1) Funktsiooni domeen ja funktsioonide vahemik.

Funktsiooni domeen on kõigi kehtivate kehtivate argumentide väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud. Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y, mille funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Funktsioon null on argumendi väärtus, mille juures funktsiooni väärtus võrdub nulliga.

3) Funktsiooni konstantse märgi intervallid.

Funktsiooni konstantse märgi intervallid on argumentide väärtuste komplektid, mille funktsiooni väärtused on ainult positiivsed või ainult negatiivsed.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritu) funktsioon.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piirituks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist numbrit pole, on funktsioon piiramatu.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et mis tahes funktsiooni definitsioonipiirkonna x korral kehtib järgmine: f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

19. Põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud. Funktsioonide rakendamine majanduses.

Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused ja graafikud

1. Lineaarne funktsioon.

Lineaarne funktsioon nimetatakse funktsiooniks kujul , kus x on muutuja, a ja b on reaalarvud.

Number A mida nimetatakse sirge kaldeks, on see võrdne selle sirge kaldenurga puutujaga x-telje positiivse suuna suhtes. Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. See on määratletud kahe punktiga.

Lineaarse funktsiooni omadused

1. Definitsioonipiirkond – kõigi reaalarvude hulk: D(y)=R

2. Väärtuste hulk on kõigi reaalarvude hulk: E(y)=R

3. Funktsioon võtab nullväärtuse, kui või.

4. Funktsioon suureneb (väheneb) kogu määratluspiirkonna ulatuses.

5. Lineaarfunktsioon on pidev kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, diferentseeruv ja .

2. Ruutfunktsioon.

Vormi funktsiooni, kus x on muutuja, koefitsiendid a, b, c on reaalarvud, nimetatakse ruutkeskne

See õppematerjal on mõeldud ainult viitamiseks ja on seotud paljude teemadega. Artiklis antakse ülevaade põhiliste elementaarfunktsioonide graafikutest ja käsitletakse kõige olulisemat küsimust - kuidas koostada graafik õigesti ja KIIRESTI. Kõrgema matemaatika õppimise käigus ilma põhiliste elementaarfunktsioonide graafikute tundmiseta on see keeruline, seetõttu on väga oluline meeles pidada, millised näevad välja parabooli, hüperbooli, siinuse, koosinuse jne graafikud, ja mõnda neist meeles pidada. funktsioonide tähendustest. Räägime ka põhifunktsioonide mõningatest omadustest.

Ma ei pretendeeri materjalide täielikkusele ja teaduslikule põhjalikkusele, rõhk asetatakse ennekõike praktikale - nendele asjadele, millega kohtab sõna otseses mõttes igal sammul, mis tahes kõrgema matemaatika teemas. Mannekeenide graafikud? Nii võiks öelda.

Lugejate arvukate palvete tõttu klikitav sisukord:

Lisaks on sellel teemal ülilühike konspekt
- omandage 16 tüüpi diagramme, uurides kuut lehekülge!

Tõsiselt, kuus, isegi mina olin üllatunud. See kokkuvõte sisaldab täiustatud graafikat ja on saadaval nominaalse tasu eest. Faili on mugav printida nii, et graafikud oleksid alati käepärast. Aitäh projekti toetamise eest!

Ja alustame kohe:

Kuidas õigesti koordinaattelgesid konstrueerida?

Praktikas täidavad õpilased kontrolltöid peaaegu alati eraldi vihikutes, mis on ruudukujuliselt joonestatud. Miks on vaja ruudulist märgistust? Lõppude lõpuks saab tööd põhimõtteliselt teha A4-lehtedel. Ja puur on vajalik just jooniste kvaliteetseks ja täpseks kujundamiseks.

Funktsioonigraafiku mis tahes joonistamine algab koordinaattelgedega.

Joonised võivad olla kahe- või kolmemõõtmelised.

Vaatleme esmalt kahemõõtmelist juhtumit Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem:

1) Joonistage koordinaatide teljed. Telge nimetatakse x-telg , ja telg on y-telg . Püüame neid alati joonistada korralik ja mitte kõver. Nooled ei tohiks samuti meenutada papa Carlo habet.

2) Allkirjastame teljed suurte tähtedega “X” ja “Y”. Ärge unustage telgi märgistada.

3) Seadke skaala piki telge: joonista null ja kaks ühte. Joonise tegemisel on kõige mugavam ja sagedamini kasutatav mõõtkava: 1 ühik = 2 lahtrit (joonis vasakul) - võimalusel jää sellest kinni. Aeg-ajalt aga juhtub, et joonis ei mahu märkmikulehele ära – siis vähendame mõõtkava: 1 ühik = 1 lahter (joonis paremal). See on haruldane, kuid juhtub, et joonise mõõtkava tuleb veelgi vähendada (või suurendada).

POLE VAJA "kuulipildujat" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Sest koordinaattasand ei ole Descartes'i monument ja õpilane ei ole tuvi. Panime null Ja kaks ühikut piki telge. Mõnikord selle asemelühikutes, on mugav "märgistada" muid väärtusi, näiteks "kaks" abstsissteljele ja "kolm" ordinaatteljel - ja see süsteem (0, 2 ja 3) määratleb ka koordinaatide ruudustiku üheselt.

Parem on hinnata joonise hinnangulisi mõõtmeid ENNE joonise koostamist. Näiteks kui ülesanne nõuab kolmnurga joonistamist tippudega , , , siis on täiesti selge, et populaarne skaala 1 ühik = 2 lahtrit ei tööta. Miks? Vaatame asja - siin peate mõõtma viisteist sentimeetrit allapoole ja ilmselgelt ei mahu joonis (või mahub vaevu) märkmikulehele. Seetõttu valime kohe väiksema skaala: 1 ühik = 1 lahter.

Muide, umbes sentimeetrid ja sülearvuti rakud. Kas vastab tõele, et 30 sülearvuti lahtrit sisaldavad 15 sentimeetrit? Lõbu pärast mõõtke oma märkmikus joonlauaga 15 sentimeetrit. NSV Liidus võis see tõsi olla... Huvitav on märkida, et kui mõõta neid samu sentimeetreid horisontaalselt ja vertikaalselt, on tulemused (lahtrites) erinevad! Rangelt võttes ei ole tänapäevased märkmikud ruudulised, vaid ristkülikukujulised. See võib tunduda jabur, kuid näiteks kompassiga ringi joonistamine on sellistes olukordades väga ebamugav. Ausalt öeldes hakkad sellistel hetkedel mõtlema seltsimees Stalini õigsusele, kes saadeti laagritesse tootmises häkkimistöödele, rääkimata kodumaisest autotööstusest, kukkuvatest lennukitest või plahvatavatest elektrijaamadest.

Kvaliteedist rääkides või lühike soovitus kirjatarvete kohta. Tänapäeval on enamus müügil olevaid märkmikke pehmelt öeldes täielik jama. Sel põhjusel, et nad saavad märjaks ja mitte ainult geelpliiatsite, vaid ka pastapliiatsite käest! Nad säästavad paberil raha. Testide lõpetamiseks soovitan kasutada Arhangelski tselluloosi- ja paberivabriku märkmikke (18 lehte, ruudukujuline) või "Pyaterochka", kuigi need on kallimad. Soovitatav on valida geelpliiats, isegi kõige odavam Hiina geelitäidis on palju parem kui pastapliiats, mis kas määrib või rebib paberit. Ainus “konkureeriv” pastapliiats, mida ma mäletan, on Erich Krause. Ta kirjutab selgelt, kaunilt ja järjekindlalt – kas täis tuumaga või peaaegu tühjaga.

Lisaks: Artiklis käsitletakse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi nägemust analüütilise geomeetria silmade kaudu Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused, üksikasjalikku teavet koordinaatkvartalite kohta leiate õppetunni teisest lõigust Lineaarsed ebavõrdsused.

3D korpus

Siin on peaaegu sama.

1) Joonistage koordinaatide teljed. Standard: telg kohaldada – suunatud üles, telg – suunatud paremale, telg – suunatud alla vasakule rangelt 45 kraadise nurga all.

2) Märgistage teljed.

3) Seadke skaala piki telge. Skaala piki telge on kaks korda väiksem kui teiste telgede skaala. Pange tähele ka seda, et parempoolsel joonisel kasutasin piki telge mittestandardset "sälku". (seda võimalust on juba eespool mainitud). Minu vaatenurgast on see täpsem, kiirem ja esteetilisem - pole vaja otsida mikroskoobi all raku keskosa ja koordinaatide alguspunkti lähedast ühikut “skulpeerida”.

3D-joonise tegemisel eelista jällegi mõõtkava
1 ühik = 2 lahtrit (joonis vasakul).

Mille jaoks kõik need reeglid on? Reeglid on loodud selleks, et neid rikkuda. Seda ma nüüd teengi. Fakt on see, et artikli järgnevad joonised teen mina Excelis ja koordinaatteljed tunduvad õige disaini seisukohalt valed. Ma võin kõik graafikud käsitsi joonistada, kuid tegelikult on neid hirmutav joonistada, kuna Excel ei soovi neid palju täpsemalt joonistada.

Elementaarfunktsioonide graafikud ja põhiomadused

Lineaarfunktsioon on antud võrrandiga. Lineaarfunktsioonide graafik on otsene. Sirge konstrueerimiseks piisab kahe punkti teadmisest.

Näide 1

Koostage funktsiooni graafik. Leiame kaks punkti. Üheks punktiks on kasulik valida null.

Kui siis

Võtame veel ühe punkti, näiteks 1.

Kui siis

Ülesannete täitmisel võetakse punktide koordinaadid tavaliselt tabelisse:

Ja väärtused ise arvutatakse suuliselt või mustandil, kalkulaatoril.

Kaks punkti on leitud, teeme joonise:

Joonise koostamisel allkirjastame alati graafika.

Kasulik oleks meenutada lineaarse funktsiooni erijuhtumeid:

Pange tähele, kuidas ma allkirju panin, allkirjad ei tohiks joonise uurimisel lubada lahknevusi. Antud juhul oli äärmiselt ebasoovitav panna allkiri joonte lõikepunkti kõrvale või all paremale graafikute vahele.

1) Vormi () lineaarset funktsiooni nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks. Näiteks, . Otsese proportsionaalsuse graafik läbib alati alguspunkti. Seega on sirge konstrueerimine lihtsustatud – piisab vaid ühe punkti leidmisest.

2) Vorm võrrand määrab teljega paralleelse sirge, täpsemalt on võrrandiga antud telg ise. Funktsiooni graafik joonistatakse kohe, punkte leidmata. See tähendab, et kirjet tuleks mõista järgmiselt: "y on alati võrdne -4, mis tahes x väärtuse korral."

3) Vorm võrrand määrab teljega paralleelse sirge, täpsemalt on võrrandiga antud telg ise. Kohe joonistatakse ka funktsiooni graafik. Kirjet tuleks mõista järgmiselt: "x on alati y mis tahes väärtuse korral võrdne 1-ga."

Mõni küsib, miks mäletada 6. klassi?! Nii see on, võib-olla on see nii, kuid aastatepikkuse praktika jooksul olen kohanud kümmekond õpilast, kes olid hämmingus graafiku koostamise ülesandest nagu või.

Sirge joone ehitamine on jooniste tegemisel kõige tavalisem tegevus.

Sirgest tuleb üksikasjalikult juttu analüütilise geomeetria käigus ning huvilised võivad viidata artiklile Tasapinna sirgjoone võrrand.

Ruut-, kuupfunktsiooni graafik, polünoomi graafik

Parabool. Ruutfunktsiooni graafik () tähistab parabooli. Mõelge kuulsale juhtumile:

Tuletame meelde funktsiooni mõningaid omadusi.

Niisiis, meie võrrandi lahendus: – just selles punktis asub parabooli tipp. Miks see nii on, leiate tuletise teoreetilisest artiklist ja funktsiooni äärmuste õppetunnist. Vahepeal arvutame välja vastava "Y" väärtuse:

Seega on tipp punktis

Nüüd leiame teisi punkte, kasutades samas jultunult parabooli sümmeetriat. Tuleb märkida, et funktsioon – pole ühtlane, kuid sellegipoolest ei tühistanud keegi parabooli sümmeetriat.

Mis järjekorras ülejäänud punktid leida, selgub vist finaallauast:

Seda ehitusalgoritmi võib Anfisa Tšehhovaga piltlikult nimetada "süstikuks" või "edasi-tagasi" põhimõtteks.

Teeme joonise:

Uuritud graafikute põhjal tuleb meelde veel üks kasulik funktsioon:

Ruutfunktsiooni jaoks () järgmine on tõsi:

Kui , siis on parabooli oksad suunatud ülespoole.

Kui , siis on parabooli oksad suunatud allapoole.

Põhjalikud teadmised kõvera kohta saab tunnis Hüperbool ja parabool.

Funktsioon annab kuupparabooli. Siin üks kooliajast tuttav joonistus:

Loetleme funktsiooni peamised omadused

Funktsiooni graafik

See esindab ühte parabooli harudest. Teeme joonise:

Funktsiooni peamised omadused:

Sel juhul on telg vertikaalne asümptoot graafiku jaoks hüperbooli juures .

Oleks JÄÄV viga, kui laseksite joonist koostades hooletult graafikul asümptoodiga ristuda.

Ka ühepoolsed piirid ütlevad meile, et hüperbool pole ülalt piiratud Ja ei ole altpoolt piiratud.

Uurime funktsiooni lõpmatus: st kui hakkame liikuma mööda telge vasakule (või paremale) lõpmatuseni, siis on "mängud" kindlas sammus lõpmatult lähedal läheneda nullile ja vastavalt ka hüperbooli harudele lõpmatult lähedal läheneda teljele.

Nii et telg on horisontaalne asümptoot funktsiooni graafiku puhul, kui “x” kaldub pluss või miinus lõpmatuseni.

Funktsioon on kummaline, ja seetõttu on hüperbool sümmeetriline päritolu suhtes. See fakt on jooniselt ilmne, lisaks on seda analüütiliselt lihtne kontrollida: .

Vormi () funktsiooni graafik esindab hüperbooli kahte haru.

Kui , siis asub hüperbool esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis(vt pilti ülal).

Kui , siis hüperbool asub teises ja neljandas koordinaatveerandis.

Näidatud hüperbooli asukoha mustrit on lihtne analüüsida graafikute geomeetriliste teisenduste seisukohast.

Näide 3

Koostage hüperbooli parempoolne haru

Kasutame punktpõhist ehitusmeetodit ja väärtused on kasulik valida nii, et need jaguksid tervikuga:

Teeme joonise:

Hüperbooli vasaku haru konstrueerimine ei ole keeruline, siin aitab funktsiooni veidrus. Jämedalt öeldes lisame punktipõhise ehituse tabelis igale numbrile mõttes miinuse, paneme vastavad punktid ja joonistame teise haru.

Üksikasjalikku geomeetrilist teavet vaadeldava joone kohta leiate artiklist Hüperbool ja parabool.

Eksponentfunktsiooni graafik

Selles jaotises käsitlen kohe eksponentsiaalfunktsiooni, kuna kõrgema matemaatika ülesannetes ilmneb 95% juhtudest eksponentsiaal.

Lubage mul teile meelde tuletada, et see on irratsionaalne arv: , seda on vaja graafiku koostamisel, mille ma tegelikult koostan ilma tseremooniata. Ilmselt piisab kolmest punktist:

Jätame funktsiooni graafiku praegu rahule, sellest lähemalt hiljem.

Funktsiooni peamised omadused:

Funktsioonigraafikud jne näevad põhimõtteliselt samad välja.

Pean ütlema, et teist juhtumit esineb praktikas harvemini, kuid see juhtub, nii et pidasin vajalikuks lisada see käesolevasse artiklisse.

Logaritmilise funktsiooni graafik

Vaatleme naturaallogaritmiga funktsiooni.
Teeme punkthaaval joonise:

Kui olete unustanud, mis on logaritm, vaadake oma kooliõpikuid.

Funktsiooni peamised omadused:

Domeen:

Väärtuste vahemik: .

Funktsioon ei ole ülalt piiratud: , küll aeglaselt, kuid logaritmi haru tõuseb lõpmatuseni.
Uurime parempoolse nullilähedase funktsiooni käitumist: . Nii et telg on vertikaalne asümptoot funktsiooni graafik kui “x” kaldub paremalt nulli.

On hädavajalik teada ja meeles pidada logaritmi tüüpilist väärtust: .

Põhimõtteliselt näeb aluse logaritmi graafik välja sama: , , (kümnendlogaritm aluse 10ni) jne. Veelgi enam, mida suurem on alus, seda lamedam on graafik.

Me ei käsitle seda juhtumit, ma ei mäleta, millal ma viimati sellisel alusel graafiku koostasin. Ja logaritm näib olevat väga harv külaline kõrgema matemaatika ülesannetes.

Selle lõigu lõpus ütlen veel ühe fakti: Eksponentfunktsioon ja logaritmiline funktsioon– need on kaks vastastikku pöördfunktsiooni. Kui vaatate tähelepanelikult logaritmi graafikut, näete, et see on sama eksponent, see asub lihtsalt veidi erinevalt.

Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud

Kust algab koolis trigonomeetriline piin? Õige. Siinusest

Joonistame funktsiooni

Seda rida nimetatakse sinusoid.

Tuletan meelde, et “pi” on irratsionaalne arv: , ja trigonomeetrias paneb see silmad särama.

Funktsiooni peamised omadused:

See funktsioon on perioodiline perioodiga . Mida see tähendab? Vaatame segmenti. Sellest vasakul ja paremal kordub lõputult täpselt sama graafiku tükk.

Domeen: , see tähendab, et iga x väärtuse korral on siinusväärtus.

Väärtuste vahemik: . Funktsioon on piiratud: , see tähendab, et kõik "mängud" istuvad rangelt segmendis .
Seda ei juhtu: või täpsemalt, juhtub, kuid neil võrranditel pole lahendust.

Tund ja ettekanne teemal: "Toitefunktsioonid. Omadused. Graafikud"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 11. klassile
Interaktiivne käsiraamat 9.–11. klassile "Trigonomeetria"
Interaktiivne käsiraamat 10.–11. klassile "Logaritmid"

Võimsusfunktsioonid, määratluspiirkond.

Poisid, viimases tunnis õppisime, kuidas töötada arvudega ratsionaalsete astendajatega. Selles õppetükis vaatleme astmefunktsioone ja piirdume juhtumiga, kus astendaja on ratsionaalne.
Vaatleme funktsioone kujul: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Vaatleme esmalt funktsioone, mille eksponent $\frac(m)(n)>1$.
Olgu meile antud konkreetne funktsioon $y=x^2*5$.
Vastavalt definitsioonile, mille me andsime viimases õppetükis: kui $x≥0$, siis on meie funktsiooni määratluspiirkond kiir $(x)$. Kujutame skemaatiliselt meie funktsiooni graafikut.

Funktsiooni $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 omadused 2. See ei ole paaris ega paaritu.
3. Suureneb $$ võrra,
b) $(2,10)$,
c) kiirel $$.
Lahendus.
Poisid, kas mäletate, kuidas 10. klassis leidsime segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse?
See on õige, me kasutasime tuletist. Lahendame oma näite ja kordame algoritmi väikseima ja suurima väärtuse leidmiseks.
1. Leia antud funktsiooni tuletis:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Tuletis eksisteerib kogu algfunktsiooni definitsioonipiirkonna ulatuses, siis kriitilisi punkte pole. Leiame statsionaarsed punktid:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ja $x_2=\sqrt(64)=4$.
Antud segment sisaldab ainult ühte lahendust $x_2=4$.
Koostame oma funktsiooni väärtuste tabeli segmendi otstes ja äärmuspunktis:
Vastus: $y_(nimi)=-862,65 $ at $x=9$; $y_(max.)=38,4$ at $x=4$.

Näide. Lahendage võrrand: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Lahendus. Funktsiooni $y=x^(\frac(4)(3))$ graafik suureneb ja funktsiooni $y=24-x$ graafik väheneb. Poisid, teie ja mina teame: kui üks funktsioon suureneb ja teine ​​väheneb, ristuvad need ainult ühes punktis, see tähendab, et meil on ainult üks lahendus.
Märge:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
See tähendab, et $x=8$ saime õige võrrandi $16=16$, see on meie võrrandi lahendus.
Vastus: $x=8$.

Näide.
Joonistage funktsioon: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Lahendus.
Meie funktsiooni graafik saadakse funktsiooni $y=x^(\frac(3)(4))$ graafikult, nihutades seda 3 ühikut paremale ja 2 ühikut üles.

Näide. Kirjutage võrrand sirge $y=x^(-\frac(4)(5))$ puutuja kohta punktis $x=1$.
Lahendus. Puutuja võrrand määratakse meile tuntud valemiga:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Meie puhul $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Leiame tuletise:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Arvutame:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Leiame puutuja võrrandi:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Vastus: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

1. Leidke segmendis funktsiooni $y=x^\frac(4)(3)$ suurim ja väikseim väärtus:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) kiirel $$.
3. Lahendage võrrand: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Koostage funktsiooni graafik: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Loo võrrand sirge $y=x^(-\frac(3)(7))$ puutuja jaoks punktis $x=1$.

Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik Näidismaterjal Tund-loeng Funktsiooni mõiste. Funktsiooni omadused. Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik. Hinne 10 Kõik õigused kaitstud. Autoriõigus koos autoriõigusega

Tunni käik: kordamine. Funktsioon. Funktsioonide omadused. Uue materjali õppimine. 1. Võimsusfunktsiooni definitsioon. Võimsusfunktsiooni definitsioon. 2. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud. Õpitud materjali koondamine. Sõnaline loendamine. Sõnaline loendamine. Tunni kokkuvõte. Kodune ülesanne.

Funktsiooni definitsioonipiirkond ja väärtuste valdkond Kõik sõltumatu muutuja väärtused moodustavad funktsiooni x y=f(x) definitsioonipiirkonna. Funktsiooni määratluspiirkond Funktsiooni väärtuste valdkond Kõik väärtused, mille sõltuv muutuja moodustab funktsiooni Funktsioon väärtuste domeeni. Funktsiooni omadused

Funktsiooni graafik Olgu antud funktsioon, kus xY y x,75 3 0,6 4 0,5 Funktsiooni graafik on kõigi koordinaattasandi punktide hulk, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega, ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega. Funktsioon. Funktsiooni omadused

Y x Funktsiooni 4 definitsioonipiirkond ja väärtuste vahemik y=f(x) Funktsiooni määratluspiirkond: Funktsiooni väärtuste valdkond: Funktsioon. Funktsiooni omadused

Paarisfunktsioon y x y=f(x) Paarisfunktsiooni graafik on toiminguvõimendi telje suhtes sümmeetriline Funktsioon y=f(x) kutsutakse välja ka siis, kui f(-x) = f(x) jaoks mis tahes x funktsiooni Funktsioon definitsioonipiirkonnast. Funktsiooni omadused

Paaritu funktsioon y x y=f(x) Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline lähtepunkti O(0;0) suhtes. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks, kui f(-x) = -f(x) mis tahes x jaoks piirkonna funktsiooni definitsioonidest Funktsioon. Funktsiooni omadused

Astumusfunktsiooni definitsioon Funktsiooni, kus p on antud reaalarv, nimetatakse astmefunktsiooniks. p y=x p P=x y 0 Tunni edenemine

Astumusfunktsioon x y 1. Kuju, kus n on naturaalarv, astmefunktsioonide definitsioonipiirkond ja väärtuste vahemik on kõik reaalarvud. 2. Need funktsioonid on veidrad. Nende graafik on päritolu suhtes sümmeetriline. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud

Ratsionaalse positiivse eksponendiga astmefunktsioonid Definitsioonipiirkonnaks on kõik positiivsed arvud ja arv 0. Sellise eksponendiga funktsioonide väärtuste vahemik on samuti kõik positiivsed arvud ja arv 0. Need funktsioonid ei ole paaris ega paaritud. . y x Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioon. Selliste funktsioonide määratluspiirkond ja väärtuste vahemik on kõik positiivsed arvud. Funktsioonid pole paaris ega paaritud. Sellised funktsioonid vähenevad kogu nende määratluspiirkonnas. y x Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud Tunni käik

1. Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik;

2. Teisendused:

Paralleelne ülekanne;

Sümmeetria koordinaattelgede kohta;

Sümmeetria päritolu kohta;

Sümmeetria sirge y = x suhtes;

Venitamine ja kokkusurumine piki koordinaattelge.

3. Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik, sarnased teisendused;

4. Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik;

5. Trigonomeetriline funktsioon, selle omadused ja graafik, sarnased teisendused (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Funktsioon: y = x\n - selle omadused ja graafik.

Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x jne. Kõik need funktsioonid on võimsusfunktsiooni, st funktsiooni erijuhud y = x p, kus p on antud reaalarv.
Astmefunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad oluliselt reaalse astendajaga astme omadustest ja eelkõige väärtustest, mille puhul x Ja lk kraadil on mõtet xp. Jätkame erinevate juhtumite sarnase kaalumisega, sõltuvalt sellest
eksponent lk.

1. Indeks p = 2n- paaris naturaalarv.

y = x2n, Kus n- naturaalarv, millel on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - kõik reaalarvud, st hulk R;
• väärtuste komplekt - mittenegatiivsed arvud, st y on suurem kui 0 või sellega võrdne;
• funktsiooni y = x2n isegi, sest x 2n = (-x) 2n
• funktsioon väheneb intervalliga x< 0 ja intervalli suurendamine x > 0.

Funktsiooni graafik y = x2n on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y = x 4.

2. Näitaja p = 2n - 1- paaritu naturaalarv

Sel juhul toitefunktsioon y = x2n-1, kus on naturaalarv, on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R;
• väärtuste komplekt - komplekt R;
• funktsiooni y = x2n-1 veider, sest (- x) 2n-1= x2n-1;
• funktsioon kasvab kogu reaalteljel.

Funktsiooni graafik y = x2n-1 y = x 3.

3. Näitaja p = -2n, Kus n- naturaalarv.

Sel juhul toitefunktsioon y = x -2n = 1/x 2n sellel on järgmised omadused:

• väärtuste komplekt - positiivsed arvud y>0;
• funktsioon y = 1/x2n isegi, sest 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• funktsioon kasvab intervallil x0.

Funktsiooni y graafik = 1/x2n on sama kujuga kui näiteks funktsiooni y graafik = 1/x 2.

4. Näitaja p = -(2n-1), Kus n- naturaalarv.
Sel juhul toitefunktsioon y = x -(2n-1) sellel on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R, välja arvatud x = 0;
• väärtuste komplekt - komplekt R, välja arvatud y = 0;
• funktsiooni y = x -(2n-1) veider, sest (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
• funktsioon väheneb intervallidega x< 0 Ja x > 0.

Funktsiooni graafik y = x -(2n-1) on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y = 1/x 3.