Empiirilise jaotusfunktsiooni määramine
Olgu $X$ juhuslik muutuja. $F(x)$ on antud juhusliku suuruse jaotusfunktsioon. Teeme $n$ katseid antud juhusliku suurusega samadel tingimustel, üksteisest sõltumatult. Sel juhul saame väärtuste jada $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, mida nimetatakse valimiks.
Definitsioon 1
Iga väärtust $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) nimetatakse variandiks.
Üks teoreetilise jaotusfunktsiooni hinnang on empiiriline jaotusfunktsioon.
3. määratlus
Empiiriline jaotusfunktsioon $F_n(x)$ on funktsioon, mis määrab iga väärtuse $x$ korral sündmuse $X \ suhtelise sageduse
kus $n_x$ on valikute arv, mis on väiksem kui $x$, $n$ on valimi suurus.
Empiirilise ja teoreetilise funktsiooni erinevus seisneb selles, et teoreetiline funktsioon määrab sündmuse $X tõenäosuse
Empiirilise jaotusfunktsiooni omadused
Vaatleme nüüd mitmeid jaotusfunktsiooni põhiomadusi.
Funktsiooni $F_n\left(x\right)$ vahemik on segment $$.
$F_n\left(x\right)$ on mittekahanev funktsioon.
$F_n\left(x\right)$ on vasakpoolne pidev funktsioon.
$F_n\left(x\right)$ on tükkhaaval konstantne funktsioon ja suureneb ainult juhusliku muutuja $X$ väärtuste punktides
Olgu $X_1$ väikseim ja $X_n$ suurim variant. Siis $F_n\left(x\right)=0$ väärtuse $(x\le X)_1$ ja $F_n\left(x\right)=1$ jaoks $x\ge X_n$.
Tutvustame teoreemi, mis ühendab teoreetilise ja empiirilise funktsiooni.
1. teoreem
Olgu $F_n\left(x\right)$ empiiriline jaotusfunktsioon ja $F\left(x\right)$ üldvalimi teoreetiline jaotusfunktsioon. Siis kehtib võrdsus:
\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]
Näited probleemidest empiirilise jaotusfunktsiooni leidmisel
Näide 1
Salvestage valimijaotuses järgmised andmed tabeli abil:
1. pilt.
Leidke valimi suurus, looge empiiriline jaotusfunktsioon ja joonistage see graafikule.
Valimi suurus: $n=5+10+15+20=50$.
Atribuudi 5 järgi on meil see $x\le 1$ jaoks $F_n\left(x\right)=0$ ja $x>4$ jaoks $F_n\left(x\right)=1$.
$x väärtus
$x väärtus
$x väärtus
Nii saame:
Joonis 2.
Joonis 3.
Näide 2
Venemaa keskosa linnade hulgast valiti juhuslikult välja 20 linna, mille kohta saadi järgmised andmed ühistranspordi piletihindade kohta: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14 , 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Looge selle valimi jaoks empiiriline jaotusfunktsioon ja joonistage see graafikule.
Kirjutame näidisväärtused üles kasvavas järjekorras ja arvutame iga väärtuse sageduse. Saame järgmise tabeli:
Joonis 4.
Proovi suurus: $n=20$.
Atribuudi 5 järgi on meil see $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ ja $x>15$ jaoks $F_n\left(x\right)=1$.
$x väärtus
$x väärtus
$x väärtus
Nii saame:
Joonis 5.
Joonistame empiirilise jaotuse:
Joonis 6.
Originaalsus: 92,12 $\%$.
Empiirilise jaotusfunktsiooni määramine
Olgu $X$ juhuslik muutuja. $F(x)$ on antud juhusliku suuruse jaotusfunktsioon. Teeme $n$ katseid antud juhusliku suurusega samadel tingimustel, üksteisest sõltumatult. Sel juhul saame väärtuste jada $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, mida nimetatakse valimiks.
Definitsioon 1
Iga väärtust $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) nimetatakse variandiks.
Üks teoreetilise jaotusfunktsiooni hinnang on empiiriline jaotusfunktsioon.
3. määratlus
Empiiriline jaotusfunktsioon $F_n(x)$ on funktsioon, mis määrab iga väärtuse $x$ korral sündmuse $X \ suhtelise sageduse
kus $n_x$ on valikute arv, mis on väiksem kui $x$, $n$ on valimi suurus.
Empiirilise ja teoreetilise funktsiooni erinevus seisneb selles, et teoreetiline funktsioon määrab sündmuse $X tõenäosuse
Empiirilise jaotusfunktsiooni omadused
Vaatleme nüüd mitmeid jaotusfunktsiooni põhiomadusi.
Funktsiooni $F_n\left(x\right)$ vahemik on segment $$.
$F_n\left(x\right)$ on mittekahanev funktsioon.
$F_n\left(x\right)$ on vasakpoolne pidev funktsioon.
$F_n\left(x\right)$ on tükkhaaval konstantne funktsioon ja suureneb ainult juhusliku muutuja $X$ väärtuste punktides
Olgu $X_1$ väikseim ja $X_n$ suurim variant. Siis $F_n\left(x\right)=0$ väärtuse $(x\le X)_1$ ja $F_n\left(x\right)=1$ jaoks $x\ge X_n$.
Tutvustame teoreemi, mis ühendab teoreetilise ja empiirilise funktsiooni.
1. teoreem
Olgu $F_n\left(x\right)$ empiiriline jaotusfunktsioon ja $F\left(x\right)$ üldvalimi teoreetiline jaotusfunktsioon. Siis kehtib võrdsus:
\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]
Näited probleemidest empiirilise jaotusfunktsiooni leidmisel
Näide 1
Salvestage valimijaotuses järgmised andmed tabeli abil:
1. pilt.
Leidke valimi suurus, looge empiiriline jaotusfunktsioon ja joonistage see graafikule.
Valimi suurus: $n=5+10+15+20=50$.
Atribuudi 5 järgi on meil see $x\le 1$ jaoks $F_n\left(x\right)=0$ ja $x>4$ jaoks $F_n\left(x\right)=1$.
$x väärtus
$x väärtus
$x väärtus
Nii saame:
Joonis 2.
Joonis 3.
Näide 2
Venemaa keskosa linnade hulgast valiti juhuslikult välja 20 linna, mille kohta saadi järgmised andmed ühistranspordi piletihindade kohta: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14 , 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Looge selle valimi jaoks empiiriline jaotusfunktsioon ja joonistage see graafikule.
Kirjutame näidisväärtused üles kasvavas järjekorras ja arvutame iga väärtuse sageduse. Saame järgmise tabeli:
Joonis 4.
Proovi suurus: $n=20$.
Atribuudi 5 järgi on meil see $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ ja $x>15$ jaoks $F_n\left(x\right)=1$.
$x väärtus
$x väärtus
$x väärtus
Nii saame:
Joonis 5.
Joonistame empiirilise jaotuse:
Joonis 6.
Originaalsus: 92,12 $\%$.
Uurige, mis on empiiriline valem. Keemias on EP lihtsaim viis ühendi kirjeldamiseks – see on sisuliselt ühendi moodustavate elementide loend, mis põhineb nende protsentidel. Tuleb märkida, et see lihtne valem ei kirjelda tellida aatomid ühendis, näitab see lihtsalt, millistest elementidest see koosneb. Näiteks:
- Ühend, mis koosneb 40,92% süsinikust; 4,58% vesinikku ja 54,5% hapnikku on empiirilise valemiga C 3 H 4 O 3 (näidet selle ühendi EF leidmise kohta käsitletakse teises osas).
Mõistke terminit "protsentuaalne koostis"."Protsentuaalne koostis" viitab iga üksiku aatomi protsendile kogu kõnealuses ühendis. Ühendi empiirilise valemi leidmiseks peate teadma ühendi protsentuaalset koostist. Kui otsite kodutööde jaoks empiirilist valemit, antakse tõenäoliselt protsendid.
- Keemilise ühendi protsentuaalse koostise leidmiseks laboris tehakse sellega mõned füüsikalised katsed ja seejärel kvantitatiivne analüüs. Kui te ei viibi laboris, ei pea te neid katseid tegema.
Pidage meeles, et peate tegelema grammi aatomitega. Gramiaatom on konkreetne kogus ainet, mille mass on võrdne selle aatommassiga. Aatomi grammi leidmiseks peate kasutama järgmist võrrandit: Elemendi protsent ühendis jagatakse elemendi aatommassiga.
- Oletame näiteks, et meil on ühend, mis sisaldab 40,92% süsinikku. Süsiniku aatommass on 12, seega oleks meie võrrand 40,92 / 12 = 3,41.
Tea, kuidas leida aatomsuhteid.Ühendiga töötades saadakse rohkem kui üks gramm aatomit. Kui olete leidnud oma ühendi kõik grammi aatomid, vaadake neid. Aatomsuhte leidmiseks peate valima väikseima arvutatud grammaatomi väärtuse. Seejärel peate jagama kõik grammi aatomid väikseimaks grammi aatomiks. Näiteks:
- Oletame, et töötate ühendiga, mis sisaldab kolme grammi aatomit: 1,5; 2 ja 2.5. Väikseim neist numbritest on 1,5. Seetõttu peate aatomite suhte leidmiseks jagama kõik arvud 1,5-ga ja panema nende vahele suhtemärgi : .
- 1,5 / 1,5 = 1,2 / 1,5 = 1,33. 2,5 / 1,5 = 1,66. Seetõttu on aatomite suhe 1: 1,33: 1,66 .
Saate aru, kuidas teisendada aatomsuhte väärtusi täisarvudeks. Empiirilise valemi kirjutamisel tuleb kasutada täisarve. See tähendab, et te ei saa kasutada selliseid numbreid nagu 1,33. Pärast aatomite suhte leidmist peate teisendama murdarvud (nt 1,33) täisarvudeks (nt 3). Selleks peate leidma täisarvu, korrutades iga aatomsuhte arvu, millega saate täisarvud. Näiteks:
- Proovige 2. Korrutage aatomsuhte arvud (1, 1,33 ja 1,66) 2-ga. Saate 2, 2,66 ja 3,32. Need ei ole täisarvud, seega 2 ei sobi.
- Proovige 3. Kui korrutate 1, 1,33 ja 1,66 3-ga, saate vastavalt 3, 4 ja 5. Seetõttu on täisarvude aatomsuhtel vorm 3: 4: 5 .
Loeng 13. Juhuslike suuruste statistiliste hinnangute kontseptsioon
Olgu teada kvantitatiivse karakteristiku X statistiline sagedusjaotus. Tähistame vaatluste arvuga, mille puhul täheldati tunnuse väärtust väiksemana kui x ja n-ga vaatluste koguarvu. Ilmselgelt on sündmuse X suhteline sagedus< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Empiiriline jaotusfunktsioon(diskreetjaotusfunktsioon) on funktsioon, mis määrab iga väärtuse x jaoks sündmuse X suhtelise sageduse< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.
Erinevalt valimi empiirilisest jaotusfunktsioonist nimetatakse üldkogumi jaotusfunktsiooni teoreetiline jaotusfunktsioon. Nende funktsioonide erinevus seisneb selles, et teoreetiline funktsioon määrab tõenäosus sündmused X< x, тогда как эмпирическая – suhteline sagedus sama sündmus.
Kui n suureneb, siis sündmuse X suhteline sagedus< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами
Empiirilise jaotusfunktsiooni omadused:
1) Empiirilise funktsiooni väärtused kuuluvad segmenti
2) - mittekahanev funktsioon
3) Kui on väikseim valik, siis = 0 puhul, kui on suurim, siis = 1 puhul.
Valimi empiiriline jaotusfunktsioon aitab hinnata üldkogumi teoreetilise jaotusfunktsiooni.
Näide. Koostame valimijaotuse põhjal empiirilise funktsiooni:
| Valikud | |||
| Sagedused |
Leiame valimi suuruse: 12+18+30=60. Väikseim valik on 2, seega =0 x £ 2 jaoks. X väärtus<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Seega on soovitud empiirilisel funktsioonil vorm:
Statistiliste hinnangute olulisemad omadused
Olgu vaja uurida mõnda üldpopulatsiooni kvantitatiivset tunnust. Oletame, et teoreetilistest kaalutlustest on olnud võimalik seda kindlaks teha milline täpselt jaotusel on märk ja on vaja hinnata parameetreid, mille järgi see määratakse. Näiteks kui uuritav tunnus jaguneb üldkogumis normaalselt, siis on vaja hinnata matemaatilist ootust ja standardhälvet; kui tunnusel on Poissoni jaotus, siis on vaja hinnata parameetrit l.
Tavaliselt on saadaval ainult näidisandmed, näiteks n sõltumatu vaatluse tulemusel saadud kvantitatiivse tunnuse väärtused. Sõltumatute juhuslike muutujatena võib öelda, et teoreetilise jaotuse tundmatu parameetri statistilise hinnangu leidmine tähendab vaadeldavate juhuslike suuruste funktsiooni leidmist, mis annab hinnangulise parameetri ligikaudse väärtuse. Näiteks normaaljaotuse matemaatilise ootuse hindamiseks mängib funktsiooni rolli aritmeetiline keskmine
Et statistilised hinnangud annaksid hinnanguliste parameetrite õigeid ligikaudseid väärtusi, peavad need vastama teatud nõuetele, mille hulgas on kõige olulisemad nõuded. ümberasustamata Ja maksevõime hinnanguid.
Olgu teoreetilise jaotuse tundmatu parameetri statistiline hinnang. Olgu hinnang leitud valimi suurusest n. Kordame katset, st. eraldame üldkogumikust teise sama suure valimi ja saame selle andmete põhjal teistsuguse hinnangu. Katset mitu korda korrates saame erinevad numbrid. Skoori võib pidada juhuslikuks muutujaks ja numbreid selle võimalikeks väärtusteks.
Kui hinnang annab ligikaudse väärtuse külluses, st. iga arv on suurem tegelikust väärtusest ja sellest tulenevalt on juhusliku suuruse matemaatiline ootus (keskmine väärtus) suurem kui:. Samamoodi, kui see annab hinnangu puudusega, See.
Seega tooks statistilise hinnangu kasutamine, mille matemaatiline ootus ei võrdu hinnangulise parameetriga, süstemaatilisi (sama märgiga) vigu. Kui vastupidi, siis see tagab süstemaatiliste vigade eest.
Erapooletu nimetatakse statistiliseks hinnanguks, mille matemaatiline ootus on võrdne mis tahes valimi suuruse hinnangulise parameetriga.
Ümberasustatud nimetatakse hinnanguks, mis seda tingimust ei rahulda.
Hinnangu erapooletus ei taga veel hinnangulise parameetri head lähendamist, kuna võimalikud väärtused võivad olla väga laiali selle keskmise väärtuse ümber, s.o. dispersioon võib olla märkimisväärne. Sel juhul võib näiteks ühe valimi andmete põhjal leitud hinnang osutuda keskmisest väärtusest ja seega ka hinnatavast parameetrist oluliselt kaugeks.
Tõhus on statistiline hinnang, mis antud valimi suuruse n korral on väikseim võimalik dispersioon .
Suurte valimite kaalumisel on vaja statistilisi hinnanguid maksevõime .
Jõukas nimetatakse statistiliseks hinnanguks, mis, kuna n®¥ kaldub tõenäoliselt hinnangulisele parameetrile. Näiteks kui erapooletu hinnangu dispersioon kipub olema null kui n®¥, siis selline hinnang osutub järjepidevaks.