Integraali rakendamine rakendusülesannete lahendamisel
Pindala arvutamine
Pideva mittenegatiivse funktsiooni f(x) kindel integraal on arvuliselt võrdne kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mida piiravad kõver y = f(x), O x telg ja sirged x = a ja x = b. Vastavalt sellele kirjutatakse pindala valem järgmiselt:
Vaatame mõnda näidet tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamisest.
Ülesanne nr 1. Arvutage pindala, mis on piiratud sirgetega y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Lahendus. Koostame joonise, mille pindala peame arvutama.
y = x 2 + 1 on parabool, mille oksad on suunatud ülespoole ja parabool on nihutatud O y-telje suhtes ühe ühiku võrra ülespoole (joonis 1).
Joonis 1. Funktsiooni y = x 2 + 1 graafik
Ülesanne nr 2. Arvutage joontega y = x 2 – 1, y = 0 piiratud pindala vahemikus 0 kuni 1.
 |
Lahendus. Selle funktsiooni graafik on ülespoole suunatud harude parabool ja parabool nihutatakse O y telje suhtes ühe ühiku võrra allapoole (joonis 2).
Joonis 2. Funktsiooni y = x 2 – 1 graafik
Ülesanne nr 3. Koostage joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala
y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.
Lahendus. Esimene neist kahest sirgest on parabool, mille harud on suunatud allapoole, kuna koefitsient x 2 on negatiivne, ja teine sirge, mis lõikab mõlemat koordinaattelge.
Parabooli konstrueerimiseks leiame selle tipu koordinaadid: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tipu abstsiss; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on selle ordinaat, N(1;9) on tipp.
Nüüd leiame võrrandisüsteemi lahendamise teel parabooli ja sirge lõikepunktid:
Võrrandi paremate külgede võrdsustamine, mille vasak küljed on võrdsed.
Saame 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 või x 2 – 12 = 0, kust 
.
Seega on punktid parabooli ja sirge lõikepunktid (joonis 1).
Joonis 3 Funktsioonide y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4 graafikud
Ehitame sirge y = 2x – 4. See läbib koordinaattelgedel olevaid punkte (0;-4), (2;0).
Parabooli konstrueerimiseks võib kasutada ka selle lõikepunkte 0x teljega ehk siis võrrandi 8 + 2x – x 2 = 0 või x 2 – 2x – 8 = 0 juuri. Vieta teoreemi kasutades on see lihtne selle juurte leidmiseks: x 1 = 2, x 2 = 4.
Joonisel 3 on kujutatud joonis (paraboolne segment M 1 N M 2), mis on piiratud nende joontega.
Probleemi teine osa on selle joonise ala leidmine. Selle pindala saab leida kindla integraali abil valemi järgi 
.
Seoses selle tingimusega saame integraali: 
2 Pöörleva keha ruumala arvutamine
Keha ruumala, mis saadakse kõvera y = f(x) pöörlemisel ümber O x telje, arvutatakse järgmise valemiga:
Ümber O y telje pööramisel näeb valem välja järgmine:
Ülesanne nr 4. Määrake keha ruumala, mis saadakse kõvera trapetsi pöörlemisel, mida piiravad sirged x = 0 x = 3 ja kõver y = ümber O x telje.
Lahendus. Joonistame pildi (joonis 4).
Joonis 4. Funktsiooni y = graafik
Vajalik maht on 
Ülesanne nr 5. Arvutage keha ruumala, mis saadakse kõvera y = x 2 ja sirgjoonte y = 0 ja y = 4 ümber O y teljega piiratud trapetsi pöörlemisel.
Lahendus. Meil on:
Ülevaate küsimused
A)
Lahendus.
Otsuse esimene ja kõige olulisem punkt on joonistamine.
Teeme joonise:
Võrrand y=0 määrab "x" telje;
- x=-2 Ja x=1- sirge, paralleelne teljega OU;
- y=x 2 +2 - parabool, mille oksad on suunatud ülespoole, mille tipp on punktis (0;2).
Kommenteeri. Parabooli konstrueerimiseks piisab, kui leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega, s.t. panemine x=0 leidke ristmik teljega OU ja lahendades vastava ruutvõrrandi, leidke teljega ristumiskoht Oh .
Parabooli tipu saab leida valemite abil: 
Joone saab ehitada ka punkt-punkti haaval.
Intervallil [-2;1] funktsiooni graafik y = x 2 +2 asub telje kohal Ox, Sellepärast:
Vastus: S=9 ruutmeetrit
Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, neid on umbes 9, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui saime, ütleme, vastuseks: 20 ruutühikut, siis on ilmselge, et kuskil tehti viga - 20 lahtrit ilmselgelt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus on eitav, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.
Mida teha, kui telje all asub kõver trapets Oh?
b) Arvutage joontega piiratud joonise pindala y=-e x , x=1 ja koordinaatteljed.
Lahendus.
Teeme joonise.
Kui kõver trapets paikneb täielikult telje all Oh , siis selle pindala saab leida järgmise valemi abil:
Vastus: S=(e-1) ruutühikut" 1,72 ruutühikut
Tähelepanu! Kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:
1) Kui teil palutakse lahendada lihtsalt kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, siis võib see olla negatiivne.
2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub äsja arutatud valemis miinus.
Praktikas asub joonis enamasti nii ülemisel kui ka alumisel pooltasandil.
c) Leidke joontega piiratud tasase kujundi pindala y = 2x-x 2, y = -x.
Lahendus.
Kõigepealt peate joonise täitma. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim joonte lõikepunktid. Leiame parabooli lõikepunktid 
ja otse 
Seda saab teha kahel viisil. Esimene meetod on analüütiline.
Lahendame võrrandi:
See tähendab, et integratsiooni alumine piir a=0, integreerimise ülempiir b = 3 .
|
Ehitame etteantud sirged: 1. Parabool - tipp punktis (1;1); telje ristumiskoht Oh - punktid (0;0) ja (0;2). 2. Sirge - 2. ja 4. koordinaatnurga poolitaja. Ja nüüd Tähelepanu! Kui segmendil [ a;b] mingi pidev funktsioon f(x) suurem või võrdne mõne pideva funktsiooniga g(x), siis leiate vastava joonise ala järgmise valemi abil: Ja pole tähtis, kus joonis asub - telje kohal või all, vaid oluline on see, milline graafik on KÕRGEM (teise graafiku suhtes) ja milline ALL. Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada |
.Saate konstrueerida jooni punkt-punkti haaval ja integreerimise piirid saavad selgeks "iseenesest". Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või detailne konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed).
Soovitud figuuri piirab ülaltoodud parabool ja allpool sirgjoon.
Segmendil 
, vastavalt vastavale valemile:
Vastus: S=4,5 ruutmeetrit
Kuidas lisada veebisaidile matemaatilisi valemeid?
Kui teil on kunagi vaja veebilehele lisada üks või kaks matemaatilist valemit, on lihtsaim viis seda teha artiklis kirjeldatud viisil: matemaatilised valemid sisestatakse saidile hõlpsasti piltide kujul, mille Wolfram Alpha genereerib automaatselt. . Lisaks lihtsusele aitab see universaalne meetod parandada saidi nähtavust otsingumootorites. See on töötanud pikka aega (ja ma arvan, et töötab igavesti), kuid on juba moraalselt vananenud.
Kui kasutate oma saidil regulaarselt matemaatilisi valemeid, siis soovitan kasutada MathJaxi – spetsiaalset JavaScripti teeki, mis kuvab MathML-i, LaTeX-i või ASCIIMathML-i märgistust kasutavates veebibrauserites matemaatilisi tähistusi.
MathJaxi kasutamise alustamiseks on kaks võimalust: (1) lihtsa koodi abil saate kiiresti ühendada oma veebisaidiga MathJaxi skripti, mis laaditakse automaatselt õigel ajal kaugserverist (serverite loend); (2) laadige MathJaxi skript alla kaugserverist oma serverisse ja ühendage see oma saidi kõigi lehtedega. Teine meetod – keerulisem ja aeganõudvam – kiirendab teie saidi lehtede laadimist ning kui MathJaxi emaserver muutub mingil põhjusel ajutiselt kättesaamatuks, ei mõjuta see teie saiti kuidagi. Vaatamata nendele eelistele valisin esimese meetodi, kuna see on lihtsam, kiirem ja ei nõua tehnilisi oskusi. Järgige minu eeskuju ja juba 5 minuti pärast saate oma saidil kasutada kõiki MathJaxi funktsioone.
Saate ühendada MathJaxi teegi skripti kaugserverist, kasutades kahte MathJaxi põhiveebisaidilt või dokumentatsioonilehelt võetud koodivalikut:
Üks neist koodivalikutest tuleb kopeerida ja kleepida oma veebilehe koodi, eelistatavalt siltide vahele ja või kohe pärast märgendit. Esimese variandi järgi laadib MathJax kiiremini ja aeglustab lehte vähem. Kuid teine valik jälgib ja laadib automaatselt MathJaxi uusimad versioonid. Kui sisestate esimese koodi, tuleb seda perioodiliselt värskendada. Kui sisestate teise koodi, laaditakse lehed aeglasemalt, kuid te ei pea pidevalt MathJaxi värskendusi jälgima.
Lihtsaim viis MathJaxi ühendamiseks on Bloggeris või WordPressis: lisage saidi juhtpaneelile vidin, mis on mõeldud kolmanda osapoole JavaScripti koodi sisestamiseks, kopeerige sellesse ülaltoodud allalaadimiskoodi esimene või teine versioon ja asetage vidin lähemale. malli algusesse (muide, see pole üldse vajalik, kuna MathJaxi skript laaditakse asünkroonselt). See on kõik. Nüüd õppige MathML-i, LaTeX-i ja ASCIIMathML-i märgistussüntaksit ning olete valmis oma saidi veebilehtedele matemaatilisi valemeid sisestama.
Iga fraktal on konstrueeritud kindla reegli järgi, mida rakendatakse järjekindlalt piiramatu arv kordi. Iga sellist aega nimetatakse iteratsiooniks.
Mengeri käsna konstrueerimise iteratiivne algoritm on üsna lihtne: algne kuubik küljega 1 jagatakse selle tahkudega paralleelsete tasapindade abil 27 võrdseks kuubiks. Sellest eemaldatakse üks keskne kuubik ja 6 selle külge külgnevat kuubikut. Tulemuseks on komplekt, mis koosneb ülejäänud 20 väiksemast kuubikust. Tehes sama iga kuubikuga, saame komplekti, mis koosneb 400 väiksemast kuubikust. Seda protsessi lõputult jätkates saame Mengeri käsna.
Joonist, mis on piiratud pideva mittenegatiivse funktsiooni $f(x)$ graafikuga lõigul $$ ja sirgetega $y=0, \ x=a$ ja $x=b$, nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks.
Vastava kõverjoonelise trapetsi pindala arvutatakse järgmise valemi abil:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Jagame ülesanded tinglikult kõverjoonelise trapetsi pindala leidmiseks $4$ tüüpideks. Vaatame iga tüüpi üksikasjalikumalt.
I tüüp: kõver trapets on selgelt määratletud. Seejärel rakendage kohe valem (*).
Näiteks leidke kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni $y=4-(x-2)^(2)$ graafikuga ja joontega $y=0, \ x=1$ ja $x = 3 $.
Joonistame selle kõvera trapetsi.
Valemi (*) abil leiame selle kõverjoonelise trapetsi pindala.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\parem)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\vasak((1)^(3)-(-1)^(3)\parem) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (ühikud$^(2)$).
II tüüp: kõver trapets on määratletud kaudselt. Sel juhul on sirgjooned $x=a, \ x=b$ tavaliselt täpsustamata või osaliselt täpsustatud. Sel juhul tuleb leida funktsioonide $y=f(x)$ ja $y=0$ lõikepunktid. Need punktid on punktid $a$ ja $b$.
Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonide $y=1-x^(2)$ ja $y=0$ graafikutega.
Leiame ristumispunktid. Selleks võrdsustame funktsioonide parempoolsed küljed.
Seega $a=-1$ ja $b=1$. Joonistame selle kõvera trapetsi.
Leiame selle kõvera trapetsi pindala.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (ühikud $^(2)$).
III tüüp: kujundi pindala, mis on piiratud kahe pideva mittenegatiivse funktsiooni ristumiskohaga. See joonis ei ole kõver trapets, mis tähendab, et te ei saa arvutada selle pindala valemi (*) abil. Kuidas olla? Selgub, et selle joonise pindala võib leida kui erinevus kõverjooneliste trapetside pindalade vahel, mida piiravad ülemine funktsioon ja $y=0$ ($S_(uf)$) ning alumine funktsioon ja $y =0$ ($S_(lf)$), kus $x=a, \ x=b$ rolli mängivad nende funktsioonide lõikepunktide $x$ koordinaadid, s.t.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Selliste pindalade arvutamisel on kõige olulisem mitte ülemise ja alumise funktsiooni valikul „mööda jääda“.
Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonidega $y=x^(2)$ ja $y=x+6$.
Leiame nende graafikute lõikepunktid:
Vastavalt Vieta teoreemile
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
See tähendab, $a=-2,\b=3$. Joonistame joonise:
Seega on ülemine funktsioon $y=x+6$ ja alumine funktsioon $y=x^(2)$. Järgmisena leiame valemi (*) abil $S_(uf)$ ja $S_(lf)$.
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\vasak.\frac(x^(2))(2)\parem|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (ühikut$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (ühikud$^(2)$).
Asendame leidu (**) ja saame:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (ühikut$^(2)$).
IV tüüp: joonise pindala, mis on piiratud funktsiooni(te)ga, mis ei vasta mittenegatiivsuse tingimusele. Sellise kujundi pindala leidmiseks peate olema sümmeetriline $Ox$ telje suhtes ( teisisõnu, pange funktsioonide ette "miinused") kuvage ala ja leidke I–III tüüpides kirjeldatud meetodite abil kuvatava ala pindala. See piirkond on vajalik ala. Esiteks peate võib-olla leidma funktsioonigraafikute lõikepunktid.
Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonide $y=x^(2)-1$ ja $y=0$ graafikutega.
Leiame funktsioonigraafikute lõikepunktid:
need. $a=-1$ ja $b=1$. Joonistame ala.
Kuvame ala sümmeetriliselt:
$y=0 \ \Paremnool \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Paremnool \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Tulemuseks on kõverjooneline trapets, mis on piiratud funktsiooni $y=1-x^(2)$ ja $y=0$ graafikuga. See on probleem teist tüüpi kõvera trapetsi leidmisel. Oleme selle juba lahendanud. Vastus oli: $S= 1\frac(1)(3)$ (ühikud $^(2)$). See tähendab, et vajaliku kõverjoonelise trapetsi pindala on võrdne:
$S=1\frac(1)(3)$ (ühikud$^(2)$).
Vaatleme kõverat trapetsi, mida piirab Ox-telg, kõver y=f(x) ja kaks sirget: x=a ja x=b (joonis 85). Võtame x suvalise väärtuse (lihtsalt mitte a ja mitte b). Anname sellele juurdekasvu h = dx ja vaatleme vaadeldavale kõverale kuuluvat riba, mida piiravad sirged AB ja CD, Ox telg ja kaar BD. Me nimetame seda riba elementaarseks ribaks. Elementaarriba pindala erineb ristküliku ACQB pindalast kõverjoonelise kolmnurga BQD võrra ja viimase pindala on väiksem kui ristküliku BQDM pindala, mille küljed on BQ = =h= dx) QD = Ay ja pindala on võrdne heinaga = Ay dx. Kui külg h väheneb, väheneb ka külg Du ja samaaegselt h-ga kipub olema null. Seetõttu on BQDM-i pindala teist järku lõpmatult väike. Elementaarriba pindala on pindala juurdekasv ja ristküliku ACQB pindala, mis on võrdne AB-AC ==/(x) dx>, on pindala diferentsiaal. Järelikult leiame ala enda, integreerides selle diferentsiaali. Vaadeldaval joonisel muutub sõltumatu muutuja l: a-st b-ks, seega on nõutav pindala 5 võrdne 5= \f(x) dx. (I) Näide 1. Arvutame parabooli y - 1 -x*, sirgete X =--Fj-, x = 1 ja O* teljega piiratud ala (joonis 86). joonisel fig. 87. Joon. 86. 1 Siin f(x) = 1 - l?, integreerimise piirid on a = - ja £ = 1, seega J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Näide 2. Arvutame siinuse y = sinXy, Ox-telje ja sirgjoonega piiratud pindala (joonis 87). Rakendades valemit (I) saame A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Näide 3. Arvutage siinuskaarega piiratud ala ^у = sin jc, suletud kahe kõrvuti asetseva lõikepunkti vahel Ox-teljega (näiteks lähtepunkti ja abstsiss i-ga punkti vahel). Pange tähele, et geomeetrilistest kaalutlustest lähtudes on selge, et see pindala on kaks korda suurem kui eelmises näites. Teeme siiski arvutused: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Tõepoolest, meie oletus osutus õigeks. Näide 4. Arvutage pindala, mis on piiratud sinusoidi ja Ox-teljega ühel perioodil (joonis 88). Esialgsed arvutused näitavad, et pindala on neli korda suurem kui näites 2. Pärast arvutuste tegemist saame aga “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. See tulemus vajab täpsustamist. Asja olemuse selgitamiseks arvutame välja ka pindala, mis on piiratud sama siinuse y = sin l: ja Ox teljega vahemikus l kuni 2i. Rakendades valemit (I), saame 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Seega näeme, et see ala osutus negatiivseks. Võrreldes seda harjutuses 3 arvutatud pindalaga, leiame, et nende absoluutväärtused on samad, kuid märgid erinevad. Kui rakendada omadust V (vt XI peatükk, § 4), saame 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Selles näites juhtunu ei ole juhus. Alati Ox-telje all asuv ala, eeldusel, et sõltumatu muutuja muutub vasakult paremale, saadakse integraalide abil arvutamisel. Sellel kursusel käsitleme alati alasid, kus pole märke. Seetõttu on äsja käsitletud näite vastus järgmine: nõutav pindala on 2 + |-2| = 4. Näide 5. Arvutame joonisel fig. näidatud BAB pindala. 89. Seda ala piiravad Ox-telg, parabool y = - xr ja sirge y - = -x+\. Kõverajoonelise trapetsi pindala Vajalik pindala OAB koosneb kahest osast: OAM ja MAV. Kuna punkt A on parabooli ja sirge lõikepunkt, leiame selle koordinaadid võrrandisüsteemi 3 2 Y = mx lahendamisel. (peame leidma ainult punkti A abstsissi). Süsteemi lahendades leiame l; = ~. Seetõttu tuleb pindala arvutada osade kaupa, esimene ruut. OAM ja siis pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)