Otsene ja pöördvõrdelisus

Kui t on jalakäija liikumisaeg (tundides), s on läbitud vahemaa (kilomeetrites) ja ta liigub ühtlaselt kiirusega 4 km/h, siis saab nende suuruste seost väljendada valemiga s = 4t. Kuna iga väärtus t vastab ühele väärtusele s, võime öelda, et funktsioon defineeritakse valemiga s = 4t. Seda nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks ja see defineeritakse järgmiselt.

Definitsioon. Otsene proportsionaalsus on funktsioon, mida saab määrata valemiga y=kx, kus k on nullist erinev reaalarv.

Funktsiooni y = k x nimi tuleneb asjaolust, et valemis y = k x on muutujad x ja y, mis võivad olla suuruste väärtused. Ja kui kahe suuruse suhe on võrdne mõne nullist erineva arvuga, nimetatakse neid võrdeline . Meie puhul = k (k≠0). Seda numbrit kutsutakse proportsionaalsuskoefitsient.

Funktsioon y = k x on paljude reaalsete olukordade matemaatiline mudel, mida käsitleti juba matemaatika algkursusel. Üks neist on eespool kirjeldatud. Teine näide: kui ühes kotis jahu on 2 kg ja selliseid kotte osteti x, siis saab kogu ostetud jahu massi (tähistatakse y-ga) esitada valemiga y = 2x, s.o. kottide arvu ja ostetud jahu kogumassi suhe on võrdeline koefitsiendiga k=2.

Meenutagem mõningaid otsese proportsionaalsuse omadusi, mida õpitakse koolimatemaatika kursusel.

1. Funktsiooni y = k x määratluspiirkond ja selle väärtuste vahemik on reaalarvude hulk.

2. Otsese proportsionaalsuse graafik on alguspunkti läbiv sirge. Seetõttu piisab otsese proportsionaalsuse graafiku koostamiseks sellest, kui leiad ainult ühe sellesse kuuluva punkti, mis ei lange kokku koordinaatide alguspunktiga, ning tõmba seejärel läbi selle punkti ja koordinaatide alguspunkti sirge.

Näiteks funktsiooni y = 2x graafiku koostamiseks piisab, kui on punkt koordinaatidega (1, 2) ja seejärel tõmmatakse läbi selle sirge ja koordinaatide alguspunkt (joonis 7).

3. Kui k > 0, suureneb funktsioon y = khx kogu definitsioonipiirkonna ulatuses; kell k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Kui funktsioon f on otsene proportsionaalsus ja (x 1, y 1), (x 2, y 2) on muutujate x ja y vastavate väärtuste paarid ning x 2 ≠0, siis.

Tõepoolest, kui funktsioon f on otsene proportsionaalsus, saab selle anda valemiga y = khx ja siis y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Kuna x 2 ≠0 ja k≠0 juures, siis y 2 ≠0. Sellepärast ja see tähendab.

Kui muutujate x ja y väärtused on positiivsed reaalarvud, saab otsese proportsionaalsuse tõestatud omaduse sõnastada järgmiselt: muutuja x väärtuse mitmekordsel suurenemisel (vähenemisel) suureneb (väheneb) muutuja y vastav väärtus sama palju.

See omadus on omane ainult otsesele proportsionaalsusele ja seda saab kasutada tekstülesannete lahendamisel, milles arvestatakse otseselt proportsionaalseid suurusi.

Ülesanne 1. 8 tunni jooksul tootis treial 16 detaili. Mitu tundi kulub treipingil 48 detaili tootmiseks, kui ta töötab sama tootlikkusega?

Lahendus. Ülesanne arvestab järgmisi suurusi: treial tööaeg, tema valmistatud detailide arv ja tootlikkus (st treial 1 tunni jooksul toodetud detailide arv), kusjuures viimane väärtus on konstantne ja ülejäänud kaks võtavad kasutusele erinevad väärtused. Lisaks on valmistatud detailide arv ja tööaeg otseselt võrdelised suurused, kuna nende suhe on võrdne teatud arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, nimelt treial tehtud detailide arvuga 1 tunni jooksul Valmistatud osade arvu tähistatakse tähega y, tööaeg on x ja tootlikkus on k, siis saame, et = k või y = khx, s.o. Ülesandes esitatud olukorra matemaatiline mudel on otsene proportsionaalsus.

Ülesande saab lahendada kahel aritmeetilisel viisil:

1. viis: 2. viis:

1) 16:8 = 2 (lapsed) 1) 48:16 = 3 (korda)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Ülesande esimesel viisil lahendades leidsime esmalt proportsionaalsuskoefitsiendi k, see on võrdne 2-ga ja seejärel, teades, et y = 2x, leidsime x väärtuse eeldusel, et y = 48.

Ülesande teisel viisil lahendamisel kasutasime otsese proportsionaalsuse omadust: sama palju kui treial valmistatud detailide arv suureneb, suureneb nende valmistamise aeg sama palju.

Vaatleme nüüd funktsiooni, mida nimetatakse pöördproportsionaalsuseks.

Kui t on jalakäija liikumisaeg (tundides), v on tema kiirus (km/h) ja ta kõndis 12 km, siis saab nende suuruste seost väljendada valemiga v∙t = 20 või v = .

Kuna iga väärtus t (t ≠ 0) vastab ühele kiiruse väärtusele v, võime öelda, et funktsioon määratakse valemiga v =. Seda nimetatakse pöördproportsionaalsuseks ja see defineeritakse järgmiselt.

Definitsioon. Pöördproportsionaalsus on funktsioon, mida saab määrata valemiga y =, kus k on reaalarv, mis ei ole võrdne nulliga.

Selle funktsiooni nimi tuleneb asjaolust, et y = on muutujad x ja y, mis võivad olla suuruste väärtused. Ja kui kahe suuruse korrutis võrdub mõne nullist erineva arvuga, nimetatakse neid pöördvõrdelisteks. Meie puhul xy = k(k ≠0). Seda arvu k nimetatakse proportsionaalsuskoefitsiendiks.

Funktsioon y = on matemaatiline mudel paljudest reaalsetest olukordadest, mida käsitleti juba matemaatika algkursusel. Üks neist on kirjeldatud enne pöördproportsionaalsuse määratlust. Teine näide: kui ostsite 12 kg jahu ja panite selle l: y kg purkidesse, siis võib nende koguste seost esitada kujul x-y = 12, s.t. see on pöördvõrdeline koefitsiendiga k=12.

Meenutagem mõningaid pöördproportsionaalsuse omadusi, mis on tuntud kooli matemaatika kursusest.

1. Funktsiooni määratluse domeen y = ja selle väärtuste vahemik x on nullist erinevate reaalarvude hulk.

2. Pöördvõrdelisuse graafik on hüperbool.

3. Kui k > 0 asuvad hüperbooli harud 1. ja 3. veerandis ning funktsioon y = väheneb kogu x definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 8).

Riis. 8 Joonis 9

Kell k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = suureneb kogu x definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 9).

4. Kui funktsioon f on pöördproportsionaalsus ja (x 1, y 1), (x 2, y 2) on muutujate x ja y vastavate väärtuste paarid, siis.

Tõepoolest, kui funktsioon f on pöördvõrdeline, saab selle anda valemiga y = ,ja siis . Kuna x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0, siis

Kui muutujate x ja y väärtused on positiivsed reaalarvud, saab selle pöördproportsionaalsuse omaduse sõnastada järgmiselt: muutuja x väärtuse mitmekordsel suurenemisel (vähenemisel) muutub muutuja vastav väärtus. y väheneb (suureneb) sama palju.

See omadus on omane ainult pöördproportsionaalsusele ja seda saab kasutada tekstülesannete lahendamisel, milles arvestatakse pöördproportsionaalseid suurusi.

Ülesanne 2. Jalgrattur, liikudes kiirusega 10 km/h, läbis vahemaa punktist A punkti B 6 tunniga Kui palju kulub jalgratturil aega tagasiteel, kui ta sõidab kiirusega 20 km/h?

Lahendus. Ülesanne arvestab järgmisi suurusi: jalgratturi kiirus, liikumisaeg ja kaugus punktist A punkti B, kusjuures viimane suurus on konstantne, ülejäänud kaks aga erineva väärtusega. Lisaks on liikumise kiirus ja aeg pöördvõrdelised suurused, kuna nende korrutis on võrdne teatud arvuga, nimelt läbitud vahemaaga. Kui jalgratturi liikumisaega tähistada tähega y, kiirust x-ga ja vahemaad AB-ga k, siis saame, et xy = k või y =, s.t. Ülesandes esitatud olukorra matemaatiline mudel on pöördproportsionaalsus.

Probleemi lahendamiseks on kaks võimalust:

1. viis: 2. viis:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (korda)

2) 60:20 = 3 (4) 2) 6:2 = 3 (h)

Ülesande esimesel viisil lahendades leidsime esmalt proportsionaalsuse koefitsiendi k, see on võrdne 60-ga ja seejärel, teades, et y =, leidsime y väärtuse eeldusel, et x = 20.

Ülesande teisel viisil lahendamisel kasutasime pöördproportsionaalsuse omadust: mitu korda suureneb liikumiskiirus, sama arvu võrra väheneb sama vahemaa läbimise aeg.

Pange tähele, et konkreetsete ülesannete lahendamisel pöördvõrdeliste või otseselt proportsionaalsete suurustega kehtestatakse teatud piirangud eelkõige x-ile ja y-le, neid saab käsitleda mitte kogu reaalarvude hulgale, vaid selle alamhulkadele.

Probleem 3. Lena ostis x pliiatsit ja Katya ostis 2 korda rohkem. Märgistage Katya ostetud pliiatsite arv y-ga, väljendage y-d x-ga ja koostage kindlaksmääratud vastavuse graafik, eeldusel, et x≤5. Kas see kirjavahetus on funktsioon? Mis on selle määratlusvaldkond ja väärtuste vahemik?

Lahendus. Katya ostis = 2 pliiatsit. Funktsiooni y=2x joonistamisel tuleb arvestada, et muutuja x tähistab pliiatsite arvu ja x≤5, mis tähendab, et see võib võtta ainult väärtused 0, 1, 2, 3, 4, 5. See on selle funktsiooni määratluspiirkond. Selle funktsiooni väärtusvahemiku saamiseks peate korrutama iga definitsioonivahemiku x väärtuse 2-ga, s.o. see on komplekt (0, 2, 4, 6, 8, 10). Seetõttu saab funktsiooni y = 2x graafik definitsioonipiirkonnaga (0, 1, 2, 3, 4, 5) joonisel 10 näidatud punktide kogumiks. Kõik need punktid kuuluvad sirgele y = 2x .

Sõltuvuste tüübid

Vaatame aku laadimist. Esimese kogusena võtame laadimiseks kuluva aja. Teine väärtus on aeg, mil see pärast laadimist töötab. Mida kauem akut laadite, seda kauem see kestab. Protsess jätkub, kuni aku on täielikult laetud.

Aku tööaja sõltuvus laadimisajast

Märkus 1

Seda sõltuvust nimetatakse sirge:

Kui üks väärtus suureneb, suureneb ka teine. Kui üks väärtus väheneb, väheneb ka teine ​​väärtus.

Vaatame teist näidet.

Mida rohkem raamatuid õpilane loeb, seda vähem vigu ta dikteerimisel teeb. Või mida kõrgemale mägedes tõused, seda madalam on atmosfäärirõhk.

Märkus 2

Seda sõltuvust nimetatakse tagurpidi:

Kui üks väärtus suureneb, siis teine ​​väheneb. Kui üks väärtus väheneb, siis teine ​​väärtus suureneb.

Seega juhul otsene sõltuvus mõlemad suurused muutuvad võrdselt (mõlemad kas suurenevad või vähenevad) ning juhul pöördvõrdeline seos– vastupidine (üks suureneb ja teine ​​väheneb või vastupidi).

Suuruste vaheliste sõltuvuste määramine

Näide 1

Sõbra külastamiseks kuluv aeg on $20 $ minutit. Kui kiirus (esimene väärtus) suureneb $2$ korda, siis leiame, kuidas muutub aeg (teine ​​väärtus), mis kulub teel sõbra juurde.

Ilmselt väheneb aeg $2$ korda.

Märkus 3

Seda sõltuvust nimetatakse proportsionaalne:

Mitu korda muutub üks suurus, mitu korda muutub teine ​​suurus.

Näide 2

Poes $2$ leivapätsi eest tuleb maksta 80 rubla. Kui teil on vaja ostma 4 dollarit leiba (leiva kogus suureneb 2 dollarit korda), siis mitu korda rohkem peate maksma?

Ilmselgelt suurenevad kulud ka $2 $ korda. Meil on näide proportsionaalsest sõltuvusest.

Mõlemas näites võeti arvesse proportsionaalseid sõltuvusi. Kuid leivapätside näites muutuvad kogused ühes suunas, seega sõltuvus on sirge. Ja sõbra majja mineku näitel on kiiruse ja aja suhe tagurpidi. Seega on olemas otseselt proportsionaalne suhe Ja pöördvõrdeline suhe.

Otsene proportsionaalsus

Vaatleme $2$ proportsionaalseid koguseid: leivapätside arv ja nende maksumus. Maksku $2$ leivapäts 80$ rubla. Kui kuklite arv suureneb $4$ korda ($8$ kuklid), on nende kogumaksumus $320$ rubla.

Kuklite arvu suhe: $\frac(8)(2)=4$.

Kuklite maksumuse suhe: $\frac(320)(80)=4 $.

Nagu näete, on need suhted üksteisega võrdsed:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definitsioon 1

Kahe suhte võrdsust nimetatakse proportsioon.

Otseselt proportsionaalse sõltuvusega saadakse seos, kui esimese ja teise suuruse muutus langeb kokku:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

2. definitsioon

Neid kahte suurust nimetatakse võrdeline, kui ühe muutumisel (suurenemisel või vähenemisel) muutub (vastavalt suureneb või väheneb) ka teine ​​väärtus sama palju.

Näide 3

Auto läbis $2$ tunniga 180$ km. Leidke aeg, mille jooksul ta läbib sama kiirusega $2$-kordse vahemaa.

Lahendus.

Aeg on otseselt võrdeline vahemaaga:

$t=\frac(S)(v)$.

Mitu korda pikeneb vahemaa konstantsel kiirusel sama palju, kui aeg pikeneb:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Auto läbis $2$ tunniga 180$ km

Auto läbib $180 \cdot 2=360 $ km – $x$ tunniga

Mida kaugemale auto sõidab, seda kauem see aega võtab. Järelikult on koguste vaheline seos otseselt võrdeline.

Teeme proportsiooni:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Vastus: Auto vajab 4 $ tundi.

Pöördvõrdelisus

3. definitsioon

Lahendus.

Aeg on kiirusega pöördvõrdeline:

$t=\frac(S)(v)$.

Mitu korda suureneb kiirus sama tee juures, aeg väheneb sama palju:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Kirjutame probleemitingimuse tabeli kujul:

Auto läbis $60$ km – $6$ tunniga

Auto läbib $120 $ km – $x$ tunniga

Mida kiiremini auto sõidab, seda vähem aega kulub. Järelikult on suuruste suhe pöördvõrdeline.

Teeme proportsiooni.

Sest proportsionaalsus on pöördvõrdeline, proportsiooni teine ​​seos on vastupidine:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Vastus: Auto vajab 3 $ tundi.

Täna vaatame, milliseid suurusi nimetatakse pöördvõrdelisteks, kuidas näeb välja pöördproportsionaalsuse graafik ja kuidas see kõik võib teile kasulik olla mitte ainult matemaatikatundides, vaid ka väljaspool kooli.

Sellised erinevad proportsioonid

Proportsionaalsus nimeta kaks suurust, mis on üksteisest vastastikku sõltuvad.

Sõltuvus võib olla otsene ja pöördvõrdeline. Sellest tulenevalt kirjeldatakse suuruste vahelisi seoseid otsese ja pöördvõrdelisusega.

Otsene proportsionaalsus– see on selline seos kahe suuruse vahel, milles ühe suurenemine või vähenemine toob kaasa teise suurenemise või vähenemise. Need. nende suhtumine ei muutu.

Näiteks mida rohkem pingutate, et eksamiteks õppida, seda kõrgemad on teie hinded. Või mida rohkem asju matkale kaasa võtad, seda raskem on seljakott kaasas kanda. Need. Eksamiteks valmistumiseks kulutatud pingutuste hulk on otseselt võrdeline saadud hinnetega. Ja seljakotti pakitud asjade arv on otseselt võrdeline selle kaaluga.

Pöördvõrdelisus- see on funktsionaalne sõltuvus, mille puhul sõltumatu väärtuse mitmekordne vähenemine või suurenemine (seda nimetatakse argumendiks) põhjustab sõltuva väärtuse proportsionaalse (st sama arvu kordi) suurenemise või vähenemise (seda nimetatakse funktsioon).

Illustreerime lihtsa näitega. Tahad turult õunu osta. Õunad letil ja raha hulk rahakotis on pöördvõrdelises seoses. Need. Mida rohkem õunu ostate, seda vähem raha jääb.

Funktsioon ja selle graafik

Pöördproportsionaalsuse funktsiooni saab kirjeldada kui y = k/x. Milles x≠ 0 ja k≠ 0.

Sellel funktsioonil on järgmised omadused:

1. Selle määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Vahemik on kõik reaalarvud, välja arvatud y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Sellel pole maksimaalseid ega minimaalseid väärtusi.
4. See on paaritu ja selle graafik on päritolu suhtes sümmeetriline.
5. Mitteperioodiline.
6. Selle graafik ei lõiku koordinaatide telgedega.
7. Nulle pole.
8. Kui k> 0 (st argument suureneb), väheneb funktsioon proportsionaalselt igal selle intervallil. Kui k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argumendi suurenedes ( k> 0) funktsiooni negatiivsed väärtused on vahemikus (-∞; 0) ja positiivsed väärtused on vahemikus (0; +∞). Kui argument väheneb ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Pöördvõrdelisuse funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks. Näidatud järgmiselt:

Pöördproportsionaalsuse probleemid

Et see oleks selgem, vaatame mitut ülesannet. Need ei ole liiga keerulised ja nende lahendamine aitab teil visualiseerida, mis on pöördproportsionaalsus ja kuidas need teadmised teie igapäevaelus kasulikud võivad olla.

Ülesanne nr 1. Auto liigub kiirusega 60 km/h. Tal kulus sihtkohta jõudmiseks 6 tundi. Kui kaua kulub tal sama vahemaa läbimiseks, kui ta liigub kaks korda kiiremini?

Alustuseks võime üles kirjutada valemi, mis kirjeldab aja, vahemaa ja kiiruse seost: t = S/V. Nõus, see meenutab meile väga pöördproportsionaalsuse funktsiooni. Ja see näitab, et aeg, mille auto teel veedab, ja kiirus, millega ta liigub, on pöördvõrdelised.

Selle kontrollimiseks leiame V 2, mis vastavalt tingimusele on 2 korda suurem: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Seejärel arvutame kauguse valemiga S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nüüd pole keeruline teada saada aega t 2, mis meilt vastavalt ülesande tingimustele nõutakse: t 2 = 360/120 = 3 tundi.

Nagu näete, on sõiduaeg ja kiirus tõepoolest pöördvõrdelised: algsest kiirusest 2 korda suurema kiirusega veedab auto teel 2 korda vähem aega.

Selle ülesande lahenduse võib kirjutada ka proportsioonina. Loome kõigepealt selle diagrammi:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Nooled näitavad pöördvõrdelist seost. Samuti soovitavad nad proportsiooni koostamisel pöörata kirje paremat külge: 60/120 = x/6. Kust saame x = 60 * 6/120 = 3 tundi.

Ülesanne nr 2. Töökojas töötab 6 töötajat, kes suudavad etteantud tööhulga teha 4 tunniga. Kui töötajate arvu vähendatakse poole võrra, siis kui kaua kulub ülejäänud töötajatel sama palju tööd?

Kirjutame ülesande tingimused visuaalse diagrammi kujul:

↓ 6 töötajat – 4 tundi

↓ 3 töötajat – x h

Kirjutame selle proportsioonina: 6/3 = x/4. Ja me saame x = 6 * 4/3 = 8 tundi. Kui töötajaid on 2 korda vähem, kulutavad ülejäänud 2 korda rohkem aega kogu töö tegemiseks.

Ülesanne nr 3. Basseini viib kaks toru. Läbi ühe toru voolab vesi kiirusega 2 l/s ja täidab basseini 45 minutiga. Teise toru kaudu täitub bassein 75 minutiga. Millise kiirusega vesi selle toru kaudu basseini siseneb?

Alustuseks taandagem kõik meile antud suurused vastavalt ülesande tingimustele samadele mõõtühikutele. Selleks väljendame basseini täitmise kiirust liitrites minutis: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Kuna tingimus eeldab, et bassein täitub teise toru kaudu aeglasemalt, tähendab see, et vee voolukiirus on väiksem. Proportsionaalsus on pöördvõrdeline. Avaldame tundmatut kiirust läbi x ja koostame järgmise diagrammi:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ja siis moodustame proportsiooni: 120/x = 75/45, kust x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Ülesandes on basseini täituvus väljendatud liitrites sekundis, vähendame saadud vastuse samale kujule: 72/60 = 1,2 l/s.

Ülesanne nr 4. Väike eratrükikoda prindib visiitkaarte. Trükikoja töötaja töötab kiirusega 42 visiitkaarti tunnis ja töötab täispäeva - 8 tundi. Kui ta töötaks kiiremini ja trükiks tunnis 48 visiitkaarti, siis kui palju varem saaks ta koju minna?

Järgime tõestatud teed ja koostame vastavalt probleemi tingimustele diagrammi, määrates soovitud väärtuse x:

↓ 42 visiitkaarti/tund – 8 tundi

↓ 48 visiitkaarti/h – x h

Meil on pöördvõrdeline seos: mitu korda rohkem visiitkaarte trükikoja töötaja tunnis prindib, sama mitu korda vähem aega kulub tal sama töö tegemiseks. Seda teades loome proportsiooni:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 tundi.

Seega, olles töö 7 tunniga valmis saanud, sai trükikoja töötaja tund aega varem koju minna.

Järeldus

Meile tundub, et need pöördproportsionaalsuse probleemid on tõesti lihtsad. Loodame, et nüüd ka teie mõtlete neile nii. Ja peamine on see, et teadmised suuruste pöördvõrdelisest sõltuvusest võivad teile tõesti kasulikud olla rohkem kui üks kord.

Mitte ainult matemaatikatundides ja eksamites. Kuid isegi siis, kui valmistute reisile, poodlema, otsustate pühade ajal veidi lisaraha teenida jne.

Räägi meile kommentaarides, milliseid pöörd- ja otseproportsionaalsete seoste näiteid enda ümber märkad. Las see olla selline mäng. Näete, kui põnev see on. Ärge unustage seda artiklit sotsiaalvõrgustikes jagada, et ka teie sõbrad ja klassikaaslased saaksid mängida.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Näide

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 jne.

Proportsionaalsustegur

Nimetatakse proportsionaalsete suuruste konstantset seost proportsionaalsustegur. Proportsionaalsuskoefitsient näitab, mitu ühikut ühest suurusest on teise suuruse ühiku kohta.

Otsene proportsionaalsus

Otsene proportsionaalsus- funktsionaalne sõltuvus, mille puhul teatud suurus sõltub teisest suurusest nii, et nende suhe jääb muutumatuks. Teisisõnu, need muutujad muutuvad proportsionaalselt, võrdsetes osades, st kui argument muutub suvalises suunas kaks korda, siis muutub ka funktsioon kaks korda samas suunas.

Matemaatiliselt kirjutatakse otsene proportsionaalsus valemina:

f(x) = ax,a = const

Pöördvõrdelisus

Pöördvõrdelisus- see on funktsionaalne sõltuvus, mille puhul sõltumatu väärtuse (argumendi) suurenemine põhjustab sõltuva väärtuse (funktsiooni) proportsionaalse vähenemise.

Matemaatiliselt kirjutatakse pöördproportsionaalsus valemina:

Funktsiooni omadused:

Allikad

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

§ 129. Eelselgitused.

Inimene tegeleb pidevalt väga erinevate kogustega. Töötaja ja töötaja püüavad jõuda kindlaks kellaajaks tööle, jalakäijal on kiire, et jõuda lühimat teed pidi kindlasse kohta, auruküttekeha on mures, et temperatuur katlas aeglaselt tõuseb, a ärijuht teeb plaane tootmiskulude vähendamiseks jne.

Selliseid näiteid võiks tuua suvalise arvu. Aeg, vahemaa, temperatuur, maksumus – kõik need on erinevad kogused. Selle raamatu esimeses ja teises osas tutvusime mõne eriti levinud suurusega: pindala, maht, kaal. Füüsikat ja muid teadusi õppides kohtame paljusid suurusi.

Kujutage ette, et reisite rongis. Aeg-ajalt vaatate kella ja märkate, kui kaua olete teel olnud. Ütlete näiteks, et teie rongi väljumisest on möödunud 2, 3, 5, 10, 15 tundi jne. Need numbrid tähistavad erinevaid ajaperioode; neid nimetatakse selle koguse (aja) väärtusteks. Või vaatate aknast välja ja järgite teeposte, et näha, kui kaua rong läbib. Sinu ees vilguvad numbrid 110, 111, 112, 113, 114 km. Need numbrid näitavad erinevaid vahemaid, mille rong on lähtepunktist läbinud. Neid nimetatakse ka väärtusteks, seekord erineva suurusega (tee või kaugus kahe punkti vahel). Seega võib üks suurus, näiteks aeg, vahemaa, temperatuur, võtta sama palju erinevaid tähendusi.

Pange tähele, et inimene ei arvesta peaaegu kunagi ainult ühte suurust, vaid ühendab selle alati mõne teise suurusega. Ta peab korraga tegelema kahe, kolme või enama kogusega. Kujutage ette, et peate jõudma kooli kella üheksaks. Vaatad kella ja näed, et sul on aega 20 minutit. Siis mõtled kiiresti välja, kas sõita trammiga või saab kooli jalgsi. Pärast mõtlemist otsustate kõndida. Pange tähele, et mõtlemise ajal lahendasite mõnda probleemi. See ülesanne on muutunud lihtsaks ja tuttavaks, kuna lahendate selliseid probleeme iga päev. Selles võrdlesite kiiresti mitut kogust. See oli teie, kes vaatas kella, mis tähendab, et arvestasite kellaaega, seejärel kujutasite mõttes ette kaugust oma kodust koolini; Lõpuks võrdlesite kahte väärtust: teie sammu kiirust ja trammi kiirust ning jõudsite järeldusele, et etteantud aja (20 minuti) pärast on teil aega kõndida. Sellest lihtsast näitest näete, et meie praktikas on mõned suurused omavahel seotud, st sõltuvad üksteisest

Kaheteistkümnes peatükk rääkis homogeensete suuruste suhtest. Näiteks kui üks segment on 12 m ja teine ​​4 m, on nende segmentide suhe 12: 4.

Me ütlesime, et see on kahe homogeense koguse suhe. Teine võimalus seda öelda on see, et see on kahe arvu suhe üks nimi.

Nüüd, mil oleme suurustega rohkem kursis ja oleme kasutusele võtnud suuruse väärtuse mõiste, saame suhte definitsiooni väljendada uuel viisil. Tegelikult, kui käsitlesime kahte 12 m ja 4 m pikkust segmenti, rääkisime ühest väärtusest - pikkusest ning 12 m ja 4 m olid selle väärtuse kaks erinevat väärtust.

Seetõttu arvestame tulevikus, kui hakkame suhetest rääkima, ühe suuruse kahte väärtust ja koguse ühe väärtuse ja sama suuruse teise väärtuse suhet nimetatakse esimese väärtuse jagatiseks. teise poolt.

§ 130. Väärtused on otseselt võrdelised.

Vaatleme probleemi, mille tingimus sisaldab kahte suurust: kaugust ja aega.

Ülesanne 1. Sirgjooneliselt ja ühtlaselt liikuv keha läbib igas sekundis 12 cm. Määrake keha läbitud vahemaa 2, 3, 4, ..., 10 sekundiga.

Koostame tabeli, mille abil saab jälgida aja ja vahemaa muutusi.

Tabel annab meile võimaluse neid kahte väärtuste seeriat võrrelda. Näeme sellest, et kui esimese suuruse (aja) väärtused suurenevad järk-järgult 2, 3,..., 10 korda, siis teise suuruse (kauguse) väärtused suurenevad samuti 2, 3, ..., 10 korda. Seega, kui ühe suuruse väärtused suurenevad mitu korda, suurenevad teise suuruse väärtused sama palju ja kui ühe suuruse väärtused vähenevad mitu korda, siis teise suuruse väärtused vähenevad sama number.

Vaatleme nüüd probleemi, mis hõlmab kahte sellist suurust: aine kogust ja selle maksumust.

2. ülesanne. 15 m kangast maksab 120 rubla. Arvutage selle kanga maksumus mitme muu tabelis näidatud arvestikoguse jaoks.

Selle tabeli abil saame jälgida, kuidas toote maksumus järk-järgult tõuseb sõltuvalt selle koguse suurenemisest. Vaatamata sellele, et see probleem hõlmab täiesti erinevaid suurusi (esimeses ülesandes - aeg ja vahemaa ning siin - kauba kogus ja selle väärtus), võib nende suuruste käitumises siiski leida suuri sarnasusi.

Tegelikult on tabeli ülemisel real numbrid, mis näitavad kanga meetrite arvu, nende all on arv, mis väljendab vastava kaubakoguse maksumust. Isegi kiire pilk sellele tabelile näitab, et arvud nii ülemises kui ka alumises reas kasvavad; tabelit lähemalt uurides ja üksikute veergude võrdlemisel selgub, et kõigil juhtudel suurenevad teise suuruse väärtused sama palju kordi kui esimese suurenemise väärtused, st kui esimene suurus suureneb näiteks 10 korda, siis teise suuruse väärtus samuti 10 korda.

Kui vaatame tabelit paremalt vasakule, leiame, et näidatud koguste väärtused vähenevad sama palju kordi. Selles mõttes on esimese ja teise ülesande vahel tingimusteta sarnasus.

Neid suuruspaare, mida me esimeses ja teises ülesandes kohtasime, nimetatakse võrdeline.

Seega, kui kaks suurust on omavahel seotud nii, et kui ühe väärtus suureneb (väheneb) mitu korda, siis teise väärtus suureneb (väheneb) sama palju, siis nimetatakse selliseid suurusi otseselt võrdelisteks. .

Väidetavalt on sellised suurused omavahel seotud ka otseselt proportsionaalse suhte kaudu.

Looduses ja meid ümbritsevas elus leidub palju sarnaseid koguseid. siin on mõned näidised:

1. Aeg töö (päev, kaks päeva, kolm päeva jne) ja tulu, saadud selle aja jooksul koos päevapalgaga.

2. Helitugevus mis tahes esemed, mis on valmistatud homogeensest materjalist, ja kaal see üksus.

§ 131. Otseselt võrdeliste suuruste omand.

Võtame probleemi, mis sisaldab kahte järgmist suurust: tööaeg ja sissetulek. Kui päevapalk on 20 rubla, siis 2 päeva sissetulek on 40 rubla jne. Kõige mugavam on luua tabel, milles teatud arv päevi vastab teatud sissetulekule.

Seda tabelit vaadates näeme, et mõlemad kogused said 10 erinevat väärtust. Iga esimese väärtuse väärtus vastab teise väärtuse teatud väärtusele, näiteks 2 päeva vastab 40 rublale; 5 päeva vastab 100 rublale. Tabelis on need numbrid kirjutatud üksteise alla.

Teame juba, et kui kaks suurust on otseselt võrdelised, siis kumbki neist oma muutumise käigus suureneb sama palju kordi, kui teine ​​suureneb. Sellest järeldub kohe: kui võtame esimese koguse mis tahes kahe väärtuse suhte, siis võrdub see teise suuruse kahe vastava väärtuse suhtega. Tõepoolest:

Miks see juhtub? Kuid kuna need väärtused on otseselt proportsionaalsed, st kui üks neist (aeg) suurenes 3 korda, siis teine ​​(kasum) suurenes 3 korda.

Seetõttu oleme jõudnud järgmisele järeldusele: kui me võtame esimese suuruse kaks väärtust ja jagame need üksteisega ning seejärel jagame ühega teise suuruse vastavad väärtused, siis saame mõlemal juhul sama number, st sama suhe. See tähendab, et kahte seost, millest me eespool kirjutasime, saab ühendada võrdusmärgiga, s.t.

Pole kahtlust, et kui me ei võtaks neid suhteid, vaid teisi, ja mitte selles, vaid vastupidises järjekorras, saaksime ka suhete võrdsuse. Tegelikult kaalume oma koguste väärtusi vasakult paremale ja võtame kolmanda ja üheksanda väärtuse:

60:180 = 1 / 3 .

Nii et võime kirjutada:

See toob kaasa järgmise järelduse: kui kaks suurust on otseselt proportsionaalsed, on esimese suuruse kahe meelevaldselt võetud väärtuse suhe võrdne teise suuruse kahe vastava väärtuse suhtega.

§ 132. Otsese proportsionaalsuse valem.

Teeme tabeli erinevate koguste maiustuste maksumusest, kui 1 kg neid maksab 10,4 rubla.

Nüüd teeme seda nii. Võtke suvaline arv teisel real ja jagage see esimese rea vastava numbriga. Näiteks:

Näete, et jagatis saadakse kogu aeg sama arv. Järelikult on antud otseselt proportsionaalsete suuruste paari puhul ühe suuruse mis tahes väärtuse jagamine teise suuruse vastava väärtusega konstantne arv (st ei muutu). Meie näites on see jagatis 10,4. Seda konstantset arvu nimetatakse proportsionaalsusteguriks. Sel juhul väljendab see mõõtühiku, s.o ühe kilogrammi kauba hinda.

Kuidas leida või arvutada proportsionaalsuskoefitsienti? Selleks peate võtma ühe suuruse mis tahes väärtuse ja jagama selle teise suuruse vastava väärtusega.

Tähistagem seda ühe suuruse suvalist väärtust tähega juures , ja teise suuruse vastav väärtus - täht X , siis proportsionaalsuskoefitsient (tähistame seda TO) leiame jagamise teel:

Selles võrdsuses juures - jagatav, X - jagaja ja TO- jagatis ja kuna jagamise omaduse järgi on dividend võrdne jagaja korrutisega jagatisega, võime kirjutada:

y = K x

Saadud võrdsust nimetatakse otsese proportsionaalsuse valem. Selle valemi abil saame arvutada ühe otseselt proportsionaalse suuruse suvalise arvu väärtusi, kui teame teise suuruse vastavaid väärtusi ja proportsionaalsuskoefitsienti.

Näide. Füüsikast teame seda kaalu R mis tahes keha erikaal on võrdne selle erikaaluga d , korrutatuna selle keha mahuga V, st. R = d V.

Võtame viis erineva mahuga raudkangi; Teades raua erikaalu (7.8), saame nende valuplokkide massid arvutada järgmise valemi abil:

R = 7,8 V.

Selle valemi võrdlemine valemiga juures = TO X , me näeme seda y = R, x = V ja proportsionaalsuskoefitsient TO= 7,8. Valem on sama, ainult tähed erinevad.

Selle valemi abil koostame tabeli: olgu 1. tooriku maht 8 kuupmeetrit. cm, siis on selle kaal 7,8 8 = 62,4 (g). 2. tooriku maht on 27 kuupmeetrit. cm Selle kaal on 7,8 27 = 210,6 (g). Tabel näeb välja selline:

Arvutage valemi abil selles tabelis puuduvad arvud R= d V.

§ 133. Otseselt võrdeliste suurustega ülesannete lahendamise muud viisid.

Eelmises lõigus lahendasime ülesande, mille tingimus sisaldas otseselt proportsionaalseid suurusi. Selleks tuletasime esmalt otsese proportsionaalsuse valemi ja seejärel rakendasime seda valemit. Nüüd näitame veel kahte võimalust sarnaste probleemide lahendamiseks.

Loome ülesande, kasutades eelmises lõigus tabelis toodud arvandmeid.

Ülesanne. Toorik mahuga 8 kuupmeetrit. cm kaalub 62,4 g Kui palju kaalub toorik mahuga 64 kuupmeetrit? cm?

Lahendus. Raua kaal, nagu teada, on võrdeline selle mahuga. Kui 8 cu. cm kaal 62,4 g, siis 1 cu. cm hakkab kaaluma 8 korda vähem, st.

62,4:8 = 7,8 (g).

Toorik mahuga 64 kuupmeetrit. cm kaalub 64 korda rohkem kui 1 kuupmeetrine toorik. cm, st.

7,8 64 = 499,2 (g).

Lahendasime oma probleemi, taandades ühtsusele. Selle nime tähendus on põhjendatud sellega, et selle lahendamiseks tuli esimeses küsimuses leida mahuühiku kaal.

2. Proportsioonimeetod. Lahendame sama ülesande proportsioonimeetodi abil.

Kuna raua kaal ja selle maht on otseselt võrdelised suurused, on ühe koguse (mahu) kahe väärtuse suhe võrdne teise koguse (massi) kahe vastava väärtuse suhtega, s.o.

(kiri R määrasime tooriku teadmata kaalu). Siit:

(G).

Ülesanne lahendati proportsioonide meetodil. See tähendab, et selle lahendamiseks koostati tingimuses sisalduvatest arvudest proportsioon.

§ 134. Väärtused on pöördvõrdelised.

Mõelge järgmisele probleemile: "Viis müürseppa saavad maja tellisseinad laduda 168 päevaga. Tehke kindlaks, mitu päeva 10, 8, 6 jne müürseppad saaksid sama töö teha.

Kui 5 müürseppa laoksid maja seinad 168 päevaga, siis (sama tööviljakuse juures) saaks poole ajaga hakkama 10 müürseppa, kuna keskmiselt teeb 10 inimest kaks korda rohkem tööd kui 5 inimest.

Koostame tabeli, mille järgi saaksime jälgida töötajate arvu ja töötundide muutumist.

Näiteks selleks, et teada saada, mitu päeva kulub 6 töötajal, peate esmalt arvutama, mitu päeva kulub ühel töötajal (168 5 = 840) ja seejärel, mitu päeva kulub kuuel töötajal (840: 6 = 140). Seda tabelit vaadates näeme, et mõlemad suurused omandasid kuus erinevat väärtust. Iga esimese suuruse väärtus vastab konkreetsele; teise väärtuse väärtus, näiteks 10 vastab 84-le, number 8 vastab arvule 105 jne.

Kui arvestada mõlema suuruse väärtusi vasakult paremale, näeme, et ülemise koguse väärtused suurenevad ja alumise koguse väärtused vähenevad. Suurenemisele ja vähendamisele kehtib järgmine seadus: töötajate arvu väärtused suurenevad sama palju kui kulutatud tööaja väärtused vähenevad. Seda ideed võib veelgi lihtsamalt väljendada järgmiselt: mida rohkem töötajaid mis tahes ülesandega hõivatakse, seda vähem aega kulub neil teatud töö tegemiseks. Kaht kogust, millega selles ülesandes kokku puutusime, nimetatakse pöördvõrdeline.

Seega, kui kaks suurust on omavahel seotud nii, et kui ühe väärtus suureneb (väheneb) mitu korda, siis teise väärtus väheneb (suureneb) sama palju, siis nimetatakse selliseid suurusi pöördvõrdelisteks. .

Elus on palju sarnaseid koguseid. Toome näiteid.

1. Kui 150 rubla eest. Kui teil on vaja osta mitu kilogrammi maiustusi, sõltub maiustuste arv ühe kilogrammi hinnast. Mida kõrgem on hind, seda vähem kaupa saate selle raha eest osta; seda on näha tabelist:

Kuna kommide hind tõuseb kordades, väheneb sama palju ka 150 rubla eest ostetavate kommide kilogrammide arv. Sel juhul on kaks kogust (toote kaal ja selle hind) pöördvõrdelised.

2. Kui kahe linna vaheline kaugus on 1200 km, siis olenevalt liikumiskiirusest saab selle läbida erinevatel aegadel. Reisimiseks on erinevaid viise: jalgsi, hobusega, jalgrattaga, paadiga, autoga, rongiga, lennukiga. Mida väiksem on kiirus, seda rohkem aega kulub liikumiseks. Seda on näha tabelist:

Kiiruse mitmekordsel suurendamisel väheneb sõiduaeg sama palju. See tähendab, et nendes tingimustes on kiirus ja aeg pöördvõrdelised suurused.

§ 135. Pöördvõrdeliste suuruste omadus.

Võtame teise näite, mida vaatlesime eelmises lõigus. Seal tegelesime kahe kogusega - kiirus ja aeg. Kui vaatame nende suuruste väärtuste tabelit vasakult paremale, näeme, et esimese suuruse (kiiruse) väärtused suurenevad ja teise (aja) väärtused vähenevad ja kiirus suureneb sama palju kui aeg väheneb. Pole raske mõista, et kui kirjutate ühe suuruse mõne väärtuse suhte, siis ei võrdu see teise suuruse vastavate väärtuste suhtega. Tegelikult, kui me võtame ülemise väärtuse neljanda ja seitsmenda väärtuse suhte (40: 80), siis ei võrdu see alumise väärtuse neljanda ja seitsmenda väärtuse suhtega (30: 15). Selle võib kirjutada nii:

40:80 ei ole võrdne 30:15 või 40:80 =/=30:15.

Aga kui me võtame ühe nende suhete asemel vastupidise, siis saame võrdsuse, st nendest suhetest on võimalik luua proportsioon. Näiteks:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Eelneva põhjal võime teha järgmise järelduse: kui kaks suurust on pöördvõrdelised, siis on ühe suuruse kahe meelevaldselt võetud väärtuse suhe võrdne teise suuruse vastavate väärtuste pöördsuhtega.

§ 136. Pöördvõrdelisuse valem.

Mõelge probleemile: "Seal on 6 erineva suurusega ja erineva kvaliteediga siidkangast. Kõik tükid maksavad sama palju. Üks tükk sisaldab 100 m kangast, hinnaga 20 rubla. meetri kohta Mitu meetrit on igas ülejäänud viies tükis, kui meeter kangast nendes tükkides maksab vastavalt 25, 40, 50, 80, 100 rubla? Selle probleemi lahendamiseks loome tabeli:

Peame selle tabeli ülemises reas täitma tühjad lahtrid. Proovime kõigepealt kindlaks teha, mitu meetrit on teises tükis. Seda saab teha järgmiselt. Probleemi tingimustest on teada, et kõikide tükkide maksumus on sama. Esimese tüki maksumust on lihtne kindlaks teha: see sisaldab 100 meetrit ja iga meeter maksab 20 rubla, mis tähendab, et esimene siiditükk on väärt 2000 rubla. Kuna teine ​​siiditükk sisaldab sama palju rubla, siis jagades 2000 rubla. ühe meetri, s.o 25, hinna eest leiame teise tüki suuruse: 2000: 25 = 80 (m). Samamoodi leiame kõigi teiste tükkide suuruse. Tabel näeb välja selline:

On lihtne näha, et arvestite arvu ja hinna vahel on pöördvõrdeline seos.

Kui teete ise vajalikud arvutused, märkate, et iga kord tuleb arv 2000 jagada 1 m hinnaga Vastupidi, kui hakkate nüüd tüki suurust meetrites korrutama 1 m hinnaga , saate alati numbri 2000. Seda oli vaja oodata, kuna iga tükk maksab 2000 rubla.

Siit saame teha järgmise järelduse: antud pöördvõrdeliste suuruste paari puhul on ühe suuruse mis tahes väärtuse korrutis teise suuruse vastava väärtusega konstantne arv (st ei muutu).

Meie ülesandes on see toode võrdne 2000-ga Kontrollige, et eelmises ülesandes, mis rääkis liikumiskiirusest ja ühest linnast teise liikumiseks kuluvast ajast, oli ka selle probleemi jaoks konstantne arv (1200).

Kõike arvesse võttes on pöördproportsionaalsuse valemit lihtne tuletada. Tähistame ühe suuruse teatud väärtust tähega X , ja teise suuruse vastav väärtus on tähistatud tähega juures . Seejärel eeltoodu põhjal töö X peal juures peab olema võrdne mingi konstantse väärtusega, mida tähistame tähega TO, st.

x y = TO.

Selles võrdsuses X - korrutis juures - kordaja ja K- töö. Korrutamise omaduse järgi võrdub kordaja korrutisega, mis on jagatud korrutisega. Tähendab,

See on pöördproportsionaalsuse valem. Seda kasutades saame arvutada ühe pöördvõrdelise suuruse suvalise arvu väärtusi, teades teise väärtusi ja konstantset arvu TO.

Mõelgem veel ühele probleemile: “Ühe essee autor arvutas välja, et kui tema raamat on tavaformaadis, siis on sellel 96 lehekülge, kui aga taskuformaadis, siis 300 lehekülge. Ta proovis erinevaid variante, alustas 96 leheküljega ja siis sai 2500 kirja leheküljel. Seejärel võttis ta allolevas tabelis näidatud leheküljenumbrid ja arvutas uuesti, mitu tähte sellel lehel on.

Proovime välja arvutada, kui palju tähti on ühel lehel, kui raamatul on 100 lehekülge.

Kogu raamatus on 240 000 tähte, kuna 2500 96 = 240 000.

Seda arvesse võttes kasutame pöördproportsionaalsuse valemit ( juures - tähtede arv lehel, X - lehtede arv):

Meie näites TO= 240 000 seega

Seega on lehel 2400 tähte.

Samamoodi saame teada, et kui raamatul on 120 lehekülge, siis tähtede arv lehel on järgmine:

Meie tabel näeb välja selline:

Täitke ülejäänud lahtrid ise.

§ 137. Muud pöördvõrdeliste suurustega ülesannete lahendamise meetodid.

Eelmises lõigus lahendasime ülesandeid, mille tingimused sisaldasid pöördvõrdelisi suurusi. Kõigepealt tuletasime pöördproportsionaalsuse valemi ja seejärel rakendasime seda valemit. Näitame nüüd kahte muud lahendust sellistele probleemidele.

1. Ühtsuse taandamise meetod.

Ülesanne. 5 treiajat saavad mingi töö ära teha 16 päevaga. Mitme päevaga suudavad 8 treiajat selle töö ära teha?

Lahendus. Pöörajate arvu ja töötundide vahel on pöördvõrdeline seos. Kui 16 päeva jooksul teeb töö ära 5 treiajat, siis ühel inimesel kulub selleks 5 korda rohkem aega, s.t.

5 treiajat lõpetavad töö 16 päevaga,

1 treial teeb selle valmis 16 5 = 80 päevaga.

Probleem küsib, mitu päeva kulub töö tegemiseks 8 treial. Ilmselgelt saavad nad tööga hakkama 8 korda kiiremini kui 1 treija ehk sisse

80:8 = 10 (päevad).

See on probleemi lahendus, taandades selle ühtsusele. Siin oli vaja ennekõike määrata ühe töötaja töö tegemiseks kuluv aeg.

2. Proportsioonimeetod. Lahendame sama probleemi teistmoodi.

Kuna tööliste arvu ja tööaja vahel on pöördvõrdeline seos, siis võime kirjutada: 5 treiuri töö kestus uus treialide arv (8) 8 treiuri töö kestus eelmine treijate arv (5) Tähistame nõutav tööaeg kirja teel X ja asendage vajalikud arvud sõnadega väljendatud proportsioonidega:

Sama probleem lahendatakse proportsioonide meetodil. Selle lahendamiseks tuli luua proportsioon ülesandepüstituses sisalduvatest arvudest.

Märge. Eelmistes lõikudes uurisime otsese ja pöördvõrdelisuse küsimust. Loodus ja elu toovad meile palju näiteid koguste otsesest ja pöördvõrdelisest sõltuvusest. Siiski tuleb märkida, et need kaks sõltuvuse tüüpi on kõige lihtsamad. Koos nendega on suuruste vahel ka teisi, keerukamaid sõltuvusi. Lisaks ei tohiks arvata, et kui suvalised kaks suurust samaaegselt suurenevad, siis on nende vahel tingimata otsene proportsionaalsus. See pole kaugeltki tõsi. Näiteks raudteehinnad tõusevad olenevalt vahemaast: mida kaugemale sõidame, seda rohkem maksame, aga see ei tähenda, et sõidutasu oleks vahemaaga võrdeline.