Gaussi meetod nelja tundmatuga. Gaussi meetod mannekeenide jaoks: slough'i lihtne lahendamine

See veebikalkulaator leiab Gaussi meetodi abil lahenduse lineaarvõrrandisüsteemile (SLE). Esitatakse üksikasjalik lahendus. Arvutamiseks valige muutujate arv ja võrrandite arv. Seejärel sisestage andmed lahtritesse ja klõpsake nuppu "Arvuta".

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Numbri esitus:

Täisarvud ja/või harilikud murrud
Täisarvud ja/või kümnendkohad

Kohtade arv pärast kümnendkoha eraldajat

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Gaussi meetod

Gaussi meetod on meetod üleminekuks algsest lineaarvõrrandisüsteemist (kasutades ekvivalentseid teisendusi) süsteemile, mida on lihtsam lahendada kui algset süsteemi.

Lineaarvõrrandisüsteemi samaväärsed teisendused on:

kahe võrrandi vahetamine süsteemis,
korrutades süsteemi mis tahes võrrandi nullist erineva reaalarvuga,
ühele võrrandile lisades teise võrrandi, mis on korrutatud suvalise arvuga.

Mõelge lineaarsete võrrandite süsteemile:

(1)

Kirjutame süsteemi (1) maatriksi kujul:

Ax=b

(2)

(3)

A- nimetatakse süsteemi koefitsientide maatriksiks, b- piirangute parem pool, x− leiduvate muutujate vektor. Laske järjestada ( A)=lk.

Ekvivalentteisendused ei muuda süsteemi koefitsiendimaatriksi ja laiendatud maatriksi auastet. Süsteemi lahenduste hulk ei muutu ka samaväärsete teisenduste korral. Gaussi meetodi olemus on koefitsientide maatriksi vähendamine A diagonaaliks või astmeliseks.

Koostame süsteemi laiendatud maatriksi:

Järgmises etapis lähtestame kõik elemendi all oleva veeru 2 elemendid. Kui see element on null, vahetatakse see rida selle rea all oleva reaga, mille teises veerus on nullist erinev element. Järgmisena lähtestage juhtelemendi all oleva 2. veeru kõik elemendid a 22. Selleks lisage read 3, ... m stringiga 2 korrutatuna − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22 vastavalt. Protseduuri jätkates saame diagonaalse või astmelise kujuga maatriksi. Olgu saadud laiendatud maatriksil järgmine kuju:

(7)

Sest helinA=helin(A|b), siis lahenduste hulk (7) on ( n-p)− sort. Seega n-p tundmatuid saab suvaliselt valida. Ülejäänud tundmatud süsteemist (7) arvutatakse järgmiselt. Viimasest võrrandist, mida väljendame x p läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse. Järgmisena väljendame eelviimasest võrrandist x p−1 läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse jne. Vaatame konkreetsete näidete abil Gaussi meetodit.

Näited lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Näide 1. Leidke Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus:

Tähistagem poolt a ij elemendid i-th rida ja j veerus.

aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -2/3, -1/2:

Maatrikssalvestuse tüüp: Ax=b, Kus

Tähistagem poolt a ij elemendid i-th rida ja j veerus.

Jätame välja elemendi all oleva maatriksi 1. veeru elemendid aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -1/5, -6/5:

Jagame maatriksi iga rea vastava juhtelemendiga (kui juhtiv element on olemas):

Kus x 3 , x

Asendades ülemised avaldised alumistega, saame lahenduse.

Seejärel saab vektorlahendust esitada järgmiselt:

Kus x 3 , x 4 on suvalised reaalarvud.

Üks lihtsamaid viise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on meetod, mis põhineb determinantide arvutamisel ( Crameri reegel). Selle eeliseks on see, et see võimaldab teil lahenduse kohe salvestada, see on eriti mugav juhtudel, kui süsteemi koefitsiendid ei ole numbrid, vaid mõned parameetrid. Selle puuduseks on arvutuste kohmakus suure arvu võrrandite korral, pealegi ei ole Crameri reegel otseselt rakendatav süsteemidele, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute arvuga. Sellistel juhtudel kasutatakse seda tavaliselt Gaussi meetod.

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteeme, millel on sama lahenduskomplekt samaväärne. Ilmselgelt lineaarse süsteemi lahenduste hulk ei muutu, kui mõni võrrand vahetatakse või kui üks võrranditest korrutatakse mõne nullist erineva arvuga või kui üks võrrand liidetakse teisele.

Gaussi meetod (Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod) seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse süsteem samaväärseks astmelist tüüpi süsteemiks. Esiteks, kasutades 1. võrrandit, elimineerime x 1 kõigist süsteemi järgnevatest võrranditest. Seejärel, kasutades 2. võrrandit, elimineerime x 2 alates 3. ja kõik järgnevad võrrandid. Seda protsessi nimetatakse otsene Gaussi meetod, jätkub seni, kuni viimase võrrandi vasakule küljele on jäänud vaid üks tundmatu x n. Pärast seda on see tehtud Gaussi meetodi pöördvõrdeline– lahendades viimase võrrandi, leiame x n; pärast seda, kasutades seda väärtust, arvutame eelviimasest võrrandist x n-1 jne. Leiame viimase x 1 esimesest võrrandist.

Gaussi teisendusi on mugav teostada, tehes teisendusi mitte võrrandite endi, vaid nende koefitsientide maatriksitega. Mõelge maatriksile:

helistas süsteemi laiendatud maatriks, kuna see sisaldab lisaks süsteemi põhimaatriksile vabade terminite veergu. Gaussi meetod põhineb süsteemi põhimaatriksi redutseerimisel kolmnurkseks (või mitteruuduliste süsteemide puhul trapetsikujuliseks vormiks), kasutades süsteemi laiendatud maatriksi elementaarrea teisendusi (!).

Näide 5.1. Lahendage süsteem Gaussi meetodil:

Lahendus. Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi ja esimese rea abil lähtestame ülejäänud elemendid:

saame nullid esimese veeru 2., 3. ja 4. real:

Nüüd on vaja, et kõik elemendid teises veerus 2. rea all oleksid võrdsed nulliga. Selleks võid teise rea korrutada –4/7-ga ja liita selle 3. reale. Et aga mitte murdudega tegeleda, loome teise veeru 2. reale ühiku ja ainult

Nüüd peate kolmnurkmaatriksi saamiseks lähtestama 3. veeru neljanda rea elemendi, võite korrutada kolmanda rea 8/54-ga ja lisada selle neljandale. Et aga mitte murdudega tegeleda, vahetame 3. ja 4. rea ning 3. ja 4. veeru ning alles pärast seda lähtestame määratud elemendi. Pange tähele, et veergude ümberpaigutamisel vahetavad vastavad muutujad kohti ja seda tuleb meeles pidada; muid elementaarteisendusi veergudega (liitmine ja arvuga korrutamine) teha ei saa!

Viimane lihtsustatud maatriks vastab võrrandisüsteemile, mis on samaväärne algse maatriksiga:

Siit, kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, leiame neljandast võrrandist x 3 = –1; kolmandast x 4 = –2, teisest x 2 = 2 ja esimesest võrrandist x 1 = 1. Maatriksi kujul kirjutatakse vastus kujul

Käsitlesime juhtumit, kui süsteem on kindel, s.t. kui on ainult üks lahendus. Vaatame, mis juhtub, kui süsteem on ebaühtlane või ebakindel.

Näide 5.2. Uurige süsteemi Gaussi meetodi abil:

Lahendus. Kirjutame välja ja teisendame süsteemi laiendatud maatriksi

Kirjutame lihtsustatud võrrandisüsteemi:

Siin selgub viimases võrrandis, et 0=4, s.o. vastuolu. Järelikult puudub süsteemil lahendus, s.t. ta Sobimatu. à

Näide 5.3. Uurige ja lahendage süsteemi Gaussi meetodil:

Lahendus. Kirjutame välja ja teisendame süsteemi laiendatud maatriksi:

Teisenduste tulemusena sisaldab viimane rida ainult nulle. See tähendab, et võrrandite arv on vähenenud ühe võrra:

Seega on peale lihtsustusi järel kaks võrrandit ja neli tundmatut, s.o. kaks tundmatut "lisa". Olgu nad "üleliigsed" või, nagu öeldakse, vabad muutujad, tahe x 3 ja x 4 . Siis

Uskudes x 3 = 2a Ja x 4 = b, saame x 2 = 1–a Ja x 1 = 2b–a; või maatriksi kujul

Sel viisil kirjutatud lahendust nimetatakse üldine, sest, andes parameetrid a Ja b erinevaid väärtusi, saab kirjeldada kõiki süsteemi võimalikke lahendusi. a

Olgu süsteem antud, ∆≠0. (1)
Gaussi meetod on meetod tundmatute järjestikuseks kõrvaldamiseks.

Gaussi meetodi olemus on teisendada (1) kolmnurkse maatriksiga süsteemiks, millest seejärel saadakse järjestikku (tagurpidi) kõigi tundmatute väärtused. Vaatleme ühte arvutusskeemi. Seda vooluahelat nimetatakse ühe jaotusega vooluringiks. Nii et vaatame seda diagrammi. Jagagu 11 ≠0 (juhtelement) esimene võrrand 11-ga. Saame
(2)
Võrrandi (2) abil on süsteemi ülejäänud võrranditest lihtne eemaldada tundmatuid x 1 (selleks piisab, kui lahutada igast võrrandist võrrand (2), mis on eelnevalt korrutatud x 1 vastava koefitsiendiga) , see tähendab, et esimese sammuna saame
.
Teisisõnu, sammus 1 on iga järgnevate ridade element, alates teisest, võrdne algse elemendi ja selle esimesse veergu ja esimesse (teisndatud) rida "projektsiooni" korrutise vahega.
Pärast seda, jättes esimese võrrandi rahule, teostame sarnase teisenduse esimeses etapis saadud süsteemi ülejäänud võrrandite üle: valime nende hulgast juhtiva elemendiga võrrandi ja selle abil välistame ülejäänud hulgast x 2. võrrandid (2. samm).
Pärast n sammu saame (1) asemel samaväärse süsteemi
(3)
Seega saame esimeses etapis kolmnurkse süsteemi (3). Seda etappi nimetatakse edasilöögiks.
Teises etapis (tagurpidi) leiame järjestikku (3) väärtused x n, x n -1, ..., x 1.
Tähistame saadud lahendit kui x 0 . Siis vahe ε=b-A x 0 nimetatakse jääkväärtuseks.
Kui ε=0, siis on leitud lahendus x 0 õige.

Arvutused Gaussi meetodil tehakse kahes etapis:

Esimest etappi nimetatakse edasisuunamismeetodiks. Esimeses etapis muudetakse algne süsteem kolmnurkseks.
Teist etappi nimetatakse pöördlöögiks. Teises etapis lahendatakse kolmnurkne süsteem, mis on samaväärne algse süsteemiga.

Koefitsiente a 11, a 22, ... nimetatakse juhtelementideks.
Igal etapil eeldati, et juhtiv element ei ole null. Kui see nii ei ole, siis saab juhtelemendina kasutada mis tahes muud elementi, mis justkui süsteemi võrrandeid ümber paigutaks.

Gaussi meetodi eesmärk

Gaussi meetod on mõeldud lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Viitab otselahendusmeetoditele.

Gaussi meetodi tüübid

Klassikaline Gaussi meetod;
Gaussi meetodi modifikatsioonid. Üks Gaussi meetodi modifikatsioone on skeem põhielemendi valikuga. Gaussi meetodi eripäraks põhielemendi valikuga on selline võrrandite ümberpaigutamine, et k-ndas etapis osutub juhtiv element k-nda veeru suurimaks elemendiks.
Jordano-Gaussi meetod;

Jordano-Gaussi meetodi erinevus klassikalisest Gaussi meetod seisneb ristkülikureegli rakendamises, kui lahenduse otsimise suund toimub piki põhidiagonaali (teisendus identiteedimaatriksiks). Gaussi meetodi puhul toimub lahenduse otsimise suund mööda veerge (teisendamine kolmnurkmaatriksiga süsteemiks).
Illustreerime erinevust Jordano-Gaussi meetod Gaussi meetodist koos näidetega.

Näide lahendusest Gaussi meetodil
Lahendame süsteemi:

Arvutamise hõlbustamiseks vahetame read:

Korrutame 2. rea (2-ga). Lisage 3. rida teisele

Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisage 2. rida esimesele

Alates 1. realt väljendame x 3:
2. realt väljendame x 2:
Alates 3. realt väljendame x 1:

Jordano-Gaussi meetodit kasutava lahenduse näide
Lahendame sama SLAE Jordano-Gaussi meetodil.

Valime järjestikku lahutuselemendi RE, mis asub maatriksi põhidiagonaalil.
Eraldusvõime element on võrdne (1).

NE = SE – (A*B)/RE
RE - lahutuselement (1), A ja B - maatrikselemendid, mis moodustavad elementidega STE ja RE ristküliku.
Esitame iga elemendi arvutuse tabeli kujul:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Lahutav element on võrdne (3).
Lahutava elemendi asemel saame 1 ja veergu endasse kirjutame nullid.
Kõik muud maatriksi elemendid, sealhulgas veeru B elemendid, määratakse ristkülikureegliga.
Selleks valime neli numbrit, mis asuvad ristküliku tippudes ja sisaldavad alati lahutuselementi RE.

x 1	x 2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Eraldusvõime element on (-4).
Lahutava elemendi asemel saame 1 ja veergu endasse kirjutame nullid.
Kõik muud maatriksi elemendid, sealhulgas veeru B elemendid, määratakse ristkülikureegliga.
Selleks valime neli numbrit, mis asuvad ristküliku tippudes ja sisaldavad alati lahutuselementi RE.
Esitame iga elemendi arvutuse tabeli kujul:

x 1	x 2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Vastus: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gaussi meetodi rakendamine

Gaussi meetodit rakendatakse paljudes programmeerimiskeeltes, eriti: Pascal, C++, php, Delphi, samuti on Gaussi meetodi online-rakendus.

Kasutades Gaussi meetodit

Gaussi meetodi rakendamine mänguteoorias

Mänguteoorias koostatakse mängija maksimaalse optimaalse strateegia leidmisel võrrandisüsteem, mis lahendatakse Gaussi meetodil.

Gaussi meetodi rakendamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisel

Diferentsiaalvõrrandi osalahenduse leidmiseks tuleb esmalt leida üleskirjutatud osalahendusele (y=f(A,B,C,D)) sobiva astme tuletised, mis asendatakse algsesse võrrandisse. Järgmisena koostatakse muutujate A, B, C, D leidmiseks võrrandisüsteem, mis lahendatakse Gaussi meetodil.

Jordano-Gaussi meetodi rakendamine lineaarses programmeerimises

Lineaarses programmeerimises, eriti simpleksmeetodis, kasutatakse ristkülikureeglit, mis kasutab Jordano-Gaussi meetodit, et teisendada simplekstabelit igal iteratsioonil.

Kahte lineaarvõrrandi süsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende kõigi lahendite hulk langeb kokku.

Võrrandisüsteemi elementaarsed teisendused on järgmised:

Triviaalvõrrandite süsteemist kustutamine, s.t. need, mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga;

mis tahes võrrandi korrutamine nullist erineva arvuga;

Lisades mis tahes i-ndale võrrandile mis tahes j-nda võrrandi, mis on korrutatud mis tahes arvuga.

Muutujat x i nimetatakse vabaks, kui see muutuja pole lubatud, kuid lubatud on kogu võrrandisüsteem.

Teoreem. Elementaarsed teisendused muudavad võrrandisüsteemi samaväärseks.

Gaussi meetodi mõte on teisendada algne võrrandisüsteem ja saada samaväärne lahendatud või samaväärne ebajärjekindel süsteem.

Niisiis, Gaussi meetod koosneb järgmistest sammudest:

Vaatame esimest võrrandit. Valime esimese nullist erineva koefitsiendi ja jagame sellega kogu võrrandi. Saame võrrandi, millesse mingi muutuja x i siseneb koefitsiendiga 1;
Lahutame selle võrrandi kõigist teistest, korrutades selle selliste arvudega, et muutuja x i kordajad ülejäänud võrrandites nullitakse. Saame muutuja x i suhtes lahendatud süsteemi, mis on samaväärne algse süsteemiga;
Kui tekivad triviaalsed võrrandid (harva, aga juhtub; näiteks 0 = 0), kriipsutame need süsteemist välja. Selle tulemusena on võrrandeid üks vähem;
Kordame eelmisi samme mitte rohkem kui n korda, kus n on võrrandite arv süsteemis. Iga kord valime töötlemiseks uue muutuja. Kui tekivad ebajärjekindlad võrrandid (näiteks 0 = 8), on süsteem ebajärjekindel.

Selle tulemusel saame mõne sammu järel kas lahendatud süsteemi (võimalik, et vabade muutujatega) või ebajärjekindla süsteemi. Lubatud süsteemid jagunevad kaheks juhuks:

Muutujate arv on võrdne võrrandite arvuga. See tähendab, et süsteem on määratletud;
Muutujate arv on suurem kui võrrandite arv. Kogume kõik paremal olevad vabad muutujad - saame lubatud muutujate valemid. Need valemid on vastuses kirjas.

See on kõik! Lineaarvõrrandi süsteem lahendatud! See on üsna lihtne algoritm ja selle valdamiseks ei pea te ühendust võtma kõrgema matemaatika juhendajaga. Vaatame näidet:

Ülesanne. Lahendage võrrandisüsteem:

Sammude kirjeldus:

Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
Korrutame teise võrrandi (-1) ja jagame kolmanda võrrandiga (-3) - saame kaks võrrandit, millesse muutuja x 2 siseneb koefitsiendiga 1;
Lisame teise võrrandi esimesele ja lahutame kolmandast. Saame lubatud muutuja x 2 ;
Lõpuks lahutame esimesest kolmanda võrrandi - saame lubatud muutuja x 3;
Oleme saanud kinnitatud süsteemi, kirjutage vastus üles.

Lineaarvõrrandi samaaegse süsteemi üldlahendus on uus, algse samaväärne süsteem, milles kõik lubatud muutujad on väljendatud vabadena.

Millal võib vaja minna üldist lahendust? Kui peate tegema vähem samme kui k (k on võrrandite arv). Kuid põhjused, miks protsess mõnel etapil l lõpeb< k , может быть две:

Pärast l-ndat sammu saime süsteemi, mis ei sisalda võrrandit arvuga (l + 1). Tegelikult on see hea, sest... volitatud süsteem saadakse ikka kätte – isegi paar sammu varem.
Pärast l-ndat sammu saime võrrandi, milles kõik muutujate koefitsiendid on võrdsed nulliga ja vaba koefitsient erineb nullist. See on vastuoluline võrrand ja seetõttu on süsteem ebajärjekindel.

Oluline on mõista, et vastuolulise võrrandi tekkimine Gaussi meetodi abil on piisavaks aluseks ebakõla tekkeks. Samas märgime, et l-nda sammu tulemusena ei saa jääda triviaalseid võrrandeid - kõik need kriipsutatakse läbi.

Sammude kirjeldus:

Lahutage teisest esimene võrrand, mis on korrutatud 4-ga. Ja samuti lisame esimese võrrandi kolmandale - saame lubatud muutuja x 1;
Lahutage teisest kolmas võrrand, korrutatud 2-ga - saame vastuolulise võrrandi 0 = −5.

Seega on süsteem ebajärjekindel, kuna on avastatud vastuoluline võrrand.

Ülesanne. Uurige ühilduvust ja leidke süsteemile üldine lahendus:

Sammude kirjeldus:

Lahutame esimese võrrandi teisest (pärast kahega korrutamist) ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
Lahutage teine võrrand kolmandast. Kuna kõik nendes võrrandites olevad koefitsiendid on samad, muutub kolmas võrrand triviaalseks. Samal ajal korrutage teine võrrand arvuga (−1);
Lahutage esimesest võrrandist teine - saame lubatud muutuja x 2. Ka kogu võrrandisüsteem on nüüd lahendatud;
Kuna muutujad x 3 ja x 4 on vabad, nihutame need lubatud muutujate väljendamiseks paremale. See on vastus.

Seega on süsteem järjekindel ja määramatu, kuna on kaks lubatud muutujat (x 1 ja x 2) ja kaks vaba (x 3 ja x 4).

Õppeasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

Juhised

uurida teemat „Gaussi meetod lineaarsete süsteemide lahendamiseks

võrrandid" korrespondentõppe raamatupidamisteaduskonna (NISPO) üliõpilaste poolt

Gorki, 2013

Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

Ekvivalentvõrrandisüsteemid

Kaht lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseks, kui ühe lahendus on teise lahendus. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise protsess seisneb selle järjestikuses teisendamises samaväärseks süsteemiks, kasutades nn. elementaarsed teisendused , mis on:

1) süsteemi mis tahes kahe võrrandi ümberpaigutamine;

2) süsteemi mis tahes võrrandi mõlema poole korrutamine nullist erineva arvuga;

3) mis tahes võrrandile teise võrrandi lisamine, mis on korrutatud mis tahes arvuga;

4) nullidest koosneva võrrandi läbikriipsutamine, s.o. vormi võrrandid

Gaussi eliminatsioon

Mõelge süsteemile m lineaarvõrrandid n teadmata:

Gaussi meetodi ehk tundmatute järjestikuse elimineerimise meetodi olemus on järgmine.

Esiteks, kasutades elementaarteisendusi, elimineeritakse tundmatu kõigist süsteemi võrranditest, välja arvatud esimene. Selliseid süsteemiteisendusi nimetatakse Gaussi eliminatsiooni etapp . Tundmatut kutsutakse lubav muutuja ümberkujundamise esimesel etapil. Koefitsienti nimetatakse eraldusvõime tegur , nimetatakse esimest võrrandit võrrandi lahendamine , ja koefitsientide veerg juures lubade veerg .

Gaussi elimineerimise ühe etapi sooritamisel peate järgima järgmisi reegleid:

1) lahendusvõrrandi koefitsiendid ja vaba tähtaeg jäävad muutumatuks;

2) lahutuskoefitsiendist allpool asuva eraldusvõime veeru koefitsiendid muutuvad nulliks;

3) kõik muud koefitsiendid ja vabad liikmed esimese sammu sooritamisel arvutatakse ristkülikureegli järgi:

, Kus i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Teeme sarnased teisendused süsteemi teisel võrrandil. See toob kaasa süsteemi, kus tundmatu elimineeritakse kõigis võrrandites, välja arvatud kaks esimest. Selliste teisenduste tulemusena iga süsteemi võrrandi üle (Gaussi meetodi otsene progresseerumine) taandatakse algne süsteem samaväärseks astmesüsteemiks, mis on ühte järgmistest tüüpidest.

Vastupidine Gaussi meetod

Sammusüsteem

on kolmnurkse välimusega ja kõik (i=1,2,…,n). Sellisel süsteemil on ainulaadne lahendus. Tundmatud määratakse alates viimasest võrrandist (Gaussi meetodi vastupidine).

Sammusüsteemil on vorm

kus, st. süsteemi võrrandite arv on väiksem või võrdne tundmatute arvuga. Sellel süsteemil pole lahendusi, kuna viimane võrrand ei ole täidetud muutuja ühegi väärtuse puhul.

Sammu tüüpi süsteem

on lugematu arv lahendusi. Viimasest võrrandist lähtudes väljendatakse tundmatut tundmatute kaudu . Seejärel asendatakse eelviimases võrrandis tundmatu asemel selle avaldis tundmatutega . Jätkates Gaussi meetodi vastupidist, tundmatud saab väljendada tundmatute kaudu . Antud juhul tundmatud kutsutakse tasuta ja võib võtta mis tahes väärtuseid ja tundmatuid põhilised.

Praktikas süsteemide lahendamisel on mugav teha kõiki teisendusi mitte võrrandisüsteemiga, vaid süsteemi laiendatud maatriksiga, mis koosneb tundmatute koefitsientidest ja vabade terminite veerust.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Loome süsteemist laiendatud maatriksi ja teostame elementaarsed teisendused:

Süsteemi laiendatud maatriksis on number 3 (see on esile tõstetud) eraldusvõime koefitsient, esimene rida on eraldusvõime rida ja esimene veerg on eraldusvõime veerg. Järgmisele maatriksile liikudes ei muutu resolutsioonirida kõik eraldusvõime elemendi all olevad elemendid nullidega. Ja kõik teised maatriksi elemendid arvutatakse ümber nelinurkreegli järgi. Teise rea elemendi 4 asemel kirjutame , kirjutatakse teisel real elemendi -3 asemel see jne. Seega saadakse teine maatriks. Selle maatriksi eraldusvõime elemendiks on teises reas number 18. Järgmise (kolmanda maatriksi) moodustamiseks jätke teine rida muutmata, kirjutage lahendava elemendi all olevasse veergu null ja arvutage ülejäänud kaks elementi ümber: numbri 1 asemel kirjutage , ja numbri 16 asemel kirjutame .