Gümnaasiumis algebrat õppides (9. klass) on üheks oluliseks teemaks arvjadade õpe, mis hõlmab progresseerumist - geomeetrilist ja aritmeetikat. Selles artiklis vaatleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.
Mis on aritmeetiline progressioon?
Selle mõistmiseks on vaja määratleda kõnealune progress, samuti esitada põhivalemid, mida hiljem probleemide lahendamisel kasutada.
On teada, et mõnes algebralises progressioonis võrdub 1. liige 6-ga ja 7. liige 18-ga. On vaja leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.
Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1 . Asendame sellesse tingimusest teadaolevad andmed, st arvud a 1 ja a 7, saame: 18 = 6 + 6 * d. Selle avaldise põhjal saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) /6 = 2. Seega oleme vastanud ülesande esimesele osale.
Jada taastamiseks 7. liikmele peaksite kasutama algebralise progressiooni definitsiooni, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Näide nr 3: progressiooni koostamine
Teeme probleemi veelgi keerulisemaks. Nüüd peame vastama küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võib tuua järgmise näite: on antud kaks arvu, näiteks - 4 ja 5. Vaja on luua algebraline progressioon, et nende vahele jääks veel kolm liiget.
Enne selle probleemi lahendamise alustamist peate mõistma, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm liiget, siis a 1 = -4 ja a 5 = 5. Olles selle kindlaks teinud, liigume edasi ülesande juurde, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 = a 1 + 4 * d. Alates: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. See, mida me siin saame, ei ole erinevuse täisarv, vaid see on ratsionaalne arv, nii et algebralise progressiooni valemid jäävad samaks.
Nüüd lisame leitud erinevuse 1-le ja taastame progressiooni puuduvad liikmed. Saame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mis langesid kokku probleemi tingimustega.
Näide nr 4: progresseerumise esimene tähtaeg
Jätkame näidete toomist aritmeetilise progressiooni kohta lahendustega. Kõigis varasemates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida, millise arvuga see jada algab.
Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Probleemi avalduses pole nende numbrite kohta midagi teada. Sellegipoolest kirjutame iga termini kohta üles avaldised, mille kohta on saadaval teave: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saime kaks võrrandit, milles on 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.
Lihtsaim viis selle süsteemi lahendamiseks on väljendada igas võrrandis 1 ja seejärel võrrelda saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine võrrand: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Võrdsustades need avaldised, saame: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kust erinevus d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).
Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada mõnda ülaltoodud kahest avaldisest. Näiteks kõigepealt: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Kui kahtlete saadud tulemuses, saate seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43. tähtaeg, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.
Näide nr 5: summa
Vaatame nüüd mitut näidet aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.
Olgu antud arvuline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutada nende arvude 100 summat?
Tänu arvutitehnoloogia arengule on võimalik see probleem lahendada ehk kõik numbrid järjestikku liita, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab sisestusklahvi. Probleemi saab aga vaimselt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle erinevus võrdub 1-ga. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse Gaussiks, sest 18. sajandi alguses suutis kuulus, veel vaid 10-aastane sakslane selle mõne sekundiga oma peas lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada otstes olevad arvud paarikaupa, saad alati sama tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna need summad on täpselt 50 (100 / 2), siis piisab õige vastuse saamiseks 50 korrutamisest 101-ga.
Näide nr 6: terminite summa n-st m-ni
Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, milline on selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14 .
Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust summeerimist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod päris töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek selle probleemi lahendamiseks kasutada teist meetodit, mis on universaalsem.
Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n > m on täisarvud. Mõlemal juhul kirjutame summa jaoks kaks avaldist:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Kuna n > m, on ilmne, et 2. summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Selles avaldises on vaja asendada n ja m valemid. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid summa S mn sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.
Nagu ülaltoodud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise alustamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, selgelt mõista, mida peate leidma, ja alles seejärel jätkata lahendusega.
Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate küsimusele vastata ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemiga S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ja jaga üldülesanne eraldi alamülesanneteks (sel juhul leia esmalt terminid a n ja a m).
Kui kahtlete saadud tulemuse suhtes, on soovitatav seda kontrollida, nagu tehti mõnes toodud näites. Saime teada, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Kui sa sellest aru saad, pole see nii keeruline.
I. V. Jakovlev | Matemaatika materjalid | MathUs.ru
Aritmeetiline progressioon
Aritmeetiline progressioon on jada eritüüp. Seetõttu peame enne aritmeetilise (ja seejärel geomeetrilise) progressiooni määratlemist lühidalt arutlema numbrijada olulise kontseptsiooni üle.
Järjekord
Kujutage ette seadet, mille ekraanil kuvatakse üksteise järel teatud numbreid. Oletame, et 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : See arvude komplekt on täpselt jada näide.
Definitsioon. Numbrijada on arvude kogum, milles igale numbrile saab omistada kordumatu numbri (st seostada ühe naturaalarvuga)1. Arvu n nimetatakse jada n-ndaks liikmeks.
Seega on ülaltoodud näites esimene arv 2, see on jada esimene liige, mida saab tähistada a1-ga; number viis on number 6 on jada viies liige, mida saab tähistada tähega a5. Üldiselt tähistatakse jada n-ndat liiget tähega (või bn, cn jne).
Väga mugav on olukord, kui jada n-nda liikme saab määrata mingi valemiga. Näiteks valem an = 2n 3 määrab jada: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Valem an = (1)n määrab jada: 1; 1; 1; 1; : : :
Mitte iga numbrikomplekt ei ole jada. Seega ei ole segment jada; see sisaldab "liiga palju" numbreid, et neid ümber nummerdada. Kõigi reaalarvude hulk R ei ole samuti jada. Need faktid on tõestatud matemaatilise analüüsi käigus.
Aritmeetiline progressioon: põhimõisted
Nüüd oleme valmis defineerima aritmeetilise progressiooni.
Definitsioon. Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige (alates teisest) on võrdne eelmise liikme ja mõne fikseeritud arvu (mida nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks) summaga.
Näiteks jada 2; 5; 8; üksteist; : : : on aritmeetiline progressioon esimese liikmega 2 ja erinevusega 3. Jada 7; 2; 3; 8; : : : on aritmeetiline progressioon esimese liikmega 7 ja erinevusega 5. Jada 3; 3; 3; : : : on aritmeetiline progressioon, mille erinevus on võrdne nulliga.
Ekvivalentne definitsioon: jada an nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks, kui erinevus an+1 an on konstantne väärtus (sõltumatu n-st).
Aritmeetilist progressiooni nimetatakse suurenevaks, kui selle erinevus on positiivne, ja kahanevaks, kui erinevus on negatiivne.
1 Siin on aga kokkuvõtlikum määratlus: jada on naturaalarvude hulgal defineeritud funktsioon. Näiteks reaalarvude jada on funktsioon f: N ! R.
Vaikimisi peetakse jadasid lõpmatuteks, see tähendab, et need sisaldavad lõpmatu arvu arve. Kuid keegi ei sega meid lõplike jadadega arvestamast; tegelikult võib iga lõplikku arvude hulka nimetada lõplikuks jadaks. Näiteks lõpujada on 1; 2; 3; 4; 5 koosneb viiest numbrist.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem
On lihtne mõista, et aritmeetiline progressioon on täielikult määratud kahe numbriga: esimene liige ja erinevus. Seetõttu tekib küsimus: kuidas, teades esimest liiget ja erinevust, leida aritmeetilise progressiooni suvaline liige?
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme jaoks vajalikku valemit pole keeruline saada. Laske an
aritmeetiline progressioon erinevusega d. Meil on: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
Eelkõige kirjutame: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
ja nüüd saab selgeks, et a valem on: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Ülesanne 1. Aritmeetilises progressioonis 2; 5; 8; üksteist; : : : leia n-nda liikme valem ja arvuta sajanda liige.
Lahendus. Vastavalt valemile (1) on meil:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Aritmeetilise progressiooni omadus ja märk
Aritmeetilise progressiooni omadus. Aritmeetilises progressioonis an mis tahes jaoks
Teisisõnu, iga aritmeetilise progressiooni liige (alates teisest) on tema naaberliikmete aritmeetiline keskmine.
Tõestus. Meil on: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
mida nõutigi.
Üldisemalt, aritmeetiline progressioon an rahuldab võrdsust
a n = a n k+ a n+k
mis tahes n > 2 ja iga loomuliku k korral< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Selgub, et valem (2) ei ole mitte ainult vajalik, vaid ka piisav tingimus, et jada oleks aritmeetiline progressioon.
Aritmeetiline progressioonimärk. Kui võrdus (2) kehtib kõigi n > 2 kohta, on jada an aritmeetiline progressioon.
Tõestus. Kirjutame valemi (2) ümber järgmiselt:
a na n 1= a n+1a n:
Sellest näeme, et erinevus an+1 an ei sõltu n-st ja see tähendab täpselt, et jada an on aritmeetiline progressioon.
Aritmeetilise progressiooni omaduse ja märgi saab sõnastada ühe väite kujul; Mugavuse huvides teeme seda kolme numbri jaoks (see on olukord, mis probleemide korral sageli ette tuleb).
Aritmeetilise progressiooni iseloomustus. Kolm arvu a, b, c moodustavad aritmeetilise progressiooni siis ja ainult siis, kui 2b = a + c.
Ülesanne 2. (MSU, Majandusteaduskond, 2007) Kolm arvu 8x, 3 x2 ja 4 näidatud järjekorras moodustavad kahaneva aritmeetilise progressiooni. Leidke x ja märkige selle progressiooni erinevus.
Lahendus. Aritmeetilise progressiooni omaduse järgi on meil:
2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:
Kui x = 1, siis saame kahaneva progressiooni 8, 2, 4 erinevusega 6. Kui x = 5, siis saame kasvava progressiooni 40, 22, 4; see juhtum ei sobi.
Vastus: x = 1, erinevus on 6.
Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa
Legend räägib, et ühel päeval käskis õpetaja lastel leida arvude summa 1–100 ja istus vaikselt ajalehte lugema. Kuid mõne minuti jooksul ütles üks poiss, et on probleemi lahendanud. See oli 9-aastane Carl Friedrich Gauss, hilisem üks ajaloo suurimaid matemaatikuid.
Väikese Gaussi idee oli järgmine. Lase
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Kirjutame selle summa vastupidises järjekorras:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ja lisage need kaks valemit:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Iga sulgudes olev termin on võrdne 101-ga ja seega on selliseid termineid kokku 100
2S = 101 100 = 10100;
Kasutame seda ideed summa valemi tuletamiseks
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Valemi (3) kasulik modifikatsioon saadakse, kui asendame sellega n-nda liikme valemi an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d | |||||
Ülesanne 3. Leidke kõigi 13-ga jaguvate positiivsete kolmekohaliste arvude summa.
Lahendus. Kolmekohalised arvud, mis on 13-kordsed, moodustavad aritmeetilise progressiooni, mille esimene liige on 104 ja erinevus on 13; Selle progresseerumise n-s liige on kujul:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Uurime välja, kui palju termineid meie edenemine sisaldab. Selleks lahendame ebavõrdsuse:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Seega on meie arengus 69 liiget. Valemi (4) abil leiame vajaliku summa:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid
Teoreetiline teave
Teoreetiline teave
Aritmeetiline progressioon |
Geomeetriline progressioon |
|
Definitsioon |
Aritmeetiline progressioon a n on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne samale arvule lisatud eelmise liikmega d (d- progresseerumise erinevus) |
Geomeetriline progressioon b n on nullist erinevate arvude jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega korrutatuna sama arvuga q (q- progresseerumise nimetaja) |
Kordumise valem |
Igasuguse loomuliku jaoks n |
Igasuguse loomuliku jaoks n |
Valemi n-s tähtaeg |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Iseloomulik omadus |  |
|
| Esimese n liikme summa |  |
 |
Ülesannete näited koos kommentaaridega
1. harjutus
Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6, a 2
Vastavalt n-nda liikme valemile:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 p
Tingimuse järgi:
a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 d.
On vaja leida progressioonide erinevus:
d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Vastus: a 22 = -48.
2. ülesanne
Leidke geomeetrilise progressiooni viies liige: -3; 6;...
1. meetod (kasutades n-liikmelist valemit)
Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi järgi:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Sest b 1 = -3,
2. meetod (kasutades korduvat valemit)
Kuna progressiooni nimetaja on -2 (q = -2), siis:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Vastus: b 5 = -48.
3. ülesanne
Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Leidke selle progressiooni seitsmekümne viies liige.
Aritmeetilise progressiooni korral on iseloomulikul omadusel vorm 
.
Seetõttu:
.
Asendame andmed valemiga:
Vastus: 95.
4. ülesanne
Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a n= 3n - 4. Leidke esimese seitsmeteistkümne liikme summa.
Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa leidmiseks kasutatakse kahte valemit:
.
Millist neist on sel juhul mugavam kasutada?
Tingimuse järgi on algse progressiooni n-nda liikme valem teada ( a n) a n= 3n - 4. Leiad kohe ja a 1, Ja a 16 leidmata d. Seetõttu kasutame esimest valemit.
Vastus: 368.
5. ülesanne
Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Leidke progressiooni kahekümne teine liige.
Vastavalt n-nda liikme valemile:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 p.
Tingimusel, kui a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 p. On vaja leida progressioonide erinevus:
d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Vastus: a 22 = -48.
6. ülesanne
Kirjutatakse mitu järjestikust geomeetrilise progressiooni liiget:
Leidke progressiooni liige, mille nimi on x.
Lahendamisel kasutame n-nda liikme valemit b n = b 1 ∙ q n - 1 geomeetriliste progressioonide jaoks. Progressi esimene tähtaeg. Et leida progressiooni q nimetaja, tuleb võtta ükskõik milline progressiooni antud liige ja jagada see eelmisega. Meie näites saame võtta ja jagada. Saame, et q = 3. Asendame valemis n asemel 3, kuna on vaja leida antud geomeetrilise progressiooni kolmas liige.
Asendades leitud väärtused valemisse, saame:
.
Vastus:.
Ülesanne 7
Valige n-nda liikme valemiga antud aritmeetiliste progressioonide hulgast see, mille tingimus on täidetud a 27 > 9:
Kuna antud tingimus peab olema täidetud progressiooni 27. liikme jaoks, asendame igas neljas progressioonis n asemel 27. Neljandas järgus saame:
.
Vastus: 4.
Ülesanne 8
Aritmeetilises progressioonis a 1= 3, d = -1,5. Määrake n suurim väärtus, mille puhul ebavõrdsus kehtib a n > -6.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga..."
Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on sama palju suurem (või väiksem) kui eelmine.
See teema tundub sageli keeruline ja arusaamatu. Tähtede indeksid, progressiooni n-s liige, progressiooni erinevus - see kõik on kuidagi segane, jah... Teeme aritmeetilise progressiooni tähenduse selgeks ja kõik läheb kohe paremaks.)
Aritmeetilise progressiooni mõiste.
Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kas teil on kahtlusi? Asjata.) Vaadake ise.
Kirjutan lõpetamata numbrite jada:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Kas saate seda sarja pikendada? Millised numbrid tulevad pärast viit? Kõik... uh..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et järgmisena tulevad numbrid 6, 7, 8, 9 jne.
Teeme ülesande keerulisemaks. Annan teile lõpetamata numbrite jada:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Saate mustri püüda, seeriat pikendada ja nime anda seitsmes seeriate arv?
Kui saite aru, et see arv on 20, siis palju õnne! Sa mitte ainult ei tundnud aritmeetilise progressiooni põhipunktid, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te pole sellest aru saanud, lugege edasi.
Tõlgime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)
Esimene võtmepunkt.
Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See tekitab alguses segadust. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid joonistama ja kõike muud... Aga siin me laiendame seeriat, leiame seeria numbri...
See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab spetsiaalselt numbrite ja avaldiste seeriatega. Harju sellega.)
Teine võtmepunkt.
Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama palju.
Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga number on eelmisest kolme võrra suurem. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrist aru saada ja järgnevaid numbreid arvutada.
Kolmas põhipunkt.
See hetk ei raba, jah... Aga see on väga-väga oluline. Siin ta on: Iga edenemisnumber on omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui segate need juhuslikult, muster kaob. Kaob ka aritmeetiline progressioon. Järele on jäänud vaid numbrite jada.
See on kogu asja mõte.
Loomulikult ilmuvad uude teemasse uued terminid ja tähistused. Sa pead neid teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:
Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.
Inspireeriv?) Tähed, mõned indeksid ... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma mõistete ja nimetuste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.
Tingimused ja nimetused.
Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama palju.
Seda kogust nimetatakse . Vaatame seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.
Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et iga progressiooniarv on lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest numbrist.
Arvutamiseks ütleme teiseks seeria numbrid, peate esiteks number lisama just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisama To neljas, noh jne.
Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne, siis osutub seeria iga number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Siin saadakse iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.
Erinevus võib olla negatiivne, siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.
Näiteks:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, kuid juba negatiivne arv, -5.
Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuses navigeerida, oma vigu märgata ja need parandada enne, kui on liiga hilja.
Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.
Kuidas leida d? Väga lihtne. See tuleb lahutada mis tahes arvust seerias eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)
Määratleme näiteks d aritmeetilise progressiooni suurendamiseks:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Võtame reas mis tahes arvu, mida tahame, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:
See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.
Võite selle võtta mis tahes edenemisnumber, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Lihtsalt sellepärast, et kõige esimene number eelmist pole.)
Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Liidame viiendale arvule 3 – saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale arvule liidame kolm, saame seitsmenda numbri – kakskümmend.
Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja mis tahes numbrist võta eelmine ära. Valige mis tahes edenemisnumber, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, suvaline arv.
Muud terminid ja nimetused.
Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.
Iga progressi liige on oma number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt ükskõik, tervik, murdosa, negatiivne, mis iganes, aga numbrite nummerdamine- rangelt korras!
Kuidas kirjutada progressi üldkujul? Pole probleemi! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse tavaliselt tähte a. Liikmenumbrit tähistab indeks all paremal. Kirjutame terminid eraldatuna komadega (või semikooloniga) järgmiselt:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- see on esimene number, a 3- kolmas jne. Ei midagi uhket. Selle seeria võib lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).
Progresseerumine toimub lõplik ja lõpmatu.
Ülim progressioonil on piiratud arv liikmeid. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Kuid see on lõplik arv.
Lõpmatu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)
Lõpliku edenemise saate kirjutada sellise seeria kaudu, kõik terminid ja punkt lõpus:
1, 2, 3, 4, 5.
Või nii, kui liikmeid on palju:
1, 2, ... 14, 15.
Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:
(a n), n = 20
Lõpmatu edenemise tunneb ära rea lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.
Nüüd saate ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.
Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.
Vaatame üksikasjalikult ülaltoodud ülesannet:
1. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.
Tõlgime ülesande arusaadavasse keelde. Antakse lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine number on teada: a 2 = 5. Progressi erinevus on teada: d = -2,5. Peame leidma selle edenemise esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.
Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt ülesande tingimustele. Esimesed kuus terminit, kus teine termin on viis:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
a 3 = a 2 + d
Asendage väljendiga a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Kolmas ametiaeg osutus teisest väiksemaks. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, mis tähendab, et arv ise on eelmisest väiksem. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Me arvestame oma sarja neljandat perioodi:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Seega arvutati terminid kolmandast kuuendani. Tulemuseks on järgmine seeria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Jääb üle leida esimene termin a 1 teada-tuntud teise järgi. See on samm teises suunas, vasakule.) Niisiis, aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära viima:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
See on kõik. Ülesande vastus:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Möödaminnes märgin, et me selle ülesande lahendasime korduv tee. See kohutav sõna tähendab ainult progressi liikme otsimist eelmise (kõrvaloleva) numbri järgi. Allpool vaatleme muid võimalusi progresseerumisega töötamiseks.
Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.
Pidage meeles:
Kui teame vähemalt ühte liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võime leida selle progressiooni mis tahes liikme.
Kas sa mäletad? See lihtne järeldus võimaldab teil lahendada enamiku selle teema koolikursuse probleeme. Kõik ülesanded on seotud kolme põhiparameetriga: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.
Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Progressiooniga on seotud ebavõrdsused, võrrandid ja muud. Aga vastavalt arengule endale- kõik keerleb kolme parameetri ümber.
Näitena vaatame mõnda populaarset selleteemalist ülesannet.
2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d = 0,4 ja a 1 = 3,6.
Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid loendatakse, loendama ja üles kirjutama. Ülesande tingimustes on soovitatav mitte jätta märkamata sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Jääb üle vastus kirja panna:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Teine ülesanne:
3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni (a n) liige, kui a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kes teab? Kuidas midagi kindlaks teha?
Kuidas-kuidas... Pane edenemine seeria kujul kirja ja vaata, kas tuleb seitse või mitte! Me arvestame:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei kuulunud meie arvude jadasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud jadasse.
Vastus: ei.
Ja siin on probleem, mis põhineb GIA tegelikul versioonil:
4. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:
...; 15; X; 9; 6; ...
Siin on sari, mis on kirjutatud ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mis on võimalik teadma sellest sarjast? Mis on kolm peamist parameetrit?
Liikmete numbrid? Siin pole ühtegi numbrit.
Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjekindel" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Kuuest lahutada eelmine number, st. üheksa:
Järele on jäänud vaid pisiasjad. Mis number on X jaoks eelmine? Viisteist. See tähendab, et X on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. Lisage aritmeetilise progressiooni erinevus 15-le:
See on kõik. Vastus: x=12
Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need probleemid ei põhine valemitel. Puhtalt selleks, et mõista aritmeetilise progressiooni tähendust.) Kirjutame lihtsalt numbrite ja tähtede jada, vaatame ja mõtleme välja.
5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.
6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.
7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 = 15,1. Leia 3.
8. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Leidke tähega x tähistatud progressiooni liige.
9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades ühtlaselt kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.
10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.
Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Kõik õnnestus? Hämmastav! Järgmistes tundides saate omandada aritmeetilist progressiooni kõrgemal tasemel.
Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need probleemid tükkhaaval välja sorteeritud.) Ja loomulikult kirjeldatakse lihtsat praktilist tehnikat, mis toob selliste ülesannete lahenduse kohe selgelt, selgelt, ühe pilguga esile!
Muide, rongimõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks on puhtalt edenemise mõttes ja teine on üldine matemaatika ja ka füüsika probleemide jaoks. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.
Selles õppetükis vaatlesime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisama d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik laheneb.
Sõrmelahendus sobib hästi väga lühikeste rea tükkide puhul, nagu selle õpetuse näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui küsimuse ülesandes 9 asendame "viis minutit" peal "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub oluliselt hullemaks.)
Ja on ka ülesandeid, mis on sisuliselt lihtsad, kuid arvutuslikult absurdsed, näiteks:
Antakse aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.
Mis siis, kas me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas sa saad ennast tappa!?
Saate.) Kui te ei tea lihtsat valemit, mille abil saate selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. Minuti pärast.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (edenemise tingimused)
Milles iga järgnev termin erineb eelmisest uue terminiga, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.
Seega, määrates edenemise sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida mis tahes selle elemendi
Aritmeetilise progressiooni omadused
1) Aritmeetilise progressiooni iga liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine
Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni külgnevate paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel oleva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Seda väidet kasutades on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.
Samuti saab aritmeetilise progressiooni omaduse järgi ülaltoodud valemit üldistada järgmiseks
Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutate terminid võrdusmärgist paremale
Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.
2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemi abil
Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, mis on arvutustes asendamatu ja seda leidub üsna sageli lihtsates elusituatsioonides.
3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast alates selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem
4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit
Sellega lõpetatakse teoreetiline materjal ja liigutakse edasi levinud probleemide lahendamisele praktikas.
Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...
Lahendus:
Vastavalt meie seisukorrale
Määrame edenemise etapi
Tuntud valemit kasutades leiame progressiooni neljakümnenda liikme
Näide 2. Aritmeetiline progressioon antakse selle kolmanda ja seitsmenda liikmega. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.
Lahendus:
Kirjutame valemite abil üles progressiooni antud elemendid
Lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusena leiame progresseerumisastme
Asendame leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, et leida aritmeetilise progressiooni esimene liige
Arvutame progressiooni esimese kümne liikme summa
Keerulisi arvutusi kasutamata leidsime kõik vajalikud kogused.
Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.
Lahendus:
Kirjutame üles progressiooni sajanda elemendi valemi
ja leia esimene
Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme
Progressiooni osa summa leidmine
ja esimese 100 summa
Edasimineku summa on 250.
Näide 4.
Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Lahendus:
Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning määrame need
Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate terminite arv
Teostame lihtsustusi
ja lahendage ruutvõrrand
Kahest leitud väärtusest sobib probleemtingimustele ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.
Näide 5.
Lahenda võrrand
1+3+5+...+x=307.
Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse