Hulgad. Operatsioonid komplektidel.
Komplektide kuvamine. Komplekti jõud

Tere tulemast esimesele kõrgema algebra õppetunnile, mis ilmus... saidi viienda aastapäeva eel, pärast seda, kui olin loonud juba üle 150 matemaatikaartikli ja minu materjale hakati koostama lõpetatud kursuseks. Loodan siiski, et ma ei ole hiljaks jäänud - paljud tudengid hakkavad ju loengutesse süvenema ainult riigieksamiteks =)

Ülikooli vyshmati kursus põhineb traditsiooniliselt kolmel sambal:

- matemaatiline analüüs (piirid, derivaadid jne.)

– ja lõpuks avatakse õppetundidega 2015/16 õppeaasta hooaeg Algebra mannekeenidele, Matemaatilise loogika elemendid, mille peal analüüsime osa põhitõdesid, samuti tutvume matemaatiliste põhimõistete ja levinud tähistustega. Pean ütlema, et teistes artiklites ei kasuta ma "squiggles" üle. , aga see on lihtsalt stiil ja loomulikult tuleb neid igas olukorras ära tunda =). Teavitan äsja saabunud lugejaid, et minu tunnid on praktikale orienteeritud ja selles vaimus esitatakse järgmine materjal. Täielikuma ja akadeemilise teabe saamiseks vaadake õppekirjandust. Mine:

Trobikond. Näited komplektidest

Komplekt on mitte ainult matemaatika, vaid kogu ümbritseva maailma põhimõiste. Võtke mis tahes objekt kohe käes. Siin on komplekt, mis koosneb ühest elemendist.

Laiemas mõttes komplekt on objektide (elementide) kogum, mida mõistetakse ühtse tervikuna(vastavalt teatud omadustele, kriteeriumidele või asjaoludele). Pealegi pole need mitte ainult materiaalsed objektid, vaid ka tähed, numbrid, teoreemid, mõtted, emotsioonid jne.

Komplektid on tavaliselt tähistatud suurtähtedega (valikuliselt koos alaindeksitega: jne), ja selle elemendid on kirjutatud lokkis sulgudes, näiteks:

- palju vene tähestiku tähti;
– naturaalarvude hulk;

Noh, on aeg üksteist veidi tundma õppida:
– palju õpilasi 1. reas

... Mul on hea meel näha teie tõsiseid ja kontsentreeritud nägusid =)

Komplektid on lõplik(koosneb lõplikust arvust elementidest) ja näide on hulk lõpmatu paljusid. Lisaks nn tühi komplekt:

– komplekt, milles pole ühtki elementi.

Näide on teile hästi teada - eksami komplekt on sageli tühi =)

Elemendi kuuluvust komplekti näitab sümbol, näiteks:

- täht "olla" kuulub paljude vene tähestiku tähtede hulka;
- täht "beeta" Mitte kuulub paljude vene tähestiku tähtede hulka;
– arv 5 kuulub naturaalarvude hulka;
- aga numbrit 5,5 enam pole;
– Voldemar ei istu esireas (ja pealegi ei kuulu rahvahulga ega =)).

Abstraktses ja mitte väga algebras tähistatakse hulga elemente väikeste ladina tähtedega ja vastavalt sellele vormistatakse omandiõigus järgmises stiilis:

– element kuulub komplekti.

Ülaltoodud komplektid on kirjutatud otseülekanne elemente, kuid see pole ainus viis. Mugav on määratleda paljusid komplekte, kasutades mõnda märk (s), mis on omane kõik selle elemendid. Näiteks:

– kõigi naturaalarvude hulk, mis on väiksemad kui sada.

Pea meeles: pikk püstpulk väljendab verbiage “mis”, “selline see”. Üsna sageli kasutatakse selle asemel koolonit: - loeme kirjet ametlikumalt: "naturaalarvude hulka kuuluvate elementide hulk, selline, et » . Hästi tehtud!

Selle komplekti saab kirjutada ka otsese loendamisega:

Veel näiteid:
– ja kui 1. reas on päris palju õpilasi, siis on selline sissekanne palju mugavam kui nende otsene loetlemine.

– segmenti kuuluv arvude hulk. Pange tähele, et see tähendab mitut kehtiv numbrid (nendest lähemalt hiljem), mida ei ole enam võimalik komadega eraldatuna loetleda.

Tuleb märkida, et komplekti elemendid ei pea olema “homogeensed” ega omavahel loogiliselt seotud. Võtke suur kott ja hakake sinna juhuslikult erinevaid esemeid panema. Selles pole mustrit, kuid sellest hoolimata räägime erinevatest teemadest. Piltlikult öeldes on komplekt omaette “pakk”, millesse “saatuse tahtel” sattus teatud kogum esemeid.

Alamhulgad

Peaaegu kõik selgub nimest endast: komplekt on alamhulk seatud, kui hulga iga element kuulub hulka. Teisisõnu, komplekt sisaldub komplektis:

Ikooni nimetatakse ikooniks kaasamine.

Pöördume tagasi näite juurde, kus see on vene tähestiku tähtede komplekt. Tähistagem – selle vokaalide hulka. Seejärel:

Samuti saate valida kaashäälikutähtede alamhulga ja üldiselt suvalise alamhulga, mis koosneb suvalisest arvust juhuslikult (või mittejuhuslikult) võetud kirillitsa tähtedest. Eelkõige on iga kirillitsa täht komplekti alamhulk.

Alamhulkade vahelisi suhteid on mugav kujutada tavapärase geomeetrilise diagrammi abil, mida nimetatakse Euleri ringid.

Olgu 1. rea õpilaste hulk, rühma õpilaste hulk ja ülikooli üliõpilaste hulk. Seejärel saab kaasamise seost kujutada järgmiselt:

Teise ülikooli üliõpilaste kogumit tuleks kujutada ringina, mis ei ristu välisringiga; paljud riigi õpilased - ring, mis sisaldab mõlemat ringi jne.

Tüüpilist näidet lisamisest näeme arvuliste kogumite kaalumisel. Kordame üle koolimaterjali, mida on oluline kõrgema matemaatika õppimisel silmas pidada:

Numbrikomplektid

Nagu teate, ilmusid ajalooliselt esimestena naturaalarvud, mis olid mõeldud materiaalsete objektide (inimesed, kanad, lambad, mündid jne) loendamiseks. Seda komplekti on artiklis juba kohatud, ainus asi on see, et muudame nüüd selle tähistust veidi. Fakt on see, et numbrite komplekte tähistatakse tavaliselt paksude, stiliseeritud või paksude tähtedega. Eelistan kasutada paksu kirjatüüpi:

Mõnikord lisatakse naturaalarvude hulka null.

Kui liidame hulgale samad arvud vastupidise märgi ja nulliga, saame täisarvude komplekt:

Uuendajad ja laisad inimesed panevad selle elemendid ikoonidega kirja "pluss miinus":))

On üsna selge, et naturaalarvude hulk on täisarvude hulga alamhulk:
– kuna hulga iga element kuulub hulka. Seega võib iga naturaalarvu julgelt nimetada täisarvuks.

Ka komplekti nimi on "ütlev": täisarvud – see tähendab, et murdu pole.

Ja kuna need on täisarvud, pidagem kohe meeles olulisi märke nende jagamisest 2, 3, 4, 5 ja 10-ga, mida praktilistes arvutustes nõutakse peaaegu iga päev:

Täisarv jagub 2-ga ilma jäägita, kui see lõpeb numbritega 0, 2, 4, 6 või 8 (st mis tahes paarisarv). Näiteks numbrid:
400, -1502, -24, 66996, 818 – jagub 2-ga ilma jäägita.

Ja vaatame kohe "seotud" märki: täisarv jagub 4-ga, kui arv, mis koosneb selle kahest viimasest numbrist (nende ilmumise järjekorras) jagub 4-ga.

400 – jagub 4-ga (kuna 00 (null) jagub 4-ga);
-1502 – ei jagu 4-ga (kuna 02 (kaks) ei jagu 4-ga);
-24 jagub loomulikult 4-ga;
66996 – jagub 4-ga (kuna 96 jagub 4-ga);
818 – ei jagu 4-ga (kuna 18 ei jagu 4-ga).

Põhjendage seda fakti ise lihtsalt.

3-ga jagamine on veidi keerulisem: täisarv jagub 3-ga ilma jäägita, kui selles sisalduvate numbrite summa jagub 3-ga.

Kontrollime, kas arv 27901 jagub 3-ga. Selleks liida selle numbrid kokku:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – ei jagu 3-ga
Järeldus: 27901 ei jagu 3-ga.

Võtame -825432 numbrid kokku:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – jagub 3-ga
Järeldus: arv -825432 jagub 3-ga

Täisarv, mis jagub 5-ga, kui see lõpeb viie või nulliga:
775, -2390 – jagub 5-ga

10-ga jagatav täisarv kui see lõpeb nulliga:
798400 – jagub 10-ga (ja ilmselgelt 100 võrra). Tõenäoliselt mäletavad kõik, et 10-ga jagamiseks peate lihtsalt eemaldama ühe nulli: 79840

On ka 6, 8, 9, 11 jne jaguvuse märke, kuid praktilist kasu neist praktiliselt pole =)

Tuleb märkida, et loetletud märgid (näiliselt nii lihtsad) on rangelt tõestatud arvuteooria. See algebra osa on üldiselt päris huvitav, aga selle teoreemid... on just nagu tänapäeva hiina hukkamine =) Ja sellest piisas ka Voldemarile viimases lauas...aga pole midagi, varsti teeme eluandva füüsilise harjutused =)

Järgmine numbriline komplekt on ratsionaalarvude komplekt:
– see tähendab, et iga ratsionaalarvu saab esitada täisarvuga murruna lugeja ja loomulik nimetaja.

Ilmselgelt on täisarvude hulk alamhulk ratsionaalsete arvude komplekt:

Tõepoolest, iga täisarvu saab esitada ratsionaalse murdena, näiteks: jne. Seega võib täisarvu täiesti õigustatult nimetada ratsionaalarvuks.

Ratsionaalarvu iseloomulikuks "identifitseerivaks" tunnuseks on asjaolu, et lugeja jagamisel nimetajaga on tulemuseks kas
– täisarv,

või
– lõplik kümnendkoht,

või
- lõputu perioodiline kümnend (taasesitus ei pruugi kohe alata).

Nautige jagunemist ja proovige seda toimingut teha nii vähe kui võimalik! Organisatsiooni artiklis Kõrgem matemaatika mannekeenidele ja teistes õppetundides olen seda mantrat korduvalt korranud, kordan ja kordan:

Kõrgemas matemaatikas püüame kõiki tehteid sooritada tavalistes (õigetes ja valedes) murdudes

Nõus, et murdosaga tegelemine on palju mugavam kui kümnendarvuga 0,375 (lõpmatutest murdudest rääkimata).

Liigume edasi. Lisaks ratsionaalarvudele on palju irratsionaalarvusid, millest igaüht saab esitada lõpmatuna MITTEPERIOOODILINE kümnendmurd. Teisisõnu, irratsionaalsete arvude "lõpmatutes sabades" pole mustrit:
("Leo Tolstoi sünniaasta" kaks korda)
jne.

Kuulsate konstantide "pi" ja "e" kohta on palju teavet, nii et ma ei hakka neil pikemalt peatuma.

Moodustub ratsionaal- ja irratsionaalarvude kombinatsioon reaalarvude komplekt:

- ikoon ühendused komplektid.

Komplekti geomeetriline tõlgendus on teile tuttav - see on arvurida:


Iga reaalarv vastab kindlale punktile arvujoonel ja vastupidi – igale arvujoone punktile vastab tingimata teatud reaalarv. Sisuliselt olen nüüd sõnastanud järjepidevuse omadus reaalarvud, mis, kuigi tundub ilmselge, on matemaatilise analüüsi käigus rangelt tõestatud.

Numbrijoont tähistatakse ka lõpmatu intervalliga ja tähis või samaväärne tähis sümboliseerib selle kuulumist reaalarvude hulka (või lihtsalt "x" on reaalarv).

Manustega on kõik läbipaistev: ratsionaalarvude hulk on seda alamhulk reaalarvude komplektid:
Seega võib iga ratsionaalarvu julgelt nimetada reaalarvuks.

Samuti on palju irratsionaalseid numbreid alamhulk reaalarvud:

Samal ajal alamhulgad ja ära ristu- see tähendab, et mitte ühtegi irratsionaalset arvu ei saa esitada ratsionaalse murruna.

Kas on veel mingeid numbrisüsteeme? Olemas! See on näiteks kompleksarvud, millega soovitan lähipäevadel või isegi tundidel sõna otseses mõttes tutvust teha.

Vahepeal liigume edasi komplektidel tehte uurimise juurde, mille vaim on juba selle osa lõpus realiseerunud:

Toimingud komplektidel. Venni diagrammid

Venni diagrammid (sarnaselt Euleri ringidele) kujutavad skemaatiliselt hulgaga toiminguid. Jällegi hoiatan teid, et ma ei võta arvesse kõiki toiminguid:

1) Ristmik JA ja seda tähistab ikoon

Hulkade ristumiskoht on hulk, millesse iga element kuulub Ja palju, Ja paljudele. Jämedalt öeldes on ristmik kogumite ühine osa:

Näiteks komplektide jaoks:

Kui hulgal pole identseid elemente, on nende ristumiskoht tühi. Arvuliste kogumite kaalumisel leidsime just selle näite:

Ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulki saab skemaatiliselt kujutada kahe mitteühendatud ringiga.

Ristumisoperatsioon on rakendatav ka suurema hulga komplektide puhul, eriti hea on Vikipeedias näide kolmest tähestikust koosnevate tähtede ristumiskoha kohta.

2) Ühing hulki iseloomustab loogiline konnektiivi VÕI ja seda tähistab ikoon

Hulkade liit on hulk, mille iga element kuulub hulka või paljudele:

Kirjutame hulkade liidu:
– jämedalt öeldes tuleb siin loetleda kõik komplektide ja elemendid ning samad elemendid (sel juhul on üksus komplektide ristumiskohas) tuleks täpsustada üks kord.

Kuid hulgad ei pruugi muidugi ristuda, nagu ratsionaalsete ja irratsionaalsete arvude puhul:

Sel juhul saate joonistada kaks mittelõikavat varjutatud ringi.

Ühendusteade on rakendatav ka suurema hulga komplektide puhul, näiteks kui , siis:

Sel juhul ei pea numbreid järjestama kasvavas järjekorras. (Tegin seda puhtalt esteetilistel põhjustel). Ilma pikema jututa saab tulemuse kirjutada järgmiselt:

3) Erinevuse järgi Ja ei kuulu komplekti:

Erinevus loetakse järgmiselt: "a ilma olemata." Ja arutleda saab täpselt samamoodi: kaaluge komplekte . Erinevuse üleskirjutamiseks peate komplektist "ära viskama" kõik komplektis olevad elemendid:

Näide numbrikomplektidega:
– siin jäetakse täisarvude hulgast välja kõik naturaalarvud ja kirje ise kõlab järgmiselt: "täisarvude hulk ilma naturaalarvude hulgata."

Peegeldatud: erinevus hulgad ja neid nimetatakse hulgaks, mille iga element kuulub hulka Ja ei kuulu komplekti:

Samade komplektide jaoks
– komplektis olev “visatakse” komplektist välja.

Kuid see erinevus osutub tühjaks: . Ja tegelikult, kui naturaalarvude hulgast täisarvud välja jätta, siis tegelikult ei jää midagi alles :)

Lisaks mõeldakse mõnikord sümmeetriline erinevus, mis ühendab mõlemad "poolkuud":
– teisisõnu, see on "kõik peale hulkade ristumiskoha".

4) Descartes'i (otsene) toode seab ja seda nimetatakse hulgaks kõik tellitud paarid, milles element , ja element

Paneme kirja hulkade Descartes'i korrutise:
– paaride loetlemine on mugav järgmise algoritmi abil: „kõigepealt kinnitame hulga iga elemendi järjestikku hulga 1. elemendi külge, seejärel kinnitame hulga iga elemendi hulga 2. elemendi külge, seejärel kinnitame iga komplekti elemendi komplekti 3. elemendini”:

Peegeldatud: Descartes'i toode hulka ja kutsutakse kõigi hulka tellitud paarid, milles Meie näites:
- siin on salvestusskeem sarnane: esmalt lisame järjestikku kõik komplekti elemendid "miinus üks", seejärel lisame "de" samad elemendid:

Aga see on puhtalt mugavuse huvides – mõlemal juhul võib paarid järjestada suvalises järjekorras – oluline on siia kirja panna Kõik võimalikud paarid.

Ja nüüd programmi tipphetk: Descartes'i toode pole midagi muud kui meie põliselanike punktide kogum Descartes'i koordinaatsüsteem .

Harjutus materjali isekinnitumiseks:

Tehke toiminguid, kui:

Trobikond Seda on mugav kirjeldada selle elementide loetlemisega.

Ja väike asi reaalarvude intervallidega:

Lubage mul teile meelde tuletada, et nurksulg tähendab kaasamine numbrid intervallisse ja ümmargune - selle mittekaasamine, st "miinus üks" kuulub komplekti ja "kolm" Mitte kuulub komplekti. Proovige välja mõelda, mis on nende komplektide Descartes'i korrutis. Kui teil on raskusi, järgige joonist ;)

Probleemi lühilahendus tunni lõpus.

Komplektide kuvamine

Ekraan paljud paljudeks on reegel, mille kohaselt on komplekti iga element seotud hulga elemendi (või elementidega). Juhul, kui kirjavahetus toimub ainus element, siis nimetatakse seda reeglit selgelt määratletud funktsioon või lihtsalt funktsiooni.

Funktsiooni, nagu paljud teavad, tähistatakse enamasti tähega - see paneb kirjavahetuse igale elemendil on üks komplekti kuuluv väärtus.

Noh, nüüd häirin taas paljusid 1. rea õpilasi ja pakun neile 6 esseede teemat (palju):

Paigaldatud (vabatahtlik või sunnitud =)) Reegel määrab igale komplekti õpilasele komplekti essee ühe teema.

...ja tõenäoliselt ei osanud te isegi ette kujutada, et mängiksite funktsiooni argumendi rolli =) =)

Komplekti vormi elemendid domeeni funktsioonid (tähistatud ) ja hulga elemendid on ulatus funktsioonid (tähistatud ).

Hulkade konstrueeritud kaardistamisel on väga oluline tunnus: see on üks ühele või biobjektiivne(bijektsioon). Selles näites tähendab see seda igaleõpilane on sobitatud üks ainulaadne essee teema ja tagasi - igaühele Essee teema on määratud ühele ja ainult ühele õpilasele.

Siiski ei tohiks arvata, et iga kaardistamine on bijektiivne. Kui lisate 1. reale (komplekti) 7. õpilase, siis kaob üks-ühele kirjavahetus - või jääb üks õpilastest ilma teemata. (ekraani ei kuvata üldse), või mõni teema läheb kahele õpilasele korraga. Vastupidine olukord: kui komplekti lisatakse seitsmes teema, siis kaob ka üks-ühele kaardistamine - üks teemadest jääb taotlemata.

Kallid 1. rea tudengid, ärge ärrituge - ülejäänud 20 inimest pärast tunde lähevad ülikooli territooriumi sügisesest lehestikust puhastama. Hooldaja annab välja paarkümmend golikut, misjärel luuakse üks-ühele kirjavahetus grupi põhiosa ja luudade vahel... ja Voldemaril on ka aega poodi joosta =)). määratlusala vastab tema omale ainulaadne"y" ja vastupidi - mis tahes "y" väärtuse korral saame üheselt taastada "x". Seega on see bijektiivne funktsioon.

! Igaks juhuks kõrvaldan võimaliku arusaamatuse: minu pidev reservatsioon definitsiooni ulatuse suhtes pole juhuslik! Funktsioon ei pruugi olla kõigi X-de jaoks määratletud ja lisaks võib see olla ka sel juhul üks-ühele. Tüüpiline näide:

Kuid ruutfunktsiooni puhul ei täheldata midagi sarnast, esiteks:
- see tähendab, et "x" erinevad väärtused kuvati sama mis tähendab "jah"; ja teiseks: kui keegi arvutas funktsiooni väärtuse ja ütles meile, et , siis pole selge, kas see "y" saadi kohas või ? Ütlematagi selge, et vastastikusest ühemõttelisusest pole siin aimugi.

2. ülesanne: vaade põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud ja kirjutage bijektiivsed funktsioonid paberile. Kontrollnimekiri selle õppetunni lõpus.

Komplekti jõud

Intuitsioon viitab sellele, et termin iseloomustab hulga suurust, nimelt selle elementide arvu. Ja meie intuitsioon ei peta meid!

Tühja hulga kardinaalsus on null.

Komplekti kardinaalsus on kuus.

Vene tähestiku tähtede komplekti võimsus on kolmkümmend kolm.

Ja üldiselt - mis tahes jõud lõplik hulga elementide arv on võrdne antud hulga elementide arvuga.

...võib-olla ei saa kõik lõpuni aru, mis see on lõplik komplekt – kui hakkad selle hulga elemente lugema, siis varem või hiljem loendamine lõpeb. Nagu öeldakse, saavad hiinlased lõpuks otsa.

Muidugi saab hulki kardinaalsuse poolest võrrelda ja nende võrdsust selles mõttes nimetatakse võrdne jõud. Samaväärsus määratakse järgmiselt:

Kaks hulka on võrdse kardinaalsusega, kui nende vahel on võimalik luua üks-ühele vastavus.

Õpilaste komplekt on samaväärne esseeteemade komplektiga, vene tähestiku tähtede komplekt on samaväärne mis tahes 33 elemendi komplektiga jne. Pange tähele, mida täpselt keegi 33 elemendist koosnev komplekt – antud juhul on oluline ainult nende arv. Vene tähestiku tähti saab võrrelda mitte ainult paljude numbritega
1, 2, 3, …, 32, 33, kuid üldiselt 33-pealise lehmakarjaga.

Olukord lõpmatu hulgaga on palju huvitavam. Ka lõpmatused on erinevad! ...roheline ja punane Kõige väiksemad lõpmatud hulgad on loendamine paljusid. Lihtsamalt öeldes saab sellise komplekti elemente nummerdada. Viitenäide on naturaalarvude hulk . Jah – see on lõpmatu, kuid igal selle elemendil on PÕHIMÕTTELT arv.

Näiteid on palju. Eelkõige on loendatav kõigi paaritud naturaalarvude hulk. Kuidas seda tõestada? Peate looma selle üks-ühele vastavuse naturaalarvude komplektiga või lihtsalt nummerdama elemendid:

Loodud on üks-ühele vastavus, seetõttu on hulgad võrdse kardinaalsusega ja hulk on loendatav. Paradoksaalsel kombel on võimsuse seisukohalt paaris naturaalarve sama palju kui naturaalarve!

Täisarvude hulk on samuti loendatav. Selle elemente saab nummerdada näiteks järgmiselt:

Pealegi on ka ratsionaalarvude hulk loendatav . Kuna lugeja on täisarv (ja neid, nagu just näidatud, saab nummerdada), ja nimetaja on naturaalarv, siis varem või hiljem “saame” suvalise ratsionaalse murruni ja omistame sellele arvu.

Kuid reaalarvude hulk on juba olemas loendamatu, st. selle elemente ei saa nummerdada. See tõsiasi, kuigi ilmne, on hulgateoorias rangelt tõestatud. Nimetatakse ka reaalarvude hulga kardinaalsust järjepidevus, ja võrreldes loendatavate komplektidega on see "lõpmatum" komplekt.

Kuna hulga ja arvurea vahel on üks-ühele vastavus (vt eespool), siis on ka arvujoone punktide hulk loendamatu. Veelgi enam, nii kilomeetri- kui ka millimeetrisegmendis on sama palju punkte! Klassikaline näide:


Pöörates tala vastupäeva, kuni see joondub talaga, loome siniste segmentide punktide vahel üks-ühele vastavuse. Seega on lõigul sama palju punkte kui segmendil ja !

See paradoks on ilmselt seotud lõpmatuse mõistatusega... aga nüüd ei hakka me end universumi probleemidega vaevama, sest järgmine samm on

2. ülesanne Üks-ühele funktsioonid õppetundide illustratsioonides

2. Mitmel viisil saab treener määrata, kes 12-st 4x100 m teatejooksus osalemiseks valmis olevast sportlasest jookseb esimesel, teisel, kolmandal ja neljandal etapil?

3. Ringskeemis on ring jagatud 5 sektoriks. Sektorid on värvitud erinevate värvidega, mis on võetud 10 värvitooni sisaldavast komplektist. mitmel viisil saab seda teha?

4. leidke avaldise väärtus

c)(7!*5!)/(8!*4!)

KÕIGILE, KES OTSUSTASID, aitäh)))

nr 1. 1. Esitage kompleksarvu mõiste. Nimeta kolm kompleksarvude esitamise vormi (1 punkt).

2. Antud kompleksarvud: z1=-4i ja z2=-5+i. Märkige nende esitusviis, leidke näidatud arvude tegelikud ja mõttelised osad (1 punkt).
3. Leidke nende summa, vahe ja korrutis (1 punkt).
4. Kirjutage üles arvud, mis on andmete komplekskonjugaadid (1 punkt).
nr 2. 1. Kuidas kujutatakse kompleksarvu komplekstasandil (1 punkt)?
2. Antud kompleksarv. Joonistage see komplekstasandile. (1 punkt).
3. Kirjutage üles kompleksarvu mooduli arvutamise valem ja arvutage (2 punkti).
nr 3. 1. Defineeri maatriks, nimeta maatriksite tüübid (1 punkt).
2. Nimeta lineaartehteid maatriksitel (1 punkt).
3. Leia kahe maatriksi lineaarne kombinatsioon, kui, (2 punkti).
nr 4. 1. Mis on ruutmaatriksi determinant? Kirjutage üles 2. järku determinandi (1 punkt) arvutamise valem.
2. Arvutage teist järku determinant: (1 punkt).
3. Sõnasta omadus, mida saab kasutada 2. järku determinandi arvutamiseks? (1 punkt)
4. Arvutage determinant, kasutades selle omadusi (1 punkt).
nr 5. 1. Millistel juhtudel võrdub ruutmaatriksi determinant nulliga (1 punkt)?
2. Sõnasta Sarruse reegel (joonista diagramm) (1 punkt).
3. Arvutage 3. järku determinant (ükskõik millisel meetodil) (2 punkti).
nr 6. 1. Millist maatriksit nimetatakse antud maatriksi pöördväärtuseks (1 punkt)?
2. Millise maatriksi jaoks saab konstrueerida pöördväärtuse? Määrake, kas maatriksil on maatriksi pöördväärtus (2 punkti).
3. Kirjutage üles pöördmaatriksi elementide arvutamise valem (1 punkt).
nr 7. 1. Määratlege maatriksi aste. Nimeta meetodid maatriksi järgu leidmiseks. Mis on maatriksi auaste? (2 punkti).
2. Määrake, milliste väärtuste vahel asub maatriksi A järk: A= . Arvuta mõni teisejärguline moll (2 punkti).
nr 8. 1. Too näide lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemist (1 punkt).
2. Mida nimetatakse süsteemi lahenduseks? (1 punkt).
3. Millist süsteemi nimetatakse ühiseks (ühildumatuks), kindlaks (määramata)? Sõnastage süsteemi ühilduvuse kriteerium (1 punkt).
4. Antakse süsteemi laiendatud maatriks. Kirjutage üles sellele maatriksile vastav süsteem. Kasutades Kronecker-Capelli kriteeriumit, tehke järeldus selle süsteemi ühilduvuse või mitteühilduvuse kohta. (1 punkt).
nr 9. 1. Kirjutage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem maatrikskujul. Kirjutage üles valem tundmatute leidmiseks pöördmaatriksi abil. (1 punkt).
2. Millisel juhul saab lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendada maatriksmeetodil? (1 punkt).
3. Kirjutage süsteem maatriksi kujul ja tehke kindlaks, kas seda saab lahendada pöördmaatriksi abil? Mitu lahendust sellel süsteemil on? (2 punkti).
nr 10. 1. Millist süsteemi nimetatakse ruuduks? (1 punkt).
2. Esitage Crameri teoreem ja kirjutage üles Crameri valemid. (1 punkt).
3. Lahenda Crameri valemite abil süsteem (2 punkti).

aita mind palun! nii palju kui sa suudad! hädasti vaja!

1.Mida nimetatakse ruuttrinoomiks
2.Mis on diskriminant
3Millist võrrandit nimetatakse ruutvõrrandiks?
4. Milliseid võrrandeid nimetatakse ekvivalentseteks?
5. Millist võrrandit nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks?
6. Mitu juurt võib olla mittetäielikul ruutvõrrandil?
7. Mitu juurt on ruutvõrrandil, kui diskriminant:
a) positiivne; b) võrdne nulliga; c) negatiivne?
8. Millise valemiga saab leida ruutvõrrandi juured, kui selle diskriminant on mittenegatiivne?
9. Millist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks?
10. Millise valemiga saab leida taandatud ruudu juured
võrrand, kui selle diskriminant on mittenegatiivne?
11. Sõnastage:
a) Vieta teoreem; b) teoreem on vastupidine Vieta teoreemile.
12. Millist võrrandit nimetatakse ratsionaalseks tundmatu x-iga? Mis on tundmatu x-iga võrrandi juur? Mida tähendab võrrandi lahendamine? Milliseid võrrandeid nimetatakse ekvivalentseteks?
13. Millist võrrandit nimetatakse bikvadraatvõrrandiks? Kuidas lahendada bikvadraatvõrrand? Mitu juurt võib bikvadraatvõrrandil olla?
arvamus?
14. Too näide jagamisvõrrandi kohta ja selgita, kuidas seda lahendada Mida tähendab “võrrand jaguneb kaheks võrrandiks”?
15. Kuidas saab lahendada võrrandit, mille üks osa on null?
ja teine ​​on algebraline murd?
16. Mis on ratsionaalsete võrrandite lahendamise reegel? Mida
mis võib juhtuda, kui sellest reeglist kõrvale kaldud?

Tuletagem lihtsa näite abil meelde, mida nimetatakse alamhulgaks, millised alamhulgad on olemas (õiged ja ebaõiged), kõigi alamhulkade arvu leidmise valemit, samuti kalkulaatorit, mis annab kõigi alamhulkade hulga.

Näide 1. Antud hulk A = (a, c, p, o). Kirjutage üles kõik alamhulgad
sellest komplektist.
Lahendus:

Enda alamhulgad:(a) , (c) , (p) , (o) , (a, c) , (a, p), (a, o), (c, p) , (c, o ) ∈, (p, o), (a, c, p) , (a, c, o), (c, p, o).

Ei oma:(a, c, p, o), Ø.

Kokku: 16 alamhulka.

Selgitus. Hulk A on B alamhulk, kui iga A element sisaldub ka B-s.

Tühi hulk ∅ on mis tahes hulga alamhulk ja seda nimetatakse ebaõigeks;
. iga hulk on iseenda alamhulk, mida nimetatakse ka sobimatuks;
. Igal n-elemendilisel hulgal on täpselt 2 n alamhulka.

Viimane väide on valem kõigi alamhulkade arvu leidmiseks igaüht loetlemata.

Valemi tuletamine: Oletame, et meil on hulk n-elemente. Alamhulkade koostamisel võib esimene element alamhulka kuuluda, aga ei pruugi, s.t. esimese elemendi saame valida kahel viisil, sarnaselt kõigi teiste elementide jaoks (n-elemendid kokku), saame valida kumbagi kahel viisil ja vastavalt korrutusreeglile saame: 2∙2∙2∙ ...∙2 =2 n

Matemaatikute jaoks sõnastame teoreemi ja esitame range tõestuse.

Teoreem. N-st elemendist koosneva lõpliku hulga alamhulkade arv on 2 n.

Tõestus.Ühest elemendist a koosneval hulgal on kaks (st 2 1) alamhulka: ∅ ja (a). Kahest elemendist a ja b koosneval hulgal on neli (st 2 2) alamhulka: ∅, (a), (b), (a; b).
Kolmest elemendist a, b, c koosneval hulgal on kaheksa (st 2 3) alamhulka:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Võib eeldada, et uue elemendi lisamine kahekordistab alamhulkade arvu.
Tõestuse lõpetame matemaatilise induktsiooni meetodil. Selle meetodi olemus seisneb selles, et kui väide (omadus) on tõene mõne algse naturaalarvu n 0 korral ja kui eeldusel, et see on tõene suvalise naturaalarvu n = k ≥ n 0 korral, saab tõestada selle kehtivust arv k + 1, siis see omadus kehtib kõigi naturaalarvude puhul.

1. Kui n = 1 (induktsioonibaas) (ja isegi n = 2, 3) on teoreem tõestatud.

2. Oletame, et teoreem on tõestatud n = k korral, s.t. k elemendist koosneva hulga alamhulkade arv on 2k.

3. Tõestame, et n = k + 1 elemendist koosneva hulga B alamhulkade arv on võrdne 2 k+1.
Valime hulga B mõne elemendi b. Vaatleme hulka A = B \ (b). See sisaldab k elementi. Kõik hulga A alamhulgad on hulga B alamhulgad, mis ei sisalda elementi b ja eeldusel, et neid on 2 k. Elementi b sisaldava hulga B alamhulka on sama palju, s.t. 2k
asju.

Seetõttu on kõik hulga B alamhulgad: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 tükki.
Teoreem on tõestatud.

Näites 1 on komplekt A = (a, c, p, o) koosneb neljast elemendist, n=4, seega on kõigi alamhulkade arv 2 4 =16.

Kui teil on vaja kõik alamhulgad üles kirjutada või kirjutada programm kõigi alamhulkade hulga kirjutamiseks, siis on selle lahendamiseks algoritm: esitage võimalikud kombinatsioonid kahendarvude kujul. Selgitame näitega.

Näide 2. Seal on komplekt (a b c), järgmised numbrid pannakse vastavusse:
000 = (0) (tühi komplekt)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (b c)
100 = (a)
101 = (a c)
110 = (a b)
111 = (a b c)

Kõigi alamhulkade kalkulaator.

Kalkulaator sisaldab juba komplekti elemente A = (a, c, p, o), klõpsake lihtsalt nuppu Esita. Kui vajate oma probleemile lahendust, tippige komplekti elemendid ladina keeles, eraldades need komadega, nagu on näidatud näites.

Matemaatiline analüüs on matemaatika haru, mis tegeleb funktsioonide uurimisega, mis põhineb lõpmata väikese funktsiooni ideel.

Matemaatilise analüüsi põhimõisted on kogus, hulk, funktsioon, lõpmata väike funktsioon, piir, tuletis, integraal.

Suurus Kõik, mida saab numbriga mõõta ja väljendada, nimetatakse.

Palju on kogum mõningatest elementidest, mida ühendab mõni ühine tunnus. Hulga elementideks võivad olla numbrid, kujundid, objektid, mõisted jne.

Komplektid tähistatakse suurtähtedega ja komplekti elemendid on tähistatud väiketähtedega. Komplekti elemendid on ümbritsetud lokkis traksidega.

Kui element x kuulub komplekti X, siis kirjuta x∈X (∈ - kuulub).
Kui hulk A on osa hulgast B, siis kirjuta A ⊂ B (⊂ - sisaldub).

Hulka saab määratleda kahel viisil: loendamise ja defineeriva atribuudi abil.

Näiteks järgmised komplektid määratakse loendamisega:

• A=(1,2,3,5,7) - arvude hulk
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - mõne elemendi hulk x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — naturaalarvude hulk
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — täisarvude hulk

Hulk (-∞;+∞) kutsutakse välja numbririda, ja mis tahes arv on punkt sellel real. Olgu a suvaline punkt arvujoonel ja δ positiivne arv. Intervalli (a-δ; a+δ) nimetatakse δ-punkti a naabruskond.

Hulk X on ülalt (altpoolt) piiratud, kui on olemas arv c, mille korral iga x ∈ X korral kehtib võrratus x≤с (x≥c). Sel juhul nimetatakse numbrit c ülemine (alumine) serv hulk X. Kutsutakse nii ülalt kui altpoolt piiratud hulk piiratud. Hulga ülemistest (alumistest) tahkudest nimetatakse väikseimat (suurimat) tahku täpne ülemine (alumine) serv sellest hulgast.

Põhilised numbrikomplektid

N	(1,2,3,...,n) Kõikide komplekt
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Määra täisarvud. Täisarvude hulk sisaldab naturaalarvude hulka.
K	Trobikond ratsionaalsed arvud. Lisaks täisarvudele on olemas ka murded. Murd on vormi kus avaldis lk- täisarv, q- loomulik. Kümnendmurrud saab kirjutada ka kujul . Näiteks: 0,25 = 25/100 = 1/4. Täisarve saab kirjutada ka kujul . Näiteks murdosa kujul nimetajaga “üks”: 2 = 2/1. Seega võib iga ratsionaalarvu kirjutada kümnendmurruna – lõpliku või lõpmata perioodilisena.
R	Palju kõiki reaalarvud. Irratsionaalarvud on lõpmatud mitteperioodilised murrud. Need sisaldavad: Kaks hulka (ratsionaal- ja irratsionaalarvud) moodustavad koos reaal- (või reaal-) arvude hulga.

Kui hulk ei sisalda ühtki elementi, siis kutsutakse seda tühi komplekt ja salvestatakse Ø .

Loogilise sümboolika elemendid

Tähistus ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kvantifikaator

Matemaatiliste avaldiste kirjutamisel kasutatakse sageli kvantoreid.

Kvantifikaator nimetatakse loogiliseks sümboliks, mis iseloomustab talle järgnevaid elemente kvantitatiivselt.

• ∀- üldine kvantor, kasutatakse sõnade “kõigile”, “kõikidele” asemel.
• ∃- olemasolu kvantor, kasutatakse sõnade “olemas”, “on saadaval” asemel. Kasutatakse ka sümbolite kombinatsiooni ∃!, mida loetakse nii, nagu oleks ainult üks.

Määra toimingud

Kaks hulgad A ja B on võrdsed(A=B), kui need koosnevad samadest elementidest.
Näiteks kui A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), siis A=B.

Liidu järgi (summa) hulgad A ja B on hulk A ∪ B, mille elemendid kuuluvad vähemalt ühte nendest hulkadest.
Näiteks kui A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), siis A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Ristmiku järgi (toode) hulka A ja B nimetatakse hulgaks A ∩ B, mille elemendid kuuluvad nii hulka A kui hulka B.
Näiteks kui A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), siis A ∩ B = (2,4)

Erinevuse järgi Hulka A ja B nimetatakse hulgaks AB, mille elemendid kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B.
Näiteks kui A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), siis AB = (1,2)

Sümmeetriline erinevus hulka A ja B nimetatakse hulgaks A Δ B, mis on hulkade AB ja BA erinevuste liit, st A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Näiteks kui A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), siis A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Komplekttehte omadused

Vahetatavuse omadused

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Sobiv omadus

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Loendatavad ja loendamatud komplektid

Kahe hulga A ja B võrdlemiseks luuakse nende elementide vahel vastavus.

Kui see vastavus on üks-ühele, nimetatakse komplekte samaväärseteks või võrdselt võimsateks A B või B A.

Näide 1

Punktide hulk jalal BC ja kolmnurga ABC hüpotenuus AC on võrdse võimsusega.

Tuletage meelde, et "hulk" on matemaatikas määratlemata mõiste. Georg Cantor (1845–1918), saksa matemaatik, kelle töö on tänapäevase hulgateooria aluseks, ütles, et "hulk koosneb paljudest asjadest, mida mõeldakse ühena".

Komplektid on tavaliselt tähistatud suurte ladina tähtedega, komplekti elemente - väikeste tähtedega. Sõnad "kuulub" ja "ei kuulu" on tähistatud sümbolitega:
Ja
:
- element kuulub komplekti ,
- element ei kuulu komplekti .

Komplekti elementideks võivad olla mis tahes objektid – arvud, vektorid, punktid, maatriksid jne. Eelkõige võivad hulga elemendid olla hulgad.

Numbriliste komplektide puhul on üldiselt aktsepteeritud järgmised tähised:

– naturaalarvude hulk (positiivsed täisarvud);

– naturaalarvude laiendatud hulk (naturaalarvudele lisatakse arv null);

– kõigi täisarvude hulk, mis sisaldab positiivseid ja negatiivseid täisarve, aga ka nulli.

– ratsionaalarvude hulk. Ratsionaalarv on arv, mille saab kirjutada murdarvuna
- täisarvud). Kuna iga täisarvu saab kirjutada murruna, (näiteks
), ja mitte ainulaadsel viisil, kõik täisarvud on ratsionaalsed.

– reaalarvude hulk, mis sisaldab kõiki ratsionaalarve, aga ka irratsionaalarve. (Näiteks numbrid on irratsionaalsed).

Iga matemaatika haru kasutab oma komplekte. Probleemi lahendama asudes määrame kõigepealt kindlaks objektide komplekti, mida selles käsitletakse. Näiteks matemaatilise analüüsi ülesannetes uuritakse kõikvõimalikke arve, nende jadasid, funktsioone jne. Nimetatakse kogum, mis sisaldab kõiki ülesandes vaadeldavaid objekte universaalne komplekt (selle ülesande jaoks).

Universaalset komplekti tähistatakse tavaliselt tähega . Universaalne hulk on maksimaalne hulk selles mõttes, et kõik objektid on selle elemendid, st väide
ülesande sees on alati tõsi. Minimaalne komplekt on tühi komplekt – , mis ei sisalda elemente.

Komplekti komplekt - see tähendab, et näidata meetodit, mis võimaldab mis tahes elemendi suhtes universaalne komplekt kindlasti paigaldada, kuulub palju või ei kuulu. Teisisõnu on reegel määrata, milline kahest väitest
või
, mis on tõene ja mis vale.

Komplekte saab määratleda mitmel viisil. Vaatame mõnda neist.

1. Komplekti elementide loend. Sel viisil saate määratleda piiratud või loendatavaid hulki. Hulk on lõplik või loendatav, kui selle elemente saab nummerdada, näiteks a 1 ,a 2 ,… jne. Kui on kõige suurema arvuga element, siis on hulk lõplik, aga kui arvudena kasutada kõiki naturaalarve, siis on hulk lõpmatu loendatav hulk.

1). – 6 elemendist koosnev hulk (lõplik hulk).

2). on lõpmatu loendatav hulk.

3). - komplekt, mis sisaldab 5 elementi, millest kaks on
Ja
, on ise komplektid.

2. Iseloomulik omadus. Hulmi iseloomulik omadus on omadus, mis on igal hulga elemendil, kuid mida ei ole ühelgi objektil, mis hulka ei kuulu.

1). - võrdkülgsete kolmnurkade kogum.

2). – nullist suuremate või sellega võrdsete ja ühest väiksemate reaalarvude hulk.

3).
– kõigi taandamatute murdude hulk, mille lugeja on nimetajast ühe võrra väiksem.

3. Iseloomulik funktsioon.

Definitsioon 1.1. Komplekti iseloomulik funktsioon helistage funktsioonile
, määratletud universaalsel komplektil ja võttes komplekti nende elementide väärtuse üks mis kuuluvad , ja väärtus on null elementide puhul, mis ei kuulu :

,

Iseloomuliku funktsiooni määratlusest tuleneb kaks ilmset väidet:

1.
,
;

2.
,
.

Vaatleme näitena universaalset komplekti =
ja selle kaks alamhulka: – arvude hulk, mis on väiksemad kui 7, ja – paarisarvude komplekt. Hulkade iseloomulikud funktsioonid Ja välja nägema

,
.

Paneme kirja iseloomulikud funktsioonid Ja lauale:

( )

Hulgade mugavaks illustratsiooniks on Euleri-Venni diagrammid, kus universaalset hulka on kujutatud ristkülikuna ja selle alamhulka ringide või ellipsidena (joonis 1.1( a-c)).

Nagu näha jooniselt fig. 1.1.( A), valik universaalses komplektis Uüks komplekt - palju A, jagab ristküliku kaheks mitteühendatud piirkonnaks, milles on iseloomulik funktsioon võtab erinevaid väärtusi: =1 ellipsi sees ja =0 väljaspool ellipsit. Teise komplekti lisamine - komplekt B, (joonis 1.1 ( b)), jagab mõlemad olemasolevad kaks piirkonda uuesti kaheks alampiirkonnaks. Moodustatud
lahknevad

alad, millest igaüks vastab teatud iseloomulike funktsioonide väärtuste paarile ( ,). Näiteks paar (01) vastab alale, kus =0,=1. See piirkond hõlmab neid universaalse komplekti elemente U, mis ei kuulu komplekti A, kuid kuuluvad komplekti B.

Kolmanda komplekti lisamine - komplekt C, (joonis 1.1 ( V)), jagab kõik olemasolevad neli piirkonda uuesti kaheks alampiirkonnaks. Moodustatud
mittekattuvad alad. Igaüks neist vastab iseloomulike funktsioonide teatud kolmekordsele väärtusele ( ,,). Neid kolmikuid võib pidada kahendarvudes kirjutatud pindalanumbriteks. Näiteks nr 101 2 =5 10, s.o. ala, kus komplektide elemendid asuvad A Ja C, kuid komplekti elemente pole B, – see on ala nr 5. Seega on igal kaheksal alal oma kahendnumber, mis kannab teavet selle kohta, kas selle ala elemendid kuuluvad hulka või mitte A, B Ja C.

Neljanda, viienda jne lisamine. hulgad, saame 2 4 , 2 5 ,…, 2 n ala, millest igaühel on oma täpselt määratletud kahendarv, mis koosneb hulkade iseloomulike funktsioonide väärtustest. Rõhutame, et nullide ja ühtede jada mis tahes numbris on paigutatud kindlasse, eelnevalt kokkulepitud järjekorda. Ainult tellimise tingimusel kannab piirkonna kahendnumber teavet selle ala elementide kuuluvuse või mittekuuluvuse kohta igasse komplekti.

Märge. Tuletame meelde, et n reaalarvu jada lineaaralgebras loetakse n-mõõtmeliseks koordinaatidega aritmeetiliseks vektoriks
. Pindala kahendarvu võib nimetada ka kahendvektoriks, mille koordinaadid võtavad väärtusi komplektis
:. Erinevate n-mõõtmeliste binaarvektorite arv on 2n.