Laske vektoril ( X , juures , z ).
Tähistame selle vektori kaldenurgad telgede suhtes Oi, oh Ja Oz tähed vastavalt , Ja. Kolm numbrit cos, cos Ja cos tavaliselt kutsutakse vektori suunakoosinused. Uskudes = (1; 0; 0 ) saame (9)
Samamoodi
Valemitest (11) - (13) järeldub:
1) cos 2 +cos 2 +cos 2 = 1 ,
need. mis tahes nullist erineva vektori suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega;
need.selle vektori suunakoosinused on võrdelised tema vastavate projektsioonidega.
Märge. Valemitest (11)-(13) on selge, et mis tahes ühikuvektori projektsioonid koordinaatide telgedel langevad vastavalt kokku selle suunakoosinustega ja seetõttu
Näide. Leia vektori suunakoosinused (1; 2; 2). Vastavalt valemitele (11)-(13) on meil
4. Kahe vektori vektorkorrutis ja selle peamised omadused.
Definitsioon. Kahe vektori ristkorrutisJa kutsutakse uus vektor, mille moodul on võrdne vektoritele konstrueeritud rööpküliku pindalaga, mis on taandatud ühisele algpunktile ja mis on korrutatavate vektoritega risti (teisisõnu risti vektori tasapinnaga). neile konstrueeritud rööpkülik) ja suunatud sellises suunas, et lühim pöörlemine ümber tekkinud vektori näib vektori otsast vaadates toimuvat vastupäeva (joonis 40).
Kui vektorid on kollineaarsed, siis loetakse nende vektorkorrutis võrdseks nullvektoriga. Sellest määratlusest järeldub, et
|| = || || patt
kus on nurk vektorite ( 0 ). Vektorite ja ristkorrutis on tähistatud sümboliga
x või või [,].
Uurime välja vektorkorrutise füüsikalise tähenduse. Kui vektor kujutab endast mingil hetkel rakendatud Prl muda ja vektor pärineb teatud punktist KOHTA täpselt M, siis vektor = tähistab punkti suhtes kehtivat jõumomenti KOHTA.
Ristkorrutise omadused
1 . Faktorite ümberkorraldamisel muudab vektorkorrutis märki, s.o.
x = -(x).
()x=x()=(x), kus on skalaar.
3. Vektorkorrutis järgib jaotusseadust, s.t.
4. Kui kahe vektori vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga, siis kas vähemalt üks korrutatud vektoritest on võrdne nullvektoriga (triviaalne juhtum) või on nendevahelise nurga siinus võrdne nulliga, s.t. vektorid on kollineaarsed.
Tagasi, kui kaks nullist erinevat vektorit on kollineaarsed, siis on nende ristkorrutis võrdne nullvektoriga.
Seega , Selleks, et kaks nullist erinevat vektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vektorkorrutis oleks võrdne nullvektoriga.
Siit tuleneb eelkõige, et vektori vektorkorrutis iseendaga on võrdne nullvektoriga:
x =0
(X nimetatud ka vektor ruutvektor .
5. Kolme vektori ja selle põhiomaduste segakorrutis.
Olgu antud kolm vektorit ja. Kujutagem ette, et vektor korrutatakse vektoriga vektoriga ja saadud vektor korrutatakse skalaarselt vektoriga, määrates seeläbi arvu (x). Seda nimetatakse või segatööd kolm vektorit ja.
Lühiduse huvides tähistame segaprodukti (x) või ().
Uurime välja segatoote geomeetrilise tähenduse. Olgu vaadeldavad vektorid mittetasapinnalised. Ehitame rööptahuka vektoritele ja servadele.
Ristkorrutis x on vektor (=), mis on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga OADB (konstrueeritud rööptahuka alus), ehitatud rööpküliku tasapinnaga risti suunatud vektorahhiale (joon. 41).
Skalaarkorrutis (x) = on vektori mooduli ja vektori projektsiooni korrutis (vt lõik 1, (2)).
Konstrueeritud rööptahuka kõrgus on selle projektsiooni absoluutväärtus.
Seetõttu toode | |absoluutväärtuses võrdub rööptahuka aluse pindala ja kõrguse korrutisega, s.o. vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala ja.
Oluline on märkida, et skalaarkorrutis annab rööptahuka mahu, mõnikord positiivse ja mõnikord negatiivse märgiga. Positiivne märk saadakse, kui vektorite vaheline nurk on terav; negatiivne - kui loll. Teravnurgaga ja vahel paikneb vektor tasapinna samal küljel OADB , mis on vektor ja seetõttu vektori lõpust on pöörlemine sellest nähtav samamoodi nagu vektori lõpust, st. positiivses suunas (vastupäeva).
Nürinurga all vektor asub teisel pool tasapinda OADB kui vektor ja seetõttu on vektori lõpust näha pöörlemist alates negatiivses suunas (päripäeva). Teisisõnu, korrutis on positiivne, kui vektorid ja moodustavad samanimelise süsteemi peamise Oxyz-ga (asuvad vastastikku samamoodi nagu teljed Ox, Oy, Oz) ja negatiivne, kui vektorid moodustavad süsteemi sama nimega kui peamine.
Seega segatoode on arv,mille absoluutväärtus väljendab rööptahuka ruumala,ehitatud vektoritele,nagu ribidel.
Korrutise märk on positiivne, kui vektorid ,,moodustavad põhisüsteemiga sama nimega süsteemi ja muul juhul negatiivne.
Sellest järeldub, et korrutise =(x) absoluutväärtus jääb samaks, olenemata sellest, millises järjekorras me tegurid võtame. Mis puutub märgisse, siis mõnel juhul on see positiivne, mõnel juhul negatiivne; see oleneb sellest, kas meie kolm vektorit mingis järjekorras võetuna moodustavad põhilisega samanimelise süsteemi või mitte. Pange tähele, et meie koordinaatteljed asetsevad nii, et need järgivad seestpoolt vaadates üksteist vastupäeva (joonis 42). Järjekorda ei riku, kui alustame läbimist teisest või kolmandast teljest, kui seda tehakse samas suunas, s.t. vastupäeva. Sel juhul paigutatakse tegurid ümber ringikujuliselt (tsükliliselt). Seega saame järgmise omaduse:
Segatoode ei muutu selle tegurite ringikujulise (tsüklilise) ümberkorraldamisega. Kahe külgneva teguri ümberpaigutamine muudab toote märki
= ==-()=-()=-().
Lõpuks tuleneb järgmine väide otseselt segatoote geomeetrilisest tähendusest.
Vajalik ja piisav tingimus vektorite koplanaarsuseks,,on nende segaprodukti võrdsus nulliga:
Def. 1.5.6. Suunakoosinused vektor A nimetame nurkade koosinusi, mille see vektor moodustab baasvektoritega, i , j , k .
Vektori suunakoosinused A = (X, juures, z) leitakse valemitega:
Suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega:
Vektori suunakoosinused a
on selle ühikvektori koordinaadid: .
Olgu alusvektorid i , j , k ühisest punktist edasi lükatud KOHTA. Eeldame, et ortid määravad telgede positiivsed suunad Oh, OU, Oz. Punktide komplekt KOHTA (päritolu) ja ortonormaalne alus i , j , k helistas Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis. Lase A– suvaline punkt ruumis. Vektor A = OA= x i + y j + z k helistas raadiuse vektor punktid A, selle vektori koordinaadid ( x, y, z) nimetatakse ka punkti koordinaatideks A(määramine: A(x, y, z)). Koordinaatide teljed Oh, OU, Oz nimetatakse ka vastavalt teljeks abstsiss, telg ordinaat, telg kohaldada.
Kui vektor on antud selle alguspunkti koordinaatidega IN 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja lõpp-punkt IN 2 (x 2 ,
y 2 , z 2), siis on vektori koordinaadid võrdsed lõpu ja alguse koordinaatide vahega: (kuna 
).
Descartes'i ristkülikukujulised koordinaatsüsteemid tasapinnal ja sirgel määratakse täpselt samal viisil vastavate kvantitatiivsete (vastavalt mõõtmetele) muutustega.
Tüüpiliste probleemide lahendamine.
Näide 1. Leia vektori pikkuse ja suuna koosinused A = 6i – 2j -3k .
Lahendus. Vektori pikkus: 
. Suuna koosinused: 
.
Näide 2. Leidke vektori koordinaadid A , moodustades koordinaattelgedega võrdsed teravnurgad, kui selle vektori pikkus on võrdne .
Lahendus. Kuna , siis asendades valemiga (1.6), saame 
. Vektor A
moodustab koordinaattelgedega teravnurgad, seega ort 
. Seetõttu leiame vektori koordinaadid 
.
Näide 3. Antud on kolm mittetasatasandilist vektorit e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Laienda vektorit d = i + 5j - 2k alusel e 1 , e 2 , e 3 .
Omadus:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
b) lineaarsete tehete määratlemine
kahe mittekollineaarse vektori summa on vektor, mis pärineb vektorite ühisest algpunktist piki nendele vektoritele konstrueeritud rööpküliku diagonaali
Vektorite erinevus on vektori ja vektorile vastupidise vektori summa: 
. Ühendame vektorite algused ja , siis on vektor suunatud vektori lõpust vektori lõppu. 
Töö arvu vektorit nimetatakse mooduliga vektoriks ning juures ja juures . Geomeetriliselt tähendab arvuga korrutamine vektori "venitamist" teguriga, suuna säilitamist punktis ja vastupidiseks muutmist punktis .
Ülaltoodud vektorite lisamise ja arvuga korrutamise reeglitest tulenevad ilmsed väited:
1. 
(liitmine on kommutatiivne);
2. 
(lisamine on assotsiatiivne);
3. 
(nullvektori olemasolu);
4. 
(vastandvektori olemasolu);
5. 
(lisamine on assotsiatiivne);
6. (arvuga korrutamine on distributiivne);
7. 
(vektori liitmine on distributiivne);
c) skalaarkorrutis ja selle põhiomadused
Dot toode kaks nullist erinevat vektorit on arv, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. Kui vähemalt üks kahest vektorist on null, siis nendevaheline nurk ei ole määratletud ja skalaarkorrutis loetakse võrdseks nulliga. Tähistatakse vektorite skalaarkorrutist ja
, kus ja on vektorite pikkused ja vastavalt ning on vektorite vaheline nurk ja .
Vektori skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse skalaarruuduks.
Skalaarkorrutise omadused.
Mis tahes vektorite puhul on tõesed järgmised: punkttoote omadused:
skalaarkorrutise kommutatiivne omadus;
jaotusvara 
või 
;
assotsiatiivne omadus 
või 
, kus on suvaline reaalarv;
vektori skalaarruut on alati mittenegatiivne siis ja ainult siis, kui vektor on null.
D) vektorkorrutis ja selle omadused
vektorprodukt vektorit a vektorisse b nimetatakse vektoriks c, mille pikkus on arvuliselt võrdne vektoritele a ja b konstrueeritud rööpküliku pindalaga, mis on risti nende vektorite tasapinnaga ja on suunatud nii, et väikseim pööre punktist a punktini a. b vektori c ümber on lõppvektorist c vaadates vastupäeva
Valemid vektorite vektorkorrutise arvutamiseks
Vektorkunstiteos kaks vektorit a = (a x; a y; a z) ja b = (b x; b y; b z) on Descartes'i koordinaatsüsteemis vektor, mille väärtust saab arvutada järgmiste valemite abil:
- Kahe nullist erineva vektori a ja b ristkorrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vektorid on kollineaarsed.
- Vektor c, mis on võrdne nullist erineva vektorite a ja b ristkorrutisega, on nende vektoritega risti.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
Tasapinna sirgjoone võrrand
A) sirge võrrand nurga koefitsiendiga
Sirge kalle nimetatakse selle sirge kaldenurga puutujaks.
Sirge kallet tähistatakse tavaliselt tähega k. Siis definitsiooni järgi.
Kui sirge on paralleelne ordinaatteljega, siis kallet ei eksisteeri (sel juhul öeldakse ka, et kalle läheb lõpmatusse).
Joone positiivne kalle näitab selle funktsiooni graafiku suurenemist, negatiivne kalle langust. Nurkkoefitsiendiga sirge võrrand on kujul y=kx+b, kus k on sirge nurkkoefitsient, b on mingi reaalarv. Nurkkoefitsiendiga sirge võrrandit kasutades saab määrata mis tahes sirge, mis ei ole Oy teljega paralleelne (ordinaatteljega paralleelse sirge puhul nurkkoefitsienti ei määratleta).
B) sirgjooneliste võrrandite tüübid
Võrrand 
helistas sirge üldvõrrand pinnal.
Iga kahe muutujaga esimese astme võrrand x Ja y lahke , Kus A, IN Ja KOOS– mõned reaalarvud ja A Ja IN ei ole samal ajal võrdsed nulliga, määratleb sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy tasapinnal ja iga tasapinna sirge on antud vormi võrrandiga .
Vormi joonvõrrand , kus a Ja b– kutsutakse mõnda muud reaalarvu kui null sirgjoone võrrand segmentides. See nimi pole juhuslik, kuna arvude absoluutväärtused A Ja b võrdne nende lõikude pikkustega, mille sirgjoon koordinaattelgedel ära lõikab Ox Ja Oy vastavalt (segmendid loetakse lähtepunktist).
Vormi joonvõrrand , kus x Ja y- muutujad ja k Ja b- kutsutakse mõnda reaalarvu kaldega sirge võrrand (k- kalle)
Tasapinna sirge kanooniline võrrand ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy paistab nagu 
, kus ja on mõned reaalarvud ning samal ajal ei ole need võrdsed nulliga.
Ilmselt läbib punkti sirge, mis on määratletud sirge kanoonilise võrrandiga. Arvud ja murdude nimetajad tähistavad omakorda selle sirge suunavektori koordinaate. Seega sirge kanooniline võrrand ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy tasapinnal vastab punkti läbivale sirgele, millel on suunavektor .
Tasapinna sirge parameetrilised võrrandid välja nägema 
, kus ja on mõned reaalarvud, mis ei ole samal ajal võrdsed nulliga ja on parameeter, mis võtab mis tahes reaalväärtusi.
Parameetrilised joonvõrrandid loovad kaudse seose sirgjoone punktide abstsisside ja ordinaatide vahel, kasutades parameetrit (sellest ka seda tüüpi joonvõrrandi nimi).
Arvupaar, mis arvutatakse sirge parameetrilistest võrranditest parameetri mõne reaalväärtuse jaoks, tähistab joone teatud punkti koordinaate. Näiteks kui meil on 
, see tähendab, et koordinaatidega punkt asub sirgel.
Tuleb märkida, et koefitsiendid ja parameetri jaoks sirge parameetrilistes võrrandites on selle sirge suunavektori koordinaadid
Kaht punkti läbiva sirge võrrand
Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis neid punkte läbiva sirge võrrand on:
Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, peaks vastav lugeja olema võrdne nulliga Tasapinnal on ülaltoodud sirge võrrand lihtsustatud:
kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2.
Murd = k nimetatakse kalle sirge.
C) kahe sirge vahelise nurga arvutamine
kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis nende joonte vaheline teravnurk määratletakse järgmiselt
.
Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2.
Teoreem. Sirged Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 = λA, B 1 = λB on võrdelised. Kui ka C 1 = λC, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.
D) kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused
Kahe joone paralleelsuse tingimused:
a) Kui sirged on antud nurkkoefitsiendiga võrranditega, siis nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus on nende nurkkoefitsientide võrdsus:
k 1 = k 2 .
b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende võrrandites olevate vastavate voolukoordinaatide koefitsiendid on võrdelised, s.t.
Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimused:
a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende nurkkoefitsiendid on suuruselt pöördvõrdelised ja märgilt vastupidised, s.t.
Selle tingimuse võib kirjutada ka vormile
k 1 k 2 = -1.
b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) on võrdsuse rahuldamine
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.
Funktsiooni piirang
A) järjestuse piirang
Piiri mõistet kasutasid Newton 17. sajandi teisel poolel ja 18. sajandi matemaatikud nagu Euler ja Lagrange, kuid nad mõistsid piiri intuitiivselt. Esimesed ranged definitsioonid järjestuse piirile andsid Bolzano 1816. aastal ja Cauchy 1821. aastal.
Numbrile helistatakse numbrijada piir, kui jada on lõpmata väike, st kõik selle elemendid, alates ühest kindlast, on absoluutväärtuses väiksemad kui mis tahes ettemääratud positiivne arv.
Kui arvujadal on reaalarvu kujul piirang, kutsutakse seda koonduv sellele numbrile. Vastasel juhul nimetatakse jada lahknev . Kui see on pealegi piiramatu, siis eeldatakse, et selle piir on võrdne lõpmatusega.
Lisaks, kui piiramata jada kõik elemendid alates teatud arvust on positiivse märgiga, siis öeldakse sellise jada piiriks pluss lõpmatus .
Kui piiramata jada elemendid, alates teatud arvust, on negatiivse märgiga, siis öeldakse, et sellise jada piir on võrdne miinus lõpmatus .
B) funktsiooni piir
Funktsiooni piirang (funktsiooni piirväärtus) antud punktis on funktsiooni määratluspiirkonda piirav väärtus, milleni vaadeldava funktsiooni väärtus kaldub, kuna selle argument kaldub antud punkti.
Funktsiooni piirang on jada piiri kontseptsiooni üldistus: algselt mõisteti funktsiooni piiri punktis funktsiooni väärtuspiirkonna elementide jada piiri, mis koosneb funktsiooni punktide kujutistest. funktsiooni definitsioonipiirkonna elementide jada, mis läheneb antud punktile (piir, mille juures vaadeldakse); kui selline piir on olemas, siis öeldakse, et funktsioon läheneb määratud väärtusele; kui sellist piiri ei ole, siis öeldakse, et funktsioon lahkneb.
Funktsiooni piirang- üks matemaatilise analüüsi põhimõisteid. Väärtust nimetatakse piiri (piirväärtus) funktsiooni punktis, kui mis tahes punktide jada puhul, mis läheneb sellele, kuid ei sisalda üht selle elementi (st punkteeritud naabruses), läheneb funktsiooni väärtuste jada väärtusele .
Väärtust nimetatakse piiri (piirväärtus) funktsioonid punktis, kui mis tahes eelnevalt võetud positiivse arvu jaoks on vastav positiivne arv, nii et kõigi tingimust rahuldavate argumentide korral on ebavõrdsus täidetud.
C) kaks tähelepanuväärset piiri
· Esimene tähelepanuväärne piir:
Tagajärjed
· 
· 
· 
· Teine tähelepanuväärne piir:
Tagajärjed
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
jaoks ,
6. 
D) lõpmata väikesed ja lõpmata suured funktsioonid
Funktsioon y=f(x) helistas lõpmatult väike juures x→a või millal x→∞, kui või , s.t. lõpmata väike funktsioon on funktsioon, mille piirväärtus antud punktis on null.
kui funktsioon y=f(x) esindatav koos x→a konstantse arvu summana b ja lõpmata väike suurusjärk α(x): f (x)=b+ α(x) See .
Ja vastupidi, kui , siis f (x) = b + α (x), Kus a(x)– lõpmatult väike juures x→a.
Järeldus 1. Kui ja, siis.
Järeldus 2. Kui c= const, siis .
Kui funktsioon f(x) on lõpmatult suur kell x→a, siis funktsioon 1 /f(x) on lõpmatult väike juures x→a.
Kui funktsioon f(x)- lõpmata väike juures x→a(või x→∞) ja siis ei kao y= 1/f(x) on lõpmata suur funktsioon. Lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide lihtsamaid omadusi saab kirjutada järgmiste tingimuslike seoste abil: A≠ 0
D) ebakindluse avalikustamine. L'Hopitali reegel
määramatuse peamised liigid: null jagatud nulliga ( 0 kuni 0), lõpmatus jagatud lõpmatusega, null korrutatud lõpmatusega, lõpmatus miinus lõpmatus, üks lõpmatuse astmega, null nulli astmega, lõpmatus nulli astmega.
L'Hopitali reegel jaoks kasutatakse väga laialdaselt piirarvutused kui esineb määramatus kujul null jagatud nulliga, lõpmatus jagatud lõpmatusega.
Seda tüüpi määramatused hõlmavad määramatust, mis on null korda lõpmatus ja lõpmatus miinus lõpmatus.
Kas ja kui funktsioonid f(x) Ja g(x) on diferentseeruvad punkti läheduses, siis 
Juhul, kui ebakindlus pärast L'Hopitali reegli rakendamist ei kao, saab seda uuesti rakendada.
Tuletisinstrumentide arvutamine
A) kompleksfunktsiooni eristamise reegel
Las olla keeruline funktsioon , kus funktsioon on vaheargument. Näitame, kuidas leida kompleksfunktsiooni tuletist, teades funktsiooni tuletist (tähistame selle tähisega) ja funktsiooni tuletist.
1. teoreem. Kui funktsioonil on punktis tuletis x, ja funktsioonil on tuletis punktis (), siis kompleksfunktsioon punktis x on tuletis ja = .
Vastasel juhul on kompleksfunktsiooni tuletis võrdne antud funktsiooni tuletise vaheargumendi ja vaheargumendi tuletise korrutisega.
B) parameetriliselt määratud funktsiooni diferentseerimine
Olgu funktsioon antud parameetrilisel kujul, see tähendab kujul:
kus funktsioonid ja on defineeritud ja pidevad parameetri teatud varieerumisintervalli jooksul . Leiame iga võrdsuse parema ja vasaku külje diferentsiaalid:
Teise tuletise leidmiseks teostame järgmised teisendused:
B) funktsiooni logaritmilise tuletise mõiste
Positiivse funktsiooni logaritmilist tuletist nimetatakse selle tuletiseks. Kuna , siis vastavalt kompleksfunktsiooni diferentseerimisreeglile saame logaritmilise tuletise jaoks järgmise seose:
.
Logaritmilise tuletise abil on mugav arvutada tavatuletist juhtudel, kui logaritm lihtsustab funktsiooni vormi.
Selle eristamise olemus on järgmine: kõigepealt leitakse antud funktsiooni logaritm ja alles seejärel arvutatakse selle tuletis. Olgu antud mingi funktsioon. Võtame selle avaldise vasaku ja parema külje logaritmid:
Ja siis, väljendades soovitud tuletist, on tulemus:
D) pöördfunktsiooni tuletis
Kui y=f(x) ja x=g(y) on vastastikku pöördfunktsioonide paar ja funktsioonil y=f(x) on tuletis f"(x), siis pöördfunktsiooni g"( x)=1/f" (x).
Seega on vastastikku pöördfunktsioonide tuletisteks pöördsuurused. Pöördfunktsiooni tuletise valem:
D) kaudse funktsiooni tuletis
Kui ühe muutuja funktsiooni kirjeldatakse võrrandiga y=f(x), kus muutuja y on vasakul pool ja parem pool sõltub ainult argumendist x, siis öeldakse, et funktsioon on antud selgesõnaliselt. Näiteks on selgesõnaliselt määratud järgmised funktsioonid:
y= patt x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.
Paljude probleemide puhul saab aga funktsiooni täpsustada kaudselt, st. võrrandina
F(x,y)=0.
tuletise leidmiseks y′( x) kaudselt määratud funktsiooni ei ole vaja eksplitsiitseks vormiks teisendada. Selleks, teades võrrandit F(x,y)=0, tehke lihtsalt järgmist:
Kõigepealt peate eristama võrrandi mõlemad pooled muutuja suhtes x, eeldades et y− on diferentseeruv funktsioon x ja kompleksfunktsiooni tuletise arvutamise reegli kasutamine. Sel juhul on nulli tuletis (paremal pool) samuti võrdne nulliga.
Kommenteeri: Kui parem pool on nullist erinev, st. kaudne võrrand on
f(x,y)=g(x,y),
siis eristame võrrandi vasakut ja paremat poolt.
Lahendage saadud tuletise võrrand y′( x).
Tuletise mõiste
A) tuletise määratlus
Funktsiooni tuletis eristamist integratsiooni.
y xx
Tuletise definitsioon
Mõelge funktsioonile f(x x 0. Seejärel funktsioon f(x) on eristatav punktis x 0 ja tema tuletis määratakse valemiga
f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.
Funktsiooni tuletis on matemaatika üks põhimõisteid ja matemaatilises analüüsis on tuletis koos integraaliga kesksel kohal. Tuletise leidmise protsessi nimetatakse eristamist. Nimetatakse pöördtehte – funktsiooni taastamine tuntud tuletisest integratsiooni.
Funktsiooni tuletis teatud punktis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust selles punktis. Muutuse kiiruse hinnangu saab, kui arvutada funktsiooni Δ muutuse suhe y argumendi Δ vastavaks muutuseks x. Tuletise definitsioonis vaadeldakse sellist seost limiidis tingimusel Δ x→0. Liigume edasi rangema sõnastuse juurde:
Tuletise definitsioon
Mõelge funktsioonile f(x), mille domeen sisaldab punkti ümber mõnda avatud intervalli x 0. Seejärel funktsioon f(x) on eristatav punktis x 0 ja tema tuletis määratakse valemiga
f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.
B) tuletise geomeetriline tähendus
Funktsiooni tuletis, mis on arvutatud antud väärtuse jaoks, võrdub telje positiivse suuna ja selle funktsiooni graafikule abstsissiga punktis joonistatud puutuja positiivse suunaga moodustatud nurga puutujaga:
Kui funktsioonil on punktis lõplik tuletis, siis naabruses saab seda lähendada lineaarfunktsiooniga
Funktsiooni nimetatakse puutujaks punktis Number.
D) lihtsaimate elementaarfunktsioonide tuletiste tabel
Vektori suunakoosinused.
Vektori a suunakoosinused on nende nurkade koosinused, mille vektor moodustab koordinaatide positiivsete pooltelgedega.
Vektori a suunakoosinuste leidmiseks on vaja jagada vektori vastavad koordinaadid vektori absoluutväärtusega.
Omadus: Suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega.
Niisiis lennukiprobleemi korral Vektori a = (ax; ay) suunakoosinused leitakse valemitega:
Vektori suunakoosinuste arvutamise näide:
Leia vektori a = (3; 4) suunakoosinused.
Lahendus: |a| =
Nii et sisse ruumiprobleemi korral Vektori a = (ax; ay; az) suunakoosinused leitakse valemitega:
Näide vektori suunakoosinuste arvutamisest
Leia vektori a = (2; 4; 4) suunakoosinused.
Lahendus: |a| =
|
Vektori suund ruumis määratakse nurkade järgi, mille vektor moodustab koordinaattelgedega (joonis 12). Nende nurkade koosinusteks nimetatakse vektori suunakoosinused: , , .
Projektsioonide omadustest:, , . Seega Seda on lihtne näidata 2) mis tahes ühikvektori koordinaadid langevad kokku tema suunakoosinustega: . |
"Kuidas leida vektori suunakoosinusi"
Tähistage alfa-, beeta- ja gamma-ga nurgad, mille vektor a moodustab koordinaattelgede positiivse suunaga (vt joonis 1). Nende nurkade koosinusi nimetatakse vektori a suunakoosinusteks.
Kuna Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on koordinaadid a võrdsed vektori projektsioonidega koordinaatide telgedele, siis a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Seega: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Sel juhul |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Seega cos (alfa)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).
Tuleb märkida suunakoosinuste peamist omadust. Vektori suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega. Tõepoolest, cos^2(alfa)+cos^2(beeta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2) + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.
Esimene viis
Näide: antud: vektor a=(1, 3, 5). Leia selle suunakoosinused. Lahendus. Vastavalt sellele, mida me leidsime, kirjutame välja: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Seega saab vastuse kirjutada järgmisel kujul: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).
Teine viis
Vektori a suunakoosinuste leidmisel saab kasutada nurkade koosinuste määramise tehnikat skalaarkorrutise abil. Sel juhul peame silmas nurki a ja ristkülikukujuliste Descartes'i koordinaatide i, j ja k suunaühikuvektorite vahel. Nende koordinaadid on vastavalt (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Tuleb meeles pidada, et vektorite skalaarkorrutis on defineeritud järgmiselt.
Kui vektorite vaheline nurk on φ, siis on kahe tuule skalaarkorrutis (definitsiooni järgi) arv, mis võrdub vektorite moodulite ja cosφ korrutisega. (a, b) = |a||b|cos f. Siis, kui b=i, siis (a, i) = |a||i|cos(alpha) või a1 = |a|cos(alfa). Lisaks viiakse kõik toimingud läbi sarnaselt meetodile 1, võttes arvesse koordinaate j ja k.
MÄÄRATLUS
Vektor nimetatakse järjestatud punktide paariks ja (st on täpselt teada, milline selle paari punktidest on esimene).
Esimest punkti nimetatakse vektori algus, ja teine on tema lõpp.
Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse pikkus või vektormoodul.
Vektorit, mille algus ja lõpp langevad kokku, nimetatakse null ja seda tähistatakse ; selle pikkus loetakse nulliks. Vastasel juhul, kui vektori pikkus on positiivne, nimetatakse seda nullist erinev.
Kommenteeri. Kui vektori pikkus on võrdne ühega, siis seda nimetatakse ortom või ühikvektor ja on määratud .
NÄIDE
| Harjutus | Kontrollige, kas vektor on  vallaline. |
| Lahendus | Arvutame antud vektori pikkuse, see on võrdne koordinaatide ruutude summa ruutjuurega: Kuna vektori pikkus on võrdne ühega, tähendab see, et vektor on ort. |
| Vastus | Ühikuvektor. |
Nullist erinevat vektorit saab määratleda ka suunatud segmendina.
Kommenteeri. Nullvektori suund ei ole määratletud.
Vektori suunakoosinused
MÄÄRATLUS
Suunakoosinused teatud vektori kohta nimetatakse koosinusteks nurgad, mille vektor moodustab koordinaattelgede positiivsete suundadega.
Kommenteeri. Vektori suund on üheselt määratud tema suunakoosinustega.
Vektori suunakoosinuste leidmiseks on vaja vektor normaliseerida (st jagada vektor selle pikkusega):
Kommenteeri. Ühikvektori koordinaadid on võrdsed selle suunakoosinustega.
TEOREEM
(Suunakoosinuste omadus). Suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega: