Teema. Tuletis. Tuletise geomeetriline ja mehaaniline tähendus
Kui see piir on olemas, siis öeldakse, et funktsioon on punktis diferentseeruv. Funktsiooni tuletist tähistatakse (valem 2).
- Tuletise geomeetriline tähendus. Vaatame funktsiooni graafikut. Jooniselt 1 on selge, et funktsiooni graafiku mis tahes kahe punkti A ja B jaoks saab kirjutada valemi 3). See sisaldab sekandi AB kaldenurka.
Seega on vahesuhe võrdne sekandi kaldega. Kui fikseerida punkt A ja nihutada punkti B selle poole, siis see väheneb piiramatult ja läheneb 0-le ning sekant AB läheneb puutujale AC. Seetõttu on erinevuse suhte piir võrdne puutuja kaldega punktis A. See viib järelduseni.
Funktsiooni tuletis punktis on selle funktsiooni graafiku puutuja tõus selles punktis. See on tuletise geomeetriline tähendus.
- Tangensi võrrand . Tuletame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi punktis. Üldjuhul on nurkkoefitsiendiga sirge võrrand järgmine: . B leidmiseks kasutame ära asjaolu, et puutuja läbib punkti A: . See tähendab:. Asendades selle avaldise b asemel, saame puutuja võrrandi (valem 4).
Tuletise geomeetrilise väärtuse väljaselgitamiseks vaatleme funktsiooni y = f(x) graafikut. Võtame suvalise punkti M koordinaatidega (x, y) ja selle lähedal asuva punkti N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Joonistame ordinaadid $\overline(M_(1) M)$ ja $\overline(N_(1) N)$ ning punktist M - OX-teljega paralleelse sirge.
Suhe $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ on nurga $\alpha $1 puutuja, mille moodustab sekant MN OX-telje positiivse suunaga. Kuna $\Delta $x kaldub nullile, läheneb punkt N punktile M ja sekandi MN piirasend on punktis M kõvera puutuja MT. Seega on tuletis f`(x) võrdne puutujaga nurga $\alpha $ puutuja poolt moodustatud kõvera punktis M (x, y) positiivse suunaga OX-telje suhtes – puutuja kalle (joon. 1).
Joonis 1. Funktsioonigraafik
Väärtuste arvutamisel valemite (1) abil on oluline mitte teha märkides vigu, sest juurdekasv võib olla ka negatiivne.
Kõveral asuv punkt N võib kalduda M-le igalt poolt. Seega, kui joonisel 1 on puutujale antud vastupidine suund, muutub nurk $\alpha $ summa $\pi $ võrra, mis mõjutab oluliselt nurga puutujat ja vastavalt ka nurkkoefitsienti.
Järeldus
Sellest järeldub, et tuletise olemasolu on seotud kõvera y = f(x) puutuja olemasoluga ja nurgakoefitsient - tg $\alpha $ = f`(x) on lõplik. Seetõttu ei tohiks puutuja olla paralleelne OY-teljega, vastasel juhul $\alpha $ = $\pi $/2 ja nurga puutuja on lõpmatu.
Mõnes punktis ei pruugi pideval kõveral puutuja olla või puutuja on paralleelne OY-teljega (joonis 2). Siis ei saa funktsioonil nendes väärtustes olla tuletist. Funktsioonikõveral võib olla suvaline arv sarnaseid punkte.
Joonis 2. Kõvera erandlikud punktid
Vaatleme joonist 2. Laske $\Delta $x nullida negatiivsetest või positiivsetest väärtustest:
\[\Delta x\to -0\begin(massiivi)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(massiivi)\]
Kui sel juhul on seostel (1) lõplik piir, tähistatakse seda järgmiselt:
Esimesel juhul on tuletis vasakul, teisel on tuletis paremal.
Piirmäära olemasolu näitab vasak- ja parempoolse tuletise samaväärsust ja võrdsust:
Kui vasak ja parem tuletis on ebavõrdsed, siis antud punktis on puutujad, mis ei ole paralleelsed OY-ga (punkt M1, joon. 2). Punktides M2, M3 seosed (1) kalduvad lõpmatuseni.
M2-st vasakul asuvate punktide N puhul $\Delta $x $
$M_2$ paremal, $\Delta $x $>$ 0, kuid avaldis on ka f(x + $\Delta $x) -- f(x) $
Vasakpoolse punkti $M_3$ jaoks $\Delta $x $$ 0 ja f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, s.o. avaldised (1) nii vasakul kui ka paremal on positiivsed ja kipuvad olema +$\infty $, kui $\Delta $x läheneb -0-le ja +0-le.
Tuletise puudumise juhtum sirge kindlates punktides (x = c) on toodud joonisel 3.
Joonis 3. Tuletised puuduvad
Näide 1
Joonisel 4 on kujutatud funktsiooni graafik ja graafiku puutuja abstsisspunktis $x_0$. Leia funktsiooni tuletise väärtus abstsissil.
Lahendus. Punkti tuletis on võrdne funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhtega. Valime kaks täisarvu koordinaatidega puutuja punkti. Olgu need näiteks punktid F (-3,2) ja C (-2,4).
Tuletis(funktsioonid punktis) – põhimõiste diferentsiaalarvutus, mis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust (antud punktis). Defineeritud kui piiri seos funktsiooni juurdekasvu ja selle juurdekasvu vahel argument kui argumendi juurdekasv kipub null, kui selline piirang on olemas. Funktsiooni, millel on (mingil hetkel) lõplik tuletis, nimetatakse diferentseeruvaks (sellel hetkel).
Tuletise arvutamise protsessi nimetatakse eristamist. Pöördprotsess – leidmine antiderivaat - integratsiooni.
Kui funktsioon on antud graafikuga, on selle tuletis igas punktis võrdne funktsiooni graafiku puutuja puutujaga. Ja kui funktsioon on antud valemiga, siis on abiks tuletiste tabel ja diferentseerimisreeglid ehk tuletise leidmise reeglid.
4. Kompleks- ja pöördfunktsiooni tuletis.
Olgu nüüd antud keeruline funktsioon , st. muutuja on muutuja funktsioon ja muutuja on omakorda sõltumatu muutuja funktsioon.
Teoreem . Kui Ja eristatav selle argumentide funktsioonid, siis kompleksfunktsioon on diferentseeruv funktsioon ja selle tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes:
.
Väide on ilmselgest võrdsusest kergesti kättesaadav 
(kehtib ja jaoks), minnes piirini (mis diferentseeruva funktsiooni järjepidevuse tõttu tähendab ).
Liigume edasi tuletise käsitlemisele pöördfunktsioon.
Olgu hulga diferentseeritaval funktsioonil väärtuste komplekt ja hulgal on need olemas pöördfunktsioon .
Teoreem
. Kui punktis
tuletis
, siis pöördfunktsiooni tuletis
punktis
eksisteerib ja on võrdne selle funktsiooni tuletise pöördarvuga: 
, või
See valem on geomeetriliste kaalutluste põhjal kergesti leitav.
T 
Nii nagu on olemas puutuja kaldenurga puutuja telje suhtes, see tähendab sama puutuja (sama sirge) kaldenurga puutuja samas punktis telje suhtes.
Kui need on teravad, siis , ja kui nürid, siis 
.
Mõlemal juhul 
. See võrdsus võrdub võrdsusega
5. Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus.
1) Tuletise füüsiline tähendus.
Kui funktsioon y = f(x) ja selle argument x on füüsikalised suurused, siis tuletis on muutuja y muutumise kiirus muutuja x suhtes mingis punktis. Näiteks kui S = S(t) on vahemaa, mille läbib ajahetk t, siis selle tuletis on kiirus ajahetkel. Kui q = q(t) on elektrienergia hulk, mis voolab läbi juhi ristlõike ajahetkel t, siis on elektrihulga muutumise kiirus ajahetkel, s.o. voolutugevus ajahetkel.
2) Tuletise geomeetriline tähendus.
Olgu kõver, punkt kõveral.
Iga sirget, mis lõikub vähemalt kahte punkti, nimetatakse sekantiks.
Kõvera puutuja punktis on sekandi piirasend, kui punkt kaldub piki kõverat liikudes.
Definitsioonist on ilmne, et kui mingis punktis eksisteerib kõvera puutuja, siis on see ainus
Vaatleme kõverat y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafikut). Lase punktis 
sellel on mittevertikaalne puutuja. Selle võrrand: (punkti läbiva sirge võrrand 
ja millel on kalle k).
Nurgakoefitsiendi definitsiooni järgi, kus on sirge kaldenurk telje suhtes.
Laskma olema kaldenurk sekant telje suhtes, kus. Kuna on puutuja, siis millal
Seega
Seega leidsime, et see on funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja nurgakoefitsient punktis 
(funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus punktis). Seetõttu kõvera puutuja võrrand y = f(x) punktis 
saab vormis kirjutada
GBPOU "Peterburi pedagoogikakolledž nr 4" õpetaja avatud tunni kokkuvõte
Martusevitš Tatjana Olegovna
Kuupäev: 29.12.2014.
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus.
Tunni tüüp: uue materjali õppimine.
Õppemeetodid: visuaalne, osaliselt otsing.
Tunni eesmärk.
Tutvustage funktsiooni graafiku puutuja mõistet punktis, selgitage välja, mis on tuletise geomeetriline tähendus, tuletage puutuja võrrand ja õpetage seda leidma.
Hariduslikud eesmärgid:
Saavutada arusaam tuletise geomeetrilisest tähendusest; puutuja võrrandi tuletamine; õppida lahendama põhiprobleeme;
pakkuda materjali kordamist teemal “Tuletise definitsioon”;
luua tingimused teadmiste ja oskuste kontrollimiseks (enesekontrolliks).
Arendusülesanded:
edendada võrdlemise, üldistamise ja peamise esiletõstmise tehnikate rakendamise oskuste kujunemist;
jätkata matemaatilise silmaringi, mõtlemise ja kõne, tähelepanu ja mälu arendamist.
Õppeülesanded:
edendada huvi matemaatika vastu;
aktiivsus-, liikuvus-, suhtlemisoskuste harimine.
Tunni tüüp – kombineeritud tund kasutades IKT-d.
Varustus – multimeedia installatsioon, esitlusMicrosoftVõimsusPunkt.
Tunni etapp
Aeg
Õpetaja tegevus
Õpilaste tegevus
1. Organisatsioonimoment.
Märkige tunni teema ja eesmärk.
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus.
Tunni eesmärk.
Tutvustage funktsiooni graafiku puutuja mõistet punktis, selgitage välja, mis on tuletise geomeetriline tähendus, tuletage puutuja võrrand ja õpetage seda leidma.
Õpilaste ettevalmistamine tööks tunnis.
Ettevalmistus tööks klassis.
Tunni teema ja eesmärgi mõistmine.
Märkmete tegemine.
2. Ettevalmistus uue materjali õppimiseks läbi kordamise ja algteadmiste uuendamise.
Põhiteadmiste kordamise ja uuendamise korraldamine: tuletise defineerimine ja selle füüsikalise tähenduse sõnastamine.
Tuletise definitsiooni sõnastamine ja selle füüsikalise tähenduse sõnastamine. Põhiteadmiste kordamine, täiendamine ja kinnistamine.
Kordamise organiseerimine ja astmefunktsiooni ja elementaarfunktsioonide tuletise leidmise oskuse arendamine.
Nende funktsioonide tuletise leidmine valemite abil.
Lineaarfunktsiooni omaduste kordamine.
Kordamine, jooniste ja õpetaja ütluste tajumine
3. Töö uue materjaliga: selgitus.
Funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu vahelise seose tähenduse selgitus
Tuletise geomeetrilise tähenduse seletus.
Uue materjali tutvustamine sõnaliste selgituste kaudu piltide ja visuaalsete abivahendite abil: multimeedia esitlus animatsiooniga.
Selgituse tajumine, mõistmine, vastused õpetaja küsimustele.
Küsimuse sõnastamine õpetajale raskuste korral.
Uue teabe tajumine, selle esmane mõistmine ja mõistmine.
Küsimuste formuleerimine õpetajale raskuste korral.
Märkme loomine.
Tuletise geomeetrilise tähenduse sõnastamine.
Kolme juhtumi käsitlemine.
Märkmete tegemine, jooniste tegemine.
4. Töö uue materjaliga.
Õpitava materjali esmane mõistmine ja rakendamine, selle kinnistamine.
Millistes punktides on tuletis positiivne?
Negatiivne?
Võrdne nulliga?
Ajakava alusel esitatud küsimustele vastuste algoritmi leidmise koolitus.
Uue teabe mõistmine, mõtestamine ja rakendamine probleemi lahendamiseks.
5. Õpitava materjali esmane mõistmine ja rakendamine, selle kinnistamine.
Ülesande tingimuste teade.
Ülesande tingimuste fikseerimine.
Küsimuse sõnastamine õpetajale raskuste korral
6. Teadmiste rakendamine: iseseisev õpetava iseloomuga töö.
Lahendage probleem ise:
Omandatud teadmiste rakendamine.
Iseseisev töö jooniselt tuletise leidmise probleemi lahendamisel. Arutelu ja vastuste kontrollimine paaris, raskuste korral küsimuse formuleerimine õpetajale.
7. Töötamine uue materjaliga: selgitus.
Funktsiooni graafiku puutuja võrrandi tuletamine punktis.
Funktsiooni graafiku puutuja võrrandi tuletamise üksikasjalik seletus punktis, kasutades selguse huvides multimeedia esitlust ja vastused õpilaste küsimustele.
Tangensvõrrandi tuletamine koos õpetajaga. Vastused õpetaja küsimustele.
Märkmete tegemine, joonise koostamine.
8. Töötamine uue materjaliga: selgitus.
Dialoogis õpilastega algoritmi tuletamine antud funktsiooni graafiku puutuja võrrandi leidmiseks antud punktis.
Dialoogis õpetajaga tuletage algoritm etteantud punktis antud funktsiooni graafiku puutuja võrrandi leidmiseks.
Märkmete tegemine.
Ülesande tingimuste teade.
Omandatud teadmiste rakendamise koolitus.
Probleemi lahendamise viiside otsimise korraldamine ja nende rakendamine. lahenduse üksikasjalik analüüs koos selgitusega.
Ülesande tingimuste fikseerimine.
Eelduste tegemine võimalike probleemi lahendamise viiside kohta tegevuskava iga punkti elluviimisel. Probleemi lahendamine koos õpetajaga.
Probleemi lahenduse ja vastuse salvestamine.
9. Teadmiste rakendamine: iseseisev õpetava iseloomuga töö.
Individuaalne kontroll. Vajadusel nõustamine ja abistamine õpilastele.
Kontrollige ja selgitage lahendust esitluse abil.
Omandatud teadmiste rakendamine.
Iseseisev töö jooniselt tuletise leidmise probleemi lahendamisel. Arutelu ja vastuste kontrollimine paaris, raskuste korral küsimuse formuleerimine õpetajale
10. Kodutöö.
§48, ülesanded 1 ja 3, mõista lahendust ja kirjuta see vihikusse, koos joonistega.
№ 860 (2,4,6,8),
Kodutöö sõnum koos kommentaaridega.
Kodutööde salvestamine.
11. Kokkuvõtete tegemine.
Kordasime tuletise määratlust; tuletise füüsiline tähendus; lineaarfunktsiooni omadused.
Saime teada, mis on tuletise geomeetriline tähendus.
Õppisime, kuidas tuletada antud punktis antud funktsiooni graafiku puutuja võrrandit.
Tunnitulemuste parandamine ja täpsustamine.
Tunni tulemuste loetlemine.
12. Peegeldus.
1. Leidsite õppetunni: a) lihtsaks; b) tavaliselt; c) raske.
a) olen selle täielikult omandanud, oskan seda rakendada;
b) olete seda õppinud, kuid teil on seda raske rakendada;
c) ei saanud aru.
3. Multimeedia esitlus klassis:
a) aitas materjali meisterdada; b) ei aidanud materjali omandada;
c) segas materjali assimilatsiooni.
Refleksiooni läbiviimine.