Matemaatiline mänguteooria. Mängude salvestamise ja lahendamise näiteid elust

Mänguteooria - matemaatiliste meetodite kogum konfliktsituatsioonide (huvide konflikti) lahendamiseks. Mänguteoorias nimetatakse mängu konfliktsituatsiooni matemaatiline mudel. Mänguteoorias pakub erilist huvi mängus osalejate otsustusstrateegiate uurimine ebakindluse tingimustes. Ebakindlus tuleneb asjaolust, et kaks või enam osapoolt taotlevad vastandlikke eesmärke ja kummagi osapoole tegevuse tulemused sõltuvad partneri liigutustest. Samas püüab kumbki osapool teha optimaalseid otsuseid, mis realiseerivad seatud eesmärke suurimal määral.

Kõige järjekindlamalt rakendatakse mänguteooriat majanduses, kus konfliktsituatsioonid tekivad näiteks tarnija ja tarbija, ostja ja müüja, panga ja kliendi suhetes. Mänguteooria rakendust leiab ka poliitikas, sotsioloogias, bioloogias ja sõjakunstis.

Mänguteooria ajaloost

Mänguteooria ajalugu iseseisva distsipliinina sai alguse 1944. aastal, mil John von Neumann ja Oscar Morgenstern avaldasid raamatu “Mängude ja majanduskäitumise teooria”. Kuigi mänguteooria näiteid on varemgi kohatud: Babüloonia Talmudi traktaat surnud abikaasa vara jagamisest abikaasade vahel, kaardimängud 18. sajandil, maleteooria areng 20. sajandi alguses. sajandil, sama John von Neumanni minimaxi teoreemi tõestus 1928. aastal, ilma milleta poleks mänguteooriat.

20. sajandi 50. aastatel Melvin Drescher ja Meryl Flood alates Rand korporatsioon John Nash, kes vangide dilemmat esimesena eksperimentaalselt rakendas, töötas välja Nashi tasakaalu kontseptsiooni oma teostes kahe inimese mängude tasakaaluseisundi kohta.

Reinhard Salten avaldas 1965. aastal raamatu "The Treatment of Oligopoly in Game Theory on Demand" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), millega mänguteooria rakendamine majandusteaduses sai uue tõukejõu. Samm edasi mänguteooria arengus on seotud John Maynard Smithi tööga "Evolutionary Stable Strategy" (1974). Vangide dilemmat populariseeriti Robert Axelrodi 1984. aastal ilmunud raamatus "Koostöö areng". 1994. aastal pälvisid John Nash, John Harsanyi ja Reinhard Selten Nobeli preemia panuse eest mänguteooriasse.

Mänguteooria elus ja äris

Räägime lähemalt konfliktsituatsiooni (huvide kokkupõrkest) olemusest selles mõttes, nagu seda mänguteoorias mõistetakse erinevate elu- ja äriolukordade edasiseks modelleerimiseks. Laske isikul olla olukorras, mis viib ühe mitmest võimalikust tulemusest, ja isikul on nende tulemuste suhtes mõned isiklikud eelistused. Kuid kuigi ta saab mingil määral kontrollida tulemust määravaid muutujaid, ei ole tal nende üle täielikku võimu. Mõnikord on kontroll mõne inimese käes, kellel on sarnaselt temaga võimalike tulemuste suhtes eelistused, kuid üldiselt ei ole nende isikute huvid järjekindlad. Muudel juhtudel võib lõpptulemus sõltuda nii juhusest (mida õigusteaduses mõnikord nimetatakse looduskatastroofiks) kui ka teistest isikutest. Mänguteooria süstematiseerib selliste olukordade vaatlusi ja üldiste põhimõtete sõnastamist, et juhtida sellistes olukordades intelligentset tegevust.

Mõnes mõttes on nimetus "mänguteooria" kahetsusväärne, kuna see viitab sellele, et mänguteooria käsitleb ainult sotsiaalselt ebaolulisi kohtumisi, mis toimuvad saalimängudes, kuid sellegipoolest on teoorial palju laiem tähendus.

Mänguteooria rakendamisest võib aimu anda järgmine majanduslik olukord. Oletame, et on mitu ettevõtjat, kellest igaüks püüab saada maksimaalset kasumit, kuid neil on ainult piiratud võim seda kasumit määravate muutujate üle. Ettevõtjal ei ole võimu muutujate üle, mida teine ettevõtja kontrollib, kuid mis võivad oluliselt mõjutada esimese ettevõtja sissetulekut. Selle olukorra käsitlemine mänguna võib tekitada järgmise vastuväite. Mängumudelis eeldatakse, et iga ettevõtja teeb võimalike valikute hulgast ühe valiku ja need üksikud valikud määravad kasumi. Ilmselgelt see tegelikkuses peaaegu juhtuda ei saa, sest sel juhul poleks tööstuses keerukaid juhtimisseadmeid vaja. Lihtsalt on mitmeid otsuseid ja nende otsuste modifikatsioone, mis sõltuvad teiste majandussüsteemis osalejate (mängijate) tehtud valikutest. Kuid põhimõtteliselt võib ette kujutada, et mõni administraator näeb ette kõiki võimalikke ettenägematuid olukordi ja kirjeldab üksikasjalikult iga juhtumi puhul võetavaid meetmeid, mitte ei lahenda iga probleemi nii nagu see tekib.

Sõjaline konflikt on definitsiooni järgi huvide kokkupõrge, kus kumbki pool ei oma täielikku kontrolli tulemust määravate muutujate üle, mis otsustatakse lahingute jadaga. Võite lugeda tulemuseks lihtsalt võidu või kaotuse ning määrata neile arvväärtused 1 ja 0.

Üks lihtsamaid konfliktsituatsioone, mida mänguteoorias saab kirja panna ja lahendada, on duell, mis kujutab endast konflikti kahe mängija 1 ja 2 vahel, kellel on vastavalt lk Ja q kaadrid. Iga mängija jaoks on funktsioon, mis näitab tõenäosust, et mängija lööb i teatud ajahetkel t annab löögi, mis saab saatuslikuks.

Selle tulemusena jõuab mänguteooria teatud huvide konfliktide klassi järgmise sõnastuseni: on olemas n mängijad ja igaüks peab valima ühe võimaluse sajast konkreetsest komplektist ning valiku tegemisel puudub mängijal info teiste mängijate valikute kohta. Mängija võimalik valikuala võib sisaldada selliseid elemente nagu "labidaässa mängimine", "autode asemel tankide tootmine" või üldisemalt strateegia, mis määratleb kõik toimingud, mida tuleb teha kõigis võimalikes olukordades. Iga mängija seisab silmitsi ülesandega: millise valiku ta peaks tegema, et tema isiklik mõju tulemusele tooks talle suurima võimaliku võidu?

Matemaatiline mudel mänguteoorias ja probleemide formaliseerimine

Nagu me juba märkisime, mäng on konfliktsituatsiooni matemaatiline mudel ja nõuab järgmisi komponente:

huvitatud isikud;
võimalikud tegevused mõlemal küljel;
poolte huvides.

Mängust huvitatud osapooli nimetatakse mängijateks , saab igaüks neist teha vähemalt kaks toimingut (kui mängija käsutuses on ainult üks toiming, siis ta tegelikult mängus ei osale, kuna on ette teada, mida ta teeb). Mängu tulemust nimetatakse võiduks .

Tõeline konfliktsituatsioon ei ole alati, kuid mäng (mänguteooria mõistes) kulgeb alati vastavalt teatud reeglid , mis määravad täpselt kindlaks:

mängijate tegevuste valikud;
teabe hulk, mis igal mängijal on oma partneri käitumise kohta;
väljamakse, milleni iga tegevuste kogum viib.

Formaaliseeritud mängude näideteks on jalgpall, kaardimängud ja male.

Kuid majanduses tekib mängijate käitumismudel, näiteks kui mitu ettevõtet üritab turul soodsamat kohta hõivata, üritavad mitmed isikud mõnda hüve (ressursid, finantsid) omavahel ära jagada, et kõik saaksid võimalikult palju. . Mängijad majanduses konfliktiolukordades, mida võib modelleerida mänguna, on ettevõtted, pangad, eraisikud ja muud majandusagendid. Omakorda sõjatingimustes kasutatakse mängumudelit näiteks parima relva (olemasolevast või potentsiaalsest) valimisel vaenlase alistamiseks või rünnaku eest kaitsmiseks.

Mängu iseloomustab tulemuse ebakindlus . Ebakindluse põhjused võib jagada järgmistesse rühmadesse:

kombinatoorne (nagu males);
juhuslike tegurite mõju (nagu mängus "pead või sabad", täringud, kaardimängud);
strateegiline (mängija ei tea, milliseid meetmeid vaenlane ette võtab).

Mängija strateegia on reeglite kogum, mis määrab tema tegevuse igal liigutusel sõltuvalt hetkeolukorrast.

Mänguteooria eesmärk on määrata iga mängija jaoks optimaalne strateegia. Sellise strateegia kindlaksmääramine tähendab mängu lahendamist. Strateegia optimaalsus saavutatakse siis, kui üks mängijatest peaks saama maksimaalse võidu, teine aga jääb oma strateegia juurde. Ja teisel mängijal peaks olema minimaalne kaotus, kui esimene peab oma strateegiast kinni.

Mängude klassifikatsioon

Klassifikatsioon mängijate arvu järgi (kahe või enama inimese mäng). Kahe inimese mängud on kogu mänguteoorias kesksel kohal. Kahe inimese mängude mänguteooria põhikontseptsioon on üldistus väga olulisest tasakaalu ideest, mis loomulikult ilmneb kahe inimese mängudes. Mis puutub mängudesse nüksikisikutele, siis üks osa mänguteooriast on pühendatud mängudele, milles mängijatevaheline koostöö on keelatud. Mänguteooria teises osas nüksikisikud eeldavad, et mängijad saavad teha koostööd vastastikuse kasu nimel (vt hiljem käesolevas lõigus koostööst keelduvate ja koostööpõhiste mängude kohta).
Klassifikatsioon mängijate arvu ja nende strateegiate järgi (strateegiate arv on vähemalt kaks, võib olla lõpmatus).
Klassifikatsioon teabe hulga järgi võrreldes varasemate käikudega: täieliku ja mittetäieliku teabega mängud. Olgu mängija 1 - ostja ja mängija 2 - müüja. Kui mängijal 1 ei ole täielikku teavet mängija 2 tegevuste kohta, ei pruugi mängija 1 teha vahet kahe alternatiivi vahel, mille vahel ta peab valima. Näiteks valides mõne toote kahe tüübi vahel ja teadmata, et teatud omaduste järgi toode A halvem toode B, ei pruugi mängija 1 alternatiivide vahelist erinevust näha.
Klassifikatsioon võitude jagamise põhimõtete järgi : ühistu, ühelt poolt koalitsioon ja teiselt poolt mittekoostöö, mittekoalitsioon. IN koostöövaba mäng , või muidu - koostöövaba mäng , mängijad valivad strateegiaid üheaegselt, teadmata, millise strateegia teine mängija valib. Mängijatevaheline suhtlus on võimatu. IN koostöömäng , või muidu - koalitsioonimäng , saavad mängijad moodustada koalitsioone ja teha ühiseid meetmeid oma võitude suurendamiseks.
Lõplik kahe inimese nullsumma mäng ehk antagonistlik mäng on täieliku informatsiooniga strateegiline mäng, mis hõlmab vastandlike huvidega osapooli. Antagonistlikud mängud on maatriksmängud .

Klassikaline näide mänguteooriast on vangi dilemma.

Kaks kahtlusalust võetakse vahi alla ja eraldatakse üksteisest. Ringkonnaprokurör on veendunud, et nad panid toime raske kuriteo, kuid tal pole piisavalt tõendeid, et neid kohtus süüdistuse esitada. Ta ütleb igale vangile, et tal on kaks võimalust: tunnistada üles kuritegu, mille politsei usub, et ta toime pani, või mitte tunnistada. Kui mõlemad ei tunnista üles, esitab DA neile süüdistuse mõnes väiksemas kuriteos, näiteks pisivarguses või relva ebaseaduslikus omamises, ning mõlemad saavad väikese karistuse. Kui nad mõlemad üles tunnistavad, antakse neile süüdistus, kuid ta ei nõua kõige karmimat karistust. Kui üks tunnistab üles ja teine mitte, siis tunnistaja karistust muudetakse kaasosalise väljaandmise eest, samas kui see, kes jätkab, saab "täiega".

Kui see strateegiline ülesanne on sõnastatud järeldusena, taandub see järgmisele:

Seega, kui mõlemad vangid üles ei tunnista, saavad nad kumbki 1 aasta. Kui mõlemad tunnistavad, saavad mõlemad 8 aastat. Ja kui üks tunnistab, teine ei tunnista, siis see, kes tunnistas, pääseb kolme kuu pikkuse vangistusega ja kes ei tunnista, saab 10 aastat. Ülaltoodud maatriks peegeldab õigesti vangi dilemmat: igaüks seisab silmitsi küsimusega, kas tunnistada või mitte. Mäng, mida ringkonnaprokurör vangidele pakub koostöövaba mäng või muidu - koostöövaba mäng . Kui mõlemal vangil oleks võimalus koostööd teha (st. mäng oleks koostöö või muidu koalitsioonimäng ), siis mõlemad ei tunnistaks üles ja saavad kumbki aastase vanglakaristuse.

Näiteid mänguteooria matemaatiliste vahendite kasutamisest

Nüüd käsitleme lahendusi levinud mängude klasside näidetele, mille jaoks on mänguteoorias olemas uurimis- ja lahendusmeetodid.

Kahe isiku mittekoostöölise (koostööta) mängu vormistamise näide

Eelmises lõigus vaatlesime juba näidet mittekoostöövõimelisest (koostöövõimetusest) mängust (vangide dilemma). Tugevdame oma oskusi. Selleks sobib ka klassikaline süžee, mis on inspireeritud Arthur Conan Doyle’i “Sherlock Holmesi seiklustest”. Võib muidugi vastu vaielda: näide pole elust, vaid kirjandusest, aga Conan Doyle pole end ulmekirjanikuna kehtestanud! Klassika ka seetõttu, et ülesande täitis Oskar Morgenstern, nagu oleme juba kindlaks teinud, üks mänguteooria rajajaid.

Näide 1. Esitatakse lühendatud kokkuvõte ühe "Sherlock Holmesi seikluste" fragmendist. Tuntud mänguteooria kontseptsioonide järgi koosta konfliktiolukorra mudel ja kirjuta mäng vormiliselt üles.

Sherlock Holmes kavatseb sõita Londonist Doverisse edasise eesmärgiga jõuda mandrile (Euroopasse), et põgeneda teda jälitava professor Moriarty eest. Rongile istunud nägi ta jaama perroonil professor Moriartyt. Sherlock Holmes tunnistab, et Moriarty saab valida erirongi ja sellest mööduda. Sherlock Holmesil on kaks alternatiivi: jätkata teekonda Doverisse või väljuda Canterbury jaamas, mis on tema marsruudi ainus vahejaam. Aktsepteerime, et tema vastane on piisavalt intelligentne, et määrata kindlaks Holmesi võimed, seega on tal samad kaks alternatiivi. Mõlemad vastased peavad valima jaama, kus rongilt maha tulla, teadmata, millise otsuse kumbki teeb. Kui otsuse langetamise tulemusena satuvad mõlemad samasse jaama, siis võime kindlasti eeldada, et Sherlock Holmesi tapab professor Moriarty. Kui Sherlock Holmes turvaliselt Doverisse jõuab, päästetakse ta.

Lahendus. Mängus osalejateks ehk mängijateks võime pidada Conan Doyle’i kangelasi. Saadaval igale mängijale i (i=1,2) kaks puhast strateegiat:

väljuge Doveris (strateegia si1 ( i=1,2) );
väljuge vahejaamas (strateegia si2 ( i=1,2) )

Sõltuvalt sellest, kumma kahest strateegiast kumbki mängija valib, luuakse paarina spetsiaalne strateegiate kombinatsioon. s = (s1 , s 2 ) .

Iga kombinatsiooni saab seostada sündmusega – professor Moriarty sooritatud Sherlock Holmesi mõrvakatse tulemusega. Loome sellest mängust maatriksi võimalike sündmustega.

Iga sündmuse all on indeks, mis näitab professor Moriarty omandamist ja arvutatakse sõltuvalt Holmesi päästmisest. Mõlemad kangelased valivad strateegia korraga, teadmata, mida vaenlane valib. Seega on mäng koostöövaba, sest esiteks on mängijad erinevates rongides ja teiseks on neil vastandlikud huvid.

Koostöö(koalitsiooni)mängu vormistamise ja lahendamise näide n isikud

Siinkohal eelneb praktilisele osale ehk näiteülesande lahendamise protsessile teoreetiline osa, milles tutvume mänguteooria mõistetega koostööl põhinevate (mittekoostööliste) mängude lahendamisel. Selle ülesande jaoks soovitab mänguteooria:

iseloomulik funktsioon (lihtsamalt öeldes peegeldab see mängijate koalitsiooni ühendamise kasu suurust);
aditiivsuse mõiste (suuruste omadus, mis seisneb selles, et kogu objektile vastava suuruse väärtus võrdub selle osadele vastavate suuruste väärtuste summaga objekti teatud partitsioonide klassis osadeks) ja iseloomuliku funktsiooni superaditiivsus (kogu objektile vastava suuruse väärtus on suurem kui selle osadele vastavate suuruste väärtuste summa).

Iseloomuliku funktsiooni superaditiivsus viitab sellele, et koalitsiooniga liitumine on mängijatele kasulik, kuna sel juhul kasvab koalitsiooni väljamakse väärtus mängijate arvuga.

Mängu vormistamiseks peame ülaltoodud mõistete jaoks kasutusele võtma formaalsed tähistused.

Mängu jaoks n tähistame kõigi selle mängijate hulka kui N= (1,2,...,n) Hulga mis tahes mittetühi alamhulk N tähistame seda kui T(kaasa arvatud ise N ja kõik ühest elemendist koosnevad alamhulgad). Saidil on õppetund " Hulgad ja toimingud hulgaga", mis avaneb lingil klõpsamisel uues aknas.

Iseloomulik funktsioon on tähistatud kui v ja selle määratluspiirkond koosneb hulga võimalikest alamhulkadest N. v(T) – konkreetse alamhulga iseloomuliku funktsiooni väärtus, näiteks koalitsiooni poolt saadud tulu, mis võib sisaldada ka ühest mängijast koosnevat koalitsiooni. See on oluline, kuna mänguteooria nõuab superaditiivsuse olemasolu kontrollimist kõigi mitteühendatud koalitsioonide iseloomulike funktsioonide väärtuste jaoks.

Kahe mittetühja alamhulga koalitsiooni jaoks T1 Ja T2 Kooperatiivse (koalitsiooni)mängu iseloomuliku funktsiooni aditiivsus on kirjas järgmiselt:

Ja superaditiivsus on selline:

Näide 2. Kolm muusikakooli õpilast töötavad osalise koormusega erinevates klubides, nad saavad oma sissetuleku klubi külastajatelt. Tehke kindlaks, kas neil on kasulik oma jõud ühendada (kui jah, siis millistel tingimustel), kasutades mänguteooria kontseptsioone koostöömängude lahendamiseks n isikud, järgmiste lähteandmetega.

Nende keskmine õhtune tulu oli:

viiuldajal on 600 ühikut;
kitarristil on 700 ühikut;
lauljal on 900 ühikut.

Püüdes tulusid suurendada, lõid üliõpilased mitme kuu jooksul erinevaid rühmi. Tulemused näitasid, et koostööd tehes võivad nad oma õhtust tulu suurendada järgmiselt.

viiuldaja + kitarrist teenisid 1500 ühikut;
viiuldaja + laulja teenisid 1800 ühikut;
kitarrist + laulja teenisid 1900 ühikut;
viiuldaja + kitarrist + laulja teenisid 3000 ühikut.

Lahendus. Selles näites on mängijate arv mängus n= 3, seega koosneb mängu iseloomuliku funktsiooni määratluspiirkond 2³ = 8 kõigi mängijate hulga võimalikust alamhulgast. Loetleme kõik võimalikud koalitsioonid T:

ühest elemendist koosnevad koalitsioonid, millest igaüks koosneb ühest mängijast – muusikust: T{1} , T{2} , T{3} ;
kahe elemendi koalitsioon: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
kolmest elemendist koosnev koalitsioon: T{1,2,3} .

Määrame igale mängijale seerianumbri:

viiuldaja - 1. mängija;
kitarrist - 2. mängija;
laulja - 3. mängija.

Probleemandmete põhjal määrame mängule iseloomuliku funktsiooni v:

v(T(1)) = 600; v(T(2)) = 700; v(T(3)) = 900; need iseloomuliku funktsiooni väärtused määratakse vastavalt esimese, teise ja kolmanda mängija väljamaksete põhjal, kui nad ei ühine koalitsiooniks;

v(T(1,2)) = 1500; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; need iseloomuliku funktsiooni väärtused määravad iga koalitsiooni ühendatud mängijate paari tulud;

v(T(1,2,3)) = 3000 ; selle tunnusfunktsiooni väärtuse määrab keskmine tulu juhul, kui mängijad ühinevad kolmeks.

Seega oleme loetlenud kõik võimalikud mängijate koalitsioonid, nagu peakski olema, sest mängu iseloomuliku funktsiooni määratlusvaldkond koosneb täpselt kõigi mängijate komplekti kaheksast võimalikust alamhulgast. Seda nõuab mänguteooria, kuna peame kontrollima superaditiivsuse olemasolu kõigi mitteühendatud koalitsioonide iseloomulike funktsioonide väärtuste jaoks.

Kuidas on selles näites täidetud superaditiivsuse tingimused? Teeme kindlaks, kuidas mängijad moodustavad lahknevaid koalitsioone T1 Ja T2 . Kui mõned mängijad kuuluvad koalitsiooni T1 , siis on kõik teised mängijad koalitsiooni osa T2 ja definitsiooni järgi moodustatakse see koalitsioon kogu mängijate komplekti ja komplekti erinevusena T1 . Siis kui T1 - ühest mängijast koosnev koalitsioon, seejärel koalitsioonis T2 koalitsioonis on teine ja kolmas mängija T1 seal on esimene ja kolmas mängija, seejärel koalitsioon T2 koosneb ainult teisest mängijast jne.

1. Mänguteooria põhimõisted ja nende liigitus................................. 4

1.1. Mänguteooria õppeaine ja ülesanded................................................ ...................................................... 4

1.2. Mängude terminoloogia ja klassifikatsioon................................................ .............................................. 7

1.3. Mängude näited................................................. ...................................................... ...................... 12

Testid................................................................ ...................................................... .............................................. 15

2. Maatriksimängud................................................ ...................................................... ............... 16

2.1. Maatriksmängu kirjeldus................................................ ...................................................... 16

Mänguteooria on konfliktsituatsioonide matemaatiline teooria.

Mänguteooria eesmärk - soovituste väljatöötamine konfliktis osalejate mõistliku käitumise kohta (mängijate käitumise optimaalsete strateegiate määramine).

Mäng erineb tõelisest konfliktist selle poolest, et seda mängitakse kindlate reeglite järgi. Need reeglid määravad kindlaks käikude jada, kummalgi poolel oleva teabe hulga teise käitumise kohta ja mängu tulemuse olenevalt hetkeolukorrast. Reeglid kehtestavad ka mängu lõpu, kui teatud liigutuste jada on juba tehtud ja rohkem käike ei ole lubatud.

Mänguteoorial, nagu igal matemaatilisel mudelil, on omad piirangud. Üks neist on oponentide täieliku (“ideaalse”) ratsionaalsuse oletus. Tõelise konflikti korral on sageli optimaalne strateegia arvata, kuidas vaenlane on "loll" ja kasutada seda rumalust enda huvides.

Mänguteooria puuduseks on ka see, et iga mängija peab teadma vastase kõiki võimalikke tegevusi (strateegiaid), pole teada, millist neist ta antud mängus kasutab. Tõelises konfliktis see tavaliselt nii ei ole: vaenlase kõigi võimalike strateegiate loend on täpselt teadmata ja konfliktiolukorras on sageli parim lahendus vaenlasele teadaolevate strateegiate piiridest väljumine. uimastamist” teda millegi täiesti uue, ennenägematuga.

Mänguteooria ei sisalda riskielemente, mis reaalsetes konfliktides mõistlike otsustega paratamatult kaasnevad. See määrab konflikti osapoolte kõige ettevaatlikuma, “edasikindlustuse” käitumise.

Lisaks leitakse mänguteoorias optimaalsed strateegiad ühe näitaja (kriteeriumi) alusel. Praktilistes olukordades on sageli vaja arvestada mitte ühe, vaid mitme numbrilise kriteeriumiga. Strateegia, mis on ühe näitaja jaoks optimaalne, ei pruugi olla optimaalne teiste jaoks.

Teades neid piiranguid ja seetõttu mitte pimesi järgides mänguteooriate soovitusi, on siiski võimalik paljude reaalsete konfliktiolukordade jaoks välja töötada täiesti vastuvõetav strateegia.

Praegu tehakse teadusuuringuid, mille eesmärk on mänguteooria rakendusalade laiendamine.

1.2. Mängude terminoloogia ja klassifikatsioon

Mänguteoorias eeldatakse, et mäng koosneb liigub , mida esitavad mängijad samaaegselt või järjestikku.

On käike isiklik Ja juhuslik . Liikumist nimetatakse isiklik , kui mängija valib selle teadlikult võimalike toimingute valikute hulgast ja viib selle läbi (näiteks mis tahes käik malemängus). Liikumist nimetatakse juhuslik , kui selle valiku teeb mitte mängija, vaid mingi juhusliku valiku mehhanism (näiteks mündi viskamise tulemuste põhjal).

Mängijate poolt mängu algusest lõpuni tehtud käikude komplekti nimetatakse pidu .

Üks mänguteooria põhimõisteid on strateegia mõiste. strateegia Mängija on reeglite kogum, mis määrab iga isikliku käigu jaoks tegevuse valiku, olenevalt mängu ajal tekkivast olukorrast. Lihtsates (ühe käiguga) mängudes, kui mängija saab igas mängus teha ainult ühe käigu, langevad strateegia kontseptsioon ja võimalik tegevussuund kokku. Sel juhul hõlmab mängija strateegiate komplekt kõiki tema võimalikke tegevusi ja kõiki mängija jaoks võimalikke tegevusi i tegevus on tema strateegia. Keerulistes (mitme käiguga) mängudes võivad mõisted “võimalike toimingute valik” ja “strateegia” üksteisest erineda.

Mängija strateegiat nimetatakse optimaalseks, kui see annab antud mängijale mängu mitmekordsel kordamisel maksimaalse võimaliku keskmise võidu või minimaalse võimaliku keskmise kaotuse, olenemata sellest, milliseid strateegiaid vastane kasutab. Kasutada võib ka muid optimaalsuse kriteeriume.

Võimalik, et maksimaalset võimendust tagaval strateegial puudub teine oluline optimaalsuse esitus, näiteks lahenduse stabiilsus (tasakaal). Mängulahendus on stabiilne (tasakaal), kui sellele lahendusele vastavad strateegiad moodustavad olukorra, mille muutmisest pole huvitatud ükski mängija.

Kordame üle, et mänguteooria ülesanne on leida optimaalsed strateegiad.

Mängude klassifikatsioon on toodud joonisel fig. 1.1.

1.Sõltuvalt liigutuste tüüpide kohta Mängud jagunevad strateegilisteks ja hasartmängudeks. Hasartmängud mängud koosnevad ainult juhuslikest käikudest – mänguteooria nendega ei tegele. Kui juhuslike käikude kõrval on ka isiklikud käigud või kõik käigud on isiklikud, siis selliseid mänge nimetatakse strateegiline .

2. Olenevalt osalejate arvust mängud jagunevad paaris- ja mitmeks. Leiliruumis mängus osalejate arv on kaks, mitmuses - rohkem kui kaks.

3. Mitmikmängus osalejad võivad moodustada koalitsioone, nii alalisi kui ajutisi. Loodus mängijatevahelised suhted, mängud jagunevad koostöövabadeks, koalitsioonilisteks ja kooperatiivseteks.

Mittekoalitsiooniline Need on mängud, kus mängijatel ei ole õigust sõlmida kokkuleppeid ega moodustada koalitsioone ning iga mängija eesmärk on saada võimalikult suur individuaalne võit.

Mänge, kus mängijate tegevuse eesmärk on maksimeerida rühmade (koalitsioonide) võitu ilma nende hilisema mängijate vahel jagunemiseta, nimetatakse koalitsioon .

https://pandia.ru/text/78/553/images/image002_69.gif" width="509" height="75">

https://pandia.ru/text/78/553/images/image006_35.gif" width="509" height="108">

Riis. 1.1. Mängude klassifikatsioon

Tulemus ühistu Mäng on koalitsiooni võitude jagamine, mis ei teki mängijate teatud tegude, vaid nende etteantud kokkulepete tulemusena.

Selle kohaselt ei võrrelda koostöömängudes eelistuste järgi olukordi, nagu mittekoostöölistes mängudes, vaid jagunemisi; ja see võrdlus ei piirdu üksikute võitude arvestamisega, vaid on keerulisem.

4. Strateegiate arvu järgi iga mängija jaoks on mängud jagatud lõplikeks (iga mängija strateegiate arv on lõplik) ja lõputu (iga mängija strateegiate hulk on lõpmatu).

5. Infohulga järgi , mis on mängijatele saadaval seoses varasemate käikudega, mängud on jagatud mängudeks täielik teave (kogu info eelmiste käikude kohta on olemas) ja puudulik teave . Täieliku teabega mängud on näiteks male, kabe jne.

6. Kirjelduse tüübi järgi mängud jagunevad positsioonimängudeks (või mängudeks laiendatud kujul) ja tavavormis mängudeks. Positsiooniline mängud on määratud mängupuu kujul. Kuid igasugust positsioonilist mängu saab vähendada normaalsele kujule , kus iga mängija teeb ainult ühe iseseisva käigu. Positsiooniliselt Mängudes tehakse käigud diskreetsetel ajahetkedel. Olemas diferentsiaal mängud, kus käike tehakse pidevalt. Need mängud uurivad kontrollitava objekti tagaajamise probleemi teise kontrollitava objekti poolt, võttes arvesse nende käitumise dünaamikat, mida kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid.

Samuti on olemas peegeldav mängud, mis arvestavad olukordi, võttes arvesse vaenlase võimaliku tegevussuuna ja käitumise vaimset taastootmist.

7. Kui mõne mängu igal võimalikul mängul on null võitu f i, https://pandia.ru/text/78/553/images/image009_21.gif" width="60 height=45" height="45">), siis räägitakse mängust null summa . Muidu nimetatakse mänge mängudeks nullist erineva summaga .

Ilmselgelt on nullsumma paaride mäng antagonistlik , kuna ühe mängija võit on võrdne teise kaotusega ja seetõttu on nende mängijate eesmärgid otse vastupidised.

Nimetatakse lõpliku nullsumma paaride mängu maatriks mängu. Sellist mängu kirjeldab väljamakse maatriks, milles määratakse esimese mängija võidud. Maatriksi rea number vastab esimese mängija rakendatud strateegia numbrile, veerg - teise mängija rakendatud strateegia numbrile; rea ja veeru ristumiskohas on esimese mängija vastav kasum (teise mängija kaotus).

Nimetatakse lõpliku nullist erineva summa mäng bimaatriks mängu. Sellist mängu kirjeldavad kaks väljamaksemaatriksit, kumbki vastava mängija jaoks.

1.3. Näited mängudest

Mäng 1. Test

Mängijal 1 olgu testiks valmistuv õpilane ja 2. mängijal testi sooritav õpetaja. Eeldame, et õpilasel on kaks strateegiat: A1 - valmistuge testiks hästi; A2 – pole ette valmistatud. Õpetajal on ka kaks strateegiat: B1 - testi sooritamine; B2 – ära anna krediiti. Mängijate väljamaksete väärtuste hindamise aluseks võivad olla näiteks järgmised kaalutlused, mis kajastuvad väljamakse maatriksites


	(hinnatud)		(Kõik on korras)	(näitas ebaõiglust)
	(õnnestus öelda)	(sai, mis ta ära teenis)	(lase end petta)	(õpilane tuleb uuesti)
Õpilaste võidud	Õpetaja võidud

See mäng on vastavalt ülaltoodud klassifikatsioonile strateegiline, paaris, koostöövõimetu, piiratud, tavavormis kirjeldatud, nullist erineva summaga. Lühidalt võib seda mängu nimetada bimatrixiks.

Ülesanne on määrata õpilase ja õpetaja jaoks optimaalsed strateegiad.

Mäng 2. Morra

Mäng “morra” on mäng mis tahes arvu inimestega, kus kõik mängijad näitavad (“viskavad välja”) korraga teatud arvu sõrmi. Igale olukorrale määratakse võidud, mille selles olukorras olevad mängijad saavad "pangast". Näiteks võidab iga mängija tema näidatud sõrmede arvu, kui kõik teised mängijad näitasid erinevat numbrit; kõigil muudel juhtudel ei võida ta midagi. Vastavalt ülaltoodud klassifikatsioonile on see mäng strateegiline; üldjuhul mitmekordne (sel juhul võib mäng olla mittekoostööline, koalitsiooniline ja kooperatiivne) lõplik.

Konkreetsel juhul, kui mäng on paaris, on see maatriksmäng (maatriksmäng on alati antagonistlik).

Laske kahel mängijal korraga üks, kaks või kolm sõrme "viskama". Kui summa on paaris, võidab esimene mängija ja kui summa on paaritu, võidab teine mängija. Võidud on võrdsed “visatud sõrmede” summaga. Seega on sel juhul igal mängijal kolm strateegiat ja esimese mängija võitude (teise mängija kaotuste) maatriks on järgmine:

kus A i- esimese mängija strateegia, mis seisneb "väljaviskamises" i sõrmed;

IN j- teise mängija strateegia, mis seisneb "väljaviskamises" j sõrmed.

Mida peaks iga mängija tegema, et tagada maksimaalne võit?

Mäng 3. Võitlus turgude pärast

Teatud ettevõte A, kelle käsutuses on 5 tavapärast rahaühikut, püüab hoida kahte samaväärset müügiturgu. Tema konkurent (ettevõte B), kelle summa on võrdne 4 tavapärase rahaühikuga, üritab ettevõtet A ühelt turult välja tõrjuda. Iga konkurent saab vastava turu kaitsmiseks ja vallutamiseks eraldada terve arvu oma vahendite osakuid. Arvatakse, et kui ettevõte A eraldab vähemalt ühe turu kaitsmiseks vähem vahendeid kui ettevõte B, siis ta kaotab ja kõigil muudel juhtudel võidab. Olgu ettevõtte A kasum 1 ja kaotus võrdne (-1), siis taandatakse mäng maatriksmänguks, mille puhul ettevõtte A võitude maatriks (firma B kaotused) on järgmine:

Siin A i– ettevõtte A strateegia, mis seisneb eraldumises i tavapärased rahaühikud esimese turu kaitsmiseks; IN j– ettevõtte B strateegia, mis seisneb eraldamises j konventsionaalsed rahaühikud, et vallutada esimene turg.

Kui ettevõtted saaksid turgude kaitsmiseks või vallutamiseks eraldada mis tahes olemasolevaid vahendeid, muutuks mäng lõputuks.

TESTID

(V – õige, N – vale)

1. Iga konfliktsituatsioon on antagonistlik.

2. Iga vastandlik olukord on konflikt.

4. Mänguteooria miinuseks on eeldus, et vastased on täiesti intelligentsed.

5. Mänguteooria eeldab, et kõiki võimalikke vastase strateegiaid ei teata.

6. Mänguteooria sisaldab riskielemente, mis reaalsetes konfliktides paratamatult kaasnevad mõistlike otsustega.

7. Mänguteoorias toimub optimaalse strateegia leidmine paljude kriteeriumide järgi.

8. Strateegiamängud koosnevad ainult isiklikest käikudest.

9. Paarismängus on iga osaleja strateegiate arv kaks.

10. Koalitsioonimängudeks nimetatakse mänge, kus mängijate tegevused on suunatud koalitsioonide võitude maksimeerimisele ilma nende hilisema mängijate vahel jagamiseta.

11. Ühismängu tulemuseks on koalitsiooni võitude jagamine, mis ei tulene mitte mängijate teatud tegude, vaid nende etteantud kokkulepete tulemusena.

12. Mängude kirjelduste tüübi järgi jagunevad need täieliku teabega või puuduliku teabega mängudeks.

13. Lõpliku mitme nullsummaga mängu nimetatakse maatriksmänguks.

14. Lõpliku nullsumma paarimängu nimetatakse bimaatriksmänguks.

(Vastused: 1-N; 2-B; 3-B; 4-B; 5-N; 6-N; 7-N; 8-N; 9-N; 10-B; 11-B; 12-N 13-N;

2. MAATRIKSMÄNGUD

2.1. Maatriksmängu kirjeldus

Enim arenenud mänguteooria on lõplik nullsumma paarismäng (kahe inimese või kahe koalitsiooni antagonistlik mäng), mida nimetatakse maatriksmänguks.

Mõelge sellele mängule G, milles osaleb kaks mängijat A Ja IN vastandlike huvidega: ühe mängija võit võrdub teise kaotusega. Alates mängija tasumisest A võrdne mängija võidusummaga IN vastupidise märgiga saame olla huvitatud ainult võitudest A mängija A. Loomulikult mängija A tahab maksimeerida A ja mängija IN- minimeerida A. Eesnäärme puhul samastagem end vaimselt ühe mängijaga (olgu see mängija A), siis helistame mängijale IN- "vaenlane" (muidugi mõned tõelised eelised A sellest ei tulene).

Igas olukorras järgime teatud strateegiat. See juhtub tavaliselt alateadlikult, sellest ka sagedased vead. Saate neid vältida, kui õpite teise inimese tegusid ära arvama.

Võtke näiteks tutvumine. Me kõik valime ühe põhistrateegia: püüame varjata negatiivseid iseloomuomadusi ja näidata positiivseid.

Praegu ma ei ütle teile, et mulle meeldib igal õhtul õllega diivanil lebada. Ma ütlen teile, kui ta saab mind paremini tundma ja mõistab, et mul on muidu kõik korras.
Pavel, diivaniekspert

Selline strateegia ei ole pigem vale, vaid vaikimine.

Näide

Kujutage ette olukorda: mees ja naine on käinud juba mitu kuud ja üks päev... Mehel on väike korter, seega on loogiline, et räägime naise korterisse kolimisest.

Peab ütlema, et mees töötab majandusteadlasena. Ta analüüsis olukorda ja mõistis, et korteri üürimisest keeldumine pole veel kasulik. Nüüd maksab ta vähe raha ja kui suhe puruneb, ei leia ta sama head varianti. Naine, saanud sellest teada, lahkub kohe härrasmehe juurest.

Mida see paar valesti tegi? Majanduslikust aspektist olukorra õigesti arvutanud mees ei võtnud arvesse psühholoogilist tegurit. Naine tajus korteriga tehtud žesti kavatsuste kergemeelsusena. Kuid ta ei mõelnud sellele, et tema majandusteadlasest poiss-sõber teeb seetõttu otsuseid peamiselt "kasumliku või kahjumliku" positsioonilt. Seega kaotasid selle mängu mõlemad osalejad.

Mida teha

Arvutage mitte ainult oma tegevusi, vaid ka teiste inimeste reaktsioone. Küsige endalt sageli: kuidas saate minu tegevust tõlgendada? Nõuanded eelkõige meestele: selgitage oma tegusid ja pidage meeles, et igasugune tagasihoidlikkus on teie teisel poolel põhjus fantaseerimiseks. Strateegiline mõtlemine pole ainult matemaatika, vaid ka psühholoogia!

2. Mäng 90 punktile

Mõistatused, ülesanded ja loogika pole pärast mänguteooria õppimist enam probleemiks. Õpid otsima kõiki olemasolevaid vastusevariante ja valima nende hulgast sobivaima.

Näide

Kaks üliõpilast palusid professoril eksamit edasi lükata. Nad rääkisid südantlõhestava loo, kuidas nad läksid nädalavahetuseks teise linna, kuid tagasiteel purunes neil rehv. Nad pidid kogu öö abi otsima, nii et nad ei saanud piisavalt magada ega tundnud end hästi. (Tegelikult tähistasid sõbrad sessiooni lõppu ja see eksam oli viimane ja mitte kõige raskem.)

Professor nõustus. Järgmisel päeval pani ta õpilased erinevatesse klassiruumidesse istuma ja ulatas paberi, millel oli vaid kaks küsimust. Esimene maksis vaid 10 punkti ja teine 90 ning kõlas nii: "Milline rehv on tühi?"

Kui toetuda loogikale, siis on vastus "Parem esiratas": paremal pool, teeservale lähemal, on kõige sagedamini ümberringi praht, mis esimesena pihta saab. esirehv. Aga ära kiirusta.

Sellises olukorras on oluline anda mitte niivõrd õige (loogiline) vastus, vaid vastus, mis kirjutatakse sõbra paberile.

Seetõttu on ilmne, et mõlemad õpilased teevad oletusi, lähtudes eeldusest, et teine arvab.

Võime mõelda nii: kas õpilastel on ühe rattaga midagi ühist? Võib-olla aasta tagasi pidid nad juba koos rehvi vahetama. Või on üks rehv värviga määritud ja sellest teavad mõlemad õpilased. Kui selline hetk leitakse, tasub see valik valida. Isegi kui mõni teine õpilane pole mänguteooriaga kursis, võib ta seda juhtumit meeles pidada ja õigele rattale osutada.

Mida teha

Oma arutlustes toetuge mitte ainult loogikale, vaid ka eluoludele. Pidage meeles: mitte kõik, mis on teie jaoks loogiline, pole loogiline ka kellegi teise jaoks. Kaasake sõpru ja perekonda sagedamini mõtlemismängudesse. See võimaldab teil mõista, kuidas teie lähedased inimesed mõtlevad, ja vältida tulevikus keerulisi olukordi, nagu ülaltoodud näites.

3. Endaga mängimine

Teadmised strateegiliste mängude kohta aitavad teil oma otsuseid sügavamalt analüüsida.

Näide

Teatud Olga otsustab, kas ta peaks proovima suitsetamist või mitte.

Mängupuu

Pildil on nn mängupuu: see on kasulik joonistada iga kord, kui on vaja otsust langetada. Selle puu oksad on sündmuste arendamise võimalused. Numbrid (0, 1 ja -1) on võidud, st kas mängija saab võitjaks, kui ta valib ühe või teise variandi.

Nii et kust alustada. Kõigepealt peate otsustama, milline lahendus on parim ja halvim. Oletame, et Olga parim asjade käik on suitsetamist proovida, kuid mitte jätkata. Määrame sellele valikule väljamakse 1 (alumise vasaku haru esimene number). Halvimal juhul jääb neiul suitsetamisest sõltuvusse: määrame sellele valikule väljamakse -1 (alumise parempoolse haru esimene number). Seega saab 0 puuoks, millel on võimalus suitsetamist üldse mitte proovida.

Oletame, et Olga otsustas suitsetamist proovida. Mis järgmiseks? Kas ta loobub või mitte? Selle otsustab Tulevane Olga, pildil, kus ta siseneb mängu haru “Proovi”. Kui tal on juba tekkinud sõltuvus, ei taha ta suitsetamisest loobuda, nii et valiku „Jätka” puhul määrame võiduks 1 (alumise parempoolse haru teine number).

Mida me saame? Tänasele Olgale tuleb kasuks see, kui ta proovib suitsetada, kuid ei jää sõltuvusse. Ja see omakorda sõltub Tulevast Olgast, kelle jaoks on suitsetamine tulusam (ta on suitsetanud üsna pikka aega, mis tähendab, et tal on sõltuvus, seetõttu ei taha ta suitsetamisest loobuda). Nii et kas see on riski väärt? Võib-olla mängida viiki: saada 0 võit ja mitte üldse suitsetada?

Mida teha

Strateegiat saab arvutada mitte ainult mängus kellegagi, vaid ka mängus iseendaga. Proovige joonistada mängupuu ja vaadake, kas teie praegune otsus viib võiduni.

4. Oksjonimäng

Oksjoneid on erinevat tüüpi. Näiteks filmis “Kaksteist tooli” toimus nn inglise oksjon. Tema skeem on lihtne: võidab see, kes pakub eksponeeritud partii eest suurima summa. Tavaliselt seatakse hinna tõstmiseks minimaalne samm, muidu piiranguid pole.

Näide

"Kaksteist tooli" oksjoniepisoodis tegi Ostap Bender strateegilise vea. Pärast pakkumist 145 rubla partii kohta tõstis ta kohe hinna kahesajale.

Mänguteooria seisukohalt oleks Ostap pidanud panust tõstma, kuid seda minimaalselt, kuni konkurente enam ei jäänud. Nii sai ta raha kokku hoida ja mitte hätta sattuda: Ostapil jäi vahendustasu maksmisest puudu 30 rubla.

Mida teha

On mänge, näiteks oksjon, mida tuleb mängida ainult peaga. Otsustage eelnevalt oma taktika ja mõelge maksimaalse summa peale, mille olete nõus kauba eest maksma. Pühendu endale piire mitte ületada. See samm aitab teil põnevusega toime tulla, kui see teid ootamatult ületab.

5. Mängimine ebaisikulisel turul

Isikupäratu turg hõlmab panku, kindlustusfirmasid, töövõtjaid ja konsulaate. Üldiselt need mängus osalejad, kellel ei ole ees- ja perekonnanime. Need on isikupäratud, kuid on ekslik arvata, et mänguteooria reeglid nende kohta ei kehti.

Näide

Maxim pöördub panga poole lootuses saada laenu. Tema krediidiajalugu pole täiuslik: kaks aastat tagasi keeldus ta kuue kuu jooksul järjekordset laenu tagasi maksmast. Dokumente vastu võtnud töötaja ütleb, et suure tõenäosusega Maxim laenu ei saa.

Seejärel küsib Maxim luba dokumentide kohaletoimetamiseks. Ta toob haiglast väljavõtte, mis kinnitab, et tema isa oli selle kuue kuu jooksul raskelt haige. Maxim kirjutab avalduse, milles toob välja eelmise laenu tagasimaksmisega viivitamise põhjused (raha oli vaja tema isa raviks). Ja mõne aja pärast saab ta uue laenu.

Mida teha

Kui tegelete isikupäratute mängijatega, pidage alati meeles, et nende taga on isiksused. Mõelge välja, kuidas oma vastased mängu meelitada, ja määrake oma reeglid.

Mänguteooria on uus teadus, kuid seda õpitakse juba maailma parimates ülikoolides. Kirjastus "MYTH" andis välja õpiku "Strateegilised mängud". See on kasulik, kui soovite õppida, kuidas analüüsida iga oma tegevust, teha teadlikke otsuseid ja mõista paremini mitte ainult teisi, vaid ka iseennast.

Selle peatüki õppimise tulemusena peaks õpilane:

tea

Dominantsi printsiibil põhinevate mängude kontseptsioonid, Nashi tasakaal, mis on tagurpidi induktsioon jne; kontseptuaalsed lähenemised mängu lahendamisele, ratsionaalsuse ja tasakaalu mõiste tähendus interaktsioonistrateegia raames;

suutma

Eristage mänge strateegilistes ja üksikasjalikes vormides, ehitage "mängupuu"; sõnastada konkurentsi mängumudelid erinevat tüüpi turgude jaoks;

oma

Mängu tulemuste määramise meetodid.

Mängud: põhimõisted ja põhimõtted

Esimese katse luua matemaatiline mängude teooria tegi 1921. aastal E. Borel. Iseseisva teadusvaldkonnana tutvustati mänguteooriat esmakordselt süstemaatiliselt J. von Neumanni ja O. Morgensterni monograafias “Mänguteooria ja majanduskäitumine” aastal 1944. Sellest ajast saadik on paljud majandusteooria harud (näiteks teooria ebatäiuslik konkurents, majanduslike stiimulite teooria jne) .) arenenud tihedas kokkupuutes mänguteooriaga. Mänguteooriat kasutatakse edukalt ka sotsiaalteadustes (näiteks hääletusprotseduuride analüüs, tasakaalumõistete otsimine, mis määravad indiviidide koostöö- ja koostöövõimetu käitumise). Valijad eelistavad tavaliselt kandidaate, kes esindavad äärmuslikke seisukohti, kuid kahest erinevat kompromissi pakkuvast kandidaadist ühe valimisel käib võitlus. Isegi Rousseau idee evolutsioonist "loomulikust vabadusest" "kodanikuvabaduseks" vastab formaalselt mänguteooria seisukohalt koostöö vaatepunktile.

Mäng on idealiseeritud matemaatiline mudel mitme indiviidi (mängija) kollektiivsest käitumisest, kelle huvid on erinevad, mis tekitab konflikte. Konflikt ei tähenda tingimata antagonistlike vastuolude olemasolu osapoolte vahel, vaid on alati seotud mingisuguse lahkarvamusega. Konfliktsituatsioon on antagonistlik, kui ühe poole võidu kasv teatud summa võrra toob kaasa teise poole võidu vähenemise sama palju ja vastupidi. Huvide antagonism tekitab konflikti ja huvide kokkulangevus taandab mängu tegevuste koordineerimisele (koostööle).

Konfliktsituatsiooniks on näiteks olukorrad, mis tekivad ostja ja müüja suhetes; erinevate ettevõtete vahelise konkurentsi tingimustes; lahingutegevuse ajal jne. Mängudeks on näiteks tavalised mängud: male, kabe, kaardid, saalimängud jne (sellest ka nimetus “mänguteooria” ja selle terminoloogia).

Enamikus mängudes, mis tulenevad finants-, majandus- ja juhtimisolukordade analüüsist, ei ole mängijate (poolte) huvid rangelt antagonistlikud ega kattuvad absoluutselt. Ostja ja müüja nõustuvad, et ostu-müügis kokku leppimine on nende vastastikustes huvides, kuid nad peavad jõuliselt läbirääkimisi konkreetse hinna üle vastastikuse kasu piires.

Mänguteooria on konfliktsituatsioonide matemaatiline teooria.

Mänguteoorial, nagu igal matemaatilisel mudelil, on omad piirangud. Üks neist on vastaste täieliku (ideaalse) intelligentsuse oletus. Tõelise konflikti korral on sageli parim strateegia arvata, milles vaenlane loll on, ja kasutada seda rumalust enda huvides.

Mänguteooria puuduseks on ka see, et iga mängija peab teadma vastase kõiki võimalikke tegevusi (strateegiaid), pole teada, millist neist ta antud mängus kasutab. Reaalses konfliktis see tavaliselt nii ei ole: vaenlase kõigi võimalike strateegiate nimekiri on täpselt teadmata ja konfliktiolukorras on sageli parim lahendus vaenlasele teadaolevate strateegiate piiridest väljumine. "uimastama" teda millegi täiesti uue, ettenägematuga.

Mänguteooria ei sisalda riskielemente, mis reaalsetes konfliktides mõistlike otsustega paratamatult kaasnevad. See määrab konflikti osapoolte kõige ettevaatlikuma edasikindlustuskäitumise.

Teades neid piiranguid ja seetõttu mitte pimesi järgides mänguteooriate soovitusi, on siiski võimalik välja töötada täiesti vastuvõetav strateegia paljude tegelike konfliktiolukordade jaoks.

Praegu tehakse teadusuuringuid, mille eesmärk on mänguteooria rakendusalade laiendamine.

Kirjandusest leiate järgmised mängu moodustavate elementide määratlused.

Mängijad- need on interaktsiooniga seotud subjektid, mis on esindatud mängu kujul. Meie puhul on need leibkonnad, ettevõtted ja valitsus. Väliste asjaolude ebakindluse korral on aga üsna mugav kujutada mängu juhuslikke, mängijate käitumisest sõltumatuid komponente “looduse” tegudena.

Mängu reeglid. Mängureeglid viitavad mängijatele saadaolevatele toimingute või käikude komplektidele. Sel juhul võivad tegevused olla väga mitmekesised: ostjate otsused ostetavate kaupade või teenuste mahu kohta; ettevõtted - tootmismahtude kohta; valitsuse kehtestatud maksude tase.

Mängu tulemuse (tulemuse) kindlaksmääramine. Iga mängija toimingute kombinatsiooni puhul määratakse mängu tulemus peaaegu mehaaniliselt. Tulemuseks võib olla: tarbijakorvi koosseis, ettevõtte toodangu vektor või muude kvantitatiivsete näitajate kogum.

Võidud. Võidu mõiste tähendus võib eri tüüpi mängude puhul erineda. Sel juhul on vaja selgelt eristada järguskaalal mõõdetud kasu (näiteks kasulikkuse tase) ja väärtusi, mille puhul on intervallide võrdlemine mõttekas (näiteks kasum, heaolu tase).

Info ja ootused. Ebakindlusel ja pidevalt muutuval teabel võib olla äärmiselt tõsine mõju suhtluse võimalikele tulemustele. Seetõttu tuleb mängu arendamisel arvestada info rolliga. Sellega seoses kerkib esiplaanile kontseptsioon teabekomplekt mängija, st. kogu teave mängu seisu kohta, mis tal ajahetkedel on.

Arvestades mängijate juurdepääsu teabele, on intuitiivne idee jagatud teadmistest või reklaam, mis tähendab järgmist: fakt on üldiselt teada, kui kõik mängijad on sellest teadlikud ja kõik mängijad teavad, et ka teised mängijad teavad sellest.

Juhtudel, kui üldteadmiste mõiste rakendamisest ei piisa, siis indiviidi mõiste ootustele osalejad - ideed selle kohta, kuidas mängu olukord selles etapis on.

Mänguteoorias eeldatakse, et mäng koosneb liigub, mängijad esitavad samaaegselt või järjestikku.

Liigutused on isiklikud ja juhuslikud. Liikumist nimetatakse isiklik, kui mängija valib selle teadlikult võimalike tegevusvariantide hulgast ja viib selle läbi (näiteks mis tahes käik malemängus). Liikumist nimetatakse juhuslik, kui selle valiku teeb mitte mängija, vaid mingi juhusliku valiku mehhanism (näiteks mündi viskamise tulemuste põhjal).

Mängijate poolt mängu algusest lõpuni tehtud käikude komplekti nimetatakse pidu.

Üks mänguteooria põhimõisteid on strateegia mõiste. strateegia Mängija on reeglite kogum, mis määrab iga isikliku käigu jaoks tegevuse valiku, olenevalt mängu ajal tekkivast olukorrast. Lihtsates (ühe käiguga) mängudes, kui mängija saab igas mängus teha ainult ühe käigu, langevad strateegia kontseptsioon ja võimalik tegevussuund kokku. Sel juhul hõlmab mängija strateegiate komplekt kõiki tema võimalikke tegevusi ja kõiki mängija jaoks võimalikke tegevusi i tegevus on tema strateegia. Keerulistes (mitme käiguga mängudes) võivad mõisted “võimalike toimingute valik” ja “strateegia” üksteisest erineda.

Mängija strateegiat nimetatakse optimaalne, kui see annab antud mängijale mitu mängukordust maksimaalse võimaliku keskmise võidu või minimaalse võimaliku keskmise kaotuse, olenemata sellest, milliseid strateegiaid vastane kasutab. Kasutada võib ka muid optimaalsuse kriteeriume.

Võimalik, et maksimaalset võimendust tagaval strateegial puudub teine oluline optimaalsuse esitus, näiteks lahenduse stabiilsus (tasakaal). Mängu lahendus on jätkusuutlik(tasakaal), kui sellele otsusele vastavad strateegiad moodustavad olukorra, mille muutmisest ükski mängijatest ei ole huvitatud.

Kordame üle, et mänguteooria ülesanne on leida optimaalsed strateegiad.

Mängude klassifikatsioon on toodud joonisel fig. 8.1.

1. Sõltuvalt käikude tüübist jagunevad mängud strateegilisteks ja hasartmängudeks. Hasartmängud mängud koosnevad ainult juhuslikest käikudest, millega mänguteooria ei tegele. Kui juhuslike käikude kõrval on ka isiklikud käigud või kõik käigud on isiklikud, siis selliseid mänge nimetatakse strateegiline.
2. Sõltuvalt mängijate arvust jagunevad mängud paaris- ja mitmikmängudeks. IN paarismäng osalejate arv on kaks, in mitmekordne- rohkem kui kaks.
3. Mitmikmängus osalejad võivad moodustada koalitsioone, nii alalisi kui ajutisi. Mängijatevaheliste suhete olemuse järgi jagunevad mängud mittekoalitsioonilisteks, koalitsioonilisteks ja koostöölisteks.

Mittekoalitsiooniline Need on mängud, kus mängijatel ei ole õigust sõlmida kokkuleppeid ega moodustada koalitsioone ning iga mängija eesmärk on saada võimalikult suur individuaalne võit.

Mänge, kus mängijate tegevuse eesmärk on maksimeerida rühmade (koalitsioonide) võitu ilma nende hilisema mängijate vahel jagunemiseta, nimetatakse koalitsioon.

Riis. 8.1.

Tulemus ühistu Mäng on koalitsiooni võitude jagamine, mis ei teki mängijate teatud tegude, vaid nende etteantud kokkulepete tulemusena.

4. Vastavalt iga mängija strateegiate arvule jagatakse mängud lõplik(iga mängija strateegiate arv on piiratud) ja lõputu(iga mängija strateegiate hulk on lõpmatu).
5. Vastavalt sellele, kui palju on mängijatele teavet varasemate käikude kohta, jagatakse mängud mängudeks täielik teave(kogu info eelmiste käikude kohta on olemas) ja puudulik teave. Täieliku teabega mängud on näiteks male, kabe jne.
6. Mängukirjelduste tüübi järgi jaotatakse need positsioonimängudeks (või mängudeks laiendatud kujul) ja tavavormis mängudeks. Positsioonimängud on antud mängupuu kujul. Kuid igasugust positsioonilist mängu saab taandada normaalne vorm, kus iga mängija teeb ainult ühe iseseisva käigu. Positsioonimängudes tehakse käigud diskreetsetel ajahetkedel. Olemas diferentsiaalmängud, milles käike tehakse pidevalt. Need mängud uurivad kontrollitava objekti tagaajamise probleemi teise kontrollitava objekti poolt, võttes arvesse nende käitumise dünaamikat, mida kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid.

Samuti on olemas peegeldavad mängud, kes arvestavad olukordi võttes arvesse vaenlase võimaliku tegevussuuna ja käitumise vaimset taastootmist.

7. Kui mõne mängu võimaliku mängu võitude summa on null N mängijad(), siis räägime sellest nullsumma mäng. Muidu mänge kutsutakse nullist erineva summaga mängud.

Ilmselgelt on nullsumma paaride mäng antagonistlik, kuna ühe mängija võit on võrdne teise kaotusega ja seetõttu on nende mängijate eesmärgid otse vastupidised.

Nimetatakse lõpliku nullsumma paaride mängu maatriksmäng. Sellist mängu kirjeldab väljamakse maatriks, milles määratakse esimese mängija võidud. Maatriksi rea number vastab esimese mängija rakendatud strateegia numbrile, veerg – teise mängija rakendatud strateegia numbrile; rea ja veeru ristumiskohas on esimese mängija vastav kasum (teise mängija kaotus).

Nimetatakse lõpliku nullist erineva summa mäng bimatrix mäng. Sellist mängu kirjeldavad kaks väljamaksemaatriksit, kumbki vastava mängija jaoks.

Võtame järgmise näite. Mäng "Test". Mängijal 1 olgu testiks valmistuv õpilane ja 2. mängijal testi sooritav õpetaja. Eeldame, et õpilasel on kaks strateegiat: A1 – valmistub testiks hästi; A 2 – pole ette valmistatud. Õpetajal on ka kaks strateegiat: B1 – testi tegemine; B 2 – ära anna au. Mängijate väljamaksete väärtuste hindamise aluseks võivad olla näiteks järgmised kaalutlused, mis kajastuvad väljamaksete maatriksites:

Ülesanne on määrata õpilase ja õpetaja jaoks optimaalsed strateegiad.

Veel üks näide tuntud bimatrix mängust "Prisoner's Dilemma".

Mõlemal mängijal on kaks strateegiat: A 2 ja B 2 – agressiivse käitumise strateegiad, a A mina ja B i – rahumeelne käitumine. Oletame, et "rahu" (mõlemad mängijad on rahumeelsed) on mõlema mängija jaoks parem kui "sõda". Juhtum, kui üks mängija on agressiivne ja teine rahumeelne, on agressori jaoks tulusam. Olgu selles bimaatriksmängus mängijate 1 ja 2 väljamakse maatriksitel vorm

Mõlema mängija jaoks domineerivad agressiivsed strateegiad A2 ja B2 rahumeelsetes strateegiates A ja B v Seega on domineerivate strateegiate ainsal tasakaalul vorm (A2, B 2), st. postuleeritakse, et koostööst keeldumise tagajärjeks on sõda. Samal ajal annab tulemus (A1, B1) (maailm) mõlemale mängijale suurema väljamakse. Seega on koostöövõimetu egoistlik käitumine vastuolus kollektiivsete huvidega. Kollektiivsed huvid dikteerivad rahumeelsete strateegiate valiku. Samal ajal, kui mängijad teavet ei vaheta, on sõda kõige tõenäolisem tulemus.

Sel juhul on olukord (A1, B1) Pareto optimaalne. See olukord on aga ebastabiilne, mis toob kaasa võimaluse, et mängijad rikuvad sõlmitud kokkulepet. Tõepoolest, kui esimene mängija rikub kokkulepet, kuid teine mitte, suureneb esimese mängija väljamakse kolmeni ja teise mängija langeb nullini ja vastupidi. Lisaks kaotab iga mängija, kes ei riku kokkulepet, rohkem, kui teine mängija rikub kokkulepet, kui juhul, kui nad mõlemad rikuvad kokkulepet.

Mängul on kaks peamist vormi. Mäng ulatuslik vorm on esitatud otsustuspuu diagrammina, kus "juur" vastab mängu alguspunktile ja iga uue "haru" algus, nn. sõlm,– mängijate poolt juba tehtud toimingutega praeguses etapis saavutatud seis. Igale viimasele sõlmele - igale mängu lõpp-punktile - määratakse väljamakse vektor, iga mängija jaoks üks komponent.

Strateegiline, teisiti kutsutakse normaalne, kuju Mängu esitus vastab mitmemõõtmelisele maatriksile, kus iga mõõde (kahemõõtmelisel juhul read ja veerud) sisaldab ühe agendi võimalike toimingute komplekti.

Maatriksi eraldi lahter sisaldab väljamaksete vektorit, mis vastab mängija strateegiate antud kombinatsioonile.

Joonisel fig. 8.2 näitab mängu ulatuslikku vormi ja tabelit. 8.1 – strateegiline vorm.

Riis. 8.2.

Tabel 8.1. Mäng koos samaaegse otsustamisega strateegilises vormis

Mänguteooria komponentide klassifikatsioon on üsna üksikasjalik. Üheks üldisemaks sellise liigituse kriteeriumiks on mänguteooria jaotus mittekoostööliste mängude teooriaks, milles otsustamise subjektideks on indiviidid ise, ja koostöömängude teooriaks, milles otsustamise subjektid. -tegemine on üksikisikute rühmad või koalitsioonid.

Koostööväliseid mänge esitatakse tavaliselt tavalistes (strateegilistes) ja laiendatud (ulatuslikes) vormides.

Vorobjov N. N. Mänguteooria ökokübereetikutele. M.: Nauka, 1985.
Ventzel E.S. Operatsiooniuuringud. M.: Nauka, 1980.

Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast

1 Lugu

2 Mängu esitlus

2.1 Ulatuslik vorm
2.2 Tavaline vorm
2.3 Iseloomulik funktsioon

3 Mänguteooria rakendamine

3.1 Kirjeldus ja modelleerimine
3.2 Normatiivne analüüs (parima käitumise tuvastamine)

4 Mängude tüübid

4.1 Ühistuline ja mitteühine
4.2 Sümmeetriline ja asümmeetriline
4.3 Nullsumma ja nullist erineva summa
4.4 Paralleelne ja jada
4.5 Täieliku või mittetäieliku teabega
4.6 Mängud lõpmatu arvu sammudega
4.7 Diskreetsed ja pidevad mängud
4.8 Metamängud

Mänguteooria- matemaatiline meetod optimaalseks uurimiseks strateegiad V mängud. Mäng on protsess, milles osaleb kaks või enam osapoolt, kes võitlevad oma huvide realiseerimise eest. Igal poolel on oma eesmärk ja ta kasutab mõnda strateegiat, mis võib viia võiduni või kaotuseni – olenevalt teiste mängijate käitumisest. Mänguteooria aitab valida parimaid strateegiaid, võttes arvesse ideid teiste osalejate, nende kohta ressursse ja nende võimalikud tegevused.

Mänguteooria on osa rakendusmatemaatika, täpsemalt - operatsioonide uurimine. Kõige sagedamini kasutatakse mänguteooria meetodeid majandust, teistel veidi harvem sotsiaalteadused-sotsioloogia,politoloogia,psühholoogia,eetika ja teised. Alustades 1970. aastad aastal võeti see vastu bioloogid uurida loomade käitumist ja evolutsiooniteooriad. See on väga oluline tehisintellekt Ja küberneetika, eriti huviga intelligentsed agendid.

Mänguteooria uurimise ajalugu

Optimaalsed lahendused või strateegiad matemaatilises modelleerimises pakuti välja juba 18. sajandil. Probleemid tootmise ja hinnakujunduse tingimustes oligopolid, millest said hiljem mänguteooria õpikunäidised, peeti 19. sajandil. A. Cournot Ja J. Bertrand. 20. sajandi alguses. E. Lasker, E. Zermelo, E. Borel esitasid huvide konflikti matemaatilise teooria idee.

Matemaatiline mänguteooria pärineb neoklassikaline majandusteadus. Esmakordselt esitati teooria matemaatilisi aspekte ja rakendusi klassikalises raamatus 1944. aastalJohannes von Neumann Ja Oscar Morgenstern"Mänguteooria ja majanduslik käitumine" (Ingliseteooria kohta Mängud ja Majanduslik Käitumine).

See matemaatika valdkond on avalikus kultuuris leidnud mõningast peegeldust. IN 1998Ameerikakirjanik Ja ajakirjanikSylvia Nazar avaldas raamatu saatuse kohta John Nash, ja teadlane mänguteooria valdkonnas; ja sisse 2001 Raamatu põhjal tehti film. Mõttemängud" Mõned Ameerika telesaated, näiteks " Sõber või vaenlane", "Alias" või "NUMB3RS", viitavad oma episoodides perioodiliselt teooriale.

J. Nash aastal 1949 kirjutas ta väitekirja mänguteooriast. 45 aastat hiljem sai ta Nobeli majandusauhinna. J. Nash Pärast Carnegie Polütehnilise Instituudi lõpetamist kahe diplomiga – bakalaureuse- ja magistriõppes – astus ta sisse Princetoni ülikool kus käisin loengutel Johannes von Neumann. Tema kirjutistes J. Nash töötas välja “juhtimise dünaamika” põhimõtted. Analüüsiti esimesi mänguteooria kontseptsioone antagonistlikud mängud kui on kaotajaid ja mängijaid, kes võidavad nende arvelt. Nash töötab välja analüüsimeetodid, milles kõik osalised kas võidavad või kaotavad. Neid olukordi nimetatakse "Nashi tasakaal", ehk “koostööta tasakaal”, olukorras kasutavad osapooled optimaalset strateegiat, mis viib stabiilse tasakaalu loomiseni. Mängijatele on kasulik seda tasakaalu säilitada, kuna iga muudatus halvendab nende positsiooni. Need tööd J. Nash andis tõsiseltvõetava panuse mänguteooria arengusse ning majanduse modelleerimise matemaatilised vahendid vaadati üle. J. Nash näitab, et klassikaline lähenemine konkurentsile A. Smith, kui igaüks on iseenda jaoks, on ebaoptimaalne. Optimaalsemad strateegiad on siis, kui igaüks püüab enda jaoks paremini teha, tehes samal ajal paremini teistele.

Kuigi mänguteooria käsitles algselt majandusmudeleid, jäi see matemaatikas ametlikuks teooriaks kuni 1950. aastateni. Kuid alates 1950. aastatest. mänguteooria meetodeid hakatakse kasutama mitte ainult majanduses, vaid ka bioloogias, küberneetika,tehnoloogia,antropoloogia. ajal Teine maailmasõda ja kohe pärast seda tekkis mänguteooria vastu tõsine huvi sõjavägi, kes nägi selles võimsat aparaati strateegiliste otsuste uurimiseks.

Aastatel 1960-1970 huvi mänguteooria vastu on hääbumas, vaatamata selleks ajaks saavutatud olulistele matemaatilistele tulemustele. Alates 1980. aastate keskpaigast. algab mänguteooria aktiivne praktiline kasutamine, eriti majanduses ja juhtimises. Viimase 20-30 aasta jooksul on mänguteooria tähtsus ja huvi märgatavalt kasvanud.

Suur panus mänguteooria rakendamisse oli töö Thomas Schelling,Nobeli majanduspreemia laureaat 2005. “Konfliktistrateegia”. T. Schelling käsitleb erinevaid konfliktis osalejate käitumise “strateegiaid”. Need strateegiad langevad kokku konfliktijuhtimise taktika ja konfliktianalüüsi põhimõtetega konfliktoloogia(see on psühholoogiline distsipliin) ja konfliktide juhtimises organisatsioonis (juhtimise teooria). Psühholoogias ja teistes teadustes kasutatakse sõna “mäng” erinevates tähendustes kui matemaatikas. Mõned psühholoogid ja matemaatikud on selle termini kasutamise suhtes teistes varem väljakujunenud tähendustes skeptilised. Töös oli antud mängu kultuuriline kontseptsioon Johan HuizingaHomo Ludens(artiklid kultuuriloost), autor räägib mängude kasutamisest õigluses, kultuuris, eetikas... ütleb, et mäng on vanem kui inimene ise, kuna mängivad ka loomad. Mängu mõiste leitakse kontseptsioonist Eric Burna"Mängud, mida inimesed mängivad, inimesed, kes mängivad." Need on puhtalt psühholoogilised mängud, mis põhinevad tehingu analüüs. J. Hözingi mängukontseptsioon erineb mängu tõlgendamisest konfliktiteoorias ja matemaatilises mänguteoorias. Mänge kasutatakse ka koolitusteks ärijuhtumitel, seminaridel G. P. Štšedrovitski, organisatsioonilis-tegevusliku lähenemise rajaja. Perestroika ajal NSV Liidus G. P. Štšedrovitski mängis palju mänge Nõukogude mänedžeridega. Psühholoogilise intensiivsuse poolest olid ODI (organisatsioonitegevuse mängud) nii tugevad, et toimisid NSV Liidus toimunud muutuste võimsa katalüsaatorina. Nüüd on Venemaal terve ODI liikumine. Kriitikud märgivad ODI kunstlikku ainulaadsust. ODI aluseks oli Moskva metoodiline ring (MMK).

Matemaatiline mänguteooria areneb praegu kiiresti ja kaalutakse dünaamilisi mänge. Mänguteooria matemaatiline aparaat on aga kallis . Seda kasutatakse õigustatud ülesannete täitmiseks: poliitika, monopolide majandus ja turujõu jaotus jne. Mitmetest kuulsatest teadlastest on saanud panuse eest sotsiaal-majanduslikke protsesse kirjeldava mänguteooria arendamisse. J. Nash, tänu oma uurimistööle mänguteooria vallas on temast saanud üks juhtivaid eksperte "külm sõda", mis kinnitab probleemide ulatust, millega mänguteooria tegeleb.

Nobeli majanduspreemia laureaadid saavutuste eest mänguteooria ja majandusteooria vallas: Robert Aumann,Reinhard Selten,John Nash,John Harsanyi,William Vickrey,James Mirrlees,Thomas Schelling,George Akerlof,Michael Spence,Joseph Stiglitz,Leonid Gurvits,Eric Maskin,Roger Myerson.