NNN-i toimetajad sattusid kogemata kasutaja xtsarxi ajaveebis väga huvitavale materjalile, mis oli pühendatud teooria elementidele. fraktalid ja selle praktiline rakendamine. Teatavasti mängib fraktaalteeria nanosüsteemide füüsikas ja keemias olulist rolli. Olles andnud oma panuse sellesse heasse materjali, mis on esitatud laiale lugejaskonnale kättesaadavas keeles ja mida toetab ohtralt graafilist ja isegi videomaterjali, tutvustame seda teie tähelepanu. Loodame, et NNN-i lugejatele tundub see materjal huvitav.
Loodus on nii salapärane, et mida rohkem seda uurid, seda rohkem tekib küsimusi... Öine välk - hargnevate heitmete sinised "joad", härmas mustrid aknal, lumehelbed, mäed, pilved, puukoor - kõik see ületab tavapärase Eukleidiline geomeetria. Me ei saa kirjeldada kivi ega saare piire sirgjoonte, ringide ja kolmnurkade abil. Ja siin nad tulevad meile appi fraktalid. Mis on need tuttavad võõrad?
"Mikroskoobi all avastas ta selle kirbult
Kirp, mis hammustab elusid;
Selle kirbu peal on pisike kirp,
Hammas torkab vihaselt kirbu
Kirp ja nii lõpmatuseni." D. Swift.
Natuke ajalugu
Esimesed ideed fraktaalgeomeetria tekkis 19. sajandil. Cantor muutis lihtsa rekursiivse (korduva) protseduuri abil joone ühendamata punktide kogumiks (nn Cantori tolm). Ta võtaks joone ja eemaldaks keskmise kolmandiku ja kordaks sama ülejäänud osadega.
Riis. 1. Peano kõver 1,2–5 iteratsiooni.
Peano tõmbas erilise joone. Peano tegi järgmist:: Esimeses etapis võttis ta sirge ja asendas selle 9 lõiguga, mis oli 3 korda lühem kui algse joone pikkus. Seejärel tegi ta sama saadud joone iga lõiguga. Ja nii edasi lõpmatuseni. Selle ainulaadsus seisneb selles, et see täidab kogu lennuki. On tõestatud, et iga punkti kohta tasapinnal võib leida Peano joonele kuuluva punkti. Peano kõver ja Cantori tolm ületasid tavalisi geomeetrilisi objekte. Neil polnud selget mõõdet. Kantori tolm näis olevat ehitatud ühemõõtmelise sirge alusel, kuid koosnes punktidest (mõõde 0). Ja Peano kõver ehitati ühemõõtmelise joone alusel ja tulemuseks oli tasapind. Paljudes teistes teadusvaldkondades ilmnesid probleemid, mille lahendamine viis eelkirjeldatutega sarnaste kummaliste tulemusteni (Browni liikumine, aktsiahinnad). Igaüks meist saab seda protseduuri teha...
Fraktalide isa
Kuni 20. sajandini koguti andmeid selliste kummaliste esemete kohta, püüdmata neid süstematiseerida. Seda seni, kuni ma nad enda peale võtsin Benoit Mandelbrot – kaasaegse fraktaalgeomeetria ja sõna fraktal isa.
Riis. 2. Benoit Mandelbrot.
IBM-is matemaatilise analüütikuna töötades uuris ta elektroonikaahelates esinevat müra, mida ei olnud võimalik statistika abil kirjeldada. Võrreldes järk-järgult fakte, jõudis ta matemaatikas uue suuna avastamiseni - fraktaalgeomeetria.
Mõiste "fraktal" võttis kasutusele B. Mandelbrot 1975. aastal. Mandelbroti järgi fraktal(ladina keelest "fractus" - murdosa, purustatud, katki) nimetatakse tervikuga sarnastest osadest koosnev struktuur. Enesesarnasuse omadus eristab teravalt fraktale klassikalise geomeetria objektidest. Tähtaeg enesesarnasus tähendab peene, korduva struktuuri olemasolu nii objekti kõige väiksematel skaalal kui ka makroskaalal.
Riis. 3. Mõiste "fraktal" määratlemise poole.
Enesesarnasuse näited on: Koch, Levy, Minkowski kõverad, Sierpinski kolmnurk, Mengeri käsn, Pythagorase puu jne.
Matemaatilisest vaatenurgast, fraktal- see on esiteks komplekt murdosa (vahepealne, "mitte täisarv") mõõtmega. Kui sile eukleidiline joon täidab täpselt ühemõõtmelise ruumi, siis fraktaalkõver ulatub väljapoole ühemõõtmelise ruumi piire, tungides piiridest välja kahemõõtmelisse ruumi. Seega jääb Kochi kõvera fraktaalmõõde vahemikku 1 kuni 2 See tähendab esiteks, et fraktaalobjekti puhul on võimatu selle pikkust täpselt mõõta! Nendest geomeetrilistest fraktaalidest on esimene väga huvitav ja üsna kuulus - Kochi lumehelves.
Riis. 4. Mõiste “fraktal” määratlemise poole.
See on ehitatud alusele Võrdkülgne kolmnurk. Mille iga rida asendatakse 4 reaga, igaüks 1/3 algsest pikkusest. Seega iga iteratsiooniga suureneb kõvera pikkus kolmandiku võrra. Ja kui teeme lõpmatu arvu iteratsioone, saame fraktali – lõpmatu pikkusega Kochi lumehelbe. Selgub, et meie lõpmatu kõver katab piiratud ala. Proovige sama teha, kasutades Eukleidilise geomeetria meetodeid ja jooniseid.
Kochi lumehelbe mõõde(kui lumehelves suureneb 3 korda, suureneb selle pikkus 4 korda) D=log(4)/log(3)=1,2619.
Fraktalist endast
Fraktalid leiavad üha rohkem rakendusi teaduses ja tehnoloogias. Selle peamiseks põhjuseks on see, et need kirjeldavad tegelikku maailma mõnikord isegi paremini kui traditsiooniline füüsika või matemaatika. Saate lõputult tuua näiteid looduses leiduvatest fraktaalobjektidest - need on pilved, lumehelbed ja mäed, välklamp ja lõpuks lillkapsas. Fraktal kui loodusobjekt on igavene pidev liikumine, uus moodustumine ja areng.
Riis. 5. Fraktalid majanduses.
Pealegi, fraktalid leiavad rakendust detsentraliseeritud arvutivõrkudes Ja "fraktaalantennid" . Nn Browni fraktalid on väga huvitavad ja paljutõotavad erinevate stohhastiliste (mittedeterministlike) "juhuslike" protsesside modelleerimiseks. Nanotehnoloogia puhul on oluline roll ka fraktaalidel , sest nende hierarhilise iseorganiseerumise tõttu paljud nanosüsteemidel on mittetäisarvuline mõõde st nad on oma geomeetrilise, füüsikalis-keemilise või funktsionaalse olemuselt fraktalid. Näiteks, Keemiliste fraktaalsüsteemide ilmekas näide on "dendrimeeride" molekulid. . Lisaks peegeldab fraktaalsuse põhimõte (enesesarnane, skaleeriv struktuur) süsteemi hierarhilist struktuuri ning on seetõttu üldisem ja universaalsem kui standardsed lähenemisviisid nanosüsteemide struktuuri ja omaduste kirjeldamisel.
Riis. 6. “Dendrimeeri” molekulid.
Riis. 7. Kommunikatsiooni graafiline mudel arhitektuuri- ja ehitusprotsessis. Interaktsiooni esimene tasand mikroprotsesside vaatenurgast.
Riis. 8. Kommunikatsiooni graafiline mudel arhitektuuri- ja ehitusprotsessis. Interaktsiooni teine tasand makroprotsesside vaatenurgast (mudeli fragment).
Riis. 9. Kommunikatsiooni graafiline mudel arhitektuuri- ja ehitusprotsessis. Teine interaktsiooni tase makroprotsesside vaatenurgast (kogu mudel)
Riis. 10. Graafilise mudeli tasapinnaline arendamine. Esimene homöostaatiline seisund.
Kaunite ja ebatavaliste fraktaalide pildigalerii
Riis. üksteist.
Riis. 12.
Riis. 13.
Riis. 14.
Riis. 15.
Riis. 16.
Riis. 17.
Riis. 18.
Riis. 19.
Riis. 20.
Riis. 21.
Riis. 22.
Riis. 23.
Riis. 24.
Riis. 25.
Riis. 26.
Riis. 27.
Riis. 28.
Riis. 29.
Riis. kolmkümmend.
Riis. 31.
Riis. 32.
Riis. 33.
Riis. 34.
Riis. 35.
Parandus ja toimetamine lõpetatud Filippov Yu.P.
Fraktal
Fraktal (lat. fractus- purustatud, purustatud, purustatud) on geomeetriline kujund, millel on enesesarnasuse omadus, see tähendab, et see koosneb mitmest osast, millest igaüks on sarnane kogu figuuriga. Matemaatikas mõistetakse fraktaale eukleidilise punktide kogumina ruum, millel on murdosa meetriline mõõde (Minkowski või Hausdorffi tähenduses) või topoloogilisest erinev meetriline mõõde. Fraktasm on iseseisev täppisteadus, mis uurib ja koostab fraktaleid.
Teisisõnu, fraktaalid on murdosalise mõõtmega geomeetrilised objektid. Näiteks joone mõõde on 1, pindala on 2 ja ruumala on 3. Fraktaali puhul võib mõõtme väärtus olla vahemikus 1 kuni 2 või vahemikus 2 kuni 3. Näiteks kortsutatud fraktaalmõõde paberipall on umbes 2,5. Matemaatikas on fraktaalide mõõtme arvutamiseks spetsiaalne kompleksvalem. Hingetoru torude oksad, lehed puudel, veenid käes, jõgi - need on fraktaalid. Lihtsamalt öeldes on fraktaal geomeetriline kujund, mille teatud osa kordub ikka ja jälle, muutudes suuruselt – see on enesesarnasuse printsiip. Fraktalid on iseendaga sarnased, nad on iseendaga sarnased kõigil tasanditel (s.t. mis tahes skaalal). Fraktaleid on palju erinevaid. Põhimõtteliselt võib väita, et kõik, mis reaalses maailmas eksisteerib, on fraktal, olgu see siis pilv või hapnikumolekul.
Sõna "kaos" paneb mõtlema millelegi ettearvamatule, kuid tegelikult on kaos üsna korrapärane ja järgib teatud seadusi. Kaose ja fraktaalide uurimise eesmärk on ennustada mustreid, mis esmapilgul võivad tunduda ettearvamatud ja täiesti kaootilised.
Teerajajaks selles teadmistevaldkonnas oli prantsuse-ameerika matemaatik, professor Benoit B. Mandelbrot. 1960. aastate keskel töötas ta välja fraktaalgeomeetria, mille eesmärk oli analüüsida purunenud, kortsus ja hägusaid kujundeid. Mandelbroti komplekt (näidatud joonisel) on esimene assotsiatsioon, mis tekib inimeses, kui ta kuuleb sõna “fraktal”. Muide, Mandelbrot tegi kindlaks, et Inglise rannajoone fraktaalmõõde on 1,25.
Fraktaleid kasutatakse teaduses üha enam. Need kirjeldavad tegelikku maailma isegi paremini kui traditsiooniline füüsika või matemaatika. Browni liikumine on näiteks vees hõljuvate tolmuosakeste juhuslik ja kaootiline liikumine. Seda tüüpi liikumine on võib-olla fraktaalgeomeetria aspekt, millel on kõige praktilisem kasutus. Juhuslikul Browni liikumisel on sageduskarakteristik, mida saab kasutada suurte andmemahtude ja statistikaga seotud nähtuste ennustamiseks. Näiteks ennustas Mandelbrot villahindade muutusi Browni liikumise abil.
Sõna "fraktal" ei saa kasutada ainult matemaatilise terminina. Ajakirjanduses ja populaarteaduslikus kirjanduses võib fraktaalit nimetada figuuriks, millel on mõni järgmistest omadustest:
Sellel on mittetriviaalne struktuur kõigil skaaladel. See on vastupidine tavakujudele (nt ring, ellips, silefunktsiooni graafik): kui vaadelda tavakujundi väikest fragmenti väga suures skaalas, näeb see välja nagu sirge fragment. Fraktaali puhul ei too skaala suurendamine kaasa struktuuri lihtsustamist, kõigil skaaladel näeme ühtviisi keerulist pilti.
On enesesarnane või ligikaudu enesesarnane.
Sellel on murdosa meetriline mõõde või meetriline mõõde, mis ületab topoloogilist mõõdet.
Fraktaalide kõige kasulikum kasutus arvutitehnoloogias on fraktaaliandmete tihendamine. Samas tihendatakse pilte palju paremini, kui seda tehakse tavameetoditega – kuni 600:1. Fraktaalse tihenduse teine eelis on see, et suurendamisel puudub piksliefekt, mis halvendab pilti dramaatiliselt. Pealegi näeb fraktaalselt tihendatud pilt pärast suurendamist sageli veelgi parem välja kui enne. Arvutiteadlased teavad ka seda, et lõpmatu keerukuse ja iluga fraktaleid saab genereerida lihtsate valemitega. Filmitööstus kasutab laialdaselt fraktaalgraafika tehnoloogiat, et luua realistlikke maastikuelemente (pilved, kivid ja varjud).
Voolude turbulentsi uurimine kohandub fraktaalidega väga hästi. See võimaldab meil paremini mõista keeruliste voogude dünaamikat. Fraktaalide abil saate simuleerida ka leeke. Poorsed materjalid on fraktaalkujul hästi esindatud, kuna neil on väga keeruline geomeetria. Andmete edastamiseks vahemaa tagant kasutatakse fraktaalkujuga antenne, mis vähendab oluliselt nende suurust ja kaalu. Fraktaale kasutatakse pindade kumeruse kirjeldamiseks. Ebatasast pinda iseloomustab kahe erineva fraktaali kombinatsioon.
Paljudel looduses leiduvatel objektidel on fraktaalomadused, näiteks rannikul, pilvedel, puuvõradel, lumehelvestel, inimeste või loomade vereringeel ja alveolaarsüsteemil.
Fraktalid, eriti lennukis, on populaarsed tänu ilu kombinatsioonile arvuti abil ehitamise lihtsusega.
Esimesed näited isesarnastest, ebatavaliste omadustega komplektidest ilmusid 19. sajandil (näiteks Bolzano funktsioon, Weierstrassi funktsioon, Cantori komplekt). Mõiste "fraktal" võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1975. aastal ja see saavutas laialdase populaarsuse oma raamatu "Fractal Geometry of Nature" avaldamisega 1977. aastal.
Vasakpoolsel pildil on lihtne näide Darer Pentagoni fraktalist, mis näeb välja nagu hunnik kokku surutud viisnurki. Tegelikult on see moodustatud viisnurka kasutades initsiaatorina ja võrdkülgseid kolmnurki, milles suurema ja väiksema külje suhe on täpselt võrdne nn kuldse lõikega (1,618033989 või 1/(2cos72°)). generaator. Need kolmnurgad lõigatakse iga viisnurga keskelt, mille tulemuseks on kuju, mis näeb välja nagu 5 väikest viisnurka, mis on liimitud ühe suure külge. 
Kaoseteooria ütleb, et keerulised mittelineaarsed süsteemid on pärilikult ettearvamatud, kuid samas väidetakse, et viis selliste ettearvamatute süsteemide väljendamiseks osutub õigeks mitte täpsetes võrdustes, vaid süsteemi käitumise esitustes – kummaliste atraktorite graafikutes. , mis näevad välja nagu fraktalid. Seega osutub kaoseteooria, mida paljud arvavad kui ettearvamatust, ennustatavuse teaduseks ka kõige ebastabiilsemates süsteemides. Dünaamiliste süsteemide uurimine näitab, et lihtsad võrrandid võivad põhjustada kaootilist käitumist, mille puhul süsteem ei naase kunagi stabiilsesse olekusse ja mustrit ei ilmu. Sageli käituvad sellised süsteemid üsna normaalselt kuni võtmeparameetri teatud väärtuseni, seejärel kogevad üleminekut, kus edasiarendamiseks on kaks võimalust, seejärel neli ja lõpuks kaootiline võimaluste kogum.
Tehnilistes objektides toimuvate protsesside skeemidel on selgelt määratletud fraktaalstruktuur. Minimaalse tehnilise süsteemi (TS) struktuur eeldab kahte tüüpi protsesside - põhi- ja tugiprotsesside - esinemist TS-is ning see jaotus on tingimuslik ja suhteline. Mis tahes protsess võib olla peamine tugiprotsesside suhtes ja mis tahes toetavaid protsesse võib pidada peamiseks "oma" toetavate protsesside suhtes. Diagrammil olevad ringid tähistavad füüsilisi efekte, mis tagavad nende protsesside toimumise, mille jaoks pole vaja spetsiaalselt “oma” sõidukeid luua. Need protsessid on ainete, väljade, ainete ja väljade vastastikmõju tulemus. Täpsustuseks võib öelda, et füüsiline efekt on sõiduk, mille tööpõhimõtet me mõjutada ei saa ning mille konstruktsiooni me ei taha ega ka võimalust sekkuda. 
Diagrammil näidatud põhiprotsessi kulgemise tagab kolme tugiprotsessi olemasolu, mis on neid genereerivate TS-de jaoks peamised. Ausalt öeldes märgime, et isegi minimaalse TS-i toimimiseks ei piisa selgelt kolmest protsessist, s.t. Skeem on väga-väga liialdatud.
Kõik pole kaugeltki nii lihtne, nagu diagrammil näidatud. Protsessi, mis on kasulik (inimesele vajalik), ei saa teostada sajaprotsendilise efektiivsusega. Hajuv energia kulub kahjulike protsesside tekitamiseks – küte, vibratsioon jne. Selle tulemusena tekivad paralleelselt kasuliku protsessiga kahjulikud. Alati ei ole võimalik "halba" protsessi asendada "heaga", mistõttu tuleb korraldada uusi protsesse, mille eesmärk on kompenseerida süsteemile kahjulikke tagajärgi. Tüüpiline näide on vajadus võidelda hõõrdumise vastu, mis sunnib korraldama geniaalseid määrimisskeeme, kasutama kalleid hõõrdumist takistavaid materjale või kulutama aega komponentide ja osade määrimisele või nende perioodilisele väljavahetamisele.
Muutuva keskkonna vältimatu mõju tõttu võib osutuda vajalikuks mõnda kasulikku protsessi juhtida. Juhtimine võib toimuda kas automaatsete seadmete abil või otse inimese poolt. Protsessi skeem on tegelikult spetsiaalsete käskude kogum, st. algoritm. Iga käsu olemus (kirjeldus) on ühe kasuliku protsessi, sellega kaasnevate kahjulike protsesside ja vajalike juhtimisprotsesside kogum. Sellises algoritmis on toetavate protsesside kogum tavaline alamprogramm – ja siin avastame ka fraktali. Veerand sajandit tagasi loodud R. Kolleri meetod võimaldab luua süsteeme, millel on üsna piiratud hulk vaid 12 funktsioonide (protsesside) paari.
Matemaatikas ebatavaliste omadustega isesarnased hulgad
Alates 19. sajandi lõpust on matemaatikas ilmunud näiteid enesesarnastest objektidest, mille omadused on klassikalise analüüsi seisukohalt patoloogilised. Nende hulka kuuluvad järgmised:
Cantori komplekt on mittekusagil tihe loendamatu täiuslik komplekt. Protseduuri muutes on võimalik saada ka mittekusagil tihe positiivse pikkusega komplekt.
Sierpinski kolmnurk (“laudlina”) ja Sierpinski vaip on lennukile seatud Cantori analoogid.
Mengeri käsn on analoog Cantorile, mis on seatud kolmemõõtmelisse ruumi;
Weierstrassi ja Van der Waerdeni näited mitte kusagil diferentseeruvast pidevast funktsioonist.
Kochi kõver on mitte-iselõikuv lõpmatu pikkusega pidevkõver, millel ei ole üheski punktis puutujat;
Peano kõver on pidev kõver, mis läbib ruudu kõiki punkte.
Browni osakese trajektoor ei ole ka tõenäosusega 1 kusagil diferentseeritav. Selle Hausdorffi mõõde on kaks
Rekursiivne protseduur fraktaalkõverate saamiseks
Kochi kõvera konstrueerimine
Fraktaalkõverate saamiseks tasapinnal on lihtne rekursiivne protseduur. Määratleme suvalise katkendjoone, millel on lõplik arv linke, mida nimetatakse generaatoriks. Järgmisena asendame iga segmendi selles generaatoriga (täpsemalt generaatoriga sarnase katkendjoonega). Saadud katkendjoonel asendame iga segmendi uuesti generaatoriga. Jätkates lõpmatuseni, saame piiris fraktaalkõvera. Parempoolne joonis näitab selle protseduuri nelja esimest etappi Kochi kõvera jaoks.
Selliste kõverate näited on:
draakoni kõver,
Kochi kõver (Kochi lumehelves),
Lewy kõver,
Minkowski kõver,
Hilberti kõver,
Draakoni murtud (kõver) (Harter-Haithway fraktal),
Peano kõver.
Sarnase protseduuri abil saadakse Pythagorase puu.
Fraktalid kui tihenduskaardistuse fikseeritud punktid
Enesesarnasuse omadust saab matemaatiliselt väljendada rangelt järgmiselt. Olgu tasapinna kontraktiivne kaardistamine. Kaaluge järgmist kaardistamist tasapinna kõigi kompaktsete (suletud ja piiratud) alamhulkade hulgas:
Võib näidata, et kaardistamine on Hausdorffi meetrikaga kompaktide komplekti kokkutõmbumise kaardistamine. Seetõttu on Banachi teoreemi kohaselt sellel kaardistusel ainulaadne fikseeritud punkt. Sellest fikseeritud punktist saab meie fraktal.
Eespool kirjeldatud rekursiivne protseduur fraktaalkõverate saamiseks on selle konstruktsiooni erijuhtum. Selles on kõik vastendused sarnasuse vastendused ja - generaatori linkide arv.
Sest Sierpinski kolmnurk ja kaart , on homoteetsed, mille keskpunktid on korrapärase kolmnurga tippudes ja koefitsient 1/2. On hästi näha, et Sierpinski kolmnurk muutub kaardistamisel iseendaks.
Juhul, kui vastendusteks on koefitsientidega sarnasusteisendused, saab võrrandi lahendusena välja arvutada fraktali mõõtme (mõnedel täiendavatel tehnilistel tingimustel). Seega saame Sierpinski kolmnurga jaoks 
.
Sama Banachi teoreemiga, alustades mis tahes kompaktsest hulgast ja rakendades sellele kaardi iteratsioone, saame kompaktsete hulkade jada, mis koonduvad (Hausdorffi meetrika tähenduses) meie fraktalile.
Fraktalid keerulises dünaamikas
Julia komplekt
Veel üks Julia komplekt
Fraktalid tekivad loomulikult mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel. Enim uuritud juhtum on see, kui dünaamilist süsteemi täpsustatakse tasapinnal asuva kompleksmuutuja polünoomi või holomorfse funktsiooni iteratsioonidega. Esimesed uurimused selles vallas pärinevad 20. sajandi algusest ning on seotud Fatou ja Julia nimedega.
Lase F(z) – polünoom, z 0 on kompleksarv. Mõelge järgmisele järjestusele: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …
Meid huvitab selle jada käitumine, nagu see kaldub n lõpmatuseni. See jada võib:
püüdlema lõpmatuse poole,
püüdlema ülima piiri poole
piirangus tsükliline käitumine, näiteks: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
käituma kaootiliselt, st ära näita ühtki kolmest mainitud käitumistüübist.
Väärtuste kogumid z 0, mille puhul jada näitab ühte kindlat tüüpi käitumist, samuti mitut bifurkatsioonipunkti erinevate tüüpide vahel, on sageli fraktaalsete omadustega.
Seega on Julia hulk polünoomi hargnemispunktide kogum F(z)=z 2 +c(või muu sarnane funktsioon), st need väärtused z 0 mille puhul jada käitumine ( z n) võivad suvaliselt väikeste muudatustega dramaatiliselt muutuda z 0 .
Teine võimalus fraktaalhulkade saamiseks on sisestada polünoomi parameeter F(z) ja nende parameetrite väärtuste komplekti arvestamine, mille jaoks järjestus ( z n) ilmutab teatud kindlat käitumist z 0 . Seega on Mandelbroti hulk kõigi , mille jaoks ( z n) Sest F(z)=z 2 +c Ja z 0 ei lähe lõpmatuseni.
Teine tuntud näide on Newtoni basseinid.
Populaarne on luua ilusaid graafilisi kujutisi, mis põhinevad keerulisel dünaamikal, värvides tasapinna punkte sõltuvalt vastavate dünaamiliste süsteemide käitumisest. Näiteks Mandelbroti komplekti täiendamiseks saate punkte värvida sõltuvalt aspiratsiooni kiirusest ( z n) lõpmatuseni (määratletud näiteks väikseima arvuna n, mille juures | z n| ületab fikseeritud suure väärtuse A.
Biomorfid on keerulise dünaamika alusel ehitatud fraktalid, mis meenutavad elusorganisme.
Stohhastilised fraktalid
Juhuslik fraktal Julia komplekti põhjal
Loodusobjektidel on sageli fraktaalkuju. Nende modelleerimiseks saab kasutada stohhastilisi (juhuslikke) fraktaale. Stohhastiliste fraktaalide näited:
Browni liikumise trajektoor tasapinnal ja ruumis;
Browni liikumise trajektoori piir tasapinnal. 2001. aastal tõestasid Lawler, Schramm ja Werner Mandelbroti hüpoteesi, et selle mõõde on 4/3.
Schramm-Löwneri evolutsioonid on konformselt invariantsed fraktaalkõverad, mis tekivad statistilise mehaanika kriitilistes kahemõõtmelistes mudelites, näiteks Isingi mudelis ja perkolatsioonis.
erinevat tüüpi randomiseeritud fraktaalid, st fraktalid, mis on saadud rekursiivse protseduuri abil, mille igas etapis sisestatakse juhuslik parameeter. Plasma on näide sellise fraktaali kasutamisest arvutigraafikas.
Looduses
Hingetoru ja bronhide eestvaade
Bronhipuu
Veresoonte võrgustik
Rakendus
Loodusteadused
Füüsikas tekivad fraktaalid loomulikult mittelineaarsete protsesside modelleerimisel, nagu turbulentsed vedelikuvoolud, keerulised difusioon-adsorptsiooniprotsessid, leegid, pilved jne. Fraktaale kasutatakse poorsete materjalide modelleerimisel, näiteks naftakeemias. Bioloogias kasutatakse neid populatsioonide modelleerimiseks ja siseorganisüsteemide (veresoonkonna süsteemi) kirjeldamiseks.
Raadiotehnika
Fraktaalantennid
Fraktaalgeomeetria kasutamist antenniseadmete projekteerimisel kasutas esmakordselt Ameerika insener Nathan Cohen, kes elas siis Bostoni kesklinnas, kus väliste antennide paigaldamine hoonetele oli keelatud. Nathan lõikas alumiiniumfooliumist välja Kochi kõvera kuju ja kleepis selle paberitükile ning kinnitas seejärel vastuvõtja külge. Cohen asutas oma ettevõtte ja alustas nende seeriatootmist.
Arvutiteadus
Pildi tihendamine
Peamine artikkel: Fraktaali tihendamise algoritm
Fraktaalipuu
Fraktaleid kasutavad pildi tihendamise algoritmid. Need põhinevad ideel, et pildi enda asemel saab salvestada tihenduskaarti, mille jaoks see pilt (või mõni lähedane) on fikseeritud punkt. Kasutati ühte selle algoritmi variantidest [ allikat pole täpsustatud 895 päeva] Microsofti poolt oma entsüklopeedia avaldamisel, kuid neid algoritme laialdaselt ei kasutatud.
Arvutigraafika
Veel üks fraktaalipuu
Fraktaleid kasutatakse arvutigraafikas laialdaselt loodusobjektide, näiteks puude, põõsaste, mägimaastike, merepindade jms kujutiste konstrueerimiseks. Fraktaalkujutiste genereerimiseks kasutatakse palju programme, vt Fractal Generator (programm).
Detsentraliseeritud võrgud
Netsukuku võrgu IP-aadressi määramise süsteem kasutab fraktaalinformatsiooni tihendamise põhimõtet, et kompaktselt salvestada teavet võrgusõlmede kohta. Iga Netsukuku võrgu sõlm salvestab ainult 4 KB teavet naabersõlmede oleku kohta, samas kui iga uus sõlm ühendub ühise võrguga, ilma et oleks vaja IP-aadresside jaotuse keskset reguleerimist, mis on näiteks tüüpiline Internet. Seega tagab fraktaalteabe tihendamise põhimõte täielikult detsentraliseeritud ja seega kogu võrgu kõige stabiilsema töö.
Matemaatika,
kui sa seda õigesti vaatad,
peegeldab mitte ainult tõde,
aga ka võrreldamatu ilu.
Bertrand Russell.
Muidugi olete fraktaalidest kuulnud. Olete kindlasti näinud neid hingematvaid pilte Bryce3d-st, mis on tõelisemad kui tegelikkus ise. Mäed, pilved, puukoor – kõik see ületab tavapärase eukleidilise geomeetria. Me ei saa kirjeldada kivi ega saare piire sirgjoonte, ringide ja kolmnurkade abil. Ja siin tulevad meile appi fraktalid. Mis on need tuttavad võõrad? Millal nad ilmusid?
Välimuse ajalugu.
Esimesed ideed fraktaalgeomeetria kohta tekkisid 19. sajandil. Cantor muutis lihtsa rekursiivse (korduva) protseduuri abil joone ühendamata punktide kogumiks (nn Cantori tolm). Ta võtaks joone ja eemaldaks keskmise kolmandiku ja kordaks sama ülejäänud osadega. Peano tõmbas erilaadse joone (joonis nr 1). Selle joonistamiseks kasutas Peano järgmist algoritmi.
Esimeses etapis võttis ta sirge ja asendas selle 9 lõiguga, mis olid 3 korda lühemad kui algse joone pikkus (Joonise 1 1. ja 2. osa). Seejärel tegi ta sama saadud joone iga lõiguga. Ja nii edasi lõpmatuseni. Selle ainulaadsus seisneb selles, et see täidab kogu lennuki. On tõestatud, et iga punkti kohta tasapinnal võib leida Peano joonele kuuluva punkti. Peano kõver ja Cantori tolm ületasid tavalisi geomeetrilisi objekte. Neil polnud selget mõõdet. Kantori tolm näis olevat ehitatud ühemõõtmelise sirge alusel, kuid koosnes punktidest (mõõde 0). Ja Peano kõver ehitati ühemõõtmelise joone alusel ja tulemuseks oli tasapind. Paljudes teistes teadusvaldkondades ilmnesid probleemid, mille lahendamine viis eelkirjeldatutega sarnaste kummaliste tulemusteni (Browni liikumine, aktsiahinnad).
Fraktalide isa
Kuni 20. sajandini koguti andmeid selliste kummaliste esemete kohta, püüdmata neid süstematiseerida. Seda seni, kuni Benoit Mandelbrot, moodsa fraktaalgeomeetria ja sõna fraktal isa, võttis need kasutusele. IBM-is matemaatilise analüütikuna töötades uuris ta elektroonikaahelates esinevat müra, mida ei olnud võimalik statistika abil kirjeldada. Järk-järgult fakte kõrvutades jõudis ta matemaatikas uue suuna – fraktaalgeomeetria – avastamiseni.
Mis on fraktal? Mandelbrot ise tuletas sõna fractal ladinakeelsest sõnast fractus, mis tähendab katki (osadeks jagatud). Ja üks fraktaali definitsioone on geomeetriline kujund, mis koosneb osadest ja mida saab jagada osadeks, millest igaüks kujutab endast väiksemat koopiat tervikust (vähemalt ligikaudu).
Fraktaali selgemaks kujutlemiseks vaatleme B. Mandelbroti klassikaks saanud raamatus “The Fractal Geometry of Nature” toodud näidet – “Mis on Suurbritannia ranniku pikkus?” Vastus sellele küsimusele ei ole nii lihtne, kui tundub. Kõik sõltub kasutatava tööriista pikkusest. Mõõtes kallast kilomeetri joonlaua abil, saame mingi pikkuse. Küll aga jääme ilma paljudest väikestest lahtedest ja poolsaartest, mis on meie liinist palju väiksemad. Vähendades joonlaua suurust näiteks 1 meetrini, võtame arvesse neid maastiku detaile ja vastavalt suureneb ranniku pikkus. Läheme edasi ja mõõdame millimeetri joonlaua abil kalda pikkust, võtame arvesse millimeetrist suuremaid detaile, pikkus on veelgi suurem. Seetõttu võib vastus sellisele pealtnäha lihtsale küsimusele hämmingut tekitada – Suurbritannia ranniku pikkus on lõputu.
Natuke mõõtudest.
Igapäevaelus kohtame pidevalt dimensioone. Hindame tee pikkust (250 m), selgitame välja korteri pindala (78 m2) ja otsime kleebiselt õllepudeli mahu (0,33 dm3). See mõiste on üsna intuitiivne ja näib, et see ei vaja selgitust. Joone mõõde on 1. See tähendab, et valides võrdluspunkti, saame defineerida selle joone mis tahes punkti, kasutades 1 arvu – positiivset või negatiivset. Veelgi enam, see kehtib kõigi joonte kohta - ring, ruut, parabool jne.
Dimensioon 2 tähendab, et saame üheselt määratleda mis tahes punkti kahe numbriga. Ärge arvake, et kahemõõtmeline tähendab tasast. Sfääri pind on samuti kahemõõtmeline (selle saab määrata kahe väärtusega - nurgad nagu laius ja pikkus).
Kui vaadata seda matemaatilisest vaatenurgast, siis mõõde määratakse järgmiselt: ühemõõtmeliste objektide puhul toob nende lineaarse suuruse kahekordistamine kaasa suuruse (antud juhul pikkuse) suurenemise kahekordse (2) võrra. ^1).
Kahemõõtmeliste objektide puhul suurendab lineaarsete mõõtmete kahekordistamine nende suurust (näiteks ristküliku pindala) neli korda (2^2).
3-mõõtmeliste objektide puhul toob lineaarsete mõõtmete kahekordistamine kaasa kaheksakordse mahu suurenemise (2^3) ja nii edasi.
Seega saab mõõtme D arvutada lähtudes objekti S “suuruse” suurenemise sõltuvusest lineaarmõõtmete L suurenemisest. D=log(S)/log(L). Rea jaoks D=log(2)/log(2)=1. Tasapinnale D=log(4)/log(2)=2. Mahu jaoks D=log(8)/log(2)=3. See võib olla veidi segane, kuid üldiselt pole see keeruline ja arusaadav.
Miks ma seda kõike räägin? Ja selleks, et mõista, kuidas fraktaleid näiteks vorstist eraldada. Proovime arvutada Peano kõvera mõõtme. Niisiis, meil on esialgne joon, mis koosneb kolmest lõigust pikkusega X, mis on asendatud 9 segmendiga, mis on kolm korda lühemad. Seega, kui minimaalne lõik suureneb 3 korda, siis kogu sirge pikkus suureneb 9 korda ja D=log(9)/log(3)=2 on kahemõõtmeline objekt!!!
Seega, kui mõnest lihtsast objektist (segmendist) saadud figuuri mõõde on suurem kui nende objektide mõõde, on tegemist fraktaaliga.
Fraktalid jagunevad rühmadesse. Suurimad rühmad on:
Geomeetrilised fraktaalid.
Siit sai alguse fraktaalide ajalugu. Seda tüüpi fraktaale saadakse lihtsate geomeetriliste konstruktsioonide abil. Tavaliselt teevad nad nende fraktaalide ehitamisel seda: nad võtavad "seemne" - aksioomi - segmentide komplekti, mille alusel fraktal ehitatakse. Järgmisena rakendatakse sellele "seemnele" reeglistik, mis muudab selle mingiks geomeetriliseks kujundiks. Järgmisena rakendatakse selle joonise igale osale uuesti samad reeglid. Iga sammuga muutub kujund aina keerulisemaks ja kui teostame (vähemalt oma mõtetes) lõpmatu hulga teisendusi, saame geomeetrilise fraktaali.
Eespool käsitletud Peano kõver on geomeetriline fraktal. Alloleval joonisel on näha teisi näiteid geomeetrilistest fraktaalidest (vasakult paremale Kochi lumehelves, Liszt, Sierpinski kolmnurk).
Lumehelbeke Koch
Leht
Sierpinski kolmnurk
Nendest geomeetrilistest fraktaalidest on esimene, Kochi lumehelves, väga huvitav ja üsna kuulus. See on ehitatud võrdkülgse kolmnurga alusel. Iga rida, millest ___ on asendatud 4 reaga, millest igaüks on 1/3 originaali _/\_ pikkusest. Seega iga iteratsiooniga suureneb kõvera pikkus kolmandiku võrra. Ja kui teeme lõpmatu arvu iteratsioone, saame fraktali – lõpmatu pikkusega Kochi lumehelbe. Selgub, et meie lõpmatu kõver katab piiratud ala. Proovige sama teha, kasutades Eukleidilise geomeetria meetodeid ja jooniseid.
Kochi lumehelbe mõõde (kui lumehelves suureneb 3 korda, suureneb selle pikkus 4 korda) D=log(4)/log(3)=1,2619...
Geomeetriliste fraktaalide konstrueerimiseks sobivad hästi nn L-Systems. Nende süsteemide olemus seisneb selles, et on olemas teatud komplekt süsteemisümboleid, millest igaüks tähistab konkreetset tegevust ja sümbolite teisendamise reeglite komplekti. Näiteks Kochi lumehelbe kirjeldus, kasutades L-Systemsi programmis Fractint
; Adrian Mariano Mandelbroti raamatust Looduse fraktaalgeomeetria Koch1 ( ;seadke pöördenurk 360/6=60 kraadi Nurk 6 ; Ehituse esialgne joonis Aksioom F--F--F ; Tähemärgi teisendamise reegel F=F+F--F+F )Selles kirjelduses on sümbolite geomeetrilised tähendused järgmised:
F tähendab joone tõmbamist + päripäeva pööramist - vastupäeva pööramist
Fraktaalide teine omadus on enesesarnasus. Võtame näiteks Sierpinski kolmnurga. Selle konstrueerimiseks “lõigasime” võrdkülgse kolmnurga keskpunktist välja kolmnurga. Kordame sama protseduuri kolme moodustatud kolmnurga puhul (va keskne) ja nii edasi lõpmatuseni. Kui nüüd võtta mõni saadud kolmnurkadest ja seda suurendada, saame tervikust täpse koopia. Sel juhul on meil tegemist täieliku enesesarnasusega.
Lubage mul kohe teha reservatsioon, et suurem osa selles artiklis toodud fraktaalijoonistest saadi programmi Fractint abil. Kui olete fraktaalidest huvitatud, on see programm teile kohustuslik. Selle abiga saab ehitada sadu erinevaid fraktale, saada nende kohta põhjalikku teavet ja isegi kuulata, kuidas fraktalid kõlavad;).
Öelda, et programm on hea, tähendab mitte midagi öelda. See on suurepärane, välja arvatud üks asi – uusim versioon 20.0 on saadaval ainult DOS-i versioonis:(. Selle programmi (viimase versiooni 20.0) leiate aadressilt http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .
Jäta kommentaar
Kommentaarid
Alustuseks üks huvitav näide Microsoft Excelist. Lahtritel A2 ja B2 on samad väärtused vahemikus 0 kuni 1. Väärtusega 0,5 pole efekti.
Tere kõigile, kellel õnnestus teha programm fratalipildi abil. Kes oskab öelda, millist tsüklimeetodit on mul kõige parem kasutada fraktaaljalgade lagendiku ehitamiseks 3d max taustaga dt iteratsiooniga 100 000 2800 mH kivil
Draakoni kõvera joonistamiseks on olemas lähtekood programmiga, ka fraktal.
Artikkel on suurepärane. Ja Excel on tõenäoliselt kaasprotsessori viga (viimastel madala järgu numbritel)
Tere kõigile! Minu nimi on, Ribenek Valeria, Uljanovski ja täna postitan LCI veebisaidile mitu oma teaduslikku artiklit.
Minu esimene teaduslik artikkel selles ajaveebis on pühendatud sellele fraktalid. Ütlen kohe, et minu artiklid on mõeldud peaaegu igale publikule. Need. Loodan, et need pakuvad huvi nii koolilastele kui ka üliõpilastele.
Hiljuti õppisin tundma selliseid huvitavaid matemaatilise maailma objekte nagu fraktalid. Kuid need ei eksisteeri mitte ainult matemaatikas. Nad ümbritsevad meid kõikjal. Fraktalid on looduslikud. Selles artiklis räägin sellest, mis on fraktalid, fraktaalide tüüpidest, nende objektide näidetest ja nende rakendustest. Alustuseks ütlen teile lühidalt, mis on fraktal.
Fraktal(ladina fractus - purustatud, katki, katki) on keeruline geomeetriline kujund, millel on enesesarnasuse omadus, see tähendab, et see koosneb mitmest osast, millest igaüks on sarnane kogu figuuriga. Laiemas mõttes mõistetakse fraktaate kui eukleidilise ruumi punktide kogumeid, millel on murdosa meetriline mõõde (Minkowski või Hausdorffi tähenduses) või topoloogilisest erinev meetriline mõõde. Näitena lisan pildi, millel on kujutatud nelja erinevat fraktaali.
Räägin teile veidi fraktalide ajaloost. 70ndate lõpus ilmunud fraktaali ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate seas alates 80ndate keskpaigast kindlalt kinnistunud. Sõna "fraktal" võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1975. aastal, et viidata ebakorrapärastele, kuid samalaadsetele struktuuridele, mille pärast ta mures oli. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu "The Fractal Geometry of Nature" ilmumisega 1977. aastal. Tema töödes kasutati teiste aastatel 1875-1925 samal alal töötanud teadlaste (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) teaduslikke tulemusi. Kuid ainult meie ajal on olnud võimalik nende tööd ühendada ühtseks süsteemiks.
Näiteid fraktaalidest on palju, sest nagu ma ütlesin, ümbritsevad nad meid kõikjal. Minu arvates on isegi kogu meie universum üks tohutu fraktal. Lõppude lõpuks kordab kõik selles, alates aatomi struktuurist kuni universumi enda struktuurini, täpselt üksteist. Aga muidugi on ka konkreetsemaid näiteid fraktaalidest erinevatest piirkondadest. Näiteks fraktalid esinevad keerulises dünaamikas. Seal esinevad nad loomulikult mittelineaarsete uurimisel dünaamilised süsteemid. Enim uuritud juhtum on see, kui dünaamiline süsteem on täpsustatud iteratsioonidega polünoom või holomorfsed muutujate kompleksi funktsioon pinnal. Mõned seda tüüpi kuulsamad fraktalid on Julia komplekt, Mandelbroti komplekt ja Newtoni basseinid. Allolevatel piltidel on järjekorras kõik ülaltoodud fraktalid.
Teine näide fraktalidest on fraktaalkõverad. Fraktaali konstrueerimist on kõige parem selgitada fraktaalkõverate näitel. Üks neist kõveratest on nn Kochi lumehelves. Fraktaalkõverate saamiseks tasapinnal on lihtne protseduur. Määratleme suvalise katkendjoone, millel on lõplik arv linke, mida nimetatakse generaatoriks. Järgmisena asendame iga segmendi selles generaatoriga (täpsemalt generaatoriga sarnase katkendjoonega). Saadud katkendjoonel asendame iga segmendi uuesti generaatoriga. Jätkates lõpmatuseni, saame piiris fraktaalkõvera. Allpool on Kochi lumehelves (või kõver).
Samuti on väga palju erinevaid fraktaalkõveraid. Tuntuimad neist on juba mainitud Kochi lumehelves, aga ka Levy kõver, Minkowski kõver, Draakoni murdjoon, Klaveri kõver ja Pythagorase puu. Ma arvan, et soovi korral leiate Wikipediast hõlpsasti pildi nendest fraktalidest ja nende ajaloost.
Kolmas fraktalite näide või tüüp on stohhastilised fraktalid. Sellised fraktaalid hõlmavad Browni liikumise trajektoori tasapinnal ja ruumis, Schramm-Löwneri evolutsiooni, erinevat tüüpi randomiseeritud fraktaale, st fraktale, mis on saadud rekursiivse protseduuri abil, millesse igas etapis sisestatakse juhuslik parameeter.
On ka puhtmatemaatilisi fraktale. Need on näiteks Cantori komplekt, Mengeri käsn, Sierpinski kolmnurk jt.
Kuid võib-olla on kõige huvitavamad fraktalid looduslikud. Looduslikud fraktaalid on looduses esinevad objektid, millel on fraktaalomadused. Ja siin on nimekiri juba suur. Ma ei hakka kõike loetlema, sest neid kõiki on ilmselt võimatu loetleda, kuid ma räägin teile mõnest. Näiteks eluslooduses kuuluvad selliste fraktaalide hulka meie vereringesüsteem ja kopsud. Ja ka puude võrasid ja lehti. Siia kuuluvad ka meritäht, merisiilikud, korallid, merekarbid ja mõned taimed, nagu kapsas või spargelkapsas. Allpool on selgelt näidatud mitmed sellised eluslooduse looduslikud fraktalid.
Kui võtta arvesse elutut loodust, siis on seal palju huvitavamaid näiteid kui eluslooduses. Välk, lumehelbed, pilved, kõigile hästi tuntud, mustrid akendel pakastel päevadel, kristallid, mäeahelikud - kõik need on näited elutust loodusest pärit looduslikest fraktaalidest.
Vaatasime fraktalide näiteid ja tüüpe. Mis puutub fraktaalide kasutusse, siis neid kasutatakse erinevates teadmiste valdkondades. Füüsikas tekivad fraktaalid loomulikult mittelineaarsete protsesside modelleerimisel, nagu turbulentsed vedelikuvoolud, keerulised difusioon-adsorptsiooniprotsessid, leegid, pilved jne. Fraktaale kasutatakse poorsete materjalide modelleerimisel, näiteks naftakeemias. Bioloogias kasutatakse neid populatsioonide modelleerimiseks ja siseorganisüsteemide (veresoonkonna süsteemi) kirjeldamiseks. Pärast Kochi kõvera loomist tehti ettepanek kasutada seda rannajoone pikkuse arvutamisel. Fraktaleid kasutatakse aktiivselt ka raadiotehnikas, infoteaduses ja arvutitehnoloogias, telekommunikatsioonis ja isegi majanduses. Ja loomulikult kasutatakse fraktaalset nägemust aktiivselt kaasaegses kunstis ja arhitektuuris. Siin on üks näide fraktaalmustritest:
Ja nii, ma arvan sellega lõpetada oma loo sellisest ebatavalisest matemaatilisest nähtusest nagu fraktal. Täna saime teada, mis on fraktal, kuidas see tekkis, fraktaalide tüüpidest ja näidetest. Rääkisin ka nende rakendusest ja demonstreerisin mõnda fraktalit visuaalselt. Loodan, et teile meeldis see väike ekskursioon hämmastavate ja põnevate fraktaalobjektide maailma.
Fraktaali näide
Matemaatikud võtsid “Fraktali” kasutusele vähem kui pool sajandit tagasi ning sellest sai peagi koos sünergia ja atraktoriga üks noore deterministliku kaose teooria “kolmest tugisammast” ning tänapäeval tunnustatakse seda juba ühena. universumi ehituse põhielemendid.
KOOS ladina sõna fractus tõlgitakse kui "katki", andsid kaasaegsed ladina keeled sellele tähenduse "rebenenud". Fraktal on midagi, mis on identne tervikuga/suuremaga, mille osa ta on, ja samal ajal kopeerib iga selle eraldiseisvat osa. Seega on "frakaalsus" "kõige" lõpmatu sarnasus selle komponentidega, see tähendab, et see on enesesarnasus igal tasandil. Fraktaaliharu iga taset nimetatakse iteratsiooniks; mida arenenum on kirjeldatud või graafiliselt kujutatud süsteem, seda rohkem fraktaali iteratsioone vaatleja näeb. Sel juhul nimetatakse hargnemispunktiks punkti, kus toimub jagunemine (näiteks tüvi harudeks, jõgi kaheks ojaks jne).
Mõiste fractus valis matemaatik Benoit Mandelbrot 1975. aastal teadusliku avastuse kirjeldamiseks ja sai populaarseks paar aastat hiljem pärast seda, kui ta oma raamatus The Fractal Geometry of Nature seda teemat laiemale publikule käsitles.
Tänapäeval tuntakse fraktaale laialdaselt kui arvutiprogrammide abil loodud nn "fraktalikunsti" fantastilisi mustreid. Kuid arvuti abil saab genereerida mitte ainult ilusaid abstraktseid pilte, vaid ka väga usutavaid loodusmaastikke - mägesid, jõgesid, metsi. Siin on tegelikult üleminekupunkt teaduse ja tegeliku elu vahel või vastupidi, kui eeldame, et üldiselt on neid võimalik eraldada.
Fakt on see, et fraktaalprintsiip sobib mitte ainult täppisteaduste avastuste kirjeldamiseks. See on ennekõike looduse enda ülesehituse ja arengu põhimõte. Kõik meie ümber on fraktalid! Kõige ilmekam näidete rühm on lisajõgedega jõed, kapillaaridega venoosne süsteem, välk, härmatis, puud... Viimasel ajal katsetavad teadlased fraktaaliteooria, on katseliselt tõestanud, et ühe puu diagrammi põhjal saab teha järeldusi metsaala kohta, kus need puud kasvavad. Teised näited fraktaalrühmadest: aatom - molekul - planeedisüsteem - päikesesüsteem - galaktikad - universum... Minut - tund - päev - nädal - kuu - aasta - sajand... Isegi inimeste kogukond organiseerib end vastavalt põhimõtetele fraktaalsus: mina - perekond - klann - rahvus - rahvused - rassid... Üksikisik - rühm - partei - riik. Töötaja - osakond - osakond - ettevõte - mure... Isegi erinevate religioonide jumalikud panteonid on üles ehitatud samale põhimõttele, sealhulgas kristlus: jumal isa - kolmainsus - pühakud - kirik - usklikud, rääkimata jumalike panteonide korraldamisest. paganlikud religioonid.
Lugu väidab, et isesarnaseid komplekte märgati esmakordselt 19. sajandil teadlaste - Poincaré, Fatou, Julia, Cantori, Hausdorffi - töödes, kuid tõsi on see, et juba paganlikud slaavlased jätsid meile tõendi, et inimesed mõistsid individuaalset eksistentsi kui väikest detaili. universumi lõpmatuses. See on rahvakultuuri objekt, mida nimetatakse "ämblikuks", mida uurisid Valgevene ja Ukraina kunstiajaloolased. See on omamoodi skulptuuri prototüüp moodsas “mobiilses” stiilis (osad on üksteise suhtes pidevas liikumises). “Ämblik” on sageli valmistatud õlgedest, koosneb sama kujuga väikestest, keskmistest ja suurtest elementidest, mis on üksteise külge riputatud, nii et iga väiksem osa kordab täpselt suuremat ja kogu konstruktsiooni tervikuna. See kujundus riputati kodu peanurka, justkui tähistades kodu kui kogu maailma elementi.
Fraktaalsuse teooria töötab tänapäeval kõikjal, ka filosoofias, mis ütleb, et iga elu jooksul ja iga elu tervikuna on fraktaalne, on "hargnemispunktid", kus areng võib kulgeda erinevaid teid kõrgemale tasemele ja hetk, mil inimene “leiab end valiku ees”, on tema elu fraktalites tõeline “bufurkatsioonipunkt”.
Deterministliku kaose teooria ütleb, et iga fraktaali areng ei ole lõpmatu. Teadlased usuvad, et teatud hetkel saabub piir, mille ületamisel iteratsioonide kasv peatub ja fraktal hakkab "kitsenema", jõudes järk-järgult algse ühikuni, ja seejärel läheb protsess uuesti ringi - sarnaselt sisse- ja väljahingamisele, hommiku ja öö, talve ja suve muutused looduses.