Jätkame logaritmide uurimist. Selles artiklis räägime sellest logaritmide arvutamine, seda protsessi nimetatakse logaritm. Kõigepealt mõistame logaritmide arvutamist definitsiooni järgi. Järgmisena vaatame, kuidas leitakse logaritmide väärtused nende omaduste abil. Pärast seda keskendume logaritmide arvutamisele teiste logaritmide algselt määratud väärtuste kaudu. Lõpuks õpime kasutama logaritmitabeleid. Kogu teooria on varustatud näidetega koos üksikasjalike lahendustega.
Leheküljel navigeerimine.
Logaritmide arvutamine definitsiooni järgi
Lihtsamal juhul on võimalik teostada üsna kiiresti ja lihtsalt logaritmi leidmine definitsiooni järgi. Vaatame lähemalt, kuidas see protsess toimub.
Selle olemus on esitada arvu b kujul a c, millest logaritmi definitsiooni järgi on arv c logaritmi väärtus. See tähendab, et definitsiooni järgi vastab logaritmi leidmisele järgmine võrduste ahel: log a b=log a a c =c.
Seega taandub logaritmi arvutamine definitsiooni järgi sellise arvu c leidmisele, et a c = b ja arv c ise on logaritmi soovitud väärtus.
Võttes arvesse eelmistes lõikudes toodud teavet, kui logaritmimärgi all olev arv on antud logaritmi aluse teatud astmega, saate kohe näidata, millega logaritm võrdub - see on võrdne eksponendiga. Näitame näidetele lahendusi.
Näide.
Leidke log 2 2 −3 ja arvutage ka arvu e naturaallogaritm 5,3.
Lahendus.
Logaritmi definitsioon võimaldab kohe öelda, et log 2 2 −3 =−3. Tõepoolest, logaritmi märgi all olev arv võrdub baasiga 2 astmega −3.
Samamoodi leiame teise logaritmi: lne 5.3 =5.3.
Vastus:
log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3.
Kui logaritmi märgi all olev arv b ei ole määratud logaritmi aluse astmena, siis peate hoolikalt uurima, kas on võimalik arvu b esitus esitada kujul a c . Sageli on see esitus üsna ilmne, eriti kui logaritmimärgi all olev arv on võrdne baasiga astmel 1, 2, või 3, ...
Näide.
Arvutage logaritmid log 5 25 ja .
Lahendus.
On lihtne näha, et 25=5 2, see võimaldab arvutada esimese logaritmi: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Liigume edasi teise logaritmi arvutamise juurde. Arvu võib esitada astmena 7: 
(vaata vajadusel). Seega 
.
Kirjutame kolmanda logaritmi järgmisel kujul ümber. Nüüd näete seda 
, millest järeldame, et 
. Seega logaritmi definitsiooni järgi 
.
Lühidalt võiks lahenduse kirjutada järgmiselt: .
Vastus:
log 5 25=2, 
Ja .
Kui logaritmimärgi all on piisavalt suur naturaalarv, ei tee paha seda algteguritesse arvestada. Sageli aitab sellist arvu esitada logaritmi aluse mõne astmena ja seetõttu arvutada see logaritm definitsiooni järgi.
Näide.
Leidke logaritmi väärtus.
Lahendus.
Mõned logaritmide omadused võimaldavad kohe määrata logaritmide väärtuse. Nende omaduste hulka kuuluvad ühe logaritmi omadus ja baasiga võrdse arvu logaritmi omadus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1. See tähendab, et kui logaritmi märgi all on arv 1 või arv a, mis on võrdne logaritmi alusega, siis nendel juhtudel on logaritmid võrdsed vastavalt 0 ja 1-ga.
Näide.
Millega võrdub logaritm ja log10?
Lahendus.
Kuna , siis logaritmi definitsioonist järeldub 
.
Teises näites langeb logaritmimärgi all olev arv 10 kokku selle alusega, seega kümnendlogaritm kümnend on võrdne ühega, st lg10=lg10 1 =1.
Vastus:
JA lg10=1 .
Pange tähele, et logaritmide arvutamine definitsiooni järgi (mida arutasime eelmises lõigus) eeldab võrdsuse log a a p =p kasutamist, mis on üks logaritmide omadusi.
Praktikas, kui logaritmi märgi all olev arv ja logaritmi alus on hõlpsasti esitatavad teatud arvu astmena, on väga mugav kasutada valemit 
, mis vastab logaritmide ühele omadusele. Vaatame selle valemi kasutamist illustreeriva logaritmi leidmise näidet.
Näide.
Arvutage logaritm.
Lahendus.
Vastus:
.
Arvutustes kasutatakse ka ülalmainimata logaritmide omadusi, kuid sellest räägime järgmistes lõikudes.
Logaritmide leidmine teiste teadaolevate logaritmide kaudu
Selle lõigu teave jätkab logaritmide omaduste kasutamise teemat nende arvutamisel. Kuid siin on peamine erinevus selles, et logaritmide omadusi kasutatakse algse logaritmi väljendamiseks teise logaritmi kaudu, mille väärtus on teada. Toome selgituseks näite. Oletame, et teame, et log 2 3≈1,584963, siis leiame näiteks log 2 6, tehes logaritmi atribuute kasutades väikese teisenduse: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Ülaltoodud näites piisas, kui kasutasime korrutise logaritmi omadust. Palju sagedamini tuleb aga kasutada laiemat logaritmide omaduste arsenali, et arvutada algne logaritm läbi etteantud.
Näide.
Arvutage logaritm 27-st aluseni 60, kui teate, et log 60 2=a ja log 60 5=b.
Lahendus.
Seega peame leidma logi 60 27 . On lihtne näha, et 27 = 3 3 ja algse logaritmi saab astme logaritmi omaduse tõttu ümber kirjutada kujule 3·log 60 3 .
Nüüd vaatame, kuidas väljendada log 60 3 tuntud logaritmide kaudu. Alusega võrdse arvu logaritmi omadus võimaldab kirjutada võrduslogi 60 60=1. Teisest küljest log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Seega 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Seega log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.
Lõpuks arvutame algse logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Vastus:
log 60 27=3·(1–2·a-b)=3–6·a-3·b.
Eraldi tasub mainida valemi tähendust üleminekuks vormi uuele logaritmi alusele 
. See võimaldab liikuda mis tahes alusega logaritmide juurest kindla baasiga logaritmidele, mille väärtused on teada või neid on võimalik leida. Tavaliselt liiguvad nad algsest logaritmist üleminekuvalemi abil logaritmidesse ühes alustest 2, e või 10, kuna nende aluste jaoks on olemas logaritmitabelid, mis võimaldavad nende väärtusi teatud määral arvutada. täpsust. Järgmises lõigus näitame, kuidas seda tehakse.
Logaritmitabelid ja nende kasutamine
Ligikaudseks arvutamiseks võib kasutada logaritmi väärtusi logaritmi tabelid. Kõige sagedamini kasutatav 2 aluse logaritmi tabel, naturaallogaritmi tabel ja kümnendlogaritmi tabel. Kümnendarvusüsteemis töötades on mugav kasutada kümne baasil põhinevat logaritmide tabelit. Tema abiga õpime leidma logaritmide väärtusi.
Esitatud tabel võimaldab leida kümnendkoha täpsusega arvude kümnendlogaritmide väärtused vahemikus 1000 kuni 9999 (kolme kümnendkohaga). Analüüsime logaritmi väärtuse leidmise põhimõtet kümnendlogaritmide tabeli abil konkreetse näite abil - nii on see selgem. Leiame log1.256.
Kümnendlogaritmide tabeli vasakpoolsest veerust leiame arvu 1,256 kaks esimest numbrit, st leiame 1,2 (selguse huvides on see arv sinisega ümbritsetud). Arvu kolmas number 1.256 (number 5) asub topeltreast vasakul esimesel või viimasel real (see number on punasega ümbritsetud). Algarvu 1.256 neljas number (number 6) asub topeltreast paremal esimesel või viimasel real (sellele numbrile on ümbritsetud roheline joon). Nüüd leiame numbrid logaritmitabeli lahtritest märgitud rea ja märgitud veergude ristumiskohalt (need numbrid on esile tõstetud oranžiga). Märgitud arvude summa annab kümnendlogaritmi soovitud väärtuse neljanda kümnendkoha täpsusega, st log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Kas ülaltoodud tabeli abil on võimalik leida nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mille pärast koma on rohkem kui kolm kohta, samuti nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mis ületavad vahemikku 1 kuni 9,999? Jah, sa saad. Näitame näitega, kuidas seda tehakse.
Arvutame lg102,76332. Kõigepealt peate üles kirjutama number standardkujul: 102,76332=1,0276332·10 2. Pärast seda tuleks mantiss ümardada kolmanda kümnendkohani 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, samas kui algne kümnendlogaritm on ligikaudu võrdne saadud arvu logaritmiga, st võtame log102.76332≈lg1.028·10 2. Nüüd rakendame logaritmi omadusi: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lõpuks leiame kümnendlogaritmide tabelist logaritmi lg1.028 väärtuse lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Selle tulemusena näeb kogu logaritmi arvutamise protsess välja järgmine: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Kokkuvõtteks väärib märkimist, et kümnendlogaritmide tabeli abil saate arvutada mis tahes logaritmi ligikaudse väärtuse. Selleks piisab üleminekuvalemi kasutamisest, et minna kümnendlogaritmidele, leida nende väärtused tabelist ja teha ülejäänud arvutused.
Näiteks arvutame log 2 3 . Vastavalt valemile üleminekuks uuele logaritmi alusele on meil . Kümnendlogaritmide tabelist leiame log3≈0,4771 ja log2≈0,3010. Seega 
.
Bibliograafia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).
Tuleneb selle määratlusest. Ja nii ka arvu logaritm b põhineb A on defineeritud kui astendaja, milleni arv tuleb tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).
Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x=log a b, on võrdne võrrandi lahendamisega a x =b. Näiteks, log 2 8 = 3 sest 8 = 2 3 . Logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhineb a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmide teema on tihedalt seotud arvu astmete teemaga.
Logaritmidega, nagu kõigi arvudega, saate hakkama liitmise, lahutamise tehted ja muuta igal võimalikul viisil. Kuid kuna logaritmid ei ole täiesti tavalised arvud, kehtivad siin oma erireeglid, mida nimetatakse peamised omadused.
Logaritmide liitmine ja lahutamine.
Võtame kaks samade alustega logaritmi: logi x Ja logi a y. Seejärel on võimalik teha liitmise ja lahutamise toiminguid:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi x 1 + logi x 2 + logi x 3 + ... + logi a x k.
Alates logaritmi jagatise teoreem Võib saada veel ühe logaritmi omaduse. On üldteada, et logi a 1 = 0, seega
logi a 1 /b= log a 1 - palk a b= -log a b.
See tähendab, et on olemas võrdsus:
log a 1 / b = - log a b.
Kahe pöördarvu logaritmid samal põhjusel erinevad üksteisest ainult märgi poolest. Niisiis:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Nüüd vaatleme logaritme sisaldavate avaldiste teisendamist üldisest vaatenurgast. Siin ei uurita mitte ainult avaldiste teisendamist logaritmide omaduste abil, vaid kaalume ka avaldiste teisendamist üldiste logaritmidega, mis sisaldavad mitte ainult logaritme, vaid ka astmeid, murde, juuri jne. Nagu tavaliselt, esitame kogu materjali tüüpiliste näidetega koos üksikasjalike lahenduste kirjeldustega.
Leheküljel navigeerimine.
Avaldised logaritmidega ja logaritmilised avaldised
Murdudega asjade tegemine
Eelmises lõigus uurisime põhiteisendusi, mis tehakse üksikute logaritme sisaldavate murdudega. Neid teisendusi saab loomulikult läbi viia iga üksiku murdosaga, mis on osa keerukamast avaldisest, näiteks esindades sarnaste murdude summat, erinevust, korrutist ja jagatist. Kuid lisaks üksikute murdudega töötamisele hõlmab seda tüüpi avaldiste teisendamine sageli vastavate toimingute tegemist murdudega. Järgmisena vaatleme eeskirju, mille järgi neid toiminguid tehakse.
Alates 5.-6.klassist on meile teada reeglid, mille järgi neid läbi viiakse. Artiklis üldine pilk murdudega tehtele Oleme laiendanud neid reegleid tavalistest murdudest üldkuju A/B murdudele, kus A ja B on mõned numbrilised, literaalsed või muutuva avaldised ning B ei ole identselt võrdne nulliga. On selge, et logaritmidega murrud on üldmurdude erijuhud. Ja sellega seoses on selge, et toimingud murdudega, mille tähistused sisaldavad logaritme, viiakse läbi samade reeglite järgi. Nimelt:
- Kahe samade nimetajatega murru liitmiseks või lahutamiseks peate vastavalt liitma või lahutama lugejad, kuid jätma nimetaja samaks.
- Kahe erineva nimetajaga murru liitmiseks või lahutamiseks tuleb need viia ühise nimetajani ja sooritada vastavad toimingud vastavalt eelmisele reeglile.
- Kahe murru korrutamiseks tuleb kirjutada murd, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja nimetajate korrutis.
- Murru murdeks jagamiseks peate korrutama jagatava murdosaga, mis on jagaja pöördvõrdeline, st murdosaga, mille lugeja ja nimetaja on vahetatud.
Siin on mõned näited, kuidas teha toiminguid logaritme sisaldavate murdudega.
Näide.
Sooritage toiminguid logaritme sisaldavate murdudega: a) , b) 
, V) 
, G) 
.
Lahendus.
a) Liidetavate murdude nimetajad on ilmselgelt samad. Seetõttu liidame samade nimetajatega murdude liitmise reegli kohaselt lugejad ja nimetaja jätame samaks: 
.
b) Siin on nimetajad erinevad. Seetõttu on kõigepealt vaja teisendada murded samasse nimetajasse. Meie puhul esitatakse nimetajad juba korrutiste kujul ja meil pole vaja teha muud, kui võtta esimese murru nimetaja ja lisada sellele teise murru nimetajast puuduvad tegurid. Nii saame vormi ühisnimetaja 
. Sel juhul tuuakse lahutatud murrud ühise nimetajani, kasutades lisategureid vastavalt logaritmi ja avaldise kujul x 2 ·(x+1). Pärast seda ei jää muud üle, kui lahutada samade nimetajatega murded, mis pole keeruline.
Nii et lahendus on: 
c) On teada, et murdude korrutamise tulemuseks on murd, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nimetajate korrutis, seega 
On lihtne näha, et saate murdosa vähendamine kahe ja kümnendlogaritmi järgi, mille tulemusena saame 
.
d) Liigume murdude jagamiselt korrutamisele, asendades jagajamurru selle pöördmurruga. Niisiis 
Saadud murdosa lugejat saab esitada kui 
, millest on selgelt näha lugeja ja nimetaja ühistegur - tegur x, selle võrra saate murdosa vähendada: 
Vastus:
a) , b) 
, V) 
, G) 
.
Tuleb meeles pidada, et toimingud murdudega viiakse läbi, võttes arvesse toimingute sooritamise järjekorda: esiteks korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine ning sulgude olemasolul tehakse kõigepealt sulgudes olevad toimingud.
Näide.
Tehke asju murdudega 
.
Lahendus.
Esiteks lisame sulgudes olevad murrud, mille järel korrutame: 
Vastus:
Siinkohal tuleb veel välja öelda kolm üsna ilmset, kuid samal ajal olulist punkti:
Avaldiste teisendamine logaritmide omaduste abil
Kõige sagedamini hõlmab avaldiste teisendamine logaritmidega identiteetide kasutamist, mis väljendavad logaritmi määratlust ja
Ülesanded, mille lahendus on logaritmiliste avaldiste teisendamine, on ühtsel riigieksamil üsna levinud.
Et nendega minimaalse ajaga edukalt toime tulla, peate lisaks põhilistele logaritmilistele identiteetidele teadma ja õigesti kasutama veel mõnda valemit.
See on: a log a b = b, kus a, b > 0, a ≠ 1 (See tuleneb otseselt logaritmi definitsioonist).
log a b = log c b / log c a või log a b = 1/log b a
kus a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kus a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
kus a, b, c > 0 ja a, b, c ≠ 1
Neljanda võrrandi kehtivuse näitamiseks võtame vasaku ja parema külje logaritmi alusele a. Saame palk a (a palk b-ga) = log a (b palk a-ga) või palgi b = palk a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); logi b-ga = logi b-ga.
Oleme tõestanud logaritmide võrdsuse, mis tähendab, et ka logaritmide all olevad avaldised on võrdsed. Vormel 4 on tõestatud.
Näide 1.
Arvuta 81 log 27 5 log 5 4 .
Lahendus.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Seetõttu
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Siis 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Järgmise ülesande saate ise täita.
Arvutage (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Vihjeks 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.
Vastus: 5.
Näide 2.
Arvuta (√11) logi √3 9- log 121 81 .
Lahendus.
Muudame avaldisi: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (kasutati valemit 3).
Siis (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Näide 3.
Arvutage log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Lahendus.
Asendame näites sisalduvad logaritmid logaritmidega, mille alus on 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Siis log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist saame arvu 3. (Avaldise lihtsustamisel saame log 2 3 tähistada n-ga ja avaldist lihtsustada
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Vastus: 3.
Saate ise täita järgmise ülesande:
Arvuta (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Siin on vaja üle minna 3 baaslogaritmile ja suurte arvude faktoriseerimine algteguriteks.
Vastus: 1/2
Näide 4.
Antud on kolm arvu A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Järjesta need kasvavas järjekorras.
Lahendus.
Teisendame arvud A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Võrdleme neid
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ja log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Või 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Vastus. Seetõttu on arvude paigutamise järjekord: C; A; IN.
Näide 5.
Mitu täisarvu on intervallis (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Lahendus.
Teeme kindlaks, milliste arvu 3 astmete vahel asub arv 1/16. Saame 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Kuna funktsioon y = log 3 x kasvab, siis log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Võrdleme logi 6 (4/3) ja 1/5. Ja selleks võrdleme numbreid 4/3 ja 6 1/5. Tõstame mõlemad arvud 5. astmeni. Saame (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Seetõttu sisaldab intervall (log 3 1 / 16 ; log 6 48) intervalli [-2; 4] ja sellele asetatakse täisarvud -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Vastus: 7 täisarvu.
Näide 6.
Arvuta 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Lahendus.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Siis 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Vastus: -1.
Näide 7.
On teada, et log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Leia log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Lahendus.
Arvud (√3 + 1) ja (√3 – 1); (√6 – 2) ja (√6 + 2) on konjugeeritud.
Viime läbi järgmise avaldiste teisenduse
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Seejärel log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Vastus: 2 – A.
Näide 8.
Lihtsustage ja leidke avaldise ligikaudne väärtus (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Lahendus.
Vähendame kõik logaritmid ühiseks baasiks 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Lg 2 ligikaudse väärtuse saab leida tabeli, slaidireegli või kalkulaatori abil).
Vastus: 0,3010.
Näide 9.
Arvutage log a 2 b 3 √(a 11 b -3), kui log √ a b 3 = 1. (Selles näites on a 2 b 3 logaritmi alus).
Lahendus.
Kui log √ a b 3 = 1, siis 3/(0,5 log a b = 1. Ja log a b = 1/6.
Seejärel log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Arvestades, et see log a b = 1/ 6 saame (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.
Vastus: 2.1.
Saate ise täita järgmise ülesande:
Arvutage log √3 6 √2,1, kui log 0,7 27 = a.
Vastus: (3 + a) / (3a).
Näide 10.
Arvutage 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Lahendus.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (valem 4))
Saame 9 + 6 = 15.
Vastus: 15.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas pole kindel, kuidas logaritmilise avaldise väärtust leida?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
Täna räägime sellest logaritmilised valemid ja anname soovitusliku lahendusnäited.
Nad ise eeldavad lahendusmustreid vastavalt logaritmide põhiomadustele. Enne lahendamiseks logaritmivalemite rakendamist tuletame teile meelde kõiki omadusi:
Nüüd näitame nende valemite (omaduste) põhjal näiteid logaritmide lahendamisest.
Valemite alusel logaritmide lahendamise näited.
Logaritm aluse a positiivne arv b (tähistatakse log a b-ga) on eksponent, milleni a tuleb b saamiseks tõsta, kusjuures b > 0, a > 0 ja 1.
Definitsiooni järgi log a b = x, mis on ekvivalentne a x = b-ga, seega log a a x = x.
Logaritmid, näited:
log 2 8 = 3, sest 2 3 = 8
log 7 49 = 2, sest 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, sest 5-1 = 1/5
Kümnendlogaritm- see on tavaline logaritm, mille baas on 10. Seda tähistatakse kui lg.
log 10 100 = 2, sest 10 2 = 100
Naturaalne logaritm- ka tavaline logaritm, logaritm, kuid alusega e (e = 2,71828... - irratsionaalne arv). Tähistatakse kui ln.
Soovitav on pähe õppida logaritmide valemid või omadused, sest neid läheb meil hiljem vaja logaritmide, logaritmivõrrandite ja võrratuste lahendamisel. Töötame iga valemi uuesti näidetega läbi.
- Põhiline logaritmiline identiteet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Jagatise logaritm on võrdne logaritmide erinevusega
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritmilise arvu astme ja logaritmi aluse omadused
Logaritmilise arvu eksponent log a b m = mlog a b
Logaritmi aluse eksponent log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
kui m = n, saame log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Üleminek uuele vundamendile
log a b = log c b/log c a,kui c = b, saame log b b = 1
siis log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Nagu näete, pole logaritmide valemid nii keerulised, kui tundub. Nüüd, olles vaadanud logaritmide lahendamise näiteid, saame liikuda edasi logaritmiliste võrrandite juurde. Logaritmvõrrandite lahendamise näiteid vaatame üksikasjalikumalt artiklis: "". Ära igatse!
Kui teil on lahenduse kohta endiselt küsimusi, kirjutage need artikli kommentaaridesse.
Märkus: otsustasime võimalusena omandada teistsuguse hariduse ja õppida välismaal.