Lõigu pikkus koordinaatteljel määratakse järgmise valemiga:
Lõigu pikkus koordinaattasandil leitakse järgmise valemi abil:
Segmendi pikkuse leidmiseks kolmemõõtmelises koordinaatsüsteemis kasutage järgmist valemit:
Lõigu keskkoha koordinaadid (koordinaatide telje jaoks kasutatakse ainult esimest valemit, koordinaattasandi jaoks - kaks esimest valemit, kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemi jaoks - kõik kolm valemit) arvutatakse valemite abil:
Funktsioon– see on vormi vastavus y= f(x) muutuvate suuruste vahel, mille tõttu mõne muutuva suuruse iga vaadeldav väärtus x(argument või sõltumatu muutuja) vastab mõne teise muutuja teatud väärtusele, y(sõltuv muutuja, mõnikord nimetatakse seda väärtust lihtsalt funktsiooni väärtuseks). Pange tähele, et funktsioon eeldab, et üks argumendi väärtus X ainult üks sõltuva muutuja väärtus võib vastata juures. Samas sama väärtus juures saab erinevatega X.
Funktsiooni domeen– need on kõik sõltumatu muutuja väärtused (funktsiooni argument, tavaliselt see X), mille jaoks funktsioon on määratletud, s.t. selle tähendus on olemas. Määratluspiirkond on näidatud D(y). Üldiselt olete selle kontseptsiooniga juba tuttav. Funktsiooni määratluspiirkonda nimetatakse muidu lubatud väärtuste domeeniks ehk VA, mille olete juba ammu leidnud.
Funktsioonide vahemik on antud funktsiooni sõltuva muutuja kõik võimalikud väärtused. Määratud E(juures).
Funktsioon suureneb intervallil, milles argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele. Funktsioon väheneb intervallil, milles argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.
Funktsiooni konstantse märgi intervallid- need on sõltumatu muutuja intervallid, mille jooksul sõltuv muutuja säilitab oma positiivse või negatiivse märgi.
Funktsiooni nullid– need on argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on võrdne nulliga. Nendes punktides lõikub funktsioonigraafik abstsissteljega (OX-telg). Väga sageli tähendab vajadus leida funktsiooni nullid, et võrrand tuleb lihtsalt lahendada. Samuti tähendab sageli vajadus leida märgi püsivuse intervalle, et ebavõrdsus tuleb lihtsalt lahendada.
Funktsioon y = f(x) kutsutakse isegi X
See tähendab, et argumendi mis tahes vastupidiste väärtuste korral on paarisfunktsiooni väärtused võrdsed. Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline operatsioonivõimendi ordinaattelje suhtes.
Funktsioon y = f(x) kutsutakse kummaline, kui see on määratletud sümmeetrilise hulga ja mis tahes jaoks X määratluse valdkonnast kehtib võrdsus:
See tähendab, et argumendi mis tahes vastupidiste väärtuste korral on paaritu funktsiooni väärtused samuti vastupidised. Paaritu funktsiooni graafik on alati sümmeetriline lähtekoha suhtes.
Paaris- ja paaritu funktsioonide (x-telje OX lõikepunktide) juurte summa on alati võrdne nulliga, sest iga positiivse juure jaoks X on negatiivne juur - X.
Oluline on märkida: mõni funktsioon ei pea olema paaris või paaritu. On palju funktsioone, mis pole paaris ega paaritud. Selliseid funktsioone nimetatakse üldised funktsioonid, ja nende jaoks ei ole ükski ülaltoodud võrdsustest ega omadustest täidetud.
Lineaarne funktsioon on funktsioon, mille saab esitada valemiga:
Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon ja näeb üldjuhul välja selline (näide on toodud juhuks, kui k> 0, sel juhul funktsioon kasvab; selleks puhuks k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Ruutfunktsiooni graafik (parabool)
Parabooli graafik on antud ruutfunktsiooniga:
Ruutfunktsioon, nagu iga teinegi funktsioon, lõikub OX-teljega punktides, mis on selle juured: ( x 1 ; 0) ja ( x 2 ; 0). Kui juuri pole, siis ruutfunktsioon ei lõiku OX-teljega, kui on ainult üks juur, siis selles punktis (; x 0 ; 0) ruutfunktsioon puudutab ainult OX-telge, kuid ei lõiku sellega. Ruutfunktsioon lõikub alati OY-teljega punktis, mille koordinaadid on: (0; c). Ruutfunktsiooni (parabooli) graafik võib välja näha selline (joonisel on näited, mis ei ammenda kõiki võimalikke paraboolitüüpe):
Kus:
- kui koefitsient a> 0, funktsioonis y = kirves 2 + bx + c, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole;
- kui a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Parabooli tipu koordinaate saab arvutada järgmiste valemite abil. X topid (lk- ülaltoodud piltidel) paraboolid (või punkt, kus ruuttrinoom saavutab oma suurima või väikseima väärtuse):
Igreki topid (q- ülaltoodud joonistel) paraboolid või maksimum, kui parabooli harud on suunatud alla ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), ruuttrinoomi väärtus:
Muude funktsioonide graafikud
Toitefunktsioon
Siin on mõned näited võimsusfunktsioonide graafikutest:
Pöördvõrdeline on funktsioon, mis on antud valemiga:
Olenevalt numbri märgist k Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikul võib olla kaks põhivalikut:
Asümptoot on sirge, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatult lähedale, kuid ei ristu. Ülaltoodud joonisel kujutatud pöördproportsionaalsuse graafikute asümptoodid on koordinaatteljed, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatult lähedale, kuid ei ristu neid.
Eksponentfunktsioon koos alusega A on funktsioon, mis on antud valemiga:
a Eksponentfunktsiooni graafikul võib olla kaks põhivalikut (toome ka näiteid, vt allpool):
Logaritmiline funktsioon on funktsioon, mis on antud valemiga:
Olenevalt sellest, kas arv on suurem või väiksem kui üks a Logaritmilise funktsiooni graafikul võib olla kaks põhivalikut:
Funktsiooni graafik y = |x| järgnevalt:
Perioodiliste (trigonomeetriliste) funktsioonide graafikud
Funktsioon juures = f(x) kutsutakse perioodiline, kui on selline nullist erinev arv T, Mida f(x + T) = f(x), kõigile X funktsiooni domeenist f(x). Kui funktsioon f(x) on perioodiline perioodiga T, siis funktsioon:
Kus: A, k, b on konstantsed arvud ja k ei ole võrdne nulliga, samuti perioodiline perioodiga T 1, mis määratakse järgmise valemiga:
Enamik perioodiliste funktsioonide näiteid on trigonomeetrilised funktsioonid. Esitame peamiste trigonomeetriliste funktsioonide graafikud. Järgmisel joonisel on näidatud osa funktsiooni graafikust y= patt x(kogu graafik jätkub lõputult vasakule ja paremale), funktsiooni graafik y= patt x helistas sinusoid:
Funktsiooni graafik y=cos x helistas koosinus. See graafik on näidatud järgmisel joonisel. Kuna siinusgraafik jätkub lõputult piki OX-telge vasakule ja paremale:
Funktsiooni graafik y= tg x helistas tangentoid. See graafik on näidatud järgmisel joonisel. Nagu ka teiste perioodiliste funktsioonide graafikud, kordub see graafik lõpmatuseni piki OX-telge vasakule ja paremale.
Ja lõpuks funktsiooni graafik y=ctg x helistas kotangentoid. See graafik on näidatud järgmisel joonisel. Nagu ka teiste perioodiliste ja trigonomeetriliste funktsioonide graafikud, kordub see graafik lõpmatuseni piki OX-telge vasakule ja paremale.
Nende kolme punkti edukas, hoolas ja vastutustundlik rakendamine võimaldab teil näidata CT-s suurepärast tulemust, maksimaalset, milleks olete võimeline.
Leidsid vea?
Kui arvate, et olete leidnud koolitusmaterjalidest vea, kirjutage sellest meili teel. Veast saate teatada ka sotsiaalvõrgustikus (). Kirjas märkige õppeaine (füüsika või matemaatika), teema või testi nimetus või number, ülesande number või koht tekstis (leheküljel), kus teie arvates on viga. Samuti kirjeldage, mis on kahtlustatav viga. Teie kiri ei jää märkamata, viga kas parandatakse või teile selgitatakse, miks see viga pole.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Funktsioon vormist kus kutsutakse ruutfunktsioon.
Ruutfunktsiooni graafik – parabool.
Vaatleme juhtumeid:
I CASE, KLASSIKALINE PARABOOL
See on , ,
Ehitamiseks täitke tabel, asendades x väärtused valemiga:
Märgi punktid (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. koordinaattasandil (mida väiksema sammu võtame x väärtused (antud juhul samm 1) ja mida rohkem x väärtusi võtame, seda sujuvam on kõver), saame parabooli:
On lihtne näha, et kui võtta juhtum , , , ehk siis saame parabooli, mis on sümmeetriline telje (oh) suhtes. Seda on lihtne kontrollida, täites sarnase tabeli:
II JUHTUM, „a” ERINEB ÜHIKUST
Mis juhtub, kui võtame , , ? Kuidas muutub parabooli käitumine? Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Esimesel pildil (vt ülal) on selgelt näha, et parabooli (1;1), (-1;1) punktid tabelist muudeti punktideks (1;4), (1;-4), see tähendab, et samade väärtuste korral korrutatakse iga punkti ordinaat 4-ga. See juhtub kõigi algse tabeli võtmepunktidega. Sarnaselt arutleme ka piltide 2 ja 3 puhul.
Ja kui parabool "muutub laiemaks" kui parabool:
Teeme kokkuvõtte:
1)Koefitsiendi märk määrab okste suuna. Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absoluutne väärtus koefitsient (moodul) vastutab parabooli “paisumise” ja “kokkusurumise” eest. Mida suurem , seda kitsam on parabool, mida väiksem on |a|, seda laiem on parabool.
III JUHTUM, ILMUB “C”.
Tutvustame nüüd mängu (st kaalume juhtumit, millal), vaatleme vormi paraboole. Pole raske arvata (alati võib viidata tabelile), et parabool nihkub mööda telge olenevalt märgist üles või alla:
IV JUHT, ILMUB “b”.
Millal parabool "eraldub" teljest ja lõpuks "kõnnib" mööda kogu koordinaattasandit? Millal see lakkab olemast võrdne?
Siin vajame parabooli konstrueerimiseks tipu arvutamise valem: , .
Nii et selles punktis (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) ehitame parabooli, mida saame juba teha. Kui käsitleme juhtumit, siis tipust paneme ühe ühikulise lõigu paremale, ühe üles, - saadud punkt on meie (samamoodi samm vasakule, samm üles on meie punkt); kui tegemist on näiteks, siis tipust paneme ühe ühikulise segmendi paremale, kaks - ülespoole jne.
Näiteks parabooli tipp:
Nüüd on peamine mõista, et selles tipus ehitame parabooli parabooli mustri järgi, sest meie puhul.
Parabooli konstrueerimisel pärast tipu koordinaatide leidmist vägaMugav on arvestada järgmiste punktidega:
1) parabool läheb kindlasti punktist läbi . Tõepoolest, asendades valemis x=0, saame, et . See tähendab, et parabooli ja telje (oy) lõikepunkti ordinaat on . Meie näites (ülal) lõikub parabool ordinaat punktis , kuna .
2) sümmeetriatelg paraboolid on sirgjoon, nii et kõik parabooli punktid on selle suhtes sümmeetrilised. Meie näites võtame kohe punkti (0; -2) ja ehitame selle sümmeetriliseks parabooli sümmeetriatelje suhtes, saame punkti (4; -2), mida parabool läbib.
3) Võrdsustades , saame teada parabooli ja telje (oh) lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi. Olenevalt diskriminandist saame ühe (, ), kaks ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Eelmises näites ei ole meie diskriminandi juur konstrueerimisel täisarv, meil pole juuri mõtet leida, kuid me näeme selgelt, et meil on teljega (oh) kaks lõikepunkti; (alates title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Nii et teeme asja selgeks
Algoritm parabooli koostamiseks, kui see on antud kujul
1) määrake okste suund (a>0 – üles, a<0 – вниз)
2) leiame valemi , abil parabooli tipu koordinaadid.
3) leiame parabooli lõikepunkti teljega (oy) kasutades vaba liiget, konstrueerime selle punktiga sümmeetrilise punkti parabooli sümmeetriatelje suhtes (tuleb märkida, et juhtub, et märgistamine on kahjumlik näiteks see punkt, kuna väärtus on suur... jätame selle punkti vahele...)
4) Leitud punktis - parabooli tipus (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) konstrueerime parabooli. If title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Leiame parabooli lõikepunktid teljega (oy) (kui need pole veel “pinnale tulnud”) võrrandi lahendamisega
Näide 1
Näide 2
Märkus 1. Kui parabool on meile algselt antud kujul , kus on mõned arvud (näiteks ), siis on seda veelgi lihtsam konstrueerida, sest meile on juba antud tipu koordinaadid . Miks?
Võtame ruuttrinoomi ja isoleerime selles terve ruudu: Vaata, saime selle , . Sina ja mina nimetasime varem parabooli tipuks, see tähendab nüüd,.
Näiteks, . Märgime tasapinnale parabooli tipu, saame aru, et oksad on suunatud allapoole, parabool on laienenud (suhtes ). See tähendab, et viime läbi punktid 1; 3; 4; 5 parabooli konstrueerimise algoritmist (vt eespool).
Märkus 2. Kui parabool on antud sellele sarnasel kujul (st esitatakse kahe lineaarse teguri korrutisena), siis näeme kohe parabooli ja telje (härg) lõikepunkte. Sel juhul – (0;0) ja (4;0). Ülejäänud osas tegutseme vastavalt algoritmile, avades sulgud.
Koolis matemaatikatundides oled juba tutvunud funktsiooni lihtsamate omaduste ja graafikuga y = x 2. Laiendame oma teadmisi ruutfunktsioon.
1. harjutus.
Joonistage funktsiooni graafik y = x 2. Skaala: 1 = 2 cm Märkige punkt Oy teljel F(0; 1/4). Mõõtke kompassi või pabeririba abil kaugus punktist F mingil hetkel M paraboolid. Seejärel kinnitage riba punktis M ja pöörake seda selle punkti ümber, kuni see on vertikaalne. Riba ots langeb veidi allapoole x-telge (Joonis 1). Märkige ribale, kui kaugele see ulatub x-teljelt. Nüüd võtke paraboolil veel üks punkt ja korrake mõõtmist uuesti. Kui kaugele on riba serv langenud allapoole x-telge?
Tulemus: olenemata sellest, millise punkti paraboolil y = x 2 te võtate, on kaugus sellest punktist punktini F(0; 1/4) suurem kui kaugus samast punktist abstsissteljeni alati sama arvu võrra - 1/4.
Võime öelda erinevalt: kaugus parabooli mis tahes punktist punktini (0; 1/4) on võrdne kaugusega parabooli samast punktist sirge y = -1/4. Seda imelist punkti F(0; 1/4) nimetatakse keskenduda paraboolid y = x 2 ja sirge y = -1/4 – koolijuhataja see parabool. Igal paraboolil on suund ja fookus.
Parabooli huvitavad omadused:
1. Parabooli mis tahes punkt on võrdsel kaugusel mingist punktist, mida nimetatakse parabooli fookuseks, ja mõnest sirgest, mida nimetatakse selle suunaks.
2. Kui pöörate parabooli ümber sümmeetriatelje (näiteks parabool y = x 2 ümber Oy telje), saate väga huvitava pinna, mida nimetatakse pöörde parabooliks.
Pöörlevas anumas oleva vedeliku pind on pöördeparaboloidi kujuga. Seda pinda näete, kui segate lusikaga intensiivselt mittetäielikus teeklaasis ja eemaldate seejärel lusika.
3. Kui viskad kivi horisondi suhtes teatud nurga all tühjasse, lendab see paraboolina (joonis 2).
4. Kui lõikate koonuse pinda tasandiga, mis on paralleelne selle mõne generatriksiga, siis ristlõike tulemuseks on parabool (Joonis 3).
5. Lõbustusparkides korraldatakse vahel lõbusõite nimega Paraboloid of Wonders. Kõigile pöörleva paraboloidi sees seisjatele tundub, et ta seisab põrandal, samal ajal kui ülejäänud inimesed hoiavad kuidagi imekombel seintest kinni.
6. Peegeldavates teleskoopides kasutatakse ka paraboolpeegleid: teleskoobi peeglile langev kauge tähe valgus, mis tuleb paralleelkiirega, kogutakse fookusesse.
7. Kohtvalgustitel on tavaliselt paraboloidi kujuline peegel. Kui asetate valgusallika paraboloidi fookusesse, moodustavad paraboolpeeglist peegelduvad kiired paralleelse kiire.
Ruutfunktsiooni graafik
Matemaatikatundides õppisite, kuidas saada funktsiooni y = x 2 graafikust kujuga funktsioonide graafikud:
1) y = ax 2– graafiku y = x 2 venitamine piki Oy telge punktis |a| korda (koos |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riis. 4).
2) y = x 2 + n– graafiku nihe n ühiku võrra mööda Oy telge ja kui n > 0, siis on nihe ülespoole ja kui n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– graafiku nihe m ühiku võrra piki Ox-telge: kui m< 0, то вправо, а если m >0, siis vasakule, (Joonis 5).
4) y = -x 2– sümmeetriline kuva graafiku Ox-telje suhtes y = x 2 .
Vaatame funktsiooni joonistamist lähemalt y = a(x – m) 2 + n.
Ruutfunktsiooni kujul y = ax 2 + bx + c saab alati taandada kujule
y = a(x – m) 2 + n, kus m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Tõestame seda.
Tõesti,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Tutvustame uusi tähistusi.
Lase m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
siis saame y = a(x – m) 2 + n või y – n = a(x – m) 2.
Teeme veel mõned asendused: olgu y – n = Y, x – m = X (*).
Siis saame funktsiooni Y = aX 2, mille graafik on parabool.
Parabooli tipp asub algpunktis. X = 0; Y = 0.
Asendades tipu koordinaadid arvuga (*), saame graafiku tipu koordinaadid y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Seega selleks, et joonistada ruutfunktsioon, mis on esitatud kujul
y = a(x – m) 2 + n
teisenduste kaudu saate toimida järgmiselt:
a) joonistage funktsioon y = x 2 ;
b) paralleeltranslatsiooni teel piki Ox-telge m ühiku võrra ja piki Oy telge n ühiku võrra - viige parabooli tipp lähtepunktist koordinaatidega punkti (m; n) (Joonis 6).
Teisenduste salvestamine:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Näide.
Koostage teisenduste abil funktsiooni y = 2(x – 3) 2 graafik Descartes'i koordinaatsüsteemis – 2.
Lahendus.
Teisenduste ahel:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .
Joonistus on näidatud riis. 7.
Ruutfunktsioonide graafiku koostamist saate ise harjutada. Näiteks koostage teisenduste abil ühes koordinaatsüsteemis graafik funktsioonist y = 2(x + 3) 2 + 2 Kui teil on küsimusi või soovite saada nõu õpetajalt, siis on teil võimalus läbi viia tasuta 25-minutiline õppetund online juhendajaga peale registreerimist. Edasiseks koostööks õpetajaga saate valida endale sobiva tariifiplaani.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas ruutfunktsiooni joonistada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!
veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.