tahes ajahetke. Statsionaarset juhuslikku protsessi mis tahes aja jooksul uurides tuleks saada samad omadused.

Statsionaarsete juhuslike protsesside korrelatsioonifunktsioon on paarisfunktsioon.

Statsionaarsete juhuslike protsesside puhul on efektiivne spektraalanalüüs, s.t. arvesse harmooniliste spektrite või Fourier' jadade kujul. Lisaks tuuakse sisse juhusliku funktsiooni spektraaltiheduse funktsioon, mis iseloomustab dispersioonide jaotust spektraalsageduste vahel.

Dispersioon:

Korrelatsioonifunktsioon:

K x (τ) =

Spektri tihedus:

Sx() =

Statsionaarsed protsessid võivad olla ergoodilised ja mitteergoodilised. Ergodic - kui statsionaarse juhusliku funktsiooni keskmine väärtus piisavalt pika perioodi jooksul on ligikaudu võrdne üksikute rakenduste keskmise väärtusega. Nende jaoks määratakse karakteristikud aja keskmisena.

Küsimus nr 66 Tehniliste objektide töökindlusnäitajad: üksik, kompleksne, arvutuslik, eksperimentaalne, töökorras, ekstrapoleeritud.

Usaldusväärsuse indikaator on ühe või mitme objekti töökindluse moodustava omaduse kvantitatiivne tunnus.

Üksik usaldusväärsusnäitaja on usaldusväärsuse näitaja, mis iseloomustab üht omadust, millest koosneb objekti töökindlus.

Kompleksne töökindlusnäitaja on usaldusväärsuse näitaja, mis iseloomustab mitmeid omadusi, mis moodustavad objekti töökindluse.

Arvutatud töökindlusnäitaja on usaldusväärsuse näitaja, mille väärtused määratakse arvutusmeetodiga.

Katse usaldusväärsuse näitaja on usaldusväärsuse näitaja, mille punkt- või intervallhinnang määratakse katseandmete põhjal.

Töökindluse näitaja – töökindlusnäitaja, mille punkt- või intervallhinnang määratakse tööandmete põhjal.

Ekstrapoleeritud töökindlusnäitaja – töökindlusnäitaja, mille punkt- või intervallhinnang määratakse arvutuste, katsetuste ja (või) tööandmete põhjal ekstrapoleerides teisele tööajale ja muudele töötingimustele.

Küsimus nr 68 Tehniliste esemete ja autode vastupidavuse näitajad.

Gamma-protsendiline ressurss on kogu tööaeg, mille jooksul objekt ei jõua piirseisundisse tõenäosusega g, väljendatuna protsentides.

Keskmine ressurss on ressursi matemaatiline ootus.

Gamma-protsendiline kasutusiga on kalendriline tööaeg, mille jooksul objekt ei jõua piirseisundisse tõenäosusega g, väljendatuna protsentides

Keskmine kasutusiga on kasutusea matemaatiline ootus.

Märge. Vastupidavusnäitajate kasutamisel tuleks märkida lähtepunkt ja tegevuse liik pärast piirseisundi algust (näiteks gammaprotsendiline eluiga teisest kapitaalremondist kuni mahakandmiseni). Vastupidavusnäitajaid, mida loetakse objekti kasutuselevõtust kuni selle lõpliku kasutusest kõrvaldamiseni, nimetatakse gamma-protsendiliseks täisressursiks (kasutusiga), keskmiseks täisressursiks (kasutusiga).

71 71 Ülesanded ja meetodid auto töökindluse ennustamiseks

Prognoosimisel on kolm etappi: tagasivaade, diagnoos ja prognoos. Esimeses etapis tehakse kindlaks masina parameetrite muutuste dünaamika minevikus, teises etapis määratakse elementide tehniline seisund olevikus, kolmandas etapis tehakse kindlaks muutused elementide oleku parameetrites tulevikus. ennustatud.

Autode töökindluse ennustamise põhiülesanded võib sõnastada järgmiselt:

a) Sõidukite töökindluse muutuste mustrite prognoosimine seoses tootmise arendamise väljavaadetega, uute materjalide kasutuselevõtuga ja osade tugevuse suurendamisega.

b) Projekteeritud sõidukite töökindluse hindamine enne nende valmistamist. See ülesanne tekib projekteerimisetapis.

c) Konkreetse sõiduki (või selle komponendi või koostu) töökindluse ennustamine selle parameetrite muutuste tulemuste põhjal.

d) Teatud autokomplekti töökindluse ennustamine piiratud arvu prototüüpide uuringu tulemuste põhjal. Seda tüüpi probleemidega tuleb silmitsi seista juba tootmisetapis.

e) Autode töökindluse ennustamine ebatavalistes töötingimustes (näiteks kui keskkonna temperatuur ja niiskus on lubatust kõrgem, rasked teeolud jne).

Sõiduki töökindluse prognoosimise meetodid valitakse, võttes arvesse prognoosimisülesandeid, esialgse teabe kogust ja kvaliteeti ning töökindlusnäitaja (ennustatava parameetri) muutmise reaalse protsessi olemust.

Kaasaegsed prognoosimismeetodid võib jagada kolme põhirühma: a) eksperthinnangute meetodid; b) modelleerimismeetodid, sealhulgas füüsikalised, füüsikalis-matemaatilised ja teabemudelid; c) statistilised meetodid.

Eksperthinnangutel põhinevad prognoosimeetodid hõlmavad üldistamist, statistilist töötlemist ja spetsialistide arvamuste analüüsi selle valdkonna arenguperspektiivide kohta.

Modelleerimismeetodid põhinevad sarnasusteooria aluspõhimõtetel. Lähtudes varem uuritud modifikatsiooni A näitajate ja sama auto või selle komponendi modifikatsiooni B mõningate omaduste sarnasusest, prognoositakse B töökindlusnäitajad teatud perioodiks.

Statistilised prognoosimeetodid põhinevad eeluuringute tulemusena saadud prognoositavate usaldusväärsuse parameetrite ekstrapoleerimisel ja interpoleerimisel. Meetod põhineb sõiduki töökindluse parameetrite aja jooksul muutuvatel mustritel

Küsimus nr 74 Prognoosimise matemaatilised meetodid. Usaldusväärsuse matemaatiliste mudelite konstrueerimine.

Ülekande töökindluse ennustamisel on võimalik kasutada järgmisi mudeleid: 1) “nõrgim” lüli; 2) osade elementide sõltuvad ressursid; 3) detailielementide iseseisvad ressursid. I-nda elemendi ressurss määratakse seose põhjal:

x i = R i /r i,

kus R i on i-nda elemendi kriteeriumi kvantitatiivne väärtus, mille korral selle rike ilmneb;

r i – i-nda elemendi kriteeriumi kvantitatiivse hinnangu keskmine juurdekasv ressursiühiku kohta.

R i ja r i väärtused võivad olla juhuslikud teatud jaotusseadustega või konstantsed.

Valiku puhul, kui R i on konstantne ja r i on muutuv ja neil on funktsionaalne seos sama juhusliku suurusega, kaaluge olukorda, kui r i väärtuste vahel on lineaarne funktsionaalne seos, mis viib "nõrgeima" lülini mudel. Sel juhul vastab süsteemi töökindlus "nõrgeima" lüli töökindlusele.

Sõltuvate ressursside mudelit rakendatakse skeemi järgi laadimisel, kui esineb masstoodangu masinate töötingimuste levik või ebakindlus unikaalsete masinate töötingimustes. Sõltumatute ressursside mudel tekib laadimisel konkreetsete töötingimustega skeemi järgi.

Avaldis sõltumatute ressursielementidega süsteemi töökindluse arvutamiseks.

Küsimus nr 79 Süsteemi, osade ja elementide skemaatiline laadimine (ülekande näitel).

Käigukasti all peame silmas auto kui terviku või selle eraldiseisva, üsna keeruka osa sõitu, mis ühel või teisel põhjusel tuleb eraldada. Jõuülekande koormuse määravad võimsuse ja kiiruse komponendid. Jõukomponenti iseloomustab pöördemoment, kiiruskomponenti aga pöörlemise nurkkiirus, mis määrab ülekandeosade laadimistsüklite arvu või kontaktpindade libisemiskiiruse.

Sõltuvalt detaili tüübist võib pöördemomendi skemaatiline joonis detaili koormuse saamiseks olla erinev. Näiteks hammasrataste ja laagrite koormuse määrab momentide praegune väärtus ja võllide väändekoormus selle amplituudi suuruse järgi.

Lähtuvalt töötingimustest saab ülekande koormuse esitada järgmiste diagrammide kujul.

1. Iga režiim vastab ühemõõtmelisele jaotuskõverale.

2. Iga režiimi jaoks on meil n ühemõõtmelist jaotuskõverat (n on masina töötingimuste arv). Toimimise tõenäosus igas olukorras on spetsiifiline.

3. Iga režiimi jaoks on meil üks voolu ja keskmise pöördemomendi väärtuste kahemõõtmeline jaotus.

Skeemi 1 saab kasutada masstoodangu masinate puhul täpselt samadel töötingimustel või unikaalse masina puhul kindlates töötingimustes.

Skeem 2 ei erine kvalitatiivselt skeemist 1, kuid mõnel juhul on arvutamiseks soovitatav, et iga töötingimus vastaks koormuskõverale.

Skeem 3 võib iseloomustada ainulaadse masina jõuülekande koormust, mille konkreetsed töötingimused pole teada, kuid tingimuste ulatus on teada.

82 Küsimus nr 82 Süsteemne lähenemine osade eluea ennustamisele

Autot tuleks käsitleda kui kompleksset süsteemi, mis on moodustatud selle järjestikku ühendatud sõlmede, osade ja elementide töökindluse seisukohast.

Kauba ressurss:

T i = R i /r i,

kus R i on i-nda elemendi piirseisundi kriteeriumi kvantitatiivne väärtus, mille juures selle rike ilmneb;

g i - kriteeriumi kvantitatiivse hinnangu keskmine juurdekasv

i-nda elemendi piirseisund ressursiühiku kohta.

R i ja r i võivad olla juhuslikud või konstantsed ja on võimalikud

järgmised valikud:

1. R i - juhuslik, r i - juhuslik;

2. R i - juhuslik, r i - konstantne;

3. R i - konstantne, r i - juhuslik;

4. R i - konstandid, r i - konstandid.

Esimese kolme variandi puhul loeme R i sõltumatuteks juhuslikeks muutujateks.

1.a) r i - sõltumatu

Süsteemi töökindlust peetakse FBG korrutamiseks

b) r i - juhuslik ja tõenäosusega seotud

f (r i / r j) = f (ri, r j)/ f (r j);

f (r j / r i) = f (r i, r j)/ f (r i).

Kui r i ja r j sõltuvad teineteisest, siis sõltuvad ka ressursid üksteisest

Arvutamiseks kasutatakse sõbra ja elemendi ressursi sõltuvuse mudelit. Sest seos on tõenäosuslik, siis kasutatakse tingimuslike funktsioonide meetodit.

c) r i - juhuslik ja funktsionaalselt seotud.

Sel juhul sõltuvad üksteisest vabad kogused, samuti sõltuvad üksteisest ressursid. Ainult funktsionaalse sõltuvuse tõttu on ühendus tugevam kui muudel juhtudel.

2. sõltumatute elementide ressursside mudel.

Süsteemi FBR on võrdne kõigi elementide FBR summaga.

3. Võimalikud on samad juhud, mis punktis 1, ainult juhtudel b) ja c) toimub sõltuvate ressursside suurenemine tänu R i püsivusele. Juhul c) r i on funktsionaalne ühendus,

olukord on võimalik, kui rakendatakse "nõrgeima" lüli mudelit.

R 1 , R 2 – konstandid;

r 1 ,r 2 – juhuslik;

r 1 = 1,5 ∙ r 2;

R1 = T∙r1;

R2 = T ∙ r2;

Kui teise kahe konkreetse väärtuse puhul r 1, r 2,

sama ressursside suhe T 1 > T 2, siis element 2 on "nõrgem"

link, st. see määrab selle süsteemi töökindluse.

Nõrgeima lüli mudeli rakendamine:

Kui süsteemis on element, mille kriteerium R on kõigi teiste elementide puhul sellest kriteeriumist oluliselt väiksem ja kõik elemendid on ligikaudu võrdselt koormatud;

Kui kõigi elementide R-kriteerium on ligikaudu sama ja ühe elemendi koormus on oluliselt suurem kui kõigi teiste elementide puhul.

Küsimus nr 83 Osade (võllid, hammasrattad või jõuülekandesõlmede laagrid) kasutusea määramine katsekoormustingimuste alusel.

Veerelaagrite eluea määramine.

Jõuülekandesõlmede ja šassii veerelaagrite vastupidavuse määramiseks on vaja teha mitut tüüpi arvutusi: staatilise tugevuse, kontakti väsimuse, kulumise kohta.

Ebaõnnestumise mudel:

kus f(R) on ressursi jaotustihedus;

, – tiheduse ja ressursside jaotusfunktsioon i-ndat tüüpi hävitava protsessi jaoks;

n – arvutustüüpide arv.

Kõige laialdasemalt kasutatav veerelaagrite arvutus kontaktväsimuse jaoks on:

R = a p C d mρ No 50 [β -1 ,

kus C d – dünaamiline kandevõime;

nr 50 – väsimuskõvera tsüklite arv, mis vastab 50% tõenäosusele, et laager ei purune koormuse C d korral;

m ρ – astendaja (kuul = 3, rull = 3,33);

Laagri koormuse sagedus k-nda käiguga liikumisel;

Vähendatud koormuse jaotustihedus k-nda käiguga sõitmisel i-ndas töötingimustes.

Arvutamise põhijooned.

1. Kuna laagrite väsimuskõvera jaoks on vastupidavuspiiri asemel kasutusele võetud C d (mis vastab mittepurunemise tõenäosusele 90% 10 6 tsükli juures), siis on vaja liikuda 50%-le vastavale väsimuskõverale. mittehävimisest. Arvestades, et jaotustihedus koormuse all laagrile C d järgib Weibulli seadust, siis No 50 = 4,7 ∙ 10 6 tsüklit.

2. Valemisse integreerimine toimub nullist ja väsimuskõvera parameetreid - m ρ, No 50 ja C d - ei korrigeerita. Seetõttu ei mõjuta summeerimis- ja integreerimisoperatsioonide ümberkorraldamine tingimusel = const R väärtust. Järelikult on üldistatud koormusrežiimi ja üksikute koormusrežiimide arvutused identsed. Kui väärtused erinevad oluliselt, arvutatakse keskmine ressurss R ik iga ülekande jaoks eraldi:

R ik = a p C d mρ Ei [β -1 ,

valemi saab kirjutada:

R = [ -1 ,

P = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K b ∙ K T ∙ K m;

kus F r, F a – radiaal- ja aksiaalkoormused;

K v – pöörlemistegur;

K b – pöörlemistegur;

K T – temperatuurikoefitsient;

K m – materjali koefitsient;

K Fr , K Fa – radiaal- ja aksiaalkoormuste koefitsient.

4. Võlli M pöördemomendi ja laagri vähenenud koormuse vaheline seos:

Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ∙ M;

kus K R on teisendustegur;

K R , K A – pöördemomendi teisenduskoefitsiendid kogu laagri radiaal- ja aksiaalkoormusteks.

Laagri koormussagedus vastab selle pöörlemise sagedusele.

1000 U Σα (2πr ω)

kus U Σα on võlli ja sõiduki veorataste ülekande summaarne ülekandearv k-nda käigu sisselülitamisel.

5. Laagriressursi jaotustiheduse ja selle parameetrite arvutamine toimub staatilise modelleerimise meetodil.

Küsimus nr 12 Autode spetsiifiline materjalikulu.

Sõiduki materjalikulu määramisel võetakse aluseks kattega šassii mass. Šassii massi kasutamise otstarbekust auto materjalikulu hindamisel seletab sama baasauto šassiile paigaldatud erinevat tüüpi kerede või muude erineva kaaluga pealisehitistega eriautode tootmise laialdane areng. Seetõttu on välismaiste veoautode kaubamärgiga brošüürid ja kataloogid reeglina esitanud äärekivi šassii, mitte sõiduki massi. Samas ei arvesta paljud välisfirmad varustuse ja lisavarustuse kaalu varustatud šassii massi hulka ning kütuse täituvus on erinevates standardites märgitud erinevalt.

Erinevate mudelite autode materjalikulu objektiivseks hindamiseks tuleb need viia ühte konfiguratsiooni. Sel juhul määratakse šassii kandevõime sõiduki konstruktsiooni kogumassi ja äärekiviga šassii massi vahena.

Auto materjalikulu peamine näitaja on šassii erikaal:

m beat = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)P];

kus m maandatud šassii on varustatud šassii kaal,

m з.сн – tankimise ja varustuse mass,

m к.а – sõiduki ehituslik kogumass,

P – väljakujunenud ressurss enne kapitaalremonti.

Traktori puhul võetakse arvesse maanteerongi kogumassi:

m lööma = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)KR];

kus K on autorongi osana kasutamiseks mõeldud veduk-haagissõidukite näidikute parandustegur

K = m a /m k.a;

kus m a on maanteerongi kogumass.

Seotud Informatsioon.

Sidesüsteemide häireid kirjeldatakse juhuslike protsesside teooria meetoditega.

Funktsiooni nimetatakse juhuslikuks, kui see eksperimendi tulemusena omandab ühe või teise kuju ja pole ette teada, millise. Juhuslik protsess on aja juhuslik funktsioon. Spetsiifilist vormi, mille juhuslik protsess katse tulemusena omandab, nimetatakse juhusliku protsessi realiseerimiseks.

Joonisel fig. Joonisel 1.19 on kujutatud juhusliku protsessi , , , mitme (kolme) teostuse komplekt. Sellist kollektsiooni nimetatakse teostuste ansambliks. Fikseeritud ajahetke väärtusega esimeses katses saame konkreetse väärtuse, teises - , kolmandas - .

Juhuslik protsess on olemuselt kahekordne. Ühelt poolt esindab seda igas konkreetses katses selle rakendamine - aja mittejuhuslik funktsioon. Teisest küljest kirjeldab juhuslikku protsessi juhuslike muutujate hulk.

Tõepoolest, vaatleme juhuslikku protsessi kindlal ajahetkel, siis igas katses võtab see ühe väärtuse ja pole ette teada, milline. Seega on kindlal ajahetkel vaadeldav juhuslik protsess juhuslik muutuja. Kui registreeritakse kaks ajahetke ja, siis igas katses saame kaks väärtust ja . Sel juhul viib nende väärtuste ühine arvestamine kahe juhusliku muutuja süsteemini. Analüüsides juhuslikke protsesse N ajahetkel, jõuame N juhusliku muutuja hulga või süsteemini .

Juhusliku protsessi matemaatiline ootus, dispersioon ja korrelatsioonifunktsioon Kuna kindlal ajahetkel vaadeldav juhuslik protsess on juhuslik suurus, saame rääkida juhusliku protsessi matemaatilisest ootusest ja dispersioonist:

, .

Nii nagu juhusliku muutuja puhul, iseloomustab dispersioon juhusliku protsessi väärtuste levikut keskmise väärtuse suhtes. Mida suurem , seda suurem on väga suurte positiivsete ja negatiivsete protsessiväärtuste tõenäosus. Mugavam omadus on standardhälve (MSD), millel on sama mõõde kui juhuslikul protsessil endal.

Kui juhuslik protsess kirjeldab näiteks kauguse muutumist objektini, siis on matemaatiline ootus keskmine vahemik meetrites; dispersiooni mõõdetakse ruutmeetrites ja Sco mõõdetakse meetrites ning see iseloomustab võimalike vahemike väärtuste levikut keskmise suhtes.

Keskmine ja dispersioon on väga olulised omadused, mis võimaldavad meil hinnata juhusliku protsessi käitumist kindlal ajahetkel. Kui aga on vaja hinnata protsessi muutumise “kiirust”, siis vaatlustest ühel ajahetkel ei piisa. Sel eesmärgil kasutatakse kahte juhuslikku muutujat, mida vaadeldakse koos. Nii nagu juhuslike muutujate puhul, tuuakse sisse ja vahelise seose või sõltuvuse tunnus. Juhusliku protsessi puhul sõltub see tunnus kahest ajahetkest ja seda nimetatakse korrelatsioonifunktsiooniks: .

Statsionaarsed juhuslikud protsessid. Paljud protsessid juhtimissüsteemides toimuvad aja jooksul ühtlaselt. Nende põhiomadused ei muutu. Selliseid protsesse nimetatakse statsionaarseteks. Täpse määratluse võib anda järgmiselt. Juhuslikku protsessi nimetatakse statsionaarseks, kui mõni selle tõenäosuslikest omadustest ei sõltu aja alguse nihkest. Statsionaarse juhusliku protsessi korral on matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve konstantsed: , .

Statsionaarse protsessi korrelatsioonifunktsioon ei sõltu alguspunktist t, s.t. sõltub ainult ajavahest:

Statsionaarse juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioonil on järgmised omadused:

1) ; 2) ; 3) .

Sageli on sidesüsteemide protsesside korrelatsioonifunktsioonid joonisel fig. 1.20.

Riis. 1.20. Protsesside korrelatsioonifunktsioonid

Ajavahemik, mille jooksul korrelatsioonifunktsioon, s.o. juhusliku protsessi väärtuste vahelise seose suurus väheneb M korda, mida nimetatakse juhusliku protsessi intervalliks või korrelatsiooniajaks. Tavaliselt või. Võib öelda, et juhusliku protsessi väärtused, mis ajaliselt erinevad korrelatsiooniintervalli järgi, on omavahel nõrgalt seotud.

Seega võimaldab teadmine korrelatsioonifunktsioonist hinnata juhusliku protsessi muutumise kiirust.

Teine oluline omadus on juhusliku protsessi energiaspekter. Seda määratletakse kui korrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendust:

Ilmselt kehtib ka pöördteisendus:

Energiaspekter näitab juhusliku protsessi, näiteks häirete, võimsusjaotust sagedusteljel.

ACS-i analüüsimisel on väga oluline määrata lineaarse süsteemi väljundis juhusliku protsessi tunnused, millel on teadaolevad protsessi omadused ACS-i sisendis. Oletame, et lineaarne süsteem on antud impulsi transientreaktsiooniga. Seejärel määrab väljundsignaali ajahetkel Duhameli integraal:

kus on protsess süsteemisisendis. Korrelatsioonifunktsiooni leidmiseks kirjutame ja pärast korrutamist leiame matemaatilise ootuse