Võrrandid parameetritega: graafiline lahendusmeetod

8-9 klassid

Artiklis käsitletakse graafilist meetodit mõne võrrandi lahendamiseks parameetritega, mis on väga tõhus, kui on vaja kindlaks teha, mitu juurt võrrandil olenevalt parameetrist on a.

Ülesanne 1. Mitu juurt on võrrandil? | | x | – 2 | = a sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Koordinaatsüsteemis (x; y) koostame funktsioonide y = | graafikud | x | – 2 | ja y = a. Funktsiooni y = | graafik | x | – 2 | näidatud joonisel.

Funktsiooni y = a graafik on sirge, mis on paralleelne Ox teljega või langeb sellega kokku (kui a = 0).

Jooniselt on näha, et:

Kui a= 0, siis sirge y = a langeb kokku Ox-teljega ja sellel on funktsiooni y = | graafik | x | – 2 | kaks ühist punkti; see tähendab, et algsel võrrandil on kaks juurt (sel juhul võib leida juured: x 1,2 = d 2).
Kui 0< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Kui a= 2, siis sirgel y = 2 on funktsiooni graafikuga kolm ühist punkti. Siis on algsel võrrandil kolm juurt.
Kui a> 2, siis sirge y = a on algfunktsiooni graafikuga kaks punkti, see tähendab, et sellel võrrandil on kaks juurt.

Kui a < 0, то корней нет;
Kui a = 0, a> 2, siis on kaks juurt;
Kui a= 2, siis kolm juurt;
kui 0< a < 2, то четыре корня.

Ülesanne 2. Mitu juurt on võrrandil? | x 2 – 2| x | – 3 | = a sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Koordinaatsüsteemis (x; y) koostame funktsioonide y = | graafikud x 2 – 2| x | – 3 | ja y = a.

Funktsiooni y = | graafik x 2 – 2| x | – 3 | näidatud joonisel. Funktsiooni y = a graafik on Ox-iga paralleelne või sellega kokkulangev sirgjoon (kui a = 0).

Jooniselt näete:

Kui a= 0, siis sirge y = a langeb kokku Ox-teljega ja sellel on funktsiooni y = | graafik x2 – 2| x | – 3 | kaks ühist punkti, samuti sirge y = a on koos funktsiooni y = | graafikuga x 2 – 2| x | – 3 | kaks ühist punkti a> 4. Niisiis, millal a= 0 ja a> 4 algsel võrrandil on kaks juurt.
Kui 0< a < 3, то прямая y = a on koos funktsiooni y = | graafikuga x 2 – 2| x | – 3 | neli ühist punkti, samuti sirge y= a sellel on neli ühist punkti koos konstrueeritud funktsiooni at graafikuga a= 4. Niisiis, 0 juures< a < 3, a= 4 algsel võrrandil on neli juurt.
Kui a= 3, siis sirge y = a lõikab funktsiooni graafikut viies punktis; seetõttu on võrrandil viis juurt.
Kui 3< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Kui a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

Kui a < 0, то корней нет;
Kui a = 0, a> 4, siis kaks juurt;
kui 0< a < 3, a= 4, siis on neli juurt;
Kui a= 3, siis viis juurt;
kui 3< a < 4, то шесть корней.

Ülesanne 3. Mitu juurt on võrrandil?

sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Koostame funktsiooni graafiku koordinaatsüsteemis (x; y) kuid esitleme selle esmalt kujul:

Jooned x = 1, y = 1 on funktsiooni graafiku asümptoodid. Funktsiooni y = | graafik x | + a mis saadakse funktsiooni y = | graafikult x | nihe ühiku võrra piki Oy telge.

Funktsioonigraafikud ristuvad ühes punktis a> – 1; See tähendab, et nende parameetrite väärtuste võrrandil (1) on üks lahendus.

Kell a = – 1, a= – 2 graafikut ristuvad kahes punktis; See tähendab, et nende parameetrite väärtuste puhul on võrrandil (1) kaks juurt.
Kell – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Kui a> – 1, siis üks lahendus;
Kui a = – 1, a= – 2, siis on kaks lahendit;
kui - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Kommenteeri. Ülesande 3 võrrandi (1) lahendamisel tuleb erilist tähelepanu pöörata juhtumile, mil a= – 2, kuna punkt (– 1; – 1) ei kuulu funktsiooni graafikusse kuid kuulub funktsiooni y = | graafikusse x | + a.

Liigume edasi teise probleemi lahendamise juurde.

Ülesanne 4. Mitu juurt on võrrandil?

x + 2 = a| x – 1 | (2)

sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Pange tähele, et x = 1 ei ole selle võrrandi juur, kuna võrdus 3 = a· 0 ei saa olla tõene ühegi parameetri väärtuse puhul a. Jagame võrrandi mõlemad pooled | x – 1 |(| x – 1 | nr 0), siis saab võrrand (2) kujul Koordinaatsüsteemis xOy joonistame funktsiooni

Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel. Funktsiooni y = graafik a on sirge, mis on paralleelne Härg-teljega või langeb sellega kokku (kui a = 0).

Kui aЈ – 1, siis pole juuri;
kui - 1< aЈ 1, siis üks juur;
Kui a> 1, siis on kaks juurt.

Vaatleme kõige keerulisemat võrrandit.

Ülesanne 5. Millistel parameetri väärtustel a võrrand

a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

on kolm lahendust?

Lahendus. 1. Selle võrrandi parameetri kontrollväärtuseks on arv a= 0, mille korral võrrand (3) on kujul 0 + | x – 1 | = 0, kust x = 1. Seega, millal a= 0, võrrandil (3) on üks juur, mis ei vasta ülesande tingimustele.

2. Mõelge juhtumile, kui a № 0.

Kirjutame võrrandi (3) ümber järgmisel kujul: a x 2 = – | x – 1 |. Pange tähele, et võrrandil on lahendused ainult siis, kui a < 0.

Koordinaatsüsteemis xOy koostame funktsioonide y = | graafikud x – 1 | ja y = a x 2 . Funktsiooni y = | graafik x – 1 | näidatud joonisel. Funktsiooni y = graafik a x 2 on parabool, mille harud on suunatud alla, kuna a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Võrrandil (3) on kolm lahendit ainult siis, kui sirge y = – x + 1 puutub funktsiooni y= graafikuga a x 2 .

Olgu x 0 parabooliga y = sirge y = – x + 1 puutepunkti abstsiss a x 2 . Tangensvõrrandil on vorm

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Paneme kirja puutumistingimused:

Seda võrrandit saab lahendada tuletise mõistet kasutamata.

Vaatleme teist meetodit. Kasutame fakti, et kui sirgel y = kx + b on üks ühine punkt parabooliga y = a x 2 + px + q, siis võrrand a x 2 + px + q = kx + b peab olema unikaalse lahendusega, see tähendab, et selle diskriminant on null. Meie puhul on võrrand a x 2 = – x + 1 ( a nr 0). Diskriminantvõrrand

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

6. Mitu juurt on võrrandil sõltuvalt parameetrist a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) kui a<0, то корней нет; если a=0, a>3, siis kaks juurt; Kui a=3, siis kolm juurt; kui 0<a<3, то четыре корня;
2) kui a<1, то корней нет; если a=1, siis on olemas lõpmatu hulk lahendusi vahemikust [– 2; - 1]; Kui a> 1, siis on kaks lahendit;
3) kui a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, siis kuus juurt; Kui a=3, siis on kolm lahendit; Kui a>3, siis on kaks lahendust;
4) kui a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, siis kuus juurt; Kui a=5, siis kolm juurt; Kui a>5, siis on kaks juurt.

7. Mitu juurt on võrrandil | x + 1 | = a(x – 1) olenevalt parameetrist a?

Märge. Kuna x = 1 ei ole võrrandi juur, saab selle võrrandi taandada kujule .

Vastus: kui a J-1, a > 1, a=0, siis üks juur; kui - 1<a<0, то два корня; если 0<aЈ 1, siis pole juuri.

8. Mitme juurega on võrrand x + 1 = a| x – 1 |olenevalt parameetrist a?

Joonistage graafik (vt joonist).

Vastus: kui aЈ –1, siis pole juuri; kui - 1<aЈ 1, siis üks juur; Kui a>1, siis on kaks juurt.

9. Mitu juurt on võrrandil?

2| x | – 1 = a(x – 1)

sõltuvalt parameetrist a?

Märge. Vähendage võrrandit moodustama

Vastus: kui a J-2, a>2, a=1, siis üks juur; kui -2<a<1, то два корня; если 1<aЈ 2, siis pole juuri.

10. Mitu juurt on võrrandil?

sõltuvalt parameetrist a?

Vastus: kui aЈ 0, a i 2, siis üks juur; kui 0<a<2, то два корня.

11. Millistel parameetri väärtustel a võrrand

x 2+ a| x – 2 | = 0

on kolm lahendust?

Märge. Taandage võrrand kujule x 2 = – a| x – 2 |.

Vastus: millal a J-8.

12. Millistel parameetri väärtustel a võrrand

a x 2 + | x + 1 | = 0

on kolm lahendust?

Märge. Kasutage ülesannet 5. Sellel võrrandil on kolm lahendust ainult siis, kui võrrand a x 2 + x + 1 = 0 on üks lahend ja juhtum a= 0 ei rahulda ülesande tingimusi, st juhtum jääb alles siis, kui

13. Mitu juurt on võrrandil?

x | x – 2 | = 1 – a

sõltuvalt parameetrist a?

Märge. Taandage võrrand kujule –x |x – 2| + 1 = a

sõltuvalt parameetrist a?

Märge. Koostage selle võrrandi vasaku ja parema külje graafikud.

Vastus: kui a<0, a>2, siis on kaks juurt; kui 0Ј aЈ 2, siis üks juur.

16. Mitu juurt on võrrandil?

sõltuvalt parameetrist a?

Märge. Koostage selle võrrandi vasaku ja parema külje graafikud. Funktsiooni graafiku loomiseks Leiame avaldiste x + 2 ja x konstantmärgi intervallid:

Vastus: kui a>– 1, siis üks lahendus; Kui a= – 1, siis on kaks lahendit; kui - 3<a<–1, то четыре решения; если aЈ –3, siis on kolm lahendit.

Olga Otdelkina, 9. klassi õpilane

See teema on kooli algebra kursuse lahutamatu osa. Käesoleva töö eesmärk on seda teemat põhjalikumalt uurida, leida kõige ratsionaalsem lahendus, mis viib kiiresti vastuseni. See essee aitab teistel õpilastel mõista graafilise meetodi kasutamist parameetritega võrrandite lahendamiseks, õppida tundma selle meetodi päritolu ja arengut.

Lae alla:

Eelvaade:

Sissejuhatus2

Peatükk 1. Võrrandid parameetriga

Parameetriga3 võrrandite tekkimise ajalugu

Vieta teoreem4

Põhimõisted5

Peatükk 2. Parameetritega võrrandite tüübid.

Lineaarvõrrandid6

Ruutvõrrandid………………………………………………………………..7

Peatükk 3. Parameetriga võrrandite lahendamise meetodid

Analüütiline meetod……………………………………………………..8

Graafiline meetod. Päritolulugu………………………………9

Graafilise meetodi lahendamise algoritm..……………………………….10

Mooduliga võrrandi lahendus…………………………………………………….11

Praktiline osa………………………………………………………………12

Järeldus………………………………………………………………………………….19

Viited…………………………………………………………………20

Sissejuhatus.

Valisin selle teema, kuna see on kooli algebra kursuse lahutamatu osa. Seda tööd ette valmistades seadsin eesmärgiks selle teema põhjalikuma uurimise, leides välja kõige ratsionaalsema lahenduse, mis viib kiiresti vastuseni. Minu essee aitab teistel õpilastel mõista graafilise meetodi kasutamist parameetritega võrrandite lahendamiseks, õppida tundma selle meetodi päritolu ja arengut.

Kaasaegses elus viib paljude füüsikaliste protsesside ja geomeetriliste mustrite uurimine sageli parameetritega seotud probleemide lahendamiseni.

Selliste võrrandite lahendamiseks on graafiline meetod väga tõhus, kui on vaja määrata, mitu juurt võrrandil on sõltuvalt parameetrist α.

Parameetritega seotud probleemid pakuvad puhtmatemaatilist huvi, aitavad kaasa õpilaste intellektuaalsele arengule ja on hea materjal oskuste harjutamiseks. Neil on diagnostiline väärtus, kuna nende abil saab testida teadmisi matemaatika põhiharudest, matemaatilise ja loogilise mõtlemise taset, esmaseid uurimisoskusi ning paljutõotavaid võimalusi matemaatikakursuse edukaks omandamiseks kõrgkoolides.

Minu essees käsitletakse sageli esinevaid võrranditüüpe ja loodan, et töö käigus saadud teadmised aitavad mind koolieksamite sooritamisel, sestvõrrandid parameetritegapeetakse õigustatult üheks kõige raskemaks ülesandeks koolimatemaatikas. Just need ülesanded sisalduvad ühtse riigieksami ülesannete loendis.

Parameetriga võrrandite tekkimise ajalugu

Parameetriga võrranditega seotud probleeme käsitleti juba astronoomilises traktaadis “Aryabhattiam”, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

αx 2 + bx = c, α>0

Võrrandis olevad koefitsiendid, välja arvatud parameeter, võib olla ka negatiivne.

Al-Khwarizmi ruutvõrrandid.

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni parameetriga a. Autor loeb kokku 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruudmed on võrdsed juurtega", st αx 2 = bx.

2) “Ruudmed on võrdsed arvudega”, st αx 2 = c.

3) "Juured on võrdsed arvuga", st αx = c.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", st αx 2 + c = bx.

5) “Ruut ja juured on võrdsed arvuga”, st αx 2 + bx = c.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c = αx 2 .

Al-Khwarizmi järgi Euroopas ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus".

Üldkujul parameetriga ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletus on saadaval Vietast, kuid Vieta tuvastas ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 12. sajandil esimeste seas. Lisaks positiivsetele võetakse arvesse ka negatiivseid juuri. Alles 17. sajandil. Tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele sai ruutvõrrandite lahendamise meetod oma tänapäevase kuju.

Vieta teoreem

Vieta järgi nime saanud ruutvõrrandi parameetrite, kordajate ja juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esmakordselt 1591. aastal järgmiselt: „Kui b + d korrutatakse α-ga miinus α 2 , on võrdne bc-ga, siis α on võrdne b-ga ja d-ga.

Vieta mõistmiseks peaksime meeles pidama, et α, nagu iga täishäälik, tähendas tundmatut (meie x), samas kui vokaalid b, d on tundmatute koefitsiendid. Kaasaegse algebra keeles tähendab ülaltoodud Vieta sõnastus:

Kui seal on

(α + b)x - x 2 = αb,

See tähendab, et x 2 - (α -b)x + αb = 0,

siis x 1 = α, x 2 = b.

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Vieta võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieti sümboolika on aga endiselt kaugel oma tänapäevasest vormist. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu võttis ta võrrandite lahendamisel arvesse ainult juhtumeid, kus kõik juured olid positiivsed.

Põhimõisted

Parameeter - sõltumatu muutuja, mille väärtust peetakse fikseeritud või suvaliseks arvuks või arvuks, mis kuulub ülesande tingimusega määratud intervalli.

Võrrand parameetriga- matemaatikavõrrand, mille välimus ja lahendus sõltub ühe või mitme parameetri väärtustest.

Otsustama võrrand iga väärtuse parameetri keskväärtustegaleidke x väärtused, mis vastavad sellele võrrandile, ja ka:

1. 1. Uurige, millistel parameetrite väärtustel on võrrandil juured ja kui palju neid on parameetrite erinevate väärtuste jaoks.
2. 2. Leidke juurte jaoks kõik avaldised ja märkige igaühe jaoks need parameetri väärtused, mille juures see avaldis tegelikult võrrandi juure määrab.

Vaatleme võrrandit α(x+k)= α +c, kus α, c, k, x on muutuvad suurused.

Muutujate α, c, k, x lubatud väärtuste süsteemon mis tahes muutuvate väärtuste süsteem, milles nii selle võrrandi vasak kui ka parem pool võtavad tegelikke väärtusi.

Olgu A kõigi α lubatud väärtuste hulk, K kõigi k lubatud väärtuste hulk, X kõigi x lubatud väärtuste hulk, C kõigi c lubatud väärtuste hulk. Kui igale hulgale A, K, C, X valime ja fikseerime vastavalt ühe väärtuse α, k, c ja asendame need võrrandis, siis saame võrrandi x jaoks, s.o. võrrand ühe tundmatuga.

Võrrandi lahendamisel konstantseks loetavaid muutujaid α, k, c nimetatakse parameetriteks ja võrrandit ennast parameetreid sisaldavaks võrrandiks.

Parameetrid on tähistatud ladina tähestiku esimeste tähtedega: α, b, c, d, ..., k, l, m, n ja tundmatuid tähistatakse tähtedega x, y, z.

Nimetatakse kahte võrrandit, mis sisaldavad samu parameetreid samaväärne, kui:

a) need on mõistlikud samade parameetrite väärtuste puhul;

b) iga esimese võrrandi lahendus on teise võrrandi lahend ja vastupidi.

Võrrandite tüübid parameetritega

Võrrandid parameetritega on: lineaarsed ja ruut.

1) Lineaarvõrrand. Üldine vorm:

α x = b, kus x on tundmatu;α, b - parameetrid.

Selle võrrandi puhul on parameetri eri- või kontrollväärtus see, mille juures tundmatu koefitsient muutub nulliks.

Parameetriga lineaarvõrrandi lahendamisel arvestatakse juhtumeid, kui parameeter on võrdne oma eriväärtusega ja erineb sellest.

Parameetri α eriline väärtus on väärtusα = 0.

1. Kui ja ≠0, siis mis tahes parameetripaari puhulα ja b sellel on ainulaadne lahendus x = .

2. Kui ja =0, siis on võrrand kujul:0 x = b . Sel juhul väärtus b = 0 on parameetri eriväärtus b.

2.1. Kell b ≠ 0 võrrandil pole lahendeid.

2.2. Kell b =0 on võrrand kujul:0 x =0.

Selle võrrandi lahenduseks on mis tahes reaalarv.

Ruutvõrrand parameetriga.

Üldine vorm:

α x 2 + bx + c = 0

kus parameeter α ≠0, b ja c - suvalised arvud

Kui α =1, siis nimetatakse võrrandit taandatud ruutvõrrandiks.

Ruutvõrrandi juured leitakse valemite abil

Avaldis D = b 2 - 4 α c nimetatakse diskriminandiks.

1. Kui D> 0, on võrrandil kaks erinevat juurt.

2. Kui D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Kui D = 0, on võrrandil kaks võrdset juurt.

Meetodid võrrandite lahendamiseks parameetriga:

1. Analüütiline - otselahenduse meetod, mis kordab standardprotseduure vastuse leidmiseks parameetriteta võrrandis.
2. Graafika - olenevalt ülesande tingimustest vaadeldakse vastava ruutfunktsiooni graafiku asukohta koordinaatsüsteemis.

Analüütiline meetod

Lahenduse algoritm:

1. Enne kui hakkate analüütilise meetodi abil parameetritega probleemi lahendama, peate mõistma parameetri konkreetse arvväärtuse olukorda. Näiteks võtke parameetri väärtus α =1 ja vastake küsimusele: kas selle ülesande jaoks on vajalik parameetri väärtus α =1.

Näide 1. Lahenda suhteliselt X lineaarvõrrand parameetriga m:

Vastavalt ülesande tähendusele (m-1)(x+3) = 0 ehk m= 1, x = -3.

Korrutades võrrandi mõlemad pooled (m-1)(x+3), saame võrrandi

Saame

Seega, m = 2,25.

Nüüd peame kontrollima, kas mille jaoks on m väärtusi

leitud x väärtus on -3.

selle võrrandi lahendamisel leiame, et x on võrdne -3 ja m = -0,4.

Vastus: m = 1, m = 2,25.

Graafiline meetod. Päritolu ajalugu

Ühiste sõltuvuste uurimine algas 14. sajandil. Keskaegne teadus oli skolastiline. Sellise olemusega ei jäänud ruumi kvantitatiivsete sõltuvuste uurimiseks, see puudutas ainult objektide omadusi ja nende omavahelisi seoseid. Kuid skolastikute seas tekkis koolkond, mis väitis, et omadused võivad olla rohkem või vähem intensiivsed (jõkke kukkunu riietus on märjem kui äsja vihma kätte sattunu riietus)

Prantsuse teadlane Nikolai Oresme hakkas intensiivsust kujutama segmentide pikkustega. Kui ta asetas need lõigud risti teatud sirgjoonega, moodustasid nende otsad joone, mida ta nimetas "intensiivsuse jooneks" või "ülemise serva jooneks" (vastava funktsionaalse sõltuvuse graafik). Oresme uuris isegi "tasapinda". ” ja „füüsilised” omadused, st funktsioonid , olenevalt kahest või kolmest muutujast.

Oresme oluliseks saavutuseks oli katse saadud graafikuid klassifitseerida. Ta eristas kolme tüüpi omadusi: ühtlane (konstantse intensiivsusega), ühtlane-ebaühtlane (konstantse intensiivsuse muutumise kiirusega) ja ebaühtlane-ebavõrdne (kõik teised), samuti selliste omaduste graafikute iseloomulikud omadused.

Funktsioonide graafikute uurimiseks vajaliku matemaatilise aparaadi loomiseks oli vaja muutuja mõistet. Selle kontseptsiooni tõi teadusesse prantsuse filosoof ja matemaatik Rene Descartes (1596-1650). Just Descartes jõudis ideedeni algebra ja geomeetria ühtsuse ja muutujate rolli kohta; Descartes võttis kasutusele fikseeritud ühiku segmendi ja hakkas arvestama teiste segmentide seostega sellega.

Seega on funktsioonide graafikud kogu oma eksisteerimisperioodi jooksul läbinud mitmeid põhimõttelisi teisendusi, mis viisid need meile harjumuspärasele kujule. Funktsioonide graafikute väljatöötamise iga etapp või etapp on tänapäevase algebra ja geomeetria ajaloo lahutamatu osa.

Graafiline meetod võrrandi juurte arvu määramiseks sõltuvalt selles sisalduvast parameetrist on mugavam kui analüütiline.

Algoritmi lahendamine graafilisel meetodil

Funktsiooni graafik - punktide kogum, mille juuresabstsisson kehtivad argumendi väärtused, A ordinaadid- vastavad väärtusedfunktsioonid.

Algoritm võrrandite graafiliseks lahendamiseks parameetriga:

1. Leidke võrrandi definitsioonipiirkond.
2. Me väljendame α x funktsioonina.
3. Koordinaatsüsteemis koostame funktsiooni graafikuα (x) nende x väärtuste jaoks, mis sisalduvad selle võrrandi määratluses.
4. Sirge lõikepunktide leidmineα =с, funktsiooni graafikuga

α(x). Kui joon α =с ristub graafikugaα (x), siis määrame ristumispunktide abstsissid. Selleks piisab võrrandi lahendamisest c = α (x) x suhtes.

1. Kirjutage vastus üles

Mooduliga võrrandite lahendamine

Parameetrit sisaldava mooduliga võrrandite graafilisel lahendamisel on vaja koostada funktsioonide graafikud ja kaaluda kõiki võimalikke juhtumeid parameetri erinevate väärtuste jaoks.

Näiteks │х│= a,

Vastus: kui a < 0, то нет корней, a > 0, siis x = a, x = - a, kui a = 0, siis x = 0.

Probleemi lahendamine.

Ülesanne 1. Mitu juurt on võrrandil?| | x | - 2 | = a sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Koordinaatsüsteemis (x; y) koostame funktsioonide y = | graafikud | x | - 2 | ja y = a . Funktsiooni y = | graafik | x | - 2 | näidatud joonisel.

Funktsiooni y = graafikα a = 0).

Graafikult on näha, et:

Kui a = 0, siis sirge y = a langeb kokku Ox-teljega ja sellel on funktsiooni y = | graafik | x | - 2 | kaks ühist punkti; see tähendab, et algsel võrrandil on kaks juurt (sel juhul võib juured leida: x 1,2 = + 2).
Kui 0< a < 2, то прямая y = α on koos funktsiooni y = | graafikuga | x | - 2 | neli ühist punkti ja seetõttu on algsel võrrandil neli juurt.
Kui a = 2, siis sirgel y = 2 on funktsiooni graafikuga kolm ühist punkti. Siis on algsel võrrandil kolm juurt.
Kui a > 2, siis sirge y = a on algfunktsiooni graafikuga kaks punkti, see tähendab, et sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus: kui a < 0, то корней нет;
kui a = 0, a > 2, siis on kaks juurt;
kui a = 2, siis on kolm juurt;
kui 0< a < 2, то четыре корня.

Ülesanne 2. Mitu juurt on võrrandil?| x 2 - 2| x | - 3 | = a sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Koordinaatsüsteemis (x; y) koostame funktsioonide y = | graafikud x 2 - 2| x | - 3 | ja y = a.

Funktsiooni y = | graafik x 2 - 2| x | - 3 | näidatud joonisel. Funktsiooni y = graafikα on sirge, mis on paralleelne Oxiga või langeb sellega kokku (kui a = 0).

Graafikult näete:

Kui a = 0, siis sirge y = a langeb kokku Ox-teljega ja sellel on funktsiooni y = | graafik x2 - 2| x | - 3 | kaks ühist punkti, samuti sirge y = a on koos funktsiooni y = | graafikuga x 2 - 2| x | - 3 | kaks ühist punkti a > 4. Seega, kui a = 0 ja a > 4 algsel võrrandil on kaks juurt.
Kui 0< a< 3, то прямая y = a on koos funktsiooni y = | graafikuga x 2 - 2| x | - 3 | neli ühist punkti, samuti sirge y= a sellel on neli ühist punkti koos konstrueeritud funktsiooni at graafikuga a = 4. Seega 0 juures< a < 3, a = 4 algsel võrrandil on neli juurt.
Kui a = 3, siis sirge y = a lõikab funktsiooni graafikut viies punktis; seetõttu on võrrandil viis juurt.
Kui 3< a< 4, прямая y = α lõikab konstrueeritud funktsiooni graafikut kuues punktis; See tähendab, et nende parameetrite väärtuste puhul on algsel võrrandil kuus juurt.
Kui a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ei lõiku funktsiooni y = | graafikuga x 2 - 2| x | - 3 |.

Vastus: kui a < 0, то корней нет;
kui a = 0, a > 4, siis on kaks juurt;
kui 0< a < 3, a = 4, siis on neli juurt;

kui a = 3, siis viis juurt;
kui 3< a < 4, то шесть корней.

Ülesanne 3. Mitu juurt on võrrandil?

sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Koostame funktsiooni graafiku koordinaatsüsteemis (x; y)

kuid esitleme selle esmalt kujul:

Jooned x = 1, y = 1 on funktsiooni graafiku asümptoodid. Funktsiooni y = | graafik x | + a mis saadakse funktsiooni y = | graafikult x | nihe ühiku võrra piki Oy telge.

Funktsioonigraafikud ristuvad ühes punktis a > - 1; See tähendab, et nende parameetrite väärtuste võrrandil (1) on üks lahendus.

Kui a = - 1, a = - 2 graafikut ristuvad kahes punktis; See tähendab, et nende parameetrite väärtuste puhul on võrrandil (1) kaks juurt.
Kell -2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Vastus: kui a > - 1, siis üks lahendus;
kui a = - 1, a = - 2, siis on kaks lahendit;
kui - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Kommenteeri. Ülesande võrrandi lahendamisel tuleb erilist tähelepanu pöörata juhtumile, mil a = - 2, kuna punkt (- 1; - 1) ei kuulu funktsiooni graafikussekuid kuulub funktsiooni y = | graafikusse x | + a.

Ülesanne 4. Mitu juurt on võrrandil?

x + 2 = a | x - 1 |

sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus. Pange tähele, et x = 1 ei ole selle võrrandi juur, kuna võrdus 3 = a 0 ei saa olla tõene ühegi parameetri väärtuse puhul a . Jagame võrrandi mõlemad pooled | x - 1 |(| x - 1 |0), siis võtab võrrand kujuKoordinaatsüsteemis xOy joonistame funktsiooni

Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel. Funktsiooni y = graafik a on sirge, mis on paralleelne Härg-teljega või langeb sellega kokku (kui a = 0).

Iga parameetri a väärtuse puhul lahendage võrratus | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Kõigepealt lahendame abiülesande. Käsitleme seda võrratust kahe muutujaga x x ja a a võrratusena ning joonistame koordinaattasandile x O a xOa kõik punktid, mille koordinaadid rahuldavad ebavõrdsust.

Kui 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (st sirgel a = - 2 x a=-2x ja rohkem), siis saame 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Vasakparemnool a \leq 2-x .

Komplekt on näidatud joonisel fig. üksteist.

Nüüd lahendame selle joonise abil algse probleemi. Kui fikseerime a a , siis saame horisontaalse joone a = const a = \textrm(const) . X x väärtuste määramiseks peate leidma selle sirge lõikepunktide abstsissi ebavõrdsuse lahenduste komplektiga. Näiteks kui a = 8 a=8, siis pole võrratusel lahendeid (sirge ei lõiku hulka); kui a = 1 a=1 , siis on lahendid kõik x x vahemikust [ - 1 ; 1 ] [-1;1] jne. Seega on kolm võimalust.

1) Kui $$a>4$$, siis lahendusi pole.

2) Kui a = 4 a=4, siis x = - 2 x=-2.

VASTUS

$$a juures

kui a = 4 a = 4 - x = - 2 x = -2;

$$a>4$$ eest – lahendusi pole.

Leidke parameetri a a kõik väärtused, mille jaoks on ebavõrdsus $$3-|x-a| > x^2$$ a) omab vähemalt ühte lahendust; b) millel on vähemalt üks positiivne lahendus.

Kirjutame võrratuse ümber kujul $$3-x^2 > |x-a)$$. Koostame x O y xOy tasapinnal vasaku ja parema osa graafikud. Vasaku külje graafik on allapoole suunatud harudega parabool, mille tipp asub punktis (0; 3) (0;3) . Graafik lõikub x-teljega punktides (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Parema külje graafik on nurk x-telje tipuga, mille küljed on suunatud koordinaattelgede suhtes 45 ° 45^(\circ) nurga all ülespoole. Tipu abstsiss on punkt x = a x=a .

a) Selleks, et võrratusel oleks vähemalt üks lahend, on vajalik ja piisav, et vähemalt ühes punktis oleks parabool graafikust y = | x - a | y=|x-a| . See saavutatakse, kui nurga tipp asub abstsisstelje punktide A A ja B B vahel (vt joonis 12 – punkte A A ja B B ei arvestata). Seega on vaja kindlaks teha, millises tipu asendis üks nurga harudest parabooliga kokku puutub.

Vaatleme juhtumit, kui nurga tipp asub punktis A A . Seejärel puudutab nurga parempoolne haru parabooli. Selle kalle on võrdne ühega. See tähendab, et funktsiooni y = 3 - x 2 y = 3-x^2 tuletis puutumispunktis võrdub 1 1, st - 2 x = 1 -2x=1, kust x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Siis on puutujapunkti ordinaat y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Võrrand sirgjoonest, mille nurgategur on k = 1 k=1 ja mis läbib punkti koordinaatidega (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) on järgmine * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

See on nurga parempoolse haru võrrand. X-teljega lõikepunkti abstsiss on võrdne - 13 4 -\frac(13)(4), st punktil A A on koordinaadid A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) ); 0) . Sümmeetria huvides on punktil B B koordinaadid: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Sellest saame, et a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) Võrratusel on positiivsed lahendid, kui nurga tipp asub punktide F F ja B B vahel (vt joonis 13). Punkti F F asukoha leidmine pole keeruline: kui nurga tipp on punktis F F, siis selle parem haru (võrrandiga y = x - a y = x-a antud sirge läbib punkti (0; 3). ) (0;3).Siit leiame, et a = - 3 a=-3 ja punktil F F on koordinaadid (- 3 ; 0) (-3;0).Seega a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4) ) .

VASTUS

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (-3 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- punkti (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) läbiv sirge nurgakoefitsiendiga k k saadakse võrrandiga y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0 ) ;

- \-- punkte (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ja (x 1 ; y 1) (x_1;y_1) läbiva sirge nurgategur, kus x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, arvutatakse valemiga k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

Kommenteeri. Kui teil on vaja leida parameetri väärtus, mille juures sirge y = k x + l y=kx+l ja parabool y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c puudutavad, saate kirjutada tingimusel, et võrrandil k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c on täpselt üks lahendus. Siis on veel üks võimalus leida parameetri a a väärtusi, mille nurga tipp on punktis A A on järgmine: võrrandil x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 on täpselt üks lahend ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Nool vasakule D = 1 + 4(a+3) = 0 \vasakparemnool a = -\ dfrac(13)(4) .

Pange tähele, et sel viisil on võimatu üles kirjutada tingimust, et joon puudutaks suvalist graafikut. Näiteks sirge y = 3 x - 2 y = 3x - 2 puudutab kuupparabooli y = x 3 y=x^3 punktis (1 ; 1) (1;1) ja lõikab seda punktis (- 2 ; - 8) (-2;-8), st võrrandil x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 on kaks lahendit.

Leidke parameetri a a kõik väärtused, millest igaühe võrrand (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 omab a) täpselt kahte erinevat juurt; b) täpselt kolm erinevat juurt.

Teeme sama nagu näites 25. Kujutame selle võrrandi lahendite hulka tasapinnal x O a xOa . See on võrdne kahe võrrandi kombinatsiooniga:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 on nurk, mille harud on ülespoole ja tipp punktis (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - see on parabool, mille harud on ülespoole ja tipp punktis (- 2 ; - 3) (-2; -3) . Vaata joon. 14.

Leiame kahe graafiku lõikepunktid. Nurga parempoolne haru on antud võrrandiga y = x + 1 y=x+1 . Võrrandi lahendamine

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

leiame, et x = 0 x=0 või x = -3 x=-3 . Sobib ainult väärtus x = 0 x=0 (kuna parempoolse haru jaoks x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Siis a = 1 a = 1 . Samamoodi leiame teise lõikepunkti koordinaadid - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Tuleme tagasi algse probleemi juurde. Võrrandis on täpselt kaks lahendit nende a a jaoks, mille puhul horisontaaljoon a = const a=\textrm(const) lõikab võrrandi lahendite hulka kahes punktis. Graafikult näeme, et see kehtib ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) korral. Kolme lõikepunkti puhul on täpselt kolm lahendit, mis on võimalik ainult siis, kui a = - 1 a=-1 .

VASTUS

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ); a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(juhtumid) $$

on täpselt üks lahendus.

Kujutame võrratussüsteemi lahendeid tasapinnal x O a xOa . Kirjutame süsteemi ümber kujul $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$

Esimese võrratuse rahuldavad punktid, mis asuvad paraboolil a = - x 2 + x a = -x^2+x ja sellest allpool, ning teise võrratuse rahuldavad punktid, mis asuvad paraboolil a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) ja uuemad. Leiame paraboolide tippude ja nende lõikepunktide koordinaadid ning koostame seejärel graafiku. Esimese parabooli ülaosa on (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), teise parabooli ülaosa on (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1) (6)), lõikepunktid on (0 ; 0) (0;0) ja (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12) )(49)). Süsteemi rahuldav punktide komplekt on näidatud joonisel fig. 15. On näha, et horisontaaljoonel a = const a=\textrm(const) on selle hulgaga täpselt üks ühine punkt (mis tähendab, et süsteemil on täpselt üks lahendus) juhtudel a = 0 a=0 ja a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

VASTUS

A = 0,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Leia parameetri a a väikseim väärtus, millest igaühe jaoks süsteem

$$\begin(cases) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(juhtumid) $$

on ainulaadne lahendus.

Teisendame esimese võrrandi, täisruutude esiletõstmine:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1. 18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \vasakparemnool (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\left(18\right)

Erinevalt eelmistest probleemidest on siin parem kujutada joonist x O y xOy tasapinnal (joonist "muutuja - parameeter" tasapinnal kasutatakse tavaliselt ühe muutuja ja ühe parameetriga ülesannete puhul - tulemuseks on hulk tasapinnal Selles ülesandes on tegemist kahe muutuja ja parameetriga Punktide hulga (x; y; a) (x;y;a) joonistamine kolmemõõtmelisse ruumi on keeruline ülesanne, pealegi on selline joonistamine ebatõenäoline olema visuaalne). Võrrand (18) määrab ringi, mille keskpunkt (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) raadiusega 1. Selle ringi keskpunkt võib olenevalt a a väärtusest asuda mis tahes punktis. rida y = 1 y = 1.

Süsteemi teine ​​võrrand on y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 seab nurga, mille küljed on ülespoole, nurga all 60° 60^(\circ) abstsisstelje suhtes (sirge nurgakoefitsient on nurga puutuja kaldenurk tg 60° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), mille tipp on punktis (0; - 4) (0;-4) .

Sellel võrrandisüsteemil on täpselt üks lahendus, kui ringjoon puudutab ühte nurga harudest. See on võimalik neljal juhul (joonis 16): ringi keskpunkt võib olla ühes punktidest A A, B B, C C, D D. Kuna meil on vaja leida parameetri a a väikseim väärtus, siis huvitab meid punkti D D abstsiss. Vaatleme täisnurkset kolmnurka D H M DHM. Kaugus punktist D D sirgjooneni H M HM võrdub ringjoone raadiusega, seega D H = 1 DH=1. Niisiis, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Punkti M M koordinaadid leitakse kahe sirge y = 1 y=1 ja y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (nurga vasak pool) lõikepunkti koordinaatidena .

Saame M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Siis punkti D D abstsiss on võrdne - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .

Kuna ringi keskpunkti abstsiss on võrdne a 3 a\sqrt(3) , siis järeldub, et a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

VASTUS

A = -7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Leidke parameetri a a kõik väärtused, millest igaühe jaoks süsteem

$$\begin(cases) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(juhtumid) $$

on täpselt üks lahendus.

Kujutame iga võrratuse lahendushulka tasapinnal x O y xOy .

Teises võrratuses valime täiuslikud ruudud:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2        ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \vasakparemnool (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Kui a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), määrab ebavõrdsus (19) punkti koordinaatidega (7 a ; 3 a) (7a;3a), st (- 56 ; - 24) (-56;-24) . Kõigi muude väärtuste jaoks a (19) määrab ringi, mille keskpunkt on raadiuse punkt (7 a ; 3 a) (7a; 3a) | a + 8 | |a+8| .

Vaatleme esimest ebavõrdsust.
1) Negatiivse a a jaoks pole sellel lahendusi. See tähendab, et süsteemil pole lahendusi.

2) Kui a = 0 a=0, siis saame sirge 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. Teisest võrratusest saame ringi, mille keskpunkt (0; 0) (0; 0) on raadiusega 8. Lahendusi on ilmselt rohkem kui üks.

3) Kui $$a>0$$, siis on see võrratus samaväärne topeltvõrratusega - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . See määratleb riba kahe sirgjoone vahel y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , millest igaüks on paralleelne sirgjoonega 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (joonis 17).

Kuna me arvestame $$a>0$$, siis asub ringi keskpunkt esimeses kvartalis sirgel y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Tõepoolest, keskpunkti koordinaadid on x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a a väljendades ja võrdsutades saame x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , kust y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Selleks, et süsteemil oleks täpselt üks lahendus, on vajalik ja piisav, et ringjoon puudutab sirget a 2 a_2 . See juhtub siis, kui ringi raadius on võrdne kaugusega ringi keskpunktist sirgeni a 2 a_2. Punkti ja sirge kauguse valemi järgi * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

VASTUS

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

Millistel parameetri a a väärtustel süsteem töötab

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ pole lahendusi?

Süsteemi esimene võrrand defineerib ruudu A B C D ABCD tasapinnal x O y xOy (selle konstrueerimiseks arvestage x ≥ 0 x\geq 0 ja y ≥ 0 y\geq 0 . Siis on võrrand kujul x + y = 1 x+y=1 Saame lõigu – osa sirgest x + y = 1 x+y=1, mis asub esimeses kvartalis.Järgmisena kajastame seda lõiku O x Ox telje suhtes ja seejärel peegeldame saadud komplekt O y Oy telje suhtes (vt joonis 18). Teine võrrand defineerib ruudu P Q R S PQRS , mis on võrdne ruuduga A B C D ABCD, kuid mille keskpunkt on (- a ; - a) (-a;-a) . Joonisel fig. Näitena on joonisel 18 see ruut a = - 2 a=-2 korral. Süsteemil pole lahendusi, kui need kaks ruutu ei ristu.

On hästi näha, et kui lõigud P Q PQ ja B C BC langevad kokku, siis on teise ruudu keskpunkt punktis (1; 1) (1;1). Meile sobivad need a väärtused, mille juures asub keskpunkt “üleval” ja “paremale”, st $$a1$$.

VASTUS

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Leidke kõik parameetri b b väärtused, mille jaoks süsteem on

$$\begin(juhtumid) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(juhtumid) $$

on vähemalt üks lahendus mis tahes a väärtuse jaoks.

Vaatleme mitut juhtumit.

1) Kui $$b2) Kui b = 0 b=0 , siis võtab süsteem kuju $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

Iga a a puhul on selle süsteemi lahenduseks arvupaar (0 ; 0) (0;0), seega sobib b = 0 b=0.

3) Parandame mõned $$b>0$$. Esimene võrrand on täidetud punktide hulgaga, mis saadakse paraboolist y = x 2 - b y=x^2-b, peegeldades osa sellest paraboolist O x Ox telje suhtes (vt joonis 19a, b). Teine võrrand defineerib sirgjoonte perekonna (asendades a a erinevaid väärtusi, saad kõikvõimalikke punkti (b ; 0) (b;0) läbivaid sirgeid, välja arvatud vertikaalne), läbides läbi punkti (b ; 0) (b;0) . Kui punkt (b ; 0) (b;0) asub lõigul [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abstsisstelljega, siis sirge lõikub esimese funktsiooni graafikuga mis tahes kalde korral (joonis 19a). Vastasel juhul (joonis 19b) tekib igal juhul sirge, mis seda graafikut ei ristu. Lahendades võrratuse - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) ja võttes arvesse, et $$b>0$$, saame, et b ∈ (0 ; 1 ] b \ in ( 0;1] .

Kombineerime tulemused: $$b \in $$.

VASTUS

$$b \$$

Leidke kõik a a väärtused, millest igaühe jaoks on funktsioon f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x on vähemalt üks maksimumpunkt.

Moodulit laiendades saame selle

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(juhtumid) $$

Mõlemal intervallil on funktsiooni y = f (x) y=f(x) graafik ülespoole suunatud harudega parabool.

Kuna ülespoole suunatud harudega paraboolidel ei saa olla maksimumpunkte, on ainuke võimalus, et maksimumpunkt on nende intervallide piiripunkt - punkt x = a 2 x=a^2 . Siinkohal on maksimum, kui parabooli tipp y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 langeb intervallile $$x>a^2$$ ja parabooli tipp y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - intervalli $$x\lt a^2$$ jaoks (vt joonis 20). Selle tingimuse annavad võrratused ja $$2 \gt a^2$$ ja $$1 \lt a^2$$, mille lahendamisel leiame, et a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

VASTUS

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Leidke kõik a väärtused, millest igaühe jaoks on võrratuste üldlahendused

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a ja y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

on lahendused ebavõrdsusele

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Olukorras navigeerimiseks on mõnikord kasulik arvestada ühe parameetri väärtusega. Teeme joonise näiteks a = 0 jaoks a=0 . Võrratusi (20) (tegelikult on meil tegemist võrratuste süsteemiga (20)) rahuldavad nurga B A C BAC punktid (vt joonis 21) - punktid, millest igaüks asub mõlema sirge y = - kohal. 2 x y=-2x ja y = x y =x (või nendel joontel). Ebavõrdsust (21) rahuldavad punktid, mis asuvad sirgest y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . On näha, et kui a = 0 a=0, ei ole ülesande tingimus täidetud.

Mis muutub, kui võtame parameetrile a a erineva väärtuse? Iga sirge liigub ja muutub iseendaga paralleelseks sirgeks, kuna joonte nurkkoefitsiendid ei sõltu a-st. Ülesande tingimuse täitmiseks peab kogu nurk B A C BAC asetsema sirge l l kohal. Kuna sirgete A B AB ja A C AC nurkkoefitsiendid on absoluutväärtuselt suuremad kui sirge l l nurkkoefitsient, siis on vajalik ja piisav, et nurga tipp asub sirgest l l kõrgemal.

Võrrandisüsteemi lahendamine

$$\begin(cases) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

leida punkti A koordinaadid (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Need peavad rahuldama ebavõrdsust (21), seega $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, kust $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

VASTUS

$$a>\dfrac(9)(8)$$

§ 8. TÕENÄOSUSE TEOORIA RAKENDAMINE STATISTIKAS.

2. Tundmatute jaotusparameetrite määramine.

Histogrammi abil saame ligikaudselt joonistada juhusliku suuruse jaotustiheduse. Selle graafiku välimus võimaldab meil sageli teha eelduse juhusliku suuruse tõenäosustiheduse jaotuse kohta. Selle jaotustiheduse väljendus sisaldab tavaliselt mõningaid parameetreid, mis tuleb katseandmete põhjal määrata.
Peatume konkreetsel juhul, kui jaotustihedus sõltub kahest parameetrist.
Nii et las x 1 , x 2 , ..., x n- pideva juhusliku suuruse vaadeldavad väärtused ja laske selle tõenäosusjaotuse tihedusel sõltuda kahest tundmatust parameetrist A Ja B, st. paistab nagu . Üks meetoditest tundmatute parameetrite leidmiseks A Ja B seisneb selles, et need on valitud nii, et teoreetilise jaotuse matemaatiline ootus ja dispersioon langevad kokku valimi keskmiste ja dispersiooniga:

(66)

Kus

(67)

Kahest saadud võrrandist () leitakse tundmatud parameetrid A Ja B. Näiteks kui juhuslik suurus järgib normaalset tõenäosusjaotuse seadust, siis selle tõenäosusjaotuse tihedus

sõltub kahest parameetrist a Ja . Need parameetrid, nagu me teame, on vastavalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve; seetõttu kirjutatakse võrdsused () järgmiselt:

(68)

Seetõttu on tõenäosusjaotuse tihedusel kuju

Märkus 1. Oleme selle probleemi juba aastal lahendanud. Mõõtmistulemus on juhuslik suurus, mis järgib parameetritega normaaljaotuse seadust a Ja . Ligikaudse väärtuse jaoks a valisime väärtuse ja ligikaudse väärtuse jaoks väärtuse .

Märkus 2. Suure hulga katsete puhul on koguste leidmine ja valemite () kasutamine seotud tülikate arvutustega. Seetõttu teevad nad seda: kõik koguse vaadeldud väärtused langevad i th intervall ] X i-1 , X i [ statistiline seeria, loetakse ligikaudu võrdseks keskmisega c i see intervall, s.o. c i =(Xi-1 +Xi)/2. Mõelge esimesele intervallile ] X 0, X 1 [. See tabas teda m 1 juhusliku suuruse täheldatud väärtused, millest igaüks asendame numbriga alates 1. Seetõttu on nende väärtuste summa ligikaudu võrdne m 1 s 1. Samamoodi on teise intervalli kuuluvate väärtuste summa ligikaudu võrdne m 2 2-ga jne. Sellepärast

Sarnasel viisil saame ligikaudse võrdsuse

Niisiis, näitame seda

(71)

Tõesti,

Parameetritega võrrandeid peetakse õigustatult koolimatemaatika üheks kõige keerulisemaks ülesandeks. Just need ülesanded jõuavad aastast aastasse ühtse riigieksami ühtse riigieksami B- ja C-tüüpi ülesannete nimekirja. Kuid suure hulga parameetritega võrrandite hulgas on neid, mida saab hõlpsasti graafiliselt lahendada. Vaatleme seda meetodit mitme probleemi lahendamise näitel.

Leidke arvu a täisarvude summa, mille võrrand |x 2 – 2x – 3| = a-l on neli juurt.

Lahendus.

Probleemi küsimusele vastamiseks koostame funktsioonide graafikud ühel koordinaattasandil

y = |x 2 – 2x – 3| ja y = a.

Esimese funktsiooni y = |x 2 – 2x – 3| graafik saadakse parabooli y = x 2 – 2x – 3 graafikult, kuvades sümmeetriliselt x-telje suhtes selle graafiku osa, mis asub Ox-telje all. Graafiku osa, mis asub x-telje kohal, jääb muutumatuks.

Teeme seda samm-sammult. Funktsiooni y = x 2 – 2x – 3 graafik on parabool, mille harud on suunatud ülespoole. Selle graafiku koostamiseks leiame tipu koordinaadid. Seda saab teha valemiga x 0 = -b/2a. Seega x 0 = 2/2 = 1. Parabooli tipu koordinaadi leidmiseks piki ordinaattelge asendame saadud väärtuse x 0 kõnealuse funktsiooni võrrandiga. Saame, et y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. See tähendab, et parabooli tipul on koordinaadid (1; -4).

Järgmiseks tuleb leida parabooli harude lõikepunktid koordinaatide telgedega. Parabooli harude lõikepunktides abstsissteljega on funktsiooni väärtus null. Seetõttu lahendame ruutvõrrandi x 2 – 2x – 3 = 0. Selle juurteks on vajalikud punktid. Vieta teoreemi järgi on x 1 = -1, x 2 = 3.

Parabooliharude lõikepunktides ordinaatteljega on argumendi väärtus null. Seega on punkt y = -3 parabooli harude lõikepunkt y-teljega. Saadud graafik on näidatud joonisel 1.

Funktsiooni y = |x 2 – 2x – 3| graafiku saamiseks kuvame graafiku osa, mis asub x-telje all sümmeetriliselt x-telje suhtes. Saadud graafik on näidatud joonisel 2.

Funktsiooni y = a graafik on abstsissteljega paralleelne sirgjoon. Seda on kujutatud joonisel 3. Joonist kasutades leiame, et graafikutel on neli ühist punkti (ja võrrandil on neli juurt), kui a kuulub intervalli (0; 4).

Arvu a täisarvud saadud intervallist: 1; 2; 3. Ülesande küsimusele vastamiseks leiame nende arvude summa: 1 + 2 + 3 = 6.

Vastus: 6.

Leidke arvu a täisarvude väärtuste aritmeetiline keskmine, mille võrrand |x 2 – 4|x| – 1| = a-l on kuus juurt.

Alustuseks joonistame funktsiooni y = |x 2 – 4|x| – 1|. Selleks kasutame võrdsust a 2 = |a| 2 ja valige funktsiooni paremale küljele kirjutatud submodulaarses avaldises täielik ruut:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| – 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x | – 2) 2 – 5.

Siis on algfunktsioon kujul y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Selle funktsiooni graafiku koostamiseks koostame funktsioonide järjestikused graafikud:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabool, mille tipp on koordinaatidega (2; -5) punktis; (Joonis 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – etapis 1 konstrueeritud parabooli osa, mis asub ordinaatteljest paremal, kuvatakse sümmeetriliselt Oy teljest vasakule; (joonis 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – punktis 2 koostatud graafiku osa, mis asub x-telje all, kuvatakse sümmeetriliselt x-telje suhtes ülespoole. (joonis 3).

Vaatame saadud jooniseid:

Funktsiooni y = a graafik on abstsissteljega paralleelne sirgjoon.

Joonist kasutades järeldame, et funktsioonide graafikutel on kuus ühist punkti (võrrandil kuus juurt), kui a kuulub intervalli (1; 5).

Seda võib näha järgmisel joonisel:

Leiame parameetri a täisarvude väärtuste aritmeetilise keskmise:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Vastus: 3.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.